MATEMATIKAMATEMATIKAe-tananyage-tananyag9. osztály9. osztály

Készítette:Készítette: Gömöri MártaGömöri Márta

Tulajdonos:Tulajdonos: Varga István Közgazdasági és Kereskedelmi Varga István Közgazdasági és Kereskedelmi Szakközépiskola és Szakiskola Szakközépiskola és Szakiskola

Játékos kombinatorikaJátékos kombinatorika1. Három ló, Tornádó, Szélvész és Villám versenyeznek. Írd 1. Három ló, Tornádó, Szélvész és Villám versenyeznek. Írd

fel az összes lehetséges eredményt! (holtverseny is fel az összes lehetséges eredményt! (holtverseny is lehet)lehet)

TT VV SS

TT SS VV

SS TT VV

SS VV TT

VV TT SS

VV SS TT

Tornádó

Szélvész

Villám

1.1. 2.2. 3.3.

Játékos kombinatorikaJátékos kombinatorika

2. 0-tól 100-ig hány olyan szám található, amely 2. 0-tól 100-ig hány olyan szám található, amely számjegyeinek összege 10?számjegyeinek összege 10?

Megoldás: 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91 – 9 darab

3. Két különböző színű kockával3. Két különböző színű kockával

- hány különböző eset lehetséges? - hány különböző eset lehetséges? (36)- hány esetben lesz a szorzat páros? - hány esetben lesz a szorzat páros? (18)

- hány esetben lesz a szorzat: hány esetben lesz a szorzat: 1 (2), 2 (2), 4 (4), 7 (0), 11 (0), 12 (4), 13 (0)? – vajon miért nem lehet a szorzat 7, 11 és 13?

Játékos kombinatorikaJátékos kombinatorika44. . Négy barátnő a cukrászdában négyféle süteményt rendel: Anna csokitortát, Bori Négy barátnő a cukrászdában négyféle süteményt rendel: Anna csokitortát, Bori

gesztenyés kockát, Cili japán tortát, Dóri pedig gyümölcstortát. A pincér azonban gesztenyés kockát, Cili japán tortát, Dóri pedig gyümölcstortát. A pincér azonban elfelejtette, hogy ki mit rendelt, és nem kérdez semmit, csak kiosztja a süteményeket.elfelejtette, hogy ki mit rendelt, és nem kérdez semmit, csak kiosztja a süteményeket.

- Hányféleképpen teheti ezt meg? - Hányféleképpen teheti ezt meg? 4x3x2x1=24 – féleképpen oszthatja ki a süteményeket.

- Hányféleképpen teheti ezt meg, ha egyedül Dóri nem azt kapja, amit rendelt? - Hányféleképpen teheti ezt meg, ha egyedül Dóri nem azt kapja, amit rendelt? - lehetetlen

- Hányféleképpen lehetséges, hogy csak Anna kapja, amit rendelt? - Hányféleképpen lehetséges, hogy csak Anna kapja, amit rendelt?

- Hányféleképpen lehetséges, hogy csak egyikük kapja, amit rendelt?- Hányféleképpen lehetséges, hogy csak egyikük kapja, amit rendelt?

AA BB CC DD

csokitortacsokitorta japán tortajapán torta gyümölcstortagyümölcstorta gesztenyés kockagesztenyés kocka

csokitortacsokitorta gyümölcstortagyümölcstorta gesztenyés kockagesztenyés kocka japán tortajapán torta

HalmazelméletHalmazelmélet

A halmazelméleti alapfogalmakat egy 19. sz.-i A halmazelméleti alapfogalmakat egy 19. sz.-i matematikus, Georg Cantor dolgozta ki.matematikus, Georg Cantor dolgozta ki.

Alapfogalmak: Alapfogalmak: halmaz, jele: A,B,C…stb.halmaz, jele: A,B,C…stb. halmaz eleme, jelölése: x halmaz eleme, jelölése: x ЄЄ A. A. nem eleme a halmaznak: x A.nem eleme a halmaznak: x A.

Fontos: halmazban egy elemet csak Fontos: halmazban egy elemet csak egyszer sorolunk fel!egyszer sorolunk fel!

Є

Véges halmaz:Véges halmaz: ha elemeinek száma ha elemeinek száma egy természetes számmal megadható.egy természetes számmal megadható.

Végtelen halmaz:Végtelen halmaz: ha elemeinek ha elemeinek száma nem adható meg egy száma nem adható meg egy természetes számmal.természetes számmal.

Üres halmaz:Üres halmaz: a 0 elemű halmaz. a 0 elemű halmaz. Jele:Jele:ØØ..

Halmazok megadási módjaiHalmazok megadási módjai

A halmaz elemeit egyértelműen A halmaz elemeit egyértelműen meghatározó utasítással vagy meghatározó utasítással vagy tulajdonságokkaltulajdonságokkal

Pl.: C=Pl.: C={{xx||x≤4 és x osztható 2-velx≤4 és x osztható 2-vel}} A halmaz elemeinek A halmaz elemeinek

felsorolásával.felsorolásával.

Pl.: G=Pl.: G={{2;7;82;7;8}}

Szemléltetés: Venn-diagrammal.Szemléltetés: Venn-diagrammal.

N+

NZ

10

-33

-12335

•Pozitív egész számok: N+

•Természetes számok: N

•Egész számok: Z

•Racionális számok: Q

•Irracionális számok: I vagy Q*

•Valós számok: R

NZQ

R

Részhalmaz, valódi halmazRészhalmaz, valódi halmaz

Definíció: Definíció: Azt mondjuk, hogy két halmaz egyenlő, ha elemeik rendre Azt mondjuk, hogy két halmaz egyenlő, ha elemeik rendre megegyeznek.megegyeznek.

Pl.: A=Pl.: A={{2,4,6,8,102,4,6,8,10}} = B= = B={{12-nél kisebb pozitív páros számok12-nél kisebb pozitív páros számok}}

Definíció:Definíció: Azt mondjuk, hogy A halmaz részhalmaza a B halmaznak, ha A Azt mondjuk, hogy A halmaz részhalmaza a B halmaznak, ha A minden eleme a B halmaznak is eleme. Jele: A Bminden eleme a B halmaznak is eleme. Jele: A B

Definíció:Definíció: A halmaz valódi részhalmaza a B halmaznak, ha A részhalmaza A halmaz valódi részhalmaza a B halmaznak, ha A részhalmaza B-nek és B-nek van olyan eleme, amely A-nak nem eleme. Jele: A BB-nek és B-nek van olyan eleme, amely A-nak nem eleme. Jele: A B

Pl.: A=Pl.: A={{páros számokpáros számok} } B=B={{egész számokegész számok}}

Minden halmaz részhalmaza önmagának.Minden halmaz részhalmaza önmagának.Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza.Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza.

Részhalmazok képzéseRészhalmazok képzése

Feladat:Feladat: soroljuk fel az soroljuk fel az {{a,b,ca,b,c}} halmaz halmaz összes részhalmazát!összes részhalmazát!

Minden 3 elemű halmaznak pontosan 8 részhalmaza van.Minden 3 elemű halmaznak pontosan 8 részhalmaza van.Üres halmaznak pontosan egy részhalmaza van.Üres halmaznak pontosan egy részhalmaza van.

0 0 eleműelemű 1 elemű1 elemű 2 elemű2 elemű 3 elemű3 elemű

ØØ {{aa}} {{a,ba,b}} {{a,b,ca,b,c}}

{{bb}} {{a,ca,c}}

{{cc}} {{b,cb,c}}

PonthalmazokPonthalmazok

Melyek azok a pontok a síkon, amelyek az adott Melyek azok a pontok a síkon, amelyek az adott A ponttólA ponttól

a)a) 2 cm távolságra vannak?2 cm távolságra vannak?

b)b) legfeljebb 2 cm távolságra vannak?legfeljebb 2 cm távolságra vannak?

c)c) legalább 1 cm, de legfeljebb 2 cm távolságra legalább 1 cm, de legfeljebb 2 cm távolságra vannak?vannak?

A AA

FeladatokFeladatok

Döntsük el, a következő állítások Döntsük el, a következő állítások közül melyek igazak?közül melyek igazak?

a) a) {Ø}{Ø} véges halmaz véges halmaz

b) b) [[m;r;p;tm;r;p;t]=[]=[p;r;t;mp;r;t;m]]

c) c) {{xx||xxЄЄZ és x+1≥xZ és x+1≥x}} véges halmaz véges halmaz

d) d) {Ø}{Ø} üres halmaz üres halmaz

e) N e) N QQ

f) f) I I Z Z

Definíció:Definíció: Halmazok vizsgálatakor meg kell adni egy olyan Halmazok vizsgálatakor meg kell adni egy olyan halmazt, amelynek a vizsgált halmazok részhalmazai. Ezt halmazt, amelynek a vizsgált halmazok részhalmazai. Ezt alaphalmaznak alaphalmaznak vagyvagy univerzumnak nevezzük. univerzumnak nevezzük.

Definíció:Definíció: Egy A halmaz Egy A halmaz komplementerhalmazánakkomplementerhalmazának nevezzük nevezzük az alaphalmaz azon elemeinek halmazát, amelyek az az alaphalmaz azon elemeinek halmazát, amelyek az A A halmaznak nem elemei. Jele: .halmaznak nem elemei. Jele: .

A

HalmazműveletekHalmazműveletek

Definíció:Definíció: Halmazok vizsgálatakor meg kell adni egy olyan Halmazok vizsgálatakor meg kell adni egy olyan halmazt, amelynek a vizsgált halmazok részhalmazai. Ezt halmazt, amelynek a vizsgált halmazok részhalmazai. Ezt alaphalmaznak alaphalmaznak vagyvagy univerzumnak nevezzük. univerzumnak nevezzük.

Definíció:Definíció: Egy A halmaz Egy A halmaz komplementerhalmazánakkomplementerhalmazának nevezzük nevezzük az alaphalmaz azon elemeinek halmazát, amelyek az az alaphalmaz azon elemeinek halmazát, amelyek az A A halmaznak nem elemei. Jele: .halmaznak nem elemei. Jele: .A

AA

Definíció:Definíció: Halmazok vizsgálatakor meg kell adni egy olyan Halmazok vizsgálatakor meg kell adni egy olyan halmazt, amelynek a vizsgált halmazok részhalmazai. Ezt halmazt, amelynek a vizsgált halmazok részhalmazai. Ezt alaphalmaznak alaphalmaznak vagyvagy univerzumnak nevezzük. univerzumnak nevezzük.

Definíció:Definíció: Egy A halmaz Egy A halmaz komplementerhalmazánakkomplementerhalmazának nevezzük nevezzük az alaphalmaz azon elemeinek halmazát, amelyek az az alaphalmaz azon elemeinek halmazát, amelyek az A A halmaznak nem elemei. Jele: .halmaznak nem elemei. Jele: .

HalmazműveletekHalmazműveletek Definíció:Definíció: Halmazok vizsgálatakor meg kell adni egy olyan halmazt, Halmazok vizsgálatakor meg kell adni egy olyan halmazt, amelynek a vizsgált halmazok részhalmazai. Ezt amelynek a vizsgált halmazok részhalmazai. Ezt alaphalmaznak alaphalmaznak vagyvagy univerzumnak nevezzük. Jele: H.univerzumnak nevezzük. Jele: H.

Definíció:Definíció: Egy A halmaz Egy A halmaz komplementerhalmazánakkomplementerhalmazának nevezzük az nevezzük az alaphalmaz azon elemeinek halmazát, amelyek az A halmaznak nem alaphalmaz azon elemeinek halmazát, amelyek az A halmaznak nem elemei. Jele: .elemei. Jele: .

AAA

HH

A

Definíció:Definíció: Két halmaz Két halmaz uniójauniója vagy vagy egyesítéseegyesítése mindazon elemek halmaza, mindazon elemek halmaza, amelyek legalább az egyik halmaznak elemei. Jele: amelyek legalább az egyik halmaznak elemei. Jele: ..

Definíció:Definíció: Két halmaz Két halmaz metszetemetszete mindazon elemek halmaza, mindazon elemek halmaza, amelyek mindkét halmaznak elemei. Jele: .amelyek mindkét halmaznak elemei. Jele: .

Definíció:Definíció: Az A és B halmaz Az A és B halmaz különbségekülönbsége az A halmaz mindazon az A halmaz mindazon elemeinek halmaza, amelyek a B halmaznak nem elemei.elemeinek halmaza, amelyek a B halmaznak nem elemei.

AA BB

BA

BA

BA \

PéldaPélda Az a Venn-diagram, melyben egy halmaz van, két Az a Venn-diagram, melyben egy halmaz van, két

részre osztja az alaphalmazt. részre osztja az alaphalmazt. Két egymást metsző halmaz négy részre osztja az Két egymást metsző halmaz négy részre osztja az

alaphalmazt. alaphalmazt. Hány részre osztja az alaphalmazt három halmaz, Hány részre osztja az alaphalmazt három halmaz,

ha Venn-diagramon ábrázoljuk? Rajzoljuk le és ha Venn-diagramon ábrázoljuk? Rajzoljuk le és minden részt jellemezzünk halmazműveletekkel!minden részt jellemezzünk halmazműveletekkel!

2.

1.

3.

5.

4.

6. 7.

8.

A

B

C

Pl.: 6.= A ∩ B ∩ C

De Morgan azonosságokDe Morgan azonosságok

BABA

BAAUB

Két halmaz metszetének komplementere egyenlő a két Két halmaz metszetének komplementere egyenlő a két halmaz komplementerének uniójávalhalmaz komplementerének uniójával

Két halmaz uniójának komplementere egyenlő a két Két halmaz uniójának komplementere egyenlő a két halmaz komplementerének metszetével.halmaz komplementerének metszetével.

Gyakorló feladatokGyakorló feladatok

1. Hány eleműek a következő halmazok?A={40-nél kisebb prímszámok}B={2n lehetséges végződései, ahol n N}C={X2 - 2X=0 egyenlet megoldásai}D={X2 - 2X=0 egyenlet pozitív megoldásai}F={14-re végződő, 4-gyel osztható egész számok}

2. Határozzuk meg az halmazokat! S={10-30, a 3-mal osztható számok};T={10-30, az 5-tel osztható számok}.

3. Az alábbi halmazok közül melyek egyenlőek?A={páros prímszámok és ellentettjeik}B={páros prímszámok}C={X3 – 9X=0 egyenlet gyökei}F={legkisebb pozitív páros szám}G={X2 – 2X + 1=0 egyenlet gyökeinek összege}

TSTSTSTS ;;;

Egy – a számtalan paradoxon közülEgy – a számtalan paradoxon közül

Egy napon Athén piacterén, néhány ezer évvel ezelőtt, Egy napon Athén piacterén, néhány ezer évvel ezelőtt, a krétai a krétai EpimenidészEpimenidész, a közismert Zeusz-pap és , a közismert Zeusz-pap és varázsló, elkiáltotta magát - talán vitája volt valakivel varázsló, elkiáltotta magát - talán vitája volt valakivel éppen - : „A krétaiak mind örök hazugok és naplopók!” éppen - : „A krétaiak mind örök hazugok és naplopók!” Értsd: minden krétainak minden mondata hazugság. Értsd: minden krétainak minden mondata hazugság. Lássuk be, hogy ő maga is hazug (ti. hogy nem Lássuk be, hogy ő maga is hazug (ti. hogy nem mondhatott igazat, mert szavaiból éppenséggel mondhatott igazat, mert szavaiból éppenséggel kikövetkeztethető egy olyan krétai létezése, aki nem kikövetkeztethető egy olyan krétai létezése, aki nem mindig hazudik)!mindig hazudik)!

Igazat semmiképp nem mondhatott, hiszen ha Igazat semmiképp nem mondhatott, hiszen ha Epimenidésznek igaza lenne, és minden krétai csak Epimenidésznek igaza lenne, és minden krétai csak örökké hazudna, akkor - lévén maga is krétai - a örökké hazudna, akkor - lévén maga is krétai - a fenti mondata is hazugság lenne. Tehát hazudott. Ez fenti mondata is hazugság lenne. Tehát hazudott. Ez azt jelenti, hogy nem mondott igazat, azaz nem azt jelenti, hogy nem mondott igazat, azaz nem minden krétaira igaz, hogy minden mondata minden krétaira igaz, hogy minden mondata hazugság. Ezért kell lennie egy krétainak, akinek hazugság. Ezért kell lennie egy krétainak, akinek legalább egy mondata igaz.legalább egy mondata igaz.

MegjegyzésMegjegyzés: Ez az ún. : Ez az ún. Epimenidész-paradoxonEpimenidész-paradoxon..