MATEMATIKA I - fast.darmy.netfast.darmy.net/opory - I Bc/GA01-Matematika_I--M01-Vektorovy_pocet... · vysokÉ u¨en˝ technickÉ v brnÌ fakulta stavebn˝ matematika i modul ga01

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚFAKULTA STAVEBNÍ

MATEMATIKA I

MODUL GA01−M01

VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACEVEKTOROVÉHO POČTU

STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMGEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

1

0Typeset by LATEX 2ε0 c© V. Tryhuk, O. Dlouhý 2004

———————————————————————————————————

2

———————————————————————————————————

Obsah

Úvod 5Cíle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Požadované znalosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Doba potřebná ke studiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Klíčová slova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 Vybrané části vektorového počtu 71.1 Operace s geometrickými vektory ve V (E3) . . . . . . . . . . . . . 7

Poznámka k označení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Lineární nezávislost vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Součiny vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Skalární součin vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Vektorový součin vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Smíšený součin vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Dvojný vektorový součin vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Důležité identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3 Aplikace vektorového počtu ve sférické trigonometrii . . . . . . . . 18Sinová věta pro sférický trojúhelník . . . . . . . . . . . . . . . . . 19První kosinová věta pro sférický trojúhelník . . . . . . . . . . . . 21

1.4 Lineární prostor, báze a dimenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5 Vektory v ortonormální bázi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Skalární součin v ortonormální bázi . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Vektorový součin v ortonormální bázi . . . . . . . . . . . . . . . . 25Smíšený součin v ortonormální bázi . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Některé aplikace vektorového počtu 272.1 Vektory v souřadnicové soustavě prostoru E3 . . . . . . . . . . . . 272.2 Rovina v E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 Přímka v E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Úlohy metrické . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Vzdálenost bodu od roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Vzdálenost bodu od přímky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Úhel dvou rovin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

———————————————————————————————————

4 OBSAH

Úhel dvou přímek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Úhel přímky a roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5 Úlohy polohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Vzájemná poloha dvou rovin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Vzájemná poloha přímky a roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Vzájemná poloha dvou přímek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Příčky a osa mimoběžek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.6 Vlastní čísla a vlastní vektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Rejstřík 53

Literatura 53

———————————————————————————————————

Úvod

Cíle

Cílem našeho textu není přesné formální vybudování základů vektorové algebrya analytické geometrie v trojrozměrném prostoru. Naopak, chceme pouze vytvořitdoplněk textů již napsaných pro studenty kombinované formy studia, který budereagovat na potřeby studijního programu geodézie a kartografie.

V úvodní části modulu se budeme věnovat vektorové algebře, v níž zvolímeponěkud odlišný přístup od modulu BA01−M02 určeného pro obecné zaměřeníkombinované formy studia. Dáme přednost geometrickému a fyzikálnímu popisuvektorových operací, které navíc nebudeme studovat od začátku v ortonormálníbázi.

V odpovídajících číselně vyjádřených odstavcích textu jsou stanoveny násle-dující cíle:

1.1 Připomenout základní operace s geometrickými vektory. Je potřebné po-chopit geometrickou interpretaci pojmů – vektory kolineární (nekolineární), vek-tory komplanární (nekomplanární) – a naučit se s nimi pracovat.

1.2 Jedná se o nejdůležitější odstavec celého modulu. Je potřebné pochopitskalární, vektorový i smíšený součin vektorů včetně vytvoření geometrické před-stavy o významu a možnostech použití těchto pojmů. Jedná se o základní stavebníprvky dalších následujících odstavců modulu.

1.3 Odstavec obsahuje základní potřebné pojmy sférické trigonometrie, sekterými je potřebné se do detailů seznámit. Odvozování vzorců není samoúčelné,je zkouškou pochopení obsahu odstavce 1.2 .

1.4 Pojmy používané v prvních třech odstavcích zobecníme na úroveň, kteráse standardně používá nejen v matematické literatuře. Potřebné je vytvořit sipředstavu o obsahu pojmu lineární prostor a především pochopit pojmy bázea dimenze lineárního prostoru.

1.5 Studijní zaměření geodézie a kartografie pracuje s vektory nezávisle navolbě souřadnicových soustav. V odstavci se seznámíte s ortonormálními bázemive třírozměrném prostoru a aritmetikou počítání s vektory v ortonormální bázi.

———————————————————————————————————

6 OBSAH

1.6 Cílem odstavce je prohloubit pochopení analytické geometrie v prostoru.Důsledně jsou aplikovány skalární, vektorový a smíšený součin vektorů na meto-diku řešení úloh i výpočetní postupy. Přístup se odlišuje od pojetí používanéhona středních školách. Pečlivě si proto promyslete a propočítejte i řešené příkladytohoto odstavce.

1.7 Prostudujte si motivační příklad, který pro vás může být v budoucnu uži-tečný. Odstavec obsahuje základní pojmy nezbytné pro zvládnutí výpočtu vlast-ních čísel a vlastních vektorů matice. Je potřebné zvládnout techniku výpočtu.V jednom z dalších modulů se seznámíte s rozklady polynomů, které vám umožnízvolit si i jinou metodiku řešení příkladů.

Požadované znalosti

Znalost geometrických vektorů a základů analytické geometrie v prostoru v roz-sahu látky probírané na středních školách.

Doba potřebná ke studiu

Čas potřebný ke zvládnutí tohoto modulu je odhadnut pro průměrného studentajako hodnota nejméně ?? hodin.

Klíčová slova

Geometrické vektory, skalární součin vektorů, vektorový součin vek-torů, smíšený součin vektorů, lineární nezávislost vektorů, reálný line-ární prostor, sférický trojúhelník, souřadnice vektoru, přímka v pro-storu, rovina v prostoru, úlohy polohy, úlohy metrické.

Na konci modulu zařazen Rejstřík, ve kterém jsou další klíčová slova přehledněuspořádána i s odkazy na odpovídající stránky.

———————————————————————————————————

Kapitola 1

Vybrané části vektorového počtu

1.1 Operace s geometrickými vektory ve V (E3)

Poznámka k označení

Aniž bychom se zabývali přesnou definicí afinního prostoru A3, budeme nejprvestudovat tzv. afinní vlastnosti euklidovského prostoru E3. Euklidovským pro-storem E3 přitom budeme rozumět bodový prostor, v němž:

• každému bodu A ∈ E3 je jednoznačně přiřazena uspořádaná trojice[a1, a2, a3] reálných čísel, které nazýváme souřadnicemi bodu A a píšemeA = [a1, a2, a3],

• každým dvěma bodům A,B ∈ E3, kde A = [a1, a2, a3], B = [b1, b2, b3],je přiřazena euklidovská vzdálenost ρ(A,B) bodů A,B, pro kterou platí

ρ(A,B) =√∑3

i=1(ai − bi)2.

Každé uspořádané dvojici bodů (A,B) přiřadíme orientovanou úsečku s počáteč-ním bodem A a koncovým bodem B a budeme ji nazývat umístěním vektoru

~u =−→AB . Můžeme pak také psát B = A+~u nebo B−A = ~u . Přitom vektorem

~u budeme rozumět třídu orientovaných úseček, které mají týž směr a velikost.

Tuto vlastnost můžeme také popsat tak, že orientované úsečky−→AB,

−→CD patří do

jedné třídy, jestliže úsečky (A,D) a (B,C) mají týž střed.

��*

��*a

A

B

C

D

———————————————————————————————————

8 Vybrané části vektorového počtu

Množinu všech vektorů pak nazýváme vektorovým zaměřením prostoruE3 a označujeme ji V (E3).

Pro takto zavedené pojmy platí:

a) Pro libovolný bod A ∈ E3 a libovolný vektor ~u ∈ V (E3) existuje jediný bod

B ∈ E3 takový, že−→AB= ~u .

b) Je-li−→AB= ~u ,

−→BC= ~v , pak

−→AC= ~u + ~v se nazývá součet vektorů ~u ,~v .

��*

A

−→AB= ~u @

@@@@@@R

B−→BC= ~v

XXXXXXXXXXXXXXz C−→AC= ~u + ~v

• Je-li ~u =−→AA, pak vektor ~u se nazývá vektor nulový, značí se ~o a má délku

rovnou nule.

• Je-li ~u =−→AB, pak vektor −~u =

−→BA (změněná orientace) se nazývá vektor

opačný k vektoru ~u .

• Úhlem nenulových vektorů ~u =−→AB, ~v =

−→AC nazýváme úhel ϕ polopří-

mek AB,AC měřený v mezích 0 ≤ ϕ ≤ π.

Poznámka: Prostor bodů v trojrozměrném prostoru E3 spolu s vekto-rovým zaměřením V (E3), v nichž platí a) a b) se často nazývá afinnímprostorem a značí se A3.

Věta 1. Pro libovolné tři vektory ~u ,~v , ~w ve V (E3) platí

1. ~u + ~v = ~v + ~u ,

2. (~u + ~v ) + ~w = ~u + (~v + ~w ),

3. ~u + ~o = ~u ,

4. ke každému vektoru ~u existuje opačný vektor−~u tak, že ~u + (−~u ) = ~o.

———————————————————————————————————

1.1 Operace s geometrickými vektory ve V (E3) 9

Součin vektoru s reálným číslem

Má-li ~u =−→AB délku |~u | a je-li γ ∈ R libovolné číslo, pak klademe

• γ~u = ~o, pokud γ = 0 nebo ~u = ~o,

• γ~u = ~v , kde ~u 6= ~o, |~v | = |γ| · |~u | a vektor ~v je souhlasně (nesouhlasně)rovnoběžný s vektorem ~u v případě γ > 0 (γ < 0.)

-A

~u

B C-~v =

−→AC= γ · ~u = 2~u pro γ = 2 > 1 > 0, |~v | = 2|~u |

Věta 2. Nechť α, β ∈ R jsou libovolná čísla a ~u ,~v libovolné vektory ve V (E3).Pak platí

1. α(β~u) = αβ~u ,

2. α(~u + ~v ) = α~u+ α~v,

3. (α + β)~u = α~u+ β~u,

4. 1 · ~u = ~u .

Lineární nezávislost vektorů

Poznámka:Všimněme si, že pro vektory z V3 = V (E3) platí:

(ι) ~u ,~v ∈ V3 =⇒ ~u + ~v ∈ V3

(součet vektorů z V3 je vektor ve V3).

(ιι) ~u ∈ V3, α ∈ R =⇒ α~u ∈ V3

(násobek vektoru z V3 je vektor ve V3).

(ιιι) Operace sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem majívlastnosti uvedené ve větách 1, 2.

Vektory kolineární (nekolineární)

Nenulové vektory ~u ,~v , pro které existují taková umístění, že leží na jedné přímce,nazýváme kolineární vektory. Nulový vektor považujeme za kolineární s kaž-dým vektorem. Pro kolineární vektory ~u ,~v , platí:

a) Je-li ~u 6= ~o, pak existuje právě jedno číslo k ∈ R takové, že ~v = k~u.

———————————————————————————————————


b) Rovnice k~u + l~v = ~o je splněna alespoň pro jednu dvojici čísel k, l ∈ R,přičemž čísla k, l nejsou současně rovna nule.

Řekneme naopak, že vektory ~u ,~v jsou nekolineární, když rovnice k~u+l~v = ~oje splněna pouze tehdy, když k = 0 a současně l = 0.

Příklad 1.1.1 Vektory ~x1, ~x2 = −2~x1 jsou kolineární, protože vektor ~x2 jenásobkem vektoru ~x1. V jiném pohledu, platí rovnice 2~x1 + ~x2 = ~o a rovnicek~x1 + l~x2 = ~o má nenulové řešení k = 2, l = 1.

Příklad 1.1.2 Vektory ~x1, ~x2 jsou nekolineární. Zjistěte, zda jsou vektory~u = ~x1 + ~x2, ~v = ~x1 − ~x2, rovněž nekolineární.

Řešení: Předpokládejme, že existuje nenulové reálné číslo k takové, že ~u = k~v,tj. vektory ~u ,~v jsou kolineární. Pak platí ~x1 + ~x2 = k(~x1 − ~x2) a odtud(1− k)~x1 + (1 + k)~x2 = ~o. Protože vektory ~x1, ~x2 jsou nekolineární, musí platit1 − k = 0 a současně 1 + k = 0, což není možné. Neplatí proto náš předpoklada vektory ~u ,~v jsou nekolineární.

Vektory komplanární (nekomplanární)

Řekneme, že nenulové vektory ~u ,~v , ~w jsou komplanární, jestliže existují ta-ková jejich umístění, že leží v jedné rovině. Pokud je některý z vektorů ~u ,~v , ~wnulovým vektorem, pak tuto trojici vektorů považujeme také za komplanární.Pro komplanární vektory ~u ,~v , ~w platí:

a) Jsou-li ~u ,~v nekolineární vektory, pak existuje právě jedna dvojice číselk, l ∈ R taková, že ~w = k~u+ l~v.

b) Rovnice k~u + l~v + m~w = ~o je splněna alespoň pro jednu trojici číselk, l,m ∈ R, přičemž čísla k, l,m nejsou současně rovna nule.

Trojici vektorů ~u ,~v , ~w nazveme nekomplanární, když je rovnicek~u+ l~v +m~w = ~o splněna pouze pro k = l = m = 0.

Příklad 1.1.3 Vektory ~x1, ~x2, ~x3 jsou nekomplanární. Zjistěte, zda jsou vektory~u = ~x1 + ~x2 + ~x3, ~v = ~x1 − ~x2 + ~x3, ~w = ~x1 + 3~x2 + ~x3, rovněž nekomplanární.

Řešení: Sestavíme rovnici α1~u+α2~v+α3 ~w = ~o. Dosadíme-li do rovnice vyjá-dření vektorů ~u ,~v , ~w , máme

α1(~x1 + ~x2 + ~x3) + α2(~x1 − ~x2 + ~x3) + α3(~x1 + 3~x2 + ~x3) =

= (α1 + α2 + α3)~x1 + (α1 − α2 + 3α3)~x2 + (α1 + α2 + α3)~x3 = ~o

a c1 = α1 + α2 + α3 = 0, c2 = α1 − α2 + 3α3 = 0, c3 = α1 + α2 + α3 = 0,protože ~x1, ~x2, ~x3 jsou podle zadání úlohy nekomplanární vektory. Soustava rovnic

———————————————————————————————————

1.2 Součiny vektorů 11

α1 +α2 +α3 = 0, α1−α2 + 3α3 = 0 má obecné řešení α1 = −2t, α2 = α3 = t ∈ R.Pro t 6= 0, například t = 1, můžeme vybrat nenulové řešení α1 = −2, α2 = α3 =1. Vektory ~u ,~v , ~w jsou proto komplanární a platí rovnice −2~u + ~v + ~w = ~o.Proto je ~w = 2~u− ~v lineární kombinací vektorů ~u ,~v , jak se můžeme přesvědčitprovedením zkoušky.

-~x1

��

~x2

Nekolineární vektory ~x1, ~x2

nelze umístit na jedné přímce.

-~x1

��*~x2

��

��~x3

Nekomplanární vektory ~x1, ~x2, ~x3

nelze umístit do jedné roviny.

1.2 Součiny vektorů

Skalární součin vektorů

Definice 1.2.1 Skalárním součinem nenulových vektorů ~u ,~v ∈ V (E3) rozu-míme číslo (skalár)

~u · ~v = |~u ||~v | cosϕ,

kde ϕ = ∠(~u ,~v ) ∈ 〈0, π〉 je úhel vektorů ~u ,~v a |~u |, |~v | jsou jejich délky. Je-lialespoň jeden z vektorů nulový, klademe ~u · ~v = 0.

Pro skalární součin platí následující tvrzení:

Věta 3. Je-li α ∈ R a ~u ,~v , ~w ∈ V (E3), pak

1. ~u · ~v = ~v · ~u,

2. ~u · (~v + ~w ) = ~u · ~v + ~u · ~w,

3. (α~u) · ~v = α(~u · ~v),

4. ~u · ~u ≥ 0 (~u · ~u = 0⇔ ~u = ~o).

Poznámka: Skalární součin nenulových vektorů lze využít při řešení násle-dujících úloh.

1. Vyšetřování kolmosti nenulových vektorů:Platí přímo z definice, že ~u · ~v = 0 ⇔ ϕ = π

2 .

———————————————————————————————————


2. Výpočet délky nenulového vektoru: |~u | =√~u · ~u = ||~u ||.

Číslo ||~u || =√~u · ~u se nazývá euklidovská délka vektoru ~u .

3. Výpočet úhlu nenulových vektorů: Přímo ze vzorce obdržíme vztah

cosϕ =~u · ~v

||~u || · ||~v || , ϕ ∈ 〈0, π〉.

4. Nalezení kolmého průmětu ~v ~u vektoru ~v do vektoru ~u :

~v~u =~u · ~v||~u ||2 · ~u. (1.1)

Z pravoúhlého troúhelníku v obrázku

-~v ~u

- ~u��~v

||~v ||

ϕ

můžeme pro ~u0 = ~u||~u || psát:

~v~u = ||~v || cosϕ · ~u0 = ||~v || · ~u · ~v||~u || · ||~v || ·

~u

||~u || =~u · ~v||~u ||2 · ~u.

Všimněte si, že uvedený vztah platí i pro ϕ ∈ (π2 , π), neboť pak cosϕ < 0a dojde ke změně orientace jednotkového vektoru ~u0 na opačný vektor.

5. Práce A, kterou vykoná síla ~F stálého směru a velikosti po přímé dráze ~s

je dána vztahem A = ~F ·~s.Poznámka: Pomocí kolmých průmětů vektorů se můžeme lehce přesvědčit

o vlastnosti 2 ve větě 3.

-~v~u ~w~u

- ~u��

�:~v

~w

��*

~v + ~w

———————————————————————————————————


Platí (~v + ~w )~u = ~v~u + ~w~u. Odtud

(~v+ ~w )~u = ||~v+ ~w || cos (~v + ~w , ~u ) ·~u0 = ||~v || cos (~v , ~u ) ·~u0 + ||~w || cos (~w , ~u ) ·~u0.

Odtud

||~v + ~w || cos (~v + ~w , ~u ) = ||~v || cos (~v , ~u ) + ||~w || cos (~w , ~u )

a~u · (~v + ~w ) = ||~u || · ||~v + ~w || cos (~v + ~w , ~u ) =

= ~u · (||~v || cos (~v , ~u ) + ||~w || cos (~w , ~u )) = ~u · ~v + ~u · ~w.

Příklad 1.2.1 Vypočítejte ~u · ~v, jestliže ||~u || = 4, ||~v || = 5, ∠(~u ,~v ) = 2π/3.

Řešení:

~u · ~v = ||~u || · ||~v || cos∠(~u ,~v ) = 4 · 5 · cos2π3

= 4 · 5 · (−12

) = −10.

Příklad 1.2.2 Vypočítejte ||~a+~b ||, jestliže ||~a || = 4, ||~b || = 5, ∠(~a ,~b ) = 2π/3.

Řešení: Pomocí Věty 3 určíme, že

||~a +~b ||2 = (~a +~b ) · (~a +~b ) = ~a · ~a+ 2~a ·~b+~b ·~b = ||~a ||2 + 2~a ·~b+ ||~b ||2.

Proto ||~a + ~b ||2 = 16 − 20 + 25 = 21 a ||~a + ~b || =√

21 s využitím výsledkupředcházejícího příkladu.

Vektorový součin vektorů

Definice 1.2.2 Vektorovým součinem vektorů ~u ,~v ∈ V (E3) rozumíme vektoroznačovaný jako ~u × ~v .Je-li alespoň jeden z vektorů nulový nebo jsou-li vektory ~u,~v kolineární, klademe~u × ~v = ~o.V opačném případě požadujeme, aby měl vektor ~u × ~v následující vlastnosti:

1. Vektor ~u × ~v je kolmý k oběma vektorům ~u ,~v .

2. Vektory ~u ,~v , ~u × ~v tvoří v tomto pořadí pozitivní trojici vektorů (platípravidlo pravé ruky).

3. Délka vektoru ~u ×~v je rovna obsahu plochy sestrojené nad vektory ~u ,~v , tj.

||~u × ~v|| = ||~u || · ||~v || sinϕ,

kde ϕ = ∠(~u ,~v ) ∈ 〈0, π〉 je úhel vektorů ~u ,~v .

———————————————————————————————————


-~u

��*~v

��

P − obsah plochy

6~u × ~v||~u × ~v|| = ||~u || · ||~v || sinϕ = P

ϕ

Vektorový součin.

-~u

��*~v

6~u × ~v

I směr prstů6

směr palce

Pravidlo pravé ruky pro pořadí ~u ,~v , ~u × ~v .

Pro vektorový součin platí následující tvrzení:

Věta 4. Je-li α ∈ R a ~u ,~v , ~w ∈ V (E3), pak

1. ~u × ~v = −~v × ~u,

2. α · (~u × ~v) = (α · ~u)× ~v = ~u × (α · ~v),

3. (~u + ~v )× ~w = ~u × ~w + ~v × ~w,

4. ~w × (~u + ~v ) = ~w × ~u+ ~w × ~v.

Upozornění: Některá pravidla pro násobení reálných čísel u vektorovéhosoučinu neplatí!

neplatí: ~u × ~v = ~v × ~u (viz platné pravidlo ~u × ~v = −~v × ~u),neplatí: (~u × ~v)× ~w = ~u × (~v × ~w),neplatí: ~u × ~v = ~o⇒ (~u = ~o nebo ~v = ~o).

Poznámka: Vektorový součin nenulových vektorů lze využít při řešení násle-dujících úloh.

1. Vyšetřování kolinearity nenulových vektorů ~u,~v:

~u × ~v = ~o⇔ (ϕ = 0 nebo ϕ = π).

2. Výpočet obsahu plochy sestrojené nad vektory ~u ,~v . (Výpočet obsahutrojúhelníku.)

3. Nalezení vektoru kolmého ke dvěma zadaným nenulovým vektorům.

———————————————————————————————————


Příklad 1.2.3 Vektory ~u =−→AB, ~v =

−→AC mají délky ||~u || = 1, ||~v || = 3, a svírají

úhel ϕ = ∠(~u,~v ) = π/4. Určete obsah trojúhelníku 4ABC.Řešení:

P4 =12||~u× ~v || = 1

2||~u || · ||~v || · sinϕ =

12· 1 · 3 · sin π

4=

34

√2.

Smíšený součin vektorů

-~b

~a

��*~c

��

P = ||~b × ~c||

6

~b × ~c

��

��

��

��

��

��

v

`

Uvažujme nejprve pozitivní trojici vektorů ~b ,~c ,~a a rovnoběžnostěn, sestro-jený nad těmito vektory. Objem rovnoběžnostěnu je součinem obsahu P základnya výšky v, V = P · v. Obsah základny je P = ||~b × ~c||. Výška je průmět délkyvektoru ~a do vektoru ~b × ~c, proto (viz úloha 4. skalárního součinu)

v = ||~a~b×~c || = ||~a || cos (~a ,~b × ~c ) =~a · (~b × ~c)||~b × ~c||

. (1.2)

Objem V rovnoběžnostěnu je proto v tomto případě vyjádřen tzv. smíšenýmsoučinem

V = ~a · (~b × ~c)vektorů ~b ,~c ,~a .

Přejdeme k obecnému případu.

Definice 1.2.3 Nechť ~a ,~b ,~c ∈ V (E3). Číslo

[~a ,~b ,~c ] = ~a · (~b × ~c)

nazveme smíšeným součinem vektorů ~a ,~b ,~c (v tomto pořadí).

———————————————————————————————————


Poznámka: Víme, že ~c ×~b = −~b × ~c. Proto

[~a ,~c ,~b ] = ~a · (~c ×~b) = −~a · (~b × ~c) = −[~a ,~b ,~c ].

Lze ukázat, že vzájemnou výměnou dvou sousedních vektorů ve vzorci pro smí-šený součin se změní znaménko smíšeného součinu. Například

[~a ,~b︸︷︷︸,~c ] = −[~b , ~a ,~c︸︷︷︸] = [~b ,~c︸︷︷︸,~a ] = −[~c ,~b ,~a︸︷︷︸] = [~c ,~a︸︷︷︸,~b ] = −[~a ,~c ,~b ]

Poznámka: Z geometrického pohledu vidíme, že smíšený součin nenulovýchvektorů lze využít při řešení následujících úloh.

1. Výpočet objemu rovnoběžnostěnu setrojeného nad vektory ~a ,~b ,~c ∈ V (E3):

V = |[~a ,~b ,~c ]|.

2. Vyšetřování komplanárnosti vektorů: Nenulové vektory ~a ,~b ,~c jsou kompla-nární právě tehdy, když je

[~a ,~b ,~c ] = 0.

3. Stanovení pozitivnosti trojice vektorů:

~a ,~b ,~c je pozitivní trojice vektorů, když [~a ,~b ,~c ] > 0 (platí pravidlo pravé ruky),

~a ,~b ,~c je negativní trojice vektorů, když [~a ,~b ,~c ] < 0 (neplatí pravidlo pravé ruky),

Příklad 1.2.4 Rovnoběžnostěn je určen vektory ~a ,~b ,~c a víme, že ||~a || = √2,||~b || = 1, ||~c || = 2, ∠(~b ,~c ) = π/4, vektor ~a svírá se základnou určenou vektory~b ,~c úhel α = π/6. Vypočítejte objem rovnoběžnostěnu.

Řešení: Víme, že V = |[~a ,~b ,~c ]|. Platí:

|[~a ,~b ,~c ]| = |~a · (~b ×~c )| = ||~a || · ||~b ×~c || · | cos∠(~a ,~b ×~c )| =√

2||~b ×~c || cosπ

3=

=

√2

2||~b × ~c || =

√2

2||~b || · ||~c || sin∠(~b ,~c ) =

√2

2· 1 · 2 · sin π

4= 1.

Výsledek příkladu je V = 1.

———————————————————————————————————


Dvojný vektorový součin vektorů

Jde o vektorový součin trojice vektorů tvaru ~a× (~b×~c ). Je jasné, že výsledkem jevektor ~d , který je kolmý k vektoru ~b×~c, a je tedy komplanární s dvojicí vektorů~b,~c . Dá se ukázat, že pro koeficienty lineární kombinace vektorů ~b,~c platí:

~a× (~b× ~c ) = (~a · ~c)~b − (~a ·~b)~c . (1.3)

Na základě tohoto vztahu lze odvodit další užitečné vztahy pro sférickou trigo-nometrii.

Uvažujme například nenulové vektory ~a,~b,~c, ~d . Pak vektorový součin

(~a×~b︸︷︷︸~e

)× (~c× ~d ) = ~e× (~c× ~d ) =︸︷︷︸(1.3)

(~e · ~d)~c − (~e · ~c)~d = [~a,~b, ~d ]~c− [~a,~b,~c ]~d ,

a skalární součin

(~a×~b︸︷︷︸~e

) · (~c× ~d ) = ~e · (~c× ~d ) = ~c · (~d× ~e ) = ~c · (~d× (~a×~b )) =

=︸︷︷︸(1.3)

~c · ((~d ·~b)~a − (~d · ~a)~b ) = (~a · ~c )(~d ·~b )− (~b · ~c )(~a · ~d ).

Potřebné vztahy pro sférickou trigonometrii si uvedeme v následujícím odstavcitextu.

Důležité identity

Věta 5. Nechť ~a ,~b ,~c , ~d, ~u ,~v , ~w ∈ V (E3). Pak platí

(1) (~a ×~b) · (~c × ~d) =~a · ~c ~a · ~d~b · ~c ~b · ~d = (~a · ~c)(~b · ~d)− (~b · ~c)(~a · ~d),

(2) ~a × (~b × ~c) = (~a · ~c)~b − (~a ·~b)~c ,

(3) (~a ×~b)× (~c × ~d) = [~a ,~b , ~d]~c − [~a ,~b ,~c ]~d,

(4) [~a ,~b ,~c ] · [~u ,~v , ~w ] =~a · ~u ~a · ~v ~a · ~w~b · ~u ~b · ~v ~b · ~w~c · ~u ~c · ~v ~c · ~w

.

Zajímavost: V identitě (1) položme ~a = ~c = ~u , ~b = ~d = ~v . Pak

(~u × ~v) · (~u × ~v) = (~u · ~u)(~v · ~v)− (~v · ~u)(~u · ~v), tj.

———————————————————————————————————


||~u × ~v||2 = ||~u ||2||~v ||2 − (~u · ~v)2 ≥ 0.

Odtud ihned plyne známá Cauchyova identita:

(~u · ~v)2 ≤ ||~u ||2||~v ||2.

Jiný způsob odvození plyne z definice skalárního součinu ~u · ~v = ||~u || · ||~v || cosϕa vlastnosti vektorového součinu ||~u × ~v|| = ||~u || · ||~v || sinϕ, protože pak

(~u · ~v)2 = ||~u ||2||~v ||2 cos2 ϕ,

||~u × ~v||2 = ||~u ||2||~v ||2 sin2 ϕ

a součtem opět(~u · ~v)2 + ||~u × ~v||2 = ||~u ||2||~v ||2,

tj.||~u × ~v||2 = ||~u ||2||~v ||2 − (~u · ~v)2 ≥ 0.)

1.3 Aplikace vektorového počtu ve sférické tri-gonometrii

Sférický trojúhelník (schematicky na obrázcích).

@@@@@@@R

-��

O

A

B

C

~a

~b

~c

α

β

γ

b

c

a = ∠(~b ,~c )

A B

C

b

c

a

α β

γ

BBBBBBBBM

~a ×~b

PPPPPi

~a × ~c

~a ⊥ ~a×~b ⊥ ~b~a ⊥ ~a× ~c ⊥ ~c

α

V prostoru E3 zvolme body O,A,B,C tak, aby vektory ~a =−→OA, ~b =

−→OB, ~c =

−→OC

byly nekomplanární a jednotkové, tj. ||~a || = ||~b || = ||~c || = 1.Opíšeme-li ze středu O jednotkovou kouli, pak body A,B,C leží na kulové plošepoloměru jedna a tvoří vrcholy sférického trojúhelníku.Rovina procházející body O,A,B protne kulovou plochu v tzv. hlavní kružnici

———————————————————————————————————

1.3 Aplikace vektorového počtu ve sférické trigonometrii 19

a kratší část hlavní kružnice mezi body A,B vytvoří stranu c sférického trojúhel-níku. Podobným způsobem vytvoříme strany a, b sférického trojúhelníku.Úhel mezi stranami b, c při vrcholu A sférického trojúhelníku označíme α. Po-dobně značí β, γ úhly při vrcholech B,C. Tyto úhly tvoří odchylky stěn trojbo-kého jehlanu určeného body O,A,B,C.

Základními prvky sférického trojúhelníku rozumíme vrcholy A,B,C ,strany a, b, c a úhly α, β, γ sférického trojúhelníku.

Mezi prvky sférického trojúhelníku platí následující vztahy:

(5) a = ∠(~b ,~c ) b = ∠(~c ,~a ) c = ∠(~a ,~b )

(6) α = ∠(~a ×~b,~a × ~c) β = ∠(~b × ~c,~b × ~a) γ = ∠(~c × ~a,~c ×~b)

(7) cos a = ~b · ~c cos b = ~c · ~a cos c = ~a ·~b

(8) sin a = ||~b × ~c|| sin b = ||~c × ~a|| sin c = ||~a ×~b||

(9) cosα = (~a×~b)·(~a×~c)||~a×~b||·||~a×~c|| cos β = (~b×~c)·(~b×~a)

||~b×~c||·||~b×~a|| cos γ = (~c×~a)·(~c×~b)||~c×~a||·||~c×~b||

Vzorce (5), (6) jsou patrné ze schematického znázornění na předcházejícímobrázku vlevo. Protože ||~a || = ||~b || = ||~c || = 1, zjednoduší se vzorce pro skalárníi vektorový součin. Například platí

~a ·~b = ||~a || · ||~b || cos∠(~a ,~b ) = cos∠(~a ,~b ) = cos c,

||~a ×~b|| = ||~a || · ||~b || sin∠(~a ,~b ) = sin∠(~a ,~b ) = sin c.

Takto obdržíme snadno pomocí vektorů ~a ,~b ,~c všechny vztahy (7) a (8). Vzorce(9) jsou důsledkem (6) a vzorce pro vyjádření úhlu vektorů pomocí skalárníhosoučinu vektorů.

Sinová věta pro sférický trojúhelník

Použijeme vzorec (3) Věty 5:

(~a ×~b)× (~c × ~d) = [~a ,~b , ~d]~c − [~a ,~b ,~c ]~d.

———————————————————————————————————


Vektory ~a ,~b ,~c jsou vektory naší konstrukce. Vzorec obsahuje vektor ~d, kterýmůžeme volit libovolně.

Položme nejprve ve vzorci ~d = ~a . Získáme

(~a ×~b)× (~c × ~a︸︷︷︸=−~a×~c

) = [~a ,~b ,~a ]︸︷︷︸=0

~c − [~a ,~b ,~c ]~a

a úpravou[~a ,~b ,~c ]~a = (~a ×~b)× (~a × ~c).

V euklidovské normě pak ||[~a ,~b ,~c ]~a || = |[~a ,~b ,~c ]| · ||~a ||︸︷︷︸=1

= ||(~a ×~b)×(~a ×~c)|| =︸︷︷︸6

= ||~a ×~b|| · ||~a × ~c|| · sinα =︸︷︷︸(8)

sin c · sin b · sinα s výsledkem

|[~a ,~b ,~c ]| = sin c · sin b · sinα. (1.4)

Podobným způsobem lze pokračovat volbami ~d = ~b a ~d = ~c a ukázat, že můžemezvolit cestu cyklické záměny :

~a −→ ~b −→ ~c −→ ~a ,a −→ b −→ c −→ a,α −→ β −→ γ −→ α.

Ve vzorci, se kterým budeme pracovat, postupně nahrazujeme objekty (vektory,úhly, strany) těmi objekty, na které ukazuje šipka. Vzorec (1.4) má tvar|[~a ,~b ,~c ]| = sin c · sin b · sinα. První cyklickou záměnou získáme|[~b ,~c ,~a ]| = sin a · sin c · sin β, druhou cyklickou záměnou pak|[~c ,~a ,~b ]| = sin b · sin a · sin γ. (Další cyklická záměna by zopakovala vzorec (1.4).)Výměnou pořadí vektorů ve smíšeném součinu se nejvýše mění znaménko a s ohle-dem na absolutní hodnotu smíšeného součinu jsou čísla na levé straně všech třízískaných vzorců stejná. Proto platí rovnosti

sin c ·sin b ·sinα = sin a ·sin c ·sin β = sin b ·sin a ·sin γ, | · 1sin a sin b sin c

tj.

(10)sinαsin a

=sin βsin b

=sin γsin c

vzhledem k tomu, že sin a sin b sin c 6= 0. Tyto poslední získané rovnosti jsou ma-tematickým zápisem sinové věty pro sférický trojúhelník. Slovním vyjádřenímsinové věty je formulace:

Ve sférickém trojúhelníku poměry sinů stran ku sinům protilehlých úhlů jsou sirovny.

———————————————————————————————————

1.4 Lineární prostor, báze a dimenze 21

První kosinová věta pro sférický trojúhelník

Použijeme vzorec (1) Věty 5: (~a ×~b) · (~c × ~d) = (~a · ~c)(~b · ~d) − (~b · ~c)(~a · ~d).Opět položme ve vzorci ~d = ~a . Získáme

(~a ×~b) · (~c × ~a︸︷︷︸−~a×~c

) = (~a · ~c)(~b · ~a)− (~b · ~c)( ~a · ~a︸︷︷︸||~a ||2=1

).

Odtud~b · ~c = (~a · ~c)(~b · ~a) + (~a ×~b) · (~a × ~c),

pomocí (7) pak

cos a = cos b cos c+ ||~a ×~b|| · ||~a × ~c|| · cosα.

Vzorce (8) vedou k první kosinové větě pro stranu a:

(11) cos a = cos b cos c+ sin b sin c cosα.

Cyklickou záměnou a → b → c → a, α → β → γ → α získáme postupně prvníkosinové věty pro zbývající strany b, c :

(12) cos b = cos c cos a+ sin c sin a cos β,

(13) cos c = cos a cos b+ sin a sin b cos γ.

Poznámka: Je-li γ = π/2, je sférický trojúhelník pravoúhlý a vzorec (13)dává tvar Pythagorovy věty pro pravoúhlý sférický trojúhelník:

(14) cos c = cos a cos b.

(Pro ”malé” pravoúhlé sférické trojúhelníky pak platí vzorec c2 .= a2 + b2.)

1.4 Lineární prostor, báze a dimenze

Poznámka: Pojem vektorového zaměření V (E3) (včetně jeho vlastností danýchVětami 1 a 2) se v matematice zobecňuje na pojem lineární prostor nebo téžvektorový prostor. Geometrické vektory vytvářejí ”přirozený model” lineárníhoprostoru a umožňují nám pochopení obsahu tohoto pojmu. Porovnejme v ná-sledující definici axiomy I1–I4 (zákony pro sčítání vektorů, existence nulovéhoa opačného vektoru) s obsahem Věty 1 a axiomy II1, II2 (zákony pro násobenívektorů) spolu s III1, III2 (distributivní zákony) s obsahem Věty 2.

———————————————————————————————————


Definice 1.4.1 Množinu M = {x, y, z, . . .} nazveme (reálným) lineárnímprostorem, když

x, y ∈M =⇒ x+ y ∈M (na M je definováno sčítání prvků),α ∈ R, x ∈M =⇒ αx ∈M (na M je definováno násobení skalárem α ∈ R),

pro každé x, y ∈ M,α ∈ R a operace sčítání a násobení skalárem jsou prokaždé x, y, z ∈M a každé α, β ∈ R vázány axiomy :

I1. x+ y = y + x,I2. (x+ y) + z = x+ (y + z),I3. existuje nulový prvek o ∈M takový, že x+ o = x,I4. ke každému prvku x existuje opačný prvek − x tak, že platí x+ (−x) = o,II1. 1 · x = x,II2. α(βx) = (αβ)x,III1. (α + β)x = αx+ βx,III2. α(x+ y) = αx+ αy.

Prvky x, y, z, . . . nazýváme vektory.

Také pojmy kolinearity (nekolinearity) a komplanarity (nekomplanarity) sezobecňují v lineárním prostoru na tzv. lineární závislost (lineární nezávislost)vektorů.

Definice 1.4.2 Jsou-li x1, x2, . . . , xn vektory a c1, c2, . . . , cn ∈ R čísla, pak vek-tor

x = c1x1 + c2x2 + · · ·+ cnxn

nazveme lineární kombinací vektorů x1, x2, . . . , xn.Vektory x1, x2, . . . , xn nazveme lineárně nezávislé, když

c1x1 + c2x2 + · · ·+ cnxn = ~o⇐⇒ c1 = c2 = · · · = cn = 0,

tj. žádný z vektorů nelze zapsat jako lineární kombinaci vektorů zbývajících.V opačném případě jsou vektory x1, x2, . . . , xn lineárně závislé.

Protože máme definován pojem lineární nezávislosti vektorů, můžeme zavéstužitečné pojmy báze a dimenze lineárního prostoru.

Definice 1.4.3 Vektory x1, x2, . . . , xn tvoří bázi lineárního prostoru M , kdyžjsou lineárně nezávislé a každý další vektor x ∈ M je již jednoznačnou lineárníkombinací vektorů x1, x2, . . . , xn, tj.

x ∈M =⇒ x = c1x1 + c2x2 + · · ·+ cnxn (c1, . . . , cn ∈ R). (1.5)

Počet n vektorů báze se nazývá dimenze lineárního prostoru M a koeficientyc1, . . . , cn ∈ R lineární kombinace (1.5) se nazývají souřadnice vektoru xv uspořádané bázi 〈x1, x2, . . . , xn〉.

———————————————————————————————————

1.5 Vektory v ortonormální bázi 23

Příklad 1.4.1 Vektorové zaměření V (E3) je lineárním prostorem dimenze tři.Namísto zápisu M = {x, y, z, . . .} používáme zápis V (E3) = {~x, ~y, ~z, . . .}.

Příklad 1.4.2 Pravidla pro počítání s reálnými čísly nám umožňují uká-zat, že množina M = Rn uspořádaných n–tic s prvky x = (x1, x2, . . . , xn),y = (y1, y2, . . . , yn) a operacemi sčítání

x+ y = (x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)

a násobení reálným číslem

αx = α(x1, x2, . . . , xn) = (αx1, αx2, . . . , αxn)

je tzv. aritmetickým lineáním prostorem, který má dimenzi n. Nulovýmprvkem je uspořádaná n–tice o = (0, 0, . . . , 0) a opačným vektorem k vektorux = (x1, x2, . . . , xn) je vektor −x = (−x1,−x2, . . . ,−xn).

1.5 Vektory v ortonormální bázi

Nechť 〈~e1, ~e2, ~e3〉 je uspořádaná pozitivní soustava vzájemně kolmých (~ei · ~ej = 0pro i 6= j) a jednotkových (||~ei|| = 1) vektorů (i, j ∈ {1, 2, 3}).

Sestavíme-li pro α1, α2, α3 ∈ R rovnici

α1~e1 + α2~e2 + α3~e3 = ~o,

pak postupné skalární násobení rovnice vektory ~e1, ~e2, ~e3 vede k výsledkuα1 = α2 = α3 = 0. Například násobení vektorem ~e1 dává výsledek

α1 ~e1 · ~e1︸︷︷︸||~e1||2=1

+α2 ~e2 · ~e1︸︷︷︸0

+α3 ~e3 · ~e1︸︷︷︸0

= ~o · ~e1︸︷︷︸0

⇒ α1 = 0.

Vektory ~e1, ~e2, ~e3 jsou proto lineárně nezávislé, tvoří tzv. ortonormální bázi

E = 〈~e1, ~e2, ~e3〉

prostoru V (E3) a každý vektor ~x ∈ V (E3) je jejich lineární kombinací

~x = x1~e1 + x2~e2 + x3~e3 (x1, x2, x3 ∈ R).

Ortonormálních bází je v prostoru V (E3) nekonečný počet (liší se od sebe posu-nutím a otočením soustavy).Vždy uvažujeme jednu konkrétní soustavu, ke kterése vztahují souřadnice vektoru ~x ∈ V (E3).

Připomeneme si výsledky pro skalární a vektorové součiny vektorů báze E,vyplývající z dřívějších definic.

———————————————————————————————————


Lze vyjádřit skalární součiny:

~e1 · ~e1 = ||~e1||2 = 1 ~e1 · ~e2 = 0 ~e1 · ~e3 = 0~e2 · ~e1 = 0 ~e2 · ~e2 = ||~e2||2 = 1 ~e2 · ~e3 = 0~e3 · ~e1 = 0 ~e3 · ~e2 = 0 ~e3 · ~e3 = ||~e3||2 = 1

podle definice ortonormální báze.

Podobně vektorové součiny jsou

-

~e1 = ~e2 × ~e3

��*~e2 = ~e3 × ~e1

��

6

~e3 = ~e1 × ~e2

~e1 × ~e1 = ~o ~e1 × ~e2 = ~e3 ~e1 × ~e3 = −~e2

~e2 × ~e1 = −~e3 ~e2 × ~e2 = ~o ~e2 × ~e3 = ~e1

~e3 × ~e1 = ~e2 ~e3 × ~e2 = −~e1 ~e3 × ~e3 = ~o

podle definice vektorového součinu (použijte v obrázku ”pravidlo pravé ruky”).

Skalární součin v ortonormální bázi

S ohledem na pravidla pro počítání se skalárním součinem (Věta 3) můžemepočítat

~a ·~b = (a1~e1 + a2~e2 + a3~e3) · (b1~e1 + b2~e2 + b3~e3) =

= a1b1 ~e1 · ~e1︸︷︷︸1

+a1b2 ~e1 · ~e2︸︷︷︸0

+a1b3 ~e1 · ~e3︸︷︷︸0

+

+a2b1 ~e2 · ~e1︸︷︷︸0

+a2b2 ~e2 · ~e2︸︷︷︸1

+a2b3 ~e2 · ~e3︸︷︷︸0

+

+a3b1 ~e3 · ~e1︸︷︷︸0

+a3b2 ~e3 · ~e2︸︷︷︸0

+a3b3 ~e3 · ~e3︸︷︷︸1

= a1b1 + a2b2 + a3b3.

Získali jsme vzorec

~a ·~b = a1b1 + a2b2 + a3b3

pro vektory ~a = a1~e1+a2~e2+a3~e3,~b = b1~e1+b2~e2+b3~e3, uvažované v ortonormálníbázi E.

———————————————————————————————————

1.5 Vektory v ortonormální bázi 25

Vektorový součin v ortonormální bázi

Podobným způsobem lze využít Větu 5 pro výpočet vektorového součinu vektorů~a = a1~e1 + a2~e2 + a3~e3, ~b = b1~e1 + b2~e2 + b3~e3 v ortonormální bázi E. Rozepsánívektorového součinu dává vektor

~a ×~b = (a1~e1 + a2~e2 + a3~e3)× (b1~e1 + b2~e2 + b3~e3) =

= a1b1 ~e1 × ~e1︸︷︷︸~o

+a1b2 ~e1 × ~e2︸︷︷︸~e3

+a1b3 ~e1 × ~e3︸︷︷︸−~e2

+

+a2b1 ~e2 × ~e1︸︷︷︸−~e3

+a2b2 ~e2 × ~e2︸︷︷︸~o

+a2b3 ~e2 × ~e3︸︷︷︸~e1

+

+a3b1 ~e3 × ~e1︸︷︷︸~e2

+a3b2 ~e3 × ~e2︸︷︷︸−~e1

+a3b3 ~e3 × ~e3︸︷︷︸~o

=

= (a2b3 − a3b2)~e1 + (a3b1 − a1b3)~e2 + (a1b2 − a2b1)~e3.

Tento výsledek můžeme zapsat jako symbolický determinant třetího řádu, kterýpři výpočtu rozvineme podle prvního řádku:

~a ×~b =~e1 ~e2 ~e3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

= (a2b3 − a3b2)~e1 − (a1b3 − a3b1)~e2 + (a1b2 − a2b1)~e3.

Příklad 1.5.1 Najděte vektor kolmý k vektorům ~a = ~e1 − 2~e2 + ~e3,~b = 2~e1 + ~e2 − ~e3.

Řešení:

~d = ~a ×~b =~e1 ~e2 ~e3

1 −2 12 −1 1

= ~e1 + 3~e2 + 5~e3.

Řešením úlohy je každý vektor kolineární s vektorem ~d.

Smíšený součin v ortonormální bázi

Uvažujeme smíšený součin

[~a ,~b ,~c ] = ~a · (~b × ~c)pro vektory ~a = a1~e1 + a2~e2 + a3~e3, ~b = b1~e1 + b2~e2 + b3~e3, ~c = c1~e1 + c2~e2 + c3~e3

v ortonormální bázi E a víme, že

~d = ~b ×~c = (b2c3 − b3c2)︸︷︷︸d1

~e1+(b3c1 − b1c3)︸︷︷︸d2

~e2+(b1c2 − b2c1)︸︷︷︸d3

~e3 = d1~e1+d2~e2+d3~e3.

———————————————————————————————————


Skalární součin~a · (~b × ~c) = ~a · ~d =

= a1d1 + a2d2 + a3d3 = a1(b2c3 − b3c2) + a2(b3c3 − b1c3) + a3(b1c2 − b2c1) =

= a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − a1b3c2 − a2b1c3 − a3b2c1.

Smíšený součin proto můžeme zapsat jako determinant třetího řádu

[~a ,~b ,~c ] =a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

.

Příklad 1.5.2 Vypočítejte objem rovnoběžnostěnu sestrojeného nad vektory~a = ~e1, ~b = ~e1 − 3~e3, ~c = 2~e1 + ~e2 + ~e3. Tvoří vektory ~a ,~b ,~c pozitivní trojicivektorů?

Řešení:

[~a ,~b ,~c ] =1 0 01 0 −32 1 1

= 1 · 0 −31 1

= 3 > 0.

Vektory ~a ,~b ,~c tvoří pozitivní trojici vektorů, protože [~a ,~b ,~c ] > 0. Objem rov-noběžnostěnu sestrojeného nad vektory ~a ,~b ,~c je |[~a ,~b ,~c ]| = |3| = 3 (jednotky3).

Příklad 1.5.3 Jsou dány vektory ~a = ~e1 + ~e3, ~b = ~e2 − ~e3, ~c = ~e1 + ~e2.Vypočítejte ~a × (~b × ~c)

a) podle vzorce pro počítání vektorového součinu v souřadnicích báze E,

b) pomocí vzorce (2) Věty 5.

Řešení:

a) Nejprve najdeme ~d = ~b × ~c =~e1 ~e2 ~e3

0 1 −11 1 0

= ~e1 − ~e2 − ~e3. Pak

~a × (~b × ~c) = ~a × ~d =~e1 ~e2 ~e3

1 0 11 −1 −1

= ~e1 + 2~e2 − ~e3.

b) Vzorec má tvar~a × (~b × ~c) = (~a · ~c)~b − (~a ·~b)~c .

Skalární součiny~a · ~c = (1~e1 + 0~e2 + 1~e3) · (1~e1 + 1~e2 + 0~e3) = 1 · 1 + 0 · 1 + 1 · 0 = 1,~a ·~b = (1~e1 + 0~e2 + 1~e3) · (0~e1 + 1~e2 − 1~e3) = 1 · 0 + 0 · 1 + 1 · (−1) = −1.Proto ~a × (~b × ~c) = ~b − (−1)~c = ~b + ~c = ~e2 − ~e3 + ~e1 + ~e2 = ~e1 + 2~e2 − ~e3.

———————————————————————————————————

Kapitola 2

Některé aplikace vektorovéhopočtu

2.1 Vektory v souřadnicové soustavě prostoruE3

Zvolíme-li v E3 pevný bod O a uspořádanou pozitivní ortonormální bázi〈~e1, ~e2, ~e3〉 ve V (E3), pak dostaneme tzv. kartézský souřadnicový systéma označíme jej 〈O;~e1, ~e2, ~e3 〉. Bod O nazýváme počátkem a přímky určené bo-dem O a postupně vektory ~e1, ~e2, ~e3 nazýváme souřadnicovými osami x, y, z.Je konvence označovat tuto speciální bázi jako 〈~i,~j,~k 〉 namísto 〈~e1, ~e2, ~e3 〉.

S každým bodem A je možné uvažovat polohový vektor (rádiusvektor)

~rA =−→OA= xA~i+ yA~j + zA~k

bodu A. Zápis vektoru ~rA =−→OA budeme zkracovat na tvar

−→OA= xA~i+ yA~j + zA~k = (xA, yA, zA),

čísla xA, yA, zA nazveme souřadnicemi bodu A a píšeme A = [xA, yA, zA]. Dvěmarůznými body A = [xA, yA, zA], B = [xB, yB, zB] je pak určen vektor−→AB=

−→OB −

−→OA= (xB−xA)~i+(yB−yA)~j+(zB−zA)~k = (xB−xA, yB−yA, zB−zA).

O ~i 1- x

~j

��

y

~k

6

z

�A = [xA, yA, zA]

−→OA

O��*

B

−→OB

��A

−→OA

j

−→AB

-��6

———————————————————————————————————

28 Některé aplikace vektorového počtu

2.2 Rovina v E3

Skutečnost, že rovina ρ je v prostoru E3 určena bodem A = [xA, yA, zA] ∈ ρa dvěma nekolineárními vektory ~u = (u1, u2, u3), ~v = (v1, v2, v3) ležícími v roviněρ budeme zapisovat

ρ = [A; ~u ,~v ].

Můžeme použít několik různých přístupů k popisu roviny (stanovení podmínky,za které je obecný bod X = [x, y, z] bodem roviny ρ). Uvedeme dva z takovýchpřístupů.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Libovolný bod X = [x, y, x] ∈ ρ právě, když vektory−→AX,~u ,~v jsou komplanární.

ρ��

AHHHj~u

��~v

-−→AX��

��* X 6∈ ρ

``X ∈ ρ

vektory ~u ,~v leží v ρ

To lze vyjádřit dvěma způsoby:

1.−→AX = t~u + s~v (t, s ∈ R jsou parametry) jsou parametrické rovniceroviny ρ, které rozepisujeme do souřadnic

x = xA + tu1 + sv1,y = yA + tu2 + sv2,z = zA + tu3 + sv3.

Z těchto rovnic umíme vyčíst souřadnice bodu A ∈ ρ i vektorů ~u ,~v rovinyρ.

2. Pro komplanární vektory je smíšený součin [−→AX,~u ,~v ] = 0. Proto

[−→AX,~u ,~v ] =

x− xA y − yA z − zAu1 u2 u3

v1 v2 v3

=

= (x−xA) ·(u2v3−u3v2)−(y−yA) ·(u1v3−u3v1)+(z−zA) ·(u1v2−u2v1) =

= ax+ by + cz + d = 0

a výsledkem je obecná rovnice roviny ρ.

———————————————————————————————————

2.2 Rovina v E3 29

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Vektor ~n = (n1, n2, n3) 6= ~o kolmý k rovině ρ se nazývá normálový vektor

roviny ρ. Z vlastností vektorového součinu víme, že vektor ~u × ~v je kolmý kekaždému z vektorů ~u ,~v ležících v rovině ρ, proto je kolmý k rovině ρ. Je zřejmé,že za normálový vektor roviny můžeme volit libovolný nenulový vektor kolineárnís vektorem ~u × ~v.

ρ��

AHHHj~u

��~v

-−→AX

6~n = k(~u × ~v)

``X ∈ ρ

Libovolný bod X = [x, y, x] ∈ ρ právě, když vektory−→AX,~n jsou kolmé.

Podmínku kolmosti vektorů vyjadřuje skalární součin

−→AX ·~n = (x− xA, y − yA, z − zA) · (n1, n2, n3) =

= n1x+ n2y + n3z − (n1xA + n2yA + n3zA) = ax+ by + cz + d = 0.

Vidíme, že koeficienty a, b, c obecného tvaru rovnice roviny ρ jsou souřadnicenormálového vektoru roviny ρ, tj.

~n = (a, b, c),

kde vektor ~n je kolineární s vektorem ~u × ~v.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Příklad 2.2.1 Rovina ρ má obecnou rovnici roviny x + 2z + 1 = 0. Najdětebod A a normálový vektor roviny ρ.

Řešení: Obecná rovnice roviny ρ má tvar ax+ by+ cz+d = 0, kde normálovývektor ~n = (a, b, c). Zadání úlohy proto napíšeme ve tvaru 1x+ 0y + 2z + 1 = 0a proto ~n = (1, 0, 2). Bodem roviny je libovolný bod A = [xA, yA, zA], kterýsplňuje rovnici xA + 2zA + 1 = 0. Protože rovnice nezávisí na y, lze volit projednoduchost yA = 0 a například volbou xA = −1 získáme z rovnice zA = 0. BodA = [−1, 0, 0] ∈ ρ.

Poznámka: Rovnice roviny x + 2z + 1 = 0 posledního příkladu ne-závisí na y, pro každé y je rovnice stejná, proto je rovina rovnoběžná

———————————————————————————————————


se souřadnicovou osou y. To je vidět také na normálovém vektoru~n = (1, 0, 2), který má druhou souřadnici nulovou (situaci grafickyznázorněte). Podobně rovnice x = 3 je v E3 obecnou rovnicí roviny,která je rovnoběžná se souřadnicovými osami y i z.

Příklad 2.2.2 Body A = [1, 1, 1], B = [0, 1, 2], C = [−2, 3,−1] jsou bodyroviny ρ. Najděte obecnou rovnici roviny ρ

a) Užitím vektorového součinu vektorů.

b) Užitím smíšeného součinu vektorů.

Řešení: Rovina ρ = [A; ~u ,~v ], kde A = [1, 1, 1] a vektory ~u =−→AB= (−1, 0, 1),

~v =−→AC = (−3, 2,−2) jsou nekomplanární.

a) Vektor ~u × ~v =~i ~j ~k−1 0 1−3 2 −2

= −2~i − 5~j − 2~k = (−2,−5,−2) je ko-

lineární s normálovým vektorem roviny. Proto můžeme zvolit například~n = (a, b, c) = (2, 5, 2). Bod

A = [1, 1, 1] ∈ ρ : 2x+ 5y + 2z + d = 0.

Proto je d = −9 a hledaná rovnice je ρ : 2x+ 5y + 2z − 9 = 0.

b) Vektory−→AX,~u ,~v jsou pro body X ∈ ρ komplanární. Proto smíšený součin

[−→AX,~u ,~v ] = 0, tj.

x− 1 y − 1 z − 1−1 0 1−3 2 −2

= −2(x− 1)− 5(y − 1)− 2(z − 1) = 0.

Úpravou získané rovnice obdržíme výsledek ρ : 2x+ 5y + 2z − 9 = 0.

Cvičení 2.2.1 Ukažte, že 3x + 6y + 2z − 13 = 0 je obecnou rovnicí roviny,která vytíná na souřadnicových osách úseky v poměru 2 : 1 : 3 a prochází bodemA = [1, 2,−1]. Jaké jsou délky úseků na osách?

Návod : Situaci si graficky znázorněte. Průsečíky hledané roviny se souřadni-covými osami jsou body A = [2q, 0, 0], B = [0, q, 0], C = [0, 0, 3q], kde |q| 6= 0

je délka úseku. Rovina je proto určena například bodem A a vektory ~u =−→AB,

~v =−→AC . Jedním z výpočetních postupů předcházejícího příkladu obdržíme po-

žadovaný výsledek.

———————————————————————————————————

2.3 Přímka v E3 31

2.3 Přímka v E3

Skutečnost, že přímka p je v prostoru E3 určena bodem A = [xA, yA, zA] a smě-rovým vektorem ~s = (s1, s2, s3) budeme zapisovat

p = [A;~s ].

Obecný bod X = [x, y, z] je bodem přímky p právě, když jsou vektory ~s ,−→AX

kolineární, tj.−→AX = t · ~s (t ∈ R).

p

A-~s -

−→AX

X ∈ p

Rozepsáním této vektorové rovnice a úpravou složek získáváme paramet-rické rovnice přímky p,

p : x = xA + ts1, y = yA + ts2, z = zA + ts3, (t ∈ R je parametr).

Zcela formálně můžeme v každé z parametrických rovnic vyjádřit parametr ta obdržíme kanonické rovnice přímky p ve tvaru

p :x− xAs1

=y − yAs2

=z − zAs3

(= t).

Výrazy zápisu přitom nebudeme považovat za zlomky, i když tak formálně vypa-dají. Úkolem zápisu je především podat informaci o souřadnicích bodu A a smě-rového vektoru ~s , proto bude mít například smysl i zápis

p :x

0=y − 1

1=z − 2−3

vyjadřující skutečnost, že přímka p je určena bodem A = [0, 1, 2] a směrovýmvektorem ~s = (0, 1,−3).

Často je přímka zadána jako průsečnice dvou rovin,

p :

{a1x+ b1y + c1z + d1 = 0a2x+ b2y + c2z + d2 = 0

,

které nejsou rovnoběžné nebo totožné. To je splněno, když normálové vektory~n1 = (a1, b1, c1), ~n2 = (a2, b2, c2) rovin nejsou kolineární. Úlohou takového zadánípřímky bývá nalezení parametrických rovnic přímky, tj. bodu A a směrovéhovektoru ~s přímky p. Řešení úlohy je velmi jednoduché: přímka p je obsaženav obou rovinách, proto je směrový vektor přímky kolmý k normálovým vektorům

———————————————————————————————————


~n1, ~n2. Vektor ~n1 × ~n2 je kolmý k vektorům ~n1, ~n2 a pro nekolineární vektory jenenulový. Proto je ~s kolineární s vektorem ~n1 × ~n2. Bod přímky najdeme jakojedno z nekonečně mnoha řešení soustavy dvou rovnic, které přímku definují.Jinou možností je určení obecného řešení soustavy rovnic

a1x+ b1y + c1z + d1 = 0a2x+ b2y + c2z + d2 = 0

,

které závisí na jednom parametru a přímo stanoví parametrické rovnice přímky.

Příklad 2.3.1 Najděte parametrické rovnice přímky

p :

{2x− 3y + z − 5 = 03x+ y − 2z − 4 = 0

.

Řešení:

1. řešení: ρ1 : 2x− 3y + z − 5 = 0⇒ ~n1 = (2,−3, 1),ρ2 : 3x+ y − 2z − 4 = 0⇒ ~n2 = (3, 1,−2).

~n1 × ~n2 =~i ~j ~k2 −3 13 1 −2

= 5~i+ 7~j + 11~k = (5, 7, 11) 6= ~o,

proto nejsou vektory kolineární, lze položit ~s = (5, 7, 11) a úloha má řešení.Položíme-li například y = 0, pak řešíme soustavu rovnic 2x + z − 5 = 0,3x− 2z − 4 = 0 s výsledkem x = 2, z = 1. Bod A = [2, 0, 1] ∈ p. Paramet-rické rovnice přímky jsou

p : x = 2 + 5t, y = 7t, z = 1 + 11t, (t ∈ R).

2. řešení: Gaussovou eliminační metodou lze upravit rozšířenou matici soustavy natvar (

3 1 −2 42 −3 1 5

)∼(

1 4 −3 −10 −11 7 7

)

Volíme například y = 7t (t ∈ R je parametr), abychom se vyhnuli počítáníse zlomky. Druhá rovnice je proto −11 · 7t+ 7z = 7⇒ z = 1 + 11t a prvnírovnice po dosazení dává x = 2 + 5t. Parametrické rovnice přímky jsou

p : x = 2 + 5t, y = 7t, z = 1 + 11t, (t ∈ R).

———————————————————————————————————

2.4 Úlohy metrické 33

2.4 Úlohy metrické

Vzdálenost bodu od roviny

ρ��

A��

−→AM

6~n = (a, b, c)

hh

ρ : ax+ by + cz + d = 0

axA + byA + czA + d = 0⇒ d = −(axA + byA + czA)

M = [xM , yM , zM ]

Vzdálenost bodu M = [xM , yM , zM ] od roviny ρ : ax + by + cz + d = 0určené bodem A = [xA, yA, zA] a normálovým vektorem ~n = (a, b, c) je číslo h,

které je průmětem délky vektoru−→AM do vektoru ~n. Proto

h = ||−→AM~n || = |~n ·

−→AM |||~n||

(viz vzorec (1.1)). Ze střední školy známé vyjádření vzorce obdržíme takto:

~n ·−→AM = (a, b, c) · (xM − xA, yM − yA, zM − zA) =

= axM + byM + czM − (axA + byA + czA︸︷︷︸−d

) = axM + byM + czM + d

a ||~n|| =√~n · ~n =

√a2 + b2 + c2. Dosazením do výše uvedeného vzorce získáme

vyjádření vzdálenosti bodu M = [xM , yM , zM ] od roviny ρ : ax+ by + cz + d = 0ve tvaru

d =|axM + byM + czM + d|√

a2 + b2 + c2.

———————————————————————————————————


Vzdálenost bodu od přímky

A

ϕ��

−→AM

-~s

p

h

M = [xM , yM , zM ]

P

h = ||−→AM || sinϕ

||−→AM ×~s|| = ||

−→AM || · ||~s || sinϕ

||−→AM ×~s|| = ||~s || · h

Vzdálenost h bodu M = [xM , yM , zM ] od přímky p = [A;~s ] je vzdálenostíbodu M od kolmého průmětu P bodu M na přímku p. Pomocí vektorovéhosoučinu vyjádříme vzdálenost bodu od přímky jako

h =||~s×

−→AM ||||~s ||

(viz obrázek).

Úhel dvou rovin

ρ1αα

��ρ2

6

~n1

@@@

@I

−~n2

@@@@R~n2

Úhel α rovin ρ1, ρ2 vybíráme vždy ostrý. Úhel rovin je úhlem normálovýchvektorů rovin

cosϕ =| ~n1 · ~n2||| ~n1|| · || ~n2|| ,

kde uvažujeme v čitateli absolutní hodnotu, abychom ošetřili případ uvedenýv obrázku a počítali s ostrým úhlem ϕ.

———————————————————————————————————

2.4 Úlohy metrické 35

Úhel dvou přímek

p1α

��p2

-~s1

��−~s2

��

~s2

Úhel α přímek p1, p2 vybíráme vždy ostrý. Úhel přímek je úhlem směro-vých vektorů přímek

cosϕ =|~s1 · ~s2|||~s1|| · ||~s2|| ,

kde uvažujeme v čitateli absolutní hodnotu, abychom ošetřili případ uvedenýv obrázku a počítali s ostrým úhlem ϕ.

Úhel přímky a roviny

ραϕ

6

~n

��p

��~s

Úhel α přímky p s rovinou vybíráme vždy ostrý. Úhel přímek je doplňkem úhlu ϕsměrového vektoru přímky a normálového vektoru roviny do π/2, tj. ϕ = π

2 − α.Víme, že ~n · ~s = ||~n|| · ||~s || cosα = ||~n|| · ||~s || cos (π2 − ϕ) = ||~n|| · ||~s || sinϕ. Protov obecném případě klademe

sinϕ =|~n · ~s|||~n|| · ||~s|| ,

kde uvažujeme v čitateli absolutní hodnotu, abychom počítali s ostrým úhlem ϕ.

———————————————————————————————————


2.5 Úlohy polohy

Vzájemná poloha dvou rovin

K rovinám ρ1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0, ρ2 : a2x + b2y + c2z + d2 = 0 na-jdeme body A1 ∈ ρ1, A2 ∈ ρ2 a odpovídající normálové vektory ~n1 = (a1, b1, c1),~n2 = (a2, b2, c2).

1. Jsou-li vektory ~n1, ~n2 kolineární, jsou roviny ρ1, ρ2 rovnoběžné.

a) Je-li navíc například A1 ∈ ρ2, pak jsou roviny ρ1, ρ2 totožné.

b) Jestliže A1 6∈ ρ2, pak jsou roviny ρ1, ρ2 rovnoběžné a různé. Stano-vením vzdálenosti bodu A1 ∈ ρ1 od roviny ρ2 určíme vzdálenost oburovnoběžných rovin.

2. Jsou-li vektory ~n1, ~n2 nekolineární, jsou roviny ρ1, ρ2 různoběžné a protí-nají se v jedné přímce p. Stanovujeme pak úhel rovin a nejčastěji parame-trické rovnice přímky p.

Vzájemná poloha přímky a roviny

Určíme bod A a normálový vektor ~n roviny ρ, bod B a směrový vektor ~s přímkyp. Z geometrických významů obou vektorů vyplývá:

1. Jsou-li vektory ~s , ~n kolmé, je přímka p rovnoběžná s rovinou ρ.

a) Je-li B ∈ ρ, pak leží přímka p v rovině ρ.

b) Jestliže B 6∈ ρ, pak najdeme vzdálenost přímky p od roviny ρ jakovzdálenost bodu B od roviny ρ.

2. Nejsou-li vektory ~s , ~n kolmé, pak přímka p protíná rovinu ρ v průsečíku Ppřímky s rovinou. Stanovujeme úhel přímky s rovinou a souřadnice průse-číku P .

Průsečík přímky s rovinou

Ať je přímka p určena parametrickými rovnicemi

p : x = xB + ts1, y = yB + ts2, z = zB + ts3

a rovina ρ obecnou rovnicí roviny

ρ : ax+ by + cz + d = 0.

———————————————————————————————————

2.5 Úlohy polohy 37

Přímka p = [B;~s ] má s rovinou ρ = [A;~n ] průsečík P = [xP , yP , zP ] v případě,že ~s · ~n 6= 0. Pak jsou současně splněny rovnice

xP = xB + tP s1, yP = yB + tP s2, zP = zB + tP s3, axP + byP + czP + d = 0

pro hodnotu tP parametru bodu P. Dosazením nalezeného tP do výše uvedenýchrovnic ihned obdržíme souřadnice průsečíku P přímky p s rovinou ρ a identickourovnici 0 = 0.

Vzájemná poloha dvou přímek

Nechť p = [A;~sp ], q = [B;~sq ] jsou dvě přímky učené odpovídajícími body a smě-rovými vektory.

1. Jsou-li vektory ~s p, ~s q kolineární, jsou přímky p, q rovnoběžné.

a) Je-li například A ∈ q, pak jsou přímky p, q totožné (p ≡ q).

b) Je-li například A 6∈ q, pak jsou přímky p, q rovnoběžné, různé. Vzdá-lenost bodu A od přímky q (bodu B od přímky p) určuje vzdálenostrovnoběžek.

2. Jsou-li vektory ~s p, ~s q nekolineární, jsou přímky p, q různoběžné nebo

mimoběžné. Body A,B určují vektor−→AB ∈ V (E3).

a) Je-li smíšený součin [~s p, ~s q,−→AB ] = 0, leží přímky p, q v jedné rovině

a přímky jsou různoběžné. Určujeme úhel přímek, průsečík přímeka rovinu, ve které různoběžky leží.

b) Je-li smíšený součin [~s p, ~s q,−→AB ] 6= 0, jsou p, q přímky mimoběžné.

Určujeme úhel mimoběžek a jejich nejkratší vzdálenost.

Průsečík různoběžek

Označme ~s p = (s1, s2, s3), ~s q = (u1, u2, u3). Pro průsečík P = [xP , yP , zP ] různo-běžek platí s využitím parametrických rovnic podmínky

xP = xA + tP s1 = xB + τPu1

yP = yA + tP s2 = yB + τPu2

zP = zA + tP s3 = zB + τPu3

,

kde neznámé tP , τP jsou hodnoty parametrů bodu P v odpovídajících paramet-rických rovnicích. Jedná se o soustavu tří rovnic pro dvě neznámé tP , τP , kterámá v případě různoběžek právě jedno řešení. Toto řešení určuje po dosazení dovýše uvedených rovnic souřadnice hledaného bodu P.

———————————————————————————————————


Nejkratší vzdálenost mimoběžek

Nejkratší vzdálenost mimoběžek p = [A;~sp ], q = [B;~sq ] je určena výškou (viz(1.2))

v =|[~s p, ~s q,

−→AB ]|

||~s p × ~sq||

rovnoběžnostěnu sestrojeného nad vektory ~s p, ~s q,−→AB .

Příklad 2.5.1 Vyšetřete vzájemnou polohu přímek

p : x = 1 + t, y = 1− t, z = 2t (t ∈ R), q :2x+ 2

4=

4− 2y4

=z

4.

Řešení: p = [A;~sp ], kde A = [1, 1, 0], ~sp = (1,−1, 2).Úpravou zjistíme, že kanonické rovnice

x− x0

s1=y − y0

s2=z − z0

s3

přímky q mají tvarx+ 1

2=y − 2−2

=z

4,

proto q = [B;~sq ], kde B = [−1, 2, 0], ~s q = (2,−2, 4).Přímky p, q jsou rovnoběžné, protože ~s q = (2,−2, 4) = 2(1,−1, 2) = 2~sp

a ~s p, ~s q jsou kolineární vektory. K dispozici máme parametrické rovnice přímkyp a ptáme se, zda bod B = [−1, 2, 0] ∈ q vyhovuje rovnicím přímky p, tj. zda platísoučasně rovnice −1 = 1 + t, 2 = 1 − t, 0 = 2t pro nějakou hodnotu parametrut. Rovnice si odporují, proto B 6∈ p, přímky jsou rovnoběžné a různé. Vzdálenostrovnoběžek je vzdáleností bodu B od přímky p a je dána vzorcem

h =||~s p×

−→AB ||

||~sp || .

Vektor−→AB=

−→OB −

−→OA= (−1, 2, 0)− (1, 1, 0) = (−2, 1, 0) a vektorový součin

~s p×−→AB=

~i ~j ~k1 −1 2−2 1 0

= −2~i+ 4~j − ~k = (−2, 4,−1)

má délku ||~s p×−→AB || =

√21 a ||~s p|| =

√6. Proto mají rovnoběžky vzdálenost

h =√

21/6 =√

7/2.

———————————————————————————————————



p : x = 1− t, y = 2, z = 2t− 1 (t ∈ R), q : x = τ, y = 3 + τ, z = −3τ (τ ∈ R).

Řešení:

p = [A;~sp ], A = [1, 2,−1], ~s p = (−1, 0, 2),q = [B;~sq ], B = [0, 3, 0], ~s q = (1, 1,−3).

Vektorový součin

~s p × ~sq =~i ~j ~k−1 0 2

1 1 −3= −2~i−~j − ~k = −(2, 1, 1) 6= 0.

Vektory nejsou kolineární, proto se jedná o různoběžky nebo mimoběžky. Vektor−→AB=

−→OB −

−→OA= (0, 3, 0)− (1, 2,−1) = (−1, 1, 1) a smíšený součin

[~s p, ~s q,−→AB ] =

−1 0 21 1 −3−1 1 1

= 0.

Přímky p, q jsou různoběžné.Úhel různoběžek určíme pomocí skalárního součinu

cosϕ =|~s p · ~sq|||~s p|| · ||~s q|| =

| − 7|√5 · √11

=7√55⇒ ϕ = arccos

7√55.

Průsečík P různoběžek najdeme pomocí rovnic

xP = 1− tP = τP ⇒ tP = 2yP = 2 = 3 + τP ⇒ τP = −1zP = −1 + 2tP = −3τP ⇒ −1 + 4 = 3

Odtud pak xP = −1, yP = 2, zP = 3 a hledaný průsečík P = [−1, 2, 3].Rovina obsahující různoběžky je určena prvky, kterými jsou zadány přímky

p, q. Stačí uvažovat ρ = [A;~sp, ~sq ]. Normálový vektor ~n roviny ρ je kolineárnís již nalezeným vektorem ~s p × ~sq = −(2, 1, 1) a stačí zvolit ~n = (2, 1, 1).

Bod X = [x, y, z] ∈ ρ právě, když jsou vektory−→AX,~n kolmé. Proto

−→AX ·~n =

= (x− 1, y − 2, z + 1) · (2, 1, 1) = 2(x− 1) + y − 2 + z + 1 = 2x+ y + z − 3 = 0.Nalezená rovina ρ : 2x + y + z − 3 = 0 skutečně obsahuje obě přímky, protožepostupným dosazením parametrických rovnic přímek do obecné rovnice roviny ρobdržíme 2(1− t) + 2 + 2t− 1− 3 = 0, 2τ + 3 + τ − 3τ − 3 = 0, tj. identity 0 = 0.

———————————————————————————————————



p : x = 1− t, y = 2, z = 2t− 1 (t ∈ R), q :

{x+ y − 2z − 3 = 0,2x− y + z = 0.

Řešení: Pro každou přímku určíme bod a směrový vektor přímky. Začnemepřímkou q.

ρ1 : x+ y + 2z − 3 = 0 ⇒ ~n1 = (1, 1,−2),ρ2 : 2x− y + z = 0 ⇒ ~n2 = (2,−1, 1).

Vektor ~s q je kolineární s vektorem

~n1 × ~n2 =~i ~j ~k1 1 −22 −1 1

= −(1, 5, 3).

Volíme ~s q = (1, 5, 3). Pro z = 0 má soustava rovnic x+ y = 3, 2x− y = 0 určujícíbod přímky q řešení x = 1, y = 2 a bod B = [1, 2, 0] ∈ q. Proto

p = [A;~sp ], A = [1, 2,−1], ~s p = (−1, 0, 2),q = [B;~sq ], B = [1, 2, 0], ~s q = (1, 5, 3).

Vektorový součin

~s p × ~sq =~i ~j ~k−1 0 2

1 5 3= 5(−2, 1,−1) 6= 0

a ||~s p × ~sq|| = 5||(−2, 1,−1)|| = 5√

6. Přímky nejsou rovnoběžné. Vektor−→AB= (0, 0, 1) = ~k a smíšený součin

[~s p, ~s q,−→AB ] =

−1 0 21 5 30 0 1

= −5 6= 0.

Proto jsou p, q mimoběžné přímky.Pro úhel mimoběžek platí

cosϕ =|~s p · ~sq|||~s p|| · ||~s q|| =

5√35 · √5

=1√7⇒ ϕ = arccos

√7

7.

Nejkratší vzdálenost mimoběžek je

d =|[~s p, ~s q,

−→AB ]|

||~s p × ~sq|| =| − 5|5√

6=

1√6

=

√6

6.

———————————————————————————————————


Příčky a osa mimoběžek

Pro mimoběžné přímky p = [A; ~u ], q = [B;~v ], také určujeme

a) příčku mimoběžek, což je přímka r, která je různoběžná s oběma přím-kami p, q,

b) osu mimoběžek, což je příčka r, která je k oběma přímkám p, q kolmá.

Máme-li nalézt příčku r mimoběžek p, q, která je rovnoběžná s vektorem ~w,pro který platí [~u,~v, ~w ] 6= 0, pak stačí například

1) nalézt roviny ρ = [A; ~u, ~w ], σ = [B;~v, ~w ],2) vytvořit průnik r = ρ ∩ σ.

��

��1A

~u

PPPPPPPPPP

PPPPqB~v

��

r = ρ ∩ σ

��~w

��ρ = [A; ~u, ~w ]

PPPPPPPPPPPP

��σ = [B;~v, ~w ]

Otázka: Proč musí být vektory ~u,~v, ~w nekomplanární?

Poznámka:

a) Při hledání příčky r mimoběžek p, q, která prochází zadanýmbodem C, lze postupovat obdobně, jako když je zadán vektor ~w.

b) Pro směrový vektor ~w osy mimoběžek zřejmě platí ~w = ~u× ~v.

Příklad 2.5.4 Jsou dány přímky p : x = 1 + 2t, y = 2 + t, z = 2 + t, t ∈ R,q : x = 2 + s, y = 3, z = 4 + 3s, s ∈ R. Ověřte, že jde o mimoběžky a určetejejich příčku r víte-li, že má směrový vektor ~w = (2, 1,−3).

Řešení: Přímky p = [A; ~u ], q = [B;~v ], kde A = [1, 1, 1], ~u = (2, 1, 1),B = [2, 3, 4], ~v = (1, 0, 3) a platí

[−→AB ~u,~v ] =

1 1 22 1 11 0 3

= −4 6= 0.

———————————————————————————————————


Jde tedy o mimoběžky. Jak víme, osu r můžeme například určit jako průsečnicirovin ρ = [A; ~u, ~w ] a σ = [B;~v, ~w ], přičemž

ρ :x− 1 y − 2 z − 2

2 1 12 1 −3

= 0, σ :x− 2 y − 3 z − 4

1 0 32 1 −3

= 0.

Odtud

r :

{x− 2y + 3 = 03x− 9y − z + 25 = 0

.

2.6 Vlastní čísla a vlastní vektory

Motivace: Uvažujme v E2 rovnici

9x2 − 4xy + 6y2 + 16x− 8y − 2 = 0. (2.1)

Tentokrát se nám nepodaří určit typ a polohu kuželosečky pouhým ”doplněnímna úplný čtverec”, přebývá zde součin xy. Jde totiž o rovnici kuželosečky, kteránemá osy rovnoběžné se souřadnicovými osami. Našim cílem je najít transformaci

x = x(x ′, y ′ ), y = y(x ′, y ′ ),

která vyjádří rovnici kuželosečky vzhledem k jejím osám. Obě metody používanépro řešení této úlohy jsou pro geodety zajímavé.

a) První z nich používá transformaci otáčení s cílem zjistit úhel otočení, přikterém koeficient u x ′y ′ bude nulový. Pro transformaci otáčení platí:

- x

6y

Oa��

��*x ′

AAAAAAAK

y ′

α

α

-~e1

6~e ′1

��*

~e2

AAAAK~e ′2

~e ′1 = ~e1 · cosα + ~e2 · sinα~e ′2 = −~e1 · sinα + ~e2 · cosα

,

tj. [~e ′1~e ′2

]=

[cosα sinα− sinα cosα

]·[~e1

~e2

]

———————————————————————————————————

2.6 Vlastní čísla a vlastní vektory 43

a naopak [~e1

~e2

]=

[cosα − sinαsinα cosα

]·[~e ′1~e ′2

]

Odtud

−→OX = x~e1 + y~e2 = x · (~e ′1 cosα− ~e ′2 sinα) + y · (~e ′1 sinα + ~e ′2 cosα) =

= (x cosα + y sinα︸︷︷︸x′

)~e ′1 + (−x sinα + y cosα︸︷︷︸y′

)~e ′2

Můžeme tedy psát[x ′

y ′

]=

[cosα sinα− sinα cosα

]·[xy

]a

[xy

]=


]·[x ′

y ′

].

Dosadíme-li transformační vztahy pro x a y do rovnice kuželosečky, paknapříklad pro (2.1) obdržíme

(9 cos2 α−4 sinα cosα+6 sin2 α)x ′ 2+(−4 cos2 α− 6 sinα cosα + 4 sin2 α)︸︷︷︸0

x ′y ′+

+(9 sin2 α + 4 sinα cosα + 6 cos2 α)y ′ 2 + (16 cosα− 8 sinα)x ′−−(16 sinα + 8 cosα)y ′ − 2 = 0.

Položíme-li koeficient u x ′y ′ roven nule, dostaneme goniometrickou rovnici,ze které určíme sinα, cosα a tím i transformační rovnice.

Všimněte si zajímavých vlastností matice A =


]. Platí

det A = 1, A−1 = AT . Říkáme, že matice A je ortogonální.

b) Druhou možností je určit tzv. hlavní směry kuželosečky. Zaveďme si nejprveobecné označení koeficientů kuželosečky:

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13x+ 2a23y + a33 = 0.

Dá se ukázat, že pro hlavní směry (u1, u2) platí

(a11 − λ)u1 + a12u2 = 0a21u1 + (a22 − λ)u2 = 0

a rovnicea11s1 + a12s2 + a13 = 0a21s1 + a22s2 + a23 = 0

splňuje střed S = [s1, s2] kuželosečky.

———————————————————————————————————


Pro kuželosečku (2.1) tedy platí:

• Hlavní směry kuželosečky jsou určeny netriviálním řešením homogenníhosystému rovnic

(9− λ)u1 − 2u2 = 0−2u1 + (6− λ)u2 = 0

,

pro který musí platit9− λ −2−2 6− λ = 0. Odtud dostaneme λ =

{5

10.

Hodnotě λ = 5 odpovídá systém rovnic

4u1 − 2u2 = 0−2u1 + u2 = 0

,

kterému vyhovuje například vektor ~e ′1 = 1√5(1, 2).

Pro číslo λ = 10 dostaneme

u1 + 2u2 = 0u1 + 2u2 = 0

,

a odtud například ~e ′2 = 1√5(−2, 1).

• Střed je určen soustavou

9s1 − 2s2 + 8 = 0−2s1 + 6s2 − 4 = 0

a tedy S = [−45 ,

25 ].

• V souřadnicové soustavě 〈S;~e ′1, ~e′2〉 pak již má kuželosečka (2.1) požadovaný

kanonický tvar.

V našem motivačním příkladu máme pak[x− s1

y − s2

]= [~e ′1, ~e

′2] ·[x ′

y ′

],

tj. [xy

]=

1√5

[1 −22 1

]·[x ′

y ′

]+

[ −45

25

].

Dosazením transformačních vztahů

x = 1√5(x ′ − 2y ′)− 4

5

y = 1√5(2x ′ + y ′) + 2

5

do rovnice (2.1) dostaneme hledanou rovnici

x ′ 2 + 2y ′ 2 = 2.

———————————————————————————————————


Poznámka: Hlavní směry jsou určeny systémem rovnic, kterým defi-nujeme tzv. vlastní čísla a vlastní vektory matice, které mají rozsáhlévyužití jak v matematice, tak v technických aplikacích.

Nejprve uvedeme přehled používané terminologie:

Předpokládáme, že A ∈ Mat (C) je čtvercová matice řádu n, obecně s kom-plexními prvky.

terminologie – zápis význam – názevA− λEn = A− λE charakteristická matice příslušná k maticiA,

λ ∈ C , E je jednotková matice řádu ndet(A− λE) charakteristický polynom matice Avlastní čísla matice A kořeny charakteristického polynomuspektrum matice A soubor vlastních čísel matice A,

každé vlastní číslo je v něm uvedeno tolikrát,kolik činí jeho násobnost

vlastní vektor matice A nenulový vektor ~x ∈ Cn takový, že A~x = λ~xpříslušný k číslu λvlastní podprostor Vλ(A) Vλ(A) = {~x ∈ Cn; A~x = λ~x, ~x 6= ~o}příslušný k číslu λalgebraická násobnost násobnost kořene λ charakteristického polynomuvlastního čísla λgeometrická násobnost dimenze podprostoru Vλ(A) (”maximální počet”vlastního čísla λ lineárně nezávislých řešení soustavy (A− λE)~x = ~o )

Poznámka: Maticovou rovnici A~x = λ~x je možné vyjádřit ve tvaru(A− λE)~x = ~o, kde ~o je nulový vektor. Jak víme, tento homogenní systém li-neárních algebraických rovnic má netriviální (nenulové) řešení tehdy, když jedet(A− λE) = 0.

Všimneme si také, že je-li ~x vlastním vektorem matice A, pak každý konstantnínásobek k~x, k 6= 0 (obecně k ∈ C) je opět vlastním vektorem matice A.

Příklad 2.6.1 Určete všechna vlastní čísla a vlastní vektory matice A, je-li

a) A =

2 1 −33 −2 −31 1 −2

, b) A =

−1 4 3−2 5 3

2 −4 −2

.

———————————————————————————————————


Řešení

a) Místo přímého výpočtu použijeme nejprve elementární úpravy pro zjedno-dušení determinantu,

det(A−λE) =2− λ 1 −3 ←−

3 −2− λ −3 ↑1 1 −2− λ ·(−1)

=1− λ 0 −1 + λ

3 −2− λ −31 1 −2− λ

=

= (1−λ) ·1 0 −1 (−3) (−1)3 −2− λ −3 ← ↓1 1 −2− λ ←−

= (1−λ) ·1 0 −10 −2− λ 00 1 −1− λ

=

= (1 − λ)(1 + λ)(2 + λ) = 0, =⇒ λ1 = 1, λ2 = −1, λ3 = −2 je spektrummatice A.

Jednotlivým vlastním číslům nyní určíme příslušné vlastní vektory, souřadnicevlastního vektoru označíme x1, x2, x3.

∗ λ1 = 1 : (A − λ1E)~x = ~o =⇒x1 +x2 −3x3 = 0

3x1 −3x2 −3x3 = 0x1 +x2 −3x3 = 0

a soustavu

řešíme gaussovou eliminační metodou.

1 1 −3 03 −3 −3 01 1 −3 0

∼

1 1 −3 01 −1 −1 01 1 −3 0

∼

1 1 −3 00 −2 2 00 0 0 0

∼

1 1 −3 00 −1 1 00 0 0 0

x3 = t volíme jako parametr, pak x2 = t, x1 = 2t a vlastní vektor je~x1 = t · (2, 1, 1)T .

∗ λ2 = −1 : (A− λ2E)~x = ~o =⇒3x1 +x2 −3x3 = 03x1 −1x2 −3x3 = 0x1 +x2 −x3 = 0

3 1 −3 03 −1 −3 01 1 −1 0

∼

1 1 −1 00 −2 0 00 −4 0 0

∼

1 1 −1 00 −1 0 00 0 0 0

x2 = 0, x3 = s volíme jako parametr, pak x1 = s a vlastní vektor je~x2 = s · (1, 0, 1)T .

∗ λ3 = −2 : (A− λ3E)~x = ~o =⇒4x1 +x2 −3x3 = 03x1 −0x2 −3x3 = 0x1 +x2 −0x3 = 0

4 1 −3 03 0 −3 01 1 0 0

∼

1 1 0 01 0 −1 00 −3 −3 0

∼

1 1 0 00 1 1 00 0 0 0

———————————————————————————————————


x3 = u volíme jako parametr, pak x2 = −u x1 = u a vlastní vektor je~x3 = u · (1,−1, 1)T .

Komentář k příkladu a) :

• Algebraická i geometrická násobnost každého vlastního čísla je stejná, a to 1.

• Vlastní vektory (2, 1, 1)T , (1, 0, 1)T , (1,−1, 1)T jsou lineárně nezávisléa tvoří bázi aritmetického lineárního prostoru R3.

b) Příklad řešíme analogickým postupem,

det(A− λE) =−1− λ 4 3 ←−−2 5− λ 3 ←−2 −4 −2− λ ·(1) ↑

=1− λ 0 1− λ

0 1− λ 1− λ2 −4 −2− λ

=

= (1− λ)2 ·1 0 1 (−2)0 1 1 ↓2 −4 −2− λ ←−

= (1− λ)2 ·1 0 10 1 10 −4 −4− λ

=

= (1− λ)2 ·1 0 10 1 10 0 −λ

= λ(1− λ)2 = 0, =⇒ λ1 = 0, λ2, 3 = 1

je spektrum matice A.

∗ λ1 = 0 : A~x = ~o =⇒−1 4 3 0−2 5 3 0

2 −4 −2 0

∼

−1 4 3 0

0 −3 −3 00 4 4 0

∼

∼−1 4 3 0

0 −1 −1 00 1 1 0

∼

−1 4 3 0

0 1 1 00 0 0 0

, x3 = −t volíme jako parametr, pak

x2 = t, x1 = t a vlastní vektor je ~x1 = t · (1, 1,−1)T .

∗ λ2, 3 = 1 : (A−E)~x = ~o =⇒−2 4 3 0−2 4 3 0

2 −4 −3 0

∼

−2 4 3 0

0 0 0 00 0 0 0

,

x3 = 2s volíme jako parametr, x2 = u volíme jako parametr, pak x1 = 3s + 2ua vektor

~x = (3s+ 2u, u, 2s)T = s · (3, 0, 2)T + u · (2, 1, 0)T

je lineární kombinací dvou vlastních vektorů.

———————————————————————————————————


Komentář k příkladu b) :

• dim Vλ(A) =

{1 pro λ1 = 02 pro λ2, 3 = 1

Algebraická i geometrická násobnost

každého vlastního čísla je stejná, a to 1 pro λ = 0, 2 pro λ = 1.

• Vlastní vektory (1, 1,−1)T , (3, 0, 2)T , (2, 1, 0)T jsou lineárně nezávisléa tvoří bázi aritmetického lineárního prostoru R3.

Na závěr uvedeme některé vlastnosti vlastních čísel a vlastních vektorůčtvercových matic n–tého řádu.

(a) Vlastní vektory odpovídající různým vlastním číslům jsou lineárně nezá-vislé.

(b) Jestliže pro každé vlastní číslo se jeho algebraická násobnost rovná geomet-rické násobnosti, pak existuje právě n lineárně nezávislých vlastních vektorůmatice A.

(c) Všechna vlastní čísla reálné symetrické matice (AT = A) jsou reálná.

(d) Vlastní vektory reálné symetrické matice vzhledem k různým vlastním čís-lům jsou ortogonální.

Poznámka: O správnosti (a) se můžeme přesvědčit například takto. Před-pokládejme, že že λ1 6= λ2 jsou vlastní čísla matice A a přitom jim odpovídajícívlastní vektory ~v1, ~v2 jsou lineárně závislé. Pak existuje konstanta k 6= 0 taková, že~v2 = k~v1. Dále platí A~v2 = Ak~v1 = kA~v1 = kλ1~v1 a současně A~v2 = λ2~v2 = λ2k~v1.Odtud kλ1~v1 = λ2k~v1 a tedy k(λ1 − λ2)~v1 = ~o. Protože ~v1 6= ~o a k 6= 0, musíplatit λ1 = λ2. To je spor s předpokladem a vektory ~v1, ~v2 jsou proto lineárněnezávislé.

———————————————————————————————————


Test

Jméno a příjmení:Adresa:

E-mail:Telefon:

1. Jsou dány nekomplanární vektory ~u,~v, ~w, přičemž ||~u || = ||~v || = 1,||~w || = 2, ∠(~u,~v ) = 90o, ∠(~u, ~w ) = ∠(~v, ~w ) = 60o. Vypočítejte plošný obsahrovnoběžníku sestrojeného z vektorů ~a = −~u+ 2~w, ~b = 2~u− ~v.

2. Dokažte, že platí

(~b× ~c ) ·[(~c× ~a )× (~a×~b )

]= [~b,~c,~a ]2.

3. Výpočtem zjistěte zda platí

a) (~a ·~b )~c = ~a(~b · ~c )

b) (~a×~b )× c = ~a× (~b× ~c )

pro vektory ~a,~b,~c, které jsou komplanární a svírají úhly (viz obrázek).

��*

~c

- ~aHHHHHHHHj ~b

45o

45o

4. Je dána přímka p :

{2x+ 2y − 3z = 0

x− 3y − 2z + 5 = 0, rovina ρ : 3x+ y + 2z + 3 = 0

a bod A = [1; 2; 3]. Určete

a) kanonický tvar rovnice kolmého průmětu q přímky p do roviny ρ,

b) úhel přímky p a rovinou ρ,

c) bod B souměrně sdružený s bodem A vzhledem k rovině ρ.

Tabulka hodnocení

1. 2. 3. a 3. b 4. a 4. b 4. c Σbody

Opravil:

———————————————————————————————————


Ukázka příkladů pro semestrální zkoušku

1. Jsou dány vektory ~a = ~u+ ~w, ~b = ~v − ~w, ~c = ~u+ 2~v, kde uspořádaná tro-jice (~u,~v, ~w ) tvoří pozitivní soustavu nekomplanárních vektorů ve V (E3). Přitom||~u || = 1, ||~v || = 2, ||~w || = 2, ∠(~u,~v ) = 60o, ∠(~u, ~w ) = 60o, ∠(~v, ~w ) = 90o.Zjistěte

a) zda uspořádaná trojice (~u,~v, ~w ) vektorů je pozitivní,

b) plošný obsah rovnoběžníku ABCD, jesliže−→AB= ~a,

−→AD= ~b.

2. Jsou dány přímky p :

{x− y + z − 2 = 0

3x− y − z − 2 = 0, q :

{x− y + z − 4 = 0

2x− y − z = 0.

Zjistěte, zda jde o mimoběžné přímky a pokud ano, tak

a) určete parametrický tvar rovnice osy mimoběžek,

b) vypočtěte (nejkratší) vzdálenost přímek p, q.

3. Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice

3 5 3−4 −9 −6

6 15 10

.

———————————————————————————————————

Rejstřík

báze lineárního prostoru, 22

charakteristická matice, 45charakteristický polynom, 45cyklická záměna, 20, 21

dimenze lineárního prostoru, 22dvojný vektorový součin, 17délka vektoru, 12důležité identity, 17

euklidovská norma vektoru, 12

kolmost vektorů, 12kolmý průmět délky vektoru, 12kolmý průmět vektoru, 12

lineární nezávislost vektorů, 9lineární prostor, 22

báze, 22dimenze, 22ortonormální báze, 23

maticecharakteristická, 45charakteristický polynom, 45spektrum, 45vlastní vektory, 45vlastní čísla, 45

nejkratší vzdálenost mimoběžek, 38násobení vektoru skalárem, 9

objem rovnoběžnostěnu, 16ortonormální báze, 23osa mimoběžek, 41

příčky mimoběžek, 41

pozitivní trojice vektorů, 14První kosinová věta, 21průsečík různoběžek, 37přímka, 31

kanonické rovnice, 31parametrické rovnice, 31poloha přímek, 37poloha přímky a roviny, 36průsečnice rovin, 31průsečík roviny a přímky, 37vzdálenost bodu, 34úhel přímek, 35úhel roviny a přímky, 35

rovina, 28normálový vektor, 29

souřadnice, 29obecná rovnice, 29parametrické rovnice, 29poloha roviny a přímky, 36průsečík roviny a přímky, 37vzdálenost bodu, 33úhel rovin, 34úhel roviny a přímky, 35

sférický trojúhelník, 19První kosinová věta, 21Pythagorova věta, 21Sinová věta, 19základní prvky, 19

Sinová věta, 19skalární součin v ortonormální bázi,

24skalární součin vektorů, 11smíšený součin v ortonormální bázi,

25

———————————————————————————————————

52 REJSTŘÍK

smíšený součin vektorů, 15součet vektorů, 8souřadnice

skalární součin, 24smíšený součin, 25vektorový součin, 25vektoru, 22

spektrum matice, 45

vektordélka, 12euklidovská norma, 12kolmost vektorů, 12lineární nezávislost, 9nulový, 8násobení skalárem, 9opačný, 8pozitivní trojice, 14rovnoběžný

nesouhlasně, 9souhlasně, 9

skalární součin, 11smíšený součin, 15součet, 8souřadnice, 22umístění, 8vektorový součin, 13

dvojný, 17vektorový součin v ortonormální

bázi, 25vektorový součin vektorů, 13vlastní vektory matice, 45vlastní čísla matice, 45vlastní číslo

násobnostaritmetická, 45geometrická, 45

vzdálenost bodu od přímky, 34vzdálenost bodu od roviny, 33vzájemná poloha dvou přímek, 37

úhel dvou přímek, 35úhel dvou rovin, 34

úhel přímky a roviny, 35úlohy metrické, 33úlohy polohy, 36

———————————————————————————————————

Literatura

[1] Anton H., Calculus with Analytic Geometry, John Wiley, 1995, New York.

[2] Budinský B., Analytická a diferenciální geometrie, SNTL, Praha 1983.

[3] Ježek F., Míková M., Maticová algebra a analytická geometrie, 2003, ZČUPlzeň.

———————————————————————————————————

Documents

MATEMATIKA I - fast.darmy.netfast.darmy.net/opory - I Bc/GA01-Matematika_I--M01-Vektorovy_pocet... · vysokÉ u¨en˝ technickÉ v brnÌ fakulta stavebn˝ matematika i modul ga01