Matematikai háttér Probability theory and statistics Time interval distributions Arrival processes

PPKE ITK

2008/09tanév

8.félév

(tavaszi)

Távközlő rendszerekTávközlő rendszerekforgalmi elemzéseforgalmi elemzése

TájékoztatásTájékoztatáshttp://digitushttp://digitus.itk.ppke.hu/~gosztony/.itk.ppke.hu/~gosztony/

6.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 17.Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 17. 22

Matematikai háttérMatematikai háttér

1.1. Probability theory and statisticsProbability theory and statistics

2.2. Time interval distributionsTime interval distributions

3.3. Arrival processesArrival processes

4.4. The Poisson processThe Poisson process

Az angol megnevezések megismerése is célkitűzésAz angol megnevezések megismerése is célkitűzés

Bevezetés 1.Bevezetés 1.


A A Poisson Poisson folyamat a folyamat a legfontosabblegfontosabb pont-folyamat.pont-folyamat.

• amint vv-k összegezése amint vv-k összegezése központi határeloszlás központi határeloszlás tétel tétel normális eloszlásnormális eloszlás

• úgy sztochasztikus pontfolyamatok szuperpozíciója úgy sztochasztikus pontfolyamatok szuperpozíciója exponenciális eloszlásexponenciális eloszlás

A Poisson folyamat a A Poisson folyamat a

leginkább véletlenszerűleginkább véletlenszerű folyamat folyamat• Fizikai modell Fizikai modell matematikai leírás matematikai leírás• TulajdonságokTulajdonságok• Megszakított (interrupted) Poisson folyamatMegszakított (interrupted) Poisson folyamat

Bevezetés 2.Bevezetés 2.


Alapvető tulajdonságokAlapvető tulajdonságok

Már láttuk:Már láttuk: a)a) Stacionárius Stacionárius ((kk esemény bekövetkezésének esemény bekövetkezésének valószínűsége csak az időtartam valószínűsége csak az időtartam hosszúságától függ.) hosszúságától függ.)

b)b)FüggetlenFüggetlen (Minden időpontra (Minden időpontra emlékezet emlékezet nélküliség) nélküliség)

c)c) Egyszerű Egyszerű (Egy időpontban egyetlen esemény.)(Egy időpontban egyetlen esemény.)

Nem okvetlenülNem okvetlenülszükséges. Lehetszükséges. Lehetidőtől függőidőtől függőintenzitás.intenzitás.

b) és c) alapján levezethetők b) és c) alapján levezethetők további tulajdonságok:további tulajdonságok:

Darabszám szemlélet Darabszám szemlélet Események száma rögzítettEsemények száma rögzítetthosszúságú idő intervallumban hosszúságú idő intervallumban PoissonPoisson eloszlású. eloszlású.

Időtartam szemlélet Időtartam szemlélet Két egymást követő eseményKét egymást követő eseményközötti időtartam eloszlása közötti időtartam eloszlása exponenciálisexponenciális eloszlású eloszlású. .


Levezetés fizikai modell alapjánLevezetés fizikai modell alapján::

tt

00Az igények véletlenül, a többi igénytől Az igények véletlenül, a többi igénytől függetlenül érkeznek. Igények gyakorisága függetlenül érkeznek. Igények gyakorisága , , azaz azaz igény érkezik időegységenként. igény érkezik időegységenként.

Egy adott Egy adott igény-elrendezésigény-elrendezés (pattern) megjelenése (pattern) megjelenésevalamely idő intervallumban független az intervallumvalamely idő intervallumban független az intervallumhelyétől a helyétől a tt tengelyen. tengelyen.

Kapcsolódó eloszlások 1.Kapcsolódó eloszlások 1.

Jelölés: Jelölés: pp((υυ,, t) t) annak valószínűsége, hogy annak valószínűsége, hogy υυ esemény következik esemény következik be a be a tt hosszúságú idő intervallumban. hosszúságú idő intervallumban.


Kapcsolódó eloszlások 2.Kapcsolódó eloszlások 2.A A tt11 és és tt22 intervallumok értelmezéseintervallumok értelmezése

Definíciók Definíciók (nem levezetés !)(nem levezetés !)::

p(0,t)p(0,t) annak valószínűsége, hogy a (0,t) intervallumban nem annak valószínűsége, hogy a (0,t) intervallumban nem érkezik igény, azaz az első igény érkezéséig eltelő idő érkezik igény, azaz az első igény érkezéséig eltelő idő hosszabb mint hosszabb mint t.t.

Függetlenség miattFüggetlenség miatt

Két egymást követő igényKét egymást követő igényközötti távolság várhatóközötti távolság várhatóhosszúságahosszúsága

Ezért:Ezért: ésés

2.2.

3.3. 4.4.

1.1.



Az 1.- 4. tulajdonságok alapján Az 1.- 4. tulajdonságok alapján p(0,t) p(0,t) meghatározható.meghatározható.Kimutatható, hogy Kimutatható, hogy [1 - (p(0,t)][1 - (p(0,t)] exponenciális eloszlású. exponenciális eloszlású.Lépések:Lépések:

0

0

]1[ btbt eb

dte

1.1. -ből-ből

2.2. -ből-ből


Kapcsolódó eloszlások 4.Kapcsolódó eloszlások 4.p(0,t) p(0,t) annak valószínűsége, hogy a következő igényannak valószínűsége, hogy a következő igénytöbb mint több mint tt idő múlva érkezik. Ebből: idő múlva érkezik. Ebből:

Továbbá:Továbbá:

Annak valószínűsége, hogy a Annak valószínűsége, hogy a (t, t+dt) (t, t+dt) intervallumban intervallumban igény érkezzék = igény érkezzék = dtdt, nem függ , nem függ t-t-től. Nincs emlékezet.től. Nincs emlékezet.

Első következményElső következményExponenciális eloszlás Exponenciális eloszlás (és(és kapcsolódó kapcsolódó Poisson folyamat)Poisson folyamat) az eredmény. az eredmény.


Kapcsolódó eloszlások 5.Kapcsolódó eloszlások 5.Az az időtartam, amíg pontosan Az az időtartam, amíg pontosan kk igény érkezik igény érkezik k k darabdarabIID IID exponenciális eloszlású vv. összege. exponenciális eloszlású vv. összege. Ez az Ez az Erlang-k eloszlásErlang-k eloszlás. . <- <- Második következményMásodik következmény

Ha Ha k=1k=1, akkor az exponenciális eloszlást kapjuk., akkor az exponenciális eloszlást kapjuk.Statisztikai szempontból az Erlang-k eloszlás Statisztikai szempontból az Erlang-k eloszlás speciális speciális gamma eloszlásgamma eloszlás

Az összefüggés Az összefüggés érvényessége érvényessége teljes indukcióval teljes indukcióval bizonyítható.bizonyítható.



Példa:Példa:

Számítás.Számítás.

Részletek aRészletek ajegyzetben.jegyzetben.



Az előzőekből már következik, hogy a rögzített Az előzőekből már következik, hogy a rögzített tt idő-intervallumban beérkező igények száma idő-intervallumban beérkező igények száma Poisson Poisson eloszlásúeloszlású. Feltételezés:. Feltételezés:

00 tt11 tt11+ dt+ dt11 tt

Az idő-intervallumokban bekövetkező eseményekAz idő-intervallumokban bekövetkező eseményekfüggetlenségének feltételezése alapján függetlenségének feltételezése alapján

(a)(a) (b)(b) (c)(c)



Továbbá:Továbbá:



Ez az előző Ez az előző háromháromvalószínűségvalószínűségszorzatánakszorzatánakintegrálja integrálja

A Poisson eloszlás jó modell aA Poisson eloszlás jó modell atávközlésben megjelenő hívásokhoztávközlésben megjelenő hívásokhozvagy számítógépes rendszerekben vagy számítógépes rendszerekben jelentkező „job”-okhoz.jelentkező „job”-okhoz.

Harmadik következményHarmadik következmény



Számítás.Számítás.

Részletek aRészletek ajegyzetjegyzetben.ben.

Number of Number of Internet Internet dial-up callsdial-up callsper second.per second.


A vázolt fizikai modell alapján:A vázolt fizikai modell alapján:• A beérkező igények közötti időszakasz A beérkező igények közötti időszakasz

eloszlása eloszlása exponenciálisexponenciális• A pontosan A pontosan kk igény beérkezéséhez igény beérkezéséhez

szükséges időszakasz szükséges időszakasz Erlang-k Erlang-k eloszlásúeloszlású

• A rögzített hosszúságú A rögzített hosszúságú tt idő alatt idő alatt beérkező igények száma beérkező igények száma Poisson Poisson eloszlású eloszlású és várható értékük és várható értékük tt . .

EredményekEredmények


Slotted ALOHA Satellite SystemSlotted ALOHA Satellite System

FelajánlottFelajánlottés és átvittátvittforgalomforgalomviszonya.viszonya.

(Számítási példa részletei jegyzetben/gyakorlaton.)(Számítási példa részletei jegyzetben/gyakorlaton.)


Poisson folyamat kockadobásból 1. Poisson folyamat kockadobásból 1.

Poisson folyamat levezethető a Poisson folyamat levezethető a binomiális folyamatból, binomiális folyamatból, ha ha

• kísérletszám kísérletszám nn ∞ ∞• sikervalószínűség sikervalószínűség pp 0 0• n.pn.p állandó állandó

Összehasonlítások:Összehasonlítások:



Emlékezete egyik eloszlásnak sincs !!Emlékezete egyik eloszlásnak sincs !!


Poisson folyamat kockadobásból 2a. Poisson folyamat kockadobásból 2a.

1)p1(pmivelp

1

)p1(1

1...)p1()p1()p1(1

...)p1(p)p1(p)p1(p

....)p1(p4)p1(p3)p1(p2p

)p1(npm

1n

1n

32

3n

1n

2n

1n

1n

1n

32

1n

1n1

A geometriai eloszlás várható értékének számítása:A geometriai eloszlás várható értékének számítása:






Poisson folyamat tulajdonságai 1.Poisson folyamat tulajdonságai 1.

Palm tétel – Palm tétel – Superposition theoremSuperposition theorem(Analóg a központi határeloszlás tétellel.)(Analóg a központi határeloszlás tétellel.)

Palm’s theoremPalm’s theorem: : by superposition of many independentby superposition of many independent point processes point processes thethe resulting total process will locally resulting total process will locally be a Poisson process.be a Poisson process.

locally locally – a vizsgált idő-intervallumok olyan rövidek, – a vizsgált idő-intervallumok olyan rövidek, hogy minden folyamat legfeljebb egyetlen eseménnyel hogy minden folyamat legfeljebb egyetlen eseménnyel járul hozzá az összetett folyamathoz. – Csak egyszerűjárul hozzá az összetett folyamathoz. – Csak egyszerűpont folyamatokra érvényespont folyamatokra érvényes



Palm tétel szemléltetésePalm tétel szemléltetése



Bizonyítás menete:Bizonyítás menete:• nn folyamat összesítése a teljes folyamatba, folyamat összesítése a teljes folyamatba,• az időegység alkalmas megválasztásával a az időegység alkalmas megválasztásával a beérkezések közötti átlagos időtartam a teljes beérkezések közötti átlagos időtartam a teljes folyamatban folyamatban nn-től függetlenül állandó,-től függetlenül állandó,• valamely véletlen időponttól a következővalamely véletlen időponttól a következő beérkezés a teljes folyamatra: beérkezés a teljes folyamatra:

……....

Részletek a jegyzetben.Részletek a jegyzetben.



Raikov tétel – Raikov tétel – Decomposition theoremDecomposition theorem

Raikov’s theoremRaikov’s theorem::by a random decomposition of a point process into by a random decomposition of a point process into subsub--processes,processes, the individual sub-process converges the individual sub-process converges to a Poisson process, when the probabilityto a Poisson process, when the probability that an that an event belongs to the sub-process tends to zero.event belongs to the sub-process tends to zero.

Felbontás véletlenszerűen. Ha az alfolyamatban Felbontás véletlenszerűen. Ha az alfolyamatban nn--szer kevesebb esemény van, akkor szer kevesebb esemény van, akkor nn-szeresen-szeresenlehet összenyomni az időtengelyeket. lehet összenyomni az időtengelyeket.

Véletlen áthelyezés – Véletlen áthelyezés – translation. translation. Ha az áthelyezésHa az áthelyezésminden eseményre véletlenszerű, akkor minden eseményre véletlenszerű, akkor Poisson Poisson folyamathoz.folyamathoz.



We have seen that a We have seen that a uniform distribution in a very uniform distribution in a very large intervallarge interval corresponds to a Poisson process. The corresponds to a Poisson process. The inverse propertyinverse property is also valid. is also valid.

If for a Poisson process we have If for a Poisson process we have nn arrivals within an arrivals within an interval of duration interval of duration tt,, then these arrivals are then these arrivals are uniformly distributed within this interval.uniformly distributed within this interval.

The length of this interval can itself be a random The length of this interval can itself be a random variable if it is independent of the Poissonvariable if it is independent of the Poisson process.process.


IPP – Interrupted Poisson processIPP – Interrupted Poisson process MMPP – Markov Modulated Poisson MMPP – Markov Modulated Poisson

ProcessProcess MAP – Markov Arrival ProcessMAP – Markov Arrival Process

Poisson folyamat általánosítása 1.Poisson folyamat általánosítása 1.

A Poisson folyamat nagyon könnyen alkalmazható.A Poisson folyamat nagyon könnyen alkalmazható.Egyes esetekben azonban nem elegendő a ténylegesEgyes esetekben azonban nem elegendő a ténylegesfolyamatok leírására, mert csak egyetlen paramétere folyamatok leírására, mert csak egyetlen paramétere van. A IPP-t elterjedten alkalmazzák.van. A IPP-t elterjedten alkalmazzák.




Poisson folyamat általánosítása 3.Poisson folyamat általánosítása 3.A kapcsolót kétA kapcsolót kétállapotú Markov állapotú Markov folyamat vezérli.folyamat vezérli.A beérkezés aA beérkezés atúlcsordulási nya-túlcsordulási nya-lábhoz lábhoz OnOn vagyvagyOffOff állapotban állapotban lévő Poisson lévő Poisson folyamat.folyamat.

Olyan mint egyOlyan mint egyhiper-exponenciálishiper-exponenciálisbeérkezésibeérkezésifolyamat.folyamat.

ParaméterekParaméterek



Paraméterek viszonya:Paraméterek viszonya:

A kétfázisú hiper-exponenciális eloszlás A kétfázisú hiper-exponenciális eloszlás Cox-2Cox-2 eloszlássá alakítható át. eloszlássá alakítható át.

Feltételezés: az Feltételezés: az OnOn és és OffOff idő-intervallumok idő-intervallumok közelítésként exponenciális eloszlásúak közelítésként exponenciális eloszlásúak γγ és és ωωintenzitássalintenzitással

Documents

Matematikai háttér Probability theory and statistics Time interval distributions Arrival processes