1

V Y S O K O Š K O L S K Á U Č E B N I C A

________________________________________________________________

Farmaceutická fakulta Univerzity Komenského

Vladimír Frecer

MATEMATIKA PRE FARMACEUTOV

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE

2

V Y S O K O Š K O L S K Á U Č E B N I C A

________________________________________________________________

Farmaceutická fakulta Univerzity Komenského

Vladimír Frecer

MATEMATIKA PRE FARMACEUTOV

Október 2013

3

Táto vysokoškolská učebnica je určená predovšetkým študentom Farmaceutickej fakulty UK,

ale môže poslúžiť aj študentom iných prírodovedných odborov biologického, lekárskeho a

chemického zamerania, ako aj výskumným pracovníkom, ktorí využívajú matematiku pri svojej

práci. Cieľom učebnice je vysvetliť zrozumiteľným jazykom základné pojmy vyššej

matematiky a oboznámiť študentov so základmi výrokovej logiky, teórie množín, lineárnej

algebry, matematickej analýzy, úvodom do diferenciálneho a integrálneho počtu a ich

praktickými aplikáciami.

Všetky práva vyhradené. Žiadna časť textu nesmie byť použitá na ďalšie šírenie akoukoľvek

formou bez predchádzajúceho súhlasu autora alebo nakladateľstva.

© Ing. Vladimír Frecer, DrSc., 2013

Recenzenti: prof. Ing. Vladimír Kvasnička, DrSc. (FIIT STU, kvasnicka@fiit.stuba.sk)

prof. RNDr. Pavol Zlatoš, DrSc. (FMFI UK, zlatos@fmph.uniba.sk)

doc. RNDr. Michal Šabo, PhD. (FCHPT STU, michal.sabo@stuba.sk)

doc. RNDr. Štefan Varga, CSc. (FCHPT STU, stefan.varga@stuba.sk)

Schválil rektor Univerzity Komenského v Bratislave dňa dd. mm. 2013, č. rozhodnutia

XX.YY/2013 ako vysokoškolskú učebnicu pre Farmaceutickú fakultu UK, magisterský

študijný odbor farmácia.

ISBN-UUU-VV-XXXX-YYY-Z

4

Obsah

Predhovor ....................................................................................................................................... 8

1. Diskrétna matematika .......................................................................................................... 9

1.1. Výroková logika a výrokové formule ....................................................................... 9

1.2. Pravdivostné hodnotenie formúl ............................................................................... 11

1.3. Pravidlá usudzovania ................................................................................................. 14

1.4. Predikátová logika .................................................................................................... 18

1.5. Metódy dôkazu .......................................................................................................... 23

1.6. Matematická indukcia ............................................................................................... 26

Cvičenia 1 .............................................................................................................................. 29

Riešenia 1 .............................................................................................................................. 30

2. Teória množín ....................................................................................................................... 33

2.1. Definícia množiny ..................................................................................................... 33

2.2. Enumerácia konečných množín ................................................................................ 40

2.3. Karteziánsky súčin množín ...................................................................................... 44

2.4. Relácie ...................................................................................................................... 46

2.5. Funkcie ..................................................................................................................... 49

2.6. Základné reálne funkcie ........................................................................................... 56

2.6.1. Polynóm ........................................................................................................ 56

2.6.2. Racionálna lomená funkcia a parciálne zlomky ............................................ 60

2.6.3. Exponenciálna a logaritmická funkcia .......................................................... 64

2.6.4. Goniometrické a cyklometrické funkcie ....................................................... 67

Cvičenia 2 .............................................................................................................................. 74

Riešenia 2 .............................................................................................................................. 76

3. Lineárna algebra .................................................................................................................. 80

3.1. Vektory ..................................................................................................................... 80

3.2. Matice ....................................................................................................................... 86

3.2.1. Sústavy lineárnych rovníc ............................................................................. 86

3.2.2. Gaussova eliminačná metóda ........................................................................ 87

3.2.3. Matice ............................................................................................................ 89

3.2.4. Hodnosť matice ............................................................................................. 94

3.2.5. Sústavy lineárnych rovníc ............................................................................. 96

5

3.3. Determinanty ............................................................................................................ 98

3.3.1. Maticové rovnice ........................................................................................... 102

3.3.2. Cramerovo pravidlo ....................................................................................... 104

3.3.3. Vlastné hodnoty a vlastné vektory matíc ...................................................... 105

Cvičenia 3 .............................................................................................................................. 110

Riešenia 3 .............................................................................................................................. 112

4. Postupnosti a číselné rady .................................................................................................... 119

4.1. Nekonečná postupnosť ............................................................................................ 119

4.2. Limita postupnosti .................................................................................................... 123

4.3. Nekonečný rad .......................................................................................................... 127

4.4 Mocninové rady ........................................................................................................ 130

Cvičenia 4 .............................................................................................................................. 132

Riešenia 4 .............................................................................................................................. 133

5. Diferenciálny počet .............................................................................................................. 136

5.1. Limita funkcie .......................................................................................................... 136

5.2. Spojitosť funkcie ...................................................................................................... 144

5.3. Derivácia funkcie ..................................................................................................... 146

5.4. Derivácie vyšších rádov ........................................................................................... 152

5.5. L'Hospitalovo pravidlo ............................................................................................. 153

5.6. Diferenciál ................................................................................................................ 155

5.7. Taylorov rad ............................................................................................................. 157

5.8. Derivácia a vlastnosti funkcií ................................................................................... 161

5.8.1. Monotónnosť funkcie .................................................................................... 162

5.8.2. Konvexnosť a konkávnosť funkcie, inflexný bod ......................................... 165

5.8.3. Lokálne extrémy ............................................................................................ 168

5.8.4. Asymptoty ..................................................................................................... 171

5.8.5. Vyšetrovanie priebehu funkcie ...................................................................... 174

5.9. Interpolácia ............................................................................................................... 177

Cvičenia 5 .............................................................................................................................. 180

Riešenia 5 .............................................................................................................................. 182

6. Integrálny počet ................................................................................................................... 190

6.1. Primitívna funkcia, neurčitý integrál ......................................................................... 190

6.2. Substitučná metóda ................................................................................................... 195

6

6.3. Metóda per partes ..................................................................................................... 197

6.4. Integrály racionálnych lomených funkcií ................................................................. 199

6.5. Určitý integrál ........................................................................................................... 203

6.5.1. Riemannova definícia .................................................................................... 203

6.5.2. Newtonova definícia ...................................................................................... 205

6.5.3. Vlastnosti určitého integrálu ......................................................................... 206

6.5.4. Nevlastné integrály ........................................................................................ 210

6.5.5. Aplikácie určitého integrálu .......................................................................... 214

6.5.6. Približné metódy výpočtu určitých integrálov .............................................. 220

Cvičenia 6 .............................................................................................................................. 222

Riešenia 6 .............................................................................................................................. 224

7. Diferenciálny počet funkcií dvoch premenných ............................................................... 230

7.1. Definičný obor a graf funkcie .................................................................................. 230

7.2. Limita a spojitosť ..................................................................................................... 231

7.3. Parciálna derivácia ................................................................................................... 233

7.4. Gradient funkcie ....................................................................................................... 236

7.5. Smerové derivácie .................................................................................................... 237

7.6. Derivácie vyšších rádov ........................................................................................... 238

7.7. Totálny diferenciál, totálna derivácia ....................................................................... 240

7.8. Kmeňová funkcia ..................................................................................................... 244

7.9. Extrémy funkcií dvoch premenných ........................................................................ 247

7.9.1. Lokálne extrémy ............................................................................................ 247

7.9.2. Absolútne extrémy ........................................................................................ 252

7.10. Optimalizácia, metóda Langrangeových multiplikátorov ........................................ 255

7.11. Metóda najmenších štvorcov .................................................................................... 259

7.12. Dvojný integrál ......................................................................................................... 260

Cvičenia 7 .............................................................................................................................. 266

Riešenia 7 .............................................................................................................................. 268

8. Diferenciálne rovnice .......................................................................................................... 280

8.1. Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu ............................................................ 280

8.2. Rovnice so separovateľnými premennými ............................................................... 283

8.3. Lineárne diferenciálne rovnice ................................................................................. 286

8.4. Exaktné diferenciálne rovnice .................................................................................. 289

7

8.5. Numerické metódy riešenia diferenciálnych rovníc ................................................. 291

8.6. Aplikácie diferenciálnych rovníc v prírodných vedách ........................................... 293

8.6.1. Kinetika jednoduchej chemickej reakcie ....................................................... 293

8.6.2. Kinetika rastu populácie buniek .................................................................... 295

8.6.2. Kinetický model distribúcie liečiva ............................................................... 297

Cvičenia 8 .............................................................................................................................. 302

Riešenia 8 .............................................................................................................................. 303

Literatúra ............................................................................................................................. 309

Register ................................................................................................................................. 310

8

Predhovor

Táto učebnica je určená pre poslucháčov prvého ročníka magisterského štúdia farmácie,

môže však poslúžiť aj študentom iných fakúlt prírodovedného a technického zamerania, na

ktorých sa prednášajú základy vyššej matematiky. Cieľom učebnice je poskytnúť študentom

farmácie ucelený text k prednáškam z matematiky, čomu zodpovedá výber a rozsah látky ako

aj spôsob jej výkladu. Učebnica vysvetľuje zrozumiteľnou formou základné pojmy, postupy a

metódy vyššej matematiky s čo najmenším matematickým aparátom, v rozsahu primeranom

študijnému plánu, bez nároku na úplnosť a striktnú presnosť. Autor si uvedomuje, že pre

študentov biologických a medicínskych študijných odborov je matematika skôr nástrojom na

riešenie problémov a technických úloh, než samotným cieľom ich vzdelávania. Preto väčšina

tvrdení v tejto učebnici nie je rigorózne sformulovaná ani dokázaná a ťažisko výkladu sa

presúva viac na riešenie príkladov a aplikácie matematických metód. Chýbajúce vety a dôkazy

si môžu záujemcovia nájsť v matematickej literatúre uvedenej v zozname použitej literatúry.

Prezentovaná látka poskytne študentom farmácie dostatočný matematický aparát potrebný pre

pochopenie nadväzujúcich povinných predmetov štúdia ako fyzika, matematická štatistika,

fyzikálna chémia, analytická chémia, biofyzika, farmaceutická chémia a technológia alebo

molekulové základy vývoja liečiv.

Preberaná látka nadväzuje na stredoškolské vedomosti z matematiky. Očakávam, že

poslucháči prvého ročníka vysokej školy ovládajú počítanie so zlomkami a mocninami, vedia

riešiť lineárne a kvadratické rovnice a nerovnice, poznajú základy geometrie a sú schopní

vypočítať obsah rovinných útvarov a objem telies. Uvedomujem si rozdielnu úroveň a rozsah

vyučovania matematiky na stredných školách, preto je väčšina matematických pojmov

použitých v tejto učebnici zrozumiteľne a pomerne podrobne vysvetlená. Dôraz kladiem viac

na porozumenie podstaty preberanej témy a na schopnosť aplikovať poznatky pri riešení úloh,

ako na memorovanie a reprodukovanie poučiek, vzorcov alebo dôkazov.

Učebnica je rozdelená do 8 kapitol a obsahuje úvod do diskrétnej matematiky, teórie

množín, základy teórie reálnych funkcií, úvod do lineárnej algebry, postupností,

diferenciálneho a integrálneho počtu a základy riešenia diferenciálnych rovníc. Posledná časť je

venovaná použitiu diferenciálnych rovníc prvého rádu v prírodovedných a farmaceutických

aplikáciách. Na konci každej kapitoly je uvedených niekoľko riešených príkladov, na ktorých si

môžu študenti overiť, či dostatočne porozumeli preberanej látke. Na získanie postačujúcej

zručnosti a pohotovosti pri riešení príkladov je pre študentov nevyhnutné siahnuť po zbierke

príkladov a venovať počítaniu príkladov potrebný čas.

Rád by som poďakoval oponentom prof. Ing. Vladimírovi Kvasničkovi, DrSc. (FIIT STU) a

prof. RNDr. Pavlovi Zlatošovi, DrSc. (FMFI UK) za cenné pripomienky, ktorými prispeli k

vylepšeniu tohto učebného textu. Obzvlášť by som chcel poďakovať Mgr. Márii Klacsovej,

PhD. (FaF UK) za podrobné prečítanie textu a pripomienky, ktoré pomohli odstrániť viaceré

chyby a nepresnosti.

V Bratislave, október 2013

Autor

9

1. Diskrétna matematika

1.1. Výroková logika a výrokové formule

Metódy vedeckého bádania a korektného usudzovania sú založené na princípoch výrokovej

a predikátovej logiky a matematického dôkazu. Pri odvodzovaní záverov bádania a

formulovaní nových vedeckých poznatkov je preto vhodné dodržiavať formálne pravidlá

správneho usudzovania. Moderná logika, označovaná ako formálna logika alebo matematická

logika, je veda o správnom usudzovaní. Logika študuje všeobecné schémy usudzovania na

symbolickej úrovni, v ktorej sa ignoruje konkrétny obsah jednotlivých tvrdení (výrokov),

uvažuje sa len ich pravdivosť či nepravdivosť. Matematická logika umožňuje prostredníctvom

zákonov usudzovania vyvodzovať deduktívnym spôsobom z formalizovaných poznatkov nové

pravdivé poznatky. Schopnosť logicky myslieť, predvídať a konať tvorí základ racionálneho

správania aj v každodennom živote.

Zopakujme si najprv základné vlastnosti výrokov a logických operácií s výrokmi. Výrok je

tvrdenie (oznamovacia veta), o ktorom vieme jednoznačne rozhodnúť, či je pravdivé alebo

nepravdivé (vieme určiť jeho pravdivostnú hodnotu). Príklady jednoduchých výrokov:

Zem je planéta.

Číslo 4 je prirodzené číslo.

Jedna plus jedna sú tri.

Číslo 3 je párne číslo a zároveň číslo 3 je nepárne číslo.

Zatiaľ čo prvé dva výroky sú pravdivé, tretí a štvrtý výrok sú nepravdivé. Výroky označujeme

symbolmi: a pravdivostnú hodnotu výrokov označujeme v klasickej matematickej

logike dvoma binárnymi hodnotami: (1) – pravdivý, (0) – nepravdivý. Pravdivostná hodnota

výroku sa označuje . Ak je výrok pravdivý, potom ; ak je výrok

nepravdivý, potom . Opytovacie vety alebo vágne oznamovacie vety typu:

"Zmrzlina je dobrá" nepovažujeme za výroky, keďže nedokážeme jednoznačne určiť ich

pravdivostnú hodnotu.1 Štvrtý výrok s je výrok zložený z dvoch jednoduchších (atomických)

výrokov spojených spojkou "a zároveň". Atomický výrok je taký výrok, ktorý už ďalej

nemôžeme rozdeliť na jednoduchšie tvrdenia. Spojka "a zároveň" zodpovedá jednej z piatich

základných logických spojok (4 binárnych a 1 unárneho operátora), pomocou ktorých môžeme

z atomických výrokov vytvárať zložené výroky alebo zložitejšie logické výrazy (logické

formule):

je konjunkcia výrokov (čítame: " a zároveň ")

je disjunkcia (alternatíva) výrokov, (čítame: " alebo ")

je implikácia výrokov, (čítame: "ak , potom ") [1.1.]

je ekvivalencia výrokov, (čítame: " práve vtedy, keď ")

je negácia výroku, (čítame: "nie je pravda, že " alebo použijeme zápor, napr.

"Zem nie je planéta")

1 Výrokmi, ktoré nie sú jednoznačne pravdivé alebo nepravdivé sa zaoberá neklasická tzv. fuzzy logika, ktorá

priraďuje vágnym výrokom pravdivostnú hodnotu z intervalu . Napríklad, ak zmrzlina chutí ľuďom z

opýtaných, tak pravdivostnú hodnotu výroku "Zmrzlina je dobrá" môže fuzzy logika určiť ako rovnú hodnote

(skôr pravdivý).

10

Pravdivosť zložených výrokov závisí od pravdivostných hodnôt jednotlivých atomických

výrokov a použitej logickej spojky a je plne určená pomocou pravdivostných tabuliek (Tab.

1.1.), autorstvo ktorých býva pripisované Ludwigovi Wittgensteinovi2.

Tabuľka 1.1. Pravdivostné hodnoty základných logických spojok.

1 1 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 0 1 1 0

0 0 1 0 0 1 1

Výroková logika má svoj formálny jazyk (syntax), ktorý používa na konštrukciu zložitejších

výrokov (formúl) pozostávajúci z atomických a zložených výrokov, logických spojok

a zátvoriek.3 Výrokové formule sa teda tvoria nad množinou

4 atomických výrokov

(výrokových premenných) a výrokových konštánt ,

opakovaným aplikovaním logických spojok na výrokové premenné a tiež na výrokové formule

a , čím vznikne postupnosť stále zložitejších

výrokových podformúl (reťazcov symbolov: , , ...), vedúca k výslednej formuli, napr.:

.

V Backusovej a Naurovej teórii formálnych jazykov5 sa zapisuje syntax formúl výrokovej

logiky nasledovne:

formula:: = výroková premenná

logická konštanta

(formula')

(formula) logická spojka (formula)

pričom:

výroková premenná::

výroková konštanta::

logická spojka::

Každú výrokovú formulu môžeme znázorniť pomocou grafického útvaru nazývaného

syntaktický strom. Napríklad pre formulu má

syntaktický strom nasledovný tvar (Obr. 1.1.):

2 Ludwig Josef Johann Wittgenstein (1889-1951) vplyvný filozof rakúskeho pôvodu. Pracoval v oblasti logiky,

filozofie matematiky, analytickej filozofie a filozofie jazyka. 3 V logike sa zvyčajne používa nasledovná priorita logických spojok (v poradí klesajúcej priority):

4 Význam pojmu množina (súbor prvkov) si bližšie vysvetlíme v nasledujúcej kapitole.

5 Informatici John Warner Backus (1924-2007) a Peter Naur (1928) zaviedli techniku zápisu a syntax formálnych

jazykov. Prispeli tiež k vzniku prvých programovacích jazykov ALGOL a FORTRAN.

11

Obrázok 1.1. Syntaktický strom pre formulu .

Koncové vrcholy syntaktického stromu reprezentujú výrokové premenné , a , vrcholy z

nasledujúcich poschodí (vrstiev) stromu sú priradené premenným a logickým spojkám.

Vyhodnocovanie stromu prebieha postupne zdola nahor. Jednotlivé podformule tohto stromu sú

určené nasledovne:

1. vrstva: , ,

2. vrstva: ,

3. vrstva:

1.2. Pravdivostné hodnotenie formúl

V predchádzajúcej časti tejto kapitoly sme uviedli, že syntax formúl výrokovej logiky je

jednoznačne určená spôsobom ich konštrukcie. Nie všetky výrokové formule, ktoré môžu

vzniknúť jednoduchým zreťazením výrokových premenných a logických spojok s použitím

zátvoriek sú syntakticky správne a definujú formulu.

U výrokových formúl rozoznávame okrem syntaxe aj sémantiku. Pojem sémantika pochádza

z teórie prirodzených jazykov a vyjadruje význam danej vety (ktorá má správnu syntax). Vo

výrokovej logike sémantika skúma pravdivostnú hodnotu výrokových formúl v závislosti od

hodnôt výrokových premenných. Používa na to tabuľky pravdivostných hodnôt.

Príklad. Pre formulu , znázornenú syntaktickým

stromom na Obr. 1.1., je jej sémantika plne určená tabuľkou pravdivostných hodnôt pre všetky

kombinácie výrokov , a (Tab. 1.2.).

1

4

12

Tabuľka 1.2. Výpočet pravdivostných hodnôt formule .

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1 1 1

0 1 0 0 1 0 0 0 1

0 0 1 0 0 1 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 1

Z Tab. 1.2. vyplýva, že pravdivostná hodnota formule je pravda ( ) pre všetky

vzájomné kombinácie pravdivostných hodnôt výrokových premenných , a . Takéto

výrokové formule majú vo výrokovej logike mimoriadne postavenie zákonov a nazývame ich

tautológie.

Uvažujme formulu φ, ktorej výrokové premenné sú špecifikované interpretáciou

(interpretácia predstavuje určitú kombináciu pravdivostných hodnôt výrokových premenných

vystupujúcich vo formuli). Takáto interpretácia premenných kde

6, znamená určitú kombináciu pravdivostných hodnôt priradených

jednotlivým premenným. Rôznych interpretácií premenných , ktoré sú priradené výrokovým

premenným je . Pravdivostná hodnota formule pre danú interpretáciu je označená

výrazom . Napríklad, Tab. 1.2. pravdivostných hodnôt formule troch premenných ,

a má interpretácií , zodpovedajúcich 8 riadkom tabuľky.

Definícia. Výroková formula sa nazýva tautológia (zapisujeme ako ), ak pre každú

interpretáciu platí (je vždy pravdivá). Naopak, ak pre každú interpretáciu platí

, formula sa nazýva kontradikcia (je vždy nepravdivá). Ak existuje aspoň jedna

interpretácia taká, že , potom formula je splniteľná.

Na výpočet pravdivostnej hodnoty výrokovej formule môžeme okrem tabuľky

pravdivostných hodnôt použiť aj binárny strom. V binárnom strome sú výrokové premenné

postupne nahradzované konštantami, ktoré formulu zjednodušujú až po výslednú výrokovú

konštantu, pričom na zjednodušenie formule využívame tautológie (identity) ako:

implikácia 7,

disjunkcia [1.2.]

konjunkcia

Príklad. Nasledovný binárny strom ukazuje postup pre výpočet pravdivostných hodnôt

výrokovej formule obsahujúcej tri premenné: , a :

6 patria do množiny , t.j. τi môžu nadobúdať len dve možné hodnoty: 0 alebo 1.

7 Symbol " " je znamienko totožnosti.

13

Obrázok 1.2. Binárny strom pre formulu:

Binárny strom znázorňuje postupné vyhodnocovanie formule zhora nadol. V prvom kroku

premennú nahradíme výrokovými konštantami 1 a 0, vyhodnotíme a zjednodušíme takto

modifikované formule. V nasledujúcich vetveniach stromu potom postupne dosadzujeme

výrokové konštanty za ďalšie logické premenné (v strome na Obr. 1.2. stačilo dosadiť len za )

a tautológie nahrádzame ich jednoduchšími identitami. Tento postupný proces obvykle končí

tak, že určíme pre ktoré interpretácie je formula pravdivá a pre ktoré je nepravdivá.

Niektoré tautológie sa používajú nielen vo výrokovej logike, ale aj v bežnom usudzovaní.

Tieto tautológie sú obvykle označované aj vlastným menom. Väčšinou ide o tautológie tvaru

ekvivalencie, ktoré umožňujú nahradzovať jednu formulu druhou, pri zachovaní pravdivosti.

Medzi najznámejšie zákony výrokovej logiky patria tautológie uvedené v Tab. 1.3.

Tabuľka 1.3. Známe tautológie.

Zákon Formula

Zákon totožnosti 8

Zákon dvojitej negácie

Zákon vylúčenia tretieho

De Morganov zákon pre konjunkciu

De Morganov zákon pre disjunkciu

Zákon ekvivalencie

Zákon rezolventy

Zákon tranzitívnosti implikácie

(Zákon hypotetického sylogizmu)

Distribúcia konjunkcie

Distribúcia disjunkcie

Zákon kontrapozície

Zákon „reductio ad absurdum“

Zákon nahradenia implikácie

Zákon „modus ponens“

8 Znak " " symbolizuje tautológiu.

14

Klasická výroková logika bola od staroveku založená na tautológiách (zákonoch), ktoré

študovala ako modely správneho usudzovania, pomocou ktorých z pravdivých predpokladov

získavame pravdivé výsledky. Ako tradičný príklad správneho usudzovania uvažujme dvojicu

jednoduchých tvrdení (výrokov): "prší" a "ak prší, potom je cesta mokrá". Máme dve nezávislé

tvrdenia, prvé tvrdenie je jednoduchý výrok a druhé tvrdenie má tvar implikácie . Z

týchto dvoch tvrdení vyplýva nové tvrdenie : "cesta je mokrá", ktoré je v procese usudzovania

vyvodené z pôvodných predpokladov a , čo sa obvykle zapisuje takto:

[1.3.]

Táto formálna schéma usudzovania založená na tautológii: sa už od čias

stredoveku označuje ako modus ponens a patrí medzi základné pravidlá správneho (logického)

usudzovania.

1.3. Pravidlá usudzovania

Pravidlá usudzovania vo výrokovej logike možno znázorniť všeobecnou schémou, ktorá

obsahuje n predpokladov a jeden záver:

[1.4.]

ktorá je ekvivalentná so symbolickými zápismi logického dôkazu:

{predpoklad1, ..., predpokladn} ˫ záver alebo 9 [1.5.]

a môže byť tiež prepísaná do tvaru výrokových formúl:

alebo [1.6.]

zložených zo série konjunkcií alebo implikácií. Predpoklady určitej schémy usudzovania sú

konzistentné vtedy a len vtedy, keď existuje aspoň jedna interpretácia pravdivostných hodnôt

výrokových premenných alebo formúl, pre ktorú sú všetky predpoklady pravdivé. V opačnom

prípade je množina predpokladov nekonzistentná (kontradiktórna), čo znamená, že z daných

predpokladov logicky vyplýva nejaký záver a súčasne aj jeho negácia. Obvyklé schémy

usudzovania vo výrokovej logike sú uvedené v Tab. 1.4.

9 Znak "˫" symbolizuje logický dôkaz.

predpoklad1

:

predpokladn

záver

15

Tabuľka 1.4. Schémy usudzovania.

Schéma Formula výrokovej logiky Názov

adícia

simplifikácia

inverzia implikácie

konjunkcia

modus ponens

modus tollens

hypotetický sylogizmus

disjunktívny sylogizmus

reductio ad absurdum

Príklad. Majme dva výroky (predpoklady), prvý: "Ak bude vonku snežiť, zostanem doma"

a druhý: "Ak zostanem doma, prečítam si knihu". Použitím schémy usudzovania hypotetický

sylogizmus dostaneme z týchto dvoch predpokladov záver: "Ak bude vonku snežiť, prečítam si

knihu".

Schéma hypotetického sylogizmu je sformalizovaná použitím výrokových premenných

"vonku sneží", "zostávam doma" a "prečítam knihu", pričom záver bol z predpokladov

vyvodený použitím tautológie: , Tab. 1.4.

p

q

Ak bude vonku snežiť, zostanem doma

Ak zostanem doma, prečítam si knihu

Ak bude vonku snežiť, prečítam si knihu

16

Platnosť (pravdivosť) tvrdenia (vety, výroku, teorémy, argumentu alebo výsledku) je

potrebné v matematike dokázať. Existujú viaceré formy matematických dôkazov spočívajúcich

v postupnosti krokov (formúl výrokovej logiky), ktoré vychádzajú z množiny existujúcich

postulátov (axióm), a z predchádzajúcich viet, už dokázaných, pomocných viet (lem) danej

postupnosti. Jednotlivé kroky postupnosti sa tvoria pomocou pravidiel usudzovania (tautológií).

Dôkaz teda pozostáva z postupnosti formúl, pričom posledná formula zodpovedá

požadovanému záveru, napríklad:

[1.7.]

a dá sa znázorniť aj pomocou stromu dôkazu.

Príklad. V tomto príklade ilustrujeme logické vyplývanie výrokovej formule (záveru) z

predpokladov reprezentovaných formulami . Nech množina predpokladov

obsahuje nasledovné zložené výroky:

"ak mi pošleš návod, potom budem hrať počítačovú hru"

"ak mi nepošleš návod, potom napíšem domácu úlohu"

"ak napíšem domácu úlohu, potom dostanem dobrú známku"

požadovaný záver znie:

"ak nebudem hrať počítačovú hru, potom dostanem dobrú známku"

Prepíšme najprv predpoklady do výrokových premenných:

"pošleš mi návod"

" hrám počítačovú hru"

" píšem domácu úlohu"

" dostávam dobrú známku"

potom uskutočníme formalizáciu schémy logického vyplývania do tvaru:

Pomocou postupnosti elementárnych krokov, v ktorej využijeme schémy usudzovania uvedené

v Tab. 1.4., ukážeme, že táto schéma je platná:

Diagramatickú verziu odvodenia tohto logického dôkazu môžeme znázorniť pomocou

nasledovného stromu dôkazu:

1. predpoklad1

2. predpoklad2

3. predpoklad3

4. inverzia implikácie na predpoklad1

5. hypotetický sylogizmus na medzivýsledok 4 a predpoklad2

6. hypotetický sylogizmus na medzivýsledok 5 a predpoklad3

17

Obrázok 1.3. Strom odvodenia pre logický dôkaz schémy:

Vykonanie logického dôkazu môžeme často výrazne zjednodušiť, ak množinu

predpokladov rozšírime o nový pomocný predpoklad . Vo výrokovej logike totiž

platí veta o dedukcii, ktorá má tvar:

[1.8.]

a hovorí, že logický dôkaz formule φ pomocou rozšírenej množiny predpokladov

10 je rovnocenný dôkazu formule pomocou pôvodnej množiny predpokladov

. Vety hrajú významnú úlohu pri výstavbe formálneho systému matematickej

logiky, ktorý má charakter prepojenej siete viet. Vety, ktoré boli dokázané v predchádzajúcich

krokoch, sa už nedokazujú a využívajú sa ako efektívne nástroje v logických dôkazoch nových

viet.

Nech je tautológia (veta), potom logický dôkaz môžeme rozšíriť o vetu

nasledovne:

[1.9.]

pričom zahrnutie tautológie môže podstatne zjednodušiť dôkaz formule .

Ako ukazujú každodenné skúsenosti, v spoločnosti sú pomerne rozšírené klasické chyby

bežného usudzovania, ktoré predstavujú nesprávne modifikácie schém usudzovania modus

ponens a modus tollens (Tab. 1.4.). Prvá nekorektná schéma sa nazýva potvrdenie dôsledku,

druhá sa volá popretie predpokladu a dajú sa znázorniť nasledovne:

10

Operácia zjednotenia množín označovaná symbolom " " bude bližšie vysvetlená v nasledujúcej kapitole.

↓

hypotetický ↓ sylogizmus

hypotetický ↓ sylogizmus

18

Ako vidíme z tabuľky pravdivostných hodnôt týchto dvoch chybných schém uvažovania (Tab.

1.5.) pre výroky "prší", "cesta je mokrá" a "ak prší, potom je cesta mokrá", pre

obidve formule a existuje taká interpretácia ( že pravdivostná hodnota

oboch formúl je nepravdivá ( a ).

Tabuľka 1.5. Tabuľka pravdivostných hodnôt schém usudzovania potvrdenie dôsledku , a

popretie predpokladu .

1 0 1 0 1 1 1 0 1

1 0 0 1 0 1 1 1 1

0 1 1 0 1 0 0 0 0

0 1 0 1 1 0 1 1 1

To znamená, pre interpretáciu , = {"neprší", "cesta je mokrá"} oba úsudky

nepredstavujú tautológie a teda sú nesprávne.

1.4. Predikátová logika

Predikátová logika je obyčajne chápaná ako rozšírenie výrokovej logiky pomocou

kvantifikátorov všeobecný a existenčný 11. Zaoberá sa otázkami pravdivosti a

dokázateľnosti výrokových formúl. Predikátom označujeme vlastnosť objektu a vzťah

(reláciu) medzi objektmi a .

Príklad. Vlastnosť P znamená "poslucháč", potom je predikát, ktorý označuje, že

indivíduum (objekt, prvok) Martin je poslucháčom (Farmaceutickej fakulty). Ak relácia

znamená "kamarát", potom je predikát, ktorý označuje, že Jano a Fero sú

kamaráti.

11

Kvantifikátor je operátor matematickej logiky, ktorý určuje, akému počtu (kvantite) indivíduí možno pripísať

(predikovať) nejakú vlastnosť alebo vzťah. Všeobecný kvantifikátor " " nahradzuje spojenie "pre všetky"

a existenčný kvantifikátor " " nahradzuje spojenie "existuje (aspoň jeden)".

modus ponens potvrdenie dôsledku príklad

"cesta je mokrá"

"ak prší, potom je cesta mokrá"

"prší"

modus tollens popretie predpokladu príklad

"neprší"

"ak prší, potom je cesta mokrá"

"cesta nie je mokrá"

19

Takéto základné formulácie môžeme upraviť pomocou kvantifikátorov tak, že budú

označovať množstvo objektov (prvkov) z množiny (Univerza), ktoré majú určitú vlastnosť

alebo spĺňajú danú reláciu. :

všetky objekty x univerza majú vlastnosť P

existuje objekt univerza, ktorý má vlastnosť [1.10.]

Alternatívna reprezentácia kvantifikátorov sa dá zostrojiť v rámci výrokovej logiky pomocou

sekvencie konjunkcií alebo disjunkcií:

12

[1.11.]

Použitím De Morganových13

zákonov (Tab. 1.3.) vieme zostrojiť negácie kvantifikovaných

výrazov:

14

[1.12.]

Pomocou predikátov a kvantifikátorov môžeme efektívne sformalizovať rôzne verbálne

tvrdenia. Napríklad, výrok "každý riaditeľ má aspoň jedného podriadeného" môžeme vyjadriť

takto:

[1.13.]

Základné schémy usudzovania v predikátovej logike sú zhrnuté v Tab. 1.6.

Tabuľka 1.6. Schémy usudzovania v predikátovej logike.

Schéma usudzovania Teoréma predikátovej logiky Názov schémy

konkretizácia univerzálneho

kvantifikátora

zovšeobecnenie pomocou

univerzálneho kvantifikátora

konkretizácia existenčného

kvantifikátora

zovšeobecnenie pomocou

existenčného kvantifikátora

Prvá schéma usudzovania v Tab. 1.6. - konkretizácia univerzálneho kvantifikátora –

predpokladá, že ak má určitú vlastnosť každý objekt (prvok) z množiny , t.j.

potom musí mať túto vlastnosť aj ľubovoľný konkrétny prvok c tohto univerza:

12

Zápis: " " znamená: prvok patrí do množiny . 13

Augustus De Morgan (1806-1871) bol britský matematik a logik, ktorý okrem sformulovania základných

zákonov logiky zaviedol aj pojem matematická indukcia. 14

a znamená: vlastnosť a relácia sú nepravdivé (nie sú splnené).

pre každé

pre nejaký prvok pre nejaký prvok

20

[1.14.]

Táto vlastnosť je priamym dôsledkom intuitívnej interpretácie univerzálneho kvantifikátora ako

konjunkcie vlastnosti pre každý objekt z konečného univerza, môžeme ju vyjadriť

pomocou sekvencie konjunkcií :

15 [1.15.]

Ak použijeme pre túto formulu schému usudzovania simplifikácie (Tab. 1.4.) potom vlastnosť

má menovite každý jednotlivý prvok univerza :

[1.16.]

musí teda platiť aj implikácia .

Príklad. Konkretizáciu univerzálneho kvantifikátora môžeme ilustrovať na príklade klasickej

logiky:

kde Sokrates patrí do univerza (množiny všetkých ľudí) platnosti kvantifikátora .

Túto schému môžeme zovšeobecniť nasledovne:

[1.17.]

Ak sa nám podarí dokázať, že vlastnosť P má každý objekt z univerza U, potom vzhľadom k

tomuto univerzu môžeme definovať zovšeobecnenie pomocou univerzálneho kvantifikátora

takto:

[1.18.]

Ak použijeme pre túto formulu schému usudzovania konjunkcie (Tab. 1.4.), potom:

[1.19.]

15

Symbol " " znamená: "rovná sa podľa definície" alebo "je definovaný ako".

:

:

P(a)

P(b)

:

P(c)

:

:

:

"všetci ľudia sú smrteľní"

"Sokrates je človek"

"Sokrates je smrteľný"

21

potom pre ľubovoľný objekt univerza c musí platiť aj:

[1.20.]

Zovšeobecnenie pomocou univerzálneho kvantifikátora sa často používa v diskrétnej

matematike implicitne. Vlastnosť je platná všeobecne, keďže dôkaz vlastnosti bol

vykonaný pre ľubovoľný náhodne zvolený objekt , nie pre určitý konkrétny objekt.

Príklad. Zovšeobecnenie pomocou univerzálneho kvantifikátora môžeme ilustrovať na príklade

klasickej logiky takto:

kde Sokrates aj Platón sú dva ľubovoľné objekty patriace do univerza (množiny všetkých ľudí).

Zovšeobecnenie podľa predchádzajúcej schémy usudzovania alebo predikátovej formule

predstavuje základ induktívneho zovšeobecnenia, pri ktorom sa čiastkové poznatky

o niekoľkých objektoch snažíme zovšeobecniť pre každý objekt daného univerza. Takéto

zovšeobecnenie často používame aj v každodennom živote. Zovšeobecnenie patrí tiež medzi

metódy vedeckého poznania (indukcia, zovšeobecnenie, abstrakcia, ...). Podľa logického

pozitivizmu (neopozitivizmu) sa vedecké hypotézy a poznanie získavajú indukciou alebo

zovšeobecňovaním experimentálnych pozorovaní.16

Naproti tomu filozof Karl Popper17

ukázal,

že pravdivosť vedeckej teórie nemožno dokázať pomocou empirických skúseností, indukcie

a zovšeobecnenia, pravdivosť určitej teórie môžeme len empiricky testovať. Základom nového

vedeckého poznávania teda nie je opakované potvrdzovanie (verifikácia) hypotéz, ale ich

preverovanie (tzv. falzifikácia). Iba teória, ktorá je formulovaná tak, aby sa dala vyvrátiť

(nepredstavuje teda postulát alebo dogmu), môže byť podrobená falzifikácii (t.j. môže byť

dokázané, že je nesprávna). Podľa Poppera k rozvoju vedy a poznania dochádza práve vďaka

falzifikácii tým, že existujúce teórie testujeme a prekonané teórie zavrhujeme, čím otvárame

priestor pre nové hypotézy a teórie. Popperova filozofia kritický racionalizmus hovorí, že

jediným racionálnym prvkom, ktorý nás posúva ďalej v našom úsilí poznať svet, je kritické

skúmanie existujúcich teórií predstavujúcich len domnienky, čím sa postupne približujeme k

pravde (evolúcia vedy). V kontexte induktívneho zovšeobecnenia predstavuje falzifikácia

všeobecného výroku nájdenie takého objektu , pre ktorý neplatí vlastnosť (čo

môžeme zapísať ako: alebo ). Potom je všeobecný výrok

neplatný.

Príklad. Uvažujme univerzum všetkých vrán na svete. Pozorovaním vrán zistíme, že pre

veľký počet z nich (podmnožinu ) platí: "každá vrana je čierna" (označme túto vlastnosť

16

Moritz Schlick (1882-1936) bol rakúsky filozof a fyzik, vedúci predstaviteľ logického pozitivizmu, zakladateľ

Viedenského krúžku novopozitivistov. 17

Karl Raimund Popper (1902-1994) filozof rakúskeho pôvodu, bol významným predstaviteľom moderného

liberalizmu, teórie vedy a filozofie. Je považovaný za zakladateľa kritického racionalizmu.

"Sokrates a Platón sú ľudia"

"obaja sú smrteľní"

"všetci ľudia sú smrteľní"

22

predikátom Č). Tento pozorovaný fakt môžeme pomerne 'bezpečne' zovšeobecniť pomocou

univerzálneho kvantifikátora definovaného na podmnožine :

Č(x) Č

Ak pozorovateľ nepresne a nedôsledne zovšeobecní svoj poznatok pre celé univerzum ,

postuluje tak platnosť predikátovej formuly Č(x). Vyvrátenie (falzifikácia) tejto všeobecne

platnej formuly potom spočíva v tom, že nájdeme vranu, ktorá nie je čierna. Potom

automaticky platí: Č '(x) Č(x))', kde Č ' značí vranu, ktorá nie je čierna (je biela).18

Ak určitá vlastnosť platí pre niektorý objekt , potom platí aj implikácia:

[1.21.]

ktorú môžeme prepísať do schémy usudzovania pre konkretizáciu existenčného kvantifikátora:

[1.22.]

Táto vlastnosť priamo vyplýva z jeho intuitívnej interpretácie pomocou disjunkcie predikátov

nad konečným univerzom :

[1.23.]

Disjunkcia výrokov je pravdivá práve vtedy, keď aspoň jeden jej výrok je pravdivý. Potom

existuje aspoň jeden prvok c, pre ktorý je vlastnosť splnená (pravdivá) a platí implikácia

Schéma zovšeobecnenia pomocou existenčného kvantifikátora predpokladá, že ak platí

určitá vlastnosť pre aspoň jeden konkrétny objekt univerza , potom môžeme tento fakt

zovšeobecniť pomocou existenčného kvantifikátora:

[1.24.]

kde sme použili schému usudzovania s názvom adícia z Tab. 1.4. Túto implikáciu môžeme

vyjadriť pomocou schémy usudzovania:

[1.25.]

čím dostaneme formulu , podľa ktorej je pravdivosť výroku

ekvivalentná pravdivosti výroku s existenčným kvantifikátorom

Príklad. Ukážte, že záver ψ vyplýva z predpokladov a :

"každý kto navštevuje prednášky z matematiky pre farmaceutov je študentom FaF UK".

"Peter navštevuje prednášky z matematiky pre farmaceutov".

"Peter je študentom FaF UK".

Slovné výroky , a prepíšeme do tvaru výrokových formúl:

18

Vrana inej ako čiernej alebo bielej farby zatiaľ nebola pozorovaná (pozri obrázky dokumentujúce existenciu

bielej vrany - albína napr. na stránkach: http://www.ifauna.cz).

pre nejaký prvok

pre nejaký prvok c

23

pričom je predikát "prvok x navštevuje prednášky z matematiky pre farmaceutov" a

je predikát "prvok je študentom FaF UK". Správnosť záveru overíme

nasledovnou postupnosťou formúl:

1.5. Metódy dôkazu

Dôkaz matematickej vety je demonštrácia založená na pravidlách matematickej logiky, ktorá

nespochybniteľne potvrdzuje, že určité tvrdenie je za daných predpokladov pravdivé. Dôkaz

vety je vo všeobecnosti zložitý problém, tu si uvedieme niekoľko najznámejších metód dôkazu.

Pri priamom dôkaze implikácie postupujeme tak, že ukážeme, že z predpokladu

pravdivosti výroku vyplýva tiež pravdivosť výroku . Presnejšie, pri priamom dôkaze

vychádzame z axióm a z už dokázaných viet a priamy dôkaz

môžeme nahradiť logickým dôkazom:

[1.26.]

kde na ľavej strane schémy sú všetky axiómy systému, dokázané vety a predpoklad .

Pomocou pravidiel usudzovania (Tab. 1.4.) potom z týchto ‘predpokladov‘ odvodíme dôsledok

.

Príklad. Dokážte vetu: “pre kladné reálne čísla19

a platí:

“ (aritmetický priemer

je vždy väčší alebo rovný geometrickému priemeru). Použijeme techniku priameho dôkazu a

z predpokladanej pravdivosti predpokladu :

pre platí

ktorý je zjavne pravdivý (druhá mocnina reálneho čísla je vždy väčšia alebo rovná nule),

dokážeme pravdivosť dôsledku :

19

Symbolom označujeme množinu všetkých prirodzených čísel, Symbolom označujeme množinu všetkých celých čísel, Symbolom označujeme množinu všetkých racionálnych čísel, ktoré možno vyjadriť v tvare: , kde

a sú nesúdeliteľné celé čísla a .

Symbolom označujeme množinu všetkých iracionálnych čísel, ktoré nemožno vyjadriť v tvare: , t.j.

čísla ako napr. .

Symbolom označujeme množinu všetkých reálnych čísel, ktorá obsahuje všetky predchádzajúce množiny

až . Množinu kladných reálnych čísel budeme označovať a množinu záporných reálnych čísel .

Symbolom označujeme množinu všetkých komplexných čísel.

1. predpoklad1

2. predpoklad2

3. konkretizácia 1

4. modus ponens na 2 a 3

24

pre platí

v tvare implikácie :

čím sme dokázali platnosť implikácie .

Metóda nepriameho dôkazu je založená na ekvivalencii nazývanej zákon inverzie

implikácie: ktorý hovorí, ak v implikácii vymeníme poradie členov,

potom musíme negovať aj jej jednotlivé členy. Z tohto zákona vyplýva, že dôkaz implikácie

je ekvivalentný dôkazu “inverznej“ implikácie , ktorá sa dokazuje pri

nepriamom dôkaze.

Príklad. Dokážte vetu “ak je prirodzené číslo a je nepárne číslo, potom aj je

nepárne číslo“. Vetu môžeme opäť prepísať do tvaru implikácie :

a budeme dokazovať inverznú implikáciu :

Nech je párne číslo, potom existuje také prirodzené číslo , že . Pre takto určené číslo

dostaneme: , čo je párne číslo. Týmto sme dokázali

platnosť inverznej implikácie , teda musí platiť aj priama implikácia .

Ďalší druh dôkazu viet, dôkaz sporom, využíva schému usudzovania “reductio ad

absurdum“, Tab. 1.4., ktorá je založená na formuli výrokovej logiky:

[1.27.]

a ktorú môžeme interpretovať tak, že ak z predpokladu súčasne vyplýva aj , potom musí

byť pravdivá negácia východiskového predpokladu.

Príklad. Dokážte vetu: “ je iracionálne číslo“. Predpokladajme najprv, že “ je racionálne

číslo“ a tento výrok označme symbolom . Z definície racionálnych čísel a z výroku vyplýva,

že číslo môžeme napísať v tvare “ , kde a sú nesúdeliteľné celé čísla“, ktorý

označíme . Bude teda platiť implikácia . Úpravou výrazu vo výroku

dostaneme alebo číslo je deliteľné 3. Dá sa ľahko ukázať, že ak číslo je

deliteľné 3, potom aj je deliteľné 3, t.j. ak , potom

a je tiež deliteľné 3. Obrátením tejto implikácie dostaneme: ak číslo je deliteľné 3,

25

potom aj je deliteľné 3. Teda pre deliteľné 3 ( ) bude platiť, že

je tiež deliteľné 3. Týmto sme dokázali, že celé čísla a sú oba deliteľné

číslom 3, sú súdeliteľné (je pravdivý výrok “ , kde a sú súdeliteľné celé

čísla“) a platí implikácia . Ukázali sme, že súčasne platia implikácie: a ,

čím dochádza k sporu. Podľa schémy “reductio ab absurdum“:

potom platí negácia predpokladu: “ je iracionálne číslo“, čo bolo treba dokázať.

Ďalším druhom matematického dôkazu je dôkaz vymenovaním prípadov, ktorý môžeme

zapísať v tvare implikácie , ktorú môžeme jednoduchými úpravami prepísať

do ekvivalentného tvaru:

[1.28.]

Túto formulu môžeme zaznačiť aj v tvare schémy usudzovania:

[1.30.]

Dôkaz vymenovaním prípadov používame vtedy, keď výrok je dôsledkom rôznych prípadov

Príklad. Dokážte identitu: “pre platí: – “. Použijeme dôkaz

vymenovaním prípadov:

a) , potom – , a a dokazovaná nerovnosť má tvar – –

– – alebo , čo je pravdivý výrok.

b) , potom – , a , dokazovaná nerovnosť má tvar –

– , čo je pravdivý výrok.

c) , potom – , a , dokazovaná nerovnosť má tvar – –

alebo , čo je pravdivý výrok.

Podobným spôsobom sa dajú dokázať aj zostávajúce tri možnosti d) – f) ( ,

a ).

Metóda dôkazu vymenovaním všetkých prípadov môže byť komplikovaná v špeciálnych

situáciách, kedy počet všetkých možných prípadov je veľký. V takýchto situáciách sa dnes

využívajú počítače, ktoré systematicky preveria aj veľmi veľký počet možných prípadov.

:

1.

2. prepis 1 pomocou disjunktívneho tvaru implikácie

3.

použitie De Morganovho zákona na 2

4.

použitie distributívneho zákona na 3 [1.29.]

5. prepis 4 s disjunktívnym tvarom implikácie

26

1.6. Matematická indukcia

Ak máme za úlohu dokázať formulu , ktorá hovorí, že vlastnosť platí pre

každé prirodzené číslo , dôkaz môžeme uskutočniť pomocou matematickej indukcie. Táto

metóda dôkazu je založená na dvoch východiskových predpokladoch: a

. Nasledovná postupnosť formúl dokazuje, ako z dvoch predpokladov vyplýva

formula :

Výsledok dosiahnutý pomocou postupnosti elementárnych logických krokov môžeme prepísať

do schémy usudzovania matematickej indukcie:

[1.32.]

Dôkaz matematickou indukciou predpokladá, že existuje minimálna hodnota argumentu ,

t.j. a že prípad nasleduje hneď po prípade . Preto sa metóda matematickej

indukcie obzvlášť hodí pre dôkazy vlastností usporiadanej množiny prirodzených čísel.

Matematickú indukciu používal už matematik gréckeho pôvodu Francesco Maurolico20

a do

modernej matematiky a logiky ho zaviedol Giuseppe Peano21

pri axiomatickej formulácii

aritmetiky.

Príklad. Dokážte, že suma prvých nepárnych prirodzených čísel sa rovná . Položme sumu

prvých nepárnych prirodzených čísel:

20

Francesco Maurolico (1494-1575) bol grécky matematik a astronóm pôvodom zo Sicílie. 21

Giuseppe Peano (1858-1932) bol taliansky matematik a filozof, ktorý významne prispel k rozvoju matematickej

logiky a teórie množín.

1.

2.

3. konkretizácia 2 pre n = 1

4. konkretizácia 2 pre n = 2

:

5. konkretizácia 2 pre n = n

: [1.31.]

6. modus ponens na 1 a 3

7. modus ponens na 6 a 4

:

8. modus ponens na predchádzajúci riadok a 5

:

9. zovšeobecnenie pomocou

27

Vidíme, že dáva súčet rovný 1, presvedčme sa čomu sa rovná :

Dokázali sme, že platnosť formule implikuje formulu pre každé prirodzené

číslo , z čoho použitím zovšeobecnenia pomocou univerzálneho kvantifikátora dostaneme:

a použitím schémy matematickej indukcie . Tým sme dokázali

vetu o sume prvých nepárnych prirodzených čísel.

Silná matematická indukcia je špeciálny prípad bežnej matematickej indukcie, keď platí, že

vlastnosť vyplýva z konjunkcie vlastností všetkých predchádzajúcich prirodzených

čísel : . Použitím analogického odvodenia

dostaneme zovšeobecnenú schému usudzovania silnej matematickej indukcie:

[1.33.]

Príklad. Dokážte, že na rozlámanie čokoládovej tabuľky o veľkosti políčok na

jednotlivé políčka potrebujeme urobiť – lomov, kde a sú prirodzené čísla.

Presvedčme sa najprv, že je splnená vlastnosť , t.j. pre tabuľku s jedným políčkom

postačí na úplné rozlámanie – – lomov.

Obrázok 1.4. Schéma pre delenie tabuľky čokolády o veľkosti políčok.

Uvažujme ďalej, že prvý lom, ktorý rozlomí tabuľku o veľkosti políčok na 2 časti,

(obrázok vpravo) budeme viesť horizontálne po riadku (rovnaká úvaha platí aj pre vertikálny

lom) a dostaneme dva obdĺžniky veľkosti a políčok, pričom a boli zvolené

n n

i

m m

j

n n

i

m m

j

28

náhodne z intervalu , kde – . Vlastnosť teda vyplýva z konjunkcie

všetkých predchádzajúcich vlastností pre : . Potom podľa

predpokladu na úplné rozlámanie dvoch vzniknutých častí tabuľky budeme potrebovať –

plus – lomov, čo spolu s počiatočným lomom dáva:

Podobne, pre prvý lom vedený po riadku dostávame:

– – – – – –

Z predpokladu platnosti počtu potrebných lomov pre 2 menšie časti tabuľky o veľkostiach

a sme teda odvodili platnosť daného výrazu pre čokoládu ľubovoľnej veľkosti

, pričom výsledok nezávisí na voľbe prvého lomu , čo bolo treba dokázať.

29

Cvičenia 1.

1.1. Aké pravidlo usudzovania treba použiť pri dôkaze záverov?

a) Ak sneží, zjazdovka je zatvorená. Zjazdovka nie je zatvorená. Preto, dnes nesneží.

b) Ak dnes nepôjdem do kina, prečítam si učebnicu. Ak si dnes prečítam učebnicu,

zajtra ma nevyhodia z laboratórneho cvičenia.

1.2. Posúďte aké závery vyplývajú z nasledovných výrokov:

a) Mám šťastie alebo som múdry. Ak mám šťastie, potom vyhrám v tombole. Nemám

šťastie.

b) Ak som hladný, potom si kúpim Tatranku. Ak si kúpim Tatranku, potom si kúpim aj

kávu. Ak nepôjdem do kaviarne, nekúpim si kávu.

1.3. Zistite, či sú uvedené závery korektné a vysvetlite prečo:

a) Každý študent farmácie má v indexe zapísanú prednášku z matematiky. Jakub má

zapísanú prednášku z matematiky. Preto Jakub je študentom farmácie.

b) Každý, kto má rád ovocie, je zdravý. Karol nie je zdravý. Preto Karol nemá rád

ovocie.

1.4. Dokážte nasledujúce výroky:

a) Súčin dvoch nepárnych čísel je opäť nepárne číslo. Použite priamy dôkaz.

b) Ak je celé číslo a je nepárne číslo, potom je nepárne číslo. Použite

nepriamy dôkaz.

c) Dokážte, že , kde a sú reálne čísla22

. Použite

dôkaz metódou vymenovania prípadov.

1.5. Dokážte pomocou matematickej indukcie:

a) Suma prvých n prirodzených čísel sa rovná: .

b) Suma štvorcov prvých n prirodzených čísel sa rovná:

.

c) Ukážte, že pre zovšeobecnené De Morganove formule platí:

22

je funkcia, ktorá vyberie najväčšie číslo z číselnej množiny . Funkcia

vyberie najmenšie číslo z .

30

Riešenia 1.

1.1. a) "dnes sneží"

"zjazdovka je uzavretá"

b) "dnes nepôjdem do kina"

"dnes si prečítam učebnicu"

"zajtra ma nevyhodia z laboratórneho cvičenia"

1.2. a) "mám šťastie"

"som múdry"

"vyhrám v tombole"

Záver: Som múdry.

Záver: Som múdry.

b) "som hladný"

"kúpim si Tatranku"

"kúpim si kávu"

"pôjdem do kaviarne"

Záver: Ak som hladný, pôjdem do kaviarne.

Záver: Ak som hladný, potom pôjdem do kaviarne.

1.3. a) " je študent farmácie"

"x má v indexe zapísanú skúšku z matematiky"

predpoklad1

predpoklad2

dôsledok modus tollens, Tab. 1.4.

predpoklad1

predpoklad2

predpoklad3

dôsledok disjunktívneho sylogizmu a aplikácia na predpok.1 a predpok.2

predpoklad1

predpoklad2

predpoklad3

dôsledok1: hypotetický sylogizmus na predpoklad1 a predpoklad2

dôsledok2: inverzia implikácie na predpoklad3

záver: hypotetický sylogizmus na dôsledok1 a dôsledok2

predpoklad1

predpoklad2

dôsledok hypotetického sylogizmu

31

Odvodenie:

1. predpoklad1

2. predpoklad2

3. konkretizácia 1

4. použitie chybného pravidla "potvrdenie dôsledku"

Záver je nesprávny.

b) " má rád ovocie"

" je zdravý"

Odvodenie:

1. predpoklad1

2. predpoklad2

3. konkretizácia 1

4. modus tollens na 2 a 3

Záver je korektný.

1.4. a) " je nepárne číslo". Dokazujeme priamym dôkazom platnosť implikácie:

. Ak položíme: a , kde a sú

nezáporné celé čísla (t.j. číslam, ktoré nie sú deliteľné dvoma, pri delení 2 dávajú

zvyšok 1), potom .

b) " je nepárne číslo", " je párne číslo". Máme dokázať:

Nepriamy dôkaz uskutočníme dokazovaním inverzie tejto implikácie:

. Nech , potom

a . Priamym dôkazom inverznej

implikácie sme teda nepriamo dokázali platnosť pôvodnej implikácie:

.

c) Môžu nastať 2 prípady:

◦ , potom

└──────┘ └──────┘

◦ , potom

└──────┘ └──────┘

32

1.5. a) Pre platí: , pre : .

Z toho vyplýva pre :

b) Pre platí: , pre :

. Z toho vyplýva pre :

c) Pôvodné De Morganove formule pre majú tvar:

a

Pre jednoduchosť urobíme dôkaz pre a využijeme formule pre . Tento

dôkaz môžeme zovšeobecniť pre , ak poznáme formulu pre – .

33

2. Teória množín

2.1. Definícia množiny

Za zakladateľa teórie množín - privilegovanej matematickej teórie, ktorá patrí k základom

modernej matematiky, je považovaný nemecký matematik Georg Cantor.23

O dôslednú

axiomatickú výstavbu tejto teórie sa neskôr zaslúžil najmä anglický logik Bertrand Russell.24

Definícia. Pojmom množina v matematike označujeme neusporiadaný súbor navzájom

rozlíšiteľných prvkov (elementov, matematických objektov). Fakt, že množina A obsahuje

určité prvky označujeme: . Na druhej strane, príslušnosť prvku k

množine označujeme: (čítame: " patrí do "). Skutočnosť, že prvok nepatrí do

množiny označujeme: (pričom výrazy a chápeme ako pravdivé výroky).

Množinu môžeme určiť a zapísať dvoma rôznymi spôsobmi:

- vymenovaním všetkých prvkov, ktoré do množiny patria: (tento spôsob

je použiteľný pre množiny s konečným počtom prvkov), alebo

- stanovením predikátu , ktorý určuje, či prvok patrí do množiny (ak je predikát

pravdivý) alebo do množiny nepatrí (ak je predikát nepravdivý): 25.

Príklad. Množinu A všetkých prirodzených čísel menších ako 9 môžeme zapísať oboma

spôsobmi: alebo .

Príklad. Nekonečnú množinu všetkých prirodzených čísel deliteľných číslom 3 už môžeme

zapísať len pomocou predikátu : , kde také, že

, teda:

ľ é ľ é

Tento spôsob určovania množín môžeme ďalej výhodne rozvinúť použitím

charakteristických funkcií, ak predikát budeme definovať pomocou takejto

charakteristickej funkcie nasledovne: , kde:

[2.1.]

Definícia. Množinu A môžeme definovať použitím charakteristických funkcií ako:

kde funkcia predstavuje binárne zobrazenie, ktoré ohodnocuje

každý prvok x univerza číslom 1 alebo 0 podľa toho, či prvok patrí do množiny alebo do

nepatrí.

23

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) bol nemecký matematik, známy ako tvorca modernej

teórie množín. 24

Bertrand Russell (1872-1970) bol anglický filozof, logik, matematik, sociológ, jeden zo zakladateľov

analytickej filozofie. 25

Množina je univerzum (univerzálna množina), nad ktorým sú definované všetky ostatné množiny.

34

Charakteristickú funkciu môžeme napríklad použiť na definovanie dvoch špeciálnych

množín: univerzálnej množiny a prázdnej množiny . Univerzálna množina (univerzum)

obsahuje všetky prvky univerza a prázdna množina

neobsahuje žiadny prvok.

Príklad. Popíšte množinu 26 pomocou charakteristickej funkcie.

Považujme v tomto príklade univerzum U za identické s množinou reálnych čísel . Pre

predikát: , bude charakteristická funkcia definovaná nasledovne:

27

čo môžeme graficky znázorniť ako:

Obrázok 2.1. Charakteristická funkcia množiny .

Charakteristické funkcie môže použiť na definíciu intervalov reálnych čísel. Najprv si ale

pripomeňme, že množina reálnych čísel je usporiadaná, t.j. pre dve reálne čísla a, b je

usporiadanie definované ako: ) – .

Pre usporiadanie reálnych čísel platia nasledovné pravidlá:

- každé reálne číslo je buď kladné, alebo záporné, alebo rovné 0 (nemôže byť zároveň kladné

aj záporné a pod.),

- ak tranzitívny zákon,

- ak ,

- ak +

Tieto pravidlá sa využívajú pri riešení nerovností. Zápis znamená, že alebo

.

Geometricky môžeme reálne čísla znázorniť pomocou číselnej osi (priamky, na ktorej

zvolíme počiatok a kladný smer). Počiatku priradíme číslo 0 a každému bodu, ktorý leží

v kladnom smere osi priradíme kladné reálne číslo x, ktoré predstavuje vzdialenosť tohto bodu

od počiatku Zápornému číslu priradíme bod, ktorý leží v zápornom smere osi vzdialený

o od počiatku (Obr. 2.2).

26

Zápis “ “znamená absolútna hodnota čísla . ak , ak . Geometricky na

číselnej osi predstavuje vzdialenosť bodu od počiatku osi. 27

Zápis “ “ znamená: reálne číslo patrí do zľava otvoreného, sprava otvoreného intervalu s hranicami

-1 a 1 (pozri nižšie).

-1 0 1

1

35

Obrázok 2.2. Číselná os reálnych čísel.

Intervaly predstavujú špeciálne podmnožiny množiny reálnych čísel . Poznáme nasledovné

typy intervalov:

- uzavretý interval (tento interval teda obsahuje všetky

reálne čísla, ktoré ležia medzi číslami a , vrátane týchto hraničných hodnôt a )

- otvorený interval

- polouzavreté intervaly

- neohraničené intervaly ,

,

Obrázok 2.3. Grafické znázornenie zľava otvoreného sprava uzavretého intervalu na číselnej

osi. Prázdny a plný krúžok označujú príslušnosť hraničných bodov k intervalu.

Charakteristické funkcie môžeme tiež využiť na definovanie základných operácií nad

množinami, ako sú: rovnosť množín, vzťah množiny a podmnožiny, zjednotenie, prienik,

doplnok a rozdiel množín. Uvedieme si teraz definície jednotlivých množinových operácií a ich

symboly.

Definícia. Množina sa rovná množine ,

píšeme , vtedy a len vtedy, ak sú obe množiny definované nad rovnakým univerzom

a charakteristické funkcie oboch množín sú rovnaké:

[2.2.]

Rovnosť medzi dvoma množinami môžeme alternatívne definovať aj pomocou výrokovej

logiky a s použitím logických spojok napríklad takto:

[2.3.]

Definícia. Množina je podmnožinou množiny

píšeme , vtedy a len vtedy, ak každý prvok x z množiny patrí aj do množiny :

[2.4.]

Vzťah nazývame inklúzia. Ak platí , potom je vhodné formulu nahradiť

presnejším tvarom: . Ak a , potom hovoríme, že je vlastnou

podmnožinou množiny . Medzi množinami platí rovnosť vtedy a len vtedy, ak je

pravdivý predikát: Alternatívna definícia podmnožiny sa dá zapísať aj

nasledovne:

-2 0 1

-2 -1 0 0,5 1 2

36

[2.5.]

Definícia. Množina je doplnok (komplement) množiny (vzhľadom k univerzu ) vtedy

a len vtedy, ak:

kde [2.6.]

Alternatívna definícia doplnku množiny sa môže zapísať aj ako:

[2.7.]

Všimnime si, že prvok nepatrí do množiny vtedy a len vtedy, ak patrí do doplnku :

Definícia. Množina predstavuje zjednotenie množín a vtedy a len vtedy, ak platí:

kde 28

[2.8.]

Pre alternatívnu definíciu zjednotenia množín platí:

[2.9.]

Definícia. Množina predstavuje prienik množín a vtedy a len vtedy, ak platí:

kde 29

[2.10.]

Množiny a nazývame disjunktné ak platí: . Alternatívne môžeme prienik

množín definovať ako:

[2.11.]

Definícia. Množina A - B predstavuje rozdiel množín A a B vtedy a len vtedy, ak platí:

kde [2.12.]

Alternatívna definícia rozdielu množín má tvar:

[2.13.]

Grafické znázornenie operácií nad množinami pomocou tzv. Vennových diagramov (Obr. 2.4.),

ktoré zaviedol anglický matematik a filozof John Venn30

, predstavuje často používaný spôsob

vizualizácie a verifikácie korektnosti formúl.

28

Funkcia priradí premennej najvyššiu hodnotu z čísel: 29

Funkcia priradí premennej najnižšiu hodnotu z čísel: 30

John Archibald Venn (1834-1923) bol britský logik a filozof. Preslávil sa prácami v oblasti teórie množín,

pravdepodobnosti, logiky, štatistiky a informatiky.

predpoklad1

predpoklad2

predpoklad3

dôsledok disjunktívneho sylogizmu a aplikácia na predpok.1 a predpok.2

37

Obrázok 2.4. Vennove diagramy množinových operácií. Obdĺžnik = univerzum ( ), kruhy a .

predstavujú množiny a (podmnožiny univerza). a – diagram predstavuje operáciu doplnok množiny

vzhľadom k univerzu . b – diagram znázorňuje operáciu prienik , kde tmavšie vyfarbená oblasť

predstavuje . c –diagram znázorňuje reláciu je podmnožinou . d – diagram znázorňuje

operáciu zjednotenie , tmavšie vyfarbená oblasť predstavuje . e – diagram znázorňuje

operáciu mínus , tmavšie vyfarbená oblasť predstavuje .

Vyššie uvedené množinové operácie, spolu s konceptom výberu podmnožín danej množiny,

tvoria algebru teórie množín. V Tab. 2.1. uvádzame základné formuly, ktoré charakterizujú

vlastnosti množinových operácií. Formule v tejto tabuľke je možné znázorniť a ich platnosť

overiť pomocou Vennových diagramov.

Tabuľka 2.1. Formuly teórie množín.

Vlastnosť Formula

Komutatívnosť

Asociatívnosť

Distributívnosť

Identita ,

Idempotentnosť ,

Dominancia ,

Adsorpcia ,

Involúcia

Zákon vylúčenia tretieho

U U U

a b c

U U

d e

AB AB

B

AB A-B

A A

A A

B B

B B

38

Zákon sporu

Rozdiel množín

Distributívnosť pre rozdiel

De Morganove zákony

Ukážme si teraz, ako možno pomocou Vennových diagramov verifikovať platnosť

distributívneho zákona pre množiny a : . Ako vidno

z Obr. 2.5., konštrukcia Vennovho diagramu pre ľavú a pravú stranu formuly vedie

k rovnakému výsledku (horná a dolná časť obrázku vedie k rovnakým výsledným

geometrickým obrazcom), čo potvrdzuje platnosť uvedeného zákona.

Obrázok 2.5. Použitie Vennových diagramov na overenie platnosti distributívneho zákona pre

množiny a : . Obdĺžnik = univerzum ( ), kruhy predstavujú

množiny a (podmnožiny univerza), horný riadok zodpovedá ľavej strane rovnice, spodný pravej.

Postup verifikácie formúl na Obr. 2.5. môžeme formalizovať tak, že zavedieme tabuľku

pravdivostých hodnôt pre jednotlivé oblasti (plochy) Vennovho diagramu, ktoré očíslujeme

nasledovne (Obr. 2.6.):

B C

BC A (BC)

B C

BC A B

B C B C B C

(A B) (BC)

39

Obrázok 2.6. Číslovanie oblastí vo Vennovom diagrame množín a univerza . Napríklad,

oblasť 2 obsahuje prvky množiny , ktoré nie sú obsiahnuté v množinách a .

Na Obr. 2.6. máme teda označených 8 oblastí univerza , ktoré ležia v presne definovaných

podmnožinách množín a , a spolu s oblasťou 1 tvoria celé univerzum. Napríklad, oblasť

6 obsahuje také prvky, ktoré súčasne patria do množín a , ale nepatria do množiny . V

tabuľke pravdivostných hodnôt (Tab. 2.2.) bude každej oblasti na obrázku prislúchať jeden

riadok. Každému políčku tabuľky priradíme binárnu hodnotu (0 alebo 1), podľa toho, či pre

danú oblasť existuje (1) alebo neexistuje (0) prvok, ktorý vyhovuje formuli zapísanej v

hlavičke stĺpca. Skúmaná formula bude pravdivá práve vtedy, keď pre každú oblasť 1 - 8

dostaneme rovnaký výsledok pre ľavú aj pravú stranu formuly. Pri overovaní pravdivosti

zložitejších formúl sa pritom riadime pravidlami pre pravdivostné hodnoty základných

logických spojok (Tab. 1.1.)31

.

Tabuľka 2.2. Tabuľková metóda verifikácie platnosti formuly:

Oblasť a

1 0 0 0 0 0 0 0 0

2 1 0 0 0 0 0 0 0

3 0 1 0 1 0 0 0 0

4 0 0 1 1 0 0 0 0

5 1 1 0 1 1 1 0 1

6 1 0 1 1 1 0 1 1

7 0 1 1 1 0 0 0 0

8 1 1 1 1 1 1 1 1

ľavá strana pravá strana

a číslovanie oblastí je znázornené na Obrázku 2.4.

Príklad. Dokážte pomocou tabuľkovej metódy správnosť De Morganových vzťahov:

a

31

Využijeme pritom korešpondenciu medzi logickými spojkami výrokov a množinovými operáciami: ,

, , a tak, ako je to uvedené vyššie v alternatívnych definíciách základných

množinových operácií.

40

0 0 1 1 0 0 1 1 1 1

1 0 0 1 1 0 0 0 1 1

1 1 0 0 1 1 0 0 0 0

0 1 1 0 1 0 0 0 1 1

Príklad. Dokážte De Morganovu formulu pomocou vlastností

charakteristických funkcií.

- –

–

Použijeme algebraickú identitu: – – – , ktorá sa dá dokázať

vymenovaním prípadov (kapitola 1.5.) a ukážeme, že obe charakteristické funkcie sú totožné

pre ľubovoľné množiny a a že platí:

Použitím definície rovnosti množín dostaneme, že množiny a sa rovnajú.

Príklad. Dokážte distributívny zákon zjednotenia, vzhľadom na rozdiel množín, pomocou

formúl teórie množín:

Pri dôkaze použijeme formulu, ktorá vyjadruje rozdiel množín: (Tab. 2.1.).

Ľavú a pravú stranu dokazovanej formuly upravíme nasledovne:

Úpravou ľavej a pravej strany formuly sme dospeli k zhodnému výrazu, potvrdili sme teda

platnosť distributívneho zákona pre rozdiel množín.

2.2. Enumerácia konečných množín

V tejto časti sa budeme zaoberať enumeráciou (výpočtom, vymenovaním) prvkov

konečných množín. Ak je množina konečná (má spočítateľný počet prvkov), potom počet

prvkov, ktoré množina obsahuje, nazývame mohutnosťou množiny a značíme . V prípade, že

množina nie je konečná, potom jej mohutnosť je tiež nekonečná . Pre disjunktné

množiny a ( ) je mohutnosť ich zjednotenia daná súčtom mohutností

jednotlivých množín:

[2.14.]

Ak množiny a nie sú disjunktné (majú neprázdny prienik, ), potom je

mohutnosť ich zjednotenia daná formulou (Obrázok 2.5.):

[2.15.]

41

Túto formulu môžeme ľahko dokázať pomocou rozkladu množín a na disjunktné

podmnožiny tak, ako je to znázornené na Obr. 2.7.

Obrázok 2.7. Rozklad množín a na tri disjunktné podmnožiny.

Pre mohutnosť množín a a ich zjednotenia dostaneme:

[2.16.]

pričom kombináciou týchto troch formúl dostaneme vyššie uvedený vzťah pre mohutnosť

množiny pre nedisjunktné množiny. Formula [2.16] môže byť rozšírená pre mohutnosť

zjednotenia 3 množín:

[2.17.]

Príklad. Do prvého ročníka Farmaceutickej fakulty sa zapísalo 230 študentov. V skúškovom

období zimného semestra urobilo skúšku z matematiky ( ) 200, z fyziky ( ) 210 a zo

všeobecnej biológie ( ) 220 študentov. Skúšku z matematiky a z fyziky má 190, z matematiky

a z biológie 195 a z fyziky a z biológie 200 študentov. Máme zistiť, aký počet študentov má

urobené všetky 3 skúšky, 2 skúšky a iba 1 skúšku.

Obrázok 2.8. Číslovanie disjunktných oblastí vo Vennovom diagrame množín a univerza .

4

M F

B

1

2

3

U

42

Ako prvé vypočítame koľko študentov urobilo skúšku zo všetkých troch predmetov (t.j. chýba

im 0 skúšok ), teda hľadáme (oblasť 1, Obr. 2.8.), pomocou formule [2.17.],

pričom predpokladáme, že každý študent urobil aspoň jednu skúšku:

teda . Ďalej vypočítame, koľko študentov má skúšku z matematiky

a fyziky, ale nie z biológie, pomocou nasledovnej úvahy:

(čo predstavuje súčet hodností dvoch disjunktných oblastí 1 a 2 na Obr. 2.7.). Z toho:

–

Podobne určíme:

–

–

Počet študentov, ktorým chýba jedna skúška je teda spolu rovný: .

Počet študentov, ktorým chýbajú 2 skúšky zistíme ako rozdiel počtu všetkých študentov

a tých, ktorým nechýba žiadna (oblasť 1, Obr. 2.8.) alebo len 1 skúška (oblasti 2, 3 a 4, Obr.

2.8.):

– – – –

Na začiatku 20. storočia rozšírili Ernst Zermelo a Abraham Fraenkel32

obsah pojmu

množina (definovaný pôvodne ako neusporiadaný súbor navzájom rozlíšiteľných prvkov) v

axiomatickej výstavbe teórie množín tak, že zaviedli zovšeobecnenú množinu R nazývanú

rodina množín, ktorej prvkami sú iné množiny. Rodinu množín definovali ako: R

kde index je prirodzené číslo z množiny , keď

predpokladáme, že pre každé i existuje množina . Na ďalšej vyššej úrovni axiomatickej

teórie množín potom hovoríme o triede množín, ktorá ako svoje prvky obsahuje rodiny množín,

atď. Pre rodinu množín R môžeme definovať operácie zjednotenia a prieniku jej množín:

[2.18.]

Takáto axiomatická teória pomohla odstrániť niektoré paradoxy pôvodnej intuitívnej teórie

množín, ako napr. Russellov paradox.33

32

Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871-1953) bol nemecký matematik a logik. Abraham Halevi Fraenkel

(1891-1965) bol izraelský matematik nemeckého pôvodu. 33

Ak je množina všetkých možných množín , ktoré neobsahujú samy seba ako prvky:

obsahuje potom množina samu seba? ? (B. Russell, 1901).

43

Príklad. Rodina množín obsahuje množiny , kde je reálne číslo

. Geometrická interpretácia množiny usporiadaných dvojíc je v karteziánskej

súradnicovej sústave (ortogonálnom súradnicovom systéme)34

parabola s vrcholom v počiatku

súradníc (Obr. 2.9.). Prienik množín je jednoprvková množina, ktorá obsahuje stred

súradnicového systému a zjednotenie množín predstavuje celú rovinu okrem osi ale zahŕňa

počiatok (Obr. 2.9.):

Obrázok 2.9. Geometrická interpretácia rodiny množín . Vytieňovaná oblasť (rovina ) okrem

zvislej osi vrátane počiatku súradnicového systému (bodu znázorňuje zjednotenie všetkých

množín . Každá množina je reprezentovaná parabolou.

Definícia. Množina sa nazýva potenčná množina množiny práve vtedy, keď obsahuje

všetky možné podmnožiny množiny :

Potenčná množina obsahuje aj samotnú množinu a prázdnu množinu , pretože

obidve tieto množiny sú podmnožinami . spĺňa tieto vlastnosti:

[2.19.]

Dôkaz. Dokážme vlastnosť [2.19.]. Budeme pritom postupovať tak, že dokážeme implikáciu:

. Predpokladajme, že , potom:

Čím sme dokázali platnosť:

34

Ortogonálny (pravouhlý) súradnicový systém (tiež karteziánska súradnicová sústava), v ktorom je bod v rovine

charakterizovaný dvojicou súradníc - reálnych čísel (usporiadaná dvojica ), zaviedol francúzsky matematik a

filozof René Descartes (1596-1650), považovaný za zakladateľa analytickej geometrie.

x

y

●

44

Príklad. Potenčná množina množiny

.

Mohutnosť potenčnej množiny konečnej množiny je daná výrazom:

, kde je mohutnosť množiny . Tento výsledok ľahšie porozumieme pomocou

nasledovnej úvahy: nech množina má členov . Potom si ľubovoľnú

podmnožinu množiny môžeme zapísať pomocou binárneho reťazca dĺžky , v ktorom každý

člen reťazca reprezentujúci prvok bude nadobúdať hodnotu 1 alebo 0 podľa toho, či je

prvok v danej podmnožine prítomný alebo nie, napr.: . Celkový počet

rôznych binárnych reťazcov dĺžky je a teda aj mohutnosť potenčnej množiny

.

2.3. Karteziánsky súčin množín

Usporiadané dvojice prvkov (čísel) sa využívajú vo viacerých matematických disciplínach,

napríklad v analytickej geometrii. Na určenie polohy bodu v rovine požívame usporiadané

dvojice súradníc a . Dva body (usporiadané dvojice) a

sú si rovné (sú identické, ležia v tom istom mieste roviny) ak sú rovnaké ich súradnice:

a .

Definícia. Množina sa nazýva karteziánsky súčin dvoch množín a , ak platí:

a [2.20.]

Obrázok 2.10. Schematické znázornenie karteziánskeho súčinu množín a

.

Karteziánsky súčin teda predstavuje množinu všetkých usporiadaných dvojíc

takých, kde prvá súradnica patrí do množiny a druhá súradnica patrí do množiny . Pre

karteziánsky súčin množín platia nasledovné vlastnosti. Ak , potom a ak

aspoň jedna z množín alebo je prázdna množina, potom aj karteziánsky súčin .

V prípade, ak obidve množiny a nie sú prázdne, potom súčin vtedy a len

vtedy, ak . Táto vlastnosť je priamym dôsledkom podmienky rovnosti medzi dvoma

usporiadanými dvojicami. Nech množina obsahuje prvkov a množina

y1● [x1, y1]■ [x2, y1]■ [x3, y1]■

Y y2● [x1, y2]■ [x2, y2]■ [x3, y2]■ X × Y

y3● [x1, y3]■ [x2, y3]■ [x3, y3]■

X x1● x2● x3●

45

Y nech obsahuje prvkov , teda mohutnosť a . Potom

počet členov množiny karteziánskeho súčinu, mohutnosť: .

Koncept usporiadanej dvojice môžeme zovšeobecniť na usporiadanú n-ticu

ak rozšírime karteziánsky súčin dvoch množín na súčin množín:

[2.21.]

Mohutnosť n-násobného karteziánskeho súčinu bude analogicky rovná:

.

Príklad. Nech a , potom karteziánsky súčin

.

Príklad. Nech množina a množina , potom grafickým znázornením

(grafom) množiny je množina usporiadaných dvojíc reprezentovaných bodmi:

Obrázok 2.11. Znázornenie karteziánskeho súčinu dvoch množín ako množiny

usporiadaných dvojíc , bodov () v rovine.

Príklad. Nech množina je množina reálnych čísel. Potom je

množina, ktorá obsahuje všetky usporiadané n-tice reálnych čísel (tzv. n-rozmerný lineárny

priestor):

}

Pre karteziánsky súčin množiny s množinou vytvorenou prienikom alebo zjednotením dvoch

množín a platí distributívny zákon:35

[2.22.]

35

Distributívny zákon pre násobenie vzhľadom na sčítanie: poznáme z hodín

aritmetiky.

5 [2, 5] ● ● [3, 5]

4 [2, 4] ● ● [3, 4]

Y 3

2

1 [2, 1] ● ● [3, 1]

1 2 3 4

X

46

Dokážeme platnosť rovnosti [2.22.]. Nech platí , potom z definície

usporiadanej dvojice vyplýva, že a . Z výrazu plynie, že

z patrí do množiny a zároveň aj do množiny . Potom aj tiež

, čiže , čím sme dokázali platnosť

. Predpokladajme teraz naopak, že . Potom

a zároveň aj . Tieto vzťahy môžeme prepísať nasledovne:

a tiež . Platí teda . Spojením týchto dvoch relácií

inklúzie dostaneme dokazovanú rovnosť: . Ostatné

rovnosti distributívneho zákona sa dajú dokázať analogickým spôsobom.

Príklad. Nech množiny a . Potom platí:

Porovnaním pravých strán obidvoch výrazov zistíme, že ľavé strany výrazov sa rovnajú.

2.4. Relácie

Definícia. Majme dve množiny a , potom množinu nazveme binárnou reláciou

z množiny do množiny práve vtedy, keď je podmnožinou karteziánskeho súčinu

a reláciu zapíšeme pomocou charakteristickej funkcie ako:

[2.23.]

Na Obr. 2.12. je znázornená relácia množín a ,

, táto relácia obsahuje 3 usporiadané dvojice z

karteziánskeho súčinu, ktorý obsahuje prvkov.

Obrázok 2.12. Schematické znázornenie relácie ako podmnožiny karteziánskeho súčinu množín

a (vytieňovaná oblasť).

y1● R [x1, y1]■ [x2, y1]■ [x3, y1]■

Y y2● [x1, y2]■ [x2, y2]■ [x3, y2]■ X × Y

y3● [x1, y3]■ [x2, y3]■ [x3, y3]■

X x1● x2● x3●

47

Definícia. Nech je relácia, potom množina usporiadaných dvojíc ,

inverzia ktorých patrí do relácie ), sa nazýva inverzná relácia (vzhľadom k

relácii ) práve vtedy, keď:

[2.24.]

Pre dve relácie a , ktoré sú definované nad rovnakou dvojicou množín ,

pomocou svojich charakteristických funkcií:

môžeme definovať prienik, zjednotenie a doplnok relácií pomocou množinových operácií.

Definícia. Reláciu nazývame prienik relácií a práve vtedy, keď platí:

kde [2.25.]

Reláciu nazývame zjednotenie relácií a práve vtedy, keď platí:

kde [2.26.]

Reláciu nazývame doplnok relácie S práve vtedy, keď platí:

kde [2.27.]

Príklad. Majme relácie S a T, ktoré sú definované na množine , kde a

takto: a . Prienik, zjednotenie a

doplnok relácií a inverzné relácie a sú znázornené na Obr. 2.13.

X

a a a a

γ γ γ γ

b b b b

δ δ δ δ

c c c c

a a a a

γ γ γ γ

b b b b

δ δ δ δ

c c c c

T-1

X Y S

X

Y T

X Y S

-1

X

Y

A B C D

E F G H

X X X Y Y Y Y ST ST

X

48

Obrázok 2.13. Diagramy A a B znázorňujú relácie a definované nad množinami a . Diagramy

C a D znázorňujú inverzné relácie a . Diagramy E a F znázorňujú prienik a zjednotenie relácií

a . Diagramy G a H znázorňujú doplnky relácií a .

Definícia. Nech a sú dve relácie: a

, potom reláciu

nazývame kompozíciou relácií a (zložená relácia) vtedy a len vtedy, keď pre jej

charakteristickú funkciu platí:

[2.28.]

Kompozícia relácií teda znamená, že dva prvky a tvoria usporiadanú

dvojicu práve vtedy, keď existuje taký „medzičlánok“ , pre ktorý platí

a , Obr. 2.14.

Obrázok 2.14. Znázornenie kompozície dvoch relácií .

Príklad. Majme tri množiny , a . Nad množinami sú

definované dve relácie a , ktoré majú tvar:

potom kompozícia týchto dvoch relácií je daná ako:

Grafická interpretácia týchto relácií je zobrazená na Obr. 2.15.

x ■ ■ z

■

■ y ■

■

■ ■

Y

X Z

[x, y]T

[x, z]R

[y, z]S

T

x1 ● S

● y1 y1 ● ● z1

x2 ●

● y2 y2 ● ● z2

x3 ●

A B

T S○T

x1 ● S x1 ●

● ● z1 ● z1

x2 ● y1 x2 ●

● ● z2 ● z2

x3 ● y2 x3 ●

C D

49

Obrázok 2.15. Diagramy A a B znázorňujú relácie a z predchádzajúceho príkladu. Kompozícia

je vytvorená spojením oboch relácií pomocou spoločných prvkov diagram C. Ak v diagrame C

existuje cesta z vrcholu do vrcholu cez ľubovoľný bod , potom graf reprezentujúci kompozíciu

(diagram D) obsahuje aj hranu z do .

Z Obr. 2.15. je zrejmé, že relácie , a majú diagramatickú interpretáciu pomocou

orientovaného grafu. Prvky množín a tvoria vrcholy (bodky) a usporiadané dvojice

a tvoria orientované hrany (šípky), ktoré sa začínajú a končia vo vrcholoch.

Relácie, ktoré sú definované ako podmnožina karteziánskeho súčinu môžeme

hodnotiť z hľadiska nižšie uvedených vlastností.

Definícia. Relácia sa nazýva:

- reflexívna práve vtedy, keď )

- symetrická práve vtedy, keď

- antisymetrická práve vtedy, keď

- tranzitívna práve vtedy, keď

Príklad. Nech je množina všetkých reálnych čísel a relácia je daná ako:

. Relácia spĺňa nasledovné vlastnosti:

- je reflexívna, pretože pre každé platí , teda ,

- nie je symetrická, pretože neplatí vzťah: pre ľubovoľné ,

- je antisymetrická, pretože platí: , pre ľubovoľné ,

- je tranzitívna, pretože: a .

2.5. Funkcie

Funkcie alebo zobrazenia predstavujú v matematike jednoznačný predpis, pomocou

ktorého každému prvku (argumentu) z množiny priradíme práve jeden prvok - funkčnú

hodnotu v bode z množiny : , Obr. 2.16. Výraz

predstavuje funkčný predpis alebo analytický tvar funkcie. Funkciu môžeme považovať za

reláciu , teda za množinu usporiadaných dvojíc: . Prvky a

sa nazývajú premenné: je nezávisle premenná a závisle premenná.

Obrázok 2.16. Schematické znázornenie zobrazenia : . Obor funkčných hodnôt je vo

všeobecnosti len podmnožinou .

f

● ●

50

Definícia. Relácia sa nazýva funkcia práve vtedy, keď pre každé existuje

práve jedno také, že :

[2.29.]

kde symbol znamená, že existuje práve jeden prvok. Množina sa nazýva obor definície

(alebo definičný obor) funkcie a množina sa volá obor hodnôt funkcie (Obr. 2.16.):

Pritom vo všeobecnosti nemusí byť totožné s . Ak platí ,

potom sa nazýva argument alebo vzor a sa nazýva funkčná hodnota alebo obraz (image)

argumentu .

Ak poznáme funkčný predpis reálnej funkcie (t. j. funkcie definovanej na

množine reálnych čísel ) a jej definičný obor nie je daný, potom za definičný obor

považujeme množinu takých reálnych čísel, pre ktoré vieme nájsť reálnu funkčnú hodnotu.

Nazývame ju prirodzený definičný obor.

Príklad. Nájdite prirodzený definičný obor funkcie: . Úlohu riešime

tak, že hľadáme také , pre ktoré a zároveň . Ľahko zistíme, že

Funkcia predstavuje špeciálny prípad relácie, ktorá vyhovuje podmienke jednoznačnosti

[2.29.], ktorú môžeme vyjadriť aj ako: . Teda funkcia

f priradí danému argumentu x len jednu jedinú konkrétnu hodnotu (jednoznačné

priradenie).

Definícia. Nech je reálna funkcia s definičným oborom . Grafom funkcie je množina

bodov Euklidovskej roviny:36

[2.30.]

Predpis reálnej funkcie (ďalej len funkcie) možno zadať viacerými spôsobmi: analyticky

(pomocou rovnice, funkčného predpisu), pomocou viacerých rovníc, grafom, tabuľkou alebo

algoritmom výpočtu.

36

Starogrécky matematik Euklides z Alexandrie (365-300 p.n.l.) položil základy rovinnej a priestorovej geometrie

a teórie čísiel. Spresnil deduktívne chápanie matematiky, založené na axiómach a postulátoch.

51

Obrázok 2.17. Grafy niektorých elementárnych funkcií:

a .

Množinu usporiadaných dvojíc teda znázorňujeme ako množinu bodov v rovine,

napríklad pomocou pravouhlej (karteziánskej)37

súradnicovej sústavy, t.j. dvoch na seba

kolmých číselných osí (vodorovnej osi a zvislej osi , ktoré sa pretínajú v počiatku).

Nezávisle premenná predstavuje prvú súradnicu bodu na osi a závisle premenná značí

druhú súradnicu na osi , pričom každému bodu roviny zodpovedá jediná usporiadaná dvojica

reálnych čísel a naopak, Obr. 2.18. Vzdialenosť dvoch bodov a je

v Euklidovskej rovine definovaná podľa Pytagorovej vety38

ako:

[2.31.]

Obrázok 2.18. Pravouhlý karteziánsky súradnicový systém, súradnice a vzdialenosť dvoch bodov

a v rovine.

37

Názov súradnicovej sústavy je odvodený z latinského mena Cartesius francúzskeho filozofa menom René

Descartes, ktorý ju začal používať v roku 1637 ako jeden z prvých matematikov. 38

Grécky filozof a matematik Pytagoras zo Samosu (570-495 p.n.l.) je známy najmä svojou vetou o vzťahu medzi

dĺžkami strán v pravouhlom trojuholníku.

52

Funkcia sa nazýva prostá alebo jedno-jednoznačná funkcia (injekcia), ak dvom rôznym

hodnotám argumentu priradí dve rôzne funkčné hodnoty:

. Pre jedno-jednoznačné funkcie je podmienka rôznosti argumentov ekvivalentná

rôznosti zodpovedajúcich funkčných hodnôt: .

Funkciu : nazývame bijekcia vtedy, keď pre každý prvok existuje v množine

taký prvok , že: , t.j.

[2.32.]

A B

Obrázok 2.19. A. Graf prostej funkcie. B. Graf funkcie, ktorá nie je prostá.

Definícia. Dve funkcie : a : a rovnajú práve vtedy, keď platí:

Narábanie s funkciami nám uľahčuje poznanie vlastností funkcií, ktoré sú spojené s grafickou

interpretáciou reálnej funkcie v karteziánskom súradnicovom systéme.

Definícia.

Funkcia sa nazýva párna, ak:

-

-

Funkcia f sa nazýva nepárna, ak:

-

-

Funkcia f sa nazýva periodická, ak:

-

-

Funkcia sa nazýva rastúca na množine , ak:

-

Funkcia sa nazýva klesajúca na množine , ak:

-

53

Funkcia sa nazýva nerastúca na množine , ak:

-

Funkcia sa nazýva neklesajúca na množine , ak:

-

Funkcia f sa nazýva zdola (zhora) ohraničená, ak:

-

Funkcie rastúce alebo klesajúce na celom sa nazývajú rýdzo monotónne. Funkcia je

ohraničená, ak je súčasne ohraničená zdola aj zhora. Ak existuje najmenšie horné (najväčšie

dolné) ohraničenie funkcie, nazývame ho suprémum (infimum) funkcie. Ak je suprémum

(infimum) funkčnou hodnotou v nejakom bode , potom ho nazývame maximum

(minimum) funkcie.

Príklad. Ukážte, že funkcia je rastúca na intervale

Ak potom aj

a teda aj , čiže je rastúca.

Príklad. Zistite, či funkcia je párna.

Pre každé platí: , teda , preto je párna.

Príklad. Zistite, či funkcia

je párna.

, platí:

, preto funkcia je nepárna.

Príklad. Určte, či funkcia je periodická a nájdite periódu .

Hľadáme také číslo , aby pre každé platilo: . Vieme, že funkcia

kosínus je periodická s periódou , teda platí: , z

čoho dostávame:

alebo .

Príklad. Zistite, či funkcia je ohraničená.

Platí:

, je zdola ohraničená, má infimum , ale nemá minimum.

je aj zhora ohraničená, má supremum , ale nemá maximum, Obr. 2.20.

54

Obrázok 2.20. Grafy funkcií ,

a .

Podobne ako sme v predchádzajúcich častiach opísali kompozíciu dvoch relácií , môžeme

vytvoriť kompozíciu dvoch funkcií : a : novú funkciu (zložená funkcia)

: .

Definícia. Kompozíciou funkcií : a : vznikne zložená funkcia :

práve vtedy, keď:

[2.33.]

Funkciu nazývame vnútorná zložka a funkciu voláme vonkajšia zložka zloženej funkcie .

Obrázok 2.21. Znázornenie kompozície dvoch funkcií . Zložená funkcia existuje len

vtedy, ak prienik oboru funkčných hodnôt prvej funkcie a definičného oboru druhej funkcie nie je

rovný prázdnej množine.

Zloženú funkciu zostrojíme tak, že budeme aplikovať vonkajšiu funkciu na obraz

(výsledok) vnútornej funkcie . Vypočítame teda najprv obraz vnútornej funkcie:

a tento potom použijeme ako argument pre vonkajšiu funkciu:

Príklad. Majme dve reálne funkcie, prvá : má analytický tvar , definičný

obor R a obor hodnôt množinu nezáporných čísel . Druhá funkcia

: má tvar , a . Kompozíciu funkcií

x ■ ■ z

■

y

55

na definičnom obore dostaneme postupným aplikovaním

funkčných predpisov vonkajšej funkcie na výsledok vnútornej funkcie ako

.

Obrázok 2.22. Graf funkcie , a zloženej funkcie .

Inverzná funkcia je podobne ako inverzná relácia určená výmenou (inverziou) poradia

prvkov usporiadaných dvojíc, rovnica [2.24.]. Aj inverzná funkcia musí spĺňať

podmienku jednoznačnosti ([2.24.]), preto inverzná funkcia môže existovať len pre jedno-

jednoznačnú funkciu .

Definícia. Nech existuje prostá funkcia : ([2.32.]), potom hovoríme, že funkcia :

je inverzná funkcia k funkcii práve vtedy, keď spĺňa podmienku:

[2.34.]

Je zrejmé, že ak funkcia je inverzná k prostej funkcii , potom inverzná funkcia k je

pôvodná funkcia: . Inverznú funkciu skonštruujeme tak, ako u inverzných relácií,

zámenou poradia prvej a druhej súradnice usporiadaných dvojíc alebo závisle a nezávisle

premennej: , teda: Úpravou tejto rovnosti dostaneme

vzťah pre inverznú funkciu v obvyklom tvare , kde reprezentuje .

Príklad. Nájdite funkciu inverznú k funkcii . Lineárna funkcia má definičný

obor (t. j. všetky reálne čísla) a obor hodnôt . Funkcia

monotónne rastie a je prostá. Preto bude k funkcii existovať inverzná funkcia , ktorú

nájdeme nasledovným postupom:

:

.:

úpravou poslednej rovnice dostaneme inverznú funkciu v tvare (Obr. 2.23.A):

56

Príklad. Nájdite funkciu inverznú k funkcii

39 Funkcia má definičný obor

a obor hodnôt , monotónne rastie a je prostá. Preto bude k

funkcii existovať inverzná funkcia na intervale , ktorú nájdeme takto:

:

:

úpravou druhej rovnice dostaneme inverznú funkciu v tvare (Obr. 2.23.B):

A B

Obrázok 2.23. A. Graf funkcie a inverznej funkcie

. B. Graf funkcie

a inverznej funkcie

. Všimnime si na grafe dvoch inverzných funkcií,

že prechádzajú bodmi so súradnicami a pre ktoré platí a a

ktoré sú navzájom symetrické podľa osi .

2.6. Základné reálne funkcie

2.6.1. Polynóm

Polynómom alebo mnohočlenom nazývame reálnu funkciu tvaru:

kde koeficienty (čísla) [2.35.]

Definičným oborom polynómu je množina reálnych čísel. Ak , potom číslo nazývame

stupňom polynómu. Číslo budeme nazývať koreňom polynómu , ak (v bode

alebo graf funkcie pretína x-ovú os) a ak existuje taký polynóm , že

platí:

kde N [2.36.]

39

Definícia exponenciálnej funkcie: a logaritmickej funkcie: sa nachádza v odseku 2.6.3.

57

a zároveň nie je koreňom polynómu , t.j. . Ak , predstavuje jednoduchý

koreň, ak , potom je k-násobným koreňom . Polynóm prvého stupňa:

nazývame koreňovým činiteľom. Pre jednoduchosť budeme predpokladať, že korene sú

reálne čísla, vo všeobecnosti však platí, že korene polynómu môžu byť aj komplexné čísla (

C ).40

Medzi polynómami sú definované operácie sčítania a násobenia tak, že pre každé

platí: a , pričom sčítanie

uskutočníme tak, že sčítame koeficienty pri rovnakých mocninách premennej a násobenie

vykonáme tak, že vynásobíme každý člen polynómu s každým členom polynómu (rovnako

ako pri násobení mnohočlenov). Výsledkom sčítania (rozdielu) alebo násobenia polynómov je

opäť polynóm.

Dva polynómy a :

a

stupňa a sa navzájom rovnajú, ak: , ,

, ..., , t.j. sú rovnakého stupňa a navzájom sa rovnajú koeficienty pri

odpovedajúcich mocninách premennej .

Definícia. Nech je prirodzené číslo. Rovnicu s neznámou tvaru:

[2.37.]

kde sú reálne (alebo komplexné) čísla a , nazývame algebraickou

rovnicou n-tého stupňa.

Veta. Základná veta algebry hovorí, že polynóm stupňa (algebraická rovnica n-tého

stupňa) má práve koreňov (pričom k-násobný koreň počítame k-krát).

Pripomíname, že koreňom reálneho polynómu sú reálne, ale aj komplexné čísla (napr. koreň

polynómu druhého stupňa: ).

Ak sú navzájom odlišné reálne korene polynómu s nepárnou

násobnosťou, potom v každom z intervalov , , ..., bude polynóm

nadobúdať len kladné alebo záporné hodnoty, pričom v dvoch susedných intervaloch

bude nadobúdať opačné znamienko (Obr. 2.24.).

40

Komplexné čísla definoval nemecký matematik a fyzik Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ako

zovšeobecnenie reálnych čísel, ktoré zobrazujeme ako body na číselnej osi. Komplexné čísla definoval ako body

Gaussovej roviny, keď komplexnému číslu priradil reálnu zložku (a - priemet do osi x) a imaginárnu

zložku (bi - priemet do osi y). Reálne čísla tvoria podmnožinu komplexných čísel ( ). Komplexné čísla

presahujú rámec osnov predmetu Matematika pre farmaceutov.

58

Obrázok 2.24. Graf polynómu: a

znamienka.

Veta. Nech algebraická rovnica má práve rôznych koreňov tak, že je k1-

násobný koreň, je k2-násobný koreň, ..., je kr-násobný koreň. Potom:

a algebraickú rovnicu možno napísať v tvare:

[2.38.]

V praxi sa stretávame s algebraickými rovnicami, ktoré majú reálne koeficienty a pre

ktoré hľadáme reálne korene. Avšak korene takýchto rovníc sú často iracionálne čísla, ktoré

môžeme nájsť len s istou presnosťou metódami, ktoré patria do oblasti numerickej matematiky.

Pri riešení jednoduchších algebraických rovníc s celočíselnými koeficientmi nám môže pomôcť

nasledovná veta.

Veta. Ak algebraická rovnica s celočíselnými koeficientmi:

[2.39.]

kde Z (sú celé čísla), má racionálny koreň

, kde a sú celé

nesúdeliteľné čísla, potom koeficient je deliteľný číslom a koeficient je deliteľný

číslom .

Príkladom najjednoduchších polynómov sú lineárna a kvadratická funkcia, ktoré sú dané

predpismi: a . Zo strednej školy vieme, že rovnica priamky

(lineárna funkcia41

), ktorá prechádza bodom roviny so súradnicami a má danú smernicu

, je: . Smernica priamky, ktorá spája dva rôzne body so súradnicami

a má tvar:

. Rovnako si pamätáme, že korene kvadratickej rovnice:

, kde vypočítame podľa vzorca:

kde diskriminant: [2.40.]

41

Výraz lineárna rovnica znamená, že neznáme v tejto rovnici vystupujú v tvare súčtu alebo rozdielu, prípadne sú

násobené reálnymi koeficientmi. Nevystupujú v tvare súčinu, podielu alebo v mocninách s exponentom .

59

Kvadratická rovnica má dva reálne korene, ak , jeden dvojnásobný koreň ak a

nemá žiadny reálny koreň ak .

Príklad. Nájdite rovnicu priamky, ktorá má smernicu rovnú a prechádza bodom so

súradnicami .

Rovnica bude mať tvar: , teda: .

Príklad. Nájdite rovnicu priamky, ktorá prechádza bodmi: a .

Rovnica bude mať všeobecný tvar:

, v našom prípade:

, po úprave:

.

Príklad. Nakreslite graf kvadratickej funkcie:

.

Základné charakteristiky paraboly vyjadrenej všeobecnou kvadratickou funkciou:

nájdeme doplnením kvadratického trojčlena na úplný štvorec:

Toto je rovnica paraboly (krivky, ktorej body majú rovnakú vzdialenosť od daného bodu -

ohniska a od riadiacej priamky), ktorá má zvislú os symetrie, roztvára sa dohora (

),

má vrchol v bode

, ohniskovú vzdialenosť

, ohnisko v bode

a riadiacu priamku

. Grafom

funkcie:

bude teda parabola znázornená na Obr. 2.25.

Obrázok 2.25. Graf paraboly:

, so znázornením polohy vrcholu, ohniska a

riadiacej priamky.

Príklad. Nájdite reálne korene polynómu: .

Výraz môžeme rozložiť pomocou nasledujúcich vzorcov:

riadiaca priamka

ohnisko

vrchol

60

takto:

Pretože obidva kvadratické trojčleny majú záporné diskriminanty ( ), jedinými reálnymi

koreňmi budú čísla a .

Príklad. Nájdite reálne korene algebraickej rovnice .

Korene algebraickej rovnice s celočíselnými koeficientmi hľadáme v tvare podielu dvoch

celých čísel , kde je deliteľom čísla ( ) a je deliteľom čísla ( ). Rovnica bude

mať najviac rôzne korene (polynóm 4. stupňa). Teda:

, a

Korene budeme hľadať delením polynómu koreňovými činiteľmi

pomocou Hornerovej

schémy. Polynóm

delíme výrazom tak, že

koeficienty polynómu stupňa o jednotku nižšieho:

dostaneme podľa

nasledovnej schémy:

Začneme teda od najjednoduchších hodnôt a delíme polynóm 4. stupňa postupne možnými

koreňmi v tvare

až kým nenájdeme 4 korene (stupeň nášho polynómu sa rovná 4):

Pre všetky 4 testované hodnoty koreňov

sme dostali v Hornerovej schéme nulový zvyšok

(posledný stĺpec vpravo), preto platí:

2.6.2. Racionálna lomená funkcia

Majme dva polynómy a stupňa a , kde , potom funkcia:

...

...

kde: , , , ... ,

Číslo je zvyšok delenia. Ak , potom je koreňom Polynómu .

61

[2.41.]

sa nazýva racionálnou lomenou funkciou. Ak platí, že (t.j. stupeň polynómu je nižší

ako stupeň polynómu ), potom nazývame rýdzo racionálnou funkciou. Definičným

oborom rýdzo racionálnej funkcie je množina všetkých reálnych čísel, okrem koreňov

polynómu : . Ak nie je rýdzo racionálnou funkciou, potom

delením polynómu polynómom dostaneme súčet polynómu a racionálnej funkcie, napr.:

Znamienko racionálnej funkcie určíme pomocou intervalov s hranicami určenými koreňmi

polynómov a čitateľa a menovateľa. Nech sú navzájom rôzne

reálne korene polynómov a s nepárnou násobnosťou, potom v každom z intervalov

bude polynóm nadobúdať len kladné alebo záporné

hodnoty, pričom v dvoch susedných intervaloch bude nadobúdať opačné znamienko (krivka v

okolí reálneho koreňa s párnou násobnosťou nepretína x-ovú os a teda nemení znamienko).

Príklad. Určte znamienko racionálnej lomenej funkcie:

Čitateľ aj menovateľ sú len čiastočne rozložené na súčin koreňových činiteľov, preto najprv

dokončíme rozklad:

Po rozložení a vykrátení má racionálna lomená funkcia tvar:

Reálne korene čitateľa a menovateľa s nepárnou násobnosťou sú: a a s párnou

násobnosťou: . Rozdeľme definičný obor podľa nepárne-násobných koreňov. Určíme

znamienko v bode dosadením:

. Znamienka v okolitých

intervaloch sa budú pravidelne striedať, Obr. 2.26.

interval

Znamienko

62

Obrázok 2.26. Graf racionálnej lomenej funkcie:

a jej znamienka.

Príklad. Nakreslite graf racionálnej lomenej funkcie:

.

Funkcia predstavuje najjednoduchší tvar racionálnej lomenej funkcie, ktorej grafom je

hyperbola, t.j. krivka, ktorej body spĺňajú nasledovnú podmienku: rozdiel ich vzdialeností od

ohnísk hyperboly je rovný ohniskovej vzdialenosti krát (Obr. 2.27.A). Rovnoosá hyperbola

so stredom v bode má rovnicu: . Preto najprv upravíme našu

funkciu na tento tvar:

Grafom funkcie

je teda rovnoosá hyperbola so stredom v bode , Obr. 2.27.B.

A

B

Obrázok 2.27. A. Rovnoosá hyperbola: ohniská a sú vzdialené od stredu ,

umiestnenom v počiatku súradnicovej sústavy, o ohniskovú vzdialenosť . Hyperbola leží v I. a

III. kvadrante a má dve na seba kolmé osi symetrie. Priesečníky hyperboly s osou sa nazývajú vrcholy.

Pre každý bod hyperboly platí, rozdiel vzdialeností: . B. Graf funkcie:

. Osi symetrie hyperboly (vyznačené čiarkovane) sa pretínajú v strede . Asymptoty hyperboly

+

+

+

+

63

(priamky prechádzajúce stredom, ku ktorým sa krivky limitne približujú) sú priamky: a

(vyznačené bodkovane).

Každú rýdzo racionálnu lomenú funkciu možno napísať v tvare súčtu najjednoduchších

rýdzo racionálnych funkcií, ktoré nazývame parciálne zlomky. Poznáme štyri základné typy

parciálnych zlomkov:

typ 1:

kde a

typ 2:

kde , a [2.42.]

typ 3:

kde , a

typ 4:

kde , , a

Veta. Každú rýdzo racionálnu lomenú funkciu možno vyjadriť ako súčet konečného počtu

parciálnych zlomkov.

Táto veta neuvádza spôsob, ako máme pritom postupovať a postup nie je vždy

jednoduchý. Na druhej strane vieme už, že polynóm v menovateli rýdzo racionálnej

funkcie

možno napísať v tvare súčinu koreňových činiteľov:

kde všetky polynómy 2. stupňa majú záporný diskriminant (t.j. komplexné korene), ,

. Dá sa dokázať, že rýdzo racionálnu lomenú funkciu

možno vyjadriť v tvare:

[2.43.]

Príslušné konštanty v čitateľoch parciálnych zlomkov vypočítame tak, že rovnosť:

vynásobíme menovateľom a porovnáme koeficienty pri rovnakých mocninách

premennej . Dostaneme sústavu lineárnych rovníc s neznámymi42

, riešením ktorých sú

hľadané konštanty.

Význam a použitie parciálnych zlomkov si ukážeme v kapitolách integrálneho počtu.

Príklad. Rozložte na parciálne zlomky rýdzo racionálnu funkciu:

.

Uvedená funkcia sama nepredstavuje parciálny zlomok, pretože polynóm v menovateli má

kladný diskriminant: pre každé a platí:

42

Sústavy lineárnych rovníc sa preberajú v nasledujúcich kapitolách.

64

Vynásobením spoločným menovateľom dostaneme:

Porovnaním príslušných koeficientov dostaneme 2 rovnice o 2 neznámych a :

a

Ich riešením dostaneme: a . Teda našu racionálnu funkciu môžeme rozdeliť na

súčet dvoch jednoduchých parciálnych zlomkov:

Príklad. Rozložte na parciálne zlomky rýdzo racionálnu funkciu:

.

Riešenie očakávame v tvare:

. Z toho po vynásobení celej

rovnice najmenším spoločným menovateľom:

Roznásobením a porovnaním koeficientov dostaneme: a preto

pre každé platí:

2.6.3. Exponenciálna a logaritmická funkcia

Medzi základné reálne funkcie, s ktorými sa často stretávame v laboratórnej praxi, patria

exponenciálna a logaritmická funkcia. Exponenciálna funkcia má tvar: , kde základ

je kladné reálne číslo a nezávisle premenná (neznáma) sa nachádza v exponente.

V prípade, že dostaneme lineárnu funkciu . Definičný obor exponenciálnej

funkcie je množina reálnych čísel a obor hodnôt množina kladných reálnych čísel

(značíme aj ako ). Exponenciálna funkcia je rastúca pre základ a klesajúca pre

, Obr. 2.28.

65

Obrázok 2.28. Grafy exponenciálnych a logaritmických funkcií s rôznym základom.

Uvažujme funkciu . Hodnotu nezávisle premennej vieme spamäti vypočítať len pre

(malé) celé čísla. Napríklad pre kladné platí: . Ak je

záporné celé číslo, napríklad , potom:

. Ak je

racionálne číslo

vieme, že platí:

, napríklad:

.43

Je vhodné si uvedomiť, že nevieme čomu sa rovná funkčná hodnota pre iracionálny

exponent, napríklad: .44

Ako uvidíme neskôr, aj hodnotu vieme vypočítať

(s ľubovoľnou presnosťou) pomocou rozvoja funkcie do mocninového radu.

Inverzná funkcia k exponenciálnej funkcii je logaritmická funkcia: .

Logaritmus platí práve vtedy, keď , pre , t.j. logaritmus čísla je

taký exponent (kde ), ktorým treba umocniť základ , aby sme dostali

logaritmované číslo (všimnime si, že platí: a ). Definičný obor tejto

funkcie a obor hodnôt . Logaritmická funkcia je rastúca pre základ

a klesajúca pre (Obr. 2.28.). Funkciu so základom , ,

nazývame dekadický logaritmus a funkciu so základom (Eulerovo číslo)45

, nazývame prirodzený logaritmus. Použitím výrazu [2.34.] dostaneme užitočné vzťahy pre

:

a [2.44.]

43

Symbol znamená približne sa rovná. 44

je Ludolfovo číslo (iracionálne číslo, ktoré nemožno vyjadriť v tvare ), matematická konštanta

definovaná ako pomer obvodu a priemeru kruhu: . Táto konštanta

dostala názov Ludolfovo číslo podľa nemecko-holandského matematika Ludolpha van Ceulena (1540-1610), ktorý

ako jeden z prvých určil jej hodnotu pomocou Archimedovho postupu s presnosťou na 35 desatinných miest. 45

Leonhard Euler (1707-1783) bol významný matematik švajčiarskeho pôvodu. Eulerovo číslo predstavuje

dôležitú matematickú konštantu, základ prirodzených logaritmov ( ), ktorá je definovaná ako

limita postupnosti pre prirodzené číslo neobmedzene rastúce do nekonečna .

66

Tieto vlastnosti vyplývajú z poznatku, že zložená funkcia, vytvorená z dvoch navzájom

inverzných funkcií je rovná identickej funkcii: .

Pre logaritmickú funkciu a , platia nasledovné rovnosti:

[2.45.]

Vzťahy [2.36.] sa dajú ľahko dokázať nasledovnou úvahou, ktorá využíva vzťahy [2.45.],

napr.:

a

Príklad. Nájdite inverznú funkciu k funkcii f: .

Inverznú funkciu hľadáme tak, že zameníme premenné a vo funkčnom predpise

a snažíme sa nanovo vyjadriť ako funkciu premennej . V našom prípade dostaneme:

čo je hľadaná inverzná funkcia .

Nájdite inverznú funkciu k funkcii :

Postupujeme podobne ako v predchádzajúcom príklade:

–

Príklad. Vyriešte logaritmickú rovnicu:

Riešenie: 3

67

Príklad. Vyriešte logaritmickú rovnicu:

Riešenie:

Príklad. Vyriešte exponenciálnu rovnicu:

Riešenie:

Príklad. Vyriešte exponenciálnu rovnicu:

Riešenie:

(pretože: )

Príklad. Vyriešte exponenciálnu rovnicu:

Riešenie:

2.6.4. Goniometrické a cyklometrické funkcie

Majme jednotkovú kružnicu (kružnica so stredom v počiatku súradnicovej sústavy s

polomerom rovným 1) a číselnú os reálnych čísel ( ), Obr. 2.29. Nech je koncový bod

oblúka na jednotkovej kružnici, ktorého začiatok je v bode a dĺžka je rovná Oblúk je

68

orientovaný od bodu k bodu proti smeru pohybu hodinových ručičiek pre (môže

byť orientovaný aj v smere pohybu hodinových ručičiek pre ). Potom prvá súradnica

bodu na jednotkovej kružnici definuje goniometrickú funkciu kosínus ( ) a druhá

súradnica definuje funkciu ( ) ( ). Pomery týchto súradníc určujú ďalšie

goniometrické funkcie: tangens

a kotangens

.

Obrázok 2.29. Jednotková kružnica, číselná os reálnych čísel a definícia goniometrických funkcií.

Číselnú os priložíme sprava k jednotkovej kružnici a „namotávame“ v smere šípok. Všetkým reálnym

číslam tak priradíme uhol v oblúkovej miere (radián)46

z intervalu čo vedie k definícii

periodických reálnych funkcií - goniometrických funkcií. Ľubovoľné body , na číselnej

osi navzájom vzdialené o celočíselný násobok obvodu kružnice ( ) sa namotávaním premietnu do toho

istého bodu na kružnici tak, že ich súradnice budú: ).

Goniometrické (trigonometrické) funkcie sú periodické (nie sú prosté), funkcie sin a cos

majú periódu rovnú (napr. funkcie a majú periódu (napr.

Funkcie , a sú nepárne (napr. funkcia je

párna ( , Obr. 2.30. a Obr. 2.31.

46

Radián je definovaný ako rovinný uhol s vrcholom v strede kružnice, ktorý vytína na obvode tejto kružnice

oblúk dĺžky rovnajúcej sa jej polomeru (jednotka [rad]). Keďže obvod jednotkovej kružnice (s polomerom ) má

dĺžku uhol, ktorý jeden-krát "obtáča" celú kružnicu (360), je rovný práve radiánov. Na prevod uhla

udávaného v stupňoch na uhol v radiánoch, a naopak, slúžia nasledovné jednoduché konverzné vzťahy:

a

, kde .

1

0

sin x

y

x

cotg x

tg x

P

cos x

x

●

1

-1

-1

číselná os

+ ●

69

Obrázok 2.30. Grafy funkcií sínus a kosínus.

Obrázok 2.31. Grafy funkcií tangens a kotangens.

Základné hodnoty goniometrických funkcií sú uvedené v nasledujúcej tabuľke.

Tabuľka 2.3. Základné hodnoty funkcií sínus a kosínus.

Medzi jednotlivými goniometrickými funkciami platia nasledovné vzťahy:

-

x

y

70

Ku goniometrickým funkciám existujú inverzné funkcie (tzv. cyklometrické funkcie) vo

vybraných intervaloch, v ktorých sú goniometrické funkcie rýdzo monotónne (prosté). Tieto

intervaly boli zvolené tak, aby zahŕňali 1. kvadrant

Tabuľka 2.4. Intervaly, na ktorých sú definované cyklometrické funkcie k trigonometrickým

funkciám.

funkcia inverzná funkcia symbol47

arkusínus 48

arkuskosínus 0,

arkustangens

arkuskotangens

Grafy cyklometrických funkcií sú znázornené na Obr. 2.32. a Obr. 2.33. Funkcie a

sú rastúce a funkcie a sú klesajúce. Funkcie a sú nepárne.

Obrázok 2.32. Grafy funkcií arkussínus a arkuskosínus.

47

Predpona arc je skratkou slova arcus, ktoré znamená oblúk. 48

V literatúre sa niekedy používa namiesto aj trochu zavádzajúce označenie . Podobný spôsob

označenia sa používa aj pre ostatné cyklometrické funkcie.

71

Obrázok 2.33. Grafy funkcií arkustangens a arkuskotangens.

Medzi jednotlivými cyklometrickými funkciami platia nasledovné jednoduché vzťahy:

Medzi goniometrickými a cyklometrickými funkciami platia tieto jednoduché vzťahy:

Vybrané hodnoty cyklometrických funkcií sú uvedené v Tab. 2.5.

Tabuľka 2.5. Vybrané hodnoty cyklometrických funkcií.

funkcia

72

Príklad. Vyriešte rovnicu: .

Pri riešení použijeme nasledovné vzťahy: a a

Obr. 2.30.

,

Výsledok:

Príklad. Vyriešte rovnicu: .

Pri riešení použijeme vzťah:

substitúcia:

Výsledok:

a)

b)

Príklad. Vyriešte rovnicu: .

a preto a , čo je splnené pre

Pri riešení použijeme vzťah:

73

Výsledok:

a) nemá riešenie

b)

riešenie:

74

Cvičenia 2.

2.1. Ktoré prvky patria do množiny M:

a) , kde je množina reálnych čísel.

b) kde je množina prirodzených čísel.

c) , kde je množina reálnych čísel.

2.2. Nech , , , . Zistite, ktoré

množiny sú podmnožinami iných množín.

2.3. Určte mohutnosť týchto množín:

a)

b)

c)

2.4. Určte, ktorá z nižšie uvedených množín je potenčná množina množiny a aké má

členy:

a)

b)

c)

d)

2.5. Nech je množina študentov FaF UK, ktorí chodili na gymnázium a je množina

študentov FaF UK, ktorí sú z Trenčianskeho kraja. Charakterizujte študentov, ktorí patria do

množiny:

a)

b)

c)

d)

e)

2.6. Dokážte, že pre množiny a platí:

a)

b)

2.7. Nech množina a . Nájdite karteziánsky súčin .

2.8. Majme tri množiny a . Nad množinami sú

definované dve relácie a , ktoré majú tvar: a

Nájdite kompozíciu týchto dvoch relácií .

2.9. Nájdite prirodzený definičný obor funkcie

.

75

2.10. Zistite, či funkcia

je párna alebo nepárna.

2.11. Určte, či funkcia je periodická a nájdite jej periódu .

2.12. Nájdite inverzné funkcie k funkciám:

a .

2.13. Nájdite zloženú funkciu , ktorá vznikne kompozíciou reálnych funkcií a , keď

a .

2.14. Nájdite rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom so súradnicami a s osou

zviera uhol

2.15. Nájdite reálne korene algebraickej rovnice: .

2.16. Rozložte racionálnu lomenú funkciu na parciálne zlomky:

.

2.17. Vyriešte logaritmickú rovnicu: kde .

2.18. Vyriešte goniometrickú rovnicu:

.

76

Riešenia 2.

2.1. a)

b)

c)

2.2. , ,

2.3. a)

b)

c)

2.4. ,

2.5. a) množina študentov, ktorí chodili na gymnázium, alebo sú z Trenčianskeho kraja

b) množina študentov, ktorí chodili na gymnázium, a zároveň sú z Trenčianskeho kraja

c) množina študentov, ktorí chodili na gymnázium, ale nie sú z Trenčianskeho kraja

d) množina študentov, ktorí sú z Trenčianskeho kraja, ale nechodili na gymnázium

e) prázdna množina

2.6. Dôkaz:

a)

b)

2.7. Karteziánsky súčin:

2.8. Kompozícia relácií a má tvar:

2.9. Definičný obor funkcie

, nájdeme ako interval , pre ktorý sú

definované aritmetické operácie delenie a druhá odmocnina: a zároveň .

Ľahko zistíme, že

1. predpoklad

2. dôsledok 1

3. deaktivácia predpokladu

1. predpoklad

2. dôsledok 1

3. dôsledok 2

4. deaktivácia predpokladu

77

2.10. Funkcia

, nie je párna ani nepárna, pretože:

2.11. Hľadáme také číslo , aby pre každé funkcie platilo:

. Vieme, že funkcia sínus je periodická s periódou , teda platí:

z čoho dostávame: alebo

.

Obrázok 2.34. Grafy funkcie

2.12. Postup hľadania inverznej funkcie spočíva v zámene závisle a nezávisle premennej a

vyjadrení Teda:

potom

alebo

potom

2.13. Definičný obor funkcie je a . Druhá funkcia

má a . Kompozíciu funkcií na definičnom obore

nájdeme tak, že budeme hľadať funkciu , ktorá vznikne spojením

vonkajšej funkcie a vnútornej funkcie ako:

2.14. Rovnica priamky so smernicou ktorá prechádza bodom so súradnicami bude

mať tvar: – – , v našom prípade: . Keďže

, po úprave dostaneme rovnicu: .

2.15. Riešenie algebraickej rovnice: nájdeme pomocou série

nasledovných úprav:

78

Táto rovnica je splnená, ak sa ktorýkoľvek z jej členov rovná nule:

2.16. Racionálna funkcia:

nie je rýdzo racionálna, preto vydelíme

čitateľa menovateľom:

Výsledná funkcia je súčtom polynómu 2. stupňa a rýdzo racionálnej lomenej funkcie, ktorú už

môžeme rozložiť na parciálne zlomky. Rozklad hľadáme v tvare:

odkiaľ:

Porovnaním koeficientov pri rovnakých mocninách x dostaneme:

a

Z týchto 2 rovníc dostaneme riešenie: a

Teda:

2.17. Logaritmickú rovnicu najprv prevedieme na exponenciálnu:

substitúcia:

Riešenie:

2.18. Riešenie goniometrickej rovnice:

hľadáme úpravami na jednoduchší tvar:

79

/∙cos x

substitúcia:

Riešenie:

a

80

3. Lineárna algebra

3.1. Vektory

Pri štúdiu prírodných vied sa stretávame jednak s fyzikálnymi veličinami, ktoré sú úplne

určené jediným číselným údajom (tzv. skalárne veličiny, ako napr. teplota, tlak, hustota, ...) a

tiež s veličinami, ktoré sú plne určené až viacerými číselnými údajmi. Napríklad veličiny ako

sila, rýchlosť alebo dipólový moment a pod., na svoje presné určenie potrebujú definovať

veľkosť a smer. Veličiny, ktoré sú jednoznačne určené skupinou n čísel (usporiadanou n-ticou)

s definovaným počtom a poradím údajov nazývame vektorové veličiny (n-rozmerné vektory).

Údaje (čísla) v tejto skupine (n-tici) nazývame súradnicami vektora, ich počet určuje rozmer

vektora.

Definícia. Usporiadanú n-ticu reálnych čísel nazývame n-rozmerným

vektorom (skrátene vektorom). Čísla nazývame súradnice vektora. Množinu takýchto

vektorov s reálnymi súradnicami budeme značiť .

Z vyššie uvedenej definície vektora vyplýva, že vektory a

sa rovnajú práve vtedy, keď majú rovnaký rozmer (n) a pre ich súradnice platí:

.

Dvojrozmerné alebo trojrozmerné vektory (dané usporiadanou dvojicou alebo trojicou)

môžeme geometricky reprezentovať v Euklidovom priestore49

ako množinu všetkých

rovnobežných, rovnako dlhých a rovnako orientovaných úsečiek (úsečku, na ktorej je

vyznačený začiatočný a koncový bod), ktoré predstavujú rôzne umiestnenia toho istého vektora

(Obr. 3.1.). Súradnice vektora sú súradnice jeho koncového bodu v takom umiestnení vektora,

keď začiatočný bod je zhodný s počiatkom súradnicovej sústavy.

49

Starogrécky matematik Euklides z Alexandrie (približne 365-300 p.n.l.) položil základy geometrie v rovine

a v trojrozmernom priestore, ktoré boli dôsledne sformulované pomocou axióm a postulátov. Euklidov metrický

priestor pozostáva z bodov (usporiadaných trojíc) a ich podmnožín (útvarov ako sú body, priamky a roviny),

pre ktoré platia pravidlá pre výpočet vzdialeností, uhlov zvieraných priamkami a rovinami, a pod., definované

pomocou piatich axióm. Euklidova geometria a Euklidov priestor opisujú vlastnosti trojrozmerného priestoru,

ktoré poznáme z našej každodennej skúsenosti.

81

Obrázok 3.1. Tri umiestnenia vektora so súradnicami . Je dobré si uvedomiť, že tri

zobrazené orientované úsečky, ktoré majú zhodnú dĺžku, smer aj orientáciu, predstavujú tri rôzne

umiestnenia toho istého vektora.

Vektor, ktorý je umiestnený tak, že jeho začiatok leží v bode a koniec v

bode bude mať súradnice . Dĺžka vektora

sa počíta ako vzdialenosť koncového a počiatočného bodu vektora [2.31.]:

[3.1.]

Polohovým vektorom bodu rozumieme vektor , kde bod

predstavuje počiatok súradnicovej sústavy. Vo fyzike predstavuje polohový vektor (alebo

rádiusvektor) spojnicu počiatku súradnicovej sústavy a hmotného bodu (s orientáciou

smerujúcou od počiatku ku hmotnému bodu), je to vektor viazaný na nemennú polohu

počiatku. Polohový vektor slúži na popis polohy hmotného bodu (prípadne telesa), pretože

pohyb hmotného bodu (trajektóriu pohybu) môžeme popísať ako zmenu polohového vektora v

čase.

Jednotkový vektor je každý vektor, ktorého dĺžka je rovná 1. Pre 3-rozmerné vektory v 3-

rozmernom priestore jednotkový vektor orientovaný v kladnom smere osi x označujeme

, jednotkový vektor orientovaný v kladnom smere osi y označujeme a

jednotkový vektor orientovaný v kladnom smere osi z označujeme , Obr. 3.2. a

3.3.

Definícia. Súčtom vektorov a (rovnakého rozmeru) nazývame

vektor (Obr. 3.2):

.

Násobkom vektora reálnym číslom k nazývame vektor:

Obrázok 3.2. Grafické znázornenie sčítania vektorov pomocou uhlopriečky rovnobežníka so

stranami tvorenými vektormi a : . Uhol, ktorý zvierajú vektory

a označíme .

x

82

Poznámka. Nulovým n-rozmerným vektorom nazývame vektor: a vektorom

opačným k vektoru nazývame vektor: . Z

predchádzajúcej definície je zrejmé, že sčítanie vektorov je komutatívne, t.j. pre všetky R

n platí: a zároveň asociatívne, t.j. pre :

. Pomocou operácií sčítania vektorov a násobenia vektora číslom môžeme tiež definovať

rozdiel vektorov rovnakého rozmeru:

. Je zrejmé, že bude tiež platiť: a .

Príklad. Nech vektor a . Vypočítajte vektor .

Definícia. Nech sú n-rozmerné vektory a čísla sú reálne čísla,

potom vektor:

[3.2.]

nazývame lineárnou kombináciou vektorov a čísla nazývame

koeficientmi lineárnej kombinácie.

Ak pre koeficienty platí: , potom takúto lineárnu kombináciu

nazývame triviálnou. Ak aspoň jeden z koeficientov je rôzny od nuly, potom sa jedná

o netriviálnu lineárnu kombináciu. Výsledkom triviálnej lineárnej kombinácie ľubovoľných

vektorov je nulový vektor . Na druhej strane nulový vektor môže byť

výsledkom aj netriviálnej lineárnej kombinácie vektorov, napríklad, ak

potom,

.

Definícia. Vektory sa nazývajú lineárne závislými vektormi, ak aspoň jeden

z nich je lineárnou kombináciou ostatných vektorov. V opačnom prípade sa nazývajú lineárne

nezávislé.

Dva (nenulové) vektory sú lineárne závislé práve vtedy, keď prvý je násobkom druhého. Ak do

lineárne závislej sústavy vektorov pridáme ďalší vektor, dostaneme zase lineárne závislú

zostavu.

Príklad. Vektory sú navzájom lineárne

závislé, pretože platí: .

Ako zistíme, či dva alebo viac vektorov je navzájom lineárne závislých nám hovorí nasledujúca

veta.

83

Veta. Vektory sú lineárne závislé vtedy a len vtedy, keď existuje netriviálna

kombinácia vektorov, ktorá sa rovná nulovému vektoru:

[3.3.]

To znamená, že vektory sú lineárne nezávislé vtedy a len vtedy, ak existuje iba

triviálna kombinácia vektorov, ktorá sa rovná nulovému vektoru:

Príklad. Ukážte pomocou predchádzajúcej vety, že 4 nasledujúce 4-rozmerné vektory sú

lineárne nezávislé:

Hľadáme teda koeficienty také, že: alebo

Porovnaním prvých súradníc: dostaneme: . Podobne,

porovnaním ďalších súradníc dostaneme: , , . Teda nulový vektor

dostaneme len triviálnou lineárnou kombináciou vektorov . Preto sú tieto vektory

lineárne nezávislé.

Z predchádzajúceho príkladu je zjavné, že v 4-rozmernom priestore môžeme nájsť 4

nezávislé vektory, ako napr. . Je tiež očividné, že každý 4-rozmerný vektor môžeme

napísať ako ich lineárnu kombináciu:

[3.4.]

Dá sa dokázať, že ľubovoľný n-rozmerný vektor možno vyjadriť pomocou lineárnej

kombinácie n akýchkoľvek lineárne nezávislých vektorov. Akým postupom vieme zistiť, či je

vektor lineárnou kombináciu vektorov ,

, ..., ? Hľadáme také koeficienty

, pre ktoré platí: alebo po rozpísaní do jednotlivých súradníc:

[3.5.]

... ... ... ...

Riešením sústavy lineárnych rovníc [3.5.] dostaneme výsledok: neznámych koeficientov

.50

Vektor bude predstavovať lineárnu kombináciu vektorov práve

vtedy, keď sústava [3.5.] bude mať riešenie.

Príklad. Dokážte, že vektory: , , ,

sú lineárne nezávislé, a ukážte, že vektor je lineárnou

50

V nasledujúcej časti 3.2.1. sa dozvieme, ako treba postupovať pri riešení sústavy lineárnych rovníc.

84

kombináciou vektorov . Budeme teda hľadať také koeficienty , aby

platilo:

alebo:

Porovnaním štvrtých súradníc dostaneme: a teda: .

Podobne porovnaním ostatných súradníc dostaneme: . Nulový vektor

dostaneme len triviálnou kombináciou vektorov , čo znamená, že tieto vektory sú

lineárne nezávislé.

Ďalej budeme hľadať koeficienty lineárnej kombinácie také, aby platilo:

alebo:

Porovnaním jednotlivých súradníc, podobne ako v predchádzajúcom výpočte, vypočítame

príslušné hodnoty koeficientov:

.

Podobne sa dá dokázať, že vektorový priestor51

obsahuje lineárne nezávislých

vektorov a každý ďalší vektor je ich lineárnou kombináciou. Preto každá sústava vektorov,

kde , je lineárne závislá. Sústava lineárne nezávislých vektorov v priestore tvorí

bázu vektorového priestoru, pomocou ktorej môžeme vyjadriť iné vektory. Je výhodné zvoliť si

za bázu vektorového priestoru jednotkové vektory v smere osí súradnicového systému (napr.

v priestore ). V tomto vyjadrení sú koeficienty kombinácie zhodné so súradnicami

vektora, teda platí vzťah [3.4.]. Napríklad sústava vektorov z predchádzajúceho

príkladu predstavuje bázu pre .

Pre vektory sú definované dve operácie násobenia: skalárny a vektorový súčin, s ktorými sa

bežne stretneme v prírodných vedách.

Definícia. Skalárnym súčinom vektorov a nazývame

číslo skalár:

[3.6.]

kde a predstavujú dĺžky vektorov a a je uhol zovretý vektormi a , (Obr. 3.2).

Uhol dvoch vektorov a , ktorých súradnice sú známe: ,

vypočítame pomocou výrazu:

51

Pod vektorovým priestorom všeobecne rozumieme množinu, na ktorej sú definované operácie sčítania prvkov a

násobenia prvku reálnym číslom, uzavretú vzhľadom na tieto operácie, ktoré zároveň spĺňajú nasledovné

vlastnosti: komutatívnosť a asociatívnosť sčítania, existencia nulového a opačného prvku pre sčítanie,

asociatívnosť násobenia, distributívnosť násobenia vzhľadom na sčítanie, distributívnosť sčítania vzhľadom na

násobenie a existencia jednotkového prvku vzhľadom na násobenie. Prvkami vektorového priestoru môžu byť aj

iné matematické štruktúry ako usporiadané -tice ( -rozmerné vektory).

85

[3.7.]

Z definície skalárneho súčinu a vlastností funkcie kosínus vyplýva:

ak vektory a zvierajú ostrý uhol

ak vektory a zvierajú pravý uhol 2,

ak vektory a zvierajú tupý uhol

Príklad. Vypočítajte uhol vektorov a ak a .

Dosadením do vzorca [3.7.] dostaneme:

a uhol

Definícia. Vektorovým súčinom dvoch 3-rozmerných vektorov a

je vektor , ktorý je určený nasledovne:

veľkosť: je rovná ploche P rovnobežníka s hranami

a (Obr. 3.3)

smer je kolmý na smery oboch vektorov a

a je orientovaný tak, že usporiadaná trojica vektorov tvorí pravotočivú

súradnú sústavu52

(Obr. 3.3a):

[3.8.]

Výsledný vektor bude mať súradnice53

:

52

Orientáciu výsledného vektora môžeme určiť podľa pravidla pravej ruky: ak sú vektory a znázornené

ukazovákom a prostredníkom pravej ruky (t.j. natočenie prvého vektora do smeru druhého vektora po kratšej

ceste prebieha proti smeru pohybu hodinových ručičiek), potom výsledný vektor vektorového súčinu má smer vztýčeného palca pravej ruky. 53

Súradnice vektora sme vypočítali pomocou determinantu matice (útvaru štvorcového tvaru vo vzťahu [3.8])

a Sarrusovho pravidla pre výpočet determinantu. Tieto pojmy a postupy sú vysvetlené v nasledujúcej časti 3.3.

86

A B

Obrázok 3.3. Grafické znázornenie vektorového súčinu vektorov (A) a (B)

v trojrozmernom priestore . sú jednotkové vektory (s dĺžkou rovnou ) v smere osí , a

karteziánskeho súradnicového systému alebo bázické vektory v . Vektory a ležia v rovine

a zvierajú uhol .

Príklad. Máme 3 body v priestore dané súradnicami: , a .

Vypočítajte vektorový súčin . Vektory a

vynásobíme podľa pravidla [3.8.]:

3.2. Matice

3.2.1. Sústavy lineárnych rovníc

Definícia. Sústavou m lineárnych rovníc o n neznámych nazývame nasledovnú schému:

[3.9.]

... ... ... ...

kde sú (reálne) neznáme, sú zadané reálne koeficienty (čísla) a sú pravé

strany jednotlivých rovníc; , ( ).

Riešením sústavy rovníc [3.9.] nazveme každú usporiadanú n-ticu reálnych čísel

takú, že po dosadení čísel namiesto neznámych budú

všetky rovnice sústavy splnené. Vyriešiť sústavu rovníc teda znamená nájsť všetky jej riešenia.

x

y

87

Najjednoduchším typom sústavy lineárnych rovníc je sústava dvoch rovníc o dvoch

neznámych:

s neznámymi x a y, (reálnymi) koeficientmi a a pravými stranami a . Túto sústavu

rovníc riešime napr. dosadzovacou metódou, t.j. vyjadrením jednej premennej z prvej rovnice,

dosadením do rovnice druhej (čím vylúčime prvú neznámu), vypočítaním druhej, s pomocou

ktorej určíme aj prvú premennú. Obdobný postup využíva sčítavacia metóda, pri ktorej

využívame sčítanie dvoch rovníc s vylúčením jednej neznámej, atď. Riešenie tejto sústavy

môžeme ľahko nájsť aj geometricky, keďže každá z rovníc predstavuje priamku v rovine

a nájsť riešenie sústavy znamená nájsť ich priesečník. Dve

rôznobežné priamky v rovine majú práve jeden priesečník (sústava má jedno riešenie) alebo sú

priamky rovnobežné, t.j. nemajú priesečník (sústava nemá žiadne riešenie) alebo sú totožné, t.j.

všetky ich body sú priesečníkmi (sústava má nekonečne veľa riešení). Nemôže teda nastať

prípad, kedy by sústava lineárnych rovníc mala napríklad dve rôzne riešenia (dva priesečníky

dvoch priamok), a pod.

Príklad. Vyriešte sústavu rovníc:

Z prvej rovnice vyjadríme

, dosadením do druhej rovnice:

a úpravou dostaneme: a z toho:

. Sústava má teda jedno riešenie:

.

Všeobecne, sústava rovníc o neznámych, kde má buď žiadne, jedno alebo

nekonečne veľa riešení. Počet existujúcich riešení danej sústavy opisuje Frobeniova veta, ktorú

si bližšie vysvetlíme v nasledujúcej časti o maticiach. Pri hľadaní riešenia sústav s väčším

počtom lineárnych rovníc a neznámych môžeme postupovať obdobne ako v predchádzajúcom

príklade, t.j. redukciou počtu rovníc a elimináciou neznámych v nich. Tento postup sa nazýva

Gaussova elimiácia a predstavuje systematickú formu dosadzovacej metódy riešenia.

3.2.2. Gaussova eliminačná metóda

Princípom Gaussovej eliminácie je prevedenie zadanej sústavy lineárnych rovníc na sústavu,

ktorá má rovnaké riešenie ako pôvodná, ale má jednoduchší tvar, z ktorého môžeme riešenie

ľahko zistiť, prípadne usúdiť, že riešenie neexistuje. Pôvodnú sústavu rovníc sa elementárnymi

úpravami snažíme previesť na sústavu 'stupňovitého' (trojuholníkového) tvaru, napr.:

88

[3.10.]

v ktorej hodnotu poslednej neznámej vypočítame priamo (

), dosadíme do

predchádzajúcej rovnice, odkiaľ spočítame hodnotu , ktorú potom spolu s použijeme v

rovnici prvej na výpočet .

Dá sa ukázať, že akúkoľvek sústavu lineárnych rovníc môžeme previesť na inú, ktorá má

rovnaké riešenie, týmito úpravami:

zmenou poradia rovníc v sústave,

vynásobením ľubovoľnej rovnice sústavy reálnym nenulovým číslom (týmto číslom

vynásobíme všetky koeficienty a pravú stranu rovnice),

pripočítaním násobku ľubovoľnej rovnice sústavy k inej rovnici sústavy (sčítame ľavé aj

pravé strany týchto dvoch rovníc).

Pomocou takýchto elementárnych úprav dokážeme previesť každú sústavu lineárnych rovníc na

trojuholníkový tvar.

Príklad. Nájdite riešenie nasledovnej sústavy lineárnych rovníc Gaussovou eliminačnou

metódou:

Riešenie Gaussovou elimináciou začneme hľadať tak, že prvú rovnicu vynásobíme ,

pripočítame k druhej rovnici a dostaneme:

potom prvú rovnicu vynásobenú 3 pripočítame k tretej rovnici, čím dostaneme:

ďalej stačí pripočítať k tretej rovnici dvojnásobok druhej a získame sústavu v trojuholníkovom

tvare s rovnakým riešením, ako pôvodná sústava:

89

Odtiaľ dostaneme riešenie . Dosadením do druhej rovnice dostaneme

a nakoniec dosadením a do prvej rovnice vypočítame . Jediným riešením

danej sústavy je trojica čísel .

Príklad. Nájdite riešenie sústavy lineárnych rovníc:

Postupnými elementárnymi úpravami zadanej sústavy dostávame:

alebo:

Tretia rovnica tejto sústavy nie je splnená nikdy (nech sú hodnoty a akékoľvek), preto

táto sústava (ani pôvodná sústava) lineárnych rovníc nemá riešenie.

Pre výsledok riešenia sústavy rovníc má teda podstatný význam posledná rovnica sústavy

upravenej do trojuholníkového tvaru. V prípade, že dostaneme rovnicu, ktorá nie je splnená

(ako napr. v predchádzajúcom príklade: ), potom sústava nemá riešenie. V opačnom

prípade sústava bude mať riešenie, ktoré bude závisieť na počte neznámych n a na počte rovníc

r po úprave sústavy na trojuholníkový tvar (prípadné rovnice tvaru medzi rovnice

nezapočítame). Pre bude existovať práve jedno riešenie uvažovanej sústavy, pre

bude mať sústava nekonečne veľa riešení, prípad nemôže nastať (zo sústavy rovníc ktorá

má riešenie, a ktorá obsahuje viac rovníc ako neznámych, môžeme nadbytočné rovnice,

vzniknuté lineárnou kombináciou ostatných rovníc, vynechať).

Všimnime si, že pri Gaussovej eliminácii upravujeme koeficienty a pravé strany

jednotlivých rovníc, pričom označenie a poradie premenných sa nemení. Preto pri skrátenom

zápise sústavy rovníc môžeme používať len koeficienty premenných a pravé strany rovníc.

Napríklad pre sústavu:

môžeme použiť zjednodušenú schému:

90

[3.11.]

ktorú, ako ukážeme neskôr, nazývame rozšírenou maticou sústavy lineárnych rovníc.

Poznámka. V niektorých prípadoch Gaussovej eliminácie je výhodné meniť nielen poradie

riadkov (rovníc), ale aj poradie stĺpcov v hore uvedenej schéme [3.11.] (takáto zámena sa však

netýka stĺpca pravých strán), napr. prvú rovnicu môžeme prepísať z tvaru:

do tvaru , čo zodpovedá zámene prvého a druhého stĺpca, takáto úprava

nemení riešenie sústavy. Túto zámenu však musíme vziať do úvahy pri výpočte hodnôt

neznámych z trojuholníkového tvaru zjednodušenej schémy so zmeneným poradím

premenných.

3.2.3. Matice

V predchádzajúcej časti sme koeficienty sústavy lineárnych rovníc usporiadali do schémy

pozostávajúcej z riadkov a stĺpcov, ktorej hovoríme matica.

Definícia. Maticou typu budeme nazývať objekt (tabuľku) tvorený reálnymi

číslami (prvkami matice ), usporiadanými do m riadkov a n stĺpcov ( ):

[3.12.]

Maticu typu nazývame stĺpcový vektor a maticu typu nazývame riadkový vektor.

Maticový prvok (reálne číslo) znamená, že dané číslo sa nachádza v i-tom riadku a j-tom

stĺpci matice . Prvky matice nazývame prvkami hlavnej diagonály

(uhlopriečky). V prípade, že hlavná diagonála sa nekončí v pravom dolnom rohu

matice. Matici, pre ktorú platí hovoríme štvorcová matica; štvorcovej matici typu

hovoríme aj matica n-tého poriadku. Matici, ktorá má pod hlavnou diagonálou len nulové

prvky ( )54

hovoríme (horná)

trojuholníková matica. Nulovou maticou nazývame maticu ktorej všetky prvky sa rovnajú nule.

Diagonálna matica je taká, ktorá má všetky prvky, ktoré neležia na hlavnej diagonále, rovné

nule. Jednotková matica je štvorcová diagonálna matica, ktorej všetky diagonálne prvky sa

rovnajú jednej.

Príklad. Obdĺžniková matica typu :

54

Medzi riadkový index a stĺpcový index maticového prvku píšeme čiarku len ak si to vyžaduje

zrozumiteľnosť. Napr. prvok je prvok matice, ktorý leží v 11. riadku a 4. stĺpci matice.

91

Jednotková matica typu 33:

Trojuholníková matica typu 43:

Diagonálna matica typu 22:

Nulová matica typu 33:

Definícia. Matice a sa rovnajú, ak sú rovnakého typu a zároveň

platí pre všetky hodnoty indexov a .

Podobne ako vektory rovnakého rozmeru, aj matice rovnakého typu tvoria lineárny

vektorový priestor, v ktorom sú definované operácie sčítania matíc a násobenia matíc reálnym

číslom. Tieto operácie sú definované v nasledujúcom odseku.

Definícia. Nech matice a sú rovnakého typu a je reálne číslo

. Matica C je k-násobkom matice , , ak platí: pre všetky hodnoty

indexov a :

[3.13.]

Definícia. Nech matice , a sú rovnakého typu .

Hovoríme, že matica je súčtom matíc a , , ak platí: pre všetky

hodnoty indexov i a j:

[3.14.]

Spočítavať môžeme len matice rovnakého typu (pre matice rôznych typov nie je

sčítanie definované). Rozdiel matíc môžeme definovať ako: – .

Príklad. Vypočítajte súčet dvoch matíc typu 3 3:

,

Súčet matíc A a B uskutočníme podľa definície [3.14.] ako:

92

Príklad. Vypočítajte rozdiel dvoch matíc ak:

a

potom:

Definícia. Nech matica je typu a matica je typu . Hovoríme,

že matica je súčinom matíc a , , ak pre všetky hodnoty indexov a platí:

[3.15.]

Prvok teda vznikne tak, že vezmeme i-ty riadok matice a j-ty stĺpec matice , vynásobíme

odpovedajúce prvky a sčítame: , teda každý prvok

matice vypočítame ako skalárny súčin i-teho riadku matice a j-teho stĺpca matice .

A: B: C:

i-ty riadok j-ty stĺpec prvok

Obrázok 3.4. Násobenie matíc . Prvok je skalárnym súčinom i-teho riadku prvej

matice a j-teho stĺpca druhej matice.

Násobiť môžeme matice rovnakého typu ale aj matice, ktoré majú aspoň jeden

rozmer rovnaký ( ). Výsledná matica násobenia je typu . Pripomíname,

že aj z tohto dôvodu nie je násobenie matíc komutatívne, t.j. všeobecne platí:

(keďže súčin nemusí byť vôbec definovaný, hoci existuje). Na druhej strane

násobenie matíc je asociatívne a distributívne vzhľadom na sčítanie:

za podmienky, že dané operácie sčítania a násobenia je možné vykonať. Výsledkom násobenia

matice nulovou maticou je vždy len nulová matica a výsledkom sčítania matice s nulovou

maticou je pôvodná matica. Jednotkové matice majú tú vlastnosť, že výslednom násobenia

93

jednotkovou maticou je pôvodná matica, teda ak je matica typu , potom

, napríklad:

pre

Príklad. Vypočítajte súčin dvoch matíc:

a

Súčin matíc a uskutočníme podľa definície [3.15.]:

Definícia. Nech matica

je typu , matica

typu

sa nazýva matica transponovaná k matici . Transponovaná matica vznikne z danej

matice tak, že riadky pôvodnej matice napíšeme ako stĺpce transponovanej matice (v rovnakom

poradí). Táto operácia súvisí so sčítaním a násobením matíc nasledovne:

Príklad. Nájdite transponovanú maticu k matici

.

.

V súvislosti s operáciou násobenia matíc sa vynára otázka, či je matice možné aj deliť.

V ďalšom texte ukážeme, že za určitých podmienok je možné vypočítať ‘podiel‘ , kde

matica je inverzná matica k matici .

Definícia. Nech je štvorcová matica typu . Potom maticu nazývame inverznou

maticou k matici , ak platí: . Inverznú maticu označujeme ako . Teda

platí:

[3.16.]

94

kde je jednotková matica typu .

Inverzné matice teda existujú len pre štvorcové matice typu a dá sa dokázať, že ak

existuje inverzná matica , potom platí: a .

Ukážeme si teraz na príklade, ako sa dá vypočítať inverzná matica. Neskôr zistíme že inverzná

matica neexistuje ku každej jednotlivej matici a ukážeme si tiež inú pomerne jednoduchú

metódu na jej výpočet.

Príklad. Nájdite inverznú maticu k matici:

.

Hľadáme maticu

takú, že platí:

.

Rozpísaním násobenia na maticové prvky podľa [3.15.] dostaneme 4 lineárne rovnice o 4

neznámych, ktoré riešime napr. Gaussovou eliminačnou metódou (3.2.2.):

riešením ktorých dostaneme inverznú maticu:

. Vynásobením sa presvedčíme,

že:

.

Praktickým postupom na hľadanie inverznej matice je nasledovný algoritmus:

danú maticu prevedieme pomocou série ekvivalentných úprav na jednotkovú maticu ,

rovnaké úpravy ako v matici zároveň aplikujeme na jednotkovú maticu , ktorú týmto

postupom prevedieme na inverznú maticu .

3.2.4. Hodnosť matice

Ako sme už predtým naznačili, sústavu lineárnych rovníc môžeme zapísať pomocou

zjednodušenej schémy [3.11.]. Opačne, na maticu typu sa môžeme pozerať ako na

sústavu, ktorá obsahuje riadkov, z ktorých každý je tvorený n-rozmerným riadkovým

vektorom patriacim do , pričom súradnice tohto vektora predstavujú

koeficienty lineárnej rovnice s premennými. Medzi riadkami matice (lineárnymi rovnicami

sústavy) sa môžu nachádzať aj také rovnice, ktoré sú lineárnymi kombináciami iných rovníc,

a preto sú pre vyriešenie sústavy nadbytočné. Zavedieme pojem hodnosť matice, ktorý určuje

počet nezávislých riadkov matice (t.j. nezávislých rovníc v sústave, ktorú matica reprezentuje).

95

Definícia. Maximálny počet lineárne nezávislých riadkov matice nazývame hodnosť matice

a značíme

Hodnosť nulovej matice je rovná nule. Dá sa dokázať, že: , z čoho vyplýva, že

hodnosť matice je zároveň aj maximálny počet lineárne nezávislých stĺpcov, a pre každú

maticu typu platí: . Teda hodnosť matice nemôže prevýšiť počet

riadkov ani počet stĺpcov matice.

Ak matice a majú rovnaké hodnosti, potom sa jedná o ekvivalentné matice, čo

označujeme . Určiť hodnosť matice nie je vždy triviálne, ak je však daná matica

v trojuholníkovom tvare, výpočet je pomerne jednoduchý, ako ukazuje nasledujúca veta, ktorú

uvádzame bez dôkazu.

Veta. Hodnosť trojuholníkovej matice sa rovná počtu jej nenulových riadkov.

Príklad. Nájdite hodnosť matíc

a

a porovnajte.

Keďže riadky matice sú podľa [3.3.] lineárne nezávislé, platí . Podobne

pretože 3. riadok matice je súčet (lineárna kombinácia) 1. a 2. riadku. Platí teda a sú

ekvivalentné: .

Príklad. Určte hodnosť matice:

Matica je trojuholníková (má nuly pod hlavnou diagonálou). Porovnaním súradníc

dostaneme vektorovú rovnicu:

ktorú môžeme rozpísať na sústavu 4 lineárnych rovníc, pre každú súradnicu vektora. Sústava

má jedno riešenie: , čo znamená, že riadky matice sú lineárne nezávislé

a

Spôsob, akým môžeme ku každej nenulovej matici nájsť ekvivalentnú trojuholníkovú

maticu a určiť jej hodnosť, opisuje nasledujúca veta (postup je analogický ako pri

ekvivalentných úpravách lineárnych rovníc v Gaussovej eliminačnej metóde):

Veta. Ak vytvoríme maticu z matice pomocou nasledovných riadkových (stĺpcových)

úprav:

vzájomná výmena dvoch riadkov (stĺpcov),

vynásobenie riadku (stĺpca) nenulovým reálnym číslom,

vynechanie riadku (stĺpca), ktorý je lineárnou kombináciou ostatných riadkov (stĺpcov),

pripočítanie násobku riadku (stĺpca) k inému riadku (stĺpcu) (pričom pod pričítaním

riadku (stĺpca) rozumieme súčet riadkových (stĺpcových) vektorov),

96

potom matice a budú mať rovnakú hodnosť (budú ekvivalentné ).

Príklad. Nájdite hodnosť matice:

Maticu začneme upravovať tak, aby sme dostali nuly v 1. stĺpci pod hlavnou diagonálou.

K tretiemu riadku pripočítame dvojnásobok 1. riadku a od 4. riadku odpočítame 1. riadok. Tieto

kroky pre jednoduchosť zapíšeme takto: (kde napr. znamená 3. riadok a

značí 3. riadok po úprave) a –

Po úprave sa 4. riadok rovná 2. riadku, čo znamená, že napr. 4. riadok môžeme ako lineárnu

kombináciu ostatných riadkov (druhého riadku) vynechať (nesmieme vynechať obidva riadky).

V ďalšom kroku teda vynecháme 4. riadok. S úpravami pokračujeme tak, aby sme získali nulu

aj v druhom stĺpci pod hlavnou diagonálou. Túto nulu pod diagonálou vyrobíme tak, že od 3.

riadku odpočítame trojnásobok 2. riadku: (všimnime si, že na úpravu 3.

riadku nie je vhodné použiť 1. riadok, pretože by sme stratili 0 v prvom stĺpci 3. riadku)

Dostali sme trojuholníkovú maticu, ktorá je ekvivalentná s pôvodnou maticou, má 3 nenulové

riadky a hodnosť .

Pomocou hodnosti matice môžeme zisťovať, či je sústava vektorov lineárne závislá alebo

nie. Z vektorov zostavíme maticu a jej hodnosť porovnáme s počtom vektorov. Ak sa rovnajú,

potom sú vektory lineárne nezávislé.

3.2.5. Sústavy lineárnych rovníc

Sústavu m lineárnych rovníc s n neznámymi:

[3.17.]

... ... ... ...

môžeme prepísať pomocou matice koeficientov (matica sústavy), stĺpcového vektora

neznámych (matice neznámych typu ) a stĺpcového vektora pravých strán (matice

pravých strán sústavy typu ) v tzv. maticovom tvare:

[3.18.]

97

kde:

Ak (0 je nulový vektor, t.j. pravá strana sústavy obsahuje aspoň jeden nenulový prvok

bi), potom sa sústava nazýva nehomogénnou sústavou; ak je (na pravej strane rovníc

sústavy sa nachádzajú samé nuly), potom sa sústava nazýva homogénnou sústavou rovníc.

Riešením sústavy je usporiadaná n-tica (stĺpcový vektor): taká, že:

(pripomíname, že transponovaný stĺpcový vektor tvorí riadkový vektor).

Rozšírenou maticou systému [3.17.] nazveme maticu, ktorá vznikne spojením matice sústavy

a vektora pravých strán do jednej matice typu

v ktorej posledný stĺpec zvyčajne oddeľujeme zvislou čiarou.

Ako sme už uviedli v stati 3.2.1. sústava lineárnych rovníc môže mať žiadne, jediné alebo

nekonečne veľa riešení. Podmienku, pri splnení ktorej existuje riešenie sústavy lineárnych

rovníc, udáva nasledujúca Frobeniova veta.55

Veta. (Frobeniova veta) Sústava lineárnych rovníc má riešenie vtedy a len vtedy, ak je

hodnosť matice systému rovná hodnosti rozšírenej matice systému:

Frobeniova veta nepodáva návod na riešenie sústavy, jej použitím však možno ukázať, že platí:

ak potom sústava nemá riešenie,

ak kde je počet neznámych, potom má sústava práve jedno riešenie,

ak potom má sústava nekonečne veľa riešení (neznáme až , kde

– , môžeme voliť ľubovoľne).

Prípad nastať nemôže, pretože hodnosť matice nemôže byť väčšia ako počet

jej stĺpcov, ktorý sa rovná počtu neznámych v sústave. Sústava nemá riešenie, ak vektor

pravých strán nie je lineárnou kombináciou stĺpcových vektorov matice sústavy. V takomto

prípade je totiž hodnosť rozšírenej matice sústavy o jednotku väčšia ako hodnosť matice

sústavy: .

55

Ferdinand Georg Frobenius (1849 - 1917) bol nemecký matematik, po ktorom je pomenované veľké množstvo

matematických viet a konceptov.

98

Príklad. Riešte sústavu lineárnych rovníc:

Rozšírená matica sústavy má tvar:

Ekvivalentnými úpravami ju prevedieme na nasledovný trojuholníkový tvar:

Vidíme, že , teda sústava bude mať jedno riešenie. Z posledného riadku

matice vyplýva: a teda . Dosadením do druhej rovnosti:

dostaneme: . Nakoniec z prvého riadku dosadením za a vypočítame: . Sústava

má teda jedno riešenie: .

Na riešenie sústavy lineárnych rovníc zapísanej v tvare rozšírenej matice sústavy môžeme

použiť Gaussovu eliminačnú metódu uvedenú v odseku 3.2.2. Postup riešenia je nasledovný:

rozšírenú maticu sústavy prevedieme ekvivalentnými riadkovými úpravami na

trojuholníkovú maticu,

trojuholníkovú maticu prepíšeme opäť na sústavu rovníc s pôvodnými neznámymi,

začneme riešiť od poslednej rovnice a pokračujeme spätným dosadzovaním už

vypočítaných neznámych.

Príklad. Riešte nasledovnú sústavu lineárnych rovníc použitím Gaussovej eliminačnej metódy

Rozšírenú maticu sústavy upravíme ekvivalentnými úpravami na trojuholníkovú maticu:

Pre sústavu platí: , preto podľa Frobeniovej vety bude mať nekonečne

veľa riešení (sústava má 3 neznáme a len 2 nezávislé rovnice). Riešenie preto budeme hľadať

tak, že poslednú neznámu zvolíme ako: , . Dosadením do druhej rovnice

dostaneme:

99

a z prvej rovnice:

Sústava má teda nekonečne veľa riešení tvaru:

]

3.3. Determinanty

Definícia. Majme štvorcovú maticu typu s reálnymi prvkami :

Takejto štvorcovej matici môžeme priradiť určité reálne číslo, ktoré je charakteristické pre danú

maticu, a ktorému hovoríme determinant matice a jeho hodnotu počítame podľa Leibnizovej

formule56

prepísanej do jednoduchšieho tvaru pomocou Levi-Civitovho symbolu57

:

[3.19.]

kde suma obsahuje 58 sčítancov cez všetky permutácie indexov

súčinov maticových prvkov vynásobených Levi-Civitovym symbolom

, ktorý určuje znamienko danej permutácie indexov.

Namiesto uvádzania podrobností tejto na pohľad zložitej všeobecnej definície, ukážeme si

ako sa dá ľahko aplikovať na štvorcové matice do veľkosti a vypočítame hodnotu

determinantu matice podľa Sarrusovho (krížového) pravidla.59

Definícia. Determinant štvorcovej matice typu je číslo:

Pre zapamätanie spôsobu výpočtu môže byť užitočná nasledovná schéma:

56

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) bol významný nemecký matematik a filozof, ktorý položil základy

infinitezimálneho počtu. 57

Tullio Levi-Civita, (1873-1941) bol taliansky matematik, známy svojimi prácami z tenzorového počtu a jeho

aplikáciami v teórii relativity. 58

Symbol ( faktoriál) znamená súčin prvých prirodzených čísel: . Platí: . 59

Pierre Frédéric Sarrus (1798-1861) bol francúzsky matematik známy najmä svojimi prácami z oblasti lineárnej

algebry.

100

Obrázok 3.5. Schéma zápisu štvorcovej matice typu pre výpočet determinantu pomocou

Sarrusovho pravidla. Za maticu pripíšeme 1. a 2. stĺpec, vytvoríme súčiny trojíc prvkov umiestnených

v smere hlavnej diagonály a sčítame ich. Potom vytvoríme súčiny prvkov v opačnom smere a odčítame

ich od predošlého súčtu.

Príklad. Vypočítajte determinant matice

Najprv si vytvoríme pomocnú schému pridaním prvých dvoch stĺpcov:

a počítame:

Pre počítame hodnotu determinantu takto:

Vypočítať determinanty matíc štvrtého a vyššieho poriadku pomocou súčtov súčinov by bolo

pomerne komplikované. Preto sa používajú iné postupy, ktoré umožňujú výpočet

determinantov matíc vyššieho poriadku pomocou determinantov poriadku nižšieho.

Uvažujme štvorcovú maticu typu :

,

Označme determinant matice typu , ktorá vznikne z matice

vynechaním i-teho riadku a j-teho stĺpca, v ktorom sa nachádza prvok . Takýto

determinant budeme nazývať subdeterminantom matice (minorom matice ) prislúchajúcim

k prvku . Poriadok subdeterminantu bude stupňa – .

Ak zvolíme ľubovoľný k-ty riadok matice ktorého prvkami sú čísla

a k ním prináležiace subdeterminanty , potom pre hodnotu

determinantu matice vypočítanú pomocou rozvoja determinantu podľa k-teho riadku platí:

[3.20.]

Výraz v [3.20.] je rovný +1 alebo -1 podľa toho, či je súčet riadkového a stĺpcového

indexu prvku rovný párnemu alebo nepárnemu číslu a sčítancom tvaru dávajú teda

101

kladné alebo záporné znamienko. Číslo nazývame algebraický doplnok

prvku , výraz [3.20.] môžeme s jeho použitím prepísať do tvaru:

[3.21.]

Vzťah [3.21.] nazývame rozvojom determinantu podľa k-teho riadku. Dá sa dokázať, že

rovnaký výsledok dostaneme aj rozvojom podľa iného riadku alebo stĺpca.

Ak aplikujeme tento postup výpočtu determinantu na determinant tretieho poriadku,

rozvojom podľa prvého riadku dostaneme:

Príklad. Vypočítajte determinant matice

Rozvojom podľa tretieho riadku (ktorý obsahuje najväčší počet nulových prvkov) dostaneme:

Jedným z dôsledkov rozvoja determinantu podľa riadku, alebo stĺpca, v zhode so vzťahom

[3.21.] je, že hodnota determinantu, ktorý má celý riadok alebo stĺpec vytvorený z núl, je rovná

nule.

Pri determinantoch vyšších poriadkov sa na zjednodušenie ich výpočtu môžu použiť

ekvivalentné úpravy, ktoré sme uviedli pri určovaní hodnosti matíc. Treba pri tom však mať na

pamäti, že:

vzájomnou výmenou poradia dvoch riadkov (stĺpcov) determinantu sa hodnota

determinantu zmení na hodnotu opačnú (z kladnej na zápornú hodnotu, alebo naopak),

vynásobenie riadku (stĺpca) determinantu reálnym číslom vedie k rovnakému zvýšeniu

hodnoty celého determinantu ,

pripočítaním násobku ľubovoľného riadku (stĺpca) ku ktorémukoľvek riadku (stĺpcu)

determinantu jeho hodnotu nezmení.

Všeobecne platí, ak je jeden riadok (stĺpec) determinantu lineárnou kombináciou ostaných

riadkov (stĺpcov), potom je hodnota determinantu nulová. Toto tvrdenie platí aj opačne, ak je

102

determinant matice nulový, potom má determinant riadky (stĺpce), ktoré sú lineárne závislými

vektormi. Ak označíme hodnosť štvorcovej matice n-tého poriadku, potom platí:

Rovnosť platí totiž práve vtedy, keď sú riadky (stĺpce) matice lineárne nezávislými

vektormi.

Štvorcové matice, ktorých determinant je rôzny od nuly sa nazývajú regulárne matice.

Matice, ktorých determinant sa rovná nule sa nazývajú singulárne matice. Pre štvorcové matice

A a B rovnakého poriadku platí: . Súčin regulárnych matíc je opäť

regulárna matica, výsledkom súčinu matíc, z ktorých je jedna singulárna, je singulárna matica.

3.3.1. Maticové rovnice

Dá sa dokázať, že k štvorcovej matici existuje inverzná matica práve vtedy, keď je

regulárna. Pomocou determinantov možno nájsť k regulárnej matici (pre ktorú platí

) inverznú maticu nasledovne:

[3.22.]

kde je matica algebraických doplnkov k matici . Pripomeňme si, že algebraický doplnok

maticového prvku je definovaný pomocou subdeterminantu ([3.21.]).

Toto tvrdenie nebudeme dokazovať, ale ukážeme jeho platnosť na matici typu :

Najprv určíme algebraické doplnky k matici ako

,

,

Matica algebraických doplnkov k matici a jej transponovaná matica budú mať tvar:

Inverzná matica má potom tvar:

Teraz nájdeme súčin :

103

Príklad. Nájdite inverznú maticu k matici

Nájdime najprv všetky algebraické doplnky prvkov matice :

Teraz vypočítame determinant matice , napr. pomocou Sarrusovho pravidla:

Nakoniec určíme inverznú maticu:

Majme sústavu m lineárnych rovníc s n neznámymi:

... ... ... ...

ktorú môžeme zapísať v maticovom tvare:

Riešenie tejto jednoduchej rovnice, ktorá obsahuje matice, môžeme dostať násobením rovnice

inverznou maticou zľava:

[3.23.]

Rovnice, v ktorých neznámou je matica, nazývame maticové rovnice. Pre ilustráciu si

uvedieme niekoľko základných typov maticových rovníc:

104

kde je neznáma matica a sú matice rovnakého typu,

kde je neznáma matica a sú násobiteľné matice,

kde je neznáma matica a sú násobiteľné matice

Maticové rovnice riešime pomocou prípustných úprav tak, aby sme vyjadrili neznámu maticu

v tvare výsledok. Medzi prípustné úpravy maticových rovníc patrí:

vynásobenie obidvoch strán rovnice reálnym číslom,

pripočítanie matice k obidvom stranám rovnice,

vynásobenie obidvoch strán rovnice maticou zľava,

vynásobenie obidvoch strán rovnice maticou sprava,

transponovanie obidvoch strán rovnice,

roznásobenie zátvorky a vyňatie pred zátvorku.

Príklad. Riešte maticovú rovnicu:

, kde

Rovnicu najprv prepíšeme do symbolického tvaru a riešime pomocou vhodných prípustných

úprav:

Vypočítame inverznú maticu:

, potom dosadíme jednotlivé matice:

3.3.2. Cramerovo pravidlo

Sústavu lineárnych rovníc s neznámymi [3.17.] je možné riešiť aj pomocou

determinantov. Všeobecne pre regulárne matice platí: , teda riadky

(stĺpce) matice sú lineárne nezávislými vektormi a sústava lineárnych rovníc zapísaná

105

v maticovom tvare [3.18.]: , (kde je matica sústavy, je stĺpcový vektor

neznámych a je stĺpcový vektor pravých stán) má jedno riešenie .

Toto riešenie môžeme nájsť pomocou Cramerovho pravidla. 60

Veta. Nech determinant matice [3.17.] je rôzny od nuly. Potom má sústava jediné riešenie:

[3.24.]

kde determinant dostaneme tak, že k-ty stĺpec v determinante nahradíme stĺpcovým

vektorom pravých strán rovníc sústavy :

V prípade, že sa jedná o singulárnu maticu (pre ktorú ), Cramerovo pravidlo použiť

nemôžeme. V takomto prípade má sústava buď žiadne alebo nekonečne mnoho riešení, ktoré

môžeme vypočítať napr. pomocou Gaussovej eliminácie. Ak máme homogénnu sústavu rovníc:

, kde O je nulový stĺpcový vektor, potom riešením sústavy je: , tzv. triviálne

riešenie. Ak je regulárna matica, potom iné ako triviálne riešenie sústavy neexistuje. Ak je

singulárna matica existencia netriviálneho riešenia bude preberaná v odseku o vlastných

hodnotách a vlastných vektoroch matíc.

Príklad. Vyriešte sústavu lineárnych rovníc:

Matica sústavy:

, determinant: je rôzny

od nuly a je regulárna. Sústava bude teda mať jedno riešenie, ktoré vypočítame pomocou

Cramerovho pravidla:

60

Gabriel Cramer (1704-1752) bol švajčiarsky matematik a fyzik.

106

Ako vidíme z predchádzajúceho príkladu, postup je pomerne pracný, pretože na vyriešenie

sústavy rovníc sme potrebovali spočítať 4 determinanty 3. poriadku. Pri použití metódy

Gaussovej eliminácie by bol počet aritmetických operácií potrebných na vyriešenie sústavy

nižší.

3.3.3. Vlastné hodnoty a vlastné vektory matíc

Majme štvorcovú maticu n-tého poriadku s reálnymi prvkami. Skúsme hľadať také n-

rozmerné stĺpcové vektory , ktoré sa pri vynásobení maticou budú rovnať samy sebe

alebo svojmu násobku (zobrazia sa sami na seba). Inými slovami, hľadajme netriviálne riešenia

rovnice:

[3.25.]

v ktorej nepoznáme ani stĺpcový vektor , ani číslo . Ak existujú ( je nulový

vektor) a reálne číslo , ktoré rovnici [3.25.] vyhovujú, potom nazveme vlastnou hodnotou

(charakteristickou hodnotou) matice a vlastným vektorom (charakteristickým vektorom)

prislúchajúcim k vlastnej hodnote . Rovnicu [3.25.] nazývame vlastný problém. Riešenie

vlastného problému je jednou z ústredných tém niektorých oblastí prírodných vied, napr.

kvantovej mechaniky.

Ak takýto vlastný vektor existuje, potom aj každý nenulový násobok tohto vektora

, bude tiež vlastným vektorom matice , pretože:

.

Vlastný problém môžeme prepísať do alternatívneho tvaru nasledovne:

kde je jednotková matica n-tého poriadku, keďže: , môžeme písať:

Ak má byť nenulovým vektorom, riešením vlastného problému, potom musí byť matica

singulárna, t.j. musí platiť: . V opačnom prípade by pre regulárnu

maticu existovalo len triviálne riešenie . Podmienka nám

umožňuje hľadať vlastné hodnoty matíc. Matica vznikne z matice tak, že od všetkých

prvkov hlavnej diagonály matice odpočítame vlastnú hodnotu .

Riešiť vlastný problém štvorcovej matice n-tého poriadku teda znamená hľadať korene

polynómu n-tého stupňa (charakteristického polynómu), ktorý dostaneme výpočtom

determinantu :

107

Pre maticu druhého poriadku to teda znamená riešiť kvadratickú rovnicu, ktorá môže mať

tri rôzne možné riešenia (dva rôzne reálne korene, dvojnásobný reálny koreň, dva komplexne

združené korene):

Príklad.

a) Nech matica je singulárna matica

. Jej determinant bude mať tvar:

Riešením charakteristického polynómu dostaneme dve vlastné hodnoty: .

b) Ak matica je jednotková matica

. Jej determinant bude mať tvar:

Riešením charakteristického polynómu dostaneme jedinú vlastnú hodnotu: .

c) Ak matica

. Jej determinant bude mať tvar:

Riešením charakteristického polynómu dostaneme jedinú vlastnú hodnotu: .

d) Ak matica

, determinant bude mať tvar:

Riešením charakteristického polynómu dostaneme dve vlastné hodnoty: .

e) Ak matica je tretieho poriadku

, determinant bude mať

tvar:

Matica má teda tri vlastné hodnoty: .61

Pozrime sa teraz na vlastný problém z druhej strany a hľadajme vlastné vektory pre niektoré

z matíc, napr. b) a c) z hore uvedených príkladov. Obidve matice majú jedinú vlastnú hodnotu

(dvojnásobný koreň charakteristických polynómov). Jednotková matica

61

Prvý koreň sme "uhádli" (pozri vetu [2.39]) a ostatné dopočítali po vydelení charakteristického polynómu

koreňovým činiteľom .

108

bude mať ako svoj vlastný vektor patriaci k vlastnej hodnote ľubovoľný nenulový vektor

z , pretože rovnicu:

spĺňajú všetky vektory .

Na druhej strane pre maticu

musí vlastný vektor

spĺňať rovnicu:

a po rozpísaní na súradnice vektora musí teda spĺňať nasledovné dve rovnice:

Z prvej rovnice vyplýva, že , zatiaľ čo súradnica môže byť ľubovoľná ( ).

Sústava má tak nekonečne veľa riešení, ktoré môžeme zapísať v tvare:

,

kde . Ak zvolíme nenulový faktor rovný 1, potom bude mať matica

len

jediný vlastný vektor . Tento výsledok sa významne líši od vlastného vektora

predchádzajúcej jednotkovej matice s rovnakou vlastnou hodnotou.

Z uvedených príkladov vyplýva, že riešenie vlastného problému nie je jednoduchá úloha

(najmä pre vyššie poriadky matíc), ktorú komplikuje problém s výpočtom koreňov

charakteristických polynómov (viacnásobné korene, komplexné korene, atď.). Preto sa kvôli

jednoduchosti zamerajme len na charakteristické polynómy len s reálnymi jednonásobnými

koreňmi. Matica n-tého poriadku tak bude mať práve n rôznych koreňov, ktoré označíme:

. Pre každú z týchto vlastných hodnôt matice nech existuje práve jeden vlastný

vektor. Množina takýchto vlastných vektorov je zároveň aj lineárne nezávislá

a tvorí bázu vektorového priestoru . Tieto vektory potom hľadáme ako riešenia maticových

rovníc: alebo

Príklad. Nájdite vlastné vektory matice

ktorej vlastné hodnoty sme

vypočítali v predchádzajúcom príklade ako: .

Počítajme vlastný vektor pre . Dosadením dostaneme maticu:

Vytvorme rozšírenú maticu sústavy pre homogénnu sústavu :

109

Po úprave: dostaneme maticu s dvoma lineárne závislými riadkami:

Odtiaľ pre vektor

vyplýva: a . Položme , , a

. Vlastný vektor potom môžeme písať ako:

, .

Podobným postupom dostaneme pre vlastný vektor:

, . A pre

vlastný vektor:

, .

Pre kontrolu výpočtu urobíme skúšku správnosti. Napríklad pre a

zvolíme tak, aby sme dostali čo najjednoduchšie riešenie:

. Dosadíme vlastnú

hodnotu a vlastný vektor do vlastného problému pre maticu :

Dôležité je tiež overiť, že matica je singulárna matica (podmienka existencie

netriviálnych riešení: ), o čom sa ľahko presvedčíme už počas výpočtu pri úpravách

tejto matice na trojuholníkový tvar, kde sme pre každú z vlastných hodnôt dostali hodnosť

trojuholníkovej matice .

110

Cvičenia 3.

3.1. Nech vektor a . Vypočítajte vektor:

.

3.2. Ukážte, či sú nasledujúce 3 vektory: lineárne

závislé.

3.3 Vypočítajte skalárny súčin vektorov a ak a .

3.4. Vypočítajte uhol vektorov a ak a .

3.5. Určte smer a orientáciu vektora ak a .

3.6. Nájdite riešenie sústavy lineárnych rovníc Gaussovou elimináciou:

3.7. Vypočítajte súčet a súčin dvoch matíc typu :

.

3.8. Určte hodnosť matice:

.

3.9. Riešte sústavu lineárnych rovníc použitím Gaussovej eliminačnej metódy

3.10. Vypočítajte determinant matice

.

111

3.11. Vypočítajte determinant matice

rozvojom podľa riadku

alebo stĺpca.

3.12. Nájdite inverznú maticu k matici

.

3.13. Riešte maticovú rovnicu s neznámou maticou :

kde:

.

3.14. Vyriešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Cramerovho pravidla:

3.15. Nájdite vlastné hodnoty a vlastné vektory matice

.

112

Riešenia 3.

3.1. Vektor:

, kde a , vypočítame takto: pre

súradnice výsledného 3-rozmerného vektora podľa zadania platí:

, kde

. Dosadením súradníc vektorov a dostaneme: .

3.2. Otázku lineárnej závislosti vektorov riešime

tak, že hľadáme také rozvojové koeficienty d1, d2, d3, pre ktoré platí: .

Rovnicu rozpíšeme pre súradnice:

Z poslednej a predposlednej rovnice dostaneme: a , čo po dosadení do

prvej rovnice vedie k výsledku: , , . Keďže lineárna kombinácia je

triviálna, vektory sú lineárne nezávislé.

3.3 Skalárny súčin vektorov a vypočítame podľa vzťahu

[3.6.] ako:

3.4. Uhol dvoch vektorov a vypočítame podľa vzťahu [3.7.]:

uhol

3.5. Vektorový súčin pre a vypočítame podľa

pravidla [3.8.]:

Smer a orientácia výsledného vektora je daná jeho súradnicami:

113

Obrázok 3.5. Znázornenie vektora .

3.6. Sústavu lineárnych rovníc budeme riešiť Gaussovou elimináciou tak, že ju postupnými

elementárnymi úpravami prevedieme na trojuholníkový tvar:

Tretiu rovnicu vynásobíme 3 a odpočítame prvú rovnicu (skrátene to zapíšeme ako: ):

potom (

nakoniec ( ):

Z poslednej rovnice vypočítame , dosadením do 2. rovnice dostaneme

a dosadením a do 1. rovnice dostaneme . Riešenie: .

3.7. Súčet dvoch matíc a typu vypočítame nasledovne:

x

y

z

114

Súčin dvoch matíc a vypočítame ako:

3.8. Pri výpočte hodnosti matice

budeme najprv maticu upravovať

na trojuholníkový tvar, t.j. na maticu, ktorá obsahuje nuly pod hlavnou diagonálou. Prvý riadok

opíšeme, od druhého riadku odčítame dvojnásobok prvého riadku ( ):

od tretieho riadku odpočítame prvý riadok ( ) a nakoniec sčítame druhý a tretí

riadok ( ):

Počet nenulových riadkov vo výslednej trojuholníkovej matici je 2, teda .

3.9. Sústavu lineárnych rovníc budeme riešiť použitím Gaussovej eliminačnej metódy

Rozšírenú maticu sústavy upravíme ekvivalentnými úpravami na trojuholníkovú maticu:

115

Z poslednej matice vidíme, že hodnosť matice sústavy je rovná hodnosti rozšírenej matice

sústavy, ale je menšia ako počet neznámych . Preto bude mať sústava

nekonečne veľa riešení, pričom ľubovoľne voliť môžeme neznámu (parameter).

Z posledného riadku: dostaneme

. Druhý riadok: nám po

dosadení za

dá výsledok

. Nakoniec dosadíme za a do prvého riadku

a dostaneme . Tejto podmienke vyhovuje nekonečne veľa hodnôt a . Zvoľme

napríklad neznámu za parameter a položme: , kde predstavuje ľubovoľné

reálne číslo. Skúmaná sústava bude mať nekonečne veľa riešení, ktoré všetky spĺňajú tvar:

]

3.10. Determinant matice

vypočítame pomocou Sarrusovho pravidla.

Najprv si vytvoríme pomocnú schému pridaním prvých dvoch stĺpcov:

a potom vypočítame determinant:

3.11. Determinant matice

vypočítame pomocou rozvoja podľa

riadku alebo stĺpca. Rozvoj determinantu

výhodne urobíme podľa

4. riadku, ktorý obsahuje 2 nuly a bude teda krátky:

3.12. Inverznú maticu k matici

vypočítame nasledovným postupom.

Najprv nájdeme všetky algebraické doplnky prvkov matice :

116

Potom vypočítame determinant matice typu , napr. pomocou Sarrusovho pravidla:

Nakoniec určíme inverznú maticu podľa vzťahu [3.22.] :

3.13. Maticovú rovnicu s neznámou maticou :

kde:

budeme riešiť tak, aby sme dostali na ľavej strane rovnice len neznámu maticu :

Matica

je regulárna matica, preto bude existovať

inverzná matica , ktorú vypočítame podľa vzťahu [3.22.]:

. Ďalšími úpravami dostaneme výslednú rovnicu:

Matica

. Potom:

.

3.14. Sústavu lineárnych rovníc:

117

budeme riešiť pomocou Cramerovho pravidla [3.24.]. Matica sústavy:

,

determinant: je rôzny od nuly a je regulárna. Sústava bude teda mať

jedno riešenie, ktoré vypočítame ako:

3.15. Vlastné hodnoty a vlastné vektory matice

nájdeme týmto postupom. Najprv

vypočítame vlastné hodnoty z podmienky singulárneho determinantu: .

Vlastné hodnoty matice sú: .

Počítajme teraz vlastný vektor pre hodnotu . Dosadením dostaneme maticu:

Vytvorme rozšírenú maticu sústavy pre homogénnu sústavu :

Sčítaním 1. a 2. riadku zistíme, že matica má hodnosť 1 a je singulárna. Vlastný

problém bude teda mať pre vlastnú hodnotu netriviálne riešenie, ktoré nájdeme

dosadením :

z prvého riadku dostaneme pre súradnice vektora rovnicu:

Táto rovnica má nekonečne veľa riešení. Zvoľme jednu premennú ako: , . Vlastný

vektor potom bude mať tvar:

, , . Ak nenulový faktor zvolíme tak,

aby výsledok bol čo najjednoduchší, t.j. , potom výsledný vlastný vektor matice pre

vlastnú hodnotu bude:

.

118

O korektnosti výsledku sa presvedčíme skúškou správnosti:

Počítajme teraz vlastný vektor pre . Dosadením dostaneme maticu:

Vytvorme rozšírenú maticu sústavy pre homogénnu sústavu :

Odčítaním 1. riadku násobeného faktorom

od 2. riadku zistíme, že matica má

hodnosť 1 a je opäť singulárna. Vlastný problém bude teda mať pre vlastnú hodnotu

netriviálne riešenie, ktoré nájdeme dosadením :

Z prvého riadku pre súradnice vektora dostaneme rovnicu:

Vlastný vektor zvolíme ako:

, , . Nenulový faktor opäť zvolíme

čo najjednoduchší ako . Výsledný vlastný vektor bude mať tvar:

. Výsledok

opäť overíme skúškou správnosti:

119

4. Postupnosti a číselné rady

4.1. Nekonečná postupnosť

Postupnosti sú funkcie definované na množine prirodzených čísel

Definícia. Nekonečná postupnosť je funkcia definovaná na množine prirodzených čísel ,

ktorá každému číslu priradí práve jedno reálne číslo , také, že :

[4.1.]

Postupnosti namiesto tvaru obvyklého pre reálne funkcie zapisujeme v tvare:

[4.2.]

kde hodnotu nazývame prvým členom postupnosti (prislúchajúcim nezávisle premennej

), nazývame druhým členom, atď., kde index vyjadruje príslušnú hodnotu premennej

. Grafom postupnosti v karteziánskej súradnicovej sústave sú izolované body , (na

horizontálnej osi grafu zobrazujeme premennú a na vertikálnej osi funkčné hodnoty ), Obr.

4.1.

Obrázok 4.1. Graf postupnosti

. Graf sa skladá z izolovaných bodov .

Postupnosti môžeme zadávať rôznymi spôsobmi:

vymenovaním niekoľkých počiatočných členov postupnosti tak, aby bolo možné odhadnúť

tvar nasledujúcich členov,

zadaním vzorca pre výpočet n-tého člena,

rekurentne - tak, že zadáme prvý člen postupnosti a predpis ako vypočítať nasledujúci člen

pomocou predchádzajúceho člena, napr. (n+1)-vý člen z n-tého člena.

Napríklad:

120

Príklad.

a) Napíšte prvých 5 členov postupnosti, ktorej n-tý člen je definovaný ako:

.

Dosadenín dostaneme:

b) Nájdite vzorec pre n-tý člen postupnosti:

.

Keď prepíšeme postupnosť do tabuľky a vyjadríme v tvare zložených zlomkov:

Vidíme, že pravidelne klesá s rastúcou hodnotou n, pričom je v absolútnej hodnote o

nižšie ako n. Preto:

. Dosadením do vzťahu pre sa presvedčíme, že je

splnený aj pre .

c) Napíšte prvých 6 členov postupnosti danej rekurentne:

Riešime postupným dosadzovaním:

Teda:

Táto postupnosť sa nazýva Fibonacciho postupnosť. 62

Aritmetická postupnosť je zadaná prvým členom a rekurentným vzťahom:

[4.3.]

Číslo d sa nazýva diferencia. Pre výpočet n-tého člena platia nasledovné vzťahy:

Súčet prvých n členov aritmetickej postupnosti vypočítame podľa vzťahu:

[4.4.]

Príklad. Vypočítajte súčet prvých 15 členov aritmetickej postupnosti, pre členy ktorej platí:

62

Leonardo Pisano (1170-1250), známy ako Fibonacci, bol taliansky matematik, ktorý sa zaslúžil o rozšírenie

arabskej desiatkovej číselnej sústavy v Európe.

121

a

Najprv si pomocou členov a vypočítame konštanty postupnosti: a riešením sústavy

dvoch rovníc o dvoch neznámych:

Jej riešením dostaneme a . Dosadením dostaneme a súčet:

Geometrická postupnosť je zadaná prvým členom a rekurentným vzťahom:

kde číslo q sa nazýva kvocient. Na výpočet n-tého člena geometrickej postupnosti môžeme

použiť tieto vzťahy:

Súčet prvých n členov geometrickej postupnosti pre kvocient q 1 a vypočítame

nasledujúcim postupom. Súčet vynásobíme kvocientom a spočítame rozdiel :

[4.5.]

S narastajúcou hodnotou nezávisle premennej , bude geometrická postupnosť v závislosti

od hodnoty kvocientu q buď neobmedzene klesať (rásť) alebo sa bude približovať k nule, Obr.

4.2.

A B

122

C D

Obrázok 4.2. Graf geometrickej postupnosti pre a rôzne hodnoty kvocientu .

A. B. C. D. .

Príklad. Vypočítajte súčet prvých 10 členov geometrickej postupnosti, pre členy ktorej platí:

a

Najprv si pomocou členov a vypočítame konštanty postupnosti: a q riešením sústavy

dvoch rovníc o dvoch neznámych:

Jej riešením dostaneme a

. Dosadením dostaneme súčet :

So zvyšujúcou sa hodnotou nezávisle premennej n môžu body postupnosti rásť, klesať,

alebo sa približovať k určitému číslu. Hovoríme, že postupnosť je rastúca (klesajúca,

neklesajúca, nerastúca), ak pre každé platí: ( , ,

). Postupnosť je zdola (zhora) ohraničená, ak existuje také , že pre

každé platí: ( . Postupnosť je ohraničená, ak je ohraničená zdola aj

zhora.

Príklad. Dokážte, že postupnosť

je rastúca a ohraničená. Pre rastúcu postupnosť

platí:

123

čo je splnené pre každé , teda postupnosť je rastúca. Pre dostaneme najnižšiu hodnotu

(spodnú hranicu, ) rastúcej postupnosti (

, teda pre každé platí:

. Hornú hranicu odhadneme ako . Skúsme, či pre ľubovoľné platí:

čo je splnené pre každé . Preto postupnosť

je rastúca a ohraničená číslami:

a .

4.2. Limita postupnosti

Grafy dvoch postupností na obrázku (Obr. 4.3.) vykazujú rozdielny trend funkčných hodnôt.

Zatiaľ čo postupnosť s narastajúcou hodnotou n neobmedzene rastie (hovoríme, že

postupnosť diverguje), postupnosť

sa s narastajúcim hodnotou n neobmedzene približuje

k číslu nula (hovoríme, že postupnosť konverguje k nule). Číslo nula v tomto prípade

predstavuje tzv. hromadný bod, t.j. bod v okolí ktorého sa na grafe nachádza nekonečne veľa

bodov postupnosti.

A B

Obrázok 4.3. Graf postupnosti. A. . B.

.

Okolie bodu úzko súvisí s pojmom neobmedzeného približovania. -okolie bodu ( )

definujeme ako interval so stredom v a so šírkou alebo množinu

. Hovoríme, že postupnosť sa neobmedzene (limitne) približuje k číslu ,

ak pre ľubovoľne malú zvolenú hodnotu ležia body postupnosti v -okolí , Obr.

4.4. Teda:

– [4.6.]

124

Obrázok 4.4. Graf postupnosti

Pre ležia body postupnosti v úzkom páse

ohraničenom plnými čiarami okolo čísla , ku ktorému sa členy postupnosti neobmedzene približujú, v tzv.

-okolí bodu kde .63

Definícia. Hovoríme, že číslo je vlastnou limitou postupnosti , ak pre každé ,

existuje taký index , že pre všetky platí:

alebo [4.7.]

zapisujeme:

[4.8.]

a čítame „limita pre idúce do nekonečna je rovná “. Postupnosť, ktorá má limitu sa

nazýva konvergentná a postupnosť, ktorá nemá limitu sa nazýva divergentná.

Príklad. Dokážte, že limita postupnosti

z Obr. 4.4. sa rovná:

.

Podľa definície limity postupnosti musí pre všetky a platiť vzťah [4.7.]:

Z pravej strany nerovnosti:

úpravou dostaneme: , čo je splnené

pre každé . Ľavú stranu nerovnice:

upravíme na tvar:

, ktorý

udáva pre aké hodnoty je splnená ľavá strana nerovnice, keď si zvolíme parameter .

Dosadením vybraných zvolených hodnôt dostaneme:

Príklad. Dokážte, že limita postupnosti

sa rovná:

.

Ak sa limita postupnosti rovná , potom musí byť splnená podmienka [4.7.]:

63

Symbol v nerovnosti znamená, že číslo je omnoho menšie ako číslo .

)

125

Ľavá strana nerovnosti:

je splnená pre každé . Pre pravú stranu:

vieme

pre každú zvolenú hodnotu nájsť hodnotu

také, aby bola definičná nerovnosť

splnená. Preto platí:

.

Veta. Limita postupnosti

sa rovná:

kde [4.9.]

Konvergentná postupnosť je ohraničená, pretože členy postupnosti, ktorá má limitu

rovnú b, ležia pre v -okolí bodu , , Obr. 4.4., a neprekračujú hodnotu . Na

druhej strane samotná ohraničenosť postupnosti ešte nezaručuje jej konvergenciu. Príkladom

ohraničenej postupnosti, ktorá nie je konvergentná je napr. postupnosť , o čom sa

čitateľ môže ľahko presvedčiť nakreslením jej grafu. O existencii limít postupností hovorí

nasledujúca veta, ktorú uvedieme bez dôkazu.

Veta. Každá ohraničená monotónna 64

postupnosť má limitu. Každá postupnosť má najviac

jednu limitu.

Existujú divergentné postupnosti také, že neobmedzene rastú nad alebo klesajú pod každú

hranicu. Pre takéto postupnosti môžeme zaviesť nevlastné limity.

Definícia. Postupnosť má nevlastnú limitu ( ), ak pre každé existuje

index taký, že pre všetky platí: ( ), čo zapisujeme ako:

( ) [4.10.]

V ďalšom texte si uvedieme niektoré vlastnosti limít postupností a preberieme metódy

výpočtu limít.

Veta. Majme dve konvergentné postupnosti a , ktorých limity sa rovnajú číslam:

a

potom:

kde

[4.11.]

, ak

64

Termín monotónna funkcia alebo krivka znamená, že táto vo svojom definičnom obore buď len rastie alebo len

klesá, prípadne aj stagnuje (čo nie je ani rast ani pokles), ale nikdy vo svojom definičnom nekombinuje pokles

a rast. Podrobnejšie sa budeme týmto termínom zaoberať v diferenciálnom počte.

126

ak ,

ak ,

Pomocou týchto pravidiel môžeme vypočítať limity postupností komplikovanejšieho tvaru.

Príklad. Vypočítajte limitu postupnosti:

.

Tento typ limít, ktoré pripomínajú racionálnu lomenú funkciu, počítame tak, že zlomok

vynásobíme výrazom, ktorý obsahuje prevrátenú hodnotu najvyššej mocniny , ktorá sa

v zlomku nachádza, v našom prípade:

. Potom aplikujeme pravidlá pre výpočet limity

podielu, súčtu a rozdielu postupností. V zlomku potom dostaneme limity tvaru

,

vzťah [4.9.], ktoré sa rovnajú nule.

Príklad. Vypočítajte limitu postupnosti:

Príklad. Vypočítajte limitu postupnosti:

Predchádzajúcu vetu o vlastnostiach limít konvergentných postupností je možné obozretne

aplikovať aj na nevlastné limity. Ak máme dve postupnosti divergujúce do nekonečna:

a

potom platí: , čo môžeme zjednodušene symbolicky zapísať ako:

. Pomocou takejto zjednodušenej notácie vieme potom prehľadne zapísať viaceré

vlastnosti nevlastných limít:

,

, kde

, kde ,

, kde ,

, kde ,

127

, kde ,

,

kde

Pri výpočte limít sa môžeme stretnúť aj s kombináciami symbolov, ktoré patria medzi tzv.

neurčité výrazy, pre ktoré nevieme priamo určiť výsledok:

. Takéto prípady treba riešiť individuálne. Napríklad pre limity typu

vieme riešiť

pomocou nasledujúcej vety.

Veta. Pre postupnosti , ktoré konvergujú k nule: a ktorých členy

nadobúdajú len kladné hodnoty: (len záporné hodnoty: ), platí:

(

) [4.12.]

4.3. Nekonečný rad

Majme postupnosť

kde

( ). Pomocou tejto

postupnosti vytvoríme novú postupnosť tak, že každý jej člen sa bude rovnať súčtu prvých

členov postupnosti :

Dá sa ukázať, že limita takejto postupnosti čiastočných súčtov postupnosti bude mať

nekonečne veľa sčítancov ( ) a tvar:

[4.13.]

Hodnota limity v hore uvedenom príklade postupnosti s

bude rovná

.

Súčet nekonečného číselného radu však nemusí vždy existovať (t.j. môže byť nekonečne

veľký). Súčet nekonečného radu existuje vtedy, ak má postupnosť čiastočných súčtov z neho

vytvorená vlastnú limitu.

Veta. Hovoríme, že nekonečný rad: je konvergentný, t.j. má súčet, ak postupnosť

čiastočných súčtov z neho vytvorená je konvergentná, a teda má limitu: .

Potom aj súčet nekonečného radu sa rovná :

[4.14.]

128

Poznámka. Sumácia vo výraze pre nekonečný rad [4.13.] nemusí vždy začínať od indexu

, ale môže začať aj od iného celého čísla (najčastejšie od ).

Príklad. Majme nekonečný rad:

.

Vytvorme z tohto radu postupnosť čiastočných súčtov:

Súčet nekonečného radu bude existovať, ak postupnosť vytvorená z čiastočných súčtov radu:

bude konvergovať. Presvedčme sa teda výpočtom, že táto postupnosť

konverguje a má limitu:

Potom podľa vzťahu [4.12.] súčet nekonečného radu

bude rovný:

Príklad. Majme nekonečný rad: .

Postupnosť čiastočných súčtov tohto radu bude mať tvar nasledovnej postupnosti:

, ktorá diverguje do . Preto súčet nekonečného radu nebude

existovať (bude nekonečný).

Vo všeobecnosti nie je jednoduché určiť, či daný nekonečný rad konverguje alebo diverguje,

a ak konverguje, čomu sa rovná jeho suma. Ako zistíme či daný nekonečný rad konverguje

alebo diverguje hovorí nasledujúca veta.

Veta. Nech je nekonečný rad. Nech existuje limita (D’Alembertovo kritérium

konvergencie):65

[4.15.]

Ak potom rad konverguje, ak potom rad diverguje, ak potom kritérium

nie je použiteľné na zistenie konvergencie radu.

Príklad. Rozhodnite, či nekonečný rad

konverguje alebo diverguje.

Vypočítame D’Alembertovo kritérium konvergencie:

65

Jean le Rond D'Alembert (1717-1783) bol francúzsky filozof, matematik, fyzik, astronóm a encyklopedista.

129

Keďže rad bude konvergovať, jeho súčet však nepoznáme.

Príklad. Rozhodnite, či nekonečný rad

konverguje alebo diverguje.

Vypočítame D’Alembertovo kritérium konvergencie:

Keďže rad bude konvergovať, jeho súčet však opäť nepoznáme.

Okrem D’Alembertovho kritéria existujú aj ďalšie testy konvergencie, ako napr. Raabeho,

Bertrandov alebo Kummerov test, ktoré tu však nebudeme bližšie rozoberať.66

Nájsť súčet konvergentného radu vo väčšine prípadov nevieme. Vieme však aspoň odhadnúť

približnú hodnotu súčtu použitím numerických metód pomocou počítačov. Výnimku tvoria

geometrické rady, ktorých súčet vieme určiť presne. Ako sme ukázali vo vzťahu [4.5.], pre

súčet prvých n členov geometrickej postupnosti platí vzorec:

. Geometrický

rad je nekonečný súčet členov geometrickej postupnosti:

[4.16.]

a jeho súčet je definovaný ako limita :

[4.17.]

Ak pre kvocient q platí:

potom

, súčet geometrického radu existuje a rovná sa:

[4.16.]

potom

neexistuje a geometrický rad diverguje.

Príklad. Určte, či nekonečný rad

konverguje a ak áno, určte jeho súčet.

Jedná sa o geometrický rad s koeficientom a kvocientom

, pre ktorý platí:

, preto rad konverguje. Jeho súčet existuje a nájdeme ho ako:

66

Joseph Ludwig Raabe (1801-1859) bol švajčiarsky matematik. Joseph Louis Francois Bertrand (1822-1900) bol

francúzsky matematik. Ernst Eduard Kummer (1810-1893) bol nemecký matematik.

130

4.4. Mocninové rady

Doteraz sme uvažovali nekonečné číselné rady, ktorých členmi boli čísla (konštanty) :

Teraz sa zameriame na funkcionálne rady, presnejšie na mocninové rady, ktorých členy

obsahujú okrem číselných konštánt an aj nezávisle premennú x a jej prirodzené mocniny:

[4.19.]

kde . Takýto mocninový rad predstavuje polynóm nekonečného stupňa ( ), ktorý

sa po dosadení konkrétneho čísla: zmení na nekonečný číselný rad s reálnymi členmi:

, a ktorý pre danú hodnotu buď konverguje alebo nie. Vidíme, že pomocou

mocninového radu môžeme definovať funkciu, ktorá číslu , pre ktoré rad konverguje,

priradí súčet číselného radu

. Mocninový rad je teda istá funkcia,

ktorej definičným oborom sú všetky čísla , pre ktoré rad konverguje, a funkčná hodnota je

jeho súčet .

Príklad. Nájdite súčet mocninového radu: .

Tento mocninový rad pre predstavuje po dosadení

geometrický rad s kvocientom r. Ak potom rad konverguje a jeho súčet sa rovná:

.

ak napríklad

potom

.

ak napríklad

potom

Daný mocninový rad teda predstavuje funkciu, ktorá každému r takému, že , priradí

číslo

. Hovoríme teda, že mocninový rad

konverguje k funkcii

na intervale

.

Dá sa dokázať, že každý mocninový rad konverguje na symetrickom intervale , kde

parameter nazývame polomer konvergencie. Polomer konvergencie mocninového radu

môžeme určiť pomocou nasledovného vzťahu:

[4.20.]

Príklad. Nájdite polomer konvergencie mocninového radu:

.

Podľa kritéria [4.20.] určíme polomer a interval konvergencie:

131

Mocninový rad

teda konverguje na intervale . Keďže tento rad predstavuje

geometrický rad s kvocientom

, vieme určiť aj funkciu, ku ktorej rad konverguje:

.

Existujú aj mocninové rady, ktoré majú interval konvergencie , napríklad:

.

Ak poznáme súčet takéhoto radu , môžeme ho nahradiť funkciou . V iných prípadoch

môže byť naopak výhodné rozvinúť funkciu do mocninového radu:

.

132

Cvičenia 4.

4.1. Napíšte prvých 5 členov postupnosti, ktorej n-tý člen je definovaný ako:

.

4.2. Nájdite vzorec pre n-tý člen postupnosti:

.

4.3. Vypočítajte súčet prvých 10 členov aritmetickej postupnosti: .

4.4. Vypočítajte súčet prvých 15 členov geometrickej postupnosti:

.

4.5. Dokážte, že postupnosť

je rastúca a ohraničená.

4.6. Vypočítajte limitu postupnosti:

.

4.7. Vypočítajte limitu postupnosti:

.

4.8. Vypočítajte limitu postupnosti:

.

4.9. Vypočítajte limitu postupnosti:

.

4.10. Určte, či nekonečný rad

je konvergentný, ak áno, nájdite jeho súčet.

4.11. Rozhodnite pomocou D’Alembertovho kritéria, či nekonečný číselný rad

konverguje alebo diverguje.

4.12. Nájdite interval konvergencie mocninového radu:

.

133

Riešenia 4.

4.1. Prvých 5 členov postupnosti definovanej ako:

dostaneme dosadenín n = 1, ... , 5

do vzťahu pre :

.

4.2. Postupnosť

zadanú vymenovaním prvých 5 členov

prepíšeme do tabuľky a motívy, ktoré sa opakujú v čitateli aj menovateli zlomkov

sú

teraz očividné:

}.

Index

4.3. Súčet prvých 10 členov aritmetickej postupnosti: vypočítame

pomocou prvého a desiateho člena postupnosti: a podľa vzťahu [4.4.]:

4.4. Súčet prvých 15 členov geometrickej postupnosti

vypočítame podľa vzorca [4.5.]:

4.5. Či je postupnosť

rastúca a ohraničená zistíme nasledovným postupom. Ak je

postupnosť rastúca, potom platí:

čo je splnené pre každé n, postupnosť je teda rastúca. Pre dostaneme najnižšiu hodnotu

(spodnú hranicu ) rastúcej postupnosti ( . Teda pre každé platí:

. Hornú hranicu odhadneme ako (na čo nám stačí spočítať pre ,

a ). Skúsme, či pre ľubovoľné platí:

134

čo je splnené pre každé . Preto postupnosť

je rastúca a ohraničená číslami:

a

4.6. Pri výpočte limity

využijeme fakt, že

a pôvodnú

limitu prevedieme na tento typ limít násobením faktorom:

. Dostaneme:

4.7. Pri výpočte limity postupnosti:

využijeme substitúciu ,

pričom platí: a vzťah:

4.8. Pri výpočte limity postupnosti:

využijeme substitúciu ,

pričom platí: a vzťah:

.

4.9. Limitu postupnosti:

vypočítame takto:

4.10. Nekonečný geometrický rad

má kvocient

, preto tento rad

konverguje. Jeho súčet vypočítame podľa vzťahu [4.16.]:

4.11. Vypočítame D’Alembertovo kritérium konvergencie pre nekonečný číselný rad

a podľa neho určíme, či rad konverguje:

135

Keďže , rad bude konvergovať.

4.12. Interval konvergencie mocninového radu:

budeme hľadať pomocou vzťahu

[4.18.]:

Mocninový rad bude teda konvergovať v intervale .

136

5. Diferenciálny počet

5.1. Limita funkcie

Podobne ako limita postupnosti, ktorá opisuje "správanie" sa postupnosti pre , aj

limita funkcie opisuje priebeh funkcie v najbližšom okolí 67

bodu , prípadne pre hodnoty

nezávisle premennej rastúce (klesajúce) cez všetky medze ( . Limita funkcie nám teda

poskytuje viac informácií o funkcii v danom mieste ako len samotná funkčná hodnota.

Napríklad, pre funkcie a znázornené na Obr. 5.1. platí, že zatiaľ čo ,

nie je definovaná. Na druhej strane pre obidve funkcie platí, že pre x neobmedzene sa blížiace k

číslu , funkčné hodnoty sa limitne približujú k rovnakému číslu ( a

).

A. B.

Obrázok 5.1. Grafy funkcií: A.

. B.

.

Pre výpočet limity funkcie v bode nie je dôležité, či je v tomto bode funkcia definovaná

(preto v definícii limity požadujeme ), podstatné je len, ako sa správa v okolí bodu a.

Uveďme si teraz, ako definoval Heine68

limitu funkcie pomocou limity postupnosti

nezávisle premennej.

Definícia. Nech existuje také okolie bodu , že funkcia je definovaná pre všetky body

okolia okrem bodu , – . Hovoríme, že funkcia má v bode vlastnú

limitu rovnú , ak pre každú postupnosť takú, že:

,

platí:

čo zapisujeme ako:

[5.1.]

67

Okolím bodu rozumieme interval , kde , a označujeme ho 68

Heinrich Eduard Heine (1821-1881) bol nemecký matematik známy svojim prínosom k matematickej analýze.

137

Túto definíciu limity môžeme pomocou kvantifikátorov zapísať aj ako:

Definícia hovorí, ak existuje postupnosť , ktorá sa neobmedzene približuje k bodu

( ), potom funkčné hodnoty funkcie v bodoch tejto postupnosti sa budú

neobmedzene približovať k hodnote , Obr. 5.2.

Obrázok 5.2. Heineho definícia limity funkcie v bode pomocou postupnosti .

Príklad. Počítajme limitu funkcie

v bode podľa Heineho definície.

Vyberme takú postupnosť ktorej limita sa rovná ( ), napríklad

, pre ktorú platí, ak: potom: . Keď body tejto postupnosti

zvolíme za uvažované hodnoty nezávisle premennej funkcie (pretože sa približujú k bodu

, v ktorom chceme vypočítať limitu), dostaneme:

Existuje aj ekvivalentná Cauchyho69

definícia limity funkcie, ktorá využíva pojmy -okolia

a -okolia bodu.

Definícia.

Nech je funkcia f definovaná pre všetky z -okolia bodu a, t.j. z intervalu

, , . Hovoríme, že funkcia má v bode a vlastnú limitu rovnú

číslu , ak ku každému okoliu existuje také okolie , t.j. interval , , , že . Túto podmienku formulujeme pomocou kvantifikátorov

takto:

Čo zapisujeme ako:

[5.2.]

69

Augustin Louis Cauchy (1789-1857) bol významný francúzsky matematik, ktorý sa zaslúžil o exaktnú

formuláciu diferenciálneho a integrálneho počtu.

138

Pojmy -okolie bodu a -okolie bodu sú znázornené na Obr. 5.3.

Obrázok 5.3. Cauchyho definícia limity funkcie v bode definovaná pomocou okolí a

.

Cauchyho definícia limity funkcie si nevyžaduje zavedenie postupnosti na popísanie

neobmedzeného približovania nezávisle premennej k bodu ( ), avšak Heineho definícia

sa jednoduchšie aplikuje v prípadoch, keď alebo . Proces približovania sa k

v Cauchyho definícii limity zabezpečuje požiadavka, nech zvolíme akokoľvek malé, vždy

musí existovať také, že pre . Pre každú funkciu platí: funkcia

môže mať v bode najviac jednu limitu.

Obr. 5.4. znázorňuje dve reálne funkcie

a

, ktoré majú odlišný priebeh

v okolí bodu nula. Vidíme, že funkcia

nadobúda rovnaké hodnoty ,

nezávisle od toho, či sa k bodu približujeme zľava alebo sprava (t.j. smerom

od záporných čísel alebo od kladných čísel). Na druhej strane, funkcia

nadobúda

rozdielne hodnoty , keď sa približujeme sprava a , keď sa približujeme

k nule zľava. Preto v bode bude existovať len limita funkcie , zatiaľ čo pre obidve

funkcie budú v tomto bode existovať limity sprava a zľava.

139

Obrázok 5.4. Grafy funkcií:

a

v okolí bodu .

Definícia. Nech je funkcia definovaná pre všetky z intervalu (( ), , . Hovoríme, že funkcia má v bode limitu sprava (limitu zľava)

rovnú číslu , ak ku každému -okoliu , t.j. intervalu , , ,

existuje také, že pre všetky z intervalu ) platí> , čo zapisujeme ako:

( )

Dá sa dokázať, že funkcia má v danom bode limitu vtedy a len vtedy, ak má v tomto bode

limitu sprava aj limitu zľava a platí:

[5.3.]

Pre funkcie definované na intervale , prípadne ( , definujeme vlastnú limitu

v nevlastnom bode ( nasledovne:

Definícia. Nech je funkcia f definovaná na intervale , , ak existuje také,

že platí:

potom hovoríme, že funkcia f má vlastnú limitu v nevlastnom bode.

Nech je funkcia f definovaná na intervale , , ak existuje také, že platí:

potom hovoríme, že funkcia f má vlastnú limitu v nevlastnom bode.

Veta. Majme dve funkcie a , ktoré sú definované na a ich limity

v bode a sa rovnajú:

a

potom:

, kde

[5.4.]

, kde

, ak

, kde ,

140

Je vhodné zapamätať si hodnoty limít vo "významných" bodoch pre niektoré bežné funkcie:

,

,

, kde

, ,

, , , neexistuje, rovnako

neexistuje limita v nevlastných bodoch pre žiadnu periodickú funkciu

, ak a funkcia je v bode spojitá 70

Pomocou týchto pravidiel môžeme vypočítať limity funkcií komplikovanejšieho tvaru. Z vety

vyplýva, že limita polynómu v bode sa rovná jeho funkčnej hodnote v tomto bode:

Príklad. Vypočítajte limitu funkcie:

.

Na výpočet limity použijeme pravidlá uvedené v predchádzajúcej vete a limitu rozdelíme na

súčet/rozdiel jednoduchých limít:

.

Príklad. Vypočítajte limitu funkcie:

.

.

71

70

Otázku spojitosti funkcie v bode podrobnejšie preberieme na nasledujúcich stranách. Môžeme však už teraz

naznačiť, že spojitosť súvisí s existenciou limity funkcie. 71

Symbolom “0-“ myslíme číslo blízke nule, ktoré sa k nule približuje zľava (zo strany záporných čísel).

141

Príklad. Vypočítajte limitu funkcie:

.

a)

pretože

b)

Keďže limita zľava je rôzna od limity sprava v bode , potom limita:

neexistuje.

Príklad. Vypočítajte limitu funkcie:

.

72

Použili sme substitúciu a zároveň sme uvážili, ak potom aj , teda .

Príklad. Vypočítajte limitu funkcie: .

Pri výpočte sme použili vzťah:

Príklad. Vypočítajte limitu funkcie:

.

Doteraz sme sa zapodievali vlastnými limitami funkcií, t.j. situáciami, v ktorých sa hodnota

funkcie v bode , prípadne v nevlastnom bode ( ), blíži ku konečnému číslu

, . Existujú však aj nevlastné limity funkcií vo vlastných alebo nevlastných bodoch (

alebo ), v ktorých, keď sa približuje k zľava alebo sprava, funkčná hodnota rastie

nad všetky medze .

Definícia. Nech je funkcia definovaná na -okolí bodu , , ak existuje také

, že platí:

hovoríme, že funkcia má vo vlastnom bode a nevlastnú limitu rovnú a značíme:

72

Symbol, ako napr. “ “ uprostred výpočtu, značí zavedenie substitúcie (premennú nahradíme novou

premennou , ktorá je výhodnejšia pre dokončenie výpočtu).

142

.

Nech je funkcia f definovaná na -okolí bodu , , ak existuje také , že platí:

hovoríme, že funkcia f má vo vlastnom bode a nevlastnú limitu rovnú a značíme:

.

Definície jednostranných nevlastných limít v bode získame z predchádzajúcich definícií,

ak nahradíme -okolie bodu a intervalom alebo .

Pre funkcie definované na intervale , prípadne ( , definujeme nevlastnú

limitu v nevlastnom bode ( nasledovne:

Definícia. Nech je funkcia f definovaná na intervale , , ak existuje také,

že platí:

hovoríme, že funkcia f má v nevlastnom bode nevlastnú limitu .

Nech je funkcia f definovaná na intervale , , ak existuje také, že platí:

hovoríme, že funkcia f má v nevlastnom bode nevlastnú limitu .

Ak v predchádzajúcich definíciách nahradíme interval intervalom a reláciu

nahradíme nerovnosťou , potom dostaneme definície pre nevlastnú limitu

funkcie f v nevlastnom bode : a .

Je užitočné zapamätať si hodnoty nevlastných limít pre niektoré bežné funkcie:

,

,

,

,

,

,

,

,

Podobne ako pri vlastnostiach limít konvergentných postupností, je možné obozretne aplikovať

pravidlá a vzťahy [5.4.] pre vlastné limity funkcií aj na nevlastné limity. Ak máme dve funkcie

a pre ktoré platí:

143

, a alebo

potom pre

, čo môžeme zjednodušene symbolicky zapísať ako:

v závislosti od znamienka

Pomocou takejto zjednodušenej notácie vieme potom prehľadne zapísať viaceré vlastnosti

nevlastných limít:

,

, , kde

, , kde ,

, , kde ,

, , kde ,

, , kde ,

Pri výpočte limít sa môžeme stretnúť aj s kombináciami symbolov, ktoré patria medzi tzv.

neurčité výrazy, pre ktoré nevieme priamo určiť výsledok:

. Takéto prípady treba riešiť individuálne. Ako môžeme v týchto prípadoch

postupovať si ukážeme v nasledujúcich odsekoch, v časti venovanej L’Hospitalovmu pravidlu.

Niektoré limity tohtotypu vieme určiť aj pomocou nasledujúcej vety.

Veta. Nech platí pre . Ak platí:

, potom aj: [5.5.]

Príklad. Vypočítajte limitu typu “ “: .

Príklad. Vypočítajte limitu typu “

“:

.

Príklad. Vypočítajte limitu neurčitého výrazu:

, Obr. 5.5.

144

Obrázok 5.5. Graf funkcií:

a

v okolí bodu .

Limita

neexistuje (Obr. 5.5), platí však nasledovný vzťah:

Vynásobením dostaneme:

Keďže podľa vety [5.5.] bude platiť:

5.2. Spojitosť funkcie

Definícia. Nech je funkcia definovaná na -okolí bodu , . Ak platí:

, potom hovoríme, že funkcia je v bode spojitá.

Pomocou kvantifikátorov môžeme definíciu spojitosti funkcie zapísať napr. takto:

Ak je funkcia definovaná na pravom okolí bodu (t.j. na intervale ), respektíve na

ľavom okolí bodu (t.j. na intervale ) a platí: , resp.

, potom hovoríme, že funkcia je spojitá sprava, resp. spojitá zľava.

Funkcia je v bode spojitá, ak je v tomto bode spojitá zároveň zľava aj sprava.

Definícia. Funkcia je spojitá na intervale , ak je spojitá v každom bode tohto intervalu.

V krajných bodoch intervalu a požadujeme, aby funkcia bola spojitá v bode zľava

a v bode sprava.

Väčšina známych funkcií je spojitá v každom bode svojho definičného oboru. Patria medzi

ne polynómy, racionálne lomené funkcie, mocniny, logaritmické a exponenciálne funkcie,

goniometrické a cyklometrické funkcie. Grafom spojitej funkcie je neprerušovaná krivka.

Funkcie, ktoré sú spojité na ohraničenom a uzavretom intervale majú dôležité vlastnosti

(Weierstrassova veta a Bolzanova veta).

145

Veta. Nech funkcia je spojitá na intervale , potom je na tomto intervale ohraničená

a nadobúda na ňom svoje najväčšie aj najmenšie hodnoty (Weierstrassova veta).73

Veta. Nech funkcia je spojitá na intervale , potom na tomto intervale nadobúda všetky

hodnoty medzi svojou najväčšou a najmenšou hodnotou (Bolzanova veta).74

Z tejto vety vyplýva nasledujúca vlastnosť, ktorá sa používa pri približnom výpočte riešenia

rovnice , a to, ak je funkcia spojitá na uzavretom intervale a ,

potom existuje bod , taký, že .

Ak neexistuje v bode funkčná hodnota funkcie , potom, na rozdiel od limity, nemôžeme

o spojitosti v tomto bode ani uvažovať. Ako dôsledok vety o limite súčtu, súčinu, ... funkcií

platí nasledujúca veta.

Veta. Súčet, rozdiel, súčin a podiel spojitých funkcií je opäť spojitá funkcia (pričom

predpokladáme, že funkcia v menovateli podielu nenadobúda nulové hodnoty).

Príklad. Ako príklad nespojitej funkcie definovanej pre všetky reálne čísla , je funkcia

celá časť: , Obr. 5.6.

Obrázok 5.6. Graf funkcie (celá časť , táto funkcia priradí najbližšie nižšie alebo

rovné celé číslo).

Funkcia nie je spojitá v celých číslach, pretože tam platí, napr.:

, ale

Funkcia teda v bode nemá limitu zľava rovnú limite sprava, teda v bode nemá

limitu a nie je v tomto bode spojitá. Podobne ani v ostatných celých číslach .

73

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897) bol nemecký matematik považovaný za otca modernej

matematickej analýzy. 74

Bernard Bolzano (1781-1848) bol významný nemecky hovoriaci český matematik a filozof, ktorý sa venoval

matematickej analýze.

146

5.3. Derivácia funkcie

Pojem derivácia funkcie v bode zavedieme opísaním jeho geometrického významu. Majme

lineárnu funkciu f, ktorá je charakterizovaná rovnicou , a ktorej grafom je

v karteziánskej súradnicovej sústave priamka, Obr. 5.7.A. Táto priamka, ktorá prechádza

dvomi bodmi a , bude mať smernicu rovnú:

kde tangens uhla , ktorý zviera priamka s kladným smerom osi , vyjadruje veľkosť(strmosť)

“stúpania“ priamky. Smernica teda určuje stúpanie priamky. Určiť strmosť stúpania krivky je

však o niečo zložitejšie. Majme všeobecnú krivku zadanú rovnicou Obr. 5.7.B.

a hľadajme ako popísať stúpanie krivky v bode . Zostrojme v tomto bode ľubovoľnú

priamku, ktorá našu krivku pretne v dvoch bodoch: a (nazveme ju

sečnica). Smernica sečnice s bude rovná (Obr. 5.7.B.):

Predstavme si teraz, že bod sa šmýka nadol po krivke , pričom sa stále viac

blíži k , až splynie s bodom . Sečnica , ktorá sa pohybuje spolu s bodom,

sa tiež posúva nadol a nakoniec splynie s dotyčnicou , ktorá sa krivky dotýka len v jednom

bode , Obr. 5.7.B. Smernica dotyčnice bude potom limitnou hodnotou smernice

sečnice :

[5.6.]

Táto limita nazýva deriváciou funkcie v bode . Geometrická interpretácia derivácie

funkcie je teda smernica dotyčnice ku krivke v danom bode.

A B

Obrázok 5.7. Grafy funkcií a smernice kriviek. A. Priamka:

. B. Krivka: .

Definícia. Nech funkcia je definovaná v okolí bodu . Ak existuje limita:

[5.7.]

potom ju nazývame deriváciou funkcie v bode . Ak označíme , potom:

y

–

–

147

Derivácia teda umožňuje definovať dotyčnicu ku krivke (grafu funkcie ) v dotykovom bode

ako priamku so smernicou prechádzajúcu bodom :

[5.8.]

Normála je kolmica na dotyčnicu v dotykovom bode. Pre jej smernicu platí:

Potom normála má rovnicu:

[5.9.]

Derivácia funkcie v bode sa okrem (Lagrangeova notácia)75

niekedy označuje aj ako

(Leibnizova notácia), prípadne vo fyzike aj ako (Newtonova notácia)

76.

Funkcia má v bode nanajvýš jednu deriváciu. Podobne ako sme vzťahom [5.7.] definovali

deriváciu funkcie v bode , definujeme aj deriváciu sprava a deriváciu zľava.

Definícia. Nech funkcia je definovaná na intervale ) kde , .

Ak existuje limita:

[5.10.]

potom ju nazývame deriváciou funkcie sprava (zľava) v bode .

Funkcia má v bode deriváciu ak má v tomto bode deriváciu zľava aj sprava a tieto sa rovnajú:

Derivácie zľava alebo sprava počítame v hraničných bodoch uzavretého intervalu, ak je to

potrebné. Môžu poslúžiť aj na zisťovanie existencie derivácie funkcie v daných bodoch.

Funkcie, ktoré majú v každom bode definičného oboru vlastnú deriváciu, nazývame hladké

funkcie (možno k nim zostrojiť dotyčnicu v každom bode ).

Príklad. Vypočítajte deriváciu funkcie: v bode , Obr. 5.8.

75

Joseph Louis Lagrange (1736-1813) bol taliansko-francúzsky matematik a astronóm, jeden zo zakladateľov

variačného počtu. 76

Sir Isaac Newton (1643-1727) bol anglický fyzik, matematik a filozof. Založil infinitezimálny počet a

sformuloval prvú teóriu sily a gravitácie. Jeho objavy položili základy modernej fyziky.

148

Obrázok 5.8. Graf funkcie: .

Podľa definície [5.10.] vypočítame v bode deriváciu funkcie zľava a sprava:

Vidíme, že v bode funkcia nemá deriváciu, pretože:

,

a to aj napriek tomu, že funkcia je v bode spojitá. Zo spojitosti funkcie teda nevyplýva

existencia derivácie. V nasledujúcej vete ukážeme, že opačné tvrdenie je pravdivé.

Veta. Ak funkcia má v bode deriváciu, potom je v tomto bode spojitá (platí:

).

Dôkaz. Predpokladajme, že má v bode deriváciu, teda existuje limita:

potom pre každé môžeme napísať:

Limita tohto výrazu:

Čo bolo treba dokázať.

Príklad. Vypočítajte deriváciu funkcie: v bode a napíšte rovnicu

dotyčnice a normály v bode [1, 3]. Na výpočet derivácie využijeme definičný vzťah [5.7.]:

Rovnica dotyčnice bude mať podľa [5.8.] tvar:

alebo

x

y

149

Rovnica normály podľa [5.9.], Obr. 5.9.:

alebo

Obrázok 5.9. Graf funkcie: , dotyčnice (t): a normály (n):

.

Ak je derivácia funkcie v bode nulová, potom je dotyčnica ku grafu funkcie rovnobežná s

osou (normála bude v tomto prípade rovnobežná s osou ). Ak je derivácia funkcie v bode

rovná (ako napríklad derivácia sprava pre ), potom je dotyčnica ku

grafu funkcie rovnobežná s osou (smernicu má priamka, ktorá zviera s osou uhol,

ktorého tangens je rovný , t.j. pravý uhol

).

Body, v ktorých existuje derivácia funkcie tvoria množinu, na ktorej je definovaná funkcia

, ktorú nazývame deriváciou funkcie .

Príklad. Nájdite deriváciu funkcie: pre ľubovoľné , .

Podľa definície:

teda pre akékoľvek platí: , čo skrátene zapisujeme ako: .

Fyzikálny zmysel derivácie je v tom, že vyjadruje prírastok (zmenu) fyzikálnej veličiny v

závislosti od zmeny (nezávisle) premennej. Napríklad, uvažujme pohyb hmotného bodu po

číselnej osi a označme jeho polohu v čase . Derivácia funkcie v bode , t.j.

, má význam okamžitej rýchlosti pohybu bodu v čase

(ak sa jedná o funkciu závislú od času, zvykne sa derivácia zjednodušene označovať bodkou

nad symbolom funkcie:

). Pre funkciu , kde , , (jedná

sa o rovnomerný priamočiary pohyb), bude okamžitá rýchlosť pohybu (v tomto prípade rovná

strednej rýchlosti) v čase t rovná: . Pre , kde , , (jedná sa o

rovnomerne zrýchlený priamočiary pohyb), bude okamžitá rýchlosť pohybu v čase rovná:

. Podobne ako pre rýchlosť pohybujúceho sa hmotného bodu, môžeme napríklad

150

počítať okamžitú rýchlosť priebehu chemickej reakcie ako zmenu koncentrácie látky s

časom: .

Výpočet derivácie funkcií sa bežne nerobí pomocou definičného vzťahu [5.7.] výpočtom

príslušnej limity, ale používajú sa známe vzťahy pre derivácie elementárnych funkcií. Tieto

vzťahy, spolu s pravidlami pre derivovanie súčtu, rozdielu, súčinu, podielu a zloženej funkcie

potom umožňujú pomerne jednoducho zderivovať akúkoľvek funkciu, ktorá bola vytvorená z

elementárnych funkcií konečným počtom uvedených operácií.

Priamo z definície možno odvodiť derivácie týchto známych funkcií:

, , , ,

, , a 0,

,

, a 0, a 1,

, , [5.11.]

,

,

, ,

,

,

,

,

Príklad. Dokážte, že platí .

Ukážeme, že pre platí pomocou vzťahu [5.7.]:

Príklad. Napíšte rovnicu dotyčnice a normály ku grafu funkcie v dotykovom

bode T s prvou súradnicou .

Dotykový bod bude mať súradnice:

. Smernica dotyčnice pre

bude:

Rovnica dotyčnice, ktorá prechádza bodom bude:

teda:

Rovnica normály, ktorá prechádza bodom bude:

151

teda:

V nasledujúcej vete ozrejmíme, ako sa derivuje súčet, rozdiel, súčin a podiel reálnych funkcií.

Veta. Majme funkcie a , ktoré sú diferencovateľné na intervale . Majme funkciu , ktorá

je diferencovateľná na množine . Potom pre platí:

,

, [5.12.]

,

Príklad. Dokážte, že platí: .

Podľa definície:

Príklad. Vypočítajte deriváciu polynómu: .

Príklad. Vypočítajte deriváciu racionálnej lomenej funkcie:

pre

.

Príklad. Vypočítajte deriváciu mocninovej funkcie: , pre .

Príklad. Vypočítajte deriváciu zloženej funkcie: , pre .

152

Derivujeme ako zloženú funkciu , kde a . Potom:

Príklad. Vypočítajte deriváciu zloženej funkcie:

, pre

Derivujeme ako zloženú funkciu , kde

a .

Potom:

Príklad. Vypočítajte deriváciu zloženej funkcie: , pre .

Funkciu prepíšeme do nasledovného tvaru, ktorý je pre derivovanie výhodnejší:

77 a označíme ako zloženú funkciu , kde

a . Potom:

5.4. Derivácie vyšších rádov

Ak má funkcia na intervale deriváciu, potom je na tomto intervale definovaná

funkcia . Vlastnú deriváciu tejto funkcie na intervale označujeme alebo

, prípadne

a nazývame ju druhou deriváciou funkcie (deriváciou druhého rádu). Pre bod je

funkčná hodnota rovná limite:

Ďalším derivovaním postupne dostaneme tretiu, štvrtú, atď. deriváciu, všeobecne n-tú deriváciu

funkcie : alebo

( ).

Príklad. Nájdite n-tú deriváciu funkcie: , .

Príklad. Nájdite n-tú deriváciu funkcie:

, .

77

Ľahko sa presvedčíme, že platí: pre .

153

Funkcia, ktorá je na intervale n-krát (resp. nekonečne-krát) spojite diferencovateľná sa

označuje

, respektíve

. Každý polynóm je prvkom

. Pre polynóm n-

tého stupňa platí: , pre , .

Uveďme si príklad fyzikálnej interpretácie derivácií vyššieho rádu. Majme hmotný bod,

ktorý sa pohybuje rovnomerne zrýchleným priamočiarym pohybom v kladnom smere osi x,

pričom jeho polohu v čase (dráhu) vyjadruje funkcia: , kde je konštanta, .

Rýchlosť pohybu hmotného bodu v čase je rovná derivácií dráhy podľa času v čase :

. Deriváciou rýchlosti podľa času, t.j. druhou deriváciou dráhy podľa času,

dostaneme okamžité zrýchlenie. V tomto prípade je zrýchlenie konštantné a platí:

.

5.5. L'Hospitalovo pravidlo

L'Hospitalovo pravidlo 78

predstavuje silný nástroj na výpočet limít typu neurčitých výrazov.

Ak napríklad vieme, že deriváciou funkcie je alebo deriváciou je , vieme

pomocou tohto poznatku vypočítať limity typu

:

alebo:

Súvislosť medzi limitami niektorých neurčitých výrazov a deriváciou stanovuje nasledujúca

veta.

Veta. (L'Hospitalovo pravidlo) Nech funkcie a sú definované v okolí bodu a nech

alebo . Potom, ak existuje

limita (vlastná alebo nevlastná):

platí:

[5.13.]

Pripomeňme, že vo vzťahu [5.13.] derivujeme čitateľa zvlášť a menovateľa zvlášť (nie ako podiel

dvoch funkcií). Vetu možno aplikovať aj na jednostranné limity a tiež na limity v nevlastných

bodoch ( .

78

Guillaume François Antoine, Marquis de l’Hospital (1661-1704) (v modernej francúzštine Hôpital), bol

francúzsky matematik, ktorý v roku 1696 publikoval prvú učebnicu diferenciálneho počtu na svete.

154

L'Hospitalovo pravidlo môžeme priamo aplikovať na limity typu:

alebo

a limity typu

alebo možno na uvedené typy upraviť. Napríklad, ak a

môžeme limitu previesť na:

limitu typu

úpravou:

limitu typu

úpravou:

(ak v )

Ak môžeme limitu typu

previesť na:

limitu typu

úpravou:

Príklad. Vypočítajte limitu:

.

Pretože limita čitateľa aj menovateľa sa rovnajú 0, na výpočet limity použijeme L'Hospitalovo

pravidlo:

Príklad. Vypočítajte limitu: .

Po dosadení dostávame neurčitý výraz typu , ktorý najprv prevedieme na limitu typu

a

potom vypočítame pomocou L'Hospitalovo pravidla:

Príklad. Vypočítajte limitu:

.

Limitu vypočítame dvojnásobnou aplikáciou L'Hospitalovo pravidla:

Všeobecne, nech predstavuje ľubovoľný polynóm n-tého stupňa:

, potom platí:

, ak a

, ak .

Príklad. Vypočítajte limitu:

.

Limitu typu upravíme tak, že v exponente dostaneme limitu typu

:

155

Príklad. Vypočítajte limitu:

.

Limitu typu najprv upravíme na typ

:

Príklad. Vypočítajte limitu:

.

Príklad. Vypočítajte limitu: .

Limitu typu najprv upravíme na typ

:

5.6. Diferenciál

Vráťme sa k definícii derivácie funkcie a ukážme, ako je možné odhadnúť pomocou

derivácie v bode funkčnú hodnotu v blízkom bode . Pomocou

derivácie vieme tiež vypočítať chybu určenia fyzikálnej veličiny, ktorá je závislá na parametri

meranom s konečnou presnosťou: ( je stredná hodnota parametra a je chyba

merania).

Pamätáme sa, že derivácia funkcie je definovaná ako limita:

Ak označíme a , potom:

alebo:

kde číslo nazývame diferenciou (prírastkom) funkcie a prírastkom argumentu

(nezávisle premennej). Označme rozdiel

potom:

Po úprave dostaneme:

kde výraz je malý a teda zanedbateľný voči ostatným členom. Preto diferencia

je blízka hodnote , ktorú nazývame diferenciálom. Diferencia funkcie je

156

aproximovaná diferenciálom tým lepšie, čím je prírastok argumentu menší (pre

sa ), Obr. 5.10.

Obrázok 5.10. Diferenciál je prírastok na dotyčnici ku krivke s dotykovým bodom

a smernicou . Diferencia – je vzdialenosť medzi bodmi a .

Definícia. Diferenciálom funkcie v bode pre prírastok argumentu nazývame výraz

(číslo):

[5.14.]

Geometrický význam diferenciálu je zrejmý z Obr. 5.10. Diferenciál nazývame aj

prírastkom na dotyčnici.

V prírodných vedách, najmä vo fyzike, sa používa zápis derivácie v tvare:

.

Preto sa aj diferenciál funkcie pre infinitezimálny (nekonečne malý) prírastok píše v

tvare:

[5.15.]

Funkcia, ktorá má v bode a diferenciál sa nazýva diferencovateľná. Je zrejmé, že funkcia je

v bode diferencovateľná vtedy a len vtedy, ak má v danom bode deriváciu. Pre malé hodnoty

je možné využiť diferenciál na výpočet približných hodnôt funkcie v bode :

[5.16.]

Príklad. Nájdite hodnotu diferencie a diferenciálu funkcie , ak sa argument x

zmení z hodnoty na .

Máme zadané nasledovné hodnoty argumentu: , a .

Počítajme najprv diferenciu:

Teraz pomocou vzťahu [5.14.] vypočítame diferenciál:

Vidíme, že rozdiel medzi presnou hodnotou diferencie a približným diferenciálom je malý

( ) a predstavuje odchýlku približne 3%.

a+x

df

t

x

y y = f(x)

a

f(a)

f(a)+df

f(a+x)

) A

B

y

x

157

Príklad. Vypočítajte pomocou diferenciálu približnú hodnotu .

Pre hodnoty argumentu: , a použijeme na približný výpočet vzťah

[5.16.]

.

Na porovnanie, hodnota vypočítaná na kalkulačke sa rovná .

Vzťah [5.16.] používane aj na odhad absolútnej chyby veličiny, ktorá je funkciou iného

parametra, ktorý bol odmeraný s istou chybou merania. Napríklad povrch kocky:

kde je dĺžka hrany kocky. Ak poznáme absolútnu chybu merania dĺžky , potom absolútna

chyba výpočtu veľkosti povrchu kocky bude:

[5.17.]

kde je stredná hodnota merania dĺžky hrany.

Príklad. Opakovaným meraním sa zistilo, že polomer gule je:

Vypočítajte povrch gule.

Povrch gule: , , , .

Stredná hodnota povrchu gule:

Absolútna chyba výpočtu povrchu:

Povrch gule je teda určený ako:

5.7. Taylorov rad

V jednej z predchádzajúcich častí (4.4.) sme sa zaoberali aproximáciou funkcie

mocninovým radom. Teraz sa budeme venovať rozvoju funkcie do Taylorovho radu79

, na

definíciu ktorého je potrebný pojem derivácie funkcie. Taylorov rad je teda mocninový rad,

súčet ktorého je rovný funkcii na intervale okolo bodu (pre jednoduchosť

predpokladajme, že ):

pre [5.18.]

Zaujíma nás ako máme zvoliť koeficienty tak, aby bol splnený vzťah [5.18.]. Na odvodenie

výrazov pre koeficienty použijeme nasledovný postup. Rozpíšme [5.18.] postupne pre 1., 2. až

n-tú deriváciu :

79

Brook Taylor (1685-1731) bol anglický matematik. Zaoberal sa predovšetkým matematickou analýzou. Je

známy najmä vďaka Taylorovmu radu a polynómu.

158

[5.19.]

členy obsahujúce

Ak dosadíme do vzťahov [5.19.] za nulu , potom dostaneme:

Pre koeficient mocninového radu

teda platí vzorec:

Pre argument z intervalu okolo bodu platí:

[5.20.]

Tento mocninový rad nazývame Taylorov rad funkcie so stredom v bode . Vo všeobecnosti

môžeme funkciu rozvinúť do Taylorovho radu okolo ľubovoľného bodu (je potrebné,

aby mala funkcia v tomto bode všetky derivácie):

[5.21.]

Ak stred intervalu potom tento mocninový rad nazývame Maclaurinov rad.80

V praxi je často dostačujúce aproximovať funkciu len s určitou vopred zadanou

presnosťou, je preto postačujúce uvažovať len prvých členov nekonečného mocninového

radu. Vtedy hovoríme o Taylorovom polynóme n-tého stupňa:

[5.22.]

Príklad. Napíšte Taylorov polynóm 3. stupňa pre funkciu:

so stredom v bode .

Najprv vypočítame prvé 3 derivácie funkcie :

80

Colin Maclaurin (1698-1746) bol škótsky matematik.

159

Príklad. Napíšte Taylorov polynóm 5. stupňa pre funkciu: so stredom v .

V súvislosti s rozvojom funkcie do radu je vhodné stanoviť, na akom intervale z môžeme

funkciu aproximovať Taylorovým polynómom n-tého stupňa so stredom v bode .

Zjednodušene sa dá povedať, že je to na intervale , kde je polomer

konvergencie, definovaný ako:

[5.23.]

Príklad. Nájdite polomer konvergencie Taylorovho polynómu pre funkciu:

so stredom

v bode .

Najprv nájdeme tvar k-tej derivácie funkcie :

a

Polomer konvergencie vypočítame podľa vzťahu [5.23.]:

Funkciu

môžeme teda aproximovať Taylorovým polynómom so stredom v bode

na intervale .

Existujú funkcie a body, pre ktoré polomer konvergencie a Taylorov rozvoj okolo tohto

stredu aproximuje danú funkciu na celom jej definičnom obore. Treba si však uvedomiť, že pre

hodnoty argumentu veľmi vzdialené od stredu je potrebné na dosiahnutie požadovanej

presnosti aproximovanej funkčnej hodnoty použiť podstatne vyšší počet členov rozvoja.

160

Riešenie otázky presnosti aproximácie funkčnej hodnoty funkčnou hodnotou

Taylorovho polynómu nie je triviálne. Uvedieme bez dôkazu nasledujúcu tzv.

Taylorovu vetu.

Veta. Nech funkcia má všetky derivácie okolo bodu . Potom pre každé

platí:

kde je n-tý zvyšok Taylorovho radu:

[5.23.]

pričom je nejaké bližšie neurčené číslo z intervalu , v tomto prípade .

Význam n-tého zvyšku Taylorovho radu je v tom, že udáva, akej chyby sa dopustíme pri

rozvoji funkcie do radu s konečným počtom členov .

Príklad. Vypočítajte hodnotu s presnosťou .

Taylorov rozvoj funkcie okolo stredu má tvar:

Pričom n-tý zvyšok Taylorovho radu:

, kde pre číslo c platí: . Potom

Teda:

, t.j. ak zoberieme do úvahy prvých členov

Taylorovho radu, potom chyba výpočtu bude menšia ako

.

Dosadením pre dostaneme:

Preto:

Porovnaním s výpočtom na kalkulačke zistíme, že funkčnú hodnotu sme vypočítali

s presnosťou na desatinných miest.

Kalkulačky a počítače tiež rátajú funkčné hodnoty väčšiny elementárnych funkcií pomocou

Taylorovho rozvoja v tvare polynómov, pretože na výpočet stačia základné aritmetické

operácie: sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie, ktoré aritmetické jednotky počítačov dokážu

vykonávať veľmi rýchlo.

Všimnime si, že Taylorov polynóm 1. stupňa aproximuje danú funkciu lineárnou

funkciou, a to dotyčnicou ku krivke v bode :

[5.24.]

kde

161

je diferenciál funkcie v bode pre prírastok argumentu . Tento polynóm je

zhodný s výrazom [5.16.], ktorý popisuje približný výpočet hodnôt funkcie v bode

pomocou diferenciálu.

5.8. Derivácia a vlastnosti funkcií

V časti 5.3. sme dokázali vetu, ktorá hovorí, ak má funkcia v bode deriváciu, potom je v

tomto bode spojitá. S existenciou a vlastnosťami derivácie súvisia aj viaceré vlastnosti, ktoré sa

týkajú priebehu funkcie (grafu funkcie). Uvedieme ich v nasledujúcich častiach.

Veta. (Lagrangeova veta) Nech je spojitá funkcia na uzavretom intervale a má

deriváciu v každom bode intervalu . Potom na intervale existuje taký bod

, že platí:

[5.25.]

Veta. (Rolleova veta)81

Nech je spojitá funkcia na uzavretom intervale , má deriváciu

v každom bode intervalu a platí: . Potom existuje bod , pre ktorý

je .

Geometrický význam Rolleovej vety je nasledovný. Keďže funkcia je na intervale

spojitá a koncové body intervalu majú rovnaké funkčné hodnoty (nejedná

sa o konštantnú funkciu), potom medzi bodmi a nadobúda krivka svoje

maximum alebo minimum (aspoň jedno z nich); a dotyčnica ku grafu funkcie zostrojená v bode

má nulovú smernicu ( , je rovnobežná s x-ovou osou). Ak je funkcia konštantná,

potom je derivácia v každom bode medzi a nulová, čiže .

Lagrangeova veta je zovšeobecnením Rolleovej vety. Geometrická interpretácia

Lagrangeovej vety, Obr. 5.11., ukazuje, že pre diferencovateľnú funkciu existuje vo vnútri

uzavretého intervalu taký bod , že dotyčnica ku krivke , zostrojená v bode

, je rovnobežná (má rovnakú smernicu) so spojnicou krajných bodov

a .

81

Michel Rolle (1652-1719) bol francúzsky matematik.

162

Obrázok 5.11. Dotyčnica ku krivke v bode je rovnobežná s úsečkou

spojnicou krajných bodov intervalu.

Príklad. Nájdite na grafe funkcie bod, v ktorom je dotyčnica rovnobežná so

spojnicou krajných bodov grafu na intervale .

Smernica priamky, ktorá spája krajné body grafu bude mať smernicu:

Budeme hľadať bod , v ktorom sa krivky dotýka dotyčnica so smernicou

. Bude to teda bod:

a rovnica dotyčnice prechádzajúcej

týmto bodom bude:

5.8.1. Monotónnosť funkcie

Význam prvej derivácie pre monotónnosť funkcie (rast alebo pokles funkčných hodnôt

s rastúcou hodnotou argumentu ) popisuje nasledujúca veta. Najskôr však uveďme, ako

poznáme, že daná funkcia rastie (okrem pohľadu na graf funkcie). Funkcia rastie vtedy, ak

existuje také, že pre je a pre je

. Podobným spôsobom definujeme aj pokles funkcie.

Veta. Nech funkcia je spojitá na intervale a má v každom bode intervalu

kladnú (zápornú) deriváciu:

( ) pre [5.26.]

potom je funkcia na intervale rastúca (klesajúca).

\\ \\

163

Dôkaz. Nech pre každé z intervalu má funkcia kladnú deriváciu ( ).

Dokážeme, že je rastúca na , teda:

Keďže , funkcia spĺňa Lagrangeovu vetu (vzťah [5.25.]). Preto existuje

také, že:

Keďže derivácia je kladná ( ) pre a , potom

Čím sme dokázali, že pre platí: .

Dôkaz pre klesajúcu funkciu je analogický.

Táto veta nám umožňuje zisťovať intervaly, na ktorých je funkcia rastúca alebo klesajúca.

Veta hovorí o monotónnosti na uzavretom intervale , ale môžeme ju použiť aj na

neohraničené intervaly alebo intervaly, v krajných bodoch ktorých funkcia nie je definovaná.

Tvrdenie vety nemožno obrátiť, rastúca funkcia nutne neznamená kladnú deriváciu pre všetky

body intervalu, a pod. Pokiaľ sa derivácia funkcie v bode rovná nule, nevieme rozhodnúť

o monotónnosti funkcie v tomto bode. Ak má funkcia v danom bode nevlastnú deriváciu

, znamená to, že na istom okolí bodu je výraz

obsiahnutý v definícii

derivácie kladný, funkcia bude teda rastúca. Ak je , je v bode klesajúca.

Príklad. Zistite, pre aké hodnoty je funkcia rastúca a pre ktoré je klesajúca.

Keďže , bude pre hodnota a teda , preto bude

funkcia klesajúca, Obr. 2.28. Pre základ bude a funkcia bude

rastúca.

Príklad. Zistite, na akých intervaloch definičného oboru je funkcia

rastúca a

klesajúca.

Definičným oborom je . Funkcia má deriváciu pre každé

Pretože menovateľ derivácie je vždy kladný, o znamienku derivácie rozhoduje výraz v čitateli:

.

pre , čiže pre je a funkcia

je rastúca,

pre , čiže pre je a funkcia

je

klesajúca, Obr. 5.12.

V bodoch a je derivácia funkcie . V týchto bodoch má funkcia lokálne

extrémy (minimum a maximum).

164

Obrázok 5.12. Graf funkcie

.

Príklad. Zistite, na akých intervaloch definičného oboru je funkcia , kde ,

rastúca a klesajúca.

ak , t.j. pre

, teda pre

rastie

ak , t.j. pre

, teda pre

klesá, Obr. 5.13.

Graf funkcie klesá z bodu ( ) do bodu

a odtiaľ rastie až do

nekonečna ( ).

Obrázok 5.13. Graf funkcie

Majme funkciu , ktorá je v okolí bodu diferencovateľná a existuje také, že pre

všetky je a pre všetky je . Funkcia je teda na

ľavom okolí bodu rastúca a na pravom okolí klesajúca. Toto spolu so spojitosťou funkcie

zabezpečuje existenciu lokálneho maxima v bode . Analogicky, ak je diferencovateľná

funkcia naľavo od bodu klesajúca a napravo od bodu rastúca, znamená to, že v bode má

funkcia lokálne minimum. Takéto body nazývame stacionárne body alebo presnejšie lokálne

extrémy (pozri 5.8.3.). V týchto bodoch mení prvá derivácia funkcie znamienko zo záporného

na kladné alebo naopak, teda pre prvú deriváciu funkcie v týchto bodoch platí .

Príklad. Zistite, v ktorých bodoch má funkcia lokálne extrémy.

Najprv nájdeme prvú deriváciu funkcie a určíme stacionárne body tak, že položíme :

165

Dostaneme dve riešenia: a . Funkcia je teda rastúca na intervale , v bode

má lokálne maximum, na intervale je klesajúca, v bode má lokálne

minimum a na intervale je rastúca, Obr. 5.14.

Obrázok 5.14. Graf funkcie .

5.8.2. Konvexnosť a konkávnosť funkcie, inflexný bod

Pojmy konvexnosť a konkávnosť súvisia so zakrivením grafu funkcie a pomáhajú

charakterizovať tvary kriviek. Zakrivenie čiary súvisí s deriváciou funkcie v danom bode (t.j.

so smernicou dotyčnice), preto aj konvexnosť a konkávnosť krivky budeme popisovať vo

vzťahu k dotyčnici, Obr. 5.15.

Definícia. Nech funkcia je spojitá na intervale a má deriváciu v každom bode

intervalu . Hovoríme, že je konvexná (konkávna) na intervale , ak graf funkcie leží nad

(pod) dotyčnicou zostrojenou v každom bode krivky pre :

pre

( pre )

A B C D

Obrázok 5.15. A. Graf konvexnej funkcie. B. Graf konkávnej funkcie. C. Inflexný bod. D. Inflexný

bod.

166

Na Obr. 5.15. A a B vidíme príklady konvexnej a konkávnej funkcie v okolí bodov a

Ako poznáme, či je daná funkcia konvexná alebo konkávna hovorí nasledujúca veta.

Veta. Nech funkcia je spojitá na intervale a má druhú deriváciu v každom bode

intervalu . Hovoríme, že funkcia je na konvexná (konkávna), ak má na kladnú

(zápornú) druhú deriváciu:

( ) pre [5.27.]

Táto veta nám umožňuje zisťovať, na ktorých intervaloch je určitá funkcia konvexná alebo

konkávna pri vyšetrovaní priebehu funkcie. Túto vetu je možné použiť aj keď je interval

neohraničený, prípadne funkcia nie je definovaná v jeho krajných bodoch. V prípade funkcie,

ktorej graf je (aspoň lokálne) totožný s dotyčnicou nemôžeme hovoriť o konvexnosti alebo

konkávnosti, takéto body budeme nazývať inflexnými bodmi.

Príklad. Nájdite intervaly konvexnosti a konkávnosti funkcie: .

Pre túto funkciu platí: pre každé .

Preto bude funkcia konvexná (nad dotyčnicou) pre všetky

Príklad. Nájdite intervaly konvexnosti a konkávnosti funkcie: .

Pre túto funkciu platí: .

Funkcia bude konvexná na intervale, kde: , t.j. , teda:

kde

Funkcia bude konkávna na intervale, kde: , t.j. , teda:

Pozri Obr. 2.30.

Veta. Nech funkcia je spojitá v okolí bodu a má v bode deriváciu. Bod

nazývame inflexným bodom grafu funkcie, ak existuje také , že funkcia je na intervale

konvexná a na intervale konkávna, alebo naopak. Hovoríme tiež, že je

inflexným bodom funkcie , alebo že má v bode inflexný bod.

Funkcia má v inflexnom bode dotyčnicu, ale krivka je z jednej strany inflexného bodu nad

dotyčnicu a z druhej strany pod dotyčnicu, alebo naopak, Obr. 5.15. C a D. Inflexné body

nájdeme tak, že hľadáme intervaly konvexnosti a konkávnosti funkcie a hraničné body, ktoré sú

súčasne hraničným bodom intervalu konvexnosti aj konkávnosti, a v ktorých existuje derivácia,

sú inflexnými bodmi.

Príklad. Nájdite inflexné body funkcie .

Funkcia má definičný obor . Najprv nájdeme intervaly, v ktorých (funkcia

je konvexná), teda riešime nerovnicu:

167

Dostaneme: je konvexná v intervaloch

,

.

Podobne riešením nerovnice dostaneme, že je konkávna na intervale

.

Funkcia má deriváciu v každom bode, Obr. 5.16.A. Inflexné body grafu ležia na rozhraní

intervalov konvexnosti a konkávnosti v bodoch:

a

A B

Obrázok 5.16. A. Graf funkcie . B. Graf funkcie

.

Príklad. Nájdite inflexné body funkcie

.

Funkcia má definičný obor . Najprv nájdeme prvú a druhú deriváciu funkcie:

a

Vidíme, že funkcia je konvexná na intervale a konkávna na intervale . Preto

očakávame existenciu inflexného bodu na rozhraní intervalov pre . Prvá derivácia

je nevlastná:

Funkcia má v bode inflexný bod a dotyčnicu totožnú s osou y, Obr.5.16.B.

Pre existenciu inflexného bodu funkcie platí nasledovná nutná podmienka:

Veta. Ak má funkcia v bode inflexný bod a má v bode deriváciu, potom .

Nasledujúca veta zovšeobecňuje súvis medzi deriváciami funkcie a existenciou inflexných

bodov.

Veta. Ak pre funkciu definovanú a spojitú v okolí bodu platí:

a , [5.28.]

Ak k je nepárne číslo, potom má v bode inflexný bod.

Typickým príkladom podobného správania je funkcia , , v bode

. Platí: , . Pre párne má

168

funkcia v bode lokálne minimum (zároveň je to aj globálne minimum) a pre nepárne je

v tomto bode inflexný bod.

Príklad. Nájdite inflexné body funkcie: .

Funkcia je definovaná a spojitá pre všetky . Nájdeme derivácie funkcie:

, , ,

,

Vidíme, že: , ale pre nepárne dostávame .

Funkcia má preto v bode inflexný bod so súradnicami , Obr. 5.17.A.

Príklad. Nájdite inflexné body funkcie:

Funkcia je definovaná pre všetky , spojitá, párna a . Nájdeme

derivácie funkcie:

,

Funkcia je konvexná na intervale

a konkávna na intervale

,

.

Inflexné body majú súradnice:

a

, Obr. 5.17.B.

A B

Obrázok 5.17. A. Graf funkcie . B. Graf funkcie .

5.8.3. Lokálne extrémy

Z hľadiska priebehu funkcie sú asi najzaujímavejšie body, v ktorých sa mení rast funkcie na

pokles a naopak. Tieto body predstavujú lokálne minimum a lokálne maximum na sledovanej

krivke, spoločne ich nazývame lokálne extrémy.

Definícia. Hovoríme, že funkcia má v bode lokálne maximum (lokálne minimum), ak

existuje také okolie bodu , že pre každý bod z tohto okolia , platí:

( )

Z geometrickej predstavy je zrejmé, že dotyčnica v bodoch lokálnych extrémov, ak existuje,

je rovnobežná s osou , Obr. 5.18.

169

Nutnú podmienku existencie lokálneho extrému vyjadruje nasledujúca veta.

Obrázok 5.18. Graf funkcie

Veta. Ak funkcia má v bode lokálny extrém a má v tomto bode deriváciu, potom:

[5.29.]

Veta sa nedá obrátiť, pretože, ak má funkcia v bode nulovú prvú deriváciu, nemusí v bode

nutne mať lokálny extrém, môže tam mať aj inflexný bod. Všeobecne takýto bod nazývame

stacionárnym bodom. Ak má funkcia v bode dotyčnicu rovnobežnú s osou , Obr.

5.18., a krivka funkcie leží v okolí bodu nad dotyčnicou, potom má funkcia v tomto bode

minimum, ak leží pod dotyčnicou, potom má krivka maximum. Nasledujúca veta obsahuje

postačujúcu podmienku existencie lokálneho extrému.

Veta. Ak funkcia má v bode prvú deriváciu rovnú nule

a druhú deriváciu zápornú

(kladnú ) .[5.30.]

potom má v bode lokálne maximum (lokálne minimum).

Nasledujúca veta je užitočná v situáciách, keď v bode je splnená podmienka existencie

extrému, aj inflexného bodu, a potrebujeme určiť o aký druh stacionárneho bodu sa jedná.

Veta. Nech funkcia má v bode prvú deriváciu a vyššie derivácie a platí:

a , [5.31.]

potom:

ak číslo je nepárne, funkcia má v bode inflexný bod,

ak číslo je párne, funkcia má v bode lokálny extrém.

Príklad. Nájdite lokálne extrémy funkcie .

170

Pri riešení využijeme predchádzajúcu vetu a vzťah [5.31.] Najprv vypočítame prvú a druhú

deriváciu:

Funkcia bude mať stacionárny bod tam, kde , čiže: a to v bode:

. Druhá derivácia v bode dáva hodnotu:

, preto

bude mať funkcia v bode lokálne maximum so súradnicami

, Obr. 5.19.A.

Príklad. Nájdite lokálne extrémy funkcie .

Najprv vypočítame derivácie funkcie až po prvú nenulovú hodnotu v bode :

rád prvej nenulovej derivácie je párne

číslo a jej hodnota je kladná. Funkcia má preto v bode lokálne minimum, Obr. 5.19.B.

A B

Obrázok 5.19. A. Graf funkcie . B. Graf funkcie .

Okrem lokálnych extrémov sa často zaujímame o globálne extrémy funkcie.

Veta. Hovoríme, že funkcia má v bode globálne maximum (globálne minimum), ak pre

každé platí:

( ) .[5.32.]

Pri hľadaní globálnych extrémov prehliadame lokálne extrémy a funkčné hodnoty

v krajných bodoch intervalov patriacich do definičného oboru funkcie.

Problém hľadania globálnych extrémov sa často vyskytuje pri optimalizácií.

V optimalizačných úlohách hľadáme také hodnoty argumentov, pre ktoré účelová funkcia

(funkcia, ktorá popisuje kľúčové vlastnosti systému) nadobúda maximálne alebo minimálne

hodnoty.

171

Príklad. Nájdite rozmery kužeľa s čo najmenším objemom, ktorý môžeme opísať guli

s polomerom .

Rozmery kužeľa sú dané takto: - polomer základne, - výška kužeľa. Guľa má

polomer označený , Obr. 5.20.

Z podobnosti pravouhlých trojuholníkov so spoločným vrcholom a dostaneme

nasledovný vzťah medzi rozmermi kužeľa a gule, Obr. 5.20.:

Úpravou dostaneme vzťah medzi polomerom podstavy kužeľa a jeho výškou :

Objem kužeľa:

Najmenší objem kužeľa určíme tak, že budeme hľadať globálne minimum účelovej funkcie,

ktorá definuje objem kužeľa ako funkciu parametra (výšky). Teda hľadáme také , pre

ktoré

(podmienka existencie extrému) a

(minimum, Veta [5.31.]).

Takže:

Vyriešením dostaneme: a dosadením do vzťahu pre dostaneme: .

Preto kužeľ s najmenším objemom, ktorý možno opísať guli s polomerom 8 bude mať polomer

základne a výšku .

Obrázok 5.20. Kužeľ opísaný guli s polomerom .

5.8.4. Asymptoty

Asymptotou funkcie nazývame priamku, ku ktorej sa graf funkcie neobmedzene

približuje. Existujú dva druhy asymptôt:

asymptota bez smernice

asymptota so smernicou

172

Definícia. Priamka je asymptotou bez smernice grafu funkcie , ak funkcia je

definovaná aspoň na jednom z intervalov alebo , , a aspoň

jedna z limít: alebo je nevlastná (rovná alebo ).

Z definície vyplýva, že ak priamka je asymptotou bez smernice ku grafu funkcie ,

potom nie je v okolí bodu ohraničená, a teda ani spojitá. Ak je funkcia spojitá v okolí

bodu , potom nemôže mať v tomto bode asymptotu , Obr. 5.21.

Definícia. Asymptota so smernicou ku grafu funkcie je priamka , pre ktorú v

nevlastných bodoch argumentu platí:

a [5.33.]

Z definície je zrejmé, že funkcia , ktorá má asymptoty so smernicou musí mať neohraničený

definičný obor . Funkcia, ktorej , môže mať dve asymptoty, jednu pre ,

druhú pre .

Ukážme, ako sme v predchádzajúcej definícii odvodili vzťahy [5.33.] pre výpočet konštánt

asymptoty so smernicou. Keďže sa asymptota pre neobmedzene

približuje ku krivke bude sa rozdiel limitne blížiť nule:

Zároveň vieme, že platí:

Pre súčin dvoch funkcií bude podľa [5.4.] platiť:

Z toho dostaneme vzťahy [5.33.].

Príklad. Nájdite asymptoty grafu funkcie

.

Funkcia nie je definovaná v bode , . Hľadajme, k akým

hodnotám sa približujú funkčné hodnoty v okolí zľava a sprava, rátajme:

a

82

82

Symbol v menovateli posledného zlomku zvýrazňuje, že hodnota menovateľa je po priblížení sa k bodu

3 sprava (infinitezimálne malá) kladná, preto:

. Symbol naopak v predchádzajúcej limite zľava

znamená, že menovateľ predstavuje (infinitezimálne malé) záporné číslo a preto:

.

173

Preto priamka rovnobežná s osou , určená rovnicou , bude asymptotou bez smernice ku

grafu funkcie , Obr. 5.21. Funkcia bude mať aj asymptotu so smernicou pre

, ktorú určíme pomocou vzťahu [5.33.]:

Asymptota so smernicou pre bude mať teda tvar: , Obr. 5.21. Rovnaký tvar

bude mať aj rovnica asymptoty aj pre .

Obrázok 5.21. Graf funkcie

. Asymptota funkcie bez smernice : . Asymptota

so smernicou : .

Príklad. Nájdite asymptoty grafu funkcie

.

Funkcia nie je definovaná v bodoch a , .

Najprv spočítame limity v bodoch a zľava, aj sprava:

Všetky limity sú nevlastné a majú opačné znamienko pre limitu zľava a sprava, preto priamky

a budú asymptotami bez smernice a .

Na určenie asymptoty so smernicou vypočítame limity:

Asymptotou pre je tak priamka : . Rovnaké hodnoty limít dostaneme aj pre

, preto rovnaká priamka bude asymptotou funkcie pre , Obr. 5.22.

174

Obrázok 5.22. Graf funkcie

. Asymptoty funkcie bez smernice : a :

. Asymptota so smernicou : .

5.8.5. Vyšetrovanie priebehu funkcie

Schéma vyšetrovania priebehu funkcie založená na výpočte derivácií funkcie sa skladá

z nasledujúcich krokov:

určenie definičného oboru a základných vlastností funkcie ako: spojitosť, periodicita,

párnosť alebo nepárnosť. Pre párnu funkciu stačí vyšetriť len interval a potom využiť

symetriu krivky. Periodickú funkciu stačí skúmať na intervale rovnom perióde funkcie,

určenie znamienka funkcie a priesečníkov s osami súradnicového systému. Na intervaloch

respektíve potom graf funkcie leží nad alebo pod osou ,

výpočet limít v krajných bodoch definičného oboru. Ak je zložený z viacerých

otvorených intervalov, je potrebné skúmať limity zľava aj sprava v hraničných bodoch

intervalov. Existencia a hodnota týchto limít vypovedá o správaní sa funkcie v ich blízkom

okolí,

výpočet prvej derivácie a určenie jej znamienka umožní identifikovať intervaly

monotónnosti a lokálne extrémy funkcie,

výpočet druhej (a vyšších) derivácií a určenie ich znamienka umožní identifikovať intervaly

konvexnosti a konkávnosti, inflexné body a určiť typ lokálneho extrému funkcie (maximum,

minimum),

určenie globálneho maxima a minima funkcie,

určenie asymptôt funkcie,

nakreslenie grafu funkcie na základe poznatkov získaných v predchádzajúcich krokoch.

Príklad. Vyšetrite priebeh funkcie .

Jedná sa o polynóm tretieho stupňa, ktorý je definovaný na celom obore reálnych čísel, preto

= R. Pre , preto nie je párna, ani nepárna. Platí:

, jedná sa o polynóm s jednoduchým koreňom

a dvojnásobným koreňom . Znamienko zistíme dosadením:

Interval

Vypočítame prvú deriváciu: .

175

Korene polynómu: sú a . V nich sa nachádzajú stacionárne

body funkcie. Určíme ich znamienko a monotónnosť funkcie v intervaloch medzi

stacionárnymi bodmi:

Interval

Funkcia má v bode lokálne maximum a v bode lokálne minimum.

Vypočítame druhú deriváciu: .

Ak položíme , dostaneme bod, v ktorom môže byť inflexný bod, . Určíme

znamienko a intervaly konvexnosti a konkávnosti funkcie:

Interval

Funkcia má v bode inflexný bod.

Ďalej nájdeme asymptoty funkcie. Funkcia je spojitá pre všetky , preto nemá žiadne

asymptoty bez smernice. Zistíme, či má v krajných bodoch limitu pre :

Preto asymptoty so smernicou pre neexistujú.

Spočítame funkčné hodnoty vo významných bodoch:

a nakreslíme graf, Obr. 5.23.

Obrázok 5.23. Graf funkcie .

Príklad. Vyšetrite priebeh funkcie .

Najprv určíme definičný obor funkcie . Prirodzený logaritmus je definovaný len pre

nezáporné hodnoty argumentu, preto musí platiť: , čo je splnené pre .

Ďalej overíme základné charakteristiky . Platí:

.

preto je párna funkcia. Potom nájdeme priesečníky s osami súradnicového systému:

176

teda

Určíme znamienko funkcie:

Interval

Počítajme prvú deriváciu:

.

Odtiaľ vyplýva: pre . Znamienko prvej derivácie je nasledovné:

Interval

Preto má funkcia v bode lokálne maximum.

Počítajme druhú deriváciu:

Druhá derivácia nemá na definičnom obore (-2, 2) žiadne nulové body, a preto funkcia nemá

inflexný bod. Určíme znamienko derivácie a konvexnosť, alebo konkávnosť funkcie:

Interval

Funkcia je na celom konkávna.

Spočítajme teraz jednostranné limity v okrajových bodoch :

a preto sú priamky a asymptotami bez smernice.

Nakoniec nakreslíme graf funkcie, Obr. 5.24.

177

Obrázok 5.24. Graf funkcie s asymptotami bez smernice : a : .

5.9. Interpolácia

Pri interpretovaní experimentálnych pozorovaní sa často stretneme s úlohou nájsť krivku

(funkciu), ktorá prechádza nameranými bodmi , . S jednou funkciou (i

keď mnohoparametrovou) sa totiž pracuje o niečo ľahšie ako s desiatkami nameraných dát, aj

keď sú dáta popísané len približne. Hľadaná funkcia sa nazýva interpolačná funkcia a body

sa volajú uzly interpolácie.

Pokúsme sa teraz nájsť takúto interpolačnú funkciu v tvare polynómu:

pre ktorý musí platiť:

pre [5.34.]

Dostaneme tak sústavu lineárnych rovníc o neznámych , :

[5.35.]

pričom neznáme sú koeficienty . Takýto lineárny systém má práve jedno riešenie.

Dostaneme tak jednoznačne určený interpolačný polynóm stupňa .

Veta. Pre každú množinu navzájom rôznych bodov , , ,

existuje práve jeden polynóm , stupňa rovného najviac číslu , pre ktorý platí:

pre

Polynóm nazývame Langrangeovým interpolačným polynómom a predstavuje riešenie

sústavy rovníc [5.35.].

Langrangeov interpolačný polynóm môžeme vyjadriť aj iným spôsobom, ako riešením sústavy

[5.35.], napr. Gaussovou eliminačnou metódou. Zostrojme pomocné polynómy také, že:

[5.36.]

hľadaný Langrangeov interpolačný polynómom potom môžeme vyjadriť ako:

[5.37.]

Pomocné polynómy majú vlastnosť:

Príklad. Nájdite polynóm vhodný na interpoláciu bodov

Hľadáme polynóm, ktorý spĺňa podmienku [5.34.], t.j.:

178

určený štyrmi bodmi, teda polynóm najviac 3. stupňa:

.

Dosadením uvedených podmienok do sústavy [5.35.] dostaneme:

ktorej riešenie (najmä, ak máme desiatky meraní) je pracné. Ukážme si preto aj rýchlejší

spôsob výpočtu pomocou vzťahov [5.36.] a [5.37.]:

Istou nevýhodou interpolácie dát pomocou Lagrangeovho interpolačného polynómu je jeho

veľká citlivosť na presnosť meraní, keďže aj malé lokálne zmeny hodnôt spôsobia dramatické

zmeny správania výsledného polynómu. Preto sa kvalita interpolačného polynómu zvykne

vylepšovať tak, že pridáme informácie o správaní závislosti v daných bodoch zadaním aj

hodnôt prvej derivácie (napríklad meranie dráhy telesa v čase doplníme o meranie rýchlosti v

tom istom čase a pod.). V tomto prípade hovoríme o Hermiteovom interpolačnom polynóme.83

Príklad. Nájdite Hermiteov interpolačný polynóm, ktorý spĺňa podmienky:

Polynóm, ktorý je určený štyrmi podmienkami je polynóm najviac 3. stupňa. Nech:

potom

Dosadením podmienok dostaneme sústavu štyroch rovníc:

Vyriešením tejto sústavy dostaneme Hermiteov polynóm ,

ktorý sa líši od Lagrangeovho polynómu vypočítanom pre podmienky:

, napríklad správaním pre , Obr. 5.25.

83

Charles Hermite (1822-1901) bol francúzsky matematik, ktorý pracoval predovšetkým v teórii čísel a rôznych

oblastiach algebry.

179

Obrázok 5.25. Grafy funkcií a .

Všeobecne môžeme opísať určenie Hermiteových polynómov nasledovne. Majme

rôznych bodov , a hľadajme Hermiteov polynóm:

ktorý bude nadobúdať funkčné hodnoty a hodnoty ich derivácií v meraných bodoch.

Dosadením množiny nameraných dát dostaneme túto sústavu rovníc:

Jedná sa o sústavu rovníc o neznámych. Ak zvolíme stupeň hľadaného

polynómu , dostaneme sústavu, ktorá má práve jedno riešenie, čím dostaneme

koeficienty hľadaného Hermiteovho interpolačného polynómu.

180

Cvičenia 5.

5.1. Vypočítajte limitu funkcie:

a

.

5.2. Vypočítajte limitu funkcie:

.

5.3. Vypočítajte limitu funkcie:

.

5.4. Vypočítajte limitu funkcie:

.

5.5. Vypočítajte limitu funkcie:

.

5.6. Vypočítajte limitu funkcie:

.

5.7. Vypočítajte limitu funkcie:

.

5.8. Vypočítajte limitu funkcie:

.

5.9. Vypočítajte limitu funkcie:

.

5.10. Vypočítajte limity funkcie:

.

5.11. Vypočítajte deriváciu funkcie: v bode a napíšte rovnicu

dotyčnice a normály ku krivke v bode [2, 4].

5.12. Vypočítajte deriváciu funkcie:

.

5.13. Vypočítajte deriváciu funkcie: .

5.14. Vypočítajte deriváciu funkcie: .

5.15. Vypočítajte deriváciu funkcie:

.

5.16. Vypočítajte deriváciu funkcie: .

5.17. Vypočítajte deriváciu funkcie: .

5.18. Vypočítajte deriváciu funkcie: .

181

5.19. Vypočítajte deriváciu funkcie: .

5.20. Vypočítajte deriváciu funkcie:

.

5.21. Vypočítajte deriváciu funkcie:

.

5.22. Vypočítajte druhú deriváciu funkcie: v bode .

5.23. Vypočítajte druhú deriváciu funkcie: v bode

.

5.24. Vypočítajte pomocou L'Hospitalovho pravidla limitu: .

5.25. Vypočítajte pomocou L'Hospitalovho pravidla limitu:

.

5.26. Vypočítajte pomocou L'Hospitalovho pravidla limitu:

.

5.27. Vypočítajte diferenciál funkcie

v čísle pre prírastok .

5.28. Vypočítajte pomocou diferenciálu funkcie približnú hodnotu sin 43.

5.29. Nájdite Taylorov polynóm piateho stupňa so stredom v bode

pre funkciu

.

5.30. Pomocou Taylorovho polynómu vo vhodnom strede vypočítajte

s presnosťou na 4

desatinné miesta.

5.31. Vyšetrite priebeh funkcie .

5.32. Vyšetrite priebeh funkcie .

5.33. Vyšetrite priebeh funkcie

.

5.34. Vyšetrite priebeh funkcie .

182

Riešenia 5.

5.1. Grafom racionálnej lomenej funkcie

je hyperbola, ktorá nie je definovaná v

bode , kde je nespojitá. Limitu sprava funkcie:

vypočítame takto:

Pre hodnoty argumentu sa zlomok

približuje k číslu 1:

Obrázok 5.26. Graf funkcie

5.2.

.

5.3.

.

5.4.

.

5.5.

.

5.6.

, pretože

.

5.7.

, pretože

.

5.8.

183

.

5.9.

.

5.10.

.

5.11. Deriváciu funkcie: v bode a rovnicu dotyčnice a normály

ku krivke v bode [2, 4] nájdeme nasledovným spôsobom:

Derivácia funkcie: , derivácia a smernica dotyčnice v bode bude

. Rovnica dotyčnice bude mať tvar:

Smernica normály v bode bude mať tvar:

. Rovnica normály

potom bude mať tvar:

5.12. Deriváciu funkcie:

vypočítame pomocou vzorcov

[5.11.] a [5.12.]:

.

5.13.

.

5.14.

184

5.15.

.

5.16. .

5.17.

.

5.18. .

5.19. [

.

5.20.

.

5.21.

.

5.21. Druhú deriváciu funkcie: v bode , vypočítame dvojnásobným

derivovaním funkcie a dosadením :

.

5.22.

.

5.23. Limitu: vypočítame pomocou L'Hospitalovho pravidla:

.

5.24.

.

185

5.25.

.

5.26. Diferenciál funkcie

v čísle pre prírastok vypočítame

podľa vzťahu [5.15.]: . Najprv vypočítame deriváciu funkcie:

.

Diferenciál v bode pre prírastok bude:

.

5.27. Výpočet približnej hodnoty sin 43 pomocou diferenciálu uskutočníme pomocou

vzťahu [5.16.]:

Pomocou známej hodnoty

v blízkom bode

, derivácie funkcie

sínus

a rozdielu

. Teda:

Pre porovnanie, hodnota sin 43 vypočítaná na kalkulačke sa rovná zaokrúhlene 0,6820.

5.28. Taylorov polynóm piateho stupňa so stredom v bode

pre funkciu

nájdeme pomocou vzťahu [5.22.]:

Najprv vypočítame derivácie v bode

:

(

(

(

(

(

(

Dosadíme do Taylorovho polynómu a dostávame:

186

.

5.29.

s presnosťou na 4 desatinné miesta vypočítame pomocou Taylorovho polynómu

funkcie

so stredom v blízkom čísle (keďže poznáme

),

pričom potrebný stupeň polynómu určíme podľa odchýlky vypočítanej a ‘presnej‘ výslednej

hodnoty.

Najprv vypočítame derivácie v bode :

(

(

(

(

(

Dosadíme do Taylorovho polynómu a dostávame:

Výpočtom na kalkulačke zistíme, že

, toto číslo sa nelíši od nášho výsledku

na prvých 5. desatinných miestach. Keďže požadujeme presnosť na 4 desatinné miesta, do

výpočtu už nemusíme zobrať posledný člen polynómu, ktorý obsahuje 4. deriváciu, pretože

jeho príspevok je menší ako . Na výpočet teda stačí Taylorov polynóm 3. stupňa.

5.30. Pri vyšetrovaní priebehu funkcie budeme postupovať podľa schémy

[5.8.5.]:

definičný obor, periodicita, párnosť/nepárnosť,

znamienka funkcie, priesečníky s osami,

limity v krajných bodoch ,

: rast/pokles,

: konvexnosť/konkávnosť, inflexné body, lokálne extrémy,

globálne maximum/minimum,

asymptoty,

graf.

Definičný obor určíme z podmienky , z ktorej dostaneme: . Funkcia

nie je párna ani nepárna, pretože: a . Osi súradnicového

systému pretína v bodoch: a (nulové body). Pre platí

187

funkcia neobmedzene rastie. Prvá derivácia:

. Funkcia je

rastúca v tej časti , kde , t.j. , čiže na intervale a klesajúca tam,

kde , t.j. na intervale . Funkcia má stacionárny bod pre

, t.j. . Druhá derivácia je rovná:

. Druhá

derivácia kladná pre , t.j. pre , teda na celom . Preto funkcia je na celom

konvexná.

, to znamená funkcia ma v bode lokálne aj globálne

minimum. Funkcia nemá inflexné body ani lokálne maximá, pretože len pre

. Funkcia nemá asymptoty. Graf funkcie bude vyzerať takto:

Obrázok 5.27. Graf funkcie .

5.31. Pri vyšetrovaní priebehu funkcie budeme postupovať podľa

schémy [5.8.5.], podobne ako v predchádzajúcom príklade:

Definičný obor funkcie je: . Funkcia je párna, pretože platí: . Os

funkcia pretína v bode nemá nulový bod. V krajných bodoch platí:

, funkcia sa neobmedzene približuje k osi . Prvá derivácia:

. Funkcia je rastúca pre , 0),

a klesajúca pre . Funkcia má stacionárny bod pre , je to lokálne a zároveň

globálne maximum so súradnicami [0, 1]. Druhá derivácia je rovná:

. Druhá derivácia je kladná a funkcia je konvexná pre

. Funkcia je konkávna na intervale

. Funkcia má

pre

dva inflexné body. V nevlastných bodoch sa funkcia asymptoticky približuje

k x-ovej osi ( ). Graf funkcie je zobrazený nižšie:

y

lok. minimum

188

Obrázok 5.28. Graf funkcie .

5.32. Definičný obor funkcie

je: . Funkcia nie je párna, ani

nepárna Funkcia nemá nulový bod. V krajných bodoch platí: pre

, funkcia sa neobmedzene približuje k osi , pre

, funkcia neobmedzene klesá. V bode nula má funkcia rozdielne limity

zľava a sprava:

. a

. Preto má funkcia v bode nula asymptotu bez smernice . Prvá derivácia:

. Funkcia má stacionárny bod pre . Funkcia

je klesajúca pre a rastúca pre . Druhá derivácia je rovná:

. V stacionárnom bode má funkcia lokálne

maximum so súradnicami , pretože . Druhá derivácia je záporná

a funkcia je konkávna pre a konvexná na intervale . Funkcia nemá

inflexné body. Graf funkcie je zobrazený nižšie:

Obrázok 5.29. Graf funkcie

.

5.33. Definičný obor funkcie je: . Funkcia je nepárna.

Funkcia má nulové body:

. V krajných bodoch platí: pre

lok. maximum

lok. maximum

189

a funkcia neobmedzene klesá/rastie. Nemá

asymptotu bez smernice, ale má dve asymptoty so smernicou:

,

. Prvá asymptota má rovnicu: a druhá :

. Prvá derivácia:

. Funkcia má

stacionárne body pre . Funkcia je rastúca pre a klesajúca pre

. Druhá derivácia je rovná:

. V stacionárnom bode , kde

, má funkcia lokálne maximum so súradnicami

] a v bode ,

, má funkcia lokálne minimum so súradnicami

]. V bode má

funkcia inflexný bod, pretože

a pre nepárnu deriváciu. Druhá

derivácia je kladná a funkcia je konvexná pre a konkávna na intervale .

Graf funkcie je zobrazený na obrázku nižšie:

Obrázok 5.30. Graf funkcie .

lok. maximum

lok. minimum

190

6. Integrálny počet

6.1. Primitívna funkcia, neurčitý integrál

V predchádzajúcej kapitole sme zaviedli pojem derivácie funkcie. Funkcii sme priradili

novú funkciu , ktorá vyjadruje zmenu v závislosti od zmeny nezávisle premennej . Čím

väčšia bola hodnota derivácie , tým rýchlejšie rástla funkcia .

Teraz sa budeme zaoberať opačnou úlohou. K danej funkcii budeme hľadať primitívnu

funkciu takú, aby platilo . Inými slovami, budeme hľadať takú funkciu ,

derivovaním ktorej dostaneme našu funkciu . Tento proces hľadania primitívnej funkcie,

ktorý je opačný k derivovaniu, nazývame integrovanie (alebo aj antiderivácia).

Definícia. Funkciu definovanú na otvorenom intervale nazývame primitívnou funkciou k

reálnej funkcii na intervale , ak pre každé platí:

[6.1.]

Množinu všetkých primitívnych funkcií k funkcii nazývame neurčitý integrál funkcie a

označujeme :

F [6.2.]

kde číslo sa nazýva integračná konštanta.

Vo vzťahu [6.2.] funkciu nazývame integrandom a výraz (diferenciál nezávisle premennej

) určuje, podľa ktorej premennej sa integruje. Na rozdiel od derivovania, kde existuje aj pojem

derivácie funkcie v bode, pri integrovaní hľadáme primitívnu funkciu na celom otvorenom

intervale , kde . Primitívnu funkciu môžeme hľadať aj pre funkciu

definovanú na uzavretom intervale , v tomto prípade však naviac požadujeme

existenciu derivácie zľava a sprava v krajných bodoch intervalu a

. Primitívna funkcia má v každom bode intervalu vlastnú deriváciu rovnú funkcii ,

preto je spojitá a diferencovateľná na .

Vzniká prirodzená otázka, či ku každej funkcii definovanej na intervale existuje primitívna

funkcia a teda aj neurčitý integrál. Odpoveď dáva nasledujúca veta:

Veta. Ak je funkcia spojitá na otvorenom intervale , potom k nej existuje na intervale

primitívna funkcia .

Ak je primitívnou funkciou k funkcii na intervale , potom je primitívnou funkciou k aj

každá funkcia tvaru kde je reálna konštanta, , pretože podľa pravidla

o derivovaní súčtu platí:

[6.3.]

Teda výpočtom integrálu je primitívna funkcia určená jednoznačne okrem integračnej

konštanty , čo vystihuje zápis (Obr. 6.1.):

191

[6.4.]

Obrázok 6.1. Primitívne funkcie k funkcii sa líšia len o konštantu .

Veta. Ak a sú primitívne funkcie k rovnakej funkcii na otvorenom intervale , potom

existuje taká konštanta , že: pre každé .

Dôkaz. Z definície primitívnej funkcie na intervale vyplýva, že: .

Označme , potom pre každé platí:

Funkcia má teda na každom bode deriváciu (rovnú nule), a preto je na spojitá. Ukážeme,

že musí byť na konštantná, t.j. pre každé .

Vezmime ľubovoľné . Funkcia spĺňa na intervale Lagrangeovu vetu

([5.25.]), a preto existuje také, že:

Z toho vyplýva, že , teda všetky funkčné hodnoty na intervale sa rovnajú,

a preto každé dve primitívne funkcie k sa na intervale líšia len o konštantu

.

Preto, ak poznáme jednu primitívnu funkciu k danej funkcii na intervale , potom poznáme

všetky primitívne funkcie k tejto funkcii.

Proces hľadania primitívnej funkcie k danej spojitej funkcii (integrovanie funkcie) je

náročnejší ako proces derivovania. Na rozdiel od derivovania, pre integrovanie neexistujú

ucelené všeobecné platné pravidlá, ktoré nám umožnia nájsť primitívnu funkciu ku každej

integrovanej funkcii pomocou integrálov známych elementárnych funkcií a použitím

konečného počtu operácií sčítania, násobenia a skladania funkcií, aj keď táto primitívna funkcia

existuje.

Priamo z definície neurčitého integrálu, vzťahy [6.1.] a [6.2.], potom môžeme písať pre

každé :

192

Preto sa integrovanie niekedy nazýva aj "antideriváciou". Tiež je zrejmé, že ak má funkcia na

intervale deriváciu, ktorej neurčitý integrál existuje, potom:

teda operácie derivovania a integrovania sú navzájom "inverzné".

Príklad. Nájdite primitívnu funkciu k funkciám a .

V prvom prípade bude mať primitívna funkcie tvar: , pretože .

V druhom prípade bude mať primitívna funkcie tvar: , pretože

. Pomocou neurčitého integrálu to môžeme zapísať:

a

Základné vzorce pre integrovanie elementárnych funkcií sa dajú odvodiť zo vzorcov [5.11.]

.pre deriváciu funkcie :

,

,

,

[6.5.]

,

,

,

193

Uvedené vzorce môžeme jednoducho dokázať tak, že deriváciou výslednej primitívnej funkcie

dostaneme integrovanú funkciu, napríklad:

pre

pre

Základné vlastnosti neurčitého integrálu, ktoré sú dôsledkom pravidiel pre derivovanie funkcií,

opisujú nasledujúce vety.

Veta. Nech na intervale existujú neurčité integrály a a nech sú

ľubovoľné konštanty , potom platí:

[6.6.]

Veta. Nech na intervale existuje neurčitý integrál a nech sú

ľubovoľné konštanty , , potom platí:

[6.7.]

Dôkaz. Vetu dokážeme priamym derivovaním zloženej primitívnej funkcie za predpokladu, že

platí: :

Veta. Nech funkcia je diferencovateľná na otvorenom intervale , potom platí:

[6.8.]

Vzťah [6.8.] je založený na vlastnosti derivácie logaritmu funkcie :

Pripomíname, že neexistujú všeobecne platné pravidlá pre výpočet ľubovoľných neurčitých

integrálov typu:

alebo

194

Rôzne typy funkcií sa dajú integrovať rôznymi spôsobmi, niekedy je možné aplikovať rôzne

postupy aj na tú istú funkciu. Voľba postupu je predovšetkým vecou skúsenosti s integrovaním.

Správnosť výsledku je vhodné overiť si zderivovaním vypočítanej primitívnej funkcie.

Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál:

.

Pri výpočte integrálu použijeme všeobecné pravidlo [6.6.], ako aj známe integrály

elementárnych funkcií [6.5.] na priamy výpočet integrálu:

Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál:

.

Integrál upravíme tak, aby sme mohli použiť vzorec [6.8.]:

Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál: .

Použijeme vzťahy medzi goniometrickými funkciami a integrál upravíme tak, aby sme mohli

použiť vzorec [6.8.]:

Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál:

.

Najprv upravíme integrand na tvar rýdzo racionálnej lomenej funkcie a potom integrujeme

jednotlivé členy podľa vzťahov [6.5.]:

O správnosti výpočtu sa presvedčíme derivovaním výsledku:

195

6.2. Substitučná metóda

Jednou z najčastejšie používaných metód integrácie je substitučná metóda, ktorá je založená

na derivácii zloženej funkcie.

Veta. Nech funkcia má spojitú deriváciu na intervale a nech pre každé

patria funkčné hodnoty do intervalu . Nech funkcia je

primitívna funkcia k spojitej funkcii na intervale . Potom:

[6.9.]

Dôkaz. je primitívna funkcia k na intervale , teda: . Teda:

Nech a pre každé je , potom:

Integráciou dostaneme:

Čím sme dokázali platnosť predchádzajúcej vety.

Vetu budeme používať v tejto forme:

[6.10.]

Na výpočet diferenciálu sme využili vzťah [5.15.]. Substitučnú metódu teda

môžeme využiť na integráciu súčinu dvoch funkcií, ak druhá funkcia je deriváciou vnútornej

zložky prvej funkcie. Substitučnú metódu používame vtedy, keď vieme vypočítať integrál

.

Akú substitúciu je vhodné zvoliť na zjednodušenie integrálu závisí na praktických

skúsenostiach s počítaním integrálov a schopnosti rozoznať, či integrovaný výraz obsahuje

funkciu násobenú jej deriváciou. V niektorých prípadoch je najprv potrebné integrand na tento

tvar upraviť. Avšak nie každý integrál je možné vyriešiť substitučnou metódou.

Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál: .

Pri výpočte použijeme vlastnosť [6.6.] a substitučnú metódu výpočtu.

196

Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál: .

Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál:

.

Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál:

.

Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál:

.

Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál:

.

Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál:

.

Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál:

.

197

Často sa stretneme s integrálmi typu:

, veta [6.8.], ktoré riešime pomocou

substitúcie:

Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál:

.

6.3. Metóda per partes

Metóda integrácie per partes (po častiach) je odvodená zo vzťahu pre deriváciu súčinu

dvoch funkcií a diferencovateľných na otvorenom intervale , [5.12.]:

z čoho integráciou dostávame:

[6.11.]

Ako uvidíme z nasledujúcej vety, tento výraz nám dáva možnosť vypočítať neurčité integrály

niektorých súčinov funkcií.

Veta. Nech funkcie a majú na otvorenom intervale spojité derivácie. Potom

platí:

[6.12.]

Ak vieme vypočítať jeden z integrálov vo vzťahu [6.11.], potom pomocou [6.12.] vieme určiť

aj ten druhý. Metóda per partes je užitočná najmä pri integrovaní súčinov goniometrických,

cyklometrických, logaritmických alebo exponenciálnych funkcií s polynómom. Pri počítaní

touto metódou je dôležité správne zvoliť derivovanú ( a integrovanú ( ) funkciu tak,

aby integrál na pravej strane výrazu, ktorý obsahuje súčin zintegrovanej a

derivovanej , bol jednoduchší a integrovateľný. V integráloch obsahujúcich

polynóm , ktoré sa výhodne riešia touto metódou, volíme funkcie a obvykle takto:

pre integrály typu: , , volíme:

pre integrály typu: , , volíme:

V prípade, keď nie je vopred jasné, ktorú z možností výberu funkcií pri integrácii metódou per

partes zvoliť, je vhodné vyskúšať obidve možnosti.

Príklad. Vypočítajte metódou per partes neurčitý integrál:

198

Najprv sa rozhodneme, ako zvolíme funkcie a pre daný integrál. V našom prípade zvolíme

a . Potom a a po dosadení:

84

= -

Poznámka: V prípade, že by sme zvolili funkcie a naopak, dostali by sme:

.

Hneď vidíme, že tento postup nevedie k želanému výsledku, pretože na pravej strane sme

dostali integrál ešte o niečo "zložitejší".

Príklad. Vypočítajte metódou per partes neurčitý integrál:

Poznámka: V tomto príklade sme použili metódu per partes dvakrát, najprv pre , potom

pre tak, aby sme sa postupne zbavili druhej mocniny v súčine funkcií .

Príklad. Vypočítajte metódou per partes neurčitý integrál:

V tomto príklade sa na prvý pohľad nevyskytuje súčin funkcií, no napriek tomu sa daný

integrál výhodne rieši metódou per partes, čo bude hneď zrejmé keď integrál prepíšeme do

nasledujúceho tvaru:

Poznámka: Týmto postupom môžeme okrem cyklometrických funkcií integrovať napr. aj

Príklad. Vypočítajte metódou per partes neurčitý integrál:

V niektorých prípadoch môžeme pri aplikácii metódy per partes dostať v priebehu výpočtu na

pravej strane rovnaký integrál, ako sme mali na začiatku. V takomto prípade sa na výpočet

môžeme dívať ako na rovnicu, z ktorej integrál vyjadríme:

84

Prvý riadok pomocnej schémy pripomínajúcej determinant dokumentuje v tomto výpočte voľbu derivovanej

a integrovanej funkcie.

199

Ak sa na tento výsledok pozrieme ako na rovnicu pre hľadanú primitívnu funkciu

, potom dostaneme: , odtiaľ dostaneme:

6.4. Integrály racionálnych funkcií

Racionálne lomené funkcie predstavujú triedu funkcií, pre ktorú existuje všeobecný

postup na výpočet primitívnej funkcie. Celý rad funkcií je možné úpravami previesť na tvar

racionálnej lomenej funkcie a následne integrovať, preto je dôležité poznať postup ich

integrácie. S niektorými príkladmi integrovania jednoduchých racionálnych lomených funkcií

sme sa už stretli:

Ako riešiť neurčité integrály, ktoré obsahujú rýdzo racionálnu lomenú funkciu si ukážeme

v ďalšom texte.

Rýdzo racionálnou funkciou nazývame funkciu , ktorá je podielom dvoch

polynómov s reálnymi koeficientmi a stupňa a , kde , [2.40.]:

V časti 2.6.2. sme ukázali, že každú rýdzo racionálnu lomenú funkciu možno vyjadriť v tvare

súčtu konečného počtu parciálnych zlomkov štyroch typov ([2.42.]):

typ 1:

kde a

typ 2:

kde , a

typ 3:

kde , a

typ 4:

kde , , a

V časti 2.6.2. sme tiež uviedli spôsob, ako môžeme takýto rozklad racionálnej funkcie urobiť.

Teraz si ukážeme ako integrovať jednotlivé typy parciálny zlomkov.

typ 1:

integrujeme pomocou substitúcie :

[6.13.]

typ 2:

integrujeme tiež pomocou substitúcie :

[6.14.]

typ 3:

neurčité integrály tohto typu je možné vhodnou úpravou previesť na

súčet dvoch integrálov nasledovného tvaru:

200

[6.15.]

kde

,

a integrál:

možno vhodnou úpravou, t.j. doplnením na úplný štvorec:

a lineárnou

substitúciou previesť na integrál typu

. V tabuľkách neurčitých

integrálov85

nájdeme všeobecné riešenie pre (za predpokladu, že ) v

tvare:

[6.16.]

typ 4:

integrály parciálnych zlomkov tohto typu možno tiež vhodnou

úpravou previesť na súčet integrálov:

[6.17.]

Integrál sa dá riešiť substitúciou: :

[6.18.]

Integrál zo vzťahu [6.17.] možno previesť použitím rekurentného vzorca na súčet

racionálnej funkcie a násobku integrálu s o 1 stupeň nižšou mocninou menovateľa ,

pričom ([6.16.]):

[6.19.]

Tento postup si bližšie ozrejmíme na vyriešených príkladoch.

Príklad. Vypočítajte integrál parciálneho zlomku:

.

Príklad. Vypočítajte integrál parciálneho zlomku:

.

Príklad. Vypočítajte integrál parciálneho zlomku:

.

85

Pozri napr. M. L. Smoljanskij: Tabuľky neurčitých integrálov, 2. vydanie, Alfa, Bratislava, 1970.

201

Integrál vieme ľahko vypočítať:

.

Pri výpočte integrálu použijeme doplnenie na úplný štvorec a substitúciu:

Potom pre dostaneme celkový výsledok ako:

Príklad. Vypočítajte integrál parciálneho zlomku:

.

Prvý integrál vypočítame pomocou substitúcie:

Druhý integrál budeme riešiť opakovaným použitím rekurentného vzťahu [6.19.]:

Teda:

Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál:

.

Teda:

202

Zhrňme si na záver postup integrovania racionálnej lomenej funkcie

, ktorý

pozostáva z nasledujúcich krokov:

ak pre stupne polynómov platí: , potom vydelíme :

kde ,

rozložíme polynóm na polynómy 1. stupňa (koreňové činitele) a polynómy 2. stupňa

so záporným diskriminantom (s komplexnými koreňmi),

rozložíme rýdzo racionálnu lomenú funkciu

na parciálne zlomky, vzťah [2.42.],

integrujeme polynóm a parciálne zlomky.

Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál:

.

Delením polynómov dostaneme:

Rozložíme menovateľa na súčin koreňových činiteľov a kvadratických členov. Pretože

je koreň menovateľa, dostaneme:

Polynóm nemá reálne korene. Rýdzo racionálnu lomenú funkciu rozložíme na

parciálne zlomky:

Vynásobíme spoločným menovateľom, porovnáme koeficienty pri rovnakých mocninách

a dostaneme:

Pre koeficienty platí: ,

Mnoho ďalších integrálov je možné vhodnou substitúciou transformovať na integrály

racionálnej lomenej funkcie. Napríklad niektoré integrály, ktoré obsahujú racionálne mocniny

, , , ktoré môžeme riešiť substitúciou , . Podobne

integrály typu alebo

kde , ak aspoň jedno z čísel

je nepárne, vieme riešiť použitím vzťahu a substitúciou

alebo

Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál:

203

Racionálnu lomenú funkciu v poslednom integráli rozložíme na parciálne zlomky:

Vynásobením spoločným menovateľom a úpravou dostaneme:

Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál: .

Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál:

.

6.5. Určitý integrál

Zatiaľ čo neurčitý integrál funkcie predstavuje opäť funkciu (množina primitívnych funkcií

líšiacich sa konštantou), určitý integrál reálnej funkcie je reálne číslo, ktoré priradíme funkcii

na uzavretom intervale , . Hodnota určitého integrálu tak závisí od samotnej

funkcie, ako aj od intervalu , ktorý nazývame integračný obor. Existuje viacero definícií

určitého integrálu, uvedieme si dve.

6.5.1. Riemannova definícia

Majme uzavretý interval . Rozdeľme interval na podintervalov

s rovnakou dĺžkou

a deliacimi bodmi:

Nech je ohraničená funkcia definovaná na uzavretom intervale , pričom ,

ktorá na tomto intervale nadobúda len kladné hodnoty . Zvoľme v každom

podintervale ľubovoľný bod taký, že: . Spočítajme teraz plošné obsahy

204

obdĺžnikov so šírkou a výškami rovnajúcimi sa funkčným hodnotám v bodoch .

Dostaneme tzv. Riemannov integrálny súčet,86

Obr. 6.2.:

[6.20.]

Obrázok 6.2. Plochu pod krivkou môžeme aproximovať súčtom plôch „úzkych“ obdĺžnikov.

bude nadobúdať odlišné hodnoty pre rôzne množiny bodov , ale stále bude

približne zodpovedať ploche pod krivkou na intervale . Je zrejmé, že s rastúcim

počtom deliacich bodov ( , ) sa Riemannov integrálny súčet bude približovať

skutočnému plošnému obsahu krivočiareho lichobežníka ohraničeného osou , priamkami

a krivkou , t.j.:

[6.21.]

Definícia. Ak postupnosť , Riemannových integrálnych súčtov na intervale

je pre každý výber bodov konvergentná a má rovnakú limitu , potom toto číslo

nazývame Riemannovým určitým integrálom funkcie na intervale a značíme:

[6.22.]

Funkciu potom nazývame integrovateľnou na intervale . Číslo nazývame dolnou

hranicou a číslo hornou hranicou integrálu.

Na Riemannov určitý integrál sa môžeme pozerať ako na limitný prípad sčítania. Tomu

zodpovedá aj jeho zápis, keď symbol vo výraze [6.20.] nahradíme symbolom vo

vzťahu [6.22.] a dĺžkový element nahradíme a namiesto súčtu pre od 1 po budeme

„spojite sčítavať nekonečne malé príspevky“ podľa premennej , v rozmedzí od do .

Požiadavka obmedzenosti funkcie na intervale súvisí s konvergentnosťou postupnosti

Riemannových integrálnych súčtov, ktorá musí mať vlastnú limitu. Geometrický význam

Riemannovho určitého integrálu je zrejmý z Obr. 6.2., predstavuje plochu pod krivkou

86

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) bol nemecký matematik, ktorý významne prispel k rozvoju

matematickej analýzy a diferenciálnej geometrie.

)

205

nezápornej funkcie na intervale , čo vedie k početným praktickým geometrickým

aplikáciám určitého integrálu.

Vzniká prirodzená otázka, ktoré funkcie sú integrovateľné. V nasledujúcej vete budeme bez

dôkazu charakterizovať triedu integrovateľných funkcií.

Veta. Ak je funkcia spojitá na intervale , potom existuje určitý integrál

.

Táto veta zostáva platná aj vtedy, ak bude funkcia spojitá na až na konečný počet

nespojitých bodov.

Prednosťou Riemannovej definície určitého integrálu je jej jednoduchá geometrická

interpretácia. Jej nevýhodou je, že zisťovanie limít integrálnych súčtov je vo všeobecnosti

zložité, poprípade neriešiteľné.

6.5.2. Newtonova definícia

Nasledujúca veta umožňuje vypočítať určitý integrál pomocou primitívnej funkcie

(neurčitého integrálu).

Veta. Majme spojitú funkciu integrovateľnú na otvorenom intervale a nech existuje

primitívna funkcia funkcii k , ktorá je spojitá na uzavretom intervale , pričom platí

. Potom Newtonov určitý integrál na intervale je daný vzťahom:

[6.23.]

Vzťah [6.23.] sa nazýva Newton-Leibnizov vzorec.

Dôkaz. Rozdeľme interval na podintervalov s rovnakou dĺžkou a deliacimi bodmi:

Majme funkciu spojitú na , ktorá je primitívnou funkciou k funkcii na intervale

. To znamená, že spĺňa predpoklady Lagrangeovej vety na každom podintervale

:

kde . Sčítaním takýchto rovníc pre dostaneme:

Výraz na pravej strane rovnice je Riemannov integrálny súčet funkcie na intervale .

Dostávame teda:

Pretože

existuje a je limitou postupnosti na oboch stranách rovnice (na ľavej strane

je konštantná postupnosť), preto výpočtom limity dostaneme:

206

Všimnime si, že v Newton-Leibnizovom vzorci, vzťah [6.23.], nezáleží na tom ktorú

z primitívnych funkcií (líšiacich sa o konštantu ) použijeme. Totiž, ak dve spojité funkcie a

sú primitívnymi funkciami k funkcii na intervale , potom sa a líšia len

o konštantu: . Preto platí:

Na rozdiel od Riemannovho integrálu, je postup výpočtu určitého integrálu definovaného podľa

Newtona jednoznačne daný. Spočíva v nájdení primitívnej funkcie a vyčíslení jej dvoch

funkčných hodnôt. Naopak, jeho geometrický význam nie je úplne jasný. Z hľadiska existencie

a hodnoty Newtonovho určitého integrálu stojí za povšimnutie, že nezáleží na tom, či je

integrovaná funkcia definovaná v krajných bodoch integračného oboru a . Pre porovnanie

Riemannovej a Newtonovej definície určitého integrálu platí nasledujúca veta.

Veta. Ak je funkcia spojitá na intervale , potom je hodnota Riemannovho určitého

integrálu rovná hodnote Newtontovho určitého integrálu:

6.5.3. Vlastnosti určitého integrálu

Skôr ako prejdeme k aplikáciám určitého integrálu, uveďme si niektoré jeho základné

vlastnosti. V ďalšom texte sa budeme zaoberať len určitými integrálmi počítanými podľa

Newtonovej definície a integrand budeme považovať za integrovateľnú funkciu v zmysle

Newtonovej definície.

Základné vlastnosti určitého integrálu:

ak je integrovateľná na , , , potom platí:

,

pre nezápornú integrovateľnú funkciu na je:

ak je integrovateľná na , pre ľubovoľné také, že: , platí:

[6.24.]

ak existujú integrály

a

, a a sú reálne čísla, potom platí:

ak je integrovateľná na , potom je na integrovateľná aj a platí:

ak a sú integrovateľné funkcie na a na platí: , potom:

207

[6.25.]

ak funkcie a sú spojité a diferencovateľné na , potom:

[6.26.]

Túto vlastnosť využívame na integráciu určitých integrálov metódou per partes.

nech funkcia je spojitá na a nech funkcia je spojitá, diferencovateľná a rýdzo

monotónna na taká, že , potom:

[6.27.]

Túto vlastnosť využívame na integráciu určitých integrálov substitučnou metódou.

ak existuje integrál

a funkcia je párna, potom:

ak je funkcia je nepárna, potom:

nech funkcia je spojitá na , potom existuje také , že podľa Lagrangeovej

vety platí:

z čoho vyplýva veta o strednej hodnote funkcie na intervale :

[6.28.]

Geometrická interpretácia strednej hodnoty nezápornej spojitej funkcie na intervale

je zrejmá z Obr. 6.3. Plošný obsah krivočiareho lichobežníka pod krivkou je

rovnaký ako plocha obdĺžnika s výškou a šírkou .

Obrázok 6.3. Stredná hodnota funkcie na intervale .

Poznámka. Ak definujeme pre každé primitívnu funkciu ako funkciu hornej

hranice určitého integrálu derivovanej funkcie ( ):

208

potom derivácia tejto funkcie a . Týmto spôsobom môžeme vyjadriť

aj transcendentné primitívne funkcie k funkcii , teda také, ktoré nie je možné vyjadriť

pomocou elementárnych reálnych funkcií, napr.:

alebo

Príklad. Vypočítajte určitý integrál:

Príklad. Vypočítajte určitý integrál:

Pri riešení použijeme aditivitu integrálu, vzťah [6.24.], a integrál funkcie rozdelíme na dve

časti: pre a pre , Obr. 6.4.:

Obrázok 6.4. Graf funkcie .

Príklad. Vypočítajte určitý integrál:

Príklad. Vypočítajte substitučnou metódou určitý integrál:

209

Príklad. Vypočítajte substitučnou metódou určitý integrál:

Príklad. Vypočítajte substitučnou metódou určitý integrál:

Príklad. Vypočítajte metódou per partes určitý integrál:

Príklad. Vypočítajte metódou per partes určitý integrál:

Príklad. Vypočítajte strednú hodnotu funkcie: na intervale .

Strednú hodnotu funkcie budeme počítať podľa vzťahu [6.28.]:

Príklad. Vypočítajte strednú hodnotu funkcie: na intervale .

Všimnime si, že stredná hodnota, a tiež určitý integrál funkcie , ktorá nadobúda

na intervale záporné hodnoty, sú záporné, . Určitý integrál

, ktorý

geometricky interpretujeme na danom intervale ako plochu ohraničenú rovinnou

210

krivkou a osou , na rozdiel od plošného obsahu rovinných útvarov, môže nadobúdať

aj záporné hodnoty, ak pre platí: , Obr. 6.5.

Obrázok 6.5. Graf funkcie a určitý integrál

.

6.5.4. Nevlastné integrály

V predchádzajúcej časti sme sa zaoberali určitým integrálom spojitej funkcie na konečnom

intervale , kde , . V tejto časti rozšírime pojem určitého integrálu na

neobmedzený interval alebo , a tiež na neohraničené funkcie.

Definícia. Majme funkciu definovanú na intervale a predpokladajme, že je

integrovateľná pre všetky , . Ak existuje vlastná (konečná) limita určitého integrálu

pre hornú hranicu , potom platí:

[6.29.]

Majme funkciu definovanú na intervale a predpokladajme, že je

integrovateľná pre všetky , . Ak existuje vlastná (konečná) limita určitého

integrálu

pre dolnú hranicu , potom platí:

[6.30.]

Ak nevlastné integrály [6.29.] a [6.30.] existujú, hovoríme, že nevlastné integrály konvergujú.

V opačnom prípade hovoríme, že divergujú (neexistujú), Obr. 6.6. Geometrický význam

určitého integrálu platí aj pre nevlastné integrály, počítame tu obsah rovinného obrazca, ktorý

nie je obmedzený.

211

Obrázok 6.6. Nevlastný integrál na neohraničenom intervale :

.

Ak je funkcia definovaná na intervale a pre ľubovoľné existujú

integrály

a

, potom hovoríme, že existuje nevlastný integrál

a definujeme ho ako:

[6.31.]

Príklad. Vypočítajte nevlastný integrál:

.

Na výpočet integrálu použijeme vzťah [6.29.]:

Príklad. Vypočítajte nevlastný integrál:

.

Tento integrál diverguje.

Príklad. Vypočítajte nevlastný integrál:

.

Príklad. Vypočítajte nevlastný integrál:

.

Na výpočet integrálu použijeme vzťah [6.31.] a fakt, že funkcia

je párna, Obr.

6.7.:

212

Obrázok 6.7. Nevlastný integrál

.

Okrem nevlastných integrálov ohraničených funkcií na neohraničených intervaloch

alebo , poznáme aj nevlastné integrály neohraničených funkcií definovaných na

ohraničených intervaloch alebo , Obr. 6.8.

Definícia. Majme funkciu definovanú na intervale , ktorá nie je ohraničená

v okolí bodu (singulárny bod) a je integrovateľná na každom intervale , pre každé

. Ak existuje vlastná (konečná) limita funkcie pre blížiace sa k singulárnemu

bodu zľava, potom ju nazývame nevlastným integrálom neohraničenej funkcie na intervale

:

[6.32.]

Hovoríme, že nevlastný integrál neohraničenej funkcie konverguje. Ak je táto limita

nevlastná (nekonečná), potom hovoríme, že integrál diverguje.

Obrázok 6.8. Nevlastný integrál neohraničenej funkcie na intervale .

213

Podobným spôsobom je možné zadefinovať nevlastný integrál neohraničenej funkcie na

intervale . Ak je funkcia neohraničená v okolí oboch krajných bodov a pre nejaké

existujú nevlastné integrály

a

, potom

[6.33.]

Príklad. Vypočítajte nevlastný integrál:

Keď sa blíži k bodu zľava,

rastie cez všetky medze, preto bod je

singulárny bod, v okolí ktorého je neohraničená, Obr. 6.9. Na výpočet nevlastného integrálu

použijeme vzťah [6.32.]:

Nevlastný integrál teda diverguje.

Obrázok 6.9. Graf funkcie

a nevlastný integrál

Príklad. Vypočítajte nevlastný integrál:

Funkcia

má singulárny bod v .

Príklad. Vypočítajte nevlastný integrál:

Funkcia má singulárny bod v . Nevlastný integrál vypočítame metódou

per partes. Poslednú limitu vypočítame L’Hospitalovým pravidlom.

214

......

6.5.5. Aplikácie určitého integrálu

Okrem matematiky nachádza integrálny počet široké uplatnenie najmä vo fyzike a chémii,

kde celý rad fyzikálnych a fyzikálnochemických veličín je vyjadrený zákonmi formulovanými

v integrálnom tvare. V nasledujúcom texte sa však budeme zaoberať len najjednoduchšími

geometrickými aplikáciami.

K základným geometrickým aplikáciám určitého integrálu patrí určenie plošného obsahu

rovinného útvaru. Ako už vieme, určitý integrál spojitej nezápornej funkcie na intervale

je rovný veľkosti plochy pod krivkou , Obr. 6.2.:

[6.34.]

Uvažujme rovinný útvar ohraničený krivkami spojitých funkcií a (Obr. 6.10.) takých,

že:

pre každé . teda môžeme zapísať ako množinu usporiadaných dvojíc:

Ak , potom plošný obsah elementárnej oblasti je rovný rozdielu plošných obsahov

krivočiarych lichobežníkov pod krivkami a :

Teda:

215

Obrázok 6.10. Elementárne oblasti - plochy a ohraničené krivkami a ; a

na intervale .

Pre plochu elementárnej oblasti teda dostaneme:

[6.35.]

Z Obr. 6.10. je zrejmé, že vzorec [6.35.] platí pre výpočet plošného obsahu, rovnako aj pre

funkcie a posunuté na osi o konštantu . Vzťah [6.35.] môžeme zovšeobecniť aj pre

prípady, keď na intervale je , alebo sa funkcie a na tomto intervale

pretínajú tak, že uvažujeme absolútnu hodnotu rozdielu oboch funkcií:

[6.36.]

Pred vlastnou integráciou je však potrebné absolútnu hodnotu odstrániť. To môžeme urobiť tak,

že integračný obor rozdelíme na podintervaly, kde rozdiel funkcií nemení svoje znamienko,

teda kde platí: pre a pre . V prípade, že sa

funkcie a na intervale pretínajú v bode , potom plošný obsah spočítame ako

súčet dvoch určitých integrálov od po a od po

Príklad. Vypočítajte plošný obsah útvaru ohraničeného grafom funkcie a

funkcie , Obr. 6.11.

je dotyčnicou ku v bode , pretože . Dotyčnica má

teda smernicu 2. Priesečníky a budú tam, kde:

teda v bodoch so súradnicami a Plocha elementárnej oblasti teda bude rovná:

Obrázok 6.11. Elementárna oblasť ohraničená krivkami a

na intervale .

y

x

216

Príklad. Vypočítajte plošný obsah útvaru ohraničeného grafom funkcie a

funkcie , a priamkami a , Obr. 6.12.

Obrázok 6.12. Elementárna oblasť ohraničená krivkami a na intervale

a priamkami a .

Okrem plošného obsahu je pomocou určitého integrálu možné vypočítať dĺžku rovinnej

krivky. Predstavme si krivku, ktorá je grafom spojitej funkcie , , ktorá má

deriváciu v každom bode intervalu , Obr. 6.13. Skúsme vypočítať jej dĺžku na intervale

. Interval rozdeľme na rovnakých dielikov dĺžky:

s deliacimi bodmi:

kde

Obrázok 6.13. Krivka aproximovaná lomenou čiarou s krokom .

Body na grafe funkcie pre hodnoty argumentu zodpovedajúce deliacim bodom

pospájame úsečkami. Takto dostaneme lomenú čiaru, celková dĺžka ktorej bude

určená súčtom jednotlivých úsečiek spájajúcich body s dĺžkami .

Dĺžky úsečiek vypočítame pomocou Pytagorovej vety,87

Obr. 6.13., a použitím

Lagrangeovej vety:

87

Pytagoras zo Samosu (asi 580-496 p.n.l.) bol starogrécky filozof, matematik a astronóm. Známy je najmä

Pytagorovou vetou, ktorá popisuje vzťah medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka v rovine.

217

Dĺžka celej lomenej čiary:

[6.37.]

Výraz [6.37.] predstavuje Riemannov integrálny súčet pre funkciu na

intervale . S rastúcim počtom dielikov sa bude súčet približovať

skutočnej dĺžke krivky :

[6.38.]

Príklad. Vypočítajte dĺžku krivky na intervale .

Na výpočet použijeme vzorec [6.38.].

Racionálnu funkciu rozložíme na parciálne zlomky:

Príklad. Odvoďte vzorec pre obvod kružnice.

Obvod kružnice vyjadríme ako dvojnásobok dĺžky polkružnice .

Najprv vyjadríme .

218

Obrázok 6.14. Polkružnica: , pre .

Pomocou určitého integrálu môžeme vypočítať tiež objem a plochu plášťa rotačných telies.

Majme funkciu spojitú na intervale , ktorá ohraničuje krivočiary lichobežník:

Rotáciou lichobežníka okolo osi vznikne tzv. rotačné teleso, Obr. 6.15. Ak si predstavíme,

že rotačné teleso rozdelíme na tenkých valčekov s plochou kruhového prierezu

a konštantnou výškou , potom objem celého rotačného telesa bude súčet objemov všetkých

valčekov pre :

[6.39.]

Obrázok 6.15. Rotačné teleso ohraničené krivkou na intervale . Rez rotačného telesa v

bode má plochu .

Príklad. Vypočítajte objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou okolo osi rovinného

útvaru ohraničeného čiarami , a krivkou

.

Objem tohto rotačného telesa vypočítame podľa vzťahu [6.39.]:

Príklad. Vypočítajte objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou okolo osi rovinného

útvaru ohraničeného krivkami a , Obr. 6.16.

Najprv nájdeme priesečníky kriviek:

a vypočítame objem telesa:

x a a

b

219

Obrázok 6.16. Rovinný útvar, rotáciou ktorého okolo osi dostaneme rotačné teleso ohraničené

krivkami a na intervale .

Pomocou určitého integrálu je možné vypočítať aj plochu povrchu rotačných telies. Povrch

rotačných telies sa skladá z kruhových podstáv a z plášťa, ktorý vznikne rotáciou krivky

pre okolo osi (v prípade rovinného útvaru znázorneného na Obr. 6.16.

rotačné teleso nemá podstavy). Element povrchu rotačného telesa zodpovedá plášťu zrezaného

kužeľa s obvodom podstavy a dĺžke steny . Preto plochu plášťa

rotačného telesa vypočítame podľa vzorca:

[6.40.]

Príklad. Odvoďte vzťah pre veľkosť povrchu plášťa kužeľa, ktorý vznikne rotáciou úsečky

okolo osi , kde a .

Rotáciou tejto úsečky vznikne kužeľ s výškou a polomerom podstavy rovným .

Príklad. Vypočítajte plošný obsah povrchu plášťa rotačného telesa, ktorý vznikne rotáciou

krivky pre

6.5.6. Približné metódy výpočtu určitých integrálov

Približný výpočet určitých integrálov pomocou numerických metód používame vtedy, keď

nevieme nájsť primitívnu funkciu k integrovanej funkcii. Postup numerickej integrácie spočíva

v tom, že integračný obor sa rozdelí na dostatočný počet (malých) podintervalov, na ktorých

považujeme integrovanú funkciu za konštantnú alebo ju tam aproximujeme inou jednoduchšou

funkciou. Jednotlivé metódy sa nazývajú podľa typu tejto aproximácie.

220

Obdĺžnikové pravidlo. Majme spojitú funkciu na uzavretom intervale .

Rozdeľme na rovnakých podintervalov, ktorých dĺžka bude

. Označme

a . Na každom podintervale nahraďme funkciu

konštantnou funkciou , Obr. 6.17.A. Plochu elementárnej oblasti potom môžeme

vyjadriť ako súčet obdĺžnikov:

[6.41.]

A B

Obrázok 6.17. Numerická integrácia. A. Obdĺžnikové pravidlo. B. Lichobežníkové pravidlo.

Lichobežníkové pravidlo. Pri tomto postupe nahradzujeme na každom podintervale

graf funkcie priamkou, ktorá prechádza po sebe idúcimi vrcholmi [ a [ . Plochu

elementárnej oblasti potom aproximujeme lichobežníkmi, z ktorých každý má plochu

.

Celková plocha potom bude rovná:

[6.42.]

Pre obidva súčty a platí, že s rastúcim sa ich hodnota blíži k hodnote určitého

integrálu

. Rýchlosť tohto približovania je pre lichobežníkovú metódu vyššia. Ak

zdvojnásobíme počet dielikov , chyba odhadu sa pri použití obdĺžnikového pravidla zmenší

na polovicu, zatiaľ čo u lichobežníkového pravidla sa zmenší na štvrtinu. Rýchlosť

konvergencie je daná stupňom polynómu, ktorým funkciu po častiach aproximujeme. Zatiaľ čo

obdĺžnikové pravidlo využíva konštantnú funkciu, lichobežníkové pravidlo používa presnejšiu

lineárnu funkciu. Zložitejšie a presnejšie metódy numerickej integrácie ako napr. Simpsonovo

pravidlo88

, ktoré využíva kvadratickú interpoláciu, umožňujú vypočítať hodnoty určitých

integrálov prakticky s ľubovoľnou presnosťou.

88

Thomas Simpson (1710-1761) bol britský matematik a vynálezca, známy najmä pre svoju numerickú metódu

výpočtu určitých integrálov.

221

Cvičenia 6.

6.1. Vypočítajte neurčitý integrál: .

6.2. Vypočítajte neurčitý integrál:

.

6.3. Vypočítajte neurčitý integrál: .

6.4. Vypočítajte neurčitý integrál:

.

6.5. Vypočítajte neurčitý integrál:

.

6.6. Vypočítajte neurčitý integrál: .

6.7. Vypočítajte neurčitý integrál:

.

6.8. Vypočítajte neurčitý integrál: .

6.9. Vypočítajte neurčitý integrál: .

6.10. Vypočítajte neurčitý integrál:

.

6.11. Vypočítajte neurčitý integrál:

.

6.12. Vypočítajte neurčitý integrál:

.

6.13. Vypočítajte neurčitý integrál:

.

6.14. Vypočítajte neurčitý integrál:

.

6.15. Vypočítajte neurčitý integrál:

.

6.16. Vypočítajte neurčitý integrál: .

6.17. Vypočítajte metódou per partes neurčitý integrál: .

6.18. Vypočítajte metódou per partes neurčitý integrál: .

222

6.19. Vypočítajte neurčitý integrál: .

6.20. Vypočítajte neurčitý integrál: .

6.21. Vypočítajte neurčitý integrál:

.

6.22. Vypočítajte určitý integrál:

.

6.23. Vypočítajte určitý integrál:

.

6.24. Vypočítajte určitý integrál:

.

6.25. Vypočítajte určitý integrál:

.

6.26. Vypočítajte určitý integrál:

.

6.27. Vypočítajte určitý integrál:

.

6.28. Vypočítajte plochu elementárnej oblasti ohraničenej krivkami a

.

6.29. Vypočítajte plochu elementárnej oblasti uzavretej krivkou .

6.30. Nájdite objem rotačného telesa, ktoré vznikne otáčaním paraboly na intervale

okolo osi .

6.31. Nájdite objem rotačného telesa, ktoré vznikne otáčaním elipsy okolo

osi .

6.32. Nájdite dĺžku krivky danej funkciou:

na intervale .

6.33. Nájdite dĺžku reťazovky danej funkciou:

na intervale .

6.34. Vypočítajte plochu povrchu plášťa rotačného telesa, ktoré vznikne otáčaním elipsy

okolo osi .

223

Riešenia 6.

6.1.

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

6.6.

6.7.

Absolútnu hodnotu môžeme vo výsledku vynechať, pretože pre všetky .

6.8.

6.9.

6.10.

6.11.

6.12.

6.13.

224

6.14.

6.15.

6.16.

6.17.

Dostaneme rovnicu:

Z toho:

6.18.

=

.........

6.19.

6.20.

225

6.21.

Racionálnu lomenú funkciu rozložíme na parciálne zlomky:

Z toho pre koeficienty:

Pre druhý integrál použijeme rekurentný vzťah:

Dostaneme teda:

6.22.

6.23.

6.24.

6.25.

226

6.26.

6.27.

6.28. Plochu elementárnej oblasti ohraničenej krivkami a

vypočítame ako určitý integrál:

. Najprv nájdeme priesečníky kriviek:

Obrázok 6.18. Elementárna oblasť ohranicená krivkami: a .

6.29. Plochu elementárnej oblasti uzavretej symetrickou krivkou

budeme počítať ako štvornásobok časti ležiacej v prvom kvadrante:

227

Obrázok 6.19. Elementárna oblasť uzavretá symetrickou krivkou .

6.30. Objem rotačného telesa, ktoré vznikne otáčaním paraboly na intervale

okolo osi budeme počítať podľa vzťahu

[6.39.]

Obrázok 6.20. Rotačné teleso, ktoré vznikne otáčaním paraboly na intervale

6.31. Objem rotačného telesa, ktoré vznikne otáčaním elipsy s dĺžkou

hlavnej poloosi okolo osi vypočítame ako integrál na integračnom obore :

Obrázok 6.21. Rotačné teleso, ktoré vznikne otáčaním elipsy .

6.32. Dĺžku krivky danej funkciou:

na intervale budeme počítať

podľa vzorca [6.38.]:

.

Najprv vypočítame:

y

228

6.33. Dĺžku reťazovky:

na intervale budeme počítať ako:

Obrázok 6.22. Graf krivky nazývanej reťazovka:

.

6.34. Plochu povrchu plášťa rotačného telesa, ktoré vznikne otáčaním elipsy

s dĺžkou hlavnej poloosi rovnou 4 okolo osi , vypočítame pomocou vzťahu [6.40.]

.

Najprv vypočítame

.

229

7. Diferenciálny počet funkcií dvoch premenných

7.1. Definičný obor a graf funkcie

Reálnou funkciou dvoch nezávislých premenných budeme nazývať funkčný predpis, ktorý

každej usporiadanej dvojici reálnych čísel z množiny (z definičného oboru)

jednoznačne priradí reálne číslo (funkčnú hodnotu). Toto priradenie symbolicky zapisujeme:

alebo .

Definičný obor funkcie dvoch premenných je teda podmnožina ,

geometricky je to časť roviny s karteziánskymi súradnicami a . Oborom hodnôt funkcie je

podmnožina reálnych čísel R .

Grafom reálnej funkcie dvoch premenných je množina

, geometricky je to časť trojrozmerného priestoru (s karteziánskymi súradnicami

a ), hyperplocha89

v priestore, Obr. 7.1., (na rozdiel od grafu jednej reálnej premennej, ktorej

grafom je krivka v rovine).

A. B.

Obrázok 7.1. Grafy funkcií dvoch nezávisle premenných. A. (rotačný paraboloid). B.

. Farebná škála rozlišuje „vrstevnice hyperplochy“, ktoré ležia v odlišných v intervaloch

hodnôt súradnice .

Graf funkcie dvoch premenných má takú vlastnosť, že každá priamka rovnobežná s osou ,

ju pretne najviac v jednom bode. Podobne, ako u funkcií jednej premennej, aj v prípade funkcií

dvoch premenných, môžeme zaviesť niektoré vlastnosti, ako napr. ohraničenosť funkcie,

prípadne je možné zaviesť pojem zloženej funkcie. Iné vlastnosti, ako napr. monotónnosť, však

strácajú zmysel, pretože množinu nepovažujeme za lineárne usporiadanú, (nevieme

rozhodnúť či prvok leží pred alebo za prvkom ). Vlastnosti funkcií

dvoch premenných, opísané v tejto kapitole, je možné jednoducho rozšíriť aj na funkcie

viacerých premenných. Nebudeme sa tým však vzhľadom na malú názornosť zapodievať.

Zatiaľ čo graf funkcie dvoch premenných vieme v učebniciach znázorniť, napr. ako

axonometrický priemet90

do roviny, grafy funkcií 3 (a viac) nezávisle premenných (t.j.

89

Termínom „hyperplocha“ budeme označovať zakrivenú plochu v trojrozmernom priestore. 90

Axonometrická projekcia je jednoduchý spôsob premietania priestorových telies do roviny.

x x y y

z z

230

usporiadané štvorice v 4 rozmernom priestore, vo všeobecnosti usporiadané -tice), už takto

znázorniť nedokážeme.

Grafom konštantnej funkcie s definičným oborom je

rovina rovnobežná s rovinou , ktorá pretína -ovú os vo výške . Oborom hodnôt je

. Rezom plochy rovinou kolmou na os (ktorá má rovnicu ), ako

aj rovinou kolmou na os (s rovnicou ), bude priamka, ktorá spĺňa podmienky

( , , ).

Grafom lineárnej funkcie dvoch premenných kde sú

parametre a , je tiež rovina, Obr. 7.2. Rezom tejto rovinnej plochy rovinou

(rovinou kolmou na os ) alebo (rovinou kolmou na os ), dostaneme priamku

s rovnicou (čo je funkcia jednej nezávisle premennej , pričom zostáva

závisle premennou) alebo priamku .

Obrázok 7.2. Grafom lineárnej funkcie dvoch premenných: , alebo vo

všeobecnom tvare: , je rovina.

Grafom funkcie je kvadratická hyperplocha nazvaná rotačný

paraboloid (Obr. 7.1.A.), pričom , . Rovinné rezy touto hyperplochou

rovinami kolmými na os s rovnicou: , sú kružnice s rovnicami: so

stredom v počiatku osí a a polomerom . Rezom rotačného paraboloidu:

rovinami kolmými na os alebo (rovnice: a ) je parabola s rovnicou:

alebo .

Príklady grafov, ktoré sme tu stručne načrtli, naznačujú, ako je možné vyšetrovať tvar

kriviek funkcií dvoch premenných, čo je vďaka jednej dimenzii naviac oproti funkciám jednej

premennej, podstatne zložitejšie.

7.2. Limita a spojitosť

V predchádzajúcich častiach sme definovali limitu funkcie pomocou okolia bodu na

množine reálnych čísel. Ak rozšírime pojem okolia na množinu budú zodpovedajúce

definície limity a spojitosti funkcií dvoch premenných veľmi podobné.

Majme bod a , , potom množinu bodov ;

nazveme prstencovým -okolím bodu .

x

y

z

231

Druhá odmocnina tu predstavuje vzdialenosť bodov a vyjadrenú pomocou

Pytagorovej vety.

Definícia. Majme funkciu definovanú na určitom prstencovom okolí bodu

. Ak existuje , také, že:

hovoríme, že funkcia dvoch premenných má v bode vlastnú limitu , a zapisujeme:

[7.1.]

Ak je naviac funkcia definovaná aj v bode a platí:

[7.2.]

hovoríme, že funkcia dvoch premenných v bode je spojitá.

Limita aj v prípade funkcií dvoch nezávisle premenných popisuje správanie funkcie v okolí

daného bodu , ale nie v bode samom (na rozdiel od spojitosti). Ak má funkcia dvoch

premenných v bode limitu rovnú , dáva, zjednodušene povedané, funkčné hodnoty

v blízkosti bodu , ktoré sa veľmi málo líšia od hodnoty . Pre funkcie dvoch

premenných je možné, podobne ako pre funkciu jednej premennej, zaviesť pojem nevlastnej

limity, nedá sa však na ne rozšíriť pojem limity v nevlastnom bode.

Rovnako možno na limity funkcií dvoch premenných aplikovať vlastnosti súčtu, rozdielu,

súčinu a podielu limít spojitých funkcií jednej premennej (vzťahy [5.4.]) a výsledkom je opäť

spojitá funkcia. Limita spojitej funkcie sa rovnako ako u funkcií jednej premennej bude rovnať

funkčnej hodnote v danom bode.

Pretože definičným oborom funkcií dvoch premenných je podmnožina , je vyšetrovanie

správania funkcie, keď sa blížime k hranici jej definičného oboru podstatne náročnejšie, ako

u funkcií jednej premennej. Zatiaľ čo v prípade jednej premennej tvoria hranice oboru dva

body, ku ktorým sa môžeme blížiť zľava alebo sprava, v prípade dvoch premenných tvorí

hranicu nekonečne veľa bodov, ku ktorým sa môžeme približovať z nekonečne mnoho

smerov. Podobne je to aj so stanovením limity funkcie v danom bode, kde existuje nekonečný

počet možných smerov priblíženia. Preto nie je možné pre funkcie dvoch a viac premenných

zaviesť pojem limity zľava a sprava.

Pri vyšetrovaní limity funkcie dvoch premenných v danom bode , je výhodné

postupovať tak, že skúmame limitu v smere priamok, ktoré ležia v definičnom obore funkcie

a daným bodom prechádzajú: , . Limita funkcie dvoch

premenných počítaná v smere takejto priamky: sa totiž počíta

ako limita funkcie jednej premennej, čo už vieme vypočítať. Pokiaľ dostaneme pri približovaní

sa k bodu pre všetky možné smery priamok rovnakú limitu , potom môžeme pre

limitu v bode písať: .

Príklad. Vypočítajte limitu funkcie:

v bode , Obr. 7.3.

232

Funkcia je definovaná na – a na definičnom obore je spojitá. Budeme

vyšetrovať jej správanie okolo bodu a počítať limitu:

, pričom sa

k počiatku budeme približovať po priamkach , ktoré prechádzajú počiatkom

a ležia v rovine :

Vidíme, že limity sú v rôznych smeroch ( je smernica priamok, ktoré smer priblíženia určujú),

a preto funkcia nemá v bode limitu.

Obrázok 7.3. Graf funkcie:

.

7.3. Parciálna derivácia

Pripomeňme si definíciu a geometrický význam derivácie funkcie jednej premennej

v bode , ktorá je definovaná ako limita [5.7.]:

.

Derivácia v bode je teda číslo, ktoré udáva veľkosť smernice dotyčnice ku krivke

v dotykovom bode . V predchádzajúcej časti sme ukázali, že v prípade

funkcie dvoch nezávisle premenných je limita funkcie komplikovanejšia ako u jednej

premennej, pretože v tomto prípade sa môžeme blížiť k bodu z mnohých smerov.

Ukazuje sa, že je výhodné sledovať správanie funkcie, keď sa približujeme k skúmanému bodu

v smere súradnicových osí a . Počítaním limít v smere osí a sa dostávame

k zavedeniu pojmu parciálnej derivácie 91

funkcie dvoch premenných .

Definícia. Majme funkciu definovanú na okolí . Nech funkcie

a sú funkciami jednej premennej definované na -okolí bodu

, respektíve . Ak má funkcia v bode deriváciu , potom ju nazývame

parciálnou deriváciou funkcie podľa premennej v bode a označujeme:

91

Význam pojmu parciálna derivácia môžeme vysvetliť aj ako čiastočná derivácia.

x

z

y

233

[7.3.]

Ak má funkcia v bode deriváciu , potom ju nazývame parciálnou deriváciou

funkcie podľa premennej v bode a označujeme:

[7.4.]

Ak má funkcia parciálne derivácie v ľubovoľnom bode , sú tieto derivácie

funkciami premenných a . Funkcia dvoch premenných má dve parciálne derivácie prvého

rádu. Pri parciálnom derivovaní v smere osi ( sa dívame na premennú ako na

konštantu a derivujeme len podľa premennej . Naopak, pri derivovaní v smere osi

( sa dívame na premennú ako na konštantu a derivujeme len podľa premennej .

Pretože parciálne derivácie a

počítame ako „obyčajné“ derivácie podľa

jednej premennej, platia pre výpočet parciálnych derivácií rovnaké pravidlá ako pre

derivovanie funkcií jednej premennej (ako napr. pravidlo o derivovaní zloženej funkcie, súčinu

a podielu funkcií, a pod.).

Parciálne derivácie v danom bode môžu (a nemusia) existovať a môžu byť

vlastné alebo nevlastné. V každom prípade podávajú informáciu o tom, aké je zakrivenie

hyperplochy v okolí bodu v kladnom smere osi a kladnom smere osi ,

Obr. 7.4.

Obrázok 7.4. Parciálna derivácia

v bode funkcie udáva smernicu dotyčnice

v bode ku krivke vzniknutej rezom hyperplochy rovinou kolmou

na os s rovnicou (krivka ). Podobne parciálna derivácia v bode funkcie

udáva smernicu dotyčnice v bode ku krivke vzniknutej rezom

hyperplochy rovinou kolmou na os s rovnicou (krivka ).

Geometrická interpretácia parciálnych derivácií hovorí, že sú to smernice dotyčníc ku

krivkám a v bode , ktoré vznikli ako rezy hyperplochy

234

rovinami kolmými na os ( a na os ( , a ktoré prechádzajú

bodom . Parciálne derivácie však nehovoria nič o zakrivení hyperplochy v okolí

bodu v smeroch odlišných ako sú smery súradnicových osí a .

Zatiaľ čo u funkcií jednej premennej vyplýva z existencie derivácie v bode spojitosť funkcie

v danom bode, u funkcií dvoch premenných toto tvrdenie neplatí. Ak má funkcia

v bode parciálnu deriváciu, nemusí ešte byť v tomto bode spojitá.

Príklad. Vypočítajte prvé parciálne derivácie funkcie

v bode .

Funkcia predstavuje polynóm premenných a a je definovaná a spojitá na celom

intervale . Najprv vypočítame parciálne derivácie vo všeobecnom bode a potom určíme

ich konkrétne hodnoty v bode .

Príklad. Vypočítajte prvé parciálne derivácie funkcie

Funkcia je definovaná a spojitá na celom intervale . Budeme ju derivovať ako súčin

funkcií.

Príklad. Vypočítajte prvé parciálne derivácie funkcie

.

Funkcia je definovaná a spojitá na celom intervale . Budeme ju derivovať ako podiel

dvoch funkcií.

Príklad. Vypočítajte prvé parciálne derivácie funkcie

Funkcia je definovaná a spojitá na intervale , t.j. všade

okrem „tmavého údolia“ Obr. 7.5. Budeme ju derivovať ako zloženú funkciu.

235

Obrázok 7.5. Graf funkcie: .

Vyšetrovanie priebehu funkcií dvoch premenných pomocou parciálnych derivácií je

v princípe podobné postupom, ktoré sme použili v diferenciálnom počte funkcií jednej

premennej. Podobne, podľa znamienka prvej parciálnej derivácie, vieme zistiť, či daná funkcia

v určitom bode rastie alebo klesá v smere osí alebo , prípadne identifikovať aj body,

v ktorých by funkcia mohla mať lokálny extrém. Keďže parciálna derivácia nevystihuje

správanie funkcie v smeroch iných, ako sú osi nezávisle premenných, situácia môže byť

komplikovanejšia.

7.4. Gradient funkcie

Vo fyzikálnej terminológii sa vektor zložený z parciálnych derivácií funkcie

nazýva gradient funkcie. Gradient funkcie ukazuje smer najväčšieho rastu funkcie a jeho

absolútna hodnota zodpovedá strmosti nárastu funkcie v danom smere. Gradient je príkladom

vektorovej funkcie. Vektorová funkcia je zobrazenie : , ktoré bodu v rovine priradí

vektor. Vektorová funkcia popisuje nielen veľkosť (danú dĺžkou vektora , vzťah [3.1.]), ale

aj smer fyzikálnej veličiny (napr. gravitačnej sily alebo rýchlosti):

[7.5.]

kde a sú funkcie. Vo fyzike sa namiesto skalárnej a vektorovej funkcie používa

označenie skalárne alebo vektorové pole. Vektorové pole v rovine často zapisujeme pomocou

jednotkových vektorov v smere súradnicových osí a :

a [7.6.]

potom vektorové pole [7.5.] môžeme písať ako:

[7.7.]

Vo fyzike sa vektorové pole , ktoré je gradientom nejakej skalárnej funkcie dvoch

premenných:

[7.8.]

236

nazýva konzervatívnym vektorovým poľom a danú funkciu nazývame potenciálovou funkciou

(alebo potenciálom) poľa , pričom vektor parciálnych derivácií:

pre funkcie

dvoch premenných a

pre funkcie troch premenných sa nazýva diferenciálny

operátor alebo Hamiltonov operátor (skrátene Hamiltonián).92

Pomerne jednoduchý spôsob, ako môžeme znázorniť vektorové pole v rovine, je nakresliť

v niekoľkých bodoch mriežky v rovine šípky reprezentujúce vektory , ktoré začínajú

v bodoch

Príklad. Vypočítajte a nakreslite gradientové vektorové pole potenciálovej funkcie

.

Gradient funkcie je daný vzťahom [7.8.], preto dostávame:

Potenciálová funkcia a jej gradientové pole sú znázornené na Obr. 7.6.

Obrázok 7.6. Graf potenciálovej funkcie: . Pod hyperplochou

je znázornená projekcia gradientového poľa:

zobrazeného pomocou šípok pre .

7.5. Smerová derivácia

Pomocou gradientu môžeme definovať derivácie funkcie dvoch premenných aj v iných

smeroch, ako len v smere súradnicových osí a . Smerové derivácie predstavujú teda

zovšeobecnenie parciálnych derivácií. Sú definované pomocou vektora, v smere ktorého

deriváciu funkcie hľadáme.

92

Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) bol írsky matematik, fyzik a astronóm. Je známy svojimi

príspevkami k rozvoju klasickej mechaniky, optiky, dynamiky a algebry.

237

Definícia. Majme funkciu , ktorá má spojité parciálne derivácie. Smerovou deriváciou

funkcie v smere vektora nazývame skalárny súčin:

[7.9.]

kde

je jednotkový vektor v smere vektora v rovine .

Smerové derivácie popisujú rýchlosť zmeny funkcie v smere vektora . Parciálna derivácia

je smerová derivácia v smere a

v smere .

Príklad. Pre funkciu vypočítajte smerovú deriváciu v smere vektora

.

Podľa vzťahu [7.9.] vypočítame smerovú deriváciu ako skalárny súčin gradientu funkcie

a jednotkového vektora . Najprv vypočítame jednotkový vektor:

Parciálne derivácie vypočítame ako:

Po dosadení podľa vzťahu [7.9.] dostaneme pre veľkosť smerovej derivácie:

pričom smer derivácie je určený jednotkovým vektorom

.

7.6. Derivácie vyšších rádov

Funkcia má definované dve parciálne derivácie

a

. Každá z prvých parciálnych derivácií predstavuje funkciu, ktorú je možné ďalej

derivovať. Ak existujú druhé parciálne derivácie, potom dostaneme 4 funkcie:

[7.10.]

Tieto parciálne derivácie nazývame parciálne derivácie druhého rádu funkcie . Druhá

parciálna derivácia funkcie podľa a podľa :

znamená,

že funkciu najprv derivujeme podľa premennej , čím získame funkciu

, ktorú potom

238

derivujeme podľa premennej . Parciálne derivácie ,

sa nazývajú zmiešané

parciálne derivácie a platí pre ne nasledujúca Schwarzova veta93

o symetrii druhých derivácií.

Veta. (Schwarzova veta) Nech funkcia má v okolí bodu spojité parciálne derivácie

a

. Potom platí:

[7.11.]

Schwarzova veta sa dá rozšíriť aj na derivácie vyšších rádov. Hovorí, že hodnota zmiešanej

derivácie záleží len na tom, koľkokrát sa derivovalo podľa premennej a koľkokrát podľa

premennej a nezáleží na poradí derivovania.

Príklad. Vypočítajte parciálne derivácie druhého rádu funkcie:

.

Definičným oborom funkcie bude a na tejto množine bude funkcia spojitá vrátane

derivácií prvého a druhého rádu. Pre parciálne derivácie platí:

Príklad. Vypočítajte parciálne derivácie druhého rádu funkcie: v

bode .

Funkcia je spojitá na , na tejto množine budú spojité aj jej derivácie prvého a druhého

rádu. Funkciu prepíšeme na jednoduchší tvar a parciálne derivácie vypočítame podľa vzorca

pre súčin funkcií [5.12.]:

93

Karl Hermann Amandus Schwarz (1843-1921) bol nemecký matematik, známy predovšetkým vďaka práci v

oblasti komplexnej analýzy.

239

Hodnoty derivácií v bode dostaneme dosadením hodnôt nezávisle premenných:

7.7. Totálny diferenciál a totálna derivácia funkcie

Pod diferenciálom funkcie jednej premennej v bode chápeme prírastok funkcie

pozdĺž dotyčnice ku grafu funkcie prechádzajúcej bodom (vzťah [5.15.]):

. Existencia diferenciálu funkcie je v tomto prípade ekvivalentná existencii derivácie

funkcie v bode .

Pre funkciu dvoch premenných je diferenciál definovaný analogicky, ako

prírastok funkcie v dotykovej rovine k hyperploche prechádzajúcej dotykovým bodom

. Takáto dotyková rovina má s danou hyperplochou v okolí bodu, kde ju

zostrojujeme, spoločný len samotný dotykový bod.

Definícia. Majme funkciu , ktorá má v bode spojité parciálne derivácie

prvého rádu. Označme prírastky nezávisle premenných a ako:

,

Totálny diferenciál funkcie v bode je lineárnou funkciou prírastkov

premenných a a má tvar:

[7.12.]

Ak má funkcia v danom bode diferenciál, hovoríme, že je v tomto bode diferencovateľná.

Zo vzťahu [7.12.] vidíme, že totálny diferenciál je definovaný ako skalárny súčin gradientu

funkcie v danom bode a vektora prírastkov nezávisle premenných :

[7.13.]

teda ako smerová derivácia v smere vektora prírastku , vzťah [7.9.].

Totálny diferenciál funkcie dvoch premenných je vlastnosť zásadnejšieho významu ako sú

samotné parciálne derivácie. Platí totiž, ak má funkcia v danom bode totálny

diferenciál, potom je v tomto bode spojitá. Avšak táto implikácia neplatí, ak je funkcia spojitá,

nemusí byť v danom bode diferencovateľná.

Príklad. Nájdite totálny diferenciál funkcie: v bode .

240

Totálny diferenciál vypočítame podľa vzťahu [7.12.]. Najprv určíme parciálne derivácie:

Totálny diferenciál bude mať tvar:

Totálny diferenciál v bode bude:

Príklad. Nájdite totálny diferenciál funkcie:

Totálny diferenciál:

Príklad. Nájdite totálny diferenciál funkcie:

Totálny diferenciál v ľubovoľnom bode

Ak je funkcia v bode diferencovateľná, potom má v danom bode dotykovú rovinu, ktorú

charakterizuje nasledujúca veta.

Veta. Ak má funkcia v bode totálny diferenciál, potom má graf funkcie

v tomto bode dotykovú rovinu opísanú rovnicou:

[7.14.]

Rovnica dotykovej roviny predstavuje najlepšiu lineárnu aproximáciu funkcie v bode

. Táto rovina je určená dotykovým bodom (kde ), a dvomi

priamkami, ktoré cez tento bod prechádzajú, t.j. dotyčnicami a určenými smerovými

vektormi a

, Obr. 7.4. Približná hodnota funkcie

v okolí dotykového bodu je daná výrazom:

[7.15.]

241

Príklad. Napíšte rovnicu dotykovej roviny grafu funkcie: v bode .

Najprv vypočítame parciálne derivácie:

Rovnicu dotykovej roviny dostaneme dosadením do vzťahu [7.14.]

Alebo v implicitnom tvare:

Príklad. Pomocou totálneho diferenciálu približne vypočítajte: .

K výpočtu použijeme diferenciál funkcie v bode s diferenciami

a . Najprv vypočítame parciálne derivácie:

Totálny diferenciál v bode bude:

Približnú hodnotu odhadneme podľa vzťahu [7.15.]:

Výpočet na kalkulačke nám dá výsledok: .

Majme funkciu dvoch premenných a , ktoré sú spojitými funkciami jednej

nezávisle premennej : a . Potom funkcia bude zloženou funkciou

, závislou od premennej . Zmenu (prírastok) funkcie v závislosti od

premennej v bode vyjadruje totálna derivácia , ktorá sa vypočíta pomocou

reťazového pravidla.

Veta. Majme spojitú diferencovateľnú funkciu , ktorá má v bode

spojité parciálne derivácie prvého rádu. Totálna derivácia funkcie v bode

podľa premennej má tvar:

[7.16.]

kde a . Podobne, ak máme funkciu premenných a , ktoré

sú funkciami dvoch (alebo viac) nezávisle premenných a : a , potom

bude zloženou funkciou závislou od premenných a . Prírastky

funkcie podľa týchto premenných v bode vyjadrujú derivácie , ktoré sa

počítajú pomocou reťazového pravidla.

242

Veta. Majme spojitú diferencovateľnú funkciu , ktorá má v bode

spojité parciálne derivácie prvého rádu. Parciálne derivácie funkcie

v bode podľa premenných a majú tvar:

[7.17.]

kde a .

Príklad. Nájdite deriváciu funkcie , kde ,

podľa premennej .

Najprv nájdeme parciálne derivácie funkcie a derivácie funkcií :

Potom podľa [7.16.]:

Príklad. Nájdite derivácie

a

funkcie ak .

Najprv nájdeme všetky parciálne derivácie:

a dosadíme do vzťahu [7.17.]:

243

7.8. Kmeňová funkcia

V tejto časti budeme riešiť jednoduchú úlohu. Máme daný výraz:

a našou úlohou je zistiť, či existuje nejaká funkcia taká, že daný výraz je jej totálnym

diferenciálom:

[7.18.]

Taká funkcia , ak existuje, sa nazýva kmeňová funkcia funkcií a . Pre kmeňovú

funkciu musí platiť:

a

[7.19.]

Ďalej zo Schwarzovej vety [7.11.] (za predpokladu spojitosti parciálnych derivácií 2. rádu)

platí:

a teda

[7.20.]

Ak je podmienka [7.20.] splnená, potom kmeňovú funkciu dokážeme určiť postupnou

integráciou (všeobecný postup je vysvetlený v časti 8.4.)

Poznámka. Pre úplnosť dodajme, že rovnosť [7.20.] musí platiť pre celú oblasť , odkiaľ

vyberáme nezávisle premenné ( ). Oblasť musí byť pre všetky body jednoducho

súvislá. To znamená, že ľubovoľnú uzavretú krivku, ktorá leží v , môžeme spojite

transformovať do bodu, pričom hranicu množiny tvorí jediná uzavretá krivka. Príkladom

jednoducho súvislej oblasti je kruh, alebo obdĺžnik, naopak množina, ktorá je tvorená

medzikružím, nie je jednoducho súvislá.

Príklad. Rozhodnite, či výraz: je

diferenciálom nejakej kmeňovej funkcie, a ak áno, nájdite jej tvar.

Najprv zistíme, či je uvedený výraz totálnym diferenciálom. Pre všetky platí:

a

Daný výraz je teda diferenciálom kmeňovej funkcie

.

Nájdeme ju postupnou integráciou:

Pri integrovaní podľa premennej považujeme premennú za konštantu. Integračnú konštantu

budeme pri hľadaní kmeňovej funkcie dvoch premenných považovať namiesto

číselnej konštanty za funkciu závislú od . Jej derivácia

je totiž rovná nule. Derivovaním

medzivýsledku podľa dostaneme:

244

Kmeňová funkcia bude mať teda tvar:

kde je integračná konštanta.

Kmeňové funkcie nachádzajú svoje použitie v prírodných vedách. Napríklad vo fyzikálnej

chémii sa používajú na popis vlastností makroskopických systémov. V termodynamike im

hovoríme stavové funkcie. Tieto funkcie závisia na aktuálnom termodynamickom stave

systému a nezávisia na ceste (spôsobe), ktorým bol tento stav dosiahnutý. Termodynamický

stav systému, ktorý obsahuje jednu čistú homogénnu zložku, je určený dvoma stavovými

premennými. Obvykle sú to veličiny objem a teplota . Funkcia premenných a ,

ktorá v termodynamike popisuje vnútornú energiu systému, bude stavovou funkciou takéhoto

jednozložkového systému, ak je výraz:

[7.21.]

totálnym diferenciálom premenných a , teda ak platí:

a

[7.22.]

a zároveň podľa Schwarzovej vety, vzťah [7.11.], platí:

[7.23.]

Z vlastností stavových funkcií potom vyplývajú dôsledky pre výpočet fyzikálnochemických

veličín. Aké dôsledky to sú, si ukážeme na nasledovných príkladoch.

Príklad. Dokážte pre 1 mol ideálneho plynu, že tlak je termodynamická stavová veličina, t.j.

stavová funkcia premenných objem a teplota . Pri dôkaze použite stavovú rovnicu

ideálneho plynu: .94

Pre funkciu

bude mať totálny diferenciál tvar:

Zároveň platí:

94

je plynová konštanta, .

245

teda zmiešané parciálne derivácie sú rovnaké. Z toho vyplýva, že tlak ideálneho plynu ako

funkcia objemu a teploty, je stavovou funkciou. Preto pri výpočtoch pre ideálny plyn stačí

poznať počiatočnú a konečnú hodnotu tlaku plynu a nemusíme poznať cestu, po ktorej sa tlak

plynu dostal z počiatočného do konečného stavu.

Príklad. Ukážte, že teplo nie je termodynamickou stavovou funkciou.

Budeme vychádzať z prvej vety termodynamickej, ktorá hovorí, že zmena vnútornej energie

je rovná prírastku tepla a práce dodanej z okolia do systému:

[7.24.]

Vnútornú energiu ideálneho plynu považujeme za stavovú funkciu premenných a .

Uvažujme najprv proces, ktorý prebieha pri konštantnom objeme systému (izochorický dej,

). S ním spojená zmena vnútornej energie systému bude daná výrazom:

[7.25.]

kde

je molárna tepelná kapacita pri konštantnom objeme.

Uvažujme teraz iný proces, ktorý prebieha pri konštantnej teplote systému (izotermický dej,

) a s ním spojenú zmenu vnútornej energie systému, ktorá bude daná výrazom:

[7.26.]

Podľa [7.23.] bude pre prírastok tepla dodaného do systému, ktorý sa riadi stavovou rovnicou

pre 1 mol ideálneho plynu: , platiť:

[7.27.]

Preverme, či teplo ( ) vo vzťahu [7.27.] predstavuje stavovú funkciu tak, že porovnáme

zmiešané druhé derivácie (Schwarzova veta [7.11.]):

[7.28.]

Preto výraz [7.27.] nie je totálnym diferenciálom a teplo nie je termodynamickou stavovou

funkciou. Dodané množstvo tepla teda závisí na integračnej ceste, t.j. na tom, cez ktoré

medzistavy sa systém dostane do konečného stavu.

Príklad. Spojením prvej a druhej vety termodynamickej pre reverzibilný dej dostaneme vzťah

pre diferenciál vnútornej energie uzavretého systému95

:

[7.29.]

Vnútorná energia je chápaná ako funkcia entropie 96

a objemu , čiže:

95

Uzavretý termodynamický systém je taký, ktorý nevymieňa s okolím látku, t.j. počet častíc v systéme je

konštantný.

246

[7.30.]

Porovnaním vzťahov [7.29.] a [7.30.] získame výrazy pre parciálne derivácie vnútornej

energie:

a

[7.31.]

Z rovnosti druhých derivácií totálneho diferenciálu :

a

dostaneme:

[7.32.]

čo je užitočný vzťah používaný v termodynamike. Tento postup ilustruje využitie stavových

funkcií vo fyzikálnej chémii a kmeňových funkcií v prírodných vedách vôbec.

7.9. Extrémy funkcií dvoch premenných

7.9.1. Lokálne extrémy

Vyšetrovanie priebehu a extrémov funkcií je jednou z podstatných častí diferenciálneho

počtu. Prítomnosť lokálnych extrémov funkcií dvoch premenných zisťujeme skúmaním funkcií

v blízkom okolí zvolených bodov.

Definícia. Nech funkcia je definovaná na okolí bodu . Ak existuje kladné

reálne číslo také, že pre všetky je:

( )

potom hovoríme, že funkcia dvoch nezávisle premenných má v bode lokálne

maximum (lokálne minimum).

Ak platí:

( )

potom hovoríme, že funkcia má v bode ostré lokálne maximum (ostré lokálne

minimum).

Príklad. Funkcia má v bode ostré lokálne maximum, pretože

a pre každé je . Grafom tejto funkcie je časť kužeľovej

plochy znázornenej na Obr. 7.7.

96

Entropia je fyzikálna veličina, ktorá meria neusporiadanosť systému (náhodnosť, neporiadok, mieru neurčitosti,

počet možných usporiadaní systému). Túto stavovú veličinu v termodynamike zaviedol a popísal nemecký fyzik

Rudolf Julius Emanuel Clausius (1822-1888).

247

Obrázok 7.7. Graf funkcie: s ostrým lokálnym maximom v bode .

Keď má funkcia v bode lokálny extrém, potom musí mať v tomto bode lokálny extrém

rovnakého typu aj každá krivka, ktorá vznikne rezom hyperplochy v uvažovanom

bode rovinou rovnobežnou s osou (teda nielen rovinami a , ale aj

, kde ).

Príklad. Funkcia , na rozdiel od predchádzajúceho príkladu, nemá v bode

lokálny extrém. Rezy hyperplochou rovinami a tvoria krivky

a , ktoré majú v bode nula lokálny extrém. Avšak, zatiaľ čo u prvej krivky sa

jedná o lokálne maximum, u druhej krivky ide o lokálne minimum. Preto funkcia nemá

v bode lokálny extrém. Takýto bod na hyperploche sa nazýva sedlový bod, Obr. 7.8.

Obrázok 7.8. Graf funkcie: so sedlovým bodom v bode .

Ak má funkcia dvoch premenných v bode lokálny extrém, potom jej parciálne

derivácie v tomto bode (pokiaľ existujú), musia byť nulové

.

Príklad vrcholu kužeľovej plochy, Obr. 7.7., ukazuje, že v lokálnom extréme nemusia nutne

parciálne derivácie existovať. Ak nás zaujímajú polohy vrcholov (maxím) a priehlbní

(miním) na hyperploche , potom nám stačí hľadať body, v ktorých sú obe parciálne

derivácie prvého rádu nulové, prípadne skúmať body, v ktorých jedna alebo obidve parciálne

derivácie neexistujú. Body, v ktorých platí

budeme nazývať

stacionárne body.

248

Veta. Nech funkcia má v bode stacionárny bod a v tomto bode existujú obidve

parciálne derivácie prvého rádu. Potom platí:

[7.33.]

Podmienku [7.33.] môžeme zapísať pomocou gradientu funkcie ako: .

Existencia stacionárneho bodu je nutnou, ale nie postačujúcou podmienkou pre prítomnosť

lokálneho extrému v danom bode. Podobne, ako u funkcií jednej premennej, existencia

lokálneho extrému súvisí so znamienkami druhých parciálnych derivácií v bode .

Extrém (teda maximum aj minimum) majú spoločné to, že znamienka druhých parciálnych

derivácií podľa premenných a sú rovnaké, čo môžeme vyjadriť ako podmienku:

. Naopak, ak

, potom sa znamienka

druhých derivácií musia od seba líšiť, teda v jednom reze vidíme maximum, v druhom

minimum, čo znamená, že sa jedná o sedlový bod. Súčin druhých derivácií teda slúži ako

ukazovateľ prítomnosti extrému alebo sedlového bodu. Ak sa v bode nachádza extrém, tak na

rozlíšenie maxima a minima stačí uvažovať znamienko ktorejkoľvek z druhých derivácií,

napríklad .

Situácia je však trochu komplikovanejšia, keďže o priebehu funkcie dvoch premenných

rozhoduje jej správanie aj v smeroch iných, ako v smere súradnicových osí a . Preto musíme

pri vyšetrovaní stacionárnych bodov zobrať do úvahy aj zmiešané druhé derivácie v

stacionárnom bode.

Tak, ako sú prvé derivácie združené do vektora nazvaného gradient funkcie, druhé parciálne

derivácie sa združujú do Hesseho matice:97

[7.34.]

O prítomnosti lokálneho extrému alebo sedlového bodu nebudeme teda rozhodovať podľa

znamienka súčinu hlavnej diagonály Hesseho matice, ale na základe determinantu :

[7.35.]

Pripomíname, že podľa Schwarzovej vety, vzťah [7.11.], platí:

. Ako

pomocou určíme typ stacionárneho bodu hovorí tzv. Sylvestrovo kritérium.98

Veta. (Sylvestrovo kritérium) Nech funkcia má v bode a jeho blízkom okolí spojité

parciálne derivácie prvého a druhého rádu a nech je bod jej stacionárnym bodom:

. Ak platí:

[7.36.]

potom má funkcia v bode ostrý lokálny extrém. Ak je zároveň: ,

potom ide o minimum, ak je : , jedná sa o maximum.

97

Ludwig Otto Hesse (1811-1874) bol nemecký matematik známy najmä prácami z oblasti algebry. 98

James Joseph Sylvester (1814-1897) bol anglický matematik.

249

V prípade, že , potom má funkcia v bode sedlový bod. V prípade, že

, potom nevieme na základe tohto kritéria rozhodnúť o aký typ stacionárneho bodu

ide.

Aby determinant Hesseho matice nadobudol kladnú hodnotu je nutné, aby mali druhé

derivácie a

rovnaké znamienka, t.j. aby mala funkcia v bode

rovnaký typ extrému v smere osi aj . Avšak aj v tomto prípade sa stále môže jednať o

sedlový bod, keďže smery v ktorých má funkcia odlišné lokálne extrémy, nemusia byť len

smery osí a , ale aj môžu ležať aj medzi nimi. To sa však prejaví na veľkosti zmiešanej

druhej derivácie, ktorej štvorec v takomto prípade posunie hodnotu do záporných čísel.

Postup hľadania lokálnych extrémov bude teda nasledovný:

riešením sústavy rovníc:

nájdeme súradnice stacionárneho bodu ,

pre stacionárny bod nájdeme zodpovedajúcu Hesseho maticu, vzťah [7.34.] a vypočítame

determinant , vzťah [7.36.],

ak , v bode bude sedlový bod,

ak , v bode bude lokálny extrém. Ak bude to maximum,

ak bude to minimum,

ak , nevieme rozhodnúť, použijeme iný postup.

Príklad. Nájdite lokálne extrémy funkcie: .

Funkcia je polynómom tretieho stupňa premenných a , preto bude definovaná, a jej

parciálne derivácie budú spojité na celej množine . Lokálne extrémy sa môžu nachádzať

tam, kde má riešenie sústava rovníc:

Z prvej rovnice vyplýva . Dosadením do druhej rovnice dostaneme:

Kvadratický trojčlen má záporný diskriminant (komplexné korene) a je vždy

kladný, preto korene vyššie uvedenej rovnice sú a . Dosadením do sústavy

dopočítame príslušné hodnoty a dostaneme dva stacionárne body: a .

Pre druhé parciálne derivácie platí:

250

Dosadením do vzťahu [7.36.] dostaneme:

Pre stacionárny bod bude mať determinant hodnotu , preto má funkcia v

bode sedlový bod. Pre stacionárny bod bude mať determinant hodnotu

a hodnotu , preto má funkcia v bode lokálne minimum, Obr.

7.9.

Obrázok 7.9. Graf funkcie: so sedlovým bodom v bode a

lokálnym minimom v bode .

Príklad. Nájdite lokálne extrémy funkcie:

.

Najprv nájdeme stacionárne body:

Exponenciála je vždy kladná, preto sa môžu rovnice vydeliť výrazom

, a stačí riešiť

sústavu:

alebo

alebo

Prvá rovnica nám dáva dve možnosti. Ak , potom z druhej rovnice dostaneme . Ak

v prvej rovnici , potom z druhej rovnice . Máme teda tri stacionárne body:

, a .

Vypočítame si druhé derivácie:

Hesseho matica bude mať tvar:

251

Člen

je vždy kladný, preto jeho vyňatie zo všetkých maticových prvkov pred maticu

neovplyvní znamienko determinantu , ale zjednoduší výpočet. Počítajme teda hodnotu

determinantu :

(

pre jednotlivé stacionárne body:

:

, , lokálny extrém,

, maximum so

súradnicami

:

, , lokálny extrém,

, minimum so

súradnicami

:

, , sedlový bod so súradnicami , Obr. 7.10.

Obrázok 7.10. Graf funkcie:

so sedlovým bodom v bode , lokálnym

maximom v bode a lokálnym minimom v bode .

7.9.2. Absolútne extrémy

Častou praktickou úlohou býva určiť najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu, akú funkcia dvoch

premenných nadobúda na určitej množine (napr. na svojom definičnom obore). Táto úloha teda

vyžaduje identifikovať absolútne (globálne) extrémy funkcie na danej množine.

Definícia. Nech je funkcia dvoch premenných a je množina bodov v rovine,

. Hovoríme, že funkcia nadobúda v bode absolútne maximum na množine

(absolútne minimum na množine ), ak pre všetky body tejto množiny platí:

( )

252

Na to, aby sme mohli skúmať existenciu absolútnych extrémov na množine , musíme

najprv bližšie popísať samotnú množinu. Hľadať absolútne extrémy vieme len na množine,

ktorá je ohraničená a uzavretá. Tieto pojmy je na obmedzenom priestore ťažké definovať

presne, preto si uvedieme len isté intuitívne vysvetlenie. Množinu budeme považovať za

ohraničenú, ak existuje kruh s konečným polomerom a stredom v počiatku súradnicovej

sústavy taký, že leží celá vo vnútri tohto kruhu. Z geometrického hľadiska teda polrovina

alebo priamka nie sú obmedzené množiny. Presne definovať pojem hranice množiny je tiež

pomerne náročné. Zjednodušene považujme za geometrickú hranicu množiny úsečky alebo

krivky, ktoré vytvárajú obvod daného rovinného útvaru. Potom za uzavretú množinu v

budeme považovať takú množinu, ktorá obsahuje aj celú svoju hranicu. Ohraničenej a uzavretej

množine hovoríme kompaktná množina. O existencii absolútnych extrémov na kompaktnej

množine hovorí Weierstrassova veta.99

Veta. (Weierstrassova veta) Nech je ohraničená a uzavretá množina a je

spojitá funkcia dvoch premenných taká, že . Potom existujú body a

také, že pre akýkoľvek bod platí:

Potom bod nazývame absolútnym minimom funkcie na množine a bod

nazývame absolútnym maximom funkcie na množine .

Spojitá funkcia na kompaktnej množine teda nadobúda svoje minimálne aj maximálne hodnoty,

ale navyše aj všetky hodnoty medzi týmito extremálnymi hodnotami. Ostáva len vyriešiť

otázku, ako nájsť body, v ktorých minimum a maximum ležia.

Postup, ktorým hľadáme absolútne extrémy, môžeme zhrnúť takto:

nájdeme stacionárne body funkcie a vyberieme tie, ktoré ležia vo vnútri množiny ,

potom vyšetrujeme danú funkciu na hranici množiny . Hranicu množiny väčšinou tvoria

úsečky a krivky (nekonečný počet bodov). Rovnicu krivky, ktorá tvorí časť hranice v tvare

alebo dosadíme do

funkcie a hľadáme extrémy takto získaných funkcií jednej premennej:

alebo . Globálne extrémy môžu

ležať buď na hraniciach intervalov: alebo tam, kde ,

prípadne ,

porovnáme funkčné hodnoty vo všetkých bodoch vyšetrovaných z hľadiska globálnych

extrémov a vo vnútri a na hraniciach a vyberieme body, ktoré zodpovedajú absolútnym

extrémom.

Príklad. Určte najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie: na

oblasti ohraničenej nerovnicami: , a .

Najprv vyšetríme lokálne extrémy funkcie. Stacionárne body určíme zo sústavy rovníc:

99

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897) bol nemecký matematik, je považovaný za otca modernej

matematickej analýzy.

253

Z prvej rovnice vyjadríme a dosadíme do druhej rovnice. Zistíme, že funkcia má

len jeden stacionárny bod so súradnicami , ktorý zjavne leží vo vnútri hraníc oblasti.

Jedná sa o lokálne minimum so súradnicami . Funkčnú hodnotu porovnáme

s hodnotami získanými na hranici oblasti - trojuholníka tvoreného tromi úsečkami:

a) , b) , c)

Teraz vyhľadáme extrémy na troch hraničných úsekoch a-c:

a) , dosadením do dostaneme:

a hľadáme absolútne extrémy tejto funkcie jednej premennej pre . Platí:

, odtiaľ:

. Funkčné hodnoty v stacionárnom bode a v krajných bodoch

intervalu sú:

, a

b) , dosadením do dostaneme:

a hľadáme absolútne extrémy tejto funkcie jednej premennej pre . Platí:

, odtiaľ:

. Funkčné hodnoty v stacionárnom bode a v krajných bodoch

intervalu sú:

, a

c) , dosadením do dostaneme:

a hľadáme absolútne extrémy tejto funkcie jednej premennej pre . Platí:

, odtiaľ:

. Funkčné hodnoty v stacionárnom bode a v krajných bodoch

intervalu sú:

, a

Dosadením do funkcie určíme funkčné hodnoty v nájdených bodoch:

Porovnaním všetkých vypočítaných funkčných hodnôt vidíme, že funkcia nadobúda

najmenšiu hodnotu v bode a najväčšiu hodnotu v

bodoch a .

Príklad. Určte najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie: v kruhu .

Funkcia je, vrátane svojich parciálnych derivácií, spojitá na celom obore . Začneme s

hľadaním stacionárnych bodov vo vnútri kruhu. Určíme ich zo sústavy:

254

Jediným stacionárnym bodom je bod , ktorý leží v strede kruhu. Výpočtom

determinantu Hesseho matice

zistíme, že v bode je sedlový bod. Budeme teda hľadať najväčšie a najmenšie hodnoty

funkcie na hranici kruhu, kde platí: . Hranicu si rozdelíme na hornú a dolnú

polkružnicu:

a) horná polkružnica je popísaná rovnicou: pre . Dosadením do

funkčného predpisu dostaneme:

Dostali sme teda funkciu jednej premennej, extrémy ktorej nájdeme buď v krajných bodoch

intervalu alebo stacionárnom bode polkružnice. V krajných bodoch nadobúda

hodnoty: . Stacionárny bod leží tam, kde , t.j. v bode

. Funkčná hodnota

b) dolná polkružnica je popísaná rovnicou: pre . Dosadením do

funkčného predpisu dostaneme rovnaké riešenia ako v prípade a).

Porovnaním vypočítaných hodnôt vidíme, že absolútne maximum dosahuje

funkcia v bodoch a a absolútne minimum v bodoch a

.

7.10. Optimalizácia, metóda Lagrangeových multiplikátorov

Podobne ako u funkcií jednej premennej, sa hľadanie globálnych extrémov funkcií dvoch

a viacerých premenných využíva v optimalizačných úlohách. V takýchto prípadoch hľadáme

také hodnoty premenných, pre ktoré účelová funkcia, vystihujúca kľúčové vlastnosti systému,

nadobúda absolútne maximum alebo minimum na ohraničenej a uzavretej množine .

Príklad. Rozdeľte číslo 120 na tri časti tak, aby suma súčinov dvojíc týchto častí bola

maximálna.

Máme teda úlohu nájsť čísla , a také, aby platilo: nadobúda

maximálnu hodnotu, pričom . Ak tretiu časť vyjadríme ako:

, potom dostaneme účelovú funkciu: . Funkcia bude mať

stacionárny bod tam, kde:

Sústava rovníc má riešenie a . Dosadením dostaneme

. Pre takto vypočítané časti nadobúda funkcia hodnotu: .

Dosadením blízkeho bodu, napr. , a dostaneme

, čím sme sa presvedčili, že nájdené riešenie zodpovedá globálnemu maximu.

255

Často sa pri aplikáciách optimalizácie funkcie stretneme s podmienkou (väzbou)

v tvare , ktorú musí optimalizovaná funkcia spĺňať. V takomto prípade hovoríme

o hľadaní tzv. viazaného extrému funkcie, Obr. 7.11.

Definícia. Hovoríme, že funkcia definovaná na množine má v bode

maximum viazané podmienkou (ohraničením) , ak platí , a pre každé

platí: .

Obrázok 7.11. Graf funkcie a viazaný extrém určený ohraničujúcou podmienkou

, ktorá je zobrazená ako krivka vytvorená rezom hyperplochy rovinou. Viazané maximum je

zobrazené ako fialový bod.

Metóda Lagrangeových multiplikátorov spočíva v nahradení optimalizovanej funkcie

novou funkciou nazvanou Lagrangeova funkcia, takou, že

[7.37.]

kde nová premenná , tzv. Lagrangeov multiplikátor, násobí podmienku , a má

viazaný extrém v rovnakom bode ako funkcia :

[7.38.]

Podľa [7.38.] totiž platí, že dotyčnica v bode k funkcii je rovnobežná

s dotyčnicou k ohraničujúcej podmienke násobenej multiplikátorom , Obr. 7.12.

256

Obrázok 7.12. Vrstevnicová mapa funkcie a ohraničujúcej podmienky (červená

krivka). Bod, v ktorom sa vrstevnica , kde , dotýka krivky predstavuje

bod , v ktorom leží hľadané maximum, kde smernice dotyčníc k a , kolmé na

smer gradientu (šípky), sú paralelné.

Veta. (Lagrangeova veta) Nech je spojitá a diferencovateľná funkcia definovaná na

množine a je spojitá a diferencovateľná funkcia definovaná na množine

, ktorá definuje ohraničujúcu podmienku. Funkcia má v bode

maximum viazané podmienkou , ak platí:

a [7.39.]

kde je Lagrangeova funkcia a je Lagrangeov

multiplikátor.

Postup pri určení polohy viazaného extrému funkcie teda spočíva v riešení sústavy

Lagrangeových rovníc:

[7.40.]

a vzájomnom porovnaní funkčných hodnôt v stacionárnych bodoch .

Príklad. Nájdite extrémy funkcie: viazané podmienkou:

.

Hľadáme teda stacionárne body (pre a ) pomocou Lagrangeovej funkcie:

pre ktoré platí:

257

Dostávame: z čoho vyplýva . Dosadením do tretej podmienky

dostaneme:

a z toho pre súradnice stacionárneho bodu:

,

Vypočítame druhé derivácie a determinant Hesseho matice:

1

ide teda o extrém,

ide o minimum.

Funkcia má teda v bode minimum.

Príklad. Nájdite extrémy funkcie: viazané podmienkou:

.

Definičný obor funkcie je . Zostavíme Lagrangeovu funkciu:

a vypočítame parciálne derivácie:

Riešením tejto jednoduchej sústavy dostaneme:

Vypočítame druhé derivácie:

Determinant Hesseho matice bude mať hodnotu:

Preto funkcia bude mať len sedlový bod a žiadny viazaný extrém.

258

Obrázok 7.13. Graf funkcie s ohraničujúcou podmienku

. Funkcia nemá viazaný extrém, iba sedlový bod

.

7.11. Metóda najmenších štvorcov

K významným aplikáciám diferenciálneho počtu funkcií dvoch premenných patrí aj metóda

najmenších štvorcov, ktorá sa používa v matematickej štatistike (regresnej analýze) na popis

meraných dát vhodnou funkčnou závislosťou. Je podstatne výhodnejšie pracovať namiesto

stoviek nameraných hodnôt s krivkou určenou niekoľkými parametrami, ktorá čo najlepšie

aproximuje namerané dáta.

Majme dvojíc nameraných dát , a z podstaty uskutočneného

experimentu vieme, že meraná veličina je lineárne závislá na meranej veličine , Obr. 7.14.

Naším cieľom je preložiť cez množinu bodov (kde rádovo

znamená desiatky bodov) priamku s rovnicou , sú reálne parametre. Teraz

si môžeme položiť otázku, pre akú voľbu parametrov bude regresná priamka

vystihovať množinu nameraných bodov najlepšie. Ako dobré kritérium posúdenia vhodnosti

parametrov priamky sa javí výraz: , ktorý zodpovedá rozdielu medzi

nameranou hodnotou a vypočítanou hodnotou , ktorá leží pre zodpovedajúcu

hodnotu na preloženej priamke (modrý bod, Obr. 7.14.).

Obrázok 7.14. Graf nameraných dát a regresná priamka , ktorá

popisuje namerané dáta.

259

Ak sčítame druhé mocniny týchto odchýliek (druhé mocniny používame preto, že odchýlky

ležia nad aj pod priamkou a teda majú kladné, aj záporné znamienka), dostaneme výraz:

[7.41.]

Tento súčet bude pre rôzne hodnoty parametrov iný a definuje spojitú polynomickú

funkciu dvoch premenných , ktorá nadobúda nezáporné hodnoty. Našou úlohou je nájsť

minimum tejto funkcie na definičnom obore . Pretože je diferencovateľná

na celom , budeme hľadať také hodnoty parametrov , v ktorých platí:

.

Z tejto podmienky dostaneme sústavu rovníc:

Rovnice vydelíme faktorom -2 a členy usporiadame:

alebo

keďže . Vyjadrením parametra z druhej rovnice a dosadením do prvej dostávame

pre lokálne minimum :

[7.42.]

Výpočtom druhých derivácií a determinantu Hesseho matice a

sa presvedčíme, že bod zodpovedá lokálnemu minimu funkcie a namerané

body bude teda najlepšie popisovať priamka lineárnej regresie: .

Podobný postup by sme zvolili aj v prípade, ak by sme chceli dáta popisovať kvadratickou

rovnicou , kde by sme hľadali minimum funkcie troch premenných

.

7.12. Dvojný integrál

V tejto časti sa budeme zaoberať integrálnym počtom funkcií dvoch premenných, tzv.

dvojným integrálom. Ukážeme si spôsob, ako možno uskutočniť výpočet dvojného integrálu

prevedením na dva jednoduché integrály (integrály funkcie jednej premennej). Pripomeňme si

geometrickú interpretáciu jednoduchého určitého integrálu, vzťah [6.22.], Obr. 6.2. Určitý

integrál predstavuje plochu pod krivkou pre , ktorú počítame ako

260

Riemannov integrálny súčet, napr. podľa obdĺžnikového pravidla, ako sumu obsahov

obdĺžnikov na intervale :

Dvojný integrál spojitej funkcie dvoch premenných môžeme zaviesť analogickým

postupom. Majme funkciu spojitú na množine , Obr. 7.15. Množina

definuje oblasť v rovine ohraničenú rovinnou krivkou , na ktorej budeme

počítať dvojný integrál. Rozdeľme oblasť pravouhlou mriežkou na malé podoblasti

(štvorčeky) , ktoré majú plošný obsah , Obr. 7.15. V každej

podoblasti vyberme ľubovoľný bod a vypočítajme . Potom utvorme

sumu:

. [7.43.]

Ak definujeme šírku štvorcovej podoblasti rovnú , pre mriežku so stále jemnejším delením

na podoblasti bude platiť: ak sa bude počet podoblastí zvyšovať, t.j. pre: , potom:

. Dvojný integrál funkcie na množine môžeme teda definovať ako limitu zo

súčtu [7.43.] pre , ako:

[7.44.]

Ak funkčné hodnoty sú nezáporné na množine , potom dvojný integrál,

definovaný vzťahom [7.44.], zodpovedá objemu telesa pod hyperplochou ohraničeného

zdola rovinou , zhora funkciou a z bokov zvislým plášťom prechádzajúcim

hranicou množiny definovanou funkciou , Obr. 7.15. Každý sčítanec v sume

[7.44.]. prispieva k integrálu prírastkom , ktorý zodpovedá objemu elementárneho

kvádra s podstavou a výškou

Obrázok 7.15. Geometrickou interpretáciou dvojného integrálu je objem telesa ohraničeného zdola

rovinou , zhora funkciou a z bokov zvislým plášťom prechádzajúcim hranicou množiny

definovanou funkciou .

261

Počítajme dvojný integrál pre teleso pod hyperplochou znázornené na Obr. 7.15.

podľa nasledovnej iteratívnej schémy. Nech hraničná krivka oblasti v rovine

je preťatá priamkami rovnobežnými s osami a v najviac dvoch bodoch, Obr. 7.16.

Dotyčnice a , ktoré sa dotýkajú funkcie v dotykových bodoch K a L a

dotyčnice a , ktoré sa dotýkajú funkcie v dotykových bodoch M a N,

vymedzujú intervaly nezávisle premenných pre oblasť ako: a . Nech

rovinná krivka hranice oblasti určená oblúkom KML je popísaná ohraničujúcou rovnicou

a oblúk KNL je popísaný rovnicou . Rozdeľme interval na

častí s deliacimi bodmi so šírkou . Rovnako rozdeľme interval

na častí s deliacimi bodmi so šírkou a nakreslime

mriežku prechádzajúcu deliacimi bodmi, Obr. 7.16. Dostaneme sieť malých obdĺžnikov s

plochou (plus plošné útvary iného tvaru v blízkosti hraničnej krivky , ktoré

zanedbáme). Na každej podoblasti zvoľme bod , vypočítajme funkčnú hodnotu

a utvorme sumu:

[7.45.]

Výraz [7.45.] predstavuje len iný zápis, ktorý zodpovedá dvojnému integrálu [7.44.], keď

aj a a .

Obrázok 7.16. Schéma iteratívneho výpočtu dvojného integrálu.

Pri výpočte limity výrazu [7.45.] uvažujme jednotlivé indexy a sumy oddelene a počítajme

najprv príspevky obdĺžnikov mriežky po riadkoch, takých ktoré majú konštantnú hodnotu

(t.j. fixný index ):

( )

Limita pre a potom bude rovná:

Teraz dopočítajme limitu sumy po stĺpcoch (cez index ) pre a :

262

[7.46.]

Teda výpočet dvojného integrálu zahŕňa postupné vyriešenie dvoch určitých integrálov jednej

premennej v príslušnom poradí. Najprv počítame prvý integrál funkcie podľa (keď

premennú považujeme pri integrovaní za konštantu), od dolnej hranice po hornú

hranicu na . Potom integrujeme výsledok prvého integrálu podľa premennej

(pričom premennú považujeme za konštantu) v hraniciach od po . Tento postup,

pri ktorom sa dvojný integrál premení na dvojnásobný integrál sa nazýva iteračný výpočet.

Tento postup opisujú Fubiniho vety.100

Veta. (Fubiniho veta) Nech funkcia je spojitá na množine , potom

platí:

[7.47.]

Výsledok dvojného integrálu teda nezáleží na poradí, v akom integrujeme podľa premenných

a (za predpokladu, že funkcia je na elementárnej oblasti spojitá). V prípade, ak

integrovaná funkcia má tvar: , kde je spojitá funkcia na intervale

a je spojitá na intervale , potom platí:

[7.48.]

Fubiniho veta [7.47.] zovšeobecnená pre prípad, keď integračné hranice funkcie sú

definované všeobecnou elementárnou oblasťou:

;

ohraničenou rovinnými krivkami a , pre , má potom nasledovný

tvar:

Veta. (Fubiniho veta) Nech funkcia je spojitá na množine ;

potom platí:

[7.49.]

Príklad. Vypočítajte dvojný integrál:

, kde .

Funkcia je spojitá na obdĺžnikovej elementárnej oblasti , takže je

integrovateľná. Podľa Fubiniho vety [7.47.] dostaneme:

V tomto prípade sme mohli zvoliť aj iný postup a integrovať v opačnom poradí:

100

Guido Fubini (1879-1943) bol taliansky matematik. Zaoberal sa rôznymi oblasťami matematickej analýzy

a tiež aplikovanou matematikou.

263

Výsledok teda nezávisí na poradí integrovania.

Príklad. Vypočítajte dvojný integrál:

, kde ;

Najprv si znázornime elementárnu oblasť , ktorej hranice sú časti parabol s rovnicami

a , Obr. 7.17. Z obrázku vidíme, že je daná nerovnosťami:

a

Obrázok 7.17. Elementárna oblasť ;

Funkcia je spojitá na , a preto integrovateľná. Podľa Fubiniho vety

dostaneme:

Príklad. Vypočítajte dvojný integrál:

, kde je oblasť ohraničená priamkou:

a parabolou: .

Najprv si znázorníme danú oblasť, určíme priesečníky priamky a paraboly a vyjadríme

integračné hranice pomocou nerovností. Priesečníky hraníc dostaneme z podmienky:

ako: a . Elementárnu oblasť môžeme vyjadriť dvoma spôsobmi:

a) pri obvyklom poradí integrácie vyjadrujeme množinu pomocou intervalu

premennej a funkcií premennej , ktoré ohraničujú premennú . V našom prípade sa však

bude spodná hranica skladať z dvoch funkcií, a preto budeme musieť elementárnu oblasť

rozdeliť na dve podmnožiny, Obr. 7.18.A:

y

M

264

Pri integrácii v poradí je teda potrebné rozdeliť integrál na dva integrály:

čo je nepraktické.

A B

Obrázok 7.18. Elementárna oblasť ohraničená priamkou a parabolou. Šípkami sú vyznačené smery

od spodnej integračnej hranice k hornej hranici prvého integrálu. A. Najprv integrujeme podľa . B.

Najprv integrujeme podľa .

b) Výhodnejšie bude integrovať v opačnom poradí . Hranice oblasti potom vyjadríme

ako, Obr. 7.18.B:

Dvojný integrál je potom rovný:

265

Cvičenia 7.

7.1. Vypočítajte parciálne derivácie funkcie: .

7.2. Vypočítajte parciálne derivácie funkcie:

7.3. Vypočítajte parciálne derivácie funkcie:

7.4. Vypočítajte parciálne derivácie funkcie:

7.5. Vypočítajte parciálne derivácie funkcie:

7.6. Vypočítajte prvé parciálne derivácie funkcie:

7.7. Nájdite gradientové vektorové pole funkcie:

7.8. Pre funkciu vypočítajte smerovú deriváciu v bode v

smere vektora .

7.9. Vypočítajte parciálne derivácie druhého rádu funkcie:

.

7.10 Vypočítajte parciálne derivácie druhého rádu funkcie: v bode

.

7.11. Vypočítajte totálny diferenciál funkcie: v bode

.

7.12. Vypočítajte totálny diferenciál funkcie: v bode .

7.13. Nájdite rovnicu dotykovej roviny grafu funkcie: v bode

7.14. Pomocou totálneho diferenciálu približne vypočítajte: .

7.15. Nájdite totálnu deriváciu funkcie , keď podľa

premennej .

7.16. Výška premenlivého kužeľa je rovná cm a narastá rýchlosťou cm/min.

Polomer podstavy kužeľa sa rovný cm a zmenšuje sa rýchlosťou cm/min. Ako

rýchlo sa mení objem kužeľa?

266

7.17. Zisťujeme, či výraz: je

diferenciálom kmeňovej funkcie, a ak áno, nájdite jej tvar.

7.18. Nájdite lokálne extrémy funkcie: .

7.19. Nájdite lokálne extrémy funkcie: .

7.20. Určte najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie: v

trojuholníku tvorenom súradnicovými osami a dotyčnicou ku grafu funkcie

v

bode .

7.21. Nájdite extrémy funkcie: viazané podmienkou:

.

7.22. Vypočítajte dvojný integrál:

.

7.23. Vypočítajte dvojný integrál:

.

7.24. Vypočítajte dvojný integrál

, keď elementárna integračná oblasť leží v prvom

kvadrante a je ohraničená plošnou krivkou a priamkou .

7.25. Vypočítajte dvojný integrál

cez elementárnu integračnú oblasť , ktorá leží

v prvom kvadrante a je ohraničená hyperbolou a priamkami , a

.

267

Riešenia 7.

7.1. Funkcia predstavuje polynóm premenných a a je

definovaná a spojitá na celom intervale . Parciálne derivácie vypočítame tak, že jednu z

premenných považujeme za konštantu a podľa druhej derivujeme (a naopak):

7.2. Funkcia

je definovaná a spojitá na celom intervale okrem

počiatku a súradnicových osí , t.j. . Parciálne derivácie budú

mať tvar:

7.3. Funkcia je definovaná a spojitá na celom intervale :

7.4. Funkcia je definovaná a spojitá na celom

intervale :

7.5. Funkcia je definovaná a spojitá na celom intervale . V tomto

prípade počítame parciálnu deriváciu podľa pravidla pre súčin funkcií, vzťah [5.12.]:

7.6. Vypočítajte prvé parciálne derivácie funkcie

Funkcia je definovaná a spojitá na celom intervale . Budeme ju derivovať ako podiel

dvoch funkcií.

268

7.7. Gradientové vektorové pole funkcie: budeme počítať podľa

vzťahu [7.8.]:

Toto gradientové vektorové pole je zobrazené na nasledujúcom obrázku pomocou šípok, ktoré

znázorňujú vektor poľa v bodoch množiny .

Obrázok 7.19. Gradientové vektorové pole funkcie: .

7.8. Smerovú deriváciu funkcie v bode vypočítame podľa

vzťahu [7.9.] ako skalárny súčin gradientu funkcie v danom bode a jednotkového vektora .

Najprv určíme jednotkový vektor pre vektor :

Parciálne derivácie určíme ako:

Hodnoty parciálnych derivácií v bode dostaneme dosadením:

Pre veľkosť smerovej derivácie potom platí:

269

7.9. Počítame parciálne derivácie druhého rádu funkcie:

.

Definičným oborom funkcie bude , na tejto množine bude funkcia spojitá vrátane

derivácií prvého a druhého rádu. Pre parciálne derivácie dostaneme:

7.10. Počítame parciálne derivácie druhého rádu funkcie: v bode

.

Funkcia je spojitá na , na tejto množine budú spojité aj jej derivácie prvého a druhého

rádu. Pre prvé parciálne derivácie platí:

Druhé parciálne derivácie budeme počítať ako deriváciu podielu funkcií, vzťah [5.12]:

Hodnoty derivácií v bode dostaneme dosadením hodnôt nezávisle premenných:

270

7.11. Totálny diferenciál funkcie: v bode

vypočítame podľa

vzťahu [7.12.]. Najprv určíme parciálne derivácie:

Totálny diferenciál bude mať tvar:

Totálny diferenciál v bode

bude:

7.12. Vypočítajte totálny diferenciál funkcie: v bode .

Najprv určíme parciálne derivácie:

Derivácie v bode .

Totálny diferenciál:

7.13. Rovnicu dotykovej roviny grafu funkcie: v bode

nájdeme pomocou prvých parciálnych derivácií:

Rovnicu dotykovej roviny dostaneme dosadením do vzťahu [7.14.]

Alebo v implicitnom tvare:

7.14. Počítame približnú hodnotu pomocou totálneho diferenciálu. K

výpočtu použijeme diferenciál funkcie v bode s diferenciami

a . Najprv vypočítame parciálne derivácie:

271

Totálny diferenciál v bode bude:

Približnú hodnotu odmocniny odhadneme podľa vzťahu [7.15.]:

Výpočtom na kalkulačke dostaneme:

Rozdiel oproti „presnému“ výpočtu na kalkulačke sa prejaví na treťom desatinnom mieste.

7.15. Hľadáme totálnu deriváciu funkcie podľa premennej , kde

. Najprv vypočítame parciálne derivácie a obyčajné derivácie funkcií

:

Potom podľa [7.16.]:

7.16. Výška premenlivého kužeľa je rovná 15 cm a narastá rýchlosťou 0,2 cm/min. Polomer

podstavy kužeľa je rovný 10 cm a zmenšuje sa rýchlosťou 0,3 cm/min.

Počiatočný objem kužeľa bude:

. Výšku kužeľa

a polomer podstavy považujeme za funkcie času: , . Rýchlosť zmeny výšky

a polomeru s časom zodpovedá deriváciám týchto veličín podľa času:

Parciálne derivácie objemu podľa premenných a sú rovné:

272

Rýchlosť akou sa mení objem kužeľa dostaneme ako:

Objem kužeľa bude teda klesať rýchlosťou:

.

7.17. Zisťujeme, či výraz:

zodpovedá diferenciálu kmeňovej funkcie. Najprv zistíme, či je uvedený výraz totálnym

diferenciálom. Pre všetky platí:

a

Daný výraz je teda diferenciálom kmeňovej funkcie

.

nájdeme postupnou integráciou:

Pri integrovaní podľa premennej považujeme premennú za konštantu. Integračnú konštantu

budeme pri hľadaní kmeňovej funkcie dvoch premenných považovať namiesto

číselnej konštanty za funkciu závislú od . Jej derivácia

je totiž rovná nule, rovnako, ako

derivácia konštanty. Derivovaním medzivýsledku podľa :

dostaneme ,

pretože je, ako sme ukázali vyššie, totálny diferenciál:

Kmeňová funkcia bude mať teda tvar:

kde je integračná konštanta.

7.18. Hľadáme lokálne extrémy funkcie: . Výraz pod odmocninou

je polynómom druhého stupňa premenných a , ktorý nadobúda kladné hodnoty na celej

273

množine . Preto bude definovaná a jej parciálne derivácie budú spojité na celej množine

R 2. Lokálne extrémy sa môžu nachádzať tam, kde má riešenie sústava rovníc:

Riešením sústavy je jediný stacionárny bod .

Pre druhé parciálne derivácie platí:

Hodnoty druhých derivácií v stacionárnom bode dostaneme dosadením , :

Dosadením do vzťahu [7.34.] dostaneme:

a zároveň

Preto stacionárny bod bude lokálnym maximom (pozri obrázok nižšie).

Obrázok 7.20. Hyperplocha funkcie: .

274

7.19. Nájdite lokálne extrémy funkcie: .

Najprv nájdeme stacionárne body:

Exponenciála je vždy kladná, preto môžeme rovnice vydeliť výrazom a riešiť sústavu:

0

Z druhej rovnice vyjadríme :

dosadíme do prvej rovnice a dostaneme súradnice stacionárneho bodu:

Vypočítame si druhé derivácie v stacionárnom bode:

Hesseho matica bude mať tvar:

Preto funkcia nemá v bode extrém ale sedlový bod (pozri obrázok nižšie).

Obrázok 7.21. Hyperplocha funkcie: .

7.20. Hľadáme najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie: v

trojuholníku tvorenom súradnicovými osami a dotyčnicou ku grafu funkcie

v bode .

275

Funkcia je, vrátane svojich parciálnych derivácií, spojitá na celom obore . Začneme tým, že

určíme rovnicu dotyčnice. Platí

. Dotyčnica v bode bude mať rovnicu

, z toho . Množina, na ktorej hľadáme absolútny extrém funkcie bude:

Stacionárne body určíme z podmienky:

Jediným stacionárnym bodom je bod , ktorý leží v . Výpočtom determinantu Hesseho

matice

a z hodnoty zistíme, že v bode je maximum so súradnicami .

Ďalej budeme hľadať najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie na hranici elementárnej oblasti ,

ktorá sa skladá z týchto úsečiek:

a) pre ,

b) pre ,

c) pre ,

pre ktoré budeme riešiť extrémy individuálne:

a) pre , dosadením do funkcie dostaneme:

a hľadáme extrémy funkcie pre . , odtiaľ

. Funkčné

hodnoty v stacionárnom bode a v krajných bodoch intervalu sú:

, ,

.

b) pre

, ,

c) pre , dosadením do funkcie dostaneme:

276

Porovnaním vypočítaných funkčných hodnôt v stacionárnych bodoch a krajných bodoch

intervalov vidíme, že absolútne maximum dosahuje funkcia v bode a

absolútne minimum v bodoch a .

7.21. Hľadáme extrémy funkcie: viazané podmienkou:

. Definičný obor funkcie je . Hľadáme stacionárne body pomocou Lagrangeovej

funkcie:

pre ktoré platí:

Dostávame: , z čoho vyplýva . Dosadením do tretej podmienky

dostaneme:

a z toho pre súradnice stacionárneho bodu dostaneme:

, ,

a pre multiplikátor:

Vypočítame druhé derivácie a determinant Hesseho matice:

0

ide teda o extrém,

ide o minimum.

Funkcia má teda v bode minimum viazané podmienkou: .

7.22. Počítame dvojný integrál:

.

Funkcia je spojitá na , takže je integrovateľná. Podľa Fubiniho vety [7.44.]

dostaneme:

7.23. Počítame dvojný integrál:

.

Funkcia je spojitá na , takže je integrovateľná.

277

7.24. Počítame dvojný integrál

cez elementárnu integračnú oblasť , ktorá leží v

prvom kvadrante a je ohraničená plošnou krivkou a priamkou , (pozri obrázok

nižšie).

Priamka a parabola sa pretínajú v bodoch a , ktoré určujú integračné hranice

premennej . Budeme integrovať po "stĺpcoch", najprv podľa , a potom podľa (element

plochy :

Obrázok 7.22. Elementárna oblasť ohraničená funkciami: a .

7.25. Počítame dvojný integrál

cez elementárnu integračnú oblasť , ktorá leží v

prvom kvadrante a je ohraničená hyperbolou a priamkami , a

(pozri obrázok nižšie).

Z obrázku vidíme, že elementárnu oblasť musíme rozdeliť na dve časti, z ktorých každú

budeme integrovať zvlášť v odlišných hraniciach:

278

Obrázok 7.23. Elementárna oblasť ohraničená funkciami: ,

a .

279

8. Diferenciálne rovnice

Na rozdiel, napríklad od algebraických rovníc, v ktorých neznámymi sú premenné,

diferenciálne rovnice sú také rovnice, kde hľadanými neznámymi sú funkcie, a v ktorých

vystupujú derivácie týchto funkcií. Ak neznámou funkciou je funkcia jednej premennej, potom

hovoríme o obyčajných diferenciálnych rovniciach. Ak neznámu funkciu tvorí funkcia

viacerých premenných, potom tieto rovnice nazývame parciálnymi diferenciálnymi rovnicami.

Rádom diferenciálnej rovnice nazývame rád najvyššej derivácie, ktorá sa v rovnici

nachádza.

Riešením diferenciálnej rovnice je každá funkcia (definovaná na určitom intervale), ktorá po

dosadení svojich príslušných derivácií, vrátane funkcie samotnej, spĺňa uvažovanú

diferenciálnu rovnicu. Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice prvého rádu je funkcia, ktorá

závisí od jedného parametra - konštanty , voľbou ktorej možno dostať každé riešenie danej

rovnice. Partikulárne riešenie je jedno konkrétne riešenie, získané zo všeobecného riešenia

výberom konkrétnej hodnoty konštanty . Výber jedného konkrétneho riešenia je často určený

zadaním počiatočnej podmienky, napríklad v tvare: . Riešenie diferenciálnej

rovnice s počiatočnou podmienkou sa nazýva počiatočná úloha.

Diferenciálne rovnice hrajú dôležitú úlohu v prírodných vedách, pretože popisujú priebeh

mnohých fyzikálnych, chemických alebo biologických procesov. Príkladom obyčajnej

diferenciálnej rovnice prvého rádu je napr. rovnica . Jej riešením je funkcia ,

, je reálna konštanta, pretože platí: . Pre počiatočnú podmienku zadanú

ako: bude potom riešením rovnice funkcia . Iným príkladom relatívne

jednoduchej obyčajnej diferenciálnej rovnice je diferenciálna rovnica druhého rádu:

. Jedným z riešení tejto rovnice je funkcia: , pretože: .

Na druhej strane rovnica:

predstavuje parciálnu diferenciálnu rovnicu

druhého rádu. Jedným z riešení tejto diferenciálnej rovnice bude funkcia

, , sú ľubovoľné reálne konštanty. Nie každá diferenciálna rovnica musí mať

riešenie. Otázka existencie a jednoznačnosti riešení diferenciálnych rovníc je pomerne

komplikovaná. Problematika diferenciálnych rovníc nebude úplne jednoduchá, aj keď sa

budeme zaoberať len obyčajnými diferenciálnymi rovnicami prvého rádu. V tejto kapitole

ukážeme, ako sa riešia základné diferenciálne rovnice, s ktorými sa študenti stretnú vo fyzike,

fyzikálnej chémii, farmakokinetike a ďalších špecializovaných predmetoch.

8.1. Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu

Obyčajnú diferenciálnu rovnicu prvého rádu pre neznámu funkciu môžeme

v explicitnom tvare všeobecne vyjadriť ako:

[8.1.]

Riešenie takejto rovnice závisí na tvare funkcie . O hľadanom riešení takejto

jednoduchej diferenciálnej rovnice môžeme získať určité informácie pomocou geometrickej

interpretácie diferenciálnej rovnice. Rovnica totiž priraďuje bodu v rovine

hodnotu , teda hodnotu derivácie hľadanej funkcie v danom bode. Túto hodnotu derivácie

280

môžeme chápať ako smernicu dotyčnice ku krivke prechádzajúcej bodom . Takúto

dotyčnicu môžeme znázorniť ako krátku úsečku so stredom v danom bode so smernicou

. Táto úsečka sa nazýva lineárny element. Množinu všetkých lineárnych elementov

diferenciálnej rovnice nazývame smerové pole, Obr. 8.1. Graf každého z možných riešení

danej diferenciálnej rovnice, tzv. integrálna krivka, má tú vlastnosť, že dotyčnica zostrojená v

každom bode krivky obsahuje príslušný lineárny element smerového poľa. Smerové

pole teda zobrazuje tvar hľadaných kriviek a ukazuje smer, ktorý krivka naberá v každom bode.

Ak máme zadanú počiatočnú podmienku riešenia , t.j. napr. bod , ktorým

krivka riešenia prechádza, potom dokážeme v smerovom poli nakresliť približný tvar grafu

riešenia tak, že začneme z bodu a sledujeme smer priľahlých lineárnych elementov,

Obr. 8.1. Príslušnú neznámu funkciu však už musíme vypočítať vhodnými metódami,

ktoré opíšeme v ďalšom texte.

Obrázok 8.1. Smerové pole diferenciálnej rovnice a jej riešenie

(modrá krivka) spĺňajúce počiatočnú podmienku (modrý bod na osi y).

Príklad. Presvedčte sa, že riešením diferenciálnej rovnice s počiatočnou

podmienkou je funkcia , .

Či funkcia je riešením uvažovanej rovnice, zistíme derivovaním funkcie a dosadením do

diferenciálnej rovnice, ktorá musí byť splnená:

Dosadením do rovnice dostaneme:

Príklad. Ukážte, že funkcia

je riešením diferenciálnej rovnice: .

Najprv vypočítame prvú deriváciu zadanej funkcie:

281

Dosadíme do ľavej strany rovnice za a :

Porovnaním s pravou stranou rovnice vidíme, že obidva výrazy sú rovnaké, a teda

spĺňa uvažovanú diferenciálnu rovnicu.

Špeciálnym prípadom obyčajných diferenciálnych rovníc , kde ,

t.j. vo vyjadrení pravej strany diferenciálnej rovnice nevystupuje neznáma funkcia , ale len

nezávisle premenná, je rovnica: . Táto rovnica sa dá priamo riešiť integráciou:

(čo predstavuje výpočet neurčitého integrálu podľa premennej ).

V prípade, že je zadaná aj počiatočná podmienka , potom dokážeme určiť aj

veľkosť konštanty (dosadením počiatočnej podmienky do primitívnej funkcie ).

Príklad. Vyriešte obyčajnú diferenciálnu rovnicu: s počiatočnou podmienkou

.

Tento špeciálny prípad diferenciálnej rovnice budeme riešiť priamo (integráciou per partes),

vzťah [6.11.]:

Dosadíme počiatočnú podmienku a pre konštantu dostaneme:

Partikulárne riešenie danej diferenciálnej rovnice má tvar:

Príklad. Overte, že funkcia: , kde

, je riešením diferenciálnej rovnice:

.

Vypočítame deriváciu funkcie:

Porovnaním s pravou stranou rovnice vidíme, že rovnicu spĺňa. Všimnime si ale, že zatiaľ

čo definičným oborom pravej stany rovnice ( ) je celá množina , riešenie rovnice

je definované len na obmedzenom intervale

.

282

Pri riešení diferenciálnych rovníc môžeme naraziť na viaceré komplikácie, ako sú

nejednoznačnosť riešenia (danú diferenciálnu rovnicu môžu spĺňať viaceré funkcie, k výberu

vhodného riešenia môžu v niektorých prípadoch pomôcť počiatočné podmienky), definičný

obor riešenia (ktorý môže byť odlišný od oboru, na ktorom je definovaná rovnica), existencia

a zložitosť hľadania riešení (v mnohých prípadoch nedokážeme riešenie nájsť – ani pre

najjednoduchšie rovnice, ktoré riešime priamou integráciou nemusíme byť vždy v stave nájsť

riešenie).

Uveďme si jednu vetu, ktorá popisuje existenciu riešení obyčajnej diferenciálnej rovnice

prvého rádu.

Veta. Majme bod v rovine a funkciu definovanú na okolí tohto bodu. Ak

je parciálna derivácia

na tomto okolí ohraničenou funkciou, potom má diferenciálna

rovnica s počiatočnou podmienkou: práve jedno riešenie.

Veta presne nedefinuje veľkosť okolia bodu a predpokladá, že riešenie je spojitá

funkcia (má v okolí bodu deriváciu) a hovorí len, že riešenie existuje. V nasledujúcich častiach

ukážeme akými metódami môžeme pre niektoré tvary funkcie riešenie diferenciálnej

rovnice vypočítať.

8.2. Rovnica so separovateľnými premennými

Diferenciálnu rovnicu, ktorú je možné upraviť na tvar: nazývame rovnicou

so separovateľnými premennými. Znamená to teda, že funkciu , ktorá vystupuje na

pravej strane rovnice všeobecného tvaru obyčajnej diferenciálnej rovnice prvého rádu, je

možné rozdeliť na člen závislý len od premennej a člen závislý len od premennej , ktoré sa

násobia.

Postup riešenia takejto rovnice je nasledovný. V rovnici budeme namiesto písať

a rovnicu:

upravíme na tvar:

[8.2.]

Obidve strany rovnice zintegrujeme (ľavú stranu podľa premennej , pravú stranu podľa

premennej ) a dostaneme:

[8.3.]

kde je primitívna funkcia k funkcii

, je primitívna funkcia k funkcii a je

integračná konštanta. Riešenie rovnice teda spočíva najmä v integrovaní funkcií

a .

Ak sú tieto funkcie spojité, potom ich neurčité integrály existujú, nemusíme ich však vždy

vedieť vypočítať. Všimnime si, že ak , potom konštantná funkcia je

riešením uvažovanej rovnice. Ak máme zo všetkých riešení určiť partikulárne riešenie, ktoré

283

spĺňa aj počiatočnú podmienku , potom je ešte potrebné určiť hodnotu integračnej

konštanty dosadením do vzťahu [8.3.]: .

Príklad. Vyriešte diferenciálnu rovnicu: .

Rovnicu budeme riešiť separáciou premenných, vzťah [8.2.] a následnou integráciou, vzťah

[8.3.]:

za predpokladu, že:

Integráciou dostaneme:

kde

pričom je integračná konštanta, ktorá môže nadobúdať kladné, nulové aj záporné

hodnoty (preto môžeme vynechať z výsledku znamienko ). Pripomeňme, že pre hodnotu

konštanty , riešenie obsahuje aj triviálne riešenie .

Príklad. Vyriešte diferenciálnu rovnicu:

.

Najprv budeme riešiť prípad: . Vidíme, že funkcia:

je riešením

diferenciálnej rovnice. Riešme teraz prípad, keď:

. Dostaneme:

ak nahradíme kladnú konštantu po odlogaritmovaní rovnice ľubovoľnou konštantou ,

môžeme odstrániť absolútnu hodnotu a dostaneme:

Toto riešenie zahŕňa aj triviálne riešenie:

.

Príklad. Vyriešte diferenciálnu rovnicu: .

284

Rovnicu upravíme tak, aby sme mohli odseparovať premenné:

kde . Konštanta môže nadobúdať kladné, aj záporné hodnoty, preto môžeme

odstrániť absolútne hodnoty. Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice preto bude mať tvar:

Príklad. Vyriešte diferenciálnu rovnicu: s počiatočnou podmienkou

.

Odseparujeme premenné za predpokladu, že a dostaneme:

Kde integračná konštanta: nadobúda kladné, aj záporné hodnoty. Jej hodnotu určíme

dosadením počiatočnej podmienky do všeobecného riešenia:

Partikulárne riešenie diferenciálnej rovnice s počiatočnou podmienkou teda bude:

285

8.3. Lineárne diferenciálne rovnice

Obyčajnú lineárnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu môžeme zapísať vo všeobecnom tvare:

[8.4.]

kde funkcie a budeme považovať za spojité funkcie jednej premennej . V tejto

diferenciálnej rovnici teda vystupuje neznáma funkcia , ako aj jej derivácia ,

v lineárnom tvare. V niektorých prípadoch, napr. ak , je možné lineárnu

diferenciálnu rovnicu upraviť na rovnicu so separovateľnými premennými, všeobecne však

musíme siahnuť po iných metódach riešenia. Jedna z metód vhodných na riešenie lineárnych

diferenciálnych rovníc sa nazýva metóda variácie konštánt. Ukážeme teraz, ako máme pritom

postupovať.

Na začiatku budeme riešiť tzv. homogénnu rovnicu, t.j. rovnicu bez pravej strany, kde

funkciu položíme rovnú nule:

[8.5.]

Všeobecné riešenie homogénnej rovnice nájdeme pomocou separácie premenných:

Kde je primitívna funkcia k a je reálna konštanta.

V nasledujúcom kroku, ktorý sa nazýva variácia konštanty, budeme riešiť rovnicu s pravou

stranou tak, že budeme hľadať riešenie v tvare:

kde sme konštantu nahradili funkciou premennej tak, aby modifikované riešenie

spĺňalo nehomogénnu diferenciálnu rovnicu. Dosadením tohto riešenia do lineárnej rovnice

[8.4.] dostaneme:

Pretože je primitívna funkcia k , platí: , a preto sa druhý a tretí člen na

ľavej strane predchádzajúcej rovnice navzájom zrušia, dostaneme:

[8.6.]

Funkciu teda určíme integrovaním výrazu [8.6.] pre spojité funkcie a .

Všeobecné riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice má potom tvar:

286

[8.7.]

Všimnime si, že funkcia všeobecného riešenia je vlastne súčet všeobecného riešenia

homogénnej lineárnej rovnice a partikulárneho riešenia rovnice s pravou stranou

. Ak teda poznáme všeobecné riešenie rovnice bez pravej strany

a nejakým jednoduchým spôsobom dokážeme nájsť partikulárne riešenie homogénnej rovnice,

potom ich súčet bude popisovať všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice.

Lineárne diferenciálne rovnice majú významné postavenie, pretože môžu v okolí daného

bodu nahradiť mnohé zložitejšie nelineárne rovnice (podobne, ako možno graf funkcie jednej

premennej v okolí bodu aproximovať dotyčnicou alebo funkciu dvoch premenných dotykovou

rovinou) a môžu tak poskytnúť približné riešenie pre inak analyticky neriešiteľný problém.

Príklad. Vyriešte lineárnu diferenciálnu rovnicu:

Na riešenie použijeme metódu variácie konštánt. Najprv budeme riešiť homogénnu rovnicu:

ktorá sa dá riešiť separáciou premenných:

Teraz budeme hľadať riešenie rovnice s pravou stranou v tvare:

Platí:

z toho ostaneme:

Integrovaním so substitúciou:

Všeobecné riešenie rovnice s pravou stranou potom môžeme napísať ako:

Kde je reálna konštanta.

287

Príklad. Vyriešte počiatočnú úlohu:

, keď .

Rovnicu upravíme:

Najprv budeme riešiť homogénnu rovnicu:

,

Partikulárne riešenie rovnice s pravou stranou budeme hľadať v tvare:

Toto riešenie derivujeme ako podiel funkcií:

Dosadíme do nehomogénnej rovnice:

Partikulárne riešenie teda bude mať tvar:

Dosadením počiatočnej podmienky: , dostaneme:

Riešením počiatočnej úlohy je potom funkcia:

288

Príklad. Nájdite všeobecné riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice: .

Najprv vyriešime homogénnu rovnicu pomocou separácie premenných:

Partikulárne riešenie dostaneme variáciou konštanty :

Do rovnice s pravou stranou dosadíme a :

odtiaľ:

Integrál riešime substitúciou a per partes:

Všeobecným riešením lineárnej diferenciálnej rovnice s pravou stranou je funkcia:

kde .

8.4. Exaktné diferenciálne rovnice

Obyčajné diferenciálne rovnice sa zadávajú aj v tvare:

[8.8.]

Ak platí, že výraz na ľavej strane rovnice predstavuje totálny diferenciál funkcie :

[8.9.]

potom rovnicu [8.8.] nazývame exaktná diferenciálna rovnica a funkciu označujeme

kmeňová funkcia (pozri časť 7.8.). Pripomeňme si, že pre kmeňovú funkciu musia platiť na

jednoducho súvislej (pozri časť 7.8.) množine vzťahy [7.19.] a [7.20.]:

289

a

[8.10.]

čiže

Kmeňová funkcia v tvare: kde je konštanta, potom predstavuje riešenie

exaktnej diferenciálnej rovnice [8.8.] (pretože totálny diferenciál konštantnej funkcie sa rovná

nule) a dá sa určiť postupnou integráciou funkcií a . Pri riešení postupujeme nasledovne:

vyberieme si ľubovoľnú rovnosť zo vzťahu [8.10.], napr. , potom musí

platiť:

[8.11.]

pričom integračnú konštantu považujeme za funkciu závislú od premennej ,

v ďalšom kroku určíme funkciu , pre ktorú podľa [8.10.] platí:

integráciou podľa premennej potom dostaneme:

[8.12.]

Príklad. Zistite, či rovnica: je exaktná diferenciálna rovnica a

nájdite jej riešenie.

Pre exaktnú diferenciálnu rovnicu musí platiť:

teda:

Keďže sa jedná o exaktnú diferenciálnu rovnicu, kmeňovú funkciu budeme počítať podľa

vzťahov [8.12.]:

Zároveň platí:

potom dostaneme integráciou:

kde je integračná konštanta. Dosadením dostaneme:

290

alebo

kde je výsledná konštanta . Hodnotu určíme z počiatočnej podmienky.

Príklad. Zistite, či rovnica: je exaktnou diferenciálnou

rovnicou, a ak áno, nájdite jej riešenie.

Najprv overíme platnosť vzťahu [8.10.]:

Rovnica je exaktná. Kmeňovú funkciu a riešenie v tvare nájdeme integráciou:

Zároveň platí:

kde je integračná konštanta. Dosadením dostaneme:

alebo

8.5. Numerické metódy riešenia diferenciálnych rovníc

Existujú diferenciálne rovnice, ktoré nevieme vyriešiť analyticky, t.j. nevieme vypočítať

funkciu , ktorá spĺňa diferenciálnu rovnicu. V takýchto prípadoch hľadáme aspoň

približné riešenie pomocou grafických alebo numerických metód. Použitie grafických metód,

založených na lineárnych elementoch a smerových poliach, ktoré vedú k nakresleniu približnej

integrálnej krivky, sme ilustrovali na Obr. 8.1.

Numerické metódy konštruujú riešenie diferenciálnej rovnice ako množinu bodov

, pričom funkčné hodnoty sa vypočítajú približným spôsobom

pre vybrané hodnoty nezávisle premennej, typicky pre hodnoty narastajúce o malý konštantný

prírastok: .

Majme počiatočnú úlohu, ktorú budeme riešiť numericky:

[8.13.]

291

Eulerova metóda. Počiatočná podmienka definuje prvý bod približnej krivky

[ . Nasledujúci bod, pre nezávisle premennú: , vypočítame pomocou

diferenciálu funkcie, vzťah [5.16.], Obr. 5.10., ako:

alebo skrátene:

kde derivácia riešenia je určená zadaním počiatočnej úlohy:

.

Teda:

Ďalšie body nájdeme opakovaním tohto postupu. Všeobecne, ak numerická hodnota

približného riešenia v bode je , potom pre nasledujúci bod platí:

Príklad. Nájdite pomocou Eulerovej metódy numerické riešenie počiatočnej úlohy: ,

.

Zvolíme si prírastok a nájdeme približné hodnoty pre , ,

a . Dostaneme:

V sekcii 8.1. sme ukázali, že riešením tejto počiatočnej úlohy je funkcia .

Preto si môžeme v nasledujúcej tabuľke porovnať presnosť analytického a numerického

riešenia.

Tabuľka 8.1. Porovnanie presného analytického riešenia a numerického Eulerovho riešenia

počiatočnej úlohy: ,

presná hodnota približná hodnota rozdiel

Okrem jednoduchej Eulerovej metódy existujú aj komplikovanejšie a presnejšie postupy, napr.

metódy vyvinuté autormi: Runge-Kuta, Adams-Bashford-Moulton, Milne, a ďalšie.

292

8.6. Aplikácie diferenciálnych rovníc v prírodných vedách

V prírode je mnoho fyzikálnych, chemických a biologických procesov, ktoré sa dajú popísať

pomocou matematických modelov. Procesy prevažne deterministickej povahy, u ktorých

poznáme vplyv vonkajších faktorov na zmenu skúmanej veličiny, môžeme modelovať

pomocou diferenciálnych rovníc. Pokiaľ sledujeme vývoj skúmaného systému v čase, na jeho

popis postačia aj obyčajné diferenciálne rovnice, v ktorých vystupuje čas ako nezávisle

premenná a sledovaná veličina ako závisle premenná.

V nasledujúcich častiach opíšeme vybrané jednoduché matematické modely, ktoré opisujú

časovú závislosť troch chemických a biologických procesov a ilustrujú využitie matematických

metód.

8.6.1. Kinetika jednoduchej chemickej reakcie

Rýchlosť chemickej reakcie je zjednodušene vyjadrená ako úbytok látkového množstva

alebo pokles koncentrácie reagujúcej látky za časovú jednotku, prípadne ako množstvo

vzniknutého produktu za jednotku času. Podľa Guldbergovho-Waageho zákona101

účinku

hmotností je rýchlosť chemickej reakcie

úmerná koncentrácii ( ) reaktantu

a konštante úmernosti, ktorá sa nazýva rýchlostná konštanta ( ). Pre jednoduchú premenu

reaktantu na produkt : , teda pre rýchlosť chemickej premeny (úbytok reaktantu

alebo prírastok produktu ) dostaneme:

[8.14.]

kde je čas (ktorý začíname merať od ), koncentráciu meriame v jednotkách

a rýchlostnú konštantu tejto reakcie prvého poriadku meriame v jednotkách

. Nech počiatočná koncentrácia reaktantu v čase je , potom riešenie

diferenciálnej rovnice [8.14.], v tvare , nájdeme separáciou premenných:

Absolútnu hodnotu môžeme vynechať, pretože hodnoty exponenciálnej funkcie sú vždy kladné.

Integračnú konštantu určíme z počiatočnej podmienky dosadením do riešenia

rovnice , ako . Potom pre koncentračnú závislosť reaktantu dostaneme:

[8.15.]

Pre produkt bude v uzavretom systéme (kde množstvo látky je konštantné) platiť:

101

Cato Maximilian Guldberg (1836-1902) bol nórsky matematik a chemik. Peter Waage (1833-1900) bol

významný nórsky chemik.

293

[8.16.]

Pretože a , ustáleným (stacionárnym) stavom sledovanej

reakcie bude stav, kde všetky molekuly látky sa premenili na molekuly produktu .

Časové priebehy koncentrácií a sú znázornené na Obr. 8.2.

Obrázok 8.2. Časové závislosti koncentrácií reaktantu a produktu sledovanej chemickej

reakcie: .

Uvažujme teraz vratnú chemickú reakciu:

, kde sú rýchlostné konštanty

priamej a spätnej reakcie. Pre úbytok koncentrácie reaktantu v uzavretom systéme (kde

v každom čase: ) bude teraz platiť:

Riešenie nájdeme separáciou premenných:

Z počiatočnej podmienky , t.j. , vypočítame integračnú konštantu

a po jej dosadení dostaneme partikulárne riešenie:

[8.17.]

294

V ustálenom stave chemickej rovnováhy bude pre tento model platiť:

t.j. v dynamickej rovnováhe bude proces premeny na neustále prebiehať (rovnakou

rýchlosťou v oboch smeroch), pričom bude zachovaná rovnosť:

.

Hodnoty rýchlostných konštánt a budú rozhodovať o tom, na ktorú stranu sa posunie

chemická rovnováha reakcie. Ak napr. , potom

, pretože spätná reakcia

prebieha rýchlejšie. Časové priebehy koncentrácií a sú znázornené na Obr. 8.3.

Obrázok 8.3. Časové závislosti koncentrácií reaktantu a produktu sledovanej chemickej

reakcie:

. Znázornené sú aj rovnovážne koncentrácie reaktantu a produktu

a pre

.

8.6.2. Kinetika rastu populácie buniek

Majme bunkovú kultúru, v ktorej sa jednotlivé bunky neobmedzene delia. Množenie buniek

teda nie je limitované ani dostupnosťou živín, ani priestorom, v ktorom sú pestované. Nech

počet buniek v suspenzii v čase je rovný . Zmenu ich počtu za časový interval vyjadríme

ako rozdiel medzi počtom novovzniknutých a odumretých buniek za čas :

[8.18.]

kde a sú rýchlostné konštanty množenia buniek a zániku buniek. Pre populáciu vo fáze

rastu bude . Počet novovzniknutých buniek je úmerný počtu ‘rodičovských‘ buniek

, ktoré sú v čase v kultúre prítomné, a rovnako aj počet odumierajúcich buniek závisí na

aktuálnom počte buniek. Počet buniek musí byť dostatočne veľký, aby sme mohli použiť

fenomenologický prístup, ktorý využíva štatisticky spriemernené chovanie individuálnych

buniek. Časový interval musí byť dostatočne malý, aby sa počas neho hodnota príliš

nemenila, ideálne budeme uvažovať . Dostaneme:

295

Pre rýchlosť rastu populácie teda dostaneme diferenciálnu rovnicu:

[8.19.]

A pre počiatočnú podmienku: potom máme:

[8.20.]

V prípade, že prevažuje rýchlosť zániku buniek nad množením ( ), potom

a populácia buniek vyhynie. Naopak, ak prevažuje rýchlosť množenia

buniek ( , potom a populácia exponenciálne rastie do

nekonečna, Obr. 8.4.

Obrázok 8.4. Časový priebeh vývoja bunkovej populácie pre model [8.20.]. A. exponenciálny rast, B.

pokles populácie.

Z experimentálnych pozorovaní chovania bunkových kultúr je známe, že po určitej fáze

exponenciálneho rastu populácie dochádza k jeho spomaleniu, a neskôr k zastaveniu rastu, pri

dosiahnutí určitej limitnej hranice (ako napr. počet buniek v jednotkovom objeme). Preto model

kinetiky rastu vyjadrený vzťahom [8.20.] je potrebné spresniť tak, že konštantnú rýchlosť

množenia buniek ( ) nahradíme napr. lineárnou závislosťou na celkovom počte buniek v tvare:

, kde je smernica tejto závislosti. Dostaneme teda modifikovaný vzťah pre

rýchlosť rastu bunkovej populácie, nelineárnu diferenciálnu rovnicu:

[8.21.]

Označme: , dostaneme:

296

Racionálnu lomenú funkciu

v integráli na ľavej strane rozložíme na parciálne zlomky:

Potom:

[8.22.]

Integračnú konštantu vyjadríme z počiatočnej podmienky: (populácia buniek

v čase ). Ak predpokladáme, že

, potom pre konštantu dostaneme:

.

Dosadením konštanty a úpravami vzťahu [8.22.] dostaneme riešenie diferenciálnej rovnice

v explicitnom tvare:

[8.23.]

Ak , rýchlostné konštanty , potom pre ustálený stav ( ) bude

. Pre

dostaneme rastúcu sigmoidnú krivku a pre

má krivka klesajúci priebeh, Obr. 8.5. Vzťah [8.23.] predstavuje model obmedzeného rastu

s počiatočným exponenciálnym rastom, vývoj ktorého smeruje k stabilnému ustálenému stavu.

Obrázok 8.5. Časový priebeh vývoja bunkovej populácie pre model [8.23.]. A. obmedzený rast pre:

, B. pokles pre:

.

8.6.3. Kinetický model distribúcie liečiva

Matematické modely využívané na popis časového priebehu šírenia aplikovaného liečiva v

ľudskom organizme sa nazývajú farmakokinetické modely. Priestorovú a časovú závislosť

297

koncentrácie podanej chemickej látky v komplexnej štruktúre organizmu ovplyvňuje celý rad

fyzikálnochemických faktorov, ktoré môžeme rozdeliť medzi štyri základné pochody:

absorpcia, distribúcia, metabolizmus a eliminácia. Zložitú štruktúru ľudského tela

farmakokinetické modely zjednodušene popisujú ako sériu navzájom prepojených

kompartmentov, idealizovaných diskrétnych oddelení, ktoré majú definovaný objem a zloženie,

a v ktorých sa predpokladá rovnomerné rozptýlenie liečiva. Väčšina dejov, ktoré ovplyvňujú

osud liečiva v organizme (ako sú difúzia, biotransformácia, eliminácia, filtrácia, ...) sa riadia

kinetikou prvého poriadku, t.j. rýchlosť zmeny koncentrácie liečiva je úmerná jeho koncentrácii

násobenej rýchlostnou konštantou. Preto pohyb molekúl medzi kompartmentami je popísaný

jednoduchým spôsobom pomocou rýchlostných konštánt a závislosť zmeny koncentrácie od

času vo zvolenom kompartmente môžeme popísať pomocou obyčajných lineárnych

diferenciálnych rovníc.

Zvoľme si jednoduchý dvojkompartmentový farmakokinetický model distribúcie liečiva.

Prvý kompartment bude predstavovať tráviaci trakt, do ktorého aplikujeme liečivo (tabletku)

perorálne (per os). Z neho sa účinná látka absorbuje cez membrány do druhého kompartmentu

(krvný obeh), ktorý účinnú látku distribuuje po celom tele. V druhom kompartmente zároveň s

distribúciou prebieha aj metabolická premena účinnej látky liečiva na neaktívny metabolit a

tiež eliminácia (biotransformácia), ktorou sa liečivo vylučuje z organizmu, Obr. 8.6.

Obrázok 8.6. Dvojkompartmentový model (bloková schéma) pre popis absorpcie, metabolizácie a

eliminácie liečiva v krvnej plazme po jednorazovej dávke podanej p. o. Rýchlostné konštanty

určujú rýchlosť absorpcie, metabolizácie a eliminácie liečiva.

Počítajme funkciu , ktorá vyjadruje časový závislosť koncentrácie liečiva v

krvnej plazme (t.j. v kompartmente 2) po jednorazovom podaní dávky liečiva per os,

čím získame vybrané farmakokinetické parametre, ktoré je možné z tejto funkcie odvodiť.

Jednorazová dávka liečiva podaná do kompartmentu 1 vytvorí v tráviacom trakte počiatočnú

koncentráciu liečiva . Liečivo bude difundovať z kompartmentu 1, absorbovať sa v

kompartmente 2, kde sa však bude koncentrácia liečiva znižovať v dôsledku jeho metabolizácie

a eliminácie (čo sú chemické reakcie s kinetikou prvého poriadku). Vzťah pre zmenu

koncentrácie s časom v kompartmente 2 vyjadruje kinetická rovnica:

[8.24.]

kde je okamžitá koncentrácia liečiva v kompartmente 1, sú rýchlostné konštanty

absorpcie, metabolizácie a eliminácie. Rovnica vyjadruje zmenu koncentracie liečiva v plazme,

ktorá závisí od rýchlosti prísunu liečiva z kompatmentu 1 a rýchlosti jeho úbytku v

dôsledku metabolickej premeny a eliminácie . Pre okamžitú koncentráciu

liečiva platí zas kinetická rovnica prvého poriadku, ktorá opisuje jej nárast v dôsledku

Komp. 1 Komp. 2

podanie p.o.

absorbcia eliminácia

metabolizácia

ácia

tráviaci trakt krvný obeh

298

difúzie z kompartmentu 1 (spätnú difúziu a vratnosť chemických reakcií kvôli jednoduchosti

zanedbávame), s počiatočnou podmienkou: koncentrácia liečiva v kompartmente 1 v čase

je rovná: dávka liečiva/objem kompartmentu 1

.

Rovnicu riešime separáciou premenných

Integračnú konštantu vyjadríme z počiatočnej podmienky:

Okamžitú koncentráciu:

[8.25.]

dosadíme do rovnice [8.24.]:

a úpravou dostaneme lineárnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu pre koncentráciu liečiva v

kompartmente 2:

[8.26.]

ktorú riešime metódou variácie konštánt. Najprv vyriešime homogénnu rovnicu:

Ak integračnú konštantu považujeme za funkciu času ,

[8.27.]

potom pre deriváciu podľa platí:

Dosadíme do rovnice s pravou stranou [8.26.]:

299

[8.28.]

Dosadením počiatočnej podmienky pre kompartment 2, , t.j. v čase (okamih

podania liečiva) sa v kompartmente 2 ešte žiadne liečivo nenachádza, vyjadríme integračnú

konštantu

Dosadením do [8.28.] dostaneme:

[8.29.]

A dosadením do [8.27.] dostaneme výslednú funkciu pre časovú závislosť koncentrácie

liečiva v kompartmente 2 :

[8.30.]

Táto závislosť je známa aj ako Batemanova funkcia102

, Obr. 8.7.

Obrázok 8.7. Časová závislosť koncentrácie liečiva v dvojkompartmentovom modeli, Obr. 8.6.

A. v kompartmente 1 (tráviaci trakt), vzťah [8.25.]. B. v kompartmente 2 (krvný obeh), vzťah [8.30.]

( ).

102

Harry Bateman (1882-1946) bol britský matematik.

300

Z Batemanovej krivky je možné odvodiť viacero farmakokineticky relevantných

parametrov. Napríklad koncentrácia liečiva dosiahne v kompartmente 2 svoju maximálnu

hodnotu v čase takom, keď , teda pre

bude:

Biodostupnosť liečiva podávaného per os zase súvisí s veľkosťou plochy pod krivkou

, s parametrom AUC (area under the curve, Obr. 8.8.), ktorý vypočítame ako určitý

integrál:

A B

Obrázok 8.8. Časová závislosť koncentrácie liečiva v dvojkompartmentovom modeli, Obr. 8.6.,

a farmakokinetické parametre. A. plocha pod krivkou (

). B. Plocha pod krivkou nad

minimálnou efektívnou koncentráciou (MEC):

.

Ďalší dôležitý farmakokinetický parameter, označovaný ako , predstavuje plochu pod

krivkou na intervale kedy , t.j. koncentrácia liečiva

v kompartmente prekračuje tzv. minimálnu efektívnu koncentráciu liečiva ( ), t.j.

koncentráciu pod ktorou sa už nepozoruje farmakodynamický efekt liečiva.

vypočítame pre funkciu [8.30.] ako:

cmax

301

keď integračné hranice a určíme ako body, kde: , napr. graficky.

Časový úsek potom určuje, v akých časových intervaloch je liečivo potrebné

dávkovať, aby jeho koncentrácia v plazme neklesla pod hladinu .

302

Cvičenia 8

8.1. Vyriešte diferenciálnu rovnicu: .

8.2. Vyriešte diferenciálnu rovnicu:

.

8.3. Vyriešte diferenciálnu rovnicu:

8.4. Vyriešte diferenciálnu rovnicu: s počiatočnou podmienkou .

8.5. Vyriešte lineárnu diferenciálnu rovnicu:

8.6. Vyriešte počiatočnú úlohu: , ak

8.7. Vyriešte lineárnu diferenciálnu rovnicu:

8.8. Vyriešte exaktnú diferenciálnu rovnicu:

.

8.9. Vyriešte exaktnú diferenciálnu rovnicu: .

303

Riešenia 8

8.1. Diferenciálnu rovnicu: budeme riešiť separáciou premenných:

O správnosti výsledku sa presvedčíme dosadením riešenia do pôvodnej rovnice.

8.2. Diferenciálnu rovnicu:

budeme riešiť separáciou premenných:

8.3. Diferenciálnu rovnicu: budeme riešiť separáciou premenných:

8.4. Diferenciálnu rovnicu: s počiatočnou podmienkou riešime

nasledovne:

304

Konštantu určíme z počiatočnej podmienky:

Dosadíme do všeobecného riešenia a dostane partikulárne riešenie:

8.5. Riešime lineárnu diferenciálnu rovnicu: metódou variácie konštánt.

Najprv budeme riešiť rovnicu bez pravej strany:

Integračnú konštantu považujeme za funkciu premennej :

Teraz spočítame :

a dosadíme do rovnice s pravou stranou:

Separátne vypočítame neurčitý integrál na pravej strane dvojnásobnou integráciou per partes:

Výsledok bude:

305

Dostaneme teda:

Dosadíme do riešenia homogénnej rovnice:

8.6. Riešime počiatočnú úlohu: pre . Najprv budeme riešiť

lineárnu rovnicu bez pravej strany:

Konštantu zmeníme na funkciu premennej :

Pre dostaneme:

Riešenie homogénnej rovnice dosadíme do rovnice s pravou stranou:

Integrál na pravej strane vypočítame pomocou substitúcie:

Pre teda dostaneme:

Dosadíme do riešenia homogénnej rovnice a určíme riešenie rovnice s pravou stranou:

306

Hodnotu integračnej konštanty dostaneme z počiatočnej podmienky :

Dosadíme do všeobecného riešenia a dostaneme partikulárne riešenie:

8.7. Riešime lineárnu diferenciálnu rovnicu:

Začneme s homogénnou

rovnicu:

( )

Konštantu nahradíme funkciou premennej :

Nájdeme :

Dosadíme do rovnice s pravou stranou:

Dosadíme do riešenia rovnice bez pravej strany:

307

8.8. Vyriešte exaktnú diferenciálnu rovnicu:

. Rovnicu prepíšeme do tvaru:

kde a . Zistíme, či rovnica predstavuje totálny

diferenciál kmeňovej funkcie v tvare :

Overili sme, že ide o exaktnú diferenciálnu rovnicu, rovnica teda bude mať riešenie .

Platí: a

. Zintegrujeme prvý z týchto dvoch vzťahov:

Na určenie neznámej funkcie využijeme vzťah:

Z toho:

Dosadením do dostaneme:

Riešenie exaktnej diferenciálnej rovnice má tvar:

8.9. Riešime exaktnú diferenciálnu rovnicu: . V tejto rovnici

a . Zistíme, či rovnica predstavuje totálny diferenciál kmeňovej

funkcie v tvare :

Overili sme, že ide o exaktnú diferenciálnu rovnicu, rovnica teda bude mať riešenie .

Platí: a

. Zintegrujeme prvý z týchto dvoch vzťahov:

Na určenie neznámej funkcie využijeme vzťah:

308

Dosadením do dostaneme:

Riešenie exaktnej diferenciálnej rovnice má tvar:

309

Literatúra

F. Ayres, Jr., E. Mendelson: Differential and Integral Calculus, 3rd

ed., Schaum’s Outline

Series, McGraw-Hill, New York, 1990.

R. Bronson: Differential Equations, 2nd

ed., Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill, New York,

1993.

L. Bukovský: Úvod do matematickej logiky, UPJŠ, Košice, 2001.

A. Del Fra, L. Lamberti, C. Cammarota: Istituzioni di Matematiche, Libreria Scientifica Dias,

Roma, 1997.

Z. Došlá: Matematika pro chemiky 1, Masarykova Universita, Brno, 2010.

Z. Došlá: Matematika pro chemiky 2, Masarykova Universita, Brno, 2011.

J. Eliáš, J. Horváth, J. Kajan: Zbierka úloh z vyššej matematiky, I - IV., Bratislava, Alfa, 1989.

R. L. Finney, G. B. Thomas Jr.: Calculus and Analytic Geometry, 9th

ed., Addison-Wesley,

Reading, 1996.

T. Havránek a kol.: Matematika pro biologické a lékařské vědy. Academia, Praha, 1981.

L. D. Hoffmann, G. L. Bradley: Applied Calculus for Business, Economics, and the Social and

Life Sciences, 9th

ed., McGraw-Hill, New York, NY, 2007.

M. Jasem, Ľ. Horanská: Matematika I. Zbierka úloh, STU, Bratislava, 2010.

P. Klemera: Aplikovaná matematika, Karolinum, Praha, 2011.

V. Kotvalt: Základy matematiky pro přírodovědné obory, Karolinum, Praha, 2011.

H.-H. Körle, R. Hirsch: Elemente der Mathematik für Pharmazeuten, Vieweg Studium,

Braunschweig, 1996.

V. Kvasnička, J. Pospíchal: Matematická logika, STU, Bratislava, 2006.

V. Kvasnička, J. Pospíchal: Algebra a diskrétna matematika, STU, Bratislava, 2008.

K. Popper: Logika vědeckého bádání. Oikoymenh, Praha, 1997

K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky I a II, Prometheus, Praha, 2003.

D. L. Stancl, M. L. Stancl: Calculus for Management and the Life and Social Sciences, 2nd

ed.,

R. D. Irwin, Boston, MA, 1990.

M. Šabo: Matematika I, STU, Bratislava, 2009.

J. Zeman: Matematika pre farmaceutov, UK, Bratislava, 1989.

Použité grafické programy:

Na kreslenie grafov funkcií jednej nezávisle premennej sme použili on line kresliaci program

FooPLOT (http://www.fooplot.com).

Na kreslenie grafov funkcií dvoch nezávisle premenných sme použili on line kresliaci program

PlotGraphs (http://www.plotgraphs.com).

Za sprístupnenie týchto užitočných nástrojov širokej verejnosti autorom programov úprimne

ďakujem.

310

Register

A

absolútna hodnota 34

algebraický doplnok 100

antiderivácia 190

argument 49

asymptota 171

bez smernice 171

so smernicou 171

B

bod

hromadný 123

inflexný 166

stacionárny 169

v rovine 50

C

Cramerovo pravidlo 104

číselná os 35

číslo

celé 23

Eulerovo 65

Ludolfovo 65

prirodzené 23

reálne 23

D

De Morganove zálony 13,19

definičný obor 50

derivácia funkcie

definícia 146

fyzikálny význam 149

geometrický význam 146

inflexný bod 166

konkávnosť 165

konvexnosť 165

lokálny extrém 168

monotónnosť 162

n-tého rádu 238

smerová 237

sprava 147

totálna 240

zľava 147

vyšších rádov 152

derivácia 146

parciálna 233

podielu 151

smerová 237

súčinu 151

súčtu a rozdielu 151

totálna 242

zloženej funkcie 151

zmiešaná 238

determinant matice 99

rozvoj 100

diagonála matice 90

hlavná 90

diferencia 155

diferenciál 156

definícia 156

odhad chyby 157

totálny 240

diferenciálna rovnica 280

exaktná 289 homogénna 280

lineárna 286

obyčajná 280

parciálna 280

separovateľná 283

disjunkcia 9

diskriminant 58

dĺžka rovinnej krivky 217

doplnok množiny 36

dotyčnica grafu funkcie 146

dôkaz 16,23

matematickou indukciou 26

nepriamy 23

priamy 23

sporom 24

silnou matematickou

indukciou

27

vymenovaním prípadov 23

dotyčnica 146

smernica dotyčnice 146

E

ekvivalencia 9

elementárna oblasť 214

Eulerovo číslo 65

extrém funkcie 250

absolútny 170,252

lokálny 170,247

viazaný 256

311

F

Frobeniova veta 97

Fubiniova veta 263

funkcia

70

70

70

70

asymptoty bez smernice 175

asymptoty so smernicou 172 cyklometrická 70

68

charakteristická 34

diferencovateľná 156

dvoch premenných 230

elementárna 56

exponenciálna 64

goniometrická 67

graf 50

hladká 147

inverzná 55

klesajúca 52

kmeňová 244

konkávna 165

konvexná 165

konštantná 161

Lagrangeova 161

logaritmická 64

monotónna 125

nepárna 52

ohraničená 53

párna 52

periodická 52

primitívna 190

racionálna lomená 61

rastúca 52

reálna 50

rýdzo racionálna 61

rýdzo monotónna 207

67

spojitá 144

spojitá sprava 144

spojitá zľava 144

stavová 245

68

účelová 170

vektorová 236

zložená 54

funkčná hodnota 50

funkčný predpis 49

G

Gaussova eliminačná metóda 87

geometria 80

Euklidova 80

globálny extrém 172

gradient 236

graf

funkcie 52

postupnosti 119

H

Hamiltonov operátor 237

Hermiteov interpolačný polynóm 178

hodnosť matice 94

homogénna rovnica 280

Hornerova schéma 60

hyperplocha 230

CH

charakteristická funkcia 34

I

identita 13,37

implikácia 9,11

infimum funkcie 53

inflexný bod 166

integrál funkcie

dvojný 260

neurčitý 190

nevlastný 210

určitý 203

integrálna krivka 281

interpolácia 177

interpolačný polynóm 177

Hermiteov 178

Lagrangeov 177

interval 34

interval konkávnosti 165

interval konvexnosti 165

J

jednotková kružnica 68

K

karteziánsky súčin 44

kinetické modely 292

chemická reakcia 292

rast buniek 295

distribúcia liečiva 297

312

komplement množiny 36

kompozícia 48

konjunkcia 9

kontradikcia 12

koreň polynómu 56

jednoduchý 57

k-násobný 57

koreňový činiteľ 57

kritérium

D’Alembertovo 128

Sylvestrovo 249

krivka 61

krivočiary lichobežník 218

kvantifikátory 18

kvocient 121

L

Lagrangeov interpolačný

polynóm

177

limita funkcie 136

nevlastná 141

Cauchyho definícia 139

Heineho definícia 136

sprava 139

vlastná 139

v nevlastnom bode 141

zľava 139

limita postupnosti 123

lineárna kombinácia 82

lineárny element 281

logaritmus 65

dekadický 66

prirodzený 66

logika 9

lokálne maximum 168

lokálne minimum 168

M

Maclaurinov rad 158

matematická indukcia 26

matica 90

diagonálna 90

Hesseho 249

hodnosť 94

inverzná 93

jednotková 90

Nulová 90

Prvok 90

Regulárna 101

Rozšírená 97

singulárna 101

Sústavy 96

Štvorcová 90

transponovaná 93

trojuholníková 90

matice

ekvivalentné 94

násobenie 92

rovnosť 90

súčet 91

maticové rovnice 101

maximum funkcie 53,170

absolútne, globálne 170

lokálné 168

ostré 247

metóda

Gaussova eliminačná 87

najmenších štvorcov 259

Lagrangeových

multiplikátorov

255

per partes 197

substitučná 195

variácie konštánt 286

metódy

dôkazu 23

numerické 291

minimum funkcie 53,170

absolútne, globálne 170

lokálné 168

ostré 247

minor 100

mnohočlen 56

množina 33

celých čísel 23

iracionálnych čísel 23

kompaktná 253

komplexných čísel 23

mohutnosť 40

ohraničená 53

otvorená 35

prázdna 34

prirodzených čísel 23

racionálnych čísel 23

reálnych čísel 23

univerzálna 34

uzavretá 244

mocninový rad 130

model

kompartmentový 298

313

N

negácia 9

nekonečno 40

nekonečný rad 127

neurčité výrazy 127

neurčitý integrál 190

metóda per partes 197

substitučná metóda 195

základné vzťahy 192

nevlastný integrál 210

divergentný 210

konvergentný 210

na neohraničenon

intervale

210

neohraničenej funkcie 210

normála grafu funkcie 147

rovnica normály 147

notácia

Lagrangeova 161

Leibnizova 147

nulové body 176

numerické metódy riešenia rovníc

Eulerova metóda 291

Runge-Kuta 291

O

objem rotačného telesa 218

oblasť 215

obor hodnôt funkcie 50

obraz prvku 50

obsah rovinného obrazca 210

okolie bodu 123

optimalizácia 255

P

parciálna derivácia 233

parciálne zlomky 60

integrovanie 199

rozklad 60

počiatočná podmienka 282

počiatočná úloha 280

podmnožina 35

polomer konvergencie 130

polynóm 56

charakteristický 106

postupnosť 119

aritmetická 120

čiastočných súčtov 127

divergentná 124

Fibonacciho 120

geometrická 121

konvergentná 124

ohraničená zdola 53

ohraničená zhora 53

rastúca 52

pravdivostná hodnota 9

pravidlo

L’Hospitalovo 153

krížové 99

pravej ruky 85

Sarrusovo 99

pravidlá usudzovania 14

predikát 18

predikátová logika 18

premenná

nezávislá 49

závislá 49

približné metódy výpočtu 220

prienik množín 36

prírastok funkcie 149,240

R

racionálna funkcia 61

rýdzo lomená 61

radián 68

relácia 46

Riemannov integrálny súčet 204

Riemannov určitý integrál 203

riešenie

partikulárne 280

triviálne 105

všeobecné 280

rovina 231

rovnica

algebraická 58

koreň 58

riešenie 58

diferenciálna

exaktná 289

homogénna 286

lineárna 286

separovateľná 283

hyperboly 62

kvadratická 58

koreň 58

riešenie 58

kružnice 217

lineárna 58

logaritmická 65

paraboly 59

314

priamky 58

roviny 231

trigonometrická 68

rýchlosť

okamžitá 149

stredná 149

S

Sarrusovo pravidlo 99

sečnica 149

schéma

Hornerova 60

skalár 80

smernica

dotyčnice 146

normály 147

priamky 58

smerové pole 281

spojitosť funkcie v bode 144

stacionárny stav 294

strom dôkazu 16

stupeň polynómu 61

subdeterminant 100

substitúcia 195

súčet matíc 91

súčin matíc 92

súčin

karteziánsky 44

matíc 92

skalárny 84

vektorový 85

suprémum funkcie 53

súradnice

bodu v rovine 51

vektora 80

sústava lineárnych rovníc 86

maticový tvar 96

symbol

Levi-Civitov 99

syntaktický strom 11

T

tautológia 12

zákony a tautológie 13

Taylorov rad 157

triviálne riešenie 105

U

určitý integrál 203

aditivita 206

definícia 205

výpočet per partes 197

substitučná metóda 195

usporiadaná n-tica 96

V

vektor 80

nulový 82

neznámych 104

opačný 82

pravých strán 96

stĺpcový 90

vektory

lineárna kombinácia 82

lineárne závislé 82

rovnosť 80

skalárny súčin 84

súčet 81

vektorový súčin 85

vlastné 105

Vennove diagramy 37

veta

Bolzanova 145

Frobeniova 87

Fubiniova 263

Lagrangeova 161

Rolleova 161

Schwarzova 239

Newtonova-Leibnizova 205

o dedukcii 17

o strednej hodnote 207

Weierstrassova 145

základná veta algebry 57

vlastná funkcia 105

vlastná hodnota 105

vrstevnice 230

vzorec Newton-Leibnitzov 205

výrok 9

výroková formula 12

sémantika 11

výroková logika 9

syntax 10

Z

zjednotenie množín 36

zobrazenie 33

zrýchlenie 153

315

MATEMATIKA PRE FARMACEUTOV

Ing. Vladimír Frecer, DrSc.

Vydala Univerzita Komenského v Bratislave 2013

ako vysokoškolskú učebnicu pre študentov Farmaceutickej fakulty UK

Počet strán: 315, počet obrázkov: 130, počet tabuliek: 12.

Vydavateľstvo UK

Vytlačilo: Polygrafické stredisko UK

Staré grunty 55, 841 05 Bratislava

Náklad:

Cena:

ISBN-UUU-VV-XXXX-YYY-Z