Matematiken iPer Nørgårds oändlighetsserie

Matematikbiennalen 2014

Hans Thunbergthunberg@math.kth.se

Per Nørgård– Dansk tonsättare , född 1932– En av de ledande i Norden i sin generation• Nordiska rådets musikpris 1974• Sibeliuspriset 2006 • Stockholms Konserthus tonsättarfestival 2012

Oändlighetsserien en metod att generera melodier

- med överflöd på symmetrier och fraktal struktur- med i princip oändlig utsträckning utan exakt upprepning

Konstruktion av en oändlighetsserie

- Välj ett tonförråd (”skala”)t ex stamtonerna (”de vita tangenterna”) - Välj två inledande toner

Nørgårds algoritm gör resten …..

Nørgårds algoritm + 1

- 1+ 1

- 2 + 2

- 2

- 3

+ 3

- 1

+ 3

+ 1

- 1

Differens efter n steg subtraheras resp. adderas efter 2n steg

Nørgårds algoritm, forts.

+ 13

+ 13

- 13

Enkel formel – Rika egenskaper

• Nya lägsta och högsta toner efter steg• Innehåller oändligt många transponerade

kopior av sig själv i långsammare tempo• Innehåller oändligt många spegelvända (”upp-

och-nervända”) transponerade kopior av sig själv

• Har fraktal struktur

Nya lägsta och högsta toner efter steg:

Var fjärde ton ger tillbaks den ursprungliga melodin

+ 1 - 2 + 3 - 1 - 1 - 2 + 5

- 1 + 2 - 3 + 1 + 1 + 2 - 5

Var annan ton ger melodin spegelvänd (”upp-och-ner”)

Var annan ton med start från andra tonen ger melodin transponerad

Var 8:e ton med start från den sjunde ger en transponerad spegelbildVar 8:e ton med start från den åttonde ger ett transponatosv

Klipp-och-Klistra Egenskapen

?

Modell: Nørgårdföljder

Talföljd , , , … }

Välj två inledande toner Välj begynnelsevärden och

Differens efter n steg subtraheras och adderas efter 2n steg

för ges av

där

Exempel

{ 𝑎2𝑛=𝑎2𝑛−2−𝑑𝑛

𝑎2𝑛+1=𝑎2𝑛−1+𝑑𝑛 där Välj t ex

𝑑1=𝑎1−𝑎0=3−1=2 {𝑎2=𝑎0−𝑑1=1−2=−1𝑎3=𝑎1+𝑑1=3+2=5

𝑑2=𝑎2−𝑎1=−1−3=−4 {𝑎4=𝑎2−𝑑2=−1+4=3𝑎5=𝑎3+𝑑2=5−4=1

𝑑3=𝑎3−𝑎2=5+1=6 {𝑎6=𝑎4−𝑑3=3−6=−3𝑎7=𝑎5+𝑑3=1+6=7

𝑑4=𝑎4−𝑎3=3−5=−2 {𝑎8=𝑎6−𝑑4=−3+2=−1𝑎9=𝑎7+𝑑4=7−2=5

osv …

Om är en Nørgårdföljd gäller

Sats 1. Succesiva min infaller på positioner Succesiva max infaller på positioner Dessa avtar/ökar aritmetiskt med

Sats 2. Den delföljd som börjar på position och består av element på avstånd är en translaterad spegelbild av .Den delföljd som börjar på position och består av element på avstånd är ett translat av .

Sats 3.Om de första elementen i har bestämts, kan ytterligare element bestämmas med klipp-och-klistra algoritmen.

Modelltest ger

1, 3, -1, 5, 3, 1, -3, 7, -1, 5, 1, 3, 5, -1, -5, 9, 3, 1, -3, 7, 1, 3, -1, 5, -3, 7, 3, 1, 7, -3, -7, 11, …

Succesiva min och max:1, 3, -1, 5, 3, 1, -3, 7, -1, 5, 1, 3, 5, -1, -5, 9, 3, 1, -3, 7, 1, 3, -1, 5, -3, 7, 3, 1, 7, -3, -7, 11, …

Translat och translaterade speglingar:1, 3, -1, 5, 3, 1, -3, 7,

1, -1, 3, -3, -1, 1, 5 -5, 3 -3, 1, -1, -3, 3, 7, -7, …

3, 5, 1, 7, 5, 3, -1, 9, 1, 7, 3, 5, 7, 1, -3, 11, …

5, 7, 3, 9, 7, 5, 1, …

-3, -5, -1, -7, …Klipp-och-klistra:

1, 3, -1, 5, 3, 1, -3, 7, -1, 5, 1, 3, 5, -1, -5, 9, 3, 1, -3, 7, 1, 3, -1, 5, -3, 7 3, 1, 7, -3, -7, 11, …

Börja med specialfall (det enklaste!)

𝑑1=𝑐1−𝑐0=𝑐1 {𝑐2=𝑐0−𝑑1=−𝑐1=−1𝑐3=𝑐1+𝑑1=2𝑐1=2

𝑑2=𝑐2−𝑐1=−𝑐1−𝑐1=−2𝑐1 {𝑐4=𝑐2−𝑑2=−𝑐1+2𝑐1=𝑐1=1𝑐5=𝑐3+𝑑2=2𝑐1−2𝑐1=0

𝑑3=𝑐3−𝑐2=2𝑐1+𝑐1=3𝑐1 {𝑐6=𝑐4−𝑑3=𝑐1−3𝑐1=−2𝑐1=−2𝑐7=𝑐5+𝑑3=0 𝑐1+3𝑐1=3𝑐1=3

𝑑4=𝑐4−𝑐3=𝑐1−2𝑐1=−𝑐1 {𝑐8=𝑐6−𝑑4=−2𝑐1+𝑐1=−𝑐1=−1𝑐9=𝑐7+𝑑4=3𝑐1−𝑐1=2𝑐1=2

osv …

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0 1 -1 2 1 0 -2 3 -1 2 0 1 2 -1 -3 4 1 0

Påstående 1:

Påstående 2:

Bevis: , . Om Påstående 1 är sant för fås

Påstående 2 bevisa på motsvarande sätt.

En ekvivalent men enklare modell …

, 𝑑𝑛=𝑐𝑛−𝑐𝑛−1

𝑐0=0 ,𝑐1=1

𝑐0=0 ,𝑐1=1

, ,

Sats 1. Succesiva min infaller på positioner Succesiva max infaller på positioner Dessa avtar/ökar aritmetiskt med

Bevis:

Sats 3.Om de första elementen i har bestämts, kan ytterligare element bestämmas med klipp-och-klistra algoritmen.

BevisInduktion i det stora trädet …

Bevis sats 3, steg I: Nästan alla likheter ärvs från raden ovanför

Bevis sats 3, steg II: Bevis av likhet vid två nya positioner - trädklättring

Sats 2. (i) Den delföljd som börjar på position och består av element på avstånd är en translaterad spegelbild av .(ii) Den delföljd som börjar på position och består av element på avstånd är ett translat av .

Bevis: Induktivt bevis genom att använda rekursionsformlerna.

Observera att för följer (i) ur , vilket också direkt ger att

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0 1 -1 2 1 0 -2 3 -1 2 0 1 2 -1 -3 4 1 0

Generalisera till det generella falletOm är den Nørgårdföljd som ges av

och är en godtycklig Nørgårdföljd gäller att

.

(följer av att rekursionsekvationerna är linjära)

Sats 1 - 3 gäller därmed för varje Nørgårdföljd.

Thue-Morse följdenOm istället

{ 𝑎2𝑛=𝑎2𝑛− 2+𝑑𝑛

𝑎2𝑛+1=𝑎2𝑛−1−𝑑𝑛

där

fås med den s k Thue-Morse följden

0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 …..

01100110

A A AB B B …

…

Tack för er uppmärksamhet!