Farmaceutski fakultet Univerziteta u Sarajevu

Matematika

Diferencijalni račun(seminarski rad)

Mentor: prof. dr. Senada Kalabušić Student: Midhat Ćatić

Sarajevo; 04.01.2013. godine

Sadržaj

Izvod funkcije, ......................................................................................................................... 4.

Pravila za izvode, ..................................................................................................................... 7.

Izvodi elementarnih funkcija, ................................................................................................ 10.

Logaritamski izvod, ................................................................................................... 14.

Izvodi višeg reda, ................................................................................................................... 15.

Pojam diferencijalne funkcije, ............................................................................................... 16.

Pravila za diferencijale, .............................................................................................. 17.

Osnovni teoremi diferencijalnog računa, ............................................................................... 18.

Ispitivanje toka i grafika funkcije, ......................................................................................... 25.

2

Diferencijalni račun

3

Izvod (derivacija funkcije)

S ciljem navođenja definicije izvoda(derivacije) funkcije y= ƒ(x), u konkretnoj tački x, trebamo sljedeću sliku :

Označimo sa ∆x=h prirast (diferencija) nezavisno promjenjive (argumenta) x, a sa ∆y=ƒ(x+∆x) - ƒ(x)= ƒ(x+h) - ƒ(x) prirast (diferencija) zavisno promjenjive (funkcije) y= ƒ(x).Na slici je AC= ∆x= h, BC=∆y.

Definicija 1. (izvoda funkcije u tački)Neka je funkcija y= ƒ(x) definisana u tački x, i nekoj okolini te tačke. Pretpostavimo

da postoji granična vrijednost , konačna ili beskonačna.

Tada broj nazivamo prvi izvod (derivacija) funkcija y= ƒ(x), u tački x.

U slučaju beskonačnog izvoda y' zahtijevamo i dodatni uslov da je funkcija y= ƒ(x) u posmatranoj tački x neprekidna.

4

Prvi izvod funkcija y= ƒ(x), u konkretnoj tački x, osim oznako y+, možemo označiti i

jednom od sljedećih oznaka : y'(x), , ƒ'(x), , . Izvod jednoj funkciji y= ƒ(x)

pridružuje njenu izvodnu funkciju y'= ƒ'(x). Najpoznatiji primjer izvoda je , tj.

brzina kretanja tijela v, u trenutku t, jednaka je izvodu pređenog puta s, kao funkcije od vremena kretanja t tijela.

Ponekad je funkcija definisana samo sa lijeve ili samo sa desne strane posmatrane

tačke x. Također, ponekad postoji samo lijevi ili samo desni limes, ili .

Tada se izvode samo lijevi, odnosno desni izvod funkcije y= ƒ(x), u tački x, i označavamo ih

sa i .

Da bi izvod funkcije y= ƒ(x) u tački x postojao mora vrijediti : .

U vezi sa slikom 1., uzmimo da je β ugao koji sječica s, kroz tačke A i B, obrazuje sa pozitivnim dijelom x-ose, a neka je α ugao koji tangenta t u tački A krive obrazuje sa pozitivnim dijelom x-ose. Sa slike vidimo da, kada ∆x→0, tada se tačka B po krivoj y= ƒ(x) približava tački A, a sječica s, kroz tačke A i B, približava se tangenti t, krive y= ƒ(x), u tački A(x,y)=A(x, ƒ(x))

Dakle, kada ∆x→0, tada se ugao β približava uglu α, pa zato tgβ= teži (približava se) ka

tgα, kada ∆x→0. S druge strane, kako je , zaključujemo da je y'= tgα.

Zato je geometrijsko tumačenje prvog izvoda funkcije sljedeće:

Prvi izvod y'=ƒ'(x), funkcije y=ƒ(x), u tački x, predstavlja koeficijent pravca tangente t na krivu y= ƒ(x) , u tački A(x,y)=A(x, ƒ(x)), te krive. Koeficijent pravca tangente je u stvari nagib krive u posmatranoj tački krive, a fizikalno gledajući, to je brzina promjene vrijednosti funkcije u konkretnom trenutku vremena (trenutna brzina tijela).

Jednačine tangente t i normalne n na krivu y=ƒ(x), u tački , za slučaj da

je , glase :

Ako je =0, tada je tangenta paralelna sa x-osom, pa njena jednačina glasi = , a jednačina normale glasi = . Ako je = ∞, ili = -∞, tada je tangenta okomita na x-osu, pa njena jednačina glasi = , a jednačina normale tada glasi = .

5

Izračunavanje izvoda (derivacije) funkcije naziva se diferenciranje (deriviranje), a račun koji nas uči kako to radimo, zove se diferencijalni račun. Ako izvod y'= ƒ'(x) postoji , i konačan je broj, tada kažemo da je funkcija y= ƒ(x) diferencijabilna u tački x. Ako je funkcija y= ƒ(x) diferencijabilna u svakoj tački x nekog intervala, tada kažemo da je funkcija diferencijabilna na tom intervalu.

Ako količnik teži nekoj određenoj konačnoj graničnoj

rijednosti, kada ∆x→0, tada mora i težiti nuli kada ∆x→0. To znači da je svaka diferencijabilna funkcija u tački x, ujedno i neprekidna u toj tački. Obrnuto ne vrijedi, u opštem slučaju, jer ima neprekidnih funkcija koje nisu diferencijabilne u posmatranoj tački.

Npr. funkcija

jeste neprekidna u tački x=0, ali nije diferencijabilna u toj tački jer je (0)= -1 & (0)=1

6

Korištenjem definicije izvoda, i pravila za limese moguće je dokazati sljedeća pravila za izvode :

1. (C')= 0 -Izvod konstante C(konstante funkcije) jednak je nuli.

2.

3. -izvod zbira ili razlike funkcija

4. [u(x) • v(x)]'=u'(x)•v(x) + u(x)•v'(x) -izvod proizvoda funkcija

5. ; v(x)≠0 -izvod količnika funkcija

6.Ako funkcija y=ƒ(u) ima izvod u tački u, i funkcija u=g(x) ima izvod u tački x, tada i složena funkcija (kompozicija funkcija ƒ i g) y= ƒ (g(x)) ima izvod u tački x i vrijedi:

tj.

Ovo pravilo primjenjuje se i za složene funkcije koje su kompozicija (slog) tri ili više funkcija. Tako naprimjer, ako je y=ƒ(g(h(x))) ( kompozicija funkcija ƒ, g, h ), i ako izvodi svih funkcija u posmatranoj tački postoje tada je :

Navedeno pravilo nazivamo pravilo izvoda složene funkcije

7. Ako je funkcija zadana u parametarskom obliku : x=x(t), y=y(t) tada je

; gdje je i označavaju izvode funkcija y i x, po argumentu t.

8. Ako je y=ƒ(x) zadana jednoznačna funkcija i ako izvod y'= ƒ'(x) ≠ 0 postoji, onda i inverzna funkcija x= (y) funkcije y=ƒ(x) postoji, i tada vrijedi :

tj. x'(y)= ; za sve x(odnosno y) za koje odgovarajući izvodi

postoje. Ovo pravilo nazivamo izvod inverzne funkcije.

7

Dokazat ćemo pravila 4., 5. i 6. za izvod proizvoda ili količnika dvije funkcije, i pravilo za izvod složene funkcije.

Neka je , i neka funkcije i imaju izvod u tački x.Tada je:

Neka je i neka funkcije i imaju izvod u tački x.

Tada je:

=

8

Pretpostavimo da funkcija ima izvod u tački u, i funkcija u=g(x) ima izvod u tački x.Tada je , i vrijedi :

Kako je funkcija u=g(x) diferencijabilna u tački x, to je ona u toj tački i neprekidna, pa zato ∆u=g(x+h)-g(x) teži ka nuli, kada h teži ka nuli.Osim toga, vidimo da je g(x+h)=g(x)+ ∆u =u+∆u . Sada iz definicije izvoda slijedi:

Ovo pravilo se proširuje i na kompoziciju tri ili više funkcija. Naprimjer, ako je , tada možemo reći da je funkcija y kompozicija funkcija f-g i h, pa prema

pravilu za izvod kompozicije dvije funkcije imamo:

9

Izvodi elementarnih funkcija

Vidjeli smo da je prvi izvod funkcije y=ƒ(x) definisan graničnom vrijednošću

. Primjenom definicije izvoda pokazat ćemo kako izračunavamo

izvod nekih elementarnih funkcija,a zatim ćemo dati tabelu izvoda svih elementarnih funkcija.

Izvod eksponencijalne funkcije je

Kako je

te korištenjem kao poznate činjenice da je

odnosno, da za x=h•ln a, vrijedi =1 ;

zaključujemo da je = .

Zato iz prve jednakosti za izvod funkcije zaključujemo da je

Kako je eksponencijalna funkcija svuda definisana u skupu R, tj. D(ƒ)=R, zaključujemo da navedena relacija vrijedi za svaki x . Specijalno, u slučaju da je a=e, zbog ln e=1, zaključujemo da je

, za svaki x .

Izvod stepene funkcije y= ƒ(x)= je

Prema Newtonovom binomnom obrascu je

pa je

dakle

10

Dokažimo da ovaj izvod vrijedi i u slučaju da je n bilo koji realan broj, i x bilo koji realan broj, osim x=0. Naime, ako , i ako je x>0, tako da ln x postoji, tada možemo staviti da je , pa je

Korištenjem pravila za izvod složene funkcije dobijamo:

Ako je x<0, tada je –x>0, pa je –x= , odnosno, x= - .

Sada je

Prema pravilu za izvod složene funkcije, imamo

Izvod trigonometrijske funkcije , je

Korištenjem poznate trigonometrijske formule

Dobijamo da je ,

Pa je

Zbog: , i

je

Dakle

Na isti način, korištenjem definicije izvoda, moguće je izračunati izvod svake od elementarnih funkcija. Tako dobijamo tabelu izvoda elementarnih funkcija

11

Redni broj

Tabela izvoda elementarnih funkcija

Izvod funkcije Vrijedi za

1. y= , 0<a≠12. y=3. y= , x≠0, n R4. y= x>0, 0<a ≠ 1

5. y= x>0

6. y= x>0

7. y=8. y=9. y=

x≠ + k , k Z

10. y= x≠k , k Z

11. y=12. y=13. y=

14. y= x≠0

15. y= |x|<1

16. y= |x|<1

17. y=

18. y=

19. y=

20. y= x>1

21. y= |x|<1

22. y= |x|>1

12

Od elementarnih funkcija, čiji izvodi su dati u tabeli, manje poznate su tzv. hiperbolne funkcije: sh, ch, th i cth (sinus hiperbolni, kosinus hiperbolni, tangens hiperbolni i kotangens hiperbolni), i njima inverzne (area) funkcije Arsh, Arch, Arth, Arcth(area sinus hiperbolni, area kosinus hiperbolni, area tangens hiperbolni i area kotangens hiperbolni).Hiperbolne funkcije su definisane preko prirodnih eksponencijalnih funkcija i (eksponencijalnih funkcija čija baza je broj e≈2,718...), na sljedeći način :

Funkcije shx, chx i thx definisane su za svaki (jer su i eksponencijalne funkcije svuda definisane, i imaju pozitivne vrijednosti, u R), a funkcija cthx nije definisana jedino za x=0 jer je tada =0

Primjetimo da operacija diferenciranja(deriviranja, izračunavanja izvoda) jednoj funkciji pridružuje, jednoznačno, neku drugu funkciju(njen izvod, izvodnu funkciju,

derivaciju) , u oblasti definisanosti funkcije i njenog izvoda. Zato je deriviranje unarna operacija u posmatranom skupu funkcija.

13

Logaritamski izvod

Ako je neka funkcija, tada izvod funkcije , po argumentu x, nazivamo logaritamski izvod te funkcije. Funkcija je kompozicija prirodne logaritamske funkcije i funkcije . Zato, prema pravilu za izvod složene funkcije, imamo:

Primjenom logaritamskog izvoda možemo odrediti izvod funkcije oblika

gdje nijedna od funkcija u(x), v(x), nije konstantna funkcija. Kako takva funkcija tada nije niti stepena, niti eksponencijalna, to ne možemo odrediti njen izvod korištenjem tabele izvoda. Međutim, logaritmiranjem funkcije dobijamo

Sada računamo logaritamski izvod

Korištenjem pravila za izvod proizvoda dvije funkcije, dalje dobijamo :

Množenjem lijeve i desne strane posljednje jednakosti sa dobijamo konačno:

Izvod funkcije oblika , gdje su u i v funkcije od x, možemo odrediti i na sljedeći način: Ako iskoristimo činjenicu da je ,tada je , pa je prema pravilu za izvod složene funkcije, i pravilu za izvod proizvoda dvije funkcije :

Naravno, oba ova načina određivanja izvoda funkcije vrijede za one vrijednosti x, za koje je funkcija definisana, tj. mora vrijediti uslov >0.

14

Izvodi višeg reda

Diferenciranje funkcije dobijamo njen prvi izvod, novu funkciju . Ako sada tu novu funkciju diferenciramo, tada ćemo dobiti novu funkciju , koju ćemo označiti sa , i nazvat ćemo je drugim izvodom funkcije .Dakle,

. Dalje, definišemo treći izvod , funkcije , kao izvod drugog izvoda .Nastavljajući tako dalje, definišemo n-ti izvod , početne funkcije , rekurzivno formulom:

pri čemu poistovjećujemo sa y.

Kao što prvi izvod y' označavamo drugačije sa , tako izvode višeg reda, funkcije ,

označavamo :

Znamo da izvod pređenog puta s, po proteklom vremenu t, pri kretanju nekog tijela

predstavlja brzinu v, kretanja tijela. Simbolično .

Međutim, također je izvod brzine v, po vremenu t, jednak akceleraciji(ubrzanju) a, pri kretanju tijela, u momentu vremena t. Zato je

Dakle, ubrzanje tijela jednako je drugom izvodu pređenog puta s, po vremenu t.

Ako su u i v funkcije argumenta x, i ako je y=u•v, tada, kao što od ranije znamo, vrijedi formula(pravilo) y'=(u•v)'=u'•v + u•v' za izvod proizvoda. Zato je :

.

Na isti način bismo zaključili da je

Nastavljajući postupak dalje, matematičkom indukcijom se može dokazati da za n-ti izvod proizvoda funkcija u i v, vrijedi Leibnizova formula:

Primjetimo da je Leibnizova formula za izvode proizvoda prvog i višeg reda, alična

Newtonovoj binomnoj formuli

Razlika je u tome što umjesto a+b je u•v, a svuda umjesto stepenovanja brojeva a i b imamo odgovarajuće izvode funkcija u i v.

15

Pojam diferencijala funkcije Ako je neka zadana funkcija, diferencijabilna u tački x, tada proizvod njenog izvoda

i prirasta argumenta ∆x, nazivamo diferencijal(prvi diferencijal) funkcije , i označavamo ga sa dy. Dakle Specijalno, ako je =x, tada je =1, pa je tada dx=1• ∆x= ∆x. Vidimo da je diferencijal argumenta x, u oznaci dx, jednak prirastu argumenta ∆x . Zato također možemo pisati da je , pa kažemo da se diferencijal funkcije dobije tako što izvod te funkcije pomnožimo sa diferencijalom njenog

argumenta. Naprimjer, , i slično .

Sa slike vidimo geometrijsko tumačenje diferencijala funkcije dy= Naime, ako je t tangenta na krivu u posmatranoj tački krive A(x,y)=A(x, ƒ(x)), tada je diferencijal funkcije dy jednak prirastu ordinate tangente t (dy =CD) kada se x promijeni za ∆x. Također, vidimo da za male ∆x, diferencijal funkcije dy predstavlja glavni dio prirasta funkcije (∆y=BC), pa za male ∆x vrijedi dy≈∆y.

16

Pravila za diferencijale su ista kao pravila za izvode. Razlika je jedino u tome što izvod funkcije y označavamo sa y', a diferencijal iste funkcije označavamo sa dy. Tako vrijede sljedeća pravila za diferencijale :

1. d(C)=0 -diferencijal konstante C (konstante funkcije) jednak je nuli.

2. d(C•u(x))=C•d(u(x)) (C – konstanta; u(x)- funkcija)

3. -diferencijal zbira ili razlike funkcija u(x) i v(x)

4. -diferencijal proizvoda funkcije u(x) i v(x)

5. -diferencijal količnika funkcije u(x) i

v(x)

Kako je funkcija od x, to možemo sada tražiti i diferencijal funkcije dy, pa dobijamo takozvani drugi diferencijal polazne funkcije . Označavamo ga sa , i jednak je

Analogno je treći diferencijal funkcije jednak , itd. n-ti diferencijal funkcije jednak je

17

Osnovni teoremi diferencijalnog računa

Teorem 1. Ako je funkcija definisana i diferencijabilna na intervalu (a,b), i ako je y'>0 za svaki tada funkcija monotono opada na tom intervalu.

Definicija 2. Kažemo da funkcija ima lokalni maksimum u tački , ako postoji neka okolina , tačke (za neko >0), takva da vrijedi

Kažemo da funkcija ima lokalni minimum u tački , ako postoji neka okolina , tačke (za neko >0), takva da vrijedi

.

Lokalni maksimum , i lokalni minimum , tada nazivamo lokalnim ekstremnim vrijednostima, ili lokalnim ekstremima funkcije .

18

Lokalni minimum

Lokalni maximum

Teorem 2.(Fermat) Neka je funkcija definisana na intervalu (a,b) i ima lokalni ekstrem ƒ(c) u tački . Ako funkcija ƒ ima izvod u tački x=c, tada je .

Dokaz. Pretpostavimo da funkcija postiže lokalni maksimum u tački x=c. To znači da postoji neka -okolina , tačke c, takva da je

Za svaki dovoljno mali h>0 je , pa je

,odnosno, .

No, zbog h>0, tada je ,

pa je

Za svaki dovoljno mali h<0 je , pa je

odnosno ,

Zbog h<0, je

pa je .

Dakle, desni izvod funkcije ƒ u tački c je manji ili jednak nuli, a lijevi izvod funkcije ƒ u tački c je veći ili jednak nuli. Kako izvod postoji, mora lijevi izvod biti jednak desnom izvodu u tački c, pa mora vrijediti =0. Tvrdnja teorema je dokazana u slučaju lokalnog maksimuma. Analogno se dokazuje i u slučaju lokalnog minimuma.

Fermatov teorem nam kazuje : Ako funkcija u nekoj tački postiže lokalni ekstrem, tada je prvi izvod funkcije u toj tački jednak nuli. To znači da je anuliranje prvog izvoda u nekoj tački potreban uslov postojanja lokalnog ekstrema.Da to nije i dovoljan uslov egzistencije ekstrema, pokazuje se na nekim jednostavnim primjerima. Naprimjer, funkcija nema ekstrema u tački x=0, iako je =0 za x=0

Dovoljan uslov egzistencije ekstrema je da je , i da prvi izvod funkcije mijenja znak prelazeći sa lijeve na desnu stranu tačke c, tj. da grafik funkcije sa rasta prelazi na opadanje, ili da sa opadanja prelazi na rast.

Definicija 3. Tačka nazivamo stacionarnom tačkom funkcije ƒ, ako je .

19

Teorem 3. (Rolle) Ako je funkcija neprekidna na segmentu [a,b], diferencijabilna na intervalu (a,b), i vrijedi , tada postoji barem jedna vrijednost argumenta x, takva da je .

Rolleov teorem nam kazuje da, pod pretpostavkama teorema, postoji stacionarna tačka

funkcije ƒ. Geometrijsko značenje ovog teorema je da postoji tačka

takva da je tangenta na krivu , u tački x=c, paralelna sa x-osom(jer je koeficijent

pravca tangente .

20

Teorem 4. (o srednjoj vrijednosti diferencijalnog računa)(Lagrange)

Ako je funkcija neprekidna na segmentu [a,b] i diferencijabilna na intervalu (a,b),

tada postoji barem jedna vrijednost argumenta x, takva da je

Geometrijsko tumačenje ovog teorema je da postoji barem jedna vrijednost takva

da je tangenta t na krivu , u tački x=c, paralelna sječici krive kroz krajnje tačke luka A(a,ƒ(a)) i B(b, ƒ(b)).

Primjetimo da je Rolleov teorem specijalan slučaj Lagrangeovog teorema jer iz pretpostavke , i relacije , slijedi .

Zbog , je dalje, jasno .

Posljedica. Ako je funkcija diferencijabilna na , i ako je svaki stacionarna tačka funkcije ƒ, tj. za svaki , tada je ƒ konstanta(konstantna funkcija) na segmentu [a,b].

Dokaz. Ako je bilo koja tačka, tada je funkcija ƒ neprekidna na segmentu [a,x] i diferencijabilna na intervalu (a,x), pa zadovoljava uslove Lagrangeovog teorema. Zato postoji tačka takva da vrijedi

Kako je , to iz posljednje relacije slijedi da je , tj. . Kako je proizvoljno izabran, to vrijedi = const. za svaki .

21

Teorem 5. (prošireni teorem o srednjoj vrijednosti diferencijalnog računa)( Cauchy)Ako funkcije i zadovoljavaju uslove :

a) neprekidne su na segmentu [a,b],b) imaju izvode i za svako i ≠0 za svako ,

c) tada postoji takav da je

Lagrangeov teorem je specijalan slučaj Cauchyevog teorema za , jer je .

Teorem 6. (prvo L'Hospitalovo pravilo)Neka funkcije i ispunjavaju sljedeće uslove :

a) definisane su na segmentu [a,b],b) diferencijabilne su na intervalu (a,b),

c) za je

d) postoji , konačan ili beskonačan.

Tada postoji i , i vrijedi : .

Dokaz. Vidimo, na osnovu pretpostavki teorema, da u nekoj okolini tačke funkcije ƒ i g zadovoljavaju uslove Cauchyevog teorema. Zato, prema Cauchyevoj teoremi, za sve x koji pripadaju toj okolini, postoji , ili (zavisno od toga da li je <x ili x< ,

takav da je

Kako su funkcije ƒ i g diferencijabilne na intervalu (a,b), to su one na tom intervalu i

neprekidne, pa iz , slijedi da je = =0. Kako osim toga, c→

, kada x→ , to je .

22

Tvrdnju prethodnog teorema možemo iskoristiti u svrhu izračunavanja limesa neodređenog

oblika , kada je konačan broj. Međutim, može se dokazati da tvrdnja vrijedi i u slučaju

da je , ili .

U slučaju da je i tada je limes

neodređenog oblika . Međutim, ako drugačije napišemo u obliku dvojnog razlomka

, tada su funkcije i beskonačno male veličine(teže nuli), kada x→ .

Zato možemo primijeniti prvi L'Hospitalov teorem na funkcije i , pa dobijamo:

odakle je

Dakle ,vrijedi

Teorem 7. (drugo L'Hospitalovo pravilo) Ako su funkcije i definisane i diferencijabilne u nekoj okolini tačke (koja može biti konačna ili beskonačna), te ako je

i ako postoji , konačan ili beskonačan, tada

postoji i i vrijedi

Primjenom prethodnog teorema možemo računati limese neodređenog oblika . Ostali neodređeni oblici limesa: mogu se, odgovarajućim

transformacijama funkcije čiji limes računamo, svesti na jedan od oblika ili ,a zatim

primijeniti prvo ili drugo L'Hospitalovo pravilo.

23

Ponekad je potrebno zadanu funkciju, definisanu i neprekidnu na nekom intervalu, razviti u red, u određenoj okolini neke tačke tog intervala. Pod određenim uslovima možemo koristiti Taylorovu formulu.

Teorem 8. ( Taylor) Neka za neki , funkcija , definisana na intervalu (a,b), ima neprekidne sljedeće izvode : ƒ', ƒ'',..., i , na tom intervalu. Tada, za svake dvije tačke

, postoji tačka ( zavisi od x), , takva da je

Prethodna formula zove se Taylorova formula funkcije u okolini tačke x=c, a izraz

zove se n-ti ostatak Lagrangeova oblika Taylorove formule. Taj

ostatak pokazuje grešku koju činimo ako funkciju približno prikažemo(aproksimiramo)

izrazom .

Specijalno, ako je c=0, tada Taylorovu formulu također nazivamo i Maclaurinova formula.

24

Ispitivanje toka i grafika funkcije

Račun limesa, i diferencijalni račun, možemo primjeniti na ispitivanje svojstava i ponašanja zadane funkcije na njenoj oblasti definisanosti. Obično, u cilju ispitivanja toka i grafika funkcije, provodimo sljedeće tačke( tj. po koracima određujemo)

1.Definiciono područje funkcije 2.Nule i znak funkcije3.Parnost(neparnost) funkcije4.Asimptote funkcije5.Monotonost i ekstremi funkcije6.Prevojne tačke, konkavnost, konveksnost7.Grafik funkcije

Objasnimo ukratko kako to činimo

Najprije određujemo oblast definisanosti , zadane funkcije . To je skup svih onih realnih brojeva x za koje vrijednost funkcije postoji, ima smisla, i ima realnu vrijednost. To je tzv. prirodni domen funkcije. Simbolično : .

Zatim ispitujemo egzistenciju nula funkcije, i znak funkcije. Pod nulom funkcije podrazumjevamo onu vrijednost , argumenta x, za koju je . Grafički, nulama funkcije odgovaraju one tačke u kojima grafik funkcije siječe x-osu. Ispitati znak funkcije podrazumjeva određivanje intervala, sadržanih u domenu funkcije, na kojima funkcija postiže isti znak, pozitivnu ili negativnu vrijednost. Najčešće to ispitivanje provodimo upotrebnom tabele znaka funkcije.

Dalje ispitujemo da li je funkcije parna ili neparna, ili nije ni parna ni neparna. Podsjetimo se : za funkciju kažemo da je parna ako je simetričan u odnosu na O, i za svako vrijedi . Grafik parne funkcije je simetričan u odnosu na y-osu. Za funkciju kažemo da je neparna ako je skup simetričan u odnosu na 0, i za svako vrijedi . Grafik neparne funkcije je simetričan u odnosu na koordinatni početak O.

Sada provjeravamo da li funkcija ima asimptote. Asimptota je prava kojoj se neki dio grafika funkcije približava. Razlikujemo horizontalne, vertikalne i kose asimptote.

Ako je funkcija definisana kada , ili kada , i ako postoji konačan

ili postoji konačan , tada prave y=a, odnosno, y=b , nazivamo

horizontalne asimptote funkcije. Pravu y=a tada također nazivamo desna horizontalna asimptota, a pravu y=b nazivamo lijeva horizontalna asimptota.

Ako je funkcija definisana kada , i ako postoje konačni brojevi:

Tada je prava y=kx+n kosa(desna) asimptota funkcije.

25

Primjenom istih graničnih vrijednosti, ali kada provjeravamo i egzistenciju lijeve kose asimptote, u slučaju da je funkcija definisana kada .

Ako je tačka prekida funkcije, i barem jedan od limesa funkcije (lijevi ili desni) u toj tački ima beskonačnu vrijednost, tada je prava vertikalna asimptota funkcije. Dakle, egzistenciju vertikalnih asimptota provjeravamo u tačkama prekida funkcije.

Monotonost funkcije podrazumjeva rast ili opadanje funkcije na nekom intervalu sadržanom u definicionom području. Ekstremi su lokalni maksimum i lokalni minimum funkcije. Ove dvije karakteristike funkcije ispitujemo primjenom prvog izvoda funkcije. Ranije smo vidjeli : ako je y'>0 na intervalu , tada na tom intervalu funkcije

raste (y↑).

Ako je y'<0 na nekom intervalu (c,d), tada na tom intervalu funkcija opada (y↓). Ako je stacionarna tačka funkcije, tj. =0, i ako prvi izvod mijenja znak pri prelasku sa jedne na drugu stranu stacionarne tačke , tada funkcija postiže lokalni maksimum ili lokalni minimum. U svrhu ispitivanja znaka prvog izvoda funkcije često se pomažemo tabelom prvog izvoda.

Nakon ispitivanja monotonosti i ekstrema funkcije, prelazimo na ispitivanje konkavnosti i konveksnosti funkcije, i provjeru postojanja prevojnih tačaka funkcije. Ove osobine funkcije ispitujemo primjenom drugog izvoda funkcije. Ako je na nekom intervalu drugi izvod pozitivan y''>0, tada je grafik funkcije na tom intervalu konkavan(udubljen), tj. oblika .Ako je pak, na nekom drugom intervalu, drugi proizvod funkcije negativan, tj. y''<0, tada je grafik funkcije na tom intervalu konveksan(ispupčen), tj. oblika . Ako postoji takav da je , i drugi izvod mijenja znak prelazeći sa lijeve na desnu stranu tačke c, tada kažemo da funkcija u tački x=c ima prevojnu tačku(tačku infleksije)

. To je tačka grafika funkcije u kojoj grafik funkcije mijenja oblik sa konkavnog na konveksni, ili obrnuto. I prilikom ispitivanja znaka drugog izvoda, kao i ranije , često kao pomoćno sredstvo koristimo tabelu znaka drugog izvoda.

Naposlijetku, na osnovu analize osobina funkcije, dobijenih u prethodnim tačkama, skiciramo grafik zadane funkcije.

26

Neki primjeri primjene izvoda

27

28

29

Literatura

1. Ramiz Vugdalić; Diferencijalni i integralni račun realne funkcije jedne realne promjenjive-teorija i zadaci; Tuzla 2009.

30