Matematička teorija polja

Skalarna i vektorska polja

U nauci i tehnici često se posmatra određena fizička veličina u trodimenzionomeuklidskom prostoru R3. Najčešče je to posmatranje ograničeno na neku oblast R3, gdjese pod oblašću podrazumjeva otvoren povezan skup u R3. Ako neka fizička veličina imaodređenu vrijednost u svakoj tački oblasti , onda je na taj način definisano polje te veličine.Ako je posmatrana veličina skalar (temperatura, pritisak, električni potencijal), onda sa kaže daje zadato skalarno polje te veličine, a ako je posmatrana veličina vektor (brzina, sila), kaže seda je zadano vektorsko polje te veličine. Matematička teorija polja izučava skalarna ivektorska polja.

Primjeri.1. Zagrijano tijelo je skalarno polje temperature. U svakoj tački tijela zadata je skalarna

veličina - temperatura te tačke.2. Posmatrajmo nehomogeno čvrsto tijelo . Ako je u svakoj njegovoj tački definisana

gustina, onda je unutar tijela definisano skalarno polje. Veličina definisana u svakoj tačkipolja je gustina.

3. Neka je u koordinatni početak smješteno neko tijelo mase m (smatraćemo gamaterijalnom tačkom mase m). Jedinična masa koja se nalazi u proizviljnoj tački prostora bićeprivlačena ka koordinatnom početku silom koja je jednaka m

r2 (gdje je gravitaciona kostantaa r rastjanje jedinične mase od koordinatnog početka). Na taj način u svakoj tački C koja ležiizvan mase koja privlači, definisan je vektor sile F, usmjeren ka koordinatnom početku iintenziteta m

r2 . U ovom slučaju imamo vektorsko polje, definisano je u cijelom prostoru osimkoordinatnog početka (u koordinatnom početku vektor F nije definisan).

4. Neka je dio prostora R3(naprimjer, korito rijeke) ispunjen tečnošću koja se kreće.Tada je u svakoj tački iz definisan vektor brzine četice tečnosti koja je dospjela u tu tačku.Na taj način u je definisano polje brzina.

Vektor brzine čestice u posmatranoj tački iz u primjeru 4. može zavisiti od vremena.Drugim riječima, može se desiti da brzina čestice koja je dospjela u tu tačku bude različita odbrzine druge čestice koja je kasnije dospjela u tu tačku. Tada se kaže da je posmatrano poljenestacionarno. Ako brzina u svakoj tački zavisi samo od položaja te tačke, tj. brzina u datojtački se ne mijenja tokom vremena, tada se kaže da je to polje stacionarno.

Na dalje, mi ćemo posmatrati samo stacionarna polja.

Skalarno polje označava se

U fM , ili U M, U M i t. d.

Ovdje je M promjenjiva tačka iz , U je broj (vrijednost skalarnog pola u tački M).Vektorsko polje označava se

A AM ,

gdje je M promjenjiva tačka iz , a A vektor (vrijednost vektorskog polja u tački M ).Analitičko zadavanje skalarnog polja ekvivalentno je zadavanju realne funkcije tri

promjenjive

U fx,y, z .

Zaista, svakoj tački Mx,y, z u oblasti definisanosti funkcije f odgovara određenavrijednost promjenjive U, a to znači da je u toj oblasti zadano stacionarno skalarno polje.

Vektorsko polje se analitički zadaje

A Px,y, z i Qx,y, z j Rx,y, zk ,

gdje su P, Q, R skalarne funkcije tri promjenjive x,y, z i predstavljaju projekcije promjenjivogvektora A na koordinatne ose.

Na primjer, izrazimo analitički vektorsko polje sile privlačenja iz primjera 3 (slika 1.).

C

y

z

m

Fr

x

Sila privlačenja jedinične mase u

tački C ima pravac radijus-vektora R,smjer suprotan smjeru radijus-vektorai intenzitet jednak m1

R2 .Zato je

F m1

R2

RR

mR

R3 ,

gdje je RR

jedinični vektor koji ima

Slika 1. pravac isti kao sila F, a znak minus ukazuje da vektori F iR imaju suprotne smjerove.Imajući u vidu da je R x i y j zk i R x2 y2 z2

dobije se analitički izraz za posmatrano vektorsko polje

F m x i y j zk

x2 y2 z23/2 .

Među skalarnim i vektorskim poljima mogu se izdvojiti neki specijalni oblici polja. Takose skalarno polje naziva ravanskim ako je u prostoru moguće izabrati takav dekartovkoordinatni sistem da veličina koja definiše polje ne zavisi od jedne koordinate (naprimjer, z).Skalarno ravansko polje može se zadati formulom U fx,y.

Vektorsko polje naziva se ravanskim ako je u prostoru moguće izabrati dekartovkoordinatni sistem takav da vektor polja ne zavisi od jedne koordinate (naprimjer,z ) i leži uravni gdje je ta koodinata konstantna (t.j. u ravni z const. ) Vektorsko ravansko polje možese zadati formulom A Px,y i Qx,y j .

Među skalarnim poljima mogu se takođe izdvojiti, kao specifična, sferna polja. Skalarnopolje naziva se sfernim ako skalarna veličina definisana poljem zavisi samo od rastojanjaizmeđu tačke i koordinatnog početka. Skalarno sferno polje zadaje se formulom

U f x2 y2 z2 .

Tako na primjer, modul sile privlačenja tačke Mx,y, z jedinične mase k masi m smještenoj ukoordinatnom početku, jeste skalarno sferno polje:

F m

x2 y2 z2 .

U matematičkoj teoriji polja važno svojstvo polja je njegova neprekidnost.Definition Skalarno polje U fM je neprekidno u tački M0,ako se za bilo koje 0može naći takva okolina tačke M0 da za sve tačke M koje pripadaju toj okolini je ispunjenanejednakost

|fM FM0| .

Dakle, skalarno polje U fM naziva se neprekidnim u tački M0, ako razlikafM fM0 teži nuli kad tačka M teži tački M0.

Ako je skalarno polje zadato analitički u dekartovom sistemu koordinata

U fx,y, z

onda je neprekidnost polja u tački M0x0,y0, z0 ekvivalentna neprekidnosti funkcije fx,y, z utoj tački.

Definition Vektorsko polja AM je neprekidno u tački M0 ako se za svako 0 možeizabrati takva okolina tačke M0, da za sve tačke iz te okoline vrijedi nejednakost:

AM AM0 .

Ako je polje zadato analitički

A Px,y, z i Qx,y, z j Rx,y, zk

onda je neprekidnost tog polja ekvivalentna neprekidnosti sve tri funkcije Px,y, z,Qx,y, z, Rx,y, z .

Tako je, na primjer, polje sile privlačenja iz primjera 3. neprekidno u cijelom prostoru osimu koordinatnom početku.

U matematičkoj teoriji polja izučavaju se samo opća svojstva polja i ne daje se konketnifizički smisao veličinama zadatim u polju. Rezultati dobijeni u općoj teoriji polja se zatim ufizici i tehnici primjenjuju na konkretna fizička polja, na primjer na elektromagnetno polje,temperaturno polje i druga.

Nivo površi skalarnog polja. Izvod po pravcu.

Posmatrajmo skalarno polje

U fx,y, z .

Definition Geometrijsko mjesto tačaka u kojima veličina U ima jednu istu vrijednost Cnaziva se nivo površ koja odgovara broju C.

Na primjer, za polje

U x y z

nivo površ koja odgovara vrijednosti U 1 je ravan

x y z 1,

a nivo površ koja odgovara vrijednosti U 2 je ravan

x y z 2,

i t.d.Za bilo koje sferno skalarno polje nivo površi su sfere sa centrom u koordinatnom početku.

Na primjer, za polje

U 1x2 y2 z2

nivo površ U 4 je sfera

1x2 y2 z2 4 ili x2 y2 z2 1

4 .

Posmatrajmo proizvoljnu tačku Mx,y, z skalarnog polja. Ako se iz te tačke premjestimo uneku drugu tačku M1x,y, z tada se vrijednost funkcije skalarnog polja može promijeniti -povećati ili smanjiti. Jasno je da premještanju tačke duž različitih krivih brzina te promjene jerazličita.Tako, na primjer, ako se tačka kreće duž krive koja leži na nivo površi tada funkcijaneće mijenjati svoju vrijednost. Ako se tačka kreće duž krive koja spaja tačke na različitimnivo površima, onda će se vrijednost funkcije mijenjati nekom brzinom. Da bi se ocijenilabrzina promjene funkcije pri premještanju tačke duž neke krive, uvodi se pojam izvodafunkcije po nekoj krivoj.

Sradnja brzina promjene funkcije po luku MM1 naziva se odnos prirasta funkcije (priprelasku od M do M1) i dužine luka MM1. Srednja brzina jednaka je

fM1 fM

MM1

.

Ipak, srednja brzina ne karakteriše u potpunosti brzinu promjene funkcije: na nekim dijelovimaluka MM1 ta je brzina mala, a na drugim velika.Određu- jući srednju brzinu ne može seocjeniti ponašanje funkcije u blizini proizviljne tačke M. U tom cilju uzimaju se sve kraći ikraći dijelovi luka MM1 i zatim prelazi na graničnu vrijednost ( zadržavajući kretanje tačke M1duž date krive, neograničeno se približujući tački M i dobija stvarna brzina promjene funkcijeu tački M (po datom luku) ili, drugim riječima, izvod po luku u tački M.

Da bi dali tačnu definiciju izvoda po luku, potrebno je prethodno uvesti pojam (usmjerenja)orjentisane krive.

Neka je data kriva L koja prolazikroz tačku M i na kojoj je izabranneki pravac kretanja (na primjer,taj pravac ukazuje strelica naslici 2.)

Slika 2.

Kriva sa izbrabim na njoj usmjerenjem naziva se usmjerena kriva.

Neka je L usmjerena kriva, a M i M1 dvije tačke na toj krivoj. Pod simbolom MM1

pedrazumjevat ćemo dužinu luka MM1, uzet sa znakom "plus" ako tačka M1 slijedi poslijetačke M ( uskladu sa izbranim usmjerenjem na krivoj L ) ili sa znakom "minus", ako tačka M1prethodi tački M.Definition Izvod po krivoj L u tački M naziva se granična vrijednost izraza

fM1 fM

MM1

kada tačka M1, krećući se po krivoj L, teži ka tački M.

Izvod po krivoj L označava se fL i na osnovu definicije je

fL

duž LM1Mlim fM1 fM

MM1

.

U brojniku razlomka pod znakom limesa je prirast funkcije tri peomjenjive. Ao je funkcijafM diferencijabilna, onda prirast funkcije možemo zamijeniti punim diferencijalom pravećipri tome grašku koja je beskonačno mala višeg reda od (gdje je rastojanje između tačakaM i M1). Zato je

fL

duž LM1Mlim

fx x f

y y fz z

MM1

. #

Na slici 3. vidi se da je y|MM1 | cos pa je

MM1

lim y

MM1

MM1

lim y|MM1 |

|MM1 |MM1

cos 1 cos

Analogno se dobija

MM1

lim xMM1

cos ,MM1

lim zMM1

cos

y

z

O

x

β 1β

∆y

M

L

Slika 3.

Kako je beskonačno mala višeg reda u odnosu na |MM1 | dobijamo

MM1

lim |MM1 | 0 .

Prelazeći sada na graničnu vrijednost u ref: tp1 , dobijamo

fL f

x cos fy cos f

z cos, #

gdje su parcijalni izvodi fx , f

y , fz u tački M, a , , uglovi koje tangenta na krivu L u

tački M gradi sa koordinatnim osama. Iz formule ref: tp2 može se izvesti slijedećizaključak:

Izvod po krivoj L u tački M ne zavisi od oblika krive nego samo od usmjerenja tangentnogvektora na krivu L u tački M.

Zaista, ako kroz tačku M prolazedvije krive L1 i L2 i u tački Mimaju isti tangentni vektor,onda su izvodi funkcije f pokrivim L1 i L2 međusobnojednaki (slika4.).

Slika 4.

Zbog toga može se ubuduće govoriti ne o izvodu po krivoj, nego o izvodu po pravcu.Definition Izvod po pravcu vektora u tački M naziva se izvod po bilo kojjm krivoj L kojanprolazi kroz tačku M i dodiruje vektor .

Primjetimo da su specijalni slučajevi izvodi u pravcu koordinatnih osa: fx - izvod u pravcu

vektora i, fy - izvod u pravcu vektora j , f

z - izvod u pravcu vektora k , gdje su i , j , kortovi na koordinatnim osama.

Gradijent skalarnog polja

Neka vektorska polja (ne sva) su u tijesnoj vezi sa skalarnim poljima. Relacija između tadva tipa polja uspostavljena je pomoću "gradijenta"- vektora koji igra značajnu ulogu uskalarnom polju. Neka je skalarno polje definisano skalarnom funkcijom fx,y, z koja jediferencijabilna u posmatranoj oblasti.

Definition Gradijent gradf date skalarne funkcije fx,y, z je vektorska funkcija definisanasa

gradf fx i f

y j fz k

U fizici i nženjerstvu dosta je popularan diferencijalni operator

x i

y j z k ,

(čita se "nabla"), pa se može pisati

gradf f fx i f

y j fz k .

Intenzitet vektora gradf je

grad f fx

2 fy

2 fz

2

Na primjer, ako je fx,y, z 2x yz 3y2, tada je gradf f 2 i z 6y j yk .

Imajući u vidu definiciju gradijenta lako se mogu dokazati slijedeće osobine vektora gradf:

grad f 0 , ako je f const.gradf g grad f grad ggrad f g g grad f f grad g

grad fg

g grad f f grad gg2 , ako je g 0

Gradijent karakteriše najbrži rast u skalarnom polju

Theorem Neka je fm fx,y, z skalarna funkcija koja ima neprekidne prve parcijalneizvode. Tada gradf postoji i njegov pravac i smjer je nazavisan od izbora koordinatnogsistema u prostoru. ako je u nakoj tački M gradM nije nula vektor, onda on određujepravac najbržeg rasta funkcije f u tački M.

Dokaz. Nađimo izvod od fx,y, z u pravcu nekog vektora a i b j ck . Pravacvektora određen je cosinusima uglova koje taj vektor gradi sa koodrinatnim osama:

cos aa2 b2 c2

, cos ba2 b2 c2

, cos ca2 b2 c2

.

Sada je

f

fx cos f

y cos fz cos

a2 b2 c2 gradf

. #

Kako je skaarni produkt dva vektora jednak proizvodu njihovih modula i kosinusa ugla kojimeđusobno grade, onda se posljednja jednakost može zapisati

f

|gradf| cos gradf,

|gradf| cos gradf, . #

Desna strana jednakosti ref: tp4 je projekcija geadijenta na pravac . Dakle, izvod u pravcu jednak je projekciji gradijenta na taj pravac. Odavde je jasno da, od izvoda u tački M uraznim pravcima, izvod u pravcu gradijenta je najveći i jednak je modulu gradijenta. Time seotkriva smisao gradijenta: pravac vektora gradf je pravac u kojem funkcija skalarnog poljafx,y, z raste najvećom brzinom.

Uočimo da u pravcu koji je suprotan pravcu gradijenta, funkcija opada najvećom brzinom.

Dakle, gradijent je vektor koji je u svakoj tački skalrnog polja potpuno definisan(intenzitet, pravac i smjer). Na taj način sam gradijent obrazuje novo polje koje je vektorsko.Kaže se: skalarno polje je rodilo (formiralo, obrazovalo) vektorsko polje.

Primjer 1. Dato je skalarno polje u x3y2

z . U kom pravcu funkcija polja najbrže raste akopolazimo iz tačke M1,2,1?

Rješenje. Gradijent u proizvoljnoj tački x,y, z:

grad u ux i u

y j uz k 3x2y2

z i 2x3yz j x3y2

z2 k .

Gradijent u tački M1,2,1 :

grad uM 12 i 4 j 4 k .

Vektor grad uM određuje pravac u kojem funkcija najbrže raste ako polazimo iz tačke M.Izvod u pravcu gradijenta je:

u max

grad uM 122 42 42 176 13.3

Gradijent je vektor normale na nivo površTheorem Neka je f diferencijabilna skalarna funkcija koja reprezentuje površS : fx,y, z c const. Tada ako je gradfM 0, gdje je M tačka na površi S, onda jegradfM vektor normale na S u tački M.

grad u

M τr

t

Dokaz. Postavimo kroz tačku Mliniju l koja leži na nivo površi Sf const. Kako funkcija u nemijenja svoju vrijednost kada se

tačka kreće po liniji l, to je fl 0.

Kako je izvod po krivoj l jednakizvodu po pravcu tangente ,

onda je f

0.

Slika 5.Kako je f

0 i grad f 0, onda koristeći formulu ref: tp4 :

f

grad f cos grad f, ,

zaključujemo da je ugao grad f, 900.

Primjer 2. Naći jedinični vektor normale na konusnu površ: z2 4x2 y2 u tačkiM1,0,2.

Rješenje. Konus je nivo površ f 0 za fx,y, z 4x2 y2 z2. Prema tomegradf 8x i 8y j 2zk , a u tački M, gradfM 8 i 4k .Sada je jedinični vektor normale

n 0 gradf|gradf|

25

i 15

k .

Sve tangente postavljene u tački M na krive koje leže u nivo površi nalaze se u jednoj ravni( ako je grad u 0 u tački M). Ta ravan naziva se tangentna ravan na nivo površ u tački M.Ako tačka Mx0,y0, z0 onda je vektor tangentne ravni:

grad ux0,y0, z0 ux x0,y0, z0 i uy x0,y0, z0 j u

z x0,y0, z0 k ,

a jednačina tangentne ravni S u tački Mx0,y0, z0 :

ux x0,y0, z0 x x0 uy x0,y0, z0 y y0 uz x0,y0, z0 z z0 0 .

Primjer 3. Napisati jednačinu tangentne ravni na konusnu površ: z2 4x2 y2 u tačkiM1,0,2

Rješenje. U primjeru 2. dobili smo gradf 8x i 8y j 2zk i gradfM 8 i 4k , pa jejednadža tangentene ravni u M :

8 x 1 0 y 0 4 z 2 0, odnosno 2x z 0 .

Primjetimo da u tački 0,0,0 ne postoji tangentna ravan na datu konusnu površ (jer jegradf0,0,0 0).

Vektorsko polje. Vektorske linije.

U svakoj tački prostora ili njegovog dijela određen je vektor v - kaže se da je zadatovektorsko polje. Vektor v M ja zadat ili se može izračunati, ima određen intenzitet i pravac.

Koordinatni oblik vektorskog polja je

v vx i vy j vz k ,

gdje je

vx vxx,y, z , vy vyx,y, z , vz vzx,y, z .

Kaže se još: v M je vektorska funkcija skalarnog argumenta.

Jedan od važnih pojmova vezanih za vektorsko polje je pojam vektorske linija polja.

Definicija. Vektorska linija stacionarnog vektorskog polja je krive linija čije tangente usvakoj svojoj tački imaju pravac vektora polja (slika 6.).

Slika 6.Ako je zadano polje neke sile, onda se vektorske linije tog polja nazivaju silnice tog polja.

Evo nekoliko primjera vektorskih linija.

1. U vektorskom polju sile privlačenja iz primjera 1. vektorske linije su prave usmjerene kakoodrinatnom početku.

2. U polju brzina pri stacionarnom kretanju tačnosti, vektorske linije su trajektorije kretanja

čestica tečnosti.

3. U polju gradijenta A grad u vektorska linija duž koje skalrna veličina u najbrže raste.Ta linija se naziva linija najbržeg rasta funkcije u.

Da bi našli analitički izraz za vektorsku liniju polja

A Px,y, z i Qx,y, z j Rx,y, zk ,

postupit ćemo na slijedeći način. Neka je parametarski oblik vektorske linije

x xt, y yt, z zt .

Tada vektor tangente u proizvoljnoj tački te linije polja ima oblik

xt i y

t j zt k .

Prema definiciji vektorske linije,taj vektor je kolinearan vektoru polja u tački x,y, z. Zato suodgovarajuće projekcije tih vektora proporcionalne:

xt

Px,y, z

yt

Qx,y, z

zt

Rx,y, z #

Iz definicije slijedi da je vektor v kolinearan sa diferencijalom d r dx,dy,dz vektorapoložaja tačke M, pa je uvjet kolinearnosti:

d r v 0 .

U skalarnom obliku:

dxvx

dyvy

dzvz

Iz ovog sistema diferencijalnih jednačina nalazimo vektorske linije.

Ako su vx, vy i vz neprekidne funkcije i imaju neprekidne parcijalne izvode i vektorv 0 (tj. bar jedan od vx, vy i vz je različot od nule), onda na osnovu teoreme o egzistencijii jedinstvenosti rješenja diferencijalnih jednadžbi, kroz svaku tačku M vektorskog prostoraprolazi jedna i samo jedna vektorska linija.

Protok vektorskog polja kroz površinu.

Posmatrajmo glatku ograničenu površ S koja se nalazi u nekom vektorskom polju A.Izaberimo na toj površi određenu stranu, koju nazovimo pozitivnom stranom; suprotnu stranupovrši nazovimo negativnom. Kaže se da je takva površ kod koje su izabrane pozitivna inegativna strana orjentisana površ. Neka je n0 jedinični vektor normale u tački M na površ S,pri čemu je taj vektor usmjeren od negativne ka pozitivnoj strani površi.

Posmatrajmo funkciju fM A n0. Ona je definisna u svim tačkama površi S. Ako jeA P i Q j Rk , i uglovi koje vektor n 0 zaklapa sa koordinatnim osama su redom , , (tj. n0 cos i cos j cosk ), tada je fM Pcos Qcos Rcos. Ta funkcija jeneprekidna na površi S.Zato postoji integral od FM po površi S. Taj integral definiše novipojam u vektorskom polju - protok vektorskog polja kroz površinu.

Definition Protokom vektorskog polja A kroz orjentisanu površinu S naziva se površinskiintegral skalarnog proizvoda A n0 po površi S, gdje je n 0 jedinični vektor normale na površS orjentisan od negarivne ka pozitivnoj strani površi S.

Ovdje je definicija protoka vaktorskog polja data za slučaj glatke površi. Ako je orjentisanapovrš S dio po dio glatka, tada se pod protokom vektorskog polja kror površ S podrazumjevaalgebarska suma protoka kroz svaki glatki dio površi S. Ako je površ S zatvorena, tada seobično vanjska strana pozitivnom, a unutrašnja negativnom. Na taj način, pod n 0 ( u slučajuzatvorene površi S ) podrazumjeva se jedinični vektor vanjske normale.

Razjasnimo fizički smisao protoka vektorskog polja u slučaju hidrodinamičkeinterpretacije tog polja.

Neka A P i Q j Rk brzina čestice u tački M. Razmotrimo protok tog polja kroz nekupovrš S u datom pravcu:

S

A n 0dS dimSi0

lim i1

n

A n 0MiSi

Svaki sabirak A n 0MiSi približno je jednak zapremini one količine tečnosti koja je prošla

kroz elementarnu površ Si u izabranom pravcu za jedinicu vremena. Zaista, smatrajućielementarnu površ Si približno ravnom imamo da je zapremina tečnosti koja je prošla kroz tupovršinu za veoma mali interval vremena t, jednaka zapremini cilindra čija je osnova Si aizvodnica ima pravac vektora A (u tački Mi) i brojno je jednaka A t, tj

Vi,t A t Si cos ,

gdje je ugao između vektora A i normale n 0.

Kako je A cos A n 0Mi

, onda se može pisati

Vi,t A n 0Mi Si t .

Količina tečnosti koja proteće kroz Si za jedinicu vremena jednaka je A n 0Mi Si , a

količina tečnosti koja za jedinicu vremena proteće kroz cijelu povr S, jednaka je približno

V i1

n

A n 0MiSi #

Gornja jednakost je približna jer smo pri njenom izvođenju smatrali da je elementarna površinaSi ravna, a vektor n 0 isti na cijeloj površi Si. Približna jednakost ref: tp6 je tačnija štosu dijametri površi Si manji, tako da u graničnom procesu (kad diamSi 0) ona prelazi utačnu jednakost, tj.

V S

A n 0 dS .

Dakle, u slučaju hidrodinamičke interpretacije vektorskog polja, protok kroz orjentisanu površS jednak je količini tečnosti koja za jedinicu vremena protekne kroz tu površ (u pravcu odnegativne ka pozitivnoj strani površi). Primjetimo da ako tečnost teče u suprotnom smjeru,protok će biti negativan. Ako na nekim dijelovima površi S tečnost teče u jednom, a na nekimu drugom smjeru, tada je protok kroz S jednak algebarskom zbiru protoka kroz dijelove tepovrši.

U slučaju zatvorene površi S, ako je protok kroz S pozitivan, to znači da iz dijela prostorakoji omeđava površ S ističe više tečnosti nego što utiče u nju. U tom slučaju se kaže da unutarS postoje izvori koji konstantno proizvode tečnost. Suprotno, ako je protok negativan, kaže seda unutar S postoje ponori koji gutaju tečnost.

Primjer. Dato je vektorsko polje A x y i y x j zk . Izračunati protokvektorskog polja kroz površinu sfere radijusa 1 i sa centrom u koordinatnom početku.

Rješenje. U datom slučaju normala na površ u svakoj tački podudara se sa radijus vektoromte tačke. Zato je jedinični vektor normale

n 0 R R

x i y j zkx2 y2 z2

x i y j zk ,

jer je x2 y2 z2 1 za svaku tačku na površi sfere. Sada je

A n0 x yx y xy z2 x2 y2 z2

pa je protok jednak

S

A n0dS Sx2 y2 z2dS

S1 dS S 4 .

Ovdje je ponovo korišteno da je na površi sfere x2 y2 z2 1.

Divergencija vektorskog polja

Protok vektorskog polja kroz zatvorenu površ S ponekad ukazuje na produktivnost togdijela V prostora koji je ograničen sa S. To se objašnjava tim da ako se dato vektorsko poljeposmatra kao polje brzina čestica tečnosti koja se kreće, onda je protok kroz S jednak količinitečnosti "proizvedenoj" unutar V.

Uzevši odnos protoka kroz S i zapremine V, dobijamo srednju produktivnost oblastiV. Ipak, srednja produktivnost još dovoljno dobro ne karakteriše intenzivnost vektorskog poljau okolini neke tačke date oblasti: neki dijelovi posmatrane oblasti V mogu biti produktivniji oddrugih. Zato da bi se ocijenila produktivnost u blizini bilo koje tačke M, koja leži unutaroblasti V, potrebno je sve manju i manju oblast koja okružuje tačku M. U graničnom procesu(pri stezanju oblasti V u tačku M) dobija se veličina koja dobro karakteriše "produktivnost"vektorskog polja u okolini tačke M. Ta veličina naziva se divergencija polja u tački M.

Definition Divergencijom vektorskog polja A u tački M naziva se granična vrijednostodnosa protoka kroz površinu koja okružuje tačku M i zapremine oblasti ograničene tompovršinom. Granična vrijednost se određuje pri stezanju površi u tačku M :

divA VMlimS

A n0 dS

V .

One tačke vektorskog polja u kojima je divergencija pozitivna nazivaju se izvorima, a oneu kojima je divergencija negativna nazivaju se ponori.

Neka je vektorsko polje A zadano analitički A P i Q j Rk , gdje su P,Q,R skalarnefunkcije koje imaju neprekidne parcijalne izvode prvog i drugog reda. Potražimo analitičkiizraz za divergenciju u tački M.

Opišimo oko tačke M proizvoljnu zatvorenu površ i označimo sa V onaj dio prostora kojiograničava ta površ (slika 7.)

y

z

O

x

M Mcp

v

S

Slika 7.Tada je

divA VMlimS

A n0 dS

V VMlimSPcos Qcos RcosdS

V ,

gdje su , , uglovi koje vanjska normala gradi sa koordinatnim osama. Koristeći formuluGauss-Ostrogradskog površinski integral napišimo u trojni integral:

divA VMlim

V

Px Q

y Rz dV

V .

Na trojni intrgral primjenimo teorem o srdnjoj vrijednosti. Prema toj teoremi unutar V postojitačka Msr takva da je

V

Px Q

y Rz dV V P

x Qy R

z Msr

:

Zato je

divA VMlim

V

Px Q

y Rz dV

V VMlim

V Px Q

y Rz Msr

V

VMlim P

x Qy R

z Msr

.

Kada se tijelo V steže u tačku M, tada se i svaka njegova unutrašnja tačka (pa tako i tačka Msr)teži M. Ali tada, zbog neprekidnosti funkcije P

x Qy R

z njena vrijednost u tački Msr težinjenoj vrijednosti u tački M. Zato je

divA Axx

Ay

y Azz . #

gdje se svi parcijalni izvodi računaju u tački M. Formula ref: tp7 se i koristi za

izračunavanje divergencije vektorskog polja.

Ako jeS

Pcos Qcos RcosdS protok vektorskog pola A P i Q j Rk ,

onda koristeći formulu ref: tp7 može se formula Gauss-Ostrogradskog

S

Pcos Qcos RcosdS

V

Px Q

y Rz dV ,

napisati u tzv. vektorskom obliku

S

A n 0dS

V

divA dV .

Dakle, protok vektorskog polja A kroz zatvorenu površinu jednak je trojnom integraludivergencije divA po oblasti koja je ograničena tom površinom. Naravno, ova jednakost jetačna samo u slučaju kad je divA neprekidna u svim tačkama oblasti V.

Primjer. Koristeći formulu Gauss-Ostrogradskog izračunati protok vektorskog poljaA x y i y x j zk kroz površinu sfere radijusa 1 i sa centrom u koordinatnompočetku.

Rješenje. Izračunajmo prvo divergenciju datog vektorskog polja:

divA x yx

y xy z

z 1 1 1 3.

Sada je protok jednak

S

A n 0dS

V

divA dV

V

3dV 3V 3 43 .

Uvedena veličina divergencija vektorskog polja jeste skalar. Kako se usvakoj tački Mvektorskog polja A može izračunati skalarna veličina divAM, onda se kaže da je vektorskopolje A generisalo skalarno polje divA. U tehnici se još često kaže da divergencija pretstavljaizdašnost izvora u tački, odnosno gustinu fluksa.

Za oznaku se koristi i Hamiltonov operator "nabla"

x

y z ,

pa ako je A Ax i Ay j Az k , piše se

A Axx

Ay

y Azz .

Koristeći zapis ref: tp7 i osobine izvoda, lako se mogu dokazati slijedeće osobine:

div u v divu divv ,

div f v f divu v grad f , f skalar.

Cirkulacija vektorskog polja po konturi

Posmatrajmo vektorsko polja A P i Q j Rk i zatvorenu konturu l koja se nalazi utom polju.Definition Krivolinijski integral

l

Pdx Qdy Rdz

naziva se cirkulacija vektorskog polja po konturi l.

Jasno je da cirkulacija zavisi i od pravca kretanja po konturi: promjenom pravca kretanjapo konturi mijenja se i znak cirkulacije.

Ako je dato neko vektorsko polje A Ax i Ay j Az k , onda se još može pisati

l

Axdx Aydy Azdz l

A d r ,

Ako je vektorsko polje A polje sile A tj. vektor A je sila, onda linijski integral izražava radsile polja pri premještanju tačke po krivoj l.

Posmatrajmo čvrsto tijelo koje rotira ugaonom brzinom oko neke ose, na primjer okoz-ose (slika 8.)

y

Rr

z

O

x

0RRrr

−

0Rr

ωr

Kr

vr

Brzina A svake taćke tijela koje rotirazavisi od položaja te tačke.Posmatrajmovektorsko polje brzina.Označimo sa vektor čiji je intenzitetjednak ugaonoj brzini , pravac z-osei smjer takav da tijelo vrši pozitivnu ro-

taciju. Tada je k . Vektor brzine

A u bilo kojoj tački Mx,y, z

okomit je na i na R R0, gdje je R

radijus vektor tačke, a R0 radijusSlika 8. vektor centra kružnice pokojoj se kreće tačka M. Kako je

A R R0 R R0 R .

Kako je A R y i x j , onda cirkulacija vektora A po kruguC : x acos, y b sin, z 0, je

C

A d r

C

y dx x dy

0

2

a sina sin acos acos d

2 a2 2S ,

gdje je S površina kruga. Primjetimo da cirkulacija po bilo kojem krugu mkoji leži u Oxy ravnije jednaka 2S, čak i kad centar tog kruga ne leži u koordinatnom početku.

Gustina cirkulacije vektorskog polja. Rotorvektorskog polja.

Posmatrajmo vektorsko polje A P i Q j Rk , gdje su funkcije P, Q, R neprekidne iimaju neprekidne parcijalne izvode prvog reda u tački M0 i u njenoj okolini. Postavimo kroztačku M0 neku površinu S i na toj površi postavimo zatvorenu konturu l, koja okružava tačkuM0 (slika 9.).

y

z

O

x

M0

nr

σ

t

s

Izabravši određeni pravac na toj konturi,izračunajmo cirkulaciju

l

A d l .

Jasno je da taj integral zavisi od konturel i, uopšte govoreći, teži ka nuli kad sekontura l steže u tačku M0.

Slika 9.

Definition Odnos cirkulacije po konturi l i površine onog dijela površi S, koja jeograničena datom konturom, naziva se srednja gustina cirkulacije.

Dakle, srednja gustina cirkulacije jednaka je

lA d l .

Ako se kontura l steže u tačku, ali tako da kontura cijelo vrijeme ostaje na površi S, onda ipovršina teži ka nuli. Pri tome granična vrijednost srdnje gustine cirkulacije naziva segustina cirkulacije u tački M0 po površi S. Dakle, gustina cirkulacije jednaka je

lM0

lim

lA d l . #

Da bi izračunali gustinu cirkulacije u tački M0 transformišimo linijski integral u ref: tp9 upovršinski (koristeći formulu Stokesa) a zatim primjenimo teoremu o srednjoj vrijednosti.Dobijamo

lM0

lim

lA d l

lM0

lim

lPdx Qdy Rdz

diam0

lim S

Ry

Qz cos P

z Rx cos Q

x Py cos

d

diam0

limRy

Qz cos P

z Rx cos Q

x Py cos

Msr

.

Uglovi , i određuju pravac normale na površ S (pravac normale je određen tako da je usaglasnosti sa pravcem obilaska konture l), a tačka Msr je naka tačka iz oblasti . Pri stezanjupovrši , tačka Msr teži ka tački M0, a vrijednost funkcije

Ry

Qz cos P

z Rx cos Q

x Py cos

u tački Msr teži ka vrijednosti te funkcije u tački M0 (po pretpostavci prvi izvodi funkcija P,Q iR su neprekidni i takođe su i cos, cos, cos neprekidne funkcije tačke M (pretpostavlja seda je površ S glatkau nekoj okolini tačke M0).

Dakle, gustina cirkulacije u tački M0 jednaka je

Ry

Qz cos P

z Rx cos Q

x Py cos. #

Iz izvedene formule zaključuje se da gustina cirkulacije u tački M0 zavisi:-od zadanog vektora A P i Q j Rk (jer u izrazu za gustinu cirkulacije ulaze prvi

izvodi tih funkcija);-od vektora normale n na površ S u tački M0 (jer u izrazu za gustinu cirkulacije ulaze

cos, cos, cos koji određuju pravac normale).Istovremeno formula ref: tp10 govori da gustina cirkulacije u tački M0 ne zavisi od

površine S, nego samo od vektora normale na tu površ. Drugim riječima, ako kroz tačku M0prolazr dvije razlićite površi S1 i S2 koje imaju isti vektor normale u toj tački, onda je gustina

cirkulacije u tački M0 na svakoj od površi ista. Zato se može govoriti ne o gustini cirkulacijepo površi, nego o gustini cirkulacije u pravcu vektora n .

Gustina cirkulacije vektorskog polja A u tački M0 u pravcu vektora n naziva se gustinacirkulacije po bilo kojoj površi S koja u tački M0 ima normalu n .

Definition Vektor čije su projekcije na ose:Azy

Ay

z , Axz Az

x , Ay

x Axy

naziva se rotor vektora A i označava simbolom rotA .

Obzirom na uvedenu definiciju, vektor rotA moguće je računati

rotA

i j kx

y

z

Ax Ay Az

.

Dakle, gustina cirkulacije vektorskog polja A u tački M0 u pravcu vektora n jednaka je

rotA n 0 .

Kako je rotA n 0 rotA cos rotA, n 0 , i desna strana predstavlja projekciju rotora napravac n , zaključujemo da je gustina cirkulacije u pravcu n jednaka projekciji rotora na tajpravac.

Odavde je jasno da je gustina cirkulacije u tački M0 najveća u pravcu rotora i tada je brojnojednaka rotA . Na taj način uočava se smisao rotora: to je vektor u pravcu kojeg je gustina

cirkulacije u datij tački najveća. rotA u datoj tački jednak je najvećoj cirkulaciji u toj tački.

Dakle, rotor polja A

rotA Azy

Ay

z i Axz Az

x j Ay

x Axy k #

je potpuno određen (po veličini, pravcu i smjeru) u svakoj tački polja. Na taj način sam rotorobrazuje novo vektorsko polje.

Koristeći uvedene pojam rotora vektora, dobro poznata formula Stekesa iz matematičkeanalize može se zapisati u tzv. vektorskoj formi

l

Ad r

S

rotA n 0 dS .

Kaže se da je cirkulacija vektora duž zatvorene konture jednaka je protoku rotora vektora krozpovrš ograničenu tom konturom.

Pimjer 1. Izračunati rotor vektorskog polja A x2 y2 i y2 z2 j z2 x2k utački 0,0,1.

Koristeći formulu ref: tp11 dobijamo

rotA 2z i 2x j 2yk ,

specijalno, u tački 0,0,1 dobijamo

rotA 2 i .

Znači, gustina cirkulacije u tački 0,0,1 je najveća u pravcu vektora 2 i . To znači, akobiramo kontiure istih dimenzija oko tačke 0,0,1, koje leže u različitim ravnima, onda jecirkulacija najveća za konturu smještenu u ravni Oyz.

Primjer 2. Posmatrajmo polje brzina tačaka čvstog tijela koje rotira ugaonom brzinom 0oko ose Oz (slika 8.). Kako je brzina

A 0y i 0x j ,

onda je u svakoj tački

rotA 0 0k 20 k 2 .

Dakle, rotor brzine dva puta je veći od ugaone brzine.

Pravila računanja divergencije i rotora

Divergancija i rotor su diferencijalni operatori i mogu se računati po formulama ref: tp7i ref: tp11 . Koristeći osobine operacije računanja prvog izvoda funcije jedna promjenjive,lako se mogu dokazati slijedećA pravila računanja:

1. Divergencija i rotor konstantnog vektora jedaki su nuli.Zaista, ako je A a i b j ck konstantan vektor, onda se neposrednim računanjem

dobija divA 0 i rotA 0.

2. Divergencija i rotor imaju svojstvo linearnosti.To znači, ako je C aA bB, gdje su A i B vektorska polja, a a i b konstante, onda

divC a divA b divB

rotC a rotA b rotB

3. a) Neka je u skalarno polje, a A vektorsko polje. Tada je proizvod uA vektorsko polje, pavrijede slijedeće formule

div uA grad u A u divA

rot uA grad u A u rotA

b) Neka su A i B dva vektorska polja. Tada vektorski proizvod A B definiše novovektorsko polje za koje se lako provjerava da vrijedi

div A B B rotA A rotB

Zadaci.1) naći velićinu i pravac rotv u tački M1,2,2 ako je v y

z i zx j x

y k .2) Naći rad polja u 1

y i 1z j 1

x k duž pravca između tačaka M1,1,1 i N2,4,8 .

3) Izačunati cirkilaciju polja u y3 i x3 j k duž krugax2 y 12 1

z 0.

4) Naći rad polja v eyz i ezx j exy k duž pravolijskog puta između tačaka O0,0,0i M1,3,5 .

(Rez. 34 3 e4 12e2

5) Pomoću Štoksove formule izračunati cirkulaciju vektora

u y i x j ck , c konst. duž kruga C :x2 y2 1,

z 0.

Neka specijalna vektorskih polja

Vektorska polja su najčešće složena. To znači da veličine divergencija i rotor imajurazličite vrijednosti od tačke do tačke vektorskog polja. Ipak među vektorskim poljima moguse uočiti neka koja imaju neku karakteristiku istu u svim tačkama polja.

1 Solenoidno polje

Ako je u svim tačkama neke oblasti G divergencija vektorskog polja A zadanog u G jednaknuli, onda se kaže da je polje A solenoidno u toj oblasti.

Zbog divA 0 za solenoidno polje se još kaže da je bezizvorno polje.Na primjer, polje sile privlačenja F mR

R3 je solenoidno u bilo kojoj oblasti G koja ne

uključuje koordinatni početak u kojem je smještena masa m koja formira silu polja. Zaista,kako je

F mx

x2 y2 z23i my

x2 y2 z23j mz

x2 y2 z23k ,

neposrednim računanjem dobijamo divF 0. U tački 0,0,0 veličina divF nije definisana.Theorem Da bi vektorsko polje zadato u oblasti G bilo solenoidno, potrebno je i dovoljnoda je protok kroz bilo koju zatvorenu površinu, koja pripada G, jednak nuli.

Da je uvjet dovoljan slijedi iz same definicije divergencije, a da je uvjet potreban izteoreme Gauss-Ostrogradskog.

Primjer. Pri stacionarnom kretanju nestišljive tečnosti polje brzina je solenoidno. U ciljudokaza posmatrajmo proizvoljnu zatvorenu površ S koja se nalazi u tom polju. Zbog uvjetanestišljivosti, količina tečnosti koja dolazi untar površi S za jedinicu vremena, jednaka jekoličini tečnosti koja se udaljava za isto vrijeme iz oblasti ograničene površinom S. Dakle,protok kroz proizvoljnu zatvorenu površinu u tom polju jednak je nuli, što znači da jedivergencija polja jednaka nuli u svim tačkama. Dakle stacionarno polje brzina nestišljivetečnosti koja se kreće je stacionarno.

2. Bezvrtložno polje

Ako je u svim tačkama vektorskog polja A rotor jednak nuli, polje se naziva bezvrtložnim.

Oblast V naziva se jednostruko povezana onlast ako na svaku zatvorenu konturu kojapripada oblasti V je moguće pokriti s povši koja cijela pripada V. Primjeri jednostrukopovezanih oblasti su: cio prostor R3, unutrašnjost kugle, kugla sa svojom granicom, cioprostor bez jedne tačke. Prostor iz kojeg su izuzete sve tačke jedne prave nije jednostrukopovezana oblast. Takođe ni torus nije jednostruko povezana oblast.

Theorem Da bi vektorsko polje A bilo bezvrtložno, potrebno je i dovoljno da je cirkulacijapo bilo kojoj konturi koja leži u oblasti V jednaka nuli.

Dokaz. Uvjet je dovoljan. Neka je lAd l po bilo kojoj zatvorenoj konturi l koja leži u V.

Dokažimo da je rotA 0 u svakoj tački oblasti V.Pretpostavimo suprotno, neka postoji tačka M0 za koju je rotA

M0 0. Neka je npr.

rotAM0

a 0. Postavimo površ P kroz tačku M0 okomito na vektor rotAM0

(slika

10.)

(rot Ar

)

t M0 σ

M0nr

p

Označimo sa n normalu na

ravan P, i rot n A projekcijurotora na tu normalu.

rot n A je skalarna funkcijadefinisana u tački M0 i unjenoj okolini. U samojtački M0 vrijedi

rot n AM0

rotAM0

a

Kako je rotA neprekidna vektorska funkcija (jer komponente vektora A, po pretpostavci, imajuneprekidne parcijalne izvode prvog reda), onda je i rot n A neprekidna funkcija. Zato se okotačke M0 može opisati takva okolina (na površi P), da se u cijeloj toj okolini vrijednostfunkcije rot n A razlikuje od rot n A

M0za manje od a

2 . Ako je l kontura te okoline, onda

primjenjujući teoremu Stokesa u vektorskoj formi, dobijamo

lAd l

rot n Ad a2 0,

gdje je oblast ograničena konturom l. Na taj način, pretpostavivši da je rotA 0 bar u jednojtački, dolazi se ko kontradikcije. Dakle, ako je

lAd l 0 po bilo kojoj konturi, tada je

rotA 0.Uvjet je potraban. Neka je rotA 0 u svim tačkama oblasti V. Posmatrajmo proizvoljnu

zatvorenu konturu L koja leži u oblasti V, i dokažimo da je

L

Ad l 0 .

U tom cilju nasadimo na L površ S. Kako je oblast V jednostruko povezana, onda možemoizabrati S tako da cijela pripada V. Primjenjujući teoremu Stokesa u vektorskoj formi,dobijamo

L

Ad l S

rot n AdS 0

U posljednjoj jednakosti korišten je uvjet rotA 0, pa je i projekcija rotora na n identičkijednaka nuli. Dakle, ako je rotA 0, onda je i

LAd l 0 za proizvoljnu konturu L. Time je

teorema dokazana.

Neka je zadato vektorsko polje A. Kaže se da L

Ad l ne zavisi od puta integriranja ako za

bilo koje dvije tačke M1 i M2 iz polja veličina integrala po luku M1M2 ne zavisi od oblika lukanego samo od njegovih krajnjih tačaka.

Theorem Neka je zadato vektorsko polje u jednostruko povezanoj oblasti. Da integral

LAd l ne bi zavisio od puta integriranja, potrebno je i dovoljno da polje A bude bezvrtložno.

Dokaz. Uvjet je dovoljan. Neka je rotA 0. Tada je L

Ad l 0 za bilo koju zatvorenu

konturu L. Uzmimo dvije proizvoljne tačke M1 i M2 i spojimo ih sa dva različita puta M1PM2i M1QM2. Ako označimo sa L cijelu zatvorenu konturu M1PM2QM1, dobijamo

L

Ad l 0 M1PM2

Ad l M2QM1

Ad l 0 #

Kako je

M2PM1

Ad l M1PM2

Ad l ,

onda se jednakost ref: tp12 može prepisati

M1QM2

Ad l M1PM2

Ad l 0 ,

ili

M1QM2

Ad l M1PM2

Ad l .

Na taj način dokazana je nezavisnost integrala od puta.

Uvjet je potreban. Neka integral L

Ad l ne zavisi od puta. Tada je integral po bilo kojojzatvorenoj konturi C jednak nuli a tada je, prema prethodnoj teoremi, rotA 0.

Primjer 1. Polje A 3x2y2z 3x2 i 2x3yz j x3y2 3z2k definisano u svimtačkama prostora Oxyz je bezvrtložno.

Računanjem se provjerava da je rotA 0.

Primjer 2. Polje sile privlačenja koje tvori masa m smještena u koordinatnom početku,takođe je bezvrtložno, što se direktno provjerava računanjem rotA.

3. Potencijalno polje

Definition Vektorsko polje A naziva se potencijalnim ako postoji takvo skalarno polje

A grad .

Funkcija se tada naziva potencijal vektorskog polja A.

Slijedeća teorema daje uvjete potencijalnosti vektorskog polja A P i Q j Rk , gdjesu P,Q,R neprekidne funkcije sa neprekidnim parcijalnim izvodima prvog reda.

Theorem Da bi polje A bilo potencijalno, potrebno je i dovoljno da ono bude bezvrtložno.

Dokaz. Uvjet je potreban. Neka je A grad x i

y j z k . Izračunavajući

neposredno rotA i koristeći pri tom poznatu iz analize teoremu o jednakosti drugih mješovitihizvoda 2

xy , 2yx i t. d. , dobijamo

rotA 2zy

2yz i 2

xz 2zx j 2

yx 2xy k 0.

Uvjet je dovoljan. Neka je rotA 0. Tada L

Ad l ne zavisi od puta integriranja L, a tada

podintegralna funkcija A d l je totalni diferencijal neke funkcije od tri promjenjive. Problemse, dakle, sve na traženje funkcije tri promjenjive ako je poznat totalni diferencijal te funkcije.Za određivanje potencijala , koriste se veze

x P,

y Q , z R .

Theorem Da bi izraz Pdx Qdy Rdz bio totalni diferencijal neke funkcije x,y, z,potebno je i dovoljno da je rotor vektorskog polja P i Q j Rk identički jednak nuli.

Dakle, u potencijalnom polju linijski integral, u granicama od tačke M1 do tačke M2 odtotalnog diferencijala funkcije x,y, z, jednak je razlici vrijednosti te funkcije u tačkama M2i M1.

Ako je x,y, z potencijal polja neke sile, tada razlika potencijala u tačkama M2 i M1predstavlja veličinu rada koji vrši sila polja pri premještanju jedinične mase iz tačke M1 u M2.U fizici i tehnici kaže se da M2 M1 predstavlja razliku potencijala.

Primjer. Dato je polje sile privlačenja koje izaziva masa m0 smještena u koordinatnompočetku. Naći rad koji vrši polje pri premještanju tačke M jedinične mase iz položajaM1x1,y1, z1 u položaj M2x2,y2, z2.

Sila polja data je sa

F m0x i y j zkx2 y2 z23/2

i lako se provjerava da je to potencijalno polje. Funkcija

m0

x2 y2 z21/2

je potencijal tog polja. Razlika vrijednosti te funkcije u tačkama M2 i M1 daje veličinu radapolja pri prelasku jedinične mase iz M1 u M2.

Zadaci.1) Pokazati da je vektorsko polje A yz i xz j xyk potencijalno i naći njegov

potencijal.

2) Naći potencijal vektorskog polja A 3x2 2xy i x2 2y z j y 3z2k .rez. x,y, z x3 x2y y2 zy z3 C

3) Naći funkciju ako je dat njen totalni diferencijald 3x2y2z 3x2 i 2x3yz j x3y2 3z2k

rez. x3 x3y2z z3 C