Upload
isnan-tow
View
242
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
1/44
FAKTORISASI PADA GRAF
REGULAR
Kelompok
91. Amalia Maharani M0112005
2. Isnanto M01120!
". M#ta Ila$ani M0112055
. %ir&ana O'ta'risna P.(. M011205)
5. Soli'hah %o&ita Intan M01120*"
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
2/44
Graf Graf G adalah himpunan tak kosong berhingga dariobyek-obyek yang disebut vertex bersama denganhimpunan (mungkin kosong) dari pasangan vertexberbeda yang tak berurut dari graf G yang disebutedge.
Faktor Faktor dari graf Gadalah spanning subgraph dari G,jika terdapat i faktor dari suatu graf G maka Gadalah jumlahan (direct sum ) dari faktor-faktor Gidimana Gadalah uniondari edgeyang disjointdanGidisebut faktorisasi dari G
Untuk menentukan faktor-faktor dari suatu graf
dapat dilakukan faktorisasi.
Faktorisas
i
Gra+ r#,-l#r
Latar (#la'an,
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
3/44
R-m-san Masalah
Bagaimana menentukanfaktorisasi dari graf regular.
Tujuan
Dapat menentukan faktorisasi dari graf
regular.
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
4/44
D#$nisi
Graf G adalah himpunan tak kosong berhinggadari obyek-obyek yang disebut vertex bersamadengan himpunan (mungkin kosong) dari
pasangan vertex berbeda yang tak berurut darigraf G yang disebut edge. Himpunan vertex dari Gdinotasikan dengan (G) dan himpunan edgedinotasikan dengan !(G)
Graf H adalah subgraf dari graf G jika (H) (G)dan !(H) !(G)
"
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
5/44
2
3
4
5
6
7
2
3
5
G H
Graf H adalah subgraf dari graf
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
6/44
H disebut spanning subgraf dari G apabila subgrafH dari graf G memuat vertex yang sama pada G
#
2
3
4
5
6
7
G
2
3
4
5
6
7
H
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
7/44
Graf dikatakan lengkap (complete) jika setiap duavertex-nya saling adjacent, dinotasikan dengan
"p. #engan p merupakan order dari graf tersebut
$
u - v $alk adalah barisan bergantian antara vertex
dan edge dari G, yang dimulai dari u dan berakhirdi v
%
K
K 2 K 3 K 4
u - v trail adalah u - v $alk yang tidak mengulang
edge
&
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
8/44
%ycle adalah circuit yang tidak mengulangsembarang vertex
'
%ircuit merupakan u - v trail dimana u & v danmemuat paling sedikit tiga edge
2
3
4
5
6
7
walkdari v1-v4:
{v1v5, v5v3, v3v2, v2v6, v6v4}
traildari v2-v7:{v2v1, v1v5, v5v3, v3v2, v2v6, v6v7}
circuitdari v1-v1:
{v1v2, v2v3, v3v5, v5v1}
cycledari v2-v2:
{v2v6, v6v7, v7v4, v4v2}.
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
9/44
Hamiltonian cycle adalah cycle dari graf G yangmemuat semua vertex pada G
9
!ulerian circuit dari graf G adalah circuit yangmemuat semua edge pada G. 'uatu graf yangmemiliki !ulerian circuit disebut !ulerian graf
a
e
c
d
f
b
*amiltonian +y+le dari graf
G adalah a, af, f, fe, e, ed, d,
dc, c, cb, b, ba, a.
,ulerian +ir+uit dari graf *
adalah a af f fe e ed d df
f fb b bd d d+ + +b b ba a.
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
10/44
ntuk r *, graf G & (, !) disebut r-partit jika dapat dipartisi ke dalam r-himpunan sehinggasetiap edge berakhir di himpunan yang berbeda,vertex dalam himpunan partisi yang sama tidak
boleh saling adjacent. ntuk r & * (*-partit)disebut bipartit
"
#egree dari vertex v pada graf G merupakanjumlah edge graf G yang incident dengan vertex v
dinotasikan sebagai deg(v)
U
U2
2
3
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
11/44
Graf komplit bipartit dengan partisi himpunan +
dan *, dimana + & m dan * & n, dan
dinotasikan dengan "(m, n)
#
U
U2
U3
2
3
Graf Kompit !ipartit K"3, 3#
nion G & G+G*mempunyai (G) & (G+) (G*) dan !(G)
& !(G+) !(G*). ika graf G terdiri dari n dengan n* disjointsalinan dari sebuah graf H, maka dapat ditulis G& nH.
$
U
2
W
W2
X
X2
X3
Gam$ar di samping merupakan
union dari K1 2K2 K"1, 2#
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
12/44
atching dalam graf G adalah suatu subgraf Gdengan +-regular, dimana subgraf tersebutmerupakan kumpulan dari pasangan edge yangtidak adjecent
&
Graf G adalah regular berdegree r jika untuksetiap vertex v pada G, deg(v) & r, sehingga graf
G disebut juga r-regular
%
ika adalah matching pada graf G dengan setiapvertex di G incident dengan suatu edge pada ,maka disebut perfect matching pada G
ika adalah himpunan tak kosong vertex-vertexdari graf G dan misal persekitaran /()menunjukkan semua vertex dari G yang adjacentdengan sekurang-kurangnya satu anggota .aka himpunan disebut non-de0cient jika /(') ' untuk setiap subhimpunan tak kosong ' dari
'
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
13/44
1oligon dide0nisikan sebagai objek geometri yangmemuat jumlah vertex dan jumlah edge yangsama, yaitu urutan himpunan vertex secara cycle
pada suatu bidang dengan tidak ada tiga vertexcollinear berturut-turut bersama dengan edge
yang menghubungkan pasangan vertex. 1oligondengan n-vertex dan n-edge disebut n-gon
9
a
b
d
e
g
h
f
Graf %&gon
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
14/44
'uatu factor dari graf G adalah subgraf merentang(spanning subgraph) dari G (dimungkinkan suatufactor tidak memuat edge
"
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
Graf G Factordari graf G
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
15/44
ika G+, G*, . . ., Gn (n *) adalah factor daripasangan edge yang disjoint dari suatu graf G,sehingga (Gi) & !(G), maka dapat di tulis G &G+G*...Gn dan dikatakan bah$a G adalah
edge sum dari factor G+,G*, . . .,Gn. !dge sumdisebut factori2ation dari G dalam factorG+,G*,. . .,Gn
"
'uatu r-regular factor dari graf G dikatakansebagai r-factor dari G. aka, graf G mempunyai+-factor jika dan hanya jika mengandung perfect
matching
""
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
16/44
Graf G dikatakan r-factorable jika terdapat suatufaktorisasi dari graf G menjadi r-factor
"#
2
3
4
5
6
2 3
4
5
6
2 3
4
5
6
2
3
4
5
6
1&'a(tor dari Graf G
Graf G )
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
17/44
'etiap regular bipartite graph dengan degreeadalah +- factorable.
Bukti.*kan di$uktikan dengan menggunakan induksi matematika pada . +aka,
ter$ukti $enar untuk .*sumsikan $enar untuk setiap regular bipartite graph dengan degree , .
*kan di$uktikan $enar untuk regular bipartite graphdengan degree .+isakan
adaa regular bipartite graph dimana dan adaa impunan partisi dari .
*kan ditun-ukkan adaa non-deficient. +isa adaa subset tak kosong
dari . uma edge dari incident dengan vertex dari adaadan edge-edgeterse$ut -uga incidentdengan vertexKarena adaa r-regular, maka -uma dari
edge-edge /ang $erga$ung dengan dan tidak dapat mee$ii .
T#or#ma 1
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
18/44
0eingga men/e$a$kan . +aka adaa non-deficient,
seingga dapat dipasangkan dengan subset . Karena adaa
regular dengan degree positif, , seingga mempun/ai 1-factor
/ang dinotasikan dengan . engapusan edge dari asi pada graf
$ipartit adaa regular dengan degree . Dengan ipotesis induktif,
adaa 1&factorable /ang mengaki$atkan -uga 1&factorable.
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
19/44
onto
Di$erikan graf $ipartit regular dengan degree . *paka graf
terse$ut 1- factorable. !uktikan dengan eorema 2.2.1
Penyelesaian:*sumsikan $aa graf $ipartit regular dengan degree ,
dimana adaa 1&factorable. Di$erikan , dengan partisi dan .
Gam$ar Graf dengan partisi dan
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
20/44
*kan ditun-ukan $aa adaa non-deficient. +isa adaa
subset tak kosong dari dapat diiat pada Gam$ar 3.2. 0eingga
-uma edge dari /ang incident dengan vertex dari /aitu dan
edge terse$ut -uga incidentdengan vertexdari .
Gam$ar Graf dengan partisi dan
2 3
4
5
6
0
"s#
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
21/44
Karena tea diketaui adaa r®ularmaka . 8e karena
itu, non-deficient, seingga dapat matched dengansubset. Karena
adaa regular bipartite graphdengan degreepositif dan ,makamempun/ai 1-factor /ang dinotasikan dengan
Gam$ar 'aktor dari Graf
2
3
4
5
6
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
22/44
engapusan edge dari mengasikan graf $ipartit regular
dengan degree dapat diiat pada Gam$ar 3.4. Dengan ipotesis
induktif adaa 1&factorable /ang mengaki$atkan dengan degree3 -uga 1&factorable.
Gam$ar 3.4 Graf
2
3
4 5 6
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
23/44
(-'ti. /isalkan diberikan graf "*n untuk n&+
terbukti bah0a "*nadalah -fa+torable. 1iasumsikan
bah0a n * misal (G)&3 v4, v+,. . ., v*n-+5 dan
susun vertex v+, v*,. . ., v*n-+ se+ara melingkar
letakkan v4di pusatnya. 2elanjutnya hubungkan dua
vertex dengan garis lurus sehingga menghasilkangraf "*n. Untuk i&+,*,...,*n-+mende3nisikan +-factor
6i yang memuat edge v4v+ dan edge yang tegak
lurus dengan edge44i kemudian K"n5FF"...
F"n-. 6adi terbukti K"nadalah +-factorable.
2etiap graf lengkap K"nadalah +-factorable
T#or#ma 2
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
24/44
7entukan faktorisasi dari graf K'berdasarkan 7eorema "
2
3
45
6
7
0
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
25/44
2
3
45
6
7
0
F58 v4v+ , v*v7 , v8v9 ,
v:v;
2
3
45
6
7
0
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
26/44
2
3
45
6
7
0
F"
58 v4
v*
, v+
v8
, v:
v7
,
v;v9
2
3
45
6
7
0
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
27/44
2
3
45
6
7
0
F#58 v4v8 , v+v; , v*v: , v9v7
2
3
4
5
6
7
0
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
28/44
2
3
45
6
7
0
F$
58 v4
v:
, v+
v7
, v*
v9
, v8
v;
2
3
45
6
7
0
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
29/44
2
3
45
6
7
0
F%58 v4v; , v+v* , v8v7 , v:v9
2
3
45
6
7
0
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
30/44
2
3
45
6
7
0
F&58 v4
v9
, v+
v:
, v*
v8
, v;
v7
2
3
45
6
7
0
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
31/44
2
3
45
6
7
0
F58
v4v7, v+v9, v*v; , v8v:
2
3
45
6
7
0
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
32/44
2
3
45
6
7
0
K'5FF"F#F$F%F&F
6adi terbukti graf lengkap K'adalah +-
factorable
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
33/44
/isal G adalah "k regular graf () dan connected.1iketahui sebuah teorema yang menyebutkan bah0a
sebuah graf connecteddisebut !ulerian jika dan hanyajika setiap 4erte:nya memiliki degreegenap. /aka grafG dapat dibentuk suatu !ulerian circuit.
/isal dengan . Ubah setiap vertex 4 denganpasangan ( dan setiap edge dengan edge . *asil graf
bipartit G; yang diperoleh adalah k-regular sehinggadengan 7eorema ".. menunjukkan bah0a graftersebut memiliki -factor. Gabungkan setiap pasangan4erte: ( menjadi single vertex hal ini mengubah -factordari G< menjadi "-factordari G.
2etiap graf regulerdengan degreegenap memiliki "-factor
T#or#ma "
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
34/44
1iketahui sebuah $ regular graph. 7unjukkanbah0a graf tersebut memiliki "-factor=
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
35/44
Graf Gadalah graf connecteddengan degreesetiap vertex-nya adalah genap. /aka dapat dibentuk !ulerian %ircuit >.
.
Kemudian ubah semua 4erte:
pada !ulerian %ircuit menjadipasangan 4erte: baru yaitu .
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
36/44
7erlihat bah0a Graf G< tersebut adalah k regulargraph. /aka menurut 7eorema graf G< memiliki
-factor. *al ini dapat dilihat pada gambar.
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
37/44
1ari gambar sebelumnya menunjukkan bah0a graf tersebutmerupakan -factor. ?pabila digabungkan untuk setiap
pasangan 4erte: ( menjadi single vertex v maka akanmembentuk graf.
6adi terbukti bah0a $ regular graphmemiliki "-factor.
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
38/44
ntuk setiap bilangan bulat positif n, graf dapatdifaktorkan menjadi n-Hamiltonian cycle
T#or#ma
Bukti.9ntuk , $ukti tampak dengan -eas. *sumsikan , misa .9rutkan
impunan vertex pada suatu regular &gon au etakkan vertex pada
posisi /ang tepat. Kemudian u$ungkan setiap dua vertex denganse$ua garis urus:edge seingga mengasikan graf . Didefinisikan
impunan edge /ang memuat edge , semua edgeparae ke dan semua
edgeparae . 9ntuk , impunan edgedari faktor /ang memuat edge ,
semua edge parae ke dan semua edge parae ke , di mana indeks
vertexmoduo . adi, graf di mana adaa ;amitonian cycle
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
39/44
ontoh
7entukan faktorisasi dari graf menggunakan7eorema ".".$=
P#n/#l#saian
.
Urutkan himpunan vertex pada suatu regular-gon.
2
3
4
5
6
7
0
8
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
40/44
Kemudian letakkan vertex pada posisi yang tepat dan
hubungkan setiap dua vertexdengan sebuah garis lurus@edge
sehingga menghasilkan graf .
Graf lengkap
2
3
4
5
6
7
0
8
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
41/44
Graf adalah graf dengan sehingga diperoleh .
Berdasarkan 7eorema $ terdapat $ *amiltonian
cycle
dari graf yaitu dan dengan
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
42/44
2
3
4
56
7
0
8
2
3
4
5
6
7
0
8
2
3
4
5
6
7
0
8
2
3
4
56
7
0
8
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
43/44
2
3
4
5
6
7
0
8
7/26/2019 presentasi matematika diskrit
44/44
Kesimpulan
2etiap regularbipartit graph dengandegree adalah+- factor.
Graf lengkap K"n dengan n bilangan bulat positif
adalah +-factorable
2etiap graf regulerdengan degreegenap memiliki "-factorUntuk setiap bilangan bulat positif n, graf lengkap
dapat difaktorkan menjadi n-Hamiltonian cycle