Slide 1

POSET ( Partially Ordered Set )Himpunan Terurut Parsial

Disampaikan Oleh :MalalinaTrilius Septaliana KRDEFINISISuatu relasi biner dinamakan sebagai suatu relasi pengurutan tak lengkap atau relasi pengurutan parsial / POSET (partial ordering relation) jika ia bersifat refleksif, antisimmetris, dan transitif.REFLEKSIFRelasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) R untuk setiap a A.Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a A sedemikian sehingga (a, a) R.CONTOH REFLEKSIFDiketahui A = {-5,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}Suatu relasi R didefinisikan sebagai berikut :

Periksa apakah R refleksif atau tidak.

PenyelesaianAmbil x = 0. Karena 0.0 = 0, maka Dengan demikian ada sedemikian hingga

Ini berarti bahwa R tidak refleksif.

CONTOH REFLEKSIFMisalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, makaRelasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) }Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) }Apakah relasi ini refleksif ?CONTOH REFLEKSIFPenyelesaian :Relasi bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan (4, 4).Relasi tidak bersifat refleksif karena (3, 3) R. CONTOH REFLEKSIFTiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N.R : lebih besar dari yS :x + y = 5T :3x + y = 10Penyelesaian :Tidak satupun dari ketiga relasi di atas yang refleksif karena, misalkan (2, 2) bukan anggota R, S, maupun T.SIMMETRIS DAN ANTISIMMETRISRelasi R pada himpunan A disebut SIMETRIS jika (a, b) R, maka (b, a) R untuk a, b A.Relasi R pada himpunan A TIDAK SIMETRIS jika (a, b) R sedemikian sehingga (b, a) R.Relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga (a, b) R dan (b, a) R hanya jika a = b untuk a, b A disebut ANTISIMMETRIS Relasi R pada himpunan A TIDAK ANTISIMMETRIS jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b) R dan (b, a) R.

CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRISMisalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, makaRelasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) }Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) }Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}Relasi R = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2)}Relasi R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3) }Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (4, 4)}CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRISPenyelesaian :Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) } bersifat simetris karena jika (a, b) R maka (b, a) juga R. Di sini (1, 2) dan (2, 1) R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2) R. Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak simetris karena (2, 3) R, tetapi (3, 2) R. CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRISRelasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } antisimetris karena 1 = 1 dan (1, 1) R, 2 = 2 dan (2, 2) R, dan 3 = 3 dan (3, 3) R. Perhatikan bahwa R juga simetris. Relasi R = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2) } tidak antisimetris, karena 2 4 tetapi (2, 4) dan (4, 2) anggota R. e.Relasi R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3) } tidak simetris dan tidak antisimetris,f. Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (4, 4)} tidak simetris dan tidak antisimetris. R tidak simetris karena (4, 2) R tetapi (2, 4) R. R tidak antisimetris karena (2, 3) R dan (3, 2) R tetap 2 3.CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRISTiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N.R : x lebih besar dari y, S : x + y = 6,T : 3x + y = 10Apakah simmetris atau antisimmetrisCONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRISPenyelesaian :- R bukan relasi simetris karena, misalkan 5 lebih besar dari 3 tetapi 3 tidak lebih besar dari 5. - S relasi simetris karena (4, 2) dan (2, 4) adalah anggota S. - T tidak simetris, karena misalkan (3, 1) adalah anggota T tetapi (1, 3) bukan anggota T. - S bukan relasi antisimetris karena, misalkan (4, 2) S dan (4, 2) S tetapi 4 2. CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRISTRANSITIFRelasi R pada himpunan A disebut TRANSITIF jika (a, b) R dan (b, c) R, maka (a, c) R, untuk a, b, c A.CONTOH TRANSITIFDiketahui A = {1, 0, 1} Relasi R didefinisikan sebagai berikutR = {(x,y); x,y A, x y}Periksa apakah R transitif atau tidak.PenyelesaianA x A = {(1,1), (1,0), (1,1), (0, 1), (0, 0), (0,1), (1, 1), (1,0), (1,1)}Karena R = {(x,y); x,y A, x y}dan R merupakan himpunan bagian dari A x A, maka R dapat dinyatakan sebagai berikutR = {(1,1), (1,0), (1,1), (0, 0), (0,1), (1, 1)}Dari sini jelas terlihat bahwa untuk setiap x, y , z A dengan xRy dan yRz, maka xRz. Dengan demikian R adalah relasi yang transitif.CONTOH TRANSITIFMisalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, makaR = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) }R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) Apakah R bersifat transitif ?CONTOH TRANSITIFPenyelesaian :a. bersifat transitif. Lihat tabel berikut:

CONTOH TRANSITIFR = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak transitif karena (2, 4) dan (4, 2) R, tetapi (2, 2) R, begitu juga (4, 2) dan (2, 3) R, tetapi (4, 3) R.c.Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas transitifCONTOH TRANSITIFDua buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N.R :x lebih besar dari y, S : x + y = 6,CONTOH TRANSITIFPenyelesaian :- R adalah relasi transitif karena jika x > y dan y > z maka x > z. - S tidak transitif, karena misalkan (4, 2) dan (2, 4) adalah anggota S tetapi (4, 4) S. DEFINISIMisalkan (P, ) sebuah poset. Jika untuk setiap x, y P, berlaku x y atau y x, maka (P, ) disebut rantaiCONTOH SOALMisalkan Z adalah himpunan semua bilangan bulat positif. Relasi (kurang dari atau sama dengan) adalah sebuah relasi pada Z. periksa apakah himpunan Z dengan relasi atau dinotasikan (Z, ) merupakan poset atau bukan?Karena untuk setiap x Z berlaku x x, maka sifat refleksif terpenuhi.Karena untuk setiap x, y Z dengan x y dan y x, berarti bahwa x = y, maka sifat antisimetris terpenuhi.Karena untuk setiap a, b, c Z, dengan a b, b c, berlaku a c, maka sifat transitif terpenuhi.Dengan demikian, karena ketiga sifat terpenuhi, maka (Z, ) adalah sebuah poset.PENYELESAIANA = {a,b,c,d}dan relasi R didefinisikan pada A sebagai R = {(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (a,b), (a,c), (a,d), (b,d), (b,c) }. Apakah R sebuah poset?Misalakan R adalah himpunan semua bilangan real. Periksalah apakah (R, ) sebuah poset ?LATIHAN