MATEMATIKA II...MATEMATIKA II Author: Katedra aplikovanej matematiky a informatiky[2mm] SjF TU Ko ice Created Date: 3/9/2020 2:00:00 PM

MATEMATIKA II

Katedra aplikovanej matematiky a informatiky

SjF TU Košice

KAMaI Určitý integrál

Prednáška

Určitý integrál

Obsah prednášky

Pojem určitého integrálu.Vlastnosti určitého integrálu.Postačujúca podmienka integrovateľnosti.Newtonov-Leibnizov vzorec.Substitučná metóda pre určitý integrál.Metóda per partes pre určitý integrál.

Pojem určitého integrálu

Nech je daná funkcia f a interval 〈a, b〉, ktorý je podmnožinoudefiničného oboru funkcie f . Nech je funkcia f ohraničená naintervale 〈a, b〉.

Ak x0, x1, x2, . . . , xn sú čísla, pre ktoré platí

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b,

hovoríme, že je dané delenie Dn intervalu 〈a, b〉.Deliace body rozdeľujú interval 〈a, b〉 na n čiastočnýchintervalov

〈x0, x1〉, 〈x1, x2〉, . . . , 〈xn−1, xn〉.

Označme ∆xi dĺžku i-tého intervalu, t.j.

∆xi = xi − xi−1, pre i = 1, 2, . . . , n.

Zrejmen∑

i=1∆xi = b − a.

Nech je daná funkcia f a interval 〈a, b〉, ktorý je podmnožinoudefiničného oboru funkcie f . Nech je funkcia f ohraničená naintervale 〈a, b〉.Ak x0, x1, x2, . . . , xn sú čísla, pre ktoré platí

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b,

hovoríme, že je dané delenie Dn intervalu 〈a, b〉.

Deliace body rozdeľujú interval 〈a, b〉 na n čiastočnýchintervalov

〈x0, x1〉, 〈x1, x2〉, . . . , 〈xn−1, xn〉.

∆xi = xi − xi−1, pre i = 1, 2, . . . , n.

Zrejmen∑

i=1∆xi = b − a.

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b,

〈x0, x1〉, 〈x1, x2〉, . . . , 〈xn−1, xn〉.

∆xi = xi − xi−1, pre i = 1, 2, . . . , n.

Zrejmen∑

i=1∆xi = b − a.

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b,

〈x0, x1〉, 〈x1, x2〉, . . . , 〈xn−1, xn〉.

∆xi = xi − xi−1, pre i = 1, 2, . . . , n.

Zrejmen∑

i=1∆xi = b − a.

Nech c1, c2, . . . , cn sú reálne čísla a nech

c1 ∈ 〈x0, x1〉, c2 ∈ 〈x1, x2〉, . . . , cn ∈ 〈xn−1, xn〉.

Číslo

Sf (Dn) =n∑

i=1

f (ci )∆xi

nazývame integrálnym súčtom funkcie f pre delenie Dnintervalu 〈a, b〉 a pre danú voľbu čísel c1, c2, . . . , cn (skrátenepre danú voľbu čísel c).

Nech c1, c2, . . . , cn sú reálne čísla a nech

c1 ∈ 〈x0, x1〉, c2 ∈ 〈x1, x2〉, . . . , cn ∈ 〈xn−1, xn〉.

Číslo

Sf (Dn) =n∑

i=1

f (ci )∆xi

nazývame integrálnym súčtom funkcie f pre delenie Dnintervalu 〈a, b〉 a pre danú voľbu čísel c1, c2, . . . , cn (skrátenepre danú voľbu čísel c).

Integrálny súčet

Ak Dn je delenie intervalu 〈a, b〉, číslo

||Dn|| = max{∆x1,∆x2, . . . ,∆xn}

nazývame normou delenia Dn.

Ak je pre každé prirodzené číslo n dané jedno delenie Dnintervalu 〈a, b〉, hovoríme o postupnosti delení {Dn}∞n=1intervalu 〈a, b〉.Takúto postupnosť delení {Dn}∞n=1 intervalu 〈a, b〉 nazývamenormálnou, ak

limn→∞

||Dn|| = 0.

Ak Dn je delenie intervalu 〈a, b〉, číslo

||Dn|| = max{∆x1,∆x2, . . . ,∆xn}

nazývame normou delenia Dn.Ak je pre každé prirodzené číslo n dané jedno delenie Dnintervalu 〈a, b〉, hovoríme o postupnosti delení {Dn}∞n=1intervalu 〈a, b〉.Takúto postupnosť delení {Dn}∞n=1 intervalu 〈a, b〉 nazývamenormálnou, ak

limn→∞

||Dn|| = 0.

Definícia určitého integrálu

Číslo I nazývame určitým integrálom funkcie f na intervale〈a, b〉, ak pre každú normálnu postupnosť {Dn}∞k=1 delení intervalu〈a, b〉 a pre každú voľbu čísel c je

limn→∞

Sn (Dn) = I .

Definícia určitého integrálu

Určitý integrál funkcie f na intervale 〈a, b〉 označujeme

I =

b∫a

f (x) dx ,

kdea, b sú hranice integrovania:a je dolná hranica integrálu,b je horná hranica integrálu,〈a, b〉 je interval integrovania,f (x) je integrovaná funkcia (integrand),symbol dx hovorí že integračná premenná je x .

Ak existuje určitý integrál funkcie f (x) na intervale 〈a, b〉, takhovoríme, že funkcia f (x) je integrovateľná na intervale 〈a, b〉.

Ak neexistuje určitý integrál funkcie f (x) na intervale 〈a, b〉, takhovoríme, že funkcia f (x) nie je integrovateľná na intervale〈a, b〉.

Ak existuje určitý integrál funkcie f (x) na intervale 〈a, b〉, takhovoríme, že funkcia f (x) je integrovateľná na intervale 〈a, b〉.

Ak neexistuje určitý integrál funkcie f (x) na intervale 〈a, b〉, takhovoríme, že funkcia f (x) nie je integrovateľná na intervale〈a, b〉.

Postačujúce podmienky integrovateľnosti funkcií

Veta (Postačujúca podmienka integrovateľnosti)

Ak je funkcia f spojitá na intervale 〈a, b〉, tak je na tomto intervaleintegrovateľná.

VetaAk je funkcia f na intervale 〈a, b〉 ohraničená a má na 〈a, b〉konečný počet bodov nespojitosti, tak je f na tomto intervaleintegrovateľná.

Veta (Postačujúca podmienka integrovateľnosti)

Ak je funkcia f spojitá na intervale 〈a, b〉, tak je na tomto intervaleintegrovateľná.

VetaAk je funkcia f na intervale 〈a, b〉 ohraničená a má na 〈a, b〉konečný počet bodov nespojitosti, tak je f na tomto intervaleintegrovateľná.

Funkcia f (x) sa nazýva po častiach spojitá na intervale〈a, b〉, ak má na 〈a, b〉 konečný počet bodov nespojitosti a vkaždom bode intervalu (a, b) existuje konečná limita funkcie f (x)zprava i zľava, v bode a existuje konečná limita funkcie f (x) zpravaa v bode b existuje konečná limita funkcie f (x) zľava.

VetaAk je funkcia f po častiach spojitá na intervale 〈a, b〉, tak je natomto intervale integrovateľná.

Vlastnosti určitého integrálu

Ak sú funkcie f a g integrovateľné na intervale 〈a, b〉, tak ajfunkcia f + g je integrovateľná na 〈a, b〉 a platí

b∫a

[f (x) + g(x)] dx =b∫

a

f (x) dx +b∫

a

g(x) dx .

Ak je funkcia f integrovateľná na intervale 〈a, b〉 a c jekonštanta, tak aj funkcia cf je integrovateľná na 〈a, b〉 a platí

b∫a

cf (x) dx = cb∫

a

f (x) dx .

Ak sú funkcie f a g integrovateľné na intervale 〈a, b〉, tak ajfunkcia f + g je integrovateľná na 〈a, b〉 a platí

b∫a

[f (x) + g(x)] dx =b∫

a

f (x) dx +b∫

a

g(x) dx .

Ak je funkcia f integrovateľná na intervale 〈a, b〉 a c jekonštanta, tak aj funkcia cf je integrovateľná na 〈a, b〉 a platí

b∫a

cf (x) dx = cb∫

a

f (x) dx .

Ak je funkcia f integrovateľná na intervale 〈a, c〉 a na intervale〈c , b〉, tak je integrovateľná aj na 〈a, b〉 a platí

b∫a

f (x) dx =c∫

a

f (x) dx +b∫

c

f (x) dx .

Nech je funkcia f integrovateľná na intervale 〈a, b〉 a nech naintervale 〈a, b〉 je f (x) ≥ 0. Potom

b∫a

f (x) dx ≥ 0.

Ak je funkcia f integrovateľná na intervale 〈a, c〉 a na intervale〈c , b〉, tak je integrovateľná aj na 〈a, b〉 a platí

b∫a

f (x) dx =c∫

a

f (x) dx +b∫

c

f (x) dx .

Nech je funkcia f integrovateľná na intervale 〈a, b〉 a nech naintervale 〈a, b〉 je f (x) ≥ 0. Potom

b∫a

f (x) dx ≥ 0.

Nech sú funkcie f a g integrovateľné na intervale 〈a, b〉 a nechna intervale 〈a, b〉 platí f (x) ≥ g(x). Potom

b∫a

f (x) dx ≥b∫

a

g(x) dx .

Nech je funkcia f integrovateľná na intervale 〈a, b〉. Ak naintervale 〈a, b〉 platí m ≤ f (x) ≤ M, tak

m(b − a) ≤b∫

a

f (x) dx ≤ M(b − a).

Nech sú funkcie f a g integrovateľné na intervale 〈a, b〉 a nechna intervale 〈a, b〉 platí f (x) ≥ g(x). Potom

b∫a

f (x) dx ≥b∫

a

g(x) dx .

Nech je funkcia f integrovateľná na intervale 〈a, b〉. Ak naintervale 〈a, b〉 platí m ≤ f (x) ≤ M, tak

m(b − a) ≤b∫

a

f (x) dx ≤ M(b − a).

Definuje sa:

a∫a

f (x) dx = 0.

b∫a

f (x) dx = −a∫

b

f (x) dx .

Definuje sa:

a∫a

f (x) dx = 0.

b∫a

f (x) dx = −a∫

b

f (x) dx .

Newtonov-Leibnizov vzorec

Newtonov-Leibnizov vzorec – najúčinnejší nástroj na výpočeturčitých integrálov.

Veta (Newtonov-Leibnizov vzorec)

Nech funkcia f je integrovateľná na intervale 〈a, b〉. Nech funkcia Fje spojitá na intervale 〈a, b〉 a nech je na intervale (a, b)primitívnou funkciou k funkcii f . Potom

b∫a

f (x) dx = [F (x)]ba = F (b)− F (a).

VypočítajmePríklad 1. ∫ 1

0

2xx2 + 1

dx

Príklad 2. ∫ e2e

dxx ln x

Príklad 3. ∫ 12

0

dx√1− x2

Príklad 4. ∫ π2

0

sin 2x1 + cos2 x

dx

0

2xx2 + 1

dx

Príklad 2. ∫ e2e

dxx ln x

Príklad 3. ∫ 12

0

dx√1− x2

Príklad 4. ∫ π2

0

sin 2x1 + cos2 x

dx

0

2xx2 + 1

dx

Príklad 2. ∫ e2e

dxx ln x

Príklad 3. ∫ 12

0

dx√1− x2

Príklad 4. ∫ π2

0

sin 2x1 + cos2 x

dx

0

2xx2 + 1

dx

Príklad 2. ∫ e2e

dxx ln x

Príklad 3. ∫ 12

0

dx√1− x2

Príklad 4. ∫ π2

0

sin 2x1 + cos2 x

dx

Substitučná metóda pre určitý integrál

VetaNech je funkcia f spojitá na intervale 〈a, b〉. Nech je funkcia ϕ(t)spojitá a má spojitú deriváciu ϕ′(t) na intervale 〈α, β〉. Nech prekaždé t ∈ 〈α, β〉 je ϕ(t) ∈ 〈a, b〉. Nech a = ϕ(α) a b = ϕ(β).Potom

b∫a

f (x) dx =

β∫α

f [ϕ(t)]ϕ′(t) dt.

6

3√x + 3

dx

Príklad 2. ∫ π2

0cos x sin6 xdx

Príklad 3. ∫ 3√e1

dx

x√