Upload
istanbul2012
View
42
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
verovatnoca
Citation preview
21
2. SLUĈAJNE PROMENLJIVE I NJIHOVE RASPODELE
Posmatrajmo eksperiment bacanja kocke sa stranicama obojenim različitim bojama. Svakoj boji moţemo
pridruţujemo neki broj. Na primer:
bela → 1, ţuta → 2, crvena → 3, narandţasta → 4, zelena → 5, plava → 6
Na ovaj način smo izvršili preslikavanje boja u brojeve, pri čemu moţemo definisati jednu promenljivu
koja upravo poprima ove numeričke vrednosti.
Definicija II - 1 Slučajna promenljiva X je preslikavanje skupa elementarnih dogaĎaja Ω nekog
eksperimenta u skup realnih brojeva
:X (II-1)
Označimo sa D skup svih mogućih vrednosti slučajne X. Tada vaţi D .
Na sledećoj slici prikazano je preslikavanje pet elemenata iz skupa Ω na brojnoj pravoj.
Preslikavanje koje se pominje u prethodnoj definiciji ne mora biti bijektivno. Na primer, u eksperimentu
bacanja kocke, moţemo definisati promenljivu X tako da je 0X ako je dobijen paran broj i 1X ako
je dobijen neparan broj. Ovde se po tri elementarna dogaĎaja preslikavaju u jedan isti realan broj.
Slučajne promenljive označavamo velikim slovima X, Y, Z, …, a njihove vrednosti odgovarajućim malim
slovima x, y, z, …
Primer II - 1
1) Bacamo obojenu kocku. Skup elementarnih dogaĎaja je = {bela, ţuta, crvena, narandţasta, zelena,
plava}. Pridruţimo svakoj boji iz skupa redom sledeće vrednosti iz skupa D = {1,2,3,4,5,6}. Na taj
način dolazimo do sledećeg preslikavanja: X(bela)=1, X(ţuta)=2, X(crvena)=3, X(narandţasta)=4,
X(zelena)=5, X(plava)=6.
2) Bacamo dve kocke, crvenu i zelenu, čije su stranice označene tačkicama od 1 do 6. Prostor
elementarnih dogaĎaja je = {(1,1),(1,2),(1,3),...,(6,5),(6,6)} = {(a,b): a,b{1,2,3,4,5,6}}.
Definišemo tri različite slučajne promenljive
a) X = broj tačkica na kockama, D = {2,3,4,...12}; npr. X((1,3)) = 4
b) Y = razlika broja tačkica na crvenoj i zelenoj kocki, D = {-5,-4,-3,...5}; npr. Y((1,3)) = -2
c) Z = proizvod broja tačkica na crvenoj i zelenoj kocki, D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16,
18, 20, 24, 25, 30, 36}; npr. Z((5,3)) = 15
3) Studentima u učionici moţemo npr. pridruţiti slučajne promenljive
a) X = mesec roĎenja
b) Y = visina zaokruţena na centimetre
22 Slučajne promenljive i njihove raspodele
4) Bacanje novčića jednom
Ω={P,G}; D={0, 1}, X(P)=1, X(G)=0
5) Bacamo novčić dok ne padne pismo. Prostor elementarnih dogaĎaja je Ω = {(P),(GP),(GGP),....};
Slučajna promenljiva je Y = broj bacanja dok ne padne pismo. Skup D svih mogućih vrednosti
slučajne promenljive X je D = = {1,2,3,...}. Preslikavanje je definisano sa Y((P))=1, Y((GP))=2,
Y((GGP))=3, ....
6) Pad cena odreĎenog artikla u % u Srbiji na dan 1.12.2009. Skup Ω = {skup svih padova cena datog
proizvoda u Srbiji na dan 1.12.2009.}; D=[0,100%]
Napomena II - 1
Slučajevi 1-4: Definisane slučajne promenljive su diskretne i konačne.
Slučaj 5: Slučajna promenljiva je diskretna sa beskonačno mnogo prebrojivih vrednosti.
Slučaj 6: Slučajna promenljiva je kontinualna. Ona na konačnom intervalu moţe da poprimi
beskonačno mnogo neprebrojivih vrednosti.
Funkcija definisana sa (II-2) zove se raspodela sluĉajne promenljive X.
Definicija II - 2 Diskretna sluĉajna promenljiva je ona slučajna promenljiva za koju je skup mogućih
vrednosti konačan ili prebrojiv.
Definicija II - 3 Neprekidna (kontinualna) sluĉajna promenljiva je ona slučajna promenljiva za koju
je skup mogućih vrednosti neprebrojiv skup.
Slučajna promenljiva X je neprekidna (kontinualna) ako je skup njenih mogućih vrednosti interval na
brojnoj pravoj, skup intervala realnih brojeva ili cela realna brojna osa.
Slučajnoj promenljivoj X moţe se pridruţiti verovatnoća PX, definisana na skupovima realnih brojeva, na
sledeći način
XP B P X B (II-2)
gde je B podskup skupa svih mogućih vrednosti slučajne promenljive X B D . Funkcija definisana sa
(II-2) naziva se raspodela sluĉajne promenljive X.
Funkcija XP B definisana je na skupu podskupova od , što predstavlja izvesno ograničenje u primeni
mnogih metoda matematičke analize u . Zbog toga se uvodi jedan nov pojam, funkcija raspodele F
slučajne promenljive X, koja u sebi sadrţi sve potrebne informacije o raspodeli verovatnoće, ali ima
pogodniji oblik jer predstavlja realnu funkciju realne promenljive.
MeĎutim, pre nego što definišemo funkciju raspodele (za diskretne i neprekidne slučajne promenljive),
posmatrajmo sledeći problem. Umesto podskupa B, posmatrajmo pojedinačne vrednosti x slučajne
promenljive X i odredimo verovatnoće njihovog pojavljivanja. Na taj način dolazimo do definicije
zakona raspodele.
2.1 ZAKON RASPODELE DISKRETNE SLUĈAJNE PROMENLJIVE
Definicija II - 4 Zakon raspodele (ili kraće raspodela) slučajne promenljive X definisana je za svaki
broj x relacijom:
( )p x P X x (II-3)
Ovdje se P X x čita “verovatnoća da slučajna promenljiva X poprimi vrijednost x ”.
Kada se radi o diskretnoj slučajnoj promenljivoj, zakon raspodele se moţe preformulisati na sledeći
način.
Slučajne promenljive i njihove raspodele 23
Definicija II - 5 Skup vrednosti diskretne slučajne promenljive 1 2, ,x x , zajedno sa odgovarajućim
verovatnoćama 1 2, ,p p predstavlja zakon raspodele verovatnoće slučajne promenljive.
Zakon raspodele obično se predstavlja u obliku šeme
1 2
1 2
~x x
Xp p
(II-4)
Zakon raspodele diskretne slučajne promenljive moţemo prikazati tabliĉno, analitiĉki i grafiĉki.
Primer II - 2 Uz pretpostavku jednako verovatnih ishoda, raspodele verovatnoće za diskretne slučajne
promenljive iz Primera II - 1 (slučajevi 1,2,4,5) iznose
Slučaj 1. 1/ 6 , 1,2,3,4,5,6
( )0 ,
x Dp x
x D
Slučaj 2.a)
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
p(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
1
6 7 , 2,3,4,...,12( ) 36
0 ,
x x Dp x
x D
Slučaj 2.b)
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
p(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
1
6 , 5, 4,...,0,...,5( ) 36
0 ,
y y Dp y
y D
Slučaj 2.c)
z 1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 15 16 18 20 24 25 30 36
p(z) 1/36 2/36 2/36 3/36 2/36 4/36 2/36 1/36 2/36 4/36 2/36 1/36 2/36 3/36 2/36 1/36 2/36 1/36
Slučaj 4) 1/ 2 , 0,1
( )0 ,
x Dp x
x D
24 Slučajne promenljive i njihove raspodele
Slučaj 5) 1/ 2 , 1,2,3,4,.....
( )0 ,
y yp y
y
Odgovarajući grafici raspodela verovatnoće prikazani su na sledećim slikama.
0 1 2 3 4 5 6 70.0
0.1
0.2
p(x
)
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 130.0
0.1
0.2
p(x
)x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 60.0
0.1
0.2
p(x
)
x
0 5 10 15 20 25 30 350.0
0.1
0.2
p(x
)
x
0 10.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
p(x
)
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
p(x
)
x
Napomena II - 2 Uvidom u analitičke izraze i odgovarajuće grafike za zakon raspodele diskretne
slučajne promenljive zaključujemo da je po pravilu 0P X osim u konačnom broju tačaka, kada je
0P X .
Vaţno:
( ) 1s D
p x
Slučaj 1 Slučaj 2a
Slučaj 2b Slučaj 2c
Slučaj 4 Slučaj 5
Slučajne promenljive i njihove raspodele 25
Kada se radi o neprekidnoj slučajnoj promenljivoj zakon raspodele nema smisla definisati, na šta
ukazuje sledeći primer.
Primer II - 3 Posmatrajmo neprekidnu slučajnu promenljivu koja predstavlja duţinu rada sijalice. Neka
ova slučajna promenljiva moţe uzeti bilo koju vrednost izmeĎu 0 i 1000 sati. Kako u intervalu 0,1000
ima neprebrojivo mnogo tačaka, ne postoji način da definišemo verovatnoću za svaku od pojedinačnih
vrednosti, što je bilo moguće u slučaju diskretne slučajne promenljive. Dakle, kod neprekidne slučajne
promenljive, zakon raspodele teţi nuli.
Na osnovu iskustva znamo da verovatnoća pregorevanja sijalice u baš tačno odreĎenom trenutku vremena
0,1000x iznosi 0, dok verovatnoća pregorevanja sijalice u nekom vremenskom intervalu
, 0,1000a b svakako se razlikuje od nule.
Da bi se prevazišao problem definisanja raspodele neprekidne slučajne promenljive, uvodi se funkcija
raspodele sluĉajne promenljive. Ova funkcija raspodele se sasvim ravnopravno moţe koristiti za
opisivanje kako diskretnih, tako i kontinualnih slučajnih promenljivih.
2.2 FUNKCIJA RASPODELE
Definicija II - 6 Neka je X slučajna promenljiva. Realna funkcija x F x definisana sa
( ) ,F x P X x x (II-5)
naziva se funkcijom raspodele sluĉajne promenljive X.
U literaturi se moţe naći i naziv kumulativna funkcija raspodele.
Za svaki x , ( )F x predstavlja verovatnoću da X ne poprimi vrednost veću od x .
Teorema II - 1 Osobine funkcije raspodele. Neka je F funkcija raspodele slučajne promenljive X. Tada
vaţi sledeće:
1. 0 1F x za svako x ,
2. F je monotono neopadajuća funkcija
3. ( ) 0F , ( ) 1F
Teorema II - 2 Neka je X slučajna promenljiva i neka je F njena funkcija raspodele, ( )F x P X x .
Ako su a i b realni brojevi takvi da je a b , tada je
1. ( ) ( ) ( )P a X b F b F a ,
2. ( ) ( ) ( )P a X b F b F a ,
3. ( ) ( ) ( )P a X b F b F a ,
4. ( ) ( ) ( )P a X b F b F a ,
5. ( ) ( ) ( )P X b F b F b ,
6. ( ) ( )P X b F b ,
7. ( ) 1 ( )P X a F a , ( ) 1 ( )P X a F a .
Sa a ( b ) označena je najveća vrednost promenljive X koja je strogo manja od a ( b ).
Na osnovu 5. tačke prethodne teoreme zaključujemo da je ( ) 0P X x ako i samo ako funkcija F ima
prekid prve vrste u tački x.
Napomena II - 3 Za diskretnu slučajnu promenljivu X funkcija raspodele se računa prema sledećem
izrazu
:
( )k
k
k x x
F x P X x P X x
(II-6)
26 Slučajne promenljive i njihove raspodele
Primer II - 4 Funkcije raspodele za disketne slučajne promenljive iz Primera II - 1 iznose
Slučaj 1.
Slučaj 2.a)
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
F(x) 1/36 3/36 6/36 10/36 15/36 21/36 26/36 30/36 33/36 35/36 1
Slučaj 2.b)
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
F(x) 1/36 3/36 6/36 10/36 15/36 21/36 26/36 30/36 33/36 35/36 1
Slučaj 2.c)
x 1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 15 16 18 20 24 25 30 36
F(x) 1/36 2/36 2/36 3/36 2/36 4/36 2/36 1/36 2/36 4/36 2/36 1/36 2/36 3/36 2/36 1/36 2/36 1/36
Slučaj 4)
Odgovarajući grafici su prikazani na sledećoj slici.
Napomena II - 4 Kod svake diskretne slučajne promenljive, funkcija raspodele ima onoliko skokova
koliko ima mogućih vrednosti slučajne promenljive.
Primer II - 5 Posmatrajmo slučaj 5. iz Primera II - 1. DogaĎaj je Y = „broj bacanja novčića dok ne
padne pismo“. Kolika je verovatnoća da se padne pismo iz najmanje dva a najviše pet pokušaja bacanja
novčića?
Rešenje:
(2 5) ( ) ( ) (5) (1)P Y F b F a F F
1
1
1 1(1)
2 2ii
F
,
5
1
1 1 1 1 1 1 31(5)
2 2 4 8 16 32 32ii
F
31 1 15
(2 5)32 2 32
P Y
Pre nego što damo izraz za izračunavanje funkcije raspodele za neprekidnu slučajnu promenljivu,
definisaćemo još jednu funkciju vezanu za ovaj tip slučajne promenljive – funkciju gustine verovatnoće.
Ova funkcija predstavlja analogiju zakonu raspodele koji, kao što znamo u potpunosti definiše samo
diskretnu slučajnu promenljivu.
x 1 2 3 4 5 6
F(x) 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 1
x 0 1
F(x) 1/2 1
Slučajne promenljive i njihove raspodele 27
0 1 2 3 4 5 6 70,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0F
(x)
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 130,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
F(x
)
x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 60,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
F(x
)
x
0 5 10 15 20 25 30 35 400,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
F(x
)
x
0 10,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
F(x
)
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
F(x
)
x
2.3 FUNKCIJA GUSTINE VEROVATNOĆE NEPREKIDNE SLUĈAJNE
PROMENLJIVE
Definicija II - 7 Neka je F funkcija raspodele slučajne promenljive X. Ako postoji nenegativna funkcija
0f x definisana na i takva da za svako x vaţi da
x
F x f t dt
(II-7)
kaţemo da je X neprekidna slučajna promenljiva. Funkcija f se naziva funkcijom gustine verovatnoće
slučajne promenljive X.
Napomena II - 5 Funkcija raspodele F neprekidne slučajne promenljive je neprekidna. Ako je i funkcija
gustine neprekidna na nekom intervalu, tada na tom intervalu vaţi da je
dF x
f xdx
(II-8)
28 Slučajne promenljive i njihove raspodele
U tačkama prekida, ako ih ima konačno ili prebrojivo mnogo, gustina verovatnoće se moţe definisati
proizvoljno.
Teorema II - 3 Neka je X neprekidna slučajna promenljiva sa funkcijom raspodele F i gustinom f. Tada
vaţi sledeće:
1. Za svako a , 0P X a ,
2. Za svako ,a b a b , verovatnoća da X pripada intervalima ,a b , ,a b , ,a b ili ,a b
dobija se kao odreĎeni integral gustine u granicama od a do b, tj.
b
a
P a X b f t dt (II-9)
pri čemu se jedan ili oba znaka < sa leve strane mogu zameniti sa ,
3. Za svako realno a,
a
P X a P X a f t dt
, a
P X a P X a f t dt
4. 1f t dt
Napomena II - 6 Interpretacija gustine. Verovatnoća da slučajna promenljiva X uzme vrednost u nekoj
okolini tačke x je proporcionalna gustini verovatnoće
P x X x x f x x (II-10)
Na osnovu prethodnih osobina grafici funkcija F i f kvalitativno izgledaju kao na sledećoj slici. S obzirom
na geometrijsku interpretaciju odreĎenog integrala, osenčana površina na slici brojno je jednaka
F x P X x za naznačeno x.
Funkcija gustine verovatnoće
neprekidne slučajne promenljive
Funkcija raspodele neprekidne
slučajne promenljive
Primer II - 6 Odrediti konstantu k tako da funkcija
21
kf x x
x
bude funkcija gustine raspodele neprekidne slučajne promenljive X, a zatim naći 1 1P X .
P X x
Slučajne promenljive i njihove raspodele 29
Rešenje. Iz uslova 1f t dt
, tj.
2
2
1 1 11
1 1
1
x
x
kf x dx dt k
x arctgxdt
x
.
Traţena verovatnoća je jednaka
1
2
1
1 1 1 1 11 1 1 1
1 4 4 2P X dx arctg arctg
x
.
Primer II - 7 Na sledećoj slici prikazana je funkcija gustine verovatnoće dubine jednog jezera. Površina
ispod krive ( )f x iznosi 1. Osenčana površina predstavlja verovatnoću da se slučajno izmerena dubina
jezera nalazi u opsegu od 2 do 4 metara: 4
2
(2 4) ( )P X f x dx .
0 1 2 3 4 5 6
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
f(x)
x
Primer II - 8 Slučajna promenljiva ne mora da bude ni
neprekidna ni diskretna. Neka je na primer
2
24
0, 0
, 0 1
, 1 2
1, 2
x
x
x
xF x
x
x
2.4 SLUĈAJNI VEKTORI
U ovom odeljku posmatraćemo više slučajnih promenljivih definisanih na istom skupu rezultata nekog
eksperimenta. UreĎeni skup takvih slučajnih promenljivih 1 2, , , nX X X nazivamo slučajnim vektorom
1 2
1
1/2
3/4
1/4
x
F(x)
30 Slučajne promenljive i njihove raspodele
dimenzije n. Da bi smo izbegli sloţene notacije, izloţićemo osnovne ideje na primeru 2n , tj. vektora
,X Y .
Situacije u kojima je potrebno posmatrati više slučajnih promenljivih su česte u primenama. Posebno su
značajni problemi koji se ne mogu svesti na proučavanje svake slučajne promenljive posebno. Na primer,
ako je X brzina automobila, a Y potrošnja benzina po jedinici preĎenog puta, tada očekujemo da izmeĎu
X i Y postoji zavisnost, koja se ne moţe ispitati ako se posebno ispitaju X i Y.
Definicija II - 8 Zajedniĉka funkcija raspodele sluĉajnog vektora ,X Y definiše se kao funkcija dve
promenljive
, , , , ,X YF x y P X x Y y x y (II-11)
Funkcije raspodele slučajnih promenljivih X i Y nazivaju se marginalnim funkcijama raspodele i
označavaju se sa XF i
YF :
,X YF x P X x F y P Y y (II-12)
Na osnovu zajedničke funkcije raspodele moţemo da odredimo verovatnoće ,P X Y B , gde je B
neki dvodimenzioni skup. Marginalne raspodele se mogu u potpunosti odrediti iz zajedničke funkcije
raspodele na sledeći način
,
,
, ,
, ,
X X Y
Y X Y
F x P X x P X x Y F x
F y P Y y P X Y y F y
(II-13)
Po prirodi, slučajni vektor ,X Y moţe biti neprekidni ili diskretni.
2.4.1 NEPREKIDNI SLUĈAJNI VEKTORI
Definicija II - 9 Ako postoji funkcija dve promenljive , ,X Yf takva da je, za svako 2,x y ,
, ,, ,
yx
X Y X YF x y f u v dudv
(II-14)
tada je ,X Y neprekidan sluĉajni vektor, a , ,X Yf zajedniĉka gustina sluĉajnog vektora ,X Y ,
dok je , ,X YF x y zajedniĉka funkcija raspodele.
Ako je zajednička gustina neprekidna, ona se moţe odrediti iz zajedničke funkcije raspodele pomoću
izraza:
2
, ,, ,X Y X Yf x y F x yx y
(II-15)
Verovatnoća da slučajni vektor ,X Y pripada nekom skupu 2B odreĎuje se prema formuli
,, ,X Y
B
P X Y B f x y dxdy (II-16)
Posebno, za ( , ) : ,A x y a x b c y d , ima se
,(( , ) ) ( , ) ( , )
b d
X Y
a c
P X Y A P a x b c y d f x y dxdy (II-17)
Zajednička gustina slučajnog vektora , ( , )X Yf x y zadovoljava sledeće uslove:
, ( , ) 0X Yf x y (II-18)
Slučajne promenljive i njihove raspodele 31
, ( , ) 1X Yf x y dxdy
(II-19)
Napomena II - 7 Zamislimo površinu u trodimenzionalnom koordinatnom sistemu čije visine iznad
osnove ,x y A iznose , ,X Yf x y . Tada je verovatnoća ,P x y A odreĎena zapreminom koju
gradi površina , ,X Yf x y nad osnovom A. Ovo je ilustrovano na sledećoj slici.
Primer II - 9 Neka je zajednička gustine verovatnoće za neprekidne promenljive X i Y data sa
2
,
6( ), [0,1] , [0,1]
( , ) 5
0, inačeX Y
x y x yf x y
Proveriti da li je ova funkcija zaista zajednička gustina verovatnoće. TakoĎe, treba izračunati verovatnoću
1 1,
4 4P X Y
.
Rešenje. Očigledno je , ( , ) 0X Yf x y za [0,1] , [0,1]x y . Dalje vaţi
11 1 1
2 3
,
00 0 0
11
2
00
6 6 1( , ) ( ) ( )
5 5 3
6 1 6 1 6 1 3 2( ) 1
5 3 5 2 5 3 5 5
y
X Y
y
x
x
f x y dxdy x y dxdy xy y dx
x dx x x
Pošto su ispunjena oba uslova (II-18)-(II-19), funkcija , ( , )X Yf x y zaista predstavlja zajedničku gustinu
verovatnoće. Dalje se ima
1 41 41 4 1 4
2 3
00 0 0
1 41 4
2
00
1 1 6 6 1, ( ) ( )
4 4 5 5 3
3 1 3 1 7( ) 0.010910 160 20 160 640
y
y
x
x
P X Y x y dxdy xy y dx
x dx x x
Grafik zajednička gustine verovatnoće prikazan je na sledećoj slici.
Definicija II - 10 Marginalne gustine verovatnoće za promenljive X i Y označavamo Xf x i Yf y , a
date su izrazima:
( ) ( , ) ( ) ( , )X XY Y XYf x f x y dy i f y f x y dx
(II-20)
Osnova A
Zapremina ( , )P x y A
, ( , )X Yf x y
, ( , )X Yf x y
32 Slučajne promenljive i njihove raspodele
Primer II - 10 Odrediti marginalne gustine verovatnoće iz Primera II - 9. 1
2
0
6 6 2( ) ( )
5 5 5Xf x x y dy x
1
2 2
0
6 6 3( ) ( )
5 5 5Yf y x y dx y
Primer II - 11 U gornjem primeru izračunajte verovatnoću da je 1 4Y bez obzira na X.
I naĉin (pomoću zajedničke gustine verovatnoće)
1 4 1 41
2
0 0
1 41 1
3
00 0
1
2
0
61 4 ( , ) ( )
5
6 1 3 1( ) ( )
5 3 10 160
3 1 3 1 50.1563
20 160 20 160 32
XY
y
y
x
x
P Y f x y dxdy x y dxdy
xy y dx x dx
x x
II naĉin (pomoću marginalne gustine verovatnoće)
1 4 1 4
2
0 0
1 43
0
6 31 4 ( )
5 5
2 3 50.1563
5 32
Y
y
y
P Y f y dy y dy
y y
2.4.2 DISKRETNI SLUĈAJNI VEKTORI
Za slučajni vektor ,X Y koji uzima samo prebrojivo mnogo različitih vrednosti, kaţemo da je diskretni
sluĉajni vektor. Raspodela diskretnog vektora opisuje se zajedniĉkim zakonom raspodele
, ,X Y i jp x y , gde su ,i jx y , , 1,2,i j sve moguće vrednosti za ,X Y .
Definicija II - 11 Neka su X i Y dve diskretne slučajne promenljive definisane na prostoru elementarnih
dogaĎaja nekog eksperimenta. Zajedniĉki zakon raspodele je funkcija , ,X Yp x y :
definisana kao verovatnoća da istovremeno promenljiva X poprimi vrednost x i promenljiva Y poprimi
vrednost y:
, ,XYp x y P X x Y y (II-21)
Zajednički zakon raspodele zadovoljava sledeće uslove
, ( , )X Yf x y
Slučajne promenljive i njihove raspodele 33
, , 0X Yp x y (II-22)
, ( , ) 1, ,X Y
X Y X Y
x D y D
p x y D D
(II-23)
Definicija II - 12 Marginalni zakon raspodele za diskretne slučajne promenljive X i Y označavamo
Xp x i Yp y , date su izrazima:
( ) ( , ),
( ) ( , ),
Y
X
X X
y D
Y Y
x D
p x p x y D
p y p x y D
(II-24)
Dalje vaţi
( ) 1,
( ) 1,
X
Y
X X
x D
Y Y
y D
p x D
p y D
(II-25)
Zajedniĉka funkcija raspodele diskretnih slučajnih promenljivih X i Y moţe se odrediti poznajući
zajedničkog zakona raspodele , ,X Yp na sledeći način:
, ,, , ,X Y X Y
a x b y
F x y P X x Y y p a b
(II-26)
Primer II - 12 Zajednički zakon raspodele slučajnog vektora ,X Y dat je sledećom tabelom vrednosti
,i jP X x Y y za 1,2i , 1,2,3j :
1. Naći vrednost koja nedostaje u tabeli, tj. 2, 1P X Y .
2. Naći P X Y
3. Naći 2P X
4. Naći , 2,2X YF
5. Odrediti marginalne zakone raspodele za X i Y.
Rešenje.
1. Pošto zbir svih brojeva u tabeli mora biti 1, sledi 2, 1 1/ 4P X Y .
2. Iz uslova X Y sledi da slučajni vektor ,X Y uzima sledeće vrednosti: 1,1 , 1,3 , 1,3 , 2,2 i
2,3 , pa je
1, 1 1, 2 1, 3 2, 2 2, 3
5 1 1 7 30
24 12 24 24 4
P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y
3. Verovatnoća da je 2X dobija se kao zbir verovatnoća parova 2,1 , 2,2 , 2,3 :
1 7 13
2 04 24 24
P X .
4. , ,
2 2
2,2 2, 2 ,X Y X Y
a b
F P X Y p a b
, , , ,1,1 1,2 2,1 2,2
5 1 1 7 20
24 12 4 24 24
X Y X Y X Y X Yp p p p
Y
X y1 y2 y3
x1 5/24 1/12 1/6
x2 ? 7/24 0
34 Slučajne promenljive i njihove raspodele
5. Marginalni zakon raspodele za X je odreĎen verovatnoćama 1P X i 2P X i dobija se kao zbir
brojeva u prvoj, odnosno drugoj vrsti tabele: 11
124
P X , 13
224
P X . Ovo smo mogli dobiti i
na drugačiji način. Iz tačke 3 već znamo 13
224
P X i iz relacije 1 1 2P X P X nalazimo
11
124
P X .
Marginalni zakon raspodele za Y nalazimo sabiranjem po kolonama:
11 3 1
1 , 2 , 324 8 6
P Y P Y P Y .
Napomena II - 8 Verovatnoće P X i , 1,2i dobijaju se
sabiranjem brojeva u i-toj vrsti tablice, dok se brojne vrednosti
verovatnoća jP Y y , 1,2,3j nalaze kao zbir brojeva u j-
toj koloni tablice. Uobičajeno je da se ove verovatnoće pišu na
marginama tablice, zbog čega su dobile i naziv.
Kao kontrola moţe da posluţi zbir brojeva na marginama;
on mora da bude 1, kao i zbir brojeva u tabeli (pravilo (II-25)).
Primer II - 13 Na fakultetu studente razvrstamo prema područjima studiranja: Matematika – mat, Fizika
– fiz, Hemija – hem, Biologija – bio, Informatika – inf (promenljiva X) i prema polu: Muški – m i Ţenski -
ž (promenljiva Y). Zajednički zakon raspodele verovatnoće za slučajni vektor ,X Y data je sledećom
tablicom:
X Y
m ž
mat 0,151 0,105 0,256 ( )Xp mat
fiz 0,125 0,079 0,204 ( )Xp fiz
hem 0,069 0,074 0,143 ( )Xp hem
bio 0,062 0,153 0,215 ( )Xp bio
inf 0,124 0,058 0,182 (inf)Xp
0,531 0,469 1,000
( )Yp m ( )Yp ž
Primer II - 14 U gornjem primeru je, npr., marginalna verovatnoća za matematiku mat 0,256Xp , a
marginalna verovatnoća za muški pol M 0,531Yp .
2.5 NEZAVISNOST SLUĈAJNIH PROMENLJIVIH
Definicija II - 13 Za slučajne promenljive 1 2, , , nX X X kaţemo da su nezavisne ako su dogaĎaji
1 1X A , 2 2X A , … , n nX A nezavisni (u celini) za proizvoljne skupove 1 2, , , nA A A .
Teorema II - 4 Nezavisnost slučajnih promenljivih.
a) Neka je , ,X YF x y funkcija zajedničke raspodele sluĉajnog vektora ,X Y i neka su XF x i
YF y marginalne funkcije raspodele. Slučajne promenljive X i Y su nezavisne ako i samo ako u svakoj
tački 2,x y vaţi da je
Y
X y1 y2 y3
x1 5/24 1/12 1/6 11/24
x2 1/4 7/24 0 13/24
11/24 3/8 1/6 1
Slučajne promenljive i njihove raspodele 35
, ,X Y X YF x y F x F y (II-27)
b) Neka diskretni sluĉajni vektor ,X Y uzima vrednosti , , , 1,2,i jx y i j . Slučajne promenljive X
i Y su nezavisne ako i samo ako je
,XY X Yp x y p x p y (II-28)
c) Neka je ,X Y neprekidni sluĉajni vektor. Slučajne promenljive X i Y su nezavisne ako i samo ako
postoje gustine , ,X Yf x y , Xf x i Yf y , takve da je
, ,X Y X Yf x y f x f y (II-29)
za svako 2,x y .
Primer II - 15 Neka je gustina slučajnog vektora ,X Y data sa
2 3
, , 6 x y
X Yf x y e , , 0x y , , , 0X Yf x y , , 0x y
Ispitati da li su X i Y nezavisne slučajne promenljive.
Rešenje.
2 3 2 3 2
0 0
6 6 2 , 0, 0, 0x y x y x
X Xf x e dy e e dy e x f x x
2 3 3 2 3
0 0
6 6 3 , 0, 0, 0x y y x y
Y Yf y e dx e e dx e y f y y
Kako je 2 3 2 3
, , 6 2 3x y x y
X Y X Yf x y e e e f x f y za , 0x y i , , 0X Y X Yf x y f x f y
za , 0x y , sledi da su X i Y nezavisne slučajne promenljive.
2.6 NUMERIĈKE KARAKTERISTIKE SLUĈAJNIH PROMENLJIVIH
U praksi često nije u celosti poznata raspodela slučajne promenljive. U takvim slučajevima pokazalo se
da je poznavanje odreĎenih numeričkih karakteristika dovoljno za aproksimativno opisivanje slučajne
promenljive.
U numeričke karakteristike slučajne promenljive ubrajamo: matematičko očekivanje, varijansu i momente
višeg reda.
2.6.1 MATEMATIĈKO OĈEKIVANJE SLUĈAJNE PROMENLJIVE
Definicija II - 14
a) Neka je X diskretna sluĉajna promenljiva sa vrednostima iz skupa 1 2, ,x x i neka je ( )ip x njen
zakon raspodele. Tada je matematiĉko oĉekivanje promenljive X dato sa
( ) ( )X i i
i
E X x p x (II-30)
ukoliko suma sa desne strane znaka jednakosti apsolutno konvergira.
b) Za neprekidnu sluĉajnu promenljivu X sa gustinom f, matematiĉko oĉekivanje dato je sa
36 Slučajne promenljive i njihove raspodele
( ) ( )XE X xf x dx
(II-31)
ukoliko integral sa desne strane jednakosti apsolutno konvergira.
Ukoliko suma, odnosno integral ne konvergiraju apsolutno, tj. divergiraju, tada kaţemo da matematičko
očekivanje ne postoji, odnosno da slučajna promenljiva nema matematičko očekivanje.
c) Matematiĉko oĉekivanje sluĉajnog vektora 1, , nX X definiše se sa
1 , , nE X E X E X (II-32)
Ponekad ćemo umesto oznake E X koristiti kraći zapis E X .
Matematičko očekivanje je u stvari srednja (prosečna) vrednost slučajne promenljive.
Primer II - 16 Srednje vrednosti slučajnih promenljivih iz Primera II – 1 iznose:
Slučaj 1. 6
1
1 21( ) ( ) 3.5
6 6i i
i i
E X x p x i
Slučaj 2.a) 1 2 6 1
( ) 2 3 .... 7 .... 12 736 36 36 36
E X
Slučaj 2.b) 1 2 6 1
( ) 5 4 .... 0 .... 5 036 36 36 36
E Y
Slučaj 2.c) ( ) 12.25E Z
Slučaj 4. 1
0
1 1( )
2 2i
E X i
Slučaj 5. 1
1( ) 2
2ii
E Y i
Očekivanje slučajne promenljive predstavlja osnovni aparat u analizi slučajnih promenljivih. Danas se
donošenje najjednostavnijih odluka ne moţe ni zamisliti bez upotrebe očekivanja vezanih za rezultate
odreĎenih akcija.
Primer II - 17 Neka funkcija gustine verovatnoće neprekidne slučajne promenljive iznosi
231 0 1
( ) 2
0 inače
x xf x
Nacrtati grafik f x i odrediti matematičko očekivanje.
Rešenje. Grafik funkcije gustine verovatnoće dat je na
sledećoj slici, a očekivanje iznosi:
1 1
3
0 0
3 3 3 3( ) ( )
2 4 8 8E X xf x dx x x dx
Teorema II - 5
a) Ako je f gustina neprekidne sluĉajne promenljive X i ako je g data funkcija za koju postoji
E g X , tada matematiĉko oĉekivanje funkcije neprekidne sluĉajne promenljive X iznosi
Slučajne promenljive i njihove raspodele 37
E g X g x f x dx
(II-33)
b) Neka je X diskretna sluĉajna promenljiva sa vrednostima iz skupa 1 2, ,x x i neka je ( )ip x
njen zakon raspodele. Tada matematiĉko oĉekivanje funkcije diskretne sluĉajne promenljive X
iznosi
( ( )) ( )i i
i
E g X g x p x (II-34)
Teorema II - 6 Ako je f zajednička gustina slučajnog vektora 1, , nX X i ako je g data apsolutno
integrabilna funkcija n promenljivih, tada je
1 1 1 1, , , , , ,n n n nE g X X g x x f x x dx dx
(II-35)
Sledeća teorema pokazuje da matematičko očekivanje ima osobinu linearnosti. Zahvaljujući toj osobini,
matematičko očekivanje se, od svih mera srednje vrednosti najviše koristi.
Teorema II - 7 Neka su a, b i c proizvoljni realni brojevi i neka su X i Y slučajne promenljive za koje
postoje matematička očekivanja E X i EY . Tada vaţi:
E c c , (II-36)
E aX b aE X b , (II-37)
E aX bY aE X bE Y . (II-38)
Ako su X i Y nezavisne slučajne promenljive vaţi i
E XY E X E Y . (II-39)
Osobina linearnosti vaţi i za više od dve slučajne promenljive.
Primer II - 18 U bacanju novčića dok ne padne pismo, zarada se izračunava tako što se kvadrira broj
bacanja u kojima je pao grb pre no što je palo pismo. Definišimo slučajne promenljive:
Y = broj bacanja dok ne padne pismo, DY = {1,2,3,...}
Z = zarada pri bacanju.
Očigledno je da postoji sledeća veza izmeĎu slučajnih promenljivih Z i Y: Z(Y) = (Y-1)2. Skup mogućih
vrednosti promenljive Z je DZ = {0,1,4,9,...}, a verovatnoće ( )p z su date odgovarajućim verovatnoćama
za ( )p y : ( 0) ( 1) 1/ 2p Z p Y , 2( 1) ( 2) 1/ 2p Z p Y , 3( 4) ( 3) 1/ 2p Z p Y , itd.
Očekivana zarada je
2
2
1
11( ) ( ) 1 3
2 2Z
y yz D y D y
yE Z z y p y y
Napomena II - 9 U opštem slučaju, matematiĉko oĉekivanje funkcije nije isto što i funkcija
matematiĉkog oĉekivanja. Naime, u prethodnom primeru očekivanje funkcije iznosi E(Z)=3, a funkcija
očekivanja (E(Y)-1)2 iznosi 1:
2 2
1
12, 1 2 1 1
2yy
E Y y E Y
,
što očigledno nije isto. Samo za linearnu funkciju vredi da je očekivanje funkcije jednako funkciji
očekivanja!
38 Slučajne promenljive i njihove raspodele
Funkcija 1
2yp y , 1,2,...,20y Funkcija
2
20
1
1
2yy
y
OĈEKIVANA VREDNOST VEKTORSKE PROMENLJIVE
Diskretni slučaj
( ) ( , )
( ) ( , )
X X Y
Y X Y
X X XY
x D x D y D
Y Y XY
y D x D y D
x p x x p x y
y p y y p x y
Kontinualni slučaj
( ) ( , )
( ) ( , )
X X XY
Y Y XY
x f x dx x f x y dxdy
y f y dy y f x y dxdy
2.6.2 VARIJANSA SLUĈAJNE PROMENLJIVE
U praktičnojprimeni matematičko očekivanje nije dovoljno za opisivanje nekih pojava.
Ako se, na primer, kaţe da je prosečna godišnja temperatura u nekom mestu 15 oC, dobijamo utisak
prijatne klime, ali je ova vrednost moguća i ako je temperatura leti 40 oC, a zimi -10
oC. Prema tome,
potrebno je znati i kakva su odstupanja od srednje vrednosti.
Na sledećoj slici prikazani su zakoni raspodela dve diskretne slučajne promenljive koje imaju isto
matematičko očekivanje od 8,17. MeĎutim, kako se sa slike vidi, prva slučajna promenljiva, za razliku od
druge, ima mnogo veće rasipanje njenih podataka oko očekivane vrednosti.
Slučajne promenljive i njihove raspodele 39
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
E(x)=8,16667
p(x
)
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
E(x)=8,16667
p(x
)
x
Rasipanje raspodele oko očekivane vrednosti vaţno je za njenu karakterizaciju. MeĎutim, kako je srednje
odstupanje od srednje vrednosti uvek jednako nuli ( 0E X E X ), umesto srednjeg odstupanja bilo
je potrebno predloţiti neku drugu veličinu kojom će se okarakterisati rasipanje podataka oko srednje
vrednosti. Mogućih kandidata za meru odstupanja od srednje vrednosti ima puno. Na primer, mogu se
uzeti mere poput E X E X ili 2
E X E X . Poslednja mera predstavlja srednje kvadratno
odstupanje od srednje vrednosti i koristi se pri definiciji varijanse.
Definicija II - 15 Neka je X slučajna promenljiva sa matematičkim očekivanjem E X . Varijansa ili
disperzija slučajne promenljive X definiše se kao matematičko očekivanje slučajne promenljive
2
X E X , tj.
22
XV X E X E X (II-40)
Kvadratni koren varijanse naziva se standardnom devijacijom slučajne promenljive X:
2
XS X V X E X E X (II-41)
Neka je X diskretna sluĉajna promenljiva sa vrednostima iz skupa 1 2, ,x x , neka je ( )ip x njen
zakon raspodele a X njeno očekivanje. Tada varijansa slučajne promenljive X iznosi:
2 2 2( ) [( ) ] ( ) ( )X X i X i
i
V X E X x p x (II-42)
Ako je X neprekidna sluĉajna promenljiva, f x njena funkcija gustine verovatnoće, a X njeno
očekivanje, onda je njena varijansa data relacijom
22 2( ) ( ) ( )x X XV X E X x f x dx
(II-43)
40 Slučajne promenljive i njihove raspodele
Teorema II - 8 Neka je X slučajna promenljiva sa konačnom varijansom.
1. Ako je c , tada je 0V c .
2. Ako je 0V X , tada je 1P X c za neko c .
3. 22V X E X E X .
4. Za svako a , V X a V X .
5. Za svako a , 2V aX a V X .
6. Ako su X i Y nezavisne slučajne promenljive sa knačnim varijansama, tada je
V X Y V X V Y
7. Neka je ( )g X funkcija neprekidne slučajne promenljive X . Tada je varijansa funkcije ( )g X
slučajne promenljive X data sa:
2
2( ( )) ( )V g X E g X E g X
Primer II - 19 Model merenja. Neka je tačna vrednost merenja neke veličine. Zbog slučajnih
grešaka, rezultati više puta ponovljenog merenja sa istim instrumentom su nezavisne slučajne veličine
1, , nX X sa matematičkim očekivanjem i varijansom 2 . Kako je
1 nX XE n
n n
,
221
2
1nX XV n
n n n
zaključujemo da je srednja vrednost merene veličine jednaka matematičkom očekivanju, a da je varijansa
merenja n puta manja od varijanse svakog pojedinačnog merenja.
2.6.3 KOVARIJANSA I KOEFICIJENT KORELACIJE
Kada smo govorili o matematičkom očekivanju dve nezavisne slučajne promenljive rekli smo da vaţi
0E XY E X E Y
Odavde bi se moglo doći do ideje da veličina ove razlike ukazuje na stepen zavisnosti izmeĎu X i Y. U
opštem slučaju, to nije tačno, jer, ima slučajeva kada je ova razlika 0 iako su X i Y zavisne slučajne
promenljive. MeĎutim, u ovom odeljku ćemo pokazati da se ipak, pomoću ove razlike, moţe meriti
stepen linearne zavisnosti izmeĎu X i Y.
Definicija II - 16 Za slučajne promenljive X i Y definišemo kovarijansu, u oznaci ,Cov X Y :
,Cov X Y E XY E X E Y (II-44)
Kovarijansa se moţe izraziti i u sledećem obliku:
,Cov X Y E X E X Y E Y (II-45)
Koristeći izraz za kovarijansu dva slučajne promenljive X i Y, moţe se napisati sledeći izraz za varijansu
zbira X Y
2 ,V X Y V X V Y Cov X Y (II-46)
Teorema II - 9 Neka su X, Y i Z slučajne promenljive i neka su a i b realni brojevi.
1. Ako su X i Y nezavisne slučajne promenljive, tada je , 0Cov X Y . Obrnuto ne mora da
vaţi.
Slučajne promenljive i njihove raspodele 41
2. , ,Cov X Y Cov Y X
3. ,Cov X X V X
4. , ,Cov aX bY abCov X Y
5. , , ,Cov X Y Z Cov X Z Cov Y Z
6. , ,Cov X a Y b Cov X Y
Varijansa 2
X je pokazatelj rasturanja vrednosti promenljive X oko njene očekivane vrednosti, dok je
varijansa 2
Y pokazatelj rasturanja vrednosti promenljive Y oko njene očekivane vrednosti. Kovarijansa
XY sadrţi rasturanja X-ova i Y-ova pojedinačno, ali isto tako sadrţi i njihova zajednička rasturanja. Zato
nam kovarijansa moţe posluţiti i kao pokazatelj povezanih rasturanja promenljivih X i Y.
Ako su X i Y nezavisne slučajne promenljive, onda je njihova kovarijansa jednaka nuli.
Ako kovarijansa XY nije jednaka nuli, onda to znači da su rasturanja promenljivih X i Y na neki način,
meĎusobno povezana. Drugim rečima, znači da izmeĎu promenljivim X i Y postoji izvesna zavisnost.
Definicija II - 17 Koeficijent korelacije izmeĎu slučajnih promenljivih X i Y sa pozitivnim varijansama
definiše se sa
,,
Cov X YX Y
V X V Y (II-47)
Koeficijent korelacije se, u primenama, koristi kao mera linearne zavisnosti dve slučajne promenljive.
Teorema II - 10 Za slučajne promenljive X i Y sa pozitivnim varijansama vaţi:
1. 1 , 1X Y
2. , 1X Y ako i samo ako je 1P Y aX b , gde je 0a , b ,
sgn sgn ,a X Y . Drugim rečima, , 1X Y ako i samo ako je, sa verovatnoćom 1, Y
rastuća (opadajuća) linearna funkcija promenljive X.
3. Ako su a i c realni brojevi različiti od nule i ako su b i d proizvoljni realni brojevi, tada je
, ,aX b cY d X Y
gde se uzima znak + ako je 0ac i znak – ako je 0ac .
Definicija II - 18 Neka su X i Y slučajne promenljive i neka je ,X Y njihov koeficijent korelacije.
Kaţemo da su X i Y
nekorelisane ako je , 0X Y ,
pozitivno korelisane ako je , 0X Y ,
negativno korelisane ako je , 0X Y .
Iz definicije sledi da su svake dve nezavisne slučajne promenljive nekorelisane. Obrnuto ne vaţi. Pojam
korelacije se odnosi samo na linearnu vezu izmeĎu dve slučajne promenljive.
Primer II - 20 Neka su X i nekorelisane slučajne promenljive sa varijansama 2
1 i 2
2 , respektivno, i
neka je ,Y aX b Y X slučajna promenljiva koja linearno zavisi od X i . Naći ,X Y .
Rešenje. Kako je
2
1, , ,Cov X aX b aCov X X Cov X a
42 Slučajne promenljive i njihove raspodele
2 2 2 2
1 1 2,V X V aX b a
imamo da je
2
1
2 2 2 221 1 2 2
2
1
,a a
X Ya
a
Slučajna promenljiva predstavlja odstupanje Y od linearne zavisnosti aX b . Drugim rečima, ona
predstavlja grešku modela Y aX b , odnosno deo zavisnosti koji nije objašnjen ovim modelom. Odnos
izmeĎu neobjašnjenog i objašnjenog dela zavisnosti moţe se meriti količnikom 2 1 . Iz dobijenog
izraza za vidi se da je 1 (jaka korelacija) ako je 2 1 0 . Nasuprot tome, 0 ako
2 1 .
DIJAGRAM RASIPANJA
Dijagram rasipanja dobijamo kada izmerene vrednosti slučajnih promenljivih X i Y prikaţemo tačku po
tačku u Dekartovom koordinatnom sistemu. Raspored tačaka na grafiku zavisi od zdruţene raspodele
slučajnih promenljivih X i Y, tj. od njihove kovarijanse.
Kovarijansa dve slučajne promenljive sluţi kao mera stepena njihove linearne povezanosti.
y
x
(d)
(a) (b)
(c)
Slučajne promenljive i njihove raspodele 43
Na prethodnim slikama imamo sledeće veze:
(a) pozitivna linearna veza: 0
(b) negativna linearna veza: 0
(c) nezavisnost: 0
(d), (e), nelinearne veze
(f) tačna funkcionalna zavisnost: 2Y aX
2.6.4 MATRICA KOVARIJANSE
Definicija II - 19 Za slučajni vektor 1, , nX X X , 2n , definišemo matricu kovarijanse kao
matricu
, 1
,n
i ji j
C X Cov X X
(II-48)
Teorema II - 11 Ako je C X matrica kovarijanse slučajnog vektora X, tada je C X pozitivno
definitna simetrična matrica.
Ako je matrica kovarijanse slučajnog vektora X dijagonalna, onda su svake dve komponente ,i jX X
nekorelisane. U tom slučaju kaţemo da je X nekorelisan sluĉajni vektor.
2.6.5 MOMENTI
Momenti uu dodatne numeričke veličine koje nam još detaljnije opisuju neku slučajnu veličinu.
Na sljedećoj slici prikazano je nekoliko raspodela koje sve imaju istu srednju vrijednost i standardnu
devijaciju, ali su ipak različite.
U prvoj koloni su raspodele različite simetrije. Gornja raspodela je simetrična, ispod nje je raspodela
'nagnuta udesno', a na dnu je raspodela 'nagnuta ulevo'.
U drugoj koloni su tri raspodele različite spljoštenosti. Da bismo te razlike kvantitativno opisali uvodimo
momente višeg reda.
(e)
y
x
y (f)
x
44 Slučajne promenljive i njihove raspodele
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5 E(x) = 6
= 1,22
p(x
)
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
E(x) = 6
= 1,22
E(x) = 6
= 1,22
p(x
)
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
p(x
)
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
E(x) = 6
= 1,22
p(x
)
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5E(x) = 6
= 1,22
p(x
)
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5 E(x) = 6
= 1,22p
(x)
x
Definicija II - 20 Neka je X slučajna promenljiva i neka je r prirodan broj.
Moment r-tog reda se definiše na sledeći način
r
rm E X (II-49)
Centralni moment r-tog reda se definiše na sledeći način
k
rM E X E X (II-50)
Ako je X diskretna sluĉajna promenljiva sa vrednostima iz skupa 1 2, ,x x , zakonom raspodele
( )ip x i matematičkim očekivanjem , onda vaţi
( )
( ) ( )
r
r i i
i
r
r i i
i
m x p x
M x p x
(II-51)
Opšta formula za centralni moment r-tog reda iskazana preko običnih momenata r-tog reda je:
11k k
r r k
k
rM m m
k
(II-52)
Ako je f gustina neprekidne sluĉajne promenljive X sa matematičkim očekivanjem , tada vaţi
( )
( ) ( )
r
r
r
r
m x f x dx
M x f x dx
(II-53)
Raspodele različitih simetrija Raspodele različitih spljoštenosti
Slučajne promenljive i njihove raspodele 45
Neki važni momenti
a) Moment nultog reda predstavlja totalnu verovatnoću i iznosi:
0 0 1M m
b) Centralni moment prvog reda predstavlja srednje odstupanje od matematiĉkog oĉekivanja i
iznosi:
1 0M
c) Obiĉni moment prvog reda predstavlja oĉekivanu vrednost:
1 ( )m E X
d) Centralni moment drugog reda predstavlja varijansu:
2
2 ( )M V X
Za izračunavanje centralnog momenta drugog reda moţemo upotrebiti sledeću relaciju:
2 2
2 2 1M m m
e) Moment trećeg reda ukazuje na asimetriju raspodele slučajne promenljive.
Primeri iz leve kolone prethodne slike imaju sledeće momente trećeg reda: M3 = 0, M3 = 1,594 >
0, M3 = -1,594 < 0
f) Kao mera asimetrije raspodele koristi se koeficijent asimetrije definisan pomoću:
33 3
M
(II-54)
Ako je:
3 = 0 raspodela je simetrična
3 > 0 raspodela je nagnuta udesno
3 < 0 raspodela je nagnuta ulevo
Primeri iz leve kolone prethodne slike imaju sledeće koeficijente asimetrije:
3 = 0 raspodela je simetrična
3 = 0,868 > 0 raspodela je nagnuta udesno
3 = - 0,868 < 0 raspodela je nagnuta ulevo
g) Moment ĉetvrtog reda ukazuje na spljoštenost raspodele slučajne promenljive.
Primeri iz desne kolone prethodne slike imaju sledeće momente četvrtog reda: 4 6M ,
4 4.5M , 4 10.67M .
h) Koeficijent spljoštenosti se definiše kao
44 4
M
(II-55)
Ako je:
4 = 3 raspodela je normalno spljoštena
4 > 3 raspodela je šiljata
4 < 3 raspodela je široka
Primeri iz desne kolone prethodne slike imaju sledeće vrednosti koeficijenta spljoštenosti:
4 = 2,67 raspodela je široka
4 = 2 raspodela je široka
4 = 4,74 raspodela je šiljata
46 Slučajne promenljive i njihove raspodele
MOMENTI DVODIMENZIONE RASPODELE
Obiĉni momenti:
Diskretni slučaj
( , )X Y
r s
rs XY
x D y D
m x y p x y
Kontinualni slučaj
( , )r s
rs XYm x y f x y dxdy
Vidimo da je 10 Xm i
01 Ym
Centralni momenti:
Diskretni slučaj
( , )X Y
r s
rs X Y XY
x D y D
M x y p x y
Kontinualni slučaj
( , )r s
rs X Y XYM x y f x y dxdy
Vidimo da vaţi: 2
20 ( ) XM V X , 2
02 ( ) YM V Y
2.6.6 KVANTILI
Definicija II - 21 Neka je F funkcija raspodele neke slučajne promenljive. Kvantil reda p, 0 1p
odgovarajuće raspodele je svaki broj x za koji vaţe nejednakosti
, ,F x p F x p (II-56)
odnosno
,P X x p P X x p (II-57)
Za svaku raspodelu i za svako 0,1p postoji bar jedan broj px K koji zadovoljava uslove iz
navedene definicije. Na sledećoj slici predstavljena su tri moguća slučaja.
a) Funkcija F je neprekidna i
monotono rastuća
b) Funkcija F ima prekid c) Funkcija F je konstantna na
intervalu
Kp
p
F(x)
x Kp
p
F(x)
x Kp
p
F(x)
x
Slučajne promenljive i njihove raspodele 47
U slučajevima pod a) i b) kvantil je jedinstveni.
Pojedini kvantili imaju posebnu ulogu. Navodimo ih u sledećoj definiciji.
Definicija II - 22
1. Kvantil reda 1 2 naziva se medijanom sluĉajne promenljive, odnosno njene raspodele. Za
medijanu slučajne promenljive koristimo oznaku Mod X .
2. Kvantili reda 1 4 i 3 4 nazivaju se kvartilima (prvim i drugim).
Iz opšte definicije kvantila dobija se da je medijana slučajne promenljive X, u oznaci Med X , svaki
broj m za koji je
1 2, 1 2P X m P X m
Medijana se koristi kao mera srednje vrednosti. U toj ulozi medijana ima dve prednosti nad matematičkim
očekivanjem:
1. Za razliku od matematičkog očekivanja, medijana uvek postoji;
2. Medijana je robusnija od matematičkog očekivanja, tj. manje je osetljiva na promene raspodele
slučajne promenljive.
Primer II - 21 Predpostavimo da smo merenjem dobili sledeće vrednosti slučajne promenljive:
7,1,8,2,5,1,7. Aritmetička sredina (koja se uzima kao ocena za matematičko očekivanje) je
7 1 8 2 5 1 74,43
7
a medijana je 5
1,1,2, 5 ,7,7,8
Ako bi u poslednjem merenju (8) došlo do greške i ako bi se registrovao broj 19, aritmetička sredina bi se
povećala na 6, dok bi medijana ostala ista:
7 1 8 2 5 1 196
7
, 1,1,2, 5 ,7,7,19
2.7 RASPODELE DISKRETNIH SLUĈAJNIH PROMENLJIVIH
U nastavku razmatramo nekoliko najčešće korišćenih raspodela diskretne slučajne promenljive:
Bernoullijeva, binomna, hipergeometrijska, geometrijska i Poisonova.
2.7.1 BERNOULLIJEOVA RASPODELA
Posmatrajmo eksperiment sa dva moguća ishoda od kojih jedan nazivamo uspehom, a drugi neuspehom.
Definišimo slučajnu promenljivu koja moţe da ima dva stanja: 1X , ako se dogodio uspeh i 0X , ako
se dogodio neuspeh. Ako je p verovatnoća uspeha, tada je
1 , 0 1P X p P X p
DogaĎaj koji ima samo dva moguća ishoda zove se Bernoullijev dogaĊaj, a eksperiment koji se pri tome
izvodi naziva se Bernoullijev eksperiment. Slučajnu promenljivu X nazivamo Bernoullijeva sluĉajna
promenljiva.
Zakon raspodele slučajne promenljive X definisan je sa:
48 Slučajne promenljive i njihove raspodele
11 , za 0,1
0, inače
xxp p xf x
(II-58)
Matematiĉko oĉekivanje:
1
1 0 1 10 1
0
0 1 1 1x
E X xf x p p p p p
(II-59)
Varijansa:
22
11 0 1 12 2 2 0 2 1
0
0 1 1 1x
V X E X E X
E X x f x p p p p p
2 1V X p p p p (II-60)
Primer II - 22 Bacamo simetričnu kocku i uspehom smatramo ako se pala šestica. Tada slučajna
promenljiva X koja ima vrednost 1 ako se pala šestica i 0 ukoliko se pao neki drugi broj, ima
Bernoullijevu raspodelu sa verovatnoćom od 1/ 6p .
2.7.2 BINOMNA RASPODELA
Ukoliko Bernoullijev eksperiment ponavljamo n puta dobijamo tzv. binomni eksperiment.
Definicija II - 23 Binomni eksperiment je eksperiment koji zadovoljava sledeće uslove:
1. Sastoji se od n Bernoullijevih eksperimenata (pokušaja).
2. Pokušaji su meĎusobno identični Bernulijevi eksperimenti sa mogućim ishodima 'uspeh' (1) i
'neuspeh' (0).
3. Pokušaji su nezavisni. Ishod bilo kojeg pokušaja ne utiče na ishod drugog (izvlačenje se vrši sa
vraćanjem).
4. Verovatnoća 'uspeha' jednaka je za sve pokušaje i iznosi p .
Neka je Xn broj uspeha u n uzastopnih Bernoullijevih eksperimenata.
Zakon raspodele slučajne promenljive Xn definisan je sa:
za 0,1,2,...,
( ; , )
0 inače
x n xn
p q x nb x n p x
(II-61)
Zakon binomne raspodele označavamo sa ( ; , )b x n p , dok slučajnu promenljivu X sa binomnom
raspodelom označavamo sa ~ ( , )nX B n p .
Primer II - 23 Bacamo fer novčić 4n puta. Uspehom se smatra kada padne grb. Sa promenljivom X4
označimo broj uspeha iz 4n pokušaja (ponavljanja eksperimenta). Treba odrediti verovatnoću
dogaĎaja da se u 4 bacanja padne x grbova, tj. 4P X x , 0, 1, 2, 3 ili 4x . Očigledno se radi o
binomnom eksperimentu sa parametrima: 4n ; 1/ 2p (fer novčić)
Primer II - 24 Neka verovatnoća pogotka u koš u jednom bacanju iznosi 0.6p . Sa X4 označimo broj
pogodaka u četiri bacanja. Verovatnoća dogaĎaja 4P X x , 0,1,2,3,4x iznosi
0 4 4 4
4
40 0,6 0,4 1 1 0,4 0,4 =0.0256
0P X
Slučajne promenljive i njihove raspodele 49
1 4 1 3 3
4
4 4!1 (1 ) 0,6 0,4 4 0,6 0,4 0.1536
1 1!3!P X p p
2 4 2 2 2 2 2
4
4 4!2 (1 ) 0,6 0,4 6 0,6 0,4 0.3456
2 2!2!P X p p
3 4 3 3 3
4
4 4!3 (1 ) 0,6 0,4 4 0,6 0,4 0.3456
3 3!1!P X p p
4 4 4 4 4
4
4 4!4 (1 ) 0,6 1 0,6 0.1296
4 4!0!P X p p
Funkcija raspodele binomne slučajne promenljive iznosi:
0
( ) ( ; , )x
y
F x b y n p
(II-62)
Radi lakšeg izračunavanja verovatnoća za binomnu raspodelu, vrlo često se koristi sledeća rekurzivna
formula:
1( ; , ) ( 1; , )
n x pb x n p b x n p
x q
Primer II - 25 (Primena rekurzivne formule) Bacamo sedam puta kocku čije su stranice označene
brojevima od 1 do 6 (n = 7; p = 1/6).
1. Verovatnoća da ne padne ni jedna 6:
7
0;7,1/ 6 5 / 6 0,279b
2. Verovatnoća da padne jedna šestica je:
7 1 1 1 6 1
1;7,1/ 6 0;7,1/ 6 7 0,279 0,3911 5 6 5
b b
3. Verovatnoća da padnu dve 6 je:
7 2 1 1 6 6 1
2;7,1/ 6 1;7,1/ 6 0,391 0,2342 5 6 2 5
b b
, itd.
Matematiĉko oĉekivanje binomne slučajne promenljive iznosi:
0 0 1
1
1
0
1jer je
( ) ( ; , )
1,
1
,
,
1
smena 1 i 1
n n nx n x x n x
x x x
nx n x
x
my m y
y
n nE X x b x n p p q x p q x
x x
nnp p q x
xx
mnp
n nn
x xx
y xpy
np
mq n
0
jer je 1m
y m y
y
mp q
y
Varijansa binomne slučajne promenljive iznosi:
22 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )V X E X E X E X n p
50 Slučajne promenljive i njihove raspodele
2 2 2 1
0 1 1
0
0
2 2 2
smena 1
1( ) ( ; , )
1
( 1) ,
1
1 ( 1 1
i
)
1
n n nx n x x n x
x x x
ny m y
y
ny m y
y
n nE X x b x n p p q x np p q x
x x
mnp p q y
y
mnp y p q
y
np mp np n p n p
y x m
np np
n
Dakle,
2( ) (1 )V X np np np p
2.7.3 HIPERGEOMETRIJSKA RASPODELA
U realnom ţivotu, izvlačenje elemenata iz odreĎene populacije sa vraćanjem se ne praktikuje često.
Umesto toga obično se izvlači odjednom n elemenata, što ne odgovara eksperimentu sa binomnom
raspodelom, već eksperimentu sa tzv. hipergeometrijskom raspodelom.
Pretpostavke o eksperimentu su:
1. Izvlači se uzorak od n N elemenata bez vraćanja (odjednom).
2. Svaki element poseduje svojstvo koje moţemo označiti kao 'uspešan' ('označen') ili 'neuspešan'
('neoznačen'). Postoji M N uspešnih (označenih) elemenata. Verovatnoća uspeha iznosi
p M N .
3. Definišemo slučajnu promenljivu kao
X = „broj uspešnih (označenih) elemenata u uzorku od n elemenata“
Do zakona raspodele dolazimo na sledeći način:
broj mogucih uzoraka sa uspeha( )
ukupni broj mogucih uzoraka
0,1,2,...,min( , )
xP X x
M N M
x n xx n M
N
n
Zakon hipergeometrijske raspodele je:
( ; , , ) 0,1,2,...,min( , )
M N M
x n xh x n M N x n M
N
n
(II-63)
Zakon hipergeometrijske raspodele označavamo sa ( ; , , )h x n M N , a slučajnu promenljivu sa
hipergeometrijskom raspodelom sa ~ , ,X H n M N .
Matematiĉko oĉekivanje
( )M
E X n npN
Slučajne promenljive i njihove raspodele 51
Varijansa
( ) 11 1
N n M M N nV X n npq
N N N N
Dakle, očekivana vrednost hipergeometrijske raspodele jednaka je očekivanoj vrednosti binomne
raspodele, dok je varijansa hipergeometrijske raspodele u odnosu na binarnu skalirana faktorom 1
N n
N
.
Aproksimacija hipergeometrijske raspodele binomnom
Kada N , 11
N n
N
, hipergeometrijska raspodela prelazi u binomnu:
( , , ) ~ ( , )H n M N B n p
Napomena II - 10 Za 1000N a 20n , sledi
1000 200.98 1
1 1000 1
N n
N
Primer II - 26 Ugroţena vrsta od 25 tigrova nalazi se u nekoj prašumi od čega su, radi posmatranja,
naučnici obeleţili 5 tigrova. Za novo posmatranje ulovljeno je 10 tigrova. Kolika je verovatnoća da će
manje od tri tigra biti obeleţena?
Rešenje. Broj elemenata u populaciji iznosi 25N , od čega je broj obeleţenih tigrova („uspeh“) 5M .
Veličina uzorka je 10n . Verovatnoća da će manje od tri tigra biti obeleţena u uzorku od 10 iznosi
( 3) ( 0) ( 1) ( 2)
(0;10,5,25) (1;10,5,25) (2;10,5,25)
0,057 0,128 0,385 0,570
P X P X P X P X
h h h
2.7.4 GEOMETRIJSKA RASPODELA
Geometrijska raspodela modeluje broj ponovljenih Bernoullijevih eksperimenata do prvog uspeha.
Na primer bacamo kocku dok ne padne šestica i brojimo broj bacanja.
Neka je verovatnoća uspeha Bernoullijevg eksperimenta p i neka je X broj izvedenih eksperimenata do
prvog uspešnog. Slučajna promenljiva X moţe da uzima vrednosti 1,2,3, …,k, … sa verovatnoćama
1
1 , 1,2,k
P X k p p k
Zakon raspodele slučajne promenljive X
1
1 , 1,2,x
p x p p x
(II-64)
predstavlja tzv. geometrijsku raspodelu.
2.7.5 POISONOVA RASPODELA
Kod primene binomne raspodele ( , )B n p , n je često veliki broj, pa izračunavanje binomnih koeficijenata
n
k
moţe da bude zamorno. U ovakvim situacijama je poţeljno imati formule za aproskimaciju binomnih
verovatnoća.
Primer II - 27 Veliki luster ima 200 sijalica. Verovatnoća da u odreĎenom vremenskom periodu T
pregori jedna sijalica je 0,03. Sijalice se menjaju tek ako pregore više od 10. Kolika je verovatnoća da za
vreme T ne doĎe do menjanja sijalica?
52 Slučajne promenljive i njihove raspodele
Rešenje. Broj pregorelih sijalica na lusteru za vreme T je slučajna promenljiva sa binomnom raspodelom,
~ (200,0.03)X B . Verovatnoća da na vremenskom intervalu T pregori ne više od 10 sijalica iznosi
10 10
200
0 0
20010 0.03 0.97k k
k k
P X P X kk
Očigledno je da ima dosta izračunavanja u poslednjem izrazu. Sledeća teorema daje preko potrebnu
aproksimaciju binomne raspodele.
Teorema II - 12 (S. Poisson) Ako u Bernulijeovom eksperimentu verovatnoća p zavisi od broja
eksperimenta n (np p ) na taj način da je
lim , 0nn
p n
(II-65)
zada za svako fiksirano , 0,1,2, ,k k vaţi
lim 1!
kn kk
n nn
np p e
k k
(II-66)
Dakle, Poisson-ova teorema daje aproksimaciju
1!
kn kk
n n
np p e
k k
za veliko n, gde se uzima np . Moţe se pokazati da se zadovoljavajuća tačnost dobija već kada je n
reda nekoliko desetina, a 10np . Pošto je n veliko, a 10np znači da je p malo, pa se gornja teorema
naziva i „teorema o malom verovatnoćama“.
Primer II - 28 (Nastavak Primera II - 27) Kako je 200 0.03np 6 10 , u Primeru II - 27 moţe se
primeniti Poasson-ova aproksimacija.
Za diskretnu slučajnu promenljivu X kaţemo da ima Poisonov zakon raspodele ako moţe uzeti
vrednosti x iz niza nenegativnih celih brojeva 0,1,2,3, i to sa verovatnoćom
( ; ) , 0,1,2,....!
xep x x
x
(II-67)
pri čemu je 0 , realan broj i predstavlja parametar raspodele. Poisonov zakon raspodele označavamo
sa ( ; )p x , dok slučajnu promenljivu sa Poisonovom raspodelom označavamo sa ~Po( )X . Na sledećoj
slici prikazan je grafik Poisonove raspodele za nekoliko različitih vrednosti parametra λ.
Matematiĉko oĉekivanje
0 1 1 0
( )! ! ( 1)! !
x x x y
x x x y
E X xe xe e ex x x y
Varijansa
22( ) ( ) ( )V X E X E X
12 2
0 1
1 1
1 1
22
2
( )! ( 1)!
( 1)( 1)! ( 1)!
( 2)( 2)!
x x
x x
x x
x x
x
x
E X x e xex x
e xx x
e e xx
Slučajne promenljive i njihove raspodele 53
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.0
0.2
0.4
0.6
p(x;)
x
=0,5
=1
=2
=3
=5
Konačno, za varijansu dobijamo
22( ) ( ) ( )V X E X E X
Sledeća rekurzivna formula nam moţe posluţiti za lakše odreĎivanje novih veroatnoća ako su poznate
verovatnoće prethodnih realizacija:
1
( 1; ) ( 1)!( 1; ) ( ; )
( ; ) 1 1
!
x
x
ep x x
p x p xp x x x
ex
(II-68)
Funkcija raspodele za Poisonovu raspodelu definisana je sa
0
( ; )!
yx
y
F x ey
(II-69)
Vrednosti ove funkcije raspodele obično de daju u obliku tablica Poisonove raspodele.
PRIMENA POISSONOVE RASPODELE
A) Poisonova raspodela kao graniĉni sluĉaj binomne
Neka u ,B n p stavimo n i 0p tako da . 0np Const . Tada
; , ;b x n p p x .
VAŽNO. Binomnu raspodelu moţemo aproksimirati Poisonovom kad je: 50n i 0,1p .
Dajemo dva primera, najpre loše, a onda dobre aproksimacije.
Primer II - 29 DogaĎaj je broj palih šestica prilikom bacanja 7 kockica. Vršimo grafičko poreĎenje
binomne i Poissnove raspodele za:
1) n = 7 i p = 1/6,
2) n = 50 i p = 0,05.
54 Slučajne promenljive i njihove raspodele
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
b(x;7,1/6)
p(x;7/6)
p(x)
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0,0
0,1
0,2
0,3
b(x;50,0.05)
p(x;2.5)
p(x
)
x
B. Poissonova raspodela kao model broja dogaĊaja u vremenskom intervalu
Poissonovom raspodelom opisuju se retki dogaĎaji poput:
broj vozila koji za odreĎeno vreme proĎe kroz presek autoputa
broj telefonskih poziva u centrali u jednoj minuti
broj čestica kosmičkog zračenja detektovanih u sekundi.
broj obolelih stabala po aru šume.
Analizirajmo jedan takav opšti slučaj: „Broj dogaĊaja u vremenskom intervalu [0, )t “
Posmatrajmo slučajnu promenljivu tX kao broj registrovanih dogaĊaja A u intervalu [0, )t . Podelimo
interval [0, )t na n podintervala jednakih duţina t t n . Ako zamislimo da je n veliko, verovatnoća da
se ostvare dva ili više dogaĊaja u svakom takvom intervalu je pribliţno jednaka 0.
Uvodimo sledeće pretpostavke:
1) Na intervalu t moţe desiti najviše jedan dogaĎaj.
2) DogaĎaji u različitim intervalima su nezavisni.
3) Verovatnoća np da se u nekom intervalu t ostvari jedan dogaĊaj, ista za svaki interval i
vaţi 0np kad n .
4) Verovatnoća np pribliţno je proporcionalna duţini intervala:
Slučajne promenljive i njihove raspodele 55
, 0 ,n np t t n np t n .
Parametar karakteriše predstavlja proseĉan broj dogaĊaja u jedinici vremena
prosečan broj dogaĎaja
jedinica vemena
nnp
t
Označimo sa jA dogaĎaj da se u j -tom, 1,2, ,j n intervalu t pojavi posmatrani dogaĎaj A
(„uspeh“). Sa uvedenim pretpostavkama dogaĎaji jA , 1,2, ,j n su nezavisni i sa jednakim
verovatnoćama ( )j np A p (verovatnoća „uspeha“ iznosi np a „neuspeha“ 1 np ).
Slučajna promenljiva tX se sada moţe predstaviti kao broj realizacija dogaĊaja jA , 1,2, ,j n . na
intervalu [0, )t . Ona očigledno ona ima binomnu raspodelu: ~ ;t nX B n p . Ako povećamo preciznost
registrovanja dogaĎaja, tj. kada vaţi n , imamo nnp t , pa na osnovu Poissonove teoreme sledi
1 ,! ! !
n
k k kn k nnpk t
t n n
n np tP X k p p e e e t
k k k k
, 0,1,2,k
Dakle, broj registrovanih dogaĎaja u intervalu [0, )t ima Poissonovu raspodelu ~tX Po t .
Primer II - 30 Odrediti zakon raspodele verovatnoće k raspada radioaktivnih atoma tokom jedne
milisekunde ( 1t ms ) ako prosečan broj raspada atoma u jedinici vremena (u sekundi) iznosi: 33,4 10 .
Rešenje. Posmatrajmo vremenski interval [0, ) [0,1 )t ms i podelimo ga na 1000n delova tako da
duţina jednog intervala iznosi 61000 10 1t T s s . Verovatnoća da se desi jedan raspad na
intervalu 1t s iznosi 3 63.4 10 10 0.0034np t . Posmatramo slučajnu promenljivu 0.001X
kao broj raspada atoma u toku jedne milisekunde. Ova slučajna promenljiva ima binomnu raspodelu
0.001 ~ , 1000,0.0034nX B n p B pri čemu verovatnoća da se desi k raspada u toku 1t ms iznosi
0.001
3.4
( ; , ) ( ; ) ( ; ) ( ;3.4)
3.4
!
n n
k
P X k b k n p p k n p p k t p k
ek
Poslednji izraz predstavlja traţenu raspodelu verovatnoće koja je prikazana na sledećoj slici.
Očekivana vrednost ( ) 3,4E k at jednaka je prosečnom broju raspada atoma u jednoj milisekundi
i ona je svakako 1000 puta manja od zadatog prosečnog broja raspada atoma 33,4 10 u jednoj
sekundi.
Primer II - 31 Prosečan broj vozila koji proĎe kroz presek autoputa u jednoj minuti iznosi 2. Kolika je
verovatnoća da u toku 5t minuta proĎe bar jedno vozilo?
( ;3.4)p k
56 Slučajne promenljive i njihove raspodele
Rešenje. Broj vozila koji za t minuta proĎu kroz presek autoputa ima Poissonovu raspodelu Po t gde
je 2 . Posmatramo slučajnu promenljivu 5X kao broj vozila koja su prošla kroz presek autoputa za
vreme 5t minuta. Očigledno je 5 ~ 2 5 10X Po Po . Verovatnoća koja nas interesuje je
0
10 10
5 5
101 1 0 1 1 1
0!P X P X e e
Primer II - 32 Knjiga od 750 stranica ima 400 štamparskih grešaka. Uz pretpostavku da su greške
nezavisne naĎi verovatnoću da neka stranica ima a) nula grešaka, b) više od jedne greške i c) tačno 4
greške.
Rešenje. Prosečan broj grešaka po stranici iznosi 400 750 . Podelimo interval stranica knjige
[0, ) [0,750)s na 750n strana tako da je 750 750 1s s n . Verovatnoća da se desi jedna greška
na stranici iznosi 400 750 1 0.533np s . Definišimo slučajnu promenljivu 1X kao broj grešaka
na jednoj stranici. Ova slučajna promenljiva ima binomnu raspodelu
1 ~ , 750,400 750nX B n p B
pri čemu je raspodela verovatnoća da se dogodi k grešaka po jednoj stranici
400
7501
400 750( ; , ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ,
!
k
n nP X k b k n p p k n p p k s p k e sk
a) 0
1 0 0; 0,590!
P X p e
b) 1
1 1 11 1 0 1 1 (0; ) (1; ) 1 0,59 0.31291!
P X P X P X p p e
c) 4
4 4; 0,0024!
eP X p
2.8 RASPODELE NEPREKIDNIH SLUĈAJNIH PROMENLJIVIH
2.8.1 UNIFORMNA RASPODELA
Definicija II - 24 Neprekidna slučajna promenljiva X ima uniformnu raspodelu u intervalu [ , ]a b ako je
funkcija gustine verovatnoće definisana na sledeći način
1
( )
0 inace
a x bf x b a
(II-70)
Uniformnu raspodelu označavamo sa U(a,b).
Funkcija raspodele glasi:
0,
( ) , ,
1,
x a
x aF x P X x x a b
b a
x b
(II-71)
Funkcija gustine verovatnoće i funkcija uniformne raspodele prikazane su na sledećoj slici.
Slučajne promenljive i njihove raspodele 57
Za svako , vaţi
P X F Fb a
Dakle, verovatnoća da X pripada nekom intervalu , unutar ,a b proporcionalna je duţini tog
intervala.
Matematiĉko oĉekivanje iznosi:
( )2
b
a
a bE X xf x dx
(II-72)
Varijansa iznosi:
2
22
12
b aV X E X E X
(II-73)
Primer II - 33 U slučajno vreme stiţemo na autobusku stanicu gde autobusi prolaze u intervalima od 15
min. Kolika je verovatnoća da će u narednih 10 minuta naići autobus?
Rešenje. Neka je X vreme čekanja autobusa. Ova promenljiva ima uniformnu raspodelu U(0,15) sa
funkcijom gustine verovatnoće:
1 10 15
( ) 15 0 15
0 inace
xf x
Verovatnoća da će u narednih 10x minuta naići autobus iznosi:
10 0 2
10 (10)15 0 3
P X F
.
2.8.2 EKSPONENCIJALNA RASPODELA
Neprekidna slučajana promenljiva ima eksponencijalnu raspodelu sa pozitivnim parametrom
ako je njena funkcija gustine verovatnoće f x data sa:
0, 0
, 0x
xf x
e x
(II-74)
Funkcija raspodele iznosi:
( ) 1 , 0
x
xF x f t dt e x
(II-75)
1
b a
a b
f(x)
x a b
F(x)
x
1
58 Slučajne promenljive i njihove raspodele
Matematiĉko oĉekivanje: 1
E X
Varijansa: 2
1V X
Primena: Eksponencijalna raspodela se koristi kod modelovanja vremena izmeĎu dva dogaĎaja u
Poissonovim procesima. Ako imamo Poissonovu raspodelu sa parametrom t , onda su vremena
izmeĎu dogaĎaja raspodeljena eksponencijalno sa parametrom .
Primer II - 34 „Vreme ĉekanja prvog dogaĊaja“
Neka slučajna promenljiva tX označava broj dogaĎaja u vremenskom intervalu [0, )t . Uvedimo još jednu
slučajnu promenljivu X koja označava vreme ĉekanja prvog dogaĊaja. Odredimo verovatnoću
dogaĎaja X t , 0t . Ako je X t to znači da se u intervalu [0, )t pojavio bar jedan dogaĎaj, tj.
0tX . Dakle, vaţi 0tP X t P X . Pošto tX ima Poassonovu raspodelu ( ~tX Po t ) dalje se
ima
0
0 1 0 1 1 ( )0!
t t
t t
tP X t P X P X e e F t
Dobijeni rezultat pokazuje da slučajna promenljiva X (vreme čekanja prvog dogaĎaja) ima
eksponencijalnu raspodelu sa parametrom t , tj. ~X .
Eksponencijalna raspodela je vaţan model za proučavanje vremena ispravnog rada ureĎaja, ukoliko
ureĎaj do trenutka otkaza funkcioniše kao nov (otkaz nastaje zbog spoljašnjih udara). U tom slučaju
vreme ispravnog rada X ima eksponencijalnu raspodelu. Odredimo verovatnoću dogaĎaja
T X T x , 0x , pod uslovom X T :
| 1 xP T X T x X T e (II-76)
Dakle, ako znamo da do trenutka t T ureĎaj funkcioniše, onda verovatnoća da on otkaţe u vremenskom
intervalu ,T T x ne zavisi od T , već samo od x .
Primer II - 35 Vreme trajanja X osigurača za struju ima eksponencijalnu raspodelu , gde je
0.001 (jedan otkaz na 1000 sati rada). Od velikog broja osigurača koji već rade 2000T sati, koliki
procenat otkaza moţemo očekivati tokom narednih 500x časova?
Rešenje. Iz (II-76) sledi
0.001 500 0.52000 2500 | 2000 1 1 0.3935 0.4P X X e e
Dakle, oko 40% osigurača koji rade preko 2000 sati otkazuju u narednih 500 sati.
2.8.3 NORMALNA (GAUSOVA) RASPODELA
Normalna ili Gausova raspodela zauzima centralno mesto u teoriji verovatnoće i matematičkoj statistici.
Ona ima sledeća svojstva:
1) Dobar je model za veliku većinu fizičkih merenja.
2) Dobra je aproksimacija za druge raspodele.
3) Dobar je model za raspodelu raznih statistika definisanih na uzorku.
4) Zaključivanje na osnovu velikih uzoraka i neki statistički postupci zasnivaju na pretpostavci
normalnosti.
5) Pomoću nje se izvode mnoge druge raspodele
Slučajne promenljive i njihove raspodele 59
Definicija II - 25 Za slučajnu promenljivu X kaţemo da ima Normalnu raspodelu ako je njena funkcija
gustina verovatnoće data funkcijom
2
221
( )2
x
f x e
(II-77)
gde je realan broj a pozitivan broj.
Parametri Normalne raspodele su i . Da X ima Normalnu raspodelu pisaćemo kraće 2~ ( , )X N
(obično se stavlja kvadrat drugog parametra).
Funkcija ( )f x je simetrična u odnosu na pravu x . Za x ona dostiţe maksimum
1( )
2f
Grafički prikaz funkcije ( )f x , za datu vrednost parametra i različite vrednosti parametra dat je na
sledećoj slici
Ukoliko je manje, maksimalna vrednost je veća. Ukoliko je veće, veće je i rasturanje podataka oko
tačke x .
Matematiĉko oĉekivanje promenljive sa Normalnom raspodelom jednaka je parametru :
2
221
( )2
x
X E X xf x dx xe dx
(II-78)
Varijansa promenljive sa Normalnom raspodelom jednaka je parametru 2 :
2
22 22 2 221
( ) ( )2
x
X XE X x f x dx x e dx
(II-79)
Funkcija raspodele za promenljivu sa Normalnom raspodelom iznosi:
2
221
( ) ( )2
xx x
F x f x dx e dx
(II-80)
Ukoliko definišemo novu slučajnu promenljivu
X
Z
(II-81)
moţe se pokazati da će ona imati tzv. standardnu Normalne raspodelu sa parametrima 0 i 1 :
60 Slučajne promenljive i njihove raspodele
2
21
( )2
z
f z e
(II-82)
Ovu raspodelu obeleţavamo sa (0,1)N , a njenu krivu nazivamo Gausova kriva.
Funkcija raspodele za promenljivu sa standardnom Normalnom raspodelom iznosi:
2 /21
( )2
z
xz e dx
(II-83)
Vrednosti funkcije raspodele ( )z , za različite vrednosti promenljive z date su u Tabeli 1.
U literaturi se, pored standardne normalne raspodele definiše ( )z , često definiše i tzv. funkcija greške
Erf na sledeći način:
2
0
2( ) 2 2 1
z
xErf z e dx z
(II-84)
U prvoj koloni tabele se nalaze vrednosti promenljive Z zaključno sa prvom decimalnom cifrom (pozicija 110 ) , a u prvoj vrsti se nalaze cifre na poziciji 210 . Vrednost promenljive Z se dobija kombinovanjem
ove dve vrednosti.
Na primer, uzimanjem 0.3 iz prve kolone i 0.05 iz prve vrste biramo broj 0.35 i dodeljujemo ga
promenljivoj Z. Vrednost funkcije ( )z dobijamo tako što pročitamo broj iz tabele u preseku reda sa 0.3
i kolone sa 0.05. Pročitani broj je 0.6368.
Slučajne promenljive i njihove raspodele 61
Tablela 1. Funkcija standardne Normalne raspodele: 2 /21
( )2
z
xz e dx
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
.5000
.5398
.5793
.6179
.6554
.6915
.7257
.7580
.7881
.8159
.8413
.8643
.8849
.9032
.9192
.9332
.9452
.9554
.9641
.9713
.9772
.9821
.9861
.9893
.9918
.9938
.9953
.9965
.9974
.9981
.9987
.9990
.9993
.9995
.9997
.5040
.5438
.5832
.6217
.6591
.6950
.7291
.7611
.7910
.8186
.8438
.8665
.8869
.9049
.9207
.9345
.9463
.9564
.9649
.9719
.9778
.9826
.9864
.9896
.9920
.9940
.9955
.9966
.9975
.9982
.9987
.9991
.9993
.9995
.9997
.5080
.5478
.5871
.6255
.6628
.6985
.7324
.7642
.7939
.8212
.8461
.8686
.8888
.9066
.9222
.9357
.9474
.9573
.9656
.9726
.9783
.9830
.9868
.9898
.9922
.9941
.9956
.9967
.9976
.9982
.9987
.9991
.9994
.9995
.9997
.5120
.5517
.5910
.6293
.6664
.7019
.7357
.7673
.7967
.8238
.8485
.8708
.8907
.9082
.9236
.9370
.9484
.9582
.9664
.9732
.9788
.9834
.9871
.9901
.9925
.9943
.9957
.9968
.9977
.9983
.9988
.9991
.9994
.9996
.9997
.5160
.5557
.5948
.6331
.6700
.7054
.7389
.7704
.7995
.8264
.8508
.8729
.8925
.9099
.9251
.9382
.9495
.9591
.9671
.9738
.9793
.9838
.9875
.9904
.9927
.9945
.9959
.9969
.9977
.9984
.9988
.9992
.9994
.9996
.9997
.5199
.5596
.5987
.6368
.6736
.7088
.7422
.7734
.8023
.8289
.8531
.8749
.8944
.9115
.9265
.9394
.9505
.9599
.9678
.9744
.9798
.9842
.9878
.9906
.9929
.9946
.9960
.9970
.9978
.9984
.9989
.9992
.9994
.9996
.9997
.5239
.5636
.6026
.6406
.6772
.7123
.7454
.7764
.8051
.8315
.8554
.8770
.8962
.9131
.9279
.9406
.9515
.9608
.9686
.9750
.9803
.9846
.9881
.9909
.9931
.9948
.9961
.9971
.9979
.9985
.9989
.9992
.9994
.9996
.9997
.5279
.5675
.6064
.6443
.6808
.7157
.7486
.7794
.8078
.8340
.8577
.8790
.8980
.9147
.9292
.9418
.9525
.9616
.9693
.9756
.9808
.9850
.9884
.9911
.9932
.9949
.9962
.9972
.9979
.9985
.9989
.9992
.9995
.9996
.9997
.5319
.5714
.6103
.6480
.6844
.7190
.7517
.7823
.8106
.8365
.8599
.8810
.8997
.9162
.9306
.9429
.9535
.9625
.9699
.9761
.9812
.9854
.9887
9913
.9934
.9951
.9963
.9973
.9980
.9986
.9990
.9993
.9995
.9996
.9997
.5359
.5753
.6141
.6517
.6879
.7224
.7549
.7852
.8133
.8389
.8621
.8830
9015
.9177
.9319
.9441
.9545
.9633
.9706
.9767
.9817
.9857
.9890
.9916
.9936
.9952
.9964
.9974
.9981
.9986
.9990
.9993
.9995
.9997
.9998
NEKA VAŽNA SVOJSTVA NORMALNE RASPODELE
( )x
F x
(II-85)
b
P X b F b
(II-86)
1 1a
P X a F a
(II-87)
62 Slučajne promenljive i njihove raspodele
b a
P a X b F b F a
(II-88)
Za b vaţi 1b b
P X b
(II-89)
1 2 1
P a X a F a F a
a a a a
a a a
(II-90)
( ) 2 1 2 1 1 2 0,8413 1 0,6826
68%
P X
(II-91)
2( 2 2 ) 2 1 2 2 1 2 0,9772 1 0,9544
95%
P X
(II-92)
Pravilo tri sigme
3( 3 3 ) 2 1 2 3 1 2 0,99865 1 0,9974
99,7%
P X
(II-93)
U primenama se često koristi pravilo tri sigme (II-93), koje slobodno rečeno, kaţe da je skoro nemoguće
( 99,7%P ) da odstupanje X od očekivane vrednosti bude veće od 3 . Znači, svako veće odstupanje
od 3 znači da se radi o neispravnom proizvodu (merenju) koji(e) treba odbaciti kao škart.
Primer II - 36 Imamo slučajnu promenljivu X sa Normalnom raspodelom i parametrima 50 i 2 .
Zanima nas verovatnoća da X bude izmeĎu 46 i 53.
Rešenje.
~ (50,4)X N , (46 53) ?P X
53 50 46 50(46 53) (1,5) ( 2)
2 2
(1,5) (2) 1 0,9332 0.9772 1 0,9104
P X
Primer II - 37 Neka je 2~ (2,3 )X N . Tada je
2 3 3 3 3 3 1 3
3 2 3 21 1,24 1 0.09
3 3
1 1,24 1 1 0.09 1 1,24 0.09
1 0,8925 0,5359
0.6434
P X P x P X P X P X P X
Koeficijenti asimetrije i spljoštenosti za Normalnu raspodelu iznose redom:
3 0 , 4 3 (II-94)
na osnovu čega se zaključuje da je ova raspodela simetrična sa normalnom spljoštenošću.
Slučajne promenljive i njihove raspodele 63
Teorema II - 13 Neka su 1 2, , , nX X X nezavisne slučajne promenljive sa istom raspodelom 2,N .
Tada su slučajne promenljive
1
n
k
k
X
i
2
1
n
k
k
Xn
(II-95)
nezavisne.
Napomena II - 11 Osobina navedena u prethodnoj teoremi karakteristična je za normalnu raspodelu.
Naime, i su nezavisne slučajne promenljive ako i samo ako su 1 2, , , nX X X nezavisne slučajne
promenljive sa Normalnom raspodelom.
Napomena II - 12 Na osnovu rezultata iz prethodne teoreme zakljčujemo da su i slučajne promenljive
1
1ˆ
n
k
k
Xn
i 22
1
1ˆ
1
n
k
k
s Xn
(II-96)
nezavisne, ako su 1 2, , , nX X X nezavisne slučajne promenljive sa Normalnom raspodelom.
GAUSOVA APROKSIMACIJA NEKIH RASPODELA
Aproksimacija Binomne raspodele
Ako slučajna promenljiva X ima binomnu raspodelu ( ~ ( , )X B n p ), onda za veliko n i ne premalo p
pribliţno vaţi
~ ( , )X N np npq (II-97)
Primer II - 38 U 12 bacanja novčića naĎi verovatnoću da će pasti izmeĎu 4 i 7 glava.
Rešenje. Neka je X slučajna promenljiva koja označava broj palih glava novčića u 12 bacanja. Ova
promenljiva ima binomnu raspodelu sa parametrima: 12n , 0.5p , 1 0.5q p , tj.
~ ( , ) (12,0.5)X B n p B . Odgovarajuće verovatnoće su:
1 212 12
12 121 1( 4) 0,121, ( 5) 0,193
4 52 2P X P X
3 412 12
12 121 1( 6) 0,226, ( 7) 0,193
6 72 2
(4 7) 0,733i
i
P X P X
P X P
Zahvaljujući većem broju bacanja novčića 12n , na mnogo brţi način se do pribliţnog rezultata dolazi
aproksimacijom binomne raspodele normalnom raspodelom, (II-97):
~ ( , ) (12 0.5, 12 0.5 0.5) (6,3) 6, 3X N np npq N N .
Dalje se ima
3,5 6 7,5 6(3,5 7,5) ( ) (0,87) ( 1,44) 0,8078 0,0749
3 3
0,733
P X P Z
Aproksimacija Poissonove raspodele
Ako slučajna promenljiva X ima Poisonovu raspodelu ( ~ ( )X Po ), za veliko 20 pribliţno vredi
~ ( , )X N (II-98)
64 Slučajne promenljive i njihove raspodele
Primer II - 39 Gajgerov brojač detektuje raspade koji slede Poissonovu raspodelu sa 25 raspada u
sekundi. Naći verovatnoću da u jednoj sekundi broj raspada bude izmeĎu 23 i 27 ( 23 27X ).
Rešenje: a) Model broja raspada u jedinici vremena odgovara Poissonovoj raspodeli sa 25
~ (25)X Po :
2325 25
( 23) 0,076323!
P X e
Za odreĎivanje ostalih sukcesivnih verovatnoća koristimo rekurentnu formulu (II-68):
25( 1) ( )
1P X x P X x
x
25( 24) ( 23) 0,0795, ( 25) ( 24) 0,0795
24P X P X P X P X
25 25( 26) ( 25) 0,0765, ( 27) ( 26) 0,0708
26 27P X P X P X P X
27
23
(23 27) ( ) 0,3826i
P X P X i
b) Pošto je 25 20 , da bi smo došli do rešenja moţemo iskoristiti apsoksimaciju Poissonove
raspodele ~ (25)X Po Normalnom raspodelom ~ (25,25)X N :
22,5 25 27,5 25(22,5 27,5) ( ) (0,5) ( 0,5) 0,6915 0,3085
5 5
0,3830
P X P Z
Na sledećoj slici prikazan je uzajamni odnos Normalne i Poissonove raspodele.
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
p(x
), f(x
)
X
U sledećoj tabeli date su neke moguće raspodele i njihove aproksimacije.
U prvom slučaju se za veliko n i malo p aproksimira binomna raspodela pomoću Poissonove raspodele.
Kada je n dovoljno veliko, binomna raspodela se moţe aproksimirati i Normalnom raspodelom.
Slučajne promenljive i njihove raspodele 65
Raspodela Ograničenja Aproksimacija
~ ( , )X B n p 50n , 0.1p ~ ( )X Po np
~ ( , )X B n p 10n , 0.5p ili
30n , 0.5p ~ ( , )X N np npq
~ ( )X Po 20 ~ ( , )X N
2.8.4 - RASPODELA
Definicija II - 26 Standardna gama raspodela. Kontinualna slučajna promenljiva X ima standardnu
gama raspodelu ako je njena funkcija gustine verovatnoće data sa
1
, 0( , ) ( )
0, 0
xx ex
f x
x
(II-99)
gdje je ( 0 ) parametar raspodele li stepen slobode, a
1
0
( ) , 0xx e dx
(II-100)
označava tzv. -funkciju.
U cilju lakšeg izračunavanja -funkcije daju se sledeće njene osobine:
1 ( ) ( 1) ( 1)
1( ) ( 1)!,
2n n n
Očekivanje i varijansa su:
( ) , ( )E X V X
Na sledećoj slici prikazana je funkcija gustine verovatnoće standardne gama raspodele.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 1 2 3 4 5
Definicija II - 27 Opšta gama raspodela. Kontinualna slučajna promenljiva X ima gama raspodelu ako
je njena funkcija gustine verovatnoće data sa
0.5
1 2
3
,f x
66 Slučajne promenljive i njihove raspodele
1 /
, 0( ; , ) ( )
0, 0
xx ex
f x
x
(II-101)
gde su i 0 .
Očekivanje i varijansa:
2( ) ( )E X V X
Opšta gama raspodela postaje standardna za 1 .
Poseban slučaj gama raspodele je eksponencijalna raspodela za koju vaţi: 1 i 1 .
VEZA NORMALNE I GAMA RASPODELE
Ako je X normalna slučajna promenljiva sa očekivanjem i standardnom devijacijom , onda slučajna
promenljiva
2
2
XU
(II-102)
ima gama raspodelu s parametrima 1/ 2 i 2 .
Napomena II - 13 Verovatnoća da veličina x
bude veća od nekog broja odreĎena je površinom
ispod repa gama raspodele (sa parametrima 1/ 2 i 2 ) koja se nalazi iza 2 . (videti osenčani deo
na sledećoj slici)
0 1 2 3 4 5
0,0
0,5
1,0
1,5
2
2.8.5 HI-KVADRAT RASPODELA
Definicija II - 28 Kontinualna slučajna promenljiva X ima Hi raspodelu sa parametrom n , u oznaci
2 n , ako je njena funkcija gustine verovatnoće data pomoću:
,f x
Slučajne promenljive i njihove raspodele 67
/2 1 /2
/2, 0
( , ) 2 ( / 2)
0, 0
n x
n
x ex
f x n n
x
(II-103)
Parametar n moţe biti proizvoljan pozitivni broj, ali je u primenama vaţan slučaj kada je n prirodan
broj. On se drugačije naziva “broj stepeni slobode”. Sa ( ) označena gama funkcija.
Grafik 2 raspodele, za različite vrednosti parametra n prikazan je na sledećoj sledećoj slici.
Funkcija raspodele je:
12 2
0 2
( , )
2 ( )2
n tx
n
t eF x n dt
n
(II-104)
Vrednosti funkcije raspodele u kojoj su stepeni slobode od 1 do 30 date su u sledećoj tabeli. Za veće
stepene slobode mogu se koristiti pribliţne vrednosti iz Normalne raspodele.
Za odreĎeni broj stepeni slobode n i dati broj ( 0 1 ) iz tablice se čita pozitivan broj x n takav
da je P x x n .
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Očekivana vrednost i varijansa iznose
E X n (II-105)
22 2E X n (II-106)
20n
2n
5n
10n
( , )f x n
x
68 Slučajne promenljive i njihove raspodele
2 - raspodela: F x n
n
.005 .010 .025 .050 .100 .250 .500 .750 .900 .950 .975 .990 .995
1 .0000 .0000 .0000 .0039 .0158 .102 .455 1.32 2.71 3.84 5.02 6.63 7.88
2 .0100 .0201 .0506 .1030 .211 .575 1.39 2.77 4.61 5.99 7.38 9.21 10.6
3 .0717 .115 .216 .352 .584 1.21 2.37 4.11 6.25 7.81 9.35 11.3 12.8
4 .207 .297 .484 .711 1.06 1.92 3.36 5.39 7.78 9.49 11.1 13.3 14.9
5 .412 .554 .831 1.15 1.61 2.67 4.35 6.63 9.24 11.1 12.8 15.1 16.7
6 .676 .872 1.24 1.64 2.20 3.45 5.35 7.84 10.6 12.6 14.4 16.8 18.5
7 .989 1.24 1.69 2.17 2.83 4.25 6.35 9.04 12.0 14.1 16.0 18.5 20.3
8 1.34 1.65 2.18 2.73 3.49 5.07 7.34 10.2 13.4 15.5 17.5 20.1 22.0
9 1.73 2.09 2.70 3.33 4.17 5.90 8.34 11.4 14.7 16.9 19.0 21.7 23.6
10 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 6.74 9.34 12.5 16.0 18.3 20.5 23.2 25.2
11 2.60 3.05 3.82 4.57 5.58 7.58 10.3 13.7 17.3 19.7 21.9 24.7 26.8
12 3.07 3.57 4.40 5.23 6.30 8.44 11.3 14.8 18.5 21.0 23.3 26.2 28.3
13 3.57 4.11 5.01 5.89 7.04 9.30 12.3 16.0 19.8 22.4 24.7 27.7 29.8
14 4.07 4.6 5.63 6.57 7.79 10.2 13.3 17.1 21.2 23.7 26.1 29.1 31.3
15 4.60 5.23 6.26 7.26 8.55 11.0 14.3 18.2 22.3 25.0 27.5 30.6 32.8
16 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 11.9 15.3 19.4 23.5 26.3 28.8 32.0 34.3
17 5.70 6.41 7.56 8.67 10.1 12.8 16.3 20.5 24.8 27.6 30.2 33.4 35.7
18 6.26 7.01 8.23 9.39 10.9 13.7 17.3 21.6 26.0 28.9 31.5 34.8 37.2
19 6.84 7.63 8.91 10.1 11.7 14.6 18.3 22.7 27.2 30.1 32.9 36.2 38.6
20 7.43 8.26 9.59 10.9 12.4 15.5 19.3 23.8 28.4 31.4 34.2 37.6 40.0
21 8.03 8.90 10.3 11.6 13.2 16.3 20.3 24.9 29.6 32.7 35.5 38.9 41.4
22 8.64 9.54 11.0 12.3 14.0 17.2 21.3 26.0 30.8 33.9 36.8 40.3 42.8
23 9.26 10.2 11.7 13.1 14.8 18.1 22.3 27.1 32.0 35.2 38.1 41.6 44.2
24 9.89 10.9 12.4 13.8 15.7 19.0 23.3 28.2 33.2 36.4 39.4 43.0 45.6
25 10.5 11.5 13.1 14.6 16.5 19.9 24.3 29.3 34.4 37.7 40.6 44.3 46.9
26 11.2 12.2 13.8 15.4 17.3 20.8 25.3 30.4 35.6 38.9 41.9 45.6 48.3
27 11.8 12.9 14.6 16.2 18.1 21.7 26.3 31.5 36.7 40.1 43.2 47.0 49.6
28 12.5 13.6 15.3 16.9 18.9 22.7 27.3 32.6 37.9 41.3 44.5 48.3 51.0
29 13.1 14.3 16.0 17.7 19.8 23.6 28.3 33.7 39.1 42.6 45.7 49.6 52.3
30 13.8 15.0 16.8 18.5 20.6 24.5 29.3 34.8 40.3 43.8 47.0 50.9 53.7
x n
x n
F x n P x x n
Slučajne promenljive i njihove raspodele 69
Običan moment k-tog reda dat je izrazom
2 4 2 2km n n n n k (II-107)
Koeficijent asimetrije ima vrednost
3
8
n (II-108)
a koeficijent spljoštenosti
4
123
n (II-109)
Iz (II-108) se vidi da 2 raspodela teţi simetričnoj raspodeli kad n , a iz (II-109) se vidi da ona teţi
raspodeli sa normalnom spljoštenošću.
Teorema II - 14 Neka su 1 2, , , nZ Z Z nezavisne slučajne promenljive sa 0,1N raspodelom i neka je
2 2 2
1 2 ,nV Z Z Z n (II-110)
Slučajna promenljiva V ima 2 n raspodelu.
Teorema II - 15 Neka je 2~V n . Kada n , funkcija raspodele slučajne promenljive
2
V n
n
(II-111)
konvergira funkciji raspodele 0,1N .
Teorema II - 16 Neka su 1 2, , , nX X X nezavisne slučajne promenljive sa istom raspodelom 2,N i
neka je
1 2ˆ nX X X
n
(II-112)
Tada vaţi:
2 2
21
1~
n
k
k
X n
(II-113)
2 2
21
1ˆ ~ 1
n
k
k
X n
(II-114)
2.8.6 STUDENTOVA T - RASPODELA
Definicija II - 29 Kontinualna slučajna promenljiva X ima studentovu t -raspodelu ( ~X t n ) sa
parametrom n ako je njena funkcija gustine verovatnoće data pomoću:
12 2
1( )
2( , ) 1
( )2
nn
xf x n
n nn
(II-115)
Parametar n moţe biti proizvoljan pozitivni broj, ali se ova raspodela uglavnom koristi kada je n .
Očekivana vrednost i varijansa iznose:
70 Slučajne promenljive i njihove raspodele
20,1
nE X
n
(II-116)
Obični i centralni momenti su meĎusobno jednaki.
Koeficijent asimetrije i spljoštenosti iznose redom:
3 4
60, 3
4n
(II-117)
Kad n studentova t-raspodela t n teţi standardnoj Normalnoj raspodeli 0,1N .
Funkcija raspodele data je sa:
12 2
1( )
2( , ) 1
( )2
nx
n
xF x n
n nn
(II-118)
Grafik funkcija gustine verovatnoće studentove t-raspodele, za različite vrednosti parametra n prikazan je
na sledećoj slici.
Teorema II - 17 Neka su 1 2, , , nX X X nezavisne slučajne promenljive sa 2,N raspodelom i neka
je
2
1 1
1 1ˆ ˆ,
1
n n
k k
k k
X s Xn n
(II-119)
Tada je
ˆ
~ 1n t ns
(II-120)
Teorema II - 18 Neka je 1 1, , , , ,n nX X Y Y skup nezavisnih slučajnih promenljivih, gde
2
1~ ,iX N , 2
2~ ,jY N , 11, ,i n , 21, ,j n . Neka su 2
1 1ˆ , s i 2
2 2ˆ , s definisani pomoću
(II-119) za iX , jY respektivno. Definišimo
1 2 22
1 22 2
1 11 1 2 22
1,2
1 1 1 1
ˆ ˆ1 1
2 2
n n
i j
i j
X Yn s n s
sn n n n
(II-121)
Slučajna promenljiva
( , )f x n
0,1N
t n
Slučajne promenljive i njihove raspodele 71
1 2 1 2
1,2
1 2
ˆ ˆ
1 1T
sn n
(II-122)
ima raspodelu 1 2 2t n n
Vrednosti funkcije raspodele u kojoj su stepeni slobode od 1 do 30 date su u sledećoj tabeli. Za odreĎeni
broj stepeni slobode n i dati broj ( 0 1 ) iz tablice se čita pozitivan broj t n takav da je
P x t n
t n
F t n P x t n
72 Slučajne promenljive i njihove raspodele
Studentova t-raspodela: F t n
n .75 .90 .95 .975 .99 .995 .9995
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
1.000
.816
.765
.741
.727
.718
.711
.706
.703
.700
.697
.695
.694
.692
.691
.690
.689
.688
.688
.687
.686
.686
.685
.685
.684
.684
.684
.683
.683
.683
.681
.679
.677
.674
3.078
1.886
1.638
1.533
1.476
1.440
1.415
1.397
1.383
1.327
1.363
1.356
1.350
1.345
1.341
1.337
1.333
1.330
1.328
1.325
1.233
1.321
1.319
1.318
1.316
1.315
1.314
1.313
1.311
1.310
1.303
1.296
1.289
1.282
6.314
2.920
2.353
2.132
2.015
1.943
1.895
1.860
1.833
1.812
1.796
1.782
1.771
1.761
1.753
1.746
1.740
1.734
1.729
1.725
1.721
1.717
1.714
1.711
1.708
1.706
1.703
1.701
1.699
1.697
1.684
1.671
1.658
1.645
12.706
4.303
3.182
2.776
2.571
2.447
2.365
2.306
2.262
2.228
2.201
2.179
2.160
2.145
2.131
2.120
2.110
2.101
2.093
2.086
2.080
2.074
2.069
2.064
2.060
2.056
2.052
2.048
2.045
2.042
2.021
2.000
1.980
1.960
31.821
6.965
4.541
3.747
3.365
3.143
2.998
2.896
2.821
2.764
2.718
2.681
2.650
2.624
2.602
2.583
2.567
2.552
2.539
2.528
2.518
2.508
2.500
2.492
2.485
2.479
2.473
2.467
2.462
2.457
2.423
2.390
2.358
2.326
63.657
9.925
5.841
4.604
4.032
3.707
3.499
3.355
3.250
3.169
3.106
3.055
3.012
2.977
2.947
2.921
2.898
2.878
2.861
2.845
2.831
2.819
2.807
2.797
2.787
2.779
2.771
2.763
2.756
2.750
2.704
2.660
2.617
2.576
636.619
31.598
12.941
8.610
6.859
5.959
5.405
5.041
4.781
4.587
4.437
4.318
4.221
4.140
4.073
4.015
3.965
3.922
3.883
3.850
3.819
3.792
3.767
3.745
3.725
3.707
3.690
3.674
3.659
3.646
3.551
3.460
3.373
3.291
t n
Slučajne promenljive i njihove raspodele 73
2.8.7 F-RASPODELA
Definicija II - 30 Kontinualna slučajna promenljiva X ima F-raspodelu ( 1 2~ ,X F n n ) sa 1n i
2n
stepeni slobode ako je njena funkcija gustine verovatnoće data pomoću:
11
1 2
21 2
221
1 2
1 2 2 21
2
2( , , ) , 0
2 2 1
nn
n n
n n
n xf x n n x
n n nn
xn
(II-123)
Funkcija raspodele iznosi
1 2 1 2
0
, , , ,
x
F x n n f y n n dy (II-124)
Očekivana vrednost F-raspodele jednaka je
2
2 2
n
n
(II-125)
a varijansa
2
2 1 22
2
1 2 2
2 2
2 4
n n n
n n n
(II-126)
Prilikom odreĎivanja verovatnoća slučajne promenljive sa F-raspodelom, koristimo Tabelu F-raspodele.
Ova tabela sadrţi vrednosti 1 2,f n n za koje je funkcija raspodele jednaka 0.05 i 0.01 a za
različite stepene slobode 1n i 2n .
1 2,f n n
1
1 2 1 2, , 1P x f n n F x n n
1 2; ,f x n n
74 Slučajne promenljive i njihove raspodele
1 2, 1 0.99P F f n n
n2\n1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 4052,181 4999,500 5403,352 5624,583 5763,650 5858,986 5928,356 5981,070 6022,473 6055,847
2 98,503 99,000 99,166 99,249 99,299 99,333 99,356 99,374 99,388 99,399
3 34,116 30,817 29,457 28,710 28,237 27,911 27,672 27,489 27,345 27,229
4 21,198 18,000 16,694 15,977 15,522 15,207 14,976 14,799 14,659 14,546
5 16,258 13,274 12,060 11,392 10,967 10,672 10,456 10,289 10,158 10,051
6 13,745 10,925 9,780 9,148 8,746 8,466 8,260 8,102 7,976 7,874
7 12,246 9,547 8,451 7,847 7,460 7,191 6,993 6,840 6,719 6,620
8 11,259 8,649 7,591 7,006 6,632 6,371 6,178 6,029 5,911 5,814
9 10,561 8,022 6,992 6,422 6,057 5,802 5,613 5,467 5,351 5,257
10 10,044 7,559 6,552 5,994 5,636 5,386 5,200 5,057 4,942 4,849
11 9,646 7,206 6,217 5,668 5,316 5,069 4,886 4,744 4,632 4,539
12 9,330 6,927 5,953 5,412 5,064 4,821 4,640 4,499 4,388 4,296
13 9,074 6,701 5,739 5,205 4,862 4,620 4,441 4,302 4,191 4,100
14 8,862 6,515 5,564 5,035 4,695 4,456 4,278 4,140 4,030 3,939
15 8,683 6,359 5,417 4,893 4,556 4,318 4,142 4,004 3,895 3,805
16 8,531 6,226 5,292 4,773 4,437 4,202 4,026 3,890 3,780 3,691
17 8,400 6,112 5,185 4,669 4,336 4,102 3,927 3,791 3,682 3,593
18 8,285 6,013 5,092 4,579 4,248 4,015 3,841 3,705 3,597 3,508
19 8,185 5,926 5,010 4,500 4,171 3,939 3,765 3,631 3,523 3,434
20 8,096 5,849 4,938 4,431 4,103 3,871 3,699 3,564 3,457 3,368
21 8,017 5,780 4,874 4,369 4,042 3,812 3,640 3,506 3,398 3,310
22 7,945 5,719 4,817 4,313 3,988 3,758 3,587 3,453 3,346 3,258
23 7,881 5,664 4,765 4,264 3,939 3,710 3,539 3,406 3,299 3,211
24 7,823 5,614 4,718 4,218 3,895 3,667 3,496 3,363 3,256 3,168
25 7,770 5,568 4,675 4,177 3,855 3,627 3,457 3,324 3,217 3,129
26 7,721 5,526 4,637 4,140 3,818 3,591 3,421 3,288 3,182 3,094
27 7,677 5,488 4,601 4,106 3,785 3,558 3,388 3,256 3,149 3,062
28 7,636 5,453 4,568 4,074 3,754 3,528 3,358 3,226 3,120 3,032
29 7,598 5,420 4,538 4,045 3,725 3,499 3,330 3,198 3,092 3,005
30 7,562 5,390 4,510 4,018 3,699 3,473 3,304 3,173 3,067 2,979
40 7,314 5,179 4,313 3,828 3,514 3,291 3,124 2,993 2,888 2,801
60 7,077 4,977 4,126 3,649 3,339 3,119 2,953 2,823 2,718 2,632
120 6,851 4,787 3,949 3,480 3,174 2,956 2,792 2,663 2,559 2,472
inf 6,635 4,605 3,782 3,319 3,017 2,802 2,639 2,511 2,407 2,321
Slučajne promenljive i njihove raspodele 75
n2\n1 12 15 20 24 30 40 60 120 INF
1 6106,321 6157,285 6208,730 6234,631 6260,649 6286,782 6313,030 6339,391 6365,864
2 99,416 99,433 99,449 99,458 99,466 99,474 99,482 99,491 99,499
3 27,052 26,872 26,690 26,598 26,505 26,411 26,316 26,221 26,125
4 14,374 14,198 14,020 13,929 13,838 13,745 13,652 13,558 13,463
5 9,888 9,722 9,553 9,466 9,379 9,291 9,202 9,112 9,020
6 7,718 7,559 7,396 7,313 7,229 7,143 7,057 6,969 6,880
7 6,469 6,314 6,155 6,074 5,992 5,908 5,824 5,737 5,650
8 5,667 5,515 5,359 5,279 5,198 5,116 5,032 4,946 4,859
9 5,111 4,962 4,808 4,729 4,649 4,567 4,483 4,398 4,311
10 4,706 4,558 4,405 4,327 4,247 4,165 4,082 3,996 3,909
11 4,397 4,251 4,099 4,021 3,941 3,860 3,776 3,690 3,602
12 4,155 4,010 3,858 3,780 3,701 3,619 3,535 3,449 3,361
13 3,960 3,815 3,665 3,587 3,507 3,425 3,341 3,255 3,165
14 3,800 3,656 3,505 3,427 3,348 3,266 3,181 3,094 3,004
15 3,666 3,522 3,372 3,294 3,214 3,132 3,047 2,959 2,868
16 3,553 3,409 3,259 3,181 3,101 3,018 2,933 2,845 2,753
17 3,455 3,312 3,162 3,084 3,003 2,920 2,835 2,746 2,653
18 3,371 3,227 3,077 2,999 2,919 2,835 2,749 2,660 2,566
19 3,297 3,153 3,003 2,925 2,844 2,761 2,674 2,584 2,489
20 3,231 3,088 2,938 2,859 2,778 2,695 2,608 2,517 2,421
21 3,173 3,030 2,880 2,801 2,720 2,636 2,548 2,457 2,360
22 3,121 2,978 2,827 2,749 2,667 2,583 2,495 2,403 2,305
23 3,074 2,931 2,781 2,702 2,620 2,535 2,447 2,354 2,256
24 3,032 2,889 2,738 2,659 2,577 2,492 2,403 2,310 2,211
25 2,993 2,850 2,699 2,620 2,538 2,453 2,364 2,270 2,169
26 2,958 2,815 2,664 2,585 2,503 2,417 2,327 2,233 2,131
27 2,926 2,783 2,632 2,552 2,470 2,384 2,294 2,198 2,097
28 2,896 2,753 2,602 2,522 2,440 2,354 2,263 2,167 2,064
29 2,868 2,726 2,574 2,495 2,412 2,325 2,234 2,138 2,034
30 2,843 2,700 2,549 2,469 2,386 2,299 2,208 2,111 2,006
40 2,665 2,522 2,369 2,288 2,203 2,114 2,019 1,917 1,805
60 2,496 2,352 2,198 2,115 2,028 1,936 1,836 1,726 1,601
120 2,336 2,192 2,035 1,950 1,860 1,763 1,656 1,533 1,381
inf 2,185 2,039 1,878 1,791 1,696 1,592 1,473 1,325 1,000
76 Slučajne promenljive i njihove raspodele
1 2, 1 0.95P F f n n
n2\n1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 161,4476 199,5 215,7073 224,5832 230,1619 233,986 236,7684 238,8827 240,5433 241,8817
2 18,5128 19 19,1643 19,2468 19,2964 19,3295 19,3532 19,371 19,3848 19,3959
3 10,128 9,5521 9,2766 9,1172 9,0135 8,9406 8,8867 8,8452 8,8123 8,7855
4 7,7086 6,9443 6,5914 6,3882 6,2561 6,1631 6,0942 6,041 5,9988 5,9644
5 6,6079 5,7861 5,4095 5,1922 5,0503 4,9503 4,8759 4,8183 4,7725 4,7351
6 5,9874 5,1433 4,7571 4,5337 4,3874 4,2839 4,2067 4,1468 4,099 4,06
7 5,5914 4,7374 4,3468 4,1203 3,9715 3,866 3,787 3,7257 3,6767 3,6365
8 5,3177 4,459 4,0662 3,8379 3,6875 3,5806 3,5005 3,4381 3,3881 3,3472
9 5,1174 4,2565 3,8625 3,6331 3,4817 3,3738 3,2927 3,2296 3,1789 3,1373
10 4,9646 4,1028 3,7083 3,478 3,3258 3,2172 3,1355 3,0717 3,0204 2,9782
11 4,8443 3,9823 3,5874 3,3567 3,2039 3,0946 3,0123 2,948 2,8962 2,8536
12 4,7472 3,8853 3,4903 3,2592 3,1059 2,9961 2,9134 2,8486 2,7964 2,7534
13 4,6672 3,8056 3,4105 3,1791 3,0254 2,9153 2,8321 2,7669 2,7144 2,671
14 4,6001 3,7389 3,3439 3,1122 2,9582 2,8477 2,7642 2,6987 2,6458 2,6022
15 4,5431 3,6823 3,2874 3,0556 2,9013 2,7905 2,7066 2,6408 2,5876 2,5437
16 4,494 3,6337 3,2389 3,0069 2,8524 2,7413 2,6572 2,5911 2,5377 2,4935
17 4,4513 3,5915 3,1968 2,9647 2,81 2,6987 2,6143 2,548 2,4943 2,4499
18 4,4139 3,5546 3,1599 2,9277 2,7729 2,6613 2,5767 2,5102 2,4563 2,4117
19 4,3807 3,5219 3,1274 2,8951 2,7401 2,6283 2,5435 2,4768 2,4227 2,3779
20 4,3512 3,4928 3,0984 2,8661 2,7109 2,599 2,514 2,4471 2,3928 2,3479
21 4,3248 3,4668 3,0725 2,8401 2,6848 2,5727 2,4876 2,4205 2,366 2,321
22 4,3009 3,4434 3,0491 2,8167 2,6613 2,5491 2,4638 2,3965 2,3419 2,2967
23 4,2793 3,4221 3,028 2,7955 2,64 2,5277 2,4422 2,3748 2,3201 2,2747
24 4,2597 3,4028 3,0088 2,7763 2,6207 2,5082 2,4226 2,3551 2,3002 2,2547
25 4,2417 3,3852 2,9912 2,7587 2,603 2,4904 2,4047 2,3371 2,2821 2,2365
26 4,2252 3,369 2,9752 2,7426 2,5868 2,4741 2,3883 2,3205 2,2655 2,2197
27 4,21 3,3541 2,9604 2,7278 2,5719 2,4591 2,3732 2,3053 2,2501 2,2043
28 4,196 3,3404 2,9467 2,7141 2,5581 2,4453 2,3593 2,2913 2,236 2,19
29 4,183 3,3277 2,934 2,7014 2,5454 2,4324 2,3463 2,2783 2,2229 2,1768
30 4,1709 3,3158 2,9223 2,6896 2,5336 2,4205 2,3343 2,2662 2,2107 2,1646
40 4,0847 3,2317 2,8387 2,606 2,4495 2,3359 2,249 2,1802 2,124 2,0772
60 4,0012 3,1504 2,7581 2,5252 2,3683 2,2541 2,1665 2,097 2,0401 1,9926
120 3,9201 3,0718 2,6802 2,4472 2,2899 2,175 2,0868 2,0164 1,9588 1,9105
inf 3,8415 2,9957 2,6049 2,3719 2,2141 2,0986 2,0096 1,9384 1,8799 1,8307
Slučajne promenljive i njihove raspodele 77
n2\n1 12 15 20 24 30 40 60 120 inf
1 243,906 245,9499 248,0131 249,0518 250,0951 251,1432 252,1957 253,2529 254,3144
2 19,4125 19,4291 19,4458 19,4541 19,4624 19,4707 19,4791 19,4874 19,4957
3 8,7446 8,7029 8,6602 8,6385 8,6166 8,5944 8,572 8,5494 8,5264
4 5,9117 5,8578 5,8025 5,7744 5,7459 5,717 5,6877 5,6581 5,6281
5 4,6777 4,6188 4,5581 4,5272 4,4957 4,4638 4,4314 4,3985 4,365
6 3,9999 3,9381 3,8742 3,8415 3,8082 3,7743 3,7398 3,7047 3,6689
7 3,5747 3,5107 3,4445 3,4105 3,3758 3,3404 3,3043 3,2674 3,2298
8 3,2839 3,2184 3,1503 3,1152 3,0794 3,0428 3,0053 2,9669 2,9276
9 3,0729 3,0061 2,9365 2,9005 2,8637 2,8259 2,7872 2,7475 2,7067
10 2,913 2,845 2,774 2,7372 2,6996 2,6609 2,6211 2,5801 2,5379
11 2,7876 2,7186 2,6464 2,609 2,5705 2,5309 2,4901 2,448 2,4045
12 2,6866 2,6169 2,5436 2,5055 2,4663 2,4259 2,3842 2,341 2,2962
13 2,6037 2,5331 2,4589 2,4202 2,3803 2,3392 2,2966 2,2524 2,2064
14 2,5342 2,463 2,3879 2,3487 2,3082 2,2664 2,2229 2,1778 2,1307
15 2,4753 2,4034 2,3275 2,2878 2,2468 2,2043 2,1601 2,1141 2,0658
16 2,4247 2,3522 2,2756 2,2354 2,1938 2,1507 2,1058 2,0589 2,0096
17 2,3807 2,3077 2,2304 2,1898 2,1477 2,104 2,0584 2,0107 1,9604
18 2,3421 2,2686 2,1906 2,1497 2,1071 2,0629 2,0166 1,9681 1,9168
19 2,308 2,2341 2,1555 2,1141 2,0712 2,0264 1,9795 1,9302 1,878
20 2,2776 2,2033 2,1242 2,0825 2,0391 1,9938 1,9464 1,8963 1,8432
21 2,2504 2,1757 2,096 2,054 2,0102 1,9645 1,9165 1,8657 1,8117
22 2,2258 2,1508 2,0707 2,0283 1,9842 1,938 1,8894 1,838 1,7831
23 2,2036 2,1282 2,0476 2,005 1,9605 1,9139 1,8648 1,8128 1,757
24 2,1834 2,1077 2,0267 1,9838 1,939 1,892 1,8424 1,7896 1,733
25 2,1649 2,0889 2,0075 1,9643 1,9192 1,8718 1,8217 1,7684 1,711
26 2,1479 2,0716 1,9898 1,9464 1,901 1,8533 1,8027 1,7488 1,6906
27 2,1323 2,0558 1,9736 1,9299 1,8842 1,8361 1,7851 1,7306 1,6717
28 2,1179 2,0411 1,9586 1,9147 1,8687 1,8203 1,7689 1,7138 1,6541
29 2,1045 2,0275 1,9446 1,9005 1,8543 1,8055 1,7537 1,6981 1,6376
30 2,0921 2,0148 1,9317 1,8874 1,8409 1,7918 1,7396 1,6835 1,6223
40 2,0035 1,9245 1,8389 1,7929 1,7444 1,6928 1,6373 1,5766 1,5089
60 1,9174 1,8364 1,748 1,7001 1,6491 1,5943 1,5343 1,4673 1,3893
120 1,8337 1,7505 1,6587 1,6084 1,5543 1,4952 1,429 1,3519 1,2539
inf 1,7522 1,6664 1,5705 1,5173 1,4591 1,394 1,318 1,2214 1
78 Slučajne promenljive i njihove raspodele
2.9 GRANIĈNE TEOREME
U ovoj glavi izučavamo probleme konvergencije u teoriji verovatnoće, koji daju osnovu za primenu
teorije verovatnoće u realnom svetu.
U realnim situacijama skoro nikada ne moţemo doneti pouzdane zaključke samo na osnovu jednog ili dva
merenja. Pouzdani zaključci se donose na osnovu rezultata odreĎivanja velikog broja vrednosti iste
slučajne promenljive X. Ako svako merenje shvatimo kao novu slučajnu promenljivu, imaćemo niz
slučajnih promenljivih 1 2, ,..., nX X X za jednu seriju merenja. Pojmovi iz verovatnoće i njihove primene u
statistici dolaze do izraţaja upravo u dugačkim serijama merenja – tj. pri posmatranju dugačkih nizova
slučajnih promenljivih.
U matematičkoj analizi definiše se pojam granične vrednosti niza realnih brojeva 1 2, ,..., ,nx x x tako što
se zahteva da, za dovoljno veliko n, razlika izmeĎu nx i granične vrednosti bude proizvoljno mala.
MeĎutim, za niz slučajnih promenljivih 1 2, ,..., ,nX X X ovaj zahtev je previše strog. Naime, Sva
tvrĎenja u vezi sa slučajnim promenljivim vaţe sa nekom verovatnoćom, pa najviše što moţemo da
ustanovimo jeste da je verovatnoća dogaĎaja da je lim nn
X X
jednaka 1, gde je X slučajna promenljiva.
Ovo je tzv. stroga konvergencija ili konvergencija skoro svuda. U mnogim problemima vezanim za
nizove slučajnih promenljivih nije neophodna stroga konvergencija, pa se definišu i druge vrste
konvergencije, kao što su konvrgencija u verovatnoći, konvergencija u raspodeli, konvergencija u
srednje-kvadratnom smislu itd.
Definicija II - 31 Neka su 1 2, , ..., ,nX X X X slučajne promenljive.
a) Kaţemo da niz 1 2, ,..., ,nX X X strogo konvergira ili konvergira skoro svuda ka sluĉajnoj
promenljivoj X ako je
lim 1nn
P X X
(II-127)
b) Niz 1 2, ,..., ,nX X X konvergira ka X u verovatnoći ako je
lim 0nn
P X X
za svako 0 (II-128)
c) Niz 1 2, ,..., ,nX X X konvergira ka X u raspodeli ili slabo konvergira ako je
lim n nn
P X x P X x
(II-129)
u svakoj tački x u kojoj je funkcija raspodele F x P X x neprekidna.
d) Ta dato 1p , kaţemo da niz 1 2, ,..., ,nX X X pL -konvergira ka X ako je
lim 0p
nn
E X X
(II-130)
Specijalno, za 2p kaţemo da niz 1 2, ,..., ,nX X X konvergira u rednje-kvadratnom smislu.
Odnos izmeĎu raznih vrsta konvergencija opisan je u sledećoj teoremi.
Teorema II - 19
a) Stroga konvergencija povlači konvergenciju u verovatnoći.
b) pL -konvergencija povlači konvergenciju u verovatnoći.
c) Konvergencija u verovatnoći povlači konvergenciju u raspodeli
Mnogi vaţni rezultati teorije verovatnoće su formulisani u formi graničnih teorema. Dve osnovne grupe
graničnih teorema su zakoni velikih brojeva i centralne graniĉne teoreme. Granične teoreme su
Slučajne promenljive i njihove raspodele 79
nezamenljiv matematički aparat u oblasti praktičnih primena verovatnoće. One daju teorijsku podlogu za
mogućnost ,,predskazanja" rezultata masovnih slučajnih pojava i nalaţenje grešaka takvih statističkih
procena.
2.9.1 ZAKONI VELIKIH BROJEVA
Zakoni velikih brojeva, u širem smislu, znače da pri vrlo velikom broju slučajnih pojava njihov srednji
rezultat (aritmetička sredina) prestaje da bude slučajan i moţe se predskazati sa velikom pouzdanošću. U
uţem smislu, ovi zakoni razmatraju razne oblike konvergencije niza slučajnih promenljivih ka
matematičkom očekivanju i u vidu matematičkih teorema daju uslove pod kojima ukupno dejstvo
slučajnih uticaja dovodi do rezultata koji skoro ne zavise od slučaja.
Na primer, pri velikom broju ponavljanja bacanja kocke za igru, pri čemu ishod pri svakom bacanju
smatramo slučajnom promenljivom, broj 1 (recimo) će pasti u pribliţno / 6n slučajeva, gde je n broj
bacanja. Što je n veće, to će verovatnoća da je broj pojava jedinice blizu / 6n biti veća.
Neka su merenja nezavisna i vrše se pod istim uslovima, tj. predstavljaju jedan niz slučajnih promenljivih
1 2, ,...X X koje su nezavisne i sa istom raspodelom. Neka postoji kE X , 1,2,k . Razmotrimo n
merenja ( 1n ).
Definicija II - 32 Neka su 1 2, ,..., nX X X slučajne promenljive. Kaţemo da one čine sluĉajni uzorak
veličine n, ako su promenljive iX nezavisne i imaju iste raspodele verovatnoće.
Označimo sa nX novu slučajnu promenljivu čije vrednosti predstavljaju aritmetičku sredinu (prosek) tih
n merenja.
Definicija II - 33 Slučajna promenljiva
1
1 n
n i
i
X Xn
(II-131)
naziva se aritmetiĉka sredina (ili prosek) uzorka 1 2, ,..., nX X X .
Teorema II - 20 Ĉebiševljev slabi zakon velikih brojeva.
Neka su 1 2, ,...X X nezavisne slučajne promenljive sa kE X i sa konačnim varijansama kV X V
za svako 1,2,k gde je V pozitivna konstanta. Tada niz aritmetičkih sredina konvergira u verovatnoći
ka , tj.
lim 0nn
P X
, za svako 0 (II-132)
Dakle, zakon velikih brojeva tvrdi da ako je broj merenja n dovoljno veliki, mala je verovatnoća da nX
nije zadovoljavajuća vrednost za E X .
U posebnom slučaju kada su 1 2, ,...X X Bernoullijeve slučajne promenljive sa verovatnoćom uspeha p,
dobija sa tzv. Bernoullijev zakon velikih brojeva. Pre nego što damo iskaz Bernoullijevog zakona, najpre
definišemo tzv. indikator dogaĎaja i slučajnu promenljivu koja predstavlja broj uspeha u n eksperimenata.
Definicija II - 34 Indikator iI dogaĎaja A ( ( )P A p ) u i-tom ponovljenom Bernulijeovom
eksperimentu, 1,2, ,i n
1, desio se A
0, desio se A'iI
(II-133)
je slučajna promenljiva sa raspodelom
80 Slučajne promenljive i njihove raspodele
, 1 (desio se A)
( ), 0 (desio se A')
p xp x
q x
(II-134)
Definišimo slučajnu promenljivu nS kao broj uspeha u n eksperimenata:
1 2n nS I I I (II-135)
Kao što nam je poznato, ova slučajna promenljiva ima binomnu raspodelu ( ~ ( , )nS B n p ).
Teorema II - 21 Bernoulijev slab zakon velikih brojeva.
Neka je dat niz ponovljenih eksperimenata i neka jenS slučajna promenljiva koja predstavlja broj
realizacija dogaĎaja A, čija je verovatnoća P A p . Tada za niz ponovljenih eksperimenata vaţi zakon
velikih brojeva, tj.
lim 0n
n
SP p
n
, za svako 0 (II-136)
Ovaj zakon je od istorijskog interesa jer predstavlja pokušaj opravdavanja statističke definicije
verovatnoće. Naime, ponavljajući eksperiment u kome dogaĎaj A (uspeh) moţe da se dogodi sa
verovatnoćom p, beleţimo broj uspeha nS i delimo sa n; Bernoullijev zakon tvrdi da ovaj količnik
konvergira u verovatnoći ka stvarnoj vrednosti verovatnoće p.
Prethodne dve teoreme spadaju u klasu slabih zakona velikih brojeva jer niz 1 2, ,..., nX X X , kad n
konvergira ka X u verovatnoći.
Sledeće teoreme definišu stroge zakone velikih brojeva, pošto niz 1 2, ,..., nX X X , kad n strogo
konvergira ili konvergira skoro svuda ka slučajnoj promenljivoj X.
Teorema II - 22 Borelov strogi zakon velikih brojeva
Neka je nS broj uspeha u n Bernoullijevih eksperimenata, sa verovatnoćom uspeha p. Tada je
lim 1n
n
SP p
n
(II-137)
Teorema II - 23. Kolmogorov strogi zakon velikih brojeva
a) Neka su 1 2, ,...X X nezavisne slučajne promenljive sa istom raspodelom i matematičkim
očekivanjem . Tada vaţi:
lim 1nn
P X
(II-138)
b) Ako su 1 2, ,...X X nezavisne slučajne promenljive sa istom raspodelom i ako postoji realan broj b
takav da je
lim 1nn
P X b
(II-139)
tada je 1E X b .
Primetimo da se u formulaciji prethodne teoreme ne postavlja uslov da postoji varijansa.
Primer II - 40 Ako je X brojni rezultat eksperimenta i ako nezavisne eksperimente ponavljano n puta,
dobijamo nezavisne slučajne promenljive 1 2, ,..., nX X X sa istom raspodelom kao i X. Formiramo niz
Slučajne promenljive i njihove raspodele 81
1
1ˆ
n
n n i
i
X Xn
Iz prethodne teoreme sledi:
Ako se sa povećanjem n, ˆn teţi nekoj konačnoj vrednosti , onda je to matematičko očekivanje
raspodele za X i vaţi aproksimacija:
1
1ˆ
n
n i
i
E X Xn
Ako ˆn divergira, tada raspodela nema matematičko očekivanje.
2.9.2 CENTRALNA GRANIĈNA TEOREMA
Dok zakoni velikih brojeva tvrde da aritmetička sredina konvergira ka matematičkom očekivanju,
centralna granična teorema (kraće, CGT) daje asimptotsku raspodelu aritmetičke sredine. Termin
centralna ukazuje na to da ova teorema ima centralno mesto u teoriji verovatnoće i njenim primenama.
Teorema II - 24 Centralna graniĉna teorema (CTG)
Neka su 1 2, ,...X X nezavisne slučajne promenljive sa istom raspodelom, konačnim matematičkim
očekivanjima kE X i varijansama 2
kV X , za 1,2,k . Tada slučajna promenljiva:
1 1n k n
n
k
X X nE X X X nZ
n V X n
(II-140)
konvergira u raspodeli ka ~ 0,1Z N , tj.
2 /21
lim2
x
t
nn
P Z x e dt x
(II-141)
Napomena II - 14 Slučajna promenljiva 0,1 , kad nZ N n moţe se iskazati i preko zbira nS i
aritmetičke sredine nX niza slučajnih promenljivih 1 2, ,...X X na sledeći način:
1
20,1 , kad
n nn n nn
n
S E SX X n S n S nZ Z N n
n n V Sn
1
0,1 , kad /
n
n nnn
n
X Xn
X E XXnZ Z N n
n n V X
Teorema II - 25 Nejednakost Ĉebiševa. Ako postoji varijansa slučajne promenljive X, V X , tada je
2
V XP X E X
(II-142)
Nejednakost Čebiševa kaţe nam da verovatnoća da slučajna promenljiva X, koja poprima vrednost izvan
intervala ,X X za proizvoljno 0 , manja je ili jednaka 2V X .
X X X
82 Slučajne promenljive i njihove raspodele
Primena CGT. Za konačno ali veliko n, iz centralne granične teoreme zaključujemo da vaţe sledeće
aproksimacije (u smislu raspodele):
1) Slučajna promenljiva 1 /n nX X X n ima Normalnu raspodelu
2,nX N n (II-143)
Dokaz. Naime, iz CGT sledi
1 nn
X X nZ Z
n
(II-144)
gde je ~ 0,1Z N . Mnoţenjem sa n dobijamo
1 nn
X XX Z
n n
što znači da aritmetička sredina 1 /n nX X X n ima pribliţno Normalnu raspodelu sa
parametrima
2 2
0
0
n
n
E X E Z E E Z E Zn n n
V X V Z V V Z V Zn nn n
tj. 2,nX N n .
2) Slučajna promenljiva 1n nS X X
2,nS N n n (II-145)
Dokaz. Na sličan, za slučajnu promenljivu nS se ima:
1
2 20
n n n
n
n
S X X nX n n Z
E S E n n Z E n E n Z n n E Z n
V S V n n Z V n V n Z n V Z n
tj. vaţi 2,nS N n n .
3) Verovatnoća dogaĎaja nXa n b
, kad n iznosi:
2 /21lim
2/
b
tn
na
XP a b e dt
n
b a
4) Verovatnoća dogaĎaja
/
nn
XZ x
n
, 0x kad n
iznosi
Slučajne promenljive i njihove raspodele 83
lim lim/ /
2 1, 0
n n
n n
X XP x P x x x x
n n
x x
(II-146)
Primer II - 41 Neka se vrši 225n nezavisnih merenja, kod kojih je 5 . Kolika je verovatnoća da
greška pri aproksimaciji merne veličine sa nX , nije veća od 0.6?
Rešenje. Merena veličina je E X a odstupanje je 225X . Za 6 i 225n biće
225225
225
0.60.6 225 225
5 5
1.8 2 1.8 1
2 0.96407 1 0.92814
XP X P
P Z
Primer II - 42 Neka je traţnja benzina po automobilu nedeljno 50l , sa standardnim odstupanjem
8l . Ako u gradu ima 200000 automobila, da li je dovoljno obezbediti 10100000l benzina za nedelju
dana pa da ne bude nestašice.
Rešenje. Neka je S ukupna potrošnja benzina za nedelju dana. Odredimo 10100000P S . Kako je
7200000 50 10E S l l i 2 2 2200000 8 3577.71 3578V S , to je
*
1010000010100000
10000028 1
3578
S E S E SP S P
V S V S
P S
Očigledno je rezerva vrlo velika, pa neće biti nestašice.
Primer II - 43 OdreĊivanje najmanjeg potrebnog broja merenja primenom nejednakosti Ĉebiševa.
Neka su 1 2, ,...X X nezavisne slučajne promenljive sa istom raspodelom, matematičkim očekivanjima
kE X i varijansama 2
kV X , za 1,2,k . Odrediti (najmanju) vrednost broja merenja n, tako
da za dato 0 i verovatnoću 0 1p vaţi
nP X p (II-147)
Rešenje. Primenom nejednakosti Čebiševa sledi
2 2
2 2 2
1
1 1 1
n nP X P X
V X n
n
p
Iz uslova 2 21 n p nalazimo da je
2
21n
p
Primer II - 44 Za 2 4 , 0.1 i 0.9p dobijamo da je 4000n .
Primena CGT. OdreĊivanje najmanjeg potrebnog broja merenja primenom CTG.
84 Slučajne promenljive i njihove raspodele
Ocena za n dobijena primenom nejednakosti Čebiševa je tačna, ali se u konkretnim situacijama primećuje
da je ona preuveličana, odnosno da nejednakost (II-147) vaţi i za mnogo manje vrednosti n. Razlog je taj
što Čebiševljeva nejednakost ne uzima u obzir raspodelu slučajne promenljive, pa ne moţe egzaktno
odrediti donju granicu nejednakosti u konkretnom slučaju.
Egzaktno rešenje moţe se dobiti ako se odredi raspodela za nX , pa se onda naĎe n tako da vaţi (II-147).
MeĎutim, ovo rešenje nije prihvatljivo u primenama, jer postupak zavisi od raspodele niza slučajnih
promenljivih 1 2, ,...X X , koja je često nepoznata.
Pomoću centralne granične teoreme moţe se prevazići ovaj problem i dobiti pribliţno rešenje, koje se
zbog svoje jednostavnosti uglavnom i primenjuje. Pošto slučajna promenljiva nX ima raspodelu
2,N n , sledi
2 1nn
X n nP X P P Z p
n n
Iz poslednjeg uslova sledi
1
1 2
1 1
2 2p
n p n pz
gde je 1 2p
z
vrednost koja se dobija iz tablica Normalne raspodele za verovatnoću 1 / 2p .
Konačno dobijamo
2 2
1 2 1 21
2
1
2
p pz zp
n n
Primer II - 45 Za 2 4 , 0.1 i 0.9p dobijamo da je 1100n , što je oko 4 puta manje no što je
dobijeno u prethodnom primeru koji sa pozivao na primenu nejednakosti Čebiševa.
Primer II - 46 Koliki broj merenja treba izvesti pa da apsolutna greška pri proceni srednje vrednosti
sa nX nije veća od 0.2, sa verovatnoćom 0.9. Standardno odstupanje iznosi 10 .
Rešenje. Broj merenja odreĎujemo iz uslova
0.2 0.9nP X
* *
0.9 0.2 0.2
50 50 50
2 150
nn
n n
X nP X P n
n n nP X P X
n
0.95 50 1.645 82.2550
6765
nn
n
Primer II - 47 Neka je prosečna dnevna proizvodnja mleka po jednoj kravi 40l sa standardnim
odstupanjem 5l . Beogradu je na primer potrebno 250000x l mleka. Ako se zahteva sigurnost u
snabdevanju sa verovatnoćom 0.98p , planirati potreban broj krava u poljoprivrednom kombinatu.
Slučajne promenljive i njihove raspodele 85
Rešenje. Neka je traţeni broj krava n i ukupna dnevna proizvedena količina mleka nS . Sledi
nP S x p . Ako je x veliki broj (u odnosu na ), to je i n veliko, pa se moţe primeniti CGT.
1
1
n nn
S n S nx n x nP S x P P
n n n n
x n
n
1
2
2
2
1
0, 0
40 5 2.05 250000 0, 0
79.175 6270
n t
x n x nz z
n n
t z t x t
t t t
t n t
Primena CGT. Aproksimacija binomne raspodele Normalnom (Moivre-Laplasova teorema).
Neka su 1 2, ,..., nX X X nezavisne Bernoullijeve slučajne promenljive (indikatori dogaĎaja) sa
verovatnoćom uspeha p. Tada slučajna promenljiva 1 2n nS X X X ima binomnu raspodelu
,nS B n p . Kako su kE X p (videti (II-59)) i 1kV X p p (videti (II-60)), na osnovu CGT
teoreme sledi
2 /21lim lim
21
x
n k tn
n nk
S n E X S npP x P x e x
n V X np p
(II-148)
Iz (II-148) sledi
1 1 1
nn
S np x np x npP S x P
np p np p np p
(II-149)
1 11
n n
x npP S x P S x
np p
(II-150)
2 11 2
1 1n
x np x npP x S x
np p np p
(II-151)
za dovoljno veliko n.
Primer II - 48 Ako je 100,1/ 2X B , naći pribliţnu vrednost verovatnoća: a) 60P X , b)
40 60P X i c) 50P X .
Rešenje.
a) Iz (II-150) sledi
60 100 0.5
60 1 1 1 2 1 0.9772 0.02281 100 0.5 1 0.5
x npP X
np p
b) Slično, koristeći (II-151) dobijamo
86 Slučajne promenljive i njihove raspodele
60 100 0.5 40 100 0.540 60 2 2
100 0.5 1 0.5 100 0.5 1 0.5
2 2 1 2 0.9772 1 0.9544
P X
c) U ovom slučaju ne moţemo direktno da primenimo prethodnu teoremu. MeĎutim, pošto je X diskretna
slučajna promenljiva vaţi
50 49.5 50.5P X P X
Sada moţemo primeniti (II-151), čime dobijamo
50.5 100 0.5 49.5 100 0.550 49.5 50.5
100 0.5 1 0.5 100 0.5 1 0.5
0.1 0.1 2 0.1 1 2 0.5398 1 0.0796
P X P X
Napomena II - 15 Za male vrednosti n u binomnoj raspodeli ne dobijaju se dobre aproksimacije pomoću
Normalne raspodele. Tada se, slično slučaju pod c) u prethodnom primeru, umesto (II-151) primenjuje
sledeća korekcija:
2 11 2
0.5 0.5
1 1n
x np x npP x S x
np p np p
(II-152)
Primer II - 49 Ako je 20,0.3X B , dobija se da je
7 0.5 20 0.3 3 0.5 20 0.33 7 0.724
20 0.3 1 0.3 20 0.3 1 0.3P X
Tačna vrednost je:
7
20
3
3 17 4 16 5 15 6 14 7 13
203 7 0.3 0.7
20 20 20 20 200.3 0.7 0.3 0.7 0.3 0.7 0.3 0.7 0.3 0.7
3 4 5 6 7
0.737
x x
x
P Xx
Bez primene korekcije dobija se lošija aproksimacija:
7 20 0.3 3 20 0.33 7 0.616
20 0.3 1 0.3 20 0.3 1 0.3P X
Primer II - 50 Verovatnoća da igrač ubaci loptu u koš je 0.7. Kolika je verovatnoća da će u 100 bacanja
imati: (1) bar 65 pogodaka, (2) izmeĎu 65 i 75 i (3) najviše 77 pogodaka?
Rešenje. U zadatku je 100, 0.7, 70, 1 21n p np np p .
100
100 70 65 7065 100 0.86214
21 21P S
100
75 70 65 7065 75 0.72428
21 21P S
100
77 70 0 700 77 0.93699
21 21P S
Slučajne promenljive i njihove raspodele 87
Primer II - 51 Verovatnoća da je jedan proizvod prve klase iznosi 0.65. Kolika je verovatnoća da u
seriji od 200 komada broj proizvoda prve klase ne odstupa za više od 10 od očekivanog broja?
Rešenje. Neka je 200S broj proizvoda prve klase u seriji od 200 komada. Tada je
200 200 0.65 130E S np
Traţimo verovatnoću dogaĎaja 200 130 10S :
200
200
* *
200 200
130 10130 10
200 0.65 0.35 200 0.65 0.35
1.48 1.48 1.48
1.48 1.48 2 1.48 1 0.86112
SP S P
P S P S
Primena CTG. OdreĊivanje najmanjeg potrebnog broja merenja primenom CTG (binomna
raspodela)
Posmatrajmo slučajnu promenljivu nS sa binomnom raspodelom ,nS B n p . Odredimo n tako da
se verovatnoća p nalazi u intervalu ,n np S n S n sa pouzdanošću od 1 .
Iz ,n np S n S n sledi 1nSP p
n
, tj. 1nSP p
n
, odnosno
1 1nSP p
n
.
Rešenje. Primenom CGT dobijamo:
nSP p
n
(II-153)
nS
n p nS
n
sa pouzdanošću 1
nSp
n
sa pouzdanošću
88 Slučajne promenljive i njihove raspodele
1 1
11
n n n
n
S S np S np n nP p P P
n n n p p p p
S np nP
p pnp p
S obzirom na nejednakost 1 1/ 4p p , dalje se ima
* *
*
2 41 4
1 2 2
1 2 2 1
2 1 2
nn n
n
S nP p P S P S
n
P n S n
n
n
pa je
1 2
0 21 1
2 2
12 1 2 1
2 2 4n n Z n n Z
(II-154)
gde je 1
2
Z
vrednost argumenta Normalne raspodele za verovatnoću 1 2 . Dakle, uzimanjem bar 0n
merenja zaključujemo da će se verovatnoća p nalaziti u intervalu ,n nS Sp
n n
sa pouzdanošću od
1 .
Primer II - 52 Ţelimo da sa odstupanjem ne većim od 0.1 procenimo verovatnoću p dogaĎaja A.
Dopuštamo pogrešnu procenu ove verovatnoće u najviše 4% slučajeva. Odrediti potreban broj
eksperimenata.
Rešenje. Moramo uzeti bar 2
2 2 2
0.04 0.982 21 1
2 2
1 1 1 2.05106
4 4 0.1 0.04 0.04n Z Z Z
merenja.
2.9.3 EMPIRIJSKE FUNKCIJE RASPODELE I NJIHOVA KONVERGENCIJA
Pretpostavimo da imamo niz podataka 1 2, , , nX X X iz nekog slučajnog izvora, za koje znamo da su
nezavisni i da imaju istu raspodelu, ali ne znamo koja je to raspodela.
Definicija II - 35 Skup n nezavisnih slučajnih promenljivih sa istom raspodelom nazivamo nezavisnim
(ili prostim) uzorkom obima n iz te raspodele.
Polazeći od definicije funkcije raspodele i statističkog odreĎivanja verovatnoće, prirodno je da se funkcija
raspodele u svakoj tački x aproksimira pomoću
Broj elemenata uzorka koji su
n
xF x
n
U teoriji verovatnoće uobičajeno je da se ova funkcija naziva empirijskom funkcijom raspodele.
Definicija II - 36 Za dati nezavisni uzorak, empirijska funkcija raspodele definiše se, za svako x , sa
n
kF x
n (II-155)
Slučajne promenljive i njihove raspodele 89
gde je k broj elemenata iz uzorka koji nisu veći od x.
Definicija II - 37 Varijacioni niz. Neka su 1 2, , , nX X X slučajne promenljive na istom skupu .
Vrednosti slučajnih promenljivih poreĎane u rastućem poretku 1 2
, , ,n
X X X čine tzv. varijacioni
niz.
Nije teško pokazati da se empirijska funkcija raspodele moţe odrediti polazeći od varijacionog niza,
pomoću jednakosti:
1
1
0, ako je
, ako je , 1 1
1, ako je
n k k
n
x X
F x k n X x X k n
x X
(II-156)
Primer II - 53 U eksperimenu su dobijene sledeće brojne vrednosti uzorka obima 10n :
9,15,7,11,17,9,7,12,7,15
Varijacioni niz je:
7,7,77,9,9,11,12,15,15,17
Ovde je na primer 1
7X , 2
7X , 5
9X , itd.
Iz (II-156) sledi:
0, 7
3 /10, 7 9
5 /10, 9 11
6 /10, 11 12
7 /10, 12 15
9 /10, 15 17
1, 17
n
x
x
x
F x x
x
x
x
Empirijska funkcija raspodele nije deterministička funkcija. U svakom eksperimentu se, iz uzorka obima
n, dobija drugačija empirijska funkcija raspodele. Prema tome, empirijska funkcija raspodele postiţe, u
fiksnoj tački x, vrednost /k n sa nekom verovatnoćom.
Definišimo 1iY ako je iX x i ako je
iX x . Tada zbir 1 2 nY Y Y predstavlja broj onih
slučajnih promenljivih iz uzorka čije su vrednosti x , pa je
1 2 nn
Y Y YF x
n
(II-157)
Imamo da je k kE Y P X x F x , gde je F x funkcija raspodele iz koje je uzet uzorak. Prema
Borelovom zakonu velikih brojeva vaţi:
lim 1nn
P F x F x
(II-158)
Teorema II - 26 Ako je F neprekidna funkcija, tada je
2 22lim sup 1
k k t
nn x k
P n F x F x t e
(II-159)
Primer II - 54 Koliki treba da bude najmanji obim uzorka iz nepoznate neprekidne raspodele, da bi se
vrednost empirijske i prave funkcije raspodele u svakoj tački x razlikovale maksimalno za 0.05, sa
verovatnoćom 0.99?
90 Slučajne promenljive i njihove raspodele
Rešenje. Primenom (II-159) nalazimo da je
2 22sup 1 0.99
k k t
nx k
tP F x F x e
n
Iz 2 221 0.99
k k t
k
e
sledi 1.63t , pa treba odrediti n iz uslova:
1,63
0.05n
tF x F x
n n
1,630.05 1063n
n
91
SADRŢAJ
2. SLUČAJNE PROMENLJIVE I NJIHOVE RASPODELE _________________________________ 21
2.1 ZAKON RASPODELE DISKRETNE SLUČAJNE PROMENLJIVE ___________________________ 22 2.1.1 Funkcija raspodele ______________________________________________________________ 25 2.1.2 Funkcija gustine verovatnoće neprekidne slučajne promenljive __________________________ 27 2.1.3 Slučajni vektori _________________________________________________________________ 29 2.1.4 Nezavisnost slučajnih promenljivih _________________________________________________ 34
2.2 NUMERIČKE KARAKTERISTIKE SLUČAJNIH PROMENLJIVIH ___________________________ 35 2.2.1 Matematičko očekivanje slučajne promenljive ________________________________________ 35 2.2.2 Varijansa slučajne promenljive _____________________________________________________ 38 2.2.3 Kovarijansa i koeficijent korelacije __________________________________________________ 40 2.2.4 Matrica kovarijanse _____________________________________________________________ 43 2.2.5 Momenti ______________________________________________________________________ 43 2.2.6 Kvantili ________________________________________________________________________ 46
2.3 RASPODELE DISKRETNIH SLUČAJNIH PROMENLJIVIH _______________________________ 47 2.3.1 Bernoullijeova raspodela _________________________________________________________ 47 2.3.2 Binomna raspodela ______________________________________________________________ 48 2.3.3 Hipergeometrijska raspodela ______________________________________________________ 50 2.3.4 Geometrijska raspodela __________________________________________________________ 51 2.3.5 Poisonova raspodela _____________________________________________________________ 51
2.4 RASPODELE NEPREKIDNIH SLUČAJNIH PROMENLJIVIH ______________________________ 56 2.4.1 Uniformna raspodela ____________________________________________________________ 56 2.4.2 Eksponencijalna raspodela ________________________________________________________ 57 2.4.3 Normalna (Gausova) raspodela ____________________________________________________ 58 2.4.4 - raspodela ___________________________________________________________________ 65 2.4.5 Hi-kvadrat raspodela ____________________________________________________________ 66 2.4.6 Studentova t - raspodela _________________________________________________________ 69 2.4.7 F-raspodela ____________________________________________________________________ 73
2.5 GRANIČNE TEOREME _________________________________________________________ 78 2.5.1 Zakoni velikih brojeva ____________________________________________________________ 79 2.5.2 Centralna granična teorema _______________________________________________________ 81 2.5.3 Empirijske funkcije raspodele i njihova konvergencija __________________________________ 88