PMF Niš - Matematička Logika

7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika

http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 1/757



Logicka argumentacija



Pocinjemo sa nekoliko primera logicke argumentacije.

Primer 1:

1. Ako potraznja raste, onda kompanije se sire.

2. Ako kompanije se sire, onda kompanije zaposljavaju radnike.

3. Ako potraznja raste, onda kompanije zaposljavaju radnike.

U ovoj argumentaciji, 1 i 2 su premise, a 3 je zakljucak.

Matematicka logika – 2 – Iskazna logika - I deo








O zakljuccima se moze raspravljati i eventualno tvrditi da su pogresni.

Medutim, ukoliko su premise prihvacene kao tacne, onda i mora biti

prihvacen zakljucak.

Zakljucak logicki sledi iz premisa, i dakle, argumentacija je ispravna.

Primer 2:

1. Program sadrzi ”bug” ili ulaz je pogresan.

2. Ulaz nije pogresan.

3. Program sadrzi ”bug”.






Logicka argumentacijaLogicka argumentacijaLogicka argumentacija

Slozene izjave (izjavne recenice) sastoje se od nekoliko delova, od kojihsvaki za sebe takode predstavlja izjavu.

Primer 1: ”potraznja raste” i ”kompanije se sire” su proste izjave po-vezane veznikom ako . . . onda . . . (engleski if . . . then . . . ).

Primer 2: ”program sadrzi ”bug”” i ”ulaz je pogresan” su proste izjavepovezane veznikom ili (engleski or).

Matematicka logika – 4 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 4 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 4 – Iskazna logika - I deo




Da bi jasnije video koja je argumentacija ispravna a koja nije, Aristotel je skratio proste izjave zamenivsi ih slovima p, q, r, . . .

Slovo p moze izraziti iskaz ”potraznja raste”.

Slovo q moze izraziti iskaz ”kompanije se sire”.

Slovo r moze izraziti iskaz ”kompanije zaposljavaju radnike”.

Tada dobijamo argumentaciju opsteg oblika

1. Ako p onda q.

2. Ako q onda r.

3. Ako p onda r.

Ovakva argumentacija naziva sehipoteticki silogizam.





Argumentacija iz Primera 2 moze se zapisati u sledecem opstem obliku

1. p ili q.

2. Nije q.

3. p.

Ovakva argumentacija naziva se

disjunktivni silogizam.

Vazan vid argumentacije je i argumentacija oblika

1. Ako p onda q.

2. p.

3. q.

Ovakva argumentacija naziva se

modus ponens.




IskaziIskaziIskazi

Iskaz se obicno definise kao izjava koja ima svojstvo da je ili istinita(tacna) ili neistinita (netacna) (samo jedno od toga).

Pri tome, iskazi se zadaju recenicama (izjavnim recenicama).

Na primer, recenicom

”3 je delitelj broja 18”

zadat je jedan iskaz.

Ovakva definicija je ipak neformalna i nedovoljno operativna.

Naime, za datu recenicu nije uvek lako odrediti da li je njome zadat

iskaz ili ne.




IskaziIskaziIskazi

Na primer, recenicom”Izjava koju izgovaram je laz”

nije zadat iskaz, iako na prvi pogled izgleda suprotno.

Naime, na osnovu forme ove recenice bi se lako moglo zakljuciti da se

njome nesto tvrdi. Medutim, to nije tacno.

Ako je ta izjava zaista lazna, to znaci da smo rekli istinu, i obratno,ako je ta izjava istinita, to znaci da smo zaista rekli laz.

Prema tome, ta izjava ne moze imati svojstvo da je ili istinita ili neisti-nita, i to samo jedno od toga.

Zbog ovoga u iskaznoj logici pojam iskaza koristimo kao osnovni pojam,

pojam koji se ne definise.




Iskazne promenljive, istinitosne vrednostiIskazne promenljive, istinitosne vrednostiIskazne promenljive, istinitosne vrednosti

U iskaznoj logici proste iskaze oznacavamo slovima

p, q, r, . . . , p1, q1, r1, . . .

Ova slova nazivamo iskazna slova ili iskazne promenljive.

Iskaznim slovima mogu se pridruziti istinitosne vrednosti

1 – ”tacno”

0 – ”netacno”

Ponegde se ”tacno” oznacava sa ⊤, a ”netacno” sa ⊥.

Medutim, mi cemo koristiti gornje oznake 1 i 0.


L i ˇ ki i i

L i ˇ ki i i

L i ˇ ki i i



Logicki vezniciLogicki vezniciLogicki veznici

Od prostih iskaza grade se slozeniji iskazi, upotrebom logickih veznika,koji se oznacavaju posebnim simbolima.

logicki veznik oznakanije ¬

i

∧ili ∨ako . . . onda . . . ⇒ako i samo ako

⇔Znacenje ovih veznika precizira se u nastavku.


N ij

N ij

N ij



NegacijaNegacijaNegacija

Negacija iskaza p je iskaz ”nije p”.

Ovaj iskaz oznacava se sa ¬ p, sto se izgovara i ”ne p”.

Negacija tacnog iskaza je netacan iskaz i obratno, negacija netacnog je tacan iskaz.

Istinitosna vrednost negacije iskaza moze se prikazati i takozvanom

istinitosnom tablicom:

p ¬ p

1 0

0 1


K j k ij

K j k ij

K j k ij



KonjunkcijaKonjunkcijaKonjunkcija

Konjunkcija iskaza p i q je iskaz ” p i q”, u oznaci p ∧ q.

Iskaz p ∧ q je tacan samo u slucaju kada su i p i q tacni iskazi.

U ostalim slucajevima konjunkcija je netacan iskaz.

To se moze prikazati sledecom istinitosnom tablicom

p q p ∧ q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0


Disjunkcija

Disjunkcija

Disjunkcija



DisjunkcijaDisjunkcijaDisjunkcija

Disjunkcija iskaza p i q je iskaz ” p ili q”, u oznaci p ∨ q.

Iskaz p ∨ q je tacan ako je bar jedan od iskaza p i q tacan, a netacan

je samo ako su oba iskaza p i q netacni.

To se moze prikazati na sledeci nacin:

p q p∨

q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0


Iskljuciva disjunkcija





Iskljuciva disjunkcijaIskljuciva disjunkcijaIskljuciva disjunkcija

U svakodnevnom zivotu veznik ”ili” cesto ima iskljucivi smisao – iskaz” p ili q” je tacan ako je tacan iskaz p ili q, i to samo jedan od njih.

Takva disjunkcija se naziva ekskluzivna disjunkcija ili iskljuciva disjunkcija, i pise se ”ili p ili q”, u oznaci p XOR q ili p ⊕ q.

Iskljuciva disjunkcija zadata je sledecom istinitosnom tablicom

p q p ⊕ q

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0


Primeri

Primeri

Primeri



PrimeriPrimeriPrimeri

Primer 3: Neka su iskazi p i q zadati sa

p : ”√

2 je racionalan broj”,

q : ”

√ 2 je broj koji je veci od nule”.

Iskaz ¬ p je zadat sa√

2 nije racionalan broj

i on je tacan (jer je p netacan iskaz).

Iskaz

¬q je zadat sa

√ 2 nije broj koji je veci od nule

i on je netacan.

Prema gornjim definicijama, p ∧ q je netacan, a p ∨ q tacan iskaz.


Implikacija

Implikacija

Implikacija



ImplikacijaImplikacijaImplikacija

Implikacija iskaza p i q je iskaz ako p onda q, u oznaci p ⇒ q.

Ovaj iskaz je neistinit jedino u slucaju kada je p tacan, a q netacan

iskaz. U svim ostalim slucajevima ovaj iskaz je tacan.

Istinitosne vrednosti implikacije zadate su sledecom tablicom:

p q p ⇒ q

1 1 1

1 0 00 1 1

0 0 1


Implikacija

Implikacija

Implikacija



ImplikacijaImplikacijaImplikacija

U implikaciji p ⇒ q

Iskaz p se naziva premisa, pretpostavka ili antecedent.

Iskaz q se naziva zakljucak ili konsekvent.

Izraz p

⇒q cita se jos i kao

iz p sledi q; q ako p;

p povlaci (implicira) q; p je dovoljno za q;

p samo ako q; q je potrebno za p.


Primeri implikacije

Primeri implikacije

Primeri implikacije



Primeri implikacijePrimeri implikacijePrimeri implikacije

Primer 4: Neka su iskazi p i q zadati sa

p : ”Broj n je deljiv sa 21”

q : ”Broj n je deljiv sa 7”

Implikacija p ⇒ q je tacan iskaz, bilo koji prirodan broj n da smo

izabrali, cak i u slucaju da je, na primer, n = 5.

Prema definiciji implikacije, ako je iskaz p netacan, onda je iskaz p ⇒ q

tacan, nezavisno od tacnosti iskaza q.

Drugim recima, iz netacne pretpostavke moze da sledi bilo koji iskaz.


Primeri implikacije

Primeri implikacije

Primeri implikacije



Primeri implikacijePrimeri implikacijePrimeri implikacije

Primer 5: Neka su iskazi p i q zadati sa p : ”Boca sadrzi kiselinu”

q : ”Boca nosi oznaku za opasnost”

Implikacija p ⇒ q odgovara slozenom iskazu

”Ako boca sadrzi kiselinu, onda boca nosi oznaku za opasnost”

Sta se desava ako boca ne sadrzi kiselinu, tj. iskaz p je netacan?

Moze se desiti da boca nosi oznaku za opasnost jer ne sadrzi kiselinu

vec jak otrov, i tada je q tacan iskaz.

Moze se desiti i da boca ne sadrzi oznaku jer sadrzi sok od narandze,

i tada je q netacan iskaz.

U oba slucaja, tacnost iskaza p ⇒ q nije dovedena u pitanje.


Matematicko shvatanje implikacije





Matematicko shvatanje implikacijeMatematicko shvatanje implikacijeMatematicko shvatanje implikacije

Ovakvo matematicko shvatanje implikacije odudara od upotrebe veznika”ako . . . onda . . . ” u svakodnevnom zivotu.

Naime, bilo je rasprava oko toga da li implikacija p ⇒

q uopste ima

smisla ako izmedu iskaza p i q nema neke sustinske veze.

Na primer, neka je

p : voda mrzne na 100◦C

q : Bombaj je glavni grad Argentine

Sa matematicke tacke gledista, p ⇒ q je istinit iskaz.

Medutim, neki bi smatrali da implikacija p ⇒ q uopste nema smisla,

jer izmedu iskaza p i q ne postoji nikakva veza.








Matematicka tacka gledista je pobedila iz dva razloga:

1. Zato sto matematicku logiku ne interesuje znacenje iskaza p i q,

vec samo njihova istinitost.

Preciznije, matematicku logiku interesuju samo uslovi pod kojima

istinitost iskaza p povlaci istinitost iskaza q.

Drugim recima, u matematickoj logici istinitost implikacije p ⇒ q

ne zavisi od znacenja iskaza p i q, vec samo od njihove istinitosti.








2. Drugi razlog sto je prihvacena ovakva implikacija je to sto se ovakvoglediste pokazalo veoma korisnim za primenu u nauci.

Naime, u nauci se cesto srecemo sa nekim hipotezama koje jenemoguce eksperimentalno proveriti, ali bi se mogle proveriti neke

posledice koje se mogu izvuci iz tih hipoteza.

Ovakvo glediste dozvoljava da iz tih hipoteza izvode posledice bez

obzira na to sto ne znamo da li su te hipoteze istinite ili ne.

Ovo se naziva hipoteticki karakter naucnih teorija.








U svakodnevnom zivotu veznik ”ako ...onda ... ” ima jos jednu pri-menu koja je drugacija od one u matematici.

Naime, veznik ”ako . . .onda . . . ” se cesto koristi da naznaci da ne

verujemo da premisa moze da bude istinita.

Na primer,

Ako polozis taj ispit, onda sam ja rimski papa.

znaci sumnju da ce student o kome se radi poloziti ispit, a ne implikaciju

dva iskaza.

Onome ko je dao ovu izjavu je jasno da on nije rimski papa – on ovom

izjavom zapravo kaze da je siguran da taj student nece poloziti ispit.


Ekvivalencija

Ekvivalencija

Ekvivalencija



jjj

Ekvivalencija iskaza p i q je iskaz ” p ako i samo ako q”, u oznaci p ⇔ q.

Ekvivalencija je tacan iskaz ako su p i q ili oba tacna ili oba netacna.

U preostalim slucajevima ekvivalencija je netacan iskaz.Istinitosne vrednosti ekvivalencije su zadate sledecom tablicom:

p q p ⇔ q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1


Ekvivalencija

Ekvivalencija

Ekvivalencija



jjj

Ekvivalencija p ⇔ q po istinitosti odgovara iskazu

”ako p onda q i ako q onda p”,

odnosno iskazu( p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p).

Ekvivalencija p ⇔ q se formulise i kao

” p je ekvivalentno sa q”.

Takode, s obzirom na uocenu vezu izmedu implikacije i ekvivalencije,iskaz p ⇔ q formulise se i na sledeci nacin:

” p je potrebno i dovoljno za q”.


Primeri ekvivalencije





jjj

a) Recenice

”Trouglovi T 1 i T 2 su podudarni”

”Trouglovi T 1 i T 2 imaju podudarne po dve stranice i njima

zahvacen ugao”

zadaju ekvivalentne iskaze.

Ta cinjenica se formulise i kao jedan od opstih stavova o podu-darnosti trouglova

”Dva trougla su podudarna ako i samo ako imaju podudarne po

dve stranice i njima zahvaceni ugao”







jjj

b) Ekvivalencijom se u matematici cesto definisu novi termini, polazeciod vec poznatih.

”Prirodan broj razlicit od jedinice je prost ako i samo ako je deljiv

samo sa sobom i sa jedinicom.”

Ovom recenicom definisan je prost broj poznatim pojmovima koji cine

sadrzaj drugog iskaza ekvivalencije.

Dakle, iako ova recenica ima formu iskaza, njome nije zadat iskaz, vec

definicija.

Ako je jasno da je u pitanju definicija, u odgovarajucoj recenici se cesto

izostavlja deo ”samo ako”, iako se podrazumeva da i taj pravac vazi.


Razlikovanje ekvivalencije i implikacije





c) U obicnom jeziku nije uvek sasvim jasno da li je u recenici koriscenaimplikacija ili ekvivalencija.

Na primer,

”Nositi bundu ekvivalentno je ucestvovati u unistavanju retkih zivotinja”.

Ova recenica izgleda kao ekvivalencija, ali nije to.

Ako izokrenemo redosled recenica koje je cine, videcemo da nesto nije

u redu:

”Ucestvovati u unistavanju retkih zivotinja ekvivalentno je nositi bundu”.

Ova recenica zapravo treba da bude implikacija:

”Ako se nosi bunda onda se ucestvuje u unistavanju retkih zivotinja”.


Višesmislenost i nepreciznost





Uloga logike je i da razjasni znacenje recenica.

Recenice u prirodnom jeziku mogu biti visesmislene i neprecizne.

Visesmislena recenica je ona koja ima vise znacenja.

Neprecizna ili nejasna recenica je ona koja ima samo jedno zna-

cenje, ali, kada se razmatra kao izjava, ne moze se napraviti jasna

razlika izmedu okolnosti pod kojima je ona tacna, a pod kojima nije.

Visesmislenost najcesce eliminisemo pitajuci autora recenice ili utvrdu-

juci smisao iz konteksta.

Nejasnost se najcesce javlja zbog koriscenja kvalitativnih opisa, a moze

se ukloniti njihovom zamenom kvantitativnim opisima.


Višesmislene recenice





a) ”Petar i Marko iz Novog Sada nam dolaze u posetu”.

Ko je iz Novog Sada? Marko ili obojica?

To nije moguce utvrditi bez dodatnih informacija.

b) ”Ja znam mnogo lepsu devojku od Ane”.

Ovo moze imati dva znacenja:

”Ja znam mnogo lepsu devojku nego sto Ana zna”, i

”Ja znam mnogo lepsu devojku nego sto je Ana”.


Neprecizne recenice

Neprecizne recenice

Neprecizne recenice



a) ”Dejan je visok”.

Ovde ne znamo tacno sta znaci ”visok”, pa ne mozemo utvrditi da li

je ovo tacno ili nije.

Preciznije bi bilo da se gornji kvalitativni opis zameni kvantitativnim:

”Dejan je visok preko 2 metra”.

b) ”Ovaj racunar je brz”.

Znacenje reci ”brz” je nejasno – brz u poredenju sa cim?Preciznija formulacija bi bila: ”Ovaj racunar izvodi 2 miliona instrukcija

u sekundi”.


Napomene o logickim veznicima





Negacija je jedini unarni veznik, a svi ostali veznici su binarni.

Binarni veznici ∧, ∨ i ⇔ sy simetricni, pod cime podrazumevamo

da p∗

q ima istu istinitosnu vrednost kao i q∗

p, gde je ∗

bilo koji

od veznika ∧, ∨ i ⇔.

Veznik

⇒nije simetrican: p

⇒q i q

⇒ p imaju razlicite istinitosne

vrednosti.


Iskazne formule

Iskazne formule

Iskazne formule



Cilj iskazne logike je da se upotrebom matematicke simbolike prevaziduproblemi koji mogu da nastanu

zbog nemogucnosti da na zadovoljavajuci nacin definisemo pojam

iskaza;

zbog nepreciznosti i visesmislenosti koje se mogu javiti ako se u

logici koristi prirodni jezik.

To znaci da slozeni iskazi, u kojima se javlja vise jednostavnijih iskaza

i vise veznika, treba da se formiraju prema jasno i precizno utvrdenimpravilima.


Jezik iskazne logike





Pri utvrdivanju tih pravila najpre se odreduje jezik koji cine

simboli p, q, r, . . . , p1, q1, r1, . . . kojima se oznacavaju iskazi.

Kao sto smo rekli, oni se zovu iskazna slova;

simboli ¬, ∧, ∨, ⇒ i ⇔ kojima se oznacavaju logicki veznici.

Secamo se da se oni zovu znaci logickih operacija; znaci ( i ) (zagrade), koje nazivamo pomocni znaci.

Za znak ¬ kazemo da je unaran, a za ostale znake logickih operacijada su binarni znaci.


Definicija iskazne formule





Uz pomoc iskaznih slova, veznika i pomocnih znaka mogu se obrazovatiizrazi, pod cime podrazumevamo konacne nizove tih simbola.

Neke od tih izraza, koje smatramo pravilno formiranim, nazivamo iskaz-

nim formulama.

Naime, iskazne formule definisu se induktivno, pomocu sledecih pravila:

1. Iskazna slova su iskazne formule.

2. Ako su A i B iskazne formule, onda su iskazne formule i izrazi

¬A, (A ∧ B), (A ∨ B), (A ⇒ B), (A ⇔ B).3. Iskazne formule su samo oni izrazi koji se mogu formirati pri-

menom pravila 1. i 2. konacan broj puta.







Na primer, izrazi

p, ¬¬r, ( p ∧ q), (¬ p ⇒ q), (( p ∨ ¬q) ⇔ (r ∧ ¬ p))

su iskazne formule, dok sledeci izrazi nisu iskazne formule:

( p∧), (⇒ p ⇒).

Svaku podrec, odnosno podniz, iskazne formule koji je i sam iskazna

formula nazivamo njenom podformulom.

Na primer, ¬r i ( p ⇒ ¬q) su podformule iskazne formule(( p ∧ ¬r) ∨ ¬( p ⇒ ¬q)).


Konvencija o brisanju zagrada





Prema definiciji, izraz oblika A ⇒ B, gde su A i B formule, nijeformula, jer nema spoljnih zagrada oko tog iskaza.

Medutim, mi uvodimo konvenciju o brisanju zagrada koja obezbeduje

da i takvi izrazi budu formule i olaksava nam rad sa formulama.

Konvenciju o brisanju zagrada cine sledeca pravila:

1. Izostavljaju se spoljne zagrade, kao na primer u izrazima

( p∧

q), (( p⇒

q)⇒

r)

i slicno.







2. Uklanjanje zagrada u odnosu na asocijativnost u desno: Ako suA1, A2, . . . , A

n iskazne formule, onda se umesto

(. . . ((A1

∧A2)

∧A3)

∧ · · · ∧An−1)

∧An

pise

A1 ∧ A2 ∧ A3 ∧ · · · ∧ An−1 ∧ A

n

i slicno za veznik ∨.

3. Uvodi se dogovor o redosledu veznika, prema kome su ∧ i ∨

ispred ⇒ i ⇔.Na osnovu toga se veznici ∧ i ∨ odnose na najmanju formulu

koja ih okruzuje, pa se, imajuci to u vidu, odreduju formule na

koje se odnose veznici ⇒ i ⇔.







Na primer, umesto p ⇒ (q ∧ r) pisemo p ⇒ q ∧ r, a umesto

( p ∧ ¬q) ⇔ (¬ p ∨ r)

pisemo p ∧ ¬q ⇔ ¬ p ∨ r.

Kaze se jos i da veznici ⇒ i ⇔ ” jace razdvajaju” od veznika ∧ i ∨.

Napomenimo i to da se definicija podformule odnosi samo na iskaznu

formulu kod koje nisu uklonjene zagrade.

Na primer, p ⇒ q nije podformula formule p ⇒ q ∧ r.




Iskazna algebra

Iskazna algebra

Iskazna algebra



Osnovno svojstvo iskaza, ma kako slozen bio, jeste da je on ili tacan,ili netacan.

Da bi se pravila za odredivanje istinitosti precizno formalizovala, uvodi

se sledeca matematicka struktura.

Iskazna algebra je dvoelementni skup {1, 0}, zajedno sa jednom unar-

nom operacijom ¬ i cetiri binarne operacije ∧, ∨, ⇒ i ⇔, koje sudefinisane sledecim tablicama:

¬1 0

0 1

∧ 1 01 1 0

0 0 0

∨ 1 01 1 1

0 1 0

⇒ 1 01 1 0

0 1 1

⇔ 1 01 1 0

0 0 1

Matematicka logika – 2 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 2 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 2 – Iskazna logika - II deo

Iskazna algebra

Iskazna algebra

Iskazna algebra



Navedene operacije oznacavaju se isto kao odgovarajuci logicki veznici, jer su njima motivisane.

Medutim, to nisu isti pojmovi: znak ∧ u iskaznoj formuli p ∧ q je

zamena za veznik i, a oznaka ∧ u gornjoj tablici oznacava operaciju na

skupu {1, 0}.

Da ponovimo jose jednom, iskazna algebra je uredena sestorka

({1, 0}, ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔).

Njeni elementi 1 i 0 odgovaraju istinitosnim vrednostima iskaza, kakose definise u nastavku.


Potreban broj iskaznih slova





Primetimo da svaka iskazna formula moze sadrzati samo konacno mnogoiskaznih slova.

Sa druge strane, broj iskaznih slova koja se javljaju u svim formulama

ne moze se ograniciti nijednim prirodnim brojem, jer se uvek moze

napraviti nova formula sa vecim brojem iskaznih slova.

Dakle, za formiranje svih iskaznih formula nije dovoljan konacan skupiskaznih slova, ali je dovoljan prebrojiv skup iskaznih slova

p1, p2, p3, . . . , pn, . . .

Zato nadalje podrazumevamo da iskaznih slova ima prebrojivo mnogo

i da ova lista jeste lista svih iskaznih slova.


Istinitosna vrednost formule





Neka je A iskazna formula.Njena istinitost pre svega zavisi od istinitosti iskaznih slova koja se u

njoj javljaju.

Zato odredivanje istinitosne vrednosti formule A mora poceti dodelji-

vanjem izvesnih istinitosnih vrednosti svim iskaznim slovima koja se u

njoj javljaju.

Potom se te istinitosne vrednosti sa slova prenose na celu formulu.

To se moze formalizovati na nacin prikazan u daljem tekstu.


Valuacija

Valuacija

Valuacija



Valuaciju definisemo kako proizvoljnu funkciju

v : { p1, p2, . . . , pn, . . . } → {1, 0}

iz skupa svih iskaznih slova u skup {1, 0}.

Vrednost v( pi) naziva se istinitosna vrednost iskaznog slova pi.

Drugim recima, valuacija je dodeljivanje istinitosnih vrednosti svimiskaznim slovima, nezavisno od toga sto se u konkretnimm formulama

koje u datom trenutku razmatramo ne javljaju sva ta slova.


Interpretacija

Interpretacija

Interpretacija



Kada razmatranje ogranicimo na formulu AA, ili konacan skup formulaA1, A2, . . . , An, onda su nam bitne istinitosne vrednosti samo onih

slova koja se javljaju u formuli A, odnosno formulama A1, A2, . . . , An.

Zato se, za razliku od valuacije, interpretacija formule A, odnosno

formula A1, A2, . . . , An, definise se kao funkcija

v : { p1, p2, . . . , pk} → {1, 0}

iz skupa svih iskaznih slova koja se javljaju u formuli A, odnosno u

formulama A1, A2, . . . , An, u skup {1, 0}.

Drugim recima, to je dodeljivanje istinitosnih vrednosti svim iskaznim

slovima koja se javljaju u formuli A, odnosno u formulama A1, . . . , An.


Vrednost formule u valuaciji





Neka jev : { p1, p2, . . . , pn, . . . } → {1, 0}

proizvoljna valuacija.

Kao sto smo rekli, valuacija pridruzuje istinitosne vrednosti iskaznim

slovima.

Funkcija v se sa skupa svih iskaznih slova moze prosiriti i na skup svihiskaznih formula.

To se cini induktivnom definicijom, po slozenosti formule, koja omogu-cuje da se istinitosna vrednost formule izvede iz istinitosnih vrednosti

slova koja se u njoj javljaju.







Naime, vrednost formule A u valuaciji v definise se na sledeci nacin:

1. Ako formula A jeste iskazno slovo p, onda je

v(A)

def

= v( p).2. Ako je A = ¬B i poznata je vrednost v(B), onda je

v(A) def = ¬v(B).

3. Ako je A = B ∗ C , gde je ∗ jedan od logickih veznika ∧, ∨, ⇒

i ⇔, i poznate su vrednosti v(B) i v(C ), onda je

v(

A)

def

= v

(B

) ∗v

(C

).







Dakle,

v(B ∧ C ) = v(B) ∧ v(C ), v(B ∨ C ) = v(B) ∨ v(C ),

v(B ⇒ C ) = v(B) ⇒ v(C ), v(B ⇔ C ) = v(B) ⇔ v(C ).

Primetimo da su vrednosti na desnoj strani jednakosti iz skupa {1, 0},

a znaci ¬, ∧, ∨, ⇒ i ⇔ na desnoj strani predstavljaju operacije u

iskaznoj algebri.

Istim tim znacima na levoj strani oznaceni su logicki veznici.







Uocimo jos jednom da vrednost formule zavisi od valuacije u kojoj seposmatra - u razlicitim valuacijama ona moze imati razlicite vrednosti.

Takode, istinitosna vrednost slozenih formula odreduje se tako sto se

najpre odrede istinitosne vrednosti jednostavnijih formula koje je grade,

polazeci od iskaznih slova.

Ako u nekoj valuaciji vrednost formule jednaka 1, onda kazemo da je

formula tacna u toj valuaciji.

Ako je vrednost foremule u toj valuaciji jednaka 0, kazemo da je formulanetacna u toj valuaciji.


Primer interpretacije





Posmatrajmo iskaznu formulu p ∧ (q ⇔ ¬r).Iskazna slova koja se u njoj javljaju su p, q i r. Dodelimo im redom

vrednosti 1, 0, 0. To je jedna intepretacija date formule. Tada je

v( p ∧ (q ⇔ ¬r)) = v( p) ∧ (v(q) ⇔ ¬v(r)) =

= 1 ∧ (0 ⇔ ¬0) =

= 1 ∧ (0 ⇔ 1) == 1 ∧ 0 = 0.

Dakle, u ovoj interpretaciji ova formula je netacna.Za neke druge vrednosti iskaznih slova p, q i r, tj. za neku drugu

interpretaciju, trebalo bi, razume se, ponovo odrediti vrednost formule,

i moze se desiti da tada formula bude i tacna.Matematicka logika – 12 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 12 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 12 – Iskazna logika - II deo

Istinitosne tablice

Istinitosne tablice

Istinitosne tablice



Da bi se odredile vrednosti formule za sve interpretacije koriste setablice istinitosti ili istinitosne tablice.

Buduci da svakoj interpretaciji formule odgovara jedan raspored simbola

1 i 0 po slovima formule, u tablicu se unose svi ti rasporedi.

Za svaki raspored odreduju se vrednosti podformula i na kraju vrednost

same formule.Ako razlicitih iskaznih slova u formuli ima n, onda svaki raspored sim-

bola 1 i 0 po slovima jeste jedna uredena n-torka tih simbola.

Svih rasporeda, pa tako i svih interpretacija formule, ima dakle 2n.


Istinitosne tablice

Istinitosne tablice

Istinitosne tablice



Vratimo se na formulu p ∧ (q ⇔ ¬r) iz ranijeg primera.Svih interpretacija te formule ima 23 = 8, i vrednost formule za svaku

od tih interpretacija odredena je sledecom istinitosnom tablicom:

p q r ¬r q ⇔ ¬r p ∧ (q ⇔ ¬r)

1 1 1 0 0 0

1 1 0 1 1 11 0 1 0 1 1

1 0 0 1 0 0

0 1 1 0 0 0

0 1 0 1 1 0

0 0 1 0 1 0

0 0 0 1 0 0


Istinitosna funkcija





Ako je A formula u kojoj ucestvuju iskazna slova p1, . . . , pn, tada toisticemo pisuci A( p1, . . . , pn) umesto A.

Ako je (α1, . . . , αn) ∈ {1, 0}n proizvoljna n-torka elemenata iz skupa

{1, 0}, tada stavljamo

A(α1, . . . , αn) def = v(A),

gde je v(A) vrednost formule A u interpretaciji (α1, . . . , αn) (odnosnov( pi) = αi, za svaki i, 1 i n).

Dakle, formula A odreduje funkciju f A : {1, 0}n → {1, 0}, definisanu

sa

f A(α1, . . . , αn) def = A(α1, . . . , αn).

koje nazivamo istinitosna funkcija formule A.Matematicka logika – 15 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 15 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 15 – Iskazna logika - II deo






Obratan problem je da se za proizvoljnu funkciju

f : {1, 0}n → {1, 0}

odredi iskazna formula A( p1, . . . , pn), cija bi istinitosna funkcija bilafunkcija f , dakle f = f A.

Dokazacemo da takva formula postoji, odnosno da se svaka funkcija

f : {1, 0}n → {1, 0} (tj. n-arna operacija na skupu {1, 0}) moze na

poseban nacin izraziti pomocu operacija ∧, ∨ i ¬ iskazne algebre.







Najpre uvodimo oznaku

xα =

x, α = 1

¬x, α = 0, tj. x1 = x i x0 = ¬x.

Primetimo da vazi sledece:

11

= 1, 01

= 0, 10

= 0, 00

= 1.

Prema tome, za svaki x ∈ {1, 0} vazi

xα = 1 ako i samo ako je x = α.







Tvrdenje 1: Za proizvoljno preslikavanje f : {1, 0}n

→ {1, 0} vazi

(⋆) f (x1, . . . , xn) =

(α1,...,αn)∈{1,0}n

f (α1, . . . , αn) ∧ xα11 ∧ · · · ∧ xαn

n .

Pre nego sto predemo na dokaz, primetimo da se u ovoj jednakosti

javljaju iskljucivo operacije iskazne algebre (a ne iskazni veznici).

Na primer, za n = 2, gornja jednakost u razvijenom obliku postaje:

f (x1, x2) = (f (1, 1) ∧ x11 ∧ x1

2) ∨ (f (1, 0) ∧ x11 ∧ x0

2)∨

(f (0, 1) ∧ x01 ∧ x12) ∨ (f (0, 0) ∧ x01 ∧ x02), odnosno,

f (x1, x2) = (f (1, 1) ∧ x1 ∧ x2) ∨ (f (1, 0) ∧ x1 ∧ ¬x2)∨

(f (0, 1) ∧ ¬x1

∧ x2

) ∨ (f (0, 0) ∧ ¬x1

∧ ¬x2

).







Dokaz: Za proizvoljne b1

, . . . , bn ∈ {1, 0} kao vrednosti promenljivih

x1, . . . , xn, tim redom, vrednost funkcije f je f (b1, . . . , bn) ∈ {1, 0},

a izraz na desnoj strani postaje

(α1,...αn)∈{1,0}n

f (α1, . . . , αn) ∧ bα11 ∧ · · · ∧ bαnn .

Uzimajuci u obzir da, kako smo ranije primetili, za x ∈ {1, 0} vazi

xα = 1 ako i samo ako je x = α,

kao i cinjenicu da je konjunkcija tacna ako i samo ako su svi njeni

clanovi tacni, zakljucujemo da je

bα11 ∧ · · · ∧ bαn

n = 1 ako i samo ako je αi = bi za sve i.

U svim ostalim slucajevima vrednost tog izraza je 0.Matematicka logika – 19 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 19 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 19 – Iskazna logika - II deo






Na ovaj nacin dobijamo da gornja disjunkcija postaje0 ∨ · · · ∨ (f (b1, . . . , bn) ∧ 1) ∨ · · · ∨ 0 = f (b1, . . . , bn),

pa je tvrdenje dokazano.


Normalna forma funkcije





Uzmimo da funkcija f iz Tvrdenja 1. nije jednaka 0 za sve uredenen-torke iz {1, 0}n, tj. da je u njenoj tablici bar jedna vrednost 1.

Ako se tada sa desne strane jednakosti

f (x1, . . . , xn) =

(α1,...,αn)∈{1,0}n

f (α1, . . . , αn) ∧ xα11 ∧ · · · ∧ xαn

n .

izostave svi oni izrazi oblika f (α1, . . . , αn) ∧ xα11 ∧ · · · ∧ x

αn

n za koje jef (α1, . . . , αn) = 0, jednakost i dalje vazi, s obzirom da je u iskaznoj

algebri x ∨ 0 = x.

Ako se u preostalim clanovima disjunkcije izostave izrazi f (α1, . . . , αn)

(vrednost svakog od njih je 1) jednakost ponovo ostaje ocuvana, jer je

1 ∧ x = x.







Tako se dobija izraz(♣)

f (α1,...αn)=1

xα11 ∧ · · · ∧ xαn

n .

Ako je f konstantno jednaka 0, onda poslednji izraz za nju ocito ne

postoji; u tom slucaju dodeljujemo joj x1 ∧ ¬x1.

Izraz iz (♣) je iskazna formula (to je i x1 ∧ ¬x1), pa je ovim dokazanosledece tvrdenje koje se odnosi na problem sa pocetka odeljka.

Oznacimo iskaznu formulu iz (♣) sa Af .







Tvrdenje 2: Neka je f : {1, 0}

n

→ {1, 0} proizvoljna n-arna operacijana skupu {1, 0}.

(a) Ako f nije konstantno jednaka 0, onda se istinitosna vrednost

iskazne formule Af u svakoj interpretaciji poklapa sa odgovarajucom

vrednoscu operacije f .

(b) Ako je f konstantno jednaka 0, onda vrednosti iskazne formulex1 ∧ ¬x1 odgovaraju vrednostima preslikavanja f .

Iskazna formula Af koja se u obliku (♣) pridruzuje funkciji f zove sedisjunktivna normalna forma te funkcije, skraceno DNF.







Disjuktivna normalna forma se moze i cisto sintakticki definisati uodnosu na slova p1, . . . , pn kao formula (K 1) ∨ · · · ∨ (K m), gde su

K i razlicite konjunkcije svih navedenih slova sa negacijom ili bez nje.

Ukoliko se ne zahteva da u svakoj konjunkciji ucestvuju uvek sva slova

koja se u formuli javljaju, formula se zove disjunktivna forma.

Formula( p ∧ ¬q ∧ r) ∨ (¬ p ∧ q ∧ r)

je jedna disjunktivna normalna forma u odnosu na promenljive

p, q i r, a

¬ p ∨ ( p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ (¬ p ∧ ¬r)

je primer disjunktivne forme.Matematicka logika – 24 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 24 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 24 – Iskazna logika - II deo

Primer normalne forme



{ }3 { }



Neka je f : {1, 0}3 → {1, 0}, gde je

p q r f ( p, q, r)

1 1 1 0

1 1 0 1 ∗1 0 1 1 ∗

1 0 0 0

0 1 1 00 1 0 1 ∗

0 0 1 0

0 0 0 0

Da bi odredili formulu koja odgovara

funkciji f , najpre izdvajamo one inter-pretacije slova p, q, r za koje funkcija

f ima vrednost 1 (one oznacene sa ∗).

Zatim se za svaku takvu trojku(α , β , γ ) ∈ {1, 0}3 obrazuje konjunk-

cija pα ∧ qβ ∧ rγ .

Konacno, disjunkcija tih izraza jeste iskazna formula

( p ∧ q ∧ ¬r) ∨ ( p ∧ ¬q ∧ r) ∨ (¬ p ∧ q ∧ ¬r).


Normalna forma formule





Osim o disjunktivnoj normalnoj formi funkcije, mozemo govoriti i odisjunktivnoj normalnoj formi iskazne formule A.

To je zapravo disjunktivna normalna forma istinitosne funkcije f A.

Takode, mozemo govoriti i o konjuktivnoj normalnoj formi preslikavanja

i formule, skraceno KNF.

Do njih mozemo doci iz disjunktivne normalne forme koriscenjem De

Morganovih zakona, o kojima govorimo u narednom odeljku.


Tautologije

Tautologije

Tautologije



Iskazna formula je tautologija, ako je tacna u svakoj valuaciji, odnosnointerpretaciji.

U njenoj tablici istinitosti, sve vrednosti u poslednjoj koloni, koja odgo-

vara celoj formuli, su jednake 1.

Jednostavan primer tautologije je formula p ∨ ¬ p.

Ta formula zove se Zakon iskljucenja treceg i opisuje poznato pravilologickog misljenja koje primenjujemo u klasicnoj dvovalentnoj logici.

Sve tautologije su vise ili manje poznati logicki zakoni.

U nastavku je naveden spisak poznatijih tautologija – logickih zakona

– sa njihovim nazivima.


Logicki zakoni

Logicki zakoni

Logicki zakoni



Zakon iskljucenja treceg (Tertium non datur)

p ∨ ¬ p

Ovo znaci: ”Tacno je p ili ¬ p”, odnosno: ” p je tacno ili netacno”

Kao sto smo rekli, ovo je zakon na kome pociva klasicna dvovalentnalogika – logika sa samo dve moguce istinitosne vrednosti 1 i 0.

U novije vreme izucavaju se i neke logike sa vise mogucih istinitosnih

vrednosti – intuicionisticka logika (koja je trovalentna), polivalentne

logike, modalne logike itd.


Logicki zakoni

Logicki zakoni

Logicki zakoni



Zakon neprotivrecnosti

¬( p ∧ ¬ p)

Ovo znaci: ” p i ¬ p ne mogu biti istovremeno tacni”

Drugim recima: ” p ne moze biti istovremeno tacno i netacno”

Naravno, i ovo je jedan od osnovnih logickih zakona koji kaze da ne-

protivrecnosti nisu dozvoljene.


Logicki zakoni

Logicki zakoni

Logicki zakoni



Zakon odvajanja – Modus ponendo ponens, ili krace, samo Modusponens

p ∧ ( p ⇒ q) ⇒ q

Ovo znaci: ”Ako je tacno p, i ako iz p sledi q, onda je tacno i q”

Ovo je zakon na kome pociva osnovno pravilo deduktivnog zakljucivanja

u iskaznoj logici, i uopste u matematici.

Ovaj zakon kaze da iz pretpostavki da vaze stavovi p i p ⇒ q za-kljucujemo da vazi i q, sto radimo kadgod koristimo deduktivno za-

kljucivanje.


Logicki zakoni

Logicki zakoni

Logicki zakoni

M d t ll d t ll



Modus tollendo tollens

¬q ∧ ( p ⇒ q) ⇒ ¬ p

Ovo znaci: ”Ako iz p sledi q i ako nije tacno q, tada nije tacno ni p”

Na ovom zakonu temelji se metod opovrgivanja – ukoliko smo ustanovilida se iz neke pretpostavke (u ovom slucaju p) moze izvesti pogresan za-

kljucak (ovde je to q), onda zakljucujemo da je pretpostavka pogresna.

Ovaj metod je u sirokoj upotrebi u empirijsko-deduktivnim naukama.


Logicki zakoni

Logicki zakoni

Logicki zakoni

M d t ll d



Modus tollendo ponens

¬ p ∧ ( p ∨ q) ⇒ q

Ovo znaci: ”Ako je tacno jedno od p i q, i nije tacno p, tada mora biti

tacno q”

Zakon pojednostavljivanja

p ∧ q ⇒ p

Ovo znaci: ”Ako je tacno ” p i q”, onda je tacno i p”Matematicka logika – 32 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 32 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 32 – Iskazna logika - II deo

Logicki zakoni

Logicki zakoni

Logicki zakoni

Zakon hipotetickog silogizma



Zakon hipotetickog silogizma

( p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ⇒ ( p ⇒ r)

Ovo znaci: ”Ako iz p sledi q i iz q sledi r, onda iz p sledi r”

Potsecamo da smo o ovom zakonu smo govorili na pocetku ove nastav-ne teme, kada smo hipoteticki silogizam prikazali kao jedan od primera

logicke argumentacije.


Logicki zakoni

Logicki zakoni

Logicki zakoni

Zakon svodenja na apsurd Reductio ad absurdum



Zakon svodenja na apsurd – Reductio ad absurdum

( p ⇒ (q ∧ ¬q)) ⇒ ¬ p

Ovo znaci: ”Ako se iz p moze izvesti kontradikcija, onda p nije tacno”

Ovaj zakon veoma cesto koristimo u matematickim dokazima – ako,polazeci od neke pretpostavke, dodemo do kontradikcije, to znaci da

nam ta pretpostavka nije bila dobra, odnosno da vazi suprotno.


Logicki zakoni

Logicki zakoni

Logicki zakoni

Istina iz proizvoljnog – Verum ex quolibet



Istina iz proizvoljnog – Verum ex quolibet

p ⇒ (q ⇒ p)

Ovo znaci: ”Ako je p tacno, onda p sledi iz bilo cega”


Logicki zakoni

Logicki zakoni

Logicki zakoni

Iz laznog proizvoljno



Iz laznog proizvoljno

¬ p ⇒ ( p ⇒ q)

Ovo znaci: ”Ako je p nije tacno, onda iz p sledi bilo sta”

Ili: ”Iz lazi moze da se zakljuci bilo sta”

Ovaj zakon pokazuje da, ako bi neka matematicka teorija bila pro-

tivrecna, tj. ako bi se u njoj mogla dokazati kontradikcija, onda ta

teorija ne bi bila besmislena samo zbog te cinjenice, vec i zbog toga

sto bi onda svako drugo tvrdenje u toj teoriji bilo teorema.


Logicki zakoni

Logicki zakoni

Logicki zakoni

Zakon zakljucivanja iz suprotnog – Ex contrario



Zakon zakljucivanja iz suprotnog Ex contrario

(¬ p ⇒ p) ⇒ p

I ovo je zakon koji cesto koristimo u matematickim dokazima – ako

pretpostavimo da neki iskaz p ne vazi, i iz toga zakljucimo da on ipakmora da vazi, onda iz svega toga zakljucujemo da je p tacan iskaz.

U sustini, ovo se svodi na Zakon svodjenja na apsurd jer iskazi ¬ p

i ¬ p ⇒ p zajedno daju kontradikciju (tj. iskaz ¬ p ∧ (¬ p ⇒ p) je

kontradikcija).


Logicki zakoni

Logicki zakoni

Logicki zakoni

Zakon dvostruke negacije



Zakon dvostruke negacije

p ⇔ ¬¬ p

Ovaj zakon koristimo za uproscavanje logickih izraza, eliminacijom vise-

struke upotrebe negacije.


Logicki zakoni

Logicki zakoni

Logicki zakoni

Zakon kontrapozicije



Zakon kontrapozicije

( p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬ p)

Ovo je jos jedan od zakona koje cesto koristimo u dokazima.

Naime, cesto tvrdenje u formi implikacije p ⇒ q dokazujemo tako stodokazujemo ekvivalentnu formu te implikacije ¬q ⇒ ¬ p.


Logicki zakoni

Logicki zakoni

Logicki zakoni

De Morganovi zakoni



De Morgano i akoni

¬( p ∧ q) ⇔ ¬ p ∨ ¬q

¬( p ∨ q) ⇔ ¬ p ∧ ¬q

De Morganovi zakoni nam kazu kako negacija ”prolazi” kroz konjunkciju

i disjunkciju.


Logicki zakoni

Logicki zakoni

Logicki zakoni

Ako iskoristimo Zakon dvojne negacije i tranzitivnost ekvivalencije, iz



j g j j ,

De Morganovih zakona dolazimo do tautologija

p ∧ q ⇔ ¬(¬ p ∨ ¬q)

p ∨ q ⇔ ¬(¬ p ∧ ¬q)

One se koriste za eliminaciju veznika ∧ ili ∨, tj. za zamenu veznika ∧

veznicima ¬ i ∨, odnosno veznika ∨ veznicima ¬ i ∧.


Logicki zakoni

Logicki zakoni

Logicki zakoni

Zakoni ekvivalencije za implikaciju, disjunkciju i konjunkciju



( p ⇒ q) ⇔ ¬ p ∨ q

p ∨ q ⇔ (( p ⇒ q) ⇒ q) p ∧ q ⇔ ¬( p ⇒ ¬q)

Prvi zakon se koristi za eliminaciju implikacije, njenom zamenom ne-

gacijom i disjunkcijom.

Drugi se koristi za eliminaciju disjunkcije, njenim izrazavanjem pomocuimplikacije.

Treci zakon sluzi za eliminaciju konjunkcije i njeno izrazavanje pomocu

negacije i implikacije.Matematicka logika – 42 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 42 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 42 – Iskazna logika - II deo

Logicki zakoni

Logicki zakoni

Logicki zakoni

Zakon negacije implikacije



g j p j

¬( p ⇒ q) ⇔ p ∧ ¬q

Jasno, ovo je drugacija forma Zakona ekvivalencije za implikaciju.

Zakon ekvivalencije

( p ⇔ q) ⇔ ( p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

Ovaj zakon omogucuje da ekvivalenciju p ⇔ q tretiramo kao kon-

junkciju implikacija p ⇒ q i q ⇒ p.


Logicki zakoni

Logicki zakoni

Logicki zakoni

Zakon unosenja i iznosenja



( p ∧ q ⇒ r) ⇔ ( p ⇒ (q ⇒ r))

Zakoni komutativnosti

p ∧ q ⇔ q ∧ p

p ∨ q ⇔ q ∨ p


Logicki zakoni

Logicki zakoni

Logicki zakoni

Zakoni apsorpcije



p ∧ ( p ∨ q) ⇔ p

p ∨ ( p ∧ q) ⇔ p

Zakoni idempotentnosti

p ∧ p ⇔ p

p ∨ p ⇔ p


Logicki zakoni

Logicki zakoni

Logicki zakoni

Zakoni asocijativnosti



p ∧ (q ∧ r) ⇔ ( p ∧ q) ∧ r

p ∨ (q ∨ r) ⇔ ( p ∨ q) ∨ r

Zakoni distributivnosti

p ∧ (q ∨ r) ⇔ ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r)

p ∨ (q ∧ r) ⇔ ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)


Tautološke implikacije i ekvivalencije



Ako su A i B iskazne formule i A ⇒ B je tautologija, onda tu formulu



nazivamo tautoloska implikacija.

Tada kazemo da iskaz koji odgovara formuli A tautoloski implicira iskaz

dat formulom B.

Slicno, ako je A ⇔ B tautologija, onda se ta formula naziva tautoloska

ekvivalencija.Za iskaze koji odgovaraju formulama A i B se tada kaze da su tautoloski

ekvivalentni.

Medu napred navedenim logickim zakonima puno je primera tautoloskih

implikacija i ekvivalencija.


Još o tautologijama



Napomenimo da je u jezik pogodno uvesti i simbole 1 i 0, koje shvatamo



kao konstantne simbole, ili redom kao zamene za formule p ∨ ¬ p i

p ∧ ¬ p.

U svakom slucaju, ti znaci interpretiraju se kao isto oznacene konstanteiskazne algebre.

Tada su tautologije i formule

p ∧ 1 ⇔ p, p ∨ 0 ⇔ p, ( p ⇒ 1) ⇔ 1

i slicno.




Svojstva tautologija



Tvrdenje 3: Ako su formule A i A ⇒ B tautologije, onda je tau-



tologija i formula B.

Dokaz: Neka su A i A ⇒ B tautologije.Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v takva da

je v(B) = 0, odakle, zbog cinjenice da je A tautologija, dobijamo da

je

v(A ⇒ B) = v(A) ⇒ v(B) = 1 ⇒ 0 = 0,

sto je u suprotnosti sa pretpostavkom da je A ⇒ B tautologija.Dakle, zakljucujemo da B mora biti tautologija.

Matematicka logika – 2 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 2 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 2 – Iskazna logika - III deo




Tvrdenje 4: Ako je A( p1, p2, . . . , pn) tautologija a B je formula do-



bijena iz A zamenom tih iskaznih slova redom formulama A1, A2,

. . . , An, onda je i B tautologija.

Dokaz: Neka je A tautologija i neka je v proizvoljna valuacija.

Za svaki i, 1 i n, neka je v(Ai) = αi. Prema definiciji formule B

imamo da je

v(B) = A(α1, α2, . . . , αn) = 1,

jer je A tautologija.

Prema tome, dokazali smo da je i B tautologija.





Primer: Formula



¬A ⇒ (A ⇒ (B ∧ ¬B))

je tautologija jer se moze dobiti iz tautologije ¬ p ⇒ ( p ⇒ q) zamenom

promenljivih p i q formulama A i B ∧ ¬B, tim redom.





Tvrdenje 5: Neka su A1, A i B formule takve da je A podformula neke

form le A1 i neka je B1 form la dobijena i A1 amenom podform le



formule A1, i neka je B1 formula dobijena iz A1 zamenom podformuleA formulom B. Tada je tautologija i formula

(A ⇔ B) ⇒ (A1 ⇔ B1).

Dokaz: Neka je v proizvoljna valuacija.

Ako je v(A) = v(B), tada je v(A ⇔ B) = 0, pa je

v((A ⇔ B) ⇒ (A1 ⇔ B1)) = 1.

Ukoliko je v(A) = v(B), onda je i v(A1) = v(B1), jer se formule A1

i B1 razlikuju samo u podformulama A i B. Prema tome,v((A ⇔ B) ⇒ (A1 ⇔ B1)) = 1 ⇒ 1 = 1.

Ovim smo dokazali da je (A ⇔ B) ⇒ (A1

⇔ B1

) tautologija.Matematicka logika – 5 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 5 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 5 – Iskazna logika - III deo




Prethodno tvrdenje se moze formulisati i kao: Ako su formule A i B

l ˇki k i l d i A i B



tautoloski ekvivalentne, onda su to i A1 i B1.

Da je formula A tautologija, zapisuje se krace sa |= A.

U dokazu da je neka formula tautologija, cesto se koristi sledece

Tvrdenje 6: Ako je |= A ⇔ B i |= A, onda je i |= B.

Dokaz: Jednostavan je i ostavlja se za vezbu.

Tvrdenje 7: |= A ∧ B ako i samo ako je istovremeno |= A i |= B.





Tvrdenje 8:



a) |= A ⇔ A;

b) ako je |= A

⇔ B

, onda je |= B

⇔ A

;

c) ako je |= A ⇔ B i |= B ⇔ C , onda je |= A ⇔ C .

Napomena. Izrazi koji se ovde i nadalje javljaju i sadrze znak |= nisu

formule u teoriji iskaza.

Oni pripadaju jeziku kojim govorimo o iskaznim formulama i sluze za

sazeto zapisivanje nekih tvrdenja o njima.


Kontradikcije. Zadovoljive formule



Iskazna formula je kontradikcija ako nije tacna ni u jednoj interpretaciji.



Takva je na pr. formula p ∧ ¬ p.

Ocigledno, ako je A kontradikcija, onda je ¬A tautologija i obratno.

Za iskaznu formulu se kaze da je zadovoljiva ako postoji interpretacijau kojoj je tacna.

Zapravo, iskaz ”A je zadovoljiva formula” je negacija iskaza ”A je

kontradikcija”.


Hipoteze i posledice



Na osnovu pravila logickog zakljucivanja se obicno iz poznatih iskaza -

premisa izvode zakljucci



premisa, izvode zakljucci.

U iskaznoj logici se taj pojam precizno definise, na sledeci nacin.

Neka su A1, A2, . . . , An i B iskazne formule.

Za formulu B kazemo da je semanticka posledica skupa formula

A1, A2, . . . , An

ukoliko vazi da kad god su u nekoj valuaciji tacne sve formule iz tog

skupa, onda je u toj valuaciji tacna i formula B.

To belezimo krace sa

A1, A2, . . . , An |= B,

ili sa A |= B kada je n = 1 i A1 = A.Matematicka logika – 9 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 9 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 9 – Iskazna logika - III deo




Formule A1, A2, . . . , An nazivamo hipotezama ili pretpostavkama, tj.

kazemo da je B semanticka posledica skupa hipoteza A A A



kazemo da je B semanticka posledica skupa hipoteza A1, A2, . . . , An.

U tom nazivu treba istaci prefiks ”semanticka”.

On treba da oznaci da, kada se B izvodi kao zakljucak iz skupa hipoteza

A1, A2, . . . , An, vodimo racuna o istinitosti tih hipoteza.

Osim ovog pojma, postoji i pojam ”sintaksicke posledice” skupa hipotezaA1, A2, . . . , An.

U tom slucaju, pri izvodenju formule B kao zakljucka iz skupa hipoteza

A1, A2, . . . , An, nece nas zanimati istinitost tih hipoteza, vec cemo

voditi racuna jedino o tome da li smo prilikom izvodenja koristili dozvo-

ljena pravila izvodenja ili ne.







Primetimo da su obe formule p ∨ q i p ⇒ r tacne ako i samo ako je

tacna njihova konjunkcija (p ∨ q) ∧ (p ⇒ r) pa vazi



tacna njihova konjunkcija ( p ∨ q) ∧ ( p ⇒ r), pa vazi

p ∨ q, p ⇒ r |= q ∨ r

ako i samo ako vazi

( p ∨ q) ∧ ( p ⇒ r) |= q ∨ r.

To ce, u opstijem obliku, biti dokazano u jednom od narednih tvrdenja.





Tvrdenje 1.9 A |= B ako i samo ako je |= A ⇒ B.



Dokaz: Pretpostavimo da vazi A |= B.

Naka je data proizvoljna valuacija v. Ako je v(A ⇒ B) = 0, ondamora biti v(A) = 1 i v(B) = 0.

Medutim, to nije moguce, jer iz v(A) = 1 sledi v(B) = 1, s obzirom

da vazi A |= B.

Dakle, zakljucujemo da mora biti v(A ⇒ B) = 1, za proizvoljnu

valuaciju v, sto znaci da je |= A ⇒ B.





Obratno, neka je |= A ⇒ B i v je valuacija takva da je v(A) = 1.

Uk lik bi bil (B) d bi bil i (A B) ˇ i ˇi



Ukoliko bi bilo v(B) = 0, tada bi bilo i v(A ⇒ B) = 0, sto protivreci

pretpostavci da je |= A ⇒ B.

Prema tome, zakljucujemo da je v(B) = 1, cime smo dokazali da je

A |= B.





Opstije od ovog tvrdenja je sledece tvrdenje koje se slicno dokazuje.



Tvrdenje 10: Neka je n > 1. Tada je A1, . . . , An−1, An |= B ako i

samo ako A1, . . . , An−1 |= An ⇒ B.

Ovo tvrdenje predstavlja nesto sto veoma cesto koristimo u svako-

dnevnoj matematickoj praksi.Naime, kada iz nekih pretpostavki A1, . . . , An−1 izvodimo neki zaklju-

cak koji ima oblik implikacije, An ⇒ B, to cesto radimo tako sto pre-

misu An prikljucujemo hipotezama, i iz pretpostavki A1, . . . , An−1, An

dokazujemo B.





Tvrdenje 11: A1, . . . , An |= B ako i samo ako A1 ∧ · · · ∧ An |= B.



Dokaz: Kao sto smo vec napomenuli, sve formule A1, . . . , An su tacne

u nekoj valuaciji ako i samo ako je u toj valuaciji tacna formula

A1 ∧ · · · ∧ An.

Imajuci u vidu ovu napomenu i definiciju semanticke posledice, tvrdenjemozemo smatrati dokazanim.


Neprotivrecan skup formula



Za skup formula {A1, . . . , An} kazemo da je neprotivrecan ako postoji

neka valuacija u kojoj su sve te formule tacne.



j j j

Sa druge strane, za ovaj skup formula kazemo da je protivrecan, ili da

je kontradiktoran, ako ni u jednoj valuaciji sve formule iz tog skupane mogu biti istovremeno tacne, odnosno ako je u svakoj valuaciji bar

jedna od njih netacna.

Umesto skup formula, kaze se i da su same formule protivrecne, odnosno

neprotivrecne.





Tvrdenje 1.12 Ako je neka kontradikcija posledica formula A1, . . . , An,

onda su te formule protivrecne.



p

Dokaz: Ako je B kontradikcija i A1, . . . , An |= B, onda prema Tvrde-

njima 1.9 i 1.10 imamo da vazi |= A1 ∧ · · · ∧ An ⇒ B.

Odavde zakljucujemo da konjunkcija A1 ∧ · · · ∧ An mora biti netacna

u svakoj interpretaciji, jer je takva i formula B, cime smo dobili dabar jedna od formula A1, . . . , An mora biti netacna, pa su te formule

protivrecne.

Naravno, vazi i obratno tvrdenje, s obzirom da se iz protivrecnog skupa

hipoteza moze izvesti bilo koja formula, pa time i kontradikcija.





Zakon svodenja na protivrecnost, tj. tautologija

( ⇒ ∧ ) ⇒



( p ⇒ q ∧ ¬q) ⇒ ¬ p,

moze se prosiriti na izvodenje zakljucaka iz hipoteza.

Naime, ako se iskaz p zameni formulom A ∧ ¬B, i ako se kontradikcija

q ∧ ¬q oznaci sa C , a negacija konjunkcije se predstavi odgovarajucom

implikacijom, dobija se formula

((A ∧ ¬B) ⇒ C ) ⇒ (A ⇒ B).

Tumacenje ovog pravila daje naredno tvrdenje, na kome se zasnivapoznati metod indirektnog dokaza, o kome ce vise reci biti kasnije.





Tvrdenje 13: Ako se neka kontradikcija moze izvesti kao posledica

hipoteza A1, . . . , An, ¬B, onda je B posledica hipoteza A1, . . . , An.



Dokaz: Neka je C neka kontradikcija i neka je

A1, . . . , An, ¬B |= C.

Prema Tvrdenju 1.11 imamo da vazi

A1, . . . , An |= ¬B ⇒ C.

Neka je sada v proizvoljna valuacija u kojoj su tacne sve formule

A1, . . . , An. Tada je v(¬B ⇒ C ), i kako je v(C ) = 0, jer je C

kontradikcija, to mora biti v(¬B) = 0, odnosno v(B) = 1.

Prema tome, dokazali smo da vazi A1, . . . , An |= B.


Primeri logicke argumentacije



Zadatak 1. Neka je data sledeca argumentacija:

Ako je nanje stanje ma (pop t osecaja bola) onda bih na osno



• Ako je znanje stanje uma (poput osecaja bola), onda bih na osnovu

samopromatranja uvek mogao da kazem sta znam.

• Ako bih na na osnovu samopromatranja uvek mogao da kazem sta

znam, onda nikad ne bih bio u zabludi da znam.

• Ja sam ponekad u zabludi da znam.

• Dakle, znanje nije stanje uma.

Prevesti ove recenice u iskazne formule i ustanoviti da li je argumen-tacija ispravna.





Resenje: Uvedimo sledece oznake:

p ”Z j j t j ”



p – Znanje je stanje uma .

q – ”Na osnovu samopromatranja mogu da kazem sta znam”.

r – ”Ponekad sam u zabludi da znam”.

Tada se prva premisa P 1 moze predstaviti formulom p ⇒ q, druga

premisa P 2 formulom q ⇒ ¬r, treca premisa P 3 formulom r, a za-

kljucak C formulom ¬ p.

Dokaz ispravnosti ove argumentacije je zapravo dokaz da formula

P 1 ∧ P 2 ∧ P 3 ⇒ C.

jeste tautologija, sto dokazujemo koristeci njenu istinitosnu tablicu.







Zadatak 2. Prevesti sledeca tvrdenja u iskazne formule i odrediti is-

pravnost argumentacije:



Premisa 1: Ako su jedine osobe prisutne u kuci u vreme ubistva bili

batler i sobarica, tada je batler ubica ili je sobarica ubica.Premisa 2: Jedine osobe prisutne u kuci u vreme ubistva su bili batler

i sobarica.

Premisa 3: Ako je sobarica ubica, onda je sobarica imala motiv za

ubistvo.

Premisa 4: Sobarica nije imala motiv za ubistvo.

Zakljucak: Batler je ubica.





Resenje: Uvedimo sledece oznake za iskaze:

P : ”Jedine osobe prisutne u kuci u vreme ubistva su bili batler i sobarica”,



B: ”Batler je ubica”,

S : ”Sobarica je ubica”,

M : ”Sobarica je imala motiv za ubistvo”.

Tada se gornja argumentacija moze izraziti na sledeci nacin:

Premisa 1: P ⇒ B ∨ S Premisa 2: P

Premisa 3: S ⇒ M

Premisa 4: ¬M

Zakljucak: B





Svodenjem na protivrecnost dokazacemo da je argumentacija ispravna.

Pretpostavimo da argumentacija nije ispravna, tj. da postoji valuacija



p g j j p , j p j j

v u kojoj su sve premise tacne, a zakljucak nije tacan, tj.

v(P ⇒ B ∨ S ) = 1, v(P ) = 1, v(S ⇒ M ) = 1,

v(¬M ) = 1, v(B) = 0.

Odavde dobijamo da jev(P ) = 1, v(M ) = 0, v(B) = 0,

i iz v(S ⇒ M ) = 1 i v(M ) = 0 zakljucujemo da je

v(S ) = 0.





Ako sada iskoristimo sve te vrednosti, dobijamo

v(P ⇒ B ∨ S) = 1 ⇒ 0 ∨ 0 = 1 ⇒ 0 = 0,



v(P ⇒ B ∨ S ) 1 ⇒ 0 ∨ 0 1 ⇒ 0 0,

sto je u suprotnosti sa pretpostavkom

v(P ⇒ B ∨ S ) = 1.

Dakle, zakljucujemo da nam je pretpostavka bila pogresna, tj. da je

argumentacija ispravna.





Zadatak 3. Cetiri prijatelja - Arthur, Betty, Charles i Dorothy - su

osumnjiceni za ubistvo. Pred istraznim sudijom oni su izjavili sledece:



Arthur: Ako je Betty kriva, kriva je i Dorothy.

Betty: Arthur je kriv, a Dorothy nije kriva.Charles: Ja nisam kriv, ali su Arthur ili Dorothy krivi.

Dorothy: Ako Arthur nije kriv, tada je kriv Charles.

Za X ∈ {A , B , C , D} neka je sa X predstavljen iskaz ”X je nevin”.

(a) Da li su ove cetiri izjave neprotivrecne, odnosno da li je skup formula

dobijen prevodenjem u iskaznu logiku neprotivrecan?(b) Ako svako govori istinu, ko je kriv?

Opravdati odgovore.





Resenje: Gornje izjave prevodimo u formule na sledeci nacin:

Arthur: ¬B ⇒ ¬D;



Betty: ¬A ∧ D;

Charles: C ∧ (¬A ∨ ¬D);Dorothy: A ⇒ ¬C .

Kada bi gornje formule imale manji broj iskaznih slova, onda bi se ne-

protivrecnost tog skupa formula mogla dokazati formiranjem zajednicke

tablice istinitosti za te formule, odakle bi se jasno videlo da li postoji

interpretacija u kojoj su sve cetiri formule tacne.

Medutim, ovde imamo 4 iskazna slova, pa bi ta tablica bila suvise velika.

Zbog toga koristimo drugaciju metodologiju.





Pretpostavimo da postoji interpretacija v tih formula u kojoj su sve

cetiri formule tacne, i odredimo vrednosti iskaznih slova A, B, C i D

j i iji



u toj interpretaciji.

Iz v(¬A ∧ D) = 1 dobijamo da je v(A) = 0 i v(D) = 1.Dalje, iz v(C ∧ (¬A ∨ ¬D)) = 1 sledi da je v(C ) = 1.

Konacno, iz v

(¬B

⇒ ¬D

) = 1 i v

(¬D

) = 0 sledi da je v

(¬B

) = 0,tj. v(B) = 1.

Prema tome, dobili smo da je interpretacija v zadata sa

v =

A B C D

0 1 1 1





Ako se sada vratimo unazad, dobicemo da su sve cetiri formule tacne

u interpretaciji v, sto znaci da je gornji skup formula neprotivrecan, tj.

d i j i i ˇ



da izjave nisu protivrecne.

Takode, ako su sve cetiri izjave tacne, onda iz napred pokazanog sledida se to moze desiti samo u slucaju gornje interpretacije v, sto znaci

da je Arthur kriv, a da su ostali nevini.





Zadatak 4. Postoji ostrvo na kome zive dve vrste stanovnika:

vitezovi, koji uvek govore istinu, i



nitkovi, koji uvek lazu.

Svaki stanovnik ostrva pripada tacno jednoj od ovih grupa.

Neka su A i B dva stanovnika ostrva.

(a) Ako stanovnik A kaze: ”Ja sam nitkov ili je B vitez”, sta su ondastanovnici A i B?

(b) Ako stanovnik A kaze: ”Ili sam ja nitkov ili je B vitez”, sta su onda

stanovnici A i B?





Resenje: Oznacimo iskaz ”A je nitkov” sa p, a ”B je vitez” sa q.

Tada je iskaz ”A je nitkov ili je B vitez” predstavljen sa p ∨ q, a iskaz



”Ili je A nitkov, ili je B vitez” sa p ⊕ q.

(a) Ako je v( p) = 1, to znaci da je A nitkov, tj.

da laze, pa je v( p ∨ q) = 0, sto nije moguce.

Dakle, v( p) = 0, sto znaci da je A vitez, odnosnoda govori istinu, pa je v( p ∨ q) = 1, odakle sledi

da je v(q) = 1.

Dakle, A i B su vitezovi.

p q p ∨ q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0





(b) Ako je v( p) = 1, to znaci da je A nitkov, tj.

da laze, pa je v( p ⊕ q) = 0, odakle sledi da jev(q) = 1.

p q p ⊕ q

1 1 0



Dakle, u ovom slucaju je A nitkov, a B vitez.

Neka je sada v( p) = 0. Tada je A vitez, odnos-

no da govori istinu, pa je v( p ⊕ q) = 1, odakle

ponovo sledi da je v(q) = 1.

Dakle, u ovom slucaju su i A i B su vitezovi.

1 0 1

0 1 10 0 0




Pojam skupa

Pojam skupa

Pojam skupa

U matematici se pojam skup ne definise eksplicitno.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tacke ili prave u geometriji.



Sustinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili clanova.

Osnovni odnos izmedu elemenata i skupova je pripadanje.

Izraz ”a pripada A” se simbolickim matematickim jezikom pise

a ∈ A

Kaze se i da je a element skupa A, ili da je a sadrzan u A.

Izraz ”a ne pripada skupu A”, odnosno negacija formule a ∈ A, se

simbolicki oznacava sa a ∈ A.

Matematicka logika – 2 – SkupoviMatematicka logika – 2 – SkupoviMatematicka logika – 2 – Skupovi

Pojam skupa

Pojam skupa

Pojam skupa

Za simbolicko oznacavanje skupova najcesce koristimo slova latinskog

alfabeta.



Pri tome, skupove obicno oznacavamo velikim slovima a njihove ele-

mente malim.Primeri skupova:

skup svih Beogradana

skup svih nacija

skup celih brojeva

skup svih reci

sve osobe koje imaju odredenu osobinu zajedno cine skup

svi tipovi u programskim jezicima (integer, real) cine skupove


Pojam skupa

Pojam skupa

Pojam skupa

Napomena: Cesto sami skupovi jesu elementi drugih skupova.

Primeri:



Primeri:

prava, kao skup tacaka u ravni, pripada skupu svih pravih te ravni

nacija, kao skup individua, pripadnika te nacije, pripada skupu svih

nacija


Zadavanje skupova

Zadavanje skupova

Zadavanje skupova

Navodenjem svih njegovih elemenata, izmedu viticastih zagrada

{ i }.

{3 6 7} K ˇ k l i 3 6 i 7



{3, 6, 7} Konacan skup, sa elementima 3, 6 i 7.

Ovakav nacin zadavanja skupova koristi se za konacne

skupove sa ne tako velikim brojem elemenata, koje je

tehnicki moguce sve navesti

{1, 2, . . . , n} Konacan skup sa vecim brojem elemenata koje tehnicki nije

moguce sve navesti, zbog cega stavljamo tri tacke ”. . .”koje znace ”i tako dalje, po istom obrascu”.

Odgovarajuci obrazac mora da bude ocigledan.

{2, 4, 6, 8, . . .} Skup svih parnih brojeva. Primetimo da je ovaj skup, zarazliku od prethodnog, beskonacan.

N = {1, 2, 3, . . .} Skup svih prirodnih brojeva.


Zadavanje skupova

Zadavanje skupova

Zadavanje skupova

Zadavanjem svojstva koje svi njegovi elementi moraju da imaju.

Zajednicko svojstvo objedinjuje u skup sve objekte sa tim svojstvom.



Takvi skupovi se zapisuju u sledecem obliku

A = {x | x ima svojstvo P (x)} ili A = {x | P (x)},

gde je sa P (x) oznaceno svojstvo koje moze imati objekat x.

Na ovaj nacin je oznacen skup svih objekata x za koje vazi P (x),

odnosno skup svih objekata x koji imaju svojstvo P (x).

Na primer, skup parnih brojeva moze se zadati sa

{x | postoji y ∈ N tako da je x = 2y}.


Zadavanje skupova

Zadavanje skupova

Zadavanje skupova

Rekurzivna (induktivna) definicija skupa.

Skup A se moze definisati rekurzivno ili induktivno na sledeci nacin:



(i) zadaju se polazni elementi ili bazni elementi skupa A;

(ii) odreduje se nacin na koji se, pomocu odredenih operacija, iz prethod-

no definisanih elemenata mogu definisati drugi elementi skupa A;

(iii) kaze se da skupu A mogu pripadati oni i samo oni objekti koji semogu dobiti primenom pravila (i) i (ii) konacan broj puta.

Na ovaj nacin ce kasnije biti definisane iskazne i predikatske formule.

Rekurzivno se definisu i formule u jeziku FORTRAN.


Jednakost skupova. Podskup



Dva skupa A i B su jednaka, u oznaci A = B, ako imaju iste elemente,

tj.

A = B def ⇐⇒ (∀x)(x ∈ A ⇔ x ∈ B).



A B ⇐⇒ (∀x)(x ∈ A ⇔ x ∈ B).

Negacija gornje formule oznacava se sa A = B.

Skup A je podskup skupa B, u oznaci A ⊆ B, ako su svi elementi

skupa A sadrzani u B, tj.

A ⊆ B def ⇐⇒ (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B).

Odnos ⊆ zove se inkluzija.Ako je A ⊆ B i A = B, onda se kaze da je A pravi podskup skupa B,

u oznaci A ⊂ B.





Napomena: U prethodnim definicijama koristili smo sledece simbolicke

oznake:

⇔ znaci ”ako i samo ako” ili ”ekvivalentno” (ekvivalencija);



⇔ znaci ako i samo ako ili ekvivalentno (ekvivalencija);def

⇐⇒ znaci ”ekvivalentno po definiciji”;⇒ znaci ”ako. . . , onda. . . ” ili ”povlaci” (implikacija).

Vise reci o ovome bice u kasnijim poglavljima.

Primetimo da ”ekvivalentno” i ”ekvivalentno po definiciji” imaju druga-

cija znacenja:

P ⇔ Q znaci da je P tacno ako i samo ako je tacno Q, dok P def

⇐⇒ Q

znaci da P i Q imaju isto znacenje, tj. Q je samo drugaciji zapis za P .





Primeri jednakih skupova:

{x, x} = {x} {x, y} = {y, x}

{ } { } { } { }



{x , y , z} = {x , z , y} {x , y , z} = {z , x , x , y}

Ove jednakosti se dokazuju neposrednom primenom definicije jednakosti

skupova. Dokaz se ostavlja za vezbu.

Odavde mozemo izvuci dva pravila koja se ticu zadavanja skupova

navodenjem njegovih elemenata:

– Nije bitan redosled po kome se elementi navode (nabrajaju).

– Svaki element se navodi samo jednom.





Primeri inkluzije:

N ⊆ Z skup prirodnih brojeva N je podskup skupa

celih brojeva Z (i to pravi podskup);



celih brojeva Z (i to pravi podskup);

{a , b , c} ⊆ {b , d , a , c}





Zadatak 1. Da li su sledeca tvrdenja tacna:

(a) {a, {b, c}} = {{a, b}, c};

(b) {1 2 3} ⊆ {{1 2} 3 {1 2 3}}



(b) {1, 2, 3} ⊆ {{1, 2}, 3, {1, 2, 3}}.

Resenje: (a) Ovo nije tacno, jer skupovi na levoj i desnoj strani nemaju

iste elemente. Naime, elementi skupa na levoj strani su a i {b, c}, a

elementi skupa na desnoj strani su {a, b} i c.

Prema tome, a je, na primer, element skupa na levoj strani, ali nije

element skupa na desnoj strani.

(b) Ni ovo nije tacno, jer elementi skupa na levoj strani su 1, 2 i 3, a

elementi skupa na desnoj strani su {1, 2}, 3 i {1, 2, 3}. Dakle, 1 i 2

nisu elementi skupa na desnoj strani.





Zadatak 2. Odrediti broj elemenata sledecih skupova:

(a) {{∅, {∅}}}



(b) {1, 2, 3, {1, 2, 3}}

(c) {∅, {∅}, a , b , {a, b}, {a, b, {a, b}}}

(d) {∅, {∅}, {∅, {∅}}}

(e) {∅, {∅}, ∅}

Resenje:

(a) Skup {{∅, {∅}}} ima samo jedan element, skup {∅, {∅}}.





(b) Skup {1, 2, 3, {1, 2, 3}} ima 4 elementa:

(1) 1, (2) 2, (3) 3 i (4) {1, 2, 3}.

( ) Sk {∅ {∅} b { b} { b { b}}} i 6 l t



(c) Skup {∅, {∅}, a , b , {a, b}, {a, b, {a, b}}} ima 6 elemenata:

(1) ∅, (2) {∅}, (3) a, (4) b, (5) {a, b}, i (6) {a, b, {a, b}}.

(d) Skup {∅, {∅}, {∅, {∅}}} ima 3 elementa:

(1) ∅, (2) {∅}, i (3) {∅, {∅}}.

(e) Skup {∅, {∅}, ∅} ima 2 elementa:

(1) ∅ (dva puta zapisan), i (2) {∅}.


Svojstva jednakosti i inkluzije skupova



Tvrdenje 1. Za proizvoljne skupove A, B, C vazi:

(i) A = A (refleksivnost)



A = B ⇒ B = A (simetricnost)

A = B ∧ B = C ⇒ A = C (tranzitivnost)

(ii) A ⊆ A (refleksivnost)

A ⊆ B ∧ B ⊆ A ⇒ A = B (antisimetricnost)

A ⊆

B∧

B ⊆

C ⇒

A ⊆

C (tranzitivnost)

Dokaz: Ostavlja se za vezbu.





Zbog refleksivnosti inkluzije, svaki skup je i svoj sopstveni podskup.

Antisimetricnost inkluzije je svojstvo koje se veoma mnogo koristi kada

s d k j j dn k st sk



se dokazuje jednakost skupova.

Naime, skupovnu jednakost A = B najcesce dokazujemo tako sto do-

kazujemo da je A ⊆ B i B ⊆ A.


Venovi dijagrami

Venovi dijagrami

Venovi dijagrami

Skupove graficki najcesce predstavljamo pomocu Venovih dijagrama.

Kod Venovih dijagrama skupovi su predstavljeni skupovima tacaka izves-

nih geometrijskih figura u ravni, kao sto su krugovi ili elipse, i oblasti



g j g , g p ,

u ravni koje nastaju presecanjem tih geometrijskih figura.Dva primera Venovih dijagrama data su na donjoj slici:


Razlika skupova

Razlika skupova

Razlika skupova

Razlika skupova A i B je skup A \ B koji se definise sa

A \ B def = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.



tj. skup svih elemenata iz A koji ne pripadaju skupu B


Razlika skupova

Razlika skupova

Razlika skupova

Tvrdenje 2. Neka su X i Y proizvoljni skupovi. Tada je

X \ X = Y \ Y.



Dokaz: Imamo da je

x ∈ X \ X ⇔ x ∈ X ∧ x ∈ X ⇔ ⊥

x ∈ Y \ Y ⇔ x ∈ Y ∧ x ∈ Y ⇔ ⊥

odakle sledi da je x ∈ X \ X ⇔ x ∈ Y \ Y .

Prema ovom tvrdenju, razlika X \ X ne zavisi od skupa X .

Zato prazan skup, u oznaci ∅, definisemo kao skup X \ X , gde je X

proizvoljan skup.


Razlika skupova

Razlika skupova

Razlika skupova

Prema ovakvoj definiciji

x ∈ ∅ ⇔ x ∈ X ∧ x ∈ X.

K k j d t k i l ij k t dik ij t i d i



Kako je desna strana ove ekvivalencije kontradikcija, to imamo da ni

za jedno x ne vazi x ∈ ∅.

Tako dolazimo do ekvivalentne definicije praznog skupa: prazan skup

je skup koji nema elemenata.Tvrdenje 3. Za svaki skup X vazi ∅ ⊆ X .

Dokaz: Implikacija

x ∈ ∅ ⇒ x ∈ X

vazi za svaki x jer je leva strana te implikacije uvek netacna.


Presek skupova

Presek skupova

Presek skupova

Presek skupova A i B, u oznaci A ∩ B, je skup koji sadrzi tacno one

elemente koji se nalaze istovremeno u oba skupa:

A ∩ B def = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.



{ | }

Za skupove A i B ciji je presek prazan skup se kaze da su disjunktni.

presek skupova disjunktni skupovi


Unija skupova

Unija skupova

Unija skupova

Unija skupova A i B, u oznaci A ∪ B, je skup koji sadrzi sve elemente

koji se nalaze bar u jednom od njih:

A ∪ B def = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.



{ | }


Komplement skupa

Komplement skupa

Komplement skupa

Ako je B ⊆ A, onda se razlika A \ B zove komplement skupa B u

odnosu na A i oznacava sa C A(B):

C A(B) def = A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.



( ) \ { | }


Komplement skupa

Komplement skupa

Komplement skupa

Cesto se posmatraju iskljucivo podskupovi nekog unapred datog skupa

U , koji se zove univerzalni skup.

Tada a B ⊆ U C (B) se o naca a sa



Tada za B ⊆ U , C U (B) se oznacava sa

B i zove se samo komplement skupa B:

B def = {x | x ∈ B}


Primeri skupovnih operacija



a) Ako je

A = {x ∈ N | (∃k)(x = 2k)},

B = {x ∈ N | (∃m)(x = 3m)},



onda je

A ∩ B = {x ∈ N | (∃ p)(x = 6 p)};

A ∪ B = {x ∈ N

| (∃q)(x = 2q ∨ x = 3q)};A = {x ∈ N | (∃r)(x = 2r − 1)}.

b) Skupovi tacaka koje pripadaju dvema mimoilaznim pravama sudisjunktni.


Venovi dijagrami (nastavak)



Neka je dat univerzalni skup U i njegovi podskupovi A1, A2, . . . , An.

Predstavljanje tih skupova Venovim dijagramom je takvo graficko pred-

stavljanje gde je univerzalni skup U predstavljen pravougaonikom, a



skupovi A1, A2, . . . , An krugovima ili elipsama.

Pri tome mora biti ispunjen uslov da krugovi, odnosno elipse, dele

pravougaonik na 2n delova, od kojih je svaka povezana oblast.

Venov dijagram mora da obezbedi dovoljan broj oblasti za predstavlja-

nje svih mogucih preseka skupova A1, . . . , An i njihovih komplemenata.

Svi ti preseci mogu biti neprazni, i tada ih ima 2n

, sto znaci da jeneophodno u Venovom dijagramu obezbediti 2n povezanih oblasti.


Venov dijagram V 2

Venov dijagram V 2

Venov dijagram V 2

Venov dijagram za dva skupa, u oznaci V 2, prikazan je na sledecoj slici:

A BU



A B A B A B

A B

Jednostavnosti radi, ovde smo izostavljali znak ∩ za presek skupova.

Na primer, A B kraci zapis za A ∩ B.

Komplement se gleda u odnosu na univerzalni skup U .


Primer: nije Venov dijagram



Primer predstavljanja koje nije Venov dijagram, jer ne ispunjava napred

postavljeni uslov, dat je na sledecoj slici.

U B



A

Ovo nije Venov dijagram jer skup A ∩ B nije predstavljen povezanom

oblascu.


Venov dijagram V 3

Venov dijagram V 3

Venov dijagram V 3

Venov dijagram za tri skupa, u oznaci V 3, je

C U A B C



A B C A B C

A B C

A B C

A B C A B C

A B C

A B


Venov dijagram V 4

Venov dijagram V 4

Venov dijagram V 4

Venov dijagram za cetiri skupa, u oznaci V 4, je prikazan na sledecoj slici:

U A D

B C 2 3

1 : A B C D 9 : A B C D

2 : A B C D 10 : A B C D



16

A D

1 45 6 7

8

9 10

11 12

13 14

15

2 : A B C D 10 : A B C D

3 : A B C D 11 : A B C D

4 : A B C D 12 : A B C D

5 : A B C D 13 : A B C D6 : A B C D 14 : A B C D

7 : A B C D 15 : A B C D

8 : A B C D 16 : A B C D


Venovi dijagrami za n skupova



Vec u slucaju cetiri skupa nije moguce nacrtati Venov dijagram sa

krugovima, cak i razlicitih poluprecnika, vec se to mora uraditi elipsama.

Iako su Venovi dijagrami uvedeni jos 1881. godine, tek je 1975. godine

d k d ki i d b j ˇ t ti V dij



dokazano da se za svaki prirodan broj n moze nacrtati Venov dijagram

sa n elipsi koji obezbeduje svih 2n oblasti.

Medutim, crtanje Venovih dijagrama za pet i vise skupova je toliko

komplikovano da to necemo raditi.


Venovi dijagrami – zadatak



Zadatak 3. Dokazati da donja slika ne predstavlja Venov dijagram.

C D

34 7

U



A B

1 25

6

7

8

9 10

1112

1314

Oznacene oblasti izraziti kao preseke skupova A, B, C i D, odnosno

njihovih komplemenata, na nacin kako je to uradeno za V 4.





Resenje: Vec na prvi pogled se vidi da nedostaju oblasti koje odgo-

varaju skupovima A C B D i B D A C , tj., A B C D i A B C D.

C DU



Drugim recima, u ovom slucaju je

A B C D = ∅ i A B C D = ∅.

A B

1 2

34

5

6

7

8

9 10

1112

1314





Sve ostale oblasti iz Venovog dijagrama V 4 su prisutne na ovom dija-

gramu i odgovaraju sledecim oblastima sa ovog dijagrama

1 : A B C D 8 : A B C D



A B

C D

1 2

34

5

6

7

89 10

1112

1314

U 2 : A B C D 9 : A B C D

3 : A B C D 10 : A B C D

4 : A B C D 11 : A B C D

5 : A B C D 12 : A B C D

6 : A B C D 13 : A B C D

7 : A B C D 14 : A B C D.


Svojstva skupovnih operacija



Tvrdenje 4. Neka je A skup i X, Y, Z ⊆ A. Tada vazi:

(a) Komutativnost X ∩ Y = Y ∩ X ,

X ∪ Y = Y ∪ X ;



(b) Asocijativnost X ∩ (Y ∩ Z ) = (X ∩ Y ) ∩ Z ,

X ∪ (Y ∪ Z ) = (X ∪ Y ) ∪ Z ;

(c) Distributivnost X ∩ (Y ∪ Z ) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z ),

X ∪ (Y ∩ Z ) = (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z );

(d) Apsorptivnost X ∩ (X ∪ Y ) = X ,

X ∪ (X ∩ Y ) = X ;





(e) Idempotentnost X ∩ X = X ,

X ∪ X = X ;

(f) De Morganovi zakoni (X ∩ Y ) = X ∪ Y ,



(f) De Morganovi zakoni

(X ∪ Y ) = X ∩ Y ;

(g) X ∩ X = ∅,

X ∪ X = A;

(h) X ∩ A = X ,

X ∪ A = A;

(i) X ∩ ∅ = ∅,

X ∪ ∅ = X .



Svojstva inkluzije

Svojstva inkluzije

Svojstva inkluzije

Sledece tvrdenje daje nam vezu izmedu inkluzije i operacija preseka i

unije skupova.

Tvrdenje 5. Neka su X i Y skupovi. Tada vazi:



X ⊆ Y ⇔ X ∩ Y = X,

X ⊆ Y ⇔ X ∪ Y = Y.



Partitivni skup

Partitivni skup

Partitivni skup

Kolekcija svih podskupova proizvoljnog skupa A je skup koji nazivamo

partitivni skup skupa A i oznacavamo ga sa P (A):

P (A) def = {X | X ⊆ A}.



Tvrdenje 6.

(a) Prazan skup je element svakog partitivnog skupa.

(b) Skup A je element svog partitivnog skupa P (A).

Za razliku od samog praznog skupa, koji nema elemenata, njegov

partitivni skup je jednoclan (jednoelementan):

P (∅) = {∅}


Partitivni skup

Partitivni skup

Partitivni skup

Primer partitivnog skupa:

Za A = {a , b , c} je

P (A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a , b , c}}.



Tvrdenje: Neka skup A ima n elemenata. Tada

(a) A ima n

k podskupova sa k elemenata (0 k n);

(b) P (A) ima 2n elemenata.

Zbog ovoga se cesto umesto oznake P (A) koristi oznaka 2A.


Partitivni skup

Partitivni skup

Partitivni skup

Setimo se da je

n

k binomni koeficijent, tj.

n

k

=

n(n − 1)(n − 2)(n − k + 1)

k(k − 1) · · · 2 · 1 .



Posebne vrednosti binomnih koeficijenata su:n

0

def = 1,

n

1

= n,

n

n

= 1.


Partitivni skup

Partitivni skup

Partitivni skup

Zadatak: Odrediti sve podskupove skupa A = {α, 2, 5, w}.

Resenje: Svi podskupovi skupa A su

broj brojpodskup



elemenata podskup

podskupova0 ∅ 1

1 {α}, {2}, {5}, {w} 4

2 {α, 2}, {α, 5}, {α, w}, {2, 5}, {2, w}, {5, w} 63 {α, 2, 5}, {α, 2, w}, {α, 5, w}, {2, 5, w} 4

4 A 1

ukupno: 16


Ure deni par

Ure deni par

Ure deni par

Kao sto znamo, {x, y} oznacava skup koji sadrzi elemente x i y, pri

cemu je {x, y} isto sto i {y, x}, tj., nije nije bitan redosled po komenavodimo elemente x i y.

Zato se skup {x, y} ponekad naziva i neuredeni par elemenata x i y.



p { , y} p p y

Medutim, cesto se namece potreba da istaknemo koji je element prvi

a koji drugi u paru.

Da bi smo to istakli, uvodimo oznaku (x, y) i kazemo da je (x, y)

uredeni par elemenata x i y.

Za x kazemo da je prva komponenta ili prva koordinata, a za y da je

druga komponenta ili druga koordinata uredenog para (x, y).


Primer ure denog para



Svaka tacka u ravni moze se predstaviti uredenim parom (a, b) realnih

brojeva, pri cemu za a kazemo da je njena x-koordinata, a za b da jenjena y-koordinata.

Kao sto vidimo na slici, uredeni par (1, 3) nije isto sto i uredeni par



p ( , ) j p

(3, 1).

x

y

(1,3)

(3,1)(a, b)

a

b


Formalna definicija ure denog para



Prethodna prica o uredenim parovima je bila potpuno neformalna.

Njena uloga je bila da objasni svrhu uvodenja pojma uredenog para ikako treba shvatiti taj pojam.

U nastavfkmu dajemo formalnu matematicku definiciju uredenog para.



Uredeni par (x, y) elemenata x i y se formalno definise kao skup

(x, y) def = {{x}, {x, y}}.

Ovakva definicija moze izgledati vrlo neobicno i prilicno apstraktno.

Medutim, ona omogucava da se iz nje izvedu fundamentalna svojstva

uredenih parova.Jedno od takvih svojstava je i jednakost uredenih parova, koja je tema

nasih daljih razmatranja.





Tvrdenje 7. Dokazati da su dva uredena para (a, b) i (c, d) jednaka

ako i samo ako je a = c i b = d.

Dokaz: Ako je a = c i b = d, tada je jasno da je {a} = {c} i{a, b} = {c, d}, pa je (a, b) = (c, d).



Obratno, neka je (a, b) = (c, d), tj.

{{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}.

Slucaj a = b: U ovom slucaju je (a, b) = {{a}, {a, b}} = {{a}}, pa

{{a}} = {{c}, {c, d}},

sto znaci da je {{a}} = {{c}} = {{c, d}},

odakle se lako dobija da je a = b = c = d.





Slucaj a = b: U ovom slucaju je {a} = {a, b}, zbog cega mora biti i

{c} = {c, d}, odnosno c = d. Iz

{c} ∈ {{c}, {c, d}} = {{a}, {a, b}}

dobija se {c} = {a}, tj. c = a, dok se iz



{c, d} ∈ {{c}, {c, d}} = {{a}, {a, b}} i {c, d} = {a}

dobija {c, d} = {a, b}, pa iz d = c = a i d ∈ {c, d} = {a, b}

zakljucujemo da mora biti d = b. Dakle, a = c i b = d.

Prema tome, dva uredena para su jednaka ako su im jednake odgova-rajuce koordinate.

Iz jednakosti uredenih parova mozemo zakljuciti i da vazi

(x, y) = (y, x) ⇔ x = y.


Ure dena n-torka

Ure dena n-torka

Ure dena n-torka

Uopstenjem pojma uredenog para sa n = 2 na bilo koji prirodan broj

n, dolazimo do pojma uredene n-torke.

Uredena n-torka (x1, x2, . . . , xn) elemenata x1, x2, . . . , xn definise se

induktivno, na sledeci nacin:



(x1) def = x1

(x1, . . . , xn) def = ((x1, . . . , xn−1), xn).

Na primer, uredena trojka (a , b , c) je zapravo uredeni par ((a, b), c).

Za bilo koji k ∈ {1, . . . , n}, element xk se naziva k-ta koordinatauredene n-torke (x1, . . . , xn).


Jednakost ure denih n-torki



Kao i kod uredenih parova, za uredene n-torke vazi

Tvrdenje 8. Dve uredene n-torke (x1, . . . , xn) i (y1, . . . , yn) su jed-

nake ako i samo ako su im jednake odgovarajuce koordinate, tj.



x1 = y1 ∧ x2 = y2 ∧ . . . ∧ xn = yn.

Dokaz: Ovo tvrdenje dokazuje se indukcijom po n.

Za n = 1 tvrdenje je trivijalno, a u slucaju n = 2 dokazano je u

prethodnom tvrdenju.

Pretpostavimo sada da tvrdenje vazi za neki prirodan broj n − 1 idokazimo da vazi i za n.





Zaista,

(x1, x2, . . . , xn) = (y1, y2, . . . , yn)

⇔ ((x1, . . . , xn−1), xn) = ((y1, . . . , yn−1), yn)

(definicija uredene n-torke)



⇔ (x1, . . . , xn−1) = (y1, . . . , yn−1) ∧ xn = yn

(jednakost uredenih parova)

⇔ x1 = y1 ∧ . . . ∧ xn−1 = yn−1 ∧ xn = yn

(indukcijska hipoteza).

Ovim je tvrdenje dokazano za svaki prirodan broj n.


Dekartov proizvod dva skupa



Ako su A i B skupovi, onda se skup svih uredenih parova sa prvom ko-

ordinatom iz A, a drugom iz B naziva Dekartov, Kartezijev ili direktanproizvod skupova A i B, i oznacava se sa A × B:

A × B def = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}.







Sam naziv ”Dekartov proizvod” potice od pojma ”Dekartov koordinatni

sistem” – predstavljanja tacaka u ravni uredenim parom realnih brojeva.

Ako je bilo koji od skupova A i B prazan, tada je po definiciji i njihov

Dekartov proizvod A × B prazan.



Dekartov proizvod A × A skupa A sa samim sobom oznacava se sa A2

i naziva Dekartov kvadrat skupa A.

Primer: Ako je A = {0, 1} i B = {x , y , z}, onda je

A × B = {(0, x), (0, y), (0, z), (1, x), (1, y), (1, z)};

A2 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}.

Dekartov proizvod skupova sa m i n elemenata ima mn elemenata.


Dekartov proizvod n skupova



Dekartov proizvod n skupova A1, . . . , An, u oznaci

A1 × · · · × An ilin

i=1

Ai,

j k ih d ih ki k di i d j ih k



je skup svih uredenih n-torki sa koordinatama iz odgovarajucih skupova:

A1 × · · · × An

def = {(a1, . . . , an) | a1 ∈ A1, . . . , an ∈ An}.

Ako je bilo koji od skupova A1, . . . , An prazan, onda je po definiciji

prazan i skup A1 × · · · × An.


Dekartov n-ti stepen



Ako je A1 = · · · = An = A, onda se odgovarajuci Dekartov proizvod

oznacava sa An

i zove Dekartov n-ti stepen skupa A.

Jasno, A1 = A.

Ak j A ∅ d j D k t t d i iti (d d fi i ti)



Ako je A = ∅, onda je Dekartov stepen zgodno prosiriti (dodefinisati)i za n = 0, na sledeci nacin:

A0 def = {∅}

U ovoj definiciji je najbitnije da je A0 jednoelementan skup.

Jedini element ovog skupa mogli smo oznaciti i nekako drugacije, ali je

uzeta oznaka za prazan skup zbog svoje univerzalnosti.


Familija skupova

Familija skupova

Familija skupova

Neka je dat neprazan skup I , koji cemo nazivati indeksni skup, i neka

je svakom elementu i ∈ I pridruzen neki skup Ai.

Tada mozemo formirati novi skup

{Ai | i ∈ I}



{Ai | i ∈ I }tako sto svaki element i u skupu I za-

menimo odgovarajucim skupom Ai.

Dakle, elementi tog novog skupa su

skupovi Ai.

Ovako definisan skup nazivamo familija skupova Ai, i ∈ I , indeksirana

skupom I , koju takode oznacavamo i sa {Ai}i∈I .


Unija familije skupova



Unija familije skupova {Ai | i ∈ I } definise se na sledeci nacin:

i∈I

Ai =

{Ai | i ∈ I } def = {x | (∃i ∈ I ) x ∈ Ai}.

Kao sto se idi sa slike nij familije



Kao sto se vidi sa slike, uniju familijeskupova mozemo shvatiti tako kao da

smo uklonili opne koje razdvajaju ele-

mente iz razlicitih skupova Ai i timesve te elemente objedinili u jedan skup.


Presek familije skupova



Presek familije skupova {Ai | i ∈ I } definise se sa:

i∈I

Ai =

{Ai | i ∈ I } def = {x | (∀i ∈ I ) x ∈ Ai}.



Na slici desno prikazan je presek familije

{Ai}i∈I , gde je I = {1, 2, 3, 4, 5}.




Šta je to relacija?



U raznim oblastima se cesto javlja potreba da se izmedu izvesnih ob-

jekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije.

Na primer, cesto se javlja potreba

da se izvesni objekti uporede prema nekom zadatom kriterijumu



da se izvesni objekti uporede prema nekom zadatom kriterijumu,

da se poredaju u skladu sa nekim pravilom,

da se odrede izvesne slicnosti izmedu objekata, i da se oni grupisuu grupe medusobno slicnih objekata, itd.

U matematici se sve ovo moze uraditi koriscenjem matematickog pojma

relacije, koji definisemo i bavimo se njime u daljem tekstu.

Matematicka logika – 2 – Relacije - I deoMatematicka logika – 2 – Relacije - I deoMatematicka logika – 2 – Relacije - I deo

Binarne relacije

Binarne relacije

Binarne relacije

Binarnu relaciju na nepraznom skupu A definisemo kao bilo koji pod-

skup Dekartovog kvadrata A2

:

⊆ A2.

Ako je



Ako je(x, y) ∈ ,

onda kazemo

x je u relaciji sa y.

ˇCesto umesto (x, y) ∈ pisemo x y .


Primeri binarnih relacija



a) Skup = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} je jedna binarna relacija na skupu

{1, 2, 3}. Umesto (1, 2) ∈ , pise se 1 2.Kako je to relacija manje za brojeve, uobicajeno oznacavanje je

1 < 2.



b) Na partitivnom skupu proizvoljnog skupa A, inkluzuja ⊆ je jedna

binarna relacija.

c) Skup {(x, x) | x ∈ A} odreduje relaciju jednakosti na nepraznom

skupu A; oznaka relacije je =, odnosno pise se a = a za svaki

element a ∈ A.





d) Poznate binarne relacije na skupu prirodnih brojeva N, pored jed-

nakosti, jesu i <, , |, a njihove definicije su:

x < y ⇔ (∃z)(x + z = y) manje (strogo manje)

x y ⇔ (x = y ∨ x < y) manje ili jednako



x y ⇔ (x = y ∨ x < y) manje ili jednako

x | y ⇔ (∃z)(x · z = y) deli, je delitelj

Analogno prvim dvema definisu se i relacije

> vece (strogo vece) vece ili jednako


n-arne relacije

n-arne relacije

n-arne relacije

Slicno pojmu binarne relacije, za bilo koji prirodan broj n uvodimo

pojam n-arne relacije na nepraznom skupu A koja se definise kaobilo koji podskup Dekartovog stepena An.

Broj n se naziva arnost ili duzina relacije .

R l ij ti 1 i l ij



Relacije arnosti 1 nazivamo unarne relacije.

Unarne relacije su zapravo “obicni” podskupovi skupa A.

Relacije arnosti 2 su upravo binarne relacije.Relacije arnosti 3 nazivamo ternarne relacije.

U matematici se najcesce radi sa binarnim relacijama.

Zato, jednostavnosti radi, umesto binarna relacija mi govorimo krace

samo relacija.


Primeri n-arnih relacija



a) Ako je A skup tacaka na pravoj, onda se svojstvom

x je izmedu y i z

definise jedna ternarna relacija na A.

b) Sk



b) Skup

{(x , y , z) | x2 + y2 = z2}

je ternarna relacija na skupu R.

c) Skup Np parnih brojeva je unarna relacija na skupu N.


Graficko predstavljanje relacija



Kao sto smo ranije rekli, Dekatrov kvadrat A2 skupa A se graficki

predstavlja kvadratom cija donja i leva ivica predstavljaju skup A.Binarne relacije na A se u tom slucaju predstavljaju kao skupovi tacaka

sa odgovarajucim koordinatama u tom kvadratu.



U ovom primeru je (a, b) ∈ , sto pisemo a b , dok (c, d) /∈ .





Ako je skup A konacan, onda kvadrat A2 predstavljamo mrezom hori-

zontalnih i vertikalnih duzi, ciji preseci predstavljaju tacke iz A2

.Relaciju ⊆ A2 predstavljamo tako sto parove tacaka iz u toj mrezi

oznacavamo malim kruzicima.

d



a b c dab

c

Na primer, za A = {a,b,c,d}, gornja slika predstavlja relaciju

= {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, b), (c, d), (d, a), (d, d)}.


Bulove matrice

Bulove matrice

Bulove matrice

Relacija na konacnom skupu A = {a1, a2, . . . , an} moze se pred-

staviti i Bulovom matricom

M =

α1,1 α1,2 . . . α1,n

α2,1 α2,2 . . . α2,n

. . . . . . . . . . . .



. . . . . . . . . . . .

αn,1 αn,2 . . . αn,n

gde je

αi,j =

1 ako (ai, a j) ∈

0 ako (ai, a j) /∈

Matrica se naziva Bulovom jer se sastoji samo od Bulovih vrednosti –

nula (oznaka za netacno) i jedinica (oznaka za tacno).


Primer Bulove matrice



Ranije razmatrana relacija

= {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, b), (c, d), (d, a), (d, d)},

na skupu A = {a,b,c,d}, moze se predstaviti Bulovom matricom:0 1 1 0



M =

0 1 1 0

0 1 0 11 0 0 1

Primetimo da ova matrica veoma lici na kvadratnu mrezu (rotiranu za

−90◦), kojom je ranije bila predstavljena ista ova relacija.


Relacije i grafovi

Relacije i grafovi

Relacije i grafovi

Jos jedan nacin grafickog predstavljanja relacija je uz pomoc grafova.

Orijentisani graf ili digraf je uredeni par (G, E ) za koji vazi:

– G je neprazan skup, koji nazivamo skupom cvorova, a njegove

elemente cvorovima grafa;2



g– E ⊆ G2 je neprazan skup koji nazivamo skupom grana, a njegove

elemente granama grafa.

Jasno, E je nista drugo do binarna relacija na skupu cvorova G.

Za granu e = (a, b) ∈ E kazemo da pocinje u cvoru a a zavrsava se u

cvoru b, sto graficki predstavljamo na sledeci nacin:a b


Primer grafa

Primer grafa

Primer grafa

Jednostavnosti radi, kada je iz konteksta jasno da se radi o digrafu,

umesto ”digraf” kazemo i samo ”graf”.Neka je graf G = (G, E ) zadat sa:

G = {a,b,c}, E = {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, b)}.



{ } {( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

Ovaj graf (relaciju) graficki predstavljamo na sledeci nacin:


Primer grafa

Primer grafa

Primer grafa







a b

c


Primer grafa

Primer grafa

Primer grafa







a b

c


Primer grafa

Primer grafa

Primer grafa







a b

c


Primer grafa

Primer grafa

Primer grafa







a b

c


Primer grafa

Primer grafa

Primer grafa







a b

c


Primer grafa

Primer grafa

Primer grafa




( )




a b

c


Još jedan primer grafa



Neka je graf (G, E ) graficki prikazan sa

c



a b

Tada je G = {a,b,c} i

E = {(a, b), (a, c), (b, b), (c, a), (c, c)}.

Napomenimo da granu oblika (a, a) zovemo petlja.


Malo o terminologiji



Naziv ”graf” potice upravo od grafickog nacina njihovog predstavljanja.

Naziv ”orijentisani graf” istice cinjenicu da kod svake grane razlikujemonjen pocetni i njen zavrski cvor.

U grafickom predstavljanju grafa, orijentacija je odredena strelicom.

”Digraf” je skracenica naziva orijentisanog grafa na engleskom jeziku



Digraf je skracenica naziva orijentisanog grafa na engleskom jeziku

– ”directed graph”.

U matematici se takode izucavaju i neorijentisani grafovi.

Za razliku od orijentisanih grafova, kod kojih je grana uredeni par

cvorova, kod neorijentisanih grafova grana je neuredeni par cvorova.


Predstavljanje relacija - primeri



Zadatak 1.1. Neka je A = {2, 4, 5, 8, 9, 10} i neka je relacija na A

definisana saa b

def ⇔ a deli b u skupu N.

(a) Predstaviti relaciju kao skup uredenih parova.

(b) Predstaviti relaciju grafom



(b) Predstaviti relaciju grafom.

(c) Predstaviti relaciju Bulovom matricom.

Resenje: a) Imamo da je

= {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (2, 10), (4, 4), (4, 8),(5, 5), (5, 10), (8, 8), (9, 9), (10, 10)}.





(b) Kako je

= {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (2, 10), (4, 4), (4, 8),

(5, 5), (5, 10), (8, 8), (9, 9), (10, 10)},

se moze predstaviti grafom na jedan od sledecih nacina:



2

45

8

910

2

45

8

9 10





(c) Kako je

= {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (2, 10), (4, 4), (4, 8),

(5, 5), (5, 10), (8, 8), (9, 9), (10, 10)},

se moze predstaviti sledecom Bulovom matricom:



1 1 0 1 0 1

0 1 0 1 0 0

0 0 1 0 0 1

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1





Kako se iz ovog predstavljanja ne vidi bas jasno koja vrsta, odnosno

kolona, odgovara odredenom elementu iz A, to relaciju mozemopredstaviti i tablicom

2 4 5 8 9 10

2 1 1 0 1 0 1



4 0 1 0 1 0 0

5 0 0 1 0 0 18 0 0 0 1 0 0

9 0 0 0 0 1 0

10 0 0 0 0 0 1


Neke važne relacije



Prazna relacija definise se kao prazan podskup od A2.

Puna ili univerzalna relacija definise se kao ceo skup A2

.Relacija jednakosti na skupu A naziva se cesto i dijagonalna relacija ili

dijagonala i oznacava se sa ∆.

Dakle, ∆ = {(x, x) | x ∈ A}




Operacije sa relacijama



Kako relacije na skupu A predstavljaju podskupove od A2, to se poj-

movi presek relacija, unija relacija i komplement relacije definisu kao

preseci skupova:

∩ θ = {(x, y) ∈ A2 | (x, y) ∈ ∧ (x, y) ∈ θ};

∪ θ = {(x, y) ∈ A2 | (x, y) ∈ ∨ (x, y) ∈ θ};

{( ) ∈ A2 | ( ) ∈ }



= {(x, y) ∈ A2 | (x, y) ∈ }.


Jednakost i inkluzija relacija



Jednakost relacija takode definisemo kao jednakost skupova,

= θ def ⇔ (∀(x, y) ∈ A2) (x, y) ∈ ⇔ (x, y) ∈ θ ),

a inkluziju relacija kao inkluziju skupova:

⊆ θ def ⇔ (∀(x, y) ∈ A2) (x, y) ∈ ⇒ (x, y) ∈ θ ).




Inverzna relacija

Inverzna relacija

Inverzna relacija

Inverzna relacija relacije na skupu A, u oznaci −1, je relacija na

skupu A definisana sa:

−1 = {(y, x) ∈ A2 | (x, y) ∈ }.

Na slici se vidi da se inverzna relacija

−1

dobija rotacijom relacije oko dijagonale.




Primeri operacija sa relacijama



Razmatramo relacije na skupu prirodnih brojeva N.

a) Presek relacija i je relacija jednakosti, a njihova unija je punarelacija, tj. N2.

b) Komplement relacije < je relacija

, a inverzna relacija za < jerelacija >.



c) Relacija jednakosti je sama sebi inverzna, a njen komplement je

relacija =.

d) Relacija deli, |, je podskup relacije .


Kompozicija relacija



Kompozicija ili proizvod relacija i θ na skupu A je relacija ◦ θ na

A, definisana na sledeci nacin: ◦ θ = {(x, y) ∈ A2 | (∃z ∈ A)((x, z) ∈ ∧ (z, y) ∈ θ)}

odnosno

◦ θ = {(x y) ∈ A2 | (∃z ∈ A)( x z ∧ z θ y )}



◦ θ = {(x, y) ∈ A | (∃z ∈ A)( x z ∧ z θ y )}

Drugim recima, relacija θ se nastavlja (nadovezuje) na .To nadovezivanje moze se graficki prikazati na sledeci nacin

x z y

θ


Primer kompozicije relacija



Neka je A = {a,b,c,d}, i

= {(a, b), (a, c), (a, d), (b, d)}, θ = {(b, a), (b, c), (d, c)}.



Tada je

◦ θ = {(a, a), (a, c), (b, c)}, θ ◦ = {(b, b), (b, c), (b, d)}.


Isti primer – drugi nacin



Neka je ponovo A = {a,b,c,d}, i

= {(a, b), (a, c), (a, d), (b, d)}, θ = {(b, a), (b, c), (d, c)}.

Ove relacije mozemo graficki predstaviti

tako da relaciji

odgovaraju plave strelice,a relaciji θ crvene.

c d



Tada relacijama ◦ θ i θ ◦ odgovaraju

kombinacije strelica: ◦ θ: plava–crvena; θ ◦ : crvena–plava

a bDakle,

◦ θ = {(a, a), (a, c), (b, c)}, θ ◦ = {(b, b), (b, c), (b, d)}.


Asocijativnost kompozicije



Tvrdenje 1: Za proizvoljne relacije , θ i σ na skupu A vazi:

◦ (θ ◦ σ) = ( ◦ θ) ◦ σ,

tj. kompozicija relacija je asocijativna operacija.

Dokaz:

Dokazacemo samo da vazi inkluzija



Dokazacemo samo da vazi inkluzija

◦ (θ ◦ σ) ⊆ ( ◦ θ) ◦ σ,

jer se obratna inkluzija dokazuje na potpuno isti nacin.





a b

◦ (θ ◦ σ)

(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒

⇒



⇒

⇒⇒

⇒

⇒





a b

◦ (θ ◦ σ)

x

(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒

⇒ (∃x ∈ A) ∧



⇒ (∃x ∈ A) ∧

⇒⇒

⇒

⇒





a b

◦ (θ ◦ σ)

x

(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒

⇒ (∃x ∈ A)(a x) ∈ ∧



⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧

⇒⇒

⇒

⇒





a b

◦ (θ ◦ σ)

x

θ ◦ σ

(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒

⇒ (∃x ∈ A)(a x) ∈ ∧ (x b) ∈ θ ◦ σ



⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ

⇒⇒

⇒

⇒





a b

◦ (θ ◦ σ)

x

θ ◦ σ

(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒

⇒ (∃x ∈ A)(a x) ∈ ∧ (x b) ∈ θ ◦ σ



⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ

⇒ (∃x ∈ A) (a, x) ∈ ∧⇒

⇒

⇒





a b

◦ (θ ◦ σ)

x

θ ◦ σ

y

(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒

⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ



⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ

⇒ (∃x ∈ A)(∃y ∈ A)(a, x) ∈ ∧

∧

⇒

⇒

⇒





a b

◦ (θ ◦ σ)

x

θ ◦ σ

yθ

(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒

⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ



⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ

⇒ (∃x ∈ A)(∃y ∈ A)(a, x) ∈ ∧

(x, y) ∈ θ ∧

⇒

⇒

⇒





a b

◦ (θ ◦ σ)

x

θ ◦ σ

yθ

σ

(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒

⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ



⇒ ( ∈ )( , ) ∈ ( , ) ∈

⇒ (∃x ∈ A)(∃y ∈ A)(a, x) ∈ ∧

(x, y) ∈ θ ∧ (y, b) ∈ σ

⇒

⇒

⇒





a b

◦ (θ ◦ σ)

x

θ ◦ σ

yθ

σ

(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒

⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ



( ∈ )( , ) ∈ ( , ) ∈

⇒ (∃x ∈ A)(∃y ∈ A)(a, x) ∈ ∧

(x, y) ∈ θ ∧ (y, b) ∈ σ

⇒ (∃y ∈ A)(∃x ∈ A)

⇒

⇒





a b

◦ (θ ◦ σ)

x

θ ◦ σ

yθ σ

(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒

⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ



( )( , ) ( , )

⇒ (∃x ∈ A)(∃y ∈ A)(a, x) ∈ ∧

(x, y) ∈ θ ∧ (y, b) ∈ σ

⇒ (∃y ∈ A)(∃x ∈ A)

(a, x) ∈ ∧ (x, y) ∈ θ

∧ (y, b) ∈ σ

⇒

⇒





a b

◦ (θ ◦ σ)

x

θ ◦ σ

yθ σ

(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒

⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ



( )( ) ( )

⇒ (∃x ∈ A)(∃y ∈ A)(a, x) ∈ ∧

(x, y) ∈ θ ∧ (y, b) ∈ σ

⇒ (∃y ∈ A)(∃x ∈ A)

(a, x) ∈ ∧ (x, y) ∈ θ

∧ (y, b) ∈ σ

⇒ (∃y ∈ A) ∧ (y, b) ∈ σ

⇒

Matematicka logika 29 Relacije - I deoMatematicka logika 29 Relacije - I deoMatematicka logika 29 Relacije - I deo




a b

◦ (θ ◦ σ)

x

θ ◦ σ

yθ σ

◦ θ

(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒

⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ



) ) )

⇒ (∃x ∈ A)(∃y ∈ A)(a, x) ∈ ∧

(x, y) ∈ θ ∧ (y, b) ∈ σ

⇒ (∃y ∈ A)(∃x ∈ A)

(a, x) ∈ ∧ (x, y) ∈ θ

∧ (y, b) ∈ σ

⇒ (∃y ∈ A)(a, y) ∈ ◦ θ ∧ (y, b) ∈ σ

⇒





a b

◦ (θ ◦ σ)

x

θ ◦ σ

yθ σ

◦ θ

( ◦ θ) ◦ σ

(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒

⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ



⇒ (∃x ∈ A)(∃y ∈ A)(a, x) ∈ ∧

(x, y) ∈ θ ∧ (y, b) ∈ σ

⇒ (∃y ∈ A)(∃x ∈ A)

(a, x) ∈ ∧ (x, y) ∈ θ

∧ (y, b) ∈ σ

⇒ (∃y ∈ A)(a, y) ∈ ◦ θ ∧ (y, b) ∈ σ

⇒ (a, b) ∈ ( ◦ θ) ◦ σ





a b

◦ (θ ◦ σ)

x

θ ◦ σ

yθ σ

◦ θ

( ◦ θ) ◦ σ

(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒

⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ



⇒ (∃x ∈ A)(∃y ∈ A)(a, x) ∈ ∧

(x, y) ∈ θ ∧ (y, b) ∈ σ

⇒ (∃y ∈ A)(∃x ∈ A)

(a, x) ∈ ∧ (x, y) ∈ θ

∧ (y, b) ∈ σ

⇒ (∃y ∈ A)(a, y) ∈ ◦ θ ∧ (y, b) ∈ σ

⇒ (a, b) ∈ ( ◦ θ) ◦ σ

Ovim smo dokazali da je ◦ (θ ◦ σ) ⊆ ( ◦ θ) ◦ σ.

Matematicka logika 29 Relacije I deoMatematicka logika 29 Relacije I deoMatematicka logika 29 Relacije I deo

Druga svojstva kompozicije



Tvrdenje 2: Postoji skup A i relacije i θ na A takve da je

◦ θ = θ ◦ .

tj. da kompozicija relacija ne mora biti komutativna operacija.

Dokaz: U primeru kompozicije relacija koji smo dali napred je

◦ θ = θ ◦ ,



sto dokazuje nase tvrdenje.





Tvrdenje 3: Za proizvoljnu relaciju na skupu A vazi

◦ ∆ = ∆ ◦ = .

Dokaz: Neka je (x, y) ∈ ◦ ∆. To znaci da postoji z ∈ A takav da je

(x, z) ∈ i (z, y) ∈ ∆, odnosno (x, z) ∈ i z = y, odakle dobijamoda je (x, y) ∈ . Prema tome, dokazali smo da je ◦ ∆ ⊆ .



Sa druge strane, ako je (x, y) ∈ , tada imamo da je (x, y) ∈ i

(y, y) ∈ ∆, pa prema definiciji kompozicije relacija dobijamo da je

(x, y) ∈ ◦ ∆. Ovim smo dokazali da je ⊆ ◦ ∆, pa konacno

zakljucujemo da je ◦ ∆ = .Na isti nacin dokazujemo da je ∆ ◦ = .





Tvrdenje 3: Za proizvoljne relacije ρ, θ i σ na skupu A vazi:

(a) ρ ◦ (θ ∪ σ) = (ρ ◦ θ) ∪ (ρ ◦ σ); (ρ ∪ θ) ◦ σ = (ρ ◦ σ) ∪ (θ ◦ σ);

(b) ρ ◦ (θ ∩ σ) ⊆ (ρ ◦ θ) ∩ (ρ ◦ σ); (ρ ∩ θ) ◦ σ ⊆ (ρ ◦ σ) ∩ (θ ◦ σ);

(c) (ρ ∪ θ)−1

= ρ−1

∪ θ−1

;

(d) (ρ ∩ θ)−1 = ρ−1 ∩ θ−1;



(e) (ρ ◦ θ)−

1 = θ−

1 ◦ ρ−

1;

(f) (ρ−1)−1 = ρ;

(g) (ρ)−

1 = (ρ−1).






Tvrdenje 3: Za proizvoljne relacije ρ, θ i σ na skupu A vazi:

ρ ⊆ θ ⇒ σ ◦ ρ ⊆ σ ◦ θ, ρ ⊆ θ ⇒ ρ ◦ σ ⊆ θ ◦ σ.

Dokaz: Neka je ρ ⊆ θ.

Ako (x, y) ∈ σ ◦ ρ, tada postoji z ∈ A takav da je (x, z) ∈ σ i

(z, y) ∈ ρ. Kako je ρ ⊆ θ, to imamo da je (x, z) ∈ σ i (z, y) ∈ θ,

( )



sto znaci da je (x, y) ∈ σ ◦ θ.

Prema tome, dobili smo da je σ ◦ ρ ⊆ σ ◦ θ, cime je dokazana prva

implikacija.

Druga implikacija se dokazuje analogno.


Refleksivne relacije



Relacija na skupu A je refleksivna ako za svaki x ∈ A vazi

(x, x) ∈ .

Drugim recima, relacija je refleksivna ako i samo ako je

∆ ⊆

tj., ako sadrzi dijagonalu.



tj , ako sadr i dijagonalu

Prema tome, dijagonala je refleksivna relacija.

Za relaciju na A, relacija ∪ ∆ je najmanja refleksivna relacija na A

koja sadrzi , i zovemo je refleksivno zatvorenje relacije .


Simetricne relacije

Simetricne relacije

Simetricne relacije

Relacija na A je simetricna ako za sve x, y ∈ A vazi

(x, y) ∈ ⇒ (y, x) ∈ .Drugim recima, je simetricna relacija ako je ⊆ −1, sto je ekviva-

lentno sa = −1.

Naziv ”simetricna” potice iz cinjenice da su to relacije simetricne u

odnosu na dijagonalu, sto je prikazano na sledecoj slici:




Antisimetricne relacije



Relacija na A je antisimetricna ako za sve x, y ∈ A vazi

(x, y) ∈ ∧ (y, x) ∈ ⇒ x = y,

Ovaj uslov je ekvivalentan sa

∩ −1 ⊆ ∆.

Drugim recima antisimetricna relacija ne moze sadrzati nijedan par



Drugim recima, antisimetricna relacija ne moze sadrzati nijedan par

razlicitih tacaka u A2 simetrican u odnosu na dijagonalu.

Odatle i potice naziv ”antisimetricna” relacija.


Tranzitivne relacije



Relacija na A je tranzitivna ako za sve x, y, z ∈ A vazi

(x, y) ∈ ∧ (y, z) ∈ ⇒ (x, z) ∈ .

Ekvivalentna formulacija ovog uslova je ◦ ⊆ .

Tranzitivnost se graficki moze predstaviti na sledeci nacin – ako je x

u relaciji sa y, i y je u relaciji sa z, onda se trougao moze zatvoriti

l ij i d i



relacijom izmedu x i z:

x y

z


Tranzitivno zatvorenje relacije



Neka je relacija na skupu A. Za n ∈ N0, n-ti stepen relacije , u

oznaci n, definisemo sa:

0 def = ∆ 1 def = n+1 def = n ◦

Takode, relacije + i ∗ definisemo na sledeci nacin:

+ def =

n∈N

n ∗ def =

n∈N0

n



a) + je najmanja tranzitivna relacija na A koja sadrzi , i zovemo je

tranzitivno zatvorenje relacije ;

b) ∗

je najmanja refleksivna i tranzitivna relacija na A koja sadrzi ,i zovemo je refleksivno-tranzitivno zatvorenje relacije .


Putevi u grafu

Putevi u grafu

Putevi u grafu

Neka je dat graf (G, E ), cvorovi a, b ∈ G i neka je

e1 = (a1, b1), e2 = (a2, b2), . . . , en = (an, bn) ∈ E

niz grana za koje vazi

– a = a1 (a je pocetni cvor);– bn = b (b je zavrsni cvor);

– bk = ak+1 (grana ek+1 se nadovezuje na granu ek), za svaki k,



1 k n − 1.

Tada za ovaj niz grana kazemo da je put iz cvora a u cvor b, a broj n

grana u nizu nazivamo duzinom tog puta.

. . .a=a1

b1=a2 b2=a3 bn−1=an bn=b

e1 e2 en


Putevi u grafu

Putevi u grafu

Putevi u grafu

Tranzitivno zatvorenje relacije na skupu A moze se predstaviti pomocu

puteva u grafu (A, ), na sledeci nacin:

(a, b) ∈ + ako i samo ako postoji put iz a u b.

Takode, za n ∈ N vazi:

(a, b) ∈ n ako i samo ako postoji put duzine n iz a u b.

Na ovaj nacin bi smo mogli izraziti i tranzitivnost relacije:



Na ovaj nacin bi smo mogli izraziti i tranzitivnost relacije:

Relacija na skupu A je tranzitivna ako i samo ako svaki put u grafu

(A, ) ima precicu duzine 1, tj., postoji grana koja spaja pocetnu i

krajnju tacku tog puta.


Primeri

Primeri

Primeri

a) Relacije =, , i | na skupu N prirodnih brojeva su refleksivne.

Sve te relacije su i tranzitivne, = je simetricna a

,

i | su anti-simetricne.

Ako relaciju deljenja | posmatramo na skupu celih brojeva, tada

ona nije antisimetricna. Na primer, za svaki ceo broj n = 0 vazi:−n | n i n | −n, pri cemu je n = −n.



b) Relacija = {(1, 1), (1, 2), (2, 2)} je refleksivna na skupu {1, 2},ali nije na skupu {1, 2, 3}, jer ne sadrzi dijagonalu ovog poslednjeg.


Primeri

Primeri

Primeri

c) Relacija = {(x, y) | |x − y| < 1} na skupu realnih brojeva R je

refleksivna i simetricna, ali nije tranzitivna.

d) Relacija paralelnosti za prave u ravni:

pq def

⇔ p i q se ne seku ili se poklapaju

je refleksivna, simetricna i tranzitivna.



Relacija ortogonalnosti

p⊥q def

⇔ p i q se seku pod pravim uglom

je samo simetricna.


Primeri

Primeri

Primeri

Zadatak 1.2. Neka je na skupu celih brojeva zadata sledeca relacija

x y ⇔ (∃u ∈ Z

) x = yu.Koja od sledecih svojstava ima ova relacija:

(a) refleksivna

(b) simetricna

(c) anti-simetricna



(d) tranzitivnaResenje: Dokazacemo da ova relacija ima svojstva (a) i (d), a nema

ostala svojstva.

(a) Relacija je refleksivna jer za svaki x ∈ Z vazi da je x = x · 1, sto

znaci da je x x .


Primeri

Primeri

Primeri

(b) Relacija nije simetricna jer je, na primer, 6 2, a nije 2 6.

Naime, postoji u ∈ Z tako da je 6 = 2 · u (u = 3), ali ne postoji v ∈ Z

tako da je 2 = 6 · v.

(c) Relacija nije anti-simetricna, jer su, na primer, 2 i −2 razliciti

elementi iz Z za koje vazi da je 2 −2 i −2 2. Naime, 2 = (−2)·(−1)i −2 = 2 · (−1).

(d) Relacija je tranzitivna jer ako su x y z ∈ Z elementi takvi da je



(d) Relacija je tranzitivna jer ako su x, y, z ∈ Z elementi takvi da je

x y i y z , odnosno postoje u, v ∈ Z tako da je x = yu i y = zv,

tada je

x = yu = (zv)u = z(vu),i kako je jasno da je vu ∈ Z, to dobijamo da je x z .


Primeri

Primeri

Primeri

Zadatak 1.3. Neka je S = {1, 2, 3} i neka je relacija R na S zadata

sa

R = {(2, 1), (1, 2), (3, 3), (2, 2), (1, 1)}.

Koja od sledecih svojstava ima ova relacija:

(a) refleksivna

(b) simetricna

(c) anti simetricna



(c) anti-simetricna

(d) tranzitivna

Resenje: Dokazacemo da R ima svojstva (a), (b) i (d), a nema (c).


Primeri

Primeri

Primeri

(a) Relacija

R = {(2, 1), (1, 2), (3, 3), (2, 2), (1, 1)}

je refleksivna jer sadrzi sve parove (1, 1), (2, 2) i (3, 3) sa dijagonale

Dekartovog kvadrata skupa S .

(b) Relacija R je i simetricna, jer van dijagonale sadrzi samo parove

(1, 2) i (2, 1), koji su medusobno simetricni.



(c) Relacija R nije anti-simetricna, jer sadrzi parove (1, 2) i (2, 1), pri

cemu je 1 = 2.


Primeri

Primeri

Primeri

(d) Kako su za R = {(2, 1), (1, 2), (3, 3), (2, 2), (1, 1)} tacne sledeceimplikacije

(1, 1) ∈ R ∧ (1, 1) ∈ R ⇒ (1, 1) ∈ R

(1, 1) ∈ R ∧ (1, 2) ∈ R ⇒ (1, 2) ∈ R

(1, 2) ∈ R ∧ (2, 1) ∈ R ⇒ (1, 1) ∈ R

(1, 2) ∈ R ∧ (2, 2) ∈ R ⇒ (1, 2) ∈ R (2, 1) ∈ R ∧ (1, 1) ∈ R ⇒ (2, 1) ∈ R

(2, 1) ∈ R ∧ (1, 2) ∈ R ⇒ (2, 2) ∈ R



(2, 2) ∈ R ∧ (2, 1) ∈ R ⇒ (2, 1) ∈ R (2, 2) ∈ R ∧ (2, 2) ∈ R ⇒ (2, 2) ∈ R

(3, 3) ∈ R ∧ (3, 3) ∈ R ⇒ (3, 3) ∈ R

to zakljucujemo da je R tranzitivna relacija.

M t ti ˇk l ik 47 R l ij I dM t ti ˇk l ik 47 R l ij I dM t ti ˇk l ik 47 R l ij I d

Primeri

Primeri

Primeri

Primetimo da je zadatak bilo moguce uraditi i na drugi nacin.

Naime, mozemo uociti da su svi elementi iz skupa {1, 2} medusobno

u relaciji R , dok je 3 u relaciji samo sa samim sobom.

Prema tome, kolekcija koja se sastoji od skupova {1, 2} i {3} je particija

skupa S , i dva elementa iz S su u relaciji R ako i samo ako su u istombloku te particije, odakle zakljucujemo da je R relacija ekvivalencije

koja odgovara toj particiji.



Iz toga potom dalje sledi da R ima svojstva (a), (b) i (d), a nemasvojstvo (c).


Relacije ekvivalencije



Relacija na skupu A je relacija ekvivalencije na A ako je

refleksivna simetricna

tranzitivna

Umesto ”relacija ekvivalencije” ponekad kazemo samo ”ekvivalencija”.

Glavni primer relacija ekvivalencije je jednakost, tj. dijagonalna relacija.



To je najmanja relacija ekvivalencije na A, u smislu da svaka relacijaekvivalencije na A mora da je sadrzi, dok nijedan pravi podskup od ∆

nema svojstvo refleksivnosti, pa nije relacija ekvivalencije na A.

I univerzalna relacija je relacija ekvivalencije.




Primeri relacija ekvivalencije



(2) Za proizvoljne x, y ∈ Z imamo da je

x ≡n y ⇔ n | x − y ⇔ n | −(x − y) ⇔ n | y − x ⇔ y ≡n x,i dakle, relacija ≡n je simetricna.

(3) Neka su x, y, z ∈ Z elementi takvi da je x ≡n y i y ≡n z, tj.

n | x − y i n | y − z. Tada

n | (x − y) + (y − z) = x − z,



pa je x ≡n z, sto znaci da je ≡n tranzitivna relacija.

Prema tome, ≡n je relacija ekvivalencije.

Primer 1.2. Relacija paralelnosti za prave u ravni, paralelnost za ravniu prostoru, sve su to primeri relacija ekvivalencije.


Klase ekvivalencije

Klase ekvivalencije

Klase ekvivalencije

Neka je relacija ekvivalencije na A i a ∈ A.

Klasa ekvivalencije elementa a u odnosu na relaciju ekvivalencije

definise se kao skup svih elemenata iz A koji su u relaciji sa a, tj.

[a]def = {x ∈ A | a x }.

Takode govorimo i -klasa elementa a, ili krace samo klasa elementa

a, u slucajevima kada je jasno o kojoj se relaciji ekvivalencije radi.




Osnovna svojstva klasa



Tvrdenje 1.

1) Svaka klasa je neprazna - klasa elementa x sadrzi makar taj element.

Dokaz: Za svaki x ∈ A, zbog refleksivnosti imamo da je x x , pa

je x ∈ [x] .

2) Ukoliko su dva elementa x i y u relaciji , tada su njihove klase

jednake, tj. oni odreduju jednu istu klasu: [x] = [y] .



Dokaz: Neka je a ∈ [x] , tj. a x . Prema pretpostavci, x y , pana osnovu tranzitivnosti dobijamo da je a y , tj. a ∈ [y] .

Odavde zakljucujemo da je [x] ⊆ [y] . Na isti nacin dokazujemo i

obratnu inkluziju, cime dobijamo da je [x] = [y] .





3) Ukoliko x i y nisu u relaciji , tada su njihove klase disjunktne.

Dokaz: Pretpostavimo da postoji a ∈ [x] ∩ [y] . Tada je a x

i a y , pa na osnovu simetricnosti i tranzitivnosti dobijamo da je



x y , sto je u suprotnosti sa polaznom pretpostavkom.

Odavde zakljucujemo da klase [x] i [y] moraju biti disjunktne.

Iz 2) i 3) sledi da ako dve klase [x] i [y] nisu disjunktne, tj. imajuneprazan presek, onda moraju da budu jednake.





4) Unija svih -klasa je jednaka celom skupu A.

Dokaz: Kako su sve -klase sadrzane u A, to je i njihova unijasadrzana u A.

Obratno, kako je svaki element x ∈ A sadrzan u nekoj -klasi, tj.

x ∈ [x] , to je jasno da je A sadrzan u uniji svih -klasa.Prema tome, dokazali smo da je A jednak uniji svih -klasa.

Kada neku -klasu zapisemo u obliku [x] , tada kazemo da je x pred-



[ ]

stavniik te klase.

Kako je [x] = [y] , za svaki y ∈ [x] (prema 2) ), to ravnopravno sa x

i y moze predstavljati tu klasu, tj., klasu ekvivalencije moze oznacavati(predstavljati) svaki njen clan.


Primeri klasa

Primeri klasa

Primeri klasa

a) Neka je relacija na skupu A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} zadata sa

1 2 3 4 5 61

2

3

4

5

6

ili matricom M =

1 1 0 1 0 01 1 0 1 0 0

0 0 1 0 0 1

1 1 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1



Tada je relacija ekvivalencije sa klasama

[1] = [2] = [4] = {1, 2, 4},

[3] = [6] = {3, 6},

[5] = {5}.


Primeri klasa

Primeri klasa

Primeri klasa

b) Klase ekvivalencije za relaciju ≡3 na N0 su skupovi brojeva sa istim

ostatkom pri deljenju sa 3:

{1, 4, 7, . . . }; {2, 5, 8, . . . }; {0, 3, 6, 9, . . . }.

c) Dijagonala na proizvoljnom skupu A ima jednoclane klase: svakielement je samo sa sobom u relaciji pa je i sam u klasi.

d) Relacija paralelnosti razbija skup svih pravih u ravni na pravce: u



istoj klasi su sve medusobno paralelne prave.


Razbijanje skupa na klase



Kao sto smo videli, relacija ekvivalencije razbija skup na medusobno

disjunktne klase ekvivalencije.

Relacija ekvivalencije grupise, udruzuje u jednu klasu sve one elemente



koje objedinjuje zajednicko svojstvo - ono koje opisuje ta relacija.

Na primer, kod relacije ≡3, to je svojstvo da imaju isti ostatak pri

deljenju sa 3.

M iˇk l ik 58 R l ij I dM iˇk l ik 58 R l ij I dM iˇk l ik 58 R l ij I d




Zadatak 1.4. Neka je A = {1, 2, 3}.

Odrediti koje od sledecih relacija definisanih na A su relacije ekvivalencije, i za one

koje su relacije ekvivalencije odrediti njihove klase:

(a) R 1 = {(2, 2), (1, 1)}

(b) R 2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

(c) R 3 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 1), (1, 3)}

(d) R 4 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (3, 2), (2, 1)}

( ) {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}



(e) R 5 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 3), (3, 1)}

Resenje: Dokazacemo da relacije (b) i (e) jesu relacije ekvivalencije, a ostale nisu.

(a) Relacija R 1 = {(2, 2), (1, 1)} ocito nije refleksivna, jer ne sadrzi par (3, 3), zbogcega nije ni relacija ekvivalencije.





(b) Relacija R 2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} je ocigledno relacija ekvivalencije cije su

klase jednoelementne: {1}, {2}, {3}.

(c) Relacija R 3 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 1), (1, 3)} je ocito reflek-sivna i simetricna, ali nije tranzitivna, pa nije relacija ekvivalencije.

Naime, imamo da je (2, 1) ∈ R 3 i (1, 3) ∈ R 3, ali (2, 3) /∈ R 3.

(d) Relacija R 4 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (3, 2), (2, 1)} nije relacija ekvivalen-

cije, jer nije simetricna. Zaista, (3, 2) ∈ R 4, ali (2, 3) /∈ R 4.

(e) U slucaju relacije



R 5 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 3), (3, 1)}

imamo da su svi elementi iz skupa A medusobno u toj relaciji, sto znaci da je to

univerzalna relacija na A, odnosno, R 5 je relacija ekvivalencije sa samo jednomklasom: {1, 2, 3}.


Particije

Particije

Particije

Dakle, relacija ekvivalencije odreduje jednu particiju (razbijanje) skupa

A na medusobno disjunktne skupove cija je unija ceo skup A.

To nas dovodi do sledece formalne definicije:

Familiju {Ai}i∈I podskupova skupa A zovemo particija ili razbijanje

skupa A ako za tu familiju vazi sledece: sledece uslove:1) Za svaki i ∈ I je Ai = ∅;

2) Za sve i, j ∈ I je ili Ai ∩ A j = ∅ ili Ai = A j;



3)

{Ai | i ∈ I } = A.

Skupove Ai nazivamo blokovima particije Π.

M iˇk l ik 6 R l ij I dM i

ˇk l ik 6 R l ij I dM i

ˇk l ik 6 R l ij I d

Particije

Particije

Particije

Ako je relacija ekvivalencije na skupu A, tada prema Tvrdenju 2,

familija svih -klasa jeste jedna particija skupa A.

Tu particiju oznacavamo sa Π , tj.

Πdef = {[x] | x ∈ A}.

Obratno, ako je data particija Π = {Ai | i ∈ I } skupa A, tada mozemo

definisati relaciju Π

na A na sledeci nacin:

( ) d f (∃i I) A



(x, y) ∈ Π

def ⇔ (∃i ∈ I ) x, y ∈ Ai,

tj. ako x i y pripadaju istom bloku particije Π.


Relacije ekvivalencije i particije



Tvrdenje 2:

a) Za svaku relaciju ekvivalencije na skupu A, Π je particija od A.

b) Za svaku particiju Π skupa A, Π

je relacija ekvivalencije na A.

c) Stavise, vazi i sledece:

(Π ) = i Π(Π) = Π.







Jednakosti iz Tvrdenja 3, pod c), mogu se pojasniti na sledeci nacin:

c1) Ako za relaciju ekvivalencije

formiramo odgovarajucu particiju Π ,

a potom za tu particiju formiramo odgovarajucu relaciju ekvivalencije

(Π )

, onda dobijamo relaciju ekvivalencije od koje smo krenuli.

Π (Π ) =

c2) Ako za particiju Π formiramo odgovarajucu relaciju ekvivalencije

Π a otom a t elacij ek i alencije fo mi amo odgo a aj c a



Π, a potom za tu relaciju ekvivalencije formiramo odgovarajucu par-ticiju Π(Π), onda dobijamo particiju od koje smo krenuli.

Π Π Π(Π) = Π





Zadatak 1.5. Neka je A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Odrediti koje od sledecih kolekcija skupova predstavljaju particije skupa A. Za one

koje nisu particije navesti razlog zbog cega to nisu.

(a) {{1, 2}, ∅, {3, 4, 5}, {6, 7}}

(b) {{1, 4}, {2, 3, 7}, {5, 6}}

(c) {{1, 7}, {3, 4, 6}}

(d) {{1, 5}, {3, 4, 5}, {2, 6, 7}}

(e) {{1 2 3 4 5 6 7}}



(e) {{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}}

Resenje: Dokazacemo da kolekcije (b) i (e) jesu particije skupa A, dok ostale nisu.

Potseticemo se da kolekcija podskupova od A jeste particija tog skupa ako se sastojiod nepraznih skupova, koji su po parovima disjunktni i unija im je ceo skup A.





(a) Kolekcija {{1, 2}, ∅, {3, 4, 5}, {6, 7}} nije particija skupa A jer se ne sastoji od

nepraznih skupova.

(b) Kolekcija {{1, 4}, {2, 3, 7}, {5, 6}} je particija jer se sastoji od nepraznih, medu-sobno disjunktnih skupova cija je unija jednaka celom skupu A.

(c) Kolekcija {{1, 7}, {3, 4, 6}} se sastoji od nepraznih, disjunktnih podskupova od

A, ali unija tih podskupova nije ceo skup A (2 i 5 nisu u toj uniji), pa ni to nijeparticija skupa A.

(d) Kolekcija {{1, 5}, {3, 4, 5}, {2, 6, 7}} nije particija od A jer skupovi {1, 5} i

{3 4 5} iz te kolekcije nisu medusobno disjunktni



{3, 4, 5} iz te kolekcije nisu medusobno disjunktni.(e) Kolekcija {{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}} je particija skupa A sa samo jednim blokom - celim

tim skupom A.


Faktor skup

Faktor skup

Faktor skup

Particiju koja odgovara relaciji ekvivalencije na skupu A nazivamo

takode i faktor skupom skupa A u odnosu na .

Drugim recima, faktor skup skupa A u odnosu na relaciju ekvivalencije

je skup svih klasa ekvivalencije skupa A u odnosu na .

Taj faktor skup oznacavamo sa A/

.

Kao sto se vidi sa slike desno faktor



Kao sto se vidi sa slike desno, faktorskup se zapravo dobija tako sto se svaka

-klasa sazme u jedan element.




Relacije poretka – ure denja



Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je

refleksivna

antisimetricna

tranzitivna

Umesto ”relacija poretka” cesto kazemo i parcijalno uredenje ili samouredenje.

Za skup A se kaze da je A ureden relacijom , a par (A, ) se zove

parcijalno uredeni skup ili samo uredeni skup



parcijalno uredeni skup, ili samo uredeni skup.

Za oznacavanje uredenja na skupovima najcesce koristimo oznaku ,

koju koristimo i za standardna uredenja brojeva.

Matematicka logika – 2 – Relacije - II deoMatematicka logika – 2 – Relacije - II deoMatematicka logika – 2 – Relacije - II deo




Relacije poretka su, uz relacije ekvivalencija, najrasireniji tip relacija u

matematici.

One sluze da pomocu njih ”uporedujemo” ili ”uredujemo” elementeskupa A, tj. da formiramo neki ”poredak” u skupu A, odakle poticu i

nazivi za te relacije.

Prefiks ”parcijalno” sluzi da se ukaze na to da u uredenom skupu

mogu da postoje i elementi koji se ne mogu medusobno uporediti, tj.,

medusobno su neuporedivi, kao sto cemo videti u primerima koji slede.







a) Osnovne relacije poretka na skupu prirodnih brojeva N su relacije

(manje ili jednako), | (deli).

Analogno definisana, relacija je relacija poretka i na drugim

skupovima brojeva:

Z (celi brojevi), Q (racionalni brojevi) i R (realni brojevi).

Dakle, (N,), (N, |), (Z,), (Q,) i (R,) su uredeni skupovi.

b) Iako je relacija poretka na skupu prirodnih brojeva, analogno defini-

sana relacija ”deli” na skupu celih brojeva nije relacija poretka, jer



sana relacija deli na skupu celih brojeva nije relacija poretka, jernije antisimetricna.

Kao sto smo vec rekli, za svaki celi broj n = 0 je −n | n i n | −n,

i pri tome je −n = n.





c) Na partitivnom skupu P (A) proizvoljnog skupa A, inkluzija ⊆ je

relacija poretka.

Uredeni skup (P (A), ⊆) je primer uredenog skupa u kome imaneuporedivih elemenata.

Na primer, bilo koja dva disjunktna podskupa od A su medusobno

neuporedivi.

Naravno, lako je naci primer i skupova koji imaju neprazan presek,

a neuporedivi su, tj., nijedan od njih nije podskup onog drugog.

d) R l ij ( j ) ij d j i j d d k



d) Relacija < (strogo manje) nije uredenje ni na jednom od skupova

N, Z, Q i R, jer nije refleksivna.


Zatvorenja relacija

Zatvorenja relacija

Zatvorenja relacija

Zadatak 1.1. Data je relacija = {(2, 2), (2, 3), (5, 3)} na skupu

A = {1, 2, 3, 4, 5}.

(a) Odrediti najmanju relaciju ekvivalencije na A koja sadrzi relaciju .

(b) Odrediti najmanju relaciju poretka na A koja sadrzi relaciju .

Resenje:

Relacija se moze zadati

sledecim grafom:

2

3



sledecim grafom:1

4

5


Zatvorenja relacija

Zatvorenja relacija

Zatvorenja relacija

(a) Prvi korak u konstrukciji najmanje relacije ekvivalencije koja sadrzi

je refleksivno zatvorenje: relacija se dopunjuje do refleksivne relacije

dodavanjem svih parova oblika (x, x), za svaki x ∈ A za koji taj parnije vec bio u toj relaciji.

1

2

3

1

2

3



4

5

Relacija

4

5

Refleksivno zatvorenje relacije


Zatvorenja relacija

Zatvorenja relacija

Zatvorenja relacija

Sledeci korak je simetricno zatvorenje: relacija dobijena u prvom koraku

se dopunjuje do simetricne relacije tako sto se za svaki par (x, y) ∈

relaciji dodaje i obratni par (y, x), ukoliko nije vec bio u toj relaciji.

1

2

3

4

1

2

3

4



5

Refleksivno zatvorenje relacije

5

Refleksivno-simetricno zatvorenje

relacije


Zatvorenja relacija

Zatvorenja relacija

Zatvorenja relacija

Konacno, trazena relacija ekvivalencije se dobija primenom tranzitivnog

zatvorenja: relacija dobijena u prethodnom koraku se dopunjuje do

tranzitivne relacije zatvaranjem svih trouglova u grafu te relacije, tj.,ukoliko su (x, y) i (y, z) u toj relaciji, onda dodajemo i par (x, y).

1

2

3

1

2

3



4

5

Refleksivno-simetricno zatvorenjerelacije

4

5

Najmanja relacija ekvivalencijekoja sadrzi


Zatvorenja relacija

Zatvorenja relacija

Zatvorenja relacija

Dakle, najmanja relacija ekvivalencije koja sadrzi je

{(1, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 3), (3, 5),

(4, 4), (5, 2), (5, 3), (5, 5)},

tj., to je relacija ekvivalencije sa klasama

{2, 3, 5}, {1}, {4}.




Zatvorenja relacija

Zatvorenja relacija

Zatvorenja relacija

(b) Relacija je antisimetricna, jer nema parova oblika (x, y) i (y, x),

i tranzitivna, jer nema parova oblika (x, y) i (y, z), pa se najmanja

relacija poretka koja sadrzi dobija samo refleksivnim zatvorenjem.

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5



5

Relacija

5

Najmanja relacija poretkakoja sadrzi


Dualno ure denje

Dualno ure denje

Dualno ure denje

Ako je uredenje na skupu A, onda je i inverzna relacija −1 takode

uredenje na A (proveriti za vezbu).

U tom slucaju −1 zovemo dualno uredenje ili dualni poredak za .

a) Dualno uredenje uredenja (manje ili jednako), na bilo kom od

skupova brojeva N, Z, Q ili R, je uredenje (vece ili jednako).

b) Dualno uredenje uredenja ⊆ na partitivnom skupu P (A) je uredenje

⊇ (nadskup).




Restrikcija ure denja



Neka je relacija na skupu A i B ⊆ A.

Definisimo relaciju |B na B sa:

|Bdef = {(x, y) ∈ B × B | (x, y) ∈ } = ∩ B × B.

Ovako definisanu relaciju |B nazivamo restrikcija relacije na B.

Neka je uredenje na skupu A, tada njegova restrikcija |B jeste

uredenje na skupu B.

Bez opasnosti od zabune, umesto |B mi cesto pisemo samo , tj.polazno uredenje i njegovu restrikciju oznacavamo istim simbolom



polazno uredenje i njegovu restrikciju oznacavamo istim simbolom.

Na primer, uobicajeno uredenje prirodnih brojeva je restrikcija uobica-

jenog uredenja celih brojeva na skup prirodnih brojeva.


Linearno (totalno) ure denje



Uredenje na skupu A je linearno ili totalno uredenje ako pored uslova

koji definisu uredenje ispunjava i uslov linearnosti:

za sve x, y ∈ A vazi

x y ∨ y x .

U tom slucaju, par (A, ) se naziva linearno ureden skup, totalnoureden skup ili lanac.

Drugim recima, uredeni skup je linearno ureden ako su svaka dva nje-

gova elementa uporediva.



Kao sto smo vec videli, u opstem slucaju ne moraju svi elementi uredenog

skupa biti uporedivi.


Primeri linearno ure denih skupova



a) Uredeni skupovi (N,), (Z,), (Q,) i (R,) su linearno uredeni.

b) Uredeni skupovi (N, |) i (P (A), ⊆) nisu linearno uredeni:

u (N, |), elementi 2 i 3 su neuporedivi,

u (P (A), ⊆), za a, b ∈ A takve da je a = b, {a} i {b} su

neuporedivi elementi izP

(A).




Predstavljanje ure denih skupova



Neki uredeni skupovi, pre svega oni konacni, mogu se predstavljati

Haseovim dijagramima:

Elementi skupa predstavljaju se kao tacke u ravni i to tako da se x yobelezava spojnicom od x ka y, pri cemu je x na crtezu nize od y.

Ne oznacava se x x , niti x z , ako postoje spojnice za x y i y z .

2

3

4

linearno uredeni skup



1

2 linearno uredeni skup

({1, 2, 3, 4},)


Primeri Haseovih dijagrama



{a} {b}

{a , b , c} {a , b , d}

kolekcija od cetiri podskupa skupa

{a,b,c,d} uredena inkluzijom

skup {1, 2, 3, 4, 5, 6}ureden relacijom ”deli”

1

2

3

4

5

6

{ } {b}

{a, b}

partitivni skup dvoclanog skupa



∅

{a} {b} partitivni skup dvoclanog skupa

ureden inkluzijom


Minimalni i maksimalni elementi



Neka je (A,) uredeni skup.

Za element a ∈ A kazemo da je minimalan u A ako ne postoji x ∈ A

tako da je x = a i x a.

Drugim recima, a je minimalan ako u A ne postoji strogo manji element

od njega.

Analogno, za element a ∈ A kazemo da je maksimalan u A ako ne

postoji x ∈ A tako da je x = a i a x.

Dakle, a je maksimalan ako u A ne postoji strogo veci element odnjega.



njega.


Najmanji i najveci element



Za element a ∈ A kazemo da je najmanji u A ako je a x, za svaki

x ∈ A.

Drugim recima, a je najmanji element u A ako je manji od svakogdrugog elementa iz A.

Slicno, za element a ∈ A kazemo da je najveci u A ako je x a, za

svaki x ∈ A.

Prema tome, a je najveci element u A ako je veci od svakog drugog

elementa iz A.




Odnos minimalnog i najmanjeg elementa



Ukoliko uredeni skup A ima najmanji element, tada je on jedinstven.

Pri tome taj element jeste i jedini minimalni element u A.

Uredeni skup moze imati vise minimalnih elemenata (i u tom slucaju

ne moze imati najmanji element).



Minimalni elementi Najmanji element

Isto vazi i za maksimalne elemente i najveci element.


Primeri

Primeri

Primeri

a) U uredenim skupovima (N,) i (N, |) broj 1 je najmanji element,

dakle i jedini minimalan, dok nema maksimalnih elemenata niti naj-

veceg.b) U (Z,) nema ni minimalnih ni maksimalnih elemenata, pa, prema

tome, ni najmanjeg ni najveceg.

c) U (P (A), ⊆) prazan skup ∅ je najmanji, a skup A je najveci element.

d) U uredenom skupu (P ′(A), ⊆) svih nepraznih podskupova skupa

A, svi jednoelementni podskupovi su minimalni.

Ukoliko A ima bar dva elementa, onda P ′(A) ima vise minimalnih



( )

elemenata, pa nema najmanji element.


Primeri

Primeri

Primeri

Uredeni skup na slici ima dva minimalna i

dva maksimalna elementa, ali nema naj-

manji ni najveci element.

{a} {b}

{a , b , c} {a , b , d}

Uredeni skup ({1, 2, 3, 4, 5, 6}, |) ima tri

maksimalna elementa: 4, 5 i 6, i najmanjielement 1

2

3

4

5

6



element 1.

1


Svojstvo konacnih ure denih skupova



Tvrdenje 3: U svakom konacnom uredenom skupu postoji bar jedan

minimalan i bar jedan maksimalan element.

Dokaz: Neka je (A,) konacan uredeni skup i a ∈ A.Ako je a minimalan element, dokaz je gotov; ako nije, postoji elementa1 = a, tako da je a1 a.

Ako je a1 minimalan, tvrdenje je dokazano, a ako nije, postoji elementa2 = a1, takav da je a2 a1. Jasno je da mora biti i a2 = a, jer bismo u suprotnom dobili a1 = a2 = a.

Na ovaj nacin dolazi se do minimalnog elementa, jer u protivnom skupA ne bi bio konacan – sadrzao bi lanac a, a1, a2, . . . medusobno ra-



A ne bi bio konacan sadrzao bi lanac a, a1, a2, . . . medusobno razlicitih elemenata.

Dokaz da postoji maksimalan element je analogan.


Dobro ure deni skupovi



Za uredeni skup (A,) kazemo da je dobro ureden ako je

linearno ureden, i

svaki njegov neprazan podskup ima najmanji elemenat.

a) Glavni primer dobro uredenih skupova je (N,).

b) Primer linearno uredenog skupa koji nije dobro ureden je skup svih

nenegativnih racionalnih brojeva Q+0 = {x ∈ Q | 0 x} ureden restrik-

cijom uobicajenog uredenja racionalnih brojeva na Q+0 .

Na primer, u ovom uredenom skupu podskup { 1

n| n ∈ N} nema najma-



n

nji element.


Donja i gornja granica skupa



Neka je B neprazan podskup uredenog skupa (A,).

Element a ∈ A nazivamo donja granica ili donje ogranicenje skupa B

ako jea x, za svaki element x ∈ B,

tj. ako je a manji od svih elemenata skupa B.

Analogno, element a ∈ A nazivamo gornja granica ili gornje ogranicenje

skupa B ako je

x a, za svaki element x ∈ B,



tj. ako je a veci od svih elemenata skupa B.





Sa Bd oznacavacemo skup svih donjih, a sa Bg skup svih gornjih granica

skupa B, tj.

Bd = {a ∈ A | a x, za svaki x ∈ B},

Bg = {a ∈ A | x a, za svaki x ∈ B}.

Skupovi Bd i Bg mogu biti i prazni.

Na primer, kod uredenog skupa na slici,

za skup B = {a, b}, skup Bd

je prazan,dok je Bg = {c, d}.

c d



a b


Infimum i supremum skupa



Neka je B neprazan podskup uredenog skupa (A,).

Najveca donja granica skupa B, tj. najveci element skupa Bd, ukoliko

takav postoji, naziva se infimum skupa B.

Analogno, najmanja gornja granica skupa B, tj. najmanji element

skupa Bg, ukoliko takav postoji, naziva se supremum skupa B.

Ukoliko postoji infimum skupa B, onda je on jedinstven, zbog jedin-

stvenosti najveceg elementa skupa Bd.

Isto vazi i za supremum.




Primeri infimuma i supremuma



a) U uredenom skupu (N,), svaki konacan podskup ima supremum

– to je najveci element podskupa.

U (N,) infimum postoji za svaki podskup – to je najmanji elementu podskupu.

b) U uredenom skupu (N, |) infimum konacnog podskupa je najveci

zajednicki delilac, a supremum je najmanji zajednicki sadrzalac ele-

menata tog podskupa.

c) U partitivnom skupu nekog skupa, uredenom inkluzijom, infimumkolekcije podskupova je njihov presek, a supremum je njihova unija.







d) U uredenom skupu na slici, skup B = {a, b} nema infimum, jer

uopste nema donjih granica.

Ovaj skup nema ni supremum, jer skup njegovih gornjih granicaBg = {c, d} nema najmanji element.

a b

c d







Zadatak 1.2. Neka je dat parcijalno uredeni skup

a

b

c

d

ef

(a) Odrediti elemente neuporedive sa a:

(b) Odrediti minimalne elemente:

(c) Odrediti maksimalne elemente:(d) Odrediti najmanji element:



(e) Odrediti najveci element:

(f) Infimum skupa {a,b,d}:(g) Supremum skupa {a,b,d}:





Resenje: Imamo sledece:

a

b

c

d

ef








(a) Elementi neuporedivi sa a su:

a

b

c

d

ef








(a) Elementi neuporedivi sa a su: f , d, e

a

b

c

d

ef









(b) Minimalni elementi su:

a

b

c

d

ef









(b) Minimalni elementi su: a, f , e

a

b

c

d

ef










(c) Maksimalni element je: a

b

c

d

ef










(c) Maksimalni element je: c a

b

c

d

ef










(c) Maksimalni element je: c

(d) Najmanji element:

a

b

c

d

ef











(d) Najmanji element: ne postoji

a

b

c

d

ef












(e) Najveci element je:

a

b

c

d

ef












(e) Najveci element je: c

a

b

c

d

ef













a

b

c

d

ef

(f) Infimum skupa {a,b,d}:













a

b

c

d

ef

(f) Infimum skupa {a,b,d}: ne postoji (jer taj skup nema nijednu donju granicu)













a

b

c

d

ef




(g) Supremum skupa {a,b,d} je:











a

b

c

d

ef




(g) Supremum skupa {a,b,d} je: c (jer je to i jedina gornja granica tog skupa,

pa je i najmanja gornja granica, tj. supremum).


Reci (stringovi)

Reci (stringovi)

Reci (stringovi)

Neka je A neprazan skup, koji nazivamo alfabetom, a njegove elemente

slovima.

Rec nad alfabetom A definisemo kao konacan niz

x1x2 · · · xn

elemenata iz A.Iz ovakve definicije je jasno da se jednakost reci definise kao jednakost

nizova, tj., dve reci

u = x1x2 · · · xn i v = y1y2 · · · ym

jednake ako i samo ako je m = n i xi = yi za svaki i ∈ {1 2 n}



jednake ako i samo ako je m = n i xi = yi, za svaki i ∈ {1, 2, . . . , n}.


Konkatenacija

Konkatenacija

Konkatenacija

Skup svih reci nad alfabetom A oznacavamo sa A+.

Na skupu A+ definisemo operaciju spajanja, dopisivanja ili konkate-

nacije reci na sledeci nacin:Proizvod reci x1x2 · · · xn i y1y2 · · · yn, gde su x1, . . . , xn, y1, . . . , ymslova iz A, je rec

x1x2 · · · xny1y2 · · · ym.

Lako se proverava da je ova operacija asocijativna.

Neka je ε

element takav da ε /

∈ A+

, koji nazivamo prazna rec.Tada pisemo A∗ = A+ ∪ {ε}, i dodefinisemo operaciju spajanja reci sa:

uε = u i εu = u, tj., spajanjem bilo koje reci sa praznom reci dobija



uε u i εu u, tj., spajanjem bilo koje reci sa praznom reci dobija

se ista ta rec.


Dužina reci

Dužina reci

Dužina reci

Neka je data rec u = x1x2 · · · xn, koju cine slova x1, x2, . . . , xn ∈ A.

Broj n, tj. broj elemenata u nizu x1x2 · · · xn, oznacavamo sa |u|, i

nazivamo ga duzinom reci u. Za praznu rec kazemo da je duzine 0.Ako x jeste i-to slovo reci u, onda i zovemo pozicijom slova x u reci u.

Neka je A = {x, y}. Reci nad tim alfabetom su

x, y, xy, yx, xyx, xy2, yx2, yxy, xyx2, (xy)2, xy2x, xy3, . . . ,

Na primer, rec xyx2 je duzine 4.

Za prirodan broj k, slovo x i rec u, xk i uk su skraceni zapisi reci

xx · · · x i uu · · · u



xx · · · x

k puta

i uu · · · u

k puta


Prefiks, sufiks, infiks



Za rec u ∈ A∗ kazemo da je

prefiks reci v ako postoji rec w ∈ A∗ takva da je v = uw, tj. ako

je v rec koja pocinje sa u;

sufiks reci v ako postoji rec w ∈ A∗ takva da je v = wu, tj. ako

je v rec koja se zavrsava sa u;

infiks reci v ako postoje reci p, q ∈ A∗ takve da je v = puq, tj.

ako je v rec koja sadrzi rec u.

Infiks reci v nazivamo jos i faktor reci v.

Jasno, prema ovim definicijama, prazna rec je prefiks, sufiks i faktor

bil k j ˇi



bilo koje reci.


Prefiks (sufiks, faktor) ure denje



Zadatak 1.3. Definisimo na skupu A∗ sledece relacije:

u p v def

⇔ u je prefiks od v,

u s v def

⇔ u je sufiks od v,

u f v def

⇔ u je faktor od v.

Dokazati da su sve one relacije poretka na A∗.

Napomena 1.1. Za ova uredenja koristimo sledece nazive

p – prefiks uredenje;

s – sufiks uredenje;



f – faktor uredenje.





Resenje: Dokazujemo samo tvrdenje za relaciju p. Ostalo se ostavlja

za samostalan rad.

(a) Refleksivnost sledi iz cinjenice da je u = uε, za svaku rec u ∈ A∗.

(b) Antisimetricnost: Neka je u p v i v p u.

To znaci da je v = up i u = vq, za neke reci p, q ∈ A∗, pa je

u = vq = upq.

Na osnovu svojstva jednakosti reci, iz u = upq sledi da mora biti

pq = ε, sto dalje povlaci da je p = q = ε, odakle je u = v.(c) Tranzitivnost: Neka je u p v i v p w.

To znaci da je v up i w vq za neke reci p q ∈ A∗ odakle je



To znaci da je v = up i w = vq, za neke reci p, q ∈ A∗, odakle je

w = vq = upq. Prema tome, u p w.





U daljem radu, koristicemo i sledece oznake:

u <p v def

⇔ u p v i u = v,

u <s v def

⇔ u s v i u = v,

u <f v def

⇔ u f v i u = v.

i ako je u <p v (odnosno u <s v, u <f v), govoricemo da je u pravi

prefiks (odnosno pravi sufiks, pravi faktor) reci v.







Zadatak 1.4. Dokazati da za proizvoljne reci u, v, w ∈ A∗ vazi

u p w ∧ v p w ⇒ u p v ∨ v p u .

Resenje: Napisimo rec w u obliku

w = x1x2 . . . xn,

za neki n ∈ N i slova x1, x2, . . . , xn ∈ A.

Tada u p w i v p w znaci da je

u = x1 . . . xi i v = x1 . . . x j,

za neke i, j ∈ {1, 2, . . . , n}.



Prema tome, ako je i j, onda imamo da je u p v, a ako je j i,onda je v p u.


Leksikografsko ure denje



Neka je alfabet A linearno ureden nekim uredenjem .

Tada se to uredenje moze prosiriti do linearnog uredenja l na A∗, koje

nazivamo leksikografsko uredenje, na sledeci nacin:

u l v def

⇔ u p v ili u = pxq, v = pyr, sa x < y u A,

gde su p, q, r ∈ A∗ i x, y ∈ A

Drugim recima, u l v ako je u p v ili za prvo slovo x u u koje se

razlikuje od odgovarajuceg slova y u v vazi da je x < y u A.

Kada kazemo da je y odgovarajuce slovo za x, pod time podrazumevamo

da y u v ima istu poziciju kao x u u.



Takode, p u gornjoj formuli je najduzi zajednicki prefiks reci u i v.





Zadatak 1.5. Dokazati da je l linearno uredenje na A∗.

Resenje:

(1) Refleksivnost: Za proizvoljnu rec u ∈ A∗ je u l u, jer je u p u.

(2) Antisimetricnost: Za reci u, v ∈ A∗ neka je u l v i v l u.

(2.1) Ako je u p v i v p u, tada je u = v, zbog antisimetricnostiprefiks uredenja.

(2.2) Neka je u p v i v = pxq, u = pyr, pri cemu je x < y, za neke

p, q, r ∈ A∗ i x, y ∈ A.

Kako je p najduzi zajednicki prefiks za u i v i u p v, to je p = u, sto

je u suprotnosti sa i ∈ A



je u suprotnosti sa u = pyr i y ∈ A.

Dakle, zakljucujemo da slucaj (2.2) nije moguc.





(2.3) Neka je v p u i u = pxq, v = pyr, pri cemu je x < y, za neke

p, q, r ∈ A∗ i x, y ∈ A.

Na isti nacin dokazujemo da ni ovaj slucaj nije moguc.(2.4) Neka je x1 < y1, gde je x1, y1 prvi par razlicitih slova na istoj

poziciji u u i v, i neka je y2 < x2, gde je y2, x2 prvi par razlicitih slova

na istoj poziciji u v i u.

Tada je x1 = x2 i y1 = y2, sto znaci da je x1 < y1 i y1 < x1, sto nije

moguce.

Prema tome, ni slucaj (2.4) nije moguc.







(3) Tranzitivnost: Neka su u , v , w ∈ A∗ reci takve da je u l v i

v l w.

(3.1) Neka je u p v i v p w. Tada je u p w, zbog tranzitivnostiprefiks uredenja, pa je u l w.

(3.2) Neka je u p v i v = pxq, w = pyr, pri cemu je x < y, za neke

p, q, r ∈ A∗ i x, y ∈ A.Kako u ovom slucaju vazi da je u p v i p p v, to dobijamo da je

u p v ili p p u.

Ako je u p p, tada, s obzirom da je p p w, imamo da je u p w, pa

je, dakle, u l w, sto je i trebalo dokazati.







Neka je sada p p u. Kako je slucaj p = u obuhvacen prethodnim

slucajem u p p, to mozemo uzeti da je p <p u, tj. da je p pravi

prefiks od u.

U tom slucaju imamo da je u = pxq′, za neku rec q ∈ A∗, sto zajedno

sa w = pyr i x < y povlaci da vazi u l w.

(3.3) Neka je u = pxq, v = pyr, pri cemu je x < y, za neke p, q, r ∈A∗ i x, y ∈ A, i v p w.

Tada, na potpuno isti nacin kao u (3.2) dokazujemo da je u l w.







(3.4) Neka je u = p1x1q1, v = p1y1r1, pri cemu je x1 < y1, za neke

p1, q1, r1 ∈ A∗ i x1, y1 ∈ A, i neka je v = p2x2q2, w = p2y2r2, pri

cemu je x2 < y2, za neke p2, q2, r2 ∈ A∗ i x2, y2 ∈ A.

Kako je p1 p v i p2 p v, to imamo da je p1 p p2 ili p2 p p1.

Kako se oba slucaja razmatraju na slican nacin, to mozemo uzeti da

je, na primer, p1 p p2.Pretpostavimo najpre da je p1 = p2.

Tada je y1 = x2, i x1 < y1 = x2 < y2 povlaci da je x1 < y2, pa iz

u = p1x1q1, w = p1y2r2 i x1 < y2 zakljucujemo da je u l w.







Neka je sada p1 <p p2.

Iz v = p1y1r1, v = p2x2q2 i p1 <p p2 zakljucujemo da je p2 = p1y1s,

za neku rec s ∈ A∗

, odakle sledi da je w = p1y1t, za neku rec t ∈ A∗

.Prema tome, imamo da je u = p1x1q1, w = p1y1t i x1 < y1, odakle

sledi da je u l w.

Ovim je dokazana tranzitivnost relacije l.







(4) Linearnost: Neka su date proizvoljne reci u, v ∈ A∗.

Ako u i v nemaju zajednicki prefiks, to znaci da im se razlikuju vec

prva slova. Neka je x prvo slovo od u i y je prvo slovo od v.Kako je, prema pretpostavci, alfabet A linearno ureden, to je x < y,

u kom slucaju je u <l v, ili je y < x, u kom slucaju je v <l u.

Dalje, uzmimo da u i v imaju zajednicki prefiks. U tom slucaju postojinajduzi zajednicki prefiks od u i v, koji cemo oznaciti sa p.

Sada imamo da je u = pxq i v = pyr, za neke q, r ∈ A∗ i slova

x, y ∈ A takva da je x = y, pa opet na osnovu linearnosti uredenja

na alfabetu A zakljucujemo da je x < y, u kom slucaju je u <l v, ili

je y < x u kom slucaju je v <l u



je y < x, u kom slucaju je v <l u.





Zadatak 1.6. Uporediti leksikografski sledece binarne reci:

u = 01000001, v = 00110111, w = 00111111 .

Resenje: Prva pozicija na kojoj se rec u razlikuje od v i w je pozicija 2.

Pri tome, na poziciji 2 rec u ima slovo 1, a reci v i w slovo 0, pa kako

je 0 < 1, to dobijamo da je v <l u i w <l u.Dalje, prva pozicija na kojoj se razlikuju od reci v i w je pozicija 5.

Na poziciji 5 rec v ima slovo 0, a rec w slovo 1, odakle je v <l w.

Napomena 1.2. Binarne reci iz prethodnog zadatka su ASCII kodovi

alfanumerickih simbola A, 7 i ?, tim redom.







Zadatak 1.7. Urediti leksikografski sve binarne reci duzine 4.

Resenje:

Sve binarne reci duzine 4 su leksikografski uredene na sledeci nacin:

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111

1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111




Alfabetsko ure denje



Neka je alfabet A linearno ureden nekim uredenjem .

Tada se uredenje a na A∗, koje nazivamo alfabetsko uredenje, definise

na sledeci nacin:u a v

def ⇔ |u| < |v| ili

|u| = |v| i u l v

Zadatak 1.8. Dokazati da je a linearno uredenje na A∗.

Resenje:

(1) Refleksivnost: Za proizvoljnu rec u ∈ A∗ je u a u, jer je |u| = |u|

i u l u.







(2) Antisimetricnost: Neka je u a v i v a u, za neke reci u, v ∈ A∗.

Ako je |u| = |v|, tada imamo da je u l v i v l u, odakle je u = v,

zbog antisimetricnosti leksikografskog uredenja.

Sa druge strane, slucaj |u| = |v| nije moguc, jer bi u suprotnom dobili

da je |u| < |v| i |v| < |u|.

Prema tome, zakljucujemo da je a antisimetricna relacija.

(3) Tranzitivnost: Neka je u a v i v a w, za neke reci u, v, w ∈ A∗.

(3.1) Ako je |u| < |v| i |v| < |w|, tada je |u| < |w|, pa je u a

w.

(3.2) Ako je |u| < |v|, |v| = |w| i v l w, tada je |u| < |w|, odakle

sledi da je u a w.



(3.3) Ako je |u| = |v|, u l v, |v| < |w|, tada je opet |u| < |w|,odakle je u a w.





(3.4) Neka je |u| = |v|, u l v, |v| = |w| i v l w.Tada dobijamo da je |u| = |w| i u l w, zbog tranzitivnosti leksiko-

grafskog uredenja, odakle sledi da je u a w.

Ovim smo dokazali tranzitivnost relacije a.

(3) Linearnost: Neka su date proizvoljne reci u, v ∈ A∗.

Ako je |u| = |v|, tada je |u| < |v|, u kom slucaju je u a v, ili je|v| < |u|, u kom slucaju je v a u.

Ako je |u| = |v|, tada iz linearnosti leksikografskog uredenja sledi da je

u l v ili v l u, sto zajedno sa |u| = |v| daje u a v ili v a u.







Zadatak 1.9. Urediti leksikografski i alfabetski sve binarne reci duzine

manje ili jednake 3.

Resenje: Leksikografski poredak:

0 00 000 001 01 010 011

1 10 100 101 11 110 111

Alfabetski poredak:

0 1 00 01 10 11

000 001 010 011 100 101 110 111







Zadatak 1.10. Pocev od najmanjeg, pa do najveceg, leksikografski urediti sledece

binarne reci:

A = 01001011, B = 00101010, C = 01100100, D = 01101111, E = 01000101.

Resenje: Kako sve ove reci imaju isto prvo slovo, to razmatramo drugo slovo.

Jedino rec B ima drigo slovo 0, dok sve ostale imaju drugo slovo 1. Prema tome, B

je najmanji element u ovom skupu.Od preostalih reci, A i E imaju trece slovo 0, pa su manje od C i D, koje kao trece

slovo imaju 1. Ako dalje uporedimo A i E , videcemo da se prvo slovo po kome se

razlikuju na petoj poziciji, gde kod A stoji 1, a kod E stoji 0. Dakle, rec E je druga,

a A treca po velicini.

Konacno, prvo slovo po kome se razlikuju C i D je na petoj poziciji, gde kod C stoji

0, a kod D stoji 1. Prema tome, rec C je cetvrta a D peta po velicini.



Dakle, resenje je BEACD.





Zadatak 1.11. Neka je uredenje na skupu binarnih nizova

X = {0, 1, 10, 01, 11, 101, 011, 1011}

zadato sledecim Haseovim dijagramom.

0 1

10 01 11

101 011

1011

Koje od sledecih uredenja ima kao svoju restrikciju na skupu X :

(a) prefiks uredenje

(b) leksikografsko uredenje

(c) faktor uredenje



(d) alfabetsko uredenje(e) sufiks uredenje





Resenje: Primetimo najpre da uredenje nije linearno, jer, na primer, elementi 0

i 1 nisu uporedivi. Kako znamo da leksikografsko i alfabetsko uredenje jesu linearna

uredenja, to zakljucujemo da nije jedno od njih.

0 1

10 01 11

101 011

1011

Ako bi bilo prefiks uredenje, onda ne bi moglo da bude 0 10, a ako bi to bilo

sufiks uredenje, onda ne bi moglo da bude 1 01. Odavde zakljucijemo da ne

moze biti ni jedno od ta dva uredenja.

Dakle, ostaje samo mogucnost da jeste faktor uredenje. To zaista vazi, jer se sa

slike vidi da je bilo koja rec iz datog skupa manja od neke druge ako i samo ako je



njen faktor.Dakle, je faktor uredenje.





Zadatak 1.12. U odnosu na koje uredenje su poredani sledeci nizovi:

11, 101, 011, 01, 0.

(a) prefiks uredenje

(b) leksikografsko uredenje

(c) faktor uredenje

(d) alfabetsko uredenje

(e) simetricno uredenje

Resenje: U zavisnosti od toga da li su ove reci date u rastucem poretku (od na-

jmanjeg ka najvecem) ili opadajucem poretku (od najveceg ka najmanjem), imamo

da je ili 011 101 ili 101 011.

Odatle zakljucujemo da se ne radi o prefiks uredenju, jer nijedna od te dve reci nije

prefiks one druge.



Na isti nacin zakljucujemo i da se ne radi o faktor uredenju, jer nijedna od te dvereci nije faktor druge.





Simetricno uredenje ne postoji, pa i tu mogucnost iskljucujemo.

Prema tome, preostaju mogucnosti da je alfabetsko ili leksikografsko uredenje.

Kako se kod alfabetskog uredenja reci ureduju najpre po duzini, a potom se reci iste

duzine ureduju leksikografski, to zakljucujemo da nije ni alfabetsko uredenje, jer

dati poredak ne uvazava duzinu reci.

Preostaje, dakle, da jeste leksikografsko uredenje. Ako date nizove poredamo po

leksikografskom poretku, od najveceg ka najmanjem, videcemo da je to upravo datiporedak.

To znaci da je resenje (b) - leksikografsko uredenje.






Korespondencije

Korespondencije

Korespondencije

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi.

Korespondencija iz skupa A u skup B definise se kao proizvoljan pod-

skup f Dekartovog proizvoda A × B.

Pojmovi

prva projekcija od f : pr1f

druga projekcija od f : pr2f

definisu se na sledeci nacin:A

BA × B

pr1f

pr2f f

x

y (x, y)

pr1f def

= {x ∈ A | (x, y) ∈ f za neki y ∈ B} def



pr2f = {y ∈ B | (x, y) ∈ f za neki x ∈ A}

Matematicka logika – 2 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 2 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 2 – Funkcije - I deo

Korespondencije i relacije



Primetimo da je korespondencija nije nista drugo do relacija izmedu

elemenata iz razlicitih skupova.

Relacija na skupu A se moze tretirati kaokorespondencija iz skupa A u sebe samog.

Obratno, i korespondencija se moze tre-

tirati kao relacija na skupu (A ∪ B), pa

se mnogi pojmovi koje smo definisali za

relacije mogu preneti i na koresponden-

cije.A B

A

B

A × A B × A

A × B B × B

(A ∪ B)2

f




Graficko predstavljanje korespondencija



Korespondencija je zapravo ono sto se u terminima teorije grafova

naziva bipartitan digraf .

Radi se o takvom grafu kod koga je skup cvorova podeljen u dve klaseA i B, pri cemu svaka grana pocinje u klasi A a zavrsava se u klasi B.

To je graficki prikazano na sledecoj slici:




Primeri korespondencije



Primer 1.1. a) Neka je A = {a , b , c , d} i B = {−1, 0, 1}.

Korespondencija iz A u B je, na primer,

f = {(a, −1), (a, 1), (c, 0), (d, 1)}.

Ona je graficki prikazana na sledecoj slici:

a

b

c

d

−1

0

1

A B

Ovde je

pr1f = {a , c , d} pr2f = {−1, 0, 1}.







b) Neka je g ⊆ A × P (A), gde je A = {a , b , c , d} i

g = {(a, {a, b}), (b, {b , c , d}), (c, {c}), (d, {b , c , d})}.

Tada je g korespondencija koja svakom elementu pridruzuje neki

podskup koji ga sadrzi.

Lako je odrediti projekcije.

c) Svaka relacija ρ ⊆ A2 je korespondencija iz A u A.




Kompozicija korespondencija



Neka su A, B i C neprazni skupovi i neka su date korespondencije

f ⊆ A × B i g ⊆ B × C .

Kompozicija ili proizvod korespondencija f i g je korespondencijaf ◦ g ⊆ A × C definisana sa

f ◦ g = {(x, z) ∈ A × C | (∃y ∈ B)((x, y) ∈ f ∧ (y, z) ∈ g)}.

f g

f

x

y

z

A

B

C



f ◦ g


Primer kompozicije

Primer kompozicije

Primer kompozicije

Primer 1.2. Neka je A = {a , b , c , d}, B = {1, 2, 3} i C = {u , v , w},

i neka su korespondencije f ⊆ A × B i g ⊆ B × C date sa

f = {(a, 1), (a, 3), (c, 2), (d, 3)}, g = {(3, u), (3, w), (1, v)}.

Tada je f ◦ g = {(a, u), (a, v), (a, w), (d, u), (d, w)}.

a

b

c

d

1

2

3

u

v

w

A

B

C

f g

313

3

3

a

b

c

d

u

v

w

AC

f ◦ g




Funkcije (preslikavanja)



Neka su A i B neprazni skupovi.

Za korespondenciju f ⊆ A × B kazemo da je preslikavanje ili funkcija

iz A u B ako uspunjava sledece uslove:(i) pr1f = A;

(ii) ako je (x, y1) ∈

f i (x, y2) ∈

f , onda mora biti y1 = y2.

Uslov (i) cesto formulisemo i sa: f je definisana na celom skupu A,

ili oblast definisanosti za f je celi skup A.

Uslov (ii) nazivamo uslov jednoznacnosti.

Oba uslova se mogu zajedno formulisati na sledeci nacin:

(⋆) s ki x ∈ A st ji t ˇn j d n y ∈ B t k d j (x y) ∈ f



(⋆) za svaki x ∈ A postoji tacno jedan y ∈ B takav da je (x, y) ∈ f .


Jednoznacnost

Jednoznacnost

Jednoznacnost

Dakle, jednoznacnost znaci da nije dozvoljena situacija prikazana na

sledecoj slici:

xy1

y2

AB

Dakle, da bi korespondencija bila jednoznacna, onda niti iz jedne tacke

skupa A ne smeju da polaze dve strelice ka elementima skupa B.




Jednoznacnost

Jednoznacnost

Jednoznacnost

Dakle, jednoznacnost znaci da nije dozvoljena situacija prikazana na

sledecoj slici:

xy1

y2

AB

Dakle, da bi korespondencija bila jednoznacna, onda niti iz jedne tacke

skupa A ne smeju da polaze dve strelice ka elementima skupa B.




Korespondencije koje nisu funkcije



Korespondencija prikazana na sledecoj slici (iz Primera 1.1.(a) ) ne

zadovoljava nijedan od uslova (i) i (ii), pa nije funkcija.

a

b

c

d

−1

0

1

AB

Dakle, f nije definisana za b i ne zadovoljava uslov jednoznacnosti jer

je element a u korespondenciji sa dva razlicita elementa.







Korespondencija prikazana na sledecoj slici nije definisana na celom

skupu A (nije definisana za b), ali zadovoljava uslov jednoznacnosti:

a

b

c

d

−1

0

1

A

B

Prema tome, f nije funkcija iz A u B.

Medutim, kako zadovoljava uslov jednoznacnosti, f je funkcija iz skupa

{a c d} u skup B



{a , c , d} u skup B.


Parcijalna funkcija (preslikavanje)



Korespondenciju f ⊆ A × B koja zadovoljava uslov jednoznacnosti

nazivamo parcijalno preslikavanje ili parcijalna funkcija iz A u B.

Primetimo da parcijalna funkcija f iz skupa A u skup B jeste funkcija

iz skupa pr1f u skup B.

Korespondencija iz prethodnog primera, prikazana na slici dole, je primer

parcijalne funkcije:

a

b

c

d

−1

0

1

AB



d


Primer funkcije (preslikavanja)



Korespondencija prikazana na sledecoj slici zadovoljava oba uslova (i)

i (ii) iz definicije funkcije, pa je funkcija iz A u B.

a

b

c

d

−1

0

1

A

B

Prema uslovu (⋆) , da bi f bila funkcija iz A u B, za svaki x ∈ Amora da postoji tacno jedan y ∈ B takav da je (x, y) ∈ f .

Medutim, to ne znaci da za svaki y

∈ B mora da postoji tacno jedan

x ∈ A takav da je (x y) ∈ f



∈x ∈ A takav da je (x, y) ∈ f .





Na primer, za element −1 ne postoji nijedan element iz A sa takvim

svojstvom, dok za 1 i 0 postoje po dva elementa iz A sa takvim svoj-

stvom (a moguce je da ih bude i vise).

a

b

c

d

−1

0

1

AB







Primer 1.3. Neka je A = { p, r, s, t} i B = { p, q, r, s, t}. Koja od

sledecih korespondencija u A × B je funkcija?

(a) f 1 = {( p, r), (r, p), (s, t)}(b) f 2 = {( p, r), (r, p), ( p, t), (s, s), (t, t)}(c) f 3 =

{( p, s), (r, p), (s, s), (t, t)

}(d) f 4 = {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)}

Resenje: (a) Kod f 1 se element t ne javlja kao prva koordinata u

paru, tj. pr1f 1 = { p, r, s} = A, pa f 1 nije funkcija.

Moze se uociti da je f 1 jednoznacna korespondencija, pa je parcijalna

funkcija, tj. funkcija iz skupa {p, r, s} u B.



funkcija, tj. funkcija iz skupa { p, r, s} u B.





(b) Kod f 2 = {( p, r), (r, p), ( p, t), (s, s), (t, t)} se svaki element iz A

pojavljuje kao prva koordinata u nekom paru, tj. pr1f 2 = A.

Medutim, p se pojavljuje dvaput kao prva koordinata, pa f 2 nije jedno-

znacna korespondencija. Prema tome, ni f 2 nije funkcija.

(c) Kod f 3 = {( p, s), (r, p), (s, s), (t, t)} se svaki element iz A pojav-

ljuje tacno jednom kao prva koordinata, sto znaci da je pr1f 3 = A ida je f 3 jednoznacna korespondencija. Dakle, f 3 je funkcija.

(d) Kod f 4 = {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)} se element p nijednom ne po-

javljuje kao prva koordinata u nekom paru, dok se element s pojavljujedvaput.

To znaci da f 4 ne zadovoljava nijedan od uslova iz definicije funkcije.

Dakle, ni f4 nije funkcija.



Dakle, ni f 4 nije funkcija.


Funkcije – oznacavanje



Neka je f funkcija iz skupa A u skup B.

Ako je (x, y) ∈ f , onda se to belezi sa f (x) = y.

Kazemo da se x slika u y, i x se

naziva original, a y njegova slika.

Skup A se zove domen ili oblast defi-

nisanosti funkcije f , dok se B naziva

kodomen.

AB

f (A)

Skup

f (A) def = {y ∈ B | y = f (x), za neki x ∈ A}

je podskup kodomena koji nazivamo skup slika ili slika skupa A.



j p p j p p





U primeru na slici je

f (A) = {1, 0}.

a

b

c

d

−1

0

1

A B

Ako je f funkcija iz A u B, to belezimo sa f : A → B, a koristi se i

oznaka f : x → f (x) (za elemente).




Zadavanje funkcija

Zadavanje funkcija

Zadavanje funkcija

Neka su A i B konacni skupovi, pri cemu je A = {a1, a2, . . . , an}, ineka je f funkcija iz A u B.

Tada se funkcija f moze predstaviti na sledeci nacin:

f =

a1 a2 . . . an

f (a1) f (a2) . . . f (an)

Najcesce uzimamo da je A = {1, 2, . . . , n}, i u tom slucaju umesto

f = 1 2 . . . n

f (1) f (2) . . . f (n)

ponekad pisemo samo

f =

f (1) f (2) . . . f (n)



f

f ( ) f ( ) f ( )


Jednakost funkcija

Jednakost funkcija

Jednakost funkcija

Funkciju odreduju domen, kodomen i skup uredenih parova, pa se ona

moze smatrati uredenom trojkom (A , B , f ) gde je f korespondencija

iz A u B za koju vaze uslovi (i) i (ii) iz definicije funkcije.

To znaci da su dve funkcije jednake ako imaju

(1) iste domene,

(2) iste kodomene, i

(3) iste parove koji su u korespondenciji.

Drugim recima, funkcije f ⊆ A × B i g ⊆ C × D su jednake ako jeA = C , B = D i f = g.




Još primera funkcija



Primer 1.4. a) Uredeni parovi realnih brojeva i njihovih kvadrata obra-

zuju preslikavanje f : R → R+∪{0} iz skupa svih realnih brojeva u skup

svih nenegativnih realnih brojeva, koje se zadaje formulom f (x) = x2

ili f : x → x2.

Tako je

f (−√ 2) = 2,

f (0) = 0,f (−2) = 4,

f (2) = 4, itd. x−2 −√

2 0 2

y

0

2

4

f







b) Neka je A = {−1, 1}. Ako se svakom racionalnom broju pridruzi

1, a iracionalnom −1, onda se dobija funkcija iz R u A.

c) Neka je A proizvoljan skup i B = {0, 1}. Ako je H ⊆ A, onda sekarakteristicna funkcija podskupa H , u oznaci χ

H , koja slika A u

B definise sa:

χH (x) def =

1 ako x ∈ H 0 ako x ∈ H.

Svakom podskupu H skupa A odgovara jedna karakteristicna funk-

cija i obratno.




Restrikcija funkcije



Ako je f : A → B i X je neprazan podskup skupa A, onda definisemo

novo preslikavanje f |X : X → B na sledeci nacin: za svaki x ∈ X je

f |X(x)

def

= f (x).

Preslikavanje f |X

nazivamo restrikcijapreslikavanja f na X .

AB

f

f (A)

X f |X




Proširenje funkcije



Obratno, neka je f : A → B i neka je A ⊆ X .

Za preslikavanje F : X → B kazemo da je prosirenje ili ekstenzija

preslikavanja f na skup X ako za svaki x ∈

A vazi F (x) = f (x).

Drugim recima, F je prosirenje od f na X ako se vrednosti preslikavanja

F i f poklapaju na A.

Takode, F je prosirenje od f na X ako i samo ako je f restrikcija odF na A.




Kompozicija funkcija



Neka su dati skupovi A, B i C , i preslikavanja f : A → B i g : B → C .

Kako je skup B istovremeno domen preslikavanja g i kodomen presli-

kavanja f , to se preslikavanje g moze nadovezati na preslikavanje f .

Drugim recima, moze se definisa-

ti kompozicija ili proizvod presli-

kavanja f i g, u oznaci f ◦ g, kaopreslikavanje iz A u C , definisano

sa

f ◦ g(x) def = g(f (x)).

f g

f ◦ g

x

f (x)

g(f (x))

A

B

C

Primetimo da je kompozicija preslikavanja poseban slucaj kompozicije

korespondencija, a time i kompozicije relacija.




Primer kompozicije funkcija



Primer 1.5. Neka je f : Z → N funkcija definisana sa f (x) = x2, a

g : N → Q je funkcija definisana sa g(x) = x

2.

Tada je f ◦

g : Z →

Q funkcija zadata sa

(f ◦ g)(x) = x2

2 .

Naime, prema definiciji kompozicije funkcija imamo da je

(f ◦ g)(x) = g(f (x)) = g(x2) = x2

2 .







Primer 1.6. Neka su date funkcije

f (x) = 3x + 4, g(x) = 3x2.

Kojim od sledecih izraza je predstavljena funkcija (f ◦ g)(x).

(a) 9x3 + 4x2

(b) 27x2

+ 72x + 48

(c) 9x2 + 4

(d) 3x2

+ 3x + 4(e) nijednim od njih

Resenje:








f (x) = 3x + 4, g(x) = 3x2.

Kojim od sledecih izraza je predstavljena funkcija (f ◦ g)(x).

(a) 9x3 + 4x2

(b) 27x2

+ 72x + 48

(c) 9x2 + 4

(d) 3x2

+ 3x + 4(e) nijednim od njih

Resenje: Dokazacemo da je tacno (b).







Prema definiciji kompozicije funkcija imamo da je

(f ◦ g)(x) = g(f (x))

= g(3x + 4)= 3 · (3x + 4)2

= 3

·(9x2 + 24x + 16)

= 27x2 + 72x + 48

Dakle, (f

◦g)(x) = 27x2 + 72x + 48, tj. tacno je (b).







Primer 1.7. Odrediti kompoziciju funkcija f i g zadatih sa:

f = 1 2 3 4

2 3 4 1 g = 1 2 3 4

4 3 1 2







Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f ◦g prikazan je sledecom

animacijom:

f = 1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f ◦

g = 1 2 3 4








animacijom:

f = 1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f ◦

g = 1 2 3 4

Biramo argument 1 u tabeli funkcije f ◦ g








animacijom:

f = 1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f ◦

g = 1 2 3 4

Prelazimo na taj isti argument u tabeli funkcije f








animacijom:

f = 1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f ◦

g = 1 2 3 4

Nalazimo vrednost f (1) u tabeli funkcije f








animacijom:

f = 1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f ◦

g = 1 2 3 4

Nalazimo vrednost f (1) medu argumentima

u tabeli funkcije g








animacijom:

f = 1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f

◦g = 1 2 3 4

Nalazimo vrednost g(f (1)) u tabeli funkcije g








animacijom:

f = 1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f

◦g = 1 2 3 4

3

Vrednost g(f (1)) zapisujemo na odgovarajuce mesto

u tabeli funkcije f ◦ g








animacijom:

f = 1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f

◦g = 1 2 3 4

3

Ponavljamo isti postupak za argument 2

u tabeli funkcije f ◦ g . . .








animacijom:

f = 1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f

◦g = 1 2 3 4

3








animacijom:

f = 1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f

◦g = 1 2 3 4

3








animacijom:

f = 1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f

◦g = 1 2 3 4

3








animacijom:

f = 1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f

◦g =

1 2 3 4

3

M i ˇ k l ik 3 F k ij I d










animacijom:

f = 1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f

◦g =

1 2 3 4

3 1

M t ti ˇ k l ik 31 F k ij I d










animacijom:

f = 1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f

◦g =

1 2 3 4

3 1











animacijom:

f = 1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f

◦g =

1 2 3 4

3 1

Matematicka logika 31 Funkcije I deo










animacijom:

f = 1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f

◦g =

1 2 3 4

3 1










Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f ◦g prikazan je sledecomanimacijom:

f = 1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f

◦g =

1 2 3 4

3 1











f = 1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f

◦g =

1 2 3 4

3 1

Matematicka logika 31 Funkcije - I deo










f = 1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f

◦g =

1 2 3 4

3 1 2

Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deo










f = 1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f

◦g =

1 2 3 4

3 1 2











f = 1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f

◦g =

1 2 3 4

3 1 2






Matematicka logika 31 Funkcije I deoMatematicka logika 31 Funkcije I deoMatematicka logika 31 Funkcije I deo





f = 1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f

◦g =

1 2 3 4

3 1 2











f = 1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f

◦g =

1 2 3 4

3 1 2











f = 1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f

◦g =

1 2 3 4

3 1 2






g jg jg j





f = 1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f

◦g =

1 2 3 4

3 1 2 4






g jg jg j





f = 1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f

◦g =

1 2 3 4

3 1 2 4






g jg jg j

Komutativni dijagram



Ako jef : A → B, g : B → C i h : A → C,

onda se to predstavlja dijagramom kao na slici.

A B

C

f

h g

Ako je pri tome h = f ◦

g, kaze se da dijagram komutira.






Asocijativnost kompozicije funkcija



Kompozicija funkcija moze se tretirati kao poseban slucaj kompozicijekorespondencija, a ova se dalje moze posmatrati kao poseban slucaj

kompozicije relacija.

Kako je kompozicija relacija asocijativna operacija, to zakljucujemo dasu takve i kompozicije korespondencija i funkcija.

Medutim, dacemo i direktan dokaz za to.









Tvrdenje 1:

Neka je f : A → B, g : B → C i h : C → D. Tada je

f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h.

Dokaz: Domen obe funkcije, f ◦ (g ◦ h) i (f ◦ g) ◦ h, je skup A, a

kodomen je D.

Dalje, za proizvoljan x ∈ A je

f

◦(g

◦h)(x) = g

◦h(f (x)) = h(g(f (x))),

(f ◦ g) ◦ h(x) = h(f ◦ g(x)) = h(g(f (x))),

pa je jednakost dokazana.









Asocijativnost kompozicije funkcija moze se objasniti i sledecim dija-gramom:

A B

C D

f

g

h

g ◦ h

f ◦

g

(f ◦ g) ◦ h

=

f ◦ (g ◦ h)






Identicka funkcija

Identicka funkcija

Identicka funkcija

Identicko preslikavanje ili identicka funkciju na skupu A je preslikavanjeI A : A → A definisano sa:

I A(x) def = x, za svaki x

∈ A.

Tvrdenje 2: Neka je f : A → B. Tada je

I A ◦ f = f ◦ I B = f .

Dokaz: Domen funkcije I A ◦ f je ocito A, a kodomen B.

Dalje je I A ◦ f (x) = f (I A(x)) = f (x), tj. I A ◦ f = f .Dokaz druge jednakosti je slican.






Levo i desno oznacavanje



Funkcije se u praksi oznacavanju na dva nacina: postoji levo oznacavanjei desno oznacavanje.

Kod levog oznacavanja, znak funkcije se pise levo od argumenta, na

primer f (x), kako smo to i do sada cinili.

Ukoliko funkcije oznacimo grckim slovima ϕ, ψ itd, a argumente na

koje one deluju latinicnim slovima x, y, z, . . . , a, b, c, . . . , tada ne

moramo uvek pisati zagrade: umesto ϕ(x) mozemo pisati samo ϕx.

Kod desnog oznacavanja, znak preslikavanja se pise desno od argu-

menta, na primer xϕ.Takvo oznacavanje se ponegde zove jos i Poljska notacija, jer ju je uveo

Poljski matematicar - logicar Lukasijevic.






Levo i desno oznacavanjeLevo i desno oznacavanjeLevo i desno oznacavanje

U slucaju levog oznacavanja preslikavanja, kompozicija preslikavanjaϕ : A → B i ψ : B → C je preslikavanje ϕ ◦ ψ : A → C definisano sa

(ϕ

◦ψ)x

def = ψ(ϕx).

U slucaju desnog oznacavanja preslikavanja, kompozicija preslikavanja

ϕ : A → B i ψ : B → C je preslikavanje ϕ ◦ ψ : A → C definisano sa

x(ϕ ◦ ψ) def = (xϕ)ψ.

Dakle, ovde nema ”izvrtanja” simbola ϕ i ψ.

Leva notacija kod nas preovladava samo iz navike, uglavnom u matema-tickoj analizi.

Prednost je, inace, na strani desne notacije, i ona se u algebri, na

primer, koristi vise nego leva notacija.




Injektivne ("1-1") funkcijeInjektivne ("1-1") funkcijeInjektivne ("1-1") funkcije

Za preslikavanje f : A → B kazemo da je injektivno, ”1–1” (to citamo”jedan-jedan”), ili da je injekcija, ako za sve x1, x2 ∈ A vazi

x1

= x2

⇒ f (x1)

= f (x2),

sto je ekvivalentno sa

f (x1) = f (x2)

⇒ x1 = x2.

Drugim recima, nije moguca situacija prikazana na sledecoj slici:

f x1

x2

y

A B




Injektivne ("1-1") funkcijeInjektivne ("1-1") funkcijeInjektivne ("1-1") funkcije

Za preslikavanje f : A → B kazemo da je injektivno, ”1–1” (to citamo”jedan-jedan”), ili da je injekcija, ako za sve x1, x2 ∈ A vazi

x1

= x2

⇒ f (x1)

= f (x2),

sto je ekvivalentno sa

f (x1) = f (x2)

⇒ x1 = x2.

Drugim recima, nije moguca situacija prikazana na sledecoj slici:

f x1

x2

y

A B




Sirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcije

Za preslikavanje f : A → B kazemo da je sirjektivno, ”na” (tj. daslika A na B), ili da je sirjekcija ako vazi

za svaki y

∈ B postoji x

∈ A tako da je f (x) = y,

tj. ako je f (A) = B.






za svaki y

∈ B postoji x



Ova definicija moze se vizualizovati na sledeci nacin:

A B


S

S

S





za svaki y

∈ B postoji x




A B

za svaki y ∈ B


Si j k i (" ") f k ij







za svaki y

∈ B postoji x




A B

y za svaki y ∈ B


Si j kti (" ") f k ij







za svaki y

∈ B postoji x




A B

y za svaki y ∈ Bpostoji x ∈ A









za svaki y

∈ B postoji x




A B

x y za svaki y ∈ Bpostoji x ∈ A


Sirjektivne ("na") funkcije







za svaki y

∈ B postoji x




A B

x y za svaki y ∈ Bpostoji x ∈ A

tako da je f (x) = y









za svaki y

∈ B postoji x




A B

f x y za svaki y ∈ Bpostoji x ∈ A

tako da je f (x) = y







Sirjektivne ( na ) funkcijeSirjektivne ( na ) funkcijeSirjektivne ( na ) funkcije

Drugim recima, f je sirjektivna funkcija ako nije moguca situacijaprikazana na sledecoj slici:

A B

f (A)

f







Sirjektivne ( na ) funkcijeSirjektivne ( na ) funkcijeSirjektivne ( na ) funkcije

Drugim recima, f je sirjektivna funkcija ako nije moguca situacijaprikazana na sledecoj slici:

A B

f (A)

f


Primeri "1-1" i "na" funkcija





Primeri 1-1 i na funkcijaPrimeri 1-1 i na funkcijaPrimeri 1-1 i na funkcija








A Bf








A Bf

Primer ”1-1” funkcije







Primeri 1 1 i na funkcijaPrimeri 1 1 i na funkcijaPrimeri 1 1 i na funkcija

A Bf


A Bf








A Bf


A Bf

Primer funkcijekoja nije ”1-1”








A Bf


A Bf









A Bf


A Bf


A Bf







jjj

A Bf


A Bf


A Bf

Primer ”na” funkcije







jjj

A Bf


A Bf


A Bf


A Bf







jjj

A Bf


A Bf


A Bf


A Bf

Primer funkcijekoja nije ”na”







jjj

A Bf


A Bf


A Bf


A Bf

Primer funkcijekoja nije ”na”


Bijektivne funkcije

Bijektivne funkcije

Bijektivne funkcije



Za preslikavanje koje je istovremeno i injektivno i bijektivno kazemo da je bijektivno ili da je bijekcija iz A u (na) B.

Identicka funkcija I A na proizvoljnom skupu A je bijekcija iz A u A.

Ako skup A ima bar dva elementa, onda sigurno ima i drugih bijekcija

iz A u A.

Bijekcija iz skupa A

u sebe samog naziva se permutacija tog skupa.A Bf

Primer permutacije


Primeri – injekcije, sirjekcije, bijekcije





Primer 4:

a) Funkcija f : R → R, definisana sa f (x) = 2x, je injektivna, jer iz

x1

= x2 sledi 2x1

= 2x2, ali nije sirjektivna, jer negativni brojevi,

kao ni nula, ne mogu biti stepeni sa pozitivnom osnovom.

Ako se kodomen R zameni sa R+, onda je ova funkcija takode i

sirjektivna, tj. bijekcija je.

b) Funkcija f : R→R+∪{0}, definisana sa f (x) = x2, je sirjektivna,

jer svaki nenegativan realan broj a jeste kvadrat realnog broja √

a.

Buduci da se u a preslikava i −√ a, ova funkcija nije injektivna.







Primer 1.8. Neka je A = { p, r, s, t} i B = { p, q, r, s, t}. Koja odsledecih korespondencija u A × B je funkcija koja nije ni injektivna ni

sirjektivna?

(a) {( p, r), (r, p), (s, s), (t, t)}(b) {( p, s), (r, p), (s, s), (t, t)}

(c) {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)}(d) nijedna od njih

Resenje: Dokazacemo da je tacno (b).







(a) Korespondencija {( p, r), (r, p), (s, s), (t, t)}, ispunjava oba uslovaiz definicije funkcije:

– svaki element iz A se bar jednom pojavljuje kao prva koordinata,

– nijedan element iz A se ne javlja dvaput kao prva koordinata.

Ta funkcija nije sirjektivna, jer se u drugoj vrsti ne javlja element q.

Medutim, funkcija je injektivna, jer se u drugoj vrsti nijedan elementne javlja dvaput.

Prema tome, ova korespondencija ne ispunjava trazene uslove.







(b) Korespondencija {( p, s), (r, p), (s, s), (t, t)} ispunjava oba uslovaiz definicije funkcije:

– svaki element iz A se bar jednom pojavljuje kao prva koordinata,

– nijedan element iz A se ne javlja dvaput kao prva koordinata.

Ova funkcija nije injektivna, jer se s javlja dvaput kao druga koordinata.

Takode, ova funkcija nije ni sirjektivna, jer se u drugoj vrsti ne javljajuelementi q i r.

Dakle, ova funkcija ima trazena svojstva.

(c) Korespondencija {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)} nije funkcija, jer

– kao prva koordinata se ne javlja p, pa nije definisana na celom A,

– element s se javlja dvaput kao prva koordinata, pa nije jednoznacna.


Permutacije

Permutacije

Permutacije



Neka je funkcija f : A → B, gde je A = {1, 2, . . . , n}, zadata sa

f =

1 2 . . . n

f (1) f (2) . . . f (n)

Kod ovakvog predstavljanja se na jednostavan nacin moze uociti da li

je f injektivna ili sirjektivna funkcija.

Naime:

f je injektivna funkcija ako i samo ako su sve vrednosti u drugoj

vrsti ove matrice medusobno razlicite.

f je sirjektivna funkcija ako i samo ako se u drugoj vrsti gornje

matrice pojavljuju svi elementi iz kodomena B.


Permutacije

Permutacije

Permutacije



Zadatak 1.1. Neka je A konacan skup i f : A → A. Dokazati da susledeci uslovi ekvivalentni:

(i) f je bijekcija; (ii) f je injekcija; (iii) f je sirjekcija.

Resenje: Dovoljno je dokazati ekvivalentnost uslova (ii) i (iii).Neka je A = {1, 2, . . . , n}. Posmatrajmo niz vrednosti

f (1), f (2), . . . , f (n)

Ako je f injekcija, tada su svi clanovi ovog niza medusobno razliciti,

pa kako niz ima n clanova, to su u njemu zastupljeni svi elementi iz A,

sto znaci da je f sirjekcija.Obratno, ako je f sirjekcija, onda su u gornjem nizu zastupljeni svi

elementi iz A, i kako niz ima isto onoliko clanova koliko i skup A, to

znaci da su svi njegovi clanovi razliciti, odakle sledi da je f injekcija.


Svojstva injekcija i sirjekcija





Tvrdenje 3: Neka je f : A → B i g : B → C .(a) Ako su f i g injekcije, onda je i f ◦ g injekcija.

(b) Ako su f i g sirjekcije, onda je i f ◦

g sirjekcija.

Dokaz: (a) Neka su f i g injekcije i x1, x2 ∈ A. Tada

f ◦

g(x1) = f ◦

g(x2) ⇒

g(f (x1)) = g(f (x2)) (definicija kompozicije)

⇒ f (x1) = f (x2) (injektivnost za g)

⇒ x1 = x2 (injektivnost za f ),

sto znaci da je i f ◦ g injekcija.







(b) Neka su f i g sirjekcije i neka je z ∈ C .Tada, zbog sirjektivnosti za g, postoji y ∈ B tako da je z = g(y), a

zbog sirjektivnosti za f , postoji x ∈ A tako da je y = f (x).

Odatle je z = g(y) = g(f (x)), tj. z = f ◦ g(x), p a j e i f ◦ g

sirjekcija.

Posledica: Kompozicija bijekcija je takode bijekcija.







Tvrdenje 4: Neka je f : A → B i g : B → C .(a) Ako je f ◦ g injekcija, onda je i f injekcija.

(b) Ako je f ◦

g sirjekcija, onda je i g sirjekcija.

Dokaz: (a) Neka je f ◦ g injekcija neka su x1, x2 ∈ A elementi takvi

da je f (x1) = f (x2).

Tada je g(f (x1)) = g(f (x2)), zbog jednoznacnosti za g, tj.

f ◦ g(x1) = f ◦ g(x2),

odakle je x1 = x2, zbog injektivnosti za f ◦ g.

Ovim smo dokazali injektivnost za f .







(b) Neka je f ◦ g sirjekcija i z ∈ C .Tada postoji x ∈ A, tako da je f ◦ g(x) = z, odnosno g(f (x)) = z.

S obzirom da je f (x) = y

∈ B, to sledi da za z

∈ C postoji y

∈ B,

tako da bude z = g(y), pa je g sirjekcija.




Inverzna korespondencija





Neka je data korespondencija f ⊆ A × B.Tada korespondenciju f −1 ⊆ B × A definisanu sa

f −1 = {(b, a) ∈ B × A | (a, b) ∈ f }

nazivamo inverznom korespondencijom korespondencije f .

A Bf A Bf −1

Matematicka logika – 2 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 2 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 2 – Funkcije - II deo

Inverzna funkcija

Inverzna funkcija

Inverzna funkcija



Ako funkciju f : A → B posmatramo kao korespondenciju iz A u B,onda mozemo govoriti o njenoj inverznoj korespondenciji f −1.

U opstem slucaju, to f −1 moze, ali ne mora, da bude funkcija.

Ako je f −1 funkcija, onda bi smo mogli reci da je to inverzna funkcijaza f .

Medutim, pojam inverzne funkcije definisacemo na drugaciji nacin, a

potom cemo dokazati da

funkcija f ima inverznu funkciju ako i samo ako inverzna korespon-

dencija f −1

jeste funkcija, u tom slucaju je bas to f −1 inverzna funkcija od f .


Inverzna funkcija

Inverzna funkcija

Inverzna funkcija



Pre no sto definisemo pojam inverzne funkcije, dokazujemo sledece:Tvrdenje 5: Za svaku funkciju f : A → B postoji najvise jedna

funkcija g : B → A za koju vazi

f ◦ g = I A i g ◦ f = I B.

Dokaz: Pretpostavimo da su g1, g2 : B → A dve funkcije sa nave-

denim osobinama, tj. funkcije za koja vazi

f ◦ g1 = I A, g1 ◦ f = I B i f ◦ g2 = I A, g2 ◦ f = I B.

Tada, na osnovu Tvrdenja 2.14 i asocijativnosti kompozicije funkcija,

g1 = g1 ◦ I A = g1 ◦ (f ◦ g2) = (g1 ◦ f ) ◦ g2 = I B ◦ g2 = g2.


Inverzna funkcija

Inverzna funkcija

Inverzna funkcija



Dakle, ako za funkciju f : A → B postoji funkcija g : B → A takvada vazi

f ◦ g = I A i g ◦ f = I B,

tada je takva funkcija g jedinstvena i nazivamo je inverznom funkcijomfunkcije f .

Jasno, za svaku funkciju ne mora da postoji inverzna funkcija.


Znacenje uslova f ◦ g = I A i g ◦ f = I B





Razmotrimo znacenje uslova f ◦ g = I A

i g ◦ f = I B

.

On znaci da za svaki x ∈ A i svaki y ∈ B vazi

g(f (x)) = x i f (g(y)) = y,

sto je prikazano na sledecoj slici:

f

g

A B

x f (x) f

g

A B

g(y) y

Drugim recima, svaka od funkcija f i g ponistava onu drugu, tj., vraca

nas na stanje pre primene prve funkcije.


Inverzna korespondencija i funkcija





Prirodno se namece pitanje:U kakvoj su vezi pojmovi inverzne korespondencije i inverznog preslika-

vanja funkcije?

Odgovor na to pitanje daje sledece tvrdenje:

Tvrdenje 6: Neka je data funkcija f : A → B i neka je f −1 njena

inverzna korespondencija.

Tada f ima inverznu funkciju ako i samo ako je f −1 funkcija.

U tom slucaju je upravo f −1

inverzna funkcija za f .







Dokaz: Pretpostavimo da f ima inverzno preslikavanje g, tj. da jef ◦ g = I A i g ◦ f = I B.

(a1) f −1 zadovoljava uslov (i) iz definicije funkcije:

Neka je y ∈ B. Tada za x = g(y) imamo da je

f (x) = f (g(y)) = g ◦ f (y) = I B(y) = y,

pa je (x, y) ∈ f , tj. (y, x) ∈ f −1.

Dakle, pr1f −1 = B, pa f −1 zadovoljava uslov (i) definicije funkcije.







(a2) f

−1

zadovoljava uslov jednoznacnosti:Dokazimo sada da iz (y, x1) ∈ f −1 i (y, x2) ∈ f −1 sledi x1 = x2.

Zaista, odatle dobijamo da je (x1, y) ∈ f i (x2, y) ∈ f , tj.

f (x1) = y = f (x2),

odakle je

x1 = I A(x1) = f ◦ g(x1) = g(f (x1)) =

= g(f (x2)) = f ◦ g(x2) = I A(x2) = x2.

Prema tome, f −1 zadovoljava uslov jednoznacnosti.

Konacno, iz (a1) i (a2) sledi da je f −1 funkcija.







Obratno, neka je f

−1

funkcija. Dokazacemo da je f ◦ f

−1

= I A if −1 ◦ f = I B .

Zaista, neka je x ∈ A. Tada za y = f (x) ∈ B imamo da je (x, y) ∈ f ,

odakle je (y, x) ∈ f −1, tj. f −1(y) = x. Prema tome,

f ◦ f −1(x) = f −1(f (x)) = f −1(y) = x = I A(x),

cime smo dokazali da je f ◦ f −1

= I A.

Na potpuno isti nacin dokazujemo da je f −1 ◦ f = I B.

Dakle, f −1 je inverzna funkcija funkcije f .

U skladu sa prethodnim tvrdenjem, ako funkcija f : A → B ima

inverznu funkciju, onda je oznacavamo upravo sa f −1.


Inverzna funkcija i bijektivnost





Dakle, prema Tvrdenju 6., funkcija f ima inverznu funkciju ako i samoako njena inverzna korespondencija f −1 jeste funkcija, tj. zadovoljava

uslove (i) i (ii) iz definicije funkcije.

Uslovi pod kojima f −1

zadovoljava (i) i (ii) iz definicije funkcije dati susledecim tvrdenjem:

Tvrdenje 7: Neka je data funkcija f : A → B. Tada

a) Inverzna korespondencija f −1 zadovoljava uslov (i) iz definicije funk-

cije ako i samo ako f jeste sirjekcija.

b) Inverzna korespondencija f −1 zadovoljava uslov (ii) iz definicije

funkcije ako i samo ako f jeste injekcija.







Dokaz:a) Korespondencija f −1 zadovoljava uslov (i) iz definicije funkcije, tj.

pr1f −1 = B, ako i samo ako za svaki y ∈ B postoji x ∈ B tako da je

(y, x) ∈ f −1

.

To je dalje ekvivalentno sa tim da je f sirjekcija, jer je (y, x) ∈ f −1

ekvivalentno sa (x, y) ∈ f , odnosno sa f (x) = y.

b) Korespondencija f −1 zadovoljava uslov (ii) iz definicije funkcije,

tj. (y, x1) ∈ f −1 i (y, x2) ∈ f −1 povlaci x1 = x2, ako i samo ako

f (x1) = y i f (x2) = y povlaci x1 = x2.

To je, jasno, ekvivalentno sa tim da je f injekcija.







Konacno, uslovi pod kojima funkcija ima inverznu funkciju dati susledecim tvrdenjem:

Tvrdenje 8: Funkcija f : A → B ima inverznu funkciju ako i samo

ako je f bijekcija.

Dokaz: Dokaz sledi neposredno iz prethodna dva tvrdenja.


Svojstva inverzne funkcije





Tvrdenje 9: Neka funkcija f : A → B ima inverznu funkciju f

−1

.Tada:

(a) f −1 je bijekcija;

(b) (f −1)−1 = f .

Dokaz: S obzirom na Tvrdenje 8., dovoljno je dokazati (b).

Tvrdenje (b) sledi neposredno iz Tvrdenja 5, koje kaze da, posto jef −1 inverzna funkcija za f , vazi

f ◦ f −1 = I A i f −1 ◦ f = I B.

Zbog simetricnosti ovog uslova sledi da je f inverzna funkcija za f −1.


Inverzna funkcija – primer





Primer 1.1. Neka je A = {1, 2, 3, 4} i neka je f : A → A funkcijazadata sa

f = 1 2 3 4

4 3 1 2

(a) Dokazati da je f bijekcija (tj. permutacija skupa A);

(b) Odrediti inverznu funkciju f −1.

Resenje: (a) Kako su svi elementi u drugoj vrsti razliciti, to na osnovu

ranije dokazanog imamo da je f bijekcija, odnosno permutacija.







Postupak za odredivanje inverzne funkcije f −1 prikazan je sledecom

animacijom:

f = 1 2 3 4

4 3 1 2

f −1

= 1 2 3 4








animacijom:

f = 1 2 3 4

4 3 1 2

f −1

= 1 2 3 4

Biramo argument 1 u tabeli funkcije f −1








animacijom:

f = 1 2 3 4

4 3 1 2

f −1

= 1 2 3 4

Pronalazimo taj isti argument medu slikama u tabeli funkcije f








animacijom:

f = 1 2 3 4

4 3 1 2

f −1

= 1 2 3 4

U tabeli funkcije f nalazimo element 3 koji se slika u f (1)








animacijom:

f = 1 2 3 4

4 3 1 2

f −1

= 1 2 3 4

3

Vrednost 3 = f −1(1) zapisujemo na odgovarajuce mesto u tabeli funkcije f −1








animacijom:

f = 1 2 3 4

4 3 1 2

f −1

= 1 2 3 4

3

Isti postupak ponavljamo za argument 2 tabeli funkcije f −1 . . .








animacijom:

f = 1 2 3 4

4 3 1 2

f −1

= 1 2 3 4

3








animacijom:

f = 1 2 3 4

4 3 1 2

f −1

= 1 2 3 4

3








animacijom:

f = 1 2 3 4

4 3 1 2

f −1

= 1 2 3 4

3 4





1




animacijom:

f = 1 2 3 4

4 3 1 2

f −1

= 1 2 3 4

3 4





1




animacijom:

f = 1 2 3 4

4 3 1 2

f

−1

= 1 2 3 4

3 4





P k d di j i f k ij f 1 ik j l d ´




animacijom:

f = 1 2 3 4

4 3 1 2

f

−1

= 1 2 3 4

3 4





P k d di j i f k ij f 1 ik j l d ´




animacijom:

f = 1 2 3 4

4 3 1 2

f

−1

= 1 2 3 4

3 4 2





P t k d di j i f k ij f 1 ik j l d ´




animacijom:

f = 1 2 3 4

4 3 1 2

f

−1

= 1 2 3 4

3 4 2





P t k d di j i f k ij f−1 ik j l d ´



Postupak za odredivanje inverzne funkcije f 1 prikazan je sledecom

animacijom:

f = 1 2 3 4

4 3 1 2

f

−1

= 1 2 3 4

3 4 2





Postupak za odredivanje inverzne funkcije f−1 prikazan je sledecom




animacijom:

f = 1 2 3 4

4 3 1 2

f

−1

= 1 2 3 4

3 4 2









animacijom:

f = 1 2 3 4

4 3 1 2

f

−1

= 1 2 3 4

3 4 2 1








Postupak za odredivanje inverzne funkcije f prikazan je sledecom

animacijom:

f = 1 2 3 4

4 3 1 2

f

−1

= 1 2 3 4

3 4 2 1


Kombinovani zadatak

Kombinovani zadatak

Kombinovani zadatak

Primer 1 2 Neka su date funkcije




f =

1 2 3 4 5

4 3 1 5 2

, g =

1 2 3 4 5

5 4 3 1 2

, h =

1 2 3 4 5

2 3 5 4 1

.

Odrediti funkciju F = g ◦ h−1 ◦ f .

Resenje: Primetimo najpre da je funkcija h bijekcija, jer se u drugoj

vrsti njenog matricnog predstavljanja pojavljuju svi elementi iz skupa{1, 2, 3, 4, 5}, pa h zaista ima inverznu funkciju h−1 koja je data sa:

h−1 =

1 2 3 4 55 1 2 4 3

.


Kombinovani zadatak

Kombinovani zadatak

Kombinovani zadatak

Dalje je



Dalje je

g ◦ h−1 =

1 2 3 4 5

5 4 3 1 2

◦

1 2 3 4 5

5 1 2 4 3

=

1 2 3 4 5

3 4 2 5 1

,

F = (g ◦ h−1) ◦ f =

1 2 3 4 5

3 4 2 5 1

◦

1 2 3 4 5

4 3 1 5 2

=

1 2 3 4 51 5 3 2 4

.


Jezgro funkcije

Jezgro funkcije

Jezgro funkcije

Jezgrom funkcije f : A → B (engl. kernel) nazivamo relaciju ker f



Jezgrom funkcije f : A → B (engl. kernel) nazivamo relaciju ker f

definisanu na skupu A na sledeci nacin:

(x1, x2) ∈ ker f def ⇔ f (x1) = f (x2).

Tvrdenje 10: Jezgro funkcije f : A → B je relacija ekvivalencije na A.


Na slici desno vidi se da jednu klasu rela-cije ker f cine svi oni elementi iz A koji

se slikaju i jedan isti element iz B.

f A B


Jezgro funkcije

Jezgro funkcije

Jezgro funkcije

Vazi i obratno tvrdenje:



Vazi i obratno tvrdenje:

Tvrdenje 11: Za svaku relaciju ekvivalencije na skupu A postoji skup

B i funkcija f : A → B, tako da je jezgro funkcije f bas to relacija .

Dokaz: Neka je ρ relacija ekvivalencije na A i B = A/

odgovarajuci

faktor skup.Definisimo funkciju f : A → A/

tako da se svaki element iz A slika

u svoju -klasu, tj. f (x) = [x] , za svaki x ∈ A.

Kako svaki element x ∈ A jednoznacno odreduje klasu [x] , funkcijaf je dobro definisana.


Jezgro funkcije

Jezgro funkcije

Jezgro funkcije

Dalje, imamo da je



(x1, x2) ∈ ker f ⇔ f (x1) = f (x2) (definicija jezgra funkcije)

⇔ [x1] = [x2] (definicija funkcije f )

⇔ (x1, x2) ∈ (svojstvo jednakosti klasa),

odakle je ker f = .

Funkcija f definisana kao u dokazu prethodne teoreme naziva se prirodnopreslikavanje relacije ekvivalencije i oznacava se sa ♮.

Jasno, ova funkcija je uvek sirjektivna.


Jezgro funkcije

Jezgro funkcije

Jezgro funkcije

Tvrdenje 12: Neka je f : A → B proizvoljna funkcija, = ker f je



j j f p j j , f j

njeno jezgro i ϕ = ♮ : A → A/

je prirodno preslikavanje relacije

ekvivalencije .

Tada je saψ : [x]ρ → f (x) tj. ψ([x]ρ) = f (x)

definisana funkcija iz A/

u B za koju vazi:

(a) ψ je injektivna funkcija;

(b) f = ϕ ◦ ψ;

(c) ako je f sirjektivna funkcija, onda je ψ bijekcija.


Jezgro funkcije

Jezgro funkcije

Jezgro funkcije

Drugim recima, ovo tvrdenje kaze da postoji funkcija ψ : A/ → B



g , j p j j ψ /

takva da sledeci dijagram komutira:

A A/

B

ϕ = ♮

f ψ

Pri tome je ψ i injektivna funkcija.

Osim toga, vazi i sledece:

(d) ψ je jedinstvena injektivna funkcija takva da gornji dijagramkomutira.


Jezgro funkcije

Jezgro funkcije

Jezgro funkcije

Dokaz: Funkcija ψ je dobro definisana, jer za svaku klasu [x] postoji



j ψ j j [ ] p j

tacno jedan elemenat iz B u koji se svi elementi te klase preslikavaju

funkcijom f – to je element f (x).

Dakle, definicija ove funkcije ne zavisi od izbora predstavnika klase.

(a) Za proizvoljne klase [x1] , [x2] ∈ A/

vazi

ψ([x1] ) = ψ([x2] ) ⇒ f (x1) = f (x2) (definicija funkcije ψ)⇒ (x1, x2) ∈ (definicija jezgra funkcije)

⇒ [x1] = [x2] (svojstvo jednakosti klasa),

odakle sledi da je funkcija ψ injektivna.


Jezgro funkcije

Jezgro funkcije

Jezgro funkcije

(b) Neka je x ∈ A. Tada je



( )

ϕ ◦ ψ(x) = ψ(ϕ(x)) = ψ([x] ) = f (x).

Dakle, ϕ ◦ ψ = f .

(c) Ako je f sirjekcija, onda je ψ i sirjekcija iz A/

na B, sto sledi

neposredno iz Tvrdenja 4 (b), pa je, dakle, ψ bijekcija.

(d) Dokazujemo da je ψ jedinstvena injektivna funkcija takva da gornji

dijagram komutira.

Pretpostavimo suprotno, da postoji i neka druga injektivna funkcijaχ : A/

→ B, takva da taj dijagram komutira, tj. da je ϕ ◦ χ = f .


Jezgro funkcije

Jezgro funkcije

Jezgro funkcije

U tom slucaju za proizvoljnu klasu [x] ∈ A/ vazi:



χ([x] ) = χ(ϕ(x)) (jer je ϕ = ♮)

= ϕ ◦ χ(x) (definicija kompozicije funkcija)

= f (x) (pretpostavka da je ϕ ◦ χ = f )

= ϕ ◦ ψ(x) (jer je ϕ ◦ ψ = f )

= ψ(ϕ(x)) (definicija kompozicije funkcija)

= ψ([x] ) (jer je ϕ = ♮).

Kako ovo vazi za proizvoljnu klasu iz A/

, to sledi da je χ = ψ.


Operacije

Operacije

Operacije

Neka je A neprazan skup i n ∈ N0 je proizvoljan prirodan broj.



Proizvoljnu funkciju f : An → A koja slika Dekartov n-ti stepen An

skupa A u sam skup A nazivamo n-arnom operacijom na skupu A.

Broj n zovemo arnost ili duzina operacije f .

Operacije duzine 2 nazivamo binarne operacije.

Operacije duzine 1 nazivamo unarne operacije.

Jasno, unarne operacije su obicne funkcije iz A u A.

Operacije duzine 0 nazivamo nularne operacije.


Nularne operacije

Nularne operacije

Nularne operacije

Nularne operacije su karakteristicne, pa cemo se nesto vise zadrzati na



njima da bi pojasnili njihovo dejstvo.

Naime, nularna operacija je preslikavanje f : A0 → A.

Kako se skup A0

sastoji iz samo jednog elementa ∅, to se tim preslika-vanjem zapravo fiksira jedan element – konstanta f (∅) ∈ A.

f ∅ f (∅)

A0

A

Zato umesto o nularnim operacijama na skupu A cesto radije govorimo

o izboru i fiksiranju izvesnih konstanti u tom skupu.


Binarne operacije

Binarne operacije

Binarne operacije

Binarne operacije su operacije koje se najvise koriste u matematici.



Kako najcesce radimo upravo sa njima, to ih obicno nazivamo samo

operacije, ako je iz konteksta jasno da se radi o binarnim operacijama.

Ako je f binarna operacija na skupu A, proizvod ”f (a, b)” elemenataa i b iz A, tj. rezultat primene operacije f na te elemente, radije

oznacavamo sa ”a f b”.

Takode, za oznacavanje binarnih operacija najcesce koristimo simbole”·”, ”+”, ”∗”, ”◦” i slicno.

Rezultat primene te operacije na elemente a, b ∈ A oznacavamo sa

”a · b”, ”a + b”, ”a ∗ b” ili ”a ◦ b”.

Umesto ”a · b” obicno pisemo samo ”ab”, tj. izostavljamo tacku.


Primeri operacija

Primeri operacija

Primeri operacija

(a) Sabiranje i mnozenje prirodnih, celih, racionalnih, realnih i kom-



pleksnih brojeva su binarne operacije na skupovima N, Z, Q, R i C

(ovo poslednje je oznaka za skup kompleksnih brojeva).

Sabiranje oznacavamo znakom ”+” a mnozenje znakom ”·”, pri

cemu, kao sto smo rekli, tacku obicno izostavljamo.

(b) Unija, presek, razlika i simetricna razlika skupova su binarne ope-

racije, dok je komplement unarna operacija na partitivnom skupuP (U ) skupa U .


Predstavljanje operacija



Ako je A = {a1, a2, . . . , an} konacan skup, onda operaciju · na tom



skupu mozemo predstaviti takozvanom Kejlijevom tablicom, kod koje

vrste i kolone tabele su oznacene elementima iz skupa A;

u celiji tabele koja pripada vrsti elementa ai i koloni elementa a jubelezen je njihov proizvod ai · a j.

· a1 a2 · · · a j · · · an

a1 a1 · a1 a1 · a2 · · · a1 · a j · · · a1 · ana2 a2 · a1 a2 · a2 · · · a2 · a j · · · a2 · an

......

... . . .

... . . .

...

ai ai · a1 ai · a2 · · · ai · a j · · · ai · an...

......

. . . ...

. . . ...

an an · a1 an · a2 · · · an · a j · · · an · an





Sto se tice unarnih operacija na skupu A = {a1, a2, . . . , an}, i njih



mozemo predstaviti tablicom.

Naime, ako je f : A → A unarna operacija, tada se ona predstavlja

tablicom sledeceg oblika:

f

a1 f (a1)

a2 f (a2)...

...

ai f (ai)

......

an f (an)


Primer – Bulove operacije



Na skupu B = {0, 1} definisimo unarnu operaciju ¬ i cetiri binarne

ij i ´ l d ´ih bli



operacije ∧, ∨, ⇒ i ⇔ pomocu sledecih tablica:

¬

1 0

0 1

∧ 1 0

1 1 0

0 0 0

∨ 1 0

1 1 1

0 1 0

⇒ 1 0

1 1 0

0 1 1

⇔ 1 0

1 1 0

0 0 1

Iz tablica se jasno vidi

da su 1 i 0 samo drugacije oznake logickih vrednosti ⊤ (tacno) i ⊥

(netacno), tim redom;

da su ¬ – negacija, ∧ – konjunkcija, ∨ – disjunkcija, ⇒ – implikacija,

i ⇔ – ekvivalencija, standardne logicke operacije.





Ove operacije nazivamo i Bulovim operacijama, u cast Dzordza Bula

(G B l ) b i k iˇ i 19 k



(George Boole), britanskog matematicara iz 19. veka, tvorca matema-

ticke logike i savremene algebre.

Kao sto vec znamo, uredena sestorka (B,∧,∨,⇒,⇔,¬) naziva se

iskazna algebra.


Svojstva operacija

Svojstva operacija

Svojstva operacija

Navescemo samo neka osnovna svojstva koja mogu imati binarne i

ij



unarne operacije.

Neka je · binarna operacija na skupu A. Operacija · je

asocijativna ako za sve a, b, c ∈ A vazi

(a · b) · c = a · (b · c);

komutativna ako za sve a, b ∈ A vazi

a · b = b · a;

idempotentna ako za svaki a ∈ A vazi

a · a = a.


Svojstva operacija

Svojstva operacija

Svojstva operacija

Neka su · i + binarne operacija na skupu A. Operacija · je



distributivna u odnosu na + ako za sve a, b, c ∈ A vazi:

a · (b + c) = (a + b) · (a + c) i (b + c) · a = (b + a) · (c + a).

Neka je ∗ : a → a∗ unarna operacija, a · je binarna operacija na skupu

A. Operacija ∗ je

involutivna u odnosu na · ako za proizvoljne a, b ∈ A vazi

(a · b)∗ = b∗ · a∗,

i za proizvoljan a ∈ A vazi

(a∗)∗ = a


Još primera operacija



(a) Operacije + sabiranja i · mnozenja prirodnih, celih, racionalnih,

l ih ili k l k ih b j k t ti i ij ti



realnih ili kompleksnih brojeva su komutativne i asocijativne.

Operacija mnozenja je distributivna u odnosu na sabiranje, ali ne

vazi obratno – sabiranje nije distributivno u odnosu na mnozenje,

jer je, na primer,

2 + (3 · 4) = 2 + 12 = 14, (2 + 3) · (2 + 4) = 5 · 6 = 30.

(b) Operacija kompozicije relacija je distributivna u odnosu na uniju, ali

nije u odnosu na presek (Videti Tvrdenje 3. iz dela o relacijama).

(c) Operacija preseka skupova je distributivna u odnosu na uniju, a vazii obratno, unija je distributivna u odnosu na presek.





(b) Operacija −1 : → −1 inverzije relacija je involutivna u odnosu

na kompoziciju relacija tj



na kompoziciju relacija, tj.

( ◦ θ)−1 = θ−1 ◦ −1, ( −1)−1 = ,

za proizvoljne relacije i θ na datom skupu A.

Isto to vazi i za inverziju i kompoziciju korespondencija i funkcija.

Pitanje: Da li je inverzija matrica involutivna i u odnosu na presek

i uniju relacija?


Nizovi

Nizovi

Nizovi

Neka je A proizvoljan neprazan skup.



Niz elemenata iz skupa A formalno matematicki definisemo kao funkciju

f : N → A iz skupa N prirodnih brojeva u A.

Niz se najcesce navodi samo skupom vrednosti.Naime, za svaki i ∈ N stavljamo da je f (i) = ai, i u tom slucaju niz

predstavljamo kao

a1, a2, . . . , an, . . . ili (ai)i∈N

Za ovakav niz kazemo i da je indeksiran skupom prirodnih brojeva N, jer

se pri oznacavanju elemenata niza kao indeksi koriste prirodni brojevi.


Obostrano beskonacni nizovi



Pored skupova indeksiranih skupom prirodnih brojeva, u matematici se

izucavaju i skupovi indeksirani skupom Z celih brojeva



izucavaju i skupovi indeksirani skupom Z celih brojeva.

To su takozvani obostrano beskonacni nizovi, koji se definisu kao funkcije

f : Z → A, i predstavljaju kao (ai)i∈Z ili

. . . , a−n, . . . , a−2, a−1, a0, a1, a2, . . . , an, . . .

gde je ai = f (i), za svaki i ∈ Z.

Razlog zbog cega se ovi nizovi nazivaju ”obostrano beskonacnim” je

ocigledan.

U tom pogledu, nizovi indeksirani prirodnim brojevima su ”beskonacnisamo sa jedne strane”.


Konacni nizovi

Konacni nizovi

Konacni nizovi

Dakle, nizove elemenata iz skupa A smo definisali kao funkcije iz skupa

prirodnih brojeva u skup A



prirodnih brojeva u skup A.

Na isti nacin konacan niz elemenata iz A mozemo definisati kao funkciju

f : Nn → A, gde je n ∈ N i Nn = {1, 2, . . . , n} je skup prvih n

prirodnih brojeva.

Takve nizove oznacavamo sa

(ai)i∈Nn , (ai)ni=1, (a1, a2, . . . , an) ili a1, a2, . . . , an

Broj n je broj elemenata u nizu ili duzina niza.

Jasno, konacan niz duzine n nije nista drugo do uredena n-torka ele-menata iz A.


Konacni nizovi

Konacni nizovi

Konacni nizovi

Konacan niz duzine n u nekim prilikama zovemo i vektor duzine n.

U ki i k ˇ i d i l t i k A d



U nekim primenama, konacan niz duzine n elemenata iz skupa A pred-

stavljamo i bez pisanja zagrada i zapeta, na sledeci nacin:

x1x2 . . . xn

Konacne nizove koje predstavljamo na ovaj nacin zovemo recima ili

stringovima elemenata iz skupa A.

U tom slucaju, uobicajeno je da se skup A naziva alfabet, a njegovi

elementi slova.

Kada kazemo ”niz” mislimo na beskonacan niz, a kada radimo sakonacnim nizovima, onda uvek govorimo ”konacan niz”.


Jednakost nizova

Jednakost nizova

Jednakost nizova

Potsetimo se da su dve funkcije f : A → B i g : C → D jednake ako

i samo ako je A = C B = D i za svaki x ∈ A je f (x) = g(x)



i samo ako je A = C , B = D, i za svaki x ∈ A je f (x) = g(x).

Buduci da su i nizovi definisani kao funkcije, to znaci da su dva niza

f : N → A i g : N → A jednaka ako i samo ako je

f (i) = g(i), za svaki i ∈ N,

odnosno, dva niza (ai)i∈N i (bi)i∈N elemenata iz skupa A su jednaka

ako i samo ako je

ai = bi , za svaki i ∈ N.

Slicno vazi i za nizove indeksirane skupom celih brojeva.


Jednakost nizova

Jednakost nizova

Jednakost nizova

Ako definiciju jednakosti funkcija primenimo na konacne nizove, onda

su dva konacna niza f : Nm → A i g : Nn → A (gde su m, n ∈ N)



su dva konacna niza f : Nm → A i g : Nn → A (gde su m, n ∈ N) jednaka ako i samo ako je m = n i f (i) = g(i), za svaki i ∈ Nn.

Drugim recima, dva konacna niza a1, a2, . . . , am i b1, b2, . . . , bn su

jednaka ako i samo ako je

m = n i ai = bi, za svaki i ∈ Nn.

Drugim recima, jednakost konacnih nizova se svodi na jednakost urede-

nih n-torki.


Višedimenzionalni nizovi



Funkciju f : N × N → A, koja slika Dekartov kvadrat N × N skupa

prirodnih brojeva u dati skup A nazivamo dvodimenzionalnim nizom



prirodnih brojeva u dati skup A nazivamo dvodimenzionalnim nizomelemenata iz skupa A.

Ako za proizvoljan par (i, j) ∈ N × N stavimo da je f (i, j) = ai,j ili

f (i, j) = aij, onda dvodimenzionalni niz predstavljamo kao (ai,j)i,j∈N,

ili kao dvodimenzionalnu pravougaonu semu

a1,1 a1,2 . . . a1,j . . .a2,1 a2,2 . . . a2,j . . .

... ...

. . . ...

. . .

ai,1 ai,2 . . . ai,j . . ....

... . . .

... . . .





Na isti nacin definisemo i obostrano beskonacni dvodimenzionalni niz,

tj. dvodimenzionalni niz indeksiran skupom celih brojeva.



tj. dvodimenzionalni niz indeksiran skupom celih brojeva.

Takode, za proizvoljan prirodan broj n, n-dimenzionalni niz elemenata

iz skupa A mozemo definisati kao funkciju f : Nn → A, koja slika

Dekartov n-ti stepen skupa N prirodnih brojeva u skup A.


Matrice

Matrice

Matrice

Konacan dvodimenzionalni niz ili matricu elemenata iz skupa A definise-

mo kao funkciju f : Nm×Nn → A, gde su m i n neki prirodni brojevi.



j f × , g p j

Za tu matricu kazemo da je formata m × n (citamo ”m puta n”), ili

da je m × n-matrica.

Ako za proizvoljan par (i, j) ∈ Nm × Nn stavimo da je f (i, j) = ai,j

ili f (i, j) = aij, onda matricu predstavljamo kao pravougaonu semu

a1,1 a1,2 . . . a1,n

a2,1 a2,2 . . . a2,n

..

.

...

. ..

...

am,1 am,2 . . . am,n


Dekartov proizvod familije skupova



Familija skupova {Ai | i ∈ I } indeksirana skupom I , koju smo ranije

definisali, zapravo je funkcija koja svakom indeksu i ∈ I pridruzuje



, p j j j ∈ p j jedan skup Ai. Specijalno, za I = N, govorimo o nizu skupova

A1, A2, . . . , An, . . . .

Neka je {Ai | i ∈ I } familija skupova.

Dekartov proizvod ili direktan proizvod familije skupova {Ai | i ∈ I }, uoznaci

i∈I Ai, definise se kao skup svih preslikavanja f : I →

i∈I Ai

takvih da je f (i) ∈ Ai, za svaki i ∈ I , tj.

i∈I

Aidef

= {f | f : I →i∈I

Ai, f (i) ∈ Ai za svaki i ∈ I }.





U slucaju kada je I = Nn, dobijamo uobicajenu definiciju Dekartovog

proizvoda n skupova A1, A2, . . . , An.



p p

Zbog analogije sa uredenim n-torkama i nizovima, element f ∈

i∈I Ai

cesto oznacavamo sa (ai)i∈I , gde je ai

def

= f (i), za svaki i ∈ I .Pri tome ai nazivamo i-tom koordinatom od f .

Funkciju πi : i∈I Ai → Ai definisanu sa

πi(f ) def = f (i),

odnosno sa

πi((ai)i∈I ) def = ai,

nazivamo i-ta projekcija ili i-ta projekciona funkcija.





Da li svaka neprazna familija nepraznih skupova ima neprazan Dekartov

proizvod?



p

Postojanje Dekartovog proizvoda proizvoljne familije skupova ekviva-

lentno je sa tzv. Aksiomom izbora, koja glasi:

Za proizvoljnu familiju nepraznih skupova {Ai | i ∈ I } postoji skup koji

se sastoji od po jednog elementa svakog skupa iz te familije.




Ekvipotentnost skupova



Neke skupove mozemo intuitivno uporedivati po broju njihovih eleme-

nata i govoriti da jedan skup ima vise elemenata od nekog drugog.



Na primer, ako uporedimo broj elemenata skupova

A = {1, 5, 7, 8, 11} i B = {a,x,m}

zakljucicemo da skup A ima vise elemenata od skupa B.

Medutim, posmatrajmo skup N prirodnih brojeva i skup Np parnih

prirodnih brojeva.

Postavlja se pitanje: Koji od tih skupova ima vise elemenata?

Odgovor je: Imaju ”jednak broj” elemenata!

Matematicka logika – 2 – KardinaliMatematicka logika – 2 – KardinaliMatematicka logika – 2 – Kardinali




Kako smo utvrdili da N i Np imaju ”jednak broj” elemenata?



To smo utvrdili na taj nacin sto smo uocili da postoji bijekcija iz skupa

N na skup Np.

Jedna od takvih bijekcija je, na primer, funkcija f : N → Np definisana

sa f (x) = 2x.

Postojanje bijekcije iz N na Np znaci da svakom prirodnom broju odgo-vara tacno jedan paran broj, i obratno.

Prema tome, u nekom smislu, ti skupovi imaju jednak broj elemenata.





Zbog svega ovog, uvodi se sledeca definicija:

Skup A je ekvipotentan sa skupom B u oznaci A ∼ B ako postoji



Skup A je ekvipotentan sa skupom B, u oznaci A ∼ B, ako postoji

bijekcija f : A → B.

Kazemo jos i da je A ekvivalentan sa skupom B, ili da je A iste moci

sa skupom B.

Za proizvoljnu bijekciju f : A → B pisemo i f : A ∼ B i kazemo daf realizuje ekvipotentnost skupova A i B.





Primer 2.28

a) Skup A = {0 1 2} je ekvipotentan sa B = {∅ {∅} {∅ {∅}}}



a) Skup A = {0, 1, 2} je ekvipotentan sa B = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}.

Jedna bijekcija koja to potvrduje je

f (0) = ∅, f (1) = {∅}, f (2) = {∅, {∅}}.

b) Skup A = {0, 1} nije ekvipotentan sa skupom B = {−1, 0, 1}.

Nijedno preslikavanje iz A u B nije bijekcija.

c) Neka je A proizvoljan skup. Tada je A ∼ (A × {1}), s obzirom da

je preslikavanje f : x → (x, 1) bijekcija iz A u A × {1}.





e) Kao sto smo vec rekli, skup prirodnih brojeva N je ekvipotentan sa

svojim podskupom, skupom parnih brojeva Np.



d) Neka su dati intervali na realnoj pravoj A = [0, 1] i B = [5, 7].

Preslikavanje f : A → B, zadato formulom f (x) = 2x + 5 je

bijekcija iz A u B.

Dakle, A ∼ B.

Sta se ovde moze zakljuciti?

Intervali [0, 1] i [5, 7] sadrze ”podjednako mnogo” tacaka, iako nisu

jednake duzine.

Vazi i opstije tvrdenje, koje dokazujemo u daljem tekstu.





Primer 2.28-1 Svaka dva zatvorena intervala [a, b] i [c, d] skupa R

realnih brojeva su ekvipotentna.



Dokaz: Bijekciju f : [a, b] → [c, d] definisemo kao linearnu funkciju

koja slika a u c i b u d.Do izraza za tu linearnu funkciju

dolazimo preko jednacine prave koja

prolazi kroz tacke (a, c) i (b, d):x − a

y − c=

b − a

d − c

odakle je

y = f (x) = d − c

b − ax +

bc − ad

b − a

x

y

a b

c

d f (x)





Iako se sa slike jasno vidi da je f bijekcija, to dokazujemo i formalno.

(a) Injektivnost: Neka je f (x1) = f (x2) za neke x1 x2 ∈ [a b]



(a) Injektivnost: Neka je f (x1) = f (x2), za neke x1, x2 ∈ [a, b].

Tada jednostavno dobijamo da je

d − c

b − a(x1 − x2) = 0,

i kako je d − c = 0, to je x1 − x2 = 0, odnosno x1 = x2.

(b) Sirjektivnost: Neka je y ∈ [c, d]. Tada je y = f (x), gde je

x = b − ad − c

y + ad − bcd − c

.





Primer 2.28-2 Svaka dva otvorena intervala (a, b) i (c, d) skupa R

realnih brojeva su ekvipotentna.



Dokaz: Neka je f bijekcija iz zatvorenog intervala [a, b] na zatvoreni

interval [c, d] definisana kao u prethodnom primeru.

Kako f slika a u c i b u d, to restrikcija funkcije f na otvoreni interval

(a, b) jeste bijekcija iz (a, b) na (c, d).Prema tome, (a, b) ∼ (c, d).





Primetimo da za proizvoljne skupove A, B i C vazi:

1) A ∼ A.



)

Jasno, identicko preslikavanje I A je jedna od bijekcija iz A u A.

2) A ∼ B ⇒ B ∼ A.

Ako je f bijekcija iz A na B, onda je f −1 bijekcija iz B na A.

3) A ∼ B ∧ B ∼ C ⇒ A ∼ C .

Naime, ako je f bijekcija iz A na B i g je bijekcija iz B na C , onda

je f ◦ g bijekcija iz A na C .

Drugim recima, na bilo kom skupu skupova, ∼ je relacija ekvivalencije.


Konacni i beskonacni skupovi



Potsetimo se da smo za proizvoljan prirodan broj n, sa Nn oznacavali

skup prvih n prirodnih brojeva, tj.



Nn = {1, 2, . . . , n}.

Za skup A kazemo da je konacan ako je ili prazan, ili je ekvipoptentan

sa skupom Nn, za neki prirodan broj n.

Jasno, ”A je ekvipotentan sa Nn” znaci da ”A ima n elemenata”, a

proizvoljna bijekcija f : Nn ∼ A zapravo ”prebrojava” elemente iz A.

Pri tome obicno pisemo A = {a1, a2, . . . , an}, gde je ai = f (i), zasvaki i ∈ Nn.

Ako skup A nije konacan, onda kazemo da je beskonacan.





Tvrdenje 1.1. Skup A je beskonacan ako i samo ako je ekvipotentan

sa nekim svojim pravim podskupom.



Dokaz: Neka je A beskonacan skup, tj., A nije ekvipotentan ni sa

jednim od skupova Nn, n ∈ N.

Definisimo induktivno niz {an}n∈N elemenata iz A na sledeci nacin:

(i) Neka je a1 proizvoljan element iz A.

(ii) Ako su definisani razliciti elementi a1, a2, . . . , an iz A, tada se an+1

definise kao proizvoljan element skupa A \ {a1, a2, . . . , an}.

Takav element sigurno postoji, jer ako bi skup A \ {a1, a2, . . . , an} bio

prazan, tj. A = {a1, a2, . . . , an}, onda bi A bio ekvipotentan sa Nn.





Formirajmo sada skup A′ = {an | n ∈ N} i definisimo funkciju

f : A → A sa



f (x) = x ako je x ∈ A \ A′

an+1 ako je x = an ∈ A′

Tada je f bijekcija iz A na njegov pravi podskup A \ {a1}.

Obratno, neka je A ekvipotentan sa nekim svojim pravim podskupom.

Tada je jasno da A ne moze biti konacan, jer konacan skup ne moze

biti ekvipotentan, odnosno, ne moze imati isti broj elemenata sa svojim

pravim podskupom.





Primer 1. Skup N prirodnih brojeva je beskonacan.

Dokaz: Vec smo dokazali da je N ∼ Np, pri cemu je N N.



p

Primer 2. Skup R

realnih brojeva je beskonacan.

Dokaz: Skup R realnih brojeva je ekvipotentan sa svakim svojim

otvorenim intervalom.

Naime, neka je (a, b) proizvoljan otvoreni interval skupa realnih brojeva.

Kako je funkcija f (x) = tg x (funkcija tangens) bijekcija iz intervala

(−π, π) na R, to je R ∼ (−π, π).

Sa druge strane, prema Primeru 2.28-2 imamo da je (−π, π) ∼ (a, b),

pa imamo da je R ∼ (a, b).





Tvrdenje 1.2. Vazi sledece:

a) Svaki nadskup beskonacnog skupa je beskonacan.



b) Svaki podskup konacnog skupa je konacan.

c) Svaki skup ekvipotentan beskonacnom skupu je beskonacan.

d) Svaki skup ekvipotentan konacnom skupu je konacan.

Dokaz: a) Neka je A beskonacan skup i A ⊆ B.

Tada postoji pravi podskup C od A i bijekcija f : A → C .

Generalna ideja je da se f prosiri do bijekcije g : B → B.





Najjednostavniji nacin da se to uradi je da se uzme da je g(x) = x, za

svaki x ∈ B \ A, tj. da se g definise sa



g(x) =

f (x) ako je x ∈ A

x ako je x ∈ B \ A

Lako se proverava da je g bijekcija iz B na skup C ∪ (B \ A), koji jepravi podskup od B.

Time smo dokazali da je B beskonacan skup.





b) Ako je A konacan skup i B ⊆ A, tada i B mora biti konacan.

Naime, ako bi B bio beskonacan, tada bi i A morao biti beskonacan,



prema tvrdenju pod a).

Tvrdenja pod c) i d) se dokazuju jednostavno i ostavljaju se za vezbu.

Primer 3. Skup Z celih i skup Q racionalnih brojeva su beskonacni.

Dokaz: Prema prethodnom tvrdenju, kao nadskupovi beskonacnog

skupa N.





Tvrdenje 1.3. Dokazati da se dodavanjem jednog elementa konacnom

skupu ponovo dobija konacan skup.



Dokaz: Neka je A konacan skup, tj., A je ekvipotentan sa Nn, za

neki n ∈ N, i neka je f : A → Nn proizvoljna bijekcija.

Ako je skup B dobijen dodavanjem skupu A nekog novog elementa b,

tada je sa

g(x) =

f (x) ako je x ∈ A

n + 1 ako je x = b

definisana bijekcija iz A na skup Nn+1.

Ovim je dokazano da je B konacan skup.





Tvrdenje 1.4. Dokazati da se oduzimanjem jednog elementa beskonac-

nom skupu ponovo dobija beskonacan skup.



Dokaz: Ovo sledi neposredno iz prethodnog zadatka.

Naime, neka je A beskonacan skup i neka je B skup nastao iz A odu-

zimanjem jednog njegovog elementa a.

Tada mozemo da kazemo i da je A nastao dodavanjem elementa askupu B, pa ako bi B bio konacan, onda bi prema prethodnom zadatku

i A morao biti konacan.

Odavde zakljucujemo da B mora biti beskonacan skup.


Prebrojivi skupovi

Prebrojivi skupovi

Prebrojivi skupovi

Za skup A kazemo da je prebrojiv ako je ili konacan, ili je ekvipotentan

skupu N prirodnih brojeva.Skupove koji nisu prebrojivi zovemo neprebrojivim skupovima, a skupove



p j p j p j p , p

ekvipotentne skupu N prirodnih brojeva zovemo prebrojivo beskonacnim.

Ako je skup A prebrojivo beskonacan, tj. postoji bijekcija f : N → A,

onda obisno koristimo sledece oznake:

f (1) = a1, f (2) = a2, f (3) = a3, . . . , f (k) = ak

, . . .

pa skup A predstavljamo u obliku A = {a1, a2, . . . , ak, . . .}.

Drugim recima, elemente iz A smo nabrojali i svrstali u jedan besko-

nacan niz, odakle i potice naziv “prebrojiv skup”.

Slicno, konacan skup se moze zapisati u obliku A = {a1, a2, . . . ak},

za neki prirodan broj k.


Prebrojivi skupovi

Prebrojivi skupovi

Prebrojivi skupovi

Tvrdenje 1.5. Svaki beskonacan podskup prebrojivo beskonacnog sku-

pa je takode prebrojivo beskonacan.

Dokaz: Neka je B beskonacan podskup prebrojivo beskonacnog skupa



Dokaz: Neka je B beskonacan podskup prebrojivo beskonacnog skupa

A, gde A predstavljamo u obliku

A = {a1, a2, . . . , ak, . . .}.

Definisimo sada podskup skupa B (tj. podniz niza A) na sledeci nacin.

Neka je n1 najmanji prirodan broj takav da je an1 ∈ B. Ovim je

jednoznacno odreden element an1 ∈ B.

Potom uzimamo da je n2 najmanji prirodan broj takav da je

an2 ∈ B \ {an1},

cime smo odredili element an2 ∈ B.


Prebrojivi skupovi

Prebrojivi skupovi

Prebrojivi skupovi

Pretpostavimo sada da smo odredili skup {an1, an2, . . . , ank} eleme-

nata iz B.

T d j k B \ { } j j B b k ˇ



Tada je skup B \ {an1, an2, . . . , ank} neprazan, jer je B beskonacan

skup, pa postoji najmanji prirodan broj nk+1 takav da je

ank+1 ∈ B \ {an1, an2, . . . , ank},

cime smo odredili jos jedan element ank+1 ∈ B.

Na ovaj nacin je odreden beskonacan podskup

C = {an1, an2, . . . , ank , . . .}

skupa B, ciji su svi elementi medusobno razliciti.


Prebrojivi skupovi

Prebrojivi skupovi

Prebrojivi skupovi

Definisimo sada preslikavanje f : N → C sa f (k) = ank .

Tada je f bijekcija iz N na C , tj. N ≃ C .



Kako je, po pretpostavci, A ≃ N, to imamo da je A ≃ C , tj. A je

ekvipotentan sa podskupom C skupa B.

Sa druge strane, B je ekvipotentan sa podskupom B skupa A, pa

prema Sreder-Bernstajnovoj teoremi (koju cemo navesti nesto kasnije)

imamo da su i A i B ekvipotentni.

To na kraju povlaci da je B ekvipotentan sa N.

Tvrdenje 1.6. Svaki podskup prebrojivog skupa je prebrojiv.

Dokaz: Sledi iz prethodnog tvrdenja.


Prebrojivi skupovi

Prebrojivi skupovi

Prebrojivi skupovi

Tvrdenje 1.7. Svaki beskonacan skup sadrzi prebrojivo beskonacan

podskup.



Dokaz: Neka je A proizvoljan beskonacan skup.

Formirajmo niz {ak}k∈N elemenata iz A na sledeci nacin.

Najpre uzimamo proizvoljno a1 ∈ A.

Ukoliko su vec odredeni elementi a1, a2, . . . , ak, za neko k ∈ N, tada

uzimamo da je ak+1 ∈ A \ {a1, a2, . . . , ak} proizvoljan element.

Takav element postoji jer je A = {a1, a2, . . . , ak}, zbog pretpostavkeda je A beskonacan skup.


Prebrojivi skupovi

Prebrojivi skupovi

Prebrojivi skupovi

Na ovaj nacin smo formirali beskonacan podskup

A′ = {a1, a2, . . . , ak, . . .}



skupa A.

Njegovi elementi su, prema svojoj definicji, medusobno razliciti, pa

funkcija f : N → A′ definisana sa f (k) = ak je bijekcija iz N na A′.

Prema tome, A′ je prebrojivo beskonacan podskup od A.


Prebrojivi skupovi

Prebrojivi skupovi

Prebrojivi skupovi

Tvrdenje 1.8. Unija prebrojivo beskonacnog skupa i konacnog skupa

je prebrojivo beskonacan skup.



Dokaz: Neka je A prebrojivo beskonacan a B konacan skup.

Pretpostavimo najpre da su A i B disjunktni skupovi.

Predstavimo skupove A i B u obliku

A = {a1, a2, . . . , ak, . . .} i B = {b1, b2, . . . , bn},

za neki n ∈ N, i definisimo preslikavanje f : N → A ∪ B sa

f (k) =

bk ako je k n

ak−n ako je k n.


Prebrojivi skupovi

Prebrojivi skupovi

Prebrojivi skupovi

To znaci da elemente iz skupa A ∪ B nabrajamo tako sto najpre nabra-

jamo sve elemente iz konacnog skupa B, a potom nastavljamo sa nabrajanjem elemenata iz A.



1 2 . . . n n + 1 n + 2 n + 3 . . .

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

b1 b2 . . . bn a1 a2 a3 . . .

Neposredno se proverava da je f bijekcija iz N na A ∪ B, sto znaci da je A ∪ B prebrojivo beskonacan skup.

Sa druge strane, ako A i B nisu disjunktni, stavimo da je C = B \ A.

Tada su A i C disjunktni, A ∪ B = A ∪ C i C je konacan, pa pre-

ma dokazanom u prethodnom slucaju, A ∪ B = A ∪ C je prebrojivo

beskonacan skup.


Prebrojivi skupovi

Prebrojivi skupovi

Prebrojivi skupovi

Tvrdenje 1.9. Unija dva prebrojivo beskonacna skupa je prebrojivo

beskonacan skup.



Dokaz: Neka su A i B dva prebrojivo beskonacna skupa. Dokaza-

cemo da je A ∪ B takode prebrojivo beskonacan skup.

Razmotrimo najpre slucaj kada su A i B disjunktni skupovi.

Kako su A i B prebrojivo beskonacni, to postoje bijekcije f : N ∼ A ig : N ∼ B.

Definisimo funkciju h : N

→ A ∪ B na sledeci nacin

f (n) =

ak ako je n = 2k − 1, za neki k ∈ N

ak ako je n = 2k, za neki k ∈ N




Prebrojivi skupovi

Prebrojivi skupovi

Prebrojivi skupovi

Sa druge strane, ukoliko A i B nisu disjunktni, tada stavljamo da je

C = B \ A, pa dobijamo da je A ∪ B = A ∪ C , pri cemu su A i C

disjunktni i C je ili konacan ili prebrojivo beskonacan skup.



Ukoliko je C konacan, tada primenjujemo tvrdenje iz prethodnog za-datka, a ako je C prebrojivo beskonacan, tada primenjujemo prvi slucaj

u ovom zadatku.

U oba ova slucaja dobijamo da je A∪B prebrojivo beskonacan skup.


Prebrojivi skupovi

Prebrojivi skupovi

Prebrojivi skupovi

Tvrdenje 1.10. Unija konacno mnogo prebrojivo beskonacnih skupova

je prebrojivo beskonacan skup.



Dokaz: Dokazuje se indukcijom po broju clanova unije, koristeci

prethodno tvrdenje.

Primer 4. Skup Z celih brojeva je prebrojivo beskonacan.

Dokaz: Sledi iz cinjenice da su skup svih pozitivnih celih brojeva Z+ i

skup svih negativnih celih brojeva Z−

prebrojivi, jer su ekvipotentni saN, i Z = Z+ ∪ Z− ∪ {0}.


Prebrojivi skupovi

Prebrojivi skupovi

Prebrojivi skupovi

Primer 5. Skup N × N je prebrojivo beskonacan.

Dokaz: Definisimo preslikavanje f : N × N → N sa

f (a b) = 2a−1 · (2 · (b − 1) + 1)



f (a, b) = 2 · (2 · (b − 1) + 1).

Da bi dokazali njegovu injektivnost, uzmimo da je f (a, b) = f (c, d),za neke a, b, c, d ∈ N, odnosno

(1) 2a−1 · (2 · (b − 1) + 1) = 2c−1 · (2 · (d − 1) + 1).

Ako je a c i ako podelimo jednakost (1) sa 2c−1, dobijamo da je

2a−c · (2 · (b − 1) + 1) = 2 · (d − 1) + 1.

Sa desne strane je neparan broj, odakle sledi da mora biti a = c.

Slicno, i u slucaju c a dobijamo da je a = c.


Prebrojivi skupovi

Prebrojivi skupovi

Prebrojivi skupovi

Dalje, iz a = c, skracivanjem jednakosti (1) dobijamo

2 · (b − 1) + 1 = 2 · (d − 1) + 1,

sto povlaci b = d.



sto povlaci b d.

Dakle, dobili smo da je (a, b) = (c, d), cime smo dokazali da f injekcija.Da bi dokazali da je f sirjektivno preslikavanje, razmotrimo proizvoljan

prirodan broj n. Neka je 2k najveci stepen broja 2 koji deli n (ako je

n neparan, tada je k = 0).

Tada se n moze zapisati u obliku n = 2k · m, gde je m neparan broj,

tj. m = 2 · r + 1, za neki r ∈ N0 = 0.

Prema tome, n = 2k · (2 · r + 1), pa je f (k + 1, r + 1) = n.

Time smo dokazali da je f sirjektivno preslikavanje.


Prebrojivi skupovi

Prebrojivi skupovi

Prebrojivi skupovi

Primer 6. Skup Q racionalnih brojeva je prebrojivo beskonacan.

Dokaz: Najpre uocavamo da je Q+ ∼ N × N, gde je Q+ skup svih

pozitivnih racionalnih brojeva.



pozitivnih racionalnih brojeva.

To je stoga sto se a ∈ Q+ moze na jedinstven nacin predstaviti uobliku razlomka a = p/q, gde su p, q ∈ N uzajamno prosti brojevi, tj.

u obliku neskrativog razlomka.

Dakle, prema prethodnom primeru, Q+ ∼ N.

Takode, Q+ ∼ Q−, gde je Q− skup negativnih racionalnih brojeva, pa

je Q−

∼ N.Konacno, Q = Q+∪Q−∪{0}, odakle sledi da je Q prebrojivo beskonacan.


Neprebrojivi skupovi



Skupovi N, Z i Q su bili primeri prebrojivo beskonacnih skupova.

Sada dajemo primere i neprebrojivih skupova, i dokazacemo da je skup

R realnih brojeva upravo takav.



To cinimo tako sto najpre dokazujemo da je neprebrojiv otvoreni interval(0, 1) skupa realnih brojeva.

Tvrdenje 1.11. Interval (0, 1) skupa realnih brojeva je neprebrojiv.

Dokaz: Najpre primecujemo da proizvoljan realan broj x ∈ (0, 1) ima

decimalni zapis oblika x = 0.x1x2x3 . . ., gde su xk ∈ {0, 1, 2, . . . , 9},

ali takav zapis ne mora biti jedinstven.

Na primer, 1/4 = 0.2500000 . . . i 1/4 = 0.249999 . . ..





Da bi se dobio jedinstven zapis, dogovoricemo se da se svaki broj koji

ima konacan broj k nenula decimala (racionalan broj), umesto u obliku

0.x1x2 . . . xk0000 . . .



predstavi u obliku0.x1x2 . . . x′

k9999 . . .

gde je x′k

= xk − 1.

Drugim recima, zadnja nenula decimala se smanjuje za 1 a umesto nula

koje idu za njom se ubacuju devetke.

Brojevi zapisani na taj nacin imaju jedinstven zapis, sto znaci da ako je x = 0.x1x2x3 . . . i y = 0.y1y2y3 . . ., pri cemu je xk = yk, bar za

jedno k ∈ N, tada je x = y.





Pretpostavimo sada da je interval (0, 1) prebrojiv, tj. da se moze pred-

staviti u obliku niza {x1, x2, x3, . . . , xk, . . .}.

Svaki element iz ovog niza ima decimalni zapis napravljen u skladu sa



prethodno donetim dogovorom, pa imamo sledecu semu

x1= 0,a11a12a13. . . a1n. . .

x2= 0,a21a22a23. . . a2n. . .

x3= 0,a31a32a33. . . a3n. . ....

. . .xn= 0,an1an2an3. . .ann. . .

..

.

. ..

Uocimo niz brojeva na dijagonali: a11, a22, a33, . . . , ann, . . .





Formirajmo sada broj x sa decimalnim zapisom

x = 0, a1a2a3 . . . an . . . ,

gde je



gde je

ak =

5 ako je akk = 5

1 ako je akk = 5

Ovaj broj se ne nalazi u gornjoj semi, jer je an = ann, za svaki n ∈ N,pa je x = xn, za svaki n ∈ N.

Medutim, x ∈ (0, 1), pa smo dobili kontradikciju.

Na osnovu svega ovog zakljucujemo da je bila pogresna pretpostavka

da je (0, 1) prebrojiv, pa zakljucujemo da je (0, 1) neprebrojiv.





Metod koriscen u prethodnom dokazu poznat je pod nazivom Kantorov

dijagonalni postupak.

Kantor je, inace, i prvi dokazao prethodno tvrdenje, pa se ono naziva i



Kantorova teorema.

Kako je, kao sto smo ranije dokazali, skup R realnih brojeva ekvipoten-

tan svakom svom otvorenom intervalu, to dobijamo sledece tvrdenja,

koje zapravo predstavlja glavni rezultat ovog poglavlja.

Tvrdenje 1.12. Skup R realnih brojeva je neprebrojiv.

Dokaz: Sledi iz prethodnog tvrdenja.





Primer 7. Skup I iracionalnih brojeva je neprebrojiv.

Dokaz: Skup R realnih brojeva se moze napisati u obliku R = Q ∪ I.



Kako je Q prebrojivo beskonacan, to bi eventualna prebrojiva besko-

nacnost skupa I povukla za sobom i prebrojivu beskonacnost skupa R,

sto, kao sto smo dokazali, nije slucaj.

Prema tome, I ne moze biti prebrojivo beskonacan.


Kardinalni broj skupa



Neka je svakom skupu A pridruzen objekat, oznacen sa |A| (ili card A),

tako da su zadovoljeni sledeci uslovi:

(i) |A| = 0 ako i samo ako je A = ∅.



(ii) Ako je A neprazan konacan skup i A ≃ Nk, za neko k ∈ N, tada je |A| = k.

(iii) Ako su A i B proizvoljni skupovi, tada je |A| = |B| ako i samo ako

je A ≃ B.

U tom slucaju |A| nazivamo kardinalnim brojem (”glavni broj”), kardi-

nalom ili kardinalnoscu skupa A.Kardinalne brojeve konacnih skupova nazivamo konacnim kardinalima,

a kardinalne brojeve beskonacnih skupova transfinitnim kardinalima.





Kardinalni broj konacnog skupa jednak je broju njegovih elemenata.

Odatle se vidi da je pojam kardinalnog broja skupa u stvari prosirenje

pojma broja elemenata skupa.



Kardinalni broj skupa A zapravo jeste klasa svih skupova koji su ekvi-

valentni sa A.

Kardinalni broj skupa N prirodnih brojeva oznacava se sa ℵ0 (cita se

alef nula – to je prvo slovo hebrejske azbuke).

Ocito, ako je A proizvoljan prebrojiv skup, onda je |A| = ℵ0.

Kardinalni broj skupa realnih brojeva naziva se kontinuum i oznacavase sa c.

Za svaki skup koji je ekvivalentan sa R kaze se da ima moc kontinuuma.


Ure ¯denje kardinalnih brojeva



Neka su A i B skupovi.

Za kardinalni broj |A| skupa A kazemo da je manji ili jednak kardinal-

nom broju |B| skupa B, ako je skup A ekvipotentan nekom podskupu

d B tj k t ji i j k ij i A B



od B, tj. ako postoji injekcija iz A u B.

To simbolicki oznacavamo sa |A| |B|,

Ako je |A| |B| i |A| = |B|, tada pisemo |A| < |B|, i kazemo da je

kardinalni broj |A| strogo manji od kardinalnog broja |B|.

Ako je |A| |B|, tada takode pisemo i |B| |A|, i kazemo da je

kardinalni broj |B| veci ili jednak kardinalnom broju |A|.

Ako je |A| < |B|, tada pisemo i |B| > |A| i kazemo da je kardinalni

broj |B| strogo veci od kardinalnog broja |A|.





Tvrdenje 1.13. Neka su A, B i C proizvoljni skupovi. Tada vazi:

(1) A A.

(2) A B ∧ B A ⇒ A ∼ B.



( )

(3) A B ∧ B C ⇒ A C .

Dokaz: (1) Sledi iz cinjenice da je A ∼ A.

(3) Sledi iz cinjenice da je kompozicija dve injekcije takode injekcija.

Dokaz tvrdenja (2) je prilicno komplikovan, pa ce biti izostavljen.

Tvrdenje (2) je poznato kao Sreder-Bernstajnova teorema.

Na primer, |N| < |R|.





Tvrdenje 1.14. (Kantorova teorema) Za proizvoljan skup A je

|A| < |P (A)|.



Dokaz: Ako je A = ∅, tada je |∅| = 0 < 1 = |P (∅)|.

Uzmimo dalje da je A = ∅.

Tada preslikavanje g : A → P (A) definisano sa g(a) = {a} je injekcijaiz A u P (A), pa je |A| |P (A)|.

Preostaje da se dokaze da je |A| = |P (A)|.

Pretpostavimo suprotno, da postoji bijekcija f : A → P (A).





Razmotrimo skup S = {a ∈ A | a /∈ f (a)}.

Kako je S ∈ P (A) i f je bijekcija, to postoji element e ∈ A takav da

je f (e) = S .



Za takvo e imamo dve mogucnosti: e ∈ S i e /∈ S .

Ako je e ∈ S , onda e /∈ f (e) = S , a ako e /∈ S , onda je e ∈ f (e) = S ,

oba puta prema definiciji skupa S .

Dakle, dobili smo kontradikciju, pa zakljucujemo da ne postoji bijekcija

iz A na P (A), sto znaci da je |A| < |P (A)|.


Sabiranje kardinalnih brojeva



Neka je a = |A| i b = |B|.

Kako bi smo definisali zbir a + b?

Kakav je slucaj kod konacnih kardinala?



Ako je m = |A| i n = |B|, sta je onda m + n?

Odgovor je: m + n = |A ∪ B|, ali samo ako su A i B disjunktni.

Prema tome, uzimamo da je a+b

def

= |A ∪ B|, gde su A i B disjunktniskupovi takvi da je a = |A| i b = |B|.

Ukoliko A i B nisu disjunktni, onda jedan od njih uvek mozemo zameniti

ekvipotentnim skupom koji je disjunktan sa drugim.

Na primer, mozemo zameniti B sa B × {1}, koji je disjunktan sa A.





Da li je ova definicija dobra?

Ovo pitanje znaci: ako imamo drugi par A′, B′ disjunktnih skupova,

takav da je a = |A′| i b = |B′|, da li ce onda biti i |A∪B| = |A′∪B′|?



Odgovor na ovo pitanje je pozitivan – definicija je dobra.

Zadatak: Dokazati da iz |A| = |A′| i |B| = |B′| sledi

|A ∪ B| = |A′ ∪ B′|.


Množenje kardinalnih brojeva



Ako je a = |A| i b = |B|, kako definisati proizvod a · b?

Kakvu sugestiju pruza slucaj konacnih kardinala?

Ako je m = |A| i n = |B|, koji skup, dobijen nekim operacijama iz



skupova A i B, ima kardinalnost m · n? Naravno, skup A × B!

Dakle, uvodimo definiciju ab def = |A × B|, gde su A i B skupovi takvi

da je a = |A| i b = |B|.

Ova definicija je dobra, jer vazi

|A| = |A′| ∧ |B| = |B′| ⇒ |A × B| = |A′ × B′|.

Zadatak: Dokazati ovu implikaciju.


Stepenovanje kardinalnih brojeva



Ako je a = |A| i b = |B|, kako definisati stepen ba?

Kakvu sugestiju ovde pruza slucaj konacnih kardinala?

Ako je m = |A| i n = |B|, koji skup, dobijen nekim operacijama iz

skupova A i B ima m elemenata?



skupova A i B, ima nm elemenata?

Odgovor je: nm elemenata ima skup BA svih preslikavanja iz A u B!

Motivisano time, definisemo ba def = |BA|, gde su A i B skupovi takvi

da je a = |A| i b = |B|.

Ova definicija je dobra, jer vazi

|A| = |X | ∧ |B| = |Y | ⇒ |BA| = |Y X|.

Zadatak: Dokazati ovu implikaciju.





Tvrdenje 1.15. Za proizvoljan skup A je |P (A)| = {0, 1}|A|.

Dokaz: Neka je B = {0, 1}.



Proizvoljnom podskupu E skupa A pridruzujemo preslikavanje

χE : A → B

definisano na sledeci nacin:

χE(a) =

1 ako je a ∈ E

0 ako a /∈ E .

To preslikavanje se naziva karakteristicna funkcija skupa E .





Dokazacemo da preslikavanje

χ : E → χE

jeste bijekcija iz P (A) na BA.



Neka je χE = χF , za neke E, F ∈ P (A).

Ako je a ∈ E , tada χE(a) = 1, odakle sledi da je χF (a) = 1, jer je

χE = χF , sto znaci da je a ∈ F .Prema tome, dokazali smo da je E ⊆ F .

Na potpuno isti nacin dobijamo da je F ⊆ E , cime smo dokazali da je

E = F .

Dakle, χ je injektivno preslikavanje.





Da bi smo dokazali da je χ sirjektivno preslikavanje, uocimo proizvoljan

element f ∈ BA, tj. neko preslikavanje f : A → B.

Neka je E = {a ∈ A | f (a) = 1}.



Neposredno se proverava da je f = χE, cime smo dokazali da je χsirjektivno preslikavanje.

Sumirajuci ono sto smo do sada dokazali zakljucujemo da je χ bijekcijaiz P (A) na BA, tj. da je |P (A)| = |BA| = {0, 1}|A|.





Tvrdenje 1.16. 2ℵ0 = c.

Dokaz: Neka je f : R → P (Q) preslikavanje definisano sa

f (a) = {x ∈ | x < a} za proizvoljno a ∈



f (a) = {x ∈ Q

| x < a}, za proizvoljno a ∈ R

.

Ovo preslikavanje je injektivno.

Naime, ako su a, b ∈ R razliciti brojevi, recimo a < b, tada postoji

q ∈ Q takav da je a < q < b, jer je skup Q svuda gust podskup od R.

Prema tome,

f (a) = {x ∈ Q | x < a} ⊂ {x ∈ Q | x < b} = f (b),

pa f (a) = f (b). Dakle, f je doista injektivno preslikavanje.





Ovim smo dokazali da je

c |P (Q)| = 2|Q| = 2ℵ0,

jer je, kao sto smo ranije dokazali, Q ∼ N, tj. |Q| = ℵ0.



Obratno, neka je

F : {0, 1}N → R

preslikavanje definisano na sledeci nacin: Za proizvoljno α ∈ {0, 1}N

,tj. za proizvoljno preslikavanje α : N → {0, 1}, neka je

F (α) = 0.α1α2 . . . αk . . . ,

gde je αk = α(k) i ovaj zapis je decimalni zapis realnog broja (ne

binarni, iako se javljaju samo dve cifre).





Za razlicite α, β ∈ {0, 1}N imamo da su decimale koje odreduju brojeve

F (α) i F (β) razlicite, sto znaci da je F (α) = F (β).

Ovim smo dokazali da je F injekcija iz {0, 1}N u R, pa je

ℵ N



2ℵ0

= |{0, 1}N

| |R| = c.

Dakle, dokazali smo da je 2ℵ0 = c.




Zadatak predikatske logike



Iskazna logika se bavi recenicama kao celinama, i ne zalazi u njihovu

unutrasnju strukturu, ne razlikuje njihove posebne elemente.

Zbog toga se pomocu iskaznih formula ne moze izraziti sve ono sto

inace izrazavamo u matematici.



Na primer, iskaznom formulom se ne moze izraziti

”postoji element u skupu X koji nije u skupu Y ”.

Za simbolicko izrazavanje takvih recenica ocito nisu dovoljni samo

iskazna slova i iskazni veznici.

Pored toga, postoje primeri logicke argumentacije koji izgledaju savrseno

ispravni, ali se ne mogu izraziti koriscenjem iskazne logike.

Matematicka logika – 2 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 2 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 2 – Predikatska logika - I deo




Primer 1:

1. Svi macori imaju repove.

2. Tom je macor.



Iz ovih dveju recenica trebalo bi da smo u stanju da zakljucimosledece:

3. Tom ima rep.

Da bi pokazali da je ova argumentacija ispravna, moramo biti u stanju

da identifikujemo individue, kao sto je Tom, zajedno sa njihovim svo-

jstvima i predikatima.

To je zadatak predikatske logike.





Generalno, predikati se koriste da se opisu izvesna svojstva i odnosi

izmedu individua i objekata.

Primer 2: U ”Petar i Marko su braca”, izraz ”su braca” je predikat.



Entiteti povezani na ovakav nacin, kao sto su ”Petar” i ”Marko”, nazi-

vaju se termi.

Naziv ”term” bi se mogao prevesti kao ”izraz”.Medutim, kako se pojam ”izraz” ovde koristi u opstijem i neformalnom

smislu, to se kod nas naziv ”term” odomacio bas u takvom obliku.

U predikatskoj logici termi igraju ulogu slicnu onoj koju u prirodnom

jeziku igraju imenice i zamenice, a predikati ulogu slicnu glagolima.





Pored terma i predikata, u predikatskoj logici koriste se i kvantifikatori

ili kvantori.

Njihova uloga je da naznace koliko cesto je neko tvrdenje tacno.



Univerzalni kvantifikator se koristi da naznaci da je tvrdenje uvek tacno.Sa druge strane, egzistencijalni kvantifikator se koristi da naznaci da je

tvrdenje ponekad tacno.

Primer 3: U ”Svi macori imaju repove”, recju ”svi” istice se da je

tvrdenje ”macori imaju repove” univerzalno tacno.





Predikatska logika je uopstenje iskazne logike.

Zbog toga, pored terma, predikata i kvantifikatora, jezik predikatske

logike sadrzi i iskazne promenljive, konstante i veznike.



Znacajnu ulogu igraju i funkcije, koje su kljucne kada se razmatraju jednacine.


Predikatska logika u Informatici



Predikatska logika predstavlja osnovu jezika logickog programiranja,

kakav je Prolog.

Predikatska logika se sve vise korisiti u specificiranju zahteva racu-

narskih aplikacija.



p j

U oblasti verifikacije korektnosti programa, predikatska logika omo-

gucava da se precizno utvrdi pod kakvim uslovima program daje

korektan izlaz.


Domen

Domen

Domen

Primer 4: Razmotrimo sledecu argumentaciju:

1. Marija je Petrova majka.

2. Marija je Markova majka.



3. Svake dve muske osobe koje imaju istu majku su rodena braca.

4. Petar i Marko su rodena braca.

Medutim, istinitist tvrdenja ”Marija je Petrova majka” moze se proce-

niti samo unutar odredenog konteksta.

Postoji puno osoba koje se zovu Marija i Petar, i bez preciznijih informa-cija tvrdenje se odnosi na mnogo razlicitih ljudi, sto ga cini visesmislenim.


Domen

Domen

Domen

Da bi se sprecile takve visesmislenosti uvodi se sledeci pojam:

Domen ili univerzum razmatranja je kolekcija svih osoba, ideja,

simbola, struktura podataka, itd., na koje se odnosi logicka argu-

mentacija koju razmatramo.



U ranijem primeru o Mariji, Petru i Marku, visesmislenost se moze

izbeci ako domen ogranicimo na osobe koje zive u odredenoj kuci,

stambenoj zgradi i slicno.

Mnoge argumentacije ukljucuju brojeve, i u takvim slucajevima moramo

precizirati da li je domen skup prirodnih, celih, racionalnih, realnih ilikompleksnih brojeva.


Domen

Domen

Domen

Istinitost tvrdenja moze zavisiti od domena koji smo izabrali.

Na primer, tvrdenje ”postoji najmanji broj” je tacno ako je domen skup

prirodnih brojeva, ali nije tacno ako je domen skup celih brojeva.



Elemente domena nazivamo individue.

Individua moze biti osoba, broj, struktura podataka, ili bilo sta drugo

sto zahteva da se o njemu rasuduje.

Da bi se izbegao trivijalan slucaj, dogovoricemo se da svaki domen mora

da sadrzi bar jednu individuu. Umesto naziva ”individua” ponekad se koristi naziv objekat.


Domen

Domen

Domen

Da bi uputili na izvesnu konkretnu individuu ili objekat, koristimo

identifikatore koje nazivamo individualne konstante.

Ako se domen sastoji od osoba, individualne konstante mogu biti nji-

h i



hova imena.

U slucaju prirodnih brojeva, individualne konstante su cifre koje pred-

stavljaju te brojeve.

Svaka individualna konstanta mora jednoznacno da identifikuje jednu

konkretnu individuu, i nijednu drugu.


Predikati

Predikati

Predikati

Generalno, predikatima se izrazavaju tvrdenja o individuama, kao u

– ”Petar i Marko su rodena braca”.

– ”Ana je Markova majka”.

”T j ˇ k”



– ”Tom je macak”.

– ”Zbir brojeva 2 i 3 je 5”.

U ovim primerima individue smo oznacili plavom bojom.

U svakom od ovih tvrdenja postoji lista individua, koja je zadata listom

argumenata, zajedno sa frazama koje opisuju izvesna svojstva ili relacije

izmedu individua navedenih u listi argumenata.

Ta svojstva ili relacije nazivamo predikatima.


Predikati

Predikati

Predikati

U tvrdenju ”Petar i Marko su rodena braca” lista argumenata sa satoji

od ”Petar” i ”Marko”, tim redom, dok je predikat opisan frazom ”surodena braca”.

Slino, tvrdenje ”Tom je macak” ima listu argumen ata sa samo jednim



elementom ”Tom”, a predikat je opisan sa ”je macak”.

Elemente liste argumenata nazivamo argumentima.

Argumenti mogu biti ili promenljive, ili individualne konstante, ali posto

jos uvek nismo govorili o promenljivim, zadrzacemo nasu paznju samo

na slucajeve kada su svi argumenti individualne konstante.


Predikati

Predikati

Predikati

U predikatskoj logici, svaki predikat je zadat svojim imenom, za kojim

sledi lista argumenata, koja je ogradena malim zagradama.

Na primer, da bi izrazili tvrdenje ”Ana je Markova majka” mozemo

izabrati identifikator, recimo ”majka” da izrazi predikat ”je majka od”,

k ˇ ´ i i jk (A M k )



tako sto cemo pisati majka(Ana, M arko).

Da bi pojednostavili pisanje, najcesce koristimo samo jedno slovo kao

ime predikata ili konstante.

Tako umesto majka(Ana, M arko) mozemo pisati M (a, m), gde je

M ime predikata ”je (cija) majka”, dok su a i m imena individualnih

konstanti ”Ana” i ”Marko”.


Predikati

Predikati

Predikati

Primetimo da je redosled argumenata izuzetno bitan.

Na primer, predikati majka(Ana, M arija) i majka(M arija, Ana)

imaju potpuno drugaciji smisao, dok za predikat majka(M arko, Ana)

mozemo cak reci i da je besmislen.



Broj elemenata u listi argumenata nazivamo arnost ili duzina predikata.

Na primer, predikat majka(Ana, M arko) ima arnost 2.

Arnost predikata je fiksirana. Na primer, isti predikat ne moze imati

dva argumenta u jednom slucaju, a tri argumenta u drugom slucaju.

Predikati sa razlicitom arnoscu su razliciti.


Predikati

Predikati

Predikati

Ilustrujmo ovo sledecim primerom:

Suma brojeva 2 i 3 je 5.

Suma brojeva 2, 3 i 4 je 9.

Da bi ovo izrazili na jeziku predikatske logike mozemo koristiti dva



Da bi ovo izrazili na jeziku predikatske logike, mozemo koristiti dva

imena predikata, na primer ”zbir2” i ”zbir3”, cime dobijamo predikate

zbir2(2, 3, 5) i zbir3(2, 3, 4, 9).

Druga mogucnost je da, jedn ostavnosti radi, za oba ova predikata

koristimo isto ime, na primer zbir, pri cemu implicitno podrazumevamo

da su zbir(2, 3, 5) i zbir(2, 3, 4, 9) razliciti predikati.


Predikati

Predikati

Predikati

Predikat arnosti n nazivamo n-mestni predikat.

Jednomestan predikat nazivamo svojstvo.

Drugim recima, arnost predikata se moze shvatiti kao broj mesta u

zapisu predikata na koja se stavljaju odgovarajuci argumenti



zapisu predikata na koja se stavljaju odgovarajuci argumenti.

Primer 5:

U ”Tom je macak” imamo da ”je macak” jeste jednomestan predikat,

tj. svojstvo.

U ”Ana je Markova majka” predikat ”je majka od” je dvomestan.

U ”Suma brojeva 2 i 3 je 6” predikat ”je suma brojeva” je tromestan.


Atomicne formule

Atomicne formule

Atomicne formule

Ime predikata, praceno listom argumenata u zagradama, nazivamo

atomicnom formulom.

Atomicne formule mogu se kombinovati pomocu logickih veznika, poput

iskaza odnosno iskaznih formula



iskaza, odnosno iskaznih formula.

Na primer, ako su cat(T om) i hastail(T om) dve atomicne formule,

kojima je izrazeno da je Tom macak, odnosno da ima rep, onda mozemo

formirati slozenu formulu

cat(T om) ⇒ hastail(T om)

koja izrazava tvrdenje da ako je Tom macak, onda on ima rep.


Atomicne formule

Atomicne formule

Atomicne formule

U slucaju kada su svi argumenti predikata individualne konstante, sto

je jedini tip predikata koje smo do sada razmatrali, tada rezultujucaatomicna formula mora biti ili tacna ili netacna.

To je deo definicije predikata.



Na primer, ako se domen sastoji od individua Dejan, Ana, Marko i

Petar, tada za svaki uredeni par individua treba da znamo da li je na

tom paru dvomestni predikat ”je majka od” tacan ili ne.

To moze biti uradeno u obliku tabele.

Metod koji svim mogucim kombinacijama individua predikata pridruzujeistinitosne vrednosti naziva se dodeljivanje.


Atomicne formule

Atomicne formule

Atomicne formule

Na primer, sledeca tabela je dodeljivanje za predikat ”je majka od”.

Dejan Ana Marko Petar

Dejan 0 0 0 0

A 0 0 1 1



Ana 0 0 1 1

Marko 0 0 0 0

Petar 0 0 0 0


Atomicne formule

Atomicne formule

Atomicne formule

Drugi primer dodeljivanja je sledeci.

Domen se sastoji od brojeva 1, 2, 3 i 4, a predikat ”veci” je tav can

ako je prvi argument veci od drugog argumenta.

Na primer, predikat veci(4, 3) je tacan, a predikat veci(3, 4) je netacan.



Prema tome, dodeljivanje za predikat ”veci” je

1 2 3 41 0 0 0 0

2 1 0 0 0

3 1 1 0 0

4 1 1 1 0


Atomicne formule

Atomicne formule

Atomicne formule

U slucaju konacnog domena, dodeljivanja za n-arne predikate mogu se

predstaviti n-dimenzionalnim nizovima.

Primetimo i da matematicke relacije <, , > i jesu predikati.

Ipak te predikate obiv cno pisemo u infiks notaciji pod cime po-



Ipak, te predikate obiv cno pisemo u infiks notaciji, pod cime po

drazumevamo da su znaci kojima ih oznacavamo smesteni izmedu ar-

gumenata, a ne ispred argumenata.

Na primer, da bi smo izrazili da je 2 vece od 1, radije pisemo 2 > 1

nego > (2, 1).


Promenljive

Promenljive

Promenljive

Cesto se ne zeli da se kao argumenti atomicnih formula razmatraju kon-

kretne individue. U takvim prilikama, umesto individualnih konstantikoriste se promenljive.

Za oznacavanje promenljivih najcesce se koriste poslednja slova latinic-

nog alfabeta: x, y i z, sa ili bez donjih indeksa.



nog alfabeta: x, y i z, sa ili bez donjih indeksa.

Primer 6:

cat(x) ⇒ hastail(x)

dog(y) ∧ brown(y)

grade(x) ⇒ (x = 0) ∧ (x 100)

Prva i treca formula sadrze promenljivu x, a druga promenljivu y.


Promenljive

Promenljive

Promenljive

Kao i u iskaznom racunu, formulama mozemo dati imena.

Na primer, mozemo definisati A sa

A = cat(x) ⇒ hastail(x)

Gledano sa aspekta sintakse promenljive je moguce koristiti na svim



Gledano sa aspekta sintakse, promenljive je moguce koristiti na svim

mestima na kojima je dozvoljeno koristiti individualne konstante.

Prema tome, pojam ”term” se koristi da predstavi ilikonstantu, ilipromenljivu.

Uopsteno govoreci, term je bilo sta sto se moze koristiti umesto indi-

vidua.


Promenljive

Promenljive

Promenljive

Cesto se javlja potreba da se sva pojavljivanja neke konkretne promenljive

u formuli zamene termom.Na primer, u izrazu cat(x) ⇒ hastail(x) moze se javiti potreba da

se sva pojavljivanja promenljive x zamene termom T om, sto daje

(T ) h il(T )



cat(T om) ⇒ hastail(T om).

Neka je sa A oznacena formula, sa x promenljiva a sa t term. Tada saS xt

A oznacavamo formulu dobijenu zamenom svih pojavljivanja promen-

ljive x u formuli A termom t.

S xt

A se naziva instancijacija formule A, a za t se kaze da je instanca

promenljive x.


Promenljive

Promenljive

Promenljive

Primer 7: Neka su a, b i c individualne konstante, neka su P i Q

jednomestni predikati i neka su x

i y

promenljive. Tada: S x

a(P (a) ⇒ Q(x)) = P (a) ⇒ Q(a);

S ya

(P (y) ∨ Q(y)) = P (a) ∨ Q(a);

Sy(Q( )) Q( )



S ya

(Q(a)) = Q(a);

S ya

(P (x) ⇒ Q(x)) = P (x) ⇒ Q(x).

S Xt

je zapravo operacija koja se moze vrsiti nad predikatima.


Kvantifikatori

Kvantifikatori

Kvantifikatori

Razmotrimo sledeca tri tvrdenja:

Sve macke imaju repove.

Neki ljudi vole sirovo meso.

Svako mora jednom da se odmori.



j

Sva ova tvrdenja ukazuju na to koliko cesto su neke stvari tacne.

U predikatskoj logici se za takve potrebe koriste kvantifikatori:

univerzalni kvantifikator

egzistencijalni kvantifikator


Univerzalni kvantifikator



Neka A predstavlja formulu a x promenljivu.

Ako zelimo da ukazemo da je formula A tacna za sve moguce vrednostipromenljive x, onda pisemo

(∀x)A ili ∀x A,



( )pri cemu kazemo sledece:

(∀x)A je univerzalni kvantifikator; formula A je oblast dejstva ovog kvantifikatora;

promenljiva x je vezana ovim kvantifikatorom;

simbol ∀ citamo ”za svaki”, ”za svaku”, ”za svako” ili ”za sve”.





Kvantifikator i vezana promenljiva koja sledi treba da se tretiraju kao

celina, i ta celina deluje poput unarnog veznika.Tvrdenja koja sadrze reci ”svaki”, ”svako”, ”svi”, ”bilo koji”, ”ma koji”

i slicno, obicno ukazuju na univerzalnu kvantifikaciju.

Takva tvrdenja se mogu preformulisati tako da pocnu sa ”za svaki x”



Takva tvrdenja se mogu preformulisati tako da pocnu sa za svaki x ,

sto se potom prevodi u ∀x.

Na primer, neka je T ranije razmatrani predikat ”imati rep”. Tada je

sa T (x) oznaceno tvrdenje ”x ima rep”.

Prema tome, tvrdenje ”svaka macka ima rep” se moze izraziti sa(∀x)T (x).





Naravno, ovde se podrazumevalo da domen, gde promenljiva x uzima

svoje vrednosti, jeste kolekcija macaka.Medutim, ako domen nismo tako odredili, onda moramo da uvedemo

i predikat C : ”biti macka”, odnosno C (x): ”x je macka”, i onda se

”svaka macka ima rep” se moze izraziti sa



(∀x)(C (x) ⇒ T (x)).

U ovom slucaju formula A, tj. oblast dejstva kvantifikatora, je

A = C (x) ⇒ T (x).


Egzistencijalni kvantifikator



Neka A predstavlja formulu a x promenljivu.

Ako zelimo da ukazemo da je formula A tacna za bar jednu vrednostpromenljive x, onda pisemo

(∃x)A ili ∃x A,



pri cemu kazemo sledece:

(∃x)A je egzistencijalni kvantifikator; formula A je oblast dejstva ovog kvantifikatora;

promenljiva x je vezana ovim kvantifikatorom;

simbol ∃ citamo ”postoji”, odnosno (∃x)A citamo ”postoji x tako

da vazi A” ili ”postoji x tako da A”.





Tvrdenja koja sadrze reci ”neki”, ”za neki”, ”bar jedan” i slicno, obicno

ukazuju na egzistencijalnu kvantifikaciju.Takva tvrdenja se mogu preformulisati tako da pocnu sa ”postoji x

tako da”, sto se potom prevodi u ∃x.

Na primer, neka je V predikat ”voleti sirovo meso”. Tada je (∃x)P (x)



Na primer, neka je V predikat voleti sirovo meso . Tada je (∃x)P (x)

oznaka za

”Postoje ljudi koji vole sirovo meso”

ili

”Neki ljudi vole sirovo meso”.


Napomene o kvantifikatorima



Kao sto smo vec rekli, ∀x i ∃x se mogu shvatiti kao unarni veznici.

Poput negacije, kvantifikatori su viseg prioriteta u odnosu na binar-

ne veznike, sto znaci da prvo primenjujemo kvantifikatore, pa tek

onda binarne veznike.

Na primer, neka P (x) znaci ”x je zivo” a Q(x) znaci ”x je nezivo”.



Na primer, neka P (x) znaci x je zivo a Q(x) znaci x je nezivo .

Tada

(∀x)(P (x) ∨ Q(x))

ukazuje na to da je bio sta ili zivo ili nezivo.

Sa druge strane,

(∀x)P (x) ∨ Q(x)

znaci da je bilo sta zivo, ili da je x nezivo.





Promenljiva x u izrazu ∀x ili ∃x je samo nesto sto bi se na en-

gleskom jeziku moglo nazvati ”placeholder” (drzac, nosilac mesta).

To znaci da ako imamo formulu (∀x)A, odnosno (∃x)A, gde je A

oblast dejstva kvantifikatora, onda u ∀x, odnosno ∃x, i svuda u A,

promenljivu x mozemo zameniti bilo kojom drugom promenljivom



y koja se ne javlja u A, i pri tome se nista nece promeniti.

Naime, formule (∀x)P (x) i (∀y)P (y) imaju isto znacenje, one sulogicki ekvivalentne.





Drugim recima, promenljiva x je zajednicko ime za sve individue iz

datog domena, pa se znacenje predikatskih formula se nece promenitiako to ime, svuda gde se ono koristi, zamenimo nekim drugim, koje

se ne koristi za neke druge individue.

( )



Za formulu kazemo da je varijanta formule (∀x)A ako je oblika

(∀y)S xy

A, gde je y bilo koja promenljiva, a S xy

A je formula dobijena

iz A zamenom svih pojavljivanja promenljive x sa promenljivom y.

Na potpuno isti nacin se definise i varijanta formule (∃x)A





Kvantifikatori mogu biti ugnjezdavani (engleski nested).

To ilustrujemo sledecim primerom.

Recenicu ”Postoji neko ko poznaje svakog” prevesti na jezik predi-

katske logike. Koristiti oznaku K (x, y) za ”x poznaje y”.



g ( ) j

Najbolje je da se ovo uradi postupno. Neformalno pisemo

(∃x)(x poznaje svakog).Izraz ”x poznaje svakog” je i dalje u govornom jeziku, i znaci da ”za

svako y vazi da x poznaje y”. Prema tome, ”x poznaje svakog”

se moze izraziti sa

(∀y)K (x, y).





Dakle, ”postoji neko ko poznaje svakog” se moze izraziti sa

(∃x)(∀y)K (x, y).

Tvrdenje ”Niko nije savrsen” takode ukljucuje kvantifikator ”niko”

koji ukazuje na odsustvo individue koja ima odredeno svojstvo.U dik k j l i i ˇi j i d ik j P ˇ



U predikatskoj logici cinjenica da niko nema svojstvo P se moze

izraziti direktno.

Naime, cinjenica da ”ne postoji x za koje vazi A” se moze izraziti

bilo sa ¬(∃x)A ili sa (∀x)¬A.

Ako sa P oznacimo svojstvo ”biti savrsen”, onda i ¬(∃x)P (x) i(∀x)¬P (x) ukazuju na to da niko nije savrsen.


Vezane i slobodne promenljive



Za pojavljivanje promenljive x u samom zapisu kvantifikatora ∀x ili

∃x, ili u oblasti dejstva jednog od tih kvantifikatora, kazemo da jevezano pojavljivanje, a za promenljivu x da je vezana.

Na primer, u izrazu (∀x)(P (x) ⇒ Q(x)) promenljiva x se javlja tri

puta, i sva tri pojavljivanja su vezana.



Pojavljivanje promenljive koji nije vezano naziva se slobodno po-

javljivanje, a promenljiva se naziva slobodnom.

Kasnije cemo videti da ista promenljiva u jednoj formuli moze imati

i vezana i slobodna pojavljivanja.

U takvim slucajevima je neophodno jasno istaci poziciju na kojoj se

javlja promenljiva o kojoj govorimo.





Primer 8: Odrediti slobodne promenljive u

(∀z)(P (z) ∧ Q(x)) ∨ (∃y)Q(y).

Samo je promenljiva x slobodna, dok su sva pojavljivanja promenljivih

y i z vezana.



Primetimo da se status promenljive moze promeniti kada se iz formule

izdvoji podformula.Na primer, u (∀x)P (x) promenljiva x se javlja dva puta, oba puta

kao vezana. Ova formula sadrzi P (x) kao podformulu, i u njoj je x

slobodna promenljiva.





Instancijacija, zamena promenljive termom, utice samo na slobodne

promenljive.

Preciznije, ako je A formula, onda S xt

A utice samo na slobodna

pojavljivanja promenljive x u A.

Na primer, S xy

(∀x)P (x) je (∀y)P (y), a to je sa aspekta logike,



p ,y

( ) ( ) j ( y) (y), j p g ,

kako smo vec napomenuli, isto sto i (∀x)P (x).

Dakle, ovom zamenom nismo nista promenili.

Sa druge strane, S xy

(Q(x) ∧ (∀x)P (x)) daje Q(y) ∧ (∀x)P (x).





Prema tome, instancijacija se prema promenljivim odnosi razlicito,

zavisno od toga da li su slobodne ili vezane, cak i ako se istapromenljiva javlja dva puta u istom izrazu, jednom kao slobodna

a drugi put kao vezana.

Ocigledno, dve stvari su identicne samo ako uvek imaju identican



tretman. To povlaci da, ako se promenljiva javlja i kao slobodna

i kao vezana u istoj formuli, onda mi zapravo imamo dve razlicite

promenljive za koje se samo desilo da imaju isto ime.

Zbog toga se treba truditi da promenljive, koje su fakticki razlicite,

razlicito i oznacavamo.


Napomene o promenljivim



Vezane promenljive mozemo tretirati kao lokalne u okviru oblasti

dejstva kvantifikatora, upravo onako kako su parametri i lokalnodeklarisane promenljive u PASCAL-u lokalne u procedurama u ko-

jima su deklarisane.

Analogija sa PASCAL-om se moze dalje prosiriti i ako razmatramo

fi



ime promenljive u kvantifikatoru kao deklaraciju.

Ova analogija takode sugerise da, ako nekoliko kvantifikatora koristiistu vezanu promenljivu za kvantifikaciju, tada su sve te promenljive

lokalne u okviru oblasti dejstva odgovarajuceg kvantifikatora, i prema

tome, razlicite su.





Kada se formiraju varijante, preba paziti da se ne remete lokalne

definicije.

Da bi smo ilustrovali ovo, razmotrimo tvrdenje ”y ima majku”.

Ako sa M oznacimo predikat ”je majka od”, tada se to tvrdenjemoze izraziti sa (∃x)M (x, y).



( ) ( )

Jasno je da u ovoj formuli promenljivu x ne smemo zameniti sa y,

jer u tom slucaju dobijamo (∃y)M (y, y), sto znaci da je y sebi

majka.

Sa druge strane, ilegalna je i instancijacija S yx((∃x)M (x, y)) jer iona daje (∃x)M (x, x).





Iz svega napred recenog zakljucujemo da za instancijacije (zamene

promenljivih termima) moraju da postoje neka ogranicenja.

Instancijacija koje dovodi do toga da promenljiva koja je imala slo-

bodno pojavljivanje postane vezana naziva se sukob promenljivih.

Jasno, svi sukobi promenljivih se moraju izbeci.




Restrikcija kvantifikatora



Ponekad se kvantifikovanje vrsi samo nad podskupom domena.

Na primer, uzmimo da je domen kolekcija svih zivotinja.

Kako izraziti recenice poput ”Svi psi su sisari” ili ”Neki psi su ridi”?

Razmotrimo prvo tvrdenje ”Svi psi su sisari”.Kako kvantifikator treba da se ogranici na pse, mozemo prefor-



g p p

mulisati tvrdenje sa ”Ako je x pas, onda je x sisar”, sto dovodi do

formule(∀x)(P (x) ⇒ S (x)).

Generalno, ta formula moze da se prevede sa ”Sve individue sa

svojstvom P (x) imaju svojstvo S (x)”.





Razmotrimo sada drugo tvrdenje ”Neki psi su ridi”.

To znaci da postoje neke zivotinje koje su psi i koje su ride.

Jasno, tvrdenje ”x je pas i x je rid” se prevesti u

P (x) ∧ R (x)



pa se ”postoje neki ridi psi” moze prevesti u

(∃x)(P (x) ∧ R (x)).

Generalno, ta formula moze da se prevede sa ”Neke individue sa

svojstvom P (x) imaju takode i svojstvo R (x)”.





Prema tome, kada univerzalni kvantifikator treba da primenimo

samo na individue sa datim svojstvom, onda koristimo implikacijuda bi ogranicili domen.

Ako na slican nacin zelimo da ogranicimo primenu egzistencijalnog

kvantifikatora, onda koristimo konjunkciju.



Umesto (∀x)(P (x) ⇒ Q(x)) obicno pisemo

(∀x ∈ D) Q(x),

gde je D = {x | P (x)} skup svih individua sa svojstvom P (x), dok

umesto (∃x)(P (x) ∧ Q(x)) pisemo

(∃x ∈ D) Q(x).


Jezik predikatske logike



Posle objasnjenja osnovnih koncepata predikatske logike, stigli smo i

do formalne definicije jezika predikatske logike.Jezik predikatske logike, u oznaci L p sastoji se od sledecih osnovnih

simbola:

znaci konstanti: a1, a2, a3, . . .



U slucajevima kada radimo sa manjim brojem konstanti, umesto

ovih mozemo koristiti i znake a, b, c, . . .

znaci promenljivih: x1, x2, x3, . . .

Kada radimo sa ne velikim brojem promenljivih, mozemo koristiti i

znake x, y, z, . . .





Ponegde se koristi i konvencija da se vezane i slobodne promenljive

oznacavaju drugacije, na primer, za vezane promenljive koriste se znaci x, y, z, . . . , ili sa odgo-

varajucim indeksima,

za slobodne promenljive koriste se znaci u, v, w, . . . , ili saodgovarajucim indeksima.



odgovarajucim indeksima.

funkcijski znaci: f 11

, f 12

, . . . , f 21

, . . . , f j

i

, . . .

Dozvoljeni su i neki drugi znaci, kao sto su f , g, h, . . .

Ovi znaci se koriste za oznacavanje funkcija proizvoljnih arnosti

(duzine), pomocu kojih gradimo slozenije terme.





predikatski ili relacijski znaci: R 11

, R 12

, . . . , R 21

, . . . , R j

i , . . .

ili P , Q, R , . . .

Ovi znaci se koriste za oznacavanje relacija, odnosno predikata, ta-

kode proizvoljnih arnosti.

logicki veznici: ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔,



kvantifikatori: ∀, ∃

pomocni znaci: zagrade ( i ), zapeta ,





Svaka posebna matematicka teorija ima svoj specifican jezik, svoj skup

polaznih simbola – oznaka konstanti, funkcijskih i relacijskih znaka.

Kada se zadaje takav specifican jezik, onda se za svaki funkcijski znak,

odnosno relacijski znak, mora jasno odrediti njegova arnost (duzina,

broj argumenata).

Kada se to ucini onda ce se znati da se funkcijskim znakom arnosti n



Kada se to ucini, onda ce se znati da se funkcijskim znakom arnosti n

oznacavaju samo operacije iste te arnosti, a relacijskim znakom arnostin samo relacije iste te arnosti.

U oznacavanju funkcijskih i relacijskih znaka sa f ji , odnosno R

ji , gornji

indeks oznacava arnost tog znaka, a donji sluzi za razlikovanje znakova

iste duzine, kada radimo sa vise takvih znakova.





Ipak, kod znakova konstanti, promenljivih, funkcijskih i relacijskih znaka

cesto i ne pisemo gornje ili donje indekse – gornji se izostavljaju ako je

jasno koja je arnost razmatranih simbola, a donji se izostavljaju ako na

neki drugi nacin mozemo da napravimo razliku izmedu tih simbola.

Logicki simboli i promenljive su svuda isti, uz napred vec izrecenunapomenu da promenljive mogu biti i slova bez indeksa (na primer



p p j g ( p

x , y , z), velika slova, slova grckog alfabeta itd.

U mnogim slucajevima razmatrani jezik ce sadrzati i binarni relacijski

znak =, koji interpretiramo upravo kao jednakost.





Primer 9: U strogom zasnivanju strukture prirodnih brojeva, sa

operacijama sabiranja i mnozenja i uobicajenom relacijom poretka, ima-

mo sledece:

Simbol konstante je samo broj 1,

Operacijski znaci su f 21 i f 22 , i oznacavaju se redom sa + (plus) i· (puta),



Relacijski znaci su R 21

i R 22

, a njihove uobicajene oznake su redom

= i .

Dakle, ovde uzimamo da je jedina konstanta 1, dok ostale prirodne

brojeve dobijamo na sledeci nacin:

2 def = 1 + 1, 3

def = 2 + 1, 4

def = 3 + 1, . . .





U manje formalnom (ali cescem) izlaganju, konstantom se smatra oz-

naka svakog prirodnog broja.

Isto vazi i za druge strukture brojeva.

Tako je i u primerima koji slede.




Termi

Termi

Termi

Definicija terma je induktivna:

(i) Promenljive i znaci konstanti su termi.

(ii) Ako je f nm

funkcijski znak (arnosti n), a t1, . . . , tn su termi, onda

je term i izraz

f nm

(t1, . . . , tn).



(iii) Termi su oni i samo oni izrazi koji se mogu formirati primenom

pravila (i) i (ii) konacan broj puta.

Prema tome, termi se grade samo od konstanti, promenljivih i funkcij-

skih znaka.


Termi

Termi

Termi

Primer 10: Primeri terma su:

f 11

(x1), f 31

(x1, x2, f 11

(x2)), f 22

(x1, f 21

(x2, a1)).

Na jeziku prirodnih brojeva uobicajeno je da se, na primer, term

f 22

(x1, f 21

(x2, a1))



belezi sa x(y + 1) i sl.


Atomicne formule

Atomicne formule

Atomicne formule

Kao sto je receno, od terma se do recenica (formula) dolazi tek kada

se termi povezu simbolima relacija.

Kada se termi povezu odgovarajucim relacijskim znakom, dobijaju se

najjednostavnije formule koje se nazivaju atomarne ili atomicne formule.

Naime, neka R ni

jeste n-arni relacijski znak i t1, . . . , tn su termi.

T d i blik



Tada se izraz oblika

R ni (t1, . . . , tn)

naziva atomicna formula.


Atomicne formule

Atomicne formule

Atomicne formule

Primer 11: Atomicne formule su, na primer

R 31

(f 11

(x2), x1, f 21

(x2, x3)), R 22

(a1, f 11

(x2)), R 11

(f 31

(x1, x1, x2)).

U jeziku teorije skupova jedna atomicna formula je

X ⊆ Y ∪ Z,

a u strukturi prirodnih brojeva je to na primer



a u strukturi prirodnih brojeva je to, na primer,

x y + z.

Prema dogovorima o oznacavanju, obe ove formule su u stvari uobicajeni

zapisi, u odgovarajucem jeziku, jedne iste formule

R 21

(x1, f 21

(x2, x3)).


Atomicne formule

Atomicne formule

Atomicne formule

Primer 12: U jeziku algebarskih struktura obicno postoji relacijski

znak duzine 2, koji se oznacava sa = i interpretira se kao jednakost.

Atomicna formula t1 = t2, gde su t1 i t2 termi naziva se identitet ili

algebarski zakon.

Identiteti su, na primer,

+ + i ( + ) +



x + y = y + x i x(y + z) = xy + xz

za brojeve, kao i

A ∪ (B ∩ A) = A

za skupove, i sl.


Predikatske formule

Predikatske formule

Predikatske formule

Definicija predikatske formule je takode induktivna:

(i) Svaka atomicna formula je predikatska formula.

(ii) Ako su F i G predikatske formule, a x je promenljiva, onda su i

sledeci izrazi predikatske formule:

¬F , (F ∧ G), (F ∨ G), (F ⇒ G), (F ⇔ G),



((∀x)F ), ((∃x)F ).

(iii) Prediktske formule su oni i samo oni izrazi koji se mogu formirati

konacnim brojem primena pravila (i) i (ii).

Jednostavnosti radi, nadalje cemo govoriti samo formule.


Predikatske formule

Predikatske formule

Predikatske formule

Primer 13: Primeri formula su:

((∃x1)((∀x2)R 2

2(x1, x2))),

(((∀x2)R 21

(x1, f 22

(x1, x2))) ⇒ ¬((∃x1)R 22

(f 22

(x1, x2), x2)))

Prva od ovih formula se u jeziku strukture prirodnih brojeva belezi sa

(∃x)(∀y)(x y).



( )( )( )

Kao i kod iskaznih formula, podformula predikatske formule se definise

se svaki podniz (podrec) formule koji je i sam formula.


Oblast dejstva kvantifikatora



Oblast dejstva kvantifikatora (∀x), odnosno (∃x), koji se pojavljuje u

formuli, je sam kvantifikator zajedno sa najmanjom podformulom koja

neposredno sledi iza njega.

Primer 14:U formuli

(((∃x1)¬R 21

(x1, x2)) ⇒ R 11

(x2)),



oblast dejstva kvantifikatora (∃x1) je formula

((∃x1)¬R 21

(x1, x2)).





U formuli

¬(∃x)(x 1 ∧ (∀y)(y x))

oblast dejstva kvantifikatora (∃x) je formula

(∃x)(x 1 ∧ (∀y)(y x)),

a oblast dejstva kvantifikatora (∀y) je formula



(∀y)(y x).


Brisanje zagrada

Brisanje zagrada

Brisanje zagrada

Kao sto smo vec rekli, jednostavnosti radi, funkcijski znaci se cesto

oznacavaju bez indeksa, i to sa f , g, h, . . . , a relacijski malim slovima

grckog alfabeta.

U jezicima pojedinih matematickih teorija se, medutim, koriste vec

poznati funkcijski i relacijski znaci (+, ·, , = itd.) i ustaljena pravila ozagradama.



Pri zapisivanju predikatskih formula se prihvataju isti dogovori o izosta-

vljanju zagrada navedeni za iskazne formule, pri cemu su kvantifikatori

iza veznika ⇒ i ⇔, koji su iza veznika ∧ i ∨.


Brisanje zagrada

Brisanje zagrada

Brisanje zagrada

Primer 15: (a) Na osnovu dogovora o izostavljanju zagrada, umesto

(((∃x1)¬R 2

1(x1, x2)) ⇒ R 1

1(x2))

pise se

(∃x1)¬R 21

(x1, x2) ⇒ R 11

(x2).



(b) U formuli

¬(∀x)(∃y)((α(x, y) ⇒ α(f (x, y), f (y, x))),

α je relacijski, a

f funkcijski znak, oba duzine 2.


Brisanje zagrada

Brisanje zagrada

Brisanje zagrada

(c) I u formuli

(∀x)(∃y)(x y ∧ y = x + 1),

i + su redom relacijski i funkcijski znak duzine 2.

Drugi relacijski znak duzine 2 je =, ali je umesto

¬(y = x + 1),



zabelezeno krace y = x + 1.

Ovo su uobicajene oznake u jezicima struktura brojeva.





Pojavljivanje promenljive x u nekoj formuli je vezano ako se x javlja u

oblasti dejstva nekog od kvantifikatora (∀x) odnosno (∃x).

Slobodno pojavljivanje promenljive u formuli je ono koje nije vezano.

Primer 16: (a) U formuli

(∀x)α(x) ⇒ ((∃y)β(x, y) ∨ γ (y))

prva dva pojavljivanja promenljive x su vezana a trece je slobodno;



prva dva pojavljivanja promenljive x su vezana, a trece je slobodno;

prva dva pojavljivanja promenljive y su vezana, a trece je slobodno.

(b) U formuli(∀x)(α(x) ⇒ ((∃y)β(x, y) ∨ γ (y)))

sva tri pojavljivanja promenljive x su vezana, prva dva za y su vezana

a trece je slobodno.





(c) U formuli

(∀x)(α(x) ⇒ (∃y)(β(x, y) ∨ γ (y)))

su sva pojavljivanja obeju promenljivih vezana.

Promenljiva x je slobodna ili vezana u formuli A ako u njoj ima redom

slobodno ili vezano pojavljivanje.



Kao sto se vidi iz prethodnih primera, promenljiva moze biti i vezana islobodna u istoj formuli.




Predikatske formule – rekapitulacija



Napravimo neformalnu rekapitulaciju osnovnih pojmova koje smo obra-

dili na prethodnom predavanju.

Izraz je proizvoljan niz simbola.

Naravno, vecina izraza nema nikakav smisao u predikatskoj logici,

ali postoje izrazi koji su sa aspekta predikatske logike veoma intere-

santni. To su



termi atomicne formule (atomi)

druge (pravilno formirane) formule

Matematicka logika – 2 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 2 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 2 – Predikatska logika - II deo




Termi u predikatskoj logici igraju ulogu slicnu onoj koju u obicnom

jeziku igraju imenice i zamenice.

To su izrazi koji mogu biti interpretirani kao imenovanje objekata.

Termi su izrazi koji se grade od znakova konstanti, znakova promen-

ljivih i odgovarajucih funkcijskih (operacijskih) znakova.

Atomicne formule su one formule koje se grade koristeci jedino



terme i predikatske, odnosno relacijske znakove.Dakle, atomicne formule ne sadrze niti logicke veznike niti kvan-

tifikatore.

Formule su oni izrazi koji se grade iz atominih formula koriscenjem

logickih veznika i kvantifikatora.


Predikatske formule – primeri



Neka je data sledeca argumentacija

(1) Za svaki ceo broj x postoji ceo broj koji je veci od x.(2) 500 je ceo broj.

(3) Postoji ceo broj koji je veci od 500.Prevedimo to na jezik predikatske logike, uzimajuci za domen skup

realnih brojeva i koristeci predikate:



realnih brojeva, i koristeci predikate:

Simbol Znacenje

N (x) x je ceo broj

G(y, x) y je veci od x





Prevodenjem na jezik predikatske logike dobijamo sledece:

(1) (∀x)(N (x) ⇒ (∃y)(N (y) ∧ G(y, x)))(2) N (500)

(3) (∃y)(N (y) ∧ G(y, 500))

Da li su gornje formule pravilno formirane?



Naravno da jesu. Pokazacemo postupno kako su one izgradene.





Razmotrimo nacin na koji se izgraduju formule

(∀x)(N (x) ⇒ (∃y)(N (y) ∧ G(y, x))) i N (500)

termi x, y

atomi N (x), N (y), G(y, x)

formule (N (y) ∧ G(y, x))

(∃y)(N (y) ∧ G(y, x))



(N (x) ⇒ (∃y)(N (y) ∧ G(y, x)))(∀x)(N (x) ⇒ (∃y)(N (y) ∧ G(y, x)))

term 500atom N (500)


Kombinovanje kvantifikatora



Primer 17: Neka je sa Q(x, y) oznacen predikat ”x + y = 0”.

Ako je domen skup realnih brojeva, koja je od formula

(∃y)(∀x)Q(x, y) i (∀x)(∃y)Q(x, y)

je tacna?

Resenje: Formulom (∃y)(∀x)Q(x, y) je predstavljen iskaz:



”Postoji realan broj y tako da za svaki realan broj x vazi x + y = 0”.

Ako bi to bilo tacno, onda bi bilo x = −y, za svaki realan broj x, sto

ocigledno nije moguce. Dakle, ovo tvrdenje nije tacno.





Formulom (∀x)(∃y)Q(x, y) je predstavljen iskaz:

”Za svaki realan broj x prostoji realan broj y tako da je x + y = 0”.

Ovo tvrdenje je tacno, jer za proizvoljan realan broj x mozemo uzeti

da je y = −x, i za tako izabrano y ocigledno vazi x + y = 0.

Ovaj primer pokazuje koliko je redosled pojavljivanja kvantifikatora u

formuli bitan jer zamena mesta kvantifikatora u formuli moze potpuno



formuli bitan, jer zamena mesta kvantifikatora u formuli moze potpuno

izmeniti njen smisao.





Kada vrsimo kvantifikovanje po dve i vise promenljive, moze biti korisno

razmisljati o njima kao o visestrukim petljama.

Na primer, da bi smo videli da li je (∀x)(∀y)P (x, y) tacno, mozemo

formirati petlju po svim vrednostima za x, i za svaki x mozemo formirati

petlju po svim vrednostima za y.

Ako ustanovimo da je P (x, y) tacno za sve vrednosti x i y, onda je

(∀x)(∀y)P (x y) tacno



(∀x)(∀y)P (x, y) tacno.

U suprotnom, ako pogodimo takvu vrednost za x, za koju dalje pogodimo

vrednost za y takvu da je P (x, y) netacno, onda smo dokazali da je

(∀x)(∀y)P (x, y) netacno.

Matematicka logika 9 Predikatska logika - II deoMatematicka logika 9 Predikatska logika - II deoMatematicka logika 9 Predikatska logika - II deo




Pregled svih mogucih kombinacija kvantifikatora po dvema promenljivim

dat je sledecom tabelom:

Tvrdenje Kada je tacno? Kada je netacno?

1. (∀x)(∀y)P (x, y)

(∀y)(∀x)P (x, y)

P (x, y) je tacno za svaki

par x, y

Postoji par x, y za koji je

P (x, y) netacno

2. (∀x)(∃y)P (x, y) Za svaki x postoji y za koji

je P (x, y) tacno

Postoji x takvo da je

P (x, y) netacno za svaki y



3. (∃x)(∀y)P (x, y) Postoji x takvo da jeP (x, y) tacno za svaki y

Za svaki x postoji y za koji je P (x, y) netacno

4. (∃x)(∃y)P (x, y)

(∃y)(∃x)P (x, y)

Postoji par x, y za koji je

P (x, y) tacno

P (x, y) je netacno za svaki

par x, y

Matematicka logika 10 Predikatska logika - II deoMatematicka logika 10 Predikatska logika - II deoMatematicka logika 10 Predikatska logika - II deo

Negacija kvantifikatora



Cesto se javlja potreba da razmatramo negaciju kvantifikovanog izraza.

Na primer, razmotrimo tvrdenje

”Svaki student u grupi pohada kurs iz matematike”.

Ako je domen skup svih studenata iz date grupe, ovo tvrdenje se mozeprevesti sa (∀x)P (x), gde P (x) znaci ”x pohada kurs iz matematike”.

Negacija ovog tvrdenja je ”Nije tacno da svaki student u grupi pohada



g j g j j j g p p

kurs iz matematike”, sto je ekvivalentno sa

”Postoji student u grupi koji ne pohada kurs iz matematike”

a to se moze izraziti sa (∃x)¬P (x)

Matematicka logika 11 Predikatska logika II deoMatematicka logika 11 Predikatska logika II deoMatematicka logika 11 Predikatska logika II deo




Sa druge strane, razmotrimo tvrdenje

”Postoji student u grupi koji pohada kurs iz matematike”.

Ako je domen skup svih studenata iz te grupe, ovo se moze prevesti sa

(∃x)P (x), gde je P (x) tvrdenje ”x pohada kurs iz matematike”.

Negacija ovog tvrdenja je ”Nije tacno da postoji student u grupi koji

pohada kurs iz matematike”, sto je ekvivalentno sa



”Svaki student u grupi ne pohada kurs iz matematike”

a to se moze izraziti sa (∀x)¬P (x)





Zapazanja vezana za negaciju kvantifikatora mogu se prikazati sledecom

tabelom:

Negacija Ekvivalentan

izraz

Kada je negacija

tacna?

Kada je negacija

netacna?

1. ¬(∃x)P (x) (∀x)¬P (x) P (x) je netacno zasvaki x

Postoji x za koji jeP (x) tacno

2. ¬(∀x)P (x) (∃x)¬P (x) Postoji x za koji je

P (x) netacno

P (x) je tacno za

svaki x



P (x) netacno svaki x


Semantika predikatske logike



Razmotrimo, na primer, predikatsku formulu

(∀x)(∃y)P (x, y).Sta mozemo reci o noj?

O ovoj formuli mozemo govoriti jedino sa aspekta sintakse.

Sve sto mozemo reci je da formula sadrzi dve promenljive, x i y, od

kojih su obe vezane kvantifikatorima (∀x) i (∃y), koji deluju na predikat



P (x, y), i nista vise.Sta je sa istinitoscu ove formule?

O tome nista ne mozemo reci, jer ne znamo ni njeno znacenje. Da bi

smo o tome govorili, neophodno je da se precizira znacenje – semantika

te predikatske formule.


Interpretacija

Interpretacija

Interpretacija

Setimo se da se svaka predikatska formula sastoji od sledecih elemenata

simbola konstanti, logickih veznika, simbola promenljivih, kvantifikatora,

funkcijskih simbola, pomocnih simbola.

relacijskih simbola,

Logicki veznici, kvantifikatori i pomocni simboli u svim formulama imaju



svoje uobicajeno znacenje.Da bi se preciziralo znacenje ostalih simbola u formuli, potrebno je da

se izvrsi interpretacija te formule, koja se neophodno vezuje za neku

relacijsko-operacijsku strukturu, osnosno algebarsku strukturu.


Interpretacija

Interpretacija

Interpretacija

(1) Interpretacija formule pocinje preciziranjem nekog nepraznog skupa

D – domena interpretacije, u okviru koga se vrsi interpretacija.

(2) Drugi korak u interpretaciji je interpretacija simbola konstanti –

svakom simbolu konstanti pridruzuje se neka konkretna individualna

konstanta iz domena D, interpratacija tog simbola.(3) Da bi se interpretirali funkcijski simboli, neophodno je da za svaki

n-arni funkcijski simbol koji se javlja u formuli, na skupu D bude



definisana odgovarajuca n-arna operacija, kojom interpretiramo tajfunkcijski simbol.

(4) Slicno, za svaki n-arni relacijski znak koji se javlja u formuli, neop-

hodno je da na skupu D bude definisana odgovarajuca n-arna

relacija, kojom interpretiramo taj relacijski znak.


Interpretacija

Interpretacija

Interpretacija

Prema tome,

– funkcijski simbol izvesne arnosti moze se interpretirati samo funk-cijom (operacijom) iste te arnosti;

– relacijski simbol izvesne arnosti moze se interpretirati samo rela-

cijom iste te arnosti.

(5) Simboli promenljivih interpretiraju se kao promenljive koje mogu



uzeti proizvoljne vrednosti u skupu D.Kada se formula interpretira, onda ona postaje recenica kojom se nesto

tvrdi o elemetima domena interpretacije.


Interpretacija

Interpretacija

Interpretacija

Formalno, interpretacija formule ili skupa formula definise kao uredeni

par D = (D, φ), gde je D domen interpretacije, a φ je pridruzivanje

(preslikavanje) izvrseno na sledeci nacin:

(a) Uoce se svi simboli konstanti, funkcijski i relacijski simboli koji

ucestvuju u izgradnji tih formula;(b) svakom simbolu konstanti a pridruzi se neki fiksirani element φ(a)

iz D (interpretacija konstanti);



(c) svakom funkcijskom simbolu f duzine n pridruzi se neka konkretnan-arna operacija φ(f ) na D, tj. funkcija iz Dn u D (interpretacija

funkcijskih simbola);

(d) svakom relacijskom znaku R duzine n pridruzi se neka konkretna

n-arna relacija φ(R ) na D (interpretacija relacijskih simbola).


Interpretacija

Interpretacija

Interpretacija

Primer 18: Neka su date formule:

(1) P (f (x, y), b)(2) (∃y)Q(f (x, y), b)

(3) (∀x)(P (x, a) ⇒ (∃y)P (f (x, y), a))

i neka je domen interpretacije skup realnih brojeva R.

Konstante a i b interpretiracemo redom kao brojeve 0 i 1.



Funkcijski simbol f duzine 2 in terpretiracemo kao operaciju mnozenja.

Relacijske simbole P i Q, oba duzine 2, interpretiracemo redom kao

relaciju manje, <, i relaciju jednakosti, =.


Interpretacija

Interpretacija

Interpretacija

Interpretaciju gornjih formula tako cini skup R i navedeno pridruzivanje,

tj. uredeni par D = (R, φ), gde je

φ =

a b f P Q

0 1 · < =

.

Gornje formule u ovoj interpretaciji postaju redom tvrdenja

(1) ”Proizvod brojeva x i y je manji je od 1” (tj. ”x · y < 1”);



(2) ”Postoji broj y tako da je x · y = 1” (tj. ”(∃y)x · y = 1”);

(3) ”Za svaki broj x manji od 0 postoji broj y takav da je x · y < 0”

(tj. ”(∀x)(x < 0 ⇒ (∃y)(x · y < 0))”).

Sta se moze reci o istinitosti ovih tvrdenja?


Interpretacija

Interpretacija

Interpretacija

Jedino za tvrdenje (3) mozemo odmah reci da je tacno: ako je x bilo

koji negativan broj, onda za bilo koji pozitivan broj y imamo da je i

proizvod x · y negativan.

O istinitosti tvrdenja (1) ne mozemo nista konkretno reci, jer ona zavisi

od toga kako smo izabrali par brojeva x i y.

Za neke vrednosti brojeva x i y, njihov ce proizvod biti manji od 1, dok

ce za neke vrednosti taj proizvod biti veci od 1.



Takode, istinitost tvrdenja (2) zavisi od toga kako smo izabrali broj x –

ako je x = 0, onda tvrdenje nece biti tacno, dok ce za x = 0 tvrdenje

biti tacno.


Interpretacija

Interpretacija

Interpretacija

Iz svega ovog zakljucujemo sledece:

Ako formula ne sadrzi slobodne promenljive, tj. ako su sve promen-ljive u njoj vezane, onda u proizvoljnoj interpretaciji ta formula pos-

taje recenica koja je ili tacna ili netacna.

Formule koje ne sadrze slobodne promenljive nazivaju se zatvorene

formule ili recenice.



Ako formula sadrzi slobodne promenljive, onda istinitost njene inter-pretacije zavisi od vrednosti koje u toj interpretaciji uzimaju slobod-

ne promenljive u toj formuli.

Upravo to ce biti predmet daljih razmatranja.


Valuacije

Valuacije

Valuacije

U definicijama koje slede uzimamo da je D = (D, φ) intepretacija

datog skupa predikatskih formula.

Niz

v = (c1, c2, c3, . . . )

elemenata iz D zove se valuacija domena D.

Kao i u iskaznoj logici, svrha valuacije je da pridruzi odredene vrednosti

i



promenljivama koje se javljaju u formuli, tako da promenljivoj xi

trebada bude pridruzena vrednost ci, gde je i ∈ N.

Prema tome, valuacija je zapravo preslikavanje koje skup svih promen-

ljivih {x1, x2, . . . , xn, . . . } slika u domen interpretacije D, tako da

proizvoljnoj promenljivoj xi dodeljuje vrednost v(xi) = ci ∈ D.


Valuacije

Valuacije

Valuacije

Buduci da u konacnom skupu formula ucestvuje konacno mnogo promen-

ljivih x1, . . . , xn, valuacija moze biti i konacan niz, uredena n-torka

v = (c1, . . . , cn) elemenata iz D.

Medutim, uglavnom je jednostavnije dozvoliti da niz bude beskonacan,

jer posle nekog elementa u tom nizu, ostali elementi i nece uticati navrednost terma u toj valuaciji.

Ako se koriste promenljive x, y, z, . . . , onda je njihov redosled leksiko-



grafski, pa im tim redom odgovaraju elementi valuacije.


Vrednost terma u valuaciji



Vrednost terma t u valuaciji v, u oznaci v(t), definise se induktivno,

po slozenosti tog terma, i to na sledeci nacin:

(i) Ako je t promenljiva xi, onda je v(t) = ci.

(ii) Ako je t simbol konstante a, onda je v(t) = φ(a), tj. element koji

je u interpretaciji D dodeljen simbolu a (interpretacija tog znakakonstante).

(iii) Ako je t = f (t1, . . . , tn), gde je f operacijski znak duzine n, a



t1, . . . , tn su termi, onda je

v(t) = f D(v(t1), . . . , v(tn)),

gde je f D = φ(f ) operacija na skupu D kojom je interpretiran

funkcijski simbol f .





Primer 19:

a) Neka je dat term f (a, g(x, y)) i interpretacija D = (R, φ), gde je

R skup realnih brojeva i

φ = a f g

5 + ·

.

Jasno, u ovoj interpretaciji ovaj term postaje ”5 + x · y”.

( )



Neka je data i valuacija v = (2, 3).

Vrednost gornjeg terma za ovu valuaciju iznosi 5 + 2 · 3, tj. 11.

b) Term x2

+3y3

−5 u uobicajenoj interpretaciji u skupu R, za valuaciju(1, 2) ima vrednost 12 + 3 · 23 − 5 = 20.


Istinitosna vrednost predikatske formule



Istinitosna vrednost predikatske formule A u valuaciji v, u oznaci v(A),

se takode definise induktivno, po slozenosti formule:

(1) Neka je A = R (t1, . . . , tn) atomicna formula.

Tada je

v(A) =

1 ako je (v(t1), . . . , v(tn)) ∈ φ(R )

0 inace



(2) Neka je A = ¬B. Tada je

v(A) = ¬v(B).





(3) Neka je A = B ∗ C , gde ∗ oznacava bilo koji od logickih veznika

∧, ∨, ⇒ i ⇔. Tada je

v(A) = v(B) ∗ v(C ).

Drugim recima

v(B ∧ C ) = v(B) ∧ v(C ) v(B ∨ C ) = v(B) ∨ v(C )

v(B ⇒ C ) = v(B) ⇒ v(C ) v(B ⇔ C ) = v(B) ∨ v(C )



Matematiˇcka logika 28 Predikatska logika II deoMatematiˇcka logika 28 Predikatska logika II deoMatematiˇcka logika 28 Predikatska logika II deo




(4) Neka je A = (∀xi)B. Tada je

v(A) =

1 ako za svaki d ∈ D vazi vi

d(B) = 10 inace

gde je v

i

d valuacija dobijena iz valuacije v zamenom njene i-te koor-dinate sa d, dok sve ostale koordinate ostaju iste.

Neformalno govoreci, v(A) = 1 ako i samo ako svako dodelji-

j d ti i d D lji j i i ˇ t l



vanje vrednosti iz domena D promenljivoj xi, pri cemu sve ostalepromenljive u A dobijaju vrednosti odredene valuacijom v, daje

tacno tvrdenje.





Primer 20: Neka je sa A oznacena formula:

(∀x)(x y)

koju interpretiramo na skupu N prirodnih brojeva, i neka je sa B oznacena

formula x y.

Prema prethodnoj definiciji, formula A je tacna u nekoj valuaciji (m, n)ako je formula B tacna u valuaciji (k, n), za svaki k ∈ N.

Jasno, B je tacna u valuaciji (k, n), za svaki k ∈ N jedino u slucaju da



je n = 1. To znaci da je formula A tacna u valuaciji (m, n) jedino u

slucaju kada je n = 1, a u ostalim valuacijama je netacna.

Kao sto vidimo, tacnost formule A u valuaciji (m, n) uopste ne zavisiod m, jer je promenljiva x vezana univerzalnim kvantifikatorom.





(5) Neka je A = (∃xi)B. Tada je

v(A) =

1 postoji d ∈ D tako da je vi

d(B) = 10 inace

Neformalno govoreci, v(A) = 1 ako i samo ako postoji dodeljivanje

vrednosti iz domena D promenljivoj xi, pri cemu sve ostale promen-

lji e A dobijaj ednosti od edene al acijom koje daje tacno



ljive u A dobijaju vrednosti odredene valuacijom v, koje daje tacnotvrdenje.





Primer 21: Neka je sa A oznacena formula:

(∃x)(x < y)

koju interpretiramo na skupu N prirodnih brojeva, i neka je sa B oznacena

formula x < y.

Prema prethodnoj definiciji, formula A je tacna u nekoj valuaciji (m, n)ako postoji k ∈ N tako da je formula B tacna u valuaciji (k, n).

Jasno, takvo k postoji ako je n 2, a ne postoji za n = 1. Dakle,

( )



formula A je tacna u valuaciji (m, n) ako je n 2, a netacna je ako

je n = 1.

I opet vidimo da tacnost formule A u valuaciji (m, n) ne zavisi od m, jer je promenljiva x sada vezana egzistencijalnim kvantifikatorom.





Ako je v(A) = 1, onda kazemo da je formula A tacna u valuaciji v, ili

da valuacija v zadovoljava formulu A.

Preciznije, govorimo da je formula A tacna u valuaciji v interpretacije

D , ili da valuacija v u interpretaciji D zadovoljava formulu A.

U tom slucaju pisemo

D |=v A.







Primer 22: (a) Neka su date formule R (y, f (x, a)) i (∃y)R (x, y)

i interpretacija D = (N, φ), gde je N skup prirodnih brojeva, a

φ =

a f R

1 + >

.

U valuaciji (1, 3) je tacna prva formula, jer je tacno

”3 je vece od 1 + 1”,

ali nije tacna druga: prema (5) nije tacno da



ali nije tacna druga: prema (5), nije tacno da

”postoji prirodan broj b takav da je 1 > b”.

Sa druge strane, u valuaciji (2, 3) nije tacna prva, a tacna je drugaformula.





(b) Posmatrajmo formulu (∀x)(x · y = y) u interpretaciji ciji je domen

skup Z celih brojeva, a operacijski i relacijski znaci imaju uobicajena

znacenja.

Prema (4), ta formula je tacna u svakoj valuaciji oblika (b, 0), gde je b

proizvoljan realan broj.

(c) Ako je domen interpretacije skup R, a osnovni simboli se interpre-

tiraju uobicajeno, onda formulu



(∀x)(x = 0 ⇒ (∃y)(x · y = 1))

zadovoljava svaka valuacija.





Neka je data predikatska formula A, interpretacija D i valuacija v u D .

Ako sve slobodne promenljive u formuli A zamenimo odgovarajucim

komponentama u valuaciji v, onda dobijamo iskaz (recenicu koja ima

svojstvo da je tacna ili netacna), i taj iskaz oznacavamo sa Av.

Ocigledno, formula A je tacna u valuaciji v ako i samo ako Av tacaniskaz.

Primer 23: U prethodnom primeru pod (a) ako je A = R(y f (x a))



Primer 23: U prethodnom primeru pod (a), ako je A = R (y, f (x, a))

i valuacija je v = (1, 3), onda je Av iskaz

”3 je vece od 1 + 1”.


Model formule

Model formule

Model formule

Za formulu A kazemo da je tacna u interpretaciji D ako je tacna u

svakoj valuaciji te interpretacije D.

Ako je formula A tacna u interpretaciji D , onda kazemo i da je D model

formule A, sto zapisujemo sa

D |= A.

Analogna definicija se uvodi i za skup formula A :

Ako je s aka form la i A tacna inter retaciji D onda je D model



Ako je svaka formula iz A tacna u interpretaciji D , onda je D model

skupa A , sto zapisujemo sa

D |= A .


Model formule

Model formule

Model formule

Primer 24: Formula (∃x)(x < y), uz uobicajeno tumacenje simbola,

je tacna u strukturi (Z, <) celih brojeva sa relacijom <.

Dakle, ta struktura je dakle model ove formule.

Struktura (N, <) je takode jedna interpretacija ove formule, ali to nije

i njen model, jer formula nije tacna u svim valuacijama.

Odavde se vidi da ako je formula A tacna u interpretaciji D , tj. ako joj

je D model, onda ta formula govori o nekim svojstvima strukture D.



je D model, onda ta formula govori o nekim svojstvima strukture D .

Na primer, gornja formula kaze da u skupu Z (za razliku od N) od

svakog broja postoji manji.

To nije opste pravilo zakljucivanja, vec konkretno svojstvo modela.


Zatvorenje formule

Zatvorenje formule

Zatvorenje formule

Potsetimo se da se formula A naziva zatvorenom formulom ili recenicom,

ako A nema slobodnih promenljivih, tj. sve promenljive u A su vezane.

Ako je A zatvorena formula, onda u proizvoljnoj interpretaciji A jeste

tacna ili netacna, nezavisno od valuacije.

Primer 25: Uz uobicajeno tumacenje simbola, formula

(∀y)(∃x)(x < y),

je tacna u strukturi (Z, <) celih brojeva sa relacijom <, nezavisno od



je tacna u strukturi (Z, <) celih brojeva sa relacijom <, nezavisno odvaluacije, a nije tacna u strukturi (N, <).

Primetimo da je i formula (∃x)(x < y) tacna u (Z, <), bez obzira na

to sto sadrzi slobodnu promenljivu y.


Zatvorenje formule

Zatvorenje formule

Zatvorenje formule

Prethodno zapazanje koje se tice formule (∃x)(x < y) sa slobodnom

promenljivom y moze se pretociti u opste svojstvo predikatskih formula.

Neka je A formula i x1, x2, . . . , xk su sve slobodne promenljive u A.

Tada je

(∀x1)(∀x2) . . . (∀xk)A

zatvorena formula koju nazivamo zatvorenjem formule A.

Za formulu A i njeno zatvorenje vazi sledece:



Za formulu A i njeno zatvorenje vazi sledece:

Tvrdenje 1: Formula A je tacna u interpretaciji D ako i samo ako je

njeno zatvorenje tacno u interpretaciji D

.


Valjane formule

Valjane formule

Valjane formule

Kao sto smo vec ranije rekli, ako je formula A tacna u nekoj inter-

pretaciji D , onda ona opisuje izvesno svojstvo strukture D .

Medutim, ako je formula A tacna u svakoj interpretaciji, onda ona vise

ne opisuje svojstvo neke konkretne strukture, vec opste svojstvo svih

struktura, odnosno opste pravilo zakljucivanja.

Takve formule, koje su tacne u svim svojim interpretacijama, nazivaju

se opste-vazecim formulama ili valjanim formulama.

Ako je formula A valjana, to onda belezimo sa



j j ,

|= A.

Ako su A i B predikatske formule takve da je A ⇔ B valjana formula,

tada kazemo da su A i B logicki ekvivalentne formule.


Valjane formule

Valjane formule

Valjane formule

Valjane formule u predikatskoj logici predstavljaju ono sto u iskaznoj

logici predstavljaju tautologije.

Medujtim, postoje i izvesne razlike.

Kod iskaznih formula, problem dokazivanja da li je data iskazna formula

tautologija ili ne je odluciv.

To znaci da postoji algoritam pomocu koga se za proizvoljnu iskaznu

formulu A moze ustanoviti da li je A tautologija ili ne. Na primer, to

se moze uciniti formiranjem istinitosne tablice za formulu A



se moze uciniti formiranjem istinitosne tablice za formulu A.

Medutim, problem dokazivanja da li je proizvoljna predikatska formula

valjana ili ne nije odluciv – ne postoji algoritam pomocu koga se zadatu predikatsku formulu moze ustanoviti da li je ona valjana ili nije.


Valjane formule

Valjane formule

Valjane formule

Ipak, za neke formule se moze ustanoviti da li su valjane ili ne.

Takve su, na primer, formule koje nazivamo izvodima iz tautologija.

Za predikatsku formulu F kazemo da je izvod iz tautologije ako pos-

toji tautologija A takva da se formula F moze dobiti iz A zamenom

iskaznih slova nekim predikatsklim formulama, pri cemu se isto slovosvuda zamenjuje istom formulom.

Za izvode iz tautologija vazi sledece:



Tvrdenje 2: Izvod iz tautologije je valjana formula.


Valjane formule

Valjane formule

Valjane formule

U daljem tekstu dajemo spisak nekih najznacajnijih valjanih formula.

Necemo dokazivati da su one valjane, ali cemo to nadalje koristiti kao

da smo dokazali.

Takode, dacemo i neke komentare vezane za te valjane formule.

(a) (∀x)A ⇒ (∃x)A

Ako A vazi za svaki x, onda je jasno da postoji x takav da vazi A.

(b) (∀x)(∀y)A ⇔ (∀y)(∀x)A



( ) ( )( y) ( y)( )

(c) (∃x)(∃y)A ⇔ (∃y)(∃x)A

Ove dve valjane formule nam zapravo kazu ono sto smo vec ranije konstatovali

– da dva istorodna kvantifikatora mogu slobodno zameniti mesta.


Valjane formule

Valjane formule

Valjane formule

(d) (∃x)(∀y)A ⇒ (∀y)(∃x)A

Ovde vidimo da prethodna konstatacija ne vazi za raznorodne kvantifikatore, tj.

da raznorodni kvantifikatori ne mogu zameniti mesta.

Ako postoji x tako da za svaki y vazi A, taj x je isti za sve y, pa je jasno da za

svaki y postoji x tako da vazi A.

Obratna implikacija ne vazi – ako za svaki y postoji x tako da vazi A, taj x ne

mora biti isti za sve y, pa ne mozemo reci da postoji x tako da za svaki y vazi A.

Da obratna implikacija nije valjana, dokazacemo u daljem tekstu.

(e) (∃x)¬A ⇔ ¬(∀x)A



( ) ( ) ( )

(f) (∀x)¬A ⇔ ¬(∃x)A

Ove dve formule su DeMorganovi zakoni za kvantifikatore, koji kazu da negacija

prolazi kroz kvantifikatore na slican nacin kao kroz konjunkciju i disjunkciju.


Valjane formule

Valjane formule

Valjane formule

(g) (∀x)(A ∧ B) ⇔ (∀x)A ∧ (∀x)B

Ova formula nam kaze da se univerzalni kvantifikator ”dobro slaze” sa konjunkci-

jom – on moze uci u konjunkciju i delovati na svaki clan konjunkcije ponaosob, iobratno.

(h) (∃x)(A ∧ B) ⇒ (∃x)A ∧ (∃x)B

Ovde se vidi da se egzistencijalni kvantifikator ”ne slaze dobro” sa konjunkcijom

– on moze uci u konjunkciju, ali se ne moze izvuci iz nje.

Naime, ako postoji x tako da vazi A i postoji x tako da vazi B, to x ne mora

da bude isto za A i B, pa ne mora da postoji x tako da vazi A ∧ B.



(i) (∃x)(A ∨ B) ⇔ (∃x)A ∨ (∃x)B

Ova formula kaze da se egzistencijalni kvantifikator ”dobro slaze” sa disjunkcijom,

na isti nacin na koji se univerzalni kvantifikator slaze sa konjunkcijom.


Valjane formule

Valjane formule

Valjane formule

(j) (∀x)A ∨ (∀x)B ⇒ (∀x)(A ∨ B)

Ova formula kaze da se univerzalni kvantifikator ”ne slaze dobro” sa disjunkcijom

– on se moze izvuci iz disjunkcije, ali ne moze uci u nju.

Jasno, ako za svaki x vazi A i za svaki x vazi B, onda za svaki x vazi A ∨ B.

Medutim, ako za svaki x vazi A ∨ B, tada za neke x moze da vazi A a za neke

druge B, ali A ne mora da vazi za svaki x, niti B mora da vazi za svaki x.

(k) (∀x)(A ⇒ B) ⇒ ((∀x)A ⇒ (∀x)B)

(l) (∃x)(A ⇒ B) ⇔ ((∀x)A ⇒ (∃x)B)



(l) (∃x)(A ⇒ B) ⇔ ((∀x)A ⇒ (∃x)B)

(m) (∀x)(A ⇔ B) ⇒ ((∀x)A ⇔ (∀x)B) .


Valjane formule

Valjane formule

Valjane formule

Kao sto smo videli, tautologije oznacene sa (d), (h) i (j) sadrze imp-

likacije samo u jednom smeru.

Sada cemo dokazati da obratne implikacije ne vaze, tj. izokretanjem

smera implikacija u tim formulama se dobijaju formule koje nisu valjane.

Tvrdenje 3: Neka su A i B proizvoljne predikatske formule. Tada

sledece formule nisu valjane:

(d’) (∀y)(∃x)A ⇒ (∃x)(∀y)A;



(h’) (∃x)A ∧ (∃x)B ⇒ (∃x)(A ∧ B);

(j’) (∀x)(A ∨ B) ⇒ (∀x)A ∨ (∀x)B.


Valjane formule

Valjane formule

Valjane formule

Dokaz: (d’) (∀y)(∃x)A ⇒ (∃x)(∀y)A nije valjana formula:

Neka je domen interpretacije skup N prirodnih brojeva i A(x, y) se

interpretira kao ”x je vece od y”.

Tada (∀y)(∃x)A(x, y) znaci

”za svaki prirodan broj y postoji prirodan broj x veci od y”sto je ocigledno tacno.

Sa druge strane, (∃x)(∀y)A(x, y) znaci

”postoji prirodan broj x veci od svakog prirodnog broja y”



p j p j g p g j y

sto, naravno, nije tacno.

Prema tome, gornja implikacija nije tacna u datoj interpretaciji, pa

formula nije valjana.


Valjane formule

Valjane formule

Valjane formule

(h’) (∃x)A ∧ (∃x)B ⇒ (∃x)(A ∧ B) nije valjana formula:

Neka je domen interpretacije skup N prirodnih brojeva i A(x) se inter-

pretira kao ”x je neparan broj”, a B(x) kao ”x je paran broj”.

Tada (∃x)A ∧ (∃x)B znaci

”postoji neparan broj i postoji paran broj”sto je ocigledno tacno.

Medutim, (∃x)(A ∧ B) znaci

”postoji prirodan broj x takav da je x paran i neparan”



p j p j j p p

sto ocigledno nije ta v cno.

Prema tome, gornja implikacija nije tacna u datoj interpretaciji, pa

formula nije valjana.


Valjane formule

Valjane formule

Valjane formule

(i’) (∀x)(A ∨ B) ⇒ (∀x)A ∨ (∀x)B nije valjana formula:

Razmortimo ponovo istu interpretaciju kao u (h’).

Tada (∀x)(A ∨ B) znaci

”svaki prirodna broj je neparan ili paran”

sto je tacno.

Medutim, (∀x)A ∨ (∀x)B znaci

”svaki prirodan broj je neparan ili svaki prirodan broj je paran”



sto nije ta v cno.

Prema tome, gornja implikacija nije tacna u datoj interpretaciji, paformula nije valjana.


Semanticke posledice



Neka su A1, A2, . . . , An i A predikatske formule.

Za A kazemo da je semanticka posledica formula A1, A2, . . . , An ako

za svaku interpretaciju D i svaku valuaciju v u D u kojoj su sve formule

A1, A2, . . . , An tacne, vazi da je tacna i formula A, tj.

D |=v A1, A2, . . . , An povlaci D |=v A.

Kao i u iskaznoj logici, i ovde formule A1, A2, . . . , An nazivamo hipo-

tezama, a formulu A njihovom posledicom.








Premisa 1: (∀x)(∀y)(L(x, y) ⇒ L(y, x))

Premisa 2: (∀x)(∀y)(∀z)(L(x, y) ∧ L(y, z) ⇒ L(x, z))

Zakljucak: (∀x)(∀y)(L(x, y) ⇒ L(x, x))

Dokazacemo da je argumentacija ispravna, tj. da je zakljucak seman-

ticka posledica premisa.



Primetimo prethodno da se ovde zapravo tvrdi da ako je relacija L

simetricna i tranzitivna, tada ona zadovoljava i neku ”oslabljenu formurefleksivnosti”.





Dokaz: Ispravnost ove argumentacije dokazacemo na dva nacina: (1)

direktno i (2) svodenjem na protivrecnost.

(1) Neka je D = (D , φ) proizvoljna interpretacija gornjih formula u

kojoj su tacne obe premise. Neka je

v =

x y

a b

proizvoljna valuacija u D. Za formulu L(x, y) ⇒ L(x, x) dokazacemoda je tacna u toj valuaciji, tj. da vazi



da je tacna u toj valuaciji, tj. da vazi

(1) (a, b) ∈ φ(L) ⇒ (a, a) ∈ φ(L).





Prema pretpostavci, formula L(x, y) ⇒ L(y, x) tacna u valuaciji v,

sto znaci da

(2) (a, b) ∈ φ(L) ⇒ (b, a) ∈ φ(L).

Takode, formula L(x, y) ∧ L(y, z) ⇒ L(x, z) je tacna u valuaciji

w =

x y z

a b a

,

odakle dobijamo da



(3) (a, b) ∈ φ(L) ∧ (b, a) ∈ φ(L) ⇒ (a, a) ∈ φ(L).

Sada iz (1.2) i (1.3) dobijamo (1.1), sto je i trebalo dokazati.





(2) Pretpostavimo suprotno, da argumentacija nije ispravna.

To znaci da postoji interpretacija D = (D , φ) u kojoj su premise tacne

a zakljucak nije.

Ako zakljucak nije tacan, tacna je njegova negacija

(∃x)(∃y)(L(x, y) ∧ ¬L(x, x)),

sto znaci da postoje elementi a, b ∈ D takvi da vazi

(4) (a, b) ∈ φ(L) ∧ (a, a) /∈ φ(L).







Medutim, iz tacnosti prve premise dobijamo da

(a, b) ∈ φ(L) ⇒ (b, a) ∈ φ(L),

dok iz tacnosti druge premise sledi da

(a, b) ∈ φ(L) ∧ (b, a) ∈ φ(L) ⇒ (a, a) ∈ φ(L).

Iz svega toga zakljucujemo da je (a, a) ∈ φ(L), sto je u suprotnosti sa

(1.4). Dakle, polazna pretpostavka da argumentacija nije ispravna nije

dobra.








Premisa 1: (∀x)(∀y)(L(x, y) ⇒ L(y, x))

Premisa 2: (∀x)(∀y)(∀z)(L(x, y) ∧ L(y, z) ⇒ L(x, z))

Premisa 3: (∃y)L(a, y)

Zakljucak: (∃x)¬L(x, x)

Dokazacemo da argumentacija nije ispravna, tj. da zakljucak nije

semanticka posledica premisa.







Dokaz: Dokazujemo da argumentacija nije ispravna.

Uzmimo da je D skup svih nepraznih reci nad nekim alfabetom A, neka

je a fiksirana rec iz D i

L(x, y): ”x i y imaju zajednicki pravi prefiks”.

Tada su premise tacne, ali zakljucak nije.






Dedukcija i indukcija



Priroda naucnog znanja je u velikoj meri odredena njegovom podelomna empirijsko i apriorno znanje, kao i podelom metoda rasudivanja nainduktivne i deduktivne metode.

Termin empirijsko znaci zasnovan na iskustvu, dok apriori znaci dostiznopre iskustva.

Ukratko, empirijsko znanje se moze definisati kao znanje koje zahtevaiskustveno opravdanje. Do takvog znanja dolazi se upotrebom iskljucivoinduktivnih metoda rasudivanja.

Sa druge strane, apriorno znanje mozemo definisati kao znanje koje nemora da se opravda iskustvom.



U dolasku do takvog znanja moraju se, makar u jednom koraku, koristiti

deduktivni metodi rasudivanja, mada se mogu, ali i ne moraju, koristitii induktivni metodi.

Matematicka logika – 2 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 2 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 2 – Tehnike dokazivanja - I deo




Induktivno zakljucivanje je takav oblik zakljucivanja kod koga se polaziod empirijskih (iskustvenih) cinjenica, a zakljucak, koji se izvodi iz tihcinjenica, prevazilazi granice onoga sto te cinjenice kazu.

Pretpostavimo da neko zna da su vrane crne.

Ako je do tog saznanja dosao tako sto je iz cinjenice da su sve vrane

koje je video bile crne, izveo zakljucak da su sve vrane crne, onda jeon koristio induktivno zakljucivanje.

Naime, ovde cinjenice kazu da su sve vrane koje je video bile crne, a

zakljucak, prema kome su sve vrane crne, je prevazisao granice onogasto te cinjenice kazu.



Induktivno zakljucivanje lezi upravo u tom prelasku sa tvrdenja koje se

odnosi na sve posmatrane slucajeve na tvrdenje koje se odnosi na svemoguce slucajeve date vrste.





Deduktivno zakljucivanje je takav oblik zakljucivanja kod koga se nekistav, koji zovemo zakljucak, izvodi iz nekih drugih stavova koje zovemopremise ili pretpostavke.

Pri takvom zakljucivanju se ne bavimo pitanjem da li su premise i za-kljucak cinjenicno istiniti.

Jedino cime se tom prilikom bavimo je da utvrdujemo da li se premisei zakljucak nalaze u takvom odnosu da zakljucak mora nuzno da slediiz premisa.

Drugim recima, dedukcijom utvrdujemo da li se moze a priori znati daukoliko su premise istinite, da onda i zakljucak mora biti istinit.



Pri tome, za izvlacenje zakljucaka nije bitno da li su premise istinite ili

nisu, zakljucci se mogu izvoditi i iz neistinitih premisa.





Razmotrimo, na primer, rasudivanje:

Svaki vrabac je ptica.

Zec nije ptica.Dakle, zec nije vrabac.

Deduktivna argumentacija u ovom primeru je ispravna na osnovu svoje

logicke forme.

To znaci da u svakoj argumentaciji oblika

Svaki A je B.

Nijedan C nije B.



Dakle, nijedan C nije A.

mozemo a priori znati da ako su premise istinite, onda zakljucak moratakode biti istinit.





U logici se pojam logicke forme shvata kao nesto sto je u vezi samo sarasporedom reci

”svaki”, ”nijedan”, ”je”,

i izvesnih drugih ”logickih” reci kao sto su

”neki”, ”ne”, ”i”, ”ili” i ”ako”.

Argumentacija koju smo razmotrili ispravna je na osnovu svoje logickeforme – na osnovu rasporeda ovih ”logickih reci” u njoj.







Dedukcija i indukcija su suprotne, ali istovremeno i komplementarnemetode.

Suprotnost dedukcije i indukcije ogleda se u cinjenici da

deduktivno zakljucivanje vodi nuznim zakljuccima, dok

induktivno zakljucivanje vodi samo verovatnim zakljuccima.

Sa druge strane, njihova komplementarost se ogleda u njihovom odnosuprema pitanju cinjenicne istinitosti

dedukcija sluzi za iskljucivanje pogresnog rasudivanja ali ne utvrdujeˇi j iˇ i i i d k



cinjenicnu istinitost, dok se

indukcija bavi upravo cinjenicnom istinitoscu.





U svetlu ove razlike, metode nauke mogu se podeliti na

deduktivne metode, one koje nisu vezane za pitanje cinjenicne

istinitosti, i induktivne metode, koje su vezane za pitanje cinjenicne istinitosti.

U induktivne metode, koje nazivamo i empirijske metode, ubrajaju se indukcija u uzem smislu ili empirijska generalizacija,

gde ukljucujemo i indukciju prostim nabrajanjem,

eksperimentalni metod,

metod posmatranja,



p j ,

metod merenja,

metod analogije, i drugi.





U deduktivne metode, koje nazivamo i teorijske metode, ubrajaju se

dedukcija u uzem smislu, t.j. metod dokazivanja,

analiza – metoda izdvajanja neceg sto je prisutno kaosastojak,

sinteza – metoda spajanja stvari koje su bile nepovezane

i razlicite,

metode obrazovanja naucnih pojmova –

apstrahovanje, idealizacija, uopstavanje (generalizacija),

konstrukcija, i druge

metode organizacije naucnih teorija – aksiomatska, kon-



metode organizacije naucnih teorija aksiomatska, kon

struktivna i druge metode.


Istorija deduktivnog metoda



Deduktivno zakljucivanje je prvi uveo u upotrebu poznati grcki filosof i naucnik Tales, u 6. veku pre nove ere, dokazavsi nekoliko teorema opodudarnosti trouglova.

Za dalji razvoj i popularizaciju deduktivnog metoda veoma zasluzan jebio i Pitagora.

Thales of Miletus

624–547 BC



Pythagoras of Samos569–475 BC





Pojava deduktivnog metoda predstavlja jedan od kljucnih momenata urazvoju matematike.

Pre Talesa, matematika je bila induktivna nauka, i matematicko istra-zivanje sastojalo se u prikupljanju raznih empirijskih cinjenica o geo-metrijskim figurama i brojevima.

Sa Talesom, matematika postaje deduktivna nauka, i deduktivni metodpostaje “zastitni znak” matematike.

Kao proizvod sve sire i sire upotrebe deduktivnog metoda u matematici,

javila su se i brojna naucna pitanja koja su se ticala samog deduktivnogmetoda.



Sva ta pitanja dovela su do nastanka jos jedne nove nauke – logike.





Otac logike je Aristotel.

Osnove logike postavljene su u njegovom

delu Organon.

Aristotle

384–322 BC

U Organonu su po prvi put sistematizovana logicka znanja i logikazasnovana kao nauka.



“Organon” na grckom znaci “orude”, i logika je po Aristotelu trebala

da bude orude kojim treba da se sluze druge nauke.





Tvorac prve deduktivne, aksiomatske

teorije bio je Euklid.

Euclid of Alexandria

325–265 BC

Ta teorija, koju danas nazivamo Euklidska geometrija, stvorena je uEuklidovom delu Elementi.



Euklidska geometrija predstavlja model po kome se i danas organizujumatematicke teorije.





Od antickog doba, pa sve do srednjeg veka, trajao je period velikestagnacije logike.

Bilo je i onih koji su smatrali da je logika zatvorena nauka i da se unjoj nista sustinski novo ne moze pronaci. Tako je mislio cak i cuveninemacki filosof, Emanuel Kant.

Medutim, bilo je i onih koji su smatrali da je stagnacija logike jedan odglavnih razloga stagnacije celokupne nauke u to doba i da je neophodnoponovo pokrenuti razvoj logike.

Neki, poput engleskog filozofa Frensisa Bekona, pokusali su da stvorenovu induktivnu logiku – logiku zasnovanu na induktivnom zakljucivanju,umesto deduktivnog koja bi funkcionisala na slican nacin kao deduk-



umesto deduktivnog, koja bi funkcionisala na slican nacin kao deduk-tivna logika.

Medutim, u tome se nije uspelo.





Logiku je pokusao da ozivi i cuveni francuski

matematicar i filozof Rene Dekart.

Ideja mu je bila da stvori novu logiku, zasnova-

nu i dalje na deduktivnim principima, ali sa pot-

puno novim pravilima rasudivanja.

Rene Descartes1596–1650

Svoje ideje Dekart je publikovao u delima

∗ PRAVILA za usmeravanje duha∗ RASPRAVA O METODI pravilnog vodenja svoga uma i istrazivanja

i ti k



istine u naukama

∗ ISTRAZIVANJE ISTINE prirodnim svetlom umaMedutim, ni njegove ideje nisu dale prakticne rezultate.





Najblizi resenju problema ozivljavanja logike bio

je nemacki matematicar i filosof Gotfrid Lajbnic.

On je smatrao da uzrok stagnacije logike lezi u

jeziku kojim se ona koristi.

Gottfried Wilhelm von Leibniz

1646–1716

Lajbnic je smatrao da prirodni jezik, kojim se logika do tada koristila,nije pogodan za dalji razvoj logike.



j p g j j g

Smatrao je da logika treba da se koristi nekim specijalnim simbolickim jezikom, slicnim jeziku matematike.





Osim toga, prema Lajbnicu, logiku bi, po uzoru na aritmetiku, trebaloorganizovati u takav sistem, sa takvim pravilima, da ona funkcionisekao racun.

Ideje su bile izvrsne, ali Lajbnic nije uspeo da ih realizuje.

One nisu cak ni publikovane, i otkrivene su u arhivama Hanoverske

biblioteke tek 1905. godine.

A tada je problem vec bio resen, i to upravo na nacin koji je on pred-lagao.







Logiku je iz stagnacije pokrenuo britanski mate-

maticar Dzordz Bul.

On je preveo je logiku na jezik matematike, ilipreciznije na jezik algebre, i time stvorio teoriju

koju danas zovemo matematicka logika.

George Boole

1815–1864

To je uradeno u delu ”Istrazivanje zakona misljenja, na kojima su zasno-vane matematicke teorije logike i verovatnoce”, objavljenom 1854. g.

T d l k l j i t i j i b liˇk l i k



To delo pokrenulo je veoma intenzivan razvoj simbolickog logickog

aparata, cemu su znacajan doprinos kasnije dali i mnogi drugi matemati-cari-logicari.


Logicki paradoksi

Logicki paradoksi

Logicki paradoksi

Sa ekspanzijom matematicke logike, u nju su usle i neke nezeljene stvarikoje nazivamo logicki paradoksi.

Medu najznacajnije od tih paradoksa spadaju:

Epimenidov paradoks (paradoks lazova):

Kricanin Epimenid kaze: Svi Kricani lazu.

Pitanje: Da li Epimenid govori istinu?

Druga verzija je:

Recenica koju upravo izgovaram je laz.



j p g j

Kako god da odgovorimo na ovo pitanje, doci cemo do protivrecnosti.


Logicki paradoksi

Logicki paradoksi

Logicki paradoksi

Paradoks seoskog berberina:

Definisimo pojam seoskog berberina na sledeci nacin:

Seoski berberin je onaj stanovnik sela koji brije sve onekoji ne briju sebe same.

Postavlja se pitanje: Da li berberin brije sebe?

Kako god da odgovorimo i na ovo pitanje, dolazimo do protivrecnosti.




Logicki paradoksi

Logicki paradoksi

Logicki paradoksi

Zasto se javljaju paradoksi?

Postoji vise razloga zbog cega su se javljali paradoksi:

⊲ zbog nepreciznosti koje postoje u prirodnom jeziku

⊲ zbog nepreciznih definicija, na primer zbog neprecizne definicijepojma iskaza (tvrdenja, stava)

⊲ zbog nedopustivog nacina definisanja pojmova

– David Hilbert (1862–1943, nemacki matematicar)




Logicki paradoksi

Logicki paradoksi

Logicki paradoksi

Kako se resiti paradoksa?

To se moze uciniti:

⊲ koriscenjem simbolickog jezika, umesto prirodnog jezika

⊲ preciznijim definicijama i pravilima dokazivanja

⊲ formalizacijom jezika, definicija i pravila dokazivanja

Sve ovo spada medu glavne zadatke savremene matematicke logike ideduktivne metodologije.




Matematicke teorije

Matematicke teorije

Matematicke teorije

Organizacija svih matematickih teorija zasniva se na nekim zajednickimpolaznim principima.

Te principe postavio je jos 300. godina pre Hrista anticki matematicarEuklid, koji je u svom delu nazvanom Elementi izlozio geometriju kaoaksiomatsku teoriju.

Sa neznatnim izmenama ti principi i dalje vaze i koriste se.

Prilikom izgradnje bilo koje aksiomatske teorije najpre cinimo sledece:

∗ jedan broj pojmova teorije proglasavamo za osnovne ili primitivne

pojmove – pojmove koji se ne definisu;∗ jedan broj tvrdenja teorije proglasavamo za aksiome – tvrdenja koja

se ne dokazuju;



se ne dokazuju;

∗ navodimo pravila logickog zakljucivanja – pravila koja smemo dakoristimo pri dokazivanju raznih tvrdenja u toj teoriji.


Matematicke teorije

Matematicke teorije

Matematicke teorije

Zasto se osnovni pojmovi ne definisu a aksiome ne dokazuju?

Razlog je vrlo jednostavan:

∗ Nije moguce sve definisati, pa se nesto mora ostaviti nedefinisano,i to su osnovni pojmovi.

∗ Nije moguce sve dokazati, pa se nesto mora ostaviti nedokazanim,i to su aksiome.

Na primer, svaki pokusaj da se sve dokaze doveo bi do pojave

∗ porocnog kruga, latinski circulus viciosus, gde bi u dokaz nekog tvr-denja neposredno ili posredno bilo ukljuceno i ono samo, ili



∗ beskonacnog regresa – beskonacne hijerarhije novih i novih tvrdenjaneophodnih za dokazivanje onih prethodnih.


Matematicke teorije

Matematicke teorije

Matematicke teorije

Osnovni pojmovi se ne definisu, ali o njima obicno postoji jasna intu-itivna predstava.

Na primer, skup je osnovni pojam u teoriji skupova, tacka i prava suosnovni pojmovi u elementarnoj geometriji, itd.

Ukoliko je teorija aksiomatska, moglo bi se reci i da se osnovni pojmovine definisu eksplicitno, ali da su imlicitno definisani sistemom aksioma.

Ostali pojmovi se uvode definicijama.

Definicijama se znacenje tih pojmova objasnjava uz pomoc osnovnihpojmova i vec ranije definisanih pojmova.




Matematicke teorije

Matematicke teorije

Matematicke teorije

Sa druge strane, teorija se razvija tvrdenjima, odnosno teoremama.

Teoreme se dokazuju na osnovu pravila zakljucivanja, i u dokazima se

koriste samo aksiome i vec ranije dokazane teoreme.

U dokazivanju se ne koristi iskustvo ili ubedenje ma koje vrste, veciskljucivo logicka pravila.

To znaci da je navedeni metod razvijanja teorije deduktivan:

Novi pojmovi i tvrdnje se izvode ili deduciraju iz vec usvojenih,a na osnovu logickih zakona.

Uvodenje i upotreba navedenih pojmova i postupaka u matematici se



j p p j p p

proucava u okviru matematicke logike.


Definicije

Definicije

Definicije

Novi pojmovi se u matematici uvode recenicama koje se zovu definicije.

Pojam koji se definise zove se definiendum, a deo recenice kojim se on

definise zove se definiens.

Na primer, recenicom

”Prost broj je prirodan broj koji je deljiv samo sobom i jedinicom”

je definisan pojam prostog broja.

Dakle, u toj definiciji definiendum je ”prost broj” a definiens je

”prirodan broj koji je deljiv samo sobom i jedinicom”.




Definicije

Definicije

Definicije

Sta treba da ispuni jedna definicija da bi bila ispravna?

⊲ Prvo, definicija treba da bude otklonjiva.

To znaci da umesto svake recenice u kojoj se javlja pojam koji defi-

nisemo moze da se formulise druga recenica istog smisla, u kojoj se

taj pojam ne javlja.

Drugim recima, u bilo kojoj recenici u kojoj se definiendum javlja, on

se moze zameniti definiensom, a da se smisao recenice ne izmeni.

Dakle, novi pojmovi ne donose nista novo, ali se njima znacajno



pojednostavljuje rad i skracuju formulacije.


Definicije

Definicije

Definicije

⊲ Drugo, definicija ne sme da bude kreativna.

To znaci da definicija ne sme da omoguci dokaz tvrdenja koje se

bez nje ne bi moglo dokazati.

Takode, definicija u sebi ne sme da sadrzi nikakvo drugo tvrdenje

osim tvrdenja da definiendum i definiens imaju ekvivalentna znacenja.

Ukoliko definicija zahteva neko tvrdenje, to tvrdenje se mora izvuci

van definicije i dokazati pre nje.

Na primer, definicija pojma najveceg zajednickog delitelja dva brojazahteva da se prethodno dokaze tvrdenje:

Za proizvoljna dva prirodna broja m i n skup D(m n) svih prirodnih



Za proizvoljna dva prirodna broja m i n, skup D(m, n) svih prirodnih

brojeva koji dele m i n ima najveci element.


Definicije

Definicije

Definicije

Kada se ovo tvrdenje dokaze, onda se najveci zajednicki delitelj

brojeva m i n definise kao najveci element skupa D(m, n).

Definicija koja bi u sebi sadrzala ovo tvrdenje ne bi bila ispravna.

⊲ Definicija ne sme da bude nepredikativna.

Nepredikativne su one definicije kod kojih se neki pojam definiseukazivanjem na njegove veze sa elementima nekog skupa kojem i

sam taj pojam moze da pripada.

Primer ovakve definicije je definicija seoskog berberina u odgova-

rajucem paradoksu.



Zabrana nepredikativnih definicija zapravo znaci da definiendum nesme eksplicitno da bude sadrzan u definiensu.


Definicije

Definicije

Definicije

U matematici cesto srecemo definicije sledeceg oblika

”x se naziva tako i tako ako i samo ako vazi P (x)”, ili

”x je to i to ako i samo ako vazi P (x)”.

gde je P (x) neko svojstvo (unarni predikat).

Medutim, ako je x promenljiva koja vrednosti uzima u skupu komepripada i sam objekat koji ovako definisemo, onda se radi o nepredika-

tivnoj definiciju.

Takva je upravo definicija seoskog berberina u istoimenom paradoksu.

Dakle, u ovakvim definicijama moramo strogo voditi racuna o tome

´ k k j t t d fi iˇ



pomocu kakvog svojstva nesto definisemo.


Definicije

Definicije

Definicije

U daljem tekstu navodimo neke karakteristicne vrste definicija.

Direktne (eksplicitne) definicije:

Kod ovih definjicija pojam se definise eksplicitnim navodenjem svoj-

stava koja ga odreduju.

Primer 1: Direktne su sledece definicije:

∗ Romb je paralelogram sa jednakim stranicama

∗ Dve prave su mimoilazne ako ne pripadaju istoj ravni




Definicije

Definicije

Definicije

Indirektne (implicitne) definicije:

Kod ovih definjicija pojam se ne definise eksplicitnim navodenjem svoj-

stava koja ga odreduju, vec kao bilo koji objekat koji ispunjava odredeneuslove.

Ovakva vrsta definicija najcesce se koristi u aksiomatski zasnovanim

teorijama, gde se odredeni pojam moze definisati kao bilo sta sto zado-voljava uslove zadate aksiomama.

Na primer, u aksiomatskoj teoriji brojeva, zasnovanoj pomocu Peanovog

sistema aksioma, prirodni broj se definise kao bilo sta sto zadovoljava

Peanove aksiome.

Sliˇ k i t k j t iji k k d fi i k bil t t



Slicno, u aksiomatskoj teoriji skupova, skup se definise kao bilo sta sto

zadovoljava aksiome te teorije.


Definicije

Definicije

Definicije

Induktivne (rekurzivne) definicije:

Induktivne definicije predstavljaju poseban tip indirektnih definicija.

Induktivna definicija se sastoji iz tri dela:

(i) odreduju se neki polazni ili bazni elementi(ii) odreduje se nacin na koji se, pomocu odredenih operacija, iz baznih

elemenata mogu definisati drugi elementi

(iii) kaze se da pojmu koji se definise moze pripadati samo ono sto se

moze dobiti primenom pravila (i) i (ii) konacan broj puta




Definicije

Definicije

Definicije

Primer 2: Sledece definicije su induktivne:

∗ Definicija formule u iskaznoj logici.

(i) Iskazna slova su formule (bazni elementi).

(ii) Ako su A i B formule, onda su formule i

¬A, (A ∧ B), (A ∨ B), (A ⇒ B), (A ⇔ B).

(iii) Formule su samo oni izrazi koji se mogu dobiti primenom

pravila (i) i (ii) konacan broj puta.

∗ Definicija terma i formule u predikatskoj logici.

∗ Definicija Bulovog izraza.



∗ Definicija formule u FORTRAN-u.


Definicije

Definicije

Definicije

Definicija pomocu zatvorenja:

To je poseban vid induktivne definicije gde se neki skup definise kao

najmanji skup koji sadrzi date bazne elemente i zatvoren je za dateoperacije.

Pri tome, ako f jeste n-arna operacija na skupu A i X je podskup odA, onda kazemo da je X zatvoren za operaciju f ako za proizvoljne

x1, x2, . . . , xn ∈ X vazi da je i f (x1, x2, . . . , xn) ∈ X .




Definicije

Definicije

Definicije

Cest oblik definicije je logicka ekvivalencija, tj. recenica oblika

A ako i samo ako B

gde su A i B recenice ili formule koje sadrze definiendum i definiens,

tim redom.

Tu recenicu krace simbolicki oznacavamo sa A def ⇔ B.

Oznakom def

⇔ naglasava se da se ekvivalencijom uvodi novi pojam.

Drugim recima, njome se naglasava da se radi o definiciji, a ne o ekviva-

lenciji dva iskaza.




Definicije

Definicije

Definicije

Pojmovi se uvode i pomocu jednakosti, opet uz koriscenje posebnih

oznaka:

p

def

= q ili, sa istim znacenjem, p := q.

Ovde su p i q izrazi, redom definiendum i definiens.

Smisao ovakve definicije je: p je zamena za q.

Primer 3: Primeri definicija prema gornjim oznakama su

∗ p deli q ako i samo ako postoji r, tako da je p · r = q.

∗n def

= n!

.



k

k!(n − k)!


Dokazi

Dokazi

Dokazi

Kada se odaberu polazni stavovi - aksiome neke matematicke teorije,

onda se iz njih izvode nova tvrdenja.

U terminoloskom smislu, teorema, tvrdenje i stav imaju isto znacenje,dok je lema pomocno tvrdenje tehnickog karaktera.

Tvrdenje koje neposredno sledi iz nekog drugog naziva se posledica.

Dokaz nekog tvrdenja moze se definisati kao konacan niz tvrdenja ciji

je svaki clan ili aksioma, ili tvrdenje koje je ranije dokazano, ili se dobija

iz prethodnih clanova niza uz pomoc nekog pravila zakljucivanja.

Zakljucivanje se zasniva na zakonima logickog misljenja i raznim logickim

i matematickim pravilima izvodenja.



Formalizovani oblici tih pravila zakljucivanja jesu tautologije i valjaneformule.




Metodi dokazivanja

Metodi dokazivanja

Metodi dokazivanja

U daljem tekstu prikazacemo neke od osnovnih metoda dokazivanja.

Dokaz prostim nabrajanjem:

Ovo je najjednostavniji vid dokazivanja gde nabrajamo sve moguce slucajeve da bi

smo dokazali da nesto vazi.

Primer 4: Dokazati da je svaki paran broj izmedu 4 i 2

32

zbir dvaprosta broja.

Ovo bi se moglo dokazati prostim nabrajanjem, ali, kako se radi o ogromnom broju

slucajeva, to bi se moralo realizovati racunarom.



Matematicka logika – 2 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 2 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 2 – Tehnike dokazivanja - II deo

Metodi dokazivanja

Metodi dokazivanja

Metodi dokazivanja

Dokaz svodenjem na kontradikciju:

Ova vrsta dokaza se naziva i dokaz svodenjem na protivrecnost ili svodenjem na

apsurd.

To je vid indirektnog dokaza, koji je baziran na tautologiji

( p ⇒ (q ∧ ¬q)) ⇒ ¬ p

koja kaze da ako iz pretpostavke p mozemo izvesti kontradikciju, onda ta pretpostavka

p nije tacna.

U praksi se cesto ovaj metod bazira i na tautologiji

(( p ∧ q) ⇒ (r ∧ ¬r)) ⇒ ( p ⇒ ¬q).

prema kojoj, ako se iz pretpostavke da vazi p i q dolazi do kontradikcije, onda za-



kljucujemo da ako vazi p, onda ne moze da vazi q.


Metodi dokazivanja

Metodi dokazivanja

Metodi dokazivanja

Na primer, ovim metodom se moze dokazati tvrdenje, poznato jos starim Grcima, o

nesamerljivosti stranica kvadrata.

Primer 5: Dokazati da ne postoji razlomak ciji je kvadrat broj 2.

Drugim recima, ovo tvrdenje kaze da je√

2 iracionalan broj.

Tvrdenje ce biti dokazano na vezbama.

Jos jedan rezultat, poznat jos starim Grcima, je

Primer 6: Dokazati da ne postoji najveci prost broj.

I ovo ce biti dokazano na vezbama.




Metodi dokazivanja

Metodi dokazivanja

Metodi dokazivanja

Dokaz kontrapozicijom:

I ova vrsta dokaza predstavlja je vid indirektnog dokaza, koji je baziran na Zakonu

kontrapozicije

( p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬ p)

Pretpostavimo da treba da dokazemo neko tvrdenje oblika implikacije

p ⇒ q.

Medutim, nekad je jednostavnije da umesto toga dokazemo implikaciju

¬q ⇒ ¬

p.

Prema Zakonu kontrapozicije, potpuno je svejedno koju od ove dve implikacije cemo

dokazati, jer su one ekvivalentne.




Metodi dokazivanja

Metodi dokazivanja

Metodi dokazivanja

Primer 6: Setimo se da se injektivna funkcija definise kao funkcija

f : A → B takva da za proizvoljne x, y ∈ A vazi

(1) x

= y

⇒ f (x)

= f (y).

Prema Zakonu kontrapozicije, (1) je ekvivalentno sa

(2) f (x) = f (y) ⇒ x = y,

sto je u mnogim slucajevima jedostavnije za dokazivanje od (1).

Primer 7: Dokazati da ako je a + b 0, obda je a 0 ili b 0.

Dokaz ce biti dat na vezbama.




Metodi dokazivanja

Metodi dokazivanja

Metodi dokazivanja

Produzena implikacija:

Dokaz tvrdenja moze imati strukturu produzene implikacije

iz A1 sledi A2, iz A2 sledi A3, . . . , iz An−1 sledi An.

koja se koristi da bi se dokazalo A1 ⇒ An.

To se simbolicki belezi sa

A1 → A2 → · · · → An

Da bi se naglasilo kako je rec o kracem zapisu tekstualne recenice, a ne o iskaznoj

formuli, implikacija je ovde oznacena sa

→.

Produzena implikacija zapravo predstavlja kraci nacin da se oznaci primena tranzi-

tivnosti implikacije, koju predstavlja tautologija

(A1 A2) (A2 A3) (A−1 A ) (A1 A ).



( 1

⇒2)

∧( 2

⇒3)

∧ · · · ∧(

n1

⇒ n) ⇒

( 1

⇒ n)


Metodi dokazivanja

Metodi dokazivanja

Metodi dokazivanja

Primer 8: Dokazati da ako je ceo broj deljiv sa 2 i sa 5, onda je

deljiv i sa 10.

Resenje: Dokazuje se nizom implikacija

(2|x ∧ 5|x) → (x = 2m ∧ x = 5n)

→ (5x = 10m

∧4x = 20n)

→ (x = 10(m − 2n) → (10|x)




Metodi dokazivanja

Metodi dokazivanja

Metodi dokazivanja

Ciklicna implikacija:

Ima teorema gde dokazujemo ekvivalentnost iskaza A1, A2, . . . , An, tj. tacnost

formula Ai

⇔ A j , za sve razlicite i, j.

Ove ekvivalencije dokazuju se nizom

A1 → A2 → · · · → An → A1,

koji nazivamo ciklicna implikacija.

Postupak se zasniva na vec spomenutoj tranzitivnosti implikacije, kao i na tautologiji

(A

⇒ B)

∧(B

⇒ A)

⇔ (A

⇔ B).




Metodi dokazivanja

Metodi dokazivanja

Metodi dokazivanja

Primer 9: Dokazati da su za proizvoljan prirodan broj n sledeca

tvrdenja ekvivalentna:

(i) n je deljiv sa 30;

(ii) n je deljiv sa 6 i sa 5;

(iii) zbir cifara broja n deljiv je sa 3 i cifra jedinica mu je 0.

Ekvivalentnost ovih stavova moze se dokazati nizom

(i)→(ii)→(iii)→(i),

pri cemu se u svakoj od implikacija moze koristiti zakon kontrapozicije.

To ce biti uradeno na vezbama.




Metodi dokazivanja

Metodi dokazivanja

Metodi dokazivanja

Produzena ekvivalencija:

Dokaz moze imati i strukturu produzene ekvivalencije

A1 ako i samo ako A2 ako i samo ako . . . ako i samo ako An,

koja se koristi da se dokaze tacnost ekvivalencije A1 ⇔ An.

To se simbolicki belezi sa

A1 ↔ A2 ↔ · · · ↔ An

Ispravnost takvog postupka sledi iz cinjenice da je gore samo krace zapisano tvrdenje

(A1 ⇔ A2) ∧ (A2 ⇔ A3) ∧ · · · ∧ (An−1 ⇔ An),

na osnovu zakona asocijativnosti za konjunkciju.




Metodi dokazivanja

Metodi dokazivanja

Metodi dokazivanja

Na to se onda uzastopno primenjuje tranzitivnost ekvivalencije, odnosno tautologija

((A ⇔ B) ∧ (B ⇔ C )) ⇔ (A ⇔ C )

i dobija se gornji niz.

Ovaj metod se cesto koristi, na primer, kod resavanja jednacina.

Naime, jednacina (formula) se zamenjuje ekvivalentnom sve do one u kojoj se resenje

neposredno nalazi.

Primer 10: Koristeci metod produzene ekvivalencije resiti jednacinu

2x + 37

= 3x,

Ovo ce biti uradeno na vezbama.




Metodi dokazivanja

Metodi dokazivanja

Metodi dokazivanja

Metod razlikovanja slucajeva:

Ovaj metod se koristi u slucajevima kada iz tacnosti iskaza

A ∨ B, A ⇒ C i B ⇒ C

treba dokazati tacnost iskaza C .

To pravilo je posledica tautologije

(A ∨ B) ∧ (A ⇒ C ) ∧ (B ⇒ C ) ⇒ C.

Uopstenje ovoga je metod razlikovanja vise slucajeva.

Kod njega se, za proizvoljan prirodan broj n, iz tacnosti iskaza

A1 ∨ A2 ∨ · · · ∨ An, A1 ⇒ C, . . . , An ⇒ C

i di ˇ i k C



izvodi tacnost iskaza C .


Metodi dokazivanja

Metodi dokazivanja

Metodi dokazivanja

Primer 11: Dokazati da je proizvod tri uzastopna cela brojadeljiv sa 3.

Ovo se dokazuje tako sto se uoce proizvoljna tri uzastopna prirodna broja n, n + 1 i

n + 2, i onda se razlikuju tri slucaja

A1 : n ≡ 0 (mod 3), A2 : n ≡ 1 (mod 3), A3 : n ≡ 2 (mod 3).

Zadatak ce biti uraden na vezbama.




Matematicka indukcija



Iako se zove matematicka indukcija, ovaj metod nije induktivan, vec deduktivan, jer

je zasnovan na takozvanoj aksiomi matematicke indukcije ili principu matematicke

indukcije, koji glasi:

Neka je P (x) unarni predikat, pri cemu je x individualna promenljiva koja uzimavrednosti u skupu prirodnih brojeva.

(1) Ako je tacno P (1), i

(2) ako za svaki prirodan broj n, iz pretpostavke da je tacno P (n) sledi da je tacno

i P (n + 1),

onda iz svega toga sledi da je P (n) tacno za svaki n

∈ N.

To se moze izraziti i simbolicki sa

P (1) ∧ (∀x)(P (x) ⇒ P (x + 1))

⇒ (∀x)P (x)

.







Dokaz matematickom indukcijom ima tri osnovna elementa

∗ Indukcijska baza,

∗ Indukcijska hipoteza,

∗ Indukcijski korak.

Razlikuju se i dva osnovna vida dokazivanja matematickom indukcijom:∗ Indukcija, tj. prosta indukcija,

∗ Jaka indukcija.







Indukcijska baza:

Ovde se dokazuje da je tacno P (b), za bazicnu vrednost b.

Najcesce je b = 1, ali u nekim slucajevima se dokazuje i da tvrdenje vazi tek pocevod nekog broja b.

Indukcijska hipoteza:

U slucaju proste indukcije, pretpostavlja se da je P (n) tacno za neki prirodan broj n

veci od bazicne vrednosti b.

Kod jake indukcije, pretpostavlja se da je P (k) tacno za svaki k manji ili jednak

nekom prirodnom broju n, a veci od bazicne vrednosti b.

Indukcijski korak:

D k j d j t l ˇ j t ˇ i P ( + 1)



Dokazuje se da je u tom slucaju tacno i P (n + 1).





Ako su dokazani, ovi koraci garantuju da je P (n) tacno za svaki prirodan broj n veci

ili jednak bazicnoj vrednosti b.

Indukcija po slozenosti formule:

Ovo je poseban metod koji se koristi kod dokazivanja nekih tvrdenja koja se odnose

na formule u iskaznoj i predikatskoj logici, terme u predikatskoj logici, ili bilo sta

drugo sto se definise induktivno.To je zapravo jaka indukcija po broju veznika u koji se javljaju u formuli.







Visestruka indukcija:

Ovaj vid indukcije se koristi kada treba da se dokaze tvrdenje zadato predikatom

oblika P (x1, x2, . . . , xn), gde su x1, x2, . . . , xn promenljive koje uzimaju vrednosti

u skupu prirodnih brojeva.

Na primer, P (x, y) se moze dokazati na sledeci nacin:

∗ Formira se unarni predikat Q(x) ≡ (∀y)P (x, y).

∗ Indukcijom se dokazuje da je Q(m) tacno za svaki m ∈ N.

Medutim, u tom dokazivanju nailazimo na sledece:

∗ Kada, u indukcijskoj bazi, dokazujemo Q(1), mi zapravo dokazujemo da je

P (1, n) tacno za svaki n ∈ N.

∗ To se naravno dokazuje indukcijom po n.



∗





Takode,

∗ Kada iz pretpostavke da je tacno Q(m) treba da dokazemo da je tacno i Q(m +

1), onda zapravo indukcijom po n dokazujemo da je P (m + 1, n) tacno za svaki

n ∈ N.

Drugim recima, ovakav dokaz mozemo shvatiti kao dvostruku petlju – jednu po m

(spoljasnju), a drugu po n (unutrasnju).




Formalni dokaz

Formalni dokaz

Formalni dokaz

Matematicke teorije se mogu razmatrati i potpuno formalno, sa aspekta sintakse, bez

obracanja paznje na semantiku (znacenje i istinitost).

Pri takvom pristupu, uvode se vrlo precizna pravila za formiranje izraza i formula, kao

i vrlo precizna pravila dokazivanja, i jedino o cemu se vodi racuna je to da li se tapravila dosledno postuju.

Dokaz teoreme je u ovom pristupu (konacan) niz formula koje se redaju po unapred

definisanim pravilima.U tom smislu cak bi i racunar mogao da bez problema dokazuje teoreme.




Formalni dokaz

Formalni dokaz

Formalni dokaz

Formalna teorija T se definise kao uredena cetvorka

T = (X,F ,A , P ),

pri cemu

∗ X je prebrojiv skup, koji nazivamo skup polaznih simbola ili alfabet teorije T ;

∗ F je podskup skupa svih reci nad alfabetom X , koji nazivamo skup formula

teorije T ;

∗ A je podskup skupa formula F , nazivamo ga skup aksioma teorije T ;

∗ P je konacan skup nekih relacija (razlicitih duzina) na skupu formula, koji nazi-

vamo skup pravila izvodenja teorije T .




Formalni dokaz

Formalni dokaz

Formalni dokaz

Ako je ρ pravilo izvodenja, tj. relacija na F duzine n, i

(F 1, . . . , F n−1, F ) ∈ ρ,

onda se kaze da je formula F direktna posledica formula F 1, . . . , F n−1 po praviluizvodenja ρ, i pise se

ρ : F 1, . . . , F n−1

F .

Za konacan niz formula F 1, . . . , F k kazemo da je izvodenje, dedukcija ili dokaz u

teoriji T , ako za svaku od tih formula F i vazi:

∗ F i je aksioma, ili

∗ F i je dobijena od nekih prethodnih formula u tom nizu prema nekom od pravila

izvodenja u teoriji T .




Formalni dokaz

Formalni dokaz

Formalni dokaz

Formula F je teorema teorije T , ako postoje formule F 1, . . . , F k, takve da je

F 1, . . . , F k, F izvodenje u T .

Ovo izvodenje zove se dokaz teoreme F .

Da je formula F teorema, oznacava se krace sa ⊢ F .

Ako je potrebno naglasiti da se radi o teoremi u teoriji T , koristi se oznaka ⊢T F .

Za formalnu teoriju T kaze se da je odluciva ako postoji efektivan postupak (algo-ritam) kojim se moze proveriti da li je neka formula teorema, tj. da li za nju postoji

dokaz.




Formalni dokaz

Formalni dokaz

Formalni dokaz

Primer 12: Definisimo formalnu teoriju na sledeci nacin:

∗ Alfabet: X = {0, 1}.

∗ Skup formula: F je skup svih reci nad dvoelementnim alfabetom, tj. formula je

bilo koji konacan niz nula i jedinica.

∗ Aksiome: 0 i 1.

∗ Pravila izvodenja:

(A) F 1

F 10i (B)

F 0

F 01,

gde je F proizvoljna formula, a F 1, F 0, F 10, . . . su formule dobijene iz F dopisivanjem zdesna redom reci 1, 0, 10, . . . .




Formalni dokaz

Formalni dokaz

Formalni dokaz

Teorema ove teorije je, na primer, rec 010.

Odgovarajuci dokaz je niz formula (reci))

1. 0 (aksioma)

2. 01 (dobijena iz 1. prema pravilu (B))

3. 010 (dobijena iz 2. prema pravilu (A))

Uopste, lako se uocava da vazi sledece:

Tvrdenje: Rec nad alfabetom {0, 1} je teorema ove teorije ako i samo se u njoj slova

0 i 1 javljaju naizmenicno.

Ova teorema nam daje efektivan postupak za proveravanje da li je neka formula ove

teorije teorema te teorije ili nije.

Zbog toga je ova teorija odluciva.



g g j j


Formalni dokaz

Formalni dokaz

Formalni dokaz

Izvodenje iz hipoteza se sintaksicki definise na sledeci nacin.

Neka je H skup formula teorije T , cije elemente nazivamoi hipoteze.

Formula F te teorije je sintaksicka posledica hipoteza iz skupa H , ako postoji nizformula F 1, . . . , F n tako da je svaki clan F i tog niza vazi

∗ F i je aksioma, ili

∗ F i je hipoteza, tj. formula iz skupa H , ili

∗ F i je direktna posledica nekih prethodnih formula iz tog niza dobijena prema

nekom od pravila izvodenja.

U tom slucaju niz F 1, . . . , F n, F nazivamo izvodenje ili dokaz formule F iz hipoteza

iz skupa H .




Formalni dokaz

Formalni dokaz

Formalni dokaz

Da je F sintakticka posledica skupa hipoteza H oznacavamo sa

H ⊢ F .

Ukoliko je skup H konacan, tj. H = {F 1, . . . , F n}, onda se pise

F 1, . . . , F n ⊢ F .

Specijalno, za prazan skup hipoteza vazi

∅ ⊢ F ako i samo ako je F teorema,

sto se neposredno proverava.

Zato se oznaka praznog skupa hipoteza izostavlja i pise se ⊢ F .




Iskazni racun

Iskazni racun

Iskazni racun

Iskazna logika se moze izloziti kao formalna teorija. Ta formalna teorija oznacava sesa L i naziva se iskazni racun.

Jezik teorije L – alfabet i skup formula – smo vec ranije definisali. Ovde je taj jezik

neznatno modifikovan.

Alfabet teorije L sastavljen je od iskaznih slova: p, q, r . . . , odnosno p1, p2, p3, . . . ,

iskaznih veznika ⇒ i ¬, i zagrada ( i ).

Formule ove teorije se definisu induktivno, slicno ranijem:

(i) slova su iskazne formule;

(ii) ako su A i B iskazne formule, onda su iskazne formule i izrazi

¬A i (A ⇒ B);

(iii) iskazne formule su oni i samo oni izrazi koji se mogu formirati primenom pravila

(i) i (ii) konacan broj puta.




Iskazni racun

Iskazni racun

Iskazni racun

Aksiome su:

A1: A ⇒ (B ⇒ A)

A2: (A

⇒ (B

⇒ C ))

⇒ ((A

⇒ B)

⇒ (A

⇒ C ))

A3: (¬A ⇒ ¬B) ⇒ (B ⇒ A),

gde su A, B i C proizvoljne iskazne formule.

Jedino pravilo izvodenja je modus ponens:

M P : (A, A ⇒ B, B), odnosno M P : A, A ⇒ B

B.

Prihvata se i dogovor o uklanjanju spoljnih zagrada u formulama.




Iskazni racun

Iskazni racun

Iskazni racun

Moze se zapaziti da sve formule teorije L jesu iskazne formule i u smislu ranijedefinicije za iskaznu logiku.

Strogo posmatrano, obrat ne vazi jer logicki veznici ∧, ∨ i ⇔ nisu u ”osnovnom”

jeziku teorije L .

Medutim, ostali iskazni veznici mogu se uvesti na sledeci nacin:

(A ∧ B) je zamena za ¬(A ⇒ ¬B)

(A ∨ B) je zamena za ¬A ⇒ B

(A ⇔ B) je zamena za (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A).

Ocito je da uz ove oznake, formule teorije L u potpunosti odgovaraju iskaznim

formulama, kako su one uvedene u iskaznoj logici.




Iskazni racun

Iskazni racun

Iskazni racun

Najvaznije svojstvo iskazne logike je ono koje nam daje sledece tvrdenje:

Tvrdenje: Iskazna formula je teorema iskaznog racuna L ako i samo ako je tau-

tologija, tj.

⊢ A ako i samo ako |= A.

Ovo svojstvo objedinjuje semanticki aspekt logike (interpretacija) sa njenim sin-

taksickim aspektom (formalni dokaz).




Predikatski racun

Predikatski racun

Predikatski racun

Formalizacijom predikatske logike dolazi se do predikatskog ili kvantifikatorskog racuna,u oznaci P .

Alfabet teorije P cine oni isti polazni simboli pomocu kojih se definisu predikatske

formule, osim sto se koriste samo dva logicka veznika: ¬ i ⇒, i samo jedan kvan-tifikator, (∀x).

Formule teorije P su sve predikatske formule u kojima figurisu logicki znaci ¬ i ⇒,

kao i kvantifikator (∀x).Moze se dati i formalna induktivna definicija tih formula, na isti nacin kao u predikatskoj

logici, ali bez veznika ∧, ∨ i ⇔ i kvantifikatora ∃.

Veznici ∧, ∨ i ⇔ definisu se kao u iskaznom racunu, a egzistencijalni kvantifikatorkao sto sledi:

(∃x) je zamena za ¬(∀x)¬




Predikatski racun

Predikatski racun

Predikatski racun

Tako je svaka formula teorije P jedna predikatska formula i obratno.

Aksiome racuna P su:

A1: A

⇒ (B

⇒ A)

A2: (A ⇒ (B ⇒ C )) ⇒ ((A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ C ))

A3: (¬A ⇒ ¬B) ⇒ (B ⇒ A)

A4: (∀x)(A ⇒ B(x)) ⇒ (A ⇒ (∀x)B(x)), pod uslovom da x nijeslobodna promenljiva u formuli A.

A5: (∀x)A(x) ⇒ A(t), ako je term t nezavisan od promenjive x u

formuli A(x).

Primetimo da su prve tri aksiome iste kao u iskaznom racunu.

Sve navedene aksiome su valjane formule.




Predikatski racun

Predikatski racun

Predikatski racun

Pravila izvodenja su:

modus ponens generalizacija

MP: A, A ⇒ B

BGEN:

A

(∀x)A

tj. iz A se izvodi (∀x)A

Kao i kod iskaznog racuna, i ovde vazi:

Tvrdenje: Predikatska formula je teorema predikatskog racunaP

ako i samo ako jevaljana formula.




Documents

PMF Niš - Matematička Logika