MATEMATIKA I - fiit.stuba.skkvasnicka/Mathematics for Informatics/Sabo... · MATEMATIKA I Doc. RNDr. Michal 'abo, CSc. 2. Obsah 1 Predhovor 5 ... tovÆ logika a fuzzy mno¾iny umo¾òujœ

MATEMATIKA I

Doc. RNDr. Michal Šabo, CSc

2

Obsah

1 Predhovor 5

2 VYBRANÉ STATE Z ALGEBRY 112.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Reálne n-rozmerné vektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4 Operácie s maticami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5 Hodnosť matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6 Sústavy lineárnych rovníc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.6.1 Gaussova eliminačná metóda . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.7 Determinanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.7.1 Inverzné matice a maticové rovnice . . . . . . . . . . . . . . 342.7.2 Cramerovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.8 Polynómy a algebraické rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.9 Výsledky cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 REÁLNE FUNKCIE JEDNEJ PREMENNEJ 473.1 Reálna funkcia a jej vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.1 Zobrazenie a reálna funkcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.1.2 Vlastnosti reálnych funkcií . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2 Zložená a inverzná funkcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2.1 Exponenciálna a logaritmická funkcia . . . . . . . . . . . . 573.2.2 Cyklometrické funkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3 Nekonečná postupnosť . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.4 Limita postupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.5 Limita a spojitosť funkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.6 Výsledky cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4 DIFERENCIÁLNY POČET REÁLNYCH FUNKCIÍ 834.1 Derivácia reálnej funkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.1.1 Definícia a geometrický význam . . . . . . . . . . . . . . . . 834.1.2 Fyzikálny význam derivácie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.1.3 Základné vzťahy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.1.4 Derivácia zloženej funkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3

4 OBSAH

4.2 Derivácie vyšších rádov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.3 L’Hospitalovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.4 Diferenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.5 Derivácia a vlastnosti funkcií . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.5.1 Monotónnosť funkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.5.2 Konvexnosť a konkávnosť funkcie . . . . . . . . . . . . . . . 1004.5.3 Inflexné body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.5.4 Lokálne extrémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.6 Asymptoty grafu funkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.7 Aproximácia funkcie Taylorovým polynómom . . . . . . . . . . . . 1114.8 Krivky dané parametricky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.9 Výsledky cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5 NEURČITÝ INTEGRÁL 1215.1 Definícia neurčitého integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.2 Základné vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.3 Substitučná metóda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.4 Metóda per partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.5 Integrály racionálnych funkcií . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.5.1 Rozklad na parciálne zlomky . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.5.2 Integrovanie parciálnych zlomkov . . . . . . . . . . . . . . . 1335.5.3 Niektoré ďalšie integrály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.6 Výsledky cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6 URČITÝ INTEGRÁL 1416.1 Definícia určitého integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.2 Vlastnosti určitého integrálu a metódy výpočtu . . . . . . . . . . . 145

6.2.1 Newtonov-Leibnizov vzorec . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.2.2 Veta o strednej hodnote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.2.3 Substitučná metóda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.3 Nevlastné integrály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.3.1 Nevlastný integrál na neohraničenom intervale . . . . . . . 1536.3.2 Nevlastný integrál neohraničenej funkcie . . . . . . . . . . . 157

6.4 Niektoré aplikácie určitého integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.4.1 Obsah rovinnej plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.4.2 Dĺžka rovinnej krivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1646.4.3 Objem rotačných telies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6.5 Výsledky cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

A Komplexné čísla 173

Zoznam použitej a odporúčanej literatúry 189

Kapitola 1

Predhovor

Predmet matematika prináša študentom technického zamerania vedomosti po-trebné k ďalšiemu štúdiu. Ďalším významným cieľom tohto predmetu je rozvojlogického myslenia študentov. Najmä na tento cieľ sa často zabúda pri zostavovaníučebných plánov. Dôsledkom je neprimerané zhusťovanie učiva v malom časovompriestore. V snahe zabrániť tejto situácii sa časť učiva presúva do iných predme-tov, najmä do vyšších ročníkov s rizikom, že pre niekoré študijné programy je látkapreberaná príliš neskoro. Cieľom tejto učebnice je predložiť študentom a ďalšímzáujemcom požadovanú látku v zrozumiteľnej forme s minimálnym matematic-kým aparátom v rozsahu primeranom študijným plánom. To vyžaduje používaťmnohé zjednodušenia, odkazy na literatúru a niektoré problémy jednoducho za-mlčať. V tomto prípade bolo rozumné držať sa hesla: „Niekedy je menej viac.ÿOspravedlňujeme sa za to profesionálnym matematikom. V žiadnom prípade všaknemôžeme pripustiť používanie nepravdivých tvrdení. Chýbajúce dôkazy môžezáujemca nájsť v odporučenej literatúre uvedenej v zozname použitej literatúry.Nevzdávame sa ani myšlienky podpory rozvoja logického myslenia. Pri tvorbetejto učebnice sme brali do úvahy, že učebnica je určená študentom, pre ktorýchje matematika prostriedkom, nie cieľom, k riešeniu technických problémov. Smesi vedomí, že mnohí študenti prichádzajú na technickú univerzitu nedostatočnepripravení, prichádzajú zo škôl s rozdielnym rozsahom a kvalitou vyučovania ma-tematiky.

Učebnica je rozdelená do 6 kapitol a obsahuje úvod do lineárnej algebry, rieše-nie algebraických rovníc, základy teórie reálnych funkcií, infinitezimálny, diferen-ciálny a integálny počet. Posledná kapitola je venovaná určitému integrálu a jehoniektorým aplikáciam. V texte je mnoho riešených príkladov so snahou o apliká-ciu v technických vedách. Charakter niektorých riešených príkladov nevyžadujeoddelenie zadania príkladu od riešenia. Neriešené cvičenia sú len v menšom roz-sahu s výsledkami na konci kapitol. Odporúčame paralelne pripravovanú zbierkuúloh, ktorá obsahuje mnoho riešených i neriešených príkladov. Predpokladáme, žečitateľ zväčša ovláda základy stredoškolskej matematiky v zmysle požiadaviek naštúdium na univerzite technického zamerania. Súčasťou tejto učebnice je aj do-

5

6 KAPITOLA 1. PREDHOVOR

datok Komplexné čísla. V texte sú používané symboly výrokového počtu a teóriemnožín. Pripomeňme niektoré z nich:Kvantifikátory: ∀(pre všetky), ∃(existuje)Logické operácie s výrokmi: ∧(súčasne), ∨(alebo),

=⇒ (vyplýva, potom), ⇐⇒ (je ekvivalentné, práve vtedy, ak)

Príslušnosť do množiny:

∈ (je prvkom množiny, patrí do množiny), /∈ (nepatrí do množiny)

Množinové operácie: ∪(zjednotenie), ∩(prienik)

⊂ (podmnožina), ⊃ (nadmnožina), ×(karteziánsky súčin)

Množiny označujeme veľkými písmenami, pričom ∅ je prázdna množina. Pre čí-selné množiny používame obvyklé označenie:

N (množina prirodzených čísel),Z (množina celých čísel),Q (množina racionálnych čísel),R (množina reálnych čísel),C (množina komplexných čísel).V klasickej (booleovskej) matematike za výrok považujeme tvrdenie (vetu),

o pravdivosti ktorého vieme rozhodnúť. Napríklad veta p: „Číslo 7 je párneÿ jevýrok, i keď nepravdivý. Veta q: „Číslo 2356 je párneÿ je pravdivý výrok. Veta„Čísla 5 a 9 sa podobajúÿ bez ďalšieho vysvetlenia nie je výrok, lebo nevieme roz-hodnúť o jeho pravdivosti. Výroku priraďujeme logickú hodnotu 1, ak je pravdivýa logickú hodnot 0, ak je nepravdivý. Zapisujeme

p =

{1 ak p je pravdivý výrok0 ak p je nepravdivý výrok

Zápor (negáciu) výroku p značíme ¬p a definujeme:

¬p =

{0 ak p je pravdivý výrok1 ak p je nepravdivý výrok

Pomocou logických operácií výroky spájame do zložených výrokov. Definujemeich nasledujúcou tabuľkou:

p q p ∧ q p ∨ q p =⇒ q p ⇐⇒ q

0 0 0 0 1 10 1 0 1 1 01 0 0 1 0 01 1 1 1 1 1

7

Tvrdenie „x+ 1 < 4ÿ nie je výrok, lebo nevieme rozhodnúť o jeho pravdivosti.Avšak, ak za x dosadíme konkrétne reálne číslo dostameme pravdivý alebo neprav-divý výrok. Takéto tvrdenie nazývame výroková forma a značíme p(x). MnožinaP takých objektov (čísel), pre ktoré je výroková forma pravdivá sa nazýva jej oborpravdivosti. V našom príklade

P = {x ∈ R : x < 3}

čiže P je množina takých reálnych čísel x, pre ktoré platí, že x < 3. Výrokovýmiformami sú napríklad všetky rovnice a nerovnice a ich množiny riešení sú ich oborypravdivosti. Množiny často definujeme ako obory pravdivosti výrokových foriem.Napríklad

N = {x ∈ Z : x > 0}

čiže množina N (prirodzených čísel) je množina takých celých čísel x, pre ktoréplatí, že x > 0. Množina A je podmnožinou množiny B; A ⊂ B, ak pre každé xplatí

x ∈ A =⇒ x ∈ B

Ak A ⊂ R, potom doplnok (komplement) Ac množiny A v množine reálnych číseldefinujeme:

Ac = {x ∈ R : x /∈ A}

Pomocou výrokových foriem definujeme aj množinové operácie:Zjednotenie (disjunkcia)(Pozri Obr. 1.1):

A ∪B = {x : x ∈ A alebo x ∈ B} = {x : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}

Prienik (konjunkcia) (Pozri Obr. 1.2):

Obr. 1.1: Diagram zjednotenia množín


Obr. 1.2: Diagram prieniku množín

A ∩B = {x : (x ∈ A) a súčasne (x ∈ B)} = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}

Množiny sú disjunktné ak ich prienik je prázdna množina, t. j.:

A ∩B = ∅

Pomocou výrokových foriem možno definovať aj intervaly: Uzavretý interval:

〈a, b〉 = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}

Otvorený interval:(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}

Polouzavreté intervaly

〈a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}, (a, b〉 = {x ∈ R : a < x ≤ b}

a tiež neohraničené intervaly

(−∞, b〉 = {x ∈ R : x ≤ b}, (−∞, b) = {x ∈ R : x < b}

(a,∞) = {x ∈ R : a < x}, 〈a,∞) = {x ∈ R : a ≤ x}.

Booleovská logika a na ňu naväzujúca booleovská teória množín sú základomklasickej matematiky. K najznámejším zákonom (tautológiám) klasickej (booleov-skej) logiky patria:

p ∧ ¬p = 0 (zákon sporu)

p ∨ ¬p = 1 (zákon vylúčenia tretieho)

Hovoria, že z dvojice výrokov p a ¬p je vždy práve jeden pravdivý a práve je-den nepravdivý. Tým je vylúčená akákoľvek neurčitosť v rozhodovaní o platnosti

9

výroku. Tým sa klasické matematické modely odlišujú od reálnych fyzikálnychsystémov. K najväčším pokrokom v aplikovanej matematike v minulom storočípatrí zmena pohľadu na pojem neurčitosti. V tomto novom prístupe tvrdenie

„x je prvkom množiny Aÿ

nemusí byť nutne pravdivé alebo nepravdivé aj keď poznáme objekt x, ale môže byťpravdivé len v istom stupni. Obvykle sa stupeň príslušnosti k množine vyjadruječíslom z intervalu 〈0, 1〉. Hraničné hodnoty 0 a 1 reprezentujú úplnú istotu, žeprvok nepatrí resp. patrí do množiny A. Množiny definované pomocou takýchto„viachodnotovýchÿ tvrdení nazývame fuzzy (rozmazané, neostré) množiny.

Klasickú podmnožinu množiny reálnych čísel môžeme reprezentovať jej cha-rakteristickou funkciou:

χA(x) =

{1 ak x ∈ A0 inde

Teda, pre každé reálne číslo x platí, že χA(x) ∈ {0, 1}. Na Obr. 1.3 je znázornenácharakteristická funkcia reprezentujúca interval 〈1, 3〉.

-

6

x1 2 3 4

1 s sc c -

Obr. 1.3: Charakteristická funkcia reprezentujúca interval 〈1, 3〉

Fuzzy podmnožinu B množiny reálnych čísel definujeme pomocou funkcie prí-slušnosti µB takej, že pre každé reálne číslo x je

µB(x) ∈ 〈0, 1〉.

Uvedieme príklad z humánneho lekárstva. Množina „zvýšenýchÿ telesných teplôtdospelých ludí môže byť podľa názoru jedného lekára interval, napríklad 〈37, 38〉(v stupňoch Celzia). Podľa názoru iného experta (lekára) to môže byť iná množina(interval). Spracovaním názorov a skúseností mnohých expertov je možné defino-vať fuzzy podmnožinu (skrátene – fuzzy množinu) M „zvýšenýchÿ telesných teplôt


-x

36,8 37,2 37,6 38

1

6

�� @

@@@@

Obr. 1.4: Funkcia príslušnosti µM fuzzy množiny M „zvýšenýchÿ telesných teplôtdospelých ľudí

dospelých ľudí pomocou funkcie príslušnosti µM , napríklad ako na Obr. 1.4.Skutočnosť, že µM (37, 1) = 0,75 možno interpretovať: „Teplota 37,1oC patrí do Mna 75 %ÿ alebo „75% expertov si myslí, že teplota 37, 1oC je zvýšená.ÿ Viachodno-tová logika a fuzzy množiny umožňujú spracovávať aj nejasné (vágne) informácie(napríklad: „rýchlosť je dosť veľkáÿ) a úspešne sa používajú v niektorých rozho-dovacích systémoch (napríklad fuzzy regulátoroch). V tejto učebnici sa nebudemezaoberať fuzzy množinami. Záujemcom odporúčame literatúru uvedenú v zoznamepoužitej literatúry [7].

Našou snahou je používať terminológiu zhodnú so súčasnými stredoškolskýmiučebnicami. Obsah a členenie zodpovedajú súčasným požiadavkám na predmetMatematika I. V závere je register používaných pojmov. Ďakujeme lektorom doc.RNDr. J. Tóthovi, PhD., doc. RNDr. I. Fabricimu, CSc., Ing. P. Sarkocimu, PhD.;kolegom RNDr. Ing. J. Bánkimu, CSc., prof. RNDr.A Kolesárovej, CSc., doc.RNDr. V. Balážovi, CSc., RNDr. Ľ. Horanskej, PhD. a ďalším, ktorí svojími pri-pomienkami pomohli zvýšiť kvalitu tejto učebnice.

Kapitola 2

VYBRANÉ STATEZ ALGEBRY

2.1 Úvod

Na strednej škole ste riešili sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymialebo troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi. V tejto kapitole sa naučíme riešiťsústavy viacerých lineárnych rovníc s viacerými neznámymi. Pritom zavediemepojmy, ktorých význam presahuje rámec tejto kapitoly. Najmä vektory, matice adeterminanty sú základnými elementami diskrétnej matematiky a bez nich si ťažkopredstaviť lineárne programovanie. Táto tematika vyžaduje len málo vedomostízo strednej školy. V závere kapitoly sa budeme venovať riešeniu algebraickýchrovníc. Pripomíname, že algebraickú rovnicu druhého stupňa poznáte zo strednejškoly pod názvom kvadratická rovnica. Táto časť predpokladá isté vedomosti okomplexných číslach, ktoré čitateľ môže nájsť v dodatku Komplexné čísla.

2.2 Reálne n-rozmerné vektory

V matematike, chémii, fyzike, ako aj v ďalších vedách, sa skúmajú rôzne veličiny.Niektoré z nich sú plne určené jediným číselným údajom. K takýmto veličinámpatrí hmotnosť, hustota, teplota a ďalšie. Nazývame ich skalárnymi veličinamialebo skalármi. Mnohé veličiny však nie sú plne určené jediným číselným údajom.Napríklad sila, rýchlosť, zrýchlenie a pod. V tejto kapitole sa budeme zaoberaťveličinami, ktoré sú jednoznačne určené skupinou reálnych čísel v dohodnutompočte a poradí. Takéto skupiny budeme nazývať vektormi a veličiny nimi určenénazývame vektorovými veličinami. Čísla v skupine nazývame súradnice vektora,ich počet určuje rozmer vektora. Vektory dané dvojicou alebo trojicou čísel možnov Euklidovskom priestore geometricky interpretovať ako množinu všetkých rovno-bežných, rovnako veľkých a rovnako orientovaných úsečiek. Teda, načrtnúť možnolen umiestnenia vektora. Každé umiestnenie je dané dvojicou bodov, začiatočnýma koncovým bodom. Ak začiatočný bod umiestnenia vektora je v začiatku sústavy,

11

12 KAPITOLA 2. VYBRANÉ STATE Z ALGEBRY

potom súradnice koncového bodu tohto umiestnenia sa rovnajú súradniciam vek-tora (Obr. 2.1)

-

6

��*

��*

��

��*

1

1 2

x

y

Obr. 2.1: Tri rôzne umiestnenia vektora (2, 1) a jeho súradnice

Je zrejmé, že takto geometricky môžeme znázorňovať len umiestnenia vek-torov, ktoré sú zadané dvojicou, alebo trojicou čísel. Mnohé vektorové veličinyopisujeme väčšími skupinami čísel. Napríklad stav pohybujúceho sa bodu v troj-rozmernom priestore v danom čase možno opísať šiestimi číslami, prvé tri určujújeho polohu a ďalšie tri vektor jeho rýchlosti. Ako uvidíme, z matematického hľa-diska rozmer vektora nie je žiadny problém. Musíme si však odpustiť ich geomet-rickú interpretáciu pre vektory s vačším rozmerom. Hlavným cieľom tejto kapitolyje riešenie sústavy lineárnych rovníc a riešenie algebraickej rovnice s jednou ne-známou. Ako uvidíme, každá lineárna alebo algebraická rovnica je jednoznačnezadaná vektorom svojich koeficientov. Napríklad lineárnu rovnicu s 3 neznámymi2x+ 3y − 2z = 6 možno reprezentovať usporiadanou štvoricou (2, 3,−2, 6)

Definícia 2.1. Usporiadanú n-ticu reálnych čísel ~x = (x1, . . . , xn) nazývame n-rozmerným vektorom (ďalej len vektorom). Čísla x1, . . . , xn nazývame súradnicevektora. Množinu všetkých takýchto vektorov značíme Rn.

Z uvedenej definície plynie, že vektory ~x = (x1, . . . , xn), ~y = (y1, . . . , yn) sarovnajú práve vtedy, ak majú rovnaký rozmer a pre ich súradnice platí: x1 = y1,x2 = y2, . . ., xn = yn.

Príklad 2.1. Vektory ~x = (2,−4, 2, 5), ~y = (2, a, b, 5) sa rovnajú práve vtedy, aka = −4 a súčasne b = 2.

Definícia 2.2. Súčtom vektorov ~x = (x1, . . . , xn), ~y = (y1, . . . , yn) nazývamevektor

~z = ~x+ ~y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)

2.2. REÁLNE N -ROZMERNÉ VEKTORY 13

Príklad 2.2. Súčtom vektorov ~x = (1,−1, 2, 4) , ~y = (0, 5,−2, 2) je vektor ~z =(1, 4, 0, 6)

Definícia 2.3. Násobkom vektora ~x = (x1, x2, . . . , xn) reálnym číslom k nazývamevektor

~z = k.~x = (kx1, kx2, . . . , kxn)

Príklad 2.3. Nech ~a = (1,−3, 3, 2), ~b = (5, 6, 0,−1). Vypočítame vektor~c = 2.~a+~b = 2.(1,−3, 3, 2)+(5, 6, 0,−1) = (2,−6, 6, 4)+(5, 6, 0,−1) = (7, 0, 6, 3).

Poznámka 2.1. Nulovým n-rozmerným vektorom nazývame vektor

~o = (0, 0, 0, . . . , 0)

Vektor−~x = (−1).~x = (−x1,−x2, . . . ,−xn)

nazývame vektorom opačným k vektoru ~x = (x1, x2, . . . , xn).

Definovali sme súčet vektorov rovnakého rozmeru a násobenie vektora číslom.Je zrejmé, že sčítanie vektorov je komutatívne, t. j. pre všetky vektory ~x, ~z ∈ Rnplatí

~x+ ~z = ~z + ~x

a asociatívne, t. j., pre všetky ~x, ~y, ~z ∈ Rn

(~x+ ~y) + ~z = ~x+ (~y + ~z) = ~x+ ~y + ~z

Pomocou operácií sčítania vektorov a násobenia vektora číslom možno tiež defi-novať rozdiel vektorov rovnakého rozmeru:

~z = ~x− ~y = ~x+ (−1).~y = (x1 − y1, x2 − y2, . . . , xn − yn)

Je tiež zrejmé, že~x− ~x = ~o, ~x+ ~o = ~x

Pozorný čitateľ si iste všimol, že sme nedefinovali súčin vektorov. Množina Rn

všetkých n-rozmerných vektorov s operáciami sčítania vektorov a násobenia vek-tora číslom je príkladom lineárneho vektorového priestoru, v ktorom operácianásobenia vektorov nie je nutná [1][4]. Napriek tomu, poznáme niektoré spôsobynásobenia vektorov (napríklad skalárne, vektorové a iné). Budeme ich používaťneskôr.

Definícia 2.4. Nech ~x1, ~x2,. . . , ~xk sú n-rozmerné vektory, nech a1, a2, . . . , ak súreálne čísla. Vektor

~z = a1~x1 + a2~x2 + · · ·+ ak~xk

sa nazýva lineárna kombinácia vektorov ~x1, ~x2, . . . , ~xk a čísla a1, a2, . . . , ak sa na-zývajú koeficienty lineárnej kombinácie.


Poznámka 2.2. Lineárna kombinácia sa nazýva triviálna, ak a1 = a2 = · · · =ak = 0.V opačnom prípade sa nazýva netriviálna. Nulový vektor je triviálnou li-neárnou kombináciou ľubovoľných vektorov, ale môže byť aj ich netriviálnou kom-bináciou vektorov. Napríklad, ak ~z = 3~x− 2~y, potom ~o = ~z − 3~x+ 2~y.

Z hľadiska cieľov tejto kapitoly budeme niekedy považovať vektory, ktoré súlineárnou kombináciou iných vektory za „zbytočnéÿ. Lineárnou kombináciou (na-príklad súčtom) dvoch lineárnych rovníc dostaneme znova lineárnu rovnicu, ktorávšak neprináša z hľadiska riašenia sústavy týchto lineárnych rovníc žiadnu novúinformáciu.

Definícia 2.5. Vektory ~x1, ~x2, . . . , ~xk sa nazývajú lineárne závislé vektory, ak as-poň jeden z nich je lineárnou kombináciou ostatných vektorov. V opačnom prípadesa nazývajú lineárne nezávislé.

Niekedy hovoríme, že sústava vektorov ~x1, ~x2, . . . , ~xk je lineárne závislá alebonezávislá. Teda vektory sú lineárne nezávislé, ak žiaden z nich nie je lineárnakombinácia ostatných. Ak vektory reprezentujú lineárne rovnice a sú lineárnenezávislé, sústava takýchto rovníc neobsahuje „zbytočnéÿ rovnice. „Zbytočnéÿrovnice možno vytvoriť napríklad sčítaním alebo odčítaním dvoch rovníc.

Príklad 2.4. Vektory ~a = (1, 2, 0, 6, 0), ~b = (3, 0, 1, 0, 0), ~c = (5, 4, 1, 12, 0) súlineárne závislé, lebo ~c = 2~a+~b.

Príklad 2.5. Vektory ~a = (−1, 2,−3, 6, 0), ~b = (3, 10, 1, 0, 6),~c = (0, 0, 0, 0, 0), ~d = (5, 4,−1, 12, 2) sú lineárne závislé lebo ~c = 0.~a+ 0.~b+ 0.~d.

Poznámka 2.3. Ak je medzi vektormi nulový vektor, tak sú tieto vektory lineárnezávislé. Dva nenulové vektory sú lineárne závislé práve vtedy, ak jeden je násobkomdruhého.

Odporúčame čitateľovi dokázať tvrdenie z nasledujúceho cvičenia.

Cvičenie 2.1. Dokážte nasledujúce tvrdenie: Ak do lineárne závislej sústavy pri-dáme ďalšie vektory, dostaneme zasa lineárne závislú sústavu.

Zistiť, či dané vektory sú lineárne závislé alebo nezávislé znamená vyšetrovať,či jednotlivé vektory nie sú lineárnou kombináciou ostatných vektorov. V nasle-dujúcej vete sa dozvieme, že to možno zistiť aj iným spôsobom.

Veta 2.1. Vektory ~x1, ~x2, . . . , ~xk sú lineárne závislé vtedy a len vtedy, ak existujetaká ich netriviálna kombinácia, ktorá sa rovná nulovému vektoru, t. j., ak

a1~x1 + a2~x2 + · · ·+ ak~xk = ~o

a aspoň jedno z čísel a1, a2, . . . , ak je rôzne od nuly.

Dôsledok 2.1. Vektory ~x1, ~x2, . . . , ~xk sú lineárne nezávislé vtedy a len vtedy, aknulový vektor je len triviálna kombinácia týchto vektorov.

2.2. REÁLNE N -ROZMERNÉ VEKTORY 15

Dôkaz Vety 2.1. Veta hovorí o ekvivalencii (rovnocennosti) dvoch výrokov:(p) : Vektory ~x1, ~x2, . . . ,~xk sú lineárne závislé(q) : Existuje taká ich netriviálna kombinácia, ktorá sa rovná nulovému vektoru.Treba dokázať, že (p)⇒ (q) a (q)⇒ (p).

(p)⇒ (q): Nech ~x1, ~x2, . . . ,~xk sú lineárne závislé. To znamená, že aspoň jedenz nich, napríklad ~xi je lineárnou kombináciou ostatných, t. j.

~xi = a1~x1 + · · ·+ ai−1~xi−1 + ai+1~xi+1 + · · ·+ ak~xk

Po úprave dostávame

a1~x1 + · · ·+ ai−1~xi−1 − ~xi + ai+1~xi+1 + · · ·+ ak~xk = ~o

Pretože ai = −1, dostali sme netriviálnu kombináciu daných vektorov, ktorá sarovná nulovému vektoru.

(q) ⇒ (p): Nech a1~x1 + · · · + aj~xj + · · · + ak~xk = ~o, pričom aj 6= 0. Potommožno z predošlej vektorovej rovnice vypočítať vektor ~xj :

~xj = −a1

aj~x1 −

a2

aj~x2 − · · · −

aj−1

aj~xj−1 −

aj+1

aj~xj+1 − · · · −

akaj~xk

Vektor ~xj je lineárnou kombináciou ostatných vektorov. 2

Príklad 2.6. Pomocou Vety 2.1 dokážeme, že nasledujúce 4-rozmerné vektory

~e1 = (1, 0, 0, 0)~e2 = (0, 1, 0, 0)~e3 = (0, 0, 1, 0)~e4 = (1, 0, 0, 0)

sú lineárne nezávislé. Použijeme dôsledok Vety 2.1. Hľadáme čísla a1, a2, a3, a4

tak, abya1~e1 + a2~e2 + a3~e3 + a4~e4 = ~o

alebo

a1(1, 0, 0, 0) + a2(0, 1, 0, 0) + a3(0, 0, 1, 0) + a4(0, 0, 0, 1) = (0, 0, 0, 0)

Porovnaním prvých súradníc dostaneme a1 = 0. Rovnako porovnaním ďalšíchsúradníc dostaneme, že a2 = 0, a3 = 0, a4 = 0. Teda nulový vektor dostaneme lentriviálnou kombináciou vektorov ~e1, ~e2, ~e3, ~e4. Podľa Vety 2.1 sú vektory ~e1, ~e2,~e3, ~e4 lineárne nezávislé.

Z predošlého príkladu je zrejmé, že v priestore R4 možno nájsť 4 nezávislévektory, napríklad ~e1, ~e2, ~e3, ~e4. Je tiež zrejmé, že každý 4-rozmerný vektor ~a jeich lineárna kombinácia:

~a = (a1, a2, a3, a4) = a1~e1 + a2~e2 + a3~e3 + a4~e4

Dá sa dokázať, že to platí pre ľubovolnú štvoricu nezávislých 4-rozmerných vek-torov.


Príklad 2.7. Dokážeme, že vektory

~v1 = (2, 0, 0, 0)~v2 = (1, 1, 0, 0)~v3 = (0, 0, 4, 0)~v4 = (1, 0, 0, 2)

sú lineárne nezávislé a ukážeme, že vektor ~a = (4, 6, 2,−4) je ich lineárnou kom-bináciou. Použijme predošlú vetu. Hľadáme čísla a1, a2, a3, a4 tak, aby

a1~v1 + a2~v2 + a3~v3 + a4~v4 = ~o

alebo

a1(2, 0, 0, 0) + a2(1, 1, 0, 0) + a3(0, 0, 4, 0) + a4(0, 0, 0, 2) = (0, 0, 0, 0)

Porovnaním posledných súradníc dostaneme a4 = 0. Rovnako porovnaním ďalšíchsúradníc dostaneme, že a3 = 0, a2 = 0, a1 = 0. Teda nulový vektor dostaneme lentriviálnou kombináciou vektorov ~v1, ~v2, ~v3, ~v4. Podľa Vety 2.1 sú vektory ~v1, ~v2,~v3, ~v4 lineárne nezávislé. Teraz hľadáme koeficienty lineárnej kombinácie

c1~v1 + c2~v2 + c3~v3 + c4~v4 = ~a

Opäť, porovnaním súradníc dostaneme

c1 = −1, c2 = 6, c3 = 1/2, c4 = −2

Teda

~a = −~v1 + 6~v2 +12~v3 − 2~v4

Analogicky sa dá dokázať, že priestor Rn obsahuje n lineárne nezávislých vek-torov a každý ďalší vektor je ich lineárna kombinácia. To znamená, že každásústava n+1 (alebo viac) vektorov je lineárne závislá. Sústava n lineárne nezávis-lých vektorov v priestore Rn tvorí bázu vektorového priestoru Rn . Teda, vektory~e1, ~e2, ~e3, ~e4, z Príkladu 2.6 ako aj vektory ~v1, ~v2, ~v3, ~v4 z Príkladu 2.7 tvoriabázu R4.

Cvičenie 2.2. Dokážte, že vektory ~u = (1, 1, 2), ~v = (0, 3, 1), ~w = (1, 1, 4) tvoriabázu R3 a vyjadrite vektor ~a = (3, 0, 7) ako lineárnu kombináciu bázových vektorov.

V závere tohto odseku si pripomeňme pojem skalárneho súčinu vektorov, ktorýčasto používame nielen v matematike. Skalárnym súčinom vektorov

~x = (x1, x2, . . . , xn), ~y = (y1, y2, . . . , yn)

nazývame číslo (skalár)

~x.~y = x1.y1 + x2.y2 + · · ·+ xn.yn

2.3. MATICE 17

Príklad 2.8. Nech ~x = (1,−2, 0, 3), ~y = (5, 0,−3,−1). Potom

~x.~y = 1.5 + (−2).0 + 0.(−3) + 3.(−1) = 2

Skalárny súčin vektorov má aj geometrický význam v dvojrozmerných a troj-rozmerných priestoroch. My len pripomenieme, že skalárny súčin nenulových vek-torov sa rovná nule práve vtedy, ak sú na seba kolmé.

Cvičenie 2.3. Nájdite skalárny súčin vektorov ~a = (3,−1), ~b = (2, 6). Výsledokgeometricky zdôvodnite.

2.3 Matice

V technickej praxi na vyjadrenie niektorých veličín nestačí pojem vektora. Nie-kedy je nutné používať schému niekoľkých vektorov. To nás vedie k zavedeniupojmu matice. Vo fyzike a chémii matice reprezentujú zložitejšie veličiny, naprí-klad tenzory. Matice sú tiež základnými objektami mnohých software, napríkladMATLABu.

Definícia 2.6. Tabuľka zložená z reálnych čísel, ktorá obsahuje m riadkov a nstĺpcov sa nazýva matica typu m× n a zapisujeme

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn

Čísla aij , i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n sa nazývajú prvky matice. Matice

budeme označovať veľkými tlačenými písmenami a ich prvky rovnakými malýmipísmenami s príslušnými indexami. Prirodzené číslo i nazývame riadkový index aprirodzené číslo j stĺpcový index. Medzi riadkový a stĺpcový index píšeme čiarkulen ak to vyžaduje zrozumiteľnosť. Napríklad a12,3 je prvok matice ležiaci v 12.riadku a 3. stĺpci. Aj medzi susedné prvky v riadku matice dávame čiarku ak tovyžaduje situácia v texte. Maticu tiež skrátene tiež zapisujeme

A = (aij)

Príklad 2.9. Matica

A =

(5 6 −50 −3 4

)je typu 2 × 3, obsahuje 2 riadky a 3 stĺpce, jej prvky sú určené takto: a11 = 5,a12 = 6, a13 = −5, a21 = 0, a22 = −3, a23 = 4.

Definícia 2.7. Nech matice A = (aij) a B = (bij) sú rovnakého typu m × n.Hovoríme, že tieto matice sa rovnajú, A = B, ak

aij = bij

pre každé i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n.


Definícia 2.8. Nech matica A je typu m× n. Potom matica

AT =

a11 a21 . . . am1

a12 a22 . . . am2

. . . . . . . . . . . .a1n a2n . . . amn

typu n×m sa nazýva matica transponovaná k matici A.

Transponovaná matica vznikne z danej matice tak, že riadky matice píšemeako stĺpce v rovnakom poradí.

Príklad 2.10. (5 6 −50 −3 4

)T=

5 06 −3−5 4

Prvky a11, a22, a33, . . . matice A sa nazývajú diagonálne prvky. Všetky dia-

gonálne prvky tvoria hlavnú diagonálu matice. Matica, ktorej všetky prvky sarovnajú nule sa nazýva nulová. Ak m = n matica sa nazýva štvorcová. Štvor-cové matice, ktoré majú v hlavnej diagonále jednotky a inde nuly sa nazývajújednotkové matice. Označujeme ich E2, E3, . . . Napríklad:

E3 =

1 0 00 1 00 0 1

, E4 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

Príklad 2.11. Hlavnú diagonálu matice

U =

5 3 −5−1 −3 4

0 0 02 2 −9

tvoria prvky u11 = 5, u22 = −3, u33 = 0. Matica

O =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

je nulová matica typu 3× 4.

Štvorcová matica sa nazýva symetrická, ak platí AT = A. Matica sa nazývatrojuholníková, ak pod hlavnou diagonálou má len nulové prvky a na diagonálemá len nenulové prvky. Trojuholníková matica sa nazýva diagonálna, ak má ajnad hlavnou diagonálou len nuly.

2.4. OPERÁCIE S MATICAMI 19


C =

5 6 −26 −3 4−2 4 3

je symetrická. Matice P,Q

P =

5 3 0 70 −3 2 40 0 1 −2

, Q =

2 3 −50 −3 40 0 20 0 0

sú trojuholníkové. Matica

S =

2 0 00 −3 00 0 20 0 0

je diagonálna (a teda i trojuholníková). Matica

R =

2 4 50 0 −40 0 2

nie je trojuholníková.

2.4 Operácie s maticami

Podobne ako vektory rovnakého rozmeru, tvoria aj matice rovnakého typu line-árny vektorový priestor, v ktorom sú definované operácie sčítania prvkov (matíc)a násobenia matice reálnym číslom. Definujeme ich nasledujúcim spôsobom.

Definícia 2.9. Nech matice A = (aij) a B = (bij) sú rovnakého typu m × n.Matica B je k-násobkom matice A , B = kA, ak

bij = k.aij

pre každé i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n.

Definícia 2.10. Nech matice A = (aij), B = (bij) a C = (cij) sú rovnakého typum× n. Hovoríme, že matica C je súčtom matíc A a B, C = A+B, ak

cij = aij + bij

pre každé i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n.

Rozdiel matíc A,B možno definovať

A−B = A+ (−1)B


Príklad 2.13. Nech

A =

2 3 00 1 410 0 2

, B =

3 3 −52 1 35 1 2

Nájdeme maticu C = 2A− 3B:

C = 2.

2 3 00 1 4

10 0 2

− 3.

3 3 −52 1 35 1 2

=

−5 −3 15−6 −1 −1

5 −3 −2

Teraz zavedieme ďalšiu operáciu medzi niektorými maticami – násobenie ma-

tíc.

• = ��k-t

yst

ĺpec

k-t

yst

ĺpec

i-ty riadok cik

Obr. 2.2: Násobenie matíc. Prvok cik je skalárnym súčinom i-teho riadku maticeA a k-teho stĺpca matice B.

Definícia 2.11. Nech matica A = (aij) je typu m× p, matica B = (bjk) je typup×n a matica C = (cik) je typu m×n. Hovoríme, že matica C je súčinom matícA a B, C = A.B, ak

cik =p∑j=1

aij .bjk = ai1.b1k + ai2.b2k + · · ·+ aip.bpk

pre každé i = 1, 2, . . . ,m; k = 1, 2, . . . , n.

Teda matica C je súčinom matíc A,B, ak každý jej prvok cik je skalárnymsúčinom i-teho riadku matice A a k-teho stĺpca matice B (Obr. 2.2). Je zrejmé, ženásobiť môžeme len matice spĺňajúce podmienku: počet stĺpcov 1. matice sa rovnápočtu riadkov 2. matice. Poradie matíc pri násobení nemožno meniť. Násobeniematíc nie je komutatívne.

2.4. OPERÁCIE S MATICAMI 21

Príklad 2.14. Nech

A =

−2 12 30 −1

, B =

(−1 0 3 2−3 1 2 4

)

Potom

C = A.B =

−1 1 −4 0−11 3 12 16

3 −1 −2 −4

Skontrolujme, napr. c11 = (−2).(−1) + 1.(−3) = −1, c13 = (−2).3 + 1.2 = −4.

Cvičenie 2.4. Násobte matice

C =

2 1 02 3 28 0 −1

, D =

−1 0 3 2 0−3 1 2 4 0

2 0 0 1 0

V Príklade 2.14 typy matíc nedovoľujú vymeniť poradie násobenia matíc. Av-

šak, aj keď typy matíc to umožňujú, nemusíme dostať rovnaký výsledok.

Príklad 2.15. Nech

A =

(2 −14 0

), B =

(3 1−5 1

)Počítajme

A.B =

(11 112 4

), B.A =

(10 −3−6 5

)Vidíme, že A.B 6= B.A.

Zvláštne postavenie pri násobení matíc majú nulové a jednotkové matice. Vý-sledkom násobenia nulovou maticou je vždy nulová matica. Jednotkové matice sapri násobení správajú neutrálne. To znamená, že výsledkom násobenia matice Aa jednotkovej matice je matica A. Teda, ak matica A je typu m× n, potom

Em.A = A = A.En

Príklad 2.16. Nech

A =

(5 1 20 −2 1

)Potom

E2.A =

(1 00 1

).

(5 1 20 −2 1

)=

(5 1 20 −2 1

)= A

A.E3 =

(5 1 20 −2 1

).

1 0 00 1 00 0 1

=

(5 1 20 −2 1

)= A


Prirodzená je otázka, či matice možno „deliťÿ. Ešte v tejto kapitole sa dozviete,že za istých okolností je možné počítať A.B−1, kde B−1 je matica, ktorú budemenazývať inverznou k matici B.

Definícia 2.12. Nech A je štvorcová matica typu n× n. Potom maticu B nazý-vame matica inverzná k matici A, ak A.B = En. Značíme B = A−1. Teda

A.A−1 = En

Príklad 2.17. Nájdime maticu inverznú k matici

A =

(5 −3−3 2

)Hľadáme maticu

B =

(b11 b12

b21 b22

)tak, aby

A.B =

(5 −3−3 2

).

(b11 b12

b21 b22

)=

(1 00 1

)Riešením 2 sústav lineárnych rovníc s 2 neznámymi ľahko zistíme, že

B = A−1 =

(2 33 5

)Overíme správnosť výsledku

A.A−1 =

(5 −3−3 2

).

(2 33 5

)=

(1 00 1

)Poznámka 2.4. Inverzné matice hľadáme len k štvorcovým maticiam. Dá sadokázať: Ak k štvorcovej matici A existuje inverzná matica A−1, potom

A.A−1 = A−1.A = En,(A−1)−1

= A

Neskôr zistíme, že nie ku každej štvorcovej matici existuje inverzná a ukážemejednoduchšiu metódu na výpočet inverzných matíc k maticiam typu 2× 2 a 3× 3.

Cvičenie 2.5. Nájdite maticu inverznú k matici

U =

(2 −41 3

)

2.5. HODNOSŤ MATICE 23

2.5 Hodnosť matice

Už sme spomenuli, že lineárne rovnice možno reprezentovať vektorom koeficien-tov. Sústavu lineárnych rovníc s viac neznámymi teda reprezentuje matica, ktorejriadky sú vektory koeficientov jednotlivých rovníc. Medzi týmito rovnicami môžubyť rovnice, ktoré sú lineárnymi kombináciami iných, a preto sú „zbytočnéÿ. Zave-dieme pojem hodnosť matice, ktorý určuje počet „významnýchÿ riadkov matice, ateda i počet nezávislých rovníc, ak matica reprezentuje sústavu lineárnych rovníc.

Definícia 2.13. Maximálny počet lineárne nezávislých riadkov matice A nazý-vame hodnosť matice A. Značíme ju h(A). Hodnosť nulovej matice je nula.

Dá sa dokázať, žeh(A) = h(AT )

Z toho plynie, že hodnosť matice je tiež maximálny počet lineárne nezávislýchstĺpcov a navyše, pre každú maticu typu m× n platí

h(A) ≤ min{m,n}

Teda, hodnosť matice nemôže prevýšiť ani počet riadkov ani počet stĺpcov. Akmatice A a B majú rovnaké hodnosti, potom sa nazývajú ekvivalentné matice.Značíme

A ∼ B

Príklad 2.18. Pre matice

A =

(3 1 5 1 22 −2 1 0 4

), B =

2 3 11 0 33 3 4

platí: h(A) = 2, lebo riadky sú lineárne nezávislé, h(B) = 2, lebo 3. riadok jesúčet (lineárna kombinácia) 1. a 2. riadku. Teda A ∼ B.

Vo všeobecnosti, zistiť hodnosť matice nie je jednoduché. Ak však matica jetrojuholníková, je to jednoduché.


C =

2 3 0 10 2 1 00 0 3 −2

je trojuholníková, v hlavnej diagonále nemá nuly a pod ňou má len nuly. Ľahkosa dá ukázať, že riadky sú nezávislé. Porovnaním súradníc zistíme, že vektorovárovnica

k1(2, 3, 0, 1) + k2(0, 2, 1, 0) + k3(0, 0, 3,−2) = (0, 0, 0, 0)

platí len, ak k1 = k2 = k3 = 0. To znamená, že riadky matice sú lineárne nezávislé,a preto h(A) = 3.


Podobne ako tvrdenie v predošlom príklade možno dokázať vetu.

Veta 2.2. Hodnosť trojuholníkovej matice sa rovná počtu jej nenulových riadkov.

Nasledujúca veta nám umožňuje ku každej nenulovej matici nájsť ekvivalentnútrojuholníkovú maticu a tak určiť jej hodnosť. Uvedieme ju bez dôkazu.

Veta 2.3. Nech matica B vznikne z matice A pomocou jednej z nasledujúcichriadkových (stĺpcových) úprav:

1. vzájomná výmena dvoch riadkov (stĺpcov),

2. vynásobenie riadku (stĺpca) nenulovým číslom,

3. vynechanie riadku (stĺpca), ktorý je lineárnou kombináciou ostatných,

4. pripočítanie násobku riadku (stĺpca) k inému riadku (stĺpcu).

Potom matice A ∼ B sú ekvivalentné (majú rovnakú hodnosť).

Z vety plynie jednoduchá stratégia na hľadanie hodnosti nenulovej matice.Maticu upravíme pomocou ekvivalentných (nemeniacich hodnosť) úprav uvede-ných v predošlej vete na trojuholníkovú maticu. Počet nenulových riadkov taktozískanej trojuholníkovej matice určuje hodnosť pôvodnej matice.

Príklad 2.20. Nájdeme hodnosť matice

W =

2 1 2 0 20 1 0 1 04 4 0 4 22 2 2 1 2

V prvom kroku „vyrobímeÿ nuly pod hlavnou diagonálou v 1. stĺpci. Stačí od3. riadku odpočítať dvojnásobok 1. riadku a potom od 4. riadku odpočítať 1. riadok.Teda, vykonáme úpravy:

3.r = (3.r) + (−2)(1.r) = (3.r)− 2(1.r), 4.r = (4.r) + (−1)(1.r) = (4.r)− (1.r)2 1 2 0 20 1 0 1 04 4 0 4 22 2 2 1 2

∼

2 1 2 0 20 1 0 1 00 2 −4 4 −20 1 0 1 0

Vidíme, že 4. riadok sa rovná 2. riadku. To znamená, jeden z nich možno vyne-chať (je lineárnou kombináciou ostatných riadkov). Pozor, nemožno vynechať obariadky, lebo po vynechaní jedného už druhý nemusí byť lineárnou kombináciou os-tatných. Vynecháme 4. riadok a potom „vyrobímeÿ nuly pod hlavnou diagonálouv 2. stĺpci:

3.r = (3.r)− 2(2.r)

2.6. SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC 25

2 1 2 0 20 1 0 1 00 2 −4 4 −20 1 0 1 0

∼ 2 1 2 0 2

0 1 0 1 00 2 −4 4 −2

∼ 2 1 2 0 2

0 1 0 1 00 0 −4 2 −2

Všimnime si, že na úpravu 3. riadku sme nemohli použiť 1. riadok (stratili by smenulu v 1. stĺpci). Posledná matica je už trojuholníková. Je ekvivalentná s pôvodnoumaticou a má 3 nenulové riadky. Teda h(W ) = 3.

Pomocou hodnosti matíc môžeme jednoducho zisťovať, či sústava vektorovje lineárne závislá alebo nezávislá. Stačí z vektorov zostaviť maticu a zistiť jejhodnosť. Ak hodnosť takejto matice sa rovná počtu vektorov, sústava je lineárnenezávislá.

Príklad 2.21. Zistime, či vektory ~u = (1,−2, 3, 0, 1), ~v = (0,−2, 1, 1, 1), ~w =(0, 2, 0, 2, 1) sú lineárne závislé alebo nezávislé. Zostavíme maticu 1 −2 3 0 1

0 −2 1 1 10 2 0 2 1

∼ 1 −2 3 0 1

0 −2 1 1 10 0 1 3 2

Hodnosť matice je h = 3. Vektory sú lineárne nezávislé.

Cvičenie 2.6. Nájdite hodnosť matice

D =

2 1 2 0−2 1 1 −2

3 0 2 −22 2 −1 2

2.6 Sústavy lineárnych rovníc

Sústava m lineárnych rovníc s n neznámymi, skrátene (SLR), má tvar

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2. . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

kde aij , bi ∈ R, i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . n. Stĺpcový vektor (matica typu n×1)

~x =

x1

x2

. . .xn


je vektor neznámych, vektor (matica typu m× 1)

~b =

b1b2. . .bm

je vektor pravých strán a matica

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn

je matica sústavy. Sústavu (SLR) môžeme prepísať do maticového tvaru

A.~x = ~b

Riešením sústavy je taká n-tica (stĺpcový vektor)

~α = (α1, α2, . . . , αn)T

žeA.~α = ~b

Pre jednoduchosť zápisu, budeme riešenie systému (SLR) uvádzať aj ako riad-kový vektor ~α = (α1, α2, . . . , αn). Z geometrického hľadiska možno každú lineárnurovnicu považovať za rovnicu lineárneho útvaru, napríklad priamku v dvojroz-mernom priestore, rovinu v trojrozmernom priestore, atď. Pretože ide o lineárneútvary, výsledkom riešenia sústavy lineárnych rovníc je jedna z týchto troch mož-ností:

• sústava má jediné riešenie,

• sústava má nekonečne veľa riešení,

• sústava nemá riešenie.

Príklad 2.22.

1. Sústavax+ y = 1, x− y = 2

má práve jedno riešenie ~α = (3/2,−1/2) (priamky sú rôznobežné).

2. Sústavax+ y = 1, 2x+ 2y = 2

má nekonečne veľa riešení, ktoré môžeme vyjadriť napr. vektorom

~α = (t, 1− t)

kde t je ľubovolné reálne číslo (priamky sú totožné).


3. Sústavax+ y = 1, x+ y = 2

nemá riešenie (priamky sú rovnobežné).

Sústava (SLR) je jednoznačne určená maticou sústavy A a vektorom ~b pravýchstrán. Môžeme ich spojiť do jednej matice typu m× (n+ 1).

A′ = (A,~b) =

a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2. . . . . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn bm

ktorú nazývame rozšírenou maticou sústavy (SLR). Často oddeľujeme poslednýstĺpec rozšírenej matice sústavy zvislou čiarou

A′ =

a11 a12 . . . a1n | b1a21 a22 . . . a2n | b2. . . . . . . . . . . . | . . .am1 am2 . . . amn | bm

Všimnime si hodnosti matíc a rozšírených matíc v predošlom príklade.V 1. sústave

A =

(1 11 −1

), A′ =

(1 1 11 −1 2

), h(A) = h(A′) = 2

V 2. sústave

A =

(1 12 2

), A′ =

(1 1 12 2 2

), h(A) = h(A′) = 1

V 3. sústave

A =

(1 11 1

), A′ =

(1 1 11 1 2

), h(A) = 1, h(A′) = 2

Pripomíname, že 3. sústava nemala riešenie. Je teda možné uveriť, že platí nasle-dujúca veta. Dôkaz ponecháme čitateľovi.

Veta 2.4. (Frobéniusova veta). (SLR) má riešenie vtedy a len vtedy, ak

h(A) = h(A′)

Veta nie je konštruktívna, nedáva návod na riešenie, ale jej použitím možnoukázať:

• Ak h(A) 6= h(A′), potom sústava nemá riešenie.

• Ak h(A) = h(A′) = n (n je počet neznámych), potom sústava má právejedno riešenie.

• Ak h(A) = h(A′) < n, potom sústava má nekonečne veľa riešení. Neznáme,v počte n− h(A), možno ľubovolne voliť.


2.6.1 Gaussova eliminačná metóda

Poznáme niekoľko metód riešenia (SLR). Uvedieme najrozšírenejšiu z nich - Gaus-sovu eliminačnú metódu (GEM). Touto metódou možno riešiť (SLR) bez ohľaduna počet lineárnych rovníc a počet neznámych.Princíp riešenia metódou (GEM):

1. Rozšírenú maticu sústavy prevedieme ekvivalentnými riadkovými úpravamina ekvivalentnú trojuholníkovú maticu

2. Trojuholníkovú maticu prepíšeme opäť na sústavu (SLR) použitím pôvod-ných neznámych.

3. Začínajúc poslednou rovnicou, riešime sústavu spätnými substitúciami.

Poznámka 2.5. Pri úprave na trojuholníkovú maticu je niekedy nutné vymeniťstĺpce. V tomto prípade si poznačíme zmenu poradia neznámych. Nie je možnévymeniť stĺpec pravých strán.

Príklad 2.23. Použitím (GEM) riešme sústavu lineárnych rovníc:

2x1 − 3x2 + x3 = 0x1 + 2x2 − x3 = 32x1 + x2 + x3 = 12

Upravujeme rozšírenú maticu sústavy na trojuholníkovú maticu: 2 −3 1 | 01 2 −1 | 32 1 1 | 12

∼ 2 −3 1 | 0

0 7 −3 | 60 4 0 | 12

∼ 2 −3 1 | 0

0 7 −3 | 60 0 12 | 60

Použité úpravy: 2.r = 2.(2.r)− (1.r), 3.r = (3.r)− (1.r) a potom 3.r = 7.(3.r)−4.(2.r).Z 3. rovnice

12x3 = 60

vypočítame x3 = 5. Z 2. rovnice

7x2 − 3x3 = 6

vypočítame x2 = 3. Nakoniec, z 1. rovnice

2x1 − 3x2 + x3 = 0

vypočítame x1 = 2. Sústava má jediné riešenie

~α = (2, 3, 5)



x1 − 3x2 + x3 = 0x1 + 2x2 − x3 = 32x1 − x2 = 12

Upravujeme rozšírenú maticu sústavy na trojuholníkovú maticu: 1 −3 1 | 01 2 −1 | 32 −1 0 | 12

∼ 1 −3 1 | 0

0 5 −2 | 30 5 −2 | 12

∼ 1 −3 1 | 0

0 5 −2 | 30 0 0 | 9

Výsledná matica nie je trojuholníková, ale je zrejmé, že

2 = h(A) 6= h(A′) = 3

Podľa Fobéniusovej vety sústava nemá riešenie. Je to zrejmé aj z poslednej rov-nice, ktorá hovorí: 0 = 9.


x1 − 3x2 + 2x3 = 0x1 + 2x2 − x3 = 32x1 − x2 + x3 = 3

Upravujeme rozšírenú maticu sústavy na trojuholníkovú maticu: 1 −3 2 | 01 2 −1 | 32 −1 1 | 3

∼ 1 −3 2 | 0

0 5 −3 | 30 5 −3 | 3

∼ ( 1 −3 2 | 00 5 −3 | 3

)

h(A) = h(A′) = 2

Podľa Frobéniusovej vety sústava má riešenie. Pretože sústava má len 2 významnérovnice, možno jednu neznámu ľubovoľne voliť. Volíme poslednú: x3 = t, t ∈ R. Zdruhej rovnice plynie

x2 =3 + 3t

5

Z prvej rovnice dostaneme

x1 = 3x2 − 2x3 =9− t

5

Systém má nekonečne veľa riešení tvaru[(9− t

5,3 + 3t

5, t

), t ∈ R

]


Všeobecne, akh(A) = h(A′) < n

potom počet významných rovníc v sústave je rovný h(A), a preto možno neznáme,v počte n− h(A), ľubovoľne voliť. Obvykle volíme posledné neznáme v poradí.

Poznámka 2.6. Ak má sústava nekonečne veľa riešení, možno výsledok napísaťrôznymi spôsobmi. Napríklad, výsledok z predošlého príkladu možno napísať v tvare[(

9− x3

5,3 + 3x3

5, x3

), x3 ∈ R

]alebo položiť x3 = 5s+ 4 a potom dostaneme

[(1− s, 3s+ 3, 5s+ 4) , s ∈ R]

Cvičenie 2.7. Riešte nasledujúce sústavy rovníc

1.2x1 − 3x2 + x3 = 03x1 + 2x2 − x3 = 4x1 + 3x2 + x3 = 5

2.a − 3b + c − d = 02a + b − c + 2d = 44a − 5b + c − d = 5

3.2x1 − 3x2 + x3 + x4 = 03x1 + 2x2 − x3 + x4 = 4x1 + 5x2 − 2x3 = 4

Príklad 2.26. Ak existuje, nájdime maticu inverznú k matici

H =

1 0 −12 5 23 6 2

Hľadáme maticu G tak, aby H.G = E3, t. j. 1 0 −1

2 5 23 6 2

.

g11 g12 g13

g21 g22 g23

g31 g32 g33

=

1 0 00 1 00 0 1

Riešime 3 sústavy s 3 neznámymi. Prvá z nich: (1. stĺpec jednotkovej matice do-staneme skalárnym násobením riadkov matice H s 1. stĺpcom matice G):

g11 − g31 = 12g11 + 5g21 + 2g31 = 03g11 + 6g21 + 2g31 = 0

2.7. DETERMINANTY 31

Jej riešením dostaneme

g11 = −2, g21 = 2, g31 = −3

Analogicky, riešením ďalších 2 sústav dostaneme

g12 = −6, g22 = 5, g32 = −6

g13 = 5, g23 = −4, g33 = 5

Teda hľadaná matica

G = H−1 =

−2 −6 52 5 −4−3 −6 5

Cvičenie 2.8. Ak existuje, nájdite maticu inverznú k matici

K =

2 0 0−1 4 2

1 9 5

Existujú štvorcové matice, ku ktorým sa inverzná matica nedá nájsť. Stačí

zobrať štvorcovú maticu typu n × n, ktorej hodnosť je menšia ako n (obsahujeriadok, ktorý je lineárnou kombináciou ostatných). Napríklad, k matici

U =

(1 11 1

)sa nedá nájsť inverzná matica. Skúste!

Cvičenie 2.9. Nájdite maticu inverznú k matici

L =

2 1 30 1 12 2 4

2.7 Determinanty

Pre štvorcovú maticu vieme nájsť číslo, ktoré nazveme determinantom matice.Determinant matice sa používa nielen v matematike, ale aj v mnohých ďalšíchvedách, najmä v informatike, vo fyzike a všetkých technických vedách. My sabudeme venovať najmä determinantom matíc typu 2× 2 a 3× 3.

Definícia 2.14. Nech

A =

(a11 a12

a21 a22

)Potom číslo

| A |= a11.a22 − a12.a21

nazývame determinantom matice A.


Príklad 2.27. Vypočítame determinant matice

A =

(−2 3−1 −4

)| A |= (−2).(−4)− 3.(−1) = 11

Poznámka 2.7. Z úsporných dôvodov, niekedy priamo počítame determinantneoznačenej matice, napríklad:∣∣∣∣ 5 6

2 −3

∣∣∣∣ = −15− 12 = −27

Definícia 2.15. (Sarrusovo pravidlo) Nech

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

Potom číslo

| A |= a11.a22.a33+a12.a23.a31+a13.a21.a32−(a13.a22.a31+a11.a23.a32+a12.a21.a33)

nazývame determinantom matice A.

Sarrusovo pravidlo si možno jednoducho zapamätať takto: Za maticu A napí-šeme znova 1. a 2. stĺpec, vytvoríme súčiny trojíc prvkov umiestnených v smerehlavnej diagonály a sčítame ich.

a11 a12 a13 a11 a12

↘ ↘ ↘a21 a22 a23 a21 a22

↘ ↘ ↘a31 a32 a33 a31 a32

a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32

Potom vytvoríme súčiny trojíc prvkov v smere opačnej diagonály a odčítame ichod predošlého súčtu.

a11 a12 a13 a11 a12

↙ ↙ ↙a21 a22 a23 a21 a22

↙ ↙ ↙a31 a32 a33 a31 a32

−(a13.a22.a31 + a11.a23.a32 + a12.a21.a33)

Poznamenajme, že rovnaký výsledok možno dosiahnuť pripísaním prvých dvochriadkov pod maticu a použitím podobného postupu.


Príklad 2.28. Vypočítajme determinant matice

B =

2 −1 03 1 20 −1 1

Vytvoríme pomocnú schému opísaním prvých dvoch stĺpcov:

2 −1 0 2 −13 1 2 3 10 −1 1 0 −1

Počítame| B | = 2 + 0 + 0− (0− 4− 3) = 9

Cvičenie 2.10. Vypočítajte determinant matice

A =

3 −2 13 −1 25 0 1

Poznámka 2.8. Determinanty štvorcových matíc typu n×n, kde n > 3 počítamepomocou rozvoja podľa ľubovoľného riadku alebo stĺpca. Ak v štvorcovej matici Avynecháme i−ty riadok a j−ty stĺpec, dostaneme maticu Mij typu (n−1)×(n−1).Jej determinant |Mij | nazývame minor. Číslo

dij = (−1)i+j |Mij |

nazývame algebraický doplnok prvku aij . Výraz (−1)i+j nadobúda len hodnoty±1 a teda určuje len znamienko algebraického doplnku. Determinantom matice Anazývame číslo

|A| = ak1dk1 + ak2dk2 + · · ·+ akndkn. (2.1)

Vzťah 2.1 nazývame rozvoj determinantu pomocou k−teho riadku. Dá sa doká-zať, že rovnaký výsledok dostaneme aj rozvojom podľa iného riadku alebo stĺpca.Vypočítame determinant matice

A =

3 −2 1 03 0 0 25 0 −1 11 −2 1 0

rozvojom podľa 2. riadku (obsahuje 2 nuly):

|A| = a21d21 + a22d22 + a23d23 + a24d24 =

3.(−1)2+1|M21|+ 0.(−1)2+2|M22|+ 0.(−1)2+3|M23|+ 2.(−1)2+4|M24| =


−3

∣∣∣∣∣∣−2 1 0

0 −1 1−2 1 0

∣∣∣∣∣∣+ 2

∣∣∣∣∣∣3 −2 15 0 −11 −2 1

∣∣∣∣∣∣ = (−3).0 + 2.(−4) = −8

Videli sme, že je rozumné použiť rozvoj determinantu podľa riadku alebo stĺpcaobsahujúceho najviac núl. Nuly možno „vyrábaťÿ úpravou (4) z Vety 2.3: K riadku(stĺpcu) pripočítať násobok iného riadku (stĺpca).

Cvičenie 2.11. Dokážte, že determinant štvorcovej trojuholníkovej matice sa rov-ná súčinu jej diagonálnych prvkov.

2.7.1 Inverzné matice a maticové rovnice

Dá sa dokázať, že štvorcová matica má nenulový determinant práve vtedy, ak jejhodnosť sa rovná počtu riadkov. Štvorcové matice s nenulovým determinantomsa nazývajú regulárne. V opačnom prípade sa nazývajú singulárne. Dá sa tieždokázať, že k štvorcovej matici existuje inverzná práve vtedy, ak je regulárna.Pomocou determinantov možno jednoducho nájsť maticu inverznú k regulárnejmatici. Ukážeme to pre matice typov 2× 2 a 3× 3. Nech

A =

(a11 a12

a21 a22

)je regulárna matica, t. j. | A |6= 0. Potom

A−1 =1| A |

(a22 −a12

−a21 a11

)Ľahko sa presvedčíme, že A.A−1 = A−1.A = E2.

Príklad 2.29.(−2 3−1 4

)−1

=1∣∣∣∣ −2 3

−1 4

∣∣∣∣(

4 −31 −2

)=

1−5

(4 −31 −2

)=

(−4/5 3/5−1/5 2/5

)

Nech

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

V Poznámke 2.8 sme zaviedli pojem algebraického doplnku. Zopakujeme: Vyne-chajme v matici A riadok a stĺpec, kde leži prvok aij . Zostane matica Mij typu2× 2. Jej determinat je číslo |Mij |, ktoré sa nazýva minor matice. Číslo

dij = (−1)i+j |Mij |

nazývame algebraický doplnok prvku aij .


Príklad 2.30. Nájdime všetky algebraické doplnky prvkov matice

A =

2 −1 03 1 00 −1 1

Počítajme:

d11 = (−1)1+1

∣∣∣∣ 1 0−1 1

∣∣∣∣ = 1, d12 = (−1)1+2

∣∣∣∣ 3 00 1

∣∣∣∣ = −3

d13 = (−1)1+3

∣∣∣∣ 3 10 −1

∣∣∣∣ = −3, d21 = (−1)2+1

∣∣∣∣ −1 0−1 1

∣∣∣∣ = 1,

d22 = (−1)2+2

∣∣∣∣ 2 00 1

∣∣∣∣ = 2, d23 = (−1)2+3

∣∣∣∣ 2 −10 −1

∣∣∣∣ = 2

d31 = (−1)3+1

∣∣∣∣ −1 01 0

∣∣∣∣ = 0, d32 = (−1)3+2

∣∣∣∣ 2 03 0

∣∣∣∣ = 0,

d33 = (−1)3+3

∣∣∣∣ 2 −13 1

∣∣∣∣ = 5

Maticu inverznú k regulárnej matici A typu 3× 3 vypočítame:

A−1 =1| A |

d11 d12 d13

d21 d22 d23

d31 d32 d31

T

Tvrdenie nebudeme dokazovať, ale jeho platnosť overíme aspoň na príkladoch.

Príklad 2.31. Nájdeme maticu inverznú k matici A z predošlého príkladu. Naj-skôr vypočítame determinant matice A:

| A |= 2 + 0 + 0− (0 + 0− 3) = 5

Potom

A−1 =15

1 −3 −31 2 20 0 5

T

=15

1 1 0−3 2 0−3 2 5

Cvičenie 2.12. Ak existuje, nájdite maticu inverznú k matici

Z =

1 0 1−2 1 0

0 3 0

a urobte skúšku správnosti.


Príklad 2.32. Pomocou inverznej matice riešte sústavu lineárnych rovníc:

2u − v = 13u + v = 4− v + w = 0

Sústavu zapíšeme v tvareA.~x = ~b

Vynásobíme zľava maticou A−1 a dostaneme

~x = A−1.~b

Matice A a A−1 poznáme z predošlých príkladov. Preto

~x = A−1.~b =

2 −1 03 1 00 −1 1

−1

.

140

=15

1 1 0−3 2 0−3 2 5

.

140

=

111

Cvičenie 2.13. Pomocou inverznej matice riešte sústavu lineárnych rovníc

2a − b = 13a + b = 4− b + c = 0

Cvičenie 2.14. Nájdite maticu Y , ktorá spĺňa maticovú rovnicu

E2 + Y.A = Y +A.A

ak

A =

(2 31 0

)Návod:

Y = (A.A− E2).(A− E2)−1

2.7.2 Cramerovo pravidlo

Sústavy n lineárnych rovníc s n neznámymi možno riešiť aj pomocou determinan-tov. Metóda sa nazýva Cramerovo pravidlo podľa švajčiarskeho matematika Gab-riela Cramera (1704-1752). Uvedieme verziu Cramerovej vety pre sústavu trochrovníc s tromi neznámymi

a11 x1 +a12 x2 +a13 x3 = b1a21 x1 +a22 x2 +a23 x3 = b2a31 x1 +a32 x2 +a33 x3 = b3

(2.2)

Jednoduchšiu verziu vety pre 2 rovnice s 2 neznámymi necháme na čitateľa. Vetunebudeme dokazovať.


Veta 2.5. (Cramerova veta) Nech determinant |A| matice sústavy (2.2) je rôznyod nuly. Potom sústava má jediné riešenie

~α =

(|A1||A|

,|A2||A|

,|A3||A|

),

kde

|A1| =

∣∣∣∣∣∣b1 a12 a13

b2 a22 a23

b3 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ , |A2| =

∣∣∣∣∣∣a11 b1 a13

a21 b2 a23

a31 b3 a33

∣∣∣∣∣∣ , |A3| =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 b1a21 a22 b2a31 a32 b3

∣∣∣∣∣∣a (b1, b2, b3)T je stĺpec pravých strán.

Príklad 2.33. Cramerovým pravidlom riešte sústavu:

−a + 2b + 3c = 3a − 6c = −3

2a + 4b = 0

Riešenie: Počítame

D = |A| =

∣∣∣∣∣∣−1 2 31 0 −62 4 0

∣∣∣∣∣∣ = −36, D1 = |A1| =

∣∣∣∣∣∣3 2 3−3 0 −60 4 0

∣∣∣∣∣∣ = 36

D2 = |A2| =

∣∣∣∣∣∣−1 3 31 −3 −62 0 0

∣∣∣∣∣∣ = −18, D3 = |A3| =

∣∣∣∣∣∣−1 2 31 0 −32 4 0

∣∣∣∣∣∣ = −12

teda sústava má jediné riešenie

~α =

(D1

D,D2

D,D3

D

)=

(−1,

12,13

)Cvičenie 2.15. Cramerovým pravidlom riešte sústavu

x1 + 3x2 = 7x1 − x2 = −1

Cvičenie 2.16. Cramerovým pravidlom riešte sústavu

2x1 − 3x2 + x3 = 0x1 + 2x2 − x3 = 3

2x1 + x2 + x3 = 12


2.8 Polynómy a algebraické rovnice

Na strednej škole ste sa určite stretli s riešením kvadratickej rovnice, ktorá mátvar

ax2 + bx+ c = 0

kde a, b, c sú reálne čísla, a 6= 0. Jej riešenia (korene) sme hľadali v tvare

x1,2 =−b±

√D

2a

kde D = b2− 4ac je diskriminant kvadratickej rovnice. Ak D > 0, rovnica má dverôzne reálne korene, ak D = 0 rovnica má jeden (dvojnásobný) reálny koreň. AkD < 0 rovnica má 2 komplexné korene:

x1,2 =−b± i

√|D|

2a

Ak poznáme korene, vieme kvadratickú rovnicu prepísať v tvare

a(x− x1)(x− x2) = 0

Príklad 2.34. Kvadratická rovnica x2 − 5x+ 4 = 0 má korene

x1,2 =5±√

92

Teda x1 = 4, x2 = 1. Kvadratickú rovnicu možno napísať v tvare

(x− 4)(x− 1) = 0

Poznámka 2.9. Rovnica y = ax2 + bx + c je v analytickej geometrii v rovinerovnicou paraboly. To znamená, že súradnice každého bodu [x, y] tejto parabolyspĺňajú uvedenú rovnicu. Body [x, 0] ležiace na parabole sa nazývajú nulové body.Ich x-ové súradnice sú práve reálne korene kvadratickej rovnice ax2 + bx + c =0. Teda reálne korene kvadratickej rovnice sú súčasne nulovými bodmi trojčlena(polynómu) ax2 + bx + c. V predošlom Príklade 2.34 korene x1 = 4, x2 = 1 súsúčasne nulovými bodmi paraboly y = x2 − 5x + 4. Body [1, 0], [4, 0] ležia naparabole (načrtnite!)

Príklad 2.35. Kvadratická rovnica x2 + 2x+ 2 = 0 má korene

x1,2 =−2± i

√| − 4|

2=−2± 2i

2

kde i je imaginárna jednotka. Teda x1 = −1+ i, x2 = −1− i. Kvadratickú rovnicumožno napísať v tvare

(x+ 1− i)(x+ 1 + i) = 0

2.8. POLYNÓMY A ALGEBRAICKÉ ROVNICE 39

V tomto odseku sa budeme venovať rovniciam, v ktorých vystupuje neznámavo vyšších mocninách a koeficienty rovnice môžu byť aj komplexné čísla.

Definícia 2.16. Nech n je nezáporné celé číslo, a0, a1, . . . , an sú reálne alebokomplexné čísla, a0 6= 0. Výraz

Pn(x) = a0xn + a1x

n−1 + · · ·+ an

nazývame polynóm n-tého stupňa.

Príklad 2.36. P3(x) = 5x3 + 2x2 − x + 7 je polynóm 3. stupňa, P0(x) = 5 jepolynóm nultého stupňa.

Dá sa dokázať, že polynómy

Pn(x) = a0xn + a1x

n−1 + · · ·+ an, Qm(x) = b0xm + b1x

m−1 + · · ·+ bm

sa rovnajú pre každé x ∈ C, (C je množina všetkých komplexných čísel) právevtedy, ak

m = n, a0 = b0, a1 = b1, . . . , an = bn

ZapisujemePn(x) ≡ Qn(x)

Definícia 2.17. Nech n je prirodzené číslo. Rovnicu s neznámou x tvaru

a0xn + a1x

n−1 + · · ·+ an = 0

kde a0, a1, . . . , an sú reálne alebo komplexné čísla, a0 6= 0, nazývame algebraickourovnicou n-tého stupňa.

Definícia 2.18. Komplexné číslo α je riešením (koreňom) algebraickej rovnicePn(x) = 0, ak Pn(α) = 0.

Poznámka 2.10. Hovoríme tiež, že α je koreňom polynómu Pn(x).

Príklad 2.37. Číslo α = 1 je riešením (koreňom) algebraickej rovnice

2x4 − 3x3 + 2x− 1 = 0

Ak je α koreňom algebraickej rovnice Pn(x) = 0, potom výraz x−α (polynóm1. stupňa) nazývame jej koreňovým činiteľom. Teda, v predošlom príklade je x−1koreňovým činiteľom. V nasledujúcej vete sa dozvieme, že koreňový činiteľ mázaujímavé vlastnosti.

Veta 2.6. Čislo α je koreňom algebraickej rovnice Pn(x) = 0 práve vtedy, akpolynóm Pn(x) je deliteľný polynómom x− α bez zvyšku.


Poznámka 2.11. S delením polynómov ste sa stretli na strednej škole. Pripomí-name, že možno deliť polynóm Pn(x) polynómom Qm(x) len ak m ≤ n. Výslednýpolynóm je stupňa n−m a zvyšok je stupňa menšieho ako m. Napríklad delenímpolynómov P3(x) = 3x3 + 2x2 + 2x− 1, Q2(x) = x2 + 2x+ 3 dostaneme výsledokR1(x) = 3x− 4 a zvyšok Z(x) = x+ 11. Delenie možno zapísať

Pn(x)Qm(x)

= Rn−m(x) +Z(x)Qm(x)

aleboPn(x) = Rn−m(x).Qm(x) + Z(x)

V našom príklade:

3x3 + 2x2 + 2x− 1x2 + 2x+ 3

= 3x− 4 +x+ 11

x2 + 2x+ 3

alebo3x3 + 2x2 + 2x− 1 = (3x− 4)(x2 + 2x+ 3) + x+ 11

Delenie je bez zvyšku, ak Z(x) = 0 pre každé x ∈ C (Z(x) ≡ 0).

Dôkaz Vety 2.6: Veta hovorí o ekvivalencii (rovnocennosti) dvoch výrokov:(p): α je koreňom algebraickej rovnice Pn(x) = 0.(q): Polynóm Pn(x) je deliteľný polynómom x− α bez zvyšku.Je zrejmé, že zvyšok po delení polynómom 1. stupňa je konštanta Z. Teda

Pn(x) = (x− α).Qn−1(x) + Z

Dosadením α do poslednej rovnice dostaneme

Pn(α) = Z

Teda Pn(α) = 0 práve vtedy, keď zvyšok delenia je nula.2Zistiť, či číslo α je koreňom danej algebraickej rovnice je jednoduché. Stačí

dosadiť α do polynómu Pn(x) na ľavej strane rovnice. Ak dostaneme nulu, α jekoreňom. Veta 2.6 nám ponúka ďalšiu možnosť. Delíme polynóm Pn(x) polynó-mom (x− α). Delenie prebehne bez zvyšku práve vtedy, ak je α koreňom. Druhámožnosť je zdanlivo komplikovanejšia. Avšak, ak α je koreň, delenie nám umožnízapísať rovnicu v tvare

(x− α).Qn−1(x) = 0

a ďalej stačí riešiť algebraickú rovnicu Qn−1(x) = 0, ktorá je nižšieho stupňa.

Poznámka 2.12. (Hornerova schéma) Delenie polynómom tvaru (x−α) možnozjednodušiť použitím Hornerovej schémy. Zostavíme schému:

a0 a1 a2 . . . anα a0 b1 b2 . . . bn

kde b1 = α.a0 + a1, b2 = α.b1 + a2, b3 = α.b2 + a3, . . . , bn = α.bn−1 + an.Polynóm s koeficientami a0, b1, b2, . . . , bn−1 stupňa n−1 je výsledok delenia a číslobn je zvyšok delenia.


Príklad 2.38. Zistime, či α = −2 je koreňom rovnice

3x3 − 9x+ 6 = 0

Použijeme Hornerovu schému.

3 0 −9 6−2 3 −6 3 0

Nula na konci druhého riadku znamená, že α = −2 je koreňom rovnice, polynóm(x− (−2)) = (x+ 2) delí polynóm 3x3 − 9x+ 6 bez zvyšku a výsledkom delenia jepolynóm 3x2 − 6x+ 3. Rovnicu možno zapísať v tvare

(3x2 − 6x+ 3)(x+ 2) = 0

Ďalšie korene hľadáme riešením kvadratickj rovnice 3x2 − 6x+ 3 = 0.

V tejto časti sa ešte pokúsime zodpovedať nasledujúce otázky:

1. Má každá algebraická rovnica korene?

2. Ak algebraická rovnica má korene, aký je ich počet?

3. Ako hľadať korene algebraických rovníc?

Odpoveď na 1. otázku dáva nasledujúca veta. Uvedieme ju bez dôkazu.

Veta 2.7. (Gaussova veta) Každá algebraická rovnica stupňa n ≥ 1 má aspoňjeden (reálny alebo komplexný) koreň.

Skôr ako odpovieme na 2. otázku, zavedieme pojem viacnásobného koreňa.

Definícia 2.19. Nech k je prirodzené číslo. Komplexné číslo α nazývame k-násob-ným koreňom algebraickej rovnice Pn(x) = 0, ak polynóm (x − α)k delí polynómPn(x) bez zvyšku, ale polynóm (x−α)k+1 nedelí Pn(x) bez zvyšku. Ak k = 1, α jejednoduchý koreň.

Z definície plynie, že α je k-násobným koreňom algebraickej rovnice Pn(x) = 0,ak rovnicu možno napísať v tvare

(x− α)k.Qn−k(x) = 0

pričom Qn−k(α) 6= 0. To znamená, že kvadratická rovnica s diskriminantom D = 0má jeden dvojnásobný koreň.

Príklad 2.39. Zistime násobnosť koreňa α = −1 v algebraickej rovnici

x5 + 3x4 + 7x3 + 13x2 + 12x+ 4 = 0


Použijeme opakovane Hornerovu schému – pokiaľ nie je zvyšok po deleníx− α = x+ 1 rôzny od nuly:

1 3 7 13 12 4−1 1 2 5 8 4 0−1 1 1 4 4 0−1 1 0 4 0−1 1 −1 5

Tri delenia prebehli bez zvyšku. To znamená, že α = −1 je 3-násobný koreň.Algebraickú rovnicu môžeme napísať v tvare

(x+ 1)3.(x2 + 4) = 0

Dôsledkom nasledujúcej vety (bez dôkazu) je odpoveď na 2. otázku.

Veta 2.8. Nech algebraická rovnica Pn(x) = 0 má práve r rôznych koreňov tak,že α1 je k1-násobný koreň, α2 je k2-násobný koreň, . . . , αr je kr-násobný koreň.Potom k1 + k2 + · · ·+ kr = n a algebraickú rovnicu možno napísať v tvare

a0(x− α1)k1 .(x− α2)k2 . . . . (x− αr)kr = 0

Dôsledok 2.2. Z Vety 2.8 plynie: Ak k-násobný koreň považujeme za k koreňov,algebraická rovnica n-tého stupňa má práve n koreňov (reálnych alebo komplex-ných). Teda, ak algebraická rovnica Pn(x) = 0 má len jednoduché korene, potomich počet sa rovná stupňu polynóma Pn(x).

Príklad 2.40. Algebraická rovnica

(x− 3)2.(x+ 5).(x− 2− i).x3 = 0

je 7-ho stupňa. Teda má 7 koreňov

α1 = α2 = 3, α3 = −5, α4 = 2 + i, α5 = α6 = α7 = 0

Algebraická rovnica v predošlom príklade má komplexné koeficienty a tiežjeden komplexný koreň. Nasledujúca veta hovorí o komplexných koreňoch algeb-raickej rovnice s reálnymi koeficientami. Jej dôkaz ponecháme čitateľovi.

Veta 2.9. Ak komplexné číslo a+ bi je koreňom algebraickej rovnice Pn(x) = 0s reálnymi koeficientami, potom aj komplexné číslo a−bi je koreňom tejto rovnice.

Dôsledok 2.3. Každá algebraická rovnica nepárneho stupňa s reálnymi koeficien-tami má aspoň jeden reálny koreň.

Poznámka 2.13. Komplexné čísla z = a + bi, z = a − bi nazývame komplexnezdružené. Ich súčin je reálne číslo: z.z = (a+ bi)(a− bi) = a2 + b2.


Príklad 2.41. Nájdime všetky korene algebraickej rovnice

x4 − 3x3 + 3x2 − 3x+ 2 = 0

ak vieme, že má koreň α1 = i. Pretože má rovnica reálne koefcienty, z predošlejvety vyplýva, že α2 = −i. Polynóm 4x4 − 3x3 + 3x2 − 3x + 2 musí byť deliteľnýpolynómami x− i, x+ i bez zvyšku a teda aj ich súčinom (x− i).(x+ i) = x2 + 1.Výsledkom delenia je polynóm x2 − 3x+ 2. Rovnicu možno napísať v tvare

(x2 + 1)(x2 − 3x+ 2) = 0

Ďalšie korene dostaneme riešením kvadratickej rovnice x2 − 3x+ 2 = 0. Vypočí-tame: α3 = 2, α4 = 1.

Už vieme, že algebraická rovnica Pn(x) = 0 má práve n koreňov, preto každýpolynóm Pn(x) možno napísať ako súčin koreňových činiteľov, t. j.

Pn(x) = a0(x− α1)(x− α2) . . . (x− αn)

Poznamenajme, že niektoré korene môžu byť viacnásobné, a preto sa niektorékoreňové činitele rovnajú. Ak má polynóm Pn(x) reálne koeficienty, potom jehokomplexné korene (ak existujú) vystupujú v komplexne združených dvojiciach.Po vynásobení ich koreňových činiteľov dostaneme polynóm 2. stupňa s reálnymikoeficientami:

(x− a− bi)(x− a+ bi) = (x− a)2 + b2

To dokazuje nasledujúcu vetu.

Veta 2.10. Každý polynóm n-tého stupňa s reálnymi koeficientmi možno napísaťv tvare súčinu polynómov s reálnymi koeficientmi 1. alebo 2. stupňa.

Príklad 2.42. Algebraická rovnica

x3 + x2 − 2 = 0

má korene {1 + i, 1 − i, 1}. Polynóm x3 + x2 − 2 možno napísať v tvare súčinukoreňových činiteľov, ale aj ako súčin polynómov s reálnymi koeficientami 1. a 2.stupňa:

x3 + x2 − 2 = (x− 1)(x− 1− i)(x− 1 + i) = (x− 1)(x2 − 2x+ 2)

Riešiť algebraickú rovnicu Pn(x) = 0 znamená nájsť všetkých n koreňov.Vieme to urobiť pre kvadratickú rovnicu. Musíme však priznať, že neuvediemeuniverzálnu metódu na riešenie algebraických rovníc vyšších stupňov, dokonca aniv prípade, že majú reálne koeficienty. Nasledujúca veta nám pomôže nájsť všetkyracionálne korene algebraickej rovnice s celočíselnými koeficientami. Pripomeňme,že racionálne sú čísla, ktoré možno napísať ako podiel (zlomok) dvoch celých čí-sel. Vždy možno (krátením) dosiahnuť, aby tieto dve celé čísla boli nesúdeliteľné(nemali, okrem ±1, spoločných deliteľov.)


Veta 2.11. Ak algebraická rovnica s celočíselnými koeficientmi

a0xn + a1x

n−1 + · · ·+ an = 0

kde a0, a1, . . . , an sú celé čísla, má racionálny koreň α = pq , kde p a q sú celé

nesúdeliteľné čísla, potom koeficient a0 je deliteľný číslom q a koeficient an jedeliteľný číslom p.

Dôkaz vety: Nech α = p/q je koreňom algebraickej rovnice s celočíselnýmikoeficientmi a0x

n + a1xn−1 + · · ·+ an = 0. Teda

a0pn

qn+ a1

pn−1

qn−1 + · · ·+ an−1p

q+ an = 0

Rovnicu vynásobíme qn a dostaneme

a0pn + a1p

n−1q + · · ·+ an−1p qn−1 + anq

n = 0

Upravíme na tvar

a0pn = −a1p

n−1q − · · · − an−1p qn−1 − anqn

aleboa0p

n = q(−a1pn−1 − · · · − an−1p q

n−2 − anqn−1)

Výraz v zátvorke je celé číslo. Z toho plynie, že q je deliteľom čísla a0pn. Pretože

p a q sú nesúdeliteľné (a teda aj pn a q sú nesúdeliteľné), musí byť q deliteľom a0.Podobne možno vyjadriť

anqn = −a0p

n − a1pn−1q − · · · − an−1p q

n−1

aleboanq

n = −p(a0pn−1 + a1p

n−2q + · · ·+ an−1qn−1)

Výraz v zátvorke je opäť celé číslo. Z toho plynie, že p je deliteľom čísla anqn. Číslap a q sú nesúdeliteľné (a teda aj qn a p sú nesúdeliteľné), musí byť p deliteľom an.2

Veta sa nedá obrátiť. To znamená: Ak q delí a0 a p delí an, ešte pq nemusí

byť koreňom. Napriek tomu, pomocou tejto vety môžeme nájsť všetky racionálnekorene, ak existujú. Stačí vyskúšať všetky možnosti racionálnych čísel typu p/q,kde p je deliteľom an a q je deliteľom a0.

Príklad 2.43. Nájdime všetky korene algebraickej rovnice 3x3− x2 + 2x− 8 = 0.Riešenie: Hľadáme koreň v tvare p/q, kde celé číslo p je deliteľom čísla 8 a celéčíslo q je deliteľom čísla 3. Teda

p ∈ {±1,±2,±4,±8} q ∈ {±1,±3}

p

q∈ {±1,±2,±4,±8,±1

3,±2

3,±4

3,±8

3}

2.9. VÝSLEDKY CVIČENÍ 45

Hornerovou schémou (alebo priamym dosadením) zistíme, že α1 = 43 :

3 −1 2 −843 3 3 6 0

Ďalšie korene nájdeme po delení koreňovým činiteľom (x− 43) a riešení kvadratickej

rovnice x2 + x+ 2 = 0 :

α2,3 =−1± i

√7

2

Predošlá veta sa dá použiť len ak má algebraická rovnica celočíselné koefi-cienty. Ak má rovnica racionálne koeficienty, môžeme vynásobením spoločnýmmenovateľom dosiahnuť celočíselné koeficienty. Napríklad, namiesto rovnice

12x3 − 1

6x2 +

13x− 4

3= 0

môžeme riešiť ekvivalentnú rovnicu

3x3 − x2 + 2x− 8 = 0

s celočíselnými koeficientami.

Cvičenie 2.17. Riešte algebraické rovnice

1. s4 + 4s3 + s2 − 6s = 0,

2. 6x4 + x3 + 5x2 + x− 1 = 0,

3. 7x3 + 13x2 + 12x− 2 = 0,

4. 4t4 + 4t3 − 7t2 − 4t+ 3 = 0

V technickej praxi sa väčšinou stretávame s algebraickými rovnicami, ktorémajú reálne koeficienty a hľadáme najmä ich reálne korene. Tieto korene sú častoiracionálne čísla a môžeme ich nájsť len približne s istou presnosťou. Týmto prob-lémom sa zaoberá časť matematiky, ktorú nazývame numerická matematika.

2.9 Výsledky cvičení

• 2.2. ~a = 2~u− ~v + ~w.

• 2.3. 0, kolmé.

• 2.4.

C.D =

−5 1 8 8 0−7 3 12 18 0−10 0 24 15 0

.


• 2.5.

U−1 =110

(3 4−1 2

).

• 2.6. 4.

• 2.7.

1. (1, 1, 1).

2.(

17+2c7 , 8+3c

7 , c,−1).

3. Nemá riešenie.

• 2.8.

K−1 =

1/2 0 07/4 5/2 −1

−13/4 −9/2 2

• 2.9. Neexistuje.

• 2.10. -12.

• 2.12.

Z−1 =

0 −1/2 1/60 0 1/31 1/2 −1/62

• 2.13. (1, 1, 1).

• 2.14.

Y =

(6 93 3

).

• 2.15. (1, 2)

• 2.16. (2, 3, 5).

• 2.17.

1. {−3,−2, 0, 1}.2. {−1/2, 1/3, i,−i}.3. {1/7,−1 + i,−1− i}.4. {−3/2,−1, 1/2, 1}.

Kapitola 3

REÁLNE FUNKCIE JEDNEJPREMENNEJ

3.1 Reálna funkcia a jej vlastnosti

V praxi sa často stretávame so závislosťami medzi veličinami. Napríklad, objemlátky pri izobarickom deji je závislý od teploty alebo dráha prejdená automobilomzávisí od času. Ak veličine t (čas v sekundách) priradíme dráhu d (v metroch),ktorú do času t automobil prešiel, získame dvojicu (t, d). Napríklad dvojica (2, 5)znamená, že do času t = 2[s] automobil prešiel dráhu d = 5[m]. Množina takýchtodvojíc vyjadruje závislosť dráhy od času. Veličinu t vyberáme z nejakej množinyT , veličinu d vyberáme z nejakej množiny D, napríklad D = T = 〈0,∞). Potomje závislosť dráhy od času vyjadrená množinou usporiadaných dvojíc patriacichkarteziánskemu súčinu T ×D. Podstatné je, že každému t ∈ T možno nájsť právejedno d ∈ D tak, že usporiadaná dvojica (t, d) patrí medzi spomínané dvojice.Takto každému prvku t ∈ T je priradený práve jeden prvok množiny D.

3.1.1 Zobrazenie a reálna funkcia

Definícia 3.1. Zobrazením neprázdnej množiny A do neprázdnej množiny B na-zývame množinu f usporiadaných dvojíc (x, y), kde x ∈ A, y ∈ B takých, že prekaždé x ∈ A existuje práve jedno y ∈ B tak, že (x, y) ∈ f . Množinu A nazý-vame definičným oborom zobrazenia f , A = D(f). Oborom hodnôt zobrazenia fnazývame množinu

H(f) = {y ∈ B : existuje x ∈ A tak, že (x, y) ∈ f}

Ak (x, y) ∈ f , potom prvok x ∈ A nazývame vzorom prvku y ∈ B a prvoky ∈ B nazývame obrazom prvku x ∈ A. Zapisujeme y = f(x). Teda

y = f(x)⇐⇒ (x, y) ∈ f

47

48 KAPITOLA 3. REÁLNE FUNKCIE JEDNEJ PREMENNEJ

Niekedy tiež zapisujeme f : x 7→ y. Ak chceme zvýrazniť množiny, z ktorých vy-beráme prvky, zapisujeme

f : A −→ B

Vzťah y = f(x) nazývame predpis zobrazenia. Skrátene zapisujeme

H(f) = f(A) ⊆ B

Ak H(f) = B, zobrazenie f : A −→ B nazývame surjektívne zobrazenie alebozobrazenie A na B.

Definícia 3.2. Nech A a B sú neprázdne podmnožiny množiny reálnych čísel R.Potom každé zobrazenie f : A −→ B nazývame reálnou funkciou.

Vzťah y = f(x) pre reálne funkcie nazývame funkčný predpis alebo predpisfunkcie.

Príklad 3.1. Zistime, či nasledujúcim predpisom je definovaná reálna funkcia h.Nech A = B = R. Potom

(x, y) ∈ h⇐⇒ x < y

Je zrejmé, že odpoveď je záporná; napríklad 3 < 5 a súčasne 3 < 6, teda 3 7→ 5 asúčasne 3 7→ 6. Uvedený predpis nie je predpisom funkcie.

Príklad 3.2. Nech A = B = N. Definujme

(n,m) ∈ g ⇐⇒ m = 2n

Napríklad, (1, 2), (3, 6) ∈ g. Zobrazenie je funkciou s funkčným predpisom

m = g(n) = 2n

Jej oborom hodnôt je množina všetkých párnych prirodzených čísel.

V tejo kapitole sa budeme zaoberať len reálnymi funkciami. Vzťah y = f(x)nazývame funkčný predpis. Ak y0 = f(x0), potom y0 nazývame funkčnou hod-notou funkcie f v bode x0. Čísla z množiny A = D(f) nazývame hodnotaminezávislej premennej alebo hodnotami argumentu. Čísla z množiny H(f) nazý-vame hodnotami závislej premennej. Symbolický zápis u = g(v) znamená, že v jenezávisle premenná a u je závisle premenná.

Príklad 3.3. Zistime obor hodnôt reálnej funkcie danej predpisom y =√x,

x ∈ 〈0, 4〉.Riešenie: Zrejme 0 ≤ x ≤ 4 práve vtedy ak 0 ≤

√x ≤ 2. Preto H(f) = 〈0, 2〉.

Cvičenie 3.1. Nájdite obor hodnôt funkcie danej predpisom

z = g(t) =√t+ 3

ktorej D(g) = 〈1, 2〉.

3.1. REÁLNA FUNKCIA A JEJ VLASTNOSTI 49

Príklad 3.4. Nech f : N −→ Z, (N je množina prirodzených čísel, Z je množinacelých čísel ) priradí každému párnemu prirodzenému číslu číslo 1 a každémunepárnemu prirodzenému číslu číslo −1. Potom D(f) = N , H(f) = {−1, 1} Tátofunkcia je tiež určená rovnicou (funkčným predpisom)

z = f(n) = (−1)n

Ak poznáme funkčný predpis a definičný obor nie je daný, potom za definičnýobor považujeme množinu všetkých takých reálnych čísel, pre ktoré vieme nájsťreálnu funkčnú hodnotu. Nazývame ho prirodzený definičný obor.

Poznámka 3.1. Namiesto vyjadrenia: Funkcia f daná rovnicou y = 2x2 − 5jednoducho hovoríme funkcia y = 2x2 − 5 alebo funkcia f(x) = 2x2 − 5.

Príklad 3.5. Nájdite prirodzený definičný obor funkcie danej predpisom

h(s) =√

3− s+√s− 1

Riešenie: Hľadáme také s ∈ R, pre ktoré 3 − s ≥ 0 a súčasne s − 1 ≥ 0. Ľahkozistíme, že D(h) = 〈1, 3〉.

Definícia 3.3. Nech f je reálna funkcia s definičným oborom D(f). Grafom fun-kcie f je množina bodov Euklidovskej roviny:

G(f) = {(x, y) : y = f(x), x ∈ D(f)}

Načrtneme graf niektorých známych funkcií (Obr. 3.1.)

Obr. 3.1: Grafy funkcií y = x2 − 1, y = 1/x, y = 2x+ 1, y = 2

Funkciu, ktorej obor hodnôt je jednoprvková množina nazývame konštantnáfunkcia. Jej graf je priamka rovnobežná s x–ovou osou (Pozri funkciu y = 2 naObr. 3.1).

Predpis reálnej funkcie (ďalej len funkcie) možno zadať rôznymi spôsobmi.Najčastejšie pomocou rovnice (analyticky) alebo viacerých rovníc. Funkciu možnotiež zadať grafom, tabuľkou, algoritmom výpočtu.


Príklad 3.6. funkcia z = h(t) je zadaná tabuľkou:

t 1 3 7 8 12 14z −1 2 −5 −5 2 0

Zrejme D(h) = {1, 3, 7, 8, 12, 14} H(h) = {−5,−1, 0, 2}.

3.1.2 Vlastnosti reálnych funkcií

Narábanie s funkciami nám uľahčuje poznanie niektorých vlastností, ktoré sú spo-jené s geometrickou predstavou ich grafu.

Definícia 3.4. Funkcia f sa nazýva párna, ak

1. x ∈ D(f)⇐⇒ −x ∈ D(f),

2. f(x) = f(−x) pre každé x ∈ D(f).

Definícia 3.5. Funkcia f sa nazýva nepárna, ak

1. x ∈ D(f)⇐⇒ −x ∈ D(f),

2. f(x) = −f(−x) pre každé x ∈ D(f).

Klasickým príkladom párnej funkcie je funkcia daná predpisom y = xn, kden je párne a nepárnej funkcie je funkcia daná predpisom y = xn, kde n je ne-párne. To vysvetluje aj ich názov. Teda y = x4 je párna a y = x3 je nepárnafunkcia. Geometricky, párnosť funkcie znamená symetriu jej grafu podľa y-ovejosi a nepárnosť funkcie znamená symetriu jej grafu podľa začiatku sústavy súrad-níc (Euklidovskej roviny) (Obr. 3.2). Párne sú aj mnohé ďalšie funkcie, napríklad

Obr. 3.2: Graf párnej funkcie y = x2 − 2 a nepárnej funkcie y = x3

y = cos x, y = 1/x2. K nepárnym funkciám patria y = sin x, y = tg x, y = cotg x,y = 1/x.


Príklad 3.7. Zistime, či nasledujúce funkcie sú párne alebo nepárne:

1. f(x) = |x|+ 4,

2. g(x) =√x,

3. h(x) = s2−ss−1 ,

4. m(x) = sinx1+sin2 x

.

Riešenie: Funkcia f je párna. Funkcia g nie je párna ani nepárna, lebo D(g) =〈0,∞). Funkcia h nie je párna ani nepárna, lebo D(h) = (−∞, 1)∪(1,∞). Funkciam je nepárna.

Definícia 3.6. Funkcia f sa nazýva periodická, ak existuje najmenšie kladnéreálne číslo p tak, že

1. x ∈ D(f)⇐⇒ x+ p ∈ D(f).

2. f(x) = f(x+ p) pre každé x ∈ D(f).

Číslo p sa nazýva perióda funkcie (Obr. 3.3).

Obr. 3.3: Graf periodickej funkcie s periódou p

K najznámejším periodickým funkciám patria goniometrické funkcie.

Príklad 3.8. Nájdime periódu funkcie:

f(t) = tg(2t+ 1)

Riešenie: Vieme, že funkcia tg má periódu P = π. Hľadáme také číslo p, aby prekaždé x ∈ D(f) platilo f(t) = f(t+ p). Teda

tg(2t+ 1) = tg(2t+ 2p+ 1)

Dostávame2t+ 1 + π = 2t+ 2p+ 1

Z toho p = π2 .


Teraz uvedieme vlastnosti, ktoré zaraďujú funkcie medzi monotónne funkciena podmnožine definičného oboru.

Definícia 3.7. Funkcia f je na množine A ⊂ D(f)

• rastúca, ak pre každé x1, x2 ∈ A;x1 < x2 platí f(x1) < f(x2),

• klesajúca, ak pre každé x1, x2 ∈ A;x1 < x2 platí f(x1) > f(x2),

• neklesajúca, ak pre každé x1, x2 ∈ A;x1 < x2 platí f(x1) ≤ f(x2),

• nerastúca, ak pre každé x1, x2 ∈ A;x1 < x2 platí f(x1) ≥ f(x2).

Funkcia je rastúca (klesajúca, neklesajúca, nerastúca), ak je taká na svojomdefiničnom obore. Napríklad, funkcia daná predpisom y = 1

x je klesajúca na inter-valoch (−∞, 0), (0,∞), ale nie je klesajúca na na svojom D(f) = (−∞, 0)∪(0,∞)

Funkcie rastúce a klesajúce sa nazývajú rýdzo monotónne.

Príklad 3.9. Dokážme, že funkcia f daná predpisom f(x) = x2−1 je na intervale〈0,∞) rastúca.Riešenie: Ak 0 ≤ x1 < x2, potom x1

2−1 < x22−1. Z toho plynie, že f(x1) < f(x2).

Definícia 3.8. Funkcia f je zdola (zhora) ohraničená, ak existuje také číslo K,že f(x) ≥ K (f(x) ≤ K) pre každé x ∈ D(f).

Funkcia f je ohraničená, ak je súčasne zdola a zhora ohraničená. Ohraničenosťzdola (zhora) funkcie znamená, že jej graf leží nad (pod) priamkou y = K.

Príklad 3.10. Funkcia f daná predpisom f(t) = 2−x2 je ohraničená zhora, lebo2 − x2 ≤ 2 pre každé x ∈ R = D(f). Funkcia h(x) = 2 + cos 4x je ohraničená,lebo 1 ≤ 2 + cos 4x ≤ 3 pre každé x ∈ R = D(f) (Obr. 3.4).

Cvičenie 3.2. Dokážte, že funkcia m daná predpisom

m(x) =2

1 + x2

je ohraničená.

Ak existuje najmenšie horné (najväčšie dolné) ohraničenie funkcie, nazývameho suprémum (infimum) funkcie. Ak je suprémum (infimum) funkčnou hodnotouv nejakom bode, potom ho nazývame maximum (minimum) funkcie.

Príklad 3.11. Funkcia daná predpisom

f(x) =1x2

(Obr. 3.5)je zdola ohraničená. Má infimum, inf(f) = 0 ale nemá minimum.Funkcia daná predpisom

g(x) = 2− x2

(Obr. 3.4) je zhora ohraničená, má supremum aj maximum: sup(g) = max(g) = 2.


Obr. 3.4: Grafy funkcií y = 2− x2, a y = 2 + cos 4x

Obr. 3.5: Graf funkcie y = 1x2

Cvičenie 3.3. Zistite, ktoré z definovaných vlastností majú funkcie:

1. g(x) = 2(t− 1)2 + 5,

2. h(t) = 1 + 3t2

,

3. f(z) = 5− |x− 3|.


3.2 Zložená a inverzná funkcia

Je daný predpis funkcieF (x) =

√25− x2.

Funkčnú hodnotu v bode a počítame tak, že najskôr vypočítame hodnotu b = 25−a2 a potom vypočítame

√b. Napríklad F (3) počítame tak, že najskôr vypočítame

b = 25− 32 = 16 a potom F (3) =√b =√

16 = 4. Použili sme teda dve funkcie

u = φ(x) = 25− x2

ay = f(u) =

√u

Potom F (x) = f(u) = f(φ(x)) =√

25− x2.Z dvoch funkcií sme zložili ďalšiu funkciu. Všimnime si ešte ich definičné obory aobory hodnôt:

φ : R −→ (−∞, 25〉

f : 〈0,∞) −→ 〈0,∞)

Aký definičný obor bude mať zložená funkcia F = f(φ)? Je zrejmé, že napríkladčíslo 7 /∈ D(F ), lebo φ(7) = 25− 72 = −24 /∈ D(f). Teda do D(F ) patria len tiex ∈ D(φ), pre ktoré φ(x) ∈ D(f). V našom príklade

D(F ) = {x ∈ R : 25− x2 ≥ 0} = 〈−5, 5〉

Definícia 3.9. Nech φ : A −→ B, f : C −→ D sú reálne funkcie. Potom funkciuF , ktorej D(F ) = {x ∈ A : φ(x) ∈ C} a ktorej funkčný predpis je

F (x) = f(φ(x))

nazývame zloženou funkciou. Píšeme F = f(φ). Funkciu f nazývame vonkajšouzložkou a funkciu φ vnútornou zložkou.

&%'$&%'$&%'$&%'$φ f

HHj HHj

��

F

x y

A B C Du

Obr. 3.6: Diagram zloženej funkcie F (x) = f(φ(x))

3.2. ZLOŽENÁ A INVERZNÁ FUNKCIA 55

Príklad 3.12. Nájdime predpis a definičný obor zloženej funkcie F = h(g), kdeh(u) = log u, g(x) = 3x− 2− x2. Predpis zloženej funkcie bude

F (x) = h(g(x)) = log(3x− 2− x2)

Jej definičný obor dostaneme riešením nerovnice

3x− 2− x2 > 0

Preto D(F ) = (1, 2).

Cvičenie 3.4. Nájdite predpisy a definičné obory zložených funkcií f(m),m(f), f(f), m(m) ak

f(t) =1

4− t, m(x) =

√x

Nech f zobrazuje a 7→ b. Prirodzená je otázka, či existuje funkcia g, ktorázobrazuje b 7→ a, pre každé a ∈ D(f) a jeho obraz b. Je zrejmé, že to bude„problémÿ, ak b je obrazom viac prvkov. Je logické, že takéto „spätnéÿ zobrazeniebudeme definovať len pre funkcie, v ktorých každé b ∈ H(f) je obrazom právejedného a ∈ D(f). Takéto funkcie nazývame prosté.

Definícia 3.10. Funkcia f sa nazýva prostou (jedno-jednoznačnou) funkciou, akpre každé x1, x2 ∈ D(f), x1 6= x2 platí f(x1) 6= f(x2).

Je zrejmé, že všetky rastúce a klesajúce funkcie sú prosté. Funkcia f danápredpisom f(x) = 4 − x2 s definičným oborom R nie je prostá, lebo napríklad−1 6= 1 ale f(−1) = f(1) = 3 (pozri Obr. 3.5.)

Definícia 3.11. Nech f : D(f) −→ H(f) je prostá funkcia, potom funkciag : H(f) −→ D(f) sa nazýva inverznou funkciou k funkcii f , ak

y = f(x) práve vtedy, ak x = g(y).

Funkciu g nazývame inverznou funkciou k funkcii f a značíme ju f−1 (Obr. 3.7)

Označenie f−1 je symbolické, neznamená prevrátenú hodnotu funkcie f . Zrej-me platí

(f−1)−1 = f. (3.1)

Funkcie f, f−1 sú navzájom inverzné. Teda

D(f−1) = H(f), H(f−1) = D(f)

Je tiež zrejmé, že pre každé x ∈ D(f) platí

f−1(f(x)) = x (3.2)

a pre každé y ∈ H(f) platíf(f−1(y)) = y. (3.3)

Pretože (x, y) ∈ G(f) ⇔ (y, x) ∈ G(f−1), grafy funkcií f(x), f−1(x) s rovnakounezávisle premennou sú symetrické vzhľadom na priamku y = x.


&%'$

&%'$@@R

@@I

f

f−1

x y

Obr. 3.7: Diagram inverznej funkcie

Príklad 3.13. Nájdime inverznú funkciu k funkcii f danej predpisom

y =√x− 3

Ľahko zistíme, žeD(f) = 〈3,∞), H(f) = 〈0,∞)

Funkcia je rastúca, a preto je prostá. Existuje k nej inverzná funkcia f−1. Jejdefiničný obor D(f−1) = H(f) = 〈0,∞). Predpis inverznej funkcie (s nezávislou

Obr. 3.8: Grafy funkcie f(x) =√x− 3 a funkcie k nej inveznej

premennou x) nájdeme tak, že z predpisu funkcie f : y =√x− 3 vypočítame

premennú x a potom vymeníme premenné:

x = 3 + y2, y = 3 + x2

Teda (Obr. 3.8)f−1(x) = 3 + x2, x ∈ 〈0,∞)


Cvičenie 3.5. Nájdite predpis a definičný obor funkcie inverznej k funkcii g(t) =2 + t3.

3.2.1 Exponenciálna a logaritmická funkcia

V technickej praxi sa často stretávame s exponenciálnou funkciou. Exponenciálnafunkcia má predpis tvaru

y = ax

kde a ∈ (0, 1) ∪ (1,∞). Jej definičný obor je R a obor hodnôt je interval (0,∞).Je rastúca pre a > 1, klesajúca pre a ∈ (0, 1) (Obr. 3.9.) Inverzná funkcia k

Obr. 3.9: Grafy exponenciálnych funkcií y = 2x, y =(

12

)x

Obr. 3.10: Grafy logaritmických funkcií y = log2 x, y = log 12x


exponenciálnej je logaritmická funkcia

y = loga x

Jej definičný obor je (0,∞) a obor hodnôt je R. Je rastúca pre a > 1, klesajúcapre a ∈ (0, 1) (Obr. 3.10.) Funkciu s predpisom y = log10 x = log(x) nazývame de-kadický logaritmus. Funkciu s predpisom y = loge x = ln x nazývame prirodzenýlogaritmus. Eulerovo číslo e zavedieme neskôr. Použitím vzťahu 3.2 dostaneme

x = 10log x, x = eln x pre x > 0 (3.4)

3.2.2 Cyklometrické funkcie

Funkcie inverzné ku goniometrickým sa nazývajú cyklometrické. V ich názve sapoužíva predpona „arcÿ, ktorá je skratkou slova „arkusÿ, v preklade „uholÿ. Go-niometrické funkcie na svojom definičnom obore nie sú prosté, a preto uvažujemelen taký interval, na ktorých sú rýdzomonotónne. Je rozumné, aby tento intervaluhlov (v radiánoch) obsahoval 1. kvadrant (0, π2 ).

Uvažujme funkciu

f(x) = sin x, x ∈⟨−π

2,π

2

⟩Je rastúca, jej D(f) = 〈−π

2 ,π2 〉, H(f) = 〈−1, 1〉. Funkcia k nej inverzná

Obr. 3.11: Grafy funkcií y = sin x, y = arcsin x.

f−1(x) = arcsin x

má D(f−1) = 〈−1, 1〉, H(f−1) = 〈−π2 ,

π2 〉. (Pozri Obr. 3.11.)


Niektoré významné hodnoty:

arcsin 0 = 0, arcsin 1 =π

2, arcsin(−1) = −π

2

arcsin12

=π

6, arcsin

√2

2=π

4, arcsin

√3

2=π

3

arcsin (−12

) = −π6, arcsin (−

√2

2) = −π

4, arcsin (−

√3

2) = −π

3

Funkcia arcsin je rastúca a nepárna.Uvažujme funkciu

f(x) = cos x, x ∈ 〈0, π〉

Je klesajúca, jej D(f) = 〈0, π〉, H(f) = 〈−1, 1〉. Funkcia k nej inverzná

f−1(x) = arccos x

má D(f−1) = 〈−1, 1〉, H(f−1) = 〈0, π〉. (Pozri Obr. 3.12.) Niektoré významné

Obr. 3.12: Grafy funkcií y = cos x, y = arccos x

hodnoty:

arccos 0 =π

2, arccos 1 = 0, arccos(−1) = π

arccos12

=π

3, arccos

√2

2=π

4, arccos

√3

2=π

6

arccos

(−1

2

)=

2π3, arccos

(−√

32

)=

5π6

Funkcia arccos je klesajúca. Nie je párna ani nepárna.


Uvažujme funkciu

f(x) = tg x, x ∈(−π

2,π

2

)Je rastúca, jej D(f) = (−π

2 ,π2 ), H(f) = R. Funkcia k nej inverzná

f−1(x) = arctg x

má D(f−1) = R, H(f−1) = (−π2 ,

π2 ). (Pozri Obr. 3.13.)

Obr. 3.13: Grafy funkcií y = tg x, y = arctg x

Niektoré významné hodnoty:

arctg 0 = 0, arctg 1 =π

4, arctg(−1) = −π

4, arctg

1√3

=π

6

arctg√

3 =π

3, arctg

(− 1√

3

)= −π

6, arctg (−

√3) = −π

3

Funkcia arctg je rastúca a nepárna.Uvažujme funkciu

f(x) = cotg x, x ∈ (0, π)

Je klesajúca, jej D(f) = (0, π), H(f) = R. Funkcia k nej inverzná

f−1(x) = arccotg x

má D(f−1) = R, H(f−1) = (0, π). (Pozri Obr.3.14.)Niektoré významné hodnoty:

arccotg 1 =π

4, arccotg (−1) =

3π4, arccotg

1√3

=π

3


Obr. 3.14: Grafy funkcií y = cotg x, y = arccotg x

Obr. 3.15: Graf funkcie z Prikladu 3.14

arccotg√

3 =π

6, arccotg

(− 1√

3

)=

2π3, arccotg

√3 =

π

3

Funkcia arccotg je klesajúca. Nie je párna ani nepárna.

Príklad 3.14. Nájdime definičný obor funkcie

y = arcsin2x− 3

4

Riešenie. Funkcia arcsin je definovaná na intervale 〈−1, 1〉. Preto

−1 ≤ 2x− 34

≤ 1


Z toho−1 ≤ 2x ≤ 7

Teda definičným oborom je interval⟨−1

2 ,72

⟩(Obr.3.15).

Cvičenie 3.6. Nájdite definičný obor a obor hodnôt funkcie

g(t) = 5 + arccos (6− t)

3.3 Nekonečná postupnosť

Zo strednej školy poznáte aritmetickú a geometrickú postupnosť. Postupnosť ješpeciálny prípad reálnej funkcie, ktorej graf je „riedkyÿ, skladá sa z izolovanýchbodov.

Definícia 3.12. Nekonečnou postupnosťou nazývame funkciu, ktorej definičnýmoborom je množina prirodzených čísel N.

Okrem nekonečnej postupnosti, niekedy hovoríme aj o konečnej postupnosti,definovanej na množine {1, 2, 3, ..., k}. My sa budeme zaoberať len nekonečnýmipostupnosťami a budeme ich jednoducho nazývať postupnosti. Funkčné hodnotypostupnosti možno počítať len pre prirodzené čísla n ∈ N . Preto je rozumnépoužívať namiesto f(n) označenie an. Teda a1 = f(1), a2 = f(2), .... Hodnotua1 nazývame prvým členom, hodnotu a2 nazývame druhým členom atď. Grafompostupnosti sú izolované body, ktorých x-ové súradnice sú prirodzené čísla (Obr.3.16.)

-

6

x

y

1 2 3

r r r r

Obr. 3.16: Graf postupnosti sa skladá z izolovaných bodov

Postupnosť možno zadať rôznymi spôsobmi:

3.3. NEKONEČNÁ POSTUPNOSŤ 63

• Ako funkciu – predpisom pre výpočet n-tého člena.

• Rekurentne – zadáme prvý člen a spôsob ako vypočítať n-tý člen z predchá-dzajúcich.

• Vypísaním niekoľkých členov tak, aby bolo možné dedukovať ďalších členov.

Postupnosť zapisujeme v niektorom z nasledujúcich tvarov

{a1, a2, a3, ...} = {a1, a2, a3, . . . , an, . . . } = {an}∞n=1 = {an}

Napríklad

{2, 4, 8, 16, ...} = {2, 4, 8, . . . , 2n, . . . } = {2n}∞n=1 = {2n}

Príklad 3.15. Napíšte prvých 5 členov postupnosti, ktorej

an = (−1)nn+ 1n+ 2

Riešenie: Postupným dosadením n = 1, 2, 3, 4, 5 dostaneme{−2

3,34,−4

5,56,−6

7

}Príklad 3.16. Nájdime n-tý člen postupnosti

{bn} = {1, 4, 9, 16, 25, ..}

Je zrejmé, žebn = n2

Cvičenie 3.7. Nájdite n-tý člen postupnosti

{cn} =

{23,35,47,59,

611. . .

}Príklad 3.17. Napíšme prvých 5 členov postupnosti danej rekurentne

a1 = 1, an+1 =3 + an

2

Riešenie:

a2 =3 + a1

2=

3 + 12

= 2, a3 =3 + a2

2=

3 + 22

=52

a4 =3 + a3

2=

3 + 52

2=

114, a5 =

3 + a4

2=

3 + 114

2=

238


Príklad 3.18. Napíšme prvých 6 členov postupnosti danej rekurentne

a1 = a2 = 1, an+1 = an−1 + an

Riešenie:a3 = a1 + a2 = 1 + 1 = 2, a4 = a2 + a3 = 1 + 2 = 3

a5 = a3 + a4 = 2 + 3 = 5, a6 = a4 + a5 = 3 + 5 = 8

Postupnosť z predošlého príkladu

{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...}

sa nazýva Fibonacciho postupnosť podľa talianskeho matematika Leonarda Pisán-ského–Fibonacciho (1171–1250).

Cvičenie 3.8. Napíšme prvých 6 členov postupnosti danej rekurentne

b1 = 2, b2 = 5, bn+1 = bn−1 + 3bn

Aritmetická postupnosť je rekurentne zadaná prvým členom a rekurentnýmvzťahom

an+1 = an + d

Číslo d sa nazýva diferencia. Pre výpočet n-tého člena platia vzťahy:

an = a1 + (n− 1)d, an = am + (n−m)d

Súčet sn prvých n členov arimetickej postupnosti vypočítame:

sn =n

2(a1 + an)

Príklad 3.19. Vypočítajme súčet prvých 10 členov aritmetickej postupnosti, kto-rej

a5 = 8, a8 = 17

Riešenie: Pretože 8 = a5 = a1 + 4d, 17 = a8 = a1 + 7d, riešime sústavu dvochrovníc s neznámymi a1, d:

a1 + 4d = 8, a1 + 7d = 17

Jej riešením dostaneme d = 3, a1 = −4. Z toho plynie, že

a10 = a1 + 9d = −4 + 27 = 23

Tedas10 = 5(a1 + a10) = 5(−4 + 23) = 95

Cvičenie 3.9. Vypočítajte a100 aritmetickej postupnosti, ktorej

s6 = −27, a4 = −6

3.3. NEKONEČNÁ POSTUPNOSŤ 65

Geometrická postupnosť je rekurentne zadaná prvým členom a vzťahom

an+1 = an.q

Číslo q sa nazýva kvocient. Na výpočet n-tého člena platia vzťahy:

an = a1.qn−1, an = am.q

n−m

Súčet prvých n členov geometrickej postupnosti vypočítame (q 6= 1):

sn = a1qn − 1q − 1

Ak q = 1 je postupnosť súčasne aj aritmetická s diferenciou d = 0.

Príklad 3.20. Vypočítajme s8 geometrickej postupnosti, ktorej

b3 =14, b6 =

132

Riešenie: Z rovníc b3 = b1.q2, b6 = b1.q

5 dostaneme sústavu dvoch rovníc s ne-známymi b1 a q:

b1.q2 =

14, b1.q

5 =132

Jej riešením dostaneme b1 = 1, q = 12 . Z toho

s8 = b11− qn

1− q=

1−(

12

)81−

(12

) =255128

Postupnosť je rastúca (klesajúca, neklesajúca, nerastúca), ak

an < an+1, (an > an+1, an ≤ an+1, an ≥ an+1)

pre každé n ∈ N. Postupnosť {an}∞n=1 je zdola (zhora) ohraničená, ak existujetaké K ∈ R, že an > K (an < K), pre každé n ∈ N. Postupnosť je ohraničená, akje ohraničná zdola i zhora.

Cvičenie 3.10. Dokážte, že postupnosť{n

n+ 3

}∞n=1

je rastúca a ohraničená.


3.4 Limita postupnosti

S procesom „nekonečného približovaniaÿ sa často stretávame v každodennej praxi.Napríklad, pri riedení roztoku destilovanou vodou s dokonalým premiešavaním,koncentrácia roztoku klesá. Otázkou je, kedy bude koncentrácia nulová. Z te-oretického hľadiska je správna odpoveď: „Nikdyÿ. S podobným problémom sastretávame pri pokuse zapísať Ludolfovo číslo π v desiatkovej sústave. Vieme, žeπ je iracionálne číslo, a preto jeho desiatkový zápis je nekonečný neperiodický.Teda každý desiatkový zápis je len priblížením (aproximáciou) čísla π. Zistenie,že existujú reálne čísla, ktoré nemožno v žiadnej sústave zapísať, ale nemožno ichjednoducho vynechať, viedlo už v antickej dobe ku kríze pytagorejskej matema-tiky. Krízu pomohlo prekonať zavedenie antickej formy limity. Ďalší vývoj tohtopojmu je spojený s menami Archimeda (287–212 pred naším letopočtom), IsaacaNewtona (1643–1727). Pojem limity postupnosti, ktorý objasníme, zaviedli: Ber-nard Bolsano (1781–1848), Luis Augustin Cauchy (1789–1857) a ďalší. Pochopeniepojmu limity postupnosti je kľúčové z hľadiska rozvoja myslenia a pochopenia ďal-ších pojmov, ako derivácia a integrál.

Načrtnime niekoľko členov postupnosti (Obr. 3.17){2n+ 2n+ 2

}=

{43,32,85,53,127, . . .

}Vidieť, že členy postupnosti an pre veľké n sa málo líšia od hodnoty a = 2. Ak

-

6

x

y

1 2 3 4 5

1

a− εa = 2a+ ε

3

r r r r r

Obr. 3.17: Body grafu postupnosti sa približujú k priamke y = 2

zvolíme ľubovoľne malé okolie bodu a = 1 typu (a− ε, a+ ε), možno nájsť indexn0 (poradové číslo) tak, že všetky členy s väčším indexom sa nachádzajú v tomtookolí. Geometricky to znamená, že všetky body grafu s x-vou súradnicou väčšouako n0 ležia v páse ohraničenom priamkami y = a− ε, y = a+ ε (Pozri Obr.3.17).Pre ε zvolené na obrázku možno položiť n0 = 2 (alebo väčšie). Je zrejmé, že

3.4. LIMITA POSTUPNOSTI 67

pre menšie ε bude pás užší a n0 bude väčšie. Číslo a = 2, ku ktorému sa členy

postupnosti{

2n+2n+2

}približujú, nazývame limitou postupnosti. Názov „limitaÿ bol

odvodený od latinského slova „limesÿ, čo v preklade znamená hranica. Spomínanúpostupnosť možno načrtnúť aj na číselnú os (Obr. 3.18):

0 2

a1 a2 a3

Obr. 3.18: Náčrt postupnosti na číselnej osi

Definícia 3.13. Hovoríme, že číslo a je limitou postupnosti {an}, ak pre každéε > 0 existuje taký index n0 ∈ N , že pre všetky n > n0, platí

a− ε < an < a+ ε

Zapisujemelimn→∞

an = a

a čítame „limita an pre n do nekonečna je aÿ. Postupnosť, ktorá má limitu sanazýva konvergentná. Postupnosť, ktorá nemá limitu sa nazýva divergentná.

Už vieme, že n0 závisí od voľby ε, a preto sme priamo v definícii mohli písaťn0(ε). Skrátene píšeme lim an = a alebo an −→ a. Nerovnosť

a− ε < an < a+ ε

možno jednoducho zapísať:|an − a| < ε

Symbolicky možno zapísať definíciu limity postupnosti pomocou kvantifikátorov∀ (pre každé), ∃ (existuje) a symbolov ⇒ (platí, vyplýva), ⇔ (je ekvivalentné,práve vtedy, ak):

limn→∞

an = a⇔ ∀ε > 0 ∃n0 : ∀n > n0 ⇒ |an − a| < ε

Vráťme sa teraz k postupnosti{

2nn+1

}. Dokážeme, že

limn→∞

2nn+ 1

= 2

Podľa definície stačí zistiť (nájsť predpis), ako pre každé ε > 0 nájsť n0(ε) také,že pre n > n0(ε) platí

2− ε < 2nn+ 1

< 2 + ε


Je zrejmé, že pravá nerovnosť platí pre každé n ∈ N . Ľavá nerovnica je splnenápre každé

n >2− εε

Teda

n0(ε) =

[2− εε

]Symbol [a] znamená celú časť a (zaokrúhlenie dole na celé číslo). Ak 2−ε

ε < 1,položíme n0 = 1. Napríklad, pre ε = 0,1 dostaneme

n0(0,1) = 19

To znamená, žea20, a21, a22, ... ∈ (1,9; 2,1)

Podobnen0(0,01) = 199

-

6

?

x1 2 3 4 5

1

-1

ε

−ε

r

r

r

r

r

r

Obr. 3.19: Postupnosť{

(−1)n+1}

nemá limitu

Príklad 3.21. Postupnosť{

(−1)n+1}

je divergentná. Jej limitou nemôže byť ania = 0, lebo pre ε < 1 nenájdeme n0(ε) tak, aby −ε < a < ε (pozri Obr. 3.19.)

Poznámka 3.2. Je zrejmé, že limita konštantnej postupnosti {k, k, k, . . . } je kon-štanta k. Teda

limn→∞

k = k

Stačí položiť n0(ε) = 1 pre každé ε > 0.

Príklad 3.22. Dokážme, že

limn→∞

1n

= 0


Ľahko zistíme, že nerovnica

−ε < 1n< ε

je splnená pre každé n > 1ε . Teda n0(ε) =

[1ε

]Cvičenie 3.11. Priamo z definície limity postupnosti dokážte, že

limn→∞

3n+ 2n+ 1

= 3

Je zrejmé, že konvergentná postupnoť je ohraničená, lebo okrem konečnéhopočtu členov ležia všetky ostatné v intervale (a − ε, a + ε). Ohraničenosť všaknezaručuje konvergenciu (pozri Príklad 3.21). Ak však pridáme monotónnosť, jesituácia iná.

Veta 3.1. Každá ohraničená monotónna postupnosť má limitu.

Vetu nebudeme dokazovať. Aj dôkaz nasledujúcej vety ponecháme čitateľovi.

Veta 3.2. Každá postupnosť má najviac jednu limitu.

Medzi divergentnými postupnosťami rozlišujeme postupnosti rastúce (klesa-júce) nad (pod) každú hranicu. Takéto postupnosti sú napríklad:

{3n} = {3, 9, 27, 81, . . . }{1− n2} = {0,−3,−8,−15, . . . }

V „istýchÿ prípadoch možno takto definovať nevlastné limity a zaviesť symboly−∞,∞ ako výsledok limitného procesu.

Definícia 3.14. Postupnosť {an} má nevlastnú limitu +∞ (−∞), ak pre každéreálne číslo K existuje index n0 tak, že pre všetky n > n0 platí an > K (an < K).Zapisujeme

limn→∞

an =∞, ( limn→∞

an = −∞)

Teraz sa budeme venovať metódam výpočtu limít postupností.

Veta 3.3. Nechlimn→∞

an = a, limn→∞

bn = b, k ∈ R

potom

1.limn→∞

(an + bn) = a+ b

2.limn→∞

(an − bn) = a− b


3.limn→∞

k.an = k.a

4.limn→∞

|an| = |a|

5.limn→∞

an.bn = a.b

6.limn→∞

anbn

=a

b, ak b, bn 6= 0

Dôkaz. Dokážeme len 1. tvrdenie. Z predpokladu

limn→∞

an = a, limn→∞

bn = b

plynielimn→∞

an = a⇔ ∀ε/2 > 0 ∃n1 : ∀n > n1 ⇒ |an − a| < ε/2,

limn→∞

an = a⇔ ∀ε/2 > 0 ∃n2 : ∀n > n2 ⇒ |bn − b| < ε/2

Položme n0 = max{n1, n2}. Potom pre n > n0 platí súčasne n > n1, n > n2, apreto pre n > n0 dostávame:

|an + bn − a− b| = |an − a+ bn − b| ≤ |an − a|+ |bn − b| <ε

2+ε

2= ε

čo sme mali dokázať. 2

Príklad 3.23. Počítajme

limn→∞

3n2 + 4n− 75n2 + 3n+ 8

= limn→∞

3 + 4n −

7n2

5 + 3n + 8

n2

=35

Zlomok sme rozšírili výrazom 1n2

(delíme najvyššou mocninou n) a použili predošlúvetu a Príklad 3.22.

V predošlom príklade ste si určite všimli, že o výsledku rozhodujú koeficientypri najvyšších mocninách n a na ostatných nezáleží.

Cvičenie 3.12. Vypočítajte

limn→∞

7n4 + 12n3 − n+ 2502000 + 4n+ 18n2 + n3 + 2n4 .


limn→∞

3n4 + 2n2 − n+ 252 + 2n+ 8n2 + n3 + 2n5 .


Pre výpočet limít možno použiť aj nasledujúce vety, ktoré uvedieme bez dô-kazov.


an = a, b > 0,

potomlimn→∞

ban = ba.


an = a, an, a > 0, b ∈ R

potomlimn→∞

anb = ab.

Pomocou limity postupnosti možno definovať už spomínané Eulerovo číslo e,ktoré hrá dôležitú úlohu nielen v matematike. Je základom prirodzených logarit-mov:

limn→∞

(1 +

1n

)n= e

Takáto definícia čísla e je korektná, ak ukážeme, že postupnosť{(1 +

1n

)n}∞n=1

má limitu. Pri dôkaze nám pomôže Veta 3.1. Ukážeme, že táto postupnosť jeneklesajúca a ohraničená. Použijeme binomickú vetu (umocňovanie dvojčlena nan-tú), ktorú by ste mali poznať zo strednej školy:

(a+ b)n = an + nan−1b+n(n− 1)

2an−2b2 +

n(n− 1)(n− 2)3.2

an−3b3 · · ·+ bn

Zlomky v predošlom vzorci sú kombinačné čísla známe z kombinatoriky. Teda

an =

(1 +

1n

)n= 1 + n

1n

+n(n− 1)

2!n2 + · · ·+ n(n− 1)(n− 2) . . . 1n!nn

=

2 +12!

(1− 1

n

)+

13!

(1− 1

n

)(1− 2

n

)+ . . .

+1n!

(1− 1

n

)(1− 2

n

). . .

(1− n− 1

n

)Podobne

an+1 =

(1 +

1n+ 1

)n+1

=

2 +12!

(1− 1

n+ 1

)+

13!

(1− 1

n+ 1

)(1− 2

n+ 1

)+ . . .


+1

(n+ 1)!

(1− 1

n+ 1

)(1− 2

n+ 1

). . .

(1− n

n+ 1

)Porovnaním dostaneme

an < an+1

Pretože pre k ≥ 2 je1k!<

12k−1

platí nerovnosť:

an < 2 +12!

+13!

+ · · ·+ 1n!< 2 +

12

+122 +

123 + · · ·+ 1

2n−1.

Sčítaním prvých (n-1) členov geometrickej postupnosti dostaneme:

an < 2 +12

1−(

12

)n−1

1− 12

= 3−(

12

)n−1

< 3

Teda pre každé n ∈ N platí2 ≤ an < 3

Číslo e je iracionálne, jeho približná hodnota je

e.

= 2,71828

Príklad 3.24. Počítajme limitu

limn→∞

(1 +

2n

)3n+1

= limn→∞

(1 +

2n

)3n

. limn→∞

(1 +

2n

)1

Je zrejmé, že

limn→∞

(1 +

2n

)1

= 1

Označme n = 2m. Potom tiež m −→∞ a dostávame:

limn→∞

(1 +

2n

)3n

= limm→∞

(1 +

1m

)6m

= limm→∞

[(1 +

1m

)m]6

= e6

Cvičenie 3.14. Vypočítajte limitu

limn→∞

(2n+ 42n+ 5

)3n−15

S „istou opatrnosťouÿ možno používať vety o limitách postupností aj pre ne-vlastné limity. Napríklad, ak

limn→∞

an =∞, limn→∞

bn =∞


potom aj

limn→∞

(an + bn) =∞

čo symbolicky zapíšeme ∞+∞ =∞. Takýmto spôsobom možno zapísať (a pou-žívať):

−∞−∞ = −∞, ∞+∞ =∞

∞± a =∞, −∞± a = −∞, ak a ∈ R

a.∞ =∞, a.(−∞) = −∞, ak a > 0

b.∞ = −∞, b.(−∞) =∞, ak b < 0

a∞ =∞ a−∞ = 0, ak a > 1

a∞ = 0 a−∞ =∞, ak 0 < a < 1

a

∞=

a

−∞= 0, ak a ∈ R

Pri výpočte limít sa stretneme aj s kombináciou symbolov, z ktorej nemožnopriamo určiť výsledok. Patria k nim „neurčité výrazyÿ:

0.∞, 0.(−∞), ∞−∞, 00,±∞±∞

, 1∞, 1−∞

a ďalšie.

Príklad 3.25. Počítajme limitu

limn→∞

(3n+ 22n− 1

)n=

(32

)∞=∞

Určite vám v predošlom texte chýba výraz 10 . V tomto prípade vieme jedno-

ducho nájsť riešenie, ak 0 je limitou postupnosti len kladných alebo len zápornýchčísel (pozri nasledujúce cvičenie). V prípade striedavých znamienok limita nemusíexistovať.

Cvičenie 3.15. Dokážte tvrdenia:

Ak limn→∞

an = 0, kde an > 0, potom limn→∞

1an

=∞

Ak limn→∞

an = 0, kde an < 0, potom limn→∞

1an

= −∞


3.5 Limita a spojitosť funkcie

Všimnime si grafy troch funkcií

f(x) =x2 + 1

5

g(x) =x2 + 1

5.x− 2x− 2

h(x) =

{x2+1

5 pre x 6= 22 pre x = 2

Funkcie sa líšia len v bode a = 2. Funkcia f nadobúda v tomto bode funkčnú

Obr. 3.20: Grafy funkcií f, g, h

hodnotu f(2) = 1, funcia g tam nie je definovaná a funkcia h má v tomto bodefunkčnú hodnotu h(2) = 2. O všetkých troch však možno vyhlásiť:

Ak x je „blízkeÿ číslu a = 2, potom funkčná hodnota f(x) je „blízkaÿ číslu b = 1.

Je zrejmé, že predošlé vyhlásenie nezávisí od toho, či je funkcia definovaná v bodea, alebo nie je. Ovšem, treba definovať význam slova „blízkeÿ, a potom takútovlastnosť zapíšeme:

limx→2

f(x) = limx→2

g(x) = limx→2

h(x) = 1

Okolím bodu a nazývame interval (a−r, a+r) a označujeme ho Or(a) alebo O(a).

Definícia 3.15. Nech existuje také okolie bodu O(a), že funkcia f je definovanápre všetky x ∈ O(a)−{a}. Hovoríme, že funkcia f má v bode a limitu rovnú b, akpre každú postupnosť {an} takú, že

an ∈ D(f), an 6= a, limn→∞

an = a

platílimn→∞

f(an) = b

Zapisujemelimx→a

f(x) = b

3.5. LIMITA A SPOJITOSŤ FUNKCIE 75

-

q

6

b

aa1 a3x

y

Obr. 3.21: Definícia limity funkcie v bode a

Skrátene, pomocou kvantifikátorov možno predošlú definíciu zapísať:

limn→a

f(x) = b⇐⇒ [∀(an → a), an 6= a, an ∈ D(f) =⇒ f(an)→ b]

Priamo z definície je zrejmé, že

limx→a

k = k

Teda limita konštantnej funkcie je rovnaká konštanta. Teraz ukážeme, že

limx→1

x2 − 1x− 1

= 2

Vezmime takú postupnosť {an}, že

an ∈ D(f), an 6= 1, limn→∞

an = 1

Pretože an 6= 1 platí:

f(an) =a2n − 1an − 1

= an + 1

Preto, podľa Vety 3.3, dostávame

limn→∞

f(an) = limn→∞

(an + 1) = 2

čo sme chceli dokázať.Funkcia f(x) = x−3

|x−3| (Obr. 3.22) nemá v bode a = 3 limitu. Dokážeme to tak,že nájdeme také dve postupnosti, ktorých limita je a = 3, ale limity funkčnýchhodnôt nebudú rovnaké. Stačí zobrať postupnosti

{an} =

{3 +

1n

}, {bn} =

{3− 1

n

}


Je zrejmé, že an −→ 3, bn −→ 3, ale

limn→∞

f(an) = 1, limn→∞

f(bn) = −1

Teda funkcia nemá v bode a = 3 limitu. Napriek tomu má zmysel hovoriť o limitefunkcie sprava a limite funkcie zľava v danom bode.

-

6

?

x1 2 3 4

1

-1

b

b

Obr. 3.22: Funkcia f(x) = x−3|x−3| nemá v bode a = 3 limitu

Definícia 3.16. Nech funkcia f je definovaná na nejakom intervale (a, a + r),r > 0. Hovoríme, že funkcia f má v bode a limitu sprava rovnú b, ak pre každúpostupnosť {an} takú, že

an ∈ D(f), an > a, limn→∞

an = a

platílimn→∞

f(an) = b

Zapisujemelimx→a+

f(x) = b

Definícia 3.17. Nech funkcia f je definovaná na nejakom intervale (a − r, a),r > 0. Hovoríme, že funkcia f má v bode a limitu zľava rovnú b, ak pre každúpostupnosť {bn} takú, že

bn ∈ D(f), bn < a, limn→∞

bn = a

platílimn→∞

f(bn) = b

Zapisujemelimx→a−

f(x) = b


Dá sa dokázať, že

limx→a

f(x) = b⇐⇒ limx→a+

f(x) = limx→a−

f(x) = b

Pretože

limx→3−

x− 3|x− 3|

= −1, limx→3+

x− 3|x− 3|

= 1

limita

limx→3

x− 3|x− 3|

neexistuje.Uviedli sme definíciu limity funkcie. Nazývame ju Heineho definícia limity

funkcie podľa Heinricha Eduarda Heineho (1821–1881). Známa je aj ekvivalentnáCauchyho definícia limity funkcie:

limx→a

f(x) = b⇔ ∀Oε(b) ∃Oδ(a) : ∀x ∈ Oδ(a)− {a} ⇒ f(x) ∈ Oε(b)

Heineho definícia limity je prehladnejšia a môžeme ju jednoducho použiť ajv prípadoch, keď a = ±∞ alebo b = ±∞.

Cvičenie 3.16. Dokážte, že

limx→0

1x2 =∞

Nasledujúcu vetu možno dokázať použitím Vety 3.3 o limitách postupností.

Veta 3.6. Nechlimx→a

f(x) = b1, limx→a

g(x) = b2, k ∈ R

Potom

1.limx→a

(k.f(x)) = k.b1

2.limx→a

(f(x) + g(x)) = b1 + b2

3.limx→a

(f(x)− g(x)) = b1 − b2

4.limx→a

(f(x).g(x)) = b1.b2

5.

limx→a

f(x)g(x)

=b1b2, ak b2 6= 0


Z vety plynie, že limita polynómu v bode a je rovná funkčnej hodnote, t. j.,

limx→a

Pn(x) = Pn(a)


limx→1

3x2 + 15x+ 2

=47


limx→1

x2 − 5x+ 4x2 − 1

= limx→1

(x− 1)(x− 4)(x− 1)(x+ 1)

= limx→1

x− 4x+ 1

= −32


limx→1

2x3 − 16x2 − 5x+ 6

Z Vety 3.2 vyplýva nasledujúca veta.

Veta 3.7. Funkcia môže mať v bode a najviac jednu limitu.

Pri výpočte limít často používame vetu o limite zloženej funkcie, ktorú uve-dieme bez dôkazu.

Veta 3.8. Nech existuje také okolie O(a), že pre všetky x ∈ O(a)−{a} je g(x) 6= b,nech

limx→a

g(x) = b, limz→b

f(z) = c

Potomlimx→a

f(g(x)) = c

Túto vetu môžeme pokladať za vetu o výpočte limity pomocou substitúcie. Privýpočte limity

limx→a

f(g(x))

nahradíme (zavedieme substitúciu)

g(x) = z

a počítamelimz→b

f(z)

kdeb = lim

x→ag(x)


Príklad 3.28. Vypočítajme limitu

limx→1

arctgx2 − 12x− 2

Riešenie: Pretože

limx→1

x2 − 12x− 2

= limx→1

(x− 1)(x+ 1)2(x− 1)

= 1

dostaneme

limx→1

arctgx2 − 12x− 2

= arctg 1 =π

4

Iste ste si všimli, že niekoré limity možno počítať jednoduchým dosadením,limita sa rovná funkčnej hodnote v bode, v ktorom počítame limitu. Nastane tovtedy, ak je graf funkcie v danom bode „súvislýÿ. Vtedy hovoríme, že funkcia jev tomto bode spojitá. Uvedieme presnú definíciu.

Definícia 3.18. Funkcia f(x) je spojitá v bode a, ak je definovaná v nejakomokolí bodu a tak, že

limx→a

f(x) = f(a)

Funkcia f je spojitá na množine M ⊂ D(f), ak je spojitá v každom bode množinyM .

Poznámka 3.3. Funkciu definovanú len na uzavretom intervale 〈c, d〉 považujemeza spojitú, ak je spojitá v každom bode otvoreného intervalu (c, d) a v krajnýchbodoch platí:

limx→c+

f(x) = f(c), limx→d−

f(x) = f(d)

Hovoríme, že f je v bode c spojitá sprava a v bode d je spojitá zľava. Ak je interval(c, d〉 alebo 〈c, d) polouzavretý, stačí jednostranná spojitosť v krajnom bode, ktorýdo neho patrí.

Väčšina známych funkcií je spojitá v každom bode svojho definičného oboru.Uvedieme funkciu, ktorá je definovaná na R, ale nie je spojitá vo všetkých bodocha ∈ Z (Z je množina celých čísel). Uvažujme funkciu

f(x) = [x]

kde [x] je celá časť x (najbližšie menšie alebo rovné celé číslo). Napríklad

[3.5] = 3, [−6] = −6, [−2.3] = −3, [3.9] = 3

Jej graf je načrtnutý na obrázku 3.23. Funkcia f(x) = [x] nie je spojitá v celýchčíslach, lebo tam nemá limity. Napríklad

limx→2+

[x] = 2, ale limx→2−

[x] = 1


-

6

x

y

1 2 3 4

1

3

r br br b

r b

Obr. 3.23: Graf funkcie y = [x]

Teda funkcia nemá v bode a = 2 limitu, nemôže tam byť spojitá. Je tam lensprava spojitá.

Výpočet limít funkcie v danom bode nemusí byť jednoduchý. V prvom krokuodporúčame pokúsiť sa vypočítať funkčnú hodnotu v bode, v ktorom limitu po-čítame. Ak je funkcia zložená zo spojitých funkcií, takto môžeme získať výsledok.Avšak po dosadení väčšinou dostávame už spomínané „neurčité výrazyÿ, najmä

0.∞, 0.(−∞), ∞−∞, 00,∞∞, 1∞

Často si pomáhame tiež niektorými známymi limitami. Bez dôkazu uvedieme nie-ktoré z nich:

limx→0

sin x

x= 1

limz→0

(1 + z)1z = lim

x→∞

(1 +

1x

)x= lim

x→−∞

(1 +

1x

)x= e


limx→0

sin 3xx

= limx→0

3sin 3x

3x= lim

z→03

sin z

z= 3

Položili sme z = 3x.


limx→0

sin 3xsin 7x


limx→0

(1 + sin 3x)5x = lim

x→0(1 + sin 3x)

1sin 3x .

5 sin 3xx =


limx→0

((1 + sin 3x)

1sin 3x

)15= e15

Položili sme z = sin 3x.

Poznámka 3.4. Ak pri pokuse o výpočet funkčnej hodnoty v bode a dostanemeniektorý z výrazov 1∞ alebo 1

k0 , kde k 6= 0, k ∈ R, potom možno očakávať, že

limitou je mocnina čísla e (pozri predošlý príklad).


limx→0

(1 + 2x)3x


• 3.1. 〈2,√

5〉.

• 3.2. 0 ≤ m(x) ≤ 2.

• 3.3.

1. Zdola ohraničená.

2. Párna, zdola ohraničená.

3. Zhora ohraničená (Obr. 3.24).

Obr. 3.24: Graf funkci y = 5− |x− 3|

• 3.4.

–

f(m(x)) =1

4−√x, D(f(m)) = 〈0, 16) ∪ (16,∞)


–

m(f(x)) =

√1

4− x, D(m(f)) = (−∞, 4)

–

f(f(x)) =1

4− 14−x

, D(f(f)) = R−{−15

4, 4

}–

m(m(x)) = 4√x, D(m(m)) = 〈0,∞)

• 3.5. g−1(x) = 3√x− 2, D(g−1) = H(g−1) = R.

• 3.6. D(g) = 〈5, 7〉 H(g) = 〈5, 5 + π〉.

• 3.7. cn = n+12n+1 .

• 3.8. {2, 5, 17, 56, 185, 611, }.

• 3.9. a100 = −294.

• 3.10. nn+3 <

n+1n+4 , 0 < n

n+3 < 1.

• 3.11. n0(ε) =[

1−εε

].

• 3.12. 7/2.

• 3.13. 0,

• 3.14. 1/√e3.

• 3.17. −7.

• 3.18. 3/7.

• 3.19. e6.

Kapitola 4

DIFERENCIÁLNY POČETREÁLNYCH FUNKCIÍ

4.1 Derivácia reálnej funkcie

4.1.1 Definícia a geometrický význam

Grafom lineárnej funkcie f : y = kx+ q je priamka. Číslo k nazývame smernicoupriamky a vyjadruje veľkosť „stúpaniaÿ priamky, ak k > 0, alebo veľkosť „klesa-niaÿ priamky, ak k < 0. Napríklad priamka y = 2

3x+ 1 má smernicu k = 23 (pozri

Obr.4.1). Číselne, smernica k je tangens orientovaného uhla, ktorý zviera priamka

6

-x

y

��

��

1

2

3

1 2 3

Obr. 4.1: priamka so smernicou k = 23

s kladnou x-ovou poloosou. Preto priamka y = 3x+ 4 stúpa prudšie ako priamkay = 2x+ 5. Ako však riešiť otázku „stúpaniaÿ, ak funkcia nie je lineárna, a tedajej graf nie je priamka. Napríklad graf funkcie (funkcia) y = x2 +1 zrejme „stúpaÿprudšie v bode [2, 5], ako v bode [1,2] (pozri Obr.4.2)

Otázkou je, ako to číselne vyjadriť. Čo to je „stúpanieÿ krivky ? Rozumnýmriešením je považovať za stúpanie v danom bode, smernicu „dotyčniceÿ v tomto

83

84 KAPITOLA 4. DIFERENCIÁLNY POČET REÁLNYCH FUNKCIÍ

Obr. 4.2: Graf funkcie y = x2 + 1

bode grafu. Nie je však jasné, čo je to dotyčnica, i keď to intuitívne cítime. Pre-zradíme, že číslo, ktoré bude vyjadrovať smernicu „dotyčniceÿ v bode [a, f(a)]nazveme deriváciou funkcie f v bode a a budeme ho zapisovať f ′(a). Teda prespomínanú funkciu f(x) = x2 + 1 bude platiť

f ′(1) < f ′(2)

Dotyčnica bude priamka, ktorá prechádza bodom T [a, f(a)] a bude mať smernicuk = f ′(a). Pokúsme sa nájsť spomínamú „smernicu dotyčniceÿ výpočtom. Na

-

6

a

f AC

Bs

t

��

��

��

��

��x

y

Obr. 4.3: Derivácia funkcie v bode a je smernicou dotyčnice v bode A

Obr. 4.3 je zostrojená sečnica s grafu funkcie f prechádzjúca bodmi A[a, f(a)] aB[x, f(x)]. Jej smernicu určíme z pravouhlého trojuholníka ABC, kde C[x, f(a)]:

ks =f(x)− f(a)

x− a

4.1. DERIVÁCIA REÁLNEJ FUNKCIE 85

Ak sa x blíži k a, potom bod B sa blíži po grafe funkcie k bodu A a sečnicasa stále viac „podobáÿ priamke t, ktorú sme intuitívne nazvali dotyčnicou. Tedasmernica kt takejto dotyčnice je limitou smerníc sečníc ks pre x približujúce sa kua. Číslo kt budeme nazývať deriváciou v bode a.

Definícia 4.1. Nech funkcia f je definovaná v okolí bodu a. Ak existuje limita

limx→a

f(x)− f(a)x− a

potom ju nazývame deriváciou funkcie v bode a; značíme

f ′(a) = limx→a

f(x)− f(a)x− a

Ak označíme ∆x = x− a, potom

f ′(a) = lim∆x→0

f(a+ ∆x)− f(a)∆x

Derivácia nám umožňuje definovať dotyčnicu grafu funkcie f v bode T [a, f(a)]ako priamku so smernicou f ′(a) prechádzajúcu bodom T :

y − f(a) = f ′(a)(x− a).

Poznámka 4.1. Normála je kolmica na dotyčnicu v dotykovom bode. Pre jejsmernicu kn platí

kn = − 1kt

= − 1f ′(a)

Teda normála má rovnicu

y − f(a) = − 1f ′(a)(x− a).

Príklad 4.1. Vypočítame f ′(1) pre funkciu f(x) = x2 + 3 a napíšeme rovnicudotyčnice a normály v bode T [1, 4]. Počítame

f ′(1) = limx→1

f(x)− f(1)x− 1

= limx→1

x2 + 3− 4x− 1

= limx→1

(x+ 1) = 2

Rovnica dotyčnice:

y − 4 = 2(x− 1) alebo y = 2x+ 2

Rovnica normály:

y − 4 = −12

(x− 1) alebo x+ 2y − 9 = 0

Body, v ktorých existuje derivácia funkcie tvoria nejakú množinu M , ktorá jedefiničným oborom funkcie f ′, ktorú nazývame deriváciou funkcie f .


Príklad 4.2. Nájdeme deriváciu funkcie g(t) = t2 + 3. Vypočítame g′(a) preľubovoľné a ∈ R.

f ′(a) = limt→a

g(t)− g(a)t− a

= limt→a

t2 − a2

t− a= 2a

Teda, pre každé a ∈ R platí f ′(a) = 2a, alebo pre každé t ∈ R platí f ′(t) = 2t,Skrátene zapisujeme

(t2 + 3)′ = 2t

Cvičenie 4.1. Nájdite deriváciu funkcie h(x) = x3 + 2.

Podobne ako limitu možno definovať aj deriváciu sprava a zľava.

Definícia 4.2. Nech funkcia f je definovaná na intervale 〈a, a + r) ((a − r, a〉),r > 0. Ak existuje limita

f ′+(a) = limx→a+

f(x)− f(a)x− a(

f ′−(a) = limx→a−

f(x)− f(a)x− a

)potom ju nazývame deriváciou funkcie sprava (zľava) v bode a.

Príklad 4.3. Vypočítajme f ′+(0) funkcie f(x) =√x. Počítame

f ′+(0) = limx→0+

f(x)− f(0)x− 0

= limx→0+

√x−√

0x− 0

= limx→0+

1√x

=∞

To znamená, že f ′+(0) neexistuje.

Deriváciu sprava a zľava používame v hraničných bodoch uzavretého inter-valu, ak je to potrebné. Funkcia má deriváciu f ′(a) práve vtedy, ak má v bode aderiváciu sprava i zľava a

f ′(a) = f ′+(a) = f ′−(a)

Funkciaf(x) = |x− 2|

má v bode a = 2 deriváciu sprava i zľava, ale nemá tam deriváciu. Ľahko vidieť(Obr.4.4), že f ′+(2) = 1, f ′−(2) = −1. Spomínaná funkcia f(x) = |x − 2| nemáv bode a = 2 deriváciu napriek tomu, že je tam spojitá. Teda zo spojitosti fun-kcie ešte nevyplýva existencia derivácie. V nasledujúcej vete ukážeme, že opačnáimplikácia je pravdivá.

Veta 4.1. Ak funkcia f má v bode a deriváciu, potom je tam spojitá.


-

6

2 x

y

��

@@

@@@@

Obr. 4.4: Graf funkcie y = |x− 2|

Dôkaz: Predpokladajme, že f má v bode a deriváciu, teda existuje

limx→a

f(x)− f(a)x− a

Chceme dokázať, želimx→a

f(x) = f(a)

Pre každé x 6= a možno písať:

f(x)− f(a) =f(x)− f(a)

x− a(x− a)

Z toho úpravou a limitou dostávame

f(x) = f(a) +f(x)− f(a)

x− a(x− a)

limx→a

f(x) = f(a) + f ′(a).0 = f(a)

Teda f je spojitá v bode a. 2

4.1.2 Fyzikálny význam derivácie

Derivácia funkcie sa intenzívne používa v chémii, fyzike, ekonómii a ďalších vedách.Uvedieme len jednu jednoduchú fyzikálnu aplikáciu derivácie. Nech sa hmotný bodpohybuje po priamke (číselnej osi) a jeho poloha v čase t je daná rovnicou s = s(t).Napríklad s = t2 + 3. To znamená, že v čase t = 0 sa hmotný bod nachádza vpolohe s(0) = 3. Podobne s(1) = 4, s(2) = 7. Iste ste si všimli, pohyb nie jerovnomerný. Rýchlosť sa časom mení. Zaujíma nás okamžitá rýchlosť v danomčase t0, t.j. v(t0). Sledujme časový interval 〈t0, t〉. Dráha prejdená počas tohtointervalu je s(t)− s(t0), a priemerná rýchlosť:

vpriem =s(t)− s(t0)t− t0


Čím je interval 〈t0, t〉 kratší, tým viac sa priemerná rýchlosť vpriem približuje kokamžitej rýchlosti v čase t0. Teda

v(t0) = limt→t0

vpriem = limt→t0

s(t)− s(t0)t− t0

= s′(t0)

Napríklad, pri spomínanej polohovej rovnici s = t2 + 3 dostaneme

v(1) = s′(1) = (2t)t=1 = 2

Podobne, v(2) = s′(2) = 4. Ak bol čas meraný v sekundách a dráha v metroch,dostávame v(2) = 4ms−1. Namiesto fyzikálnej veličiny „dráhaÿ možno uvažovaťaj iné veličiny. Napríklad, ak x(t) je koncentrácia látky v čase t, potom x′(t) jeokamžitá rýchlosť zmeny koncentrácie (rýchlosť reakcie).

4.1.3 Základné vzťahy

V príklade 4.2 sme dokázali, že (x2 + 3)′ = 2x. Ľahko možno dokázať: Ak f(x) =c, potom f ′(x) = 0. Teda, deriváciou konštantnej funkcie (konštanty) je nula.Priamo z definície možno odvodiť derivácie ďalších známych funkcií (s hodnotamipremennej x, pre ktoré majú výrazy zmysel):

(c)′ = 0,

(xr)′ = rxr−1, kde r ∈ R,

(sin x)′ = cos x,

(cos x)′ = − sin x,

(ax)′ = ax. ln a, a > 0, a 6= 1,

(ex)′ = ex,

(arcsin x)′ = 1√1−x2 ,

(arccos x)′ = − 1√1−x2 ,

(arctg x)′ = 11+x2 ,


(arccotg x)′ = − 11+x2 ,

(loga x)′ = 1x. ln a , a > 0, a 6= 1,

(ln x)′ = 1x .

Na ukážku dokážeme, že (ex)′ = ex. Teda nech f(x) = ex. Dokážeme, žef ′(a) = ea pre každé a ∈ R. Počítame

f ′(a) = limx→a

f(x)− f(a)x− a

= limx→a

ex − ea

x− a= ea lim

x→a

ex−a − 1x− a

Zavedieme substitúciu (Veta 3.8)

ex−a − 1 = t

Z nej plynie x− a = ln(t+ 1). Potom

f ′(a) = ea limt→0

t

ln(t+ 1)= ea lim

t→0

1

ln(t+ 1)1t

= ea1

ln e= ea

Príklad 4.4. Napíšme rovnicu dotyčnice a normály ku grafu funkcie

f(x) = arctg x

v dotykovom bode T [1, ?].Riešenie. Zrejme T [1, π4 ]. Vypočítame f ′(1) = 1

1+12 = 12 . Potom rovnica dotyčnice

bude:

y − f(1) = f ′(1)(x− 1), t.j. y − π

4=

12

(x− 1)

Normála je kolmica na dotyčnicu prechádzajúca dotykovým bodom:

y − f(1) = − 1f ′(1)

(x− 1), t.j. y − π

4= −2(x− 1)

Cvičenie 4.2. Napíšme rovnicu dotyčnice a normály ku grafu funkcie h(x) =2 + 4 sin x v dotykovom bode T [π6 , ?].

V nasledujúcej vete sa dozvieme, ako derivovať súčet, rozdiel, súčin a podielfunkcií. Doporučujeme čitateľovi dokázať aspoň prvý vzťah.

Veta 4.2. Nech f a g majú derivácie v bode x, k je konštanta. Potom majú deri-vácie aj funkcie f+g, f-g, k.f, f.g a ak g(x) 6= 0 aj funkcia f

g tak, že

1. (f(x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x)


2. (f(x)− g(x))′ = f ′(x)− g′(x)

3. (k.f(x))′ = k.f ′(x)

4. (f(x).g(x))′ = f ′(x).g(x) + f(x).g′(x)

5.(f(x)g(x)

)′= f ′(x).g(x)−f(x).g′(x)

g2(x)

Použitím vety možno jednoducho odvodiť vzťah pre deriváciu funkcií tg xa cotg x:

(tg x)′ =

(sin x

cos x

)′=

cos x. cos x+ sin x. sin x

cos2 x=

1cos2 x

pre x 6= π2 + k.π, k ∈ Z,

(cotg x)′ =(cos x

sin x

)′=− sin x. sin x− cos x. cos x

sin2 x= − 1

sin2 x

pre x 6= k.π, k ∈ Z. Teda

(tg x)′ = 1cos2 x

(cotg x)′ = − 1sin2 x

Príklad 4.5. Vypočítajme g′(0), ak

g(t) =sin t

1 + cos t

Riešenie:

g′(t) =cos t.(1 + cos t)− sin t(− sin t)

(1 + cos t)2 =1

1 + cos t

Teda g′(0) = 12 .

Cvičenie 4.3. Vypočítajte g′(0) pre funkciu

g(x) = 6 + 5x2 − x. sin x

x2 + 1

4.1.4 Derivácia zloženej funkcie

V predošlej kapitole sme definovali zloženú funkciu

F (x) = f(φ(x))

kde f bola vonkajšia zložka a φ bola vnútorná zložka. Predpokladajme, že obezložky vieme derivovať. Ako derivovať zloženú funkciu?


Veta 4.3. Nech φ(x) má deriváciu v bode x0 a funkcia f(u) má deriváciu v bodeu0 = φ(x0). Potom aj funkcia F (x) = f(φ(x)) má deriváciu v bode x0 a platí

F ′(x0) = f ′(u0).φ′(x0)

Dôkaz: Ak Funkcia φ je v okolí bodu konštantná, potom aj F je tam kon-štantná, ich derivácie sú nulové a veta platí. V opačnom prípade, zo spojitostivyplýva existencia takého okolia bodu x0, že pre všetky x z tohto okolia platíu = φ(x) 6= φ(x0) = u0. Potom pre x z tohto okolia

F (x)− F (x0)x− x0

=f(φ(x))− f(φ(x0))

x− x0=f(u)− f(u0)

u− u0.φ(x)− φ(x0)

x− x0

Funkcia φ má v bode x0 deriváciu, a preto je tam spojitá (Veta 4.1). Teda

limx→x0

u(x) = limx→x0

φ(x) = φ(x0) = u0

Potom

F ′(x0) = limu→u0

f(u)− f(u0)u− u0

. limx→x0

φ(x)− φ(x0)x− x0

= f ′(u0).φ′(x0). 2

Príklad 4.6. Nájdime deriváciu funkcie

y =√

1− x2

Označmef(u) =

√u, u = φ(x) = 1− x2

Potom y = f(φ(x)). Použitím predošlej vety dostaneme

y′ = f ′(u).φ′(x) =1

2√u.(−2x) =

−x√1− x2


z = (3t4 − 7)9

Označmef(u) = u9, u = φ(t) = 3t4 − 7

Potom y = f(φ(x)). Použitím predošlej vety dostaneme

y′ = f ′(u).φ′(x) = 9u8.12.t3 = 108(3t4 − 7)8.t3


y =arctg x

1 + arctg x


Funkciu možno derivovať ako podiel funkcií, alebo ako zloženú funkciu. Označme

f(u) =u

1 + u, u = φ(x) = arctg x

Potom y = f(φ(x)). Dostaneme

y′ = f ′(u).φ′(x) =1 + u− u(1 + u)2 .

11 + x2 =

1(1 + arctg x)2 .

11 + x2

Cvičenie 4.4. Nájdite deriváciu funkcie

y = ln cos(4t+ t2)

V závere tohto odseku ešte vyriešime problém derivácie funkcie tvaru

y = f(x)g(x), f(x) > 0

V predošlej kapitole sme ukázali, že každé kladné číslo a možno vyjadriť v tvare

a = eln a

Preto

y = f(x)g(x) = eln f(x)g(x) = eg(x). ln f(x)

a takúto funkciu možno derivovať ako zloženú funkciu podľa Vety 4.3.

Príklad 4.9. Derivujme funkciu

y = h(x) = xsin x, x > 0

Prepíšeme

h(x) = xsin x = esin x. ln x

Potom

y = eu, u = sin x. ln x

Derivujeme zloženú funkciu

h′(x) = eu.

(cos x. ln x+

sin x

x

)= xsin x

(cos x. ln x+

sin x

x

)Cvičenie 4.5. Derivujte funkciu

y = u(t) = (t2 + 1)t

4.2. DERIVÁCIE VYŠŠÍCH RÁDOV 93

4.2 Derivácie vyšších rádov

Už vieme, že body, v ktorých má funkcia f deriváciu tvoria definičný obor funkcief ′. Je teda zrejmé, že D(f ′) ⊂ D(f). Body, v ktorých má funkcia f ′ deriváciutvoria definičný obor funkcie f ′′, ktorú nazývame 2. deriváciou funkcie f. Teda

f ′′ = (f ′)′

Podobnef ′′′ = (f ′′)′

Takýmto spôsobom možno rekurentne definovať n-tú deriváciu

f (n) =(f (n−1)

)′Pre ich definičné obory platí D

(f (n)

)⊂ D

(f (n−1)

). V symbolickom označení

používame symbolyf ′, f ′′, f ′′′, f (4), f (5), . . . f (n)

alebodf

dx,df2

dx2 ,df3

dx3 , ...,dfn

dxn

Príklad 4.10. Nájdime n-tú deriváciu funkcie f(x) = 1/x. Derivujeme

f ′(x) =−1x2 , f ′′(x) =

2x3 , f ′′′(x) =

−6x4 , f (4)(x) =

24x5

Z toho vidieť, že

f (n)(x) = (−1)nn!xn+1

Cvičenie 4.6. Nájdime n-tú deriváciu funkcie f(t) = te−t.

Už vieme, že prvou deriváciou rovnice dráhy (polohy) pri priamočiarom po-hybe je okamžitá rýchlosť, t.j. v(t) = s′(t). Deriváciou okamžitej rýchlosti je okam-žité zrýchlenie a(t). Teda

a(t) = v′(t) = s′′(t)

Príklad 4.11. Vypočítame okamžitú rýchlosť a zrýchlenie v čase t0 = 2, ak sahmotný bod pohybuje po priamke tak, že jeho poloha je daná rovnicou

s(t) = 2 cosπt

2+ 3

Derivujme

v(t) = s′(t) = −π sin

(πt

2

)a(t) = v′(t) = −π

2

2cos

(πt

2

)Po dosadení t0 = 2 dostávame

v(2) = 0, a(2) =π2

2


4.3 L’Hospitalovo pravidlo

Na výpočet mnohých limít možno použiť nasledujúcu vetu, ktorú uvedieme bezdôkazu.

Veta 4.4. (L’Hospitalovo pravidlo) Nech funkcie f a g sú definované v okolí bodua a nech

limx→a

f(x) = limx→a

g(x) = 0

alebolimx→a

f(x) = limx→a

g(x) =∞

Potom, ak existuje

limx→a

f ′(x)g′(x)

platí

limx→a

f(x)g(x)

= limx→a

f ′(x)g′(x)

Vetu možno použiť aj pre jednostranné a nevlastné limity a platí aj pre a ∈{−∞,∞}.

Príklad 4.12. Vypočítame limitu

limx→1

x4 − 5x3 + 42x3 + x2 − x− 2

.

Pretoželimx→1

x4 − 5x3 + 4 = limx→1

2x3 + x2 − x− 2 = 0

použitím L’Hospitalovho pravidla dostaneme:

limx→1

x4 − 5x3 + 42x3 + x2 − x− 2

= limx→1

4x3 − 15x2

6x2 + 2x− 1=−11

7

L’Hospitalovo pravidlo možno použiť pre limity typu 00 alebo ∞

∞ . Niektoréďalšie typy limít možno upraviť na uvedené typy.


limx→0+

x. ln x.

Zdá sa, že táto limita nie je vhodná na výpočet L’Hospitalovým pravidlom. Pojednoduchej úprave dostaneme limitu typu ∞∞ :

limx→0+

x. ln x = − limx→0+

− ln x1x

= − limx→0+

−1x−1x2

= − limx→0+

x = 0

4.4. DIFERENCIÁL 95


limx→0+

(1 + sin x)1x

Po úprave dostaneme v exponente limitu typu 00 :

limx→0+

(1 + sin x)1x = lim

x→0+eln(1+sin x)

x

Vypočítame limitu exponenta použitím L’Hospitalovho pravidla:

limx→0+

ln(1 + sin x)x

= limx→0+

cos x1 + sin x

= 1

Pretolimx→0+

(1 + sin x)1x = e.


limx→2

2t3 − 3t2 − 4t− 2


limx→π

2

(π − 2x)cos x


limx→0

ex − 1tg x

4.4 Diferenciál

V technickej praxi sa často stretávame so situáciou, keď nameranú veličinu po-známe len s istou presnosťou; vieme odhadnúť strednú hodnotu a chybu merania.Treba riešiť otázku, aká je chyba výpočtu ďalšej veličiny závislej na nameranej ve-ličine. Napríklad, opakovane meráme stranu štvorca a. Spracovaním meraní smedostali: a = 10±2cm. Treba vypočítať plochu štvorca a odhadnúť chybu výsledku.Plocha štvorca P je funkciou dĺžky strany x:

P (x) = x2

Chyba vypočítanej plochy súvisí s rozdielom funkčných hodnôt v bode b = 10 av niektorom z bodov b1 = 9,8 a b2 = 10,2. V našom príklade

P (10,2)− P (10) = 4,04; P (10)− P (9,8) = 3,96


Iste sa nepomýlime, ak za chybu výsledku považujeme väčšie z týchto dvoch čísela vyhlásime, že štvorec má plochu

P = 100± 4,04 cm2

Zopakujme, že chyba výsledku je vlasne rozdiel funkčných hodnôt (diferencia).V našom príklade bol výpočet veľmi jednoduchý, lebo výpočet plochy štvorca jedaný jednoduchým predpisom funkcia P (a) = a2. V komplikovanejších prípadochsa takýto postup nedá použiť. Preto na odhad chyby výpočtu (rozdielu funkč-ných hodnôt) postupujeme tak, že namiesto rozdielu funkčných hodnôt (prírastkufunkcie) používame prírastok dotyčnice, ktorý nazveme „diferenciálomÿ.

Vráťme sa k definícii derivácie ako limity

limx→a

f(x)− f(a)x− a

Označme∆x = x− a, ∆y = f(x)− f(a)

Potom

f ′(a) = lim∆x→0

∆y∆x

alebo

= lim∆x→0

∆y∆x− f ′(a) = 0

Číslo ∆y nazývame diferenciou (prírastkom) funkcie a číslo ∆x prírastkom argu-mentu (∆y = |CD| na Obr.4.5).

-

6

a

f A

∆y

df

∆x

��

��

��x

y

C

B

D

Obr. 4.5: Diferenciál df = |BC| je prírastok na dotyčnici

Nech ω(∆x) = ∆y∆x − f

′(a). Potom

lim∆x→0

ω(∆x) = 0

Po úprave∆y = f ′(a).∆x+ ω(∆x).∆x

Výraz ω(∆x).∆x je rádovo menší ako ostatné výrazy, a preto diferencia ∆y jeblízka číslu f ′(a).∆x, ktoré nazývame diferenciálom.

4.4. DIFERENCIÁL 97

Definícia 4.3. Diferenciálom funkcie f v bode a pre prírastok argumentu ∆xnazývame výraz (číslo)

df = df(a,∆x) = f ′(a).∆x

Geometrický význam diferenciálu je zrejmý z Obr.4.5. Preto diferenciál nazý-vame prírastkom na dotyčnici (df = |BC|.)

Diferenciál danej funkcie v danom bode a je lineárnou funkciou prírastku ar-gumentu ∆x. Položme f(x) = x. Potom df = dx = ∆x a

df(a) = f ′(a).∆x

alebo

df(x) = f ′(x).dx. (4.1)

Po úprave

f ′(a) =df(a)

dxTakýto zápis derivácie sa často používa vo fyzike a technických vedách. Vhodnýje najmä vtedy, ak funkčný predpis obsahuje viac parametrov („písmenÿ) a nie jecelkom jasné, ktorý z nich je argument funkcie.

Používame tiež(

dfdx

)x=a

, dfdx (a),

(d

dxf(x))x=a . Napríklad

ddt

(k3 sin bt) = bk3 cos bt

Príklad 4.15. Nájdime hodnotu diferenciálu a diferencie funkcie f(x) = e2x akx sa zmení z hodnoty a = 1 na hodnotu x = 1,01.

Riešenie:

∆x = 0,01, ∆y = f(a)− f(a) = e2,02 − e2 = 0,149269

df = f ′(1).∆x = 2e2 . 0,01 = 0,147781

Funkcia, ktorá má v bode a diferenciál sa nazýva diferencovateľná. Je zrejmé,že funkcia je v bode a diferencovateľná práve vtedy, ak má v tomto bode deriváciu.Ak |∆x| = |x−a| je „maléÿ číslo, možno diferenciál použiť pri výpočte približnýchhodnôt prírastku a hodnôt funkcie, pretože potom

f(x)=f(a) + f ′(a)(x− a). (4.2)

Príklad 4.16. Približne, pomocou diferenciálu vypočítajme arctg (1, 1). Použi-jeme vzťah (4.2), a = 1, x = 1,1 :

arctg (1,1) = arctg 1 +1

1 + 12 . 0,1 =π

4+ 0,05 = 0,835


Cvičenie 4.10. Približne, pomocou diferenciálu vypočítajme sin 31o.

Vzťah 4.2 používame aj na odhad absolútnej chyby veličiny závisiacej od inejveličiny, ktorej chybu poznáme. Napríklad, povrch gule

S(r) = 4πr2

kde r je polomer gule. Ak poznáme absolútnu chybu merania polomeru gule ∆r,potom absolútna chyba výpočtu povrchu gule

∆S = |S′(r0)|.∆r

kde r0 je stredná hodnota merania polomeru.

Príklad 4.17. Opakovaným meraním bolo zistené, že polomer gule je r = 0,2 ±0,01 [m]. Vypočítajme povrch gule. Zrejme r0 = 0,2, ∆r = 0,01, S(r) = 4πr2,S′(r) = 8πr Počítajme

S(0,2) = 0,5

∆S = S′(0,2) . ∆r = 8π . 0,2 . 0,01 = 0,05

TedaS = 0,5± 0,05 [m2]

Cvičenie 4.11. Opakovaným meraním bolo zistené, že strana štvorca a = 3 ±0,2 [m]. Vypočítajme plošný obsah štvorca.

4.5 Derivácia a vlastnosti funkcií

Už sme dokázali, že funkcia, ktorá má v bode deriváciu, je tam spojitá. V tomtoodseku sa budeme zaoberať ďalšími vlastnosťami funkcií súvisiacimi s deriváciou.Pomocou nasledujúcej vety možno odvodiť ďalšie dôležité poznatky o funkciách sderiváciou. Nebudeme ju dokazovať.

Veta 4.5. (Lagrangeova veta) Nech f je spojitá funkcia na intervale 〈a, b〉 a máderiváciu v každom bode intervalu (a, b). Potom v intervale (a, b) existuje taký bodc, že

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a(4.3)

Vzťah 4.3 je možné písať v tvare

f(b)− f(a) = f ′(c).(b− a). (4.4)

Geometricky, Lagrangeova veta zaručuje existenciu aspoň jedného c ∈ (a, b) tak, žedotyčnica v bode C[c, f(c)] je rovnobežná so spojnicou bodov A[a, f(a)],B[b, f(b)],ktoré budeme nazývať krajné body grafu funkcie na intervale 〈a, b〉 (pozri Obr.4.6).

4.5. DERIVÁCIA A VLASTNOSTI FUNKCIÍ 99

-

6

a

A

C

B

��

��

c b

y

Obr. 4.6: Dotyčnica v bode C je rovnobežná s úsečkou AB

Príklad 4.18. Na grafe funkcie f(x) = 1−x2 nájdime bod, v ktorom je dotyčnicarovnobežná so spojnicou krajných bodov grafu na intervale 〈0, 1〉.Riešenie. Smernica priamky spájajúcej krajné body grafu na intervale 〈0, 1〉 je

ks =f(1)− f(0)

1− 0= −1

Budeme hľadať taký bod c, pre ktorý platí f ′(c) = −1, t. j. −2c = −1. Z tohovidíme, že c = 1

2 . Hľadaný bod má súradnice [12 ,

34 ].

Pomocou Lagrangeovej vety možno dokázať vety v nasledujúcich odsekoch.

4.5.1 Monotónnosť funkcie

Veta 4.6. Nech funkcia f je spojitá na intervale 〈a, b〉 a má na intervale (a, b)kladnú (zápornú) deriváciu, potom je funkcia f rastúca (klesajúca) na intervale〈a, b〉.

Dôkaz. Nech pre každé x ∈ (a, b) má funkcia kladnú deriváciu. Dokážeme, žef je rastúca na 〈a, b〉, t. j.:

a ≤ x1 < x2 ≤ b =⇒ f(x1) < f(x2)

Pretože 〈x1, x2〉 ⊂ 〈a, b〉, funkcia f spĺňa na intervale 〈x1, x2〉 predpoklady Lag-rangeovej vety (Veta 4.5). Preto existuje c ∈ (x1, x2) tak, že

f(x2)− f(x1) = f ′(c)(x2 − x1)

Z kladnosti derivácie f ′ na intervale (a, b) plynie

f(x2)− f(x1) = f ′(c)(x2 − x1) > 0

Tým sme dokázali, že f(x1) < f(x2). Dôkaz druhej časti vety je analogický. 2


Poznámka 4.2. Veta nám umožňuje zisťovať intervaly, na ktorých je funkcia ras-túca, či klesajúca. Veta hovorí o monotónnosti na uzavretom intervale, ale možnoju použiť aj vtedy, ak riešenie nerovnice f ′(x) > 0 (f ′(x) < 0) je iný interval,v krajných bodoch ktorého nie je funkcia definovaná, alebo je interval neohrani-čený.

Príklad 4.19. Nájdime intervaly, na ktorých je funkcia g(x) = x4 − 2x2 rastúca(klesajúca).Riešenie. Funkcia má definičný obor D(g) = R. Hľadáme intervaly, na ktorých jeg′(x) > 0. Riešime nerovnicu

4x3 − 4x = 4x(x− 1)(x+ 1) > 0

Dostávame, že g je rastúca na intervaloch 〈−1, 0〉, 〈1,∞). Podobne riešením ne-rovnice g′(x) < 0 dostaneme, že g je klesajúca na intervaloch (−∞,−1〉, 〈0, 1〉

Cvičenie 4.12. Nájdite intervaly, na ktorých je funkcia h(x) = xe−x rastúca(klesajúca).

4.5.2 Konvexnosť a konkávnosť funkcie

Zavedieme pojmy konvexnosti a konkávnosti funkcie, ktoré sú dôležité pri charak-terizácii „trendovÿ veličiny, ktorú funkcia vyjadruje.

Definícia 4.4. Nech funkcia f je spojitá na intervale 〈a, b〉 a má deriváciu vkaždom vnútornom bode tohto intervalu. Hovoríme, že f je konvexná (konkávna)na intervale 〈a, b〉, ak graf funkcie leží nad (pod) dotyčnicou zostrojenou v každombode [x, f(x)], x ∈ (a, b). (Pozri Obr.4.7).

-

6

a

A

B

��

b

y

-

6

a

A

B

��

b

y

Obr. 4.7: Funkcia konvexná a funkcia konkávna

Nasledujúca veta hovorí ako možno použiť 2. deriváciu na zisťovanie intervalovkonvexnosti (konkávnosti). Nebudeme ju dokazovať.

Veta 4.7. Nech funkcia f je spojitá na intervale 〈a, b〉 a má na intervale (a, b)kladnú (zápornú) druhú deriváciu, potom je funkcia f konvexná (konkávna) naintervale 〈a, b〉.


Poznámka 4.3. Veta (podobne ako Veta 4.6) nám umožňuje zisťovať intervaly,na ktorých je funkcia konvexná, či konkávna. Veta hovorí o týchto vlastnostiach nauzavretom intervale. Možno ju však použiť aj vtedy, ak riešenie nerovnice f ′′(x) >0 (f ′′(x) < 0) je iný interval, v krajných bodoch ktorého nie je funkcia definovaná,alebo je interval neohraničený.

Príklad 4.20. Nájdime intervaly, na ktorých je funkcia g(x) = x4−2x2 konvexná(konkávna).Riešenie. Funkcia má definičný obor D(g) = R. Hľadáme intervaly, na ktorých jeg′′(x) > 0. Riešime nerovnicu

g′′(x) = 12x2 − 4 = 4(3x2 − 1) = 4(√

3x− 1)(√

3x+ 1) > 0

Dostávame, že g je konvexná na intervaloch (−∞,− 1√3〉, 〈 1√

3,∞). Podobne rie-

šením nerovnice g′′(x) < 0 dostaneme, že g je konkávna na intervale 〈− 1√3, 1√

3〉.

Príklad 4.21. Nájdime intervaly, na ktorých je funkcia f(x) = 1x konvexná

(konkávna).Riešenie. Funkcia má definičný obor D(f) = (−∞, 0)∪(0,∞). Hľadáme intervaly,na ktorých je f ′′(x) > 0. Riešime nerovnicu

f ′′(x) =2x3 > 0

Dostávame, že f je konvexná na intervale (0,∞). Podobne riešením nerovnicef ′′(x) < 0 dostaneme, že f je konkávna na intervale (−∞, 0).

Cvičenie 4.13. Nájdite intervaly, na ktorých je funkcia h(t) = t1+t2 konvexná

(konkávna).

4.5.3 Inflexné body

S pojmami konvexnosti a konkávnosti úzko súvisí pojem inflexného bodu.

Definícia 4.5. Nech funkcia f definovaná v okolí bodu c má v bode c deriváciu.Bod P [c, f(c)] je inflexným bodom grafu funkcie f, ak existuje také r > 0, žefunkcia je na intervale 〈c− r, c〉 konvexná a na intervale 〈c, c+ r〉 konkávna alebonaopak. Hovoríme tiež, že c je inflexným bodom funkcie f alebo, že f má v bode cinflexný bod.

V inflexnom bode má teda funkcia dotyčnicu, ale jej graf je z jednej stranypod dotyčnicou a z druhej strany nad dotyčnicou (pozri Obr.4.8). Inflexné bodymôžeme hľadať tak, že nájdeme intervaly, na ktorých je funkcia konvexná alebokonkávna. Bod, ktorý je súčasne hraničným bodom intervalu konvexnosti a inter-valu konkávnosti a v ktorom existuje derivácia je inflexný bod funkcie.


-

6

��

c

P

y

Obr. 4.8: Bod P je inflexný bod funkcie f

Príklad 4.22. Nájdime inflexné body funkcie g(x) = x4 − 2x2.Riešenie. Z predošlého príkladu vieme, že g je konvexná na intervaloch(−∞,− 1√

3〉, 〈 1√

3,∞), konkávna na intervale 〈− 1√

3, 1√

3〉, a funkcia má deriváciu

v každom bode. Teda inflexné body grafu funkcie g sú

P1

[1√3,−5

9

], P2

[− 1√

3,−5

9

]Príklad 4.23. Nájdime inflexné body funkcie f(x) = 3

√x− 1.

Riešenie. D(f) = R. Z druhej derivácie

f ′′(x) = − 2

9 3√

(x− 1)5

vidíme, že funkcia je konvexná na intervale (−∞, 1〉 a konkávna na intervale〈1,∞), ale f ′(1) neexistuje. Funkcia nemá inflexné body (Obr.4.9).

Z definície plynie, že ak má f v bode c inflexný bod, potom na okolí bodu cnemôže byť konvexná ani konkávna, a preto ľahko uveríme nasledujúcej vete (bezdôkazu).

Veta 4.8. (Nutná podmienka existencie inflexného bodu) Ak f má v bode c in-flexný bod a má tam 2. deriváciu, potom f ′′(c) = 0.

Nasledujúca veta dáva ďalšiu možnosť hľadania inflexných bodov. Uvediemeju bez dôkazu.

Veta 4.9. Ak f ′′(c) = 0 a f ′′′(c) 6= 0, potom má funkcia f v bode c inflexný bod.

Poznámka 4.4. Vetu možno zovšeobecniť: Ak

f ′′(c) = f ′′′(c) = · · · = f (k−1)(c) = 0, f (k)(c) 6= 0

číslo k je nepárne, potom f má v bode c inflexný bod.


Obr. 4.9: Funkcia f(x) = 3√x− 1 nemá inflexné body

Príklad 4.24. Nájdime inflexné body funkcie f(x) = x4 − 6x2.Riešenie. f ′(x) = 4x3 − 12x, f ′′(x) = 12x2 − 12, f ′′′(x) = 24x. Z rovnicef ′′(x) = 12x2 − 12 = 0 dostaneme riešenia x1 = 1, x2 = −1. Pretože

f ′′′(1) = 24 6= 0, f ′′′(−1) = −24 6= 0

graf funkcie má 2 inflexné body

P1[1,−5], P2[−1,−5]

Príklad 4.25. Nájdime inflexné body funkcie f(x) = 3x+ (x− 2)5.Riešenie. f ′(x) = 3+5(x−2)4, f ′′(x) = 20(x−2)3, f ′′′(x) = 60(x−2)2, f (4)(x) =120(x− 2), f (5)(x) = 120. Vidíme, že

f ′′(2) = f ′′′(2) = f (4)(2) = 0

ale f (5)(2) = 120. Funkcia má v bode c = 2 inflexný bod. Inflexný bodu grafu jeP [2, 6].

Cvičenie 4.14. Nájdite inflexné body funkcie f(x) = x+1x2+1 .

4.5.4 Lokálne extrémy

Z hľadiska aplikácii sú zaujímavé body, v ktorých funkcia mení rast na klesaniealebo naopak. Nazývame ich lokálne maximum a lokálne minimum, spoločne –lokálne extrémy (Obr.4.10.)

Definícia 4.6. Hovoríme, že funkcia f(x) má v bode c lokálne maximum (lokálneminimum), ak existuje také okolie bodu c, že pre každý bod x z tohto okolia, x 6= c,platí

f(x) < f(c) (f(x) > f(c))


-

6

x

y

Obr. 4.10: Lokálne maximum a lokálne minimum funkcie

Z geometrickej predstavy je zrejmé, že dotyčnica v takýchto bodoch, ak exis-tuje, je rovnobežná s osou x-ovou.

Veta 4.10. (Nutná podmienka lokálneho extrému). Ak funkcia f(x) má v bode clokálny extrém a má v tomto bode deriváciu, potom f ′(c) = 0.

Veta sa nedá obrátiť. Napríklad, funkcia f(x) = x3 má v bode a = 0 deriváciu,f ′(0) = 0, ale nemá tam lokálny extrém. Body, v ktorých má funkcia nulovúderiváciu nazývame stacionárne body. Teda, v stacionárnom bode ešte nemusíbyť lokálny extrém.

Nasledujúca veta vyplýva z geometrickej predstavy: Ak v bode grafu [a, f(a)]má funkcia dotyčnicu rovnobežnú s x-ovou osou a graf je v okolí tohto bodu nad(pod) touto dotyčnicou, má funkcia v bode a lokálne minimum (maximum).

Veta 4.11. (Postačujúca podmienka existencie lokálneho extrému).Ak f ′(a) = 0 a f ′′(a) < 0 (f ′′(a) > 0) , potom f má v bode c lokálne maximum(minimum).

Hľadať lokálne extrémy môžeme buď použitím predošlej vety, alebo tak, žepreverujeme body, ktoré sú hraničné body intervalu rastu a intervalu klesaniasúčasne. Ak je v takomto bode funkcia spojitá, má tam lokálny extrém.

Príklad 4.26. Nájdime lokálne extrémy funkcie g(x) = x4 − 2x2.Riešenie. Z Príkladu 4.19 vieme, že funkcia je rastúca na intervaloch 〈−1, 0〉,〈1,∞) a klesajúca na intervaloch (−∞,−1〉, 〈0, 1〉. Funkcia je spojitá v každombode (je to polynóm), a preto má v bodoch x1 = −1, x2 = 1 lokálne minimáa v bode x3 = 0 má lokálne maximum. Pretože g(−1) = g(1) = −1, g(0) = 0,príslušné body grafu majú súradnice [−1,−1], [1,−1], [0, 0] (Obr.4.11).

Príklad 4.27. Nájdime lokálne extrémy funkcie h(t) = te−t.Riešenie. Použijeme Vetu 4.11. Derivujme

h′(t) = e−t(1− t), h′′(t) = e−t(t− 2)


-

6

x

y

−1 1

−1

Obr. 4.11: Lokálne extrémy z Príkladu 4.26

Stacionárny bod je a = 1. Dosadíme do druhej derivácie: h′′(1) = −e−1 < 0.Funkcia má v bode a = 1 lokálne maximum, h(1) = 1

e (Obr.4.12).

Obr. 4.12: Funkcia f(t) = e−t(t− 1) má v bode a = 1 lokálne maximum.

Cvičenie 4.15. Nájdime lokálne extrémy funkcie g(s) = s2e−s

Poznámka 4.5. Okrem lokálnych extrémov niekedy hľadáme aj globálne extrémy.Funkcia má v bode d globálne maximum (minimum), ak f(d) ≥ f(x) (f(d) ≤f(x)) pre všetky x ∈ D(f). Pri hľadaní globálnych extrémov sa prehliadajú lokálneextrémy a funkčné hodnoty v krajných bodoch intervalov patriacich definičnémuoboru.

Problém hľadania lokálnych extrémov sa často vyskytuje pri optimalizácii.V optimalizačných problémoch hľadáme hodnoty argumentu tak, aby účelová fun-kcia nadobúdala maximálne alebo minimálne hodnoty.


Príklad 4.28. Okno má tvar obrazca skladajúceho sa z obdĺžnika a z rovnostran-ného trojuholníka so spoločnou stranou (pozri Obr.4.13). Vonkajší obvod okna je10 metrov. Pri akých rozmeroch má maximálny plošný obsah?

JJJJJJJ

a

bb

a

aa

Obr. 4.13: Tvar okna z Príkladu 4.28

Riešenie. Je zrejmé, že 3a+ 2b = 10. Preto b = 10−3a2 . Potom plocha okna

P = a.b+a.va2.

Pretože va =√

3 a2 dostávame

P (a) = a.10− 3a

2+ a.

√3 a4

Derivujme a riešme rovnicu

P ′(a) =10− 6a+ a

√3

2= 0

Našli sme stacionárny bod funkcie P :

a1 =10

6−√

3= 2, 343

Pretože P ′′(a1) = −3+√

32 < 0 funkcia P má v bode a1 lokálne maximum. Pretože

P je polynóm 2. stupňa (grafom je parabola), má len jeden lokálny extrém, ktorýje súčasne globálny extrém. Vypočítame

b1 =10− 3a1

2= 5− 15

6−√

3= 1, 485

Maximálna plocha okna bude P = 5, 858m2, pri rozmeroch a = 2, 343m, b = 1, 485.

Cvičenie 4.16. Nájdite základňu rovnoramenného trojuholníka s ramenami dĺžky1 m tak, aby mal najväčší plošný obsah.

4.6. ASYMPTOTY GRAFU FUNKCIE 107

Nasledujúca veta (bez dôkazu) rieši situáciu, keď v bode a je splnená nutnápodmienka existencie extrému aj inflexného bodu.

Veta 4.12. Nech

f ′(c) = f ′′(c) = f ′′′(c) = · · · = f (k−1)(c) = 0, f (k)(c) 6= 0

Potom,

• ak číslo k je nepárne f má v bode c inflexný bod,

• ak číslo k je párne f má v bode c lokálny extrém.

Príklad 4.29. Pre funkciu f(x) = (x+ 2)6 platí

f ′(−2) = f ′′(−2) = f ′′′(−2) = f (4)(−2) = f (5)(−2) = 0, f (6)(−2) > 0

Preto má v bode a = −2 lokálne minimum.

4.6 Asymptoty grafu funkcie

Pri skúmaní grafu funkcie sú dôležité priamky, ku ktorým sa graf „nekonečneÿ pri-bližuje. Nazývame ich asymptotami grafu funkcie. Spomeňte si na graf hyperbolyzo strednej školy. Poznáme 2 typy asymptot:

• Asymptota bez smernice – asymptota rovnobežná s osou y-ovou.

• Asymptota so smernicou.

Definícia 4.7. Priamka x = a sa nazýva asymptotou bez smernice grafu funkcie,ak funkcia f je definovaná aspoň na jednom z intervalov (a−r, a) alebo (a, a+r),r ∈ R, r > 0 a aspoň jedna z limít

limx→a+

f(x), limx→a−

f(x)

je nevlastná (−∞ alebo ∞.) (Pozri Obr 4.14)

Z definície plynie, že ak x = a je asymptotou bez smernice grafu funkcie f ,potom f nie je v okolí bodu a ohraničená a teda nemôže byť v bode a spojitá.Ak je teda funkcia spojitá na R (napríklad polynóm), nemôže mať asymptotu bezsmernice.

Príklad 4.30. Nájdime asymptoty bez smernice grafu funkcie h(x) = xx−2 .

Riešenie:Pretože D(h) = (−∞, 2) ∪ (2,∞) stačí zistiť, či existuje aspoň jednajednostranná nevlastná limita v bode a = 2. Počítame:

limx→2+

x

x− 2=∞, lim

x→2−

x

x− 2= −∞

Priamka x = 2 je asymptotou bez smernice grafu funkcie h (Obr.4.15).


-x

a

x=a

Obr. 4.14: Asymptota bez smernice x = a

Obr. 4.15: Asymptota bez smernice x = 2 z Príkladu 4.30

Príklad 4.31. Nájdime asymptoty bez smernice grafu funkcie f(x) = x. ln x.Riešenie: Pretože D(f) = (0,∞) stačí vypočítať

limx→0+

x.ln x = limx→0+

ln x1x

= limx→0+

1x

− 1x2

= limx→0+

(−x) = 0.

Funkcia nemá asymptoty bez smernice. (Obr.4.16.)

Definícia 4.8. Priamka y = kx+ q je asymptotou so smernicou grafu funkcie f,ak

limx→∞

(f(x)− kx− q) = 0 alebo limx→−∞

(f(x)− kx− q) = 0

Geometrický náčrt takejto asymptoty je na Obr.4.17. Z definície je zrejmé,že graf funkcie môže mať dve asymptoty so smernicou. Funkcia, ktorej graf máasymptoty so smernicou musí mať neohraničený definičný obor. Ak, napríklad

4.6. ASYMPTOTY GRAFU FUNKCIE 109

Obr. 4.16: Graf funkcie y = x. ln x

-

6

��

��

��

��

��

y = f(x)y = kx+ q

Obr. 4.17: Asymptota so smernicou

D(f) = 〈a, b〉, potom graf funkcie f nemôže mať asymptoty so smernicou. Eštetreba vysvetliť, ako nájsť rovnicu asymptoty so smernicou, t. j. nájsť čísla k a q.Pretože

limx→∞

1x

= 0 a limx→∞

(f(x)− kx− q) = 0

dostávame

0 = limx→∞

1x

(f(x)− k.x− q) = limx→∞

(f(x)x− k − q

x

)= lim

x→∞

(f(x)x− k)


Z toho

k = limx→∞

f(x)x

Ak poznáme smernicu asymptoty k, potom jednoducho vypočítame úsek q:

q = limx→∞

(f(x)− k.x)

Rovnako možno počítať aj pre x −→ −∞. Zhrnieme, graf funkcie f má asymptotuso smernicou y = kx+ q práve vtedy, ak existujú konečné limity

k = limx→∞

f(x)x

, q = limx→∞

(f(x)− k.x)

alebo

k = limx→−∞

f(x)x

, q = limx→−∞

(f(x)− k.x)

Príklad 4.32. Nájdite asymptoty so smernicou grafu funkcie

f(x) =3x2 − 5x+ 4

x− 2

Riešenie. D(f) = (−∞, 2) ∪ (−2,∞). Graf funkcie môže mať dve asymptoty sosmernicou. Počítame

k = limx→∞

f(x)x

= limx→∞

3x2 − 5x+ 4x2 − 2x

= 3

q = limx→∞

(f(x)− kx) = limx→∞

(3x2 − 5x+ 4

x− 2− 3x

)= lim

x→∞

x+ 4x− 2

= 1

Teda priamka y = 3x + 1 je asymptotou grafu funkcie (pre x −→ ∞). Ďalejpočítame

k = limx→−∞

f(x)x

= limx→−∞

3x2 − 5x+ 4x2 − 2x

= 3

q = limx→−∞

(f(x)− kx) = limx→−∞

(3x2 − 5x+ 4

x− 2− 3x

)= lim

x→−∞

x+ 4x− 2

= 1

Rovnaká priamka je asymptotou grafu aj pre x −→ −∞.

Cvičenie 4.17. Nájdite všetky asymptoty funkcie

f(x) =x2 + 3x− 1

x+ 2

Cvičenie 4.18. Nájdite všetky asymptoty funkcie

g(t) = t.arctg t

4.7. APROXIMÁCIA FUNKCIE TAYLOROVÝM POLYNÓMOM 111

4.7 Aproximácia funkcie Taylorovým polynómom

Anglický matematik Brook Taylor (1685–1731), škótsky matematik Colin Maclau-rin (1698–1746) a po nich taliansko–francúzsky matematik Joseph Louis Lagrange(1736–1813) dokázali, že mnohé funkcie, ktoré majú v bode a všetky derivácie,možno aproximovať polynómom. Vtedy ešte netušili, ako ich objav poznačí vývojvýpočtovej techniky. Polynóm je z hľadiska aritmetickej jednotky počítača najjed-noduchšia funkcia. Na výpočet jeho funkčných hodnôt stačia základné aritmetickéoperácie sčítania, odčítania, násobenia a delenia. Nahradenie goniometrických,cyklometrických, racionálnych, iracionálnych a ďalších funkcií polynómom umož-nilo ich zabudovanie do výbavy počítačov, dokonca aj do ručných kalkulačiek.Veľkú úlohu zohrali aj objavy predčasne zosnulého geniálneho nórskeho matema-tika Nielsa Henrika Abela (1802–1829). Polynóm, ktorý teraz uvedieme sa nazývapodľa nestora tejto myšlienky – Taylorov polynóm.

Uvažujme funkciu, ktorá má v bode a všetky derivácie. Taylorov polynómn-tého stupňa pre funkciu f so stredom v bode a nazývame funkciu (polynóm)

Tn,f,a(x) = f(a) +f ′(a)

1!(x− a) +

f ′′(a)2!

(x− a)2 + · · ·+ f (n)(a)n!

(x− a)n

Ak stred a = 0 hovoríme o Maclaurinovom polynóme.

Príklad 4.33. Napíšme Taylorov polynóm 3. stupňa a Taylorov polynóm n-téhostupňa pre funkciu

f(x) =2x

so stredom v bode a = 2. Počítajme derivácie:

f ′(x) =−2x2 , f ′′(x) =

4x3 f ′′′(x) =

−12x4 , f (n)(x) = (−1)n

2.n!xn+1

Potom

T3,f,2(x) = f(2) +f ′(2)

1!(x− 2) +

f ′′(2)2!

(x− 2)2 +f ′′′(2)

3!(x− 2)3 =

= 1− 12

(x− 2) +14

(x− 2)2 − 18

(x− 2)3

Je zrejmé, že

Tn,f,2(x) = 1− 12

(x− 2) +14

(x− 2)2 − 18

(x− 2)3 + · · ·+ (−1)n12n

(x− 2)n

Cvičenie 4.19. Napíšme Taylorov polynóm 3. stupňa a Taylorov polynóm n-téhostupňa pre funkciu

f(x) =2

x− 1

so stredom v bode a = 4.


Ak je z kontextu jasný stred a funkcia o ktorú ide, budeme namiesto Tn,f,a(x)písať len Tn(x).

Príklad 4.34. Napíšme Maclaurinov polynóm n-tého stupňa pre funkciu

f(x) = ex

Teda stred a = 0. Pretože pre funkciu f platí

f(x) = ex = f ′(x) = f ′′(x) = · · · = f (n)(x)

dostávamef(0) = 1 = f ′(0) = f ′′(0) = · · · = f (n)(0)

a hľadaný Maclaurinov polynóm má tvar

Tn(x) = 1 + x+x2

2!+x3

3!+ · · ·+ xn

n!

Treba ešte spomenúť, ako vyriešili spomínaní (a ďalší) vedci otázky:

• Pre ktoré x ∈ D(f) Taylorov polynóm aproximuje funkciu f ?

• S akou presnosťou Tn(x) aproximuje f(x) ?

Uvedieme zjednodušené odpovede na uvedené otázky. Taylorov polynóm pre fun-kciu f so stredom v bode a aproximuje funkciu f na intervale

(a− r, a+ r)

Číslo r nazývame polomer konvergencie. Pri známych funkciách ho väčšinou po-čítame

r = limn→∞

∣∣∣∣∣(n+ 1)f (n)(a)

f (n+1)(a)

∣∣∣∣∣ . (4.5)

Poznamenávame, že pripúšťame aj r = ∞. Vypočítajme polomer konvergencie rv Príklade 4.33. Počítame

r = limn→∞

∣∣∣∣∣(n+ 1)f (n)(a)

f (n+1)(a)

∣∣∣∣∣ = 2

Teda Taylorov polynóm so stredom v bode a = 2 aproximuje funkciu f(x) = 2/xna intervale (0, 4).

Riešenie problému presnosti aproximácie funkčnej hodnoty f(x) funkčnou hod-notou Taylorovho polynómu Tn(x) nie je jednoduché. Nám postačí bez dôkazunasledujúca veta, ktorú možno nájsť v odporúčanej literatúre v kapitole o neko-nečných funkcionálnych radoch.

4.7. APROXIMÁCIA FUNKCIE TAYLOROVÝM POLYNÓMOM 113

Veta 4.13. Ak existujú také čísla k > 0, d > 0, d < r, že pre každé n ∈ N a prekaždé x ∈ (a− d, a+ d), platí ∣∣∣f (n)(x)

∣∣∣ ≤ kpotom pre každé x ∈ (a− d, a+ d)

f(x) = limn→∞

Tn(x)

Z tejto vety plynie, že ak funkcia má v okolí bodu derivácie ohraničené týmistým číslom k, potom presnosť aproximácie sa zvyšuje s rastúcim stupňom Tay-lorovho polynómu. Dá sa dokázať: Ak členy Taylorovho polynómu po dosadenípríslušného argumentu striedajú znamienka (súčin susedných členov je záporný),potom člen, ktorý je menší ako požadovaná presnosť nie je potrebný. V prípade,že členy polynómu po dosadení bodu, v ktorom počítame funkčnú hodnotu, nes-triedajú znamienka je treba pripočítať ešte niekoľko členov. Pre činnosť počítačato znamená, že proces aproximácie sa končí, ak zvyšovanie stupňa Taylorovho po-lynómu už neovplyvňuje výsledok v rámci možností aritmetickej jednotky alebonastavenej presnosti.

Podmienka ohraničenosti všetkých derivácii z Vety 4.13 je splnená u väč-šiny známych funkcií. Napríklad, absolútne hodnoty goniometrických funkcií y =sin x, y = cos x a ich derivácií sú ohraničené konštantou k = 1.

V Príklade 4.34 sme našli Maclaurinov polynóm pre funkciu f(x) = ex. Náj-deme

r = limn→∞

(n+ 1)f (n)(0)

f (n+1)(0)= lim

n→∞(n+ 1) =∞

Podmienka ohraničenosti derivácií požadovaná vo Vete 4.13 je splnená, lebo fun-kcia f(x) = ex má všetky derivácie rovnaké a na každom intervale (−d, d) platí

0 < ex < ed

To znamená, že pre každé x ∈ R možno funkciu f(x) = ex aproximovať Maclauri-novým polynómom z Príkladu 4.34 s ľubobvoľnou presnosťou. Pokúsme sa taktovypočítať f(−1) = 1

e . Počítame

1 + (−1) +(−1)2

2!+

(−1)3

3!+

(−1)4

4!+

(−1)5

5!... =

1− 1 +12− 1

6+

124− 1

120+

1720

Z toho vidíme, že presnosť 0,01 nám zaručuje už sčítanie prvých 5 členov. Teda

1e

=

(12− 1

6+

124

)± 0,01


Uvedieme ešte Maclaurinove polynómy pre 2 goniometrické funkcie. Maclaurinovpolynóm pre funkciu y = sin x je vždy nepárneho stupňa (y = sin x je nepárnafunkcia) a má tvar

Tn(x) = x− x3

3!+x5

5!− x7

7!+ · · · ± xn

n!

Maclaurinov polynóm pre funkciu y = cos x je vždy párneho stupňa a má tvar

Tm(x) = 1− x2

2!+x4

4!− x6

6!+ · · · ± xm

m!

Použitím vzťahu 4.5 v oboch prípadoch dostaneme r =∞, a preto oba polynómyaproximujú príslušnú funkciu pre každé x ∈ R. Pozor, uhol x musí byť vyjadrenýv radiánoch!

Príklad 4.35. Aproximujme sin 1 použitím 4 nenulových členov Maclaurinovhopolynómu a odhadnime presnosť aproximácie. Kvôli posúdeniu presnosti použi-jeme polynóm s 5 nenulovými členmi

T9(1) = 1− 13

3!+

15

5!− 17

7!+

19

9!= 1− 1

6+

1120− 1

5040+

1362880

=

1− 0,166667 + 0,008333− 0,000198 + 0,000003

Je zrejmé, že 5. nenulový člen (a ďalšie) môžu ovplyvniť až 6. desatinné miesto.Preto

sin 1 = (1− 0,166667 + 0,008333− 0,000198)± 0,00001 = 0,84147± 0,00001

Cvičenie 4.20. Aproximujte cos 2 použitím 3 nenulových členov Maclaurinovhopolynómu a odhadnite presnosť aproximácie

Poznámka 4.6. Každý polynóm Pn(x) možno prepísať do tvaru Taylorovho poly-nómu Tn(x) so stredom v ľubovoľnom bode tak, že Pn(x) = Tn(x) pre každé x ∈ R.Tento proces možno podstatne skrátiť použitím Hornerovej schémy. Ide však leno prepis zápisu polynómu a z hľadiska aproximácie je nevýznamný.

Príklad 4.36. Napíšme Taylorov polynóm so stredom v bode a = 4 pre funkciu

P (x) = x4 − 5x3 + x2 − 3x+ 4

Ako uvidíme, koeficienty Taylorovho polynómu dostaneme ako zvyšky po opako-vanom delení polynómom x− 4 (bez derivovania). Použijeme Hornerovu schému.

1 −5 1 −3 44 1 −1 −3 −15 −56 = P (4)4 1 3 9 21 = P ′(4)4 1 7 37 = P ′′(4)/2!4 1 11 = P ′′′(4)/3!4 1 = P (4)(4)/4!

4.8. KRIVKY DANÉ PARAMETRICKY 115

Teda

P (x) = T4(x) = −56 + 21(x− 4) + 37(x− 4)2 + 11(x− 4)3 + (x− 4)4

Cvičenie 4.21. Napíšte Taylorov polynóm so stredom v bode a = −2 pre funkciu

P (x) = 2x3 + 5x2 − 4x+ 1

Poznámka 4.7. Taylorov polynóm 1. stupňa aproximuje danú funkciu f lineár-nou funkciou - dotyčnicou v bode [a, f(a)]:

y = T1(x) = f(a) + f ′(a)(x− a)

pričomf ′(a)(x− a)

je diferenciálom funkcie f v bode a pre prírastok ∆x = x− a.

4.8 Krivky dané parametricky

Pohyb hmotného bodu v rovine je možné popísať dvoma rovnicami

x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ I

Fyzikálne je možné takýto pohyb interpretovať: v čase t0 sa hmotný bod nachádzav polohe

A[ϕ(t0), ψ(t0)]

Napríklad, ak je pohyb hmotného bodu popísaný rovnicami polohy

x = 2t2 + 1, y = 4t+ 7

bude hmotný bod v čase t0 = 2 v polohe B[9, 15]. Trajektória pohybu je súvisláčiara, a preto je prirodzené predpokladať, že ϕ(t) a ψ(t) sú spojité funkcie naintervale I.

Definícia 4.9. Nech funkcie ϕ(t), a ψ(t) sú spojité na intervale I. Potom mno-žinu bodov

[ϕ(t), ψ(t)], t ∈ I

nazývame krivkou (čiarou) danou parametricky. Premennú t nazývame paramet-rom.

Takto možno opisovať aj krivky, ktoré nie sú grafom funkcie (viac bodov môžemať rovnakú x-ovú súradnicu, čo na grafe funkcie nie je možné). Uvedieme naj-známejšie krivky dané parametricky:


• Priamku možno popísať parametrickými rovnicami

x = x0 + at, y = y0 + bt, t ∈ I

Úsečku s koncovými bodmi A[xA, yA], B[xB, yB] popisujeme

x = xA + (xB − xA)t, y = yA + (yB − yA)t, t ∈ 〈0, 1〉

• Kružnicu s polomerom r so stredom v bode S[x0, y0] popisujeme paramet-rickými rovnicami

x = x0 + r cos t, y = y0 + r sin t, t ∈ 〈0, 2π〉.

• Elipsu s polosami a, b, so stredom v bode S[x0, y0] (Obr.4.18) popisujemeparametrickými rovnicami

x = x0 + a cos t, y = y0 + b sin t, t ∈ 〈0, 2π〉.

Obr. 4.18: Elipsa so stredom S[4, 3] a poloosami a = 3, b = 2

• Cykloida je krivka, ktorú opisuje pevný bod kružnice s polomerom r prikotúľaní po priamke (Obr.4.19). Jej parametrické rovnice sú

x = r(t− sin t), y = r(1− cos t). t ∈ R


Obr. 4.19: Vetva cykloidy pre r = 2, t ∈ 〈0, 2π〉.

• Asteroida je krivka, ktorú opisuje pevný bod kružnice s polomerom r = a4

pri kotúľaní po kružnici s polomerom a z vnútornej strany (Obr.4.20). Jejparametrické rovnice sú

x = a. cos3 t, y = a. sin3 t. t ∈ 〈0, 2π〉

Obr. 4.20: Asteroida, pre a = 1


Ak pre parameter t0 existujú derivácie ϕ′(t0), ψ′(t0), potom vektor

~v(t0) =(ϕ′(t0), ψ′(t0)

)je dotykový vektor ku krivke danej parametricky v bode T [ϕ(t0), ψ(t0)] (Obr.4.21).Ak krivka je trajektóriou pohybu, vektor ~v(t0) je vektorom rýchlosti v čase t0.

��1qT ~v(t0)

Obr. 4.21: ~v(t0) = [ϕ′(t0), ψ′(t0)] je dotykový vektor

Ak ϕ′(t0) 6= 0 dotyčnica ku krivke danej parametricky v bode T má smernicu

k =ψ′(t0)ϕ′(t0)

To znamená, že v okolí bodu T je krivka grafom funkcie f , ktorej derivácia v bodex0 = ϕ(t0) je

f ′(x0) =ψ′(t0)ϕ′(t0)

Takúto funkciu nazývame funkciou danou parametricky.

Poznámka 4.8. Podobne, ak existujú ϕ′′(t0), ψ′′(t0), možno vypočítať aj druhúderiváciu funkcie danej parametricky v bode x0 = ϕ(t0):

f ′′(x0) =ψ′′(t0)ϕ′(t0)− ψ′(t0)ϕ′′(t0)

(ϕ′(t0))3

Príklad 4.37. Nájdime prvú a druhú deriváciu funkcie, danej parametricky rov-nicami

x = 2(t− sin t), y = 2(1− cos t)

v bode, ktorého parameter je t0 = 3π2 .

Riešenie. x0 = ϕ(t0) = 2(3π2 + 1). Počítame

f ′(x0) =ψ′(t0)ϕ′(t0)

=ψ′(3π

2 )

ϕ′(3π2 )

=

[2 sin t

2(1− cos t)

]t= 3π2

= −1


f ′′(x0) =ψ′′(t0)ϕ′(t0)− ψ′(t0)ϕ′′(t0)

(ϕ′(t0))3 =

=

[2(1− cos t).2. cos t− 2 sin t.2 cos t

23(1− cos t)3

]t= 3π2

= −12

Príklad 4.38. Napíšte rovnicu dotyčnice ku krivke danej parametricky

x = 2t5 − 3t2 + 3, y = 3t2 + 2t− 4

v bode ktorého parameter je t0 = 1.Riešenie. Dotykový bod je T [2, 1]. Smernica dotyčnice je

k =ψ′(t0)ϕ′(t0)

=ψ′(1)ϕ′(1)

=

[6t+ 2

10t4 − 6t

]t=1

= 2

Rovnica dotyčnice je

y − 1 = 2(x− 2), alebo y = 2x− 3

Príklad 4.39. Rovnice polohy pohybujúceho sa bodu sú

x = 2t5 − 3t2 + 3, y = 3t2 + 2t− 4

kde t je čas (pozri Obr. 4.21.) Nájdime vektor rýchlosti v čase t0 = 1.Riešenie. V čase t0 = 1 sa hmotný bod nachádza v polohe T [2, 1]. Jeho vektorrýchlosti v tomto čase

~v(t0) = (ϕ′(t0), ψ′(t0)) = (10t− 6t, 6t+ 2)t=1 = (4, 8)

Obr. 4.22: Vektor rýchlosti z Príkladu 4.39

Cvičenie 4.22. Napíšte rovnicu dotyčnice ku krivke danej parametricky rovni-cami

x =3

cos t, y = −2tg t

v bode, ktorého parameter je t = π4 .



• 4.1 h′(a) = limx→ah(x)−h(a)

x−a = limx→ax3+2−a3−2

x−a = 3a2.

• 4.2 y − 4 = 2√

3(x− π6 ).

• 4.3 0.

• 4.4 −(4 + 2t).tg(4t+ t2).

• 4.5 u′(t) = (t2 + 1)t(

ln(t2 + 1) + 2t2

t2+1

).

• 4.6 f (n)(x) = (−1)ne−t(t− n).

• 4.7 12.

• 4.8 1.

• 4.9 1.

• 4.10 sin 31o.= sin 300 + cos 300. π180

.= 0,515.

• 4.11 P = 9± 2 . 3 . 0.2 = 9± 1,2.

• 4.12 (−∞, 1〉 rastie, 〈1,∞) klesá.

• 4.13 (−∞,−√

3〉, 〈0,√

3〉 – konkávna, 〈−√

3, 0〉, 〈√

3,∞) – konvexná.

• 4.5.3 1, −2 ±√

3.

• 4.15 [0, 0]-lokálne minimum,[2, 4

e2

]-lokálne maximum.

• 4.16 z =√

2.

• 4.17 x = −2 - asymptota bez smernice, y = x+1 – asymptota so smernicou.

• 4.18 y = π2 t− 1 – asymptota so smernicou.

• 4.19 T3,f,4 = 23 −

29(x− 4) + 2

27(x− 4)2 − 281(x− 4)3.

• 4.20 cos 2.= 1 + 22

2! + 244! −

266! = −19

45 .

• 4.21 P (x) = 13− 7(x+ 2)2 + 2(x+ 2)3.

• 4.22 y + 2 = 43√

2

(x− 6√

3

).

Kapitola 5

NEURČITÝ INTEGRÁL

5.1 Definícia neurčitého integrálu

V predošlej kapitole sme počítali derivácie funkcií a používali ich na riešenierôznych problémov. V tejto kapitole sa budeme zaoberať opačným problémom.Budeme hľadať funkcie, ktorých derivácie poznáme. Ak v predošlej kapitole smez rovnice dráhy s = s(t) hmotného bodu pohybujúceho sa po priamke, vedeli určiťokamžitú rýchlosť, v(t) = s′(t), teraz budeme hľadať rovnicu dráhy, ak poznámerýchlosť. Tento proces „antiderivácieÿ budeme nazývať integrovanie. Znova pri-pomíname, že namiesto vyjadrenia „funkcia f daná predpisom y = f(x)ÿ budemečasto jednoducho používať „funkcia f(x)ÿ.

Definícia 5.1. Funkciu F definovanú na otvorenom intervale J nazývame primi-tívnou funkciou k funkcii f na intervale J, ak pre každé x ∈ J platí

F ′(x) = f(x)

Poznamenajme, že primitívna funkcia F má na intervale J deriváciu, a pretoje tam spojitá. Primitívna funkcia k funkcii danej predpisom

f(x) = sin x

na intervale (−∞,∞) je funkcia F (x) = − cos x, lebo

F ′(x) = (− cos x)′ = sin x = f(x)

Je tiež zrejmé, že aj každá funkcia s predpisom

H(x) = F (x) + C = − cos x+ C

kde C je ľubovoľná konštanta, je tiež primitívna funkcia k funkcii f, lebo

(− cos x+ C)′ = sin x

Vzniká otázka, či takto možno získať všetky primitívne funkcie k danej funkcii f.V nasledujúcej vete ukážeme, že áno.

121

122 KAPITOLA 5. NEURČITÝ INTEGRÁL

Veta 5.1. Ak F a G sú primitívne funkcie k rovnakej funkcii f na otvorenomintervale J , potom existuje taká konštanta C ∈ R, že

F (x) = G(x) + C

pre každé x ∈ J.

Dôkaz: Z definície primitívnej funkcie vyplýva, že na intervale J platí

F ′ = G′ = f

Označme H(x) = F (x)−G(x). Potom pre každé x ∈ J

H ′(x) = F ′(x)−G′(x) = f(x)− f(x) = 0

Funkcia H má v každom bode intervalu J deriváciu (rovnú nule), a preto je tamspojitá. Ukážeme, že na intervale J musí byť konštantná, t.j. H(x) = C pre každéx ∈ J. Vezmime ľubovoľné x1, x2 ∈ J. Funkcia f spĺňa na intervale 〈x1, x2〉predpoklady Lagrangeovej vety, a preto existuje c ∈ (x1, x2) tak, že

H(x2)−H(x1) = H ′(c)(x2 − x1) = 0

Z toho plynie, že H(x1) = H(x2); všetky funkčné hodnoty na intervale J sarovnajú.2

Z vety plynie, že každé dve primitívne funkcie k danej funkcii na danom inter-vale sa líšia len o konštantu. To znamená, že ak poznáme jednu primitívnu funkciuk danej funkcii na danom intervale, potom poznáme všetky primitívne funkcie ktejto funkcii.

Definícia 5.2. Množinu všetkých primitívnych funkcií k danej funkcii f na ot-vorenom intervale J nazývame neurčitým integrálom funkcie f na intervale J aznačíme ∫

f(x) dx

Skrátene budeme hovoriť „integrál funkcie fÿ alebo „integrál z funkcie fÿ.Neurčitý integrál je teda množina funkcií líšiacich sa o konštantu (pozri Obr.5.1).Z predošlej vety vyplýva, že∫

f(x) dx = {F (x) + C : C ∈ R}

kde F je ľubovoľná primitívna funkcia k funkcii f a C je ľubovoľná konštanta.Budeme zapisovať ∫

f(x) dx = F (x) + C

Teda ∫sin x dx = − cos x+ C

5.1. DEFINÍCIA NEURČITÉHO INTEGRÁLU 123

-

6

x

y

F

Obr. 5.1: Primitívne funkcie k tej istej funkci f sa líšia len o konštantu

Prirodzená je otázka, či ku každej funkcii definovanej na intervale J existuje primi-tívna funkcia a teda i neurčitý integrál. Odpoveď je záporná. Napríklad k funkcii

f(x) =

{0 pre x 6= 02 pre x = 0

definovanej na (−∞,∞) neexistuje taká funkcia F , aby F ′ = f . Ak by F exis-tovala, musela by byť spojitá (lebo má deriváciu) na (−∞,∞) a konštantná na(−∞, 0), (0,∞), a preto by musela byť konštantná na (−∞,∞), t.j. F = konst.Potom však, F ′ = 0 6= f. Dá sa však očakávať, že platí nasledujúca veta. Uvediemeju bez dôkazu.

Veta 5.2. Ak funkcia f je spojitá na otvorenom intervale J , potom k nej existujena intervale J primitívna funkcia.

Proces hľadania primitívnych funkcií k danej funkcii f nazývame integrova-ním funkcie f . Ako uvidíme, je to ťažší proces ako derivovanie funkcie. Priamo zdefinície neurčitého integrálu plynie, že(∫

f(x) dx

)′= f(x)

pre každé x ∈ J. Preto integrovanie sa niekedy nazýva „antideriváciouÿ. Je tiežzrejmé, že ak funkcia f má na intervale J deriváciu, ktorej neurčitý integrál exis-tuje, potom ∫

f ′(x) dx = f(x) + C

teda operácie derivovania a integrovania sú navzájom „inverzné.ÿ Základné vzorcepre integrovanie získame priamo zo základných vzorcov pre deriváciu (s hodnotamipremennej x, pre ktoré majú výrazy zmysel):

124 KAPITOLA 5. NEURČITÝ INTEGRÁL∫xr dx = xr+1

r+1 + C, kde r ∈ R, r 6= −1,

∫1x dx = ln |x|+ C,∫

sin x dx = − cos x+ C,∫cos x dx = sin x+ C,∫

ex dx = ex + C,∫ax dx = ax

ln a + C, kde a > 0, a 6= 1∫1√

1−x2 dx = arcsin x+ C,

∫1

1+x2 dx = arctg x+ C,

∫1

cos2 x dx = tg x+ C,∫1

sin2 xdx = −cotg x+ C,

Vzorce možno jednoducho dokázať tak, že deriváciou výsledku dostaneme in-tegrovanú funkciu. Dokážeme, napríklad, 2. vzorec. Pre x > 0 platí ln |x| = ln x,a preto

(ln |x|+ C)′ = (ln x+ C)′ =1x.

Pre x < 0 platí ln |x| = ln (−x), a potom

(ln |x|+ C)′ = (ln(−x) + C)′ =1−x

.(−1) =1x.

5.2 Základné vlastnosti

Rovnakým spôsobom ako základné vzorce možno dokázať aj nasledujúcu vetu.

Veta 5.3. Ak existujú neurčité integrály∫f(x) dx,

∫g(x) dx, potom

1.∫k.f(x) dx = k

∫f(x) dx, k ∈ R

5.3. SUBSTITUČNÁ METÓDA 125

2.∫

(f(x) + g(x)) dx =∫f(x) dx+

∫g(x) dx

Z vety plynie, že∫

(f(x)− g(x)) dx =∫f(x) dx−

∫g(x) dx.

Príklad 5.1.∫ (3√x− 5 sin x+

4

sin2 x+ 5x2 − 3

)dx = 2

√x3 +5 cos x+4tg x+

5x3

3−3x+C

Cvičenie 5.1. Nájdite ∫ (t2 + 5t − 1√

t− 6t

)dt

Musíme sklamať čitateľov, ktorí očakávajú vetu alebo vzorce o integrácii sú-činu a podielu funkcií. Bohužiaľ, také vzorce neexistujú. To je hlavný dôvod, prečoje integrácia náročnejšia ako derivácia. V ďalších odsekoch uvedieme niektoré me-tódy, pomocou ktorých možno integrovať aj niektoré súčiny a podiely funkcií.

5.3 Substitučná metóda

Najčastejšie používanou metódou integrácie je substitučná metóda. Je dôsledkomvety o derivácii zloženej funkcie. Nech F ′(u) = f(u) na intervale (α, β). Teda∫

f(u)du = F (u) + C

Nech u = ϕ(x) a pre každé x ∈ (a, b) je u = ϕ(x) ∈ (α, β). Potom

(F (ϕ(x)))′ = F ′(u).ϕ′(x) = f(u).ϕ′(x) = f (ϕ(x)) .ϕ′(x)

alebo(F (ϕ(x)))′ = f (ϕ(x)) .ϕ′(x)

Integráciou dostaneme (C = 0)

F (ϕ(x)) =∫f (ϕ(x)) .ϕ′(x) dx

Dokázali sme nasledujúcu vetu.

Veta 5.4. Nech u = ϕ(x) má spojitú deriváciu na intervale (a, b) a nech pre každéx ∈ (a, b) je u = ϕ(x) ∈ (α, β). Nech funkcia F (u) je primitívna funkcia k spojitejfunkcii f(u) na intervale (α, β). Potom∫

f (ϕ(x)) .ϕ′(x) dx = F (ϕ(x)) + C


Vetu budeme používať v nasledujúcej forme∫f (ϕ(x)) .ϕ′(x) dx =

[ϕ(x) = uϕ′(x) dx = du

]=∫f(u) du (5.1)

Na výpočet diferenciálu du = ϕ′(x) dx sme využili vzťah (4.1) z predošlej kapitoly.Teda substitučnú metódu používame na integráciu súčinu dvoch funkcií, ak druháfunkcia je deriváciou vnútornej zložky prvej funkcie. Použitie tejto metódy mázmysel, ak vieme nájsť

∫f(u) du.

Príklad 5.2.∫ √1 + x2.2x dx =

[1 + x2 = u2x dx = du

]=∫ √

udu =23

√u3 + C =

23

√(1 + x2)3 + C

Príklad 5.3. ∫sin(1 + 5x) dx =

15

∫5. sin(1 + 5x) dx =[

5x+ 1 = u5 dx = du

]=

15

∫sin udu = −1

5cos u+ C = −1

5cos(5x+ 1) + C

Príklad 5.4.∫cos t

sin4 tdt =

[sin t = ucos t dt = du

]=∫

1u4 du = − 1

3u3 + C = − 1

3 sin3 t+ C

Príklad 5.5. ∫1

9 +m2 dm =19

∫1

1 + m2

9

dm =

[m3 = z

13 dm = dz

]=

19

∫3 dz

1 + z2 =13

arctg z + C =13

arctgm

3+ C

Často sa stretávame s integrálmi typu∫g′(x)g(x)

dx =∫

(g(x))−1 .g′(x) dx

Ide o integráciu súčinu, v ktorom je druhá funkcia deriváciou vnútornej zložkyprvej funkcie. Preto∫

g′(x)g(x)

dx =∫

(g(x))−1 .g′(x) dx =

[g(x) = ug′(x)dx = du

]=∫

1u

du = ln|u|+ C = ln |g(x)|+ C

Teda primitívna funkcia podielu funkcií, v ktorom je čitateľ deriváciou menovateľa,je prirodzený logaritmus absolútnej hodnoty menovateľa:

5.4. METÓDA PER PARTES 127∫ g′(x)g(x) dx = ln |g(x)|+ C,

Príklad 5.6. ∫x2

x3 + 5dx =

13

∫3x2

x3 + 5dx =

13

ln∣∣x3 + 5

∣∣+ C

Príklad 5.7. Podobne ako v predošlom príklade nájdeme integrály:

1.∫

tg x dx =∫

sin xcos x dx = − ln |cos x|+ C

2.∫

cotg x dx =∫

cos xsin x dx = ln |sin x|+ C

Cvičenie 5.2. Nájdite neurčité integrály

1.∫x. 4√x2 + 1 dx,

2.∫

sin 2xcos2 x dx,

Poznámka 5.1. Vzťah (5.1) možno použiť aj opačným smerom. Napríklad, prex > 0∫

11 +√x

dx =

∣∣∣∣∣∣x = u2√x = u

dx = 2udu

∣∣∣∣∣∣ =∫

2u1 + u

du =∫ (

2− 21 + u

)du =

2u− 2 ln|u+ 1|+ C = 2√x− 2 ln |

√x+ 1|+ C

5.4 Metóda per partes

Integráciou vzorca pre deriváciu súčinu funkcií

(u(x).v(x))′ = u′(x).v(x) + u(x).v′(x)

dostávame ďalšiu možnosť hľadania neurčitých integrálov niektorých súčinov fun-kcií. Po integrácii

u(x).v(x) =∫u′(x).v(x) dx+

∫u(x).v′(x) dx

Veta 5.5. Nech funkcie u, v majú na intervale (a, b) spojité derivácie. Potom∫u′(x).v(x) dx = u(x).v(x)−

∫u(x).v′(x) dx

Túto metódu nazývame per partes (po častiach). Je úspešná najmä pri integ-rácii súčinu goniometrických alebo exponenciálnych funkcií s polynómom (u′ =goniometrická alebo exponenciálna funkcia) a tiež pri integrácii súčinu cyklomet-rických alebo logaritmických funkcií s polynómom (u′=polynóm).


Príklad 5.8. Nasledujúce integrály vypočítame metódou per partes

1. ∫x. cos x dx =

∣∣∣∣ u′(x) = cos x; v(x) = xu(x) = sin x; v′(x) = 1

∣∣∣∣ =

x. sin x−∫

sin x dx = x. sin x+ cos x+ C

2. ∫x2e−x dx =

∣∣∣∣ u′(x) = e−x; v(x) = x2

u(x) = −e−x; v′(x) = 2x

∣∣∣∣ =

−x2e−x + 2∫x.e−x dx =

∣∣∣∣ u′(x) = e−x; v(x) = xu(x) = −e−x; v′(x) = 1

∣∣∣∣ =

−x2e−x + 2

(−x.e−x +

∫e−x dx

)= −x2e−x − 2x.e−x − 2e−x + C

3. ∫x2arctg x dx =

∣∣∣∣∣ u′(x) = x2; v(x) = arctg xu(x) = x3

3 ; v′(x) = 11+x2

∣∣∣∣∣ =

x3

3arctg x−

∫x3

3(1 + x2)dx =

x3

3arctg x− 1

3

∫x3 + x− xx2 + 1

dx =

x3

3arctg x− 1

3

∫ (x− x

x2 + 1

)dx =

x3

3arctg x− 1

6x2 +

16

∫2x

x2 + 1dx =

x3

3arctg x− 1

6x2 +

16

ln(1 + x2) + C

4. ∫ln x dx =

∣∣∣∣ u′(x) = 1; v(x) = ln xu(x) = x; v′(x) = 1

x

∣∣∣∣ = x ln x−∫

1 dx =

x ln x− x+ C

Cvičenie 5.3. Nájdite neurčité integrály

1.∫x2 sin x dx

2.∫t2 ln t dt

3.∫

arcsin s ds

4.∫e−2zz3 dz

5.5. INTEGRÁLY RACIONÁLNYCH FUNKCIÍ 129

5.5 Integrály racionálnych funkcií

Racionálnou funkciou nazývame funkciu R(x), ktorá je podielom polynómov, t. j.

R(x) =Pn(x)Qm(x)

kde Pn(x) je polynóm n-tého stupňa s reálnymi koeficientami a Qm(x) je polynómm-tého stupňa s reálnymi koeficientami. Racionálna funkcia je definovaná prevšetky reálne čísla, ktoré nie sú nulovými bodmi polynómu Qm(x). Ak n < m,funkciu R(x) nazývame rýdzo racionálnou funkciou. Ak racionálna funkcia R(x)nie je rýdzo racionálna, n ≥ m, potom možno polynóm Pn(x) deliť polynómomQm(x) a R(x) napísať v tvare

R(x) =Pn(x)Qm(x)

= Un−m(x) +Zr(x)Qm(x)

kde polynóm Un−m(x) je výsledok delenia (stupňa n−m) a Zr(x) je zvyšok delenia(stupňa menšieho ako m). Teda, R(x) možno napísať ako súčet polynómu a rýdzoracionálnej funkcie. Napríklad racionálnu funkciu

R(x) =4x5 + 6x3 + x2 + 5x+ 1

x2 + 1

možno napísať v tvare

R(x) =4x5 + 6x3 + x2 + 5x+ 1

x2 + 1= 4x3 + 2x+ 1 +

3xx2 + 1

lebo 4x3 + 2x+ 1 je výsledok delenia a 3x je zvyšok delenia. Podobne

3x2 + 4x+ 4x2 + x+ 2

= 3 +x− 2

x2 + x+ 2

Našim cieľom je integrovať racionálne funkcie. Pretože polynómy integrovať vieme,stačí sa naučiť integrovať rýdzo racionálne funkcie.

5.5.1 Rozklad na parciálne zlomky

V tomto odseku ukážeme, že každú rýdzo racionálnu funkciu možno napísať vtvare súčtu špeciálnych rýdzo racionálnych funkcií, ktoré nazývame parciálnezlomky. Rýdzo racionálne funkcie nasledujúcich 4 typov nazývame parciálne zlom-ky.

1. typ:A

ax+ b

kde A, a, b ∈ R, a 6= 0


2. typA

(ax+ b)k

kde A, a, b ∈ R, a 6= 0, k ∈ {2, 3, 4, . . . } .

3. typMx+N

ax2 + bx+ c

kde M,N, a, b, c ∈ R, a 6= 0, b2 − 4ac < 0.

4. typMx+N

(ax2 + bx+ c)k

kde M,N, a, b, c ∈ R, a 6= 0, b2 − 4ac < 0, k ∈ {2, 3, 4, . . . }

Napríklad

32x− 1

,3x− 2

x2 + 2x+ 2,

2(x2 − 3x+ 8)3 ,

3xx2 + 2x+ 4

sú parciálne zlomky, ale3x+ 2

x2 + 2x− 2,

1x2 − 4

nie sú parciálne zlomky. Nasledujúcu vetu uvedieme bez dôkazu.

Veta 5.6. Každú rýdzo racionálnu funkciu možno vyjadriť ako súčet konečnéhopočtu parciálnych zlomkov.

Veta neuvádza spôsob ako rýdzo racionálnu funkciu vyjadriť v tvare súčtuparciálnych zlomkov. Z 1. kapitoly vieme, že každý polynóm s reálnymi koeficien-tami je možné napísať ako súčin polynómov 1. stupňa s reálnymi koeficientami apolynómov druhého stupňa s reálnymi koeficientami a zápornym diskriminantom.Teda polynóm Qm(x) v menovateli rýdzo racionálnej funkcie možno napísaťv tvare

Qm(x) = a0(x−α1)k1(x−α2)k2 . . . (x−αr)kr(x2 + p1x+ q1)t1 . . . (x2 + psx+ qs)ts

kde všetky polynómy 2. stupňa majú záporný diskriminant (komplexné korene),a0 6= 0, k1 +k2 + · · ·+kr+2(t1 + · · ·+ ts) = m. Poznamenajme, že proces rozkladupolynómu Qm(x) nemusí byť jednoduchý. Dá sa dokázať, že rýdzo racionálnufunkciu

R(x) =Pn(x)Qm(x)

možno vyjadriť v tvare

Pn(x)Qm(x)

=A1

x− α1+

A2

(x− α1)2 + · · ·+ Ak1(x− α1)k1

+ . . .


+B1

x− α2+

B2

(x− α2)2 + · · ·+ Bk2(x− α2)k2

+ . . .

+M1x+N1

x2 + p1x+ q1+

M2x+N2

(x2 + p1x+ q1)2 + · · ·+ Mt1x+Nt1

(x2 + p1x+ q1)t1+ . . .

Príslušných m konštánt v čitateľoch parciálnych zlomkov vypočítame tak, že po-slednú rovnosť vynásobíme spoločným menovateľom Qm(x). Dostaneme rovnosť2 polynómov, ktorá má platiť pre každé x ∈ R. Preto sa musia rovnať koeficientypri rovnakých mocninách premennej x. Ich porovnaním dostaneme sústavu mlineárnych rovníc s m neznámymi.

Príklad 5.9. Rozložme na parciálne zlomky rýdzo racionálnu funkciu

5x− 7x2 − 3x+ 2

Uvedená funkcia nie je parciálny zlomok, pretože polynóm v menovateli má kladnýdiskriminant. Pretože x2 − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2), očakávame, že pre každéx ∈ R− {1, 2} platí

5x− 7(x− 1)(x− 2)

=A

x− 1+

B

x− 2

Vynásobením spoločným menovateľom dostaneme

5x− 7 = A(x− 2) +B(x− 1)

alebo5x− 7 = (A+B)x− 2A−B

Porovnaním koefcientov získame sústavu lineárnych rovníc.

A+B = 5, −2A−B = −7

Jej riešením dostaneme A = 2, B = 3. Teda pre každé x ∈ R− {1, 2} platí

5x− 7x2 − 3x+ 2

=2

x− 1+

3x− 2


z + 3(z + 1)3

Hľadáme konštanty A,B,C tak, aby

z + 3(z + 1)3 =

A

(z + 1)3 +B

(z + 1)2 +C

(z + 1)

Vynásobením spoločným menovateľom (z + 1)3 dostaneme

z + 3 = A+B(z + 1) + C(z + 1)2


Porovnaním koeficientov dostaneme rovnice:

A+B + C = 3, B + 2C = 1, C = 0

a z tohoA = 2, B = 1, C = 0

Tedaz + 3

(z + 1)3 =2

(z + 1)3 +1

(z + 1)2


x2 + 1x3 + x2 − x− 1

Rozložíme menovateľa

x3 + x2 − x− 1 = (x+ 1)2(x− 1)

Očakávame, že pre každé x ∈ R− {1,−1} platí

x2 + 1(x+ 1)2(x− 1)

=A

x+ 1+

B

(x+ 1)2 +C

x− 1

Z tohox2 + 1 = A(x+ 1)(x− 1) +B(x− 1) + C(x+ 1)2

alebox2 + 1 = (A+ C)x2 + (B + 2C)x+ (−A−B + C)

Porovnaním koeficientov dostaneme sústavu lineárnych rovníc:

A+ C = 1, B + 2C = 0 −A−B + C = 1

Jej riešením dostaneme A = C = 12 , B = −1. Teda pre každé x ∈ R − {−1, 1}

platíx2 + 1

x3 + x2 − x− 1=

12

x+ 1+

−1(x+ 1)2 +

12

x− 1


3x3 + 6x2 + x+ 2(x+ 1)2(x2 + 1)

Očakávame

3x3 + 6x2 + x+ 2(x+ 1)2(x2 + 1)

=A

x+ 1+

B

(x+ 1)2 +Mx+N

x2 + 1

Z toho

3x3 + 6x2 + x+ 2 = A(x+ 1)(x2 + 1) +B(x2 + 1) + C(x+ 1)2


Porovnaním koeficientov dostaneme A = 1, B = 2, M = 2, N = −1, a preto prekaždé x ∈ R− {−1} platí

3x3 + 6x2 + x+ 2(x+ 1)2(x2 + 1)

=1

x+ 1+

2(x+ 1)2 +

2x− 1x2 + 1

Cvičenie 5.4. Rozložte na parciálne zlomky

1. 27(x−1)3(x+2)

2. 24x2−15x+71x3−x2+4x−4

3. 4x2−16x+12(x−2)2(x2−2x+2)

5.5.2 Integrovanie parciálnych zlomkov

Už vieme ako rozložiť rýdzo racionálnu funkciu na súčet parciálnych zlomkov.Integrovať takúto funkciu znamená nájsť integrály parciálnych zlomkov. V tomtoodseku ukážeme, ako integrovať parciálne zlomky. Pripomeňme si, že poznáme 4typy parciálnych zlomkov (pozri predošlý odsek).

Parciálne zlomky 1. a 2. typu možno jednoducho integrovať pomocou substi-túcie ax+ b = u.

Príklad 5.13. Vypočítajme integrály parciálnych zlomkov:

1.∫

23x+1 dx = 2

3

∫3

3x+1 dx = 23 ln |3x+ 1|+ C

2.∫

1(4x−1)3 dx =

∣∣∣∣ 4x− 1 = u4 dx = du

∣∣∣∣ = 14

∫1u3

du = − 18u2 +C = − 1

8(4x−1)2 +C

Neurčité integrály parciálnych zlomkov 3. typu možno vhodnou úpravou pre-viesť na súčet integrálov:∫

Mx+N

ax2 + bx+ cdx = k1

∫2ax+ b

ax2 + bx+ cdx+ k2

∫1

ax2 + bx+ cdx =

k1 ln∣∣ax2 + bx+ c

∣∣+ k2

∫1

ax2 + bx+ cdx

Integrál

I∗ =∫

1ax2 + bx+ c

dx

možno vhodnou úpravou (doplnením na úplný štvorec) a lineárnou substitúcioupreviesť na integrál ∫

11 + u2 du = arctg u+ C

alebo použiť tabuľky neurčitých integrálov. V nich nájdete (pre D = b2−4ac < 0):

I∗ =∫

1ax2 + bx+ c

dx =2√−D

arctg2ax+ b√−D

+ C (5.2)


Príklad 5.14. Vypočítajme neurčitý integrál∫5x+ 2

x2 + 2x+ 10dx

Riešenie:∫5x+ 2

x2 + 2x+ 10dx =

52

∫2x+ 4

5

x2 + 2x+ 10dx =

52

∫2x+ 2− 6

5

x2 + 2x+ 10dx =

52

∫2x+ 2

x2 + 2x+ 10dx− 3

∫1

x2 + 2x+ 10dx =

52I1 − 3I2

kdeI1 = ln

∣∣x2 + 2x+ 10∣∣+ C1

Pri výpočte integrálu I2 použijeme (5.2) alebo doplníme menovateľa na úplný štvo-rec: ∫

1x2 + 2x+ 10

dx =∫

1x2 + 2x+ 1 + 9

dx =∫

1(x+ 1)2 + 9

dx =

19

∫1(

x+13

)2+ 1

dx =

∣∣∣∣ x+13 = u

13dx = du

∣∣∣∣ =19

∫3

u2 + 1du =

13

arctg u+ C2 =13

arctgx+ 1

3+ C2

Teda (C1 + C2 = C)∫5x+ 2

x2 + 2x+ 10dx =

52I1 − 3I2 =

52ln∣∣x2 + 2x+ 10

∣∣− arctgx+ 1

3+ C

Cvičenie 5.5. Vypočítajte neurčitý integrál∫6x− 10

x2 + 2x+ 5dx

Neurčité integrály parciálnych zlomkov 4. typu možno tiež vhodnou úpravoupreviesť na súčet integrálov:∫

Mx+N

(ax2 + bx+ c)kdx = k1

∫2ax+ b

(ax2 + bx+ c)kdx+ k2

∫1

(ax2 + bx+ c)kdx =

k1I + k2Ik

Integrál I možno riešit substitúciou:

I =∫

2ax+ b

(ax2 + bx+ c)kdx =

∣∣∣∣ ax2 + bx+ c = u(2ax+ b)dx = du

∣∣∣∣ =∫

1uk

du =

u−k+1

−k + 1+ C1 =

(ax2 + bx+ c)−k+1

−k + 1+ C1


Neurčitý integrál

Ik =∫

1(ax2 + bx+ c)k

dx

možno použitím rekurentného vzorca:

Ik =−2ax− b

(k − 1)(b2 − 4ac)(ax2 + bx+ c)k−1 −2(2k − 3)a

(k − 1)(b2 − 4ac)Ik−1. (5.3)

previesť na súčet racionálnej funkcie a násobku integrálu Ik−1, k = 2, 3, . . . Pri-pomíname, že I1 = I∗ (Pozri (5.2).)

Príklad 5.15. Vypočítajme neurčitý integrál∫x+ 3

(x2 + 2x+ 2)3 dx

Riešenie: ∫x+ 3

(x2 + 2x+ 2)3 dx =12

∫2x+ 2 + 4

(x2 + 2x+ 2)3 dx =

12

∫2x+ 2

(x2 + 2x+ 2)3 dx+ 2∫

1(x2 + 2x+ 2)3 dx =

12I + 2I3

kde

I =∫

2x+ 2(x2 + 2x+ 2)3 dx =

∣∣∣∣ x2 + 2x+ 2 = u(2x+ 2)dx = du

∣∣∣∣ =∫

1u3 du =

− 12u2 + C1 = − 1

2(x2 + 2x+ 2)2 + C1

Na výpočet I3 opakovane použijeme rekurentný vzorec (5.3) a vzorec (5.2) prevýpočet I∗

I3 =∫

1(x2 + 2x+ 2)3 dx =

−2x− 22(−4)(x2 + 2x+ 2)2−

2.32.(−4)

∫1

(x2 + 2x+ 2)2 dx =

x+ 14(x2 + 2x+ 2)2 +

34

{−2x− 2

(−4)(x2 + 2x+ 2)− 2−4

∫1

x2 + 2x+ 2dx

}=

x+ 14(x2 + 2x+ 2)2 +

3x+ 38(x2 + 2x+ 2)

+38

arctg(x+ 1) + C2

Teda ∫x+ 3

(x2 + 2x+ 2)3 dx =12I + 2I3 =

−14(x2 + 2x+ 2)2 +

x+ 12(x2 + 2x+ 2)2 +

3x+ 34(x2 + 2x+ 2)

+34

arctg(x+ 1) + C


Príklad 5.16. Vypočítajme neurčitý integrál∫t− 6

(t2 + 4)2 dt

Riešenie: ∫t− 6

(t2 + 4)2 dt =∫

t

(t2 + 4)2 dt−∫

6(t2 + 4)2 dt =

12

∫2t

(t2 + 4)2 dt− 6∫

1(t2 + 4)2 dt =

12I − 6I2

kde

I =∫

2t(t2 + 4)2 dt =

∣∣∣∣ t2 + 4 = z2tdt = dz

∣∣∣∣ =∫

1z2 dz = −1

z+ C1 = − 1

t2 + 4+ C1

Na výpočet I2 použijeme rekurentný vzorec (5.3) a vzorec (5.2) pre výpočet I∗

I2 =∫

1(t2 + 4)2 dt =

−2t(−16)(t2 + 4)

− 2−16

∫1

t2 + 4dt =

t

8(t2 + 4)+

116

arctgt

2+C2

Teda ∫t− 6

(t2 + 4)2 dt = − 12(t2 + 4)

− 3t4(t2 + 4)

− 38arctg

t

2+ C

Cvičenie 5.6. Vypočítajte neurčitý integrál∫3x+ 2

(x2 + 2x+ 2)2 dx

Cvičenie 5.7. Vypočítajte neurčitý integrál∫8

(z2 + 1)3 dz

5.5.3 Niektoré ďalšie integrály

Už vieme, že každú racionálnu funkciu možno vyjadriť ako súčet polynómu a par-ciálnych zlomkov. Naučili sme sa integrovať parciálne zlomky. To znamená, ževieme integrovať racionálne funkcie. Zopakujeme, že proces integrácie racionálnejfunkcie R(x) = Pn(x)

Qm(x) pozostáva z nasledujúcich krokov:

1. Ak n ≥ m, delenie

Pn(x)Qm(x)

= Un−m(x) +Zr(x)Qm(x)

,

kde r < m.

2. Rozklad polynómu Qm(x) na polynómy 1. stupňa (koreňové činitele) a po-lynómy 2. stupňa so záporným diskriminantom (súčin koreňových činiteľovkomplexne združených komplexných koreňov).


3. Rozklad rýdzo racionálnej funkcie Zr(x)Qm(x) na parciálne zlomky.

4. Integrovanie súčtu polynómu Un−m(x) a parciálnych zlomkov.

Ukážeme to na nasledujúcom príklade. Vypočítame neurčitý integrál∫−3x4 + 3x3 − 6x2 + 8x− 8

x3 − x2 + x+ 1dx

Teda, integrujeme funkciu

R(x) =−3x4 + 3x3 − 6x2 + 8x− 8

x3 − x2 + x+ 1

1. Pretože n = 4 > 3 = m, delíme

−3x4 + 3x3 − 6x2 + 8x− 8x3 − x2 + x+ 1

= −3x+−3x2 + 5x− 8x3 − x2 + x− 1

2. Rozložíme polynóm v menovateli:

x3 − x2 + x+ 1 = (x2 + 1)(x− 1)

3. Rýdzo racionálnu funkciu −3x2+5x−8x3−x2+x−1 rozložíme na parciálne zlomky:

−3x2 + 5x− 8(x2 + 1)(x− 1)

=5

x2 + 1− 3x− 1

4. ∫−3x4 + 3x3 − 6x2 + 8x− 8

x3 − x2 + x+ 1dx =

∫ (−3x+

5x2 + 1

− 3x− 1

)dx =

−3x2

2+ 5 arctg x− 3 ln |x− 1|+ C

Príklad 5.17. Vypočítajme neurčitý integrál∫x4 − x3 + 6x2 − x+ 5x3 − x2 + 4x− 4

dx

Delením polynómov dostaneme:

x4 − x3 + 6x2 − x+ 5x3 − x2 + 4x− 4

= x+2x2 − 2x+ 5

x3 − x2 + 4x− 4

Rozložíme menovateľa: Pretože α = 1 je koreň, dostaneme

x3 − x2 + 4x− 4 = (x− 1)(x2 + 4)


Polynóm x2 + 4 nemá reálne korene. Rozkladáme na parciálne zlomky:

2x2 − 2x+ 5(x− 1)(x2 + 4)

=A

x− 1+Mx+N

x2 + 4

Vynásobme spoločným menovateľom:

2x2 − 2x+ 5 = A(x2 + 4) + (Mx+N)(x− 1)

Porovnaním koeficientov dostaneme, že A = M = 1, N = −1.∫x4 − x3 + 6x2 − x+ 5x3 − x2 + 4x− 4

dx =∫ (

x+1

x− 1+

x− 1x2 + 4

)=x2

2+ ln |x− 1|+

12

∫2x

x2 + 4dx−

∫1

x2 + 4dx =

x2

2+ ln |x− 1|+ 1

2ln |x2 + 4| − 1

2arctg

x

2+ C

Cvičenie 5.8. Vypočítajte neurčitý integrál∫3x4 + 13x3 + 59x2 + 81x+ 2

(1 + 3x)(x2 + 2x+ 10)dx

Mnoho ďalších integrálov možno vhodnou substitúciou previesť na integrál raci-onálnej funkcie. Napríklad

∫ √x

3√x+ 1

dx =

∣∣∣∣∣∣x = t6

6√x = t

dx = 6t5 dt

∣∣∣∣∣∣ =∫

t3

t2 + 16t5 dt = 6

∫t8

t2 + 1dt =

∫ (t6 − t4 + t2 − 1 +

1t2 + 1

)dt =

t7

7− t5

5+t3

3− t+ arctg t+ C =

6√x7

7−

6√x5

5+

6√x3

3− 6√x+ arctg 6

√x+ C

Cvičenie 5.9. Vypočítajte neurčitý integrál∫2x

√x− 1x+ 1

dx

Návod: Položte:

u =

√x− 1x+ 1

vypočítajte x, dx a dostanete neurčitý integrál racionálnej funkcie s argumentomu.


Integrály typu ∫sinm x. cosn x dx

kde m,n ∈ N, možno riešiť jednoducho, ak aspoň jedno z čísel m,n je nepárne.Použitím základného vzorca goniometrie

sin2 x+ cos2 x = 1

a substitúciou t = sin x alebo t = cos x dostávame integrál polynómu v premennejt.

Príklad 5.18. Vypočítajme neurčitý integrál∫sin4 x. cos3 x dx =

∫sin4 x. cos2 x. cos x dx =

∫sin4 x.(1− sin2 x). cos x dx =

∣∣∣∣ sin x = tcos x dx = dt

∣∣∣∣ =∫t4(1− t2)dt =

t5

5− t7

7+ C =

sin5 x

5− sin7 x

7+ C

Cvičenie 5.10. Vypočítajte neurčitý integrál∫sin5 x. cos4 x dx

Integrály typu ∫sinm xcosn x

dx

kde m,n ∈ N, možno tiež riešiť jednoducho, ak aspoň jedno z čísel m,n je nepárne.Použitím základného vzorca goniometrie sin2 x+cos2 x = 1 a substitúcie t = sin xalebo t = cos x dostávame integrál racionálnej funkcie s argumentom t.

Príklad 5.19. Vypočítajme neurčitý integrál∫sin3 x

cos2 xdx =

∫(1− cos2 x) sin x

cos2 xdx =

∣∣∣∣ cos x = t− sin x dx = dt

∣∣∣∣ = −∫

1− t2

t2dt =

−∫ (

t−2 − 1)

dt =1t

+ t+ C =1

cos x+ cos x+ C

Cvičenie 5.11. Vypočítajte neurčitý integrál∫sin2 x

cos xdx



• 5.1 t3

3 + 5tln 5 − 2

√t− 3t2 + C.

• 5.2

1. 254√

(t2 + 1)5 + C.

2. − ln(cos2 x

)+ C.

• 5.3

1. 2x sin x+ (2− x2) cos x+ C.

2. (−1+3 ln t)t3

9 + C.

3.√

1− s2 + s. arcsin s+ C.

4. −2z2+2z+14 e−2z + C.

• 5.4

1. 9(x−1)3 −

3(x−1)2 + 1

x−1 −1

x+2 .

2. 16x−1 + 8x−7

x2+4 .

3. −2(x−2)2 + 2

x−2 + 6−2xx2−2x+2 .

• 5.5 −8 arctgx+12 + ln(x2 + 2x+ 5) + C.

• 5.6 − x+42x2+4x+4 −

arctg(x+1)2 + C.

• 5.7 2z(z2+1)2 + 3z

z2+1 + 3 arctg z + C.

• 5.8 2x+ x2

2 − arctg x+13 −

23 ln |3x+ 1|+ 5

2 ln |x2 + 2x+ 10|+ C.

• 5.9 4 arcsin√

x−12 − 4 arctg

√x−1x+1 + C.

• 5.10 − cos5 x5 + 2 cos7 x

7 − cos9 x9 + C.

• 5.11 − sin x+ 12 ln

∣∣∣1+sin xsin x−1

∣∣∣+ C.

Kapitola 6

URČITÝ INTEGRÁL

Na strednej škole sme sa naučili vypočítať plošné obsahy niektorých rovinných út-varov, napríklad trojuholníka, štvorca, obdĺžnika, kosodĺžnika, kruhu. S výnimkoukruhu išlo o rovinné útvary ohraničené priamkami. V tejto kapitole sa naučíme vy-počítať aj plošné obsahy rovinných útvarov ohraničených krivkami, najmä grafmifunkcií. Vhodnými priamkovými rezmi je možné dosiahnuť, že stačí počítať plošnéobsahy útvarov, ktoré nazveme krivočiarymi lichobežníkmi. Krivočiary lichobež-ník L (Obr.6.1) je rovinný útvar ohraničený čiarami x = a, x = b, y = 0, y = f(x),kde a < b, f je nezáporná funkcia definovaná a spojitá na intervale 〈a, b〉. Skrátene

L = {[x, y] : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}

x

y

a b-

6

f

Obr. 6.1: Krivočiary lichobežník ohraničený čiarami x = a, x = b, y = 0, y = f(x)

Pokúsime sa vypočítať plošný obsah P krivočiareho lichobežníka. Rozdeľmeinterval 〈a, b〉 na n intervalov s rovnakou dĺžkou deliacimi bodmi:

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b

141

142 KAPITOLA 6. URČITÝ INTEGRÁL

Označme

∆x =b− an

= xi − xi−1

pre i = 1, 2, 3, . . . , n. Spočítajme plošné obsahy n obdĺžnikov so šírkou ∆x a výš-kami rovnajúcimi sa funkčným hodnotám v ľubovolnom bode intervalov 〈xi−1, xi〉.Dostaneme číslo

Rn(f) = f(c1).∆x+ f(c2).∆x+ f(c3).∆x+ · · ·+ f(cn).∆x =n∑i=1

f(ci).∆x

kde ci ∈ 〈xi−1, xi〉 pre i = 1, 2, 3...., n. Teda Rn(f) je plocha stupňovitého mnoho-uholníka (pozri Obr.6.2.)

x

y

a bx1 x2 x3 xn−1c1 c2-

6

f

Obr. 6.2: Plošný obsah stupňovitého mnohouholníka aproximuje plošný obsahkrivočiareho lichobežníka

Je zrejmé, že vhodným výberom bodov ci ∈ 〈xi−1, xi〉, možno dosiahnuť, abyobdĺžniky boli príslušným krivočiarym lichobežníkom vpísané alebo opísané. ČísloRn(f) sa nemusí rovnať plošnému obsahu krivočiarého lichobežníka, ale je zrejmé,že s rastúcim počtom n, deliacich bodov, sa čísla Rn(f) približujú k skutočnémuplošnému obsahu P krivočiarého lichobežníka, t. j.

P = limn→∞

Rn(f)

Príklad 6.1. Vypočítajme plošný obsah krivočiarého lichobežníka

L = {[x, y] : 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ ex}

Rozdelíme interval 〈1, 2〉 na n intervalov s rovnakou dĺžkou ∆x = 1n , deliacimi

bodmi

1 < 1 +1n< 1 +

2n< · · · < 1 +

n

n= 2

6.1. DEFINÍCIA URČITÉHO INTEGRÁLU 143

V každom intervale

〈xi−1, xi〉 =

⟨1 +

i− 1n

, 1 +i

n

⟩vyberieme bod ci tak, že ci = 1 + i

n (pravý deliaci bod), i = 1, 2, 3, . . . n. Pretožefunkcia f(x) = ex je rastúca, zostrojené obdĺžniky so stranami ∆x a f(ci) súopísané príslušným krivočiarym lichobežníkom Počítajme

Rn(f) = f(c1).∆x+ f(c2).∆x+ · · ·+ f(cn).∆x =

1n

(e1+ 1

n + e1+ 2n + · · ·+ e1+n

n

)=e

n

(e1n + e

2n + · · ·+ e

nn

)=

e

ne1n

1− e1− e

1n

= e(1− e) e1n

n(1− e1n )

Použili sme vzorec pre súčet prvých n členov geometrickej postupnosti s kvocien-tom e

1n . Potom

P = limn→∞

Rn(f) = limn→∞

e(1− e) e1n

n(1− e1n )

Pretoželimn→∞

e1n = 1

pomocou L’Hospitalovho pravidla dostaneme:

P = e(1− e) limn→∞

1

n(1− e1n )

= e(1− e) limn→∞

1n

1− e1n

=

e(1− e) limn→∞

−1n2

e1n

1n2

= e(e− 1)

Motivovaní úvahou o výpočte plošného obsahu krivočiareho lichobežníka po-mocou limity obsahov stupňovitých mnohouholníkov, definujeme v nasledujúcomodseku určitý integrál.

6.1 Definícia určitého integrálu

V tomto odseku budeme definovať Riemannov určitý integrál pre funkciu f na in-tervale 〈a, b〉, ktorý je podmnožinou definičného oboru tejto funkcie. Funkcia tamnemusí byť nezáporná ani spojitá. Uvedieme zjednodušenú formu Riemannovejdefinície určitého integrálu (V pôvodnej definícii interval nemusel byť rozdelenýna intervaly rovnakej dĺžky). Nech teda 〈a, b〉 ⊂ D(f), a < b, n je prirodzené číslo.Súčet

Rn(f) = f(c1).∆x+ f(c2).∆x+ f(c3).∆x+ · · ·+ f(cn).∆x = ∆x.n∑i=1

f(ci)


kde ∆x = b−an , xi = a + i.∆x, ci ∈ 〈xi−1, xi〉, pre i = 0, 1, 2, 3...., n, nazývame

Riemannov integrálny súčet pre funkciu f na intervale 〈a, b〉. Je zrejmé, že takýchtosúčtov pre dané n môže byť nekonečne veľa, pretože za ci možno vybrať ľubovoľnýbod z intervalu 〈xi−1, xi〉.

Definícia 6.1. Ak postupnosť {Rn(f)}∞n=1 Riemannových integrálnych súčtov naintervale 〈a, b〉 je pre každý výber bodov ci ∈ 〈xi−1, xi〉 konvergentná a má rovnakúlimitu I, potom toto číslo I nazývame Riemannovým určitým integrálom funkcief na intervale 〈a, b〉. Označujeme

b∫a

f(x) dx

Funkciu f nazývame integrovateľnou na intervale 〈a, b〉.

Skrátene, namiesto „Riemannov určitý integrálÿ a „Riemannove integrálnesúčtyÿ budeme používať len označenia určitý integrál a integrálne súčty. Na rozdielod neurčitého integrálu, určitý integrál je číslo

I =

b∫a

f(x) dx = limn→∞

Rn(f)

ak táto limita existuje. Číslo a nazývame dolnou hranicou, číslo b hornou hra-nicou integrálu. Vzniká otázka, ktoré funkcie sú integrovateľné. V nasledujúcichvetách (bez dôkazu) budeme aspoň čiastočne charakterizovať triedu integrovateľ-ných funkcií.

Veta 6.1. Ak funkcia f je na 〈a, b〉 spojitá, potom existujeb∫af(x) dx.

Veta 6.2. Ak funkcia f je na 〈a, b〉 ohraničená a je tam spojitá s výnimkou

konečného počtu bodov, potom existujeb∫af(x) dx.

Z Vety 6.1 a z Príkladu 6.1 plynie, že

2∫1

ex dx = e(e− 1)

V nasledujúcom príklade uvedieme funkciu, ktorá nie je integrovateľná na žiadnomintervale.

Príklad 6.2. Dirichletova funkcia je definovaná pre každé reálne číslo takto:

f(x) =

{1 ak x ∈ Q0 inde

6.2. VLASTNOSTI URČITÉHO INTEGRÁLU A METÓDY VÝPOČTU 145

kde Q je množina všetkých racionálnych čísel. Vieme, že medzi každými dvomaracionálnymi číslami existuje nekonečne veľa iracionálnych čísel a medzi každýmidvoma iracionálnymi číslami existuje nekonečne veľa racionálnych čísel. Ak prizostavovaní Riemannových integrálnych súčtov na intervale 〈a, b〉 používame lenracionálne čísla ci, dostaneme, že f(ci) = 1 a pre všetky Riemannove súčty platí:Rn(f) = b− a, a teda aj

limn→∞

Rn(f) = b− a

Ak pri výbere ci použijeme len iracionálne čísla, dostaneme: Rn(f) = 0 pre každén ∈ N, a teda aj

limn→∞

Rn(f) = 0

Dostali sme 2 postupnosti Riemannových integrálnych súčtov Dirichletovej funkciena intervale 〈a, b〉, ktorých limity sa nerovnajú. Dirichletova funkcia nie je na〈a, b〉 integrovateľná.

Cvičenie 6.1. Priamo z definície dokážte, že

2∫0

x2 dx = 8/3.

Pomôcka: 12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1).

6.2 Vlastnosti určitého integrálu a metódy výpočtu

Definovali sme určitý integrál na intervale 〈a, b〉, kde a < b. Definíciu možnodoplniť aj pre prípad, že a ≥ b tak, že

a∫a

f(x) dx = 0,

b∫a

f(x) dx = −a∫b

f(x) dx

aka∫b

f(x) dx existuje. Ďalšie vlastnosti vyplývajú priamo z definície určitého in-

tegrálu. Uvedieme ich v nasledujúcej vete.

Veta 6.3. Ak existujú integrályb∫af(x) dx,

b∫ag(x) dx, k1, k2 sú reálne čísla, potom

existuje integrálb∫a

(k1f(x) + k2g(x)) dx a platí

b∫a

(k1f(x) + k2g(x)) dx = k1

b∫a

f(x) dx+ k2

b∫a

g(x) dx


Dôkaz. Označme h(x) = k1f(x) + k2g(x). Potom

Rn(h) = Rn(k1f + k2g) = ∆x.n∑i=1

h(ci) = ∆x.n∑i=1

(k1f(ci) + k2g(ci)) =

k1∆x.n∑i=1

f(ci) + k2∆x.n∑i=1

g(ci) = k1Rn(f)(x) + k2Rn(g)

Z toho plynie

b∫a

(k1f(x) + k2g(x)) dx =

b∫a

h(x) dx = limn→∞

Rn(h) =

k1 limn→∞

Rn(f) + k2 limn→∞

Rn(g) = k1

b∫a

f(x) dx+ k2

b∫a

g(x) dx.2

Z vety plynie, že pre každé k ∈ R a existujúce integrály platí

b∫a

kf(x) dx = k

b∫a

f(x) dx,

b∫a

(f(x)− g(x)) dx =

b∫a

f(x) dx−b∫a

g(x) dx

Ďalšia veta hovorí o vlastnosti určitého integrálu, ktorú nazývame aditivita. Vetunebudeme dokazovať.

x

y

a b c-

6

f

Obr. 6.3: Aditivita určitého integrálu

Veta 6.4. Nech a, b, c patria do intervalu, na ktorom existuje určitý integrál fun-kcie f. Potom

c∫a

f(x) dx =

b∫a

f(x) dx+

c∫b

g(x) dx


Ak a < b < c a funkcia f je integrovateľná a kladná na intervale 〈a, b〉, vetumožno jednoducho geometricky interpretovať pomocou plošných obsahov krivo-čiarych lichobežníkov (pozri Obr.6.3.)

Vetu 6.4 používame najmä vtedy, ak je funkcia definovaná rôznymi predpismina rôznych intervaloch (pozri Príklad 6.4).

6.2.1 Newtonov-Leibnizov vzorec

Určitý integrál sme definovali pomocou limity integrálnych súčtov. Avšak, výpo-čet určitého integrálu pomocou limity integrálnych súčtov je značne namáhavý(Príklad 6.1). Nasledujúca Newtonova-Leibnizova veta umožňuje vypočítať určitýintegrál jednoduchšie, pomocou primitívnej funkcie (neurčitého integrálu).

Veta 6.5. (Newtonova-Leibnizova) Nech existujeb∫af(x) dx, nech F je spojitá na

〈a, b〉 a primitívna funkcia k funkcii f na intervale (a, b), potom

b∫a

f(x) dx = F (b)− F (a).

Dôkaz. Rozdeľme interval na 〈a, b〉 na n intervalov s rovnakou dĺžkou deliacimibodmi

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b

Funkcia F spojitá na 〈a, b〉 a je primitívna funkcia k funkcii f na (a, b). To zna-mená, že funkcia F spĺňa predpoklady Lagrangeovej vety na každom intervale〈xi−1, xi〉. Teda pre i = 1, 2, . . . , n

F (xi)− F (xi−1) = F ′(ci)(xi − xi−1) = f(ci).∆x

kde ci ∈ (xi−1, xi). Sčítaním predošlých rovníc (pre i = 1, 2, . . . , n) dostaneme

F (x1)− F (a) + F (x2)− F (x1) + F (x3)− F (x2) + · · ·+ F (b)− F (xn−1) =

f(c1)∆x+ f(c2)∆x+ f(c3)∆x+ · · ·+ f(cn)∆x

Výraz na pravej strane je Riemannov integrálny súčet funkcie f na intervale 〈a, b〉.Dostávame

F (b)− F (a) = Rn(f)

Pretožeb∫af(x) dx existuje, limitou postupností na oboch stranách (vľavo je kon-

štantná postupnosť) dostaneme:

F (b)− F (a) =

b∫a

f(x) dx. 2


Formálne, Newtonovu-Leibnizovu vetu používame nasledujúcim spôsobom:

b∫a

f(x) dx = [F (x)]ba = F (b)− F (a)

Tento vzorec nazývame Newtonov-Leibnizov vzorec. Ešte si všimnime: ak použi-jeme namiesto primitívnej funkcie F inú primitívnu funkciu F +C, kde C je kon-štanta, dostaneme Newtonovým-Leibnizovým vzorcom rovnaký výsledok. Tedaintegračnú konštantu C netreba v Newtonovom-Leibnizovom vzorci uvádzať.

Príklad 6.3. Pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca vypočítajmeπ∫

0

(2x+ sin x) dx

Riešenie:π∫

0

(2x+ sin x) dx =[x2 − cos x

]π0 = π2 + 2

Príklad 6.4. Vypočítajme4∫

2

|x− 3|dx

Riešenie. Použijeme aditivitu integrálu (Veta 6.4) a Newtonovu-Leibnizovu vetu(Veta 6.5):

4∫2

|x− 3|dx =

3∫2

|x− 3| dx+

4∫3

|x− 3| dx =

3∫2

(3− x) dx+

4∫3

(x− 3) dx =

[3x− x2

2

]3

2+

[x2

2− 3x

]4

3= 1

Cvičenie 6.2. Pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca vypočítajtee∫

1

1x

dx

6.2.2 Veta o strednej hodnote

Určité integrály počítame pomocou neurčitého integrálu. Možný je aj opačný po-stup. Pre funkciu f spojitú na intervale 〈a, b〉 možno nájsť primitívnu funkciu Fpomocou určitého integrálu:

F (x) =

x∫a

f(t) dt, x ∈ 〈a, b〉


Nazývame ju funkciou hornej hranice. Dá sa dokázať, že F ′ = f na intervale(a, b), F ′+(a) = f(a), F ′−(b) = f(b). Teda F je taká primitívna funkcia k funkciif , pre ktorú platí, že F (a) = 0. Funkcia F spĺňa na intervale 〈a, b〉 predpokladyLagrangeovej vety, a preto existuje c ∈ (a, b) tak, že

b∫a

f(x) dx = F (b)− F (a) = F ′(c)(b− a) = f(c)(b− a)

To dokazuje nasledujúcu vetu.

Veta 6.6. (Veta o strednej hodnote). Nech funkcia f je spojitá na intervale 〈a, b〉.Potom existuje také c ∈ (a, b), že

b∫a

f(x) dx = f(c)(b− a)

Hodnotu

f(c) =1

b− a

b∫a

f(x) dx

nazývame strednou hodnotou spojitej funkcie na intervale 〈a, b〉.

Strednú hodnotu možno vypočítať aj pre funkcie, ktoré nie sú spojité na in-tervale 〈a, b〉, ale existuje tam ich určitý integrál. Potom stredná hodnota funkcief na intervale 〈a, b〉 je číslo

µ =1

b− a

b∫a

f(x) dx

Číslo µ nemusí byť funkčná hodnota v žiadnom bode intervalu 〈a, b〉.Geometrická interpretácia strednej hodnoty nezápornej spojitej funkcie f na

intervale 〈a, b〉 je zrejmá z Obr.6.4. Plošný obsah krivočiareho lichobežníka jerovnaký ako plocha obdĺžnika s výškou f(c) a šírkou b − a. Je tiež zrejmé, žestrednú hodnotu môže funkcia nadobúdať vo viacerých bodoch intervalu (a, b).

Príklad 6.5. Nájdime strednú hodnotu funkcie f(x) = x2 na intervale 〈−1, 1〉.Riešenie:

f(c) =12

1∫−1

x2 dx =12

[x3

3

]1

−1=

13

Príklad 6.6. Okamžité hodnoty intenzity a napätia striedavého prúdu, ak prúdje vo fáze s napätím, sú dané rovnicami:

u(t) = U0 sin(ωt), i(t) = I0 sin(ωt),


x

y

a bc

f(c)

-

6

f

Obr. 6.4: f(c) je stredná hodnota funkcie f na intervale 〈a, b〉.

kde I0, U0 sú ich maximálne hodnoty (amplitúdy) a konštanta ω je uhlová rýchlosť.Meracie prístroje (napríklad tepelné) merajú hodnoty, ktoré sa nazývajú efektívnea značia Uef , Ief . Efektívna hodnota intenzity Ief zodpovedá takej hodnote inten-zity jednosmerného prúdu, pri prechode ktorého daným rezistorom s odporom R sauvolní za rovnaký čas rovnaké množstvo energie (tepla), ako by sa uvoľnilo pri pre-chode striedavého prúdu týmto rezistorom. Okamžitý výkon takéhoto striedavéhoprúdu je daný vzťahom

p(t) = u.i = R.i2 = R.I20 sin2 ωt

a jeho práca v časovom intervale 〈0, T 〉 (T = πω je perióda p(t)) je:

W =

T∫0

p(t) dt = RI20

T∫0

sin2(ωt)dt

Z matematického hľadiska hľadáme takú hodnotu Ief , aby

RI2efT =

T∫0

p(t) dt

Teda, číslo RI2ef je strednou hodnotou funkcie p(t) na intervale 〈0, T 〉, t. j.

RI2ef =

1TRI2

0

T∫0

sin2(ωt) dt

PretožeT∫0

sin2(ωt) dt = T2 , dostaneme

2I2ef = I2

0


a z toho

Ief =I0√

2

Cvičenie 6.3. Vypočítajte strednú hodnotu funkcie

h(t) =2

1 + t2

na intervale 〈−1, 1〉.

6.2.3 Substitučná metóda

Určité integrály funkcií, ktorých neurčitý integrál hľadáme substitučnou metódou,možno vypočítať rýchlejšie tak, že priebežne vypočítame aj hranice zodpovedajúcenovej premennej. Vetu uvedieme bez dôkazu.

Veta 6.7. Nech funkcie ϕ(x) a ϕ′(x) sú spojité na 〈a, b〉 a funkcia f je spojitá naobore hodnôt funkcie ϕ. Potom

b∫a

f(ϕ(x)).ϕ′(x) dx =

ϕ(b)∫ϕ(a)

f(t) dt


0

x2√

1 + x3 dx

Položme u = ϕ(x) = 1 + x3. Potom ϕ(0) = 1, ϕ(2) = 9, 3x2 dx = du. Tedax2 dx = 1

3 du, a preto

2∫0

x2√

1 + x3 dx =13

9∫1

√udu =

13

[23

√u3

]9

1=

29

(27− 1) =529

Príklad 6.8. Vypočítajmeπ2∫

0

sin2 z. cos z dz

Položme t = sin z. Potom sin 0 = 0,sinπ2 = 1, cos z dz = dt. Dostávame

π2∫

0

sin2 z. cos z dz =

1∫0

t2 dt =

[t3

3

]1

0=

13


Cvičenie 6.4. Vypočítajtee∫

1

ln x

xdx

Poznámka 6.1. Ak existujea∫−af(x) dx a f je párna funkcia, potom je zrejmé, že

a∫−a

f(x) dx = 2

a∫0

f(x) dx

Ak f je nepárna aa∫−af(x) dx existuje, potom

a∫−a

f(x) dx = 0

Príklad 6.9.2∫−2

x3

2 + 5x2 dx = 0

lebo funkcia f(x) = x3

2+5x2 je spojitá a nepárna na intervale 〈−2, 2〉.


π∫−π

(1 + sin5 t. cos t) dt

Poznámka 6.2. Ak existuje určitý integrál funkcie f(x) = u′(x).v(x) na intervale〈a, b〉 a jej neurčitý integrál počítame metódou per partes, môžeme (ale nemusíme)hranice dosádzať v priebehu výpočtu tak, že

b∫a

u′(x).v(x) dx = [u(x).v(x)]ba −b∫a

u(x).v′(x) dx

Príklad 6.10. Počítajmeπ∫0x. cos x dx. Označíme u′(x) = cos x, v(x) = x.

Potom

π∫0

x. cos x dx = [x. sin x]π0 −π∫

0

sin x dx = 0− [− cos x]π0 = −2

6.3. NEVLASTNÉ INTEGRÁLY 153

Iná možnosť: Vypočítame∫x. cos x dx = x. sin x+ cos x+ C a potom

π∫0

x. cos x dx = [x. sin x+ cos x]π0 = −2

Cvičenie 6.6. Vypočítajte1∫

0

x.arctg x dx

6.3 Nevlastné integrály

Určitý integrál sme definovali pre funkcie definované na uzavretom intervale 〈a, b〉.V tomto odseku rožšírime definíciu určitého integrálu aj pre funkcie definované naintervaloch nekonečnej dĺžky a tiež pre niektoré funkcie, ktoré nie sú definovanév niektorom hraničnom bode intervalu 〈a, b〉 a nie sú ohraničené.

6.3.1 Nevlastný integrál na neohraničenom intervale

Nech je funkcia f definovaná na intervale 〈a,∞) a nech existujeb∫af(x) dx pre

každé b > a. Ak existuje vlastná (konečná) limita

limb→∞

b∫a

f(x) dx

nazývame ju nevlastným integrálom funkcie f na intervale 〈a,∞) a zapisujeme∞∫af(x) dx. Teda

∞∫a

f(x) dx = limb→∞

b∫a

f(x) dx

Ak nevlastný integrál existuje, hovoríme tiež, že nevlastný integrál konverguje.V opačnom prípade, hovoríme, že diverguje (Obr.6.5). Podobne, nech je funkciadefinovaná na intervale (−∞, b〉 a nech existujeb∫af(x) dx pre každé a < b. Ak existuje limita

lima→−∞

b∫a

f(x) dx


x

y

a b-

6

f

-

Obr. 6.5: Nevlastný integrál na neohraničenom intervale

nazývame ju nevlastným integrálom funkcie f na intervale (−∞, b〉 a zapisujemeb∫−∞

f(x) dx. Teda

b∫−∞

f(x) dx = lima→−∞

b∫a

f(x) dx

Ak je funkcia definovaná na intervale (−∞,∞) a pre nejaké k ∈ R existujú ne-

vlastné integrály∞∫k

f(x) dx ak∫−∞

f(x) dx, potom hovoríme, že existuje nevlastný

integrál∞∫−∞

f(x) dx a definujeme ho vzťahom

∞∫−∞

f(x) dx =

k∫−∞

f(x) dx+

∞∫k

f(x) dx

Dá sa dokázať, že ak existuje∞∫−∞

f(x) dx, potom pre každé p ∈ R existujú ne-

vlastné integrály∞∫pf(x) dx a

p∫−∞

f(x) dx a platí

∞∫−∞

f(x) dx =

p∫−∞

f(x) dx+

∞∫p

f(x) dx

Príklad 6.11. Vypočítajme∞∫

0

xe−x2

dx


Riešenie:

Obr. 6.6: Počítaná plocha z príkladu 6.11

Substitúciou t = −x2 nájdeme neurčitý integrál∫xe−x

2dx = −1

2e−x

2+ C

Potomb∫

0

xe−x2

dx =

[−1

2e−x

2]b

0= −1

2e−b

2+

12

a preto∞∫

0

xe−x2

dx = limb→∞

(−1

2e−b

2+

12

)=

12.

Príklad 6.12. Vypočítajme∞∫

1

1s

ds

Riešenie:

∞∫1

1s

ds = limb→∞

b∫1

1s

ds = limb→∞

[ln s]b1 = limb→∞

(ln b) =∞


Nevlastný integrál∞∫1

1s ds neexistuje (diverguje).

Príklad 6.13. Vypočítajme∞∫−∞

11 + x2 dx

Riešenie: (Obr.6.7):

Obr. 6.7: Počítaná plocha z príkladu 6.13

∞∫0

11 + x2 dx = lim

b→∞

b∫0

11 + x2 dx = lim

b→∞[arctg x]b0 =

π

2

Pretože funkcia f(x) = 11+x2 je párna, platí

0∫−∞

11 + x2 dx =

π

2

Teda

∞∫−∞

11 + x2 dx =

0∫−∞

11 + x2 dx+

∞∫0

11 + x2 dx =

π

2+π

2= π



1.∞∫1

1x+x2 dx.

2.0∫−∞

1t2+t+1 dt.

3.∞∫−∞

e−|x| dx.

6.3.2 Nevlastný integrál neohraničenej funkcie

Uvažujme funkciu f , ktorá je definovaná na intervale 〈a, b), nie je ohraničenáv nejakom okolí bodu b a je integrovateľná na každom intervale 〈a, c〉 , pre každéc ∈ (a, b) (Obr.6.8.) Ak existuje vlastná (konečná) limita

limc→b−

c∫a

f(x) dx

nazývame ju nevlastným integrálom neohraničenej funkcie f na intervale 〈a, b〉 .Teda

b∫a

f(x) dx = limc→b−

c∫a

f(x) dx.

Hovoríme tiež, že nevlastný integrál neohraničenej funkcie f na intervale 〈a, b〉konverguje (diverguje).

x

y

a bc-

6

-f

Obr. 6.8: Nevlastný integrál neohraničenej funkcie

Podobne, uvažujme funkciu f , ktorá je definovaná na intervale (a, b〉, je neo-hraničená v nejakom okolí bodu a a je integrovateľná na každom intervale 〈c, b〉,


pre každé c ∈ (a, b). Ak existuje vlastná (konečná) limita

limc→a+

b∫c

f(x) dx

nazývame ju nevlastným integrálom funkcie f na intervale 〈a, b〉 . Teda

b∫a

f(x) dx = limc→a+

b∫c

f(x) dx.


0

1x

dx

Riešenie. Funkcia f(x) = 1x je spojitá a teda integrovateľná na každom intervale

〈c, 1〉, kde c ∈ (0, 1) a nie je ohraničená v okolí bodu 0. Počítame

1∫0

1x

dx = limc→0+

1∫c

1x

dx = limc→0+

[ln x]1c = limc→0+

(− ln c) =∞

Nevlastný integrál neexistuje (diverguje).

Ak je funkcia f neohraničená v okolí oboch bodov a, b a pre nejaké t ∈ (a, b)

existujú nevlastné integrályt∫af(x) dx a

b∫t

f(x) dx, potom

b∫a

f(x) dx =

t∫a

f(x) dx+

b∫t

f(x) dx

nazývame nevlastným integrálom funkcie f na intervale 〈a, b〉.

Príklad 6.15. Vypočítajme1∫−1

2√1− x2

dx

Riešenie. Funkcia f(x) = 2√1−x2 je spojitá a teda integrovateľná na každom inter-

vale 〈0, c〉, kde c ∈ (0, 1) a nie je ohraničená v okolí bodu 1. Počítame

1∫0

2√1− x2

dx = limc→1−

c∫0

2√1− x2

dx = 2 limc→1−

[arcsin x]c0 =

6.4. NIEKTORÉ APLIKÁCIE URČITÉHO INTEGRÁLU 159

2 limc→1−

arcsin(c) = 2 arcsin(1) = π

Je zrejmé, že funkcia f je párna, a preto

0∫−1

2√1− x2

dx = π

Teda1∫−1

2√1− x2

dx =

0∫−1

2√1− x2

dx+

1∫0

2√1− x2

dx = π + π = 2π

Nevlastný integrál existuje (konverguje).

Poznámka 6.3. Dá sa dokázať, že nevlastný integrál

1∫0

1xp

dx

existuje práve vtedy, ak p < 1 a nevlastný integrál∞∫

1

1xp

dx

existuje práve vtedy, ak p > 1. Teda1∫0

1√x

dx existuje (konverguje), ale∞∫1

1√x

dx

neexistuje (diverguje.)


1.2∫1

1x−2dx

2.1∫0

1t ln tdt

3.2∫0

13√x−2

dx

6.4 Niektoré aplikácie určitého integrálu

6.4.1 Obsah rovinnej plochy

Na začiatku tejto kapitoly sme motivovali zavedenie určitého integrálu tak, žeurčitý integrál nezápornej spojitej funkcie na intervale 〈a, b〉 je plošný obsah kri-vočiareho lichobežníka

L = {[x, y] : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}


Teda

PL =

b∫a

f(x) dx

Uvažujme rovinný útvar M ohraničený priamkami x = a, x = b, a < b a grafmispojitých funkcií f a g definovaných na intervale 〈a, b〉 tak, že

0 ≤ g(x) ≤ f(x)

pre každé x ∈ 〈a, b〉. Teda (Obr.6.9 hore).

M = {[x, y] : a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ f(x)}

Obr. 6.9: Elementárna oblasť

Ak g ≥ 0, potom plošný obsah elementárnej oblasti M je rozdielom plošnýchobsahov krivočiarych lichobežníkov

L1 = {[x, y] : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}

aL2 = {[x, y] : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ g(x)}

TedaPM = PL1 − PL2


Dostávame

PM =

b∫a

(f(x)− g(x)) dx

Ľahko sa možno presvedčiť, že tento vzorec platí aj keď k funkciám f, g pripo-čítame rovnakú kladnú alebo zápornú konštantu C ( Obr.6.9 dole) To znamená,že funkcie f a g nemusia byť nezáporné na intervale 〈a, b〉. Teda uvedený vzorecmožno použiť pre výpočet plošného obsahu rovinného útvaru

M = {[x, y] : a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ f(x)}

kde f a g sú spojité na intervale 〈a, b〉.

Príklad 6.16. Vypočítajme plošný obsah rovinného útvaru M ohraničenéhopriamkami x = 0, x = π, a grafmi funkcií y = sin x, y = x + 1 (Obr.6.10.)Riešenie. Útvar M možno zapísať:

Obr. 6.10: Elementárna oblasť z Príkladu 6.16

M = {[x, y] : 0 ≤ x ≤ π, sin x ≤ y ≤ x+ 1}

Teda

PM =

π∫0

(x+ 1− sin x) dx =

[x2

2+ x+ cos x

]π0

=π2

2+ π − 2

.= 6,0764.


Príklad 6.17. Vypočítajme plošný obsah rovinného útvaru ( Obr.6.11.)

M ={

[x, y] : 0 ≤ x ≤ 1, 2x2 − 1 ≤ y ≤ 3− x}

Riešenie.

Obr. 6.11: Elementárna oblasť z Príkladu 6.17

PM =

1∫0

(3− x− 2x2 + 1

)dx =

[4x− x2

2− 2x3

3

]1

0=

176

Príklad 6.18. Vypočítajme plošný obsah rovinného útvaru ohraničeného čiaramiy = x2, y = 2− x2. (Načrtnite obázok.) Riešením rovnice x2 = 2− x2 dostanemex-ové súradnice priesečníkov čiar: a = −1, b = 1. Preto

P =

1∫−1

(2− x2 − x2) dx =

[2x− 2x3

3

]1

−1=

83

Cvičenie 6.9. Vypočítajte plošný obsah rovinného útvaru ohraničeného čiaramiy =√

4− x2, y = 2− x.

Uvažujme teraz krivočiary lichobežník, keď funkcia f je daná parametrickyrovnicami

x = ϕ(t), y = ψ(t) ≥ 0, t ∈ 〈α, β〉


kde ϕ′, ψ sú spojité a α < β. Dá sa dokázať, že plošný obsah takéhoto krivočiareholichobežníka sa dá vypočítať pomocou vzťahu

PL =

β∫α

ψ(t)∣∣ϕ′(t)∣∣ dt

Príklad 6.19. Vypočítajme plošný obsah rovinného útvaru ohraničeného priam-kami y = 0, x = 0, x = 1 a krivkou danou parametricky

x = cos t, y = 1 + sin 2t, t ∈ 〈0, π2〉

Riešenie. (Obr.6.12)

Obr. 6.12: Rovinný útvar z Príkladu 6.19

P =

π2∫

0

(1 + sin 2t) |− sin t| dt =

π2∫

0

sin t dt+

π2∫

0

2 sin2 t. cos tdt = 1 +23

=53

Cvičenie 6.10. Vypočítajte plošný obsah rovinného útvaru ohraničeného elipsous polosami a, b. Návod: Parametrické rovnice elipsy sú:

x = a. cos t, y = b. sin t, t ∈ 〈0, 2π〉


6.4.2 Dĺžka rovinnej krivky

Uvažujme krivku, ktorá je grafom spojitej funkcie y = f(x), x ∈ 〈a, b〉, ktorámá deriváciu v každom bode intervalu (a, b). Pokúsime sa vypočítať jej dĺžku.Rozdelíme interval 〈a, b〉 na n rovnakých častí dĺžky

∆x =b− an

deliacimi bodmi a = x0 < x1 < x2 · · · < xn−1 < b = xn. Zrejme

∆x = xi − xi−1

Príslušné body grafu Ai [xi, f(xi)], i = 0, 1, 2, . . . , n, pospájame úsečkami. Dosta-neme lomenú čiaru, ktorej dĺžka je súčtom dĺžok di úsečiek Ai−1Ai, i = 1, 2, . . . , n.Dĺžky di vypočítame pomocou Pytagorovej vety (Obr.6.13):

Obr. 6.13: Dĺžka lomenej čiary aproximuje dĺžku krivky

di =√

(f(xi)− f(xi−1))2 + (xi − xi−1)2

Použitím Lagrangeovej vety dostaneme

di =√

(f ′(ci)(xi − xi−1))2 + (xi − xi−1)2 =√

1 + f ′(ci)2.∆x

Potom dĺžka lomenej čiary

Sn =n∑i=1

di =n∑i=1

√1 + f ′(ci)2.∆x


Tento súčet je Riemannovým integrálnym súčtom pre funkciu g(x) =√

1 + f ′(x)2

na intervale 〈a, b〉. Je zrejmé, že s rastúcim počtom deliacich bodov sa čísla Snpribližujú k skutočnej dĺžke krivky s. Teda

s = limn→∞

Sn =

b∫a

g(x) dx =

b∫a

√1 + f ′(x)2 dx

Teda dĺžku rovinnej krivky, ktorá je grafom funkcie na intervale 〈a, b〉 a ktorá máv každom bode intervalu (a, b) deriváciu počítame pomocou vzorca

s =

b∫a

√1 + f ′(x)2 dx

V prípade, že krivka je daná parametricky rovnicami

x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ 〈α, β〉

kde ϕ,ψ majú spojité derivácie na intervale (α, β), počítame dĺžku čiary pomocouvzorca

s =

β∫α

√ϕ′(t)2 + ψ′(x)2 dt

Príklad 6.20. Vypočítajme dĺžku krivky, ktorá je grafom funkcie

f(x) = ln(1− x2), x ∈⟨0, 1

2

⟩Riešenie.

s =

b∫a

√1 + f ′(x)2 dx =

12∫

0

√1 +

(−2x)2

(1− x2)2 dx = s =

12∫

0

√(1 + x2)2

(1− x2)2 dx =

12∫

0

1 + x2

1− x2 dx =

12∫

0

(−1 +

21− x2

)dx =

[−x+ ln

1 + x

1− x

] 12

0=

−12

+ ln 3.= 0,5986

Príklad 6.21. Vypočítajme dĺžku oblúka asteroidy

x = cos3 t, y = sin3 t, t ∈⟨0, π2

⟩Riešenie.(Obr.6.14)


Obr. 6.14: Vetva asteroidy x = cos3 t, y = sin3 t, t ∈ 〈0, π2 〉

s =

β∫α

√ϕ′(t)2 + ψ′(x)2 dt =

π2∫

0

√(−3 cos2 t sin t)2 +

(3 sin2 t cos t

)2dt =

3

π2∫

0

√cos4 t sin2 t+ sin4 t cos2 tdt = 3

π2∫

0

cos t sin tdt =32

Cvičenie 6.11. Vypočítajte dĺžku krivky danej parametricky

x = t− sin t, y = 1− cos t, t ∈ 〈0, 2π〉

6.4.3 Objem rotačných telies

Rotáciou krivočiareho lichobežníka

L = {[x, y] : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}

kde f je spojitá funkcia na intervale 〈a, b〉 okolo x-ovej osi vznikne priestorovýútvar (Obr.6.15), ktorý sa nazýva rotačné teleso. Dá sa dokázať, že jeho objem Vvypočítame podľa vzorca

V = π

b∫a

f2(x) dx

Ak je funkcia f daná parametricky rovnicami

x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ 〈α, β〉


Obr. 6.15: Rotačné teleso

kde ϕ,ψ sú spojité a ϕ má na intervale (α, β) spojitú deriváciu, potom objemrotačného telesa počítame podľa vzorca

V = π

β∫α

ψ2(t)∣∣ϕ′(t)∣∣dt

Ak okolo x-ovej osi rotuje rovinný útvar

M = {[x, y] : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ g(x) ≤ y ≤ f(x)}

potom vznikne teleso, ktorého objem je rozdiel objemov 2 rotačných telies:

V = π

b∫a

(f2(x)− g2(x)

)dx

Príklad 6.22. Vypočítajme objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou okolox−ovej osi rovinného útvaru ohraničeného čiarami (Obr.6.16) y = 4

x , y = 0,x = 1, x = 4. Riešenie: Rotujúci útvar je krivočiary lichobežník

L =

{[x, y] : 1 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4

x

}Preto

V = π

4∫1

16x2 dx = 12π


Obr. 6.16: Rotujúca plocha z Príkladu 6.22

Príklad 6.23. Vypočítajme objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou okolox-ovej osi rovinného útvaru ohraničeného čiarami y = 2− x2, y = x2.Riešenie: Rotujúci útvar je krivočiary lichobežník (Obr.6.17)

L ={

[x, y] : −1 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 2− x2}Preto

V = π

1∫−1

(2− 2x2) dx =83π

Príklad 6.24. Vypočítajme objem rotačného elipsoidu, ktorý vznikne rotáciourovinného útvaru ohraničeného x-ovou osou a hornou polovicou elipsy s poloosamia, b (Obr.6.18 )okolo x-ovej osi.Riešenie: Parametrické rovnice hornej časti elipsy sú

x = a. cos t, y = b. sin t, t ∈ 〈0, π〉

Potom

V = π

π∫0

ψ2(t)∣∣ϕ′(t)∣∣dt = π

π∫0

b2 sin2 t |−a. sin t|dt =43πab2.




Cvičenie 6.12. Vypočítajte objem telesa, ktoré vznikne rotáciou okolo osi x-ovejrovinného útvaru ohraničeného čiarami y = 2x2, y = x2 + 4.

Cvičenie 6.13. Vypočítajte objem rotačného kužeľa s polomerom podstavy r avýškou v.


Pomocou určitého integrálu je možné vypočítať plošný obsah povrchu rotač-ných telies (Obr.6.15). Povrch rotačných telies sa obvykle skladá z podstáv (kru-hov) a z plášťa. Plášť je časť povrchu, ktorá vzniká rotáciou krivky okolo priamky.Plášť nazývame tiež rotačnou plochou. Ak rotačná plocha vznikne rotáciou grafuspojitej nezápornej funkcie so spojitou deriváciou danej predpisom

y = f(x), x ∈ 〈a, b〉,

okolo osi x–ovej, jej plošný obsah S počítame podľa vzorca

S = 2π

b∫a

f(x)√

1 + f ′(x)2 dx

V prípade, že krivka je daná parametricky rovnicami

x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ 〈α, β〉

kde ϕ,ψ majú spojité derivácie na intervale (α, β), ψ(x) ≥ 0, počítame obsahrotačnej plochy pomocou vzorca

S = 2π

β∫α

ψ(t)√ϕ′(t)2 + ψ′(t)2 dt

Príklad 6.25. Vypočítajme objem a plošný obsah povrchu rotačného telesa, ktorévznikne rotáciou elementárnej oblasti

L = {(x, y) : 1 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤√x}

(Obr.6.19).Riešenie: Počítame objem rotačného telesa:

V = π

4∫1

x dx =152π

Vypočítame obsah rotačnej plochy (plášťa):

S = 2π

4∫1

f(x)√

1 + f ′(x)2 dx = 2π

4∫1

√x

√1 +

14x

dx =

2π

4∫1

√x

√1 + 4x

4xdx = π

4∫1

√1 + 4x dx =

π

6

[√(1 + 4x)3

]4

1=π

6

(17√

17− 5√

5).= 30,8465

Povrch tohto rotačného telesa sa skladá z plášťa a dvoch kruhov s polomermir1 = 1, r2 = 2. Jeho plošný obsah bude

PS = S + π + 4π.= 46,5545

Cvičenie 6.14. Odvoďte vzorec pre objem a povrch gule s polomerom r.


Obr. 6.19: Rotačné teleso z príkladu 6.25


• 6.1 Rn(f) = 2n

[22

n2+ 42

n2+ · · ·+ (2n)2

n2

]= 4

3n3 n(n+ 1)(2n+ 1).

• 6.2 1.

• 6.3 π2 .

• 6.4 12 .

• 6.5 2π.

• 6.6 π4 −

12 .

• 6.7

1. ln 2.

2. 4π3√

3.

3. 2.

• 6.8

1. Diverguje.

2. Diverguje.

3. − 33√2

.


• 6.9 π − 2.

• 6.10 π a b.

• 6.11 8.

• 6.12 102415 π.

• 6.13 13 π r

2 v.

• 6.14 V = 43 π r

3, S = 4π r2.

Dodatok A

Komplexné čísla

V množine reálnych čísel nemajú všetky algebraické rovnice riešenie. Napríkladkvadratická rovnica

ax2 + bx+ c = 0

s reálnymi koeficientami nemá reálne riešenie, ak diskriminant

D = b2 − 4ac < 0

Problém spočíva v tom, že nepoznáme reálne číslo, ktorého druhá mocnina jezáporná. Teda nepoznáme také reálne číslo x, pre ktoré platí

x2 = −1

Myšlienka definovať číslo, ktoré je riešením spomínanej rovnice, aj keď nebude re-álne, pochádza zo 16-tého storočia od talianskeho matematika Rafaela Bombelliho(1526-1572). Označme symbolom i riešenie rovnice x2 = −1. Teda

i2 = −1

Je zrejmé, že potom aj(−i)2 = −1

Riešeniami rovnicex2 = −a

kde a > 0, sú čísla±√a.i

lebo(±√ai)2 = i2.a = −a

Teda ±3i sú riešenia rovnicex2 = −9

Symbol i nazývame imaginárnou jednotkou a jej násobky reálnym číslom nazý-vame imaginárne čísla. Všetky reálne čísla si vieme jednoducho znázorniť ako

173

174 DODATOK A. KOMPLEXNÉ ČÍSLA

body priamky, ktorú nazývame číselnou osou. Od nemeckého matematika CarlaFriedricha Gaussa (1777-1855) pochádza myšlienka znázorniť imaginárne čísla akobody ležiace na priamke kolmej na číselnú (reálnu) os tak, že majú spoločný bod,ktorý zodpovedá reálnemu číslu 0 a imaginárnemu číslu 0.i. Z geometrického hľa-diska možno stotožniť reálnu os s osou x-ovou a imaginárnu os s osou y-ovoua ich priesečník bod O. Body roviny neležiace na osiach možno považovať za ob-razy čísel, ktoré reprezentujú súčet reálneho čísla a a imaginárneho čísla bi. Takýtosúčet

a+ bi

nazývame komplexné číslo. Pritom reálne číslo a je priemetom komplexného číslaz = a+ bi na reálnu os a bi je jeho priemetom na imaginárnu os (Pozri Obr.A.1).Množinu všetkých komplexných čísel značíme C. Teda z ∈ C. Množinu obrazovvšetkých komplexných čísel nazývame Gaussova rovina. Bod O je obrazom kom-plexného čísla 0 + 0i a vzdialenosť tohoto bodu od obrazov komplexných čísel1 + 0i = 1 a 0 + i = i je rovnaká, rovná 1. Ešte pripomeňme, že komplexné

-

6

��3e

a1

bi

i

A

O

Obr. A.1: Bod A je obrazom komplexného čísla z = a+ bi

číslo z = a+ bi je dané dvojicou reálnych čísel a, b. Reálne číslo a nazývame reál-nou časťou a reálne číslo b nazývame imaginárnou časťou. Základnou aritmetickouoperáciou je sčítanie komplexných čísel, ktoré definujeme rovnakým spôsobom akosčítanie mnohočlenov: Ak

z1 = a+ bi, z2 = c+ di

potomz1 + z2 = (a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i

Príklad A.1.(3 + 2i) + (7− 5i) = 10− 3i

175

Rovnakým spôsobom sčitujeme aj dvojrozmerné vektory ~u = (a, b), ~v = (c, d).Preto je rozumné komplexné číslo znázorňovať, ako umiestnenie vektora (vektor),ktoré začína v bode O a končí v bode, ktorý je obrazom komplexného čísla (Po-zri Obr.A.1). Vektor zodpovedajúci súčtu komplexných čísel leží na uhlopriečke

-

6

p p pp p pp pp p p p p p p p

��

��1

��

��

z1

z

z2

Obr. A.2: Súčet komplexných čísel z = z1 + z2

rovnobežníka, na ktorého dvoch stranách ležia vektory zodpovedajúce sčítancom(Obr.A.2). Komplexné číslo z = a+bi možno násobiť rovnako ako vektor reálnymčíslom k tak, že

k.z = k(a+ bi) = ka+ kbi

Príklad A.2.3(2− 5i) = 6− 15i

Komplexné čísla možno násobiť rovnako ako mnohočleny, pričom treba využí-vať rovnosť i2 = −1. Teda, ak z1 = a+ bi, z2 = c+ di, potom

z1.z2 = (ac− bd) + (ad+ bc)i

Príklad A.3. Počítajme:

• 3(1− i) + 5 + 2i = 8− i.

• (2 + 3i)(1− 2i) = 8− i.

• 1 + 2i− (2 + 2i)(1− 4i) = 11 + 8i.

Použitím rovnosti i2 = −1 dostaneme i3 = −i, i4 = 1, i5 = i, i6 = −1, i7 = −i,i8 = 1. Iste ste si všimli, že i4n = 1, i4n+1 = i, i4n+2 = −1, i4n+3 = −i, pre každéprirodzené číslo n ∈ N. Teda

i72 = 1, i123 = i120+3 = i120.i3 = −i


Označme množinu všetkých komplexných čísel C. Je zrejmé, že množina C všet-kých komplexných čísel obsahuje aj všetky reálne čísla, lebo komplexné čísloa+ 0.i = a je reálne číslo. Teda

R ⊂ C

Zaujímavé vlastnosti majú dve komplexné čísla, ktoré sa líšia len v znamienkuimaginárnej časti. Nazývame ich komplexne združené. Teda

z = a+ bi, z = a− bi

sú komplexne združené. Je zaujímavé, že ich súčet aj súčin sú reálne čísla:

z + z = 2a, z.z = a2 + b2

Túto skutočnosť využívame pri delelení komplexných čísel. Zlomok komplexnýchčísel rozšírime komplexným číslom komplexne združeným k menovateľu:

a+ bi

c+ di=a+ bi

c+ di.c− dic− di

=ac+ bd+ (bc− ad)i

c2 + d2 =ac+ bd

c2 + d2 +bc− adc2 + d2 i

Príklad A.4.

2 + 3i1− 4i

=2 + 3i1− 4i

.1 + 4i1 + 4i

=−10 + 11i

17=−1017

+1117i

Príklad A.5.1i

=1i.−i−i

= −i

Príklad A.6.

(1+2i)3 +i

1− i= (1+2i)2(1+2i)+

i

1− i.1 + i

1 + i= (1+4i−4)(1+2i)+

−1 + i

2=

(−3 + 4i)(1 + 2i) +−1 + i

2= −11− 2i+

−1 + i

2= −23

2− 3

2i

Cvičenie A.1. Vypočítajte:

1. 3+2i7−2i ,

2. (2 + 5i)2(3− i),

3. 5 + (1− 2i)(1 + 2i),

4. (2−3i)2

1−i + i.

Absolútnou hodnotou (modulom) komplexného čísla z = a + bi nazývamenezáporné reálne číslo

|z| =√a2 + b2

Geometricky, absolútna hodnota komplexného čísla je dľžka vektora znázorňujú-ceho komplexné číslo (Obr.A.3).

177

-

6

r

a

bi

|z|

��3

Obr. A.3: |z| =√a2 + b2

Príklad A.7.|1− 5i| =

√12 + (−5)2 =

√26

Absolútne hodnoty (moduly) komplexných čísel majú podobné vlastnosti akoabsolútne hodnoty reálnych čísel:

|z1.z2| = |z1|.|z2|,∣∣∣∣z1

z2

∣∣∣∣ =|z1||z2|

, |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|.

Príklad A.8.

|(2− 3i)(1− 5i)| = |2− 3i||1− 5i| =√

13.√

26 = 13√

2

Príklad A.9. ∣∣∣∣ 3 + 4i−1 + 2i

∣∣∣∣ =|3 + 4i|| − 1 + 2i|

=5√5

=√

5

Z geometrického hľadiska je absolútna hodnota rozdielu komlexných čísel jevzdialenosť ich obrazov (Obr.A.4).

Kružnica K s polomerom r a so stredom v bode, ktorý je obrazom komplex-ného čísla z0 = a+ bi v Gaussovej rovine je množina bodov (0br.A.5).

K = {z ∈ C : |z − z0| = r}

Teda rovnica|z − z0| = r

je rovnicou kružnice v Gaussovej rovine. Ak z = x + iy, z0 = a + bi, potomdostaneme rovnicu kružnice známu z analytickej geometrie so stredom v bodeS[a,b] a plomerom r:

(x− a)2 + (y − b)2 = r2


-

6

��

��1

��p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p pz1

z2 |z2 − z1|

Obr. A.4: |z2 − z1| je vzdialenosť obrazov komplexných čísel z1, z2

-

6

"!# d

a

bi

Obr. A.5: Kružnica so stredom v bode, ktorý je obrazom komplexného čísla z0 =a+ bi

Komplexné čísla z, pre ktoré platí: |z| = 1 nazývame komplexné jednotky. Ichobrazy vytvárajú kružnicu so stredom v začiatku Gaussovej roviny a s polomeromr = 1. Kruh v Gaussovej rovine možno popísať ako množinu

L = {z ∈ C : |z − z0| ≤ r}

Cvičenie A.2. V Gaussovej rovine načrtnite množinu

M = {z ∈ C : 1 ≤ |z − 3i| ≤ 2}

Zápis komplexného čísla v tvare z = a+ bi, kde a, b sú reálme čísla, nazývamealgebraický tvar komplexného čísla. Komplexné číslo možno zapísať aj inak, pou-žitím absolútnej hodnoty (modulu) |z| a orientovaného uhla (argumentu) ϕ, ktorýzviera vektor zodpovedajúci komplexnému číslu s vektorom zodpovedajúcim ľu-bovoľnému kladnému reálnemu číslu (kladná reálna polos) (Pozri Obr.A.6). NaObr.A.6 vidíme, že

cos ϕ =a

|z|, sin ϕ =

b

|z|

179

-

6

r

a

bi

|z|I

ϕ��3

Obr. A.6: Komplexné číslo z = a+ bi, jeho absolútna hodnota |z| a argument ϕ

Z tohoa = |z| cos ϕ, b = |z| sin ϕ

Tedaz = a+ bi = |z| cos ϕ+ i.|z| sin ϕ = |z|(cos ϕ+ i sin ϕ)

Tvarz = |z|(cos ϕ+ i sin ϕ)

nazývame goniometrický tvar komplexného čísla. Ak niekoré z čísel a, b je záporné,potom uhol ϕ je väčší ako π

2 (90◦).

Príklad A.10. Napíšme goniometrický tvar komplexného čísla z = −1 + i.

-

6

−1

i

ϕ

@@@

@@@I

Obr. A.7: Komplexné číslo z = −1 + i, |z| =√

2, argument ϕ = 34π (135◦)

Priamo z (Obr.A.7) vidíme, že

|z| =√

2, ϕ =34π (135◦)


Goniometrický tvar komplexného čísla z = −1 + i je

z =√

2

(cos

34π + i sin

34π

)Pre uhol v stupňovej miere:

z =√

2 (cos 135◦ + i sin 135◦)

-

6

−√

3 i

1

�

ϕ

JJJJJ

Obr. A.8: Komplexné číslo z = 1−√

3i

Príklad A.11. Napíšme goniometrický tvar komplexného čísla z = 1 −√

3 i(Obr.A.8). Vypočítame

|z| =√

1 + 3 = 2, cos ϕ =12, sin ϕ = −

√3

2

Z toho vypočítame ϕ = 116 π (300◦). Preto

z = 1−√

3 i = 2

(cos

116π + i sin

116π

)V goniometrickom tvare možno písať aj reálne a imaginárna čísla. Napríklad

5 = 5 (cos 0 + i sin 0), −5 = 5 (cos π + i sin π)

2i = 2(cos

π

2+ i sin

π

2

), −3i = 3

(cos

3π2

+ i sin3π2

)Príklad A.12. Vyjadrime komplexné čísla z = 8(cos π+ i sin π) v algebraickomtvare. Riešenie:

z = 8(cos π + i sin π) = 8(−1 + 0i) = −8

181

Cvičenie A.3. Vyjadrite komplexné čísla v goniometrickom tvare a načrtnite ichobrazy v Gaussovej rovine:

1. 12 + i

√3

2 ,

2. −2− 2i,

3.√

2− 1 + i.

Cvičenie A.4. Vyjadrite komplexné čísla v algebraickom tvare a načrtnite ichobrazy v Gaussovej rovine:

1. cos 10◦ + i sin 10◦,

2. 2(cos 600◦ + i sin 600◦),

3. cos 2 + i sin 2

Vidíme, že komplexné číslo možno zadať dvojicou reálnych čísel (a, b) v al-gebraickom tvare z = a + bi. Tieto dve čísla predstavujú v Gaussovej rovinesúradnice obrazu komplexného čísla. Iná možnosť je zadať komplexné číslo v go-niometrickom tvare z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) dvojicou reálnych čísel (ϕ, |z|), kdeargument ϕ je uhol a |z| je nezáporné reálne číslo. Pretože goniometrické funkcief(x) = sin x, g(x) = cos x majú periódu p = 2π, vieme vždy dosiahnuť, abyϕ ∈< 0, 2π). Napríklad

3

(cos

73π + i sin

73π

)= 3

(cos

13π + i sin

13π

)Dvojicu (ϕ, |z|) nazývame tiež polárne súradnice. Goniometrické tvary komplex-ných čísel oceníme najmä pri ich násobení. Dá sa dokázať: Ak

z1 = |z1|(cos ϕ1 + i sin ϕ1), z2 = |z2|(cos ϕ2 + i sin ϕ2)

potomz1.z2 = |z1|.|z2| (cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2))

Teda, pri násobení komplexných čísel v goniometrických tvaroch sa moduly náso-bia a argumenty sčítajú (Obr.A.9).

Príklad A.13. V goniometrickom tvare vynásobme komplexné čísla

z1 = 2

(cos

54π + i sin

54π

), z2 = 3

(cos

74π + i sin

74π

)Riešenie:

z1.z2 = 6 (cos 3π + i sin 3π) = 6 (cos π + i sin π) = −6


Obr. A.9: Násobenie komplexných čísel

Cvičenie A.5. V goniometrickom tvare vynásobte komplexné čísla

z1 = 2

(cos

23π + i sin

23π

), z2 = 4

(cos

53π + i sin

53π

)Pre delenie komplexných čísel v goniometrickom tvare možno dokázať vzťah:

z1

z2=|z1||z2|

(cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2))

Teda, ak delíme komplexné čísla z Príkladu A.13 dostaneme:

z1

z2=

23

(cos−π2

+ i sin−π2

)= −2

3i

Ak vynásobíme dve rovnaké komplexné čísla v goniometrickom tvare dostaneme:

z.z = z2 = [|z| (cos ϕ+ sin ϕ)]2 = |z|2 (cos 2ϕ+ sin 2ϕ)

Podobne vypočítame ľubovoľnú prirodzenú mocninu komplexného čísla v goni-ometrickom tvare:

[|z| (cos ϕ+ sin ϕ)]n = |z|n (cos nϕ+ sin nϕ)

183

Tento vzťah nazývame podľa jeho francúzskeho objaviteľa Moivreova veta (Ab-raham de Moivre, 1667-1785). Použitím tohto vzťahu napríklad vypočítame:

(1 + i)8 =[√

2(

cosπ

4+ i sin

π

4

)]8= 16 (cos 2π + i sin 2π) = 16

Cvičenie A.6. Vypočítajte (√

3 + i)9.

Algebraická rovnica x2 = 9 má dve reálne riešenia x1 = −3, x2 = 3, ale zaodmocninu čísla 9 považujeme len číslo 3. Preto v množine reálnych čísel platí

√a2 = |a|

Teda druhá odmocnina kladného reálneho čísla je kladné číslo. Iná je situácia vmnožine komplexných čísel. Komplexné čísla nevieme porovnávať; pojem „kladnékomplexné čísloÿ nemá zmysel. Ak n ∈ N , komplexnou n-tou odmocninou kom-plexného čísla z nazývame každé riešenie rovnice

xn = z. (A.1)

Takúto rovnicu nazývame binomická rovnica. Ukážeme, že pre z 6= 0, má bino-mická rovnica práve n rôznych riešení a ich obrazy tvoria vrcholy pravidelnéhon−uholníka v Gaussovej rovine a všetky riešenia majú absolútnu hodnotu rovnún√|z|. Riešenie binomickej rovnice (A.1) hľadáme v goniometrickom tvare:

x = |x|(cos α+ i sin α)

Teda, hľadáme reálne čísla |x|, α tak, aby bola splnená rovnica (A.1) v goniomet-rickom tvare:

[|x|(cos α+ i sin α)]n = |z|(cos ϕ+ i sin ϕ)

kde ϕ ∈ [0, 2π). Po použití Moivreovej vety dostaneme:

|x|n(cos nα+ i sin nα) = |z|(cos ϕ+ i sin ϕ)

Porovnaním oboch strán rovnice dostaneme:

|x|n = |z|, nα = ϕ

a z toho|x| = n

√|z|, α =

ϕ

n

Dostali sme 1. riešenie binomickej rovnice (A.1):

x1 = n√|z|(

cosϕ

n+ i sin

ϕ

n

)Vzhľadom na periodičnosť goniometrickch funkcií, možno binomickú rovnicu (A.1)napísať aj v tvare:

|x|n(cos nα+ i sin nα) = |z|(cos (ϕ+ 2π) + i sin (ϕ+ 2π)). (A.2)


Porovnaním argumentov dostaneme:

nα = ϕ+ 2π =⇒ α =ϕ

n+

2πn

Dostali sme druhé riešenie

x2 = n√|z|(

cos

(ϕ

n+

2πn

)+ i sin

(ϕ

n+

2πn

))Ak v rovnici (A.2) namiesto 2π použijeme 4π dostaneme ďalšie riešenie:

x3 = n√|z|(

cos

(ϕ

n+

4πn

)+ i sin

(ϕ

n+

4πn

))Teda

xk = n√|z|(

cos

(ϕ

n+ (k − 1)

2πn

)+ i sin

(ϕ

n+ (k − 1)

2πn

))pre k = 1, 2, 3, . . . , n. Dosadiť i = n+ 1 nemá zmysel, lebo xn+1 = x1. Všimnimesi, že stačí nájsť x1 ďalšie riešenia dostaneme postupným pridávaním uhla 2π

n kargumentu.

Príklad A.14. Riešme binomickú rovnicu

x3 = −1 + i√

3

Riešenie: Prepíšeme rovnicu do goniometrického tvaru:

|x|3(cos 3α+ i sin 3α) = 2

(cos

2π3

+ i sin2π3

)Odtiaľ

|x| = 3√

2, α =2π9

Dostávame

x1 = 3√

2

(cos

2π9

+ i sin2π9

)Ďalšie riešenia dostávame pridávaním uhla 2π

3 k argumentu:

x2 = 3√

2

(cos

8π9

+ i sin8π9

)

x3 = 3√

2

(cos

14π9

+ i sin14π9

)Našli sme 3 tretie odmocniny komplexného čísla −1 + i

√3 (Pozri Obr. A.10).

185

Obr. A.10: Riešenia binomickej rovnice x3 = −1 +√

3 i

Príklad A.15. Nájdime druhé odmocniny imaginárnej jednotky z = i.Riešenie: Hľadáme riešenia binomickej rovnice

x2 = i

V goniometrickom tvare:

|x| [(cos α+ i sin α)]2 = cosπ

2+ i sin

π

2

Z toho|x| = 1, α =

π

4

Pretox1 = cos

π

4+ i sin

π

4

Ďalšie riešenie dostaneme zväčšením argumentu o uhol 2π2 = π:

x2 = cos54π + i sin

54π

V algebraickom tvare:

x1 =

√2

2+ i

√2

2, x2 = −

√2

2− i√

22


Cvičenie A.7. Riešte binomické rovnice, riešenia vyjadrite aj v algebraickomtvare a načrtnite v Gaussovej rovine:

1. x3 = i,

2. u4 = −16.

Na záver ešte pripojíme poznámku o exponenciálnom tvare komplexného čísla.V teórii komplexných funkcií sa dá dokázať vzťah

cos ϕ+ i sin ϕ = ei ϕ

Vzťah nazývame Eulerova formula. Teda každú komplexnú jednotku možno na-písať v exponenciálnom tvare ei ϕ a každé komplexné číslo v tvare

z = |z|ei ϕ

Ak z1 = |z1|ei ϕ1 , z2 = |z2|ei ϕ2 , potom

z1.z2 = |z1|.|z2|ei (ϕ1+ϕ2)

Pre komplexné jednotky dostaneme

ei ϕ1 .ei ϕ2 = ei (ϕ1+ϕ2)

Komplexné jednotky násobíme rovnakým spôsobom ako reálne mocniny.

Príklad A.16. Použitím Eulerovej formuly vypočítajme súčin komplexných čísel

z1 = 1 + i, z2 = −3 + 3i

Riešenie:z1 = 1 + i =

√2 ei.

π4 , z2 = −3 + 3i =

√18 ei.

3π4

Z toho

z1.z2 = |z1|.|z2|ei (ϕ1+ϕ2) =√

2.√

18 ei.(π4+ 3π4 ) = 6.ei.π = 6(cos π + i sin π) = −6

Je zrejmé, že rovnaký výsledok dosiahneme priamym násobením komplexných čí-sel:

z1.z2 = (1 + i).(−3 + 3i) = −6

Výsledky cvičení

• A.1

1. 1753 + 20

53 i.

2. −43 + 81 i.

187

Obr. A.11: Množina M = {z ∈ C : 1 ≤ |z − 3i| ≤ 2}

Obr. A.12: Komplexné čísla z Cvičenia A.3

3. −10.

4. −72 −

152 i.

• A.2 (Obr. A.11)

• A.3 (Obr. A.12)

1. 12 + i

√3

2 = cos π3 + i sin π

3 = cos 60◦ + i sin 60◦.

2.√

8(cos 5π

4 + i sin 5π4

)=√

8 (cos 225◦ + i sin 225◦) .

3.√

2− 1 + i = 0,4142 + i = 1,0824(cos 1,1781 + i sin 1,781) =1,0824 (cos 67,5◦ + i sin 67,5◦) .


Obr. A.13: Komplexné čísla z Cvičenia A.4

• A.4 (Obr. A.13)

1. cos 10◦ + i sin 10◦ = 0,9948 + 0,1736 i.

2. 2 (cos 600◦ + i sin 600◦) = − 1− 1,7321 i.

3. cos 2 + i sin 2 = − 0,4161 + 0,9093 i.

• A.5 z1.z2 = 8(cos 7

3 π + i sin 73 π).

• A.6 −29 i.

• A.7

Obr. A.14: Riešenia binomických rovníc z Cvičenia A.7

1. x1 = cos π6 + i sin π

6 =√

32 + i 1

2 , x2 = cos 5π6 + i sin 5π

6 = −√

32 + i 1

2 ,x3 = cos 3π

2 + i sin 3π2 = −i.

2. u1 = cos π4 + i sin π

4 =√

22 + i

√2

2 , u2 = cos 3π4 + i sin 3π

4 = −√

22 + i

√2

2 ,

u3 = cos 5π4 +i sin 5π

4 = −√

22 −i

√2

2 , u4 = cos 7π4 +i sin 7π

4 =√

22 −i

√2

2 .

Zoznam použitej a odporúčanejliteratúry

1. I. Fabrici, M. Šabo: Matematika I. STU Bratislava, 1997.

2. I. Fabrici, M. Šabo: Matematika II. STU Bratislava, 1995.

3. M. Šabo, I. Fabrici, V. Grusková, Š. Varga: Matematika I a II, Zbierka úlohz matematiky. STU Bratislava 1997.

4. J. Ivan: Matematika I. Alfa 1983.

5. J. Ivan: Matematika II. Alfa 1983.

6. M. Jasem, Ľ. Horanská: Matematika I, Zbierka úloh. STU Bratislava 2009.

7. A. Kolesárová, M. Kováčová: Fuzzy množiny a ich aplikácie. STU Bratislava2004.

189

Register

algebraický doplnok, 33, 34antiderivácia, 123argument, 48

binomická rovnica, 183binomická veta, 71

Cramerova veta, 37Cramerovo pravidlo, 36

derivácia funkcie, 84definícia, 85fyzikálny význam, 87inflexný bod, 102intervaly konkávnosti, 101intervaly konvexnosti, 101intervaly monotónnosti, 99sprava , 86zľava, 86základné vzťahy, 88

derivácia podielu, 90derivácia súčinu, 90derivácia súčtu, 90derivácia zloženej funkcie, 90derivácie vyšších rádov, 93determinant matice, 31

minor, 33rozvoj, 33

diferenciál, 95odhad absolútnej chyby, 98použitie, 97

diferenciál funkcie, 96definícia, 97

disjunkcia, 7diskriminant, 38doplnok množiny, 7

dotyčnica grafu funkcie, 84rovnica, 85

dĺžka rovinnej krivky, 164

elementárna oblasť, 160Eulerova formula, 186Eulerovo číslo, 71

funkciaarccosx, 59arccotgx, 60arcsinx, 58arctgx, 60asymptoty, 107asymptoty bez smernice, 107asymptoty so smernicou, 108charakteristická, 9cosx, 59cotgx, 60cyklometrická, 58definičný obor

prirodzený, 49derivácia, 85diferencovateľná, 97Dirichletova, 144exponenciálna, 57goniometrická, 51, 58graf, 49inflexný bod, 101integrovanie, 123inverzná, 55klesajúca, 52konkávná, 100konvexná, 100konštantná, 49logaritmická, 57

190

REGISTER 191

lokálny extrém, 103monotónna, 52neklesajúca, 52nepárna, 50nerastúca, 52ohraničená, 52

zdola, 52zhora, 52

periodická, 51primitívna, 121príslušnosti, 10párna, 50racionálna, 129

integrovanie, 136rastúca, 52reálna, 48rýdzo monotónna, 52rýdzo racionálna, 129sinx, 58spojitá, 79spojitá sprava, 79spojitá zľava, 79tgx, 60zložená, 54

funkciecyklometrické, 58

funkčná hodnota, 48funkčný predpis, 48fuzzy množina, 10fuzzy podmnožina, 10

Gaussova eliminačná metóda, 28Gaussova rovina, 174GEM, 28globálne extrémy, 105

Hornerova schéma, 40

imaginárne čísla, 174infimum funkcie, 52integrál

neurčitý, 122určitý, 143

integrál funkcie, 122integrálny súčet, 144

intenzitaefektívna hodnota, 151

intervaldelenie, 141

intervaly konkávnosti, 101intervaly konvexnosti, 101

komplement množiny, 7komplexne združené čísla, 176komplexné čísla, 173, 174

absolútna hodnota, 176algebraický tvar, 178argumet, 178delenie, 176, 182goniometrický tvar, 179modul, 176násobenie, 175, 181odmocnina, 183súčet, 174umocňovanie, 183

konjunkcia, 7koreňový činiteľ, 39krivky dané parametricky, 115

asteroida, 117cykloida, 116dotykový vektor, 118elipsa, 116kružnica, 116priamka, 116smernica dotyčnice, 119

krivočiary lichobežník, 141plocha, 141

limitanevlastná, 69

limita funkcie, 74Cauchyho definícia, 77definícia, 75Heineho definícia, 77sprava, 76zľava, 77

limita postupnosti, 66definícia, 67

lineárny vektorový priestor, 13

192 REGISTER

lokálne maximum, 104lokálne minimum, 104lomená čiara, 164

Maclaurinov polynóm, 111matica, 17

prvok, 17diagonálna, 18hlavná diagonála, 18hodnosť, 23inverzná, 22, 34jednotková, 18nulová, 18násobok reálnym číslom, 19prvok

diagonálny, 18regulárna, 34singulárna, 34symetrická, 18sústavy, 26

rozšírená, 27transponovaná, 18trojuholníková, 18

hodnosť, 24typ, 17štvorcová, 18úpravy

riadkové, 24stĺpcové, 24

maticeekvivalentné, 23násobenie, 20operácie, 19rovnosť, 18súčet, 19

maticová rovnica, 34maximum funkcie, 52minimum funkcie, 52množina

celých čísel, 6komplexných čísel, 6, 176prirodzených čísel, 6racionálnych čísel, 6reálnych čísel, 6

Moivreova veta, 183

nekonečnoaritmetika, 73

neurčité výrazy, 73neurčitý integrál, 122

metóda per partes, 127substitučná metóda, 125základné vzťahy, 123

nevlastný integrál, 153divergentný, 153, 159konvergentný, 153, 159na neohraničenom intervale, 153neohraničenej funkcie, 157

normála grafu funkcierovnica, 85

nulové body, 38

objem rotačného kužeľa, 169objem rotačných telies, 166obraz prvku, 47obsah rovinnej plochy, 159okolie bodu, 74

parametrické rovniceasteroidy, 117cykloidy, 116elipsy, 116kružnice, 116priamky, 116

parciálne zlomky, 129integrovanie, 133rozklad, 130

podmnožina, 7polynóm, 38, 39polynómy

delenie, 40postupnosť, 62

aritmetická, 64diferencia, 64

divergentná, 67geometrická, 65

kvocient, 65klesajúca, 65konvergentná, 67

REGISTER 193

konštantnálimita, 68

neklesajúca, 65nerastúca, 65ohraničená, 65

zdola, 65zhora, 65

rastúca, 65pravidlo

L’Hospitalovo, 94premenná

nezávislá, 48závislá, 48

prienik množín, 7prírastok argumentu, 96prírastok funkcie, 96

Riemannov integrálny súčet, 144Riemannov určitý integrál, 144rovnica

algebraická, 38, 39koreň, 39riešenie, 39

binomická, 183kružnice v Gaussovej rovine, 177kvadratická, 38

korene, 38paraboly, 38

rýchlosťokamžitá, 88

Sarrusovo pravidlo, 32skalár, 11smernica dotyčnice, 84smernica priamky, 83substitúcia, 78, 89suprémum funkcie, 52sústava lineárnych rovníc, 25

maticový tvar, 26riešenie, 26

Taylorov polynóm, 111

určitý integrál, 143aditivita, 146

definícia, 144hranice, 144per partes, 152substitučná metóda, 151

vektor, 11, 12nulový, 13násobok reálnym číslom, 13opačný, 13

vektor neznámych, 26vektor pravých strán, 26vektory

lineárna kombinácia, 14netriviálna, 14triviálna, 14

lineárne nezávislé, 14lineárne závislé, 14násobenie, 13rovnosť, 12skalárny súčin, 16súčet, 13

Vetao derivácii zloženej funkcie, 91Frobéniusova, 27Gaussova, 41Lagrangeova, 98Moivreova, 183Newtonova-Leibnizova, 147o komplexných koreňoch, 42o racionálnych koreňoch, 44o strednej hodnote, 149

vzor prvku, 47vzorec Newtonov-Leibnizov, 148výrok, 6

zjednotenie množín, 7zobrazenie, 47

definičný obor, 47obor hodnôt, 47surjektívne, 48

zrýchlenieokamžité, 93

Documents

MATEMATIKA I - fiit.stuba.skkvasnicka/Mathematics for Informatics/Sabo... · MATEMATIKA I Doc. RNDr. Michal 'abo, CSc. 2. Obsah 1 Predhovor 5 ... tovÆ logika a fuzzy mno¾iny umo¾òujœ