Tómács Tibor

Matematikai statisztikagyakorlatok

Matematikai és Informatikai Intézet

Tómács Tibor

Matematikai statisztikagyakorlatok

Átdolgozott kiadás

Utolsó módosítás:2020. április 27.

A jegyzet szabadon letölthető az alábbi linkről:https://tomacstibor.uni-eszterhazy.hu/tananyagok/Matematikai_statisztika_

gyakorlatok.pdf

Eger, 2020

https://tomacstibor.uni-eszterhazy.hu/tananyagok/Matematikai_statisztika_gyakorlatok.pdfhttps://tomacstibor.uni-eszterhazy.hu/tananyagok/Matematikai_statisztika_gyakorlatok.pdf

Szerző:Dr. Tómács Tiboregyetemi docens

Eszterházy Károly Egyetem

Bíráló:Dr. Sztrik Jánosegyetemi tanár

Debreceni Egyetem

Készült a TÁMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0038 támogatásával.

Tartalomjegyzék

Előszó 7

Jelölések 8

1. Mintagenerálás 101.1. Egyenletes eloszlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2. Exponenciális eloszlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3. Normális eloszlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4. Diszkrét egyenletes eloszlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5. Karakterisztikus eloszlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6. Binomiális eloszlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7. Hipergeometrikus eloszlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.8. Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Tapasztalati eloszlás 212.1. Tapasztalati eloszlásfüggvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2. Vonaldiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3. Sűrűséghisztogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4. Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3. Grafikus illeszkedésvizsgálat 353.1. Paraméter nélküli eloszlásra vonatkozó illeszkedésvizsgálat . . . . . . 353.2. Egyparaméteres eloszlásra vonatkozó illeszkedésvizsgálat . . . . . . . 373.3. Kétparaméteres eloszlásra vonatkozó illeszkedésvizsgálat . . . . . . . 403.4. Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4. Statisztikák 444.1. Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5. Intervallumbecslések 505.1. Normális eloszlás paramétereinek becslése . . . . . . . . . . . . . . . 50

3

5.2. Valószínűség becslése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.3. Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6. Paraméteres hipotézisvizsgálatok 566.1. Egymintás u-próba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.2. Kétmintás u-próba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.3. Egymintás t-próba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.4. F-próba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.5. Kétmintás t-próba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.6. Scheffé-módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.7. Welch-próba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.8. Khi-négyzet próba normális eloszlás szórására . . . . . . . . . . . . . 656.9. Statisztikai próba az exponenciális eloszlás paraméterére . . . . . . . 666.10. Statisztikai próba valószínűségre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.11. Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7. Nemparaméteres hipotézisvizsgálatok 727.1. Tiszta illeszkedésvizsgálat valószínűségre . . . . . . . . . . . . . . . . 727.2. Tiszta illeszkedésvizsgálat eloszlásfüggvényre . . . . . . . . . . . . . . 737.3. Becsléses illeszkedésvizsgálat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.4. Függetlenségvizsgálat eseményrendszerekre . . . . . . . . . . . . . . . 767.5. Függetlenségvizsgálat két valószínűségi változóra . . . . . . . . . . . 777.6. Homogenitásvizsgálat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.7. Kétmintás előjelpróba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.8. Kolmogorov – Szmirnov-féle kétmintás próba . . . . . . . . . . . . . . 807.9. Kolmogorov – Szmirnov-féle egymintás próba . . . . . . . . . . . . . . 827.10. Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

8. Szórásanalízis 868.1. Egyszeres osztályozás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868.2. Kétszeres osztályozás interakció nélkül . . . . . . . . . . . . . . . . . 888.3. Kétszeres osztályozás interakcióval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9. Regressziószámítás 949.1. Lineáris regresszió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949.2. Fixpontos lineáris regresszió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 989.3. Nemlineáris regresszió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

9.3.1. Polinomos regresszió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4

9.3.2. Hatványkitevős regresszió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1029.3.3. Exponenciális regresszió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039.3.4. Logaritmikus regresszió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049.3.5. Hiperbolikus regresszió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

9.4. Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

10.Összefoglaló 10710.1. Eloszlások generálása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

10.1.1. Egyenletes eloszlásból származtatott eloszlások . . . . . . . . 10710.1.2. Normális eloszlásból származtatott eloszlások . . . . . . . . . 108

10.2. Grafikus illeszkedésvizsgálat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10910.3. Intervallumbecslések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10910.4. Paraméteres hipotézisvizsgálatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11010.5. Nemparaméteres hipotézisvizsgálatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11410.6. Regressziószámítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11710.7. Excel függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

10.7.1. Analysis ToolPak aktiválása . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11910.7.2. Képlet bevitele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12010.7.3. Tömbképlet bevitele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12010.7.4. Tömbképlet javítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12010.7.5. Műveletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12010.7.6. Relációk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12010.7.7. Konstansok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12010.7.8. Logikai függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12110.7.9. Elemi függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12110.7.10. Mátrixok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12110.7.11. Kombinatorika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12210.7.12. Pszeudo-véletlen szám generálása . . . . . . . . . . . . . . . 12210.7.13. Statisztikák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12210.7.14. Eloszlásfüggvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12310.7.15. Inverz eloszlásfüggvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12410.7.16. Eloszlások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12510.7.17. Sűrűségfüggvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12510.7.18. Grafikus illeszkedésvizsgálat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12610.7.19. Intervallumbecslés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12610.7.20. Paraméteres hipotézisvizsgálatok . . . . . . . . . . . . . . . . 12610.7.21. Nemparaméteres hipotézisvizsgálatok . . . . . . . . . . . . . 127

5

10.7.22. Regressziószámítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Irodalomjegyzék 129

6

Előszó

Ez a tananyag az Eszterházy Károly Egyetem matematikai statisztika gyakorlataibólkészült. Alapvetően Tómács Tibor [13] tananyagára építünk, amelyben az elméletialapok találhatóak meg. Természetesen a két műben a jelölések és a szóhasználatis megegyezik, így itt alkalmazásukkor már nem ismertetjük az elméleti részbenbevezetett jelöléseket, csak összefoglaljuk a Jelölések című részben.

Ez a tananyag inkább számítógéppel megoldható gyakorlatokat, míg az előbbemlített mű, a szükséges definíciókon és tételeken túl, elméleti számításokat igénylőfeladatokat tartalmaz.

A matematikai statisztika elméletének gyakorlatba való átültetésére mindenekelőttmintarealizációkra lesz szükségünk. Ezeket néhány esetben mi fogjuk generálniszámítógéppel, de lesznek olyan esetek is, amikor adott mintát kell vizsgálnunk.

A mintagenerálást és annak statisztikai elemzését is a Microsoft Office Excelprogram magyar nyelvű változatával végezzük. Az Excel alapfokú használatát ismert-nek tételezzük fel, ennek ellenére a példák megoldását olyan részletesen mutatjukmeg, amennyire csak lehet. Itt jegyezzük meg, hogy további számos programcsomagkészült statisztikai adatok feldolgozására (SPSS, SAS, MatLab, Maple, R-nyelvűstatisztikai rutinok, stb.).

Minden fejezet tartalmaz mintapéldákat részletesen megoldva. A fejezetek végéngyakorlatokat találhatunk, melyhez szükség szerint útmutatót is adunk.

A statisztikában szokásos táblázatokat ebben a tananyagban nem mellékeljük,mert az ezekben található értékeket számítógép segítségével fogjuk kiszámolni.

A tananyag vége egy összefoglalót tartalmaz, melyben megtalálható minden olyaninformáció, amely a példák és gyakorlatok megoldásához szükséges.

7

Jelölések

Általános

N a pozitív egész számok halmazaR a valós számok halmazaRn R-nek önmagával vett n-szeres Descartes-szorzataR+ a pozitív valós számok halmaza(a, b) rendezett elempár vagy nyílt intervallum' közelítőleg egyenlő[x] az x valós szám egész részef−1 az f függvény inverzeA> az A mátrix transzponáltjaA−1 az A mátrix inverze

Valószínűségszámítás

P(A) az A esemény valószínűségeE ξ ξ várható értékeD ξ, D2 ξ ξ szórása illetve szórásnégyzetecov(ξ, η) kovarianciacorr(ξ, η) korrelációs együtthatóϕ a standard normális eloszlás sűrűségfüggvényeΦ a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényeΓ Gamma-függvényIA az A esemény indikátorváltozójaBin(r; p) az r-edrendű p paraméterű binomiális eloszlású valószínűségi válto-

zók halmazaExp(λ) a λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók hal-

maza

8

Norm(m;σ) az m várható értékű és σ szórású normális eloszlású valószínűségiváltozók halmaza

Gamma(r;λ) az r-edrendű λ paraméterű gamma-eloszlású valószínűségi változókhalmaza

Khi(s) az s szabadsági fokú khi-négyzet eloszlású valószínűségi változókhalmaza

T(s) az s szabadsági fokú t-eloszlású valószínűségi változók halmazaF(s1; s2) az s1 és s2 szabadsági fokú F-eloszlású valószínűségi változók hal-

mazaF [V] Ha ξ valószínűségi változó és V a ξ-vel azonos eloszlású valószínűségi

változók halmaza, akkor F [V] a V-beli valószínűségi változók közöseloszlásfüggvényét jelenti. Például Φ = F [Norm(0; 1)].

Matematikai statisztika

F ∗n tapasztalati eloszlásfüggvényξ a ξ-re vonatkozó minta átlaga (mintaátlag)Sn, S

2n tapasztalati szórás illetve szórásnégyzet

Sξ,n, S2ξ,n ξ-re vonatkozó tapasztalati szórás illetve szórásnégyzet

S∗n, S∗n

2 korrigált tapasztalati szórás illetve szórásnégyzetS∗ξ,n, S

∗2ξ,n ξ-re vonatkozó korrigált tapasztalati szórás illetve szórásnégyzet

ξ∗1 , . . . , ξ∗n rendezett minta

Covn(ξ, η) tapasztalati kovarianciaCorrn(ξ, η) tapasztalati korrelációs együtthatóϑ̂ a ϑ paraméter becsléseH0, H1 nullhipotézis, ellenhipotézis

9

1. fejezet

Mintagenerálás

A statisztikai elemzések során ismeretlen eloszlású valószínűségi változókat vizsgálunkoly módon, hogy a valószínűségi változóra több mérést is elvégzünk. A kapottszámokat mintarealizációnak nevezzük. Ha ξ a vizsgált valószínűségi változó, akkor arávonatkozó mintarealizáció elemeit ξ1(ω), . . . , ξn(ω) módon jelöljük, ahol ξ1, . . . , ξna ξ-vel azonos eloszlású független valószínűségi változók, ω pedig a kísérletsorozatbanbekövetkező elemi esemény. A ξ1, . . . , ξn valószínűségi változókat a ξ-re vonatkozómintának nevezzük.

A gyakorlati óráink során mérések helyett számítógéppel állítjuk elő a min-tarealizációt. Számítógépes algoritmussal generált véletlen számot pszeudo- vagyálvéletlennek nevezzük. Például az úgynevezett kongruens módszeren alapuló algo-ritmust n-szer lefuttatva, a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségiváltozóra vonatkozó n elemű mintarealizációt állíthatunk elő. Ennek az elméletévelitt nem foglalkozunk. (Részletesebben lásd például [1, 5, 12].)

Megjegyezzük, hogy valódi véletlent is használhatunk minta generálására a követ-kező címen található internetes szolgáltatással: http://www.random.org.

Ebben a fejezetben azt fogjuk részletezni, hogy a [0, 1] intervallumon egyenleteseloszlásból hogyan lehet más eloszlást generálni. Emlékeztetőül, egy valószínűségiváltozó a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlású, ha a [0, 1] intervallum egy tetsző-leges h hosszúságú részintervallumába h valószínűséggel eshet. A következő állításszerint bármely eloszlású valószínűségi változó előáll [0, 1] intervallumon egyenleteseloszlású valószínűségi változó valamely transzformáltjaként.

1.1. Tétel. Legyen F : R→ R egy eloszlásfüggvény és

G : R→ R, G(x) :=

sup{y ∈ R : F (y) < x}, ha 0 < x < 1,0, különben.10

http://www.random.org

Ha ξ egyenletes eloszlású valószínűségi változó a [0, 1] intervallumon, akkor G(ξ)olyan valószínűségi változó, melynek eloszlásfüggvénye F .

1.2. Megjegyzés. Az 1.1. tételben, ha F invertálható eloszlásfüggvény, azaz szigorúanmonoton növekvő, akkor 0 < x < 1 esetén

G(x) = sup{y ∈ R : F (y) < x} = sup{y ∈ R : y < F−1(x)} = F−1(x).

Ezért a G függvény (0, 1)-re vett leszűkítettjét az F általánosított inverzének isnevezik.

1.3. Megjegyzés. Az 1.1. tételben, ha F egy olyan valószínűségi változó eloszlás-függvénye, amely az x1 < x2 < · · · < xr értékeket veheti fel rendre p1, p2, . . . , prvalószínűségekkel, akkor

G(x) =

x1, ha 0 < x ≤ p1,

x2, ha p1 < x ≤ p1 + p2,

x3, ha p1 + p2 < x ≤ p1 + p2 + p3,...

xr−1, ha p1 + · · ·+ pr−2 < x ≤ p1 + · · ·+ pr−1,

xr, ha p1 + · · ·+ pr−1 < x < 1.

Könnyen látható, hogy a G(x) felírásában a < és ≤ relációs jelek tetszőlegesenfelcserélhetőek, hiszen ez nem változtat a G(ξ) eloszlásán.

Hasonló állítás fogalmazható meg akkor is, ha megszámlálhatóan végtelen sokértéket felvevő valószínűségi változót akarunk transzformálni egyenletes eloszlásból.

1.1. Egyenletes eloszlás

Excel-ben a VÉL() függvénnyel tudunk [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlású(pszeudo)véletlen számot generálni.

1.4. Példa. Generáljon [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi válto-zóra vonatkozó 20 elemű mintarealizációt.

Megoldás. Az A1 cellába írja be, hogy =VÉL() majd Enter. Ezután a kitöltőjelethúzza le a 20. sorig. A kitöltőjel a kijelölés jobb alsó sarkában lévő négyzet.

Az így generált számok minden újraszámolásnál megváltoznak, ami nem kívánatos,hiszen a mintarealizációt a feladatokban rögzítettnek tekintjük. (Próbálja ezt ki az

11

F9 funkcióbillentyű megnyomásával, melynek hatására az Excel minden képletetújraszámol.) A mintarealizáció elemeinek rögzítéséhez tegye a következőket:

1. Lépjen az A oszlop fejlécére, nyomja meg a jobb egérgombot, majd válassza aMásolás pontot.

2. Lépjen a B oszlop fejlécére, nyomja meg a jobb egérgombot, válassza az Irányítottbeillesztés pontot, jelölje be az Értéket, majd nyomja meg az OK gombot.

A feladat az Adatok/Adatelemzés menüponttal is megoldható. Először aktiváljaaz Analysis ToolPak bővítményt: Fájl/Beállítások/Bővítmények majd Ugrás gomb.Pipálja ki az Analysis ToolPak sort majd OK (lásd a 10.7.1. alszakaszt).

Ezután Adatok/Adatelemzés, a felugró ablakban a legördülő listában válassza aVéletlenszám-generálás sort, majd OK. Az eloszlásnál válassza az Egyenletes sort,változók számát állítsa 1-re (mert csak egy mintát generálunk), a véletlen számokszámát állítsa 20-ra (mert a mintaelemek száma 20). A paraméterek legyenek 0valamint 1. Klikkeljen a Kimeneti tartomány feliratra, majd a mellette lévő mezőre,végül az A1 cellára. Az OK gomb megnyomásával elkészül a mintarealizáció az Aoszlopban. Ennek rögzítésére nincs szükség, mert a cellákban csak számokat ír be aprogram, nem függvényeket.

Mindezeket a következő videón is megnézheti:

A következő tétel azt mutatja meg, hogy egy [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlá-sú valószínűségi változóból hogyan transzformálhatunk tetszőleges [a, b] intervallumonegyenletes eloszlású valószínűségi változót.

1.5. Tétel. Legyen ξ a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi változóés a, b ∈ R, a < b. Ekkor a+ (b− a)ξ az [a, b] intervallumon egyenletes eloszlású.

Bizonyítás. A tétel az 1.1. tételből következik, hiszen G(x) = F−1(x) = a+ (b− a)x,ha 0 < x < 1.

1.6. Példa. Generáljon [−2, 5] intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi vál-tozóra vonatkozó 100 elemű mintarealizációt.

Megoldás. Az előző tétel alapján, ha ξ a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlásúvalószínűségi változó, akkor −2 + (5 − (−2))ξ = −2 + 7ξ a [−2, 5] intervallumonegyenletes eloszlású. Tehát az A1 cellába írja be, hogy =-2+7*VÉL() , Enter, az A1cella kitöltőjelét húzza le a 100. sorig, majd rögzítse a mintarealizáció elemeit.

12

https://youtu.be/DLZGQ5wG74Y

Hasonlóan az előző feladathoz ez is megoldható az Adatok/Adatelemzés menü-ponttal, csak itt a paraméterek -2 valamint 5 lesznek, illetve a véletlen számok száma100.

1.2. Exponenciális eloszlás

1.7. Tétel. Legyen ξ a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi változóés λ > 0. Ekkor − ln ξ

λexponenciális eloszlású λ paraméterrel.

Bizonyítás. Ha x > 0, akkor P(− ln ξλ

< x)

= P(ξ > e−λx) = 1 − e−λx, illetve hax ≤ 0, akkor P

(− ln ξλ

< x)

= 0.

1.8. Megjegyzés. Az 1.1. tételben G(x) = F−1(x) = − ln(1−x)λ

, ha 0 < x < 1, vagyis− ln(1−ξ)

λis exponenciális eloszlású λ paraméterrel.

1.9. Példa. Generáljon λ = 5,6 paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségiváltozóra vonatkozó 10 elemű mintarealizációt.

Megoldás. Az A1 cellába írja be, hogy =-LN(VÉL())/5,6 , a kitöltőjelet húzza le a10. sorig, majd rögzítse a mintarealizáció elemeit.

1.3. Normális eloszlás

A következő tétel az 1.1. tétel következménye.

1.10. Tétel. Ha ξ egyenletes eloszlású valószínűségi változó a [0, 1] intervallumon,m ∈ R, σ > 0 és F = F [Norm(m;σ)]. Ekkor F−1(ξ) illetve m+ σΦ−1(ξ) is normáliseloszlású valószínűségi változók m és σ paraméterekkel.

Ebben a tételben F−1 illetve Φ−1 nem elemi függvények. A következő tétel aztmutatja, hogy elemi függvénnyel is megkaphatjuk a normális eloszlást az egyenletes-ből.

1.11. Tétel (Box–Muller-transzformáció). Legyenek ξ, η a [0, 1] intervallumon egyen-letes eloszlású független valószínűségi változók, m ∈ R és σ > 0. Ekkor

m+ σ√−2 ln ξ cos(2πη)

normális eloszlású m várható értékkel és σ szórással.

13

1.12. Példa. Generáljon m = 4 várható értékű és σ = 1,2 szórású normális eloszlásúvalószínűségi változóra vonatkozó 20 elemű mintarealizációt.

Megoldás. Az előző két tétel alapján az A1 cellába írja be az alábbiak egyikét:

=NORM.INVERZ(VÉL();4;1,2)

=4+1,2*NORM.S.INVERZ(VÉL())

=4+1,2*GYÖK(-2*LN(VÉL()))*COS(2*PI()*VÉL()) .

Nyomjon Enter-t, lépjen vissza A1-re, ezután a kitöltőjelet húzza le a 20. sorig, majdrögzítse a mintarealizáció elemeit.

A feladat az Adatok/Adatelemzés menüponttal is megoldható. A felugró ablakbana legördülő listában válassza a Véletlenszám-generálás sort, majd OK. Az eloszlásnálválassza a Normális sort, változók számát állítsa 1-re, a véletlen számok számát állítsa20-ra. A várható érték 4, a szórás 1,2. Klikkeljen a Kimeneti tartomány feliratra,majd a mellette lévő mezőre, végül az A1 cellára. Az OK gomb megnyomásávalelkészül a mintarealizáció az A oszlopban.

1.4. Diszkrét egyenletes eloszlás

1.13. Tétel. Legyen ξ a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi változó,m ∈ N és x1, . . . , xm különböző valós számok. Ekkor x[mξ]+1 diszkrét egyenleteseloszlású az {x1, . . . , xm} halmazon.

Bizonyítás. A tétel az 1.3. megjegyzés következménye, de közvetlenül is bizonyítható,hiszen P(x[mξ]+1 = xi) = P([mξ] + 1 = i) = P

(i−1m≤ ξ < i

m

)= 1

m.

1.14. Példa. Modellezzen 10 dobást egy szabályos kockával. Másképpen fogalmazva,generáljon az {1, 2, 3, 4, 5, 6} halmazon diszkrét egyenletes eloszlású valószínűségiváltozóra vonatkozó 10 elemű mintarealizációt.

Megoldás. Az előző tétel alapján, ha ξ a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlásúvalószínűségi változó, akkor [6ξ] + 1 diszkrét egyenletes eloszlású az {1, 2, 3, 4, 5, 6}halmazon. Így A1-be írja be, hogy =INT(6*VÉL())+1 vagy az ezzel egyenértékűVÉLETLEN.KÖZÖTT(1;6) függvényt, Enter, az A1 cella kitöltőjelét húzza le a 10. sorig,majd rögzítse a mintarealizáció elemeit.

A feladat az Adatok/Adatelemzés menüponttal is megoldható. Az A oszlopbaírja be 1-től 6-ig az egész számokat, a B1,. . . ,B6 cellákba pedig az =1/6 -t. EzutánAdatok/Adatelemzés, a felugró ablakban a legördülő listában válassza a Véletlenszám-generálás sort, majd OK. Az eloszlásnál válassza a Diszkrét sort, változók számát

14

állítsa 1-re, a véletlen számok számát állítsa 10-re. Klikkeljen az Érték és valószínűségbemeneti tartománya felirat mezőjére, majd jelölje ki az A1:B6 cellatartományt.Klikkeljen a Kimeneti tartomány feliratra, majd a mellette lévő mezőre, végül az C1cellára. Az OK gomb megnyomásával elkészül a mintarealizáció a C oszlopban. Ezutóbbi megoldás videón:

1.5. Karakterisztikus eloszlás

1.15. Tétel. Legyen ξ a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi vál-tozó és 0 < p < 1. Ekkor Iξ

1.17. Tétel. Legyenek ξ1, . . . , ξr a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlású függetlenvalószínűségi változók és 0 < p < 1. Ekkor

r∑i=1

Iξi

Harmadik megoldásként használjuk fel az 1.18. megjegyzést. A B1 cellába írja be a0 számot, a C1-be az 1-et, és így tovább, a G1-be az 5-öt. Az A2 cellába írjon 0-t, míga B2-be a következőt: =BINOM.ELOSZL(B1;5;0,8;IGAZ) . A B2 kitöltőjelét húzza G2-ig.Írja az A3-ba, hogy =VÉL() , a B3-ba pedig =HA(ÉS($A3>A$2;$A3

1.22. Példa. Generáljon N = 10, M = 5, r = 4 paraméterű hipergeometrikuseloszlású valószínűségi változóra vonatkozó 20 elemű mintarealizációt.

Megoldás. Először az 1.20. tétel alapján oldjuk meg a feladatot. Az A1, B1, C1,D1 cellákba írja be rendre az 1, 2, 3, 4 számokat. Az A2-be írja be, hogy =0 , aB2-be pedig, hogy =HA(VÉL()A$2;$A3

Útmutatás. Ha ξ1, . . . , ξs standard normális eloszlású független valószínűségi változók,akkor a ξ21 + · · ·+ξ2s valószínűségi változó s szabadsági fokú khi-négyzet eloszlású. Aztis felhasználhatja, hogy az s szabadsági fokú khi-négyzet eloszlás eloszlásfüggvényénekinverzét a KHINÉGYZET.INVERZ(x;s) függvénnyel számolhatja ki a 0 < x < 1 helyen.

1.3. gyakorlat. Generáljon s = 4 szabadsági fokú t-eloszlású valószínűségi változóravonatkozó 10 elemű mintarealizációt.

Útmutatás. Ha ξ standard normális eloszlású és η s szabadsági fokú khi-négyzet elosz-lású független valószínűségi változók, akkor a ξ

√sηvalószínűségi változó s szabadsági

fokú t-eloszlású. Azt is felhasználhatja, hogy az s szabadsági fokú t-eloszlás elosz-lásfüggvényének inverzét a T.INVERZ(x;s) függvénnyel számolhatja ki a 0 < x < 1helyen.

1.4. gyakorlat. Generáljon s1 = 2 és s2 = 3 szabadsági fokú F-eloszlású valószínűségiváltozóra vonatkozó 10 elemű mintarealizációt.

Útmutatás. Ha ξ s1 szabadsági fokú és η s2 szabadsági fokú khi-négyzet eloszlásúfüggetlen valószínűségi változók, akkor az s2ξ

s1ηvalószínűségi változó s1 és s2 szabadsági

fokú F-eloszlású. Azt is felhasználhatja, hogy az s1 és s2 szabadsági fokú F-eloszláseloszlásfüggvényének inverzét az F.INVERZ(x;s1;s2) függvénnyel számolhatja ki a0 < x < 1 helyen.

1.5. gyakorlat. Generáljon r = 3 rendű λ = 2,1 paraméterű gamma-eloszlásúvalószínűségi változóra vonatkozó 15 elemű mintarealizációt.

Útmutatás. Legyenek a ξ1, . . . , ξr azonos λ paraméterű exponenciális eloszlású füg-getlen valószínűségi változók. Ekkor a ξ1 + · · ·+ ξr valószínűségi változó r-edrendű λparaméterű gamma-eloszlású. Azt is felhasználhatja, hogy az r rendű λ paraméterűgamma-eloszlás eloszlásfüggvényének inverzét a GAMMA.INVERZ(x;r;1/λ) függvénnyelszámolhatja ki a 0 < x < 1 helyen.

1.6. gyakorlat. Egy valószínűségi változó az x1 = 1,1, x2 = 2,2 és x3 = 3,3 értékeketveheti fel, rendre p1 = 0,2, p2 = 0,3 és p3 = 0,5 valószínűségekkel. Generáljon erre avalószínűségi változóra vonatkozó 10 elemű mintarealizációt.

Megoldás. Először az 1.3. megjegyzés segítségével oldjuk meg a feladatot. A B1, C1,D1 cellákba rendre írja be az 1,1, 2,2 és 3,3 értékeket, a B2, C2, D2 cellákba pedig a0,2, 0,3 és 0,5 értékeket. Az A3-ba írjon 0-t, majd B3-ba =A3+B2 . A B3 kitöltőjeléthúzza D3-ig. Az A4-be =VÉL() , majd B4-be =HA(ÉS($A4>A$3;$A4

kitöltőjelét húzza le a 14. sorig. A mintarealizáció ekkor az E oszlopban van. Végülrögzítse a mintarealizáció elemeit.

A feladat az Adatok/Adatelemzés menüponttal is megoldható. Az A oszlopbaírja be az xi értékeit, a B-be pedig a pi értékeit. Ezután Adatok/Adatelemzés, afelugró ablakban a legördülő listában válassza a Véletlenszám-generálás sort, majdOK. Az eloszlásnál válassza a Diszkrét sort, változók számát állítsa 1-re, a véletlenszámok számát állítsa 10-re. Klikkeljen az Érték és valószínűség bemeneti tartományafelirat mezőjére, majd jelölje ki az A1:B3 cellatartományt. Klikkeljen a Kimenetitartomány feliratra, majd a mellette lévő mezőre, végül az C1 cellára. Az OK gombmegnyomásával elkészül a mintarealizáció a C oszlopban.

1.7. gyakorlat. Egy kísérletet ismételjünk egymástól függetlenül, amíg egy rögzí-tett A esemény be nem következik. Legyen ξ a végrehajtott kísérletek száma. A ξvalószínűségi változót geometriai eloszlásúnak nevezzük. Írjon programot, mely ξ-revonatkozó mintarealizációt generál. Oldja meg a feladatot Excelben is.

Útmutatás. Tegyük fel, hogy a vizsgált A esemény valószínűsége p. Legyen y1, . . . , yra [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi változóra vonatkozó olyanmintarealizáció, melyre teljesül, hogy

y1 ≥ p, y2 ≥ p, . . . , yr−1 ≥ p és yr < p.

Ha y1 < p, akkor legyen r = 1. Könnyű belátni, hogy az így definiált r a ξ-revonatkozó 1 elemű mintarealizáció.

Az 1.3. megjegyzéssel Excelben is megoldható a feladat, ahol xk = k és pk == p(1− p)k−1 (k = 0, 1, 2, . . . ).

1.8. gyakorlat. Írjon programot, mely Poisson-eloszlású valószínűségi változóravonatkozó mintarealizációt generál. Oldja meg a feladatot Excelben is.

Útmutatás. Legyen y0, y1, . . . , yr a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlású valószínű-ségi változóra vonatkozó olyan mintarealizáció, melyre teljesül, hogy

y0y1 · · · yr−1 ≥ e−λ és y0y1 · · · yr < e−λ.

Ekkor r a ξ-re vonatkozó 1 elemű mintarealizáció.A feladat Excelben az Adatok/Adatelemzés menüponttal is megoldható. A felugró

ablakban a legördülő listában válassza a Véletlenszám-generálás sort, majd OK. Azeloszlásnál válassza a Poisson sort.

20

2. fejezet

Tapasztalati eloszlás

Ebben a fejezetben a generált mintarealizáció alapján fogjuk grafikusan megbecsülnia valószínűségi változó eloszlásfüggvényét, diszkrét esetben az eloszlását, illetveabszolút folytonos esetben a sűrűségfüggvényét.

2.1. Tapasztalati eloszlásfüggvény

Egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényének az értéke adott x ∈ R helyen annaka valószínűsége, hogy a valószínűségi változó x-nél kisebb értéket vesz fel. Ezta gyakorlatban nem ismerjük, így a relatív gyakorisággal fogjuk becsülni, amittapasztalati eloszlásfüggvénynek nevezünk az x helyen és F ∗n(x) módon jelölünk.Tehát az F ∗n tapasztalati eloszlásfüggvény értéke adott x ∈ R helyen az x-nél kisebbelemek száma a mintarealizációban, osztva a mintarealizáció elemeinek a számával. Ezegy olyan lépcsős függvény, melyben a szakadási pontok a mintarealizáció értékeinélvannak. Pontosabban, ha a mintarealizáció x1 = ξ1(ω), . . . , xn = ξn(ω), akkor az(xi, F ∗n(xi)) koordinátájú pontok az F ∗n „lépcsőfokainak” a jobb oldali végpontjai. Alegmagasabb lépcsőfok kezdőpontja a (max{x1, . . . , xn}, 1) koordinátájú pont.

2.1. Tétel (A matematikai statisztika alaptörvénye). A tapasztalati eloszlásfüggvény1 valószínűséggel egyenletesen konvergál R-en a valódi eloszlásfüggvényhez, azaz nagyelemszámú mintarealizáció esetén a tapasztalati eloszlásfüggvény jól közelíti a valódit.

Ezt a törvényt többféle eloszlással is bemutatjuk a következő videóban.

Az itt használt program letölthető a következő helyről:

21

https://youtu.be/DrGJA6hOUhE

https://tomacstibor.uni-eszterhazy.hu/tananyagok/valdem/valdem.zip

A gyakorlatok során azzal a könnyítéssel oldjuk meg a feladatokat, hogy a lépcső-fokok jobb végpontjait összekötjük a következő lépcsőfok bal végpontjával. Így egyfolytonos vonalat kapunk. Sajnos az Excelben nincs lépcsős diagramtípus (szembena LibreOffice programmal), ezért a lépcsőfokok mindkét végének koordinátáit megkell adni és azokat összekötni szakaszokkal.

2.2. Példa. Modellezzen 100 dobást egy szabályos kockával, azaz generáljon az{1, 2, 3, 4, 5, 6} halmazon diszkrét egyenletes eloszlású valószínűségi változóra vo-natkozó 100 elemű mintarealizációt. Ábrázolja a kapott mintarealizációhoz tartozótapasztalati eloszlásfüggvényt.

Megoldás. Az A1 cellába írja be, hogy VÉLETLEN.KÖZÖTT(1;6) , nyomjon Enter-t,lépjen vissza A1-re, ezután a kitöltőjelet húzza le a 100. sorig, majd rögzítse amintarealizáció elemeit a B oszlopba. A C1:C6 cellatartományba írja be rendre az 1,2, 3, 4, 5, 6 számokat, azaz a lehetséges dobásértékeket. Ezután a D és E oszlopokelső 4 sorába írja a következőket:

D E

1 =C1-1 0

2 =C1 0

3 =INDEX(C:C;SOR(D2)/2) =E4

4 =INDEX(C:C;SOR(D4)/2) =DARABTELI(B:B;"

Beszúrás → Diagramok →Pont- (xy) vagy buborékdiagram beszúrása → Pont vonalakkal

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5 6 7

A színt és a vonalvastagságot igény szerint beállíthatja. A megoldás menetét végigkö-vetheti a következő videón.

2.3. Példa. Az előző példában kapott grafikonon rajzolja fel a valódi eloszlásfügg-vényt, azaz a {1, 2, 3, 4, 5, 6} halmazon diszkrét egyenletes eloszlású valószínűségiváltozó eloszlásfüggvényét is.

Megoldás. Az előző munkalapon dolgozzon. Az F oszlop első négy sorába írja akövetkezőket.

F

1 0

2 0

3 =F4

4 =F2+1/6

Ezek megadják a valódi eloszlásfüggvény első két lépcsőfokának magasságát. AzF3:F4 cellatartomány kitöltőjelét húzza le a 14. sorig, amivel megkapjuk a többilépcsőfok magasságát is. Ezután klikkeljen a grafikonra, majd

Tervezés → Adatok kijelölése → Hozzáadás →Adatsor X értékei: =Munka1!$D$1:$D$14 →Adatsor Y értékei: =Munka1!$F$1:$F$14 → OK → OK

23

https://youtu.be/HlTAqoQQhEc

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5 6 7

A színt és a vonalvastagságot igény szerint beállíthatja. Érdemes megnézni a kétfüggvény viszonyát nagyobb (pl. 1000) mintaelemszám esetén is. A megoldás menetétvégigkövetheti a következő videón.

2.4. Példa. Generáljon λ = 3 paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi vál-tozóra vonatkozó 100 elemű mintarealizációt. Ábrázolja a kapott mintarealizációhoztartozó tapasztalati eloszlásfüggvényt.

Megoldás. A mintarealizációt korábban láttuk hogyan kell generálni. Az A1 cellábaírja be, hogy =-LN(VÉL())/3 , a kitöltőjelet húzza le a 100. sorig, majd rögzítse amintarealizáció elemeit a B oszlopba.

Mivel folytonos az eloszlás, ezért itt nem tudjuk felsorolni a lehetséges értékeket,mint diszkrét esetben. Ehelyett a mintarealizáció elemeit sorba rendezzük, hiszenitt lesznek a tapasztalati eloszlásfüggvény töréspontjai. A rendezéshez klikkeljen a Boszlop jelölőjére, majd

Kezdőlap → Rendezés és szűrés → Rendezés méret szerint (növekvő) →Folytatja az aktuális kijelöléssel → Rendezés

Ezután hasonlóan járunk el, mint a diszkrét egyenletes eloszlásnál. Töltse ki a C1:D4cellatartományt a következő módon:

C D

1 0 0

2 =B1 0

3 =INDEX(B:B;SOR(C2)/2) =D4

4 =INDEX(B:B;SOR(C4)/2) =DARABTELI(B:B;"

bal illetve jobb végpontjai. A C1-be azért került 0, mert az exponenciális eloszlásesetén negatív értékeket 1 valószínűséggel nem vehet fel a valószínűségi változó értéke.Általánosságban arra kell ügyelni, hogy C1-be a B1 értékénél kisebb szám kerüljön.

A többi lépcsőfokot úgy kapjuk meg, hogy a C3:D4 cellatartomány kitöltőjelétlehúzzuk a 202. sorig. Azért 202, mert minden lépcsőhöz 2 sor tartozik, továbbá a 100mintarealizáció értékhez 1-gyel több, azaz 101 lépcsőfok tartozik. Általánosságbantehát, ha n elemű a mintarealizáció, akkor 2(n+ 1)-edik sorig kell lehúzni.

Az utolsó lépcsőfok még nem jó, hiszen C202 üres cellára hivatkozik. Ezért javítsaki azt =C201+0,1 -re. Itt csak arra kell figyelni, hogy a C201 cellaértéknél nagyobbszám szerepeljen.

Az ábra elkészítéséhez jelölje ki a C és D oszlopokat, majd

Beszúrás → Diagramok →Pont- (xy) vagy buborékdiagram beszúrása → Pont vonalakkal

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

A színt és a vonalvastagságot igény szerint beállíthatja. A megoldás menetét végigkö-vetheti a következő videón.

2.5. Példa. Az előző grafikonon ábrázolja a valódi eloszlásfüggvényt, azaz a λ == 3 paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvényét, éshasonlítsa össze a tapasztalati eloszlásfüggvénnyel.

Megoldás. Az eloszlásfüggvényt jelen esetben 0-tól 1,7-ig kell megrajzolni. Ehhez ezenaz intervallumon 0,1 lépésközökkel kiszámoljuk a függvényértékeket, majd egy sima(differenciálható) görbével összekötve ábrázoljuk.

A megoldást az előző munkalapon végezze el. Az E1 cellába írjon 0-t, az E2-bepedig 0,1-et. Az E1:E2 cellatartomány kitöltőjelét húzza le addig, amíg 1,7-et nemkap (18. sor). Az F1 cellába írja a következőt:

25

https://youtu.be/nOrEzJvF2Zk

=EXP.ELOSZL(E1;3;IGAZ)

Ez a λ = 3 paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó eloszlásfügg-vényének értékét adja az E1 értékének a helyén. Ezután az F1 kitöltőjelét húzzale addig, amíg az E oszlopban van mellette adat (most a 18. sorig). Klikkeljen agrafikonra, majd

Tervezés → Adatok kijelölése → Hozzáadás →Adatsor X értékei: =Munka1!$E$1:$E$18 →Adatsor Y értékei: =Munka1!$F$1:$F$18 → OK → OK

A 18 helyére értelemszerűen az a sorszám kerül, ameddig az E oszlopban vannakszámok. Ezt automatikusan is elvégezheti a következő módon: Klikkeljen az AdatsorX értékei alatti mezőre, utána az E1 cellára, majd nyomjon Ctrl+Shift+Le billen-tyűkombinációt. Hasonlóan, klikkeljen az Adatsor Y értékei alatti mezőre, töröljea benne található ={1} tartalmat, majd klikkeljen az F1 cellára, végül nyomjonCtrl+Shift+Le billentyűkombinációt.

Formátum → bal oldali legördülő listában: Adatsor2 → Kijelölés formázása →Adatsor formázása panelen:Kitöltés és vonal ikon → Vonal → Görbített vonal

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

A színt és a vonalvastagságot igény szerint beállíthatja. A megoldás menetét végigkö-vetheti a következő videón.

2.2. Vonaldiagram

Diszkrét ξ valószínűségi változóra vonatkozó x1, . . . , xn mintarealizáció esetén atapasztalati eloszlás xi-hez (i = 1, . . . , n) hozzárendeli az xi-vel egyenlő elemek

26

https://youtu.be/LTMvJ6rIi2Y

számát a mintarealizációban, elosztva n-nel, amely a {ξ = xi} esemény relatívgyakorisága. A statisztika alaptörvénye szerint ez a P(ξ = xi) eloszlásérték annálpontosabb becslése, minél nagyobb a minta elemszáma. Ezt a függvényt célszerűvonaldiagrammal ábrázolni, amely azt jelenti, hogy az (xi, 0) pontot összekötjük az(xi, pi) ponttal (i = 1, . . . , n), ahol pi a tapasztalati eloszlás értéke az xi helyen.

Diszkrét eloszlás esetén célszerűbb tapasztalati eloszlásfüggvény helyett tapaszta-lati eloszlást ábrázolni, mert az jóval karakterisztikusabb.

2.6. Példa. Generáljon r = 5 rendű és p = 0,3 paraméterű binomiális eloszlásúvalószínűségi változóra vonatkozó 100 elemű mintarealizációt. Ábrázolja a kapottmintarealizációhoz tartozó tapasztalati eloszlást vonaldiagrammal.

Megoldás. A korábban ismertetett módon generálja le a mintarealizációt, majdrögzítse azt a G oszlopban. A H1:H6 cellatartományba írja be a valószínűségi változólehetséges 0, 1, 2, 3, 4, 5 értékeit. Ezután ezekhez az értékekhez kiszámoljuk atapasztalati eloszlás értékeket. Ez a korábbi módszer logikájával

=DARABTELI(G:G;"="&H1)/DARAB(G:G)

módon történhet, de ez ekvivalens a következő I1 cellába írásával:

=DARABTELI(G:G;H1)/DARAB(G:G) .

Nyomjon Enter-t, majd az I1 cella kitöltőjelét húzza le a 6. sorig.A következőkben ábrázoljuk a (H1, I1), . . . , (H6, I6) koordinátájú pontokhoz tar-

tozó vonaldiagramot, ami a tapasztalati eloszlás vonaldiagramja lesz. Ehhez jelöljeki az I1:I6 cellatartományt, majd

Beszúrás → Diagramok → Oszlop- és sávdiagram beszúrása → Csoportosított oszlop

Klikkeljen az ábrára, majd

Tervezés → Adatok kijelölése →Vízszintes (kategória-) tengely feliratai: Szerkesztés →Tengely felirattartománya: =Munka1!$H$1:$H$6 → OK

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 1 2 3 4 5

27

A színt és a vonalvastagságot igény szerint beállíthatja. A megoldás menetét végigkö-vetheti a következő videón.

2.7. Példa. Az előző grafikonon ábrázolja a valódi eloszlást is vonaldiagrammal.

Megoldás. A megoldást az előző munkalapon végezze el. A J1 cellába írja a következőt:

=BINOM.ELOSZL(H1;5;0,3;HAMIS)

Ez kiszámolja az eloszlás értékét a H1 cella értékének a helyén. A J1 cella kitöltőjeléthúzza le a 6. sorig. Klikkeljen az ábrára, majd

Tervezés → Adatok kijelölése → Hozzáadás →Adatsor értékei: =Munka1!$J$1:$J$6 → OK → OK

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 1 2 3 4 5

A színt és a vonalvastagságot igény szerint beállíthatja. A megoldás menetét végigkö-vetheti a következő videón.

2.3. Sűrűséghisztogram

Legyen x0 < x1 < · · · < xr. Tegyük fel, hogy az abszolút folytonos ξ-re vonatkozómintarealizáció minden eleme benne van az (x0, xr) intervallumban. Minden [xj−1, xj)intervallum fölé rajzoljunk egy yj magasságú téglalapot úgy, hogy a téglalap területea ξ valódi f sűrűségfüggvényének görbéje alatti területet becsülje az [xj−1, xj) inter-vallumon. Hasonlóan az eddigiekhez, egy esemény valószínűségét itt is az eseményrelatív gyakoriságával becsüljük. Így tehát

xj∫xj−1

f(x) dx = P(xj−1 ≤ ξ < xj) '

28

https://youtu.be/Z0zvXdxx0t8https://youtu.be/SISf3HV6GjY

' [xj−1, xj) intervallumba eső mintaelemek száman

= yj(xj − xj−1),

Ebből

yj =[xj−1, xj) intervallumba eső mintaelemek száma

n(xj − xj−1)(j = 1, . . . , r).

A kapott oszlopdiagramot sűrűséghisztogramnak nevezzük, amely tehát a valódi fsűrűségfüggvényt a j-edik részintervallumon az yj konstanssal közelíti. A statisztikaalaptörvénye szerint ez a közelítés a minta elemszámának növelésével egyre pontosabb.

Abszolút folytonos eloszlás esetén érdemes a tapasztalati eloszlásfüggvény mellettezt is ábrázolni, mert karakterisztikusabb az alakja.

2.8. Példa. Generáljon standard normális eloszlású valószínűségi változóra vonatkozó200 elemű mintát. Rajzolja meg a sűrűséghisztogramot a (−4, 4) intervallumon 10darab egyenlő hosszúságú részintervallum esetén.

Megoldás. Generálja le a mintarealizációt az A oszlopban a korábban tanult módszerekvalamelyikével, például a következő függvénnyel: =NORM.S.INVERZ(VÉL()) . Rögzítsea B oszlopba. Töltse ki a C1:D4 cellatartományt a következő módon:

C D

1 -4 0

2 =C1 =DARABHATÖBB(B:B;">="&C2;B:B;"

0

0,1

0,2

0,3

0,4

-4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4

A színt és a vonalvastagságot igény szerint beállíthatja. A megoldás menetét végigkö-vetheti a következő videón.

2.9. Példa. Az előző grafikonban ábrázolja a standard normális eloszlás sűrűség-függvényét is, majd hasonlítsa össze a kapott sűrűséghisztogrammal.

Megoldás. A megoldást az előző munkalapon végezze el. Először a valódi sűrűség-függvény értékeit a [−4, 4] intervallumon fogjuk kiszámolni 0,2 lépésközzel. Írja beaz E1 cellába, hogy -4 illetve az E2 cellába, hogy -3,8. Az E1:E2 cellatartománykitöltőjelét húzza le a 4 értékig (41. sorig). Ezután az F1 cellában számolja ki astandard normális eloszlás sűrűségfüggvényének értékét az E1 cella értékénél:

=NORM.S.ELOSZLÁS(E1;HAMIS)

Az F1 cella kitöltőjelét húzza le a 41. sorig. A következőkben megrajzoljuk a valódisűrűségfüggvényt. Lépjen a diagram területére, majd

Tervezés → Adatok kijelölése → Hozzáadás →Adatsor X értékei: =Munka1!$E$1:$E$41 →Adatsor Y értékei: =Munka1!$F$1:$F$41 → OK → OK →Formátum → bal oldali legördülő listában: Adatsor2 → Kijelölés formázása →Adatsor formázása panelen:Kitöltés és vonal ikon → Vonal → Görbített vonal

0

0,1

0,2

0,3

0,4

-4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4

30

https://youtu.be/iGTkBFtThqg

A színt és a vonalvastagságot igény szerint beállíthatja. A megoldás menetét végigkö-vetheti a következő videón.

2.4. Gyakorlatok

2.1. gyakorlat. Generáljon az {1, 2, 3, 4, 5} halmazon diszkrét egyenletes eloszlásúvalószínűségi változóra vonatkozó 200 elemű mintarealizációt. Ábrázolja a kapottmintarealizációhoz tartozó tapasztalati eloszlást, majd a valódi eloszlást vonaldiag-rammal.

2.2. gyakorlat. Generáljon r = 6 rendű p = 0,6 paraméterű binomiális eloszlásúvalószínűségi változóra vonatkozó 200 elemű mintarealizációt. Ebből rajzolja meg atapasztalati eloszlásfüggvényt. Ábrázolja a valódi eloszlásfüggvényt is, majd hasonlítsaőket össze.

Útmutatás. A vizsgált valószínűségi változót jelölje ξ. Értékkészlete {0, 1, . . . ,6}, ígya valódi eloszlásfüggvénynek ezekben a pontokban kell kiszámolni az értékét. Ismert,hogy ξ eloszlásfüggvénye a k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 értékeknél

P(ξ < k) =k−1∑i=0

(r

i

)pi(1− p)r−i.

Az ábrázolásnál használja fel, hogy Excel-ben

BINOM.ELOSZL(k;r;p;IGAZ) =k∑i=0

(r

i

)pi(1− p)r−i,

így

BINOM.ELOSZL(k − 1;r;p;IGAZ) = P(ξ < k) (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6).

2.3. gyakorlat. Legyen egy dobozban N = 10 darab golyó, melyből M = 5 darabpiros. Visszatevés nélkül kiveszünk véletlenszerűen r = 4 darab golyót a dobozból.Legyen ξ a kivett piros golyók száma. (Tehát ξ hipergeometrikus eloszlású.) Gene-ráljon ξ-re vonatkozó 250 elemű mintarealizációt. Ebből rajzolja meg a tapasztalatieloszlást vonaldiagrammal. Ábrázolja a valódi eloszlást is vonaldiagrammal, majdhasonlítsa őket össze.

31

https://youtu.be/vFeuDOHp94U

Útmutatás. Ismert, hogy

P(ξ = k) =

(Mk

)(N−Mr−k

)(Nr

) (k = 0, . . . , r),mely Excel-ben HIPGEOM.ELOSZLÁS(k;r;M;N;HAMIS) függvénnyel számolható.

2.4. gyakorlat. Generáljon λ = 3,2 paraméterű Poisson-eloszlású valószínűségi válto-zóra vonatkozó 900 elemű mintarealizációt. Ebből rajzolja meg a tapasztalati eloszlástvonaldiagrammal. Ábrázolja a valódi eloszlást is vonaldiagrammal, majd hasonlítsaőket össze. Ezután ábrázolja a tapasztalati eloszlásfüggvényt azon intervallumon,amelyen a mintarealizáció elemei elhelyezkednek, majd a valódi eloszlásfüggvénytugyanezen az intervallumon.

Útmutatás. A vizsgált valószínűségi változót jelölje ξ. Ismert, hogy

P(ξ = k) = λk

k! e−λ (k = 0, 1, . . . ),

mely Excel-ben POISSON.ELOSZLÁS(k;λ;HAMIS) függvénnyel számolható. Ha a HAMISszó helyett IGAZ szerepel a függvényben, akkor az a

P(ξ ≤ k) =k∑i=0

λi

i! e−λ

értékét számolja ki.

2.5. gyakorlat. Egy kísérletet ismételjünk egymástól függetlenül, amíg egy rögzítettp = 0,3 valószínűségű esemény be nem következik. Legyen ξ a végrehajtott kísér-letek száma. (Tehát ξ geometriai eloszlású valószínűségi változó.) Generáljon ξ-revonatkozó 700 elemű mintarealizációt. Ebből rajzolja meg a tapasztalati eloszlástvonaldiagrammal. Ábrázolja a valódi eloszlást is vonaldiagrammal, majd hasonlítsaőket össze. Ezután ábrázolja a tapasztalati eloszlásfüggvényt azon intervallumon,amelyen a mintarealizáció elemei elhelyezkednek, majd a valódi eloszlásfüggvénytugyanezen az intervallumon.

Útmutatás. Ismert, hogy

P(ξ = k) = p(1− p)k−1 (k = 1, 2, . . . ).

Excel-ben a hatványozás ^ jellel vagy a HATVÁNY függvénnyel történik. Például 0,73

32

0,7^3 vagy HATVÁNY(0,7;3) módon számolható ki. Másrészt

P(ξ ≤ k) =k−1∑i=1

p(1− p)i−1 = 1− (1− p)k−1 (k = 2, 3, . . . ).

2.6. gyakorlat. Generáljon a ξ valószínűségi változóra vonatkozó 500 elemű minta-realizációt, ahol ξ eloszlása(1) 23 várható értékű és 2 szórású normális;(2) 5 szabadsági fokú khi-négyzet;(3) 3 szabadsági fokú t;(4) 2 és 3 szabadsági fokú F.Ábrázolja a tapasztalati eloszlásfüggvényt azon az intervallumon, amelyen a min-tarealizáció elemei elhelyezkednek, majd a valódi eloszlásfüggvényt ugyanezen azintervallumon.

Útmutatás. (1) m várható értékű és σ szórású normális eloszlású valószínűségi vál-tozó eloszlásfüggvényének az értéke x ∈ R helyen NORM.ELOSZLÁS(x;m;σ;IGAZ) .Itt jegyezzük meg, hogy ha speciálisan m = 0 és σ = 1, azaz standard normálisaz eloszlás, akkor NORM.ELOSZLÁS(x;0;1;IGAZ) helyett használható a következő is:NORM.S.ELOSZLÁS(x;IGAZ) .(2) Az s szabadsági fokú khi-négyzet eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvé-nyének az értéke x ≥ 0 helyen KHINÉGYZET.ELOSZLÁS(x;s;IGAZ) .(3) Az s szabadsági fokú t-eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvényének azértéke x ∈ R helyen T.ELOSZL(x;s;IGAZ) .(4) Az s1 és s2 szabadsági fokú F-eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvényénekaz értéke x ≥ 0 helyen F.ELOSZL(x;s1;s2;IGAZ) .

2.7. gyakorlat. Generáljon λ = 4 paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségiváltozóra vonatkozó 500 elemű mintarealizációt. Rajzolja meg a sűrűséghisztogramotazon az intervallumon, amelyen a mintarealizáció elemei elhelyezkednek, 10 darabegyenlő hosszúságú részintervallum esetén. Ugyanezen az intervallumon ábrázolja avalódi sűrűségfüggvényt is.

Útmutatás. A λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó sűrűség-függvényének értéke az x ≥ 0 helyen EXP.ELOSZL(x;λ;HAMIS) .

2.8. gyakorlat. Generáljon a ξ valószínűségi változóra vonatkozó 500 elemű minta-realizációt, ahol ξ eloszlása(1) [−5, 4] intervallumon egyenletes;(2) r = 2 rendű λ = 1 paraméterű gamma;

33

(3) standard Cauchy;(4) s = 6 szabadsági fokú khi-négyzet.Ábrázolja a tapasztalati eloszlásfüggvényt, illetve a sűrűséghisztogramot 10 da-rab egyenlő hosszúságú részintervallum esetén, azon az intervallumon, amelyen amintarealizáció elemei elhelyezkednek, majd a valódi eloszlásfüggvényt illetve asűrűségfüggvényt ugyanezen az intervallumon.

Útmutatás. (2) Az r-edrendű λ paraméterű gamma-eloszlású valószínűségi változóeloszlásfüggvénye x ≥ 0 esetén GAMMA.ELOSZL(x;r;1/λ;IGAZ) illetve a sűrűségfügg-vénye GAMMA.ELOSZL(x;r;1/λ;HAMIS) függvényekkel számolható ki.(3) A standard Cauchy-eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye

f : R→ R, f(x) = 1π(1 + x2) ,

illetve eloszlásfüggvénye

F : R→ R, F (x) = 12 +1π

arctg x.

Az arctg(x) az ARCTAN(x) függvénnyel számolható. De azt is felhasználhatjuk, hogya standard Cauchy-eloszlás megegyezik az 1 szabadsági fokú t-eloszlással.(4) Az s szabadsági fokú khi-négyzet eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvé-nyének az értéke x ≥ 0 helyen KHINÉGYZET.ELOSZLÁS(x;s;IGAZ) , a sűrűségfüggvényepedig KHINÉGYZET.ELOSZLÁS(x;s;HAMIS) .

2.9. gyakorlat. Generáljon a ξ valószínűségi változóra vonatkozó 500 elemű minta-realizációt, ahol ξ eloszlása(1) 3 szabadsági fokú t;(2) 2 és 3 szabadsági fokú F.Ábrázolja a sűrűséghisztogramot 10 darab egyenlő hosszúságú részintervallum esetén,azon az intervallumon, amelyen a mintarealizáció elemei elhelyezkednek, majd avalódi sűrűségfüggvényt ugyanezen az intervallumon.

Útmutatás. Az s szabadsági fokú t-eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvényé-nek az értéke x ∈ R helyen T.ELOSZL(x;s;HAMIS) . illetve az s1 és s2 szabadságifokú F-eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvényének az értéke x ≥ 0 helyenF.ELOSZL(x;s1;s2;HAMIS) .

34

3. fejezet

Grafikus illeszkedésvizsgálat

Tegyük fel, hogy a vizsgált valószínűségi változó abszolút folytonos. Ha a tapasztalatieloszlásfüggvény vagy a sűrűséghisztogram segítségével megsejtjük, hogy mi a vizsgáltvalószínűségi változó eloszlása, akkor bizonyos esetekben az úgynevezett grafikusilleszkedésvizsgálattal győződhetünk meg sejtésünk igazáról.

3.1. Paraméter nélküli eloszlásra vonatkozó illesz-kedésvizsgálat

Legyen x1 < x2 < · · · < xr, továbbá tegyük fel, hogy a mintarealizáció legkisebbeleme nagyobb x1-nél, a mintarealizáció legnagyobb eleme pedig kisebb xr-nél.

A matematikai statisztika alaptétele szerint a tapasztalati eloszlásfüggvény nagyelemszámú mintarealizáció esetén jól közelíti a valódi eloszlásfüggvényt, azaz ha n amintarealizáció elemszáma, akkor

F ∗n(xi) ' F (xi), i = 1, . . . , r,

ahol F a vizsgált valószínűségi változó valódi eloszlásfüggvénye. Ebből F -nek az[x1, xr] intervallumon vett invertálhatóságát feltételezve azt kapjuk, hogy

F−1(F ∗n(xi)

)' xi, i = 1, . . . , r,

azaz yi := F−1(F ∗n(xi)

)jelöléssel az (x1, y1), . . . , (xr, yr) koordinátájú pontok körül-

belül egy origón átmenő 1 meredekségű egyenesre esnek.

3.1. Példa. A fájlban található mintarealizáció alapján vizsgáljameg, hogy a vizsgált valószínűségi változó lehet-e standard Cauchy-eloszlású.

35

-1,44727,63760,6373-0,66110,7304-0,3950-1,11013,8806-0,9622-0,3702-0,0155-0,06484,01300,160611,41752,47090,8146-19,8910-4,9725-1,3534-0,9516-4,06732,6562-0,5216-0,03640,00730,2615-1,13651,8197-1,44433,87491,0192-22,0637-1,7195-5,7967-0,9176-1,23110,81540,1205-2,8290-0,75280,3978-10,1233-1,66251,13240,75940,58224,8045-0,44440,1555-0,22860,05720,2067-0,11530,29750,06132,38500,0578-10,6077-0,0578-2,7913-0,01240,82263,37501,0306-0,308416,48370,9270-1,86910,71370,93723,38070,09274,2483-4,2189-2,8842-0,0350-5,1853-0,66870,7763-0,88070,1986-7,0397-0,57900,13381,6372-0,3697-0,9437-0,92661,61041,63807,1833-0,19531,7965-0,9787-6,07850,10106,6255-0,21092,51642,6005-1,7020-1,14091,8521-0,1459-0,05560,3335-0,93870,68492,29680,05340,1243-0,6455-1,0625-0,53860,25600,51921,0419-0,7209-1,2532-0,3992-2,15462,02581,60190,7342-4,52671,8163-0,1221-0,32800,3084-0,29800,31665,11120,48270,6155-1,73180,03125,8180-0,4378-0,8504-0,7029-0,38480,57500,74390,0972-1,2746-0,0663-15,8233-1,42790,67365,06840,36550,7523-1,28530,8674-0,34610,10107,14080,8332-3,82021,0194-0,0074-1,2334-1,0474-1,01181,78778,03440,2326-0,7617-0,1627-4,2991-0,1232-1,0781-1,6449-1,4502-0,79560,26250,1893-0,68965,12730,7186-0,67101,17590,05153,5618-0,9231-1,72762,1076-44,6862-0,0145-2,5521-0,74980,01241,24243,73091,0345-0,838717,3638-2,1511-3,67431,9750-2,3450-1,4386-0,4522-1,01001,01972,7447-0,3880-13,12780,09000,3221-0,3809-2,02711,3638-12,82290,94530,00490,5478-0,31120,5644-2,45360,0534-40,7707-5,4503-0,03510,8391-0,13330,37577,8618-0,3018-0,03720,7814-16,9201-0,7687-0,57800,58490,0139-2,49820,3614-0,85301,1849-1,19158,1496-33,1430-10,9040-0,53670,578720,4383-10,2412-0,03170,0885-4,4376-0,69632,7202-0,09101,45113,82153,9168-35,0087-60,9262-0,0066-3,28830,5240-2,39154,2860-0,03290,61753,6692-0,1256-1,04730,5747-4,0324-0,7435-3,1122-6,94250,44742,2694-0,1761-0,3633-2,64180,1346-0,4656-0,07392,12824,9026-0,45710,4462-0,82841,0979-0,77900,90590,2437-1,2979-0,00560,1195-0,7325-0,24592,0565-0,23280,3641-1,25751,8355-3,12330,20120,19940,48590,4942-1,01580,46591,14400,75350,4024-2,0626-2,50700,77230,56730,3113-0,0625-7,7439-0,5215-0,843712,1848-0,8605-37,0183-0,4312-1,00550,7342-0,52150,2828-0,65421,2906-2,2809-7,07241,159819,5271-0,0149-0,59012,28510,4730-0,4258-2,77780,45552,5495-1,54180,85331,013645,60790,45270,71360,0956-1,49701,35530,14255,28161,36580,8848-1,0607-0,2878-2,0008-0,31808,6336-0,37240,27910,4945-96,24603,7572-0,5467-0,1459-2,6376-0,35941,00970,11910,3178-4,71120,4093-14,35041,94131,13700,0955-4,1624-1,4422-0,0779-0,0284-2,6269-1,9461-0,5011-0,5253-2,27180,0654-4,42452,2456-0,42550,3169-4,01440,4493-0,26000,13550,3511-0,2758-0,85073,5246-6,65192,56752,5194712,558430,68780,88816,88291,64761,92500,9551-0,19061,46032,33081,7803-4,3327-1,0125-1,3273-1,84223,65841,7239445,2279-2,4783-0,14360,3223-0,5942-0,85095,78422,97161,37825,08810,19951,7979-64,2841-1,37801,3983-6,9513-0,9541-1,28680,39967,6248-0,208524,11690,0681-3,6759-0,4308-0,4357-0,3100-2,78842,09100,29220,008714,7691-1,09121,7341-0,0739-0,55081,09130,5755-0,9056-28,76972,77230,5509-1,96420,99692,3885-0,6519-0,3675-0,3602-7,88060,1844-3,76621,06660,9263-1,178316,68631,18991,96672,8207-1,9231-0,62311,00340,5169-0,0695-1,1805-0,61200,27092,28702,17550,0450-0,2902-1,58174,4568-0,69914,0019-0,3043-0,34340,6959-0,6474-9,6520-3,57810,2353-0,46626,18900,74650,03620,9062-0,49650,1959-3,1031-7,08610,4575-1,36710,49490,23211,31390,41740,4776-1,5688-0,64860,9939-6,7084-2,08820,01241,54393,42210,8134-0,17631,44970,57961,14190,09830,29560,79203,8277-7,2273-0,1870-0,09093,05810,420411,9098-1,7414-0,0348-3,0964-1,1487-0,3712-4,3700-1,35424,1559-1,7627-1,648727,2558-2,20850,74750,03180,1928-4,67570,5823-0,08323,60950,4699-0,27691,61421,7570-0,1662-0,1172-0,58150,77220,5900-3,3053-3,9032-1,7293-0,1680-0,8269-1,00050,7315-0,20452,02030,14552,0040-0,35300,52830,79843,1113-0,21470,02024,2918-0,07580,43360,5606-0,0709-0,26750,4260-5,03490,4443-3,0189-0,0650-21,73510,7867-3,0575-2,0596-2,2220-1,56820,0953-7,13970,84140,47253,9699-0,8161-0,3640-2,0515-1,28841,0763-44,2740-0,27230,45951,21973,49270,54731,9430-3,0925-0,7757-0,00970,5086-0,2281-16,3377-0,08731,26580,43450,9504-0,5582-0,5274-0,2564-0,0806-0,47960,72571,0580-3,24916,87500,068527,5019-1,46491,3136-0,42072,5557-0,38880,8439-2,56370,23000,1442-0,0708-0,0351-0,21602,43880,73350,2544-0,25630,90670,8477-51,60220,75052,29031,9260-1,35701,7492-0,82270,22070,0954-1,31704,3685-0,4643-0,1613-2,414252,02980,1128-0,61721,2713-0,52651,08670,68110,29656,46970,16904,47240,6917-1,1098-1,3607-1,4923-0,3784-0,4801-0,64060,86530,9890-0,3522-0,72321,68030,7075-0,1532-2,29560,8116-0,01550,1396-2,9903-0,3485-0,57546,53620,0849-0,4617-1,07951,3256-0,75100,2415-1,0802-0,55695,05392,42602,01620,3384-1,8475-4,82972,8011-0,8502-1,7985-0,18060,20248,10812,13051,0354-0,63980,45061,0706-0,3051-0,5604-2,26111,4298-4,9748-0,5359-6,0357-9,1126-1,70392,28130,5005-7,7358-0,9427-0,53750,78800,20020,30781,1699-1,38270,4060-0,88910,7306-1,48511,43550,0845-0,3507-0,12583,53540,3168-0,4084-0,41670,92682,1435-0,5890-0,2539-14,0951-2,91711,83100,7275-0,4036-0,15710,8641-0,73850,4684-0,5987-2,3611-0,15310,60830,9530-2,7837-0,00360,65531,22131,47670,69811,77061,2086-5,98391,36778,10095,27800,0977-0,0799-0,0935-1,01500,42880,44771,2970-16,863317,07464,3858-0,44930,60080,7278-0,7337-10,70002,3194-0,22020,2256-0,0436-0,69840,30960,59000,9769-1,2871-1,2579-12,8417-1,2087-0,5205-0,2082-65,98700,54050,46010,2096-23,6842-0,45630,6939-2,26841,9783-0,3776-0,71091,5237-3,10720,5501-0,36891,13310,34871,19470,070227,4768-16,03350,6793-22,6047-0,7892-3,62840,00852,51200,34570,45361,8888-2,2577-1,0443-420,3397-0,30822,28410,12670,8445-1,21060,1097-1,8290-1,4032-0,1224-0,6662-1,75070,74630,4619-1,40311,41750,39830,99140,06521,13582,18550,0192-1,26980,27110,7961-4,3245-0,61841,5095-1,2257-0,2002-0,0469-0,5876-1,4074-0,29852,16925,0989330,66420,85182,1524-0,30221,7489-1,31711,22570,13771,1771-0,98852,04120,5236-1,23631,0066-0,7897-1,1453-0,85211,65311,34601,1303-2,50831,8349-0,795017,28661,4892-0,9726-0,37430,4671-0,5170-0,4608-0,61694,2926-0,08231,42044,11610,4356-2,73310,2697-0,25071,3954-2,32953,7339-0,84670,00691,9470-9,71062,91620,91190,2665-0,661722,5978-1,1038-0,9561-0,53580,31575,3167-0,0332-0,29670,931243,7624-1,0767-12,27320,16260,72832,4969-1,4226-5,75240,78021,66092,0556-8,9662-0,13911,57090,39597,76820,5920-0,628118,3260-0,6488-0,0386-0,5848-0,54621,38270,49140,74021,6557-2,10370,17134,3581-3,47254,34411,01310,75600,4942-13,37503,32081,270639,45110,47852,6073-0,1003-0,2831-0,81290,9243-0,1394-0,38561,6870-0,3255-0,3592-0,9581-1,4457-2,1612-4,6827-2,28990,35360,41171,5419-0,39811,36480,85810,81550,7829-0,66360,95110,73150,26991,56720,7512-0,53530,99380,77161,7297-1,5776-41,6189-0,9255-6,407967,9386-1,10322,16724,6148-77,6035-0,1324-2,61054,1997-0,5753-0,28610,89340,4213-0,5484-0,63492,44106,670719,4216-0,0139-1,3066-3,2459-0,1326-1,82882,07300,2797-2,6848-1,28150,1131-1,59980,9219-0,8029-1,7379-0,05768,1960-1,33546,7392-2,56980,75470,0523-3,7593-0,4848-1,75821,3153-17,6945-1,0349-0,20900,48321,17970,612023,77590,0173-2,43450,8497-0,3360-0,2187-0,0049-0,5929-22,9301-0,167211,93764,13130,45700,73892,5676-0,2767-0,55490,25220,27020,07050,1872-157,27891,713234,46950,55180,1041-2,6319-0,1904-0,7202-0,0459-0,9455-0,5403-1,02160,2830-0,37510,60940,2494-0,6163-0,4119-0,94983,3968-0,41083,9674-0,49000,04310,8653106,2796-3,6325-0,89841,17610,24181,39901,09421,6132-2,2700-58,0506-0,36676,6390-1,32730,7311-0,5376-0,3195-0,42382,76580,58530,3405-1,5217-0,94060,4664-0,7380-1,0932-11,62432,30705,85583,1410-43,83410,34151,06120,4088-0,62821,43160,2078-1,71370,1036-4,70432,74930,4188-0,2566-0,72190,69565,9303-1,58830,8527-0,8312-0,0246-0,07342,0280-3,7440-1,7762-8,4470-3,6507-1,6785-1,4789-0,360711,5851-11,3665-0,7392-7,94511,6229-0,56590,32700,23970,64300,33482,2529-0,1286-1,5337-1,02450,40560,4565-3,0959-0,60400,62332,4454-0,8501-0,09340,40030,57143,11410,1026-2,32387,87191,0123-2,03780,27290,62700,28282,42776,72441,15370,9830-2,4944-14,91780,01730,05770,2590-1,3959-0,58243,8877114,20910,96833,5272-0,1332-0,2041-0,50642,0729-0,7316-0,36490,40740,0950-10,8407-1,42002,18160,0947-38,3994-0,172025,4002-0,1730-14,0094-1,72511,97263,26752,887312,75900,0421-1,8637-2,27161,44820,6447-0,7028-1,06563,1528-0,76210,2804-1,15810,66490,99783,11562,8550-0,46565,2535-251,61911,0460-0,40122,84790,84480,21344,3675109,89142,09761,0365-0,03910,0867-2,1431-0,8594-4,81442,7899-0,7252-1,7326-0,4072-0,577727,26424,28892,705113,07852,57462,59932,41500,2651-1,17041,1500-1,20703,36390,8863-0,5446-1,2868-3,16720,03030,9247-1,29992,0755-0,37693,8110-1,0179-0,9801-0,63078,8347-2,05700,655248,57120,237124904,8846-0,80810,58534,2377-9,31031,23179,7158-2,67534,3517-0,0555-0,26320,7176-0,39301,98610,2408-0,29460,83071,68940,00150,8160-0,07611,03390,43597,30521,41730,28371,28752,20210,35930,67680,5564-0,8107-9,4192-2,4148-0,10660,4980-1,45380,5149-0,70420,04532,38540,1520-11,0954-0,71292,1411-1,7790-1,5100-0,16030,1828-0,499925,90020,04460,36441738,7264-2,64920,50880,1455-0,0205-0,27323,27802,8450-12,33410,8434-0,4759-0,25110,31280,0673-0,9760-2,3318-5,1018-5,68450,0555-0,53778,83232,15670,42840,7797-0,03340,16090,6634-0,0472-0,1744-3,0510-1,53660,6704-0,2118-6,53808,5991-3,3495-8,3873-0,35460,10370,4811-25,01751,24020,31990,5955-0,84288,9010-0,331917,8902-1,60931,98420,5732-1,8163-6,0064-13,3655-0,1039-0,53111,2526-2,5806-0,94830,86700,83620,21026,49510,8226-1,30851,00720,945610,4642-1,3507-1,56720,3987-1,12401,0092-3,75963,2614-4,1952-1,225612,3671-1,1776-2,63372,80011,99052,15620,8794-1,21561,028140,888123,7695-0,68250,72131,21990,71090,499470,4538-3,65800,34700,10561,08391,7744-0,0711-0,75611,3712-59,1817-0,7751-0,5114-2,0745-0,1198-0,99380,21830,8494-0,2427-1,6455-5,4615-0,2059-1,12014,6279-0,42441,48121,6959-0,80350,2338-2,604010,0495-2,96070,2620-1,4335-3,0668-1,2409-2,6523-1,5745-1,73510,69871,6064-2,0523-0,2149-0,3834-1,7461-0,45830,1645-1,5114-1,4332-0,3673-1,5093-1,7085-0,24780,54820,92645,4472-0,1012-0,5124-0,1952-0,12800,6475-0,35821,79712,8099-0,3230-35,7973-0,48588,21373,77130,7779-0,10464,7014-1,1979-0,494427,1484-1,08990,85930,2540-0,4866-0,9526-0,11890,19913,3085-0,3383-2,07123,05311,1947-0,1995-0,6579-1,69950,29290,0122-0,6390-1,9690-4,29432,2026-0,70950,69300,97540,76930,0829-1,14320,07120,228012,1703-5,7425-0,9889-1,22050,5787-0,1611-0,74041,3435-0,0716-0,54470,2706-1,3772-1,4514-2,5946-0,6863-7,7018-2,8558-9,4168-0,80491,84041,9040-0,0604-1,0449-1,68592,3259-0,14601,0501-0,89390,88882,5989-0,6826-1,7197-3,26450,5684-2,4229-0,1362-0,28320,87230,50581,5114-0,2292-0,30610,2992-0,30460,27280,88762,62170,01381,2599-1,565716,9464-2,48289,499424,2337-1,3873-0,5104-0,1439-4,47266,34050,18471,7014-2,03751,6332-0,28310,3930-0,6727-2,496414,45264,07800,209118,12234,2390-2,0076-0,64280,53970,5978-0,1725-0,2758-0,74750,3352-0,70601,65600,27532,04500,5032-1,0660-0,6478-0,74230,4580-0,44780,39382,1309-0,22690,1872-1,10654,7398-0,32670,0457-1,03912,46920,82330,6680-3,1369-0,70060,1131-0,9205-0,57601,22570,00510,4816-0,5783-4,34491,44241,08530,63506,0119-0,5642-0,22040,0608-2,47891,51481,5946-2,88890,36030,2653-1,5184-0,43441,9257-1,54930,2217-0,87870,48131,410510,968711,54880,04362,8051-0,10423,0704-1,04800,66091,2034-0,99420,1417-0,01691,26810,28770,10270,48281,71920,38541,427111,1771-21,4898-4,7588-1,12630,37551,17323,70740,1978-0,7251-2,7779-1,1626-10,6029-0,0412-0,7974-1,0657-0,6834-0,38200,68210,39940,2254-0,1460-1,7401-0,96445,2427-0,48851,35480,4491-3,394612,1778-0,33190,30800,6754-0,19153,092216,57476,0848-0,3662-2,2922-0,1373-4,1077-0,9251-0,1559-0,2198-1,3256-1,2979-2,5343-0,0434-1,6018-0,56706,19613,389626,9088-1,32410,1514-1,0616-0,55861,69903,3791-31,8167-0,29710,8887-0,0377-6,10001,81230,20780,10010,68960,9016-1,3511-4,27677,37643,6668-0,2141-1,6962-3,68995,5382-1,34550,7581-1,4632-0,16250,03330,6352-0,36561,9515-0,40131,85740,4194-0,9477-0,4839-0,00172,4549-0,3891-2,38677,6224-2,10890,9087-0,719516,49941,5267-17,6136-0,92561,42227,66350,6279-0,17370,13832,4517-0,96550,70000,1487-0,09072,01290,97905,2075-3,7807-1,14111,20790,20436,5545-1,2667-1,72770,2685-0,99883,2447-0,1563-1,5892-0,9798-2,1085-1,84484,7820-0,7232-22,02491,1260-0,03170,994138,0613-2,4010-0,26953,47100,28750,44450,4309-2,18231,1158-0,42222,27490,7132-2,4148-0,08100,3343-0,22880,73103,06721,0791-0,26851,4935-1,587746,18910,0890-0,54110,1823-1,1467-1,1635-12,4697-0,7879-0,30860,7997-0,35911,1315-0,8545-6,50801,5350-1,791913,7673-4,1967-5,9966-0,15370,0311-0,3988-1,2674-1,0080-3,4480-0,27370,1650-3,0707-0,2199-7,00720,20072,36800,5374-1,55421,72240,15110,6795-5,45070,2837-0,15630,06004,48942,39541,72391,45230,0586-1,99220,579210,96250,0482-2,90602,9499-0,1475-0,52760,7637-0,95302,4960-17,0069-2,92625,4133-1,23770,5614-0,0166-11,5663-5,00042,0704-0,1021-0,5466-1,09741,75641,71721,52072,7530-9,65566,97640,2453-1,55204,38290,80211,2080-0,45120,2484-1,3253-0,1861-2,93782,8869-0,6568-29,48000,1839-7,15870,5107-0,12803,63691,0895-0,01900,63703,16800,57691,4216-1,0245-374,77560,26730,90070,5459-16,0025-3,0978-0,649940,2750-4,6754-10,193511,02900,5180-1,68962,21250,02960,45542,4391-1,0554-0,3323-1,5150-0,1451-1,1074-0,7095-1,1483-1,4931-11,6629-3,40830,4669-0,8335-1,717974,40501,44020,3877-2,48310,4960-0,84431,1370-1,25251,99830,2135-0,16590,7213-1,0896-0,9901-0,15921,5372-0,57010,35071,4398-1,79695,4085-2,7079-1,3249-3,87240,3351-13,3053-1,5216-0,01962,35023,09100,4758-1,11073,4735-0,39072,5971-0,5886-3,4105-0,12821,30132,07330,72991,64693,43692,33580,05734,30890,6422-3,1338-0,1581-0,5839-0,93152,692652,6447-3,7063-0,9605-2,0487-0,3314-0,4517-0,13760,7534-1,8587-3,2660-5,2372-0,36350,25260,92640,6140-0,1212-0,42600,8137-0,9950-0,32860,26412,4207-1,0927-0,43110,6930-1,45171,6644-1,20780,05290,46700,4935-0,15812,55503,6107-0,41860,21180,7103-2,72540,00982,5452-4,31865,1636-0,1642-0,8288-0,3326-7,8429-0,8362-5,7126-0,58170,36860,2505-1,6551-0,0429-2,83114,37751,1203-18,9101-1,3570-0,23210,2710-0,29420,19652,28610,0634-0,8310-0,5052-0,09390,3553-0,66482,3116-0,8368-0,5531-0,4624-6,0082-1,94950,4142-0,29860,3767-1,3485-2,8260-21,7735-3,48601,49160,8923-0,2161-0,52704,1755-0,1705-3,4946-2,0730-0,1665-0,38931,0014-0,2128-1,1742-1,7179-1,5753-7,6879-6,15311,37890,093710,61502,04200,32130,1183-0,6037-0,2232-5,04932,2256-0,1669-0,3203-2,55872,42440,3938-0,2040-1,68890,10321,92940,62351,89861,14901,7014-4,67870,8145-1,9030-0,1182-0,3412-0,2704-2,0992-0,02450,84590,16820,2554-1,90730,5632-0,7224-1,28091,33990,67084,9137-21,23841,52112,85801,1643-1,34311,0364-0,40230,6692-2,9276-2,6360-0,14160,4433-1,03350,27213,4146-0,00733,3872-0,8380-2,0306-3,1054-5,9761-6,63144,23790,17970,21390,10871,34710,4012-2,05807,08090,3583-1,07991,68700,0664-0,5644-12,08310,6034-0,71290,25541,98180,78910,33231,45611,7526-0,32560,24991,62801,7672-1,89800,78790,08126,54780,04881,0153-0,69748,3106-0,70950,22870,02501,4861-0,07472,82881,9811-0,9633-1,82040,4967-0,47911,5885-1,2170-0,33136,03416,2038-0,20014,5668-0,73662,7074-0,8806-1,6444-0,19530,30820,8983-2,16541,44850,52580,95520,17340,63220,6332-0,1585-0,29982,4142-10,2039-4,7403-3,5558-2,52750,19160,58453,6830-0,8256-0,4431-0,9985-3,2089-0,2872-1,8849-3,65591,1086-0,6422-2,51740,40842,4817-1,3142-2,4169-0,3270-1,39420,35246,0720-223,2694-0,08961,001511,6590-1,3305-1,2002-1,2164-1,4349-9,34490,5695-3,9212-0,96930,80560,5143-3,261022,5919-1,98830,15480,3768-0,2797-0,6951-3,6925-4,59071,38485,29774,7843-4,6189-1,2483-0,31160,15565,8160-0,0650-2,3171-0,5095-1,63772,65240,15301,6987-1,1804-0,7604-1,1709-0,77711,84850,27761,1629-1,49571,1727-0,815860,52092,9027-12,2228-0,2265-1,1780-0,06082,9182-2,07433,15981,0068-1,71000,02326,6442-6,0636-2,699515,5015-0,545934,6999-0,08581,36360,4660-2,27321,70300,9373-2,6140-3,9162-1,20990,5122-2,63501,89220,3110-0,8007-6,33190,1535-0,21850,8885-15,93230,01080,5340-1,10550,1584-0,5192-2,14970,89743,17002,6120-0,3514-0,22201,57490,31842,1795-1,6363-0,70690,4514-0,78550,0454-0,4317-0,5022-7,2940-0,2121-0,28230,9630-12,98142,9783-7,47440,4201-1,01290,2703-5,0763-4,22720,0095-0,85240,19121,73660,00742,229320,0899-0,4643-1,10741,09551,04640,20866,1000-4,6011-0,5149-4,0775-1,8349-0,6973-1,2070-0,3959-0,44480,112019,41123,0318-4,7686-1,02081,10960,22931,37470,5308-0,3180-6,2179-0,81110,1503-7,3281-2,97220,3987-0,18960,99630,51162,60891,01548,08333,6400-0,6458-0,85720,69840,41006,7223-2,49151,4154-1,5192-0,44420,8399-0,04550,55264,0989-0,66261,60970,83920,21470,81090,5239-8,6086-2,8763-0,7571-11,3109-0,182517,3961-2,03142,88820,86712,81710,9431-0,13451,50662,6189-4,42580,67746,5092-0,8796-0,1347-0,94560,10150,57241,68003,2515-0,68791,30161,5336-0,13760,99150,37430,0490-0,12971,0946-1,7057-5,5618-3,0715-5,6666-0,37650,60320,92173,7942124,27900,6254-0,1577-2,3261-0,59780,59350,9726-0,67290,41390,0151-1,2322-1,00120,8216-0,0220-0,75240,26982,8940-3,53393,33980,3357-0,1248-1,2419-6,9830-4,6986-0,97670,2593-0,33801,06340,1684-1,2537-1,2703-2,5593-6,2947-0,37655,93772,5140-0,30040,6050-0,01181,83062,1685-0,6705-0,59141,57420,07590,13220,6669-0,12880,14331,2106-1,92200,91121,0795-1,07450,2625-5,7414-0,3787-3,4603-0,5453-0,6560-8,6538-0,5195-0,3008-1,0191-0,48620,42400,3285-6,38030,5130-0,18912,7998-0,5375-0,03010,87041,2397-0,03255,18200,15741,80140,1243-2,44470,0924-1,41990,78060,4627-0,0928-0,46361,58071,06850,99810,6124-21,9781-1,7493-1,03990,10557,1097-18,44902,0037-0,3819-64,60030,5200-0,1429-0,0524-0,8769-9,698514,85760,8852-0,3503-0,77030,37800,56200,3969-0,01351,7005-2,0858-1,77440,7340-0,52280,7415-1,1063-0,1637-1,1091-2,5223-0,5417-1,2169-0,79011,50735,14770,42181,35090,1779-0,87952,9158-2,0069-0,71053,12464,1041-0,43951,9447-1,32421,6055-3,46804,19581,6727-2,2417-21,66080,10401,7929-4,28160,9284-0,2549-1,28724,23631,38100,3961-0,6315-0,7198-2,50811,0969-0,2573-2,11930,8165-0,34500,5101-3,20192,05963,2378-1,75080,1412-1,0544-0,8977-2,0745-1,16110,3217-5,35562,7204-0,2233-1,7473-3,0619-12,59620,4884-4,0520-1,13781,69420,71845,3818-1,3358-2,668016,09540,2657-0,5166-0,45961,3814-0,3443-4,19132,6389-11,8191-0,6945-7,8590-0,19330,31750,9170-5,43457,33670,37243,17461,10921,27014,3630-3,06152,4027-0,3797-2,62690,0172-1,54214,58200,8209-1,06262,2185-0,0266-54,82112,8943-3,24631,2658-1,25410,8391-11,59553,1488-1,0396-0,2982-0,87382,34600,7455-0,30350,14570,29451,52915,13991,26431,0088-1,7170-0,71563,5854-0,31400,08660,4517-0,0165-4,1407-0,49951,3930-1,23314,02940,47191,3748-0,7011-1,4836-0,44910,6391-0,1247-31,4608-2,8425-1,300711,0602-1,1112-0,4121-0,9413-3,6526-0,28570,83880,45300,4935-6,5477-3,8223-1,6203-6,37874,15960,37550,2420-1,3679-2,2719-0,3304-0,3294-7,1948-1,11701,83680,86270,47743,08980,97850,46210,5060-0,0284-0,47840,9164-0,54731,15020,1329-9,28290,44564,3311-0,0448-28,5570-0,32664,080913,20724,4647-0,5947-0,1378-3,2342-0,49480,0743-7,6848-15,97280,09731,87041,0777-0,13224,43260,4213-0,46550,1881-0,6973-0,00452,0721-1,39750,85170,01030,3919-0,03111,0896-1,1999-17,28880,7735-0,18390,0500-12,8048-1,25221,9248-1,04030,9808-0,25550,2423-0,95100,0203-4,2189-3,21120,2266-0,8306-1,60712,8825-0,9595-0,2362-11,9081-2,8719-2,495310,63710,1749-2,0302-2,12229,46891,1035-0,73461,5225-0,54380,9634-0,8539-0,2153-1,5022-9,54860,01182,33450,1469-12,14410,43762,8490-0,16890,34860,59490,31230,62200,7945-0,49651,0911-0,7446-2,7862-0,2419-2,17797,66385,3289-0,6706-0,0983-0,08231,0983-1,0637-0,35211,9416-1,12502,47493,03060,95820,76402,36950,31671,4148-1,5298-0,36581,05530,03860,2038-0,5709-0,16472,0196-1,0243-2,53842,72590,3555-3,54401,00221,9035-0,0804-0,22980,52780,7066-0,14001,0047-0,1851-5,40990,60170,8223-1,1455-2,0282-3,59538,35891,0020-10,83320,7875-1,1680-0,8794-8,3950-1,14580,53721,6394-0,5395-0,26912,3351-0,07690,13973,0108-2,03583,0046-0,56510,0171-0,4567-1,43271,9473-0,96566,2358-0,7902-1,3872-0,81280,1976-6,3701-1,05340,8716-18,53484,91490,5925-1,4697

Megoldás. Ha a vizsgált valószínűségi változó standard Cauchy-eloszlású, akkor

F ∗n(xi) '1π

arctg xi +12 , i = 1, . . . , r,

azazyi := tg

(F ∗n(xi)−

12

)π ' xi, i = 1, . . . , r.

Így az (x1, y1), . . . , (xr, yr) koordinátájú pontok körülbelül egy origón átmenő 1meredekségű egyenesre esnek.

A mintarealizációt másolja egy Excel-munkalap A oszlopába. Használjuk a −3-tól3-ig terjedő egyenletes beosztást 0,5 hosszúságú részintervallumokkal, azaz legyenx1 = −3, x2 = −2,5, x3 = −2, . . . , x13 = 3. Ezeket rendre írja be a B1:B13 cellatarto-mányba. A C oszlopban számoljuk ki az yi értékeket. Ehhez írja C1-be, hogy

=TAN((DARABTELI(A:A;"

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-3 -2 -1 0 1 2 3

A kapott pontok nagyon jól illeszkednek az egyenesre, így nagy valószínűséggelállítható, hogy a vizsgált valószínűségi változó standard Cauchy-eloszlású.

A színt és a vonalvastagságot igény szerint beállíthatja. A megoldás menetétvégigkövetheti a következő videón.

3.2. Egyparaméteres eloszlásra vonatkozó illeszke-désvizsgálat

Ebben az esetben azt vizsgáljuk, hogy a valószínűségi változó származhat-e olyaneloszlástípusból, amelynek egy ismeretlen paramétere van. Például egy valószínűségiváltozó lehet-e exponenciális eloszlású, amelynek a λ paramétere ismeretlen?

Általánosságban jelölje ϑ az ismeretlen paramétert. Tegyük fel, hogy G és g olyanfüggvények, melyekre az eloszlástípus eloszlásfüggvénye előáll az x helyen G

(g(ϑ)x

)alakban, továbbá G invertálható. Az exponenciális eloszlás ilyen, hiszen G(t) = 1−et,g(ϑ) = −ϑ és ϑ = λ választással G

(g(ϑ)x

)= 1 − e−λx, továbbá G invertálható és

G−1(t) = ln(1− t).Legyen x1 < x2 < · · · < xr, továbbá tegyük fel, hogy a mintarealizáció legkisebb

eleme nagyobb x1-nél, a mintarealizáció legnagyobb eleme pedig kisebb xr-nél. Ha n amintarealizáció elemszáma és a valószínűségi változó valóban a sejtett eloszlástípusbatartozik, akkor

F ∗n(xi) ' G(g(ϑ)xi

), i = 1, . . . , r,

EbbőlG−1

(F ∗n(xi)

)' g(ϑ)xi, i = 1, . . . , r,

azaz yi := G−1(F ∗n(xi)

)jelöléssel az (x1, y1), . . . , (xr, yr) koordinátájú pontok körül-

belül egy origón átmenő g(ϑ) meredekségű egyenesre esnek.

37

https://youtu.be/1MAf0FVjUe4

A legkisebb négyzetek elve alapján az origón átmenő y = mx egyenletű egyenesekközül az illeszkedik legjobban az (x1, y1), . . . , (xr, yr) koordinátájú pontokra, melyrer∑i=1

(mxi − yi)2 értéke a legkisebb. Ezt az egyenest az adott pontokhoz tartozó fix-pontos regressziós egyenesnek (vagy lineáris trendvonalnak) nevezzük. Jelölje ennekmeredekségét m∗. Ekkor megoldva a

g(ϑ) = m∗

egyenletet, a ϑ̂ megoldása a ϑ becslése. Tehát ez a módszer nem csak arra ad feleletet,hogy tényleg ebbe az eloszlástípusba tartozik-e a vizsgált valószínűségi változó, hanemaz ismeretlen paraméter értékét is megbecsülhetjük vele.

3.2. Példa. A fájlban található mintarealizáció alapján vizsgáljameg, hogy a vizsgált valószínűségi változó lehet-e exponenciális eloszlású. Ha igen,akkor lineáris regresszióval becsülje meg a paramétert.

Megoldás. Ha teljesül, hogy a vizsgált valószínűségi változó exponenciális eloszlású λparaméterrel, akkor

F ∗n(xi) ' 1− e−λxi , i = 1, . . . , r,

azazyi := ln

(1− F ∗n(xi)

)' −λxi, i = 1, . . . , r.

Így az (x1, y1), . . . , (xr, yr) koordinátájú pontok körülbelül egy olyan egyenesre esnek,melynek −λ a meredeksége és átmegy az origón. Ha m∗ az origón átmenő regressziósegyenes meredeksége, akkor −λ = m∗ egyenletet megoldva kapjuk λ becslését, azazλ̂ = −m∗.

A mintarealizációt másolja egy Excel-munkalap A oszlopába. Vizsgálja meg alegkisebb és legnagyobb értékét a mintarealizációnak a =MIN(A:A) és =MAX(A:A)függvényekkel. Azt kapjuk, hogy 0,002 a legkisebb és 2,1932 a legnagyobb érték.Ennek alapján lehet x1 = 0,1 és xr = 2,1. Célszerű az r = 11 választás, mertekkor egyenletes beosztást választva 10 egyenlő hosszúságú részintervallumot kapunk,melyek hossza 2,1−0,110 = 0,2. Így x1 = 0,1; x2 = 0,3; x3 = 0,5; x4 = 0,7; x5 == 0,9; x6 = 1,1; x7 = 1,3; x8 = 1,5; x9 = 1,7; x10 = 1,9; x11 = 2,1. Ezeket írja be aB1:B11 cellatartományba. Ezután a C1 cellában számolja ki az y1 értékét. Ehhez írjabe a következőt:

=LN(1-DARABTELI(A:A;"

Beszúrás → Diagramok →Pont- (xy) vagy buborékdiagram beszúrása → Pont

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2

A kapott pontok jól illeszkednek egy olyan egyenesre, amely átmegy az origón.Így nagy biztonsággal állíthatjuk, hogy a mintarealizáció exponenciális eloszlásbólszármazik.

A λ paraméter becsléséhez ábrázoljuk az origón átmenő lineáris trendvonalat.Klikkeljen az ábrára, majd

Tervezés → Diagram-összetevő hozzáadása →Trendvonal → További trendvonal-beállítások →Trendvonal formázása panelen:Trendvonal beállításai ikon → Lineáris → Metszéspont: 0 →Egyenlet látszik a diagramon

y = -3,3822x-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2

A meredekségből látható, hogy λ becslése 3,3822. Összehasonlításképpen közöljük,hogy a vizsgált valószínűségi változó exponenciális eloszlású volt λ = 3,2 paraméterrel.

A színt és a vonalvastagságot igény szerint beállíthatja. A megoldás menetétvégigkövetheti a következő videón.

39

https://youtu.be/6qWwcQn6Weg

3.3. Kétparaméteres eloszlásra vonatkozó illeszke-désvizsgálat

Most azt vizsgáljuk, hogy a valószínűségi változó származhat-e olyan eloszlástípusból,amelynek két ismeretlen paramétere van. Például egy valószínűségi változó lehet-enormális eloszlású, amelynek m és σ paraméterei ismeretlenek?

Általánosságban jelölje ϑ1 és ϑ1 az ismeretlen paramétereket. Tegyük fel, hogyG, g1 és g2 olyan függvények, melyekre az eloszlástípus eloszlásfüggvénye előáll azx helyen G

(g1(ϑ1, ϑ2)x + g2(ϑ1, ϑ2)

)alakban, továbbá G invertálható. A normális

eloszlás ilyen, hiszen G(t) = Φ(t), g1(ϑ1, ϑ2) = 1ϑ2 , g2(ϑ1, ϑ2) = −ϑ1ϑ2, ϑ1 = m és

ϑ2 = σ választással G(g1(ϑ1, ϑ2)x+ g2(ϑ1, ϑ2)

)= Φ

(x−mσ

), továbbá G invertálható.

Legyen x1 < x2 < · · · < xr, továbbá tegyük fel, hogy a mintarealizáció legkisebbeleme nagyobb x1-nél, a mintarealizáció legnagyobb eleme pedig kisebb xr-nél. Ha n amintarealizáció elemszáma és a valószínűségi változó valóban a sejtett eloszlástípusbatartozik, akkor

F ∗n(xi) ' G(g1(ϑ1, ϑ2)xi + g2(ϑ1, ϑ2)

), i = 1, . . . , r,

EbbőlG−1

(F ∗n(xi)

)' g1(ϑ1, ϑ2)xi + g2(ϑ1, ϑ2), i = 1, . . . , r,

azaz yi := G−1(F ∗n(xi)

)jelöléssel az (x1, y1), . . . , (xr, yr) koordinátájú pontok kö-

rülbelül egy olyan egyenesre esnek, melynek meredeksége g1(ϑ1, ϑ2) és a függőlegestengelymetszete g2(ϑ1, ϑ2).

A legkisebb négyzetek elve alapján az origón átmenő y = mx + b egyenletűegyenesek közül az illeszkedik legjobban az (x1, y1), . . . , (xr, yr) koordinátájú pontokra,melyre

r∑i=1

(mxi + b − yi)2 értéke a legkisebb. Ezt az egyenest az adott pontokhoztartozó regressziós egyenesnek (vagy lineáris trendvonalnak) nevezzük. Jelölje ennekmeredekségét m∗ és a függőleges tengelymetszetét b∗. Ekkor megoldva a

g1(ϑ1, ϑ2) = m∗

g2(ϑ1, ϑ2) = b∗

egyenletrendszert, a (ϑ̂1, ϑ̂2) megoldása a (ϑ1, ϑ2) becslése. Tehát ez a módszer nemcsak arra ad feleletet, hogy tényleg ebbe az eloszlástípusba tartozik-e a vizsgáltvalószínűségi változó, hanem az ismeretlen paraméterek értékeit is megbecsülhetjükvele.

40

3.3. Példa. A fájlban található mintarealizáció alapján nézze meg,hogy a vizsgált valószínűségi változó lehet-e normális eloszlású. Ha igen, akkor becsüljemeg lineáris regresszióval a paramétereket.

Megoldás. Ha a vizsgált valószínűségi változó normális eloszlású m várható értékkelés σ szórással, akkor

F ∗n(xi) ' Φ(xi −mσ

), i = 1, . . . , r,

azazyi := Φ−1

(F ∗n(xi)

)' 1σxi −

m

σ, i = 1, . . . , r.

Így az (x1, y1), . . . , (xr, yr) koordinátájú pontok körülbelül egy olyan egyenesre esnek,melynek 1

σa meredeksége és −m

σértéknél metszi a függőleges tengelyt. Ha m∗ illetve

b∗ a regressziós egyenes meredeksége illetve függőleges tengelymetszete, akkor az

1σ

= m∗

−mσ

= b∗

egyenletrendszer megoldása m̂ = − b∗m∗

és σ̂ = 1m∗

, melyek az m és σ becslései.A mintarealizációt másolja egy Excel-munkalap A oszlopába. Vizsgálja meg a

legkisebb és legnagyobb értékét a mintarealizációnak a =MIN(A:A) és =MAX(A:A)függvényekkel. Azt kapjuk, hogy 2,495 a legkisebb és 8,0063 a legnagyobb érték. Ennekalapján lehet x1 = 2,5 és xr = 8. Célszerű az r = 11 választás, mert ekkor egyenletesbeosztást választva 10 egyenlő hosszúságú részintervallumot kapunk, melyek hossza8−2,5

10 = 0,55. Így x1 = 2,5;x2 = 3,05; . . . ;x11 = 8. Ezeket az értékeket írja be aB1:B11 cellatartományba. Ezután a C1 cellában számolja ki az y1 értékeket a

=NORM.S.INVERZ(DARABTELI(A:A;"

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

2 3 4 5 6 7 8

A paraméterek becsléséhez ábrázoljuk a lineáris trendvonalat. Klikkeljen az ábrára,majd

Tervezés → Diagram-összetevő hozzáadása →Trendvonal → További trendvonal-beállítások →Trendvonal formázása panelen:Trendvonal beállításai ikon → Lineáris → Egyenlet látszik a diagramon

y = 1,2351x - 6,4061

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

2 3 4 5 6 7 8

A lineáris trendvonal meredekségét a MEREDEKSÉG függvénnyel, illetve a függőlegestengelymetszet értékét a METSZ függvénnyel számolhatjuk ki. Ennek alapján mbecslése

=-METSZ(C1:C11;B1:B11)/MEREDEKSÉG(C1:C11;B1:B11)

és σ becslése

=1/MEREDEKSÉG(C1:C11;B1:B11)

Az eredménym ' 5,1866 és σ ' 0,8096. Ellenőrzésképpen közöljük, hogy a felhasználtmintarealizáció m = 5,2 és σ = 0,8 paraméterű normális eloszlásból származik.

Az egész megoldást végigkövetheti a következő videón.

42

https://youtu.be/NV4_cqCiJYQ

3.4. Gyakorlatok

3.1. gyakorlat. A fájlban található mintarealizáció alapján vizsgáljameg, hogy a vizsgált valószínűségi változó lehet-e egyenletes eloszlású. Ha igen, akkora kapott ábra alapján becsülje meg a paramétereket.

Útmutatás. Ha teljesül, hogy a vizsgált valószínűségi változó egyenletes eloszlású az[a, b] intervallumon, akkor

yi := F ∗n(xi) 'xi − ab− a

= 1b− a

xi −a

b− a, i = 1, . . . , r.

Ebből â = − b∗m∗

és b̂ = −1−b∗m∗

. Az összehasonlításhoz közöljük, hogy a vizsgáltvalószínűségi változó egyenletes eloszlású volt a [2,5; 8] intervallumon.

3.2. gyakorlat. A fájlban található mintarealizáció alapján vizsgáljameg, hogy a vizsgált valószínűségi változó lehet-e exponenciális eloszlású.

Útmutatás. A 3.2. példa alapján eljárva azt állíthatjuk, hogy a minta nem exponenci-ális eloszlásból származik.

3.3. gyakorlat. A fájlban található mintarealizáció alapján vizsgáljameg, hogy a vizsgált valószínűségi változó lehet-e normális eloszlású. Ha igen, akkora kapott ábra alapján becsülje meg a paramétereket.

Útmutatás. A 3.3. példa alapján eljárva azt állíthatjuk, hogy a minta nem normáliseloszlásból származik.

3.4. gyakorlat. Generáljon Excel segítségével 3000 elemű mintarealizációt egyenletes,exponenciális, normális illetve Cauchy-eloszlású valószínűségi változóra vonatkozóana korábban ismertetett módszerekkel. Grafikus illeszkedésvizsgálattal igazolja, hogyaz így generált mintarealizációk valóban olyan eloszlásúak, mint aminek az elméletszerint kell lennie. A paramétereket is becsüljük meg.

43

7,46004,12767,48355,33064,66885,07067,49603,89526,58115,48054,30154,77522,59902,93036,20197,28467,93495,81566,96797,36664,38133,61003,14896,80276,64073,92124,38593,93053,19213,23073,63843,93776,04637,07367,61755,68035,11487,79273,58615,84313,79615,37394,06817,63985,75424,24644,37856,12055,74172,80402,76486,03505,69434,78283,32303,06987,19706,00065,72823,65454,30034,84223,69215,90957,53673,74864,43873,17824,86423,34165,86086,96513,13893,19306,89594,97563,59342,62097,03827,82622,67107,26977,27173,87226,44454,60854,09275,97234,21974,85452,65746,88497,79983,20434,97097,86805,76456,63167,40505,92607,98755,88294,71042,52604,99565,68054,56114,47623,64627,51443,04595,53964,97415,78154,89574,72605,93324,40493,11003,08373,63777,44044,52404,68644,07564,55487,72664,88445,64906,63136,12255,26766,26636,63697,79882,65757,08806,25874,73825,32713,90332,69206,79034,51567,98817,33824,19226,68627,67224,54464,30087,84453,21607,39583,57687,11556,97375,93644,73454,14746,69536,08623,34593,28886,69326,87867,06344,85884,47437,02983,50033,70603,81606,72373,18325,62647,13634,86784,86527,58492,88474,45516,86384,56233,55557,03747,96304,72124,30106,19613,29322,96272,99467,76453,97857,31793,97156,93766,21494,99626,04817,77557,31893,78314,29686,98392,66005,36123,42782,72853,26714,99643,50442,61815,27173