Matematika (opširno)

Svaki skup sastoji se od različitih objekata koje ćemo nazivati njegovim elementima. Skupovi se označavaju najčešće velikim slovima , , , ... a elementi malim slovima , , , ...

Neki element može pripadati datom skupu , što se označava sa , ili ne pripadati istom skupu, što se označava sa .

Kažemo da je podskup skupa i pišemo ili , ako svaki element skupa pripada istovremeno i skupu ; znači, elementi skupa imaju neko karakteristično

svojstvo, označimo ga sa , po kome se razlikuju od svih ostalih elemenata skupa , što se može napisati u obliku:

ima svojstvo .

U slučaju da nijedan element ne poseduje dato svojstvo , tada je - tzv. prazan skup.

Primer: ,

, - jer ne postoji nijedan realan broj čiji bi kvadrat

bio .

Napomena: Jedan objekat može istovremeno biti element nekog skupa i predstavljati skup nekih elemenata.

Def: Dva skupa i su jednaka ako svaki element skupa pripada i skupu i ako svaki element skupa istovremeno pripada i skupu .

Primer: , , .

, , .

Ako skupovi i nisu jednaki, tj. ako su različiti pišemo da je . Ako je i, osim toga, niti je , niti , tada kažemo su skupovi i međusobno neuporedivi.

Def: Partitivni skup datog skupa je skup . Očigledno je

ako i samo ako je .

Page 1 of 230Skupovi

08/11/2005file://C:\Documents and Settings\Emir2\Desktop\skripta\final.html

Primer:

Operacije sa skupovima Def: Unijom dva skupa i nazivamo skup koji se sastoji od elemenata koji pripadaju

skupu , zatim od elemenata skupa , kao i od elemenata koji pripadaju i jednom i drugom skupu (ukoliko takvi elementi postoje). Unija skupova i se označava sa

; dakle .

Primer: , ;

U opštem slučaju, kada imamo konačno mnogo skupova , njihova unija je:

.

Unija beskonačno mnogo skupova , , se piše u obliku:

Operacija uniranja skupova ima sledeća svojstva:

1. ;

2. - svojstvo komutativnosti;

3. - svojstvo asocijativnosti;

Def: Presekom skupova i naziva se skup koji obrazuju samo oni elementi koji pripadaju istovremeno i skupu i skupu ; dakle, može se napisati da je:

.

Def: Ako je presek dva skupa i prazan: , tada su ta dva skupa disjunktna. Za familiju skupova kažemo da je disjunktna ako je bilo koji par date familije disjunktan.

Primer: Neka je data familija skupova , gde je

.

Očigledno je da bilo koja dva različita skupa ove familije imaju prazan presek.

Slično kao i unija skupova, i presek skupova ima svojstva:



1. ;

2. - svojstvo komutativnosti;

3. - svojstvo asocijativnosti;

Ako je dato konačno mnogo skupova njihov presek se označava na sledeći način:

.

Teorema: Važi distributivni zakon za operaciju preseka skupova u odnosu na operaciju uniranja, tj.

.

Napomena: Ako su i proizvoljni realni brojevi i ako je, recimo, , tada ćemo:

- otvorenim intervalom nazvati skup ,

- a zatvorenim intervalom skup

Def: Razlika skupova i , obeležava se , predstavlja skup svih onih elemenata skupa koji ne pripadaju skupu , tj.

Za razliku skupova ne važi svojstvo komutativnosti, tj. ako je tada je .

Primer: Na skupu realnih brojeva dati su intervali i . Prema definiciji

razlike skupova imamo da je , a .

U slučaju kada skupovi i nemaju zajedničkih tačaka, tj. kada je , tada je:

, odnosno .

Iz prethodne definicije neposredno sledi da je za svaki skup :

i .

Def: Simetrična razlika skupova i je unija skupova i , tj.

.

Ako su skupovi i disjunktni, tj. ako je , tada važi:



, jer je u tom slučaju i .

Očigledno je da za simetričnu razliku skupova i važi svojstvo komutativnosti jer:

.

Primer: Skupovi i su predstavljeni intervalima na skupu realnih brojeva: i

. Tada imamo da je:

.

Kako je to je .

Def: Neka je . Komplement skupa u odnosu na skup (ili dopuna skupa do skupa ) je skup:

.

Za svaki skup imamo da je:

i jer je i .

Def: Par elemenata nazivamo uređenim parom (ili uređenom dvojkom) ako je tačno određeno koji je element na prvom, a koji na drugom mestu.

Uređeni parovi i su jednaki ako i samo ako je i ; znači da uređeni

parovi i mogu biti jednaki samo za .

Primer: Tačka u realnoj ravni predstavlja uređeni par jer se tačno zna da je apscisa, a

ordinata tačke .

Dekartov proizvod Def: Dekartovim proizvodom skupova i naziva se skup sastavljen od svih

uređenih parova u kojima element koji je na prvom mestu pripada skupu , a element koji je na drugom mestu pripada skupu :

Primer: Dati su skupovi i . Odrediti Dekartove proizvode i

.



Očigledno je , što znači da za Dekartov proizvod skupova ne važi svojstvo komutativnosti.

Dekartov proizvod se označava sa ; Dekartov proizvod predstavlja realnu ravan, tj.

.

Ako su data tri skupa , , , tada njihov Dekartov proizvod predstavlja skup uređenih trojki kod kojih prvi element pripada skupu , drugi element skupu , a treći element skupu , tj.

.

Dekartov proizvod se označava sa i predstavlja skup svih tačaka u realnom trodimenzionom prostoru:

.

U opštem slučaju, kada je dato skupova , tada njihov Dekartov proizvod:

predstavlja skup svih -torki u kojima prvi element pripada skupu , drugi element skupu ,

... , -ti element skupu . Dekartov proizvod predstavlja skup svih tačaka u -dimenzionom prostoru.

Def: Svaka rečenica koja je istinita ili lažna naziva se iskazom ili izjavom.

Ako je neki iskaz, obeležimo ga sa , istinit, tada se kaže da je njegova logička vrednost ili , a ako je iskaz lažan, tada je njegova logička vrednost ili

. Dakle, svakom iskazu se pridružuje odgovarajuća logička vrednost:



Ako je dat neki iskaz , tada se negacija iskaza označava sa . Na primer, ako je dat iskaz , tada negacija tog iskaza označava da je .

Ukoliko je iskaz istinit, iskaz je lažan (i obrnuto). Prema tome, negaciji iskaza odgovara sledeća tablica istinitosti:

Def: Ako je uređeni par iskaza tada se rečenica " i " , označava se , naziva konjunkcijom iskaza i . Konjunkcija je istinita ako i samo ako su istinita oba iskaza:

Def: Ako je uređeni par iskaza tada rečenica " ili " , označava se , predstavlja disjunkciju iskaza i . Disjunkcija je lažna samo ako su lažna oba iskaza:

Def: Neka je uređen par iskaza. Logičkom uslovljenošću ili implikacijom nazivamo sledeću pogodbenu rečenicu:



"Ako je , tada je i ", što se označava .

Tablica istinitosti za implikaciju ima sledeći oblik:

U rečenici , je pretpostavka (hipoteza), a je posledica ili teza implikacije. Rečenica se može čitati i kao: uslovljava , implicira , iz sledi , je dovoljan

uslov za , je neophodan uslov za , itd.

Def: Ako važe implikacije i , tada se kaže da su iskazi i logički ekvivalentni. Znak za logičku ekvivalenciju iskaza i , , čita se kao: važi ako i samo ako važi , je ekvivalentno sa , itd.

Tablica istinitosti za ekvivalenciju :

Neodređeni iskazi kao, na primer, svaki, bilo koji, bar jedan, neki, svi, itd., nazivaju se kvantorimaili kvantifikatorima. Najčešći su: - "svaki", - "bar jedan" ili "postoji", - "postoji tačno jedan".



Aksioma indukcije: Ako neki skup (tj. podskup skupa prirodnih brojeva) ima svojstva:

1.

2. ako

tada je

Posledica ove aksiome je takozvani

Princip matematičke indukcije: Ako je neko tvrđenje u kome figuriše prirodni broj

dokazano za prirodni broj i ako se, uz pretpostavku da važi za proizvoljan prirodni

broj , dokaže da ono važi i za , tada tvrđenje važi za sve prirodne brojeve .

Osobine skupa prirodnih brojeva

1) Uređenost skupa prirodnih brojeva pomoću binarnih relacija poretka " " i strogog poretka " " koja ima sledeća svojstva:

• za proizvoljna dva prirodna broja važi samo jedan od odnosa:

- svojstvo trihotomije

• ako su , i proizvoljni prirodni brojevi, tada u slučaju da je i - svojstvo tranzitivnosti.

2) Za svaki broj .

3) Na skupu prirodnih brojeva se neograničeno i jednoznačno mogu primenjivati sabiranje, množenje i stepenovanje prirodnim brojem – rezultat će uvek biti prirodan broj; pri tome sabiranje i množenje imaju sledeća svojstva:

• - komutativnost

• - asocijativnost

• - distributivnost.

4) Neutralni element za množenje je : .

5) Skup prirodnih brojeva je ograničen s donje strane, a nije ograničen s gornje strane, tj. postoji najmanji prirodni broj , a ne postoji najveći.

6) Jednačina , nema rešenja u skupu prirodnih brojeva ako je ,



jer tada .

Da bi se rešila jednačina , , skup prirodnih brojeva se mora proširiti tj.

operacija oduzimanja , , dovodi do proširenja skupa na skup .

Osobine skupa celih brojeva 1) Uređenost skupa (pomoću relacija poretka i strogog poretka kao i kod skupa prirodnih brojeva).

2) Na skupu celih brojeva se neograničeno i jednoznačno mogu primenjivati sabiranje, oduzimanje, množenje i stepenovanje prirodnim brojem .

3) Sabiranje i množenje imaju svojstva komutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti.

4)

5) Neutralni element za sabiranje je , a neutralni element za množenje je , tj.

.

6) Za svaki ceo broj postoji suprotan broj takav da, ako je

.

7) Skup celih brojeva je neograničen kako s donje (leve), tako i s gornje (desne) strane, tj. u skupu ne postoji ni najmanji ni najveći ceo broj.

8) Jednačina , nema rešenja u skupu celih brojeva.

Rešavanje jednačine , odnosno operacija deljenja, proširuje skup celih brojeva na skup

racionalnih brojeva :

ili

Osobine skupa racionalnih brojeva 1) Uređenost skupa (na isti način kao i kod prirodnih i celih brojeva).

2) Na skupu racionalnih brojeva se neograničeno i jednoznačno mogu primenjivati sabiranje, oduzimanje, množenje, stepenovanje celim brojem i deljenje

- rezultat će uvek biti racionalan broj.



3) Skup racionalnih brojeva je svugde gust skup, što znači da između svaka dva racionalana broja postoji beskonačno mnogo racionalnih brojeva. Ako i , tada je

i .

Na sličan način možemo obrazovati i aritmetičku sredinu racionalnih brojeva i ,

odnosno i ; tada bi smo dobili da je

, jer je

, itd.

Produžujući ovakav proces dobijamo beskonačno mnogo racionalnih brojeva koji leže unutar intervala , što znači da je skup racionalnih brojeva svugde gust.

4) Skup racionalnih brojeva je neograničen s obe strane, tj. ne postoji ni najmanji ni najveći racionalan broj.

5) Neutralni element za sabiranje je , a neutralni element za množenje je , tj.

.

6) Za svaki racionalan broj , postoji inverzni element za množenje

.

Def: Dedekindovim presekom na skupu racionalnih brojeva nazivamo par skupova i (tzv. donja i gornja klasa) koji imaju sledeća svojstva:

•

•

•

• Svaki element donje klase je manji od bilo kojeg elementa gornje klase .

Na skupu racionalnih brojeva, Dedekindov presek pripada jednom od sledeća tri tipa:

1. Postoji najveći element u klasi , a klasa ne sadrži najmanji element ;

2. Klasa ne sadrži najveći element, ali klasa sadrži najmanji element ;



3. Ne postoji najveći element u klasi niti postoji najmanji element u klasi .

Prva dva tipa definišu racionalan broj, dok treći definiše iracionalan broj.

7) Geometrijska interpretacija racionalnih brojeva na brojnoj pravoj.

8) Operacije sa racionalnim brojevima koje su inverzne stepenovanju

• korenovanje:

• logaritmovanje:

daju u opštem slučaju iracionalne brojeve.

Skup realnih brojeva Svi racionalni i svi iracionalni brojevi obrazuju skup realnih brojeva ( ). Skup realnih brojeva ima sledeće osobine:

1) Skup realnih brojeva je svugde gust i uređen skup (pomoću binarnih relacija poretka i strogog poretka).

2) Dedekindov presek na skupu realnih brojeva daje uvek realan broj i ima samo dva tipa:

1. Postoji najveći element u klasi , a klasa ne sadrži najmanji element ;

2. Klasa ne sadrži najveći element, ali klasa sadrži najmanji element ;

3) Skup realnih brojeva je neprebrojiv skup.

Def: Kažemo da je skup , ograničen s gornje strane ako postoji realan broj

takav da je .

Najmanje od gornjih ograničenja skupa nazivamo supremum skupa :

.

Ako je , tada kažemo da je najveći (maksimalni) element u skupu

.

Def: Za skup kaže se da je ograničen odozdo ako postoji takav realan broj da

je .



Najveće od donjih ograničenja skupa naziva se infimum skupa :

.

Ako je , tada se kaže da je najmanji (minimalni) element u skupu

.

Operacije sa apsolutnim vrednostima realnih brojeva.

Def: Ako je proizvoljan realan broj, tada je apsolutna vrednost od :

Svojstva apsolutnih vrednosti:

1.

2. ako je ili

3. , ili

4.

5.

6.

7.

8. .

Nejednakosti. Na skupu realnih brojeva za nejednakosti važe sledeća svojstva:

1.

2.

3.

Kao posledice navedenih osobina mogu se dokazati sledeća svojstva:

4.



5.

6.

7.

8.

9.

Bernulijeva nejednakost važi za svaki realan broj i svaki prirodan broj :

Skup kompleksnih brojeva Def: Skup svih uređenih parova realnih brojeva u kojem su jednakost, sabiranje i množenje

definisani na sledeći način:

•

•

•

•

naziva se skupom kompleksnih brojeva , a svaki takav uređen par naziva se

kompleksan broj . Rešenje jednačine zove se imaginarna

jedinica . Kompleksan broj se često piše i u algebarskom obliku:

. Skup kompleksnih brojeva predstavlja podskup Dekartovog proizvoda sa gore navedenim osobinama.



Def: Svakom kompleksnom broju odgovara konjugovano kompleksni broj :

, odnosno

Operacije sa kompleksnim brojevima. Neka su data dva kompleksna broja i

; tada se mogu uvesti sledeće operacije:

1. Sabiranje:

2. Oduzimanje:

tj. s obzirom da je oduzimanje operacija inverzna sabiranju, ako je , onda je

, što znači da se razlika dva kompleksna broja geometrijski može interpretirati pomoću njihovog zbira.

3. Množenje:

4. Deljenje se uvodi kao operacija inverzna množenju:



, tj. ,

odakle dobijamo sistem od dve jednačine sa dve nepoznate:

Rešavanjem ove dve jednačine dobija se

, tj.

5. Stepenovanje kompleksnog broja prirodnim brojem se izvodi pomoću operacija množenja:

Napomena. Imamo da je ; uopšte:

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Kompleksan broj predstavlja tačku u

ravni jer je . Ako se uvede sistem polarnih koordinata u ravni

, , rastojanje tačke od koordinatnog početka

predstavlja modul kompleksnog broja : . Ugao koji duž obrazuje

sa apscisnom osom zove se argument kompleksnog broja broja : ; za ugao koji je veći od koristi se oznaka

. Očigledno je , , te se kompleksan

broj može napisati u trigonometrijskom obliku:

gde je , , tj. .



U trigonometrijskom obliku se znatno pojednostavljuje množenje, deljenje i stepenovanje kompleksnih brojeva. Neka su data dva kompleksna broja i

.

• Množenje: , što znači da je modul proizvoda dva kompleksna broja jednak proizvodu modula

, a argument proizvoda jednak zbiru argumenata

.

• Deljenje:

,

• Stepenovanje:

,

U slučaju kada je dobija se Moavrova formula:

.

• Trigonometrijski oblik kompleksnog broja omogućuje da se na skupu kompleksnih brojeva uvede operacija korenovanja. Neka je dat kompleksan broj

. Kažemo da je -ti koren broja , ako

je . Znači, ako je , tada

. Dva kompleksna broja će biti

jednaka ako imaju jednake module i jednake argumente:



i , tj. i , što

znači da je , odnosno , i

. Dakle,

S obzirom da su i periodične funkcije sa periodom to znači da ima različitih vrednosti.

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja. Stepenovanje broja kompleksnim brojem definiše se jednakošću . Ako je imaginarni deo

kompleksnog broja jednak nuli, tj. ako je realan broj, tada za stepen važe poznata svojstva stepena sa realnim eksponentom:

Ako je realni deo kompleksnog broja jednak nuli a imaginarni deo označimo sa , dobijamo tzv. Ojlerovu formulu:

,

na osnovu koje kompleksan broj može da se napiše u eksponencijalnom obliku:

ili, imajući u vidu da je

odnosno

,

jer je .

Primer:



Pojam binarne relacije. Relacija ekvivalencije i poretka. Def: Neka su i proizvoljni skupovi. Svaki podskup Dekartovog proizvoda

predstavlja binarnu relaciju (označićemo je sa ).

Binarna relacija se najčešće zadaje ukazivanjem nekog zajedničkog svojstva, karakterističnog za sve one elemente Dekartovog proizvoda koji joj pripadaju.

Primer: Dati su skupovi i ; definišimo na skupu

binarnu relaciju na sledeći način: uređen par (ili, što je isto, ) ako

je deljivo sa , tj. . Dakle, imamo da je

Def: Za binarnu relaciju kažemo da je refleksivna ako uređen par

.

Def: Binarna relacija je simetrična ako ,

.

Def: Binarna relacija je tranzitivna ako ,

.

Def: Binarna relacija se naziva relacijom ekvivalencije ako je refleksivna, simetrična i tranzitivna.

Def: Binarna relacija je antisimetrična ako ,

.

Def: Binarna relacija koja poseduje svojstva refleksivnosti, tranzitivnosti i antisimetričnosti naziva se relacijom poretka.

Teorema: Svakom razlaganju skupa na klase odgovara neka relacija ekvivalencije na Dekartovom proizvodu , i obrnuto, svakoj relaciji ekvivalencije zadatoj na skupu

odgovara neko razlaganje skupa na klase.



Pojam binarne operacije. Algebarske strukture. Def: Binarna algebarska operacija na nekom skupu predstavlja zakon po kome se svakom

uređenom paru korespondira po jedan i samo jedan element iz .

Def: Neprazan skup na kome je zadata jedna ili više unutrašnjih operacija i, eventualno, jedna ili više spoljašnjih operacija, naziva se algebarskom strukturom.

Algebarske strukture sa jednom binarnom operacijom. Grupoid, polugrupa, grupa, Abelova grupa.

Def: Skup na kome je zadata binarna algebarska operacija naziva se grupoid.

Osobine operacija. Ako je u nekom grupoidu , to ćemo označavati sa ;

je kompozicija elemenata i .

Primer: Neka je dat dvočlani skup i operacija , .

Znači, imamo da je , , , , tj.

je grupoid.

Def: Za operaciju kažemo da je komutativna ako za proizvoljne elemente i važi: .

Def: Operacija je asocijativna ako za proizvoljne elemente , i važi:

.

Def: Grupoid sa asocijativnom operacijom zove se asocijativni grupoid ili polugrupa.

Def: Element je neutralni element za datu operaciju ako za svaki element važi: .

Primer: Za operaciju uniranja skupova, neutralni element je prazan skup:

Teorema: Operacija na grupoidu može imati samo jedan neutralni element.

Dokaz: (pps)

Def: Neka je asocijativni grupoid sa neutralnim elementom i neka su . Kažemo

da je inverzni element elementa ako je: .

Teorema: Proizvoljni element može imati samo jedan inverzni element.



Def: Asocijativni grupoid koji sadrži neutralni element zove se grupa ako za svaki element

, postoji inverzan element : .

Operacija u grupi se najčešće naziva množenjem (pa se umesto piše ) i grupa se u tom slučaju naziva multiplikativnom.

Primer: Proverimo da li skup prirodnih brojeva sa operacijom množenja prirodnih brojeva

obrazuje grupu. je grupoid jer, za proizvoljne elemente , i njihov

proizvod . Množenje prirodnih brojeva je asocijativna operacija, a broj predstavlja neutralni element za množenje. Preostaje još da proverimo da li postoji inverzan element. Ako je proizvoljan prirodan broj i pri tom , tada ne

postoji takav prirodan broj da bi važilo

( je racionalan broj). Dakle, nije grupa.

Def: Ako je operacija u grupi komutativna, tj. , tada se grupa naziva komutativnom ili Abelovom.

Kod Abelovih grupa operacija se često naziva sabiranjem (umesto piše se ), a grupa se naziva aditivnom.

Primer: Neka je skup celih brojeva. Dokažimo da je Abelova grupa. Pošto je, za bilo

koja dva cela broja i , njihov zbir takođe ceo broj, to je na skupu definisana operacija sabiranja, koja je, kao što znamo komutativna i asocijativna. Osim toga,

predstavlja neutralni element za sabiranje, a za svaki ceo broj postoji njemu suprotan broj

Prema tome, je Abelova grupa.

Def: Ako je grupa i skup , tada kažemo da je podgrupa grupe

ako skup obrazuje grupu s obzirom na operaciju grupe . Svaka podgrupa sadrži neutralni element grupe .

Osobine grupe:

1) Ako u grupi element ima inverzni element , tada je inverzni element

elementa element : . Ova osobina sledi iz relacije

.

1’) Ako je u Abelovoj grupi suprotan element elementa , tada je suprotan element elementa upravo element , tj. , što sledi iz relacije

.



2) U grupi svaka od jednačina i , ima jedinstveno rešenje

, odnosno .

2’) U Abelovoj grupi svaka od jednačina , ima jedinstveno

rešenje . (Zbog komutativnosti je ).

3) U grupi , iz jednakosti .

3’) U Abelovoj grupi iz jednakosti .

4) U svakoj grupi važi jednakost .

4’) U svakoj Abelovoj grupi važi jednakost .

Def: Element nazivamo razlikom elemenata i ( , i su elementi Abelove grupe) ako je , što označavamo sa ; razlika elemenata definiše operaciju oduzimanja, koja je inverzna operaciji sabiranja.

Algebarske strukture sa dve binarne operacije. Prsten, telo, polje.

Def: Prstenom nazivamo skup snabdeven sa dve operacije – "sabiranje" i "množenje" tako

da je Abelova grupa i da, osim toga, za sabiranje i množenje važe zakoni distributivnosti:

Svojstva prstena:

1) U svakom prstenu je , što predstavlja tzv. pravilo otvaranja zagrada.

2) Ako su , i proizvoljni elementi prestena , tada je .

3) Za svaki element je .

4) U svakom prstenu važe jednakosti , , .

Ako je operacija množenja komutativna: , tada se prsten naziva komutativnim, a ako

je operacija množenja asocijativna: , tada se prsten naziva asocijativnim.

Ako postoji neutralni element za operaciju množenja, , nazivaćemo ga jedinicom, a odgovarajući prsten – prsten sa jedinicom.

Primer: Prsten je asocijativan i komutativan prsten sa jedinicom jer je operacija



množenja na skupu celih brojeva asocijativna i komutativna, a predstavlja neutralni element za množenje.

Skup parnih celih brojeva sa operacijama

sabiranja i množenja obrazuje asocijativni i komutativni prsten bez jediničnog

elementa, jer .

Def: Ako u asocijativnom i nekomutativnom prstenu sa jedinicom svaki element, izuzev nule, ima inverzan element za množenje, tada se takav prsten naziva telo.

Def: Ako svi elementi nekog prstena, izuzev nule, obrazuju multiplikativnu grupu, tada takav prsten predstavlja telo.

Def: Ako u komutativnom i asocijativnom prstenu sa jedinicom svaki element, izuzev nule, ima svoj inverzan element za množenje, tada se takav prsten naziva polje.

Def: Prsten je polje ako svi njegovi elementi osim nule obrazuju komutativnu grupu za množenje.

Izomorfizam Def: Grupoide i nazivamo izomorfnim ako postoji takvo uzajamno jednoznačno

preslikavanje , da za bilo koja dva elementa , važi:

.

Preslikavanje sa ovim svojstvima naziva se izomorfnim preslikavanjem. Svojstvo izomorfnosti grupoida je simetrično (jer preslikavanje inverzno izomorfnom preslikavanju je takođe izomorfno), refleksivno (na primer identično preslikavanje grupoida na samog sebe) i tranzitivno. Ako su grupoidi i izomorfni, to označavamo sa:

Pri izomorfnom preslikavanju se čuvaju sva svojstva grupoida (ili bilo koje druge algebarske strukture), kao što su komutativnost, asocijativnost, egzistencija jediničnog ili inverznog elementa.

Primer: Neka je komutativni grupoid a izomorfno preslikavanje grupoida na grupoid

. Ako elementi a elementi i , tada

je . S obzirom na svojstvo komutativnosti grupoida

( ) i jednoznačnost izomorfnog preslikavanja , sledi da je , tj. je komutativan grupoid.

Dakle, izomorfna slika polugrupe (asocijativnog grupoida) je polugrupa, izomorfna slika grupe je grupa, dok je izomorfna slika Abelove grupe – Abelova grupa.

Dva prstena će biti izomorfna ako između njih može da se uspostavi uzajamno jednoznačno preslikavanje koje će predstavljati izomorfizam kako za njihove aditivne grupe tako i za njihove multiplikativne grupoide.

Bulova algebra



Bulova algebra predstavlja neki neprazan skup u kome su definisane dve binarne operacije: unija i presek ( i ) kao i jedna unarna operacija – uzimanje komplementa nekog proizvoljnog

podskupa . Ove operacije zovu se Bulove operacije.

Sistem aksioma.

(A1)

(A2)

(A3)

(A4)

(A5)

Def: Bulova algebra predstavlja neprazan skup snabdeven sa tri operacije , i , koje zadovoljavaju aksiome (A1) – (A5).

Def: Neka su i proizvoljni skupovi. Funkcija predstavlja zakon korespondencije pomoću koga se proizvoljnom elementu skupa dodeljuje neki element

skupa .

Da bi se zadala konkretna funkcija potrebno je dati skupove i i zakon korespondencije između elemenata tih skupova, koji predstavlja ili nabrajanje ili opšte pravilo. Ako su skupovi i

beskonačni, tada se zakon korespondencije može zadati samo nekim opštim pravilom.

Primer: Dat je skup prirodnih brojeva. Svakom prirodnom broju dodelićemo broj

; time je definisana funkcija , tj. .

Teorema: Svaka funkcija definiše neku binarnu relaciju na skupu .

Primer: Ako je data funkcija , , imamo da je



. Odgovarajuća binarna relacija je

.

Def: Za funkciju kažemo da je jednoznačna ako se bilo kojem elementu iz skupa korespondira najviše jedan element iz skupa .

Iz ove definicije sledi da u opštem slučaju nekim elementima skupa ne mora biti korespondiran nijedan element iz skupa .

Primer: Data je funkcija pomoću pravila , ; tada se može

napisati da je .

Osobine funkcija Def: Funkcija je svugde definisana ako svakom elementu skupa odgovara

neki element skupa .

Def: Skup onih elemenata iz kojima su korespondirani elementi skupa naziva

se oblast definisanosti funkcije , ili domen te funkcije.

Funkcija je svugde definisana ako je (tj. ako se njena oblast

definisanosti podudara sa skupom ).

Primer: Neka je skup , znači , a skup , tj

. Definišimo na skupu funkciju

.

Oblast definisanosti date funkcije je jer logaritamska funkcija nije

definisana za vrednost .

Ako je funkcija svugde definisana, to znači da je svakom elementu

korespondiran bar po jedan element ; ako je funkcija uz to i jednoznačna, tada je svakom elementu korespondiran po jedan i samo jedan element , tj.

.

Def: Ako je funkcija jednoznačna i svugde definisana tada takvu funkciju nazivamo

preslikavanjem skupa u skup .

Def: Kažemo da je funkcija na skupu ako je svaki element skupa



korespondiran nekom elementu skupa ; u suprotnom kažemo da je funkcija u skupu .

Skup čiji su elementi korespondirani elementima skupa naziva se skup (oblast)

vrednosti funkcije .

Funkcija će biti funkcija na skupu ako i samo ako se skup vrednosti funkcije

podudara sa skupom , tj. ako je .

Def: Funkcija se naziva injektivnom ako je svaki element skupa korespondiran samo po jednom elementu skupa .

Znači je injektivna funkcija ako različitim elementima skupa odgovaraju različiti

elementi skupa , tj. ako su i proizvoljni elementi skupa i , tada je

i , tj.

Ako je injektivna funkcija na celom skupu , tada je svaki element skupa korespondiran jednom i samo jednom elementu skupa .

Inverzna funkcija Def: Neka je proizvoljna funkcija definisana na skupu . Razmotrimo funkciju

zadatu na skupu zakonom korespondencije:

.

Tako definisana funkcija je inverzna funkcija date funkcije .

Primer: Na skupu pozitivnih realnih brojeva, koji ćemo označavati sa , zadat je zakon

korespondencije . Inverzna funkcija data

je zakonom ; označimo . Dakle, dobili smo

inverznu funkciju .

Iz prethodne definicije sledi da je funkcija inverzna funkciji upravo polazna

funkcija .

Teorema: Ako je funkcija svugde definisana, tada je inverzna funkcija

funkcija na celom skupu .

Dokaz: Neka je proizvoljan element skupa i svuda definisana funkcija;



tada postoji takav element da je . U tom slučaju je , što znači

da je u funkciji proizvoljni element korespondiran nekom

elementu iz ; odatle sledi da je funkcija na celom skupu .

Teorema: Ako je funkcija na celom skupu , tada je inverzna funkcija

svugde definisana.

Teorema: Inverzna funkcija je jednoznačna ako i samo ako je polazna funkcija

injektivna.

Kompozicija funkcija Def: Kompozicijom dve funkcije i naziva se funkcija

, čiji se zakon korespondencije zadaje na sledeći način:

.

Teorema: Za kompoziciju funkcija važi asocijativni zakon, tj. ako su date tri funkcije , i , tada je:

.

Uzajamno jednoznačna korespondencija skupova Pretpostavimo da je funkcija :

1. jednoznačna, 2. svugde definisana, 3. na celom skupu , 4. injektivna.

Kako je funkcija svugde definisana i jednoznačna, tada svakom elementu

odgovara po jedan i samo jedan element . Takođe, a obzirom da je

injektivna funkcija na celom skupu , to se svaki element skupa

korespondira po jednom i samo jednom elementu skupa ( ). U tom slučaju

kažemo da je između skupova i uspostavljena uzajamno jednoznačna korespondencija.

Def: Funkcija realizuje uzajamno jednoznačnu korespondenciju skupova i ako je svugde definisana, jednoznačna, injektivna i na celom skupu .

Primer: Neka je skup prirodnih brojeva, a skup parnih brojeva.



Definišimo funkciju ; time je između skupa svih prirodnih brojeva i skupa svih parnih brojeva uspostavljena uzajamno jednoznačna korespondencija.

Teorema: Ako funkcije i uspostavljaju uzajamno jednoznačnu

korespondenciju, tada to isto važi i za njihovu kompoziciju .

Def: Za dva skupa i se kaže da su ekvivalentni, označava se sa , ako se između njihovih elemenata može uspostaviti uzajamno jednoznačna korespondencija.

Ekvivalencija skupova je binarna relacija za koju važe svojstva refleksivnosti, simetričnosti i tranzitivnosti, tj. predstavlja relaciju ekvivalencije.

Def: Ako za skupove i postoji bar jedno uzajamno jednoznačno preslikavanje, tada kažemo da skupovi i imaju jednaku moć.

GLAVA 1 POJAM BROJA, ALGEBARSKE STRUKTURE, POJAM FUNKCIJE

1.1 Skupovi

1.1.1 Operacije sa skupovima

1.1.2 Dekartov proizvod

1.2 Elementi matematičke logike

1.3 Pojam broja

1.3.1 Osobine skupa prirodnih brojeva

1.3.2 Osobine skupa celih brojeva

1.3.3 Osobine skupa racionalnih brojeva

1.3.4 Skup realnih brojeva

1.3.5 Skup kompleksnih brojeva

1.4 Algebarske strukture

1.4.1 Pojam binarne relacije. Relacija ekvivalencije i poretka

1.4.2 Pojam binarne operacije. Algebarske strukture

1.4.3 Algebarske strukture sa jednom binarnom operacijom. Grupoid, polugrupa, grupa, Abelova grupa

1.4.4 Algebarske strukture sa dve binarne operacije. Prsten, telo, polje

1.4.5 Izomorfizam

1.4.6 Bulova algebra

1.5 Pojam funkcije

1.5.1 Osobine funkcija

1.5.2 Inverzna funkcija

1.5.3 Kompozicija funkcija

1.5.4 Uzajamno jednoznačna korespondencija skupova



Pojam vektora. Osnovne operacije s vektorima. Def: Vektori su veličine određene svojom dužinom (brojnom vrednošću), svojim

pravcem i smerom.

Vektor se predstavlja uređenim parom tačaka, npr. i označava se sa

.

Def: Za dva vektora kažemo da su jednaki ako imaju istu dužinu, isti pravac i isti smer.

Def: Slobodnim vektorom se naziva vektor koji se sme pomerati tako da mu se pri tom ne menja ni dužina, ni pravac, ni smer; takvo pomeranje se naziva translacija.

Dužina vektora (intenzitet, modul, ili apsolutna vrednost) označava se sa ili .

Nula-vektor je vektor čija je dužina jednaka nuli; samim tim pravac mu nije određen; označava se sa .

Vektor čija je dužina zove se jedinični vektor ili ort. Kažemo da je ako vektor

ima istu početnu tačku, isti pravac i smer kao i vektor i .

Sabiranje vektora.

Neka su i dva proizvoljna vektora (različita od nula-vektora); ako se vektor translatorno pomeri tako da mu se početna tačka poklopi sa krajem vektora , dobićemo nadovezane vektore



i .

Def: Zbir dva nadovezana vektora i je treći vektor kome je početak u početnoj tački vektora , a kraj u krajnjoj tački vektora .

Dva slobodna vektora se mogu sabirati i po tzv. principu paralelograma sila, ako se prethodno jedan od njih translatorno pomeri tako da mu se početna tačka podudari sa početnom tačkom drugog vektora; vektori koje sabiramo zovu se komponente, a njihov zbir rezultanta.

Definicija zbira dva vektora proširuje se na zbir konačno mnogo nadovezanih vektora:

.

Sabiranje vektora ima sledeća svojstva:

1. - komutativnost

2. - asocijativnost

3. - je neutralni vektor pri sabiranju

4. - za svaki vektor postoji suprotan vektor , koji ima istu dužinu i pravac, ali suprotan smer.

Dakle, skup svih vektora sa operacijom sabiranja vektora obrazuje Abelovu grupu.

Na osnovu svojstva 4. uvodi se operacija oduzimanja vektora kao operacija suprotna operaciji sabiranja, tj. razliku dva proizvoljna vektora i definišemo kao zbir vektora i vektora

, suprotnog vektoru :

Razlika dva vektora i , koji imaju zajednički početak je vektor .



Množenje vektora skalarom.

Def: Ako je i realan broj , tada je vektor čiji je pravac isti kao i pravac vektora

, modul je , a smer mu je isti kao i smer vektora ako je , odnosno

suprotan smeru vektora ako je .

Za svaki vektor možemo napisati da je:

.

Množenje vektora realnim brojem ima sledeća svojstva:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Def: Uglom između dva vektora i (oznaka: ) nazivamo najmanji ugao za koji jedan od tih vektora treba da se obrne oko zajedničke početne tačke da bi se poklopio sa drugim vektorom. Dakle, za proizvoljne vektore i uvek je , a za kolinearne vektore je taj ugao ili .



Def: Orijentisanom pravom ili osom nazivamo pravu za čije se bilo koje dve tačke zna koja je prethodna a koja sledeća, tj. za koju je utvrđen pozitivan smer. Osa se može okarakterisati i svojim jediničnim vektorom.

Osa na kojoj je utvrđena početna tačka i tačka čije je odstojanje od početne tačke jednako zove se koordinatna osa.

Def: Algebarska vrednost vektora na datoj osi je broj ako je smer vektora

isto kao i smer ose, odnosno broj ako je smer vektora suprotan smeru

ose.

Def: Projekcija vektora na orijentisanu ili neorijentisanu pravu ili ravan je vektor čiji je početak projekcija početne tačke , a projekcija krajnje tačke datog vektora

.

Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Def: Za dva vektora i kažemo da su kolinearni ako imaju isti pravac, tj. ,

ili, drugačije rečeno, ako postoje takvi skalari i , , da je:

, tj.

Def: Za tri ili više vektora kažemo da su komplanarni ako leže u jednoj ravni (ili ako leže u paralelnim ravnima). Da bi tri vektora , i bili komplanarni treba da postoje takvi skalari

, i (pri tom bar jedan od njih različit od nule) da je zadovoljena jednakost:

.

Napomena: Zbir , odnosno predstavlja tzv. linearnu kombinaciju



vektora i , odnosno vektora , i .

Def: Za vektore i kažemo da su linearno zavisni ako postoje takvi skalari i (koji nisu istovremeno jednaki nuli) da je zadovoljena jednakost:

, tj.

Prema tome, dva vektora su linearno zavisna ako i samo ako su kolinearna.

U opštem slučaju kažemo da su vektori linearno zavisni ako postoje takvi skalari

(koji nisu svi jednaki nuli) da je odgovarajuća linearna kombinacija uvek jednaka nuli:

.

U suprotnom kažemo da su vektori linearno nezavisni.

Dakle, dva linearno zavisna vektora su kolinearna, a dva linearno nezavisna vektora su nekolinearna (obrazuju kos ugao).

Vektorski prostor Def: Skup nazivamo vektorskim prostorom ako je za sve elemente skupa koji

predstavljaju vektore, odnosno elemente ma kakve prirode, definisana operacija sabiranja: , i množenja skalarom: , i ako ove operacije imaju sledeća

svojstva:

1. - komutativnost;

2. - asocijativnost;

3. - egzistencija neutralnog elementa;

4. - egzistencija suprotnog elementa;

Znači je Abelova grupa.

5. - je neutral za množenje;

6. ;

7. - zakoni distributivnosti.



Def: Za dati vektorski prostor , najveći broj među sobom linearno nezavisnih vektora određuje dimenziju tog prostora. U -dimenzionom vektorskom prostoru svaki skup od linearno nezavisnih vektora predstavlja bazu tog prostora.

Def: Baza datog vektorskog prostora je skup takvih linearno nezavisnih vektora da se svaki vektor tog prostora može predstaviti kao linearna kombinacija vektora koji određuju datu bazu.

Teorema: Svaki vektor u -dimenzionom vektorskom prostoru može se na tačno jedan način predstaviti linearnom kombinacijom od linearno nezavisnih vektora

vektorskog prostora . Takvo predstavljanje datog vektora

naziva se razlaganjem vektora po bazi koju obrazuju vektori :

,

gde skalari , nisu svi istovremeno jednaki nuli.

Def: Koeficijenti razlaganja datog vektora po datoj bazi predstavljaju koordinate vektora u odnosu na tu bazu. Vektor se pomoću svojih koordinata može napisati u sledećem obliku:

ili .

Ortogonalnu bazu obrazuju uzajamno ortogonalni vektori; normiranu bazu obrazuju vektori dužine , dok ortonormiranu bazu obrazuju međusobno ortogonalni jedinični vektori. Afinu bazu obrazuju vektori različite dužine koji nisu svi uzajamno ortogonalni.

Uobičajeno je da se vektori ortonormirane baze u ravni (tj. u dvodimenzionom prostoru) označavaju sa , a baza sa , dok se vektori ortonormirane baze u trodimenzionom

prostoru označavaju sa , i , a baza sa .

Svaka tri linearno nezavisna vektora obrazuju triedar (trostrani rogalj). Pretpostavimo da triedar obrazuju tri jedinična vektora čiji pravci određuju koordinatne ose, dok im je zajednički

početak koordinatni početak. Ako su, osim toga, ovi jedinični vektori i uzajamno ortogonalni, onda oni obrazuju trodimenzioni pravougli Dekartov koordinatni sistem.

Uobičajeno je da se trodimenzioni pravougli koordinatni sistem određuje jediničnim vektorima koji respektivno leže na osama (koje se nazivaju apscisna osa, ordinatna

osa i osa aplikata).



Skalarni proizvod Def: Skalarnim (unutrašnjim) proizvodom dva vektora nazivamo proizvod njihovih modula i

kosinusa ugla određenog tim vektorima.

Skalarni proizvod vektora i je skalar i označavamo ga sa , ili . Dakle:

Primetimo da skalarni proizvod možemo napisati u obliku:

odnosno

gde je algebarska vrednost projekcije vektora na vektor , dok je

algebarska vrednost projekcije vektora na vektor .

Def: Skalarni proizvod dva vektora je proizvod modula jednog vektora i algebarske vrednosti projekcije drugog vektora na prvi vektor.

Svojstva skalarnog proizvoda:

1. - komutativnost

2.

3. - uslov ortogonalnosti

4. - distributivnost u odnosu na sabiranje vektora

5.

Ako je dat proizvoljni vektor , tada će algebarske vrednosti njegovih projekcija na ortonormiranu bazu biti:

, , ,

gde su , i uglovi koje vektor obrazuje redom sa vektorima , i ortonormirane baze.



Uslov ortogonalnosti vektora i glasi: .

U Dekartovom koordinatnom sistemu sa bazom skalarni proizvod vektora

i je:

,

stoga je za : ,

tj. modul vektora je .

U ortonormiranom koordinatnom sistemu u -dimenzionom prostoru je skalarni proizvod vektora i :

a modul vektora :

Vektorski proizvod Def: Vektorski (spoljašnji) proizvod dva nekolinearna vektora i je vektor koji ima:

- modul jednak površini paralelograma koji određuju i

- pravac ortogonalan na vektore i

- smer takav da vektori , i obrazuju desni triedar.



Vektorski proizvod vektora i se označava sa (ili , ). Dakle, ako je

, tada je:

Ako je , tj. tada su vektori i kolinearni.

Svojstva vektorskog proizvoda:

1. (pri tom je ) - ne važi komutativnost

2. , za svaki skalar

3.

4.

5. .

Ako su i dva proizvoljna vektora zadata svojim koordinatama u ortonormiranoj bazi

: , , tada je vektorski proizvod vektora i :

tj.

koordinate vektorskog proizvoda datih vektora su:



Vidimo da vektorski proizvod vektora i predstavlja vektor , koji svojim pravcem određuje položaj, svojim smerom orijentaciju, a svojim modulom veličinu (površinu) paralelograma koji obrazuju vektori i . Dakle, površina orijentisanog paralelograma može se

predstaviti pomoću određenog normalnog vektora .

Mešoviti proizvod tri vektora Def: Mešoviti proizvod tri vektora , i je skalar koji označavamo sa

i koji je jednak zapremini paralelopipeda obrazovanog nad

vektorima , i ako je triedar , , desne orijentacije, a ako je leve orijentacije,

tada je .

Neka je , a , tj. ; možemo napisati da je

, a je merni broj površine paralelograma nad vektorima i . Dakle,

,

gde je algebarska vrednost projekcije vektora na pravac jediničnog vektora

; pri tom je ako je (tj. , i obrazuju desni triedar), i

ako je (tj. , i obrazuju levi triedar), a je visina paralelopipeda sa

osnovom .

,

gde znak skalara zavisi od orijentacije uređene trojke , i .



Svojstva mešovitog proizvoda:

1.

2.

3.

4. ciklična promena mesta vektora u mešovitom proizvodu ne menja njegovu vrednost jer je svejedno koju stranu paralelopipeda uzimamo za osnovu, pod uslovom da odgovarajući triedar ne menja orijentaciju:

5. Uslov komplanarnosti tri vektora , i je da je njihov mešoviti proizvod

jednak nuli: .

Pojam matrice

Def: Matricom nazivamo pravougaonu tablicu (shemu) sa elemenata raspoređenih u vrsta i kolona:



Matrice se označavaju velikim slovima latinice: , , , ...

Proizvoljni element matrice pripada -toj vrsti i -toj koloni pa matricu možemo označiti i na sledeći način:

ili

Matrica čiji su svi elementi nule naziva se nula-matrica.

Za matricu sa vrsta i kolona kaže da ima dimenziju .

Def: Dve matrice istog tipa jednake su ako i samo ako su im odgovarajući elementi jednaki. Takve matrice nazivamo i konformne matrice.

Ako je, u matrici , tada imamo matricu vrstu:

Ako je , tada imamo matricu kolonu:

Ako je broj vrsta jednak broju kolona, tada imamo kvadratnu matricu:

Elementi leže na glavnoj dijagonali kvadratne matrice, dok elementi

pripadaju sporednoj dijagonali.

Zbir svih elemenata na glavnoj dijagonali kvadratne matrice zove se trag matrice i označava:



Kvadratna matrica u kojoj su svi elementi van glavne dijagonale nula, a elementi na glavnoj dijagonali nisu svi nula, zove se dijagonalna matrica:

Ako su u dijagonalnoj matrici svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki , imamo skalarnu matricu:

koja se za zove jedinična matrica:

Koristeći tzv. Kronekerov simbol:

dijagonalnu, skalarnu i jediničnu matricu -tog reda možemo predstaviti u obliku:

Sabiranje matrica. Množenje matrice brojem. Def: Dve konformne matrice i su jednake: , ako i samo

ako je:



Jednakost matrica ima sledeća svojstva:

1. refleksivnost:

2. simetričnost:

3. tranzitivnost:

Dakle, jednakost matrica je relacija ekvivalencije.

Def: Kažemo da je matrica jednaka zbiru matrica i ako su matrice , i iste

dimezije, tj. , , i ako je osim toga:

Sabiranje matrica ima sledeća svojstva:

1. komutativnost:

2. asocijativnost:

3. nula-matrica je neutralni element za sabiranje:

4. za proizvoljnu matricu postoji suprotna matrica :

Posledica. Postoji operacija inverzna sabiranju, tj. za dve date matrice i uvek

postoji matrica takva da je:

, tj.

matrica se zove razlika matrica i .

Def: Množenje matrice brojem. Ako je , a matrica , tada je:

što znači da se matrica množi brojem tako što se svaki njen element pomnoži tim brojem. Odatle sledi da: , .

Operacija množenja matrice brojem ima sledeća svojstva:

1. komutativnost:

2. asocijativnost:

3. distributivnost s obzirom na zbir brojeva:



4. distributivnost s obzirom na zbir matrica:

Sve konformne matrice obrazuju vektorski prostor čiji su oni elementi.

Determinante Pođimo od sistema od dve linearne algebarske jednačine sa dve promenljive:

gde koeficijenti uz promeljive nisu , a slobodni članovi nisu oba . Ako prvu jednačinu tog

sistema pomnožimo sa , a drugu sa i oduzmemo od prve, dobićemo

; ako pak prvu jedančinu pomnožimo sa a drugu sa

i oduzmemo je od prve dobićemo . Dakle dobili smo:

Zajednički faktor uz promeljive i možemo napisati u obliku kvadratne sheme (tablice) koju obrazuju koeficijenti uz i :

Takva shema zove se determinanta sistema. Ako se u determinanti koeficijenti koji stoje uz

promenljivu , odnosno zamene slobodnim članovima i , dobijaju se determinante:

,

Pomoću determinanata , i sistem ekvivalentan datom sistemu pišemo u obliku:

,

Odatle, pod pretpostavkom da je determinanta sistema , dobijamo rešenje sistema:

,

Razlikujemo sledeće tri mogućnosti:



1. Ako je determinanta sistema , tada ovaj sistem ima jedinstveno rešenje.

2. Ako je , tj. , a bar jedna od determinanata i različita od nule, tada sistem nema rešenje jer ne postoje realni brojevi i takvi da bi bilo ispunjeno i .

3. Ako je , a takođe i i , tada sistem ima beskonačno mnogo rešenja jer beskonačno mnogo realnih brojeva i zadovoljavaju jednač7. ine i .

Geometrijski svaka od jednačina sistema predstavlja po jednu pravu u Dekartovom koordinatnom sistemu.

Ako je , postoji jedinstveno rešenje, tj. prave se seku u tački , gde je

, .

Ako je , a i , tada je , tj. prave su paralelne.

Ako je , tada je , tj. sistem obrazuju dve prave koje se

poklapaju (dve identične prave).

Def: Kvadratna shema od elemenata raspoređenih u vrsta i kolona zove se



determinanata -tog reda. Vrste i kolone zovu se jednim imenom redovi determinante.

Determinanata drugog reda ima oblik:

a determinanta trećeg reda:

Vrednost determinante drugog reda se izračunava po pravilu:

Vrednost determinante trećeg reda kao i determinanate -tog reda , izračunava se po opštem pravilu. Neka je data determinanta trećeg reda:

Ako se izostavi jedna vrsta i jedna kolona u datoj detrminanti, preostali elementi će obrazovati jednu determinantu drugog reda; svaku detrminantu koju na pomenuti način dobijamo iz date determinante nazivamo minorom. Očigledno, data detreminanta trećeg reda ima onoliko minora koliko i elemenata, tj. . Na primer, elementima , i odgovaraju minori:

, ,

Def: Vrednost determinante trećeg reda jednaka je:

.

Za ovako napisanu determinantu trećeg reda kažemo da je razvijena po elementima prve vrste. Pri razvijanju determinante svaki element se množi odgovarajućim minorom i brojem

gde označava red vrste, a red kolone. Determinanta se može razviti po elementima bilo koje vrste ili kolone – vrednost će uvek biti ista. Na primer:

Sada se može formulisati pravilo izračunavanja determinante -tog reda:



Ako ovu determinantu razvijemo po elementima -te vrste dobijamo

gde smo minore obeležili sa .

Ako umesto minora uvedemo kofaktor elemenata :

,

imaćemo (kada se razvije po elementima -te vrste):

.

Primer:

Svojstva determinante:

1. Ako u proizvoljnoj determinanti dva paralelna reda uzajamno promene mesto, tada determinanata menja znak, a zadržava istu apsolutnu vrednost. Na primer:

, .

2. Determinanat se množi brojem tako što se svi elementi jednog njenog reda pomnože tim brojem, i obrnuto, zajednički faktor svih elemenata jednog reda determinante je istovremeno množilac cele determinante, pa se može izdvojiti i napisati ispred determinante:



Posledica: Ako su svi elementi jednog reda determinante jednaki nuli, tada je i .

3. Ako su u determinanti dva paralelna reda identična ili proporcionalna tada je vrednost determinante :

.

4. Ako sve vrste ili sve kolone date determinante reda ciklično promene mesta, tada determinanta ne menja svoju vrednost:

.

5. Determinanta ne menja svoju vrednost ako se svim elementima jednog njenog reda dodaju odgovarajući elementi nekog drugog paralelnog reda, pomnoženi jednim istim brojem:

.

6. Ako su elementi jedne vrste ili kolone date determinante zbirovi od dva ili više sabiraka, tada se ta determinanta može razložiti na zbir od dve ili više determinanata:

.

7. Ako su svi elementi jednog reda date determinante linearna kombinacija odgovarajućih elemenata dvaju ili više drugih paralelnih redova, tada je vrednost determinante .

Rang matrice U proizvoljnoj matrici možemo uočiti determinanate, počev od onih prvog reda (to su

sami elementi matrice), pa zatim drugog reda, ... , sve do determinante reda , gde je

. Svaku takvu detereminantu reda , sastavljenu od elemenata koji leže u preseku vrsta i kolona, nazivamo minorom date matrice. Detereminanta -tog reda koja sadrži sve elemente kvadratne matrice -tog reda zove se detereminanta

kvadratne matrice i označava ; dakle, za je:



Kvadratna matrica je regularna ako je , tj. ako je jednak redu te

matrice, a neregularna (singularna) ako je .

Def: Rang matrice je najveći red detereminanata različitih od nule koje pripadaju datoj matrici, tj. rang matrice je najveći red minora te matrice koji je različit od nule; označava se sa

ili .

Dakle, rang bilo koje matrice je prirodan broj, jedino je rang nula-matrice jednak nuli.

Određivanje ranga matrice. Pri određivanju ranga matrice polazi se od minora najnižeg reda (tj. od onih prvog i drugog reda), dok se ne utvrdi najniži red onih minora koji su svi jednaki nuli; u tom slučaju je rang razmatrane matrice .

Def: U elementarne transormacije, tj. u transformacije koje ne menjaju rang polazne matrice spadaju:

1. Množenje svih elemenata nekog reda matrice jednim istim brojem .

2. Uzajamna promena mesta dvaju paralelnih redova.

3. Priključivanje novog reda čiji su svi elementi nule.

4. Isključivanje reda čiji su svi elementi nule.

5. Dodavanje elementima jednog reda odgovarajućih elemenata nekog drugog paralelnog reda pomnoženih jednim istim brojem .

6. Transponovanje, tj zamena mesta svih vrsta sa odgovarajućim kolonama ili obrnuto; to znači da, ako je data neka matrica , njena transponovana matrica će imati

oblik (ako je polazna matrica dimenzije , njena transponovana

matrica će biti dimenzije ).

Primer: Za matricu vrstu transponovana matrica će biti matrica kolona:

Kvadratna matrica koja je jednaka svojoj transponovanoj matrici zove se simetrična matrica, tj. matrica je simetrična ako i samo ako .



Teorema: Elementarne transformacije konačno mnogo puta primenjene na datu matricu ne menjaju rang matrice.

Def: Dve matrice i su ekvivalentne, pišemo , ako i samo ako se jedna od njih može prevesti u drugu pomoću konačno mnogo uzastopnih elementarnih transformacija, tj. ako je .

Množenje matrice matricom Proizvod dve matrice ima smisla samo u slučaju ako su matrice i saglasne, što znači da je matrica reda , a matrica reda .

Def: Proizvod saglasnih matrica i je matrica , koja

ima onoliko vrsta koliko ih ima matrica i onoliko kolona koliko ih ima matrica :

pri tom se elementi matrice formiraju po zakonu:

Dakle, element matrice , koji se nalazi na preseku -te vrste i -te kolone, obrazuje se

tako što se elementi -te vrste matrice pomnože odgovarajućim elementima -te kolone matrice i dobijeni proizvodi saberu.

Primer: Naći proizvod dve date matrice:

i

Pošto je i , to je

Znači:

.

Množenje matrica u opštem slučaju nije komutativna operacija, tj:



Izuzetak je množenje proizvoljne kvadratne matrice jediničnom matricom i nula-matricom:

i .

Kod množenja većeg broja matrica neophodno je da svake dve susedne matrice budu saglasne, tj. da budu saglasne u nizu.

Na primer, ako su date matrice , i , tada se može obrazovati proizvod datih

matrica samo u navedenom poretku, tj. .

Def: Množenje matrica je asocijativna operacija:

Teorema: Proizvod dve kvadratne matrice istog reda biće regularna matrica ako i samo ako su obe matrice regularne.

Inverzna matrica Zbog nekomutativnosti množenja ( ), deljenje nije jednoznačno definisana operacija, jer količnik matrica i može biti i matrica takva da je , i matrica

za koju je (pri tom je ). Dakle, postoji deljenje sleva i deljenje zdesna, odnosno levi i desni količnik.

Količnik dve kvadratne matrice ne mora uvek postojati, jer ako je, recimo, neregularna, a regularna matrica, tada su proizvodi i neregularne matrice, te je i

, što znači da za date matrice i ne postoje matrice i takve da je , odnosno .

Def: Matrica je inverzna matrica regularne kvadratne matrice ako je:

.

Iz definicije sledi da je kvadratna matrica istog reda kao i i takođe regularna matrica. Neregularna matrica nema inverznu matricu.

Teorema: Za datu regularnu kvadratnu matricu postoji jedna i samo jedna inverzna matrica .

Dokaz: (pps) Regularna kvadratna matrica ima dve inverzne matrice: i . Na osnovu definicije sledi:

Pomnožimo obe jednakosti sa sleva i primenimo zakon asocijacije:



Dobijamo:

tj. .

Takođe, možemo zaključiti da, ako je data regularna kvadratna matrica, tada je njena inverzna matrica. Imajući to u vidu, neposredno se dokazuje da je:

.

Primer: Odrediti inverznu matricu matrice:

.

Svojstva množenja matrice matricom:

1.

2. (u opštem slučaju)

3.

4. mogućno i kada je i , na primer:

,

5. .



Def: Jednačina sa promenljivih oblika:

gde koeficijenti nisu svi istovremeno nula, nazivamo linearnom algebarskom jednačinom; njena leva strana predstavlja linearnu formu sa promenljivih. Skup rešenja ove jednačine je skup svih uređenih -torki brojeva koje tu jednačinu identički zadovoljavaju.

Def: Sistem od linearnih algebarskih jednačina sa promenljivih

:

nazivamo nehomogenim sistemom ako slobodni članovi nisu svi jednaki nuli, a homogenim sistemom ako su svi slobodni članovi jednaki nuli. Skup rešenja ovog sistema je skup uređenih -torki brojeva koje sve jednačine sistema identički zadovoljavaju.

Sistem se piše u sažetom obliku:

,

a u matričnom obliku:



, odnosno ,

gde je .

Matrica

zove se matrica sistema. Ako se ovoj matrici dopišu zdesna slobodni članovi koji obrazuju matricu , dobija se proširena matrica sistema:

.

Pri tom je , a ne može biti manji od ranga matrice, već

je ili ili .

U pogledu rešavanja sistema postoje sledeće mogućnosti:

1. Sistem nema ni jedno rešenje

2. Sistem ima jedinstveno rešenje

3. Sistem ima beskonačno mnogo rešenja

U prvom slučaju kažemo da je sistem nesaglasan (inkompatibilan), dok je u preostala dva slučaja sistem saglasan (komplatibilan).

Teorema: (Kroneker-Kapelijeva) Sistem linearnih algebarskih jednačina je saglasan ako i samo ako je:

.

Posledica: Sistem linearnih algebarskih jednačina nema rešenja ako i samo ako je:

.



Rešavanje nehomogenog sistema linearnih algebarskih jednačina Dat je sistem:

gde slobodni članovi nisu svi jednaki nuli i u opštem slučaju je .

Razmatraćemo samo saglasan sistem, tj. kada je , jer u slučaju kada je

unapred znamo da je sistem nesaglasan, tj. nema rešenja.

Za saglasan sistem postoje sledeće mogućnosti:

1.

2.

U prvom slučaju je očigledno , tako da na levoj strani imamo linearno nezavisnih i linearno zavisnih linearnih formi; koeficijenti tih linearnih formi obrazuju regularnu

kvadratnu matricu -tog reda. Kako je, po pretpostavci, , to je u ovom slučaju posmatrani sistem od jednačina sa promenljivih ( ) ekvivalentan nehomogenom sistemu od jednačina sa promenljivih i sa regularnom matricom. Zato se odmah rešava nehomogeni sistem:

gde je

, tj. .

U matričnom obliku taj sistem glasi:

.

Ovu matričnu jednačinu rešavamo množeći je prvo sleva sa :



.

Dakle, da bi se odredili elementi tražene matrice , potrebno je prvo naći inverznu matricu .

Za određivanje jedne nepoznate, recimo , iz polaznog sistema, potrebno je eliminisati sve ostale promenljive. Prvo ćemo pomnožiti sve jednačine tog sistema odgovarajućim kofaktorima

odnosno minorima elemenata , uzetim sa odgovarajućim znakom

( ):

a zatim, grupišući koeficijente uz odgovarajuće promenljive, sabrati dobijene jednačine:

(•)

Na levoj strani ove jednačine imamo u zagradama izraze:

, za , i ,

dok je na desnoj strani izraz:

,

koji se dobija kada se koeficijenti (koji stoje uz promenljivu u polaznom sistemu) zamene

slobodnim članovima :



Prema tome, jednačina (•) može se napisati u obliku:

odakle je

čime je dobijeno rešenje polaznog sistema. Zbog jednoznačnosti operacije deljenja brojem različitim od nule u skupu realnih brojeva, dobijeno rešenje je jedinstveno.

Teorema: (Kramerova) Ako je determinanta sistema od nehomogenih linearnih algebarskih jednačina sa promenljivih različita od nule, tada taj sistem ima jedinstveno rešenje dato formulom:

gde je determinanta tog sistema, a determinanta dobijena tako što su u

koeficijenti uz zamenjeni, redom, slobodnim članovima .

S obzirom da važi da je:

to jest

tada rešenje sistema možemo napisati u obliku:

Kvadratna matrica na desnoj strani zove se adjungovana matrica matrice i označava:

. S obzirom na to je:

.

Neposredno zaključujemo da je inverzna matrica matrice :



.

Matrica dobija se tako što se, prvo, matrica transponuje, pa se zatim, polazeći od:

od kofaktora njenih elemenata formira :

Rešavanje homogenog sistema linearnih algebarskih jednačina Dat je sistem od homogenih jednačina sa promenljivih:

Kod homogenog sistema uvek je , što znači da je takav sistem uvek saglasan. Sistem očigledno uvak ima trivijalno rešenje:

Treba, međutim, ispitati da li taj sistem osim trivijalnog ima i netrivijalna rešenja. Razlikujemo sledeće slučajeve:

1. Ako je (znaèi ), tada je u sistemu sadržan podsistem od saglasnih

homogenih jednačina sa promenljivih, pa je determinanta tog podsistema . Prema, tome, na osnovu Kramerove teoreme, takav sistem ima samo jedno rešenje, tj. osim trivijalnog drugih rešenja nema.

Napomena: Sve determinante koje se obrazuju zamenom koeficijenata uz slobodnim članovima, biće jednake nuli jer su svi slobodni članovi jednaki nuli.



2. Ako je , tada postoji slobodnih promenljivih kojima možemo davati proizvoljne vrednosti, te u tom slučaju sistem osim trivijalnih ima i beskonačno mnogo netrivijalnih rešenja. U datom sistemu je sadržan saglasan podsistem:

čije su vezane promenljive date formulom:

a opšte rešenje je

ili u matričnom obliku:

ili kraće:

To je opšte rešenje homogenog sistema u kome, u poređenju sa opštim rešenjem nehomogenog sistema, nedostaje (trivijalno rešenje); čine fundamentalni sistem rešenja. Dakle, svako netrivijalno rešenje homogenog sistema (pod uslovom:

) je linearna kombinacija njegovih fundamentalnih rešenja.

Primer: Rešiti homogeni sistem jednačina:



Lako je videti da je treća jednačina posledica prvih dveju, te da je dati sistem ekvivalentan sistemu koji čine prve dve jednačine i koji se može napisati u obliku:

Opšte rešenje datog homogenog sistema je:

ili u matričnom obliku:

.

Gausov algoritam Sistem od nehomogenih linearnih jednačina sa promenljivih ( ):

jednostavno se rešava u matričnom obliku ako je , naime imamo:

i ,

pošto je matrica sistema, za , regularna. Međutim, ako je matrica visokog reda, tada je izračunavanje inverzne matrice pozamašan posao, te veći praktični značaj imaju neke druge metode rešavanja sistema. Jedna od takvih je Gausova metoda koja se sastoji u sukcesivnom eliminisanju nepoznatih iz sistema.

Pretpostavimo da je koeficijent (u slučaju da je počelo bi se nekim drugim

koeficijentom). Isključimo nepoznatu iz svih jednačina sistema osim prve. Da bi smo to

realizovali potrebno je obe strane prve jednačine pomnožiti sa i dodati ih drugoj

jednačini, zatim obe strane prve jednačine pomnožiti sa i dodati ih trećoj jednačini,

itd. i na kraju obe strane prve jednačine pomnožiti sa i dodati ih -toj jednačini. Na taj način se umesto polaznog sistema dobija ekvivalentan sistem:



pri tom se koeficijenti uz promenljive i slobodni članovi u poslednjih jednačina sistema određuju formulama:

,

Ako sada pretpostavimo da je , primenićemo isti postupak za isključivanje promenljive

iz poslednjih jednačina sistema i dobićemo ekvivalentan sistem jednačina:

gde je

,

Na sličan način bismo, uz pretpostavku da je , isključili promenljivu iz poslednjih

jednačina sistema, a zatim produžili isti postupak.

Ako se u navedenom postupku dođe do sistema u kome jedna od jednačina ima slobodni član različit od nule, a svi njeni koeficijenti na levoj strani su jednaki nuli, tada je polazni sistem nesaglasan. Ako to nije slučaj, tada Gausov algoritam dovodi do sistema, ekvivalentnog polaznom sistemu:

pri tom je , , a prema tome i .



U tom slučaju sistem je saglasan; ako je , sistem ima jedinstveno rešenje, a ako je , sistem ima beskonačno mnogo rešenja. Zaista, ako je , sistem ima oblik:

Poslednja jednačina sistema jednoznačno određuje promenljivu ; kada se vrednost za

uvrsti u pretposlednju jednačinu, jednoznačno se određuje promenljiva , itd. Nastavljajući ovaj postupak nalazimo da sistem, a to znači i njemu ekvivalentan polazni sistem, u slučaju kad je

ima jedinstveno rešenje.

Ako je , tada su slobodne promenljive koje prenosimo na desnu stranu, a

zatim se, kao i u prethodnom slučaju, određuju vezane promenljive . S obzirom na to da slobodne promenljive mogu imati proizvoljne vrednosti, sistem u ovom slučaju ima beskonačno mnogo rešenja.

Kao što smo videli, homogen sistem linearnih jednačina uvek je saglasan jer postoji bar jedno, trivijalno rešenje . Ako je , sistem nema netrivijalnih rešenja,

a ako je , Gausovim algoritmom se polazni sistem svodi na sistem sa stepenastom matricom, koji osim trivijalnog ima još i beskonačno mnogo netrivijalnih rešenja.

Primer: Rešiti sistem pomoću Gausovog algoritma:

Napišimo proširenu matricu sistema i primenimo Gausov algoritam:

što znači da smo polazni sistem doveli na oblik:

odakle se neposredno dobija jedinstveno rešenje:

.



Jednačina prave u ravni

Ako je zadata proizvoljna tačka u datoj ravni, i proizvoljni vektor , tada je

tačkom i vektorom definisana prava koja prolazi kroz tačku , i ortogonalna

je na dati vektor . Ako je proizvoljna tačka posmatrane prave, , tada je

vektor ortogonalan na vektor , te je njihov skalarni proizvod jednak nuli, tj.

ili

(gde je konstanta ) što predstavlja opšti oblik jednačine prave u ravni. Ako

je prava je paralelna osi , ako je , tada je ova prava paralelna osi , a

ako je , tada prava prolazi kroz koordinatni početak.



Primetimo da jednačina prave koja prolazi kroz koordinatni početak može da se napiše u obliku:

,

je ugao koji prava obrazuje sa pozitivnim pravcem apscisne ose, koeficijent pravca prave; ili u opštem slučaju (što sledi iz opšteg oblika jednačine prave):

što predstavlja eksplicitni oblik jednačine prave u ravni.

Ako je data tačka i pravac, tj. koeficijent pravca , tada je jednačina prave koja u

zadatom pravcu prolazi kroz tačku :

jer je

gde je proizvoljna tačka posmatrane prave.



Ako su date dve tačke i , tada se jednačina prave kroz dve date

tačke i izvodi na sledeći način: ako je proizvoljna tačka prave, tada je:

,

tj. ako koeficijent pravca označimo sa

tada je prava koja prolazi kroz dve date tačke i data jednačinom:

.

Ukoliko prava na koordinatnim osama odseca segmente i (pri tom se vodi računa o znacima), tada se dobija segmentni oblik jednačine prave:

.



Iz eksplicitnog oblika se lako prelazi na segmentni, naime jednačina može se napisati u obliku:

.

Neka je prava zadata svojim pravcem i rastojanjem prave od koordinatnog početka, koje ćemo označiti sa . Apsolutnu vrednost vektora koji je ortogonalan na posmatranu pravu

označićemo sa - to je tzv. poteg; neka je , što znači da ovaj jedinični

vektor ima koordinate . Ako je proizvoljna tačka date prave,

označimo vektor . Kako je projekcija vektora na pravac jediničnog vektora , stavivši u skalarni proizvod koordinate vektora i , dobijamo:

,

što predstavlja normalni oblik jednačine prave.

Odstojanje od tačke do prave. Neka su tačka i koordinatni početak sa različitih strana date

prave. Treba odrediti odstojanje tačke od prave.



Kako je to je odstojanje tačke od prave:

Ako bi tačka i koordinatni početak bili sa iste strane prave tada bismo imali da je:

Ugao između dve prave. Date su jednačine dve prave u opštem obliku:

i , tj. .

Ugao između datih pravih je jednak uglu između vektora i , tj.

, odnosno .

Jednačina ravni u prostoru Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom . Ako je proizvoljna tačka ravni, i

ako uvedemo oznake , tada je s obzirom da je

ili

što predstavlja opšti oblik jednačine ravni.



Ako su date tri proizvoljne tačke ravni , ,

, tada iz uslova komplanarnosti vektora , , dobijamo

tj.

jednačinu ravni kroz tri date tačke.

Neka je rastojanje ravni od koordinatnog početka, a normalni vektor, .

Ako apsolutnu vrednost vektora označimo sa , tada možemo napisati jednačinu

ravni u vektorskom obliku . Pošto je ,

,

što predstavlja normalni oblik jednačine ravni.



Prelazak sa opšteg na normalni oblik jednačine ravni. Neka je ravan data u opštem obliku:

gde normalni vektor ima koordinate . Ako stavimo da je (ako

vektori i imaju isti smer tada je , a ako imaju različit smer, tada je

), gde je , tada je

, ,

što znači da je

,

odnosno normalni oblik jednačine ravni će biti

,

gde je (bira se znak suprotan znaku slobodnog člana )

Neka je data jednačina ravni u opštem obliku ili

. Ako je , tada podelivši i levu i desnu stranu prethodne jednačine sa , dobijamo:



tj.

što predstavlja segmentni oblik jednačine ravni. ( , i označavaju odsečke na koordinatnim

osama , i .

Ako ravan prolazi kroz dve date tačke i i paralelna je sa

pravom čiji pravac određuje vektor , tada su vektori , i

komplanarni, te je njihov mešoviti proizvod jednak , odnosno jednačina ravni kroz dve tačke koja je paralelna datom vektoru glasi:

Odstojanje tačke od ravni. Odstojanje tačke od ravni koje ćemo označiti sa

predstavlja algebarsku vrednost vektora koji je ortogonalan na ravan :

.

Označimo sa ; ako je normalni jedinični vektor ravni , tada je ,



tj.

gde je odstojanje ravni od koordinatnog početka . Iz prethodne relacije dobijamo

odstojanje tačke od ravni:

tj. .

Međusobni položaj dveju ravni Neka su date jednačine dveju ravni i u opštem obliku:

gde su i odgovarajući normalni vektori ravni i

. Razlikujemo sledeće slučajeve:

1. Ako su date ravni paralelene ( ), tada su odgovarajući vektori i kolinearni; iz

uslova kolinearnosti, , neposredno sledi uslov paralelnosti datih ravni:

.

2. Uslov da se dve ravni i poklapaju biće:

.

3. Ako se dve ravni i seku, tada odgovarajući normalni vektori i ne mogu biti

kolinearni, tj. , što znači da je:

ili .

4. Ako su dve ravni i ortogonalne, tada će i odgovarajući normalni vektori i takođe biti međusobno ortogonalni:

tj. .



Ugao između dveju ravni predstavlja ugao između odgovarajućih normalnih vektora:

Jednačina prave u prostoru Položaj prave u prostoru jednoznačno je određen tačkom kroz koju prava prolazi i vektorom istog pravca koji ćemo označiti sa . Ako je data tačka kroz koju

posmatrana prava prolazi, a proizvoljna tačka prave, tada, ako stavimo da je

i , dobijamo, s obzirom na kolinearnost vektora i , jednačinu prave u vektorskom bliku:

ili .

Iz prethodne jednačine neposredno se dobija kanonski oblik jednačine prave:

.

Iz vektorskog oblika jednačine prave se neposredno može izvesti i parametarski oblik jednačine prave. Naime, ako vektorski oblik jednačine prave napišemo u obliku:

, odnosno

gde je zamenjeno parametrom , dobijamo



Jednačina prave kroz dve date tačke i . Ako je

proizvoljna tačka posmatrane prave, tada su vektori i kolinearni,

tj. jednačina date prave će biti , tj.

ili

odnosno

Ako je vektor jedinični vektor, tada je , tako da za pravu koja prolazi kroz dve tačke imamo da je:

gde su , , koordinate odgovarajućeg jediničnog vektora.

Prava se može posmatrati i kao presek dveju ravni:

gde je , i , a , gde je matrica sistema. Sistem predstavlja jednačinu prave u opštem obliku.

Da bismo sa opšteg prešli na kanonski oblik, treba odrediti koordinate proizvoljne tačke kroz koju posmatrana prava prolazi, i vektora koji je paralelan sa datom pravom. Pretpostavimo da je:



.

U tom slučaju jednačine kojima je posmatrana prava definisana možemo napisati u obliku:

gde su , , koordinate tražene tačke . Sistem se može rešiti ako se promenljiva

proglasi za slobodnu nepoznatu. Ako stavimo da je recimo , tada dobijamo da je

, , ,

čime je određena tačka posmatrane prave. Vektor koji određuje pravac date

prave je ortogonalan kako na vektor tako i na vektor , te je znači kolinearan sa vektorskim proizvodom ova dva vektora, tj.

,

odakle sledi da je prava data u opštem obliku transformisana u kanonski oblik:

.

Međusobni položaj dveju pravih u prostoru Neka su date jednačine pravih i u kanonskom obliku:



gde je prava određena tačkom i pravcem vektora ,

dok je prava određena tačkom i pravcem vektora . Razlikujemo sledeće mogućnosti:

1. Prave i su paralelne; tada je i , tj.

,

odakle dobijamo uslove za paralelnost dveju pravih i :

2. Ako su prave i identične, tada je i , tj.

odakle dobijamo uslove za identičnost pravih i :

3. Dve prave koje se seku određuju ravan, jer su tada vektori , i komplanarni, što

znači da je njihov mešoviti proizvod jednak nuli. Dakle, uslov da se prave i seku jeste:

tj. .



Razmatrane prave i se mogu zadati i u opštem obliku:

vektor koji određuje pravac prave je ;

a vektor koji određuje pravac prave je .

Presečna tačka dveju pravih se određuje iz opštih jednačina pravih iz kojih se od četiri ravni uzmu proizvoljne tri i odredi njihova zajednička tačka.

4. Mimoilazne prave ne leže u jednoj ravni; ako je prava određena vektorom

, prava vektorom , ako je proizvoljna

tačka prave , a proizvoljna tačka prave , tada vektori ,

i ne pripadaju istoj ravni tj. nisu komplanarni, te je uslov da se prave i mimoilaze:

.



5. Ako su dve prave međusobno ortogonalne, tada su i vektori i

, koji određuju pravce datih pravi, takođe međusobno ortogonalni, te je uslov ortogonalnosti:

, tj. .

Ugao između dveju pravih i predstavlja ugao između odgovarajućih vektora

i , te je

, tj.

Međusobni položaj prave i ravni Neka su date prava jednačinom u kanonskom obliku i ravan jednačinom u opštem obliku:

Prava i ravan mogu imati jedan od sledećih međusobnih položaja:

1. Prava leži u ravni ako je vektor koji određuje pravac prave ortogonalan na

vektor ravni , i ako bilo koja tačka prave , označimo je sa , pripada ravni , znači:

tj. ,



odakle dobijamo uslov da prava leži u ravni:

2. Prava i ravan su međusobno paralelne ako su vektori i međusobno ortogonalni i

ako prava i ravan nemaju zajedničkih tačaka; ako sa označimo

proizvoljnu tačku prave , tada je:

tj.

što znači da će prava i ravan biti paralelne ako je:

3. Prava će prodirati kroz ravan ako je , tj. ako postoji samo jedna

zajednička tačka prave i ravni , tačka prodora , i ako je , tj.

. Napišimo jednačinu prave u parametarskom obliku:

Tačka prodora prave kroz ravan mora zadovoljavati jednačinu ravni ; znači ako u

opštoj jednačini ravni stavimo vrednosti iz jednačine prave dobijamo:



odnosno

odakle se pomoću dobijene vrednosti za parametar određuju koordinate tačke prodora , zamenom u jednačini prave.

Ugao prave prema ravni.

Def: Ugao između prave i ravni predstavlja ugao između prave i njene projekcije na tu ravan.

Primetimo da je , te je:

odnosno ugao između prave i ravni je dat izrazom:

Ako je prava ortogonalna na ravan , tada je , odnosno vektori i su kolinearni



tj. , što znači da je uslov ortogonalnosti prave i ravni :

.

Pojam hiper-ravni Def: Hiper-ravan vektorskog prostora predstavlja skup tačaka

čije koordinate zadovoljavaju linearnu jednačinu

u kojoj je bar jedan od koeficijenata , različit od nule; prethodna relacija predstavlja jednačinu hiper-ravni.

U jednodimenzionom prostoru (znači na pravoj), odgovarajuća hiper-ravan će imati oblik

, tj. predstavljaće tačku.

Za , relacija ima oblik , tj. hiper-ravan u dvodimenzionom

prostoru (odnosno u ravni) predstavlja pravu.

Ako je , tada relacija ima oblik što znači da hiper-ravan

u trodimenzionom prostoru predstavlja ravan.

U -dimenzionom prostoru , hiper-ravan će predstavljati ravan dimenzije .

Ako je tačka tačka hiper-ravni , tada koordinate tačke zadovoljavaju jednačinu:

,

a ako je proizvoljna tačka iste hiper-ravni, tada i za njene koordinate važi jednačina:

.

Oduzevši prvu jednačinu od druge, dobijamo da za bilo koje dve tačke i hiper-ravni važi:



tj. ako je normalni vektor huper-ravni , tada je proizvoljni vektor

ortogonalan na normalni vektor hiper-ravni

, tj.

što predstavlja vektorsku jednačinu hiper-ravni.

GLAVA 2 ELEMENTI LINEARNE ALGEBRE I ANALITIČKE GEOMETRIJE

2.1 Vektori

2.1.1 Pojam vektora. Osnovne operacije s vektorima

2.1.2 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora

2.1.3 Vektorski prostor

2.1.4 Skalarni proizvod

2.1.5 Vektorski proizvod

2.1.6 Mešoviti proizvod tri vektora

2.2 Matrice i determinante

2.2.1 Pojam matrice

2.2.2 Sabiranje matrica. Množenje matrice brojem

2.2.3 Determinante

2.2.4 Rang matrice

2.2.5 Množenje matrice matricom

2.2.6 Inverzna matrica

2.3 Sistemi linearnih algebarskih jednačina

2.3.1 Rešavanje nehomogenog sistema linearnih algebarskih jednačina

2.3.2 Rešavanje homogenog sistema linearnih algebarskih jednačina

2.3.3 Gausov algoritam

2.4 Elementi analitičke geometrije

2.4.1 Jednačina prave u ravni

2.4.2 Jednačina ravni u prostoru

2.4.3 Međusobni položaj dveju ravni

2.4.4 Jednačina prave u prostoru

2.4.5 Međusobni položaj dveju pravih u prostoru

2.4.6 Međusobni položaj prave i ravni

2.4.7 Pojam hiper-ravni



Razmatraju se klase funkcija kod kojih su i oblast definisanosti i skup vrednosti mnoštva realnih brojeva, , tj. takozvane realne funkcije realne promenljive. Ako po zakonu

korespondencije realnom broju odgovara realni broj , , pišemo i nazivamo nezavisno promenljivom ili argumentom funkcije, dok je - zavisno

promenljiva.

Skup svih vrednosti koje se mogu davati nezavisno promenljivoj naziva se oblast definisanosti funkcije, ili domen funkcije, a odgovarajuće vrednosti koje može dobijati zavisno promenljiva predstavljaju skup vrednosti funkcije.

Primer: Funkcija ili je svuda definisana, tj. na skupu svih realnih

brojeva, a takođe je to funkcija na celom skupu realnih brojeva jer je svaki realni broj

korespondiran broju ; navedena funkcija je injektivna jer, ako je tada je

, tj. . Dakle, funkcija preslikava skup realnih brojeva na

skup realnih brojeva, tj. .

Način zadavanja funkcije 1. Tablični način zadavanja funkcije

2. Zadavanje funkcije njenim grafikom

3. Zadavanje funkcije analitičkim izrazom

Primer: Funkcija ima sledeći analitički izraz:



4. Zadavanje funkcije pomoću parametara

Primer: Neka je data funkcija .

Eliminacijom parametra dobijamo funkciju .

Operacije na skupu realnih funkcija 1) Zbir. Neka su date dve realne funkcije jedne nezavisno promenljive i . Zbir

ove dve funkcije će biti funkcija koja svakom realnom broju korespondira broj

tj.

.

Ako je - oblast definisanosti funkcije , a - oblast

definisanosti funkcije , tada će oblast definisanosti funkcije ,

, biti:



.

2) Proizvod funkcija predstavlja funkciju koja svakom realnom broju

korespondira broj , tj.

Za funkciju oblast definisanosti će biti:

.

Osnovne elementarne funkcije 1. Stepene funkcije:

2. Eksponencijalne funkcije:

3. Logaritamske funkcije:

4. Trigonometrijske funkcije:

5. Inverzne trigonometrijske funkcije:

Def: Elementarnim funkcijama nazivaju se funkcije koje se mogu zadati analitičkim izrazom , dobijenim iz osnovnih elementarnih funkcija i konstanti pomoću konačno mnogo

operacija sabiranja, oduzimanja, množenja, deljenja i kompozicije funkcija.

Def: Uređeni skup elemenata obrazuje niz ako se svakom prirodnom broju



po nekom zakonu korespondira po jedan i samo jedan element .

Dakle, niz je funkcija prirodnog argumenta tj. funkcija čija je oblast definisanosti skup prirodnih brojeva . Niz je dat ako su mu poznati svi članovi ili kad je data formula (odnosno zakon

korespondencije ) po kojoj se može odrediti bilo koji član niza . Niz se označava

sa .

Primer:

Aritmetički niz se može predstaviti pomoću prvog člana i konstantne razlike (diferencije)

:

Razlika dva uzastopna člana je konstantna:

Geometrijski niz se može predstaviti pomoću prvog člana i konstantnog količnika :

Količnik dva uzastopna člana je konstantan: , i pri tome je .

Def: Monotono rastućim nizom naziva se niz u kome je ; monotono

opadajućim nizom se naziva niz kod koga je ; monotono

neopadajući niz je niz u kome je , dok je u monotono nerastućem

nizu .

Def: Za niz se kaže da je ograničen ako postoje takvi brojevi i , da je

; predstavlja donje ograničenje niza , dok je gornje ograničenje niza.

Def: Niz je ograničen ako postoji takav broj , da je . Ako ne

postoji takav broj kažemo da je niz neograničen.

Primer: Dat je niz čiji je opšti član ; s obzirom da je ,

dati niz je ograničen.

Def: Za dva niza i se kaže da su jednaki ako je .



Def: Niz predstavlja zbir nizova i : ako je

. Ako je , tada kažemo da je niz

proizvod nizova i : .

Def: Ako je proizvoljni realni broj i neka tačka na brojnoj pravoj, tada -okolinom

tačke nazivamo skup tačaka brojne prave:

drugim rečima je otvoreni interval dužine s centrom u tački , tj.

.

Def: Skup tačaka na brojnoj pravoj naziva se okolinom tačke

, ako postoji dovoljno mali pozitivni realni broj , takav da je

odgovarajuća -okolina tačke sadržana u skupu , tj. , odnosno

.

Def: Skup tačaka na brojnoj pravoj se naziva otvorenim ako predstavlja okolinu svake svoje tačke, tj. za svako postoji dovoljno mali pozitivni realni broj , takav da je

.

Def: Tačka na brojnoj pravoj u čijoj se svakoj - okolini nalazi beskonačno mnogo članova niza naziva se tačkom nagomilavanja tog niza.

Niz može imati jednu, dve, uopšte konačno ili beskonačno mnogo tačaka nagomilavanja.

Ako je za sve prirodne brojeve počev od nekog broja

,

tada je tačka jedinstvena tačka nagomilavanja datog niza.

Def: Tačka nagomilavanja na brojnoj pravoj, takva da za svako ima samo konačno mnogo

članova niza čija je vrednost veća od , ( je proizvoljan, unapred dati mali

pozitivan broj), a beskonačno mnogo članova niza čija je vrednost veća od

naziva se gornjom tačkom nagomilavanja niza i označava sa:

.

Def: Ako je takva tačka nagomilavanja niza na brojnoj pravoj da za svako ima

samo konačno mnogo članova datog niza čija je vrednost manja od , a beskonačno mnogo članova niza čija je vrednost manja od , tada predstavlja donju tačku



nagomilavanja niza i označava se sa:

.

Pojam konvergencije niza Def: Niz koji ima samo jednu tačku nagomilavanja, i to konačnu, naziva se konvergentnim

nizom; niz koji ima tačku nagomilavanja u beskonačnosti, ili ima dve ili više tačaka nagomilavanja naziva se divergentnim nizom, i to određeno divergentnim ako ima jednu tačku nagomilavanja u beskonačnosti, a neodređeno divergentnim ako ima više tačaka nagomilavanja.

Def: Broj se naziva graničnom vrednošću niza , ako za svaki unapred dati proizvoljno

mali pozitivni broj , može da se nađe prirodni broj , takav da je

,

što označavamo sa , ili .

Teorema: Ako niz ima graničnu vrednost, tada je taj niz ograničen.

Dokaz: Neka je . Ako uzmemo proizvoljno malo , tada postoji

takav prirodan broj da je za sve , tj.

; kako je skup članova koji po

apsolutnoj vrednosti ne moraju biti manji od broja , ograničen, to postoji dovoljno

veliki realni broj , takav da je . Označimo li

sa možemo zaključiti da je . Dakle,

razmatrani niz je ograničen niz.

Obrnuto tvrđenje, međutim, ne važi, što pokazuje primer niza , ,

koji je ograničen jer je , ali nije konvergentan.

Pretpostavimo da je niz monotono neopadajući, tj. i da je

. Ako je najmanje od svih gornjih ograničenja, tj. je gornja međa datog

niza , što označavamo sa:

,

tada možemo dokazati sledeću teoremu:

Teorema: Ako je niz monotono rastući (neopadajući) i ograničen s gornje strane, tada postoji njegova granična vrednost:



.

Dokaz: Kako je niz ograničen s gornje strane, tj. , to postoji

, tj. za proizvoljno , postoji takav član niza da je

(jer je najmanje od svih gornjih ograničenja skupa čiji su elementi

članovi niza ). Kako je, po pretpostavci, dati niz monotono rastući (neopadajući),

tada je , tj.

ili , tj. .

Ako je niz monotono opadajući (nerastući) i ako je ograničen s donje strane,

, i ako je najveće od svih donjih ograničenja, ili, drukčije rečeno, je donja

međa niza , što obeležavamo sa:

,

tada se na sličan način kao i prethodna, dokazuje i

Teorema: Ako je niz monotono opadajući (nerastući) i ograničen s donje strane, tada postoji njegova granična vrednost:

Teorema: Niz koji je monoton i ograničen uvek je konvergentan.

Primer: Niz je monotono opadajući i ograničen je s donje

strane, te je , što znači da postoji granična vrednost ovog niza:

.

Beskonačno male veličine Def: Niz predstavlja beskonačno malu veličinu (funkciju), ako ( je

proizvoljno mali broj), postoji prirodni broj tako da je , tj.

. Niz čija je granična vrednost jednaka nuli naziva se i nula-nizom.

Teorema: Proizvod beskonačne male veličine i ograničene veličine je beskonačno mala veličina.



Dokaz: Neka su dati nizovi , i , , . Uzmimo

proizvoljno mali broj ; tada postoji takav prirodan broj da je:

što znači, s obzirom da je i proizvoljno mali broj, da:

,

tj. je takođe beskonačno mala veličina.

Teorema: Zbir konačno mnogo beskonačno malih veličina predstavlja beskonačno malu veličinu.

Napomena: Ako je , tada opšti član niza možemo napisati u obliku

, gde je opšti član nekog nula-niza .

Zaista, ako je proizvoljno mali broj, tada postoji takav prirodni broj ,

da je . Stavivši da je , tada imamo da

je , tj. je nula-niz. Dakle, niz može se predstaviti u obliku zbira (razlike) svoje granične vrednosti i nekog nula-niza, tj.

.

Obrnuto, ako je i , tada je , jer

, tj. .

Teorema: Granična vrednost zbira (razlike) dva konvergentna niza jednaka je zbiru (razlici) graničnih vrednosti tih nizova.

Dokaz: Neka je i . Dokažimo da je .

S obzirom da možemo napisati da je

, tada je

, i :

,

tj. .

Teorema: Granična vrednost proizvoda dva konvergentna niza jednaka je proizvodu njihovih graničnih vrednosti.



Teorema: Granična vrednost količnika dva konvergentna niza jednaka je količniku njihovih graničnih vrednosti (pod uslovom da je granična vrednost niza koji se nalazi u imeniocu različita od nule):

(ako je ).

Beskonačno velike veličine Def: Niz se naziva beskonačno velikom veličinom (funkcijom) ako za svaki realni broj

postoji takav prirodni broj da je, za sve ; u tom slučaju

pišemo da je .

Teorema: Ako je niz beskonačno velika veličina, tada je niz -

beskonačno mala veličina.

Dokaz: Ako je proizvoljno mali broj , tada je i . S obzirom da je ,

to postoji prirodni broj tako da je , tj. ; kako je

, imamo da

, tj. .

Teorema: Ako je niz beskonačno mala veličina, tada niz predstavlja

beskonačno veliku veličinu kad .

Teorema: (Kantorov princip umetnutih odsečaka) Ako je dat beskonačni niz umetnutih odsečaka:

u kome je svaki sledeći sadržan u prethodnom, i ako dužina tih odsečaka teži nuli kad indeks neograničeno raste,

,

tada postoji jedinstvena tačka .



Dokaz: važi uslov

,

što znači da levi krajevi niza umetnutih odsečaka obrazuju monotono rastući, s gornje strane ograničeni niz , a da desni krajevi datog niza umetnutih odsečaka

odsečaka obrazuju monotono opadajući, s donje strane ograničeni niz . Prema tome važi da:

, .

Kako je po pretpostavci , tj. za svaki proizvoljno mali, pozitivni

broj postoji odgovarajući dovoljno veliki prirodni broj , takav da je:

,

a pri tom jer je i , to je:

,

što znači da je , čime je dokaz završen.

Teorema: (Bolcano-Vajerštrasova) Svaki ograničeni beskonačni niz ima bar jednu tačku nagomilavanja.

Dokaz: Ako je ograničeni beskonačni niz, tada postoji odsečak na kome leže svi

članovi niza . Podelimo odsečak na dva jednaka dela; tada bar jedna od

te dve polovine sadrži beskonačno mnogo elemenata niza . Označimo je sa

, i podelimo je na dva jednaka dela od kojih bar jedan sadrži beskonačno

mnogo članova niza ; označićemo ga sa . Nastavimo li ovaj postupak

dobićemo niz umetnutih odsečaka koji sadrže beskonačno mnogo elemenata

niza . Dokažimo da se dužina odsečka može učiniti manjom od

proizvoljno malog pozitivnog realnog broja , za dovoljno veliko . Naime, kako je

, tj. ,

što znači da

,

tj. .



Na osnovu Kantorovog principa umetnutih odsečaka postoji samo jedna tačka . Pošto odsečak sadrži beskonačno mnogo

članova niza , za koje je

, tj. ,

gde je proizvoljno mali pozitivan realni broj, to je tačka tačka nagomilavanja ograničenog beskonačnog niza .

Kriterijumi konvergencije za nizove Teorema: Niz je konvergentan ako su mu gornja i donja tačka nagomilavanja i

konačne i ako je pri tom .

Dokaz: Ako je , tada postoji beskonačno mnogo članova niza koji

su veći od , tj.

.

Takođe, ako je , tada je beskonačno mnogo članova niza manje od

, tj.

.

Uzmemo li da je , tada

i ,

i označimo li , dobijamo da za svaki proizvoljno mali pozitivni broj ,

postoji takav dovoljno veliki prirodni broj , da je

,

što znači da , odnosno da je niz konvergentan.

Teorema: (Košijev kriterijum konvergencije) Neophodan i dovoljan uslov za konvergenciju niza jeste da za svako proizvoljno malo , postoji takav prirodni broj

, da je kad god su brojevi . Niz za koji je

zadovoljen navedeni uslov naziva se Košijevim nizom.

Teorema: Ako su nizovi i konvergentni i imaju istu graničnu vrednost

, i , , tada je i .



Asimptotska proporcionalnost nizova Def: Za dva niza i , koji ne moraju biti konvergentni, a čiji količnik

kaže se da su asimptotski proporcionalni, što se označava sa:

.

Specijalno, ako je

,

kaže se da su nizovi i asimptotski jednaki i piše se:

.

Primer: Niz koji predstavlja aritmetičku progresiju prirodnih brojeva asimptotski je proporcionalan nizu kvadrata prirodnih brojeva, tj.

.

Zaista, s obzirom da je , imamo da je:

.

Primer: jer je:

.



Beskonačno male funkcije (veličine) i njihova osnovna svojstva

Def: Neka je funkcija definisana u nekoj okolini tačke , izuzev možda u samoj tački .

Funkcija ima graničnu vrednost kad argument , što označavamo sa

, ako za svako proizvoljno malo pozitivno postoji takav odgovarajući

pozitivan broj , da je za sve vrednosti argumenta za koje važi uslov ,

ispunjena nejednakost .

Ako se unapred zada , tada sve vrednosti funkcije koje zadovoljavaju nejednakost

leže u pojasu između i . Za sve vrednosti argumenta

, . Uzmimo kraći od intervala . Njegovu

dužinu označimo sa . Tada imamo:

.

Teorema: Ako postoji granična vrednost

,

onda je ta granična vrednost jedinstvena.



Dokaz: (PPS): i , što znači da za svako , postoje

i da:

Ako stavimo , tada ,

a sa obzirom da je proizvoljan mali broj to je .

Teorema: Ako je funkcija definisana u nekoj okolini tačke izuzev u samoj tački i akoje

tada se kaže da je funkcija beskonačno mala veličina kad , tj.

, , .

Teorema: Ako postoji , tada možemo napisati da je

, , ,

gde je neka beskonačno mala veličina, tj.

.

Dokaz: Pošto , tada

, , ,

ako stavimo da je , tj , imamo da

, , ,

čime je teorema dokazana.

Teorema: Zbir dve beskonačno male veličine je takođe beskonačno mala veličina, tj.

.



Dokaz: Ako je , tada:

Neka je . Tada imamo da je: ,

, .

Teorema: Proizvod dve beskonačno male veličine je beskonačno mala veličina.

Dokaz:

Neka je . Tada imamo: , ,

kad god je dovoljno mali broj, tj. .

Def: Za funkciju se kaže da je ograničena na odsečku ako postoji ,

da je

.

Def: Funkcija se naziva ograničenom kad argument ako postoji okolina tačke

u kojoj je data funkcija ograničena.

Teorema: Proizvod beskonačno male veličine i ograničene funkcije

, je beskonačno mala veličina.

Dokaz: Za , , .

Za , , .

Neka je . Tada , ,



, ,

što znači da je

.

Osnovne teoreme o graničnim vrednostima funkcije Teorema: Ako funkcije i imaju granične vrednosti kad argument , tj.

i ,

tada je

,

tj. granična vrednost zbira datih funkcija jednaka je zbiru njihovih graničnih vrednosti.

Dokaz: Možemo napisati da je

, ,

znači

, i , : ,

,

a to upravo znači da je

.

Napomena: Očevidno je da se prethodna teorema može proširiti i na graničnu vrednost razlike funkcija. Takođe, ona se može uopštiti ina zbir, odnosno razliku, konačno mnogo funkcija koje imaju graničnu vrednost kad .

Teorema: Ako funkcije i imaju granične vrednosti kad argument , tj.

i ,

tada je

,

tj. granična vrednost proizvoda datih funkcija jednaka je zbiru njihovih graničnih vrednosti.



Dokaz: Možemo napisati da je

, , , znači:

to jest:

.

Teorema: Ako je i , tada je i

.

Dokaz:

(•)

Neka je . U tom slučaju iz relacija (•) i pretpostavke

sledi: ,

.

Teorema: Ako funkcije i imaju granične vrednosti kad argument , tj.

i ,

tada je

,

tj. granična vrednost količnika datih funkcija jednaka je zbiru njihovih graničnih vrednosti, ako je granična vrednost imenioca različita od nule.

Dokaz:

, , , znači:



to jest:

, ako je .

Leva i desna granična vrednost funkcije Def: Kažemo da je broj A desna granična vrednost funkcije u tački , tj.

,

ako , , , dok broj A

predstavlja levu graničnu vrednost funkcije u tački , tj.

,

ako: , , .

Napomena: Ako funkcija ima i levu i desnu graničnu vrednost u nekoj tački i one su međusobno jednake tada postoji i granična vrednost funkcije u toj tački.

Granična vrednost funkcije kad argument Def: Kažemo da funkcija ima graničnu vrednost kad neograničeno raste, tj.

ako za svako proizvoljno malo , postoji takav broj da je za sve , ,

, tj.

, , .



Ako se zada proizvoljno mali realni broj , tada se može naći takav broj da se za sve

vrednosti argumenta koje su po apsolutnoj vrednosti veće od odgovarajuće vrednosti

nalaze unutar pojasa jer:

.

Def: Funkcija je beskonačno mala veličina kad argument , ako:

, , .

Napomena:

, ako , .

, ako , .

Beskonačno velike funkcije (veličine) Def: Funkcija se naziva beskonačno velikom veličinom za ako za svaki

dovoljno velik broj postoji , da je za , , .

Teorema: Ako je funkcija beskonačno mala veličina kad , tada je

beskonačno velika velična kad .

Def: Funkcija je beskonačno velika veličina kad ako za svaki proizvoljno veliki

, postoji , da je

,

tj.



Def: Funkcija za koju je naziva se parnom funkcijom – njen grafik je

simetričan u odnosu na osu , a ukoliko je , tada se takva funkcija

naziva neparnom; njen grafik je simetričan u odnosu na koordinatni početak .

Upoređivanje beskonačno malih veličina Def: Ako su i beskonačno male veličine kad i ako postoji konačna

granična vrednost količnika,

, ,

tada se kaže da su i dve beskonačno male istog reda.

Def: Ako su i beskonačno male veličine kad i ako

,

onda je beskonačno mala višeg reda u odnosu na ,

tj. .

Ako je

,

onda je beskonačno mala višeg reda u odnosu na ,

tj. .

Def: Funkcija predstavlja beskonačno malu veličinu k-tog reda u odnosu na ako je:

,

tj. ako su funkcije i istog reda.

Def: Funkcije i predstavljaju ekvivalentne beskonačno male veličine ako važi:



.

Def: Ako kad ne teži nikakvoj određenoj vrednosti ni beskonačnosti tada su

i neuporedive.

Teorema: Ako tada je njihova razlika beskonačno mala višeg

reda u odnosu ili na ili na ,

tj. , odnosno: .

Dokaz:

.

Def: Funkcija je neprekidna u tački ako postoji njena granična vrednost kad

i ako je ta granična vrednost jednaka vrednosti funcije u toj tački, tj. .

Uslovi neprekidnosti:

1. , tj. funkcija je definisana u tački

2. , tj postoji leva i desna granična vrednost i one su jednake



3. , tj granična vrednost je jednaka vrednosti funkcije u toj tački

Ako nije ispunjen bilo koji uslov funkcija je prekidna u tački .

Def: Funkcija je neprekidna u tački ako za svako prizvoljno malo može da se

nađe tako da je za , ispunjen uslov , tj.

,

, .

Mada je ova definicija na prvi pogled veoma slična definiciji granične vrednosti funkcije u datoj tački , ipak postoji jedna bitna razlika između te dve definicije. Naime, kod definicije

granične vrednosti funkcije u tački zahteva se da , : ,

,

i u tom slučaju se kaže da je , tj. ne pretpostavlja se da data funkcija mora biti

definisana u tački , dok je za neprekidnost funkcije neophodno da funkcija bude

definisana u tački i da je .

Def: Funkcija je neprekidna u intervalu ako je neprekidna u svakoj tački tog intervala.

Def: Funkcija je neprekidna na odsečku ako je neprekidna u svakoj tački intervala

, tj. ako je u tački neprekidna s desna a u tački neprekidna s leva:

i .

Def: Priraštajem argumenta naziva se razlika

između bilo koje vrednosti i polazne vrednosti , dok je odgovarajući priraštaj funkcije

tj. jer je .



Def: Funkcija je neprekidna u tački ako

kad ,

tj. kad .

Vrste prekida Def: Funkcija u tački ima prekid prve vrste ako u toj tački ima i levu i desnu graničnu

vrednost ali su one različite ili su jednake a razlikuju se od vrednosti funkcije u toj tački:

ili .

Funkcija koja ima prekid prve vrste u tački kaže se da u toj tački ima konačan skok. Svaka tačka prekida koja nije prve vrste naziva se tačkom prekida druge vrste.

Def: Funkcija ima prekid druge vrste u tački ako ne postoji njena granična vrenost u

tački . Ako leva ili desna granična vrednost funkcije ili obe predstavljaju

beskonačno veliku veličinu kad tada se kaže da funkcija u tački ima beskonačan skok:

ili ili .

Primer:



Def: Funkcija ima otklonjiv prekid u tački ukoliko postoji granična vrednost funkcije u

toj tački ali pritom ili funkcija nije definisana u ili

.

Operacije sa neprekidnim funkcijama Teorema: Ako su dve funkcije i neprekidne u nekoj tački , tada je i njihov zbir



(odnosno razlika) takođe neprekidna u .

Dokaz: Pošto su i neprekidne funkcije, to postoje granične vrednosti

i

a to znači da je:

.

Teorema: Ako su dve funkcije i neprekidne u nekoj tački , tada je i njihov

proizvod takođe neprekidna u .


i

a to znači da je:

.

Teorema: Ako su dve funkcije i neprekidne u nekoj tački , tada je i njihov količnik

takođe neprekidna u , ako je .


i

a to znači da je:

.

Teorema: Ako su i neprekidne u nekoj tački tada je i funkcija -

rezultat superpozicije funkcija i takođe neprekidna u tački .

Dokaz: napišimo kao . Funkcija je

neprekidna u pa je

, odnosno .



Pošto je i imamo da kad i i s obzirom

na neprekidnost funkcije u tački dobijamo da ako , tj. ako

,

tj. .

Neprekidnost elementarnih funkcija 1. , , te je neprekidno za

svako

2. , što znači da kad , pa je funkcija neprekidna za

3. , proizvod dve neprekidne funkcije, pa je i neprekidna za

4. indukcijom se dokazuje da je neprekidna za

5. Kako je neprekidna za , to je i svaki polinom oblika:

neprekidan za 6. Svaka racionalna funkcija koja u opštem slučaju predstavlja količnik dva polinoma

i :

, ,

je neprekidna u svim tačkama kad je

7. i

, jer je

i .

Dakle, , te je neprekidna za

8. Takođe se može dokazati i da je eksponencijalna funkcija , , ,

neprekidna za odnosno da je logaritamska funkcija , ,

, neprekidna za



Teorema: Svaka osnovna elementarna funkcija je neprekidna u svakoj tački u kojoj je definisana.

Svojstva funkcija neprekidnih na odsečku Teorema: Ako je funkcija neprekidna na , tada je ona ograničena na tom odsečku.

Teorema: (Vajerštrasova teorema) Ako je funkcija neprekidna na odsečku , tada postoji i njena najveća i najmanja vrednost na tom odsečku.

Teorema: Ako je neprekidna u i , tada je i u nekoj okolini tačke .

Dokaz: Pošto je , to je i .

Funkcija je neprekidna u tački , tj. pa i za

, , tj.

, ,

ili , ,

tj.

Teorema: (Prva Koši-Bolcanova teorema) Ako je neprekidna na odsečku a na krajevima odsečka ima vrednosti različitog znaka tada postoji tačka ,

u kojoj je .



Dokaz: Neka je , i pretpostavimo da je a i

podelimo na dva jednaka dela.

Ako je , tada je , jer .

Ako je , označimo .

Ako je , označimo .

Podelimo zatim odsečak na dva jednaka dela i ponovimo isti postupak kao i

sa odsečkom . Sprovodeći postupak doći ćemo do niza umetnutih odsečaka

,

u kome dužina odsečka

: , kad .

S obzirom da je na krajevima odsečka

, , a ,

tada ili postoji takva tačka da je za određeno

,

ili ako takva tačka ne postoji tada je monotono rastući sa gornje strane

ograničen a monotono opadajući s donje strane ograničen niz i

i

te na osnovu Kantorovog principa umetnutih odsečaka postoji jedinstvena tačka

, i ,

s obzirom na pretpostavku o neprekidnosti funkcije.

Teorema: (Druga Koši-Bolcanova teorema) Neka je funkcija neprekidna na odsečku

i neka je i , . Ako je bilo koji broj između



i , tj. , tada postoji takva tačka , da je .

Dokaz: Obrazujmo pomoćnu funkciju . Očigledno je ona neprekidna na

odsečku , a na krajevima odsečka ima vrednost:

i

.

Dakle, stvoreni su uslovi za primenu prve Koši-Bolcanove teoreme, tj. postoji tačka , u kojoj je , tj:

.

Teorema: Neka je neprekidna i monotono rastuća (opadajuća) u intervalu . U tom

slučaju postoji njena inverzna funkcija koja je neprekidna i monotono rastuća

(opadajuća) u intervalu - koji predstavlja skup vrednosti funkcije

.

Ravnomerna (uniformna) neprekidnost Def: Ako za svako proizvoljno malo može da se nađe , takvo da je

, kad god je i ako to važi za svaki par tačaka

, tada kažemo da je funkcija ravnomerno neprekidna u

intervalu . Znači:

, :

kad god je

.

Teorema: Ako je neprekidna funkcija na tada je ona ravnomerno neprekidna

na .

Teorema: (Kantorova teorema) Svaka funkcija definisana i neprekidna na ravnomerno je

neprekidna na .



Problem određivanja brzine kretanja

- pređeni put

- srednja brzina u vremenskom intervalu . Dakle,

.

Def: Brzina kretanja u momentu (trenutna brzina) predstavlja graničnu vrednost srednje brzine u intervalu kad , tj.

.

Def: Neka je funkcija definisana i neprekidna u okolini tačke . Ako postoji:

,

tada se ta granična vrednost zove izvod funkcije u datoj tački i označava sa:



.

Primer: ,

,

tj. , pa je:

,

Geometrijsko značenje izvoda Tangenta krive u tački predstavlja granični položaj sečice (odnosno

prave ukoliko postoji), kad se tačka približava tački idući duž .

Ako , tada ;

Ako (tj. ) tada tj , odnosno:

, tj. .

Teorema: Ako funkcija ima izvod u nekoj tački , tada je ona i neprekidna u toj tački.

Izvodi elementarnih funkcija 1. :



,

pa je , tj:

, .

2. :

, te je .

3. , :

, pa je

, pa je

, tj.

.

4. :

, tj. ,

što znači da je

, pa je



.

: .

5. :

, te je

.

Ako pomnožimo i podelimo ovu jednakost sa dobijamo:

, što znači da je

. Preko smene , dobijamo da kada

, tada , te je:

, pa je:

.

: .

6. :

Primetimo da je , , jednoznačna i injektivna funkcija.

Njena inverzna funkcija ima izvod za . Prema formuli

,



izvod funkcije je

,

što znači da je izvod funkcije :

.

S obzirom da je:

(•) ,

možemo napisati da je

,

a odatle prema (•) dobijamo da je:

, tj. .

: .

7. :

. Ova funkcija je jednoznačna i injektivna za . Ako je

, to znači da je , te je , odnosno

.

Iz uslova i nalazimo da je , tj.

. Pošto , , pa je , tj.

,



tj. .

:

Izvod zbira, razlike, proizvoda i količnika funkcija Teorema: Neka su funkcije i , diferencijabilne u proizvoljnoj tački i neka je

. Tada je

.

Dokaz:

, tj.

,

jer su po pretpostavci funkcije i diferencijabilne u tački , tj.

i .

Napomena: Na isti način se dokazuje da je

.

Teorema: Neka su funkcije i , diferencijabilne u proizvoljnoj tački i neka je

. Tada je

.

Dokaz: , te je

,

odakle sledi da je



.

S obzirom da je funkcija diferencijabilna u tački , to je ova funkcija i

neprekidna u toj tački, tj. ako , što znači da je

,

pa je prema tome,

, tj.

.

Teorema: Neka su funkcije i , diferencijabilne u proizvoljnoj tački i neka je

, i . Tada je

.

Dokaz: S obzirom da je

, i

, biće

,

tj.

,

te je



s obzirom da u brojiocu i imeniocu poslednjeg izraza imamo neprekidne funkcije, dobijamo da

,

tj.

.

Izvod inverzne funkcije Teorema: Ako je neprekidna funkcija injektivna i njena inverzna funkcija

u tački ima izvod , tada u odgovarajućoj tački funkcija

ima izvod koji se dobija po formuli

Dokaz: Ako je funkcija injektivna, to znači da različitim vrednostima argumenta

odgovaraju različite vrednosti funkcije te ako je mora biti i (jer

bi u suprotnom bilo , što znači da funkcije nije injektivna). U tom slučaju možemo napisati da je

,

tj.

.

Tablica izvoda , ;



Stepena funkcija:

, , (dokazano je u slučaju );

specijalni slučajevi stepene funkcije:

, ,

, ;

eksponencijalna funkcija:

, ;

specijalni slučajevi eksponencijalne funkcije:

, ;

logaritamska funkcija:

, ;

specijalni slučaj logaritamske funkcije:

, ;

trigonometrijske funkcije:

, ,

, ,

, ,

, ;

inverzne trigonometrijske funkcije:

, ,



, ,

, ,

, ,

Izvod složene funkcije Teorema: Neka je data funkcija , tj. , . Ako su funkcije

i diferencijabilne, tada je

.

Dokaz: Priraštaj date funkcije može se napisati u obliku , kad .

.

Funkcija je diferencijabilna te je i neprekidna što znači da , te u tom slučaju i , tj. dobijamo da je

Izvodi višeg reda Def: Izvod prvog izvoda funkcije naziva se drugim izvodom funkcije i označava se

sa , odnosno

.

Napomena: Izvod drugog izvoda naziva se trećim izvodom date funkcije:

.

Uopšte, izvod -tog reda funkcije predstavlja izvod (prvog reda) od

izvoda -og reda date funkcije:



, tj. .

Mehaničko značenje drugog izvoda Videli smo da je pređeni put funkcija vremena, , a da brzina u momentu predstavlja

prvi izvod funkcije , tj.

.

Neka je brzina u momentu jednaka i predpostavimo da razmatrano kretanje nije ravnomerno; za vreme priraštaj brzine će biti .

Srednje ubrzanje na vremenskom intervalu dužine biće

.

Granična vrednost srednjeg ubrzanja kad predstavljaće ubrzanje u momentu :

, .

Dakle, ubrzanje u momentu predstavlja drugi izvod funkcije :

Tangenta i normala krive Data je kriva i neka tačka , koja leži na datoj krivoj. Treba odrediti

jednačine tangente i normale na datu krivu koje prolaze kroz tačku .



Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku ima oblik , gde je -

tangens ugla koji prava obrazuje sa pozitivnim smerom ose . Dakle, jednačina tangente će imati oblik

, tj.

,

gde je , a ugao tangente prema pozitivnom smeru ose .

Normala će prema osi obrazovati ugao , te će koeficijent pravca normale biti

.

Pošto je , imamo da je

,

što znači da će normala na krivu u tački imati jednačinu

, tj.

.

Diferencijal funkcije Def: Ako funkcija u nekoj tački ima prvi izvod, glavni deo priraštaja funkcije koji je

linearan u odnosu na priraštaj argumenta , izraz naziva se diferencijalom

date funkcije u tački . Označivši diferencijal funkcije sa imamo

.

Možemo zaključiti da diferencijal ima sledeća svojstva:

1. Diferencijal funkcije je proporcionalan priraštaju argumenta 2. Ako je , razlika između priraštaja funkcije i diferencijala funkcije predstavlja

beskonačno malu višeg reda u odnosu na priraštaj argumenta , kad :



, .

Znači, može se uzeti da je , tj.

, , što je veoma značajno pošto je u većini slučajeva mnogo jednostavnije odrediti diferencijal date funkcije umesto njenog priraštaja.

Mehanička i geometrijska interpretacija diferencijala

Neka tangenta na krivu u tački obrazuje ugao sa pozitivnim smerom

ose . Označimo sa tačku krive čije su koordinate

. U tom slučaju imamo da je , a

pošto je

, .

Dakle, diferencijal funkcije jednak je priraštaju ordinate tangente na krivu

u tački . Pri tome je

i kad .

Osnovna pravila za izračunavanje diferencijala Teorema: Ako su funkcije i diferencijabilne u nekoj tački , tada će važiti formule:



(•)

Dokaz: Pošto su odgovarajuće formule važile za izvode funkcija i , tj.

(••)

tada množeći i levu u desnu stranu relacija (•) sa dobijamo pravila diferenciranja (••).

Diferencijal složene funkcije Neka je data funkcija , gde je , . Kao što je poznato, ako

postoje izvodi i , tada će postojati i izvod složene funkcije

.

Možemo napisati da je

, tj. ,

dakle,

(•) ,

jer je , što znači da je formula (•) za diferencijal složene funkcije invarijantna u odnosu na zamenu nezavisno promenljive. Formulu (•) možemo napisati u obliku

.



Diferencijali višeg reda

Def: Diferencijal od diferencijala funkcije , pri konstantnoj vrednosti priraštaja , naziva se diferencijalom drugog reda i označava sa

.

Diferencijal drugog diferencijala funkcije naziva se diferencijalom trećeg reda date funkcije

,

i uopšte, diferencijal -tog reda da te funkcije predstavlja diferencijal od diferencijala -og reda:

.

Teorema: Ako funkcija ima u nekoj tački izvod -tog reda , tada će u istoj toj tački postojati i diferencijal -tog reda i imati vrednost

(•) .

Napomena: U formuli (•) obično se umesto priraštaja nezavisno promenljive piše njen diferencijal , tj. važi formula

.

Na osnovu prethodne formule možemo pisati da je

(••) , , ... , .

Napomena: Formule (•) i (••) važe samo uslučaju kad je nezavisno promenljiva, jer u slučaju složene funkcije , tj. , , imaćemo:

i .

Međutim, u ovom slučaju je (zavisi od ), pa se ne može izvući izvan zagrade u kojoj se obavlja diferenciranje, te je

, tj.

, .



Teorema: (Rolova teorema) Ako je funkcija neprekidna na odsečku i

diferencijabilna u intervalu i ako je tada postoji tačka ,

, u kojoj je .

Dokaz: Tvrđenje ove teoreme je intuitivno jasno, jer ako funkcija ima istu vrednost na

krajevima odsečka , tj. , tada sigurno postoji , ,

takvo da je tangenta na krivu u tački sa apscisom paralelna sa osom

, tj. . Ako je

,

tada je

, .

Zato pretpostavimo da je . U tom slučaju, s obzirom da je funkcija

neprekidna na zatvorenom intervalu , ona mora na tom intervalu biti i ograničena, te prema Vajerštrasovoj teoremi postoji najmanja i najveća vrednost funkcije na odsečku . Pretpostavimo recimo da je

, ; u tom slučaju je , tj.

, . što znači da je



tj.

(•)

gde smo u relacijama (•) proizvoljnu tačku napisali u obliku .

Pretpostavili smo da postoji izvod date funkcije u svakoj tački .

Prema tome, s obzirom da postoji , sledi da je

Teorema: (Lagranžova teorema) Ako je funkcija neprekidna na odsečku i

diferencijabilna u intervalu tada postoji takva tačka , da je

.

Dokaz: Označimo sa tačku , sa tačku i stavimo da je

.

Lagranžova teorema utvrđuje da postoji tačka , , tj. tačka na krivoj

sa koordinatama , u kojoj tangenta na krivu ima isti pravac, tj. paralelna je sa tetivom . Da bi to dokazali, obrazujmo pomoćnu funkciju

.

Očigledno je da je uvedena funkcija neprekidna na odsečku , da je

diferencijabilna u intervalu i da je, osim toga, i . Dakle,

funkcija zadovoljava sve uslove za primenu Rolove teoreme, te prema tome



postoji , , takvo da je . S obzirom da je

,

imamo da je

, tj. ,

odnosno

, ili .

Teorema: (Košijeva teorema) Neka su funkcije i neprekidne na odsečku ,

diferencijabilne u intervalu i , za sve . U tom slučaju

postoji takvo , , da je

.

Dokaz: Primetimo, prvo, da mora biti , jer bi se u suprotnom slučaju na

funkciju mogla primeniti Rolova teorema, te bi, znači, za neko , ,

imali da je , što je u suprotnosti sa pretpostavkom da je ,

. Označimo

,

i uvedimo pomoćnu funkciju

.

Funkcija je, očigledno, neprekidna na odsečku , diferencijabilna u

intervalu i na krjjevima odsečka zadovoljava uslov .

Dakle, možemo primeniti Rolovu teoremu na funkciju ; u tom slučaju dobijamo

da postoji , : . Pošto je

, tj. ,

dobijamo da je

, tj. .

Teorema: (Lopitalova teorema) Neka funkcija i kad (ili )



istovremeno teže 0 ili beskonačnosti. Ako postoji , tada će postojati i , i

važiće

.

Dokaz: Dokažimo ovu teoremu najpre u slučaju kada je i

. Predpostavićemo da su funkcije i neprekidne i

diferencijabilne u nekoj okolini tačke , što znači da je .

Prema Košijevoj teoremi postoji , , tj. odn. takvo da je

, tj. ,

jer je . Primetimo da, ako , da tada i , s obzirom

da je , (odnosno ) i da, ako postoji , da

tada postoji i , što znači da važi

,

tj.

.



Često je u rešavanju praktičnih problema važno da se funkcija čije vrednosti treba izračunavati u okolini neke tačke zameni nekom jednostavnijom funkcijom koja će je dovoljno dobro aproksimirati u nekoj okolini date tačke. Od svih elementarnih funkcija najprostiji su polinomi.

Neka je na nekom intervalu koji sadrži tačku data neprekidna funkcija koja ima sve neprekidne izvode do izvoda reda . Polinom prvog stepena

(•)

podudara se u tački sa funkcijom , a takođe u tački ima izvod jednak

izvodu funkcije u toj tački; grafik polinoma (•) je tangenta krive u tački . Isto tako, polinom drugog stepena

ima u tački istu vrednost kao i funkcija , a takođe su su toj tački vrednosti prvih i

drugih izvoda polinoma i funkcije jednake; grafik polinoma se u okolini

tačke još više priljubljuje uz grafik funkcije nego grafik polinoma . Prirodno

je očekivati da, ako se konstruiše polinom koji u tački ima sve neprekidne izvode

zaključno do izvoda -tog reda jednake odgovarajućim izvodima funkcije u toj tački, tada

će se takvim polinomom funkcija bolje aproksimirati u okolini tačke nego polinomom nižeg reda. Na taj način dobija se približna jednakost za sve vrednosti u nekoj okolini tače :

Dakle, takav polinom koji približno predstavlja funkciju u nekoj okolini tačke

, može se odrediti ako su poznate vrednosti , , ... , ; takav polinom

zove se Tejlorov polinom za funkciju u nekoj okolini tačke .

Približno predstavljanje funkcije u nekoj okolini tačke njenim Tejlorovim polinomom

nazivamo aproksimacijom funkcije tim polinomom. Izračunavajući vrednost

pomoću polinoma dobijamo za odgovarajuću približnu vrednost; razlika između tačne i približne vrednost funkcije zove se ostatak ili greška aproksimacije i obeležava se sa

:

.

Kako je odatle , imaćemo tzv. Tejlorovu formulu:



gde je ostatak (u Langranževom obliku)

,

a tačka

, .

Izrazi za ostatak Tejlorove formule mogu se dobiti u nekoliko različitih oblika; najčešće se, pored Lagranževog oblika ostatka, koristi Košijev oblik ostatka Tejlorove formule:

, .

Specijalno ako je tada iz Tejlorove formule dobijamo tzv. Maklorenovu formulu:

,

gde je sada

, ,

ostatak u Lagranževom obliku, dok je

, ,

ostatak u Košijevom obliku.

Napomena: Tejlorov polinom daje utoliko bolju aproksimaciju funkcije u nekoj okolini tačke

ukoliko je njegov stepen veći (tj. ukoliko je ostatak Tejlorove formule manji) i kada , tada u nekoj dovoljno maloj okolini tačke ostatak . U tom slučaju iz Tejlorove formule dobijamo:

,

te se kaže da je funkcija razvijena u beskonačan Tejlorov red



po rastućim stepenima od . Taj red predstavlja funkciju u nekoj okolini tačke . Ako je , odgovarajući red zove se Maklorenov red.

Rastenje i opadanje funkcije

Teorema: Ako funkcija koja je neprekidna na odsečku i diferencijabilna u intervalu

raste na tom odsečku, tada je , .

Ako je funkcija koja je neprekidna na odsečku i diferencijabilna u

intervalu i , , tada ta funkcija raste na odsečku

.

Teorema: Ako diferencijabilna funkcija opada na odsečku , tada je ,

.

Ako je , , i neprekidna na odsečku , tada

opada na odsečku .

Def: Funkcija imaće maksimum u tački ako je za svako

dovoljno malo po apsolutnoj vrednosti, odnosno ako je za svako koje

pripada nekoj okolini tačke .

Def: Funkcija imaće minimum u tački ako je za svako

dovoljno malo po apsolutnoj vrednosti, odnosno ako je za svako koje

pripada nekoj okolini tačke .



Napomena: Prethodne dve definicije odnose se na tzv. lokalni ili relativni maksimum (odn. minimum), vezan za neku dovoljno malu okolinu datih tačaka. Može se zaključiti da tako definisani maksimum, odn. minimum ne moraju istovremeno predstavljati najveću, odn. najmanju vrednost date funkcije na celom odsečku .

Maksimum i minimum funkcije u prethodne dve definicije nazivaju se ekstremumima ili ekstremnim vrednostima date funkcije.

Teorema: (neophodni uslov za ekstremum) Ako diferencijabilna funkcija ima u

tački ekstremum (maksimum ili minimum), tada je u toj tački

.

Dokaz: Pretpostavimo da u tački data funkcija ima maksimum; u tom slučaju za

dovoljno mali priraštaj , , imamo da je , tj.

. Prema tome, u zavisnosti od znaka priraštaja , sledi da je

(•)

Osim toga, s obzirom da je po pretpostavci funkcija diferencijabilna, njen izvod u

tački

ne zavisi od toga na koji način . Međutim iz relacija (• ) sledi da je , ako i pri tom , odnosno , ako

i pri tom . To znači, s obzirom da je određena vrednost,



da je .

Iz navedene teoreme sledi da, ako je funkcija diferencijabilna, da tada ona može imati ekstremum samo u tačkama u kojima je njen izvod jednak nuli; obratan zaključak ne važi. Naime, ako je , ne mora značiti da ta tačka predstavlja ekstremum funkcije. S druge strane funkcija može imati ekstremum i u tačkama u kojima ne postoji njen izvod (tj. u tačkama u kojima izvodna funkcija ima prekid).

Tačke u kojima funkcija nema izvod kao i tačke u kojima je , predstavljaju tzv.

kritične tačke funkcije . Dakle, funkcija može imati ekstremum samo u svojim kritičnim tačkama, a svaka kritična tačka ne mora biti tačka ekstremuma funkcije. Često se tačke u kojima je nazivaju stacionarnim tačkama.

Teorema: (dovoljan uslov za ekstremum) Ako je funkcija neprekidna u nekom intervalu

koji sadrži kritičnu tačku tog intervala i diferencijabilna u tom intervalu (osim možda

u samoj tački ), i ako je

, , i , , tada je ,

, , i , , tada je ;

dakle, ako izvodna funkcija menja znak pri prolasku kroz tačku (bilo da je

ili da ne postoji), tada funkcija ima ekstremum u tački

.

Dokaz: Pretpostavimo da je , , i , . Iskoristimo li Lagranžovu teoremu, dobijamo da je

, .

Ako je , tj. , tada je i , tj.

, odnosno

. (•)

Ako je , tj. , tada je i , tj.

, odnosno

. (••)

Na osnovu dobijenih nejednakosti (•) i (••) zaključujemo da je vrednost funkcije

za sve vrednosti koje su u nekoj dovoljno maloj okolini tačke , manja od

vrednosti , te je, prema tome .

Napomena: Na sličan način se dokazuje da prethodna teorema predstavlja dovoljan uslov za



minimum funkcije.

Dakle, pri ispitivanju ekstremuma funkcije pomoću prvog izvoda:

1. prvo treba naći 2. zatim odrediti kritične tačke, tj. stacionarne tačke i tačke prekida izvodne

funkcije 3. ispituje se znak izvoda s obe strane kritičnih tačaka 4. na kraju se izračunava vrednost funkcije za svaku od kritičnih tačaka

Ispitivanje ekstremuma funkcije pomoću drugog izvoda Pretpostavimo da je i da je neprekidna funkcija u nekoj okolini tačke .

Teorema: Neka je ; ako je , tada funkcija ima maksimum u

tački , tj. , a ako je , tada je tačka

minimuma funkcije , tj. .

Dokaz: Neka je i ; kako je, po pretpostavci, neprekidna

funkcija u okolini tačke , tada će se naći neki mali interval koji sadrži tačku u

kome je , tj. . Znači, izvodna funkcija opada na

otsečku koji sadrži tačku ; kako je , sledi da je , za

i , , tj. izvod menja znak pri prolasku kroz tačku

, dakle za funkcija rast, a za opada, što znači da je

.

Napomena: Analogno se dokazuje da, ako je i , da je tada

.

Dakle, da bi se našao maksimum (minimum) date funkcije na datom odsečku, treba naći sve lokalne maksimume (minimume), zatim treba odrediti vrednosti funkcije na krajevima odsečka, i iz svih nađenih vrednosti izabrati najveću (najmanju) vrednost funkcije. Tako dobijena vrednost će biti maksimum (minimum) funkcije na odsečku.

Konveksnost krive. Prevojne tačke



Def: Za krivu se kaže da je konveksna na gore na odsečku ako sve tačke leže

ispod bilo koje njene tangente na tom intervalu: kriva je konveksna na dole na

odsečku ako sve njene tačke leže iznad proizvoljne tangente na intervalu .

Razume se da se u ovoj definiciji izuzima tačka u kojoj odgovarajuća tangenta dodiruje krivu.

Teorema: Ako je u svim tačkama intervala , tada je kriva

konveksna na gore na intervalu .

Teorema: Ako je u svim tačkama intervala , tada je kriva

konveksna na dole na intervalu .

Def: Tačka koja razdvaja konveksni na gore deo od konveksnog na dole dela krive naziva se prevojnom tačkom date krive (tangenta u toj tački postoji i preseca datu krivu jer je s jedne strane prevojne tačke iznad a sa druge strane ispod da te krive).

Teorema: Data je kriva ; ako je ili ako ne postoji, i pri prolasku

kroz vrednost drugi izvod menja znak, tada je tačka

prevojna tačka krive .

Asimptote krive Def: Prava se naziva asimptotom krive definisane jednačinom ako

rastojanje od promenljive tačke do prave teži nuli kad se tačka udaljava u beskonačnost (tj. ako ili ili ako i i ).



Razlikovaćemo sledeće tipove asimptota:

1. Vertikalne asimptote. Iz prethodne definicije sledi da se prava naziva vertikalnom asimptotom u odnosu na osu krive ako je

2. Horizontalne asimptote. Prava će predstavljati horizontalnu asimptotu u odnosu

na osu krive ako je

3. Kose asimptote. Neka je prava asimptota krive . Ako rastojanje

između promenljive tačke date krive i prave teži nuli kad , tada je očigledno da će težiti nuli i razlika između odgovarajućih vrednosti

ordinata krive i prave . Dakle, prava će biti kosa

asimptota krive ako je

, tj. . (•)

Da bi odredili kosu asimptotu , potrebno je naći koeficijente i . Iz uslova (•) imamo da je

Shema ispitivanja funkcije i konstruisanje grafika Na osnovu onoga što je dosad izloženo, možemo zaključiti da je prilikom ispitivanja funkcije potrebno:

1. odrediti oblast definisanosti date funkcije i tačke prekida 2. naći tzv. nule funkcije, tj. vrednosti za koje je 3. odrediti intervale u kojima funkcija raste, odnosno opada i ispitati ponašanje funkcije na



krajevima intervala definisanosti 4. naći ekstremne vrednosti funkcije 5. ispitati konveksnost funkcije i naći prevojne tačke 6. proveriti da li data funkcija ima asimptote i odrediti ih ukoliko ih ima 7. na osnovu dobijenih podataka nacrtati grafik funkcije.

GLAVA 3 DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA JEDNE PROMENLJIVE

3.1 Funkcije jedne promenljive

3.1.1 Način zadavanja funkcije 3.1.2 Operacije na skupu realnih funkcija

3.1.3 Osnovne elementarne funkcije

3.2 Nizovi

3.2.1 Pojam konvergencije niza

3.2.2 Beskonačno male velicine

3.2.3 Beskonačno velike velicine

3.2.4 Kriterijumi konvergencije za nizove

3.2.5 Asimptotska proporcionalnost nizova

3.3 Granična vrednost funkcije

3.3.1 Beskonačno male funkcije (veličine) i njihova osnovna svojstva

3.3.2 Osnovne teoreme o graničnim vrednostima funkcije

3.3.3 Leva i desna granična vrednost funkcije

3.3.4 Granična vrednost funkcije kad argument

3.3.5 Beskonačno velike funkcije (veličine)

3.3.6 Upoređivanje beskonačno malih veličina

3.4 Neprekidnost funkcije

3.4.1 Vrste prekida

3.4.2 Operacije sa neprekidnim funkcijama

3.4.3 Neprekidnost elementarnih funkcija

3.4.4 Svojstva funkcija neprekidnih na odsečku

3.4.5 Ravnomerna (uniformna) neprekidnost

3.5 Izvod funkcije

3.5.1 Problem određivanja brzine kretanja

3.5.2 Geometrijsko značenje izvoda

3.5.3 Izvodi elementarnih funkcija

3.5.4 Izvod zbira, razlike, proizvoda i količnika funkcija

3.5.5 Izvod inverzne funkcije

3.5.6 Tablica izvoda

3.5.7 Izvod složene funkcije

3.5.8 Izvodi višeg reda



3.5.9 Mehaničko značenje drugog izvoda

3.5.10 Tangenta i normala krive

3.5.11 Diferencijal funkcije

3.5.12 Mehanička i geometrijska interpretacija diferencijala

3.5.13 Osnovna pravila za izračunavanje diferencijala

3.5.14 Diferencijal složene funkcije

3.5.15 Diferencijali višeg reda

3.6 Osnovne teoreme diferencijalnog računa

3.7 Tejlorova formula

3.8 Ispitivanje ponašanja funkcije

3.8.1 Rastenje i opadanje funkcije

3.8.2 Ispitivanje ekstremuma funkcije pomoću drugog izvoda

3.8.3 Konveksnost krive. Prevojne tačke

3.8.4 Asimptote krive

3.8.5 Shema ispitivanja funkcije i konstruisanje grafika

Osnovni pojmovi

Def: Veličina naziva se funkcijom promenljivih veličina i na skupu , ako svakom uređenom paru po nekom zakonu korespondencije odgovara neka određena vrednost promenljive :

Kako je i , imamo da

.

Def: Skup svih uređenih parova za koje u smislu zakona korespondencije postoji

odgovarajući realni broj , , naziva se oblast definisanosti funkcije

.

Def: Skup svih realnih brojeva koji u smislu zakona korespondencije odgovaraju svim

mogućim uređenim parovima iz oblasti definisanosti funkcije

predstavlja tzv. skup vrednosti funkcije .



Def: Funkcija : je jednoznačna ako

.

Def: Ako svakoj uređenoj -torki po zakonu korespondencije odgovara određeni realan broj ,

,

kažemo da je veličina funkcija promenljivih . Dakle,

.

Granična vrednost funkcije dveju promenljivih Def: Niz tačaka konvergira tački , , ako rastojanje ,

. Tačka se u tom slučaju naziva graničnom tačkom niza tačaka .

Teorema: Neophodan i dovoljan uslov da niz tačaka konvergira tački

jeste da

, .

Def: Ako za proizvoljan niz tačaka koji konvergira tački niz

odgovarajućih vrednosti funkcije uvek konvergira jednom istom

broju , tada se taj broj naziva graničnom vrednošću funkcije

u tački :

, .

Def: Za funkciju koja je definisana u nekoj okolini tačke , izuzev možda u samoj

tački kažemo da ima graničnu vrednost kad tačka konvergira tački

što pišemo

ako za svaki, proizvoljno mali, pozitivan broj postoji takav odgovarajući, dovoljno mali pozitivan broj da je za sve tačke , za koje je

,



odnosno za sve tačke koje pripadaju -okolini tačke , izuzimajući

samu tačku , odgovarajuća vrednost funkcije pripada -okolini vrednosti .

Napomena: Analogno prethodnoj definiciji u kojoj je korišćena sferna -okolina tačke ,

mogu se uvesti ekvivalentne definicije u kojima bi bile korišćene okoline tačke kvadratnog ili pravougaonog oblika.

Napomena: Analogno prethodnoj definiciji granične vrednosti dveju promenljivih može se dati definicija granične vrednosti funkcije promenljivih.

Def: Za funkciju koja je definisana u nekoj okolini tačke , kažemo da ima

graničnu vrednost kad tačka konvergira tački , što označavamo sa

ako za svaki, proizvoljno mali, pozitivni broj postoji takav odgovarajući dovoljno mali broj , da je za sve tačke koje pripadaju -okolini tačke

(izuzimajući eventualno samu tačku ),

, tj-

ispunjen uslov da odgovarajuća vrednost funkcije pripada -okolini vrednosti :

.

Neprekidnost funkcije dveju promenljivih Def: Za funkciju definisanu u nekoj tački i nekoj njenoj okolini,

kažemo da je neprekidna u tački ako je

odnosno, ako za svako prizvoljno malo pozitivno postoji takav dovoljno mali pozitivan broj da je za sve tačke iz -okoline tačke :

,

tj. da se razlika između vrednosti funkcije u tački i tački može učiniti proizvoljno malom.



Def: Za funkciju definisanu u nekoj tački i nekoj njenoj

okolini, kažemo da je neprekidna u tački ako je

odnosno, ako za svako prizvoljno malo pozitivno postoji takav dovoljno mali pozitivan broj da je za sve tačke iz -okoline tačke :

.

Def: Za funkciju se kaže da je ravnomerno neprekidna u oblasti ako za svaki proizvoljno mali pozitivni broj , može da se nađe takav odgovarajući dovoljno mali broj

, da za bilo koje dve tačke i iz oblasti čije je rastojanje:

.

Totalni priraštaj funkcija dveju i više promenljivih Def: Tačka je unutrašnja tačka oblasti , ako je u oblasti sadržana i neka okolina

tačke . Ako unutrašnjost oblasti označimo sa tada imamo da

.

gde je otvorena sfera sa centrom u tački i poluprečnikom .

Def: Totalnim priraštajem funkcije u datoj tački nazivamo razliku

, tj. .

Napomena: Ukoliko se menja samo jedna od promenljivih dok je druga fiksirana, tada imamo tzv. parcijalne priraštaje po promenljivim i :

.



Definicija parcijalnih izvoda prvog reda funkcija više promenljivih

Def: Ako postoje konačne granične vrednosti količnika priraštaja funkcije u tački

sa odgovarajućim priraštajima nezavisno promenljivih, takve da teže nuli tada se

te granične vrednosti nazivaju parcijalnim izvodima funkcije u tački .

Uopštenje na promenljivih

Napomena: Oznake treba uzimati kao simbole, a ne kao razlomke.

Geometrijsko značenje

Kriva je ravna kriva (leži u ravni ) i u svim njenim tačkama je , a leži i na

površi i ima jednačinu

Prvi izvod te funkcije, pri uslovu , podudara se sa parcijalnim izvodom po funkcije

dveju promenljivih u tački , i kao izvod bilo koje funkcije jedne

promenljive određuje koeficijent pravca (ugaoni koeficijent) tangente krive u tački



; dakle

gde je ugao koji tangenta krive obrazuje sa pozitivnim

smerom ose .

Na sličan način, ako datu površ presečemo ravni koja je paralelna

koordinatnoj ravni i prolazi kroz tačku , njena jednačina je ,

tada će parcijalni izvod te funkcije po promenljivoj u tački biti jednak ugaonom

koeficijentu tangente na presečenu krivu u tački

, tj

gde je ugao koji tangenta krive obrazuje sa pozitivnim

smerom ose .

Prvi izvodi podudaraju se sa parcijalnim izvodima.



Parcijalni izvodi višeg reda

Za funkciju parcijalni izvodi po promenljivima i su i .

Parcijalni izvodi parcijalnih izvoda i po promenljivima i su parcijalni izvodi drugog

reda po i respektivno.

- parcijalni izvod drugog reda funkcije po

- parcijalni izvod drugog reda funkcije po

- mešovito parcijalni izvod drugog reda funkcije po

i (parcijalni izvod parcijalnog izvoda po promenljivoj )

Parcijalni izvodi trećeg reda

po promenljivoj

, , ,

po promenljivoj

, , ,

Kod funkcija jedne nezavisne promenljive dokazivali smo da iz pretpostavke o egzistenciji prvog izvoda u nekoj tački sledi i neprekidnost date funkcije u toj tački. Međutim, kod funkcija dve ili više promenljivih iz egzistencije oba (ili svih ) parcijalnih promenljivih izvoda u nekoj tački ne može slediti i neprekidnost funkcije u toj tački.

Primer: Funkcija

u svim tačkama ima oba parcijalna izvoda. U tačkama

imenilac date funkcije kao i imenilac prvih pracijalnih izvoda je različit od , dok u koordinatnom početku imamo da je



Međutim, data funkcija ima prekid u tački (0,0) jer je duž pravih

.

Egzistencija parcijalnih izvoda utiče na ponašanje funkcije samo u pravcima koordinatnih osa ali ne i u svim ostalim pravcima.

Teorema: Ako funkcija u zatvorenoj oblasti ima ograničene parcijalne izvode,

što znači da postoji dovoljno veliki realni broj , koji ne zavisi od i , takav da je

i ,

tada je funkcija neprekidna na oblasti .

Dokaz: Pretpostavimo da tačke su tačke pravolinijskih

ortogonalnih odsečaka, koji ove tačke spajaju sa tačkom takođe ,

što je sigurno ispunjeno ako je unutrašnja tačka oblasti , a i dovoljno mali.

U tom slučaju totalni priraštaj date funkcije možemo napisati u obliku



Ako na svaki od izraza u zagradama primenimo Lagranžovu teoremu o srednjoj vrednosti tretirajući izraz u prvoj zagradi kao priraštaj date funkcije po promenljivoj , a izraz u drugoj zagradi kao priraštaj funkcije po promenljivoj dobijamo

gde se uzima u nekoj tački vertikalnog odsečka koji spaja tačke i

, a u nekoj tački horizontalnog odsečka između tačaka

i . Ukoliko sada iskoristimo ograničenja u jednačini dobijamo da je

što znači da totalni priraštaj funkcije možemo učiniti proizvoljno malim ako su

priraštaji nezavisno promenljivih i dovoljno mali, sledi da funkcija čiji

su parcijalni izvodi i ograničeni u zatvorenoj oblasti , neprekidna u svakoj tački te oblasti.

Teorema: Ako su mešoviti parcijalni izvodi i parametarske funkcije neprekidne

funkcije po i u svakoj tački neke oblasti , tada u svakoj unutrašnjoj tački te oblasti važi

.

Dokaz: Ako je tačka unutrašnja tačka oblasti tada će za dovoljno male priraštaje

i i tačke , ,

, kao i pravougaonik ležati unutar oblasti .



Obrazujmo izraz

Uvedimo pomoćnu funkciju promenljive ( ćemo smatrati parametrom). U tom slučaju možemo napisati da je

odnosno, posle primene Lagranžove teoreme o srednjoj vrednosti

Međutim, i s obzirom da je u formulaciji

teoreme pretpostavljeno da postoji mešoviti parcijalni izvod ponovnom primenom Lagranžove teoreme dobija se

tj.

.

Slično, polazeći od možemo uvesti pomoćnu funkciju po pomenljivoj

, gde je parametar, tada je

i primenom Lagranžove teoreme dva puta imamo da je

.

Upoređivanjem jednačina i dobija se da je

odakle uz pretpostavku da , a s obzirom na pretpostavku o

neprekidnosti mešovitih parcijalnih izvoda i neposredno sledi da je

Totalni diferencijal funkcije više promenljivih. Pojam diferencijabilnosti funkcije više promenljivih



Analogno formuli funkcije jedne promenljive

imamo

Teorema: Ako funkcija u tački i nekoj njenoj okolini ima parcijalne

izvode koji su u tački neprekidni po promenljivim i tada se totalni priraštaj

funkcije može napisati u obliku

gde veličine i zavise od i i kad

.

Dokaz: Napišimo u obliku

Izraz u prvoj zagradi je parcijalni priraštaj po promenljivoj u tački

, dok je izraz u drugoj zagradi parcijalni priraštaj po u tački

. Na svaki od priraštaja možemo primeniti Lagranžovu teoremu o srednjoj vrednosti funkcije jedne promenljive

Ako transformišemo izraz za u oblik

uvodeći oznake za i dobijamo

jer i zavise od i . Ako i tada



i jer su i ograničeni. Iz pretpostavke o

neprekidnosti parcijalinih izvoda funkcije u tački sledi da

pošto argumenti na levim stranama izraza teže ka i tada i odgovarajuće

vrednosti parcijalnih izvoda teže vrednostima i što znači da

i teže nuli kad i .

Na osnovu ove teoreme može se neposredno dokazati i

Teorema: Ako su u tački neprekidani parcijalni izvodi i funkcije ,

tada je funkcija neprekidna u .

Dokaz: U skladu sa pretpostavkama totalni priraštaj je

gde kad i , i što znači da je

tj. funkcija je neprekidna u tački .

Dovoljni uslovi za diferencijabilnost funkcija više promenljivih Def: Ako totalni priraštaj funkcije u tački može da se napiše u obliku

gde kad i , tada se kaže da je funkcija

diferencijabilna u tački .

Na osnovu teoreme neposredno sledi da je svaka funkcija koja u ima neprekidne parcijalne izvode, diferencijabilna u toj tački.

Pokažimo da kad i razlika između totalnih priraštaja date

funkcije u tački i zbira predstavlja beskonačno malu veličinu višeg reda u odnosu na beskonačno malu veličinu

gde je rastojanje između i .



Zaista na osnovu imamo

i

jer kad i i

dakle .

Def: Za funkciju koja je diferencijabilna u tački glavni deo totalnog priraštaja

se naziva totalni diferencijal funkcije u tački i označava se sa

Diferencijalima nezavisno promenljivih nazivamo njihove priraštaje kad teže nuli

pa je

tj.

, kad i .

U slučaju funkcije promenljivih , gde se pretpostavlja da su svi parcijalni

izvodi neprekidni u nekoj tački izraz



predstavlja glavni deo priraštaja funkcije i zove se totalni diferencijal date

funkcije. Na sličan način pokazuje se da je razlika između totalnog priraštaja i totalnog diferencijala beskonačno mala veličina višeg reda u odnosu na rastojanje između

i

Neposredno se iz prethodne definicije može dokazati da važe ista pravila za izračunavanje diferencijala, kao i u slučaju funkcije jedne promenljive

Diferencijali višeg reda Def: Diferencijalom drugog reda naziva se diferencijal totalnog diferencijala date

funkcije

.

koji se izračunava iz pretpostavke da su i konstantni. Imamo da je

:

odnosno uz pretpostavku da su mešoviti parcijalni izvodi drugog reda neprekidne funkcije, tj. jednaki, dobijamo da je



Potreban i dovoljan uslov da bude totalni diferencijal

Neka su date funkcije i , neprekidne po obema nezavisno

promenljivim i sa neprekidnim prvim parcijalnim izvodima. Za izraz

se kaže da predstavlja totalni diferencijal ako postoji takva funkcija čiji je totalni diferencijal

Kod funkcija jedne promenljive, za dati izraz u kome je neprekidna funkcija uvek postoji funkcija čiji je prvi diferencijal

Međutim, u za funkciju dveju promenljivih izraz ne mora uvek predstavljati totalni diferencijal neke funkcije promenljivih i .

Teorema: Ako su funkcije i i njihovi prvi i drugi parcijalni izvodi neprekidne funkcije po promenljivim i , tada je neophodan i dovoljan uslov da izraz

bude totalni diferencijal

Dokaz: Pokažimo prvo da je neophodan. Kako je kao što znamo

to iz relacija i sledi da je



Odatle sledi da je

s obzirom na teoremu o jednakosti mešovitih parcijalnih izvoda sledi

Dokažimo sada da je ovaj uslov i dovoljan.

Iz prve jednakosti za dobijamo da je

gde smo integracionu konstantu označili sa , a integraciju vršili po . Funkciju

ćemo odabrati tako da važi druga jednakost . Diferenciranjem izraza

dobijamo

tj. s obzirom na

odnosno

ili

odakle sledi da je

tj.

Dakle iz i dobijamo da je

,

gde se diferenciranjem dobija



Napomenimo da je pri određivanju funkcije , korišćena okolnost da desna strana izraza ne zavisi od . Diferenciranjem po dobijamo

s obzirom na .

Parcijalni izvodi složenih funkcija Ako je data funkcija , tada je složena

funkcija argumenata i . Pretpostavimo da imaju neprekidne parcijalne izvode po svim argumentima.

Ako se fiksira, a dobije priraštaj , tada su odgovarajući priraštaji i po i

, što znači da je odgovarajući priraštaj funkcije

podelivši sa dobijamo

S obizom na neprekidnost funkcija i kada tada i i i

i i kako je

dobijamo



Egzistencija i diferencijabilnost implicitne funkcije Pretpostavimo da su vrednosti promenljivih i međusobno povezane jednačinom oblika

Ako za svaku vrednost promenljive postoji odgovarajuća vrednost koja zajedno sa zadovoljava datu jednačinu, tada ta jednačina definiše jednoznačnu ili višeznačnu funkciju

koja identički zadovoljava jednakost

Funkcija se naziva implicitnom, ako je data funkcija jednačinom oblika (koja

nije rešena po promenljivoj ). Inače, funkcija se naziva eksplicitnom ako izražava neposrednu zavisnost od .

Primer: Jednačina se ne može rešiti po . Međutim,

postavlja se pitanje da li postoji takav odsečak da postoji

odgovarajuća vrednost za koju će par zadovoljavati tu jednačinu. Drugim

rečima, da li postoji implicita funkcija koja zadovoljava tu jednačinu?

Teorema: Ako je data jednačina i ako ima sledeća svojstva:

su definisane i neprekidne u pravougaoniku

,

i ,

za je monotono rastuća ili monotono opadajuća funkcija

po promenljivoj , - tada će jednačinom u pravougaoniku

biti definisana implicitna funkcija koja je neprekidna i neprekidno diferencijabilna u intervalu i pri tom je



Teorema o egzistenciji implicitne funkcije može da se uopšti i na slučaj funkcija više promenljivih.

Teorema: Ako je funkcija neprekidna funkcija promenljivih

i ima neprekidne izvode i ako je

, a ,

tada postoji takav interval i takva oblast koja sadrži tačku

-dimenzionog prostora, da jednačina

definiše u oblasti jednoznačnu implicitnu funkciju čije

vrednosti pripadaju intervalu i koja u svakoj tački oblasti zadovoljava jednačinu

i

.

Tangentna ravan i normala površi Neka je funkcija neprekidna i diferencijabilna u prosto povezanoj oblasti ravni

: takvoj funkciji odgovara kao grafik površ sa jednačinom

pri tome postoji totalni diferencijal

Za takvu površ kažemo da je u svakoj svojoj tački glatka.

Def: Neka je glatka površ, a i krive duž kojih ravni , odnosno seku

. Ravan koja sadrži tangente i tih krivih u njihovoj zajedničkoj tački

zove se tangentna ravan površi u tački i određena je jednačinom



,

gde je projekcija na .

Def: Prava koja je u datoj dodirnoj tački glatke površi i njene tangentne ravni

normalna na ovu ravan zove se normala površi u datoj tački i određena je jednačinom

,

gde je projekcija na .



Tejlorova formula za funkciju više promenljivih Postavlja se pitanje da li je i funkciju dve ili više promenljivih moguće u okolini neke tačke aproksimirati odgovarajućim Tejlorovim polinomom -tog stepena. Ovaj problem se za funkciju dve promenljive sastoji u sledećem:

• Za proizvoljno funkciju aproksimirati Tejlorovim polinomom -

tog stepena u odnosu na priraštaje i nezavisno promenljivih.

Ako se uvede pomoćna promenljiva i ako se umesto funkcije razmatre funkcija

tada pri fiksiranim vrednostima , , i funkcija se može posmatrati kao funkcija

jedne promenljive. Pri tom imamo da , tačka će

pripadati odsečku čije su krajnje tačke i .

Neka funkcija u nekoj okolini tačke ima neprekidne parcijalne izvode po

promenljivim i zaključno sa izvodima reda , diferenciranjem funkcije kao složene funkcije po dobijamo

Traženi Tejlorov polinom se dobija korišćenjem Lagranžove teoreme o srednjoj vrednosti za



funkciju jedne promenljive koja uspostavlja vezu između totalnog priraštaja funkcije ,

i parcijalnih izvoda i .

Na intervalu imamo

tj.

Za dobijamo formulu koja izražava Lagranžovu teoremu o serdnjoj vrednosti za funkciju dve promenljive

ili

gde je tačka neka unutrašnja tačka odsečka čiji su krajevi tačke i

.

Teorema: Ako je u nekoj okolini tačke funkcija neprekidna i ako postoje

parcijalni izvodi i , tada je totalni priraštaj funkcije pri prelasku iz tačke

u tačku jednak totalnom diferencijalu date funkcije

u nekoj unutrašnjoj tački pravolinijskog odsečka .

Teorema: Ako u svakoj tački neke oblasti postoje parcijalni izvodi i i ako su

jednaki nuli, tada je funkcija u toj oblasti konstantna.

Za funkciju napišimo Tejlorovu formulu sa ostatkom u Lagražovom obliku, a zatim stavimo da je , čime se dobija Tejlorova formula za funkciju dve promenljive



sa ostatkom simbolički napisanim u obliku

gde je .

Tejlorovom formulom se izražava totalni priraštaj funkcije

izražen u obliku zbira homogenih polinoma prvog, drugog,..., -og stepena po

priraštajima nezavisno promenljivih i . Prvih polinoma se podudaraju sa diferencijalima prvog, drugog, ...,

-tog reda, respektivno. Polinom stepena koji figuriše u ostatku predstavlja

potpuni diferencijal -og reda u tački ,

pravolinijskog odsečka .

Neophodni uslovi ekstremuma Def: Funkcija u tački ima lokalni minimum ako u svim

tačkama neke oblasti tačke ima manje vrednosti nego u tački tj.

Def: Funkcija u tački ima lokalni maksimum ako u svim

tačkama neke oblasti tačke ima veće vrednosti nego u tački tj.

.



Primer:

funkcija dostiže najveću vrednost u . Međutim, nema lokalni maksimum u smislu

definicije, jer u svakoj okolini tačke ima tačaka u kojima funkcija ima veću vrednost (tačke trećeg kvadranta) tj.

.

Ipak, ako funkcija dostiže najveću ili najmanju vrednost u nekoj unutrašnjoj oblasti, tada ta vrednost predstavlja lokalni maksimum ili lokalni minimum.

Neophodni uslovi za ekstremum funkcije više promenljivih. Dokaz

Teorema: Ako diferencijabilna funkcija dostiže ekstremum u tački

tada su svi parcijalni izvodi te funkcije u tački jednaki nuli.

.

Dokaz: Fiksirajmo sve promenljive izuzev jedne promenljive

. U tom slučaju funkcija u

okolini tačke se može posmatrati kao funkcija jedne promenljive , koja treba da

dostigne ekstremnu vrednost za . Kao što znamo uslov za ekstremum funkcije jedne promenljive je da je prvi izvod u datoj tački jednak nuli, ako postoji, a prvi izvod date funkcije jedne promenljive za je parcijalni izvod polazne

funkcije po promenljivoj u tački kada uzima vrednosti od

tj.

,

što predstavlja neophodan uslov za ekstremum funkcija više promenljivih.

S obzirom na definiciju totalnog diferencijala funkcije očigledno je da se neophodan uslov za za ekstremum funkcije promenljivih može zameniti ekvivalentnim izrazom

Geometrijski smisao



Ako u tački dostiže ekstremum tada je tangentna ravan površi

u tački . Zaista, iz jednačine tangentne ravni u tački

i

neophodnog uslova za ekstremum

sledi da je

tj.

što predstavlja jednačinu ravni paralelne na rastojanju od nje.

Def: Tačke u kojima su parcijalni izvodi funkcije jednaki nuli

zovu se stacionarne tačke.

Da bi se, u opštem slučaju, odredilo da li u stacionarnim tačkama funkcija dostiže ekstremum potrebna su dopunska ispitivanja. Međutim, ako funkcija dostiže ekstremnu vrednost u nekoj unutrašnjoj tački svoje oblasti definisanosti i ako sistem jednačina

određuje jedinstvenu stacionarnu tačku , tada data funkcija u tački dostiže svoj ekstemum.

Def: Tačke u kojima su svi parcijalni izvodi jednaki nuli ili u kojima bar jedan od izvoda ne postoji zovu se kritične tačke .

Znači, stacionarne tačke su kritične, ali sve kritične tačke nisu stacionarne.

Dakle, treba naći sve kritične tačke unutar oblasti i izračunati vrednost funkcije u tim tačkama. Osim toga, treba uzeti u obzir da funkcija može dostizati ekstremum na granici oblasti

. Na kraju upoređivanjem svih dobijenih vrednosti određuje se najmanja ili najveća.



Primer: Odredimo najmanju i najveću vrednost funkcije u oblasti

.

Oblast je trougao , pa iz uslova stacionarnosti funkcije

koji su zadovoljeni u tačkama u kojima je tj. , znači

u tačkama i od kojih samo leži unutar . U toj tački

funkcija ima vrednost . Sada prelazimo na ispitivanje funkcije u graničnim

tačkama oblasti :

a) duž ivice (deo prave ) data funkcija predstavlja rastuću funkciju ,

što znači da je najmanja vrednost , a najveća .

b) duž ivice (deo prave ) , što znači da se stacionarne

tačke dobijaju iz uslova tj. ekstremum se dostiže u tački

u kojoj funkcija ima vrednost .

c) duž ivice (deo prave ) dobijamo rastuću funkciju , čija je

najmanja vrednost , a najveća .

Upoređujući dobijene vrednosti zaključujemo da u zadanoj oblasti najmanja vrednost funkcije

je u tački , a najveća u tačkama i .

Dovoljni uslovi za ekstremum



Teorema: Pretpostavimo da u nekoj oblasti kojoj pripada tačka funkcija

ima neprekidne parcijalne izvode zaključno sa izvodima trećeg reda i

pretpostavimo da je tačka stacionarna tačka date funkcije tj.

.

Stavimo da je

1. i tada funkcija ima maksimum u .

2. i tada funkcija ima minimum u .

3. tada funkcija nema ni maksimum ni minimum u .

4. tada je za određivanje karaktera stacionarnih tačaka potrebno ispitivanje izvoda višeg reda.

Dokaz: Aproksimirajmo funkciju Tejlorovim polinomom drugog reda u okolini

tačke

gde kad .

Ako u Tejlorovu formulu unesemo uslove stacionarnosti dobija se

Upotrebimo gornje oznake za i stavimo da je ugao između pozitivnig

dela ose i odsečka , . U tom slučaju priraštaji

i mogu da se izraze preko ugla :



zamenom u prethodnu jednačinu dobijamo

Ako pretpostavimo da je i desnu stranu izraza podelimo sa dobijamo da je

Razmotrimo sledeće slučajeve:

1. - tada je u brojiocu razlomka zbir dve pozitivne veličine koje ne mogu istovremeno biti jednake nuli jer je

Dakle brojilac je uvek pozitivan, a imenilac negativan, te je ceo razlomak negativan, pa ga možemo označiti sa , gde je neki realan broj koji ne zavisi od . Prema tome,

sledi da je za dovoljno malo

tj. za sve tačke okoline tačke važi

što znači da funkcija ima maksimum u tački .

2. , analogno dobijamo

tj.



što znači da funkcija ima minimum u tački .

3. , tada, recimo, pri kretanju duž

poluprave koja polazi iz i obrazuje ugao sa pozitivnim smerom

data funkcija raste jer je

dok pri kretanju duž poluprave koja sa pozitivnim smerom obrazuje ugao

,

za proizvoljno malo

što znači da u ovom smeru opada, zato funkkcija nema ni maksimum ni minimum.

Slično i kad funkcija takođe nema ekstremum.

Ako je , tada je i izraz za totalni priraštaj poprima oblik

.

Za dovoljno male vrednosti izraz ne menja znak, a

menja znak u zavisnosti da li je ili . Ako je dovoljno malo

tada faktor neće uticati na znak celog izraza. Prema tome, znak menjaće

se u zavisnsti od , tj. od izbora i , što znači da ne može biti tačka ekstremiteta.

Dakle, ako je , funkcija u nema ni maksimum

ni minimum i u tom slučju površina funkcije koja odgovara ima u tzv. minimaks ili sedlastu tačku.

4. , tad imamo da je



te znak totalnog priraštaja zavisi od znaka , što znači da je za utvrđivanje

karaktera ekstemuma u potrebno ispitati parcijalne izvode višeg reda.

Napomena: Do sada smo posmatrali samo stacionarne, a ne sve kritične tačke. U tim slučajevima karakter ekstremuma se utvrđuje preko definicija lokalnog maksimuma i lokalnog minimuma.

Ekstremumi funkcije promenljivih Pretpostavimo da je funkcija neprekidna, definisana i da ima izvode I i II reda

u okolini neke stacionarne tačke . Totalni priraštaj pomoću Tejlorove formule glasi

tj.

, gde je

a parcijalni izvodi II reda su izračunati u nekoj tački

iz okoline . Ako se uvedu oznake

pri čemu je

,

gde kad .



Zbog neprekidnosti drugih parcijalnih izvoda je . U tom slučaju imamo da je totalni priraštaj

.

Prvi deo priraštaja neziva se kvadratnom formom promenljivih

.

Kvadratna forma se naziva pozitivno definisanom ako ima pozitivne vrednosti, odnosno negativno definisanom ako ima negativne vrednosti za sve moguće vrednosti svojih argumenata

koji nisu istovremeno jednaki nuli.

Neophodan i dovoljan uslov definisanosti znaka kvadratne forme daje sledeća teorema

Teorema: (Silvesterov kriterijum) Neka su u simetričnoj matrici

kvadratne forme tzv. glavni minori determinante

Da bi bilo pozitivno neophodno je i dovoljno da

Da bi bilo negativno neophodno je i dovoljno da glavni minori naizmenično menjaju znake



Ako je , je nedefinisanog znaka (tj. menja znak u zavisnosti od svojih argumenata).

Pomoću kvadratne forme formulišu se dovoljni uslovi za eksremum funkcije

Teorema: Neka u nekoj okolini stacionarne tačke funkcija ima neprekidne sve parcijalne izvode II reda

.

Ako drugi diferencijal predstavlja kvadratnu formu definisanog znaka, čiji su

argumenti , tada ima u tački lokalni ekstremum. Pri tom ako je kvadratna forma

1. pozitivno definisana, u funkcija ima minimum

2. negativno definisana, u funkcija ima maksimum

3. promenljivog znaka, u funkcija nema ekstremum

Dokaz: Označimo li sa rastojanje između tačaka

i tada uvodeći oznake s obzirom

možemo napisati totalni priraštaj u obliku

.

Sve vrednosti ne mogu istovremeno biti jednake nuli jer je s obzirom na izraz

Ako je pozitivno, prva suma u izrazu uvek ima pozitivan znak, a s obzirom na

uslov postoji realan broj , takav da za sve moguće vrednosti



.

Kako je ova suma neprekidna funkcija argumenata u celom -dimenzionom

prostoru, biće neprekidna na jediničnoj sferi sa centrom u tački

definisanom izrazom . Saglasno Vajerstrasovoj teoremi neprekidna funkcija u zatvorenoj oblasti može dostizati svoju najmanju vrednost, koja je zbog neprekidnosti pozitivna i ta vrednost je označena sa . Druga suma u izrazu za dovoljno male

vrednosti , s obzirom da kad , a znači i da

, po apsolutnoj vrednosti je manja od , što znači da u

dovoljno maloj okolini (sferi sa centrom u tački ) totalni priraštaj

pozitivan, odnosno da u tački funkcija dostiže minimum.

Na sličan način se dokazuje da ako je negativno tada u tački funkcija

dostiže maksimum, a ako menja znak tada u tački nema ekstremuma.

Uslovni ekstremum funkcije više promenljivih Ekstremumi koji zadovoljavaju još neke dopunske uslove nazivaju se uslovnim ekstremumima.

Primer: Ako je u problemu na skupu tačaka u kome važi dopunnski uslov

.

Ako se u jednačinu jedna od promenljivih zameni pomoću druge

promenljive iz navedenog uslova dobija se da je , tj.

, što znači da se polazni problem određivalja uslovnog ekstremuma svodi na problem nalaženja bezuslovnog ekstremuma funkcije jedne promenljive

.



Pošto je i funkcija ima minimum

u tački .

Ako se u problemu određivanja uslovnog ekstremuma funkcije dveju promenljive, jednačina koja kroz dopunski uslov daje vezu između nezavisno promenljivih može predstaviti jednačinama u parametarskom obliku , tada je polazni problem određivanja ekstremuma

funkcije pri uslovima svodi se na problem određivanja

bezuslovnog ekstremuma složene funkcije jedne promenljive .

Ako oblik dopunskih uslova ne daje mogućnost da se jedna nezavisno promenljiva izrazi preko druge, tada je problem određivanja uslovnog ekstremuma nešto složeniji.

Pretpostavimo da u funkciji promenljiva zavisi od preko implicitnog dopunskog uslova

U tom slučaju imamo da je , dok je u tačkama ekstremuma

a diferenciranjem dopunskog uslova dobija se

što inače važi za sve vrednosti i koji zadovoljavaju dopunski uslov

Ako se jadnakost pomnoži sa nekim neodređenim koeficijentom i sabere sa jednakošću

dobija se da je

odnosno

što važi u svim tačkama ekstremuma pri uslovu .

Izaberimo sada tako da bude zadovoljen uslov



U tom slučaju iz jednakosti sledi da za sve vrednosti i za koje važi ispunjen je i uslov

Dakle u tačkama ekstremuma funkcije za koje važi uslov zadovoljen je sistemom jednačina

iz koga se određuju stacionarne tačke i neodređeni koeficijent . Izloženi postupak predstavlja ujedno i dokaz sledeće teoreme.

Neophodni uslovi za uslovni ekstremum Teorema: Neophodan uslov da funkcija pri uslovu ima ekstremum u

nekoj tački jeste da postoji takav realan broj da vrednosti

zadovoljavaju sistem jednačina

uz pretpostavku da i nisu istovremeno jednaki nuli.

Primetimo da leve strane prvih dveju jednačina u sistemu predstavljaju parcijalne izvode funkcije



koja se naziva Lagranžovom funkcijom razmatranog problema uslovnog ekstremuma. Izloženi metod za određivanje uslovnih ekstremuma naziva se Metodom Lagražovih multiplikatora koji ima veoma jasan geometrijski smisao.

Geometrijski smisao

Na slici imamo nivo-liniju funkcije i krivu koja je zapravo uslov

i na kojoj treba da se nalaze tačke ekstremuma.

Tačka u kojoj seče nivo-liniju ne može biti tačka uslovnog ekstremuma jer je sa jedne

strane nivo–linije , a sa druge strane . Ako u kriva dodiruje

nivo-liniju tada u nekoj okolini tačke kriva leži sa jedne strane nivo-linije, što znači da je

tačka tačka uslovnog ekstremuma. To znači da će uglovni koeficijent krive i nivo linije u

tački biti jednaki. Iz uslova imamo

a iz jednačine nivo-linije sledi

odnosno sistem .

Metod lagranžovih multiplikatora može se uopštiti za određivanje uslovnog ekstremuma funkcije sa proizvoljno mnogo nezavisnih promenljivih. Pretpostavimo da treba odrediti estremum funkcije

uz dopunske uslove da za nezavisno promenljive treba da bude zadovoljeno jednačina ( ):



Teorema: (neophodan uslov za ekstremum) Tačke ekstremuma funkcije u kojima

su ispunjeni uslovi predstavljaju stacionarne tačke Lagranžove funkcije

,

tj. tačke u kojima su parcijalni izvodi od po

Iz sistema jednačina i mogu se odrediti i pomoćne

promenljive . Sistem predstavlja parcijalne izvode Lagranžove funkcije

po pomoćnim promenljivim .

Dovoljan uslov za uslovni ekstremum Teorema: (dovoljan uslov za ekstremum) Ako je drugi diferencijal Lagranžove funkcije

u stacionarnoj tački funkcije , tada u tački funkcija

ima uslovni minimum, a ako je u tački , , tada u tački

funkcija ima uslovni maksimum.

Primetimo da promenljive Lagranžove funkcije zavise od

, te pri izračunavanju treba voditi računa da je ,



tj.

jer je

Tako da je oblik drugog diferencijala Lagranžove funkcije isti kao kad bi sve promenljive

bile međusobno nezavisne.

GLAVA 4 DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA DVEJU I VIŠE PROMENLJIVIH

4.1 Funkcije više promenljivih

4.1.1 Osnovni pojmovi 4.1.2 Granična vrednost funkcije dveju promenljivih

4.1.3 Neprekidnost funkcije dveju promenljivih

4.1.4 Totalni priraštaj funkcija dveju i više promenljivih

4.2 Izvodi i diferencijali funkcija više promenljivih

4.2.1 Definicija parcijalnih izvoda prvog reda funkcija više promenljivih

4.2.2 Parcijalni izvodi višeg reda

4.2.3 Totalni diferencijal funkcije više promenljivih. Pojam diferencijabilnosti funkcije više promenljivih

4.2.4 Dovoljni uslovi za diferencijabilnost funkcija više promenljivih


4.2.6 Potreban i dovoljan uslov da bude totalni diferencijal

4.2.7 Parcijalni izvodi složenih funkcija

4.2.8 Egzistencija i diferencijabilnost implicitne funkcije4.2.9 Tangentna ravan i normala površi



4.3 Ekstremumi funkcije više promenljivih

4.3.1 Tejlorova formula za funkciju više promenljivih

4.3.2 Neophodni uslovi za ekstremum funkcije više promenljivih. Dokaz

4.3.3 Dovoljni uslovi za ekstremum

4.3.4 Ekstremumi funkcije promenljivih

4.3.5 Uslovni ekstremum funkcije više promenljivih

4.3.6 Neophodni uslovi za uslovni ekstremum

4.3.7 Dovoljan uslov za uslovni ekstremum

Pojam integralne sume

Def: Krivolinijski trapez predstavlja figuru ograničenu osom , linijom s kojom

prave paralelne sa osom mogu da se seku u najviše jednoj tački i pravama i

; odsečak je osnovica krivolinijskog trapeza.



Neka je krivolinijski trapez sa osnovom ograničen nekom linijom , gde je

neprekidna na i pretpostavimo da je . Označimo sa

i . Podelimo na delova (koji ne moraju biti jednaki) tačkama

. Stavimo da je

i označimo sa

Očigledno je da se površina krivolinijskog trepeza može napisati kao

i

.

Prvi izraz predstavlja donju integralnu sumu, a drugi gornju integralnu sumu.

S obzirom da je i imamo da je

1. , pošto je ;

2. , jer je ;

3. , jer je ;



pa možemo zaključiti da je .

Definicija određenog integrala Na svakom od navedenih odsečaka izaberimo proizvoljne

tačke . U svakoj od tih tačaka izračunajmo vrednost funkcije

, a zatim sastavimo integralnu sumu za funkciju na odsečku

Pošto je za proizvoljno i , to je,

, odnosno

tj. .

Def: Neka je ograničena funkcija na segmentu i neka

označava integralnu sumu funkcije na tom segmentu. Ako postoji

jedinstvena granična vrednost

nezavisno od podele segmenta na delova i nezavisno od izbora tačaka , tada

kažemo da je funkcija integrabilna na segmentu .

Broj , tj. granicu integralnih suma, zovemo određenim integralom funkcije na

segmentu i simbolički ga obeležavamo

Broj zovemo donjom, a broj gornjom granicom intervala. zovemo podintegralnom funkcijom ili integrandom, a varijablom integracije.

Teorema: Svaka ograničena i monotona funkcija na segmentu jeste integrabilna na tom segmentu.

Takođe, na osnovu načina formiranja integralne sume sledi



Ako konstruišemo grafik integranda i ukoliko je tada predstavlja

površinu krivolinijskog trapeza sa osnovom

.

Svojstva određenog integrala Iz definicije određenog integrala izvode se sledeća svojstva:

.

.

.

U definiciji smo pretpostavili da je tj. , ali kada suma ide od do

tada je pa je

.

.



Ako u intervalu ne menja znak, tada je broj koji ima isti znak

kao i funkcija .

Ako je u intervalu tada su svi sabirci odgovarajuće integralne sume

nenegativni, što znači da i određeni integral te funkcije, kao granična vrednost

neprekidne funkcije koja je nenegativna, takođe nenegativan. Odatle sledi da je

samo ako je neprekidna funkcija koja ne menja znak .

Ako na intervalu funkcije i zadovoljavaju uslov

, tada je

.

Razlika

odakle sledi svojstvo .

(ocena određenog integrala)

Ako je gde je neprekidna na , tada je

Kako je to je na osnovu svojstva imamo da je



.

Kako je

i slično i zamenom u predhodnu jednačinu pokazujemo da ovo

svojstvo važi.

(teorema o srednjoj vrednosti)

Ako je neprekidna na tada postoji takva tačka za koju je

Vrednost zovemo srednjom vrednošću funkcije na intervalu .

Ako je tada iz svojstva sledi

, tj.

kako je neprekidna na to ona prema Koši-Bolcanovoj teoremi uzima sve

vrednosti između i , tj. za neko , te je

.

(teorema o podeli intervala integracije)

Ako tačka deli interval na dva dela, tj. , i funkcija je integrabilna, tada važi relacija

.

Ovo svojsvo je geometrijski jasno jer predstavlja sabiranje površina.



Kako granična vrednost integralnih suma ne zavisi od podele intervala integracije na delove, to se može podeliti na podintervale tako da tačka uvek bude tačka

podele segmenta . Zato se integralne sume na , i mogu obrazovati tako da važi

.

Prelaskom na limes, pri uslovu da , dobijamo ovo svojstvo.

Izračunavanje određenog integrala. Pojam neodređenog integrala.

Def: Neka je zadana funkcija na nekom intervalu . Svaku funkciju

, sa svojstvom da je,

zovemo primitivnom (prvobitnom) funkcijom zadane funkcije .

Primer: Neka je na zadana funkcija . Njena primitivna funkcija je , jer je

.

Teorema: Ako je primitivna funkcija zadane funkcje , tada je i funkcija takođe

njena primitivna funkcija, pri čemu je ma koja realna konstanta.



Dokaz: Ako je primitivna funkcija za , to znači da je . Odatle sledi

, tj. da je primitivna funkcija .

Teorema: Ako su i dve različite primitivne funkcije zadane funkcije , onda se one

razlikuju za određenu realnu konstantu , tj. .

Dokaz: Po pretpostavci i , te je

. Ako je izvod neke funkcije jednak nuli, onda to mora biti konstantna

funkcija. Dakle, mora biti konstanta, tj. , gde je neki realan broj.

Def: Neka postoji primitivna funkcija zadane funkcije . Skup

, svih primitivnih funkcija funkcije , nazivamo neodređeni integral funkcije i kraće ga obeležavamo simbolom

.

Dakle, prema definiciji je , pri čemu zovemo podintegralnom

funkcijom. Operaciju kojom od funkcije prelazimo na njen neodređeni integral

zovemo integracijom. Integracija predstavlja inverznu operaciju diferencijaciji.

Veza određenog i neodređenog integrala Teorema: (osnovna teorema diferencijalnog i integralnog računa) Ako je

neprekidna funkcija na intervalu , tada je funkcija

jedna primitivna funkcija funkcije , tj.

.

Dokaz: Prema definiciji izvoda funkcije u tački

.

Izrazimo promenu , funkcije , preko određenog integrala, jer je pomoću njega i definisana. Kako je



, to je i ,

pa je

.

Dakle

.

Integral na desnoj strani je određeni integral na intervalu . Primenjujući

na njega teoremu o srednjoj vrednosti, zaključujemo da postoji neki broj , između i , takav da je

,

tj.

.

Odavde sledi

.

Ako , tad , jer je , a vrednost fukcije

, budući da je neprekidna funkcija. Zato, pređemo li na limes u prethodnoj relaciji, dobijamo

.

tj. za svako iz intervala .

Dakle, je primitivna funkcija funkcije , što smo i hteli dokazati.



Teorema: (Njutn-Lajbnicova formula integralnog računa) Određeni integral , zadane

funkcije na intervalu , jednak je razlici vrednosti koje prima bilo koja primitivna funkcija na granicama intervala integracije.

Dokaz: Neka je

.

Ako je bilo koja druga primitivna funkcija tada se i razlikuju samo za određenu aditivnu konstantu , tj.

.

Za dobijamo

,

čime je određena konstanta , pa možemo napisati

Uzmimo sada da je , pa iz predhodne relacije izlazi

, tj.



Uopšteni integrali sa beskonačnim intervalom integracije Neka je funkcija definisana i neprekidna za svaku vrednost argumenata .

U tom slučaju je integral definisan za . Kad se gornja granica menja, tada

ovaj integral predstavlja neprekidnu funkciju gornje granice integracije.

Def: Ako postoji konačna granična vrednost

,

tada se ta granična vrednost naziva uopštenim integralom na intervalu i označava sa

U tom slučaju se kaže da uopšteni integral postoji, odnosno da konvergira. Ako integral nema graničnu vrednost kad , tada se kaže da ovaj integral ne postoji,

odnosno da divergira.

Geometrijski smisao

Uzmimo da je . Kako izražava površinu krivolinijskog trapeza nad

osnovicom , možemo smatrati da uopšteni integral predstavlja površinu

neograničene (beskonačne) oblasti između krive , prave i apscisne ose.



Navedimo nekoliko kriterijuma za proveru konvergencije uopštenog integrala.

Teorema: Ako je za svako i ako konvergira, tada će

konvergirati i i pri tom je

.

Teorema: Ako je za svako i ako divergira, tada će

divergirati i .

Ako funkcija menja znak u intervalu , tada važi

Teorema: Ako konvergira, tada će konvergirati i .

Uopšteni integrali sa neograničenim integrandom Def: Ako je funkcija neprekidna na intervalu , a kad

i ako postoji konačna granična vrednost

,

tada se ta granična vrednost naziva uopštenim integralom funkcije na odsečku i označava se sa



.

U tom slučaju se kaže da uopšteni integral postoji, odnosno da konvergira. Ako integral nema graničnu vrednost kad , kaže se da ovaj integral ne postoji, odnosno

da divergira.

Na sličan način ako je funkcija neprekidna na intervalu i ako postoji konačna

granična vrednost , tada je .

Posmatrajmo uopštene integrale

i

1.

Za ,

te je u tom slučaju

.

Međutim za , integral divergira, jer je tada

.

Najzad, ako je imamo da je

,

dakle divergira.



2. .

imamo da je

Očigledno da je za vrednosti integral

konvergira.

Takođe se neposredno može zaključiti da za vrednosti uopšteni

integral konvergira.

Integracija elementarnih funkcija

Tablični integrali

- određeni na osnovu definicije neodređenog integrala i uz pomoć tabličnih izvoda



Pravila integracije funkcija

Primer: Neka je , tada je



Primer: Neka je , tada je

.

Integracija metodom smene promenljive Budući da je neodređeni integral skup primitivnih funkcija

, izraz je u stvari diferencijal svake funkcije , jer je

Pretpostavimo da promenljivu zamenimo novom promenljivom pomoću strogo monotone, derivabilne funkcije .

Tada podintegralna funkcija postaje složena funkcija promenljive , tj. , a

diferencijal u tom slučaju postaje diferencijal funkcije , tj. .

Prema tome, ako se u integralu argument zameni sa , treba zameniti sa

.

Drugim rečima, nalaženje primitivne funkcije za funkciju ekvivalentno je traženju

primitivne funkcije za funkciju , tj.

.

Preciznije govoreći, važi sledeća teorema

Teorema: Ako je strogo monotona diferencijabilna funkcija, tada važi



Dokaz: Budući da je diferencijabilna i strogo monotona funkcija, postoji i . Zato je

, tj. .

Izvod leve strane relacije daje

.

Izvod desne strane u , kao složene funkcije, daje

Dakle, izvodi po levo i desno u , jednake su, što dokazuje da su neodređeni integrali na obe strane jednaki, a to smo hteli pokazati.

Primer: Izračunajmo integral . Uvedimo smenu . Tada sledi da je , a

diferenciranjem . Dakle,

Primer: Izračunajmo integral .

Ponekad je podintegralna funkcija takvog oblika da je moguće primeniti neku od sledećih formula na osnovu metoda smene



Primer:

.

Primer:

Integrali oblika i takođe se uspešno rešavaju metodom

smene promenljive.

Transformirajmo kvadratni trinom :

gde je .

Zamenom promenljive , navedeni integrali se svode na:



Zavisno od koeficijenata integral pod se svodi na jedan od tabličnih integrala pod

brojem ili , dok se integral pod se svodi na jedan od tabličnih integrala pod brojem ili

Primer: Izračunajmo integral . Ovde je , pa na osnovu

imamo

Uvođenjem nove promenljive, sledi

Kako je dobijamo



Kombinujući formule i metodom smene promenljive moguće je rešiti integral

oblika .

Očigledno važi transformacija

Integral rešimo po formuli

dok integral rešavamo na već prikazani način, prema formuli .




Metoda parcijalne integracije

Neka su i diferencijabilne funkcije nezavisne promenljive na nekom

intervalu .

Po pravilu izvoda proizvoda funkcija imamo da je

Integracijom dobijamo

odakle je

ili

Dobijenu formulu zovemo formulom parcijalne integracije.

Praktičan značaj formule je u tome da je ponekad pogodno podintegralnu funkciju

prikazati kao proizvod neke funkcije i izvoda , neke druge funkcije . Tada se

rešavanje integrala svodi na rešavanje integrala .

Primer: Izračunajmo integral


Integrale oblika i , takođe, rešavamo pravilom parcijalne

integracije.



Primer: Izračunajmo integrale i . Za

dobijamo

Rešavajući analogno integral , dobijamo

Možemo sada postaviti sistem jednačina

gde su nepoznate i traženi integrali. Rešavanjem sistema jednačina dobijamo

Integracija racionalnih funkcija

Neka je racionalna funkcija.

Ako je , tj. neprava racionalna funkcija, tada deljenjem sa , možemo prikazati kao sumu polinoma i prave racionalne funkcije u obliku

Uzmimo da je prava racionalna funkcija . Tada se ona može rastaviti

na zbir parcijalnih razlomaka oblika



odnosno

pri čemu prvi tip razlomka potiče od realnih, a drugi od tipa kompleksnih nul-tačaka polinoma u imeniocu funkcije .

Prema tome, problem se svodi na rešavanje integrala oblika

i

gde su i neke realne konstante, je prirodan broj, a kvadratni trinom ima kompleksno-konjugovane nul-tačke.

Integrali oblika .

Ako je , onda je

Ako je , onda smenom promenljive , imamo

da je

Primer: Izračunajmo integral . Rastavimo podintegralnu funkciju na parcijalne

razlomke

Metodom sličnosti polinoma dobijamo da je



Integrali oblika

Integrale ovog oblika smo već rešavali metodom smene

gde je

i

Integrali oblika , gde je I



Izvedimo transformaciju podintegralne funkcije

Prvi integral možemo rešiti smenom

odakle je

,

pa dobijamo

Drugi integral označimo sa i izvedimo transformaciju

Uvodeći smenu i oznaku za dobijamo

Kombinujući metodu smene promenljive i parcijalnu integraciju, posle niza relacija, dobija se rekurzivna formula za izračunavanje integrala , koju ovde nećemo izvoditi, već je dajemo u gotovom obliku



Primer: Izračunajmo integral . Kako je i , to je

, tako da imenilac nema realnih nul-tačaka. Tranformišimo integral

Zamenom u rekurentnu formulu dobijamo



pa je

Tako da je konačno rešenje

Integracija iracionalnih funkcija

Integrali oblika

Napomenimo da su racionalni eksponenti, a racionalna funkcija po

.

Integrali ovog oblika se svode na integrale racionalne funkcije po promenljivoj uvođenjem smene

pri čemu je broj zajednički imenilac razlomaka .




. Uvedimo smenu ,

pa je

Tada je

Dakle, dobili smo integral racionalne funkcije po koji znamo rešiti.

Integrali oblika

Ako je u integralu navedenog oblika racionalna funkcija po argumentu i izrazu

, tada je moguće, tzv. Ojlerovim smenama, svesti takav integral na integral

racionalne funkcije po novoj promenljivoj .

Ako je koeficijent , uvodimo tzv. prvu Ojlerovu smenu stavljajući

(radi određenosti uzmimo dalje ). Iz toga sledi

odakle je

racionalna funkcija od , pa je i diferencijal , kao i

racionalno izražen po promenljivoj .



Prema tome, dati integral se transformiše u integral racionalne funkcije promenljive .

Primer: Izračunajmo integral . Smenom dobijamo

pa je

, a

Prema uvedenoj smeni promenljive izlazi

Ako je koeficijent , uvodimo tzv. prvu Ojlerovu smenu stavljajući

(radi određenosti uzmimo dalje ). Odavde sledi

odakle se izražava kao racionalna funkcija od , tj.

Kako je i racionalno po , to se integral

transformiše u integral racionalne funkcije po

promenjivoj .

Primer: Izračunajmo integral . Kako je i integral možemo



rešiti prvom ili drugom Ojlerovom smenom. Uzmimo drugu smenu stavljajući

Odavde izlazi

pa je

, a

Na osnovu prethodnih transformacija dobijamo da je

Prema tome, dati integral se transformiše u integral racionalne funkcije promenljive .

Pretpostavimo da trinom ima realne nul-tačke, na primer i . Tada je moguća faktorizacija

U tom slučaju uvodimo tzv. treću Ojlerovu smenu

iz koje sledi

a odavde rešavanjem po nalazimo da je

i



prema tome, opet se zadani integral transformiše u integral racionalne funkcije po promenjivoj .

Primer: Izračunajmo integral . Evidentno je da su i nul-tačke

trinoma u imeniocu, pa je

Smenom izlazi

te je

i

dok je

Na osnovu uzete smene dobijamo rešenje

Povratkom na promenljivu , na osnovu relacije

izlazi konačno



Integracija nekih tipova trigonometrijskih funkcija Za funkciju kaže se da je racionalna funkcija sinusa i kosinusa

ako je sastavljena isključivo racionalnim operacijama od i .

Pretpostavimo da je zadan integral u kome je

racionalna funkcija od i .

Uvedimo smenu promenljive novom promenljivom , prema formuli

.

Tada je

i

Odavde sledi da je

.

Budući da je kompozicija racionalnih funkcija, takođe, racionalna funkcija, integral je integral racionalne funkcije po promenljivoj .




Ako je u integralu racionalna funkcija od , tada smena

daje

.

Analogno, ako je u integralu racionalna funkcija od , tada

smena

daje

.

Ukoliko podintegralna funkcija racionalno zavisi samo od (tj. od ), tada je

svrsishodna smena

.

Naime,

.




.

Dobijeni integral lako rešavamo na način već obrađen u delu integracija racionalih funkcija.

Jedan oblik integrala je i onaj kada je

, gde su i celi brojevi. Tu razlikujemo dva slučaja.

Jedan od brojeva i je neparan, recimo .

Tada je

Uvođenjem promenljive

dobijamo


Brojevi i su parni prirodni brojevi.

Upotrebom trigonometrijskih relacija

i

izlazi transformacija integrala



Stepenovanjem i množenjem zagrada u podintegralnoj funkciji dobijamo članove koji sadrže parne i neparne stepene od .

Članove neparnih eksponenata integriramo metodom pod , dok članove parnih

eksponenata, prema formulama svodimo na integrale oblika , koje

lako rešavamo.

Na kraju razmotrimo integrale oblika ,

, gde su i

realne konstante.

Oni se lako rešavaju upotrebom trigonometrijskih formula

Uvođenjem smene i , integrali navedenog oblika prelaze, na osnovu navedenih relacija, u integrale zbira, odnosno razlike, kosinusa i sinusa, koje lako rešavamo.

GLAVA 5 INTEGRAL FUNKCIJE JEDNE PROMENLJIVE



5.1 Određeni integral

5.1.1 Pojam integralne sume 5.1.2 Definicija određenog integrala

5.1.3 Svojstva određenog integrala

5.1.4 Izračunavanje određenog integrala. Pojam neodređenog integrala

5.1.5 Veza određenog i neodređenog integrala

5.2 Uopšteni (nesvojstveni) integrali

5.2.1 Uopšteni integrali sa beskonačnim intervalom integracije

5.2.2 Uopšteni integrali sa neograničenim integrandom

5.3 Metode integracije

5.3.1 Integracija elementarnih funkcija

5.3.2 Integracija metodom smene promenljive

5.3.3 Metoda parcijalne integracije

5.3.4 Integracija racionalnih funkcija

5.3.5 Integracija iracionalnih funkcija

5.3.6 Integracija nekih tipova trigonometrijskih funkcija

Dvojni i trojni integral

Neka je prosto povezana zatvorena oblast u ravni i neka je funkcija

definisana i neprekidna u oblasti i koju na slici predstavlja površ . Podelimo na proizvoljan

način oblast na elementarne oblasti i u svakoj od ovih podoblasti

uočimo po jednu tačku i odgovarajuću vrednost date funkcije:

.



Def: Neka je neprekidna funkcija u zatvorenoj prosto povezanoj oblasti i neka je

na proizvoljan način podeljena na elementarne oblasti . Ako postoji granična vrednost integralne sume

kada najveći prečnik elementarnih oblasti ( ) teži nuli, tada se ta granična vrednost

naziva dvojnim integralom funkcije na oblasti i označava

.

Neka je tačka u zatvorenoj prosto povezanoj oblasti i neka je podeljena na

elementarne oblasti ; tada za funkciju , neprekidnu na

oblasti , sumu

nazivamo -tom integralnom sumom. Ako postoji granična vrednost te sume kad (sa smo označili dijametar podoblasti ), odnosno kad

, tada je ta granična vrednost:

1. jednodimenzionalni integral

(kada je linija)

2. dvodimenzionalni integral

(kada je površ)



3. trodimenzionalni integral

(kada je telo)

uopšte, -dimenzionalni integral

(kada je prosto povezana zatvorena -dimenzionalna oblast)

Posebno, ako je odsečak koordinatne ose imamo običan određeni integral, ako je oblast u koordinatnoj ravni, imamo dvojni integral, a ako je telo, imaćemo, tzv. trojni integral.

Def: Neka je neprekidna funkcija u zatvorenoj prosto povezanoj oblasti koja je na

proizvoljan način podeljena na elementarne oblasti . Izaberimo proizvoljne tačke

i označimo odgovarajuće vrednosti date funkcije sa ; ako postoji granična vrednost sume

kada najveći prečnik elementarnih oblasti ( ) teži nuli, tada se ta granična vrednost

naziva trojnim integralom funkcije na oblasti i označava

.

Osnovna svojstva dvojnog i trojnog integrala Teorema: Ako su funkcije neprekidne u zatvorenoj prosto

povezanoj oblasti , odnosno ako su neprekidne u zatvorenoj prosto povezanoj oblasti , tada je



gde je , tj. .

Teorema: Ako je funkcija neprekidna u oblasti odnosno u oblasti , tada je

Teorema: Ako neprekidna funkcija u oblasti odnosno u oblasti , ne menja znak ,

tada je odnosno istog znaka kao i .

Teorema: Ako je odnosno , gde odnosno nemaju zajedničkih

tačaka, tada je

Teorema: (teorema o proceni vrednosti dvojnog integrala) Ako su i najmanja, odnosno najveća vrednost funkcije u oblasti , a površina oblasti , tada je

.

Teorema: (teorema o proceni vrednosti trojnog integrala) Ako je i

, a zapremina trodimenzionalne oblasti , tada je

.

Neposredno iz navedenih teorema sledi da ako je tada je

, tj.

.



Teorema: (teorema o srednjoj vrednosti dvojnog integrala) Ako je funkcija neprekidna u

zatvorenoj oblasti ravni , tada postoji takva tačka oblasti

da je

.

Teorema: (teorema o srednjoj vrednosti dvojnog integrala) Ako je funkcija neprekidna u zatvorenoj trodimenzionalnoj oblasti , tada postoji takva tačka

oblasti da je

.

Izračunavanje dvojnog i trojnog integrala Neka je na nekoj oblasti zadat dvojni integral

,

gde je neprekidna funkcija . Taj integral se izračunava tako što mu se odrede granice integracije, pa se zatim svede na dvostruki integral. Proces integracije se sastoji u tome da tačka prođe kroz sve tačke oblasti .

Neka je, za trenutak, . Tada u dvojnom integralu imamo samo promenljivu koja se menja u granicama od do

, pa je tada



površina krivolinijskog trapeza, tako da je, kada se menja od do

Izračunavanje trojnog integrala svodi se na tri integracije, tj. na određivanje granica integracije i transformisanje u trostruki integral. Smatrajući, za trenutak, da su i konstantne, vrši se integracija duž prave koja daje presek ravni i ravni . Na taj način dobijamo

,

gde je promenljiva dužina odsečka čiji se krajevi nalaze na donjem, odnosno

gornjem delu površi . Kada tačka prođe kroz sve tačke oblasti , odsečak

će proći kroz sve tačke tela ;

to znači da je

,

pa je

,



tj.

gde je na desnoj strani trostruki integral.

Transformacija promenljivih u dvojnom integralu Ako umesto Dekartovih koordinata uvedemo nove promenljive preko relacija

,

gde su i neprekidne i diferencijabilne funkcije u nekoj oblasti . Pri tom je

tj.

;

u kvadratnoj matrici su funkcije od i i toj matrici odgovara funkcionalna determinanta

i zove se Jakobijan. Dakle

.

Na osnovu toga imamo

.

Transformacija promenljivih u trojnom integralu Ako umesto Dekartovih koordinata uvedemo nove promenljive preko relacija



,

gde su , i neprekidne i diferencijabilne funkcije u nekoj

oblasti , tada ćemo imati

tj.

,

u kvadratnoj matrici su funkcije od i i toj matrici odgovara funkcionalna determinanta

.

i zove se takođe Jakobijan. U ovom slučaju je tzv. koeficijent deformacije trodimenzionalne oblasti, pa je element zapremine

,

tako da je

.

Uopšteni dvojni i trojni integral Uopšteni integral sa beskonačnom oblašću integracije.

Neka je u beskonačna oblast, a neka je konačna zatvorena oblast

. U tom slučaju je



,

gde je simbolično predstavlja proces proširivanja oblasti na celu oblast .

Neka je u ceo i neka je konačna zatvorena oblast . U tom

slučaju je

,

gde simbolično predstavlja proces proširivanja oblasti na celu oblast , tj. ceo

prostor .

Uopšteni integrali sa neograničenim integrandom Integrand unutar oblasti integracije ili na granici integracije te oblasti postaje beskonačan. Tad umesto takve oblasti (ili ) uzima se oblast (odn. ) koja ne sadrži

nijednu od tačaka u kojima . Tada je opet

, ,

ako granična vrednost postoji; za razliku od gornjih integrala sada su i konačne oblasti.



GLAVA 6 INTEGRALI FUNKCIJA DVEJU I VIŠE PROMENLJIVIH

6.1 Dvojni i trojni integral

6.2 Osnovna svojstva dvojnog i trojnog integrala

6.3 Izračunavanje dvojnog i trojnog integrala

6.4 Transformacija promenljivih u dvojnom integralu

6.5 Transformacija promenljivih u trojnom integralu

6.6 Uopšteni dvojni i trojni integral6.7 Uopšteni integrali sa neograničenim integrandom

Brojni redovi

Def: Izraz oblika

ili

odnosno

nazivamo beskonačnim brojnim redom (beskonačnim redom); su članovi

beskonačnog reda; je opšti član tog reda.

Primer:

Def: Nizom delimičnih suma reda naziva se niz čiji je opšti član

;



je delimična (parcijalna suma) tog reda.

Def: Beskonačni red naziva se konvergentnim (divergentnim) ako konvergira (divergira)

niz njegovih delimičnih suma . Suma konvergentnog reda je broj

Ako je red konvergentan i ima sumu , tada se piše

.

Teorema: Ako je red konvergentan, tada njegov opšti član kad .

Teorema: Ako je red konvergentan i ima sumu , tada je konvergentan i red

i ima sumu .

Teorema: Ako su redovi i konvergentni i imaju sume i tada je i red

konvergentan i ima sumu .

Teorema: (Košijev kriterijum konvergencije) Red konvergira tada i samo tada ako za

svako malo pozitivno postoji takav broj , da je za

.

Teorema: Neka je dat red , a neki fiksirani prirodni broj; tada su ekvivalentni iskazi

a) red konvergira,



b) red konvergira.

Ako navedena dva reda konvergiraju, tada se može napisati da je

.

Kriterijumi upoređivanja

Teorema: (Kriterijum upoređivanja prve vrste) Neka je red konvergentan, a red

divergentan i neka oba predstavljaju redove sa pozitivnim članovima. Ako članovi

nekog datog reda sa pozitivnim članovima za sve

zadovoljavaju uslov

,

tada je red konvergentan. Ako, pak, za sve

,

tada je red divergentan.

Teorema: (kriterijum upoređivanja druge vrste) Neka je red konvergentan, a red

divergentan i neka su članovi oba reda pozitivni. Ako članovi reda sa

pozitivnim članovima za

tada je red konvergentan; ako je za

,




Teorema: (Dalamberov količinski kriterijum upoređivanja) Ako počev od nekog indeksa

,

tada je red konvergentan. Ako je, međutim, počev od nekog indeksa

,


Teorema: (Košijev koreni kriterijum konvergencije) Ako počev od nekog indeksa

, tj. ,

tada je red konvergentan. Ako je, međutim, počev od nekog indeksa

,


Teorema: (Integralni kriterijum) Ako je dati red sa pozitivnim monotono opadajućim

članovima, a za neprekidna pozitivna monotono opadajuća funkcija takva da je

tada red konvergira ako i samo ako postoji uopšteni integral



.

Alternativni redovi Def: Alternativnim redovima se nazivaju redovi oblika

,

gde je monotono opadajući niz pozitivnih brojeva.

Alternativni red u kojem članovi teže nuli naziva se Lajbnicovim redom.

Teorema: (Lajbnicov kriterijum) Lajbnicov red konvergira i njegova je suma .

Apsolutno konvergentni redovi Teorema: Red je konvergentan ako konvergira odgovarajući red sa pozitivnim članovima

. Ako je pri tom , a , tada je .

Def: Ako je osim reda konvergentan i red , tada se red naziva

apsolutno konvergentnim redom. Ako, međutim, red konvergira, a red

divergira, tada se red naziva neapsolutno ili uslovno konvergentnim redom.

Navedimo i jednu teoremu koja se odnosi na množenje redova.

Teorema: Ako su redovi i apsolutno konvergentni redovi, tada konvergira i njihov

proizvod-red

;

suma ovog reda je proizvod suma redova i .

Specijalan oblik proizvoda ovih redova je



u kojem je

Funkcionalni nizovi i funkcionalni redovi Def: Funkcionalnim nizom naziva se niz čiji su članovi funkcije jedne iste promenljive definisani

na skupu realnih brojeva.

Def: Ako je na nekom intervalu definisan niz funkcija

koji u svakoj tački konveragira, tada je tim nizom definisana granična funkcija

.

Ako ne postoji granična funkcija niza , tada se kaže da niz divergira u

datoj tački .

Def: Funkcionalni niz definisan na intervalu konvergira u nekoj tački

ka funkciji ako za svaki proizvoljno mali pozitivni broj , postoji

odgovarajući prirodni broj , tako da je u tački

.

Def: Niz ravnomerno konvergira ka svojoj graničnoj vrednosti na nekom odsečku

ako za svaki proizvoljno mali pozitivni broj postoji odgovarajući prirodan broj ,

takav da je i

.

Def: Ako je niz funkcija definisan na jednom intervalu ose , tada se izraz

naziva funkcionalnim redom; funkcije su članovi ovog reda; pri



tom je suma

-ta delimična suma ovog reda, a niz je niz njegovih delimičnih suma.

Def: Ako niz delimičnih suma konvergira na nekom intervalu ose , tj.

,

tada se kaže da i red konvergira na istom intervalu i da ima sumu

.

Def: Red je apsolutno konvergentan na skupu ako je red na tom

skupu konvergentan.

Teorema: (Košijev kriterijum konvergencije) Neka je niz definisan na odsečku .

Neophodan i dovoljan uslov za ravnomernu konvergenciju reda na odsečku

jeste da za svaki proizvoljno mali pozitivan broj postoji takav prirodni broj

da je i i :

.

Teorema: (Vajerštrasov kriterijum) Ako su članovi reda definisani na odsečku

i ako je , , gde je red

konvergentan, tada je red ravnomerno konvergentan na tom odesčku.

Stepeni redovi Def: Red oblika



naziva se stepenim redom.

Def: Radijus konvergencije stepenog reda predstavlja broj , gde uzima sve vrednosti na skupu tačaka na kojima red konvergira.

Uopšteno, u pogledu radijusa konvergencije stepenog reda na skupu realnih brojeva, razlikuju se tri slučaja koji se međusobno isključuju:

1. Stepeni red konvergira u svakoj tački ose ; u tom slučaju red ima beskonačno veliki radijus konvergencije .

2. Stepeni red konvergira u nekoj tački ; u tom slučaju red ima radijus

konvergencije .

3. Stepeni red konvergira samo u tački razvitka ; u tom slučaju red ima

radijus konvergencije .

Def: Skup tačaka ose na kojem stepeni red konvergira zove se interval konvergencije stepenog reda.

Teorema: (Abelova teorema) Ako je stepeni red

konvergentan u tački , tada je konvergentan i u svakoj tački u kojoj je

.

Teorema: Ako je za funkciju oblika

radijus konvergencije reda, tada je ta funkcija diferencijabilna i integrabilna unutar intervala konvergencije ovoga reda i

odnosno

.



GLAVA 7 BESKONAČNI REDOVI

7.1 Brojni redovi

7.2 Kriterijumi upoređivanja

7.3 Alternativni redovi

7.4 Apsolutno konvergentni redovi

7.5 Funkcionalni nizovi i funkcionalni redovi

7.6 Stepeni redovi

SADRŽAJ

1. POJAM BROJA, ALGEBARSKE STRUKTURE, POJAM FUNKCIJE 1.1 Skupovi

1.1.1 Operacije sa skupovima

1.1.2 Dekartov proizvod

1.2 Elementi matematičke logike

1.3 Pojam broja

1.3.1 Osobine skupa prirodnih brojeva

1.3.2 Osobine skupa celih brojeva

1.3.3 Osobine skupa racionalnih brojeva

1.3.4 Skup realnih brojeva

1.3.5 Skup kompleksnih brojeva

1.4 Algebarske strukture

1.4.1 Pojam binarne relacije. Relacija ekvivalencije i poretka

1.4.2 Pojam binarne operacije. Algebarske strukture

1.4.3 Algebarske strukture sa jednom binarnom operacijom. Grupoid, polugrupa, grupa, Abelova grupa

1.4.4 Algebarske strukture sa dve binarne operacije. Prsten, telo, polje

1.4.5 Izomorfizam

1.4.6 Bulova algebra

1.5 Pojam funkcije

1.5.1 Osobine funkcija



1.5.2 Inverzna funkcija

1.5.3 Kompozicija funkcija

1.5.4 Uzajamno jednoznačna korespondencija skupova

2. ELEMENTI LINEARNE ALGEBRE I ANALITIČKE GEOMETRIJE 2.1 Vektori

2.1.1 Pojam vektora. Osnovne operacije s vektorima

2.1.2 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora

2.1.3 Vektorski prostor

2.1.4 Skalarni proizvod

2.1.5 Vektorski proizvod

2.1.6 Mešoviti proizvod tri vektora

2.2 Matrice i determinante

2.2.1 Pojam matrice

2.2.2 Sabiranje matrica. Množenje matrice brojem

2.2.3 Determinante

2.2.4 Rang matrice

2.2.5 Množenje matrice matricom

2.2.6 Inverzna matrica

2.3 Sistemi linearnih algebarskih jednačina

2.3.1 Rešavanje nehomogenog sistema linearnih algebarskih jednačina

2.3.2 Rešavanje homogenog sistema linearnih algebarskih jednačina

2.3.3 Gausov algoritam

2.4 Elementi analitičke geometrije

2.4.1 Jednačina prave u ravni

2.4.2 Jednačina ravni u prostoru

2.4.3 Međusobni položaj dveju ravni

2.4.4 Jednačina prave u prostoru

2.4.5 Međusobni položaj dveju pravih u prostoru

2.4.6 Međusobni položaj prave i ravni

2.4.7 Pojam hiper-ravni

3. DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA JEDNE PROMENLJIVE 3.1 Funkcije jedne promenljive

3.1.1 Način zadavanja funkcije

3.1.2 Operacije na skupu realnih funkcija

3.1.3 Osnovne elementarne funkcije

3.2 Nizovi

3.2.1 Pojam konvergencije niza

3.2.2 Beskonačno male velicine

3.2.3 Beskonačno velike velicine

3.2.4 Kriterijumi konvergencije za nizove

3.2.5 Asimptotska proporcionalnost nizova

3.3 Granična vrednost funkcije

3.3.1 Beskonačno male funkcije (veličine) i njihova osnovna svojstva

3.3.2 Osnovne teoreme o graničnim vrednostima funkcije

3.3.3 Leva i desna granična vrednost funkcije

3.3.4 Granična vrednost funkcije kad argument

3.3.5 Beskonačno velike funkcije (veličine)

3.3.6 Upoređivanje beskonačno malih veličina

3.4 Neprekidnost funkcije



3.4.1 Vrste prekida

3.4.2 Operacije sa neprekidnim funkcijama

3.4.3 Neprekidnost elementarnih funkcija

3.4.4 Svojstva funkcija neprekidnih na odsečku

3.4.5 Ravnomerna (uniformna) neprekidnost

3.5 Izvod funkcije

3.5.1 Problem određivanja brzine kretanja

3.5.2 Geometrijsko značenje izvoda

3.5.3 Izvodi elementarnih funkcija

3.5.4 Izvod zbira, razlike, proizvoda i količnika funkcija

3.5.5 Izvod inverzne funkcije

3.5.6 Tablica izvoda

3.5.7 Izvod složene funkcije

3.5.8 Izvodi višeg reda

3.5.9 Mehaničko značenje drugog izvoda

3.5.10 Tangenta i normala krive

3.5.11 Diferencijal funkcije

3.5.12 Mehanička i geometrijska interpretacija diferencijala

3.5.13 Osnovna pravila za izračunavanje diferencijala

3.5.14 Diferencijal složene funkcije


3.6 Osnovne teoreme diferencijalnog računa

3.7 Tejlorova formula

3.8 Ispitivanje ponašanja funkcije

3.8.1 Rastenje i opadanje funkcije

3.8.2 Ispitivanje ekstremuma funkcije pomoću drugog izvoda

3.8.3 Konveksnost krive. Prevojne tačke

3.8.4 Asimptote krive

3.8.5 Shema ispitivanja funkcije i konstruisanje grafika

4. DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA DVEJU I VIŠE PROMENLJIVIH 4.1 Funkcije više promenljivih

4.1.1 Osnovni pojmovi

4.1.2 Granična vrednost funkcije dveju promenljivih

4.1.3 Neprekidnost funkcije dveju promenljivih

4.1.4 Totalni priraštaj funkcija dveju i više promenljivih

4.2 Izvodi i diferencijali funkcija više promenljivih

4.2.1 Definicija parcijalnih izvoda prvog reda funkcija više promenljivih

4.2.2 Parcijalni izvodi višeg reda

4.2.3 Totalni diferencijal funkcije više promenljivih. Pojam diferencijabilnosti funkcije više promenljivih

4.2.4 Dovoljni uslovi za diferencijabilnost funkcija više promenljivih


4.2.6 Potreban i dovoljan uslov da bude totalni diferencijal

4.2.7 Parcijalni izvodi složenih funkcija

4.2.8 Egzistencija i diferencijabilnost implicitne funkcije

4.2.9 Tangentna ravan i normala površi

4.3 Ekstremumi funkcije više promenljivih

4.3.1 Tejlorova formula za funkciju više promenljivih

4.3.2 Neophodni uslovi za ekstremum funkcije više promenljivih. Dokaz



�

4.3.3 Dovoljni uslovi za ekstremum

4.3.4 Ekstremumi funkcije promenljivih

4.3.5 Uslovni ekstremum funkcije više promenljivih

4.3.6 Neophodni uslovi za uslovni ekstremum

4.3.7 Dovoljan uslov za uslovni ekstremum

5. INTEGRAL FUNKCIJE JEDNE PROMENLJIVE 5.1 Određeni integral

5.1.1 Pojam integralne sume

5.1.2 Definicija određenog integrala

5.1.3 Svojstva određenog integrala

5.1.4 Izračunavanje određenog integrala. Pojam neodređenog integrala

5.1.5 Veza određenog i neodređenog integrala

5.2 Uopšteni (nesvojstveni) integrali

5.2.1 Uopšteni integrali sa beskonačnim intervalom integracije

5.2.2 Uopšteni integrali sa neograničenim integrandom

5.3 Metode integracije

5.3.1 Integracija elementarnih funkcija

5.3.2 Integracija metodom smene promenljive

5.3.3 Metoda parcijalne integracije

5.3.4 Integracija racionalnih funkcija

5.3.5 Integracija iracionalnih funkcija

5.3.6 Integracija nekih tipova trigonometrijskih funkcija

6. INTEGRALI FUNKCIJA DVEJU I VIŠE PROMENLJIVIH 6.1 Dvojni i trojni integral

6.2 Osnovna svojstva dvojnog i trojnog integrala

6.3 Izračunavanje dvojnog i trojnog integrala

6.4 Transformacija promenljivih u dvojnom integralu

6.5 Transformacija promenljivih u trojnom integralu

6.6 Uopšteni dvojni i trojni integral

6.7 Uopšteni integrali sa neograničenim integrandom

7. BESKONAČNI REDOVI 7.1 Brojni redovi

7.2 Kriterijumi upoređivanja

7.3 Alternativni redovi

7.4 Apsolutno konvergentni redovi

7.5 Funkcionalni nizovi i funkcionalni redovi

7.6 Stepeni redovi

