Embed Size (px)
Citation preview
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és
Kollégium – Humán tagozat
Matematika 11. osztály
I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus
Készítette: Balázs Ádám
Budapest, 2018
2. Tartalomjegyzék
Tartalomjegyzék
I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1. Korábban tanultak ismétlése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Egész kitevőjű hatványok, a hatványozás azonosságai . . . . . . . . . . . . 5
3. Negatív kitevőjű hatványok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4. Az n-edik gyökvonás és azonosságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5. Feladatmegoldás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
6. A törtkitevőjű hatvány értelmezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
7. Irracionális kitevőjű hatványok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
8. Exponenciális függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
9. Exponenciális függvény ábrázolása, elemzése . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
10. Exponenciális egyenletek megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
11. Exponenciális egyenletek főbb típusai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
12. Exponenciális egyenletek gyakorlása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
13. Exponenciális egyenletrendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
14. Exponenciális egyenlőtlenségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
15. Exponenciális egyenlőtlenségek: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Tartalomjegyzék 3.
16. A logaritmus fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17. A logaritmus azonosságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
18. A logaritmus függvény ábrázolása, elemzése . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
19. Az inverz függvény fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
20. Áttérés más alapú logaritmusra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
21. Logaritmust tartalmazó kifejezések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
22. Logaritmusos egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
23. Logaritmusos egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
24. Logaritmusos egyenlőtlenségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
25. Logaritmusos egyenlőtlenségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
26. Gyakorlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
27. Gyakorlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
28. Gyakorlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
29. Gyakorlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
30. Témazáró dolgozat megírása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
31. Témazáró dolgozat megbeszélése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4. 1. óra. Korábban tanultak ismétlése
1. óra Korábban tanultak ismétlése
Halmazok:
a.) Számhalmazok: N, Z, Q, Q∗, R
b.) Halmazműveletek ∩, ∪, \, A
Nevezetes azonosságok:
a.) (a+ b)2 = b.) (a− b)2 = c.) (a+ b) · (a− b) =
Műveletetek törtekkel:
a.)2
3+
4
3=
b.)2
3− 4
3=
c.)2
3· 43=
d.)2
3:4
3=
Értelmezési tartomány, képhalmaz: Milyen számok írhatók az x helyére, il-letve milyen számok jöhetnek ki a műveletek eredményeként?
a.) x2
b.) x3
c.)√x
d.)√10− x
e.)1
x
f.)4− xx− 9
g.) sin(x)
h.) tan(x)
Egyenletek megoldása:
a.) Elsőfokú, egyismeretlenes: 3x+ 5 = 20
b.) Másodfokú, egyismeretlenes: 3x2 + 4x− 7 = 0
c.) Abszolútértékes, egyismeretlenes: |x+ 4| = 5
d.) Egyenletrendszer kétféle megoldási módszerrel:2x+ 3y = 10
5x− 4y = 20
e.) Törtes egyenlőtlenség: x−2
(x−1)(x+3)< 0
2. óra. Egész kitevőjű hatványok, a hatványozás azonosságai 5.
2. óra Egész kitevőjű hatványok, a hatványozás azonosságai
Def. Legyen adott egy a 6= 0 valós szám és egy n ∈ N+. Az a szám n-edik hatványaaz a szám önmagával vett n tényezős szorzatát jelenti, azaz:
an = a · a · a · ... · a︸ ︷︷ ︸n darab
Megjegyzés. Az a szám első hatványa önmaga, azaz ha n = 1, akkor an = a1 = a
Def. Legyen n ∈ N+. A nulla n-edik hatványai1 eggyel egyenlők, azaz 0n = 1
Áll. Legyen a, b ∈ R \ {0} és n,m ∈ N+. A hatványozás azonosságai:
I.) an · am = an+m
II.)an
am= an−m
III.) (a · b)n = an · bn
IV.)
(ab
)n=an
bn
V.) (an)m = an·m = am·n
1Megjegyzés: a 00 értelmezése problémákhoz vezet, így ezt most nem defináljuk.
6. 3. óra. Negatív kitevőjű hatványok
3. óra Negatív kitevőjű hatványok
Def. Legyen a 6= 0 és n ∈ N+. Az a szám negatív hatványa a következőt jelenti:
a−n =1
an
1. Feladat. Egyszerűsítsük a következő kifejezéseket a hatványozás azonosságaival!
a.) 5−2 =
b.)a−3
a−5=
c.)1
b−10=
d.)c4
c−2=
e.)(a2)
−3 · a5 · (a−1)−2
(a5)−4 · a−6=
f.)(a−3 · b)−4 · (a2 · b−3)−5
(b4)−2 · (a3 · b−3)−2=
g.)
(x−3
y−1
)5
· (x2 · y−3)3
(y−2)2:
(y−2 · xx−2 · y3
)−3=
1. Házi feladat. Egyszerűsítsük a következő kifejezéseket!
a.)
(x2)3 · (x−2)−3
(x3)−1 · (x−4)2=
b.)
(x−5
y7
)−3[(
x2
y4
)−4:(x6
y5
)−3]−4 =
4. óra. Az n-edik gyökvonás és azonosságai 7.
4. óra Az n-edik gyökvonás és azonosságai
Def. Legyen k ∈ N+. Ekkor valamely a nemnegatív szám 2k-adik gyöke olyannemnegatív szám, amelynek 2k-adik hatványa a, azaz 2·k
√a-re igaz, hogy:(
2·k√a)2·k
= a
Def. Legyen k ∈ N+. Ekkor valamely a ∈ R szám 2k + 1-adik gyöke olyan szám,amelynek 2k + 1-edik hatványa a, azaz 2·k+1
√a teljesíti az alábbi feltételt:(
2·k+1√a)2·k+1
= a
2. Feladat. Számítsuk ki az alábbi kifejezések pontos értékét!
a.)√81 =
b.)3√8 =
c.)3√1 =
d.)3√27 =
e.)4√16 =
f.)5√32 =
g.)3√−1 =
h.)10√1024 =
i.)11√−2048 =
Áll. Legyen a ∈ R, b ∈ R \ {0} és n, m, k ∈ N+. Az n-edik gyökvonás azonosságai:
I.)n√a · b = n
√a · n√b
II.)n
√a
b=
n√a
n√b
III.)n√ak =
(n√a)k
IV.)n
√k√a = n·k
√a
V.)n√am =
n ·k√am·k
2. Házi feladat. Végezzük el az alábbi gyökvonásokat, átalakításokat!
a.)√6 ·√24 =
b.)3√4 · 3√16 =
c.)√0, 36 =
d.)
√100√25
=
e.)
5√96
5√−3
=
f.)
√√√16 =
g.)3
√√a =
h.)5
√4
√3√a =
i.)3√a ·√a =
j.)3√a2 · 4√a5 =
k.)30√a31 =
l.) a ·5√a4 =
m.)7√37 =
n.)4√163 =
o.)4√a2 · b3 · 3
√a2 =
8. 5. óra. Feladatmegoldás
5. óra Feladatmegoldás
3. Feladat. Egyszerűsítsük a következő kifejezéseket a gyökvonás azonosságaival!
a.)
√x ·√x3√
x7=
b.)3√y2
3√y · 3√y4
=
c.)
5√a4 · 5√a−1 · 5
√a−2
5√a−4 · 5
√a2
=
4. Feladat. Alkalmazzuk a gyökvonás azonosságait a kifejezések egyszerűsítésére!
a.)3√√
a · 5√a−4 ·
√a5
5√a4 · 3√a−2 ·
√a
=
b.)
4√a−2 · b3 · 3
√a2 · b−1√
a−1 · b · 6√a−2 · b5
=
c.)
4√81 · 3√155
3√10 · 3√182 · 3
√2252
=
3. Házi feladat. Egyszerűsítsd az alábbi kifejezéseket!
a.)
√x ·√x3√
x7=
b.)6
√a7
b−5· 8
√b4
a−3· 3
√a−4
b−2·√a
b=
6. óra. A törtkitevőjű hatvány értelmezése 9.
6. óra A törtkitevőjű hatvány értelmezése
Def. Legyen a > 0; m ∈ Z; n ∈ N és n > 1. Ekkor az a szám mn-edik hatványa
jelentse az a alap m-edik hatványának n-ik gyökét, azaz teljesüljön a következő:
amn = n
√am
5. Feladat. Számítsuk ki a következő hatványok értékét!
a.) 823 =
b.) 932 =
c.) 27−43 =
d.) 0, 0625−34 =
e.) 3223 =
f.) 8114 =
g.) 25−12 =
h.) 1000−23 =
i.)
(81
16
)− 34
=
6. Feladat. Írjuk fel gyökjelekkel az alábbi kifejezéseket!
a.) 515 =
b.) 727 =
c.) 15−23 =
d.) 23−29 =
e.) 90,7 =
f.) 100,23 =
g.) 3−0,6 =
h.) 9−0,23 =
i.)
(4
5
) 34
=
4. Házi feladat. Számítsuk ki a következő kifejezések értékét!
a.)7
23 · 7 1
6 · 7 34
7112 · 49 1
4
=
b.)2
12 · 3√22
2−56 · 4√23
=
c.)
5√25 ·√125
4√55
=
10. 7. óra. Irracionális kitevőjű hatványok
7. óra Irracionális kitevőjű hatványok
Számonkérés várható az óra elején!
8. óra. Exponenciális függvény 11.
8. óra Exponenciális függvény
Def. Legyen a ∈ R+ \ {1}. Ekkor az f(x) : R → R; x 7→ ax alakban megadottfüggvényeket exponenciális függvénynek nevezzük.
Megjegyzés. Az exponenciális függvényt definiáló kifejezés egy olyan hatványkifeje-zésnek is tekinthető, amelyben a hatvány alapja konstans, a függvény változója akitevőben szerepel és a függvény értéke hatvány értékével egyenlő.
7. Feladat. Ábrázoljuk és jellemezzük az alábbi függvényeket!
a.) f(x) : R→ R; x 7−→ 2x
b.) g(x) : R→ R; x 7−→ 2−x
c.) g(x) : R→ R; x 7−→(1
2
)x
d.) h(x) : R→ R; x 7−→ 2x − 4
e.) i(x) : R→ R; x 7−→ 2x−4
f.) j(x) : R→ R; x 7−→ 3(x+3) + 1
g.) k(x) : R→ R; x 7−→(1
3
)x+2
− 3
h.) l(x) : R→ R; x 7−→ −4x + 4
5. Házi feladat. Írj egy saját exponenciális függvényt és jellemezd!
1. Szorgalmi. Ábrázold az alábbi függvényt!
s(x) : R→ R; x 7−→ 1
3· 3x − 5
12. 9. óra. Exponenciális függvény ábrázolása, elemzése
9. óra Exponenciális függvény ábrázolása, elemzése
8. Feladat. Ábrázoljuk és jellemezzük az alábbi függvényeket!
a.) f(x) : R→ R; x 7−→ −5x
b.) g(x) : R→ R; x 7−→(1
3
)x−4− 3
c.) h(x) : R→ R; x 7−→ 2 · 3x−3 − 6
d.) i(x) : R→ R; x 7−→ 2 · 2(x+1)2−2x−x2
9. Feladat. Oldjuk meg grafikusan az alábbi egyenleteket!
a.) 2x+2 − 5 = −x+ 4
b.) 2x+1 = −2x2 + 4x+ 2
6. Házi feladat. A plutónium felezési ideje T = 88 év. Igazoljuk, hogy 88 év
eltelével valóban az fele elbomlik, ha eredetileg N0 darab atommagunk volt és az el
nem bomlott atommagokra az alábbi összefüggés írható fel:
N(t) = N0 · 2−tT
a.) Hányad része marad meg az atomoknak 440 év elteltével?
b.) Mikorra várható, hogy már csak minden 2048.-ik plutónium atommag van márcsak meg, mert a többi elbomlott?
2. Szorgalmi. Oldjuk meg az alábbi egyenletet külön lapra és adjuk le!
71−|x| = 49
10. óra. Exponenciális egyenletek megoldása 13.
10. óra Exponenciális egyenletek megoldása
10. Feladat. Oldjuk meg az alábbi exponenciális egyenleteket a valós számok hal-mazán! Végezzünk ellenőrzést is! A megoldási módszer a kitevő átalakítása legyen!
a.) 24x−3 = 4
b.) 33−x = 9
c.) 4x =√8 · 4√4
d.) 5 · 5x = 25x−2
7. Házi feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán!
a.) 4x = 8 · 3√2
b.)3√3x−1 =
1
9
3. Szorgalmi. Oldjuk meg azlábbi egyenletet a valós számok halmazán!
4x = 82x−1
14. 11. óra. Exponenciális egyenletek főbb típusai
11. óra Exponenciális egyenletek főbb típusai
11. Feladat. Oldjuk meg az alábbi exponenciális egyenleteket a valós számok hal-mazán! Végezzünk ellenőrzést is! A megoldási módszer az alap átalakítása legyen!
a.) 7x2−2x−8 = 1
b.) 132x−7 = 1
c.) 72x+5 − 1 = 0
d.) 22·(x−1)·(x+4) = 4x−1x+4
e.) 0, 5x2+2x−35 = 1
f.)4√42x−1 = 64
12. Feladat. Oldjuk meg az alábbi exponenciális egyenleteket a valós számok hal-mazán! Végezzünk ellenőrzést! A megoldási módszer az alapok összevonása legyen!
a.) 5x + 5x+1 + 5x+2 = 31
b.) 2x+3 + 2x+1 = 10
c.) 5x+1 + 5x+2 = 30
d.) 4 · 3x + 3 · 3x−1 = 135
e.) 2 · 3x−1 − 5 · 3x+3 = 83
f.) 10x+1 − 3 · 10x−1 = 970
13. Feladat. Oldjuk meg az alábbi exponenciális egyenleteket a valós számok hal-mazán! Végezzünk ellenőrzést! A megoldási módszer a közös alap legyen!
a.) 4x = 5x
b.) 9x+1 = 4 · 6x
c.) 72x−1 = 94x−2
d.) 7x = 12x
e.) 9 · 2x · 5x = 100 · 3x
f.) 3 · 16x = 2 · 92x
14. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! Végez-zünk ellenőrzést! A megoldási módszer egy új ismeretlen bevezetése legyen!
a.) 4x − 3 · 2x + 2 = 0
b.) 9x − 2 · 3x − 3 = 0
c.) 10x + 10−x = 2
d.) 25x − 30 · 5x + 125 = 0
e.) 16x+1 − 65 · 4x + 4 = 0
f.) 2 · 4x − 17 · 2x + 8 = 0
8. Házi feladat. Befejezni, ami kimaradt!
4. Szorgalmi. Oldd meg az alábbi egyenletet és add be külön lapon!
33√x2 = 3 · 3 3√x+1
12. óra. Exponenciális egyenletek gyakorlása 15.
12. óra Exponenciális egyenletek gyakorlása
15. Feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket!
a.) 25x−3 = 16
b.) 7x = 0
c.)
(1
137
)x2−7x+12
= 1
d.)
(1
2
)2·x+1
= 2x
e.)√93x−1 =
3√81x+1
f.) 10x − 5x−1 · 2x−2 = 950
g.) 2√x+2 − 2
√x+1=12 + 2
√x−1
h.)
(1
64
)√x+2
= 0, 5
i.) 9 · 3x =√3
3
j.) 9x−1 + 3x+2 = 90
9. Házi feladat. Befejezni a kimaradt feladatokat!
5. Szorgalmi. Oldd meg az alábbi egyenletet és add be külön lapon!
(3x+1 + 2 · 3x) · (3x+1 − 2 · 3x)− 12 · 3x+2 = 729
16. 13. óra. Exponenciális egyenletrendszerek
13. óra Exponenciális egyenletrendszerek
16. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket!
a.)2x + 3y = 7
5 · 2x − 3 · 3y = 11
b.)72x+y−1 = 49
2x+y+8 = 64
c.)3 · 4x + 4 · 3y = 42
11 · 4x − 3y = 13
d.)10x−2 + 7y+1 = 8
10x − 2 · 7y+2 = 2
e.)7x + 5 · 2y = 41
5 · 7x + 3 · 2y = 29
f.)2x+2 + 3y−1 = 17
3 · 2x + 4 · 3y = 24
10. Házi feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert!
5x+2 − 5 · 6y−1 = 120
100 · 5x−2 + 12 · 6y−2 = 22
6. Szorgalmi. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert!
9x+y−5 = 34−2x
162x−y+1 = 8y+7
14. óra. Exponenciális egyenlőtlenségek 17.
14. óra Exponenciális egyenlőtlenségek
Áll. Legyen c > b, és a > 1. Ekkor az ax exponenciális függvény szigorúan monotonnövekvő, emiatt: ac > ab.
17. Feladat. Oldjuk meg az alábbi exponenciális egyenlőtlenséget!
32x−1 > 27
Áll. Legyen c > b, és 0 < a < 1. Ekkor az ax exponenciális függvény szigorúanmonoton csökkenő, emiatt: ac < ab.
18. Feladat. Oldjuk meg az alábbi exponenciális egyenlőtlenséget!(1
2
)x−3≥ 1
16
19. Feladat. Oldjuk meg az alábbi exponenciális egyenlőtlenséget!
a.)
(8
7
)5x−4
< 1
b.)
(7
9
)2x−3
≥ 9
7
c.)
(1
3
)x> 9 · 4
√3
d.)
(3
4
)x2−12≤(3
4
)x11. Házi feladat. Maradékot otthon befejezni.
7. Szorgalmi. Beadható külön lapon:
23x2−9x+14 < 1
18. 15. óra. Exponenciális egyenlőtlenségek:
15. óra Exponenciális egyenlőtlenségek:
20. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán!
a.) 2x2−2x > 256 b.) 5
x+1x−2 < 25
12. Házi feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket:
a.) 2x + 21−x > 3 b.) 7x+3x+2 > 49
8. Szorgalmi. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget!
6(x2 − 7x+ 12) > 1
16. óra. A logaritmus fogalma 19.
16. óra A logaritmus fogalma
21. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! Haszáljunk számológépet!
a.) 2x = 8
b.) 2x = 16
c.) 2x = 12
d.) 10x = 1000
e.) 10x = 0, 001
f.) 10x = 20
Def. Legyen adott a > 0 és b > 0, b 6= 1 valós szám. Ekkor az a szám b alapúlogaritmusa az egyetlen olyan kitevő, amit b-re emelve a-t kapunk1. Jele: logb a
Megjegyzés. A tízes alapú logaritmus2 jele: lg x
Megjegyzés. Az e alapú3, más néven természetes alapú logaritmus jele: lnx
22. Feladat. Számítsuk ki a következő logaritmusértékeket!
a.) log2 4 =
b.) log3 27 =
c.) log2(−4) =
d.) log4 4 =
e.) log5 5 =
f.) ln 1 =
g.) log3 9 =
h.) log9 3 =
i.) log4 8 =
j.) log21
2=
k.) log31
3=
l.) log2 0 =
m.) logy y =
n.) logk 1 =
o.) lg 0.1 =
23. Feladat. Számítsuk ki a következő hatványokat!
a.) 5log5 42 =
b.) 10lg 100 =
c.) −2log2 3 =
d.) 72·log7 3 =
e.) 100lg 4 =
f.) 2log4 9 =
g.) 0, 5log2 3 =
h.) aloga 6 =
13. Házi feladat. Határozzuk meg az ismeretlenek értékét!
a.) log3 a = 2
b.) log5 b = 3
c.) log4 c = −2
d.) logd 27 = 3
e.) log6 e = 0
f.) logf 7 = 0, 5
g.) logg 27 = 3
h.) logh 5 = −1
i.) 8log2 3 = z
j.) log4 x = −2
k.) log49 y = 0.5
l.) logz 6 = −1
m.) log5 125 =
n.) log2 128 =
o.) log128 2 =
p.) lg 109 =
9. Szorgalmi. Számítsuk ki az x értékét!: logx4√8 = 0, 25
1Tehát logb a az a szám, amelyre teljesül, hogy: blogb a = a.2Ha veszel normális számológépet ez lesz a LOG gomb.3Az Euler-féle szám első néhány jegye: e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35. . .
20. 17. óra. A logaritmus azonosságai
17. óra A logaritmus azonosságai
Tétel. Minden x > 0, y > 0 és a > 0, a 6= 0 valós szám esetén teljesül az alábbi:
loga(x · y) = loga x+ loga y
Megjegyzés. Szorzat logaritmusa megegyezik a tényezők logaritmusának összegével.
24. Feladat. Határozzuk meg a következő kifejezések értékét!
a.) lg 4 + lg 25 =
b.) log2 40 + log2 0, 8 =
c.) lg 2 + lg 5 =
d.) lnx+ lnx =
Tétel. Minden x > 0, és a > 0, a 6= 0, és k valós szám esetén teljesül az alábbi:
loga xk = k · loga x
Megjegyzés. Hatvány logaritmusa az alap logaritmusának és kitevőjének szorzata.
25. Feladat. Határozzuk meg a következő kifejezések értékét!
a.) lg x+ lg x+ lg x+ lg x =
b.) log2 1024 =
c.) log4 16 =
d.) log3 3100 =
e.) 4 · lg 4√1000 =
f.) lg 1000000π2
6 =
g.) log2 0, 5 =
h.) lg 0, 00001 =
Tétel. Minden x > 0, y > 0 és a > 0, a 6= 0 valós szám esetén teljesül az alábbi:
logax
y= loga x− loga y
Megjegyzés. Tört logaritmusa számláló és nevező logaritmusának különbsége.
26. Feladat. Határozzuk meg a következő kifejezések értékét!
a.) log5 15 + log5 12− log5 36 =
b.) log2 10 + log2 12− log2 15 =
c.) 2 · lg 5 + lg 8− lg 20 =
d.) lg 128− 6 · lg 2 + 0, 5 lg 25 =
14. Házi feladat. Saját feladatot kitalálni, aminek a végeredménye egész és beadni.
10. Szorgalmi. log8√2200− 0.5 · log8 55 + log8
√40− log8 10 =
18. óra. A logaritmus függvény ábrázolása, elemzése 21.
18. óra A logaritmus függvény ábrázolása, elemzése
27. Feladat. Ábrázoljuk az f és g függvényeket pontjaik kiszámításával!
f : R→ R+; x 7→ 2x g : R+ → R; x 7→ log2 x
28. Feladat. Ábrázoljuk az e és h függvényeket és jellemezzük őket!
e : R→ R+; x 7→(1
3
)xh : R+ → R; x 7→ log 1
3x
Megjegyzés. A függvénytranszformációknál megismert szabályok a logaritmusfügg-vény ábrázolása során is használhatók.
29. Feladat. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket és jellemezzük őket!
a.) log2 x+ 3
b.) log2(x+ 3)
c.) log2(x− 4) + 2
d.) 3− log2(2− x)
15. Házi feladat. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket és jellemezzük őket!
a.) log2 x− 1
b.) log3(x− 1)
c.) log 13(x− 5) + 3
d.) log2(4− x) + 2
11. Szorgalmi. Ábrázoljuk az alábbi függvényt: f(x) = log3 |x|
22. 19. óra. Az inverz függvény fogalma
19. óra Az inverz függvény fogalma
Def. Az f inverz függvénye a g, ha f képhalmaza minden elemét pontosan egyszervette fel és minden x-re g(f(x)) = x.
Áll. Ha f inverz függvénye g, akkor az f grafikonjának y=x egyenesre való tükrö-zésével megkapható a g grafikonja.
Áll. Az f : R→ R+; x 7→ ax inverz függvénye a g : R+ → R; x 7→ loga x.
30. Feladat. Írjuk fel az ábrán látható függvények hozzárendelési szabályát!
16. Házi feladat. Jellemezzünk az előző feladatban lévő függvények közül kettőt!
12. Szorgalmi. Egy termék eladott darabjainak száma (ezer darabban számolva)az alábbi függvény szerint alakul, ahol a t a kiadás óta eltelt évek száma:
s(t) = 100 + 30 · lg(7t+ 1)
Hány terméket adtak el a kiadás évében és hány darabot egy év múlva? Hány évmúlva érné el az eladás a megjelenés évében eladott mennyiség dupláját?
20. óra. Áttérés más alapú logaritmusra 23.
20. óra Áttérés más alapú logaritmusra
Tétel. Legyen a, b, c > 0; a 6= 1; c 6= 1. Ekkor teljesül az alábbi:
loga b =logc b
logc a
31. Feladat. Számítsuk ki számológéppel az alábbi logaritmusok értékét!
a.) log2 5 =
b.) log3 8 =
c.) log4 10 =
d.) log9 6 =
e.) log9 π =
f.) log0,4 9 =
32. Feladat. Igazoljuk az alábbi állításokat! Írjunk kikötéseket a változókhoz!
a.) loga b · logb c · logc a = 1
b.) loga b =1
logb a
c.) logan b =1
n· loga b
d.)loga c
logab c= 1 + loga b
e.) logak an =
n
k
f.) alg(lg a)lg a = lg a
33. Feladat. Melyik kifejezés számértéke nagyobb?
a.) log3 2, 1 + log3 0, 9 vagy log3 3
b.) log7 6027− log7 123 vagy log 122−2
c.) 5−1 · lg 5√1000 vagy log5
10√125 · log5
3√25
d.) (1− lg 2) · (1 + lg 2) vagy (lg 30− lg 6) · (1 + lg 3)
17. Házi feladat. Írjuk fel egyszerűbb alakban az alábbi kifejezést!
alogb(logb a)
logb a =
13. Szorgalmi. Bizonyítsuk be a másik alapú logaritmusra való áttérés tételét!
24. 21. óra. Logaritmust tartalmazó kifejezések
21. óra Logaritmust tartalmazó kifejezések
34. Feladat. Adjuk meg az alábbi kifejezések legbővebb értelmezési tartományát!
a.) lg(x+ 1) + 3 · lg(x+ 4)
b.) log8(6x− 5)− log7(5x− 6)
c.) log2(2x− 3) + log3(4x+ 1)
d.) log4(4− 5x)− log5(7x+ 5)
e.) logx(4x− 3)
f.) logx−4(1− 4x)
g.) log54x− 1
3x+ 2
h.) log74− 5x
7x+ 5
18. Házi feladat. Melyik valós számokra értelmezhető az alábbi kifejezés?
logπ(x− 2)− log11(4x− 7) + lg(3x− 8)
19. Házi feladat. Add meg a legbővebb értelmezési tartományt!
lg(−4x+1 + 33 · 2x − 8)
22. óra. Logaritmusos egyenletek 25.
22. óra Logaritmusos egyenletek
35. Feladat. Mely valós számokra értelmezhetők az alábbi kifejezések?
a.) lg(x2 − 2x− 8)
b.) lg (3− |x|)− lg(2x+ 3)
c.) logx−1(17x− 2)− log√x(6x− 2)
d.) lg(3x − 9) · lg(3x+ 2)
36. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!
a.) log3(x− 12) = 2
b.) log8(x2 − 2x− 34) = 0
c.) log5 log0.5 log0.25 x = 1
d.) logx 0, 125 = −2
e.) logx 36 =3
2
f.) lg(x− 9) + lg(2x− 1) = 2
g.) lg(x− 3) + lg(x− 2) = 1− lg 5
h.)lg(2x+ 5)− lg x
2 + lg 100=
1
4
i.) 2 · log2x− 7
x− 1+ log2
x− 1
x+ 1= 1
20. Házi feladat. A maradék feladatokat otthon befejezni!
14. Szorgalmi. Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán!
log2 x+ log8 x = 8
26. 23. óra. Logaritmusos egyenletek
23. óra Logaritmusos egyenletek
37. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!
a.) lg x = −1
b.) log0,1 x = −1
c.) log100 x =2
3
d.) log1000 x = −2
3
e.) lg x = 0, 3010
f.) lg x = −0, 4437
g.) log0,3 x = 3
h.) log0,25 x =1
4
i.) lg x = 0
38. Feladat. Számítsuk ki az alábbi logaritmusos kifejezéseket!
a.) x = lg 106 b.) x = log5 1 c.) x = log2√2
39. Feladat. Határozzuk meg a logaritmus alapját!
a.) logx1
8=
3
2b.) logx 8 = −1
2c.) logx 36 =
3
2
40. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!
a.) log3(x− 12) = 2
b.) log36(x2 − 10) = 0, 5
c.) log2 |x| = 4
d.) 2 lg 5 + lg x = 1− lg 2
e.) lg(x− 9) + lg(2x− 1) = 2
f.) lg(x− 3) + lg(x− 2) = 1− lg 5
21. Házi feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenletet!
2 · log2(x− 7
x− 1
)+ log2
(x− 1
x+ 1
)= 1
15. Szorgalmi. Oldjuk meg az alábbi egyenletet!
log3 log4 log23(x− 3) = 0
24. óra. Logaritmusos egyenlőtlenségek 27.
24. óra Logaritmusos egyenlőtlenségek
41. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket!
a.) log2(x+ 3) > log2 4
b.) log 135x ≤ log 1
325
c.) log4(2x− 4) > 0
d.) log4(2x− 4) < 0
e.) log 12(5x− 12) < 0
f.) log 12(5x− 12) > 0
g.) log 12
3− x3x− 1
< 0
h.) log 13
3x− 1
x+ 2< 1
22. Házi feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget!
lg(x+ 8) ≥ lg(x2 − 3x− 4)
16. Szorgalmi. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget!
log 12x+ log3 x > 1
28. 25. óra. Logaritmusos egyenlőtlenségek
25. óra Logaritmusos egyenlőtlenségek
42. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket!
a.) log8x2 − 2x
x− 3> 1
b.) log212x > 36
c.) logx2−3 729 > 3
d.) log 13(log4(x
2 − 5)) > 0
23. Házi feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget!
lg3(x2 − 5x+ 6) < 0
17. Szorgalmi. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget!
log 13(6x2 − x− 1) > 0
26. óra. Gyakorlás 29.
26. óra Gyakorlás
43. Feladat. Végezd el az alábbi műveleteket!
a.)x6
x−3=
b.)4
√√5√a =
c.)x
12 · 3√x5
x−34
=
d.)
4√81 · 3√155
3√10 · 3√182 · 3
√2252
=
e.)2 · a− 1
2 · b 45 · x− 3
4
(2 · a)−1 · b 13 · x− 1
2
=
f.)
[(x2
y4
)−4·(x6
y5
)−3]−1=
44. Feladat. Oldd meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán!
a.) 2x+2 − 3 · 2x = 2
b.) 25x − 30 · 5x + 125 = 0
c.) 2x2−2x > 256
d.)
(1
3
)x> 9 · 4
√3
e.)2x+2 + 3y−1 = 17
3 · 2x + 4 · 3y = 24
f.)log5(3x+ 7)
2= log5(x+ 1)
g.) 2 · lg(x+ 2) = 2− lg 25
h.) lg(4x− 3) + lg(x− 3) > 2
24. Házi feladat. Oldjunk meg mindegyik típusból egy feladatot a jegyzetből!
18. Szorgalmi. Találjunk ki saját feladatot és oldjuk meg!
30. 27. óra. Gyakorlás
27. óra Gyakorlás
45. Feladat. Alkalmazd a hatványozás és a gyökvonás azonosságait!
a.)(x2 · y−3)−2 · (x−1 · y2)−3
(x−3)5 · (x4 · y−2)−1=
b.)
4√a−1 · b3 · 6
√a5 · b−3
3√a4 · b−2 ·
√a3 · b−3
=
46. Feladat. Ábrázold és jellemezd az alábbi függvényeket!
a.) f(x) : R→ R; x 7−→ 2x−4 − 2
b.) g(x) : R+ → R; x 7−→ log2(x+ 2) + 4
25. Házi feladat. Mindegyik feladattípusból egyet és add le külön papíron!
19. Szorgalmi. Döntsd el azonosságok segítségével, hogy melyik a nagyobb!
√45−7 · 75−21 vagy 15−17 · 5−8
28. óra. Gyakorlás 31.
28. óra Gyakorlás
47. Feladat. Oldd meg az alábbi egyenleteket és egyenlőtlenségeket!
a.) 10x+1 − 4 · 10x − 3 · 10x−1 = 570
b.)
(5
3
)3x+7
=
(9
25
)x−3
c.)54x−3
125x+1> 25x−4 · 52x−1
d.) 2 · log3(4x+ 8)− log3(3x+ 5) = log3(x+ 9)
e.) log2 log5(x− 1) < 1
f.) logx(2x2 − 7x− 30) = 2
26. Házi feladat. Leadni két logaritmusos és két exponenciális egyenletet!
20. Szorgalmi. Oldjuk meg az alábbi egyenletet!
log3 x+ 8 · logx 3 = 6
32. 29. óra. Gyakorlás
29. óra Gyakorlás
48. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket!
(1.) 5 · log2 x− 3 · log3 y = 9
(2.) 2 · log2 x+ 4 · log3 y = 8
(1.) log3 x+ log3 y = 2 + log3 2
(2.) log12xy= 1
(1.) lg(x+ y) = 2 · lg x
(2.) lg x = lg 2 + lg(y − 1)
(1.) 101+lg(x+y) = 50
(2.) lg(x− y) + lg(x+ y) = 2− lg 5
49. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket!
a.) log17(3x+ 4) < 1
b.) log 34
5− x3x+ 1
> 0
c.) lg(2x−1 − 28) > 2
50. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenletet!
log3 x+ log√3 x+ log 13x = 6
27. Házi feladat. Felkészülni a témazáró dolgozatra!
21. Szorgalmi. Oldd meg az alábbi egyenletet!
log2 (1 + log3 (1 + log4 (1 + log5 (1 + log6 x)))) = 0
30. óra. Témazáró dolgozat megírása 33.
30. óra Témazáró dolgozat megírása
34. 31. óra. Témazáró dolgozat megbeszélése
31. óra Témazáró dolgozat megbeszélése
