Upload
tupii
View
317
Download
22
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Kombinatorial, Permutasi, Kombinasi
Citation preview
Irsyad FatahillahIrsyad Fatahillah
Faras DhiaFaras Dhia
Latifa NabilahLatifa Nabilah
Nimas RayaNimas Raya
KombinatorialKombinatorial
• Studi tentang pengaturan objek-objek, yaitu pemasangan, pengelompokan, pengurutan, pemilihan, atau penempatan objek- objek dengan karakteristik tertentu.
• Pembahasan mengenai kombinatorika diawali dengan pengenalan dua kaidah pencacahan, yaitu kaidah penjumlahan dan kaidah perkalian.
PenjumlahanPenjumlahan
•Kaidah penjumlahan (Rule of Sum) menganut prinsip umum bahwa keseluruhan sama dengan jumlah dari bagian-bagiannya.
•Secara umum, dijelaskan sebagai berikut:
“Jika pekerjaan jenis pertama dapat dilakukan dengan m cara, pekerjaan jenis kedua dapat
dilakukan dengan n cara, dan kedua jenis pekerjaan itu tidak dapat dilakukan secara
simultan, maka banyaknya cara untuk menyelesaikan tugas-tugas tersebut adalah m +
n cara”
ContohContoh
Suatu perpustakaan memiliki koleksi 40 buku sosiologi dan 50 buku antropologi.
Dengan menggunakan kaidah penjumlahan dapat ditentukan banyaknya kemungkinan bagi siswa dalam memilih sebuah buku dari kedua jenis buku tersebut tanpa memperhatikan jenis buku.
40 + 50 = 90 cara40 + 50 = 90 cara
PerkalianPerkalian
•Kaidah perkalian (Rule of Product) dipahami sebagai kaidah pengisian tempat yang tersedia
•Secara umum dirumuskan sebagai berikut:
“Jika suatu prosedur dapat dipecah menjadi dua tahap, dan jika tahap pertama menghasilkan m
keluaran yang mungkin dan masing-masing keluaran dilanjutkan ke tahap kedua dengan n
keluaran yang mungkin, maka prosedur tersebut akan menghasilkan m x n keluaran
yang mungkin”
Sebuah restoran menyediakan 3 jenis makanan: nasi goreng, sate ayam dan soto babat, dan 2 jenis minuman: es teh dan es jeruk. Jika setiap orang bebas memesan satu makanan dan satu minuman, berapa banyak pasangan makanan dan minuman yang dapat dipesan?
Dalam kasus ini, orang harus memilih makanan dan minuman, maka untuk menentukan jumlah
kemungkinan dapat digunakan kaidah perkalian,
3 x 2 = 6 kemungkinan.3 x 2 = 6 kemungkinan.
ContohContoh
Perluasan Kaidah DasarPerluasan Kaidah Dasar
• Dapat mengandung lebih dari dua percobaan.
• Jika n buah percobaan masing-masing mempunyai p1, p2, p3,...pn, percobaan tidak bergantung pada percobaan sebelumnya:
(Rule of sum)– p1 x p2 x p3 ... x pn
(Rule of product) – p1 + p2 + p3 . . . + p4
Berapa banyak password dengan panjang 5 angka
yang dapat dibentuk dari angka-angka 1, 2, 3, 4,
dan 5 jika tidak boleh ada angka berulang? (contoh:
12345, 23415, 54231, dsb.) Perhatikan bahwa
22341, 1234, atau 532441 bukan contoh password
dimaksud.
Cara: Kita sediakan 5 tempat yang dapat ditempati
5 angka yang disediakan. Tempat ke- 1 2 3 4 5
Banyak cara
5 4 3 2 1
Inklusi - EksklusiInklusi - Eksklusi
Banyaknya anggota himpunan gabungan
antara himpunan A dan himpunan B
merupakan jumlah banyaknya anggota
dalam himpunan tersebut dikurangi
banyaknya anggota di dalam irisannya.
|AB |=|A|+|B|-|AB ||AB |=|A|+|B|-|AB |
Dalam sebuah kelas terdapat 25 mahasiswa yang menyukai matematika
diskrit, 13 mahasiswa menyukai aljabar linier dan 8 orang diantaranya
menyukai matematika diskrit dan aljabar linier. Berapa mahasiswa
terdapat dalam kelas tersebut ?
Jawab :
Misalkan A himpunan mahasiswa yang menyukai matematika diskrit dan
B himpunan mahasiswa yang menyukai aljabar linier. Himpunan
mahasiswa yang menyukai kedua mata kuliah tersebut dapat dinyatakan
sebagai himpunan A ∩ B. Banyaknya mahasiswa yang menyukai salah
satu dari kedua mata kuliah
tersebut atau keduanya dinyatakan dengan |A ∪ B|. Dengan demikian
|A ∪ B| = |A|+|B| - |A ∩ B| = 25 + 13 – 8 = 30. |A ∪ B| = |A|+|B| - |A ∩ B| = 25 + 13 – 8 = 30.
Jadi, terdapat 30 orang mahasiswa dalam kelas tersebut.
ContohContoh
PermutasiPermutasi
• Mengabungkan beberapa objek dari suatu grup dengan memperhatikan urutan.
• Permutasi-r dari n unsur yang berbeda x1, x2, ..., xn adalah pengurutan dari sub himpunan dengan r anggota dari himpunan {x1, x2, ..., xn}
• Banyaknya permutasi-r dari n unsur yang berbeda:
P(n,r) = n!/(n-r)! P(n,r) = n!/(n-r)!
Banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka yang
berbeda yang dapat disusun dari angka-angka 3, 5, dan
7?
Jawab:
Banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka berbeda
dan disusun dari angka-angka 3, 5, dan 7 adalah sama
dengan permutasi yang terdiri atas dua unsur yang
dipilih dari 3 unsur P (3, 2)
P (3, 2) = 3!/(3-2)!P (3, 2) = 3!/(3-2)!
= 3!/1!= 3!/1!
= 3 x 2 x 1!/1!= 3 x 2 x 1!/1!
= 2 x 3= 2 x 3
= 6= 6
KombinasiKombinasi
• Menggabungkan beberapa objek dari suatu grup tanpa memperhatikan urutan
• Kombinasi-r dari n unsur yang berbeda x1, x2, ..., xn adalah seleksi tak terurut r anggota dari himpunan {x1, x2, ..., xn}
• Banyaknya kombinasi-r dari n unsur dinotasikan C(n,r)