Matematine˙s analize˙s egzamino klausimai MIF 1 kursas ...vigirdas/articles/egz1sem.pdf · Matematine˙s analize˙s egzamino klausimai MIF 1 kursas, FDM, 2017 m. 1 (rudens) semestras,

Matematines analizes egzamino klausimaiMIF 1 kursas, FDM, 2018 m. 1 (rudens) semestras, 2019–01–14

1. I‘rodykite siuos teiginius:1) Jei an → a ∈ IR ir bn → b ∈ IR, tai anbn → ab. (1,5 t.)

2) Jei an → a 6= 0, tai 1/an → 1/a; (1,5 t.)

3) jei an ≤ bn ≤ cn, n ∈ IN, ir limn→∞

an = limn→∞

cn = x ∈ IR, tai limn→∞

bn = x. (1 t.)

2. Funkcijos f Teiloro daugianario apibrezimas. (0,5 t.)

I‘rodykite teigini

‘:

Jei Pn(x) = Pn(x; x0) yra n kartu‘diferencijuojamos funkcijos f Teiloro daugianaris

su centru taske x0, tai P (k)(x0) = f (k)(x0) su visais k = 0, 1, . . . , n. (1 t.)

Jei f ∈ Cn+1[x0, x], tai egzistuoja toks taskas c ∈ (x0, x), kad

f(x) = Pn(x; x0) +f (n+1)(c)(n + 1)!

(x − x0)n+1. (2,5 t.)

3. Apibrezimai: aprezta aibe, aibes virsutinis rezis, aibes tikslus virsutinis rezis, virsuti-nio rezio aksioma. (1 t.)

4. Tolygiai tolydzios intervale funkcijos apibrezimas. Kantoro teorma. (0,6+0,4 t.)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

FDM, 2018 m. 1 (rudens) semestras, 2019–01–14

5. {xn} ir {yn} – dvi teigiamos apreztos sekos. Seka {xn} konverguoja, o {yn} diverguoja.Ar gali sandauga {xnyn} konverguoti? (Jei taip, pateikite pavyzdi

‘; jei ne, pagri

‘skite.)(1 t.)

Ats.: Gali. Pvz.: xn = 1n, yn = 2 + (−1)n.

6. Sugalvokite pavyzdi‘tokios funkcijos f ∈ C2(IR), kad f ′(0) > 0, f ′′(0) = 0, bet taskas

x = 0 nera jos perlinkio taskas. (1 t.)

Pvz.: f(x) = x4 + x.

7. Seka {xn} apibrezta rekurenciu sa‘rysiu: x1 = 3, xn+1 =

√1 + 2xn. I

‘rodykite, kad

seka yra mazejanti ir aprezta is apacios. Raskite jos riba‘. (2 t.)

Ats.: limn→∞ xn = 1 +√

2.

8. Raskite riba‘

limx→+∞

[(x2 + 3x2 − 3

)x2

+√

x4 + 2x2 − x2]. (2 t.)

Ats: e6 + 1.

9. Raskite f ′(0), jei

f(x) =

{1−cos x

x2 , x 6= 0,12 , x = 0.

(1 t.)

Ats: 0.

10. Istirkite funkcija‘f(x) :=

x3

(x − 1)(x + 2)ir nubrezkite jos grafiko eskiza

‘(be perlinkio

tasku‘tyrimo). (3 t.)

Sudare V. Mackevicius

Matematines analizes egzamino klausimaiMIF 1 kursas, FDM, 2017 m. 1 (rudens) semestras, 2018–02–13, perlaikymas

1. Funkcijos (baigtines) ribos taske apibrezimai ,,seku‘“ ir ,,ε–δ“ kalbomis. (1 t.)

I‘rodykite siu

‘apibrezimu

‘ekvivalentuma

‘. (3 t.)

2. I‘rodykite sias diferencijuojamu

‘funkciju

‘savybes:

a) Jei funkcija f yra diferencijuojama taske x ∈ IR, tai ji tolydi tame taske; (1 t.)

b) (fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x); (1,5 t.)

c) (f/g)′(x) = (f ′(x)g(x) − f(x)g′(x))/g2(x), jei g(x) 6= 0. (1,5 t.)


4. Teiloro daugianaris. Teiloro formule su Lagranzo liekamuoju nariu. (1 t.)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

FDM, 2017 m. 1 (rudens) semestras, 2018–02–13, perlaikymas

5. Tarkime, kad limn→∞

(xn) = limn→∞

(yn) = 1. Ar gali buti, kad a) limn→∞

(xn + yn) = 1?

b) limn→∞

(xn + yn) = −1? (Jei ne, pagri‘skite; jei taip, pateikite pavyzdi

‘.) (1 t.)

6. Sugalvokite funkcija‘f : IR → IR, kuri yra diferencijuojama visoje tieseje IR, bet kurios

isvestine nera tolydi funkcija. Atsakyma‘pagri

‘skite. (1 t.)

7. Remdamiesi tolydzios funkcijos apibrezimu, i‘rodykite, kad funkcija

f(x) = cos x, x ∈ IR, yra tolydi visoje tieseje IR. (2 t.)

8. Raskite riba‘

limx→+∞

[(x2 + 3x2 − 3

)x2

+√

x4 + 2x2 − x2]. (2 t.)


f(x) =

{ex−1

x , x 6= 0,1, x = 0.

(1 t.)


3√

x2e−23 x ir nubrezkite jos grafiko eskiza

‘. (3 t.)



1. I‘rodykite teigini

‘:

Tarkime, kad f ∈ C[a, b], f(a) < 0, f(b) > 0. Tada egzistuoja toks taskas c ∈ [a, b],kad f(c) = 0. (4 t.)

2. Iskilu‘aukstyn ir zemyn funkciju

‘apibrezimai. (1 t.)


‘:

Diferencijuojama funkcija f : (a, b) → IR yra iskila aukstyn intervale (a, b) tada ir tiktada, kai jos isvestine jame mazeja. Be to, griezta

‘iskiluma

‘aukstyn atitinka grieztas

isvestines mazejimas. (3 t.)

3. Tolygiai tolydzios intervale funkcijos apibrezimas. Kantoro teorma. (0,5+0,5 t.)

4. Teiloro daugianaris. Teiloro formule su Peano liekamuoju nariu. (1 t.)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


5. Sugalvokite tokia‘seka

‘{xn}, kad

infn∈IN

xn < limn→∞

xn < limn→∞

xn < supn∈IN

xn. (1 t.)

Pvz.: x1 = 2, x2 = −2, xn = (−1)n, n ≥ 3.

6. Sugalvokite funkcija‘f ∈ C[0, 1], kuri butu

‘diferencijuojama intervale [0, 1), bet nebutu

‘diferencijuojama taske x = 1. (1 t.)

Pvz.: f(x) := (1 − x) sin 11−x

, x ∈ [0, 1), f(1) := 0.

7. Remdamiesi tik sekos ribos apibrezimu, i‘dodykite, kad

limn→∞

x3n = x3, jei lim

n→∞xn = x. (2 t.)

8. Netaikydami Liopitalio taisykles, raskite riba‘

limx→0

ex2+ sin x − 1 − x − x2 + x3

6 − x4

x4. (2 t.)

Ats: − 12.

9. Raskite funkcijos f(x) := |x|3, x ∈ IR, isvestine‘. (1 t.)

I‘spejimas: Nepamirskite, kad funkcija g(x) := |x| nera diferencijuojama taske x = 0.

Ats: f ′(x) = 3x2sgn x (i‘skaitant ir f ′(0) = 0).


27x2

(x + 1)3ir nubrezkite jos grafiko eskiza

‘. (3 t.)




I‘rodykite siu

‘apibrezimu

‘ekvivalentuma

‘. (3 t.)

2. I‘rodykite sias diferencijuojamu

‘funkciju

‘savybes:

a) Jei funkcija f yra diferencijuojama taske x ∈ IR, tai ji tolydi tame taske; (1 t.)

b) (fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x); (1,5 t.)

c) (f/g)′(x) = (f ′(x)g(x) − f(x)g′(x))/g2(x), jei g(x) 6= 0. (1,5 t.)



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



(xn) = limn→∞


(xn + yn) = 1?

b) limn→∞

(xnyn) = 1? (Jei ne, pagri‘skite; jei taip, pateikite pavyzdi

‘.) (1 t.)

Ats: Gali. Pvz.: a) xn = ((−1)n + 1)/2, yn = ((−1)n+1 + 1)/2; b) xn = yn = 1.



‘skite. (1 t.)

Pvz.: f(x) := x2 sin 1x, kai x 6= 0; f(x) := 0, kai x = 0.

7. Remdamiesi tolydzios funkcijos apibrezimu, i‘rodykite, kad funkcija

f(x) = cos x, x ∈ IR, yra tolydi visoje tieseje IR. (2 t.)

8. Raskite riba‘

limx→+∞

[(x2 + 3x2 − 3

)x2

+√

x4 + 2x2 − x2]. (2 t.)

Ats: e6 + 1.


f(x) =

{sin x

x , x 6= 0,1, x = 0.

(1 t.)

Ats: 0.


(x − 2)3

(x − 1)2ir nubrezkite jos grafiko eskiza

‘. (3 t.)



1. Apibrezimai: Sekos riba, konverguojanti seka, aprezta seka, posekis. (1 t.)

I‘rodykite siuos teiginius:1) Kiekviena konverguojanti seka yra aprezta. (1 t.)

2) Kiekviena aprezta seka turi konverguojanti‘poseki

‘. (2 t.)



‘:




f(x) = Pn(x0; x) +f (n+1)(c)(n + 1)!

(x − x0)n+1. (2,5 t.)

3. Funkcijos ribos apibrezimai ,,seku‘“ ir ,,ε–δ“ terminais. (0,5+0,5 t.)

4. Kosi ir Lagranzo viduriniu‘reiksmiu

‘teoremos. (0,6+0,4 t.)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



(xn) = limn→∞


(xn + yn) = 0?

b) limn→∞


‘.) (1 t.)

Ats: Gali. Pvz.: a) xn = (−1)n, yn = (−1)n+1; b) xn = ((−1)n +1)/2, yn = ((−1)n+1 +1)/2.

6. Ar gali dvieju‘netolydziu

‘funkciju

‘f ir g intervale [0, 1] sandauga buti tolydi funkcija?

(Jei ne, pagri‘skite; jei taip, pateikite pavyzdi

‘.) (1 t.)

Ats: Gali. Pvz.: f(x) = g(x) = 1, kai x ∈ [0, 1/2), f(x) = g(x) = −1, kai x ∈ [1/2, 1].

7. Remdamiesi funkcijos ribos apibrezimu, i‘rodykite, kad lim

x→2x3 = 8. (2 t.)

8. Raskite riba‘

limx→+∞

[(x + 3x

)(1+x2)/x

+√

x2 + 3x − x]. (2 t.)

Ats: e3 + 3/2.

9. Raskite funkcijos f(x) =(x + 3

x

)(1+x2)/x

isvestine‘. (1 t.)


(x − 2)3

x2 − 1ir nubrezkite jos grafiko eskiza

‘. (3 t.)




2) Jei an → a 6= 0, tai 1/an → 1/a; (1,5 t.)


an = limn→∞


bn = x. (1 t.)



‘:




f(x) = Pn(x0; x) +f (n+1)(c)(n + 1)!

(x − x0)n+1. (2,5 t.)

3. Sekos virsutines ir apatines ribu‘apibrezimai. Ju

‘savybes. (0,5+0,5 t.)

4. Tolygiai tolydzios intervale I funkcijos apibrezimas. Kantoro teorema. (0,5+0,5 t.)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



(xn) = limn→∞

(yn) = 1. Ar gali buti, kad limn→∞

(xn + yn) = 1 ir

limn→∞


‘.) (1 t.)

6. Funkcijos f ir g turi apreztas isvestines intervale [0, 1]. Ar gali ju‘sandaugos isvestine

nebuti aprezta? (Jei ne, pagri‘skite; jei taip, pateikite pavyzdi

‘.) (1 t.)

7. Remdamiesi sekos ribos apibrezimu, i‘rodykite, kad lim

n→∞sin xn = 1, jei lim

n→∞xn = π/2.

(2 t.)

8. Raskite riba‘

limx→0

(x + 1x

−1

ln(1 + x)

). (2 t.)

9. Raskite funkcijos f(x) = (1 + x2x3)4 isvestine

‘. (1 t.)

10. Istirkite funkcija‘f(x) := (1 − x)3e3x ir nubrezkite jos grafiko eskiza

‘. (3 t.)




I‘rodykite siu

‘apibrezimu

‘ekvivalentuma

‘. (3 t.)

2. Tolygiai tolydzios funkcijos intervale I apibrezimas. Pateikite pavyzdi‘funkcijos, kuri

yra tolydi intervale [0,∞), bet nera tolygiai tolydi tame intervale (su pagrindimu).(0,5+0,5 t.)

I‘rodykite, kad kiekviena funkcija, kuri yra tolydi intervale [a, b], yra tolygiai tolydi

intervale [a, b]. (3 t.)



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

FDM, 1 sem., 2016–01–08

5. Seka {xn} tenkina tokia‘savybe

‘:

∃N ∈ IN : ∀ ε > 0, |xn − x| < ε, kai n > N.

Parodykite, kad limn→∞

xn = x, bet ne atvirksciai, t.y. ne kiekviena seka, kurios riba

lygi x, turi nurodyta‘savybe

‘. (1 t.)

Ats.: Tokios sekos xn = x, kai n > N , t.y. jos yra pastovios pradedant tam tikru nariu.

Sios savybes neturi, pvz., seka xn = x + 1n→ x.



‘skite. (1 t.)

Pvz.: f(x) := x2 sin 1x, kai x 6= 0; f(x) := 0, kai x = 0.

7. Seka {xn}, kurios pirmas narys x1 = 2016, apibrezta rekurentine formule xn+1 =3− 4

xn+1 , n ∈ IN. I‘rodykite, kad seka yra mazejanti ir aprezta is apacios. Raskite jos

riba‘. (2 t.)

Ats.: limn→∞ xn = 1.

8. Netaikydami Liopitalio taisykles, raskite riba‘

limx→0

sin 3x − 3x + 92x3

x5. (2 t.)

Ats.: 8140

.

9. Parodykite, kad funkcija f(x) =

{sin x

x , x 6= 0,1, x = 0,

yra diferencijuojama taske x = 0 ir

raskite f ′(0). (1 t.)

Ats.: f ′(0) = 0.

10. Istirkite funkcija‘f(x) := (x + 1)3e−3x ir nubrezkite jos grafiko eskiza

‘. (3 t.)

Ats.: fmax(0) = 1; perlinkio taskai x = −1, ± 1√3; lim

x→+∞f(x) = 0, lim

x→−∞f(x) = −∞.


Matematines analizes egzamino klausimaiMIF 1 kursas, FDM, 2014 m. 1 (rudens) semestras, perlaikymas, 2015–02–17


I‘rodykite siu

‘apibrezimu

‘ekvivalentuma

‘. (3 t.)

2. I‘rodykite:

• Jei dvi funkcijos f, g ∈ C[a, b] yra diferencijuojamos intervale (a, b), tai yra toks taskasc ∈ (a, b), kad

(f(b) − f(a)

)g′(c) =

(g(b) − g(a)

)f ′(c). (2,5 t.)

• Jei funkcija f ∈ C[a, b] yra diferencijuojama intervale (a, b), tai yra toks taskasc ∈ (a, b), kad f(b) − f(a) = f ′(c)(b − a). (0,5 t.)

• Jei funkcija f : I → IR turi aprezta‘

isvestine‘

intervale I (t.y. |f ′(x)| ≤ C su visaisx ∈ I), tai f yra tolygiai tolydi intervale I. (1 t.)

3. Apibrezimai: aprezta aibe, aibes virsutinis rezis, aibes tikslus virsutinis rezis, realiu‘ju

‘skaiciu

‘tieses pilnumo (virsutinio rezio) aksioma. (1 t.)

4. Liopitalio taisykle. (1 t.)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

FDM, 1 sem., perlaikymas, 2015–02–17


‘:

∀ p ∈ IN, ∀ε > 0, ∃N ∈ IN : |xn+p − xn| < ε, kai n > N.

Ar tokia seka gali diverguoti? (Jei taip, pateikite pavyzdi‘; jei ne, pagri

‘skite).

Ats.: Gali. Pvz.: xn :=√

n; xn :=∑n

k=11n. (1 t.)

6. Sugalvokite funkcija‘

f : IR → IR, kuri butu‘

diferencijuojama lygiai viename taske.Pvz.: f(x) := x2, kai x ∈ Q; f(x) := 0, kai x /∈ Q. (1 t.)

7. Seka {xn}, kurios pirmas narys x1 ∈ (1, 2), apibrezta rekurentine formule xn+1 =x2

n+23 , n ∈ IN. Parodykite, kad seka yra mazejanti ir aprezta is apacios bei raskite jos

riba‘. Ats.: limn→∞ xn = 1. (2 t.)

8. Raskite riba‘

limx→∞

(x2 −

x

2− x3 ln

(1 +

1x

)). (2 t.)

Ats.: − 13.

9. Su kuriomis p ir q reiksmemis funkcija

f(x) =

{x2, x ≤ 1;−x2 + px + q, x > 1,

yra diferencijuojama visoje tieseje IR? (1 t.)

Ats.: p = 4, q = −2.

10. Istirkite funkcija‘f(x) := (x−2)3

x2+1 ir nubrezkite jos grafiko eskiza‘. (3 t.)

Ats.: fmin(−1) = −27/2; fmax(−3) = −25/2; asimptote y = x − 6; perlinkio taskai

x = 2, (−8 ± 5√

3)/11.



1. Sekos ribos apibrezimas. (0,5 t.)

I‘rodykite siuos teiginius:1) Jei lim

n→∞xn = x ∈ IR, lim

n→∞yn = y ∈ IR, tai lim

n→∞(xnyn) = xy. (1,5 t.)

2) Jei limn→∞

xn = x ∈ IR, limn→∞

yn = y ∈ IR \ {0}, tai limn→∞

xn

yn= x

y . (2 t.)

2. n kartu‘diferencijuojamos tasko x0 aplinkoje funkcijos f Teiloro n-osios eiles daugia-

naris Pn(x) = Pn(x; x0). Teiloro formule su Lagranzo pavidalo liekamuoju nariu.(0,5+0,5 t.)

1) I‘rodykite, kad P

(i)n (x0) = f (i)(x0), i = 0, 1, . . . , n. (1 t.)

2) I‘rodykite Teiloro formule

‘su Lagranzo pavidalo liekamuoju nariu. (2 t.)

3. Sekos virsutines ir apatines ribu‘apibrezimai. Teorema apie ju

‘egzistavima

‘. (0,5+0,5 t.)

4. Tolygiai tolydzios intervale I funkcijos apibrezimas. Kantoro teorema. (0,5+0,5 t.)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

FDM, 1 sem., 2015–01–06


‘:

∀ε > 0, ∃N ∈ IN : |xn+1 − xn| < ε, kai n > N.

Ar tokia seka gali diverguoti? (Jei taip, pateikite pavyzdi‘; jei ne, pagri

‘skite). (1 t.)

Ats.: Gali. Pvz.: xn :=√

n; xn :=∑n

k=11n.

6. Sugalvokite funkcija‘f ∈ C[0, 1], kuri butu

‘diferencijuojama intervale (0, 1], bet nebutu

‘diferencijuojama taske x = 0. (1 t.)

Pvz.: f(x) := x sin 1x, x ∈ (0, 1], f(0) := 0.

7. Seka {xn}, kurios pirmas narys x1 ∈ [0, 1], apibrezta rekurentine formule xn+1 =x2

n+12 , n ∈ IN. Parodykite, kad seka yra monotoniska ir aprezta bei raskite jos riba

‘.

(2 t.)

Ats.: limn→∞ xn = 1.

8. Raskite riba‘

limx→∞

(x − x2 ln

(1 +

1x

)). (2 t.)

Ats.: 12.

9. Su kuriomis a ir b reiksmemis funkcija

f(x) =

{a(x + 2)2 + b, x ≤ 0;sin x, x > 0,

yra diferencijuojama visoje tieseje IR? (1 t.)

Ats.: a = 14, b = −1.

10. Istirkite funkcija‘f(x) := (x−1)3

(x−2)2 ir nubrezkite jos grafiko eskiza‘. (3 t.)



1. Apibrezimai: Konverguojanti seka, aprezta seka, sekos posekis. (1 t.)

I‘rodykite siuos teiginius:1) Kiekviena konverguojanti seka yra aprezta; (1 t.)


‘. (2 t.)

2. Tolygiai tolydzios funkcijos intervale I apibrezimas. Pateikite pavyzdi‘funkcijos, kuri

yra tolydi intervale [0,∞), bet nera tolygiai tolydi tame intervale (su pagrindimu).(0,5+0,5 t.)

I‘rodykite, kad kiekviena funkcija f ∈ C[a, b] yra tolygiai tolydi intervale [a, b]. (3 t.)

3. Funkcijos ribos apibrezimai seku‘ir ε–δ ,,kalbomis“. (1 t.)

4. Teiloro daugianaris ir Teiloro formule su Lagranzo ir Peano pavidalo liekamaisiaisnariais. (1 t.)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

FDM, 1 sem., 2014–01–07

5. Ar gali konverguojancios sekos {xn} ir diverguojancios sekos {yn} sandauga {xnyn}konverguoti? (Jei taip, pateikite pavyzdi

‘; jei ne, pagri

‘skite.) (1 t.)

6. Ar gali funkcija f : IR → IR buti tolydi lygiai viename taske? (Jei taip, pateikitepavyzdi

‘; jei ne – pagri

‘skite.) (1 t.)

7. Naudodami sekos ribos apibrezima‘, i

‘rodykite, kad

limn→∞

n√

4n2 − 3=

12. (2 t.)

8. Raskite riba‘

limx→1

(1 + 2 cos

πx

2

)−3tg πx2

. (2 t.)

9. Raskite funkciju‘

f(x) := xx ir g(x) := |x|3

pirmos ir antros eiles isvestines. Parodykite, kad neegzistuoja g′′′(0). (1 t.)

10. Istirkite funkcija‘

f(x) :=|1 + x|3

x2

ir nubrezkite jos grafiko eskiza‘. (3 t.)



1. Apibrezimai: aprezta seka, sekos (baigtine) riba. (1 t.)

I‘rodykite sias sekos ribos savybes:

Kiekviena konverguojanti seka yra aprezta; (1 t.)

Kiekviena aprezta seka turi konverguojanti‘

poseki‘; (2 t.)

2. Funkcijos n-osios eiles Teiloro daugianaris. (1 t.)

Raskite funkcijos f(x) = cos x n-osios eiles Teiloro daugianari‘Pn(x) su centru taske

x0 = 0; (1 t.)

I‘rodykite, kad lim

n→∞Pn(x) = cos x su visais x ∈ IR. (2 t.)



‘teoremos. (1 t.)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

FDM, 1 sem., 2013–01–07

5. Ar gali neaprezta seka tureti konverguojanti‘poseki

‘? (Jei taip, pateikite pavyzdi

‘; jei

ne, pagri‘skite.) (1 t.)

6. Funkcijos f, g ∈ C(IR) yra nediferencijuojamos taske x = 0. Ar gali ju‘sandauga buti

diferencijuojama taske x = 0? (Jei taip, pateikite pavyzdi‘; jei ne, pagri

‘skite.) (1 t.)

7. Raskite riba‘

limn→∞

(√n +

√n −

√n). (2 t.)

8. Raskite riba‘

limx→0

(x + 1x

−1

ln(1 + x)

). (2 t.)


f(x) := x2x2

ir g(x) := |x|3

isvestines. (1 t.)


f(x) :=x3

(1 + x)2



Matematines analizes egzamino klausimaiMIF 1 kursas, FDM+MMT, 2011 m. 1 (rudens) semestras, perlaikymas 2012–02–14


I‘rodykite siu

‘apibrezimu

‘ekvivalentuma

‘. (3 t.)

2. I‘rodykite teorema

‘ir dvi jos isvadas:

Teorema. Jei dvi funkcijos f, g ∈ C[a, b] yra diferencijuojamos intervale (a, b), taiyra toks taskas c ∈ (a, b), kad

(f(b) − f(a)

)g′(c) =

(g(b) − g(a)

)f ′(c).

Isvada. Jei funkcija f ∈ C[a, b] yra diferencijuojama intervale (a, b), tai yra tokstaskas c ∈ (a, b), kad f(b) − f(a) = f ′(c)(b − a).Isvada. Jei funkcija f : I → IR turi aprezta

‘isvestine

‘intervale I (t.y. |f ′(x)| ≤ C su

visais x ∈ I), tai f yra tolygiai tolydi intervale I.3. Apibrezimai: aprezta aibe, aibes virsutinis rezis, aibes tikslus virsutinis rezis, realiu

‘ju

‘skaiciu

‘tieses pilnumo (virsutinio rezio) aksioma. (1 t.)


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

FDM+MMT, 1 sem., perlaikymas, 2012–02–14

5. Tarkime, kad sekos {xn} riba lygi 1, o seka {yn} diverguoja. Ar gali seka {xnyn}konverguoti? (Jei taip, pateikite pavyzdi

‘; jei ne, pagri

‘skite.) (1 t.)

6. Sugalvokite du pavyzdzius funkciju‘f ∈ C3(IR), kad f ′(0) > 0, f ′′(0) = f ′′′(0) = 0 ir

a) taskas x = 0 yra funkcijos f perlinkio taskas;b) taskas x = 0 nera funkcijos f perlinkio taskas. (1 t.)


‘rodykite, kad

limn→∞

n2 + 510n3 − 100n2 − 1000

= 0. (2 t.)

8. Raskite riba‘

limx→∞

[x2(e1/x − 1

)− x]. (2 t.)


f(x) := xexir g(x) := x2|x|

isvestines. (1 t.)


f(x) := x2(x + 1)3



Matematines analizes egzamino klausimaiMIF 1 kursas, FDM+MMT, 2011 m. 1 (rudens) semestras, 2012–01–16

1. Apibrezimai: sekos posekis, daline riba, virsutine ir apatine ribos. (1 t.)

I‘rodykite siuos teiginius:1) Kiekviena seka turi virsutine

‘riba

‘; (2,5 t.)

2) Seka {xn} turi riba‘tada ir tik tada, kai lim

n→∞xn = lim

n→∞xn. (0,5 t.)




‘:

Funkcija f : (a, b) → IR yra iskila aukstyn intervale (a, b) tada ir tik tada, kai josisvestine jame mazeja. Be to, griezta

‘iskiluma

‘aukstyn atitinka grieztas isvestines

mazejimas. (3 t.)

3. Begaliniu‘ribu

‘apibrezimai ir savybes. (1 t.)


‘teoremos. (1 t.)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

FDM+MMT, 1 sem., 2012–01–16

5. Tarkime, kad {xn} ir {yn} – apreztos teigiamu‘skaiciu

‘sekos. Seka {xn} konverguoja,

o {yn} – ne. Ar gali seka {xnyn} konverguoti? (Jei taip, pateikite pavyzdi‘; jei ne,

pagri‘skite.) (1 t.)

6. Sugalvokite pavyzdi‘tokios funkcijos f ∈ C2(IR), kad f ′(0) > 0, f ′′(0) = 0, bet taskas

x = 0 nera jos perlinkio taskas. (1 t.)


‘rodykite, kad

limn→∞

5n2 − 26n3 − n2 − 2

= 0. (2 t.)

8. Raskite riba‘

limx→∞

x(1 − x ln

(1 +

1x

)). (2 t.)

9. Raskite funkcijos

f(x) := (x + 1)x2+1 + 3√

45x + arctg 6x7



f(x) := 3x5 − 5x3



Matematines analizes egzamino klausimaiMIF 1 kursas, FDM+MMT, 2010 m. 1 (rudens) semestras, 2011–02–15, perlaikymas


2) Jei an → a 6= 0, tai 1/an → 1/a; (1,5 t.)


an = limn→∞


bn = x. (1 t.)



Teorema. Jei dvi funkcijos f, g ∈ C[a, b] yra diferencijuojamos intervale (a, b), taiatsiras toks taskas c ∈ (a, b), kad

(f(b) − f(a)

)g′(c) =

(g(b) − g(a)

)f ′(c). (2 t.)

Isvada. Jei funkcija f ∈ C[a, b] yra diferencijuojama intervale (a, b), tai atsiras tokstaskas c ∈ (a, b), kad f(b) − f(a) = f ′(c)(b − a). (1 t.)

Isvada. Jei funkcija f : I → IR turi intervale I aprezta‘isvestine

‘(t.y. |f ′(x)| ≤ C su

visais x ∈ I), tai f yra tolygiai tolydi intervale I. (1 t.)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

FDM+MMT, 2010 m. 1 (rudens) semestras, 2011–02–15, perlaikymas


(xn) = limn→∞

(yn) = 1. Ar gali buti, kad limn→∞

(xn + yn) = 1 ir

limn→∞


‘.) (1 t.)

4. Funkcijos f ir g turi apreztas isvestines intervale [0, 1]. Ar gali ju‘sandaugos isvestine


‘.) (1 t.)

5. I‘rodykite, remdamiesi sekos ribos apibrezimu, kad lim

n→∞sin xn = 1, jei lim

n→∞xn = π/2.

(2 t.)

6. Istirkite funkcijos f(x) =√

x tolygu‘tolyduma

‘intervaluose (0, 1) ir (1, +∞). (2 t.)

7. Raskite funkcijos f(x) = (1 + x2x3)4 isvestine

‘. (1 t.)


f(x) = 3√

x(1 − x)



Matematines analizes egzamino klausimaiMIF 1 kursas, FDM+MMT, 2010 m. 1 (rudens) semestras, 2011–01–17

1. I‘rodykite siuos teiginius:1) Kiekviena konverguojanti seka yra aprezta; (1 t.)

2) Kiekviena Kosi seka yra aprezta. (1 t.)

3) Kiekviena Kosi seka turi baigtine‘riba

‘. (2 t.)

2. Parasykite funkcijos f(x) = cos x n-osios eiles Teiloro daugianari‘

Pn(x) su centrutaske x0 = 0 ir i

‘rodykite, kad lim

n→∞Pn(x) = cos x su visais x ∈ IR. (2+2 t.)

3. Sekos posekis, daline riba, apatine bei virsutine ribos ir ju‘savybes. (1 t.)

4. Iskilos funkcijos apibrezimas. Diferencijuojamos funkcijos iskilumo ir jos isvestinessa

‘rysis. (1 t.)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

FDM+MMT, 1 sem., 2011–01–17

5. Tarkime, kad xn > 0, n ∈ IN. Ar gali buti, kad limn→∞

xn = 0 ir limn→∞

1xn

= 0? (Jei ne,

pagri‘skite; jei taip, pateikite pavyzdi

‘.) (1 t.)

6. Funkcijos f ir g turi apreztas isvestines intervale I ⊂ IR. Ar gali ju‘sandaugos isvestine


‘.) (1 t.)


n→∞x3

n = 8, jei limn→∞

xn = 2.

(2 t.)

8. Istirkite funkcijos f(x) = sin xx tolygu

‘tolyduma

‘intervaluose (0, 1) ir (1, +∞). (2 t.)

9. Raskite funkcijos f(x) = arctg 2(xx) isvestine‘. (1 t.)


f(x) = 3√

x(1 − x)2



Matematines analizes egzamino klausimaiMIF 1 kursas, FDM+MMT, 1 (rudens) semestras, 2010–09–03, 2 perlaikymas

1. Sekos (baigtines) ribos apibrezimas. Apreztos sekos apibrezimas. (1 t.)

I‘rodykite siuos teiginius:1) Jei seka {an} turi baigtine

‘riba

‘, tai ji aprezta. (1 t.)

2) Jei an → a 6= 0, tai 1/an → 1/a; (1 t.)


an = limn→∞


bn = x. (1 t.)

2. Tolygiai tolydzios funkcijos apibrezimas. Pateikite tolydzios tieseje funkcijos, kurinera tolygiai tolydi tieseje, pavyzdi

‘. (0,5+0,5 t.)

I‘rodykite, kad kiekviena tolydi uzdarajame intervale funkcija yra tolygiai tolydi tame

intervale. (3 t.)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

FDM+MMT, 1 sem., 2010–09–03, 2 perlaikymas



‘rysis. (1 t.)


xn = +∞ ir limn→∞

1xn

= +∞?


‘.) (1 t.)

6. Ar gali dvieju‘tolydziu

‘neapreztu

‘intervale I ⊂ IR funkciju

‘sandauga buti aprezta

funkcija? (Jei ne, pagri‘skite; jei taip, pateikite pavyzdi

‘.) (1 t.)


n→∞sin xn = 1/2, jei lim

n→∞xn =

π/6. (2 t.)

8. Raskite riba‘

limx→0

(1 + sin x)ln(1+x)/x2

. (2 t.)

9. Ar funkcija f(x) = sin2 x yra tolygiai tolydi realiu‘ju

‘skaiciu

‘tieseje IR? (2 t.)


f(x) = 3√

x e−x



Matematines analizes egzamino klausimaiMIF 1 kursas, FDM+MMT, 1 semestras, 2010–02–19, perlaikymas

1. Konverguojancios sekos ir apreztos sekos apibrezmai. (0,5 t.)

I‘rodykite siuos teiginius:1) Kiekviena konverguojanti seka yra aprezta; (1,5 t.)


‘. (2 t.)

2. Parasykite funkcijos f(x) = cos x n-osios eiles Teiloro daugianari‘

Pn(x) su centrutaske x0 = 0 ir i

‘rodykite, kad lim

n→∞Pn(x) = cos x su visais x ∈ IR. (4 t.)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

FDM+MMT, 1 sem., 2010–02–19, perlaikymas



‘rysis. (1 t.)


xn = +∞ ir limn→∞

1xn

= +∞?


‘.) (1 t.)

6. Ar gali dvieju‘tolydziu

‘neapreztu


‘sandauga buti aprezta

funkcija? (Jei ne, pagri‘skite; jei taip, pateikite pavyzdi

‘.) (1 t.)

7. Parodykite, kad seka x1 = 0, xn =√

xn−1 + 2, n ≥ 2, yra didejanti bei aprezta isvirsaus ir raskite jos riba

‘. (2 t.)

8. Raskite riba‘

limx→0

cos x3 − 1 + x6

2

x12 cos4 x2. (2 t.)

9. Ar funkcija f(x) =√

|x| yra tolygiai tolydi realiu‘ju

‘skaiciu



f(x) = 3√

2x − 3√

2x − 2



Matematines analizes egzamino klausimaiMIF 1 kursas, FDM+MMT, 1 semestras, 2010–01–07

1. Konverguojancios sekos ir apreztos sekos apibrezmai. (0,5 t.)



‘. (2 t.)

2. Parasykite funkcijos f(x) = ex n-osios eiles Teiloro daugianari‘Pn(x) su centru taske

x0 = 0 ir i‘rodykite, kad lim

n→∞Pn(x) = ex su visais x ∈ IR. (4 t.)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

FDM+MMT, 1 sem., 2010–01–07



‘rysis. (1 t.)


‘{xn}, kad lim

n→∞xn = +∞, bet lim

n→∞(xn+p − xn) = 0 su visais

p ∈ IN. (1 t.)

6. Ar gali dvieju‘tolygiai tolydziu


‘sandauga nebuti tolygiai

tolydi funkcija? (Jei ne, pagri‘skite; jei taip, pateikite pavyzdi

‘.) (1 t.)

7. Parodykite, kad seka x1 = 0, xn =1

4(1 − xn−1), n ≥ 2, yra didejanti bei aprezta is

virsaus (xn ≤ 1/2) ir raskite jos riba‘. (2 t.)

8. Raskite riba‘

limx→0

(1

1 − e−x−

1x

)

. (2 t.)

9. Ar funkcija f(x) = x + sin2 x yra tolygiai tolydi realiu‘ju

‘skaiciu



f(x) = 3√

x2(3 − x)



Matematines analizes egzamino klausimaiMIF 1 kursas, FDM+MMT, 1 semestras, 2009–09–04, ziemos sesijos perlaikymas rudeni

‘

1. Apibrezimai: sekos (baigtine) riba; aprezta seka. (1 t.)



‘. (2 t.)


‘. (0,5+0,5 t.)

I‘rodykite teorema

‘:

Teorema. Kiekviena tolydi uzdarajame intervale funkcija yra tolygiai tolydi tameintervale.

(3 t.)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

FDM+MMT, 1 sem., 2009–02–13



5. Pateikite tolydzios tieseje funkcijos, kuri nera diferencijuojama dviejuose taskuose,pavyzdi

‘. (1 t.)


‘{xn}, kad

infn∈IN

xn < limn→∞

xn < limn→∞

xn < supn∈IN

xn.

(1 t.)

7. Raskite riba‘

limn→∞

√n3 + 2 −

√n4 + 5

n2 − 7n + 8. (2 t.)

8. Nenaudodami Liopitalio taisykles, raskite riba‘

limx→0

e3x − e2x

x + sin x. (2 t.)


f(x) := x2xir g(x) := x2|x|

isvestines. (1 t.)


f(x) = lnx − 2

x



Matematines analizes egzamino klausimaiMIF 1 kursas, FDM+MMT, 1 semestras, 2009–02–13, perlaikymas

1. Apibrezimai: sekos (baigtine) riba; aprezta seka. (1 t.)



‘. (2 t.)


‘. (0,5+0,5 t.)


‘:


(3 t.)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

FDM+MMT, 1 sem., 2009–02–13



5. Pateikite pavyzdi‘neapreztos tolygiai tolydzios tieseje funkcijos pavyzdi

‘. (1 t.)


‘{xn}, kad

infn∈IN

xn < limn→∞

xn < limn→∞

xn < supn∈IN

xn.

(1 t.)

7. Raskite riba‘

limn→∞

√n3 + 1 −

√n4 − 1

n2 − 4n + 7. (2 t.)

8. Nenaudodami Liopitalio taisykles, raskite riba‘

limx→0

e2x − ex

x + sin x. (2 t.)


f(x) := xexir g(x) := x|x|

isvestines. (1 t.)


f(x) = lnx

x − 2



Matematines analizes egzamino klausimaiMIF 1 kursas, FDM+MMT, 1 semestras, 2009–01–09

1. Sekos (baigtines) ribos apibrezimas. Apreztos sekos apibrezimas. (1 t.)

I‘rodykite siuos teiginius:1) Jei seka {an} turi baigtine

‘riba

‘, tai ji aprezta. (1 t.)

2) Jei an → a 6= 0, tai 1/an → 1/a; (1 t.)


an = limn→∞


bn = x. (1 t.)




(f(b) − f(a)

)g′(c) =

(g(b) − g(a)

)f ′(c). (2 t.)

Isvada. Jei funkcija f ∈ C[a, b] yra diferencijuojama intervale (a, b), tai atsiras tokstaskas c ∈ (a, b), kad f(b) − f(a) = f ′(c)(b − a). (1 t.)

Isvada. Jei funkcija f : I → IR turi intervale I aprezta‘isvestine

‘(t.y. |f ′(x)| ≤ C su

visais x ∈ I), tai f yra tolygiai tolydi intervale I. (1 t.)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

FDM+MMT, 1 sem., 2009–01–09

3. Sekos daline riba. Sekos apatine bei virsutine ribos ir ju‘savybes. (1 t.)

4. Teiloro daugianario apibrezimas ir jo isvestiniu‘savybe. (1 t.)



o {yn} diverguoja. Ar gali seka {xnyn} konverguoti? (Jei taip, pateikite pavyzdi‘; jei


6. Ar gali funkcija f buti tolygiai tolydi kiekviename intervale (a, 1), a > 0, bet nebutitolygiai tolydi intervale (0,1)? (Jei taip, pateikite pavyzdi

‘; jei ne, pagri

‘skite.) (1 t.)

7. Raskite konstantas a ir b, su kuriomis

limn→∞

(√2n2 − 3n + 4 − an − b

)= 0. (2 t.)

8. Raskite riba‘

limx→0

e2x + cos 2x − 2x − 2e3x + cos 3x − 3x − 2

. (2 t.)


f(x) := (1 + x2)ln x + x3arctg 4(5x6)



f(x) =(x − 2)3

(x − 1)2



Matematines analizes egzamino klausimaiMIF 1 kursas, finansai–ekonometrija–matematika, 1 semestras, 2007–02–13, perlaikymas

1. Sekos dalines ribos, virsutines ir apatines ribu‘apibrezimai. (1 t.)


‘riba

‘; (3 t.)


n→∞xn = lim

n→∞xn. (1 t.)




‘:

Funkcija f : (a, b) → IR yra iskila aukstyn intervale (a, b) tada ir tik tada, kai josisvestine jame mazeja. Be to, griezta

‘iskiluma

‘aukstyn atitinka grieztas isvestines

mazejimas. (3 t.)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Begaliniu‘ribu

‘apibrezimai ir savybes. (1 t.)


‘teoremos. (1 t.)





6. At teisingas teiginys ,,Jei funkcija f ∈ C1[a, b] i‘gyja maksimuma

‘taske x0 ∈ [a, b], tai

f ′(x0) = 0“? (Jei taip, pagri‘skite; jei ne, pateikite pavyzdi

‘.) (1 t.)

7. Raskite riba‘

limn→∞

(n2 − 1n2 + 2

)n2−3

. (2 t.)

8. Nesinaudodami Liopitalio taisykle, raskite riba‘

limx→0

3√

8 + 3x − x2 − 2x + x2

. (2 t.)


f(x) := (x + 1)x2+1 + 3√

45x + arctg 6x7



f(x) :=3√

x

ex/3



Matematines analizes egzamino klausimaiMIF 1 kursas, finansai–ekonometrija–matematika, 1 semestras, 2007–01–05

1. Apibrezimai: Konverguojanti seka; aprezta is apacios seka, jos tikslusis apatinis rezis;mazejanti seka. (1 t.)


2) Mazejanti seka {xn} turi (baigtine‘) riba

‘tada ir tik tada, kai ji yra aprezta is

apacios. Tokiu atveju limn→∞

xn = infn∈IN

xn. (2 t.)



‘:

Jei Pn(x) = Pn(x0; x) yra n kartu‘diferencijuojamos funkcijos f Teiloro daugianaris



f(x) = Pn(x0; x) +f (n+1)(c)(n + 1)!

(x − x0)n+1. (2,5 t.)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Funkcijos ribos apibrezimai ,,seku‘“ ir ,,ε − δ kalbomis“. (1 t.)


5. Ar gali seka {xn} diverguoti, jei limn→∞

(xn+1 − xn) = 0? (Jei taip, pateikite pavyzdi‘;

jei ne – pagri‘skite.) (1 t.)

6. Ar gali funkcija f : IR → IR buti tolydi lygiai viename taske? (Jei taip, pateikitepavyzdi


‘skite.) (1 t.)


n→∞

√

2 +1

n + 1=

√2. (2 t.)

8. Nesinaudodami Liopitalio taisykle, raskite riba‘

limx→0

ex + e−x − 2

sin2 x. (2 t.)


f(x) := 2x3

+ x4x

+ tg 56x



f(x) :=x

3√

x2 − 1



Matematines analizes egzamino klausimaiMIF 1 kursas, finansai–ekonometrija–matematika, 1 semestras, 2 perlaikymas, 2005–08–29

1. Sekos dalines ribos, virsutines ir apatines ribu‘apibrezimai. (1 t.)


‘riba

‘; (3 t.)


n→∞xn = lim

n→∞xn. (1 t.)

2. Tolygiai tolydzios funkcijos apibrezimas. Pateikite tolydzios, bet ne tolygiai tolydziostieseje funkcijos pavyzdi

‘. (0,5+0,5 t.)


‘:


(4 t.)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Sekos konvergavimo Kosi kriterijus. (1 t.)

4. Sugalvokite seka‘{xn}, su kuria lim

n→∞xn = +∞ ir lim

n→∞(xn+1 − xn) = 0. (1 t.)

5. Teorema apie tolydzios funkcijos tarpines reiksmes. (1 t.)

6. Ar gali truki funkcija f : IR → IR i‘gyti visas realias reiksmes? (Jei taip, pateikite

pavyzdi‘; jei ne – pagri

‘skite.) (1 t.)


n→∞

sin n + cos n

n − 2√

n + 3= 0. (1,5 t.)

8. Raskite riba‘

limx→0

sin x − x + x3/6 − x5/120x7

. (1,5 t.)


f(x) := 2x2

+ x2x

+ tg 3(4/x5)



f(x) :=x

ln |x|



Matematines analizes egzamino klausimaiMIF 1 kursas, finansai–ekonometrija–matematika, 1 semestras, perlaikymas, 2005–02–15

2 variantas

1. Sekos virsutines ir apatines ribu‘apibrezimai. (1 t.)


‘riba

‘; (3 t.)

2) Seka turi riba‘tada ir tik tada, kai jos apatine ir virsutine ribos sutampa. (1 t.)

2. Tolygiai tolydzios funkcijos apibrezimas. Pateikite tolydzios, bet ne tolygiai tolydziosintervale (−1, 1) funkcijos pavyzdi

‘. (0,5+0,5 t.)


‘:

Teorema. Kiekviena funkcija f ∈ C[a, b] yra tolygiai tolydi intervale [a, b]. (4 t.)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Sekos konvergavimo Kosi kriterijus. (1 t.)

4. Sugalvokite diverguojancia‘seka

‘{xn}, su kuria lim

n→∞(xn+1 − xn) = 0. (1 t.)

5. Teorema apie tolydzios funkcijos tarpines reiksmes. (1 t.)

6. Ar gali truki funkcija f : [a, b] → IR i‘gyti visas tarpines reiksmes? (Jei taip, pateikite

pavyzdi‘; jei ne – pagri

‘skite.) (1 t.)


n→∞

√n

n2 − 2n + 3= 0. (1,5 t.)

8. Raskite riba‘

limx→0

sin x − x + x3/6x5

. (1,5 t.)


f(x) := x2x

+ (log2 3x + tg 34x5)6



f(x) := (4 − x)ex−3



Matematines analizes egzamino klausimaiMIF 1 kursas, finansai–ekonometrija–matematika, 1 semestras, perlaikymas, 2005–02–15

1. I‘rodykite siuos teiginius:1) Jei xn → x ∈ IR, tai egzistuoja toks C ∈ IR, kad |xn| ≤ C su visais n ∈ IN; (1 t.)

1) Jei xn → x ir yn → y 6= 0, tai xn/yn → x/y; (2,5 t.)

2) jei xn ≤ yn ≤ xn, n ∈ IN, ir limn→∞

xn = limn→∞

xn = a, tai limn→∞

yn = a. (1,5 t.)




‘:

Funkcija f : (a, b) → IR yra iskila aukstyn intervale (a, b) tada ir tik tada, kai josisvestine mazeja. Be to, griezta

‘iskiluma

‘aukstyn atitinka grieztas isvestines mazeji-

mas. (4 t.)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Funkcijos ribos taske apibrezimas ir jos savybes. (1 t.)


n→∞

√n + 3 −

√n

2 + sin n= 0. (1,5 t.)

5. Raskite riba‘

limx→0

ex + e−x − 2

sin2 x. (1,5 t.)

6. Tarkime {xn} ir {yn} – dvi sekos, su kuriomis limn→∞

xn = 1 ir limn→∞

yn = +∞. Ar gali

riba limn→∞

xynn buti lygi 1/2? 2? +∞? (Tais atvejais, kai gali, pateikite pavyzdzius; jei


7. Teiloro formule su Lagranzo pavidalo liekamuoju nariu. (1 t.)


f(x) := xln2 x + (log2 3x + tg 34x5)6



f(x) :=x2 − 3x − 2


10. Ar gali funkcija f : IR → IR, su kuria limx→+∞

f(x) = limx→−∞

f(x) = +∞, buti tolygiai

tolydi visoje tieseje IR? (Jei taip, pateikite pavyzdi‘; jei ne, pagri

‘skite.) (1 t.)


Matematines analizes egzamino klausimaiMIF 1 kursas, finansai–ekonometrija–matematika, 1 semestras, 2005–01–11

1. Konverguojancios sekos bei jos ribos ir apreztos sekos apibrezimai. (1 t.)



‘. (2,5 t.)




‘:

Funkcija f : (a, b) → IR yra iskila zemyn intervale (a, b) tada ir tik tada, kai josisvestine dideja. Be to, griezta

‘iskiluma

‘atitinka grieztas isvestines didejimas.

(4 t.)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Skaiciu‘sekos konvergavimo Kosi kriterijus. (1 t.)


n→∞(√

n + 3−√

n) = 0. (1,5 t.)

5. Raskite riba‘

limx→0

( sin x

x

)1/x2

. (1,5 t.)

6. Tarkime, kad sekos {xn} riba lygi 1, o seka {yn} diverguoja. Ar gali seka {yn/xn}konverguoti? (Jei taip, pateikite pavyzdi

‘; jei ne, pagri

‘skite.) (1 t.)

7. Teiloro formule su Peano pavidalo liekamuoju nariu. (1 t.)


f(x) := (ln x)sin x +1

(23x + arctg 2x3)2



f(x) :=x2

ln2 x


10. Funkcijos f, g ∈ C[a, b] yra teigiamos intervale [a, b]. Funkcija f yra diferencijuojamataske x ∈ (a, b), funkcija g – ne. Ar gali ju

‘sandauga fg buti diferencijuojama tame

taske? (Jei ne, pagri‘skite; jei taip, pateikite pavyzdi

‘.) (1 t.)


Matematines analizes egzamino klausimaiMIF 1 kursas, finansai–ekonometrija–matematika, 1 semestras, 2003 02 28, 3 perlaikymas

I

I–1. Tolygiai tolydzios funkcijos apibrezimas. (1 t.)

Teorema. Jei funkcija f yra tolydi intervale [a, b], tai ji yra tolygiai tolydi siameintervale. (4 t.)

I–2. I‘detu

‘ju

‘intervalu

‘principas (aksioma). (1 t.)

I–3. Remdamiesi sekos ribos apibrezimu, i‘rodykite, kad lim

n→∞

1 + 2 sin n2

3n + 4√

n + 5= 0. (1,5 t.)

I–4. Raskite riba‘

limx→e

(ln x)1/(x2−e2). (1,5 t.)

I–5. Tarkime, kad sekos {xn} riba lygi 1, o seka {yn} diverguoja. Ar gali seka {xnyn}konverguoti? (Jei taip, pateikite pavyzdi

‘; jei ne, pagri

‘skite.) (1 t.)

II

II–1. Lokaliojo maksimumo ir lokaliojo minimumo apibrezimai. (1 t.)

I‘rodykite teiginius:

1 teiginys. Jei funkcija f ∈ C[a, b] turi ekstremuma‘

taske x ∈ (a, b) ir yra jamediferencijuojama, tai f ′(x) = 0. (2 t.)

2 teiginys. Jei funkcija f ∈ C[a, b] yra diferencijuojama intervale (a, b) ir f(a) = f(b),tai egzistuoja toks taskas c ∈ (a, b), kad f ′(c) = 0. (2 t.)

II–2. Liopitalio taisykle. (1 t.)

II–3. Raskite funkcijos

f(x) := (x + 1)x2+1 + 3√

45x + arctg 6x7


II–4. Istirkite funkcija‘

f(x) :=3√

x

ex/3


II–5. Funkcijos f, g ∈ C[a, b] yra teigiamos intervale [a, b]. Funkcija f yra diferencijuojamataske x ∈ (a, b), funkcija g – ne. Ar gali ju



‘.) (1 t.)


Matematines analizes egzamino klausimaiMIF 1 kursas, finansai–ekonometrija–matematika, 1 semestras, 2003 02 14, 2 perlaikymas

I

I–1. Tolygiai tolydzios funkcijos apibrezimas. (1 t.)

Teorema. Jei funkcija f yra tolydi intervale [a, b], tai ji yra tolygiai tolydi siameintervale. (4 t.)

I–2. I‘detu

‘ju

‘intervalu

‘principas (aksioma). (1 t.)


n→∞

n2 + 12n2 − n + 1

=12. (1,5 t.)


limx→e

(ln x)e/(x−e). (1,5 t.)

I–5. Tarkime, kad sekos {xn} riba lygi 1, o seka {yn} diverguoja. Ar gali seka {xnyn}konverguoti? (Jei taip, pateikite pavyzdi

‘; jei ne, pagri

‘skite.) (1 t.)

II

II–1. I‘rodykite teorema

‘:

Teorema. Jei f ∈ Cn+1[x0, x], tai egzistuoja toks taskas c ∈ (x0, x), kad

f(x) = f(x0) +f ′(x0)

1!(x − x0) +

f ′′(x0)2!

(x − x0)2 +

+ ∙ ∙ ∙ +f (n)(x0)

n!(x − x0)

n +f (n+1)(c)(n + 1)!

(x − x0)n+1.

(5 t.)

II–2. Liopitalio taisykle. (1 t.)


f(x) := x1/(x+1) + 3√

45x + arctg 6x7



f(x) :=3√

x

ex/3





‘.) (1 t.)


Matematines analizes egzamino klausimaiMIF 1 kursas, finansai–ekonometrija–matematika, 1 semestras, 2003 01 24, perlaikymas sesijos metu

I

I–1. Tolydzios (taske ir aibeje) funkcijos apibrezimas. (1 t.)

I‘rodykite, kad sios funkcijos yra tolydzios visoje tieseje:1) visi daugianariai; (1 t.)

2) f(x) := sin x; (1 t.)

3) g(x) := ax. (2 t.)

I–2. Sekos ribos ir funkcijos ribos apibrezimai. (1 t.)


n→∞

n2 + 12n2 − 1

=12. (1,5 t.)


limx→e

(ln x)e/(x−e). (1,5 t.)

I–5. Tarkime, kad {xn} ir {yn} – apreztos teigiamu‘skaiciu




II


‘:

Teorema. Jei f ∈ Cn+1[x0, x], tai egzistuoja toks taskas c ∈ (x0, x), kad

f(x) = f(x0) +f ′(x0)

1!(x − x0) +

f ′′(x0)2!

(x − x0)2 +

+ ∙ ∙ ∙ +f (n)(x0)

n!(x − x0)

n +f (n+1)(c)(n + 1)!

(x − x0)n+1.

(5 t.)

II–2. Kosi ir Lagranzo viduriniu‘reiksmiu

‘teoremos. (1 t.)


f(x) := (1 + x)1/x +√

ex2 − e−3x + sin4 x5



f(x) :=ln2(1 + x)

1 + x





‘.) (1 t.)


Matematines analizes egzamino klausimaiMIF 1 kursas, finansai–ekonometrija–matematika, 1 semestras, 2003 01 09

I

I–1. Tarkime, kad xn → x ∈ IR ir yn → y ∈ IR, kai n → ∞. I‘rodykite, kad:

1) xn + yn → x + y;2) xnyn → xy;3) jei, be to, y 6= 0, tai xn

yn→ x

y .

I–2. Aibes virsutiniojo ir tiksliojo virsutiniojo reziu‘apibrezimai. Teorema apie tikslu

‘ji‘

virsutini‘rezi

‘.


limn→∞

√1 + 3 + 5 + ∙ ∙ ∙ + (2n − 1)

2n − 1.


limx→0

√2 + x2 −

√2 − x2

x4 + 2x3 + 3x2.

I–5. Tarkime, kad {xn} ir {yn} yra dvi apreztos teigiamu‘skaiciu

‘sekos. Pazymekime

A = limn→∞

xnyn, B = limn→∞

xn, C = limn→∞

yn. Kurie is siu‘triju

‘sa

‘rysiu

‘yra galimi:

A < BC, A = BC, A > BC?

(Jei sa‘rysis galimas, pateikite pavyzdi


‘skite.)

II




(f(b) − f(a)

)g′(c) =

(g(b) − g(a)

)f ′(c).

Isvada. Jei funkcija f ∈ C[a, b] yra diferencijuojama intervale (a, b), tai atsiras tokstaskas c ∈ (a, b), kad f(b) − f(a) = f ′(c)(b − a).Isvada. Jei funkcija f : I → IR turi intervale aprezta

‘isvestine

‘(t.y. |f ′(x)| ≤ C su

visais x ∈ I), tai f yra tolygiai tolydi intervale I.

II–2. Teiloro formule.


f(x) := (ln x)x2

+√

1 + sin3 x(ex2

+ e−2x)

isvestine‘.


f(x) :=2x2 − 2x + 1

(x − 1)2

ir nubrezkite jos grafiko eskiza‘.

II–5. Ar gali diferencijuojamos ir nediferencijuojamos kokiam nors taske funkciju‘sandauga

butu‘diferencijuojama tame taske? (Jei ne, pagri

‘skite; jei taip, pateikite pavyzdi

‘.)


Matematines analizes egzamino klausimaiMIF 1 kursas, informatika, 1 semestras, 2002 02 28, 3 perlaikymas

I

I–1. I‘rodykite teorema

‘:

Teorema. Realiu‘ju

‘skaiciu

‘seka {xn} konverguoja (turi baigtine

‘riba

‘) tada ir tik

tada, kai

∀ ε > 0, ∃N ∈ IN : |xn − xm| < ε, kai n,m > N.

I–2. Niutono binomo formule.


limn→∞

(n2 − 1n2 + 2

)n2−3

.

I–4. Raskite

limx→0

2x + 3x4

√3 + 4x − 5x2 −

√3.

I–5. Sugalvokite pavyzdi‘teigiamu

‘skaiciu

‘seku

‘{xn}, {yn}, su kuriomis

limn→∞

xnyn 6= limn→∞

xn ∙ limn→∞

yn.

II


‘:

Teorema. Jei f ∈ C[a, b], f(a) = A, f(b) = B, A < C < B, tai egzistuoja taskasc ∈ [a, b], su kuriuo f(c) = C.

II–2. Iskilos (zemyn) funkcijos apibrezimas. Butina ir pakankama diferencijuojamos funkci-jos iskilumo sa

‘lyga.


f(x) := xln2 x +x

√e3x4 + 5

isvestine‘.


f(x) :=ln2 x

x


II–5. Sugalvokite tolygiai tolydzios neapreztos funkcijos intervale [0, +∞) pavyzdi‘.


Matematines analizes egzamino klausimaiMIF 1 kursas, informatika, 1 semestras, 2002 02 14, 2 perlaikymas

I

I–1. I‘rodykite, kad sios funkcijos yra tolydzios tieseje IR:1) visi daugianariai;

2) funkcija f(x) := sin x, x ∈ IR;

3) funkcija g(x) := ax, x ∈ IR (a > 0, a 6= 1).

I–2. Sakoma, kad limn→∞

xn = −∞, jei. . . (uzbaikite apibrezima‘).


limn→∞

√1 + 2 + ∙ ∙ ∙ + n

n.

I–4. Raskite

limx→0

(cos x)1/x2

.

I–5. I‘rodykite, kad jei lim

n→∞xn = sup

n∈INxn, tai seka {xn} turi riba

‘.

II


‘:

Teorema. Tarkime, kad funkcija f ∈ Cn[x0, x] yra diferencijuojama intervale (x0, x).Tada atsiras toks θ ∈ (0, 1), kad

f(x) = f(x0) +n∑

k=1

f (k)(x0)k!

(x − x0)k +

f (n+1)(x0 + θ(x − x0)

)

(n + 1)!(x − x0)

n+1.

II–2. Teiloro formule su Peano pavidalo liekamuoju nariu.


f(x) := (2x)ln x + sin3 4x5

isvestine‘.


f(x) :=x

ln x


II–5. Ar teisingas teiginys

Jei funkcija f : [a, b] → IR yra diferencijuojama intervale [a, b] ir i‘gyja didziausia

‘reiksme

‘taske x0 ∈ [a, b], tai f ′(x0) = 0?

Jei ne, pateikite pavyzdi‘.


Matematines analizes egzamino klausimaiMIF 1 kursas, informatika, 1 semestras, 2002 01 25, perlaikymas sesijos metu

I

I–1. I‘rodykite, kad:

1) limx→0

loga(1 + x)x

= loga e (a > 0, a 6= 1);

2) limx→0

(1 + x)a − 1x

= a (a ∈ IR);

3) limx→0

ax − 1x

= ln a (a > 0);

I–2. Sakoma, kad limn→∞

xn = −∞, jei. . . (uzbaikite sakini‘).


limn→∞

√1 + 2 + ∙ ∙ ∙ + n

n.

I–4. Raskite

limx→0

(cos x)1/x2

.

I–5. I‘rodykite, kad jei lim

n→∞xn = sup

n∈INxn, tai seka {xn} turi riba

‘.

II


‘ir jos isvada

‘:

Teorema. Funkcija f ∈ C1[a, b] yra (grieztai) iskila zemyn intervale (a, b) tada ir tiktada, kai jos isvestine (grieztai) dideja intervale (a, b).

Isvada. Jei taskas x0 ∈ (a, b) yra dukart diferencijuojamos intervale (a, b) funkcijosf perlinkio taskas, tai f ′′(x0) = 0.

II–2. Teiloro formule su Peano pavidalo liekamuoju nariu.


f(x) := (2x)ln x + sin3 4x5

isvestine‘.


f(x) :=x

ln x


II–5. Ar teisingas teiginys

Jei funkcija f ∈ C1[a, b] i‘gyja didziausia

‘reiksme

‘taske x0 ∈ [a, b], tai f ′(x0) = 0?

Jei ne, pateikite pavyzdi‘.


2 variantasMatematines analizes egzamino klausimai

MIF 1 kursas, informatika, 1 semestras, 2002 01 09

I


‘:


‘skaiciu


‘riba

‘) tada ir tik

tada, kai


I–2. I‘detu

‘ju

‘intervalu

‘principas.


limn→∞

(n2 + 10n2 − 10

)n2+20

.

I–4. Raskite

limx→0

3√

8 + 3x − x2 − 2x + x2

.

I–5. Ar gali neaprezta realiu‘ju

‘skaiciu

‘seka {xn} tureti baigtine

‘virsutine

‘riba

‘? Jei taip,

pateikite pavyzdi‘.

II

II–1. I‘rodykite sias teoremas:1 teorema. Jei f, g ∈ C1[a, b], tai egzistuoja c ∈ [a, b], su kuriuo

f ′(c)(g(b) − g(a)

)= g′(c)

(f(b) − f(a)

).

2 teorema. Jei f ∈ C1[a, b], tai egzistuoja c ∈ [a, b], su kuriuo

f(b) − f(a) = f ′(c)(b − a).

II–2. Tolygiai tolydzios funkcijos apibrezimas ir Kantoro teorema.


f(x) := (ln x)2x + tg 34x

isvestine‘.


f(x) := x4e4−4x, x ∈ IR,


II–5. Ar gali buti, kad ∃ limx→a

f ′(x)g′(x) = A ∈ IR, bet lim

x→a

f(x)g(x) 6= A? Jei taip, pateikite pavyzdi

‘.


1 variantasMatematines analizes egzamino klausimai

MIF 1 kursas, informatika, 1 semestras, 2002 01 09

I

I–1. I‘rodykite sias realiu

‘ju

‘skaiciu

‘seku

‘ribu

‘savybes:

Jei xn → x ∈ IR ir yn → y ∈ IR (kai n → ∞), tai1) xn + yn → x + y;2) xnyn → xy;2) jei, be to, y 6= 0, tai xn

yn→ x

y .

I–2. Aibes A ⊂ IR tikslaus apatinio rezio apibrezimas.

I–3. Raskite

limn→∞

n√

1 + 22n + 33n + 44n.


limx→0

(cos 3x)x2

.

I–5. Pateikite pavyzdi‘realiu

‘ju

‘skaiciu

‘sekos {xn}, su kuria

limn→∞

xn = −∞, limn→∞

xn = 0 ir supn∈IN

xn = 1.

Pavyzdi‘pagri

‘skite.

II


‘:

Teorema. Jei f ∈ C[a, b], tai1) f yra aprezta funkcija, t.y. egzistuoja toks M ∈ IR, kad |f(x)| ≤ M su visais

x ∈ [a, b];2) egzistuoja tokie x1 ∈ [a, b] ir x2 ∈ [a, b], kad

f(x1) = supx∈[a,b]

f(x) ir f(x2) = infx∈[a,b]

f(x).



f(x) :=√

1 + x2arcsin3 5x

isvestine‘.


f(x) := x5e5−5x, x ∈ IR,


II–5. Ar gali buti, kad ∃ limx→a


x→a

f(x)g(x) 6= A? Jei taip, pateikite pavyzdi

‘.


Matematines analizes 1/2 egzamino klausimaiMIF 1 kursas, informatika, 1 semestras, 2001 11 09

I

I–1. I‘rodykite, kad1) lim

n→∞

n

qn= 0, |q| > 1;

2) limn→∞

qn

n!= 0, q ∈ IR;

3) ∃ limn→∞

(1 +

1n

)n

∈ IR.

I–2. I‘detu

‘ju

‘intervalu

‘principas.

I–3. Sugalvokite dvi nekonverguojancias teigiamu‘realiu

‘ju

‘skaiciu

‘sekas {xn} ir {yn}, su

kuriomis limn→∞

xnyn = 0.

I–4. Sakykime, {xn} – realiu‘ju

‘skaiciu

‘seka. Ar gali buti teisinga lygybe

limn→∞

xn = infn∈IN

xn ?

Jei taip, pateikite pavyzdi‘.

I–5. Nubraizykite funkcijos

y = x3 +1

(x + 1)2

eskiza‘.


2001 03 02Matematines analizes egzamino klausimai

MIF 1 kursas, informatika, 1 semestras, 3 perlaikymas

I

I–1. I‘rodykite, kad1) lim

n→∞

n

qn= 0, |q| > 1;

2) limn→∞

qn

n!= 0, q ∈ IR;

3) ∃ limn→∞

(1 +

1n

)n

∈ IR.

I–2. I‘detu

‘ju

‘intervalu

‘principas.

I–3. Sugalvokite dvi nekonverguojancias teigiamu‘realiu

‘ju

‘skaiciu


kuriomis limn→∞

xnyn = 0.

I–4. Ar gali neaprezta is virsaus realiu‘ju

‘skaiciu


‘virsutine

‘riba

‘?

Jei taip, pateikite pavyzdi‘.


limn→∞

n√3 + 23 ∙ 32 + 33 ∙ 33 + ∙ ∙ ∙ + n3 ∙ 3n.

II

II–1. I‘rodykite Kosi ir Lagranzo vidutiniu

‘reiksmiu

‘teoremas:

1 teorema. Jei f, g ∈ C1[a, b], tai egzistuoja c ∈ [a, b], su kuriuo

f ′(c)(g(b) − g(a)

)= g′(c)

(f(b) − f(a)

).


f(b) − f(a) = f ′(c)(b − a).

II–2. Ar funkcija f(x) := sin x2, x ∈ IR, yra tolygiai tolydi a) intervale [0, 1]? b) intervale(0, 1)? Atsakymus pagri

‘skite.

II–3. Nubrezkite funkcijos

f(x) := x2 +1x

, x 6= 0,

grafika‘.

II–4. Raskite funkcijos f(x) := x2x + ln3(x4 + 1)+, x > 0, isvestine‘.

II–5. Panaudodami Teiloro formule‘su Peano formos liekamuoju nariu, raskite riba

‘

limx→0

ln (1 + x) − x + x2

2 − x3

3 + x4

4 − x5

5

x6.


2001 02 08Matematines analizes egzamino klausimai

MIF 1 kursas, informatika, 1 semestras, 2 perlaikymas

I

I–1. I‘rodykite realiu

‘ju

‘skaiciu

‘seku

‘konvergavimo Kosi kriteriju

‘:


‘skaiciu


‘riba

‘) tada ir tik

tada, kai


I–2. I‘detu

‘ju

‘intervalu

‘principas.

I–3. Sugalvokite dvi nekonverguojancias neneigiamu‘realiu

‘ju

‘skaiciu


kuriomis limn→∞

xnyn = 0.

I–4. Ar gali neaprezta realiu‘ju

‘skaiciu


‘virsutine

‘riba

‘? Jei taip,

pateikite pavyzdi‘.


limn→∞

n√3 + 23 ∙ 32 + 33 ∙ 33 + ∙ ∙ ∙ + n3 ∙ 3n.

II

II–1. I‘rodykite Kosi ir Lagranzo vidutiniu

‘reiksmiu

‘teoremas:

1 teorema. Jei f, g ∈ C1[a, b], tai egzistuoja c ∈ [a, b], su kuriuo

f ′(c)(g(b) − g(a)

)= g′(c)

(f(b) − f(a)

).


f(b) − f(a) = f ′(c)(b − a).


II–3. Nubrezkite funkcijos

f(x) :=ln x

x, x > 0,

grafika‘.


f(x) := 3√

e−2x + cos4 5x

isvestine‘.

II–5. Panaudodami Teiloro formule‘su Peano formos liekamuoju nariu, raskite riba

‘

limx→0

ln (1 + x) − x + x2

2 − x3

3 + x4

4 − x5

5 + x6

6

x7.


Matematines analizes egzamino klausimaiMIF I kursas, informatika, 1 semestras, 2001 01 08

I


‘:

Teorema. Didejanti realiu‘ju

‘skaiciu

‘seka turi (baigtine

‘) riba

‘tada ir tik tada, kai ji

yra aprezta is virsaus.

I‘rodykite, kad

limn→∞

n

qn= 0, |q| > 1; lim

n→∞

qn

n!= 0, q ∈ IR.

I–2. Sekos konvergavimo Kosi kriterijus.

I–3. Skaiciu‘sekos virsutines bei apatines ribu

‘apibrezimai ir savybes.

I–4. Parasykite Niutono binomo formule‘reiskiniui (a + b)7.


limn→∞

(n2 + 10n2 − 10

)n2+20

.

II


‘:

Teorema. Diferencijuojama intervale I funkcija f yra (grieztai) iskila zemyn tada irtik tada, kai jos isvestine f ′ (grieztai) dideja tame intervale.

II–2. Teorema apie tolydziosios funkcijos maksimalia‘reiksme

‘.

II–3. Parasykite funkcijos f(x) :=√

1 + x, x > −1, treciojo laipsnio Teiloro daugianari‘

P3(0; x).


f(x) := (ln x)3x, x > 1,

isvestine‘.

II–5. Nubraizykite funkcijos f(x) := x3e−x, x ∈ IR, grafika‘.


Matematines analizes 1/2 egzamino klausimaiMIF I kursas, informatika, 1 semestras, 2000 11 22

1. Monotonisku‘seku

‘ribu

‘egzistavimas. Ribos lim

n→∞(1 + 1

n )n egzistavimas.

2. Raskite f((−2, 2)), f−1((0, 2)) ir f−1((−2, 2)), jei f(x) := x2 − 1, x ∈ IR.3. Pateikite pavyzdi


infn∈IN

xn = 0, limn→∞

xn = 1, limn→∞

xn = 2, supn∈IN

xn = 3.

4. Sekos konvergavimo Kosi kriterijus.5. Uzbaikite sakini

‘,,Sakoma, kad lim

n→∞xn = −∞, jei ... “.


Matematines analizes egzamino klausimaiMaF I kursas, informatika, 1 semestras, 1999 03 05 (2 perlaikymas)

I dalis1. Monotonisku

‘seku

‘ribu

‘egzistavimas. ,,Klasikiniu

‘“ ribu

‘pavyzdziai (2.12–

14).

2. Teorema apie baigtini‘dengini

‘.

3. Eiluciu‘sandauga. Mertenso teorema.

4. Sugalvokite pavyzdi‘teigiamu

‘skaiciu

‘konverguojancios eilutes

∞∑

n=1an, su kuria

limn→∞

an+1

an> 1.

5. Uzbaikite sakini‘,, lim

n→∞an = −∞, jei . . .“.

II dalis1. Teiloro formule (5.19, 5.22).2. Funkcijos f(x) := sin x skleidimas Teiloro eilute su centru taske x0 = 0.3. Liopitalio taisykle.4. Ar funkcija f(x) := |x|3/2 yra diferencijuojama taske x = 0? Atsakyma

‘pagri

‘skite.


f(x) := (ln x)2x, x > 1,

isvestine‘.


Matematines analizes egzamino klausimaiMaF I kursas, informatika, 1 semestras, 1999 02 19 (1 perlaikymas)

I dalis1. Eiluciu

‘konvergavimo Kosi ir Dalambero pozymiai (3.9–10).

2. Sekos konvergavimo Kosi kriterijus.3. Apatine ir virsutine sekos ribos (apibrezimas ir savybes).4. Sugalvokite pavyzdi

‘teigiamu

‘skaiciu

‘seku


limn→∞

xnyn 6= limn→∞

xn ∙ limn→∞

yn.

5. Ar gali dvieju‘reliatyviai konverguojanciu

‘eiluciu

‘suma konverguoti absoliuciai?

II dalis1. Laipsnines eilutes (6.13–16).2. Teiloro eilute. Funkcijos f(x) := ln(1 + x) skleidimas Teiloro eilute su centru taske

x0 = 0.3. Liopitalio taisykle.4. Ar funkcija f(x) := |x|3/2 yra diferencijuojama taske x = 0? Atsakyma

‘pagri

‘skite.

5. Nurodykite klaida‘teiginyje ,,Jei funkcija f ∈ C1[a, b] i

‘gyja maksimuma

‘taske

x0 ∈ [a, b], tai f ′(x0) = 0“. Pateikite pavyzdi‘.


Matematines analizes egzamino klausimaiMaF I kursas, informatika, 1 semestras, 1999 01 08

I dalis1. Monotonisku

‘seku

‘ribu

‘egzistavimas. ,,Klasikiniu

‘“ ribu

‘pavyzdziai

(2.12–14).

2. Sekos konvergavimo Kosi kriterijus.3. Eiluciu

‘konvergavimo Kosi ir Dalambero pozymiai.

4. Pateikite pavyzdi‘realiu

‘ju

‘skaiciu


limn→∞


xn = 2.

Pavyzdi‘pagri

‘skite.

5. Ar gali dvieju‘reliatyviai konverguojanciu

‘eiluciu


II dalis1. Tolygiai konverguojancios tolydziu

‘ju

‘funkciju

‘sekos. Dinio lema (6.8–10).

2. Teoremos apie tolydziosios funkcijos tarpines ir maksimalia‘reiksmes.

3. Kosi ir Lagranzo vidutines reiksmes teoremos.4. Ar funkcija

f(x) :=

{e−

1|x| , x 6= 0,

0, x = 0,

yra diferencijuojama taske x = 0? Atsakyma‘pagri

‘skite.

5. Panaudodami Teiloro formule‘su Peano formos liekamuoju nariu, raskite riba

‘

limx→0

ln (1 + x) − x + x2

2 − x3

3 + x4

4 − x5

5 + x6

6

x7.


Matematines analizes 1/2 egzamino klausimaiMaF I kursas, informatika, 1 semestras, 1998 11 13

1. Sekos riba. Veiksmai su ribomis. Ribos ir nelygybes.

2. Sugalvokite pavyzdi‘tokios konverguojancios teigiamu

‘nariu

‘eilutes

∞∑

n=1an, kad

limn→∞

an+1

an> 1.

3. Pateikite pavyzdi‘sekos {xn}, kurios

infn∈IN

xn = 0, limn→∞

xn = 1, limn→∞

xn = 2, supn∈IN

xn = 3.


‘,



Matematines analizes egzamino klausimaiMaF I kursas, 1 grupe, 1 semestras, 1997 01 09

1. Teoremos apie tolydziosios funkcijos tarpines ir maksimalia‘reiksmes

(4.9–10).2. Funkcijos iskilumas (5.26–30).

3. Skaiciu‘eiluciu

‘palyginimas.

4. Apatine ir virsutine sekos ribos.5. Sugalvokite pavyzdi

‘uzdaru

‘ju

‘intervalu

‘sistemos, kuri dengia atvira

‘ji‘

intervala‘(0, 1)

ir is kurios negalima isrinkti baigtinio podangio.6. Ar gali dvieju

‘reliatyviai konverguojanciu

‘eiluciu


7. Atvirkstines funkcijos isvestine.8. Tolydzios funkcijos aproksimavimas laiptinemis funkcijomis.9. Ar funkcija

f(x) := |x|3/2, x ∈ IR,

yra diferencijuojama taske x = 0?10. Parasykite funkcijos f(x) = x2 − x, x ∈ IR, Teiloro eilute

‘su centru taske x0 = 2.

Kokiuose taskuose x ∈ IR jos suma lygi f(x)?



1. Vejerstraso teoremos apie ribini‘taska

‘ir konverguojanti

‘poseki

‘(1.10–11, 2.8–9).

2. Laipsnines eilutes (6.13–14, 16).

3. Sekos konvergavimo Kosi kriterijus.4. Eiluciu

‘konvergavimo Dalambero pozymys.

5. Kam lygi dvieju‘vienodu

‘eiluciu

‘

∞∑

n=0(−1)n ir

∞∑

n=0(−1)n sandauga? Ar ji konverguoja?

6. Pateikite pavyzdi‘sekos {xn}, kurios

limn→∞


xn = 5.

Pavyzdi‘pagri

‘skite.

7. Teiloro formule su Peano pavidalo liekamuoju nariu.8. Kosi vidurkines reiksmes teorema.9. f(x) := (x + 1)5, x ∈ IR. Ar egzistuoja daugianariu

‘seka {Pn}, konverguojanti i

‘funkcija

‘f tolygiai tieseje IR?

10. Pateikite laipsnines eilutes, konverguojancios aibeje (1, 3] (ir diverguojancios jos pa-pildinyje), pavyzdi

‘.



1. I‘jungtu

‘ju

‘intervalu

‘principas. Teorema apie baigtini

‘dengini

‘(1.8–9).

2. Teiloro eilute. Pavyzdziai (5.20–22).

3. Apatine ir virsutine sekos ribos.4. Eiluciu

‘sandauga. Mertenso teorema.

5. Sugalvokite pavyzdi‘uzdaru

‘ju

‘intervalu

‘sistemos, kuri dengia uzdara

‘ji‘intervala

‘[0, 1]

ir is kurios negalima isrinkti baigtinio podangio.6. lim

x→1f(x) = −∞, jei ... (uzbaikite sakini

‘).

7. Laipsnines eilutes.8. Funkciju

‘seku

‘ir eiluciu

‘tolygusis konvergavimas.

9. Kiek kartu‘funkcija

f(x) := |x|3/2, x ∈ IR,

yra diferencijuojama taske x = 0?10. Sugalvokite funkcijos f ∈ D[0, 1], turincios be galo daug trukio tasku

‘, pavyzdi

‘.



1. Sekos konvergavimo Kosi kriterijus. Pavyzdziai (2.10–11).2. Tolygiai konverguojancios tolydziu

‘ju

‘funkciju

‘sekos. Dinio lema (6.7–8, 10).


‘.

4. Eiluciu‘konvergavimo Abelio–Dirichle pozymis.

5. Ar gali neaprezta funkcija f : (0, 1) → IR buti tolygiai tolydi intervale (0, 1)?

6. Sugalvokite pavyzdi‘konverguojancios teigiamu

‘nariu

‘eilutes

∞∑

n=1an, kuriai

limn→∞

an+1

an> 1.

7. Iskilos funkcijos apibrezimas. Diferencijuojamos funkcijos iskilumo ir jos isvestinesrysys.

8. Liopitalio teorema.9. Nurodykite klaida

‘teiginyje ,,Jei funkcija f ∈ C1[a, b] i

‘gyja maksimuma

‘taske

x0 ∈ [a, b], tai f ′(x0) = 0“. Pateikite pavyzdi‘.

10. Panaudodami Teiloro formule‘su Peano formos liekamuoju nariu, raskite riba

‘

limx→0

ln (1 + x) − x + x2

2 − x3

3 + x4

4 − x5

5 + x6

6

x7.



1. Eiluciu‘konvergavimo Kosi ir Dalambero pozymiai (3.9–10).

2. Teiloro formule (5.18, 24).


‘.

4. Eiluciu‘konvergavimo Abelio–Dirichle pozymis.

5. Ar gali neaprezta funkcija f : IR → IR buti tolygiai tolydi tieseje IR?6. Remiantis Rymano teorema, reliatyviai konverguojancios eilutes perstata gali tureti

bet kokia‘suma

‘, taigi ir diverguoti. O ar gali buti atvirksciai – diverguojancios eilutes

perstata konverguoti?

7. Dinio lema.8. Liopitalio teorema.9. Nurodykite klaida

‘teiginyje ,,Jei funkcija f ∈ C[a, b] i

‘gyja maksimuma

‘taske

x0 ∈ (a, b), tai f ′(x0) = 0“. Pateikite pavyzdi‘.

10. f(x) := sin x, x ∈ IR. Ar egzistuoja daugianariu‘seka {Pn}, konverguojanti i

‘funkcija

‘f tolygiai tieseje IR?


Matematines analizes egzamino klausimaiMaF I kursas, 1–5 grupes, 1 semestras, 1997 01 25 (1 perlaikymas)

1. Sekos riba. Veiksmai su ribomis. Ribos ir nelygybes (2.1, 3–6).2. Laipsnines eilutes (6.13–14, 16).

3. Apatine ir virsutine sekos ribos.4. Eiluciu

‘konvergavimo Abelio–Dirichle pozymis. Leibnico teorema.


6. Funkcijos riba. Jos du apibrezimai ir savybes.

7. Liopitalio teorema.8. Teiloro formule.9. Tolygiai konverguojancios tolydziu

‘ju

‘funkciju

‘sekos. Dinio lema.

10. Reguliariosios ir laiptines funkcijos. Reguliariu‘ju

‘funkciju

‘aproksimavimas laiptinemis

funkcijomis.


Matematines analizes egzamino klausimaiMaF I kursas, 1–5 grupes, 1 semestras, 1997 03 04 (3 perlaikymas)

I dalis

1. Teoremos apie tolydziosios funkcijos tarpines ir maksimalia‘reiksmes

(4.9–10).

2. Eiluciu‘konvergavimo Abelio–Dirichle pozymis. Leibnico teorema.


4. Ar gali neaprezta funkcija f : IR → IR buti tolygiai tolydi tieseje IR?5. Pateikite pavyzdi

‘sekos {xn}, kurios

infn∈IN

xn = 0, limn→∞

xn = 1, limn→∞

xn = 2, supn∈IN

xn = 3.

II dalis6. Funkcijos iskilumas (5.26–30).

Iskilos funkcijos apibezimas. Diferencijuojamos funkcijos iskilumo ir jos isvestines rysys. Dukartdiferencijuojamos funkcijos iskilumo ir jos antrosios isvestines rysys. Perlinkio taskai.

7. Liopitalio teorema.8. Tolygiai konverguojancios tolydziu

‘ju

‘funkciju

‘sekos riba. Dinio lema.

9. Funkciju‘f(x) = ex, g(x) = sin x, h(x) = ln(1 + x) Teiloro eilutes ir ju

‘konvergavimo

aibes.10. Panaudodami Teiloro formule

‘su Peano pavidalo liekamuoju nariu, raskite riba

‘

limx→0

ln (1 + x) − x + x2

2 − x3

3 + x4

4 − x5

5 + x6

6

x7.


Matematines analizes egzamino papildomi klausimaiMaF I kursas, 1995–96–97, 1 semestras

1. f(x) = cos x, x ∈ IR. Raskite f((0, 1)

), f((0, 2)

), f((0, 3)

), f−1

((0, 1)

), f−1

((0, 2)

),

f−1((−2, 2)

),

2. Seka {xn} konverguoja (turi baigtine‘

riba‘), seka {yn} diverguoja (t.y., neturi ribos

arba turi begaline‘riba

‘). Ar sekos {xn + yn}, {xnyn} diverguoja?

3. Eiluciu‘konvergavimo Abelio–Dirichle pozymis. Isvada (Leibnico teorema).

4. Eilutes∞∑

n=1an ir

∞∑

n=1bn konverguoja reliatyviai. Ar gali eilute

∞∑

n=1(an+bn) konverguoti

absoliuciai?5. Kokios realiu

‘ju

‘skaiciu

‘sekos {xn} turi savybe

‘:

∃N ∈ IN : ∀ε > 0 |xn| < ε, kai n > N?

6. Funkcija f grieztai iskila (zemyn) intervale (a, b). Ar galima tvirtinti, kad f ′′(x) > 0su visais x ∈ (a, b)?

7. Kiek kartu‘funkcija f(x) := x|x|, x ∈ IR, yra diferencijuojama taske x = 0?

8. Parasykite funkcijos f(x) = x3, x ∈ IR, Teiloro eilute‘su centru taske x0 = 1. Kokiuose

taskuose x ∈ IR jos suma lygi f(x)?9. Kokios realiu

‘ju

‘skaiciu

‘sekos {xn} turi savybe

‘:

∃N ∈ IN : ∀ε > 0 |xn − xm| < ε, kai m,n > N?

10. Sugalvokite aibes A ⊂ IR, turincios lygiai 3 ribinius taskus, pavyzdi‘.

11. Kam lygi racionaliu‘ju

‘skaiciu

‘aibes Q isvestine (visu

‘ribiniu

‘tasku

‘aibe) Q′?

12. Sugalvokite aibes A ⊂ IR, kurios isvestine A′ = IN, pavyzdi‘.

13. dn ≤ an, n ∈ IN, ir eilute∞∑

n=1dn diverguoja. Ar gali eilute

∞∑

n=1an konverguoti?

14. Dvieju‘eiluciu

‘sandaugos apibrezimas. Mertenso teorema (apie eiluciu

‘sandauga

‘).

15. Seka {xn} yra tokia, kad

∀ε > 0 ∃N ∈ IN : |xn+1 − xn| < ε, kai n > N.

Ar galima tvirtinti, kad si seka a) turi baigtine‘riba

‘; b) yra aprezta?

16. Eilute∞∑

n=1an diverguoja. Ar gali konverguoti eilute

∞∑

k=1

(a2k−1 + a2k) = (a1 + a2) + (a3 + a4) + (a5 + a6) + ∙ ∙ ∙?

17. Sugalvokite pavyzdi‘sekos {xn}, su kuria

infn∈IN

xn < lim infn→∞

xn < lim supn→∞

xn = 1 < supn∈IN

xn.

18. Sugalvokite pavyzdi‘

intervalo [0, +∞) atvirojo denginio, is kurio negalima isrinktibaigtinio podangio.

19. Eilute∞∑

n=1an diverguoja, o eilute

∞∑

n=1bn konverguoja. Ar gali ju

‘sandauga konver-

guoti?

20. an > 0, n ∈ IN, ir limn→∞

an+1

an> 1. Ar gali eilute

∞∑

n=1an konverguoti?


‘skaiciu

‘seku


limn→∞

xnyn 6= limn→∞

xn ∙ limn→∞

yn.

22. f(x) := 3x − x3, x ∈ IR. Nurodykite aibes f([−1, 1]

), f([−2, 2]

), f([−3, 3]

), f−1(0),

f−1([−2, 2]

), f−1

([0, +∞)

).

23. an 6= 0, n ∈ IN, ir ∃ lim an+1

an< 1. Ar gali eilute

∞∑

n=1an diverguoti?


‘skaiciu

‘sekos {cn}, su kuria cn → 0, bet eilute

∞∑

n=1(−1)ncn diverguoja.

25. Sugalvokite pavyzdi‘, rodanti

‘, kad racionaliu

‘ju

‘skaiciu

‘aibeje Q i

‘detu

‘ju

‘intervalu

‘lema

nera teisinga.26. Ar Archimedo principas teisingas racionaliu

‘ju

‘skaiciu

‘aibeje Q?

27. Raskite limn→∞

xn ir limn→∞

xn, jei xn := (−1)n + (−1)n+1

n , n ∈ IN.

28. Ar gali baigtine aibe tureti ribiniu‘tasku

‘?


‘.

30. Aibes ribinis taskas. Vejerstraso teoremos apie ribini‘taska

‘ir konverguojanti

‘poseki

‘.

31. Eiluciu‘konvergavimo Abelio–Dirichle pozymis. Leibnico teorema. Absoliuciai ir re-

liatyviai konverguojancios eilutes.32. Seka {xn} yra tokia, kad

∃ ε > 0, N ∈ IN : |xn| < ε, kai n > N.

Ar galima tvirtinti, kad si seka a) turi baigtine‘riba

‘; b) yra aprezta?

33. Eilutes∞∑

n=1an daliniu

‘sumu

‘seka aprezta. Ar si eilute butinai konverguoja?

34. Ar funkcija f(x) := 1x , x ∈ (0, 1), yra tolygiai tolydi intervale (0, 1)?

35. Ar gali buti, kad ∃ limx→a


x→a

f(x)g(x) 6= A?

36. Kiek kartu‘funkcija f(x) := x2|x|, x ∈ IR, yra diferencijuojama taske x = 0?

37. Raskite funkcijos f(x) := x3|x|, x ∈ IR, antra‘ja

‘isvestine

‘f ′′(x), x ∈ IR.

38. Isvestines geometrine prasme.39. Ar gali funkcija f : [−1, 1] → IR, kuri nera tolydi, i

‘gyti visas tarpines reiksmes (is

intervalo [f(−1), f(1)] arba [f(1), f(−1)])?

40. Ar galima funkcija‘f(x) := arctg x, x ∈ IR, aproksimuoti daugianariais tolygiai visoje

tieseje IR? Kitaip tariant, ar egzistuoja tokia daugianariu‘seka {Pn}, kad

supx∈IR

|Pn(x) − f(x)| → 0, n → ∞?

41. Teiloro formule.42. Liopitalio teorema.43. Ar gali buti, kad f(x) = o

(g(x)

), x → a ir kartu g(x) = o

(f(x)

), x → a?

44. Sugalvokite pavyzdi‘funkcijos f : IR → IR, kuri yra truki visuose IR taskuose, isskyrus

viena‘.

45. Ar funkcija

f(x) :=

{e−

1|x| , x 6= 0,

0, x = 0,

yra diferencijuojama taske x = 0?46. Parasykite funkcijos f(x) = ex, x ∈ IR, Teiloro eilute

‘su centru x0 = 1.

47. Patikrinkite funkcijos f(x) = cos x, x ∈ IR, tolyduma‘.

48. Remdamiesi tolydzios funkcijos apibrezimu, patikrinkite funkcijos f(x) = ex, x ∈ IR,tolyduma

‘.

49. Ar gali buti funkcija buti ir iskila zemyn, ir iskila aukstyn tame paciame intervale?50. fn(x) := x

n , x ≥ 0, n ∈ IN. Ar funkciju‘seka {fn} konverguoja tolygiai intervale

[0, +∞)?51. fn(x) := 1

n(x+1) , x ∈ IR, n ∈ IN. Ar funkciju‘seka {fn} konverguoja tolygiai tieseje

IR?52. Panaudodami Teiloro formule

‘su Peano formos liekamuoju nariu, raskite riba

‘

limx→0

ln (1 + x) − x + x2

2 − x3

3 + x4

4 − x5

5 + x6

6

x7.

53. Ar gali dvieju‘trukiu

‘funkciju

‘a) suma; b) sandauga buti tolydi funkcija?

54. Ar gali trukios funkcijos a) kvadratas; b) kubas buti tolydi funkcija?55. Parasykite funkcijos f(x) = e2x+1, x ∈ IR, Teiloro eilute

‘su centru taske x0 = 0.

Kokiuose taskuose x ∈ IR jos suma lygi f(x)?56. Ar funkcija f(x) := cos5 x, x ∈ IR, yra tolygiai tolydi intervale (0, 2π)? tieseje IR?


Documents

Matematine˙s analize˙s egzamino klausimai MIF 1 kursas ...vigirdas/articles/egz1sem.pdf · Matematine˙s analize˙s egzamino klausimai MIF 1 kursas, FDM, 2017 m. 1 (rudens) semestras,