Matematika (KMI/PMATE) Uvod do matematick e anal yzy ...fse.ujep.cz/~moc/studmat/pdf/pmate/01_PMATE_funkce.pdfFunkce a jej vlastnosti Veli cina Veli cina - pojem, kter y popisuje kvantitativn

Matematika (KMI/PMATE)

Úvod do matematické analýzyFunkce a jej́ı vlastnosti

Funkce a jej́ı vlastnosti

Veličina

Veličina - pojem, který popisuje kvantitativńı (č́ıselné) vlastnostireálných i abstraktńıch objekt̊u.

Př́ıklady veličin:

hmotnost (m)

čas (t)

výše úrokové sazby v bance (i)

cena výrobku (P )

počet pracovńık̊u poťrebných k výměně žárovky (n)

Proměnná

Proměnná - veličina, která může měnit svou hodnotu.

Veličina

hmotnost (m)

čas (t)

cena výrobku (P )

Proměnná

Veličina

hmotnost (m)

čas (t)

cena výrobku (P )

Proměnná

Hodnotám jedné veličiny (času t) p̌rǐrazujeme hodnoty jiné veličiny(teploty T ).

Množinu, ze které vyb́ıráme prvky, nazýváme definičńı obor.

Množinu, do které zobrazujeme prvky, nazýváme obor hodnot.

Prvk̊um z definičńıho oboru p̌rǐrazujeme prvky z oboru hodnot.

Definice pojmu funkce

Reálná funkce jedné reálné proměnné je zobrazeńı z množiny R domnožiny R.

Je to pravidlo, podle kterého každému prvku z množiny D(f) ⊂ Rp̌rǐrad́ıme právě jeden prvek z množiny H(f) ⊂ R.

V matematice se funkce zpravidla označuj́ı ṕısmeny f , g, ϕ, apod.

f : x 7→ y

f : x 7→ 2x+ 3

y = f(x)

y = 2x+ 3

f(x) = 2x+ 3

f(5) = 2 · 5 + 3 = 13

f : x 7→ y

f : x 7→ 2x+ 3

y = f(x)

y = 2x+ 3

f(x) = 2x+ 3

f(5) = 2 · 5 + 3 = 13

f : x 7→ y

f : x 7→ 2x+ 3

y = f(x)

y = 2x+ 3

f(x) = 2x+ 3

f(5) = 2 · 5 + 3 = 13

f : x 7→ y

f : x 7→ 2x+ 3

y = f(x)

y = 2x+ 3

f(x) = 2x+ 3

f(5) = 2 · 5 + 3 = 13

f : x 7→ y

f : x 7→ 2x+ 3

y = f(x)

y = 2x+ 3

f(x) = 2x+ 3

f(5) = 2 · 5 + 3 = 13

f : x 7→ y

f : x 7→ 2x+ 3

y = f(x)

y = 2x+ 3

f(x) = 2x+ 3

f(5) = 2 · 5 + 3 = 13

f : x 7→ y

f : x 7→ 2x+ 3

y = f(x)

y = 2x+ 3

f(x) = 2x+ 3

f(5) = 2 · 5 + 3 = 13

f : x 7→ y

f : x 7→ 2x+ 3

y = f(x)

y = 2x+ 3

f(x) = 2x+ 3

f(5) = 2 · 5 + 3 = 13Matematika (KMI/PMATE)

Definičńı obor funkce

Množina č́ısel, kterou jsme v definici funkce označili D(f), senazývá definičńı obor funkce. Symbol x, označuj́ıćı libovolné č́ısloz množiny D(f), se nazývá nezávisle proměnná nebo argumentfunkce.

Obor hodnot funkce

Č́ıslo y p̌rǐrazené funkćı f k č́ıslu x nazýváme hodnotou funkce fv bodě x; ṕı̌seme y = f(x). Množinu H(f) všech hodnot funkcenazýváme obor hodnot funkce f .

Definičńı obor funkce

Množina č́ısel, kterou jsme v definici funkce označili D(f), senazývá definičńı obor funkce. Symbol x, označuj́ıćı libovolné č́ısloz množiny D(f), se nazývá nezávisle proměnná nebo argumentfunkce.

Obor hodnot funkce

Č́ıslo y p̌rǐrazené funkćı f k č́ıslu x nazýváme hodnotou funkce fv bodě x; ṕı̌seme y = f(x). Množinu H(f) všech hodnot funkcenazýváme obor hodnot funkce f .

Graf funkce

Grafem funkce f nazýváme množinu všech bodů o soǔradnićıch[x, f(x)], kde x je libovolné č́ıslo z definičńıho oboru funkce f af(x) je funkčńı hodnota funkce f v bodě x.

K jednoznačnému určeńı funkce je ťreba zadat:

1 definičńı obor funkce,

2 funkčńı p̌redpis, tj. způsob p̌rǐrazeńı funkčńıch hodnotk argument̊um.

Je zvykem, že neńı-li u funkčńıho p̌redpisu zároveň uveden definičńıobor funkce f , rozuḿı se j́ım množina všech č́ısel x, pro něžexistuj́ı funkčńı hodnoty f(x).

Funkčńı p̌redpis nejčastěji ḿıvá formu vzorce, tj. matematickéhozápisu, z něhož je patrné, které matematické operace je ťrebaprovést s argumentem x, abychom dostali p̌ŕıslušnou funkčńıhodnotu. V tom p̌ŕıpadě se ř́ıká, že funkce je zadána analyticky.

Někdy je funkčńı p̌redpis dán několika vzorci, nap̌r:

f(x) =

1 + x pro x ∈ (0,+∞)

0 pro x = 01− x pro x ∈ (−∞, 0).

V některých p̌ŕıpadech může být funkce zadána p̌ŕımo výčtemfunkčńıch hodnot pro všechny hodnoty argumentu x, nap̌r. tzv.Dirichletova funkce je definována následovně:

f(x) =

{1 pro x racionálńı,0 pro x iracionálńı.

Přibližně lze funkci zadat též graficky, tj. nakresleńım jej́ıho grafu.

Elementárńı funkce

Základńı elementárńı funkce již známé ze sťredńı školy:

Konstantńı funkce: y = c, c ∈ R, D(f) = R.

Lineárńı funkce: y = kx+ q, k, q ∈ R, k 6= 0, D(f) = R.

Mocninná funkce: y = xn, n ∈ N, D(f) = R.n ∈ R, n 6= 0, D(f) = R+.

Funkce sinus: y = sinx. D(f) = R.

Funkce kosinus: y = cosx. D(f) = R.

Funkce tangens: y = tg x, D(f) = R\{ kπ+π2}k∈Z .

Funkce kotangens: y = cotg x, D(f) = R\{kπ}k∈Z .

Exponenciálńı funkce: y = ax, a > 0, D(f) = R.

Logaritmická funkce: y = loga x, a > 0, a 6= 1, D(f) = R+.

Elementárńı funkce

Elementárńımi funkcemi budeme rozumět takové funkce, které lzevytvǒrit ze základńıch elementárńıch funkćı konečným počtemaritmetických operaćı sč́ıtáńı, odč́ıtáńı, násobeńı, děleńı a operaćıskládáńı funkćı.

Př́ıklady elementárńıch funkćı:

f(x) = x3 − 5x2 + 6x− 5

g(x) = ln(

sinx√1+x2

)Př́ıklady neelementárńıch funkćı:

h(x) = |x|3 − 5x2 + 6x− 5

sgn x =

1 pro x > 0,0 pro x = 0,−1 pro x < 0.

Vlastnosti funkce

Sudá funkce

Funkce f se nazývá sudá, jestliže pro všechna x ∈ D(f) plat́ırovnost f(−x) = f(x).

Vlastnosti funkce

Funkce f(x) = x2 je sudá, nebot’ pro všechna x ∈ D(f) = R plat́ı

f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x).

Př́ıklady sudých funkćı:

f(x) = xn, kde n je sudé č́ıslo,

f(x) = cosx.

.

Vlastnosti funkce

Funkce f(x) = x2 je sudá, nebot’ pro všechna x ∈ D(f) = R plat́ı

f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x).

Př́ıklady sudých funkćı:

f(x) = xn, kde n je sudé č́ıslo,

f(x) = cosx.

.

Vlastnosti funkce

Graf sudé funkce je osověsouměrný podle osy y.

Lichá funkce

Funkce f se nazývá lichá, jestliže pro všechna x ∈ D(f) plat́ırovnost f(−x) = −f(x).

Funkce f(x) = x3 je lichá, nebot’ pro všechna x ∈ D(f) = R

f(−x) = (−x)3 = −x3 = −f(x).

Př́ıklady lichých funkćı:

f(x) = xn, kde n je liché č́ıslo,

f(x) = sinx,

f(x) = tg x,

f(x) = cotg x.

Lichá funkce

f(−x) = (−x)3 = −x3 = −f(x).

f(x) = sinx,

f(x) = tg x,

f(x) = cotg x.

Lichá funkce

f(−x) = (−x)3 = −x3 = −f(x).

f(x) = sinx,

f(x) = tg x,

f(x) = cotg x.

Lichá funkce

Graf liché funkce jesťredově souměrnýpodle počátkusoǔradných os.

Periodická funkce

Funkce f se nazývá periodická, jestliže existuje takové p 6= 0, žepro všechna x z jej́ıho definičńıho oboru je f(x+ p) = f(x). Č́ıslop nazýváme periodou funkce f , nejmenš́ı kladnou periodu (pokudexistuje) nazýváme základńı periodou funkce f .

Funkce f(x) = sinx je periodická, nebot’ jestliže zvoĺıme p rovnonap̌r. hodnotě 2π, tak:∀x ∈ R : f(x+ 2π) = sin(x+ 2π) = sinx = f(x).

Monotonost funkce

Rostoućı funkce

Funkce f se nazývá rostoućı v intervalu J ⊂ D(f), jestliže pro dvalibovolné body xi, xj intervalu J pro něž plat́ı xi < xj , zároveňplat́ı nerovnost f(xi) < f(xj).

Funkce y = x2 je rostoućıv intervalu (0,∞),nebot’ v tomto intervalupro všechna xi < xj je

x2i < x2j

(nap̌r. [3 < 5] ∧ [32 < 52]).

Monotonost funkce

Klesaj́ıćı funkce

Funkce f se nazývá klesaj́ıćı v intervalu J ⊂ D(f), jestliže pro dvalibovolné body xi, xj intervalu J pro něž plat́ı xi < xj , zároveňplat́ı nerovnost f(xi) > f(xj).

Funkce y = x2 je klesaj́ıćıv intervalu (−∞, 0),nebot’ v tomto intervalupro všechna xi < xj plat́ı

x2i > x2j

(nap̌r.[(−5) < (−3)] ∧ [(−5)2 > (−3)2]).

Vlastnosti funkce

Omezená funkce

Funkce f se nazývá ohraničená (omezená) v intervalu J ⊂ D(f),jestliže existuje takové č́ıslo C, že pro všechna x ∈ J plat́ı|f(x)| ≤ C.

Funkce y = f(x) je omezenáv zobrazeném intervalu, nebot’ provšechny zobrazené funkčńı hodnotyje

−C < f(x) < C,

tedy|f(x)| < C.

Vlastnosti funkce

Globálńı minimum

Globálńım minimem funkce f v intervalu J ⊂ D(f) nazývámetakovou funkčńı hodnotu f(xn), že pro všechna x ∈ J plat́ıf(x) ≥ f(xn).

Funkce y = f(x) má (nabývá) vbodě xn globálńı minimum f(xn),nebot’ pro všechna x zezobrazeného intervalu plat́ıf(xn) ≤ f(x).

Vlastnosti funkce

Globálńı maximum

Globálńım maximem funkce f v intervalu J ⊂ D(f) nazývámetakovou funkčńı hodnotu f(xm), že pro všechna x ∈ J plat́ıf(x) ≤ f(xm).

Funkce y = f(x) má (nabývá) vbodě xm globálńı maximum f(xm),nebot’ pro všechna x zezobrazeného intervalu plat́ıf(x) ≤ f(xm).

Vlastnosti funkce

Prostá funkce

Funkce f se nazývá prostá, jestliže pro každé dva r̊uzné bodyz definičńıho oboru jsou r̊uzné i jejich funkčńı hodnoty.

Vlastnosti funkce

Funkce neńı prostá. Funkce je prostá.

Vlastnosti funkce

y = 2x+ 4x −2 −1 0 1 2 3 4y 0 2 4 6 8 10 12

y =1

2x− 2 x 0 2 4 6 8 10 12

y −2 −1 0 1 2 3 4

Inverzńı funkce

Necht’ funkce y = f(x) je prostá. Potom inverzńı funkćı k funkci f(znač́ıme f−1) rozuḿıme funkci, která každému y z oboru hodnotfunkce f p̌rǐrazuje takové č́ıslo f−1(y) = x z definičńıho oborufunkce f , pro které plat́ı f(x) = y.

Vlastnosti funkce

y = 2x+ 4x −2 −1 0 1 2 3 4y 0 2 4 6 8 10 12

y =1

2x− 2 x 0 2 4 6 8 10 12

y −2 −1 0 1 2 3 4

Inverzńı funkce

Vlastnosti funkce

y = 2x+ 4x −2 −1 0 1 2 3 4y 0 2 4 6 8 10 12

y =1

2x− 2 x 0 2 4 6 8 10 12

y −2 −1 0 1 2 3 4

Inverzńı funkce

Vlastnosti funkce

Složená funkce

Mějme funkce f a g. Je-li obor hodnot funkce g podmnožinoudefiničńıho oboru funkce f (tj. H(g) ⊆ D(f) ), pak funkciF (x) = f(g(x)) nazýváme složená funkce. Funkce g se nazývávniťrńı funkce, funkce f se nazývá vněǰśı funkce.

Necht’ f(x) = sinx, g(x) = x3. Plat́ı: D(f) = H(g) = (−∞,∞).Potom: F (x) = f(g(x)) = sin

(x3).Matematika (KMI/PMATE)

Vlastnosti funkce

Složeńım funkce a funkce k ńı inverzńı vznikne tzv. identickáfunkce f(x) = x.

f(x) = y f−1(f(x)) = x

f−1(y) = x f(f−1(y)) = y

Dvojice vzájemně inverzńıch funkćı:y = x2, y =

√x

∀x > 0 :√x2 = x, resp.

(√x)2

= x

y = ax, y = loga x

(∀x > 0), (∀a > 0), a 6= 1 : aloga x = x, resp. loga ax = x

y = sinx, y = arcsinx

sin(arcsinx) = x, resp. arcsin(sinx) = x

Operace s funkcemi

Rovnost funkćı

Dvě funkce jsou si rovny (f = g), jestliže maj́ı týž definičńı obor[D(f) = D(g)] a pro všechna x z této množiny plat́ı f(x) = g(x).

Součet funkćı

Součtem funkćı f, g s týmž definičńım oborem nazýváme takovoufunkci h (ṕı̌seme h(x) = (f + g)(x)), která p̌rǐrad́ı ke každémuč́ıslu x ∈ D(f) = D(g) funkčńı hodnotu h(x) = f(x) + g(x).

Zbývaj́ıćı početńı operace s funkcemi

Obdobně se definuje rozd́ıl, součin a pod́ıl funkćı f , g s týmždefiničńım oborem, p̌ričemž pod́ıl je definován pouze tehdy, je-lig(x) 6= 0 pro každé x z definičńıho oboru.