Matematines Analizes Kursas (Grigelionis)

Matematines analizes kursasFunkcijos riba, ivestine ir neapibretinis

integralas

Arunas Grigelionis

1999 m. spalio 4 d.

Turinys

1 Skaiciai 71.1 Naturalieji skaiciai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Sveikieji skaiciai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Racionalieji skaiciai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Racionaliuju skaiciu numeravimas . . . . . . . . . . . . . 101.3.2 Racionaliuju skaiciu vaizdavimas tieseje . . . . . . . . . . 10

1.4 Realieji skaiciai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.1 Iracionalieji skaiciai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.2 Realieji skaiciai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.3 Realiojo skaiciaus aproksimacija racionaliaisiais skaiciais 13

2 Sekos 152.1 Svarbios realiuju skaiciu aibes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Skaiciu aibes reiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Skaiciu sekos ribos savoka. Konverguojanti seka . . . . . . . . . 182.4 Monotonines sekos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5 Skaicius e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6 Posekiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.7 Koi sekos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Funkcija ir funkcijos tolydumas 313.1 Funkcijos savoka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Funkcijos riba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3 Funkcijos tolydumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4 Funkcijos trukiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4.1 Trukiu klasifikacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5 Monotonines funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.6 Keli funkciju pavyzdiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3

4 TURINYS

3.7 Elementariosios funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.8 Kai kuriu funkciju ribos take x = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 583.9 Kelios atkarpoje tolydiu funkciju geometrines savybes . . . . . . 60

4 Funkcijos ivestine 654.1 Ivestines savoka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2 Ivestines geometrine prasme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.3 Mechanine ivestines prigimtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.4 Ivestines savybes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.5 Diferencialo savoka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.6 Funkcijos ivestines skaiciavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.7 Funkcijos auktesniuju eiliu ivestines . . . . . . . . . . . . . . . 784.8 Pagrindines diferencialinio skaiciavimo teoremos . . . . . . . . . 814.9 Lopitalio taisykle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.10 Teiloro formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.11 Teiloro formules taikymas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.12 Apie lokaliuosius ekstremumus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.13 Funkcijos grafiko ikilumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.14 Funkcijos grafiko asimptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.15 Funkcijos tyrimas ir grafikas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5 Neapibretinis integralas 1155.1 Integralo apibreimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.2 Neapibretinio integralo savybes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.3 Integralu lentele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.4 Integravimas dalimis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.5 Integralas ir rekurentikumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.6 Racionaliosios funkcijos integralas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.7 Kitu funkciju integravimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.8 Apie elipsinius integralus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Ivadas

Treciojo tukstantmecio akivaizdoje informacijos srautas tampa nesuvaldomu bekompiuterio pagalbos. Priklausomai nuo informacijos pobudio, jai analizuo-ti naudojami ivairiausi kompiuteriniu programu paketai. Ju isisavinimui butinasbent minimalus vartotojo matematinis pasiruoimas.

io kurso objektas vieno kintamojo funkcijos tyrimas ir su tuo tampriai su-sijusios tolydumo, ivestines, integralo, eilutes savokos. Visa tai talpinama pobendru matematines analizes stogu.

Ininerines informatikos specialybes mokymo programoje matematinei anali-zei yra skiriami trys semestrai. i paskaitu konspekta paruoe Matematines statis-tikos katedros destytojas A. Grigelionis.

Trumpas literaturos saraas:1. Fichtengolcas G. Matematines analizes pagrindai. 1-as ir 2-as tomai. Vilnius:Mintis, 1965, 422 ir 452 psl.

2. Iljinas V., Pozniakas E. Matematines analizes pagrindai. 1-as ir 2-as tomai.Vilnius: Mokslas, 1981, 520 ir 402 psl.

3. Kabaila V. Matematine analize. 1-oji ir 2-oji dalys. Vilnius: Mokslas, 1983,408 psl.; 1986, 482 psl.

4. Kubilius J. Realaus kintamojo funkciju teorija. Vilnius: Mintis, 1970, 284 psl.

5. Misevicius E. Matematine analize. 1-a dalis. Vilnius: TEV, 1998, 357 psl.

6. Pekarskas V. Diferencialinis ir integralinis skaiciavimas. 1-a dalis. Kaunas,Technologija, 1996, 387 psl.

5

6 TURINYS

7. Rumas P. Trumpas auktosios matematikos kursas. Vilnius, Mokslas,1976, 559 psl.

Skyrius 1

Skaiciai

1.1 Naturalieji skaiciaiJau nuo maens mes susipaistame su skaiciais 1, 2, 3, 4, 5 ir t.t. Pradinese klaseseimokstame sudeti, dauginti skaicius, atimti i didesnio maesni, dalinti, jei da-linasi. Tokiu skaiciu visuma vadinama naturaliuju skaiciu aibe ir ymima raideN.

Tegu a, b, c bet kokie trys naturalieji skaiciai. emiau ivardinamos geraiinomos svarbiausios veiksmu su naturaliaisiais skaiciais savybes.

Sudetis:

S1) (a+ b) + c = a+ (b+ c) (sudeties asociatyvumas);

S2) a+ b = b+ a (sudeties komutatyvumas);

S3) skaicius 0, vadinamas nuliu, ypatingas tuo, kad a + 0 = a (kaip taisykle,pats nulis nepriskiriamas prie naturaliuju skaiciu, taciau tai tik susitarimo reika-las);

Daugyba:

D1) (a b) c = a (b c) (daugybos asociatyvumas);

D2) a b = b a (daugybos komutatyvumas);

D3) naturalusis skaicius vienetas, ymimas 1, ypatingas tuo, kad a 1 = a ;

7

8 SKYRIUS 1. SKAI CIAI

D4) a (b+ c) = a b+ a c (daugybos distributyvumas);Tvarkos ryio savybes:

T1) a a ;

T2) jei a b ir b c, tai a c (tranzityvumas);T3) jei a b ir b a, tai a = b (antisimetrikumas);T4) arba a b, arba b a ;

T5) jei a b, tai a+ c b+ c ;T6) jei 0 a, 0 b, tai 0 a b.Ivairioms reikmems yra naudojamos ivairios skaiciavimo sistemos. Paprastai

vartojama deimtaine skaiciavimo sistema, kurioje kiekvienas naturalusis skaiciusuraomas deimties skaitmenu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 pagalba.

Kompiuteriu moksle yra naudojama dvejetaine sistema, kurioje kiekvienas na-turalusis skaicius uraomas nuliu ir vienetu pagalba. Pvz., skaicius 5 deimtai-neje sistemoje uraomas kaip skaicius 101 dvejetaineje sistemoje. Taipogi yravartojamos atuntaine ir eioliktaine skaiciavimo sistemos.

1.2 Sveikieji skaiciaiBendru atveju lygtis

a+ x = b

yra neisprendiama naturaliuju skaiciu aibeje N. Kitaip sakant, naturaliesiems air b gali neatsirasti tokio naturaliojo skaiciaus x, kad butu teisinga i lygybe. Tuotarpu toki paprasta udavini tenka spresti kas diena. Norint kad jis visada turetusprendini, naturaliuju skaiciu aibe "ipleciama" iki sveikuju skaiciu aibes.Sveikuju skaiciu aibe ymesime Z raide.

Z = {0,1,2,3, ...} = {a | a = m n,m, n N}.Sveikieji skaiciai, kaip ir naturalieji, pasiymi tomis paciomis sudeties, daugybos,tvarkos savybemis S1) - S3), D1) - D4) bei T1) - T6).Be to, jie turi ir nauja savybe, reikalinga, norint ispresti lygti:

1.3. RACIONALIEJI SKAI CIAI 9

0 1 2 3 4-1-2-3x

Pav. 1.1: Sveikuju skaiciu vaizdavimas tieseje

S4) kiekvienam a Z yra toks skaicius b Z, kad a+ b = 0.

ymima b := a ir sakoma, kad sveikasis skaicius turi sau prieinga.

1.3 Racionalieji skaiciaiSveikuju skaiciu nepakanka, sprendiant lygti

a x = c.

Tam tikslui pasiekti, tenka iplesti sveikuju skaiciu aibe iki racionaliuju skaiciuaibes Q.

Q = {mn| m,n Z, n 6= 0}.

Lyginant su sveikaisiais skaiciais, racionalieji turi nauja savybe:

D5) kiekvienam nelygiam nuliui racionaliajam skaiciui a, egzistuoja "antri-ninkas" racionalusis skaicius b toks, kad a b = 1 .

Trumpesnis uraas: a Q, a 6= 0,b Q : a b = 1 .

Sakoma, kad b yra atvirktinis skaiciui a. ymima b := a1 .Racionaliuosius skaicius patogu urayti deimtaines trupmenos pagalba. Galimidu atvejai: arba deimtaine trupmena bus baigtine (t.y. po kablelio bus tik baigtinisnenuliniu skaitmenu skaicius), arba trupmena bus begaline, taciau periodine.

Du pavyzdiai:1. 3/8 = 0.375.2. 2/7 = 0.2857142857142... = 0.(285714).


X0 1 2-1

0 1

1/n

Pav. 1.2: Racionaliuju skaiciu vaizdavimas tieseje

1.3.1 Racionaliuju skaiciu numeravimasVisus teigiamus racionaliuosius skaicius galima ivardinti vienos sekos pagalba:

11,21,12,31,22,13,41,32,23,14, ...

Skaicius mn

ioje sekoje tures numeri1/2 (m+ n 1) (m+ n 2) + n.

Taigi, kiekvienam teigiamam racionaliajam skaiciui yra priskiriamas konkretusnumeris. Pastebesime, kad siulomoje skaiciu sekoje kiekvienas racionalusis skai-cius sutinkamas be galo daug kartu . Galima sugalvoti kita numeravimo algoritma,neturinti io trukumo.

Sakoma, kad racionaliuju skaiciu aibe yra skaiti.

1.3.2 Racionaliuju skaiciu vaizdavimas tiesejeNorint paymeti trupmena 1/n, n N, pradine vienetine atkarpa dalijama i nlygiu daliu ir imamas pirmosios i gautu atkarpeliu deinysis galas (r. pieini 1.2,kur n = 10).

Tada skaiciausm/n vaizdas gaunamas atkarpos, kurios galai 0 ir 1/n, pagalba,atidejus pastaraja m kartu.

1.4. REALIEJI SKAI CIAI 11

1

1

?

Pav. 1.3: Koks iambines ilgis?

1.4 Realieji skaiciai1.4.1 Iracionalieji skaiciaiNorint ispresti kvadratine lygti

x2 = 2,

racionaliuju skaiciu nepakanka, t.y. nera ne vieno racionaliojo skaiciaus x, kurisbutu ios lygties sprendinys.

I tiesu, jeigu toks skaicius atsirastu, tai ji galima butu urayti trupmenos

x = m/n

pagalba, kur m ir n - tarpusavyje nesiprastinantys sveikieji skaiciai.Pakele abi paskutines lygybes puses kvadratu ir istate gautaja x2 iraika i

pradine lygti, turetume, kad 2 = m2/n2, arba m2 = 2 n2. Bet tada m2, o tuopaciu ir pats m, butu lyginiai skaiciai.

Taciau, jeigu m dalinasi i 2, tai m2 turi dalintis i 2 2 = 4. Tokiu atvejuskaicius n2, kuris yra lygus m2/2, turi dalintis i 2, o tai reiktu, kad ir n dalinasii dvieju.

Taigi, jei pradine lygtis turetu racionaluji sprendini, skaiciai m ir n abu butulyginiai. Bet mes juk dareme prielaida , kad m ir n tarpusavyje nesiprastina.

Lygtis x2 = 2 turi paprasta geometrine prasme: jos sprendinys x, remiantis Pi-tagoro teorema, yra stataus trikampio, pavaizduoto pieinyje 1.3, iambines ilgis.Isitikinome, kad is ilgis nera racionalusis skaicius.


1.4.2 Realieji skaiciaiSkaiciai

2, pi, naturaliojo logaritmo pagrindas skaicius e yra iracionaliuju

skaiciu pavyzdiai. Realiuju skaiciu aibe ymima raide R ir apima tiek racio-naliuosius, tiek iracionaliuosius skaicius. Ji turi visas aukciau minetas skaiciuveiksmu ir tvarkos savybes S1)-S4), D1)-D5), T1)-T6).

Kiekvienas realusis skaicius gali buti uraytas deimtaines (bendru atveju,begalines) trupmenos

a = 0, 12...n...,pavidalu. Kaip jau buvo mineta anksciau, baigtines ir periodines trupmenos rei-kia racionaliuosius skaicius. Baigtine trupmena, pratesus trupmenine jos dali be-galiniu nuliu skaiciumi, galima interpretuoti kaip periodine. Neperiodinemis de-imtainemis trupmenomis yra uraomi iracionalieji skaiciai.

Iracionaliojo skaiciaus pavyzdys:a = 0, 123456789101112... .

Jis konstruojamas, vardijant po kablelio naturaliuosius skaicius ju didejimo tvarka.i deimtaine trupmena nera periodine.

Kiekviena geometrine atkarpa turi ilgi, kuris nusakomas deimtaine trupme-na. I kitos puses, kiekviena deimtaine trupmena skaiciu tieseje atitinka "sava"atkarpa, prasidedanti nulio take. Su iuo teiginiu susijusi taip vadinama aibes Rtolydumo savybe:

P) jei A ir B yra netuti aibes R poaibiai tokie, kadA B = , A B = R,

cia "" reikia aibiu sankirta, o "" aibiu jungini, ir a b visiems a A irb B, tai

arba aibeje A yra didiausias elementas amax, t.y. toks, kada amax visiems a A,

arba aibeje B yra maiausias elementas b bmin visiems b B.Kas atsitiktu, jeigu salygos P) formulavime aibe R visur pakeisti aibe Q?

1.4. REALIEJI SKAI CIAI 13

Paymekime A = {a Q | a2 < 2} ir B = {b Q | b2 > 2}.Tada

A B = Q, A B = ir

a bvisiems a A ir b B.

Taciau racionaliuju skaiciu tarpe aibe A neturi didiausiojo, o aibe B ma-iausiojo elemento. Tokiu budu, racionaliuju skaiciu aibe tolydumo savybes ne-turi.

1.4.3 Realiojo skaiciaus aproksimacija racionaliaisiais skaiciaisNeneigiama realuji skaiciu

a = 0, 12...n...

galima priartinti racionaliuju skaiciu

an = 0, 12...n ir bn = 0, 12...n + 110n

pagalba.I tiesu,

an a bnir

a an 110n , bn a 110n .

Kai numeris n dideja, skirtumai tarp skaiciaus a ir jo priartinimu an, bn nyksta.Jei realusis skaicius neigiamas, t.y.

a = 0, 12...n...,

ji galima priartinti racionaliuju skaiciu

an = 0, 12...n 110n , bn = 0, 12...n


pagalba.Pasinaudojant realiojo skaiciaus deimtainiu priartinimu, nesunku pastebeti

idomia savybe:

Teiginys 1 .Tegu a ir b, a < b du realieji skaiciai. Tada butinai atsiras toks raciona-

lusis skaicius r, kad a < r < b (automatikai, tokiu r bus be galo daug).

Skyrius 2

Sekos

2.1 Svarbios realiuju skaiciu aibes1. Iplestoji realiuju skaiciu aibe R.

Tai realiuju skaiciu aibe su prijungtais papildomais dviem elementais, kurieymimi ir ir tenkina salygas:a) < a 0ira (+) = , a () =,jei a R, a < 0.

2. Intervalai.(a, b) := {x | a < x < b} atviras intervalas;[a, b] := {x | a x b} udaras intervalas (segmentas);(a, b] := {x | a < x b} , [a, b) := {x | a x < b} pusiau atviri inter-

valai.

Skaicius b a vadinamas intervalo ilgiu. Jei a = , arba jei b = ,sakoma, kad intervalas begalinis.

Prieingu atveju intervalas vadinamas baigtiniu.Pastaba. Sandaugos 0 , 0 () , veiksmai () , (+) , ( :)nera apibreiami.

Paymejimas. Tegu x R. Neneigiamas skaicius

15

16 SKYRIUS 2. SEKOS

|x| :={ x, jei x 0x, jei x < 0 yra vadinamas xo moduliu arba absoliuciuoju

didumu.

Geometrikai |a b| reikia atstuma tarp taku, yminciu skaicius a ir b.Tegu > 0. Skaiciaus a aplinka vadinamas intervalas (a , a+ ), t.y.

aibe{x R : |x a| < }.

2.2 Skaiciu aibes reiaiApibreimas 1 . Sakysime, kad realiuju skaiciu aibe A R apreta i viraus,jei atsiras realusis skaicius c, kuris yra nemaesnis u bet kuri aibes A elementa.Skaicius c vadinamas aibes A virutiniu reiu.

Pavyzdys. A = [0, 1]. Bet koks skaicius c 1 bus aibes A virutinis reis.

Apibreimas 2 . Aibe A R vadinama apreta i apacios, jei c R toks, kadc a visiems a A. Skaicius c vadinamas aibes A apatiniu reiu.

Apibreimas 3 . Aibe A R vadinama apreta, jei ji apreta ir i viraus, ir iapacios.

Pavyzdiai.

1. A = [0, 1] , A = (0, 1) apretos aibes.2. A = {a | a 0} apreta i viraus.Atkreipsime demesi, jei skaicius c yra aibes A virutinis reis, tai visi skaiciai d,didesni u c, taip pat bus aibes A virutiniais reiais.

Apibreimas 4 . Sakoma, kad c R yra tikslusis virutinis aibes A reis, jeigu cyra virutinis aibes A reis ir c d kiekvienam aibes A virutiniam reiui d.

ymima, c = supA.Analogikai apibreiamas tikslusis apatinis aibes A reis. Jis yra ymimas

inf A.

2.2. SKAI CIU AIB ES R EIAI 17

RA BP

Pav. 2.1: Iliustracija teoremai apie tiksluji virutini aibes rei.

Pavyzdys. A = [0, 1], arba (0, 1) . Cia abiem atvejais supA = 1, inf A = 0.Pastaba. Kaip matyti i pavyzdio, tikslusis virutinis (apatinis) reis gali pri-klausyti aibei A arba nepriklausyti jai.Apibreimas 5 . Tuo atveju , kai tikslusis virutinis aibesA reis supA priklausopaciai aibei A, jis dar ymimas maxA;

jei tikslusis apatinis reis priklauso paciai aibei, tai vietoje inf A raoma darminA.

Teorema 1 (Aibes tiksliojo reio egzistavimas). Jei netucia aibe P R yraapreta i viraus, tai egzistuoja supP ; jei tokia aibe apreta i apacios, tai eg-zistuoja inf P .

Irodymas:

Pagal apibreima, apreta i viraus aibe P turi virutini rei. Raide B pay-mekime aibe visu aibes P virutiniu reiu (r. iliustracija 2.1).

Galimi du atvejai:1. B P 6= , t.y. aibes B ir P turi bendru elementu. Tada aibe B P

tures lygiai viena elementa c, kuris ir bus aibes P tikslus virutinis reis (jei butuc1, c2 B P , tai pagal iu aibiu prasme turetume c1 c2 ir c2 c1 vienu metu,t.y. c1 = c2).

2. B P = , t.y. aibes B ir P neturi bendru elementu. Tada aibe A = R \Bneturi didiausio skaiciaus maxA (prieingu atveju jis butu aibes P virutinisreis ir priklausytu aibei B P ). Pagal realiuju skaiciu tolydumo aksioma, aibejeB turi buti maiausias skaicius, kuris ir bus aibes P tikslusis virutinis reis.

Antroji teoremos dalis irodoma analogikai.

18 SKYRIUS 2. SEKOS

2.3 Skaiciu sekos ribos savoka. Konverguojanti se-ka

Formaliai i skaiciu seka galima iureti kaip i funkcija, kuri apibreta naturaliujuskaiciu aibeje, o reikmes igyja realiuju skaiciu aibeje.

Raant seka, argumentas figuruoja kaip indeksas:a1, a2, a3, ..., an, ...

Dar ymima {an}n=1, arba {an}nN.Kartais numeracijai naudojama ir sveikuju skaiciu aibe. Tada ymima {an}n=,

arba {an}nZ. Galimas ir kitokiu aibiu panaudojimas sekos elementu numeravi-mui.

Aritmetine bei geometrine progresijos yra seku pavyzdiai.Pavyzdys. Seka 1, 2, 4, 8, 16, ...2n, ... yra geometrine progresija, kurios pir-

masis narys lygus 1, 2-asis narys lygus 2, trecias 4, o n-tasis narys lygus 2n1.

Dvi sekas galima sudeti, dauginti, atimti panariui, tokiu budu gaunant naujassekas.

Apibreimas 6 . Sakoma, kad:seka {an}nN yra apreta i viraus, jei bus toks skaicius M , kad an M

visiems naturaliesiems n N;seka {an}nN yra apreta i apacios, jei bus toks skaicius M , kad an M

visiems naturaliesiems n N;seka {an}nN yra apreta, jei bus toks skaicius M , kad |an| M visiems

naturaliesiems n N;Akivaizdu, kad seka bus apreta (apreta i viraus, apreta i apacios) tada ir

tik tada, kai bus apreta (apreta i viraus, apreta i apacios) jos reikmiu aibe.Pavyzdiai:

1. Seka {n}nN, sudaryta i naturaliuju skaiciu aibes, apreta i apacios (kadir vienetu).

2. Seka{

1n

}nN apreta skaiciais 0 ir 1.

2.3. SKAI CIU SEKOS RIBOS SAVOKA. KONVERGUOJANTI SEKA 19

1 2 N n

x

y

a

y=a

y=ay=a

y=a

y=a

3

1

0n

N2

Pav. 2.2: Seka konverguoja...

Apibreimas 7 . Sakoma, kad realiuju skaiciu seka {an}nN turi riba a0 R ,jei kiekvienam > 0 atsiras toks numeris N , kad visiems numeriams n > N bus|an a0| < .

Tada skaicius a0 yra vadinamas sekos riba ir ymimas a0 = limn

an, arbaan a0. Dar tokiu atveju sakoma, kad seka konverguoja.

Teorema 2 . Tegu {an}nN realiuju skaiciu seka.Tadaa) seka {an}nN konverguoja i a0 R tada ir tik tada, kai kiekvienam > 0

visi sekos nariai, iskyrus baigtini ju skaiciu, patenka i intervala (a0 , a0 + );b) jei seka {an}nN konverguoja, tai jos riba yra vienintele;c) jei seka {an}nN konverguoja, tai ji yra apreta.

Irodymas:

a) jei seka {an}nN konverguoja i a0, tai pagal apibreima, kiekvienam > 0egzistuoja numeris N N toks, kad, pradedant nuo sekancio po jo, |an a0| < visiems n. Bet i nelygybe reikia, kad an (a0 , a0 + ) visiems naturalie-siems n, iskyrus ju baigtini skaiciu.

I kitos puses, tegu kiekvienam > 0 visi sekos {an}nN nariai, iskyrussekos pradia, priklauso intervalui an (a0 , a0 + ). Raide N paymekime

20 SKYRIUS 2. SEKOS

iskirtuju pradiniu sekos nariu skaiciu (priklausanti nuo ). Tada visiems n > Ngalios an (a0 , a0 + ), arba |an a0| < , o tai reikia sekos {an}nNkonvergavima i skaiciu a0.

b) Tarkime, kad seka {an}nN turi dvi ribas a0 ir a

0 . Pasirenkame bet koki

> 0. Egzistuoja N , N N tokie, kad jei n > N , tai an a0 < 2 ir jein > N

, tai

an a0 < 2 . Tada, kai numeris n > max{N , N }, busa0 a0 = (a0 an)+ (an a0) an a0+ an a0 = .Kadangi gali buti kiek norima maas, turi buti

a0 a0 = 0, o tai reikia,kad a0 = a

0 .

c) Tegu an a0. Tada atsiras toks N N, kad visiems n > N bus teisinganelygybe |an a0| < 1. Paymekime

M = max {1, |a1 a0| , |a2 a0| , ..., |aN a0|} .Tada |an a0| < M visiems sekos {an}nN nariams.Bet|an| |a0| |an a0|,todel|an| < M + |a0|visiems N N, o tai ir reikia, kad seka {an}nN yra apreta.

Teorema 3 . Tegu {an}nN , {bn}nN konverguojancios realiuju skaiciu sekosir limn

an = a0, limn

bn = b0.Tada:a) lim

n(an + bn) = a0 + b0;

b) limn

c an = c a0;c) lim

nan bn = a0 b0;

d) limn

1an

= 1a0

, jei an 6= 0, n = 0, 1, 2, ....

Irodymas:

a) Kadangi sekos {an}nN , {bn}nN konverguoja, tai kiekvienam > 0 eg-zistuoja naturalieji skaiciai N1, N2 tokie, kad:

visiems n > N1 |an a0| < 2 ,o visiems n > N2 |bn b0| < 2 .Todel, jei N = max {N1, N2}, tai kai n > N ,

2.3. SKAI CIU SEKOS RIBOS SAVOKA. KONVERGUOJANTI SEKA 21

|(an + bn) (a0 + b0)| = |(an a0) + (bn b0)| |an a0| + |bn b0| 2 +

2 = .

Pagal apibreima tai ir reikia, kadlimn

(an + bn) = a0 + b0.

b) pameginkite irodyti patys.

c) visu pirma, galima pastebeti, kad an bn a0 b0 = (an a0) (bn b0) +a0 (bn b0) + b0 (an a0) .

Antra, kadangi sekos {an}nN , {bn}nN konverguoja, tai kiekvienam > 0egzistuoja naturalieji skaiciai N1, N2 tokie, kad

kai n > N1, bus |an a0| N2, bus |bn b0| N , tai|(an a0) (bn b0)| = |an a0| |bn b0| N1, bus teisinga nelygybe

|an a0| < |a0|2 .

Kadangi |an a0| > |a0| |an|, turime

|a0| |an| < |a0|2 ,

arba|an| > |a0|2 visiems n > N1.

22 SKYRIUS 2. SEKOS

Kita vertus, kadangi seka {an}nN konverguoja, tai > 0 atsiras toks numerisN2, kad

|an a0| < |a20|

2 ,

kai n > N2.Paymekime N = max {N1, N2}. Tada visiems n > N 1an 1a0

= |an a0||an| |a0| < 1|an| |a0| |a20|

2 < 2|a0| |a0|

|a20|2 = ,

t.y. limn

1an

= 1a0.

Dar viena naudinga teorema.

Teorema 4 . Tegu {an}nN , {bn}nN , {cn}nN - skaiciu sekos, tokios, kad :1) an bn cn kiekvienam n N;2) lim

nan = lim

ncn = a R.

Tada limn

bn = a.

Kitaip sakant, jei seka yra "tarp" dvieju seku, turinciu ta pacia riba, tai ji konver-guoja ir jos riba sutampa su ribojanciu seku riba.

Irodymas:

Reikia irodyti, kad limn

bn = a.Tegu > 0. Pasirenkame toki numeri N , kad visiems n > N butu teisingosnelygybes |an a| < ir |cn a| < .Tai yra imanoma, kadangi pagal salyga sekos {an}nN ir {cn}nN turi riba a.Paraytos nelygybes reikia, kad

(1) < an a <

ir

(2) < cn a <

visiems n > N .Pagal teoremos salyga , an bn cn. Todel,

2.4. MONOTONIN ES SEKOS 23

x

y

1 2 3 n

c

b

a

c

b

a

c

b

a

a

12

n1

12

2

n

n

Pav. 2.3: Sekos, "suspaustos" tarp dvieju seku, teorema, kartais vadinama "poli-cininku principu".

(3) an a bn a cn a.

I nelygybiu (1), (2), (3) seka, kad < an a < bn < cn a < ,

t.y. < bn a < , o tai ekvivalentu nelygybei

|bn a| <

visiems n > N .

Taigi limn

bn = a, ka ir reikejo irodyti.

2.4 Monotonines sekosApibreimas 8 . Sakysime, kad skaiciu seka {an}nN:

a) monotonikai didejanti, jei an an+1 visiems n N;b) monotonikai maejanti, jei an an+1 visiems n N.

Visos tokios sekos vadinamos bendru monotoniniu seku vardu.

24 SKYRIUS 2. SEKOS

Pavyzdiai:

1. {n}nN naturaliuju skaiciu seka yra monotonikai didejanti.2. Sekos

{1n

}nN , {n}nN monotonikai maejancios.

3. Pastovi seka, t.y. seka, kurios nariai turi ta pacia skaitine reikme, pagalmusu apibreima yra monotonikai didejanti ir maejanti vienu metu. Taigi, dide-jimas ir maejimas suprantami ne grietaja prasme.

4. Jei seka konverguoja, tai ji yra apreta (r. ankstesniojo skyrelio pirmosiosteoremos c) dali). Taciau atvirkcias teiginys nera teisingas. Pavyzdiui, seka0, 1, 0, 1, 0, 1, ... apreta, bet ribos neturi ( kodel ?).

Monotoninems sekoms yra teisinga

Teorema 5 . Jei monotonikai didejanti seka apreta i viraus, tai ji konver-guoja. Atitinkamai, jei monotonikai maejanti seka yra apreta i apacios, tai jikonverguoja.

Irodymas:

Tegu {an}nN monotonikai didejanti, apreta i viraus skaiciu seka. Tadajos reikmiu aibe bus apreta i viraus ir ji tures tikslu virutini rei a0 (r. anks-tesniojo skyrelio teorema).Kadangi a0 virutinis reis, tai an a0 visiems n N.Kadangi a0 tikslus virutinis reis, tai > 0 intervalo (a0 , a0) vidu-je bus sekos {an}nN elementu. Kadangi seka {an}nN monotonikai di-dejanti, paskutinis pastebejimas reikia, kad atsiras numeris N toks, kad an (a0 , a0 + ) ir |an a0| = an a0 aN a0 = |aN a0| < visiemsn > N , t.y. lim

nan = a0.

Monotonikai maejanciai sekai irodymas analogikas (pameginkite irodyti).

2.5 Skaicius ePritaikysime monotoniniu seku teorema sekos {an}nN, an =

(1 + 1

n

)n konver-gavimo tyrimui.1. Seka {an}nN monotonikai didejanti.

2.5. SKAI CIUS E 25

Irodymui panaudosime Niutono binomo formule:

(a+ b)n =

= an + C1nan1b+ C2na

n2b2 + ...+ Cknankbk + ...+ Cn1n ab

n1 + bn,

kurCkn =

n (n 1) (n 2) ... (n k + 1)1 2 3 ... k =

n!(n k)!k!

binominiai koeficientai.Tada

an =(

1 +1n

)n=

= 1 + n 1n

+n (n 1)

2! 1n2

+n (n 1) (n 2)

3! 1n3

+ ...

+n (n 1) (n 2) ... 1

n! 1nn

=

= 2 +12!

(1 1

n

)+

13!

(1 1

n

)(1 2

n

)+ ...

+1n!

(1 1

n

)(1 2

n

)...

(1 n 1

n

),

an+1 = 2 +12!

(1 1

n+ 1

)+

13!

(1 1

n+ 1

)(1 2

n+ 1

)+ ...

+1

(n+ 1)!

(1 1

n+ 1

)(1 2

n+ 1

)...

(1 n

n+ 1

).

Kadangi1 k

n< 1 k

n+ 1, 0 < k < n,

kiekvienas demuo an iraikoje nevirys atitinkamo demens an+1 iraikoje; beto, an+1 turi vienu teigiamu nariu daugiau.

Taigi an < an+1 t.y. seka {an}nN monotonikai dideja.

2. an < 3,n N.

I tiesu, kadangi 1k! 12k1 ,k N,

26 SKYRIUS 2. SEKOS

(ar i tiesu taip yra?), tai

an 2 + 12 +122

+ ...+1

2n1 1 + 1

12n

1 12< 3.

Tokiu budu seka {an}nN monotonikai dideja ir apreta i viraus skaiciumi 3.3. Todel pagal irodyta teorema egzistuoja sekos {an}nN riba, kai n , kuriaymesime raide e:

e := limn

(1 +

1n

)n.

Tai yra gerai inomo skaiciaus e vienas i apibreimo budu.

Pastaba. Irodymo metu gavome skaiciaus e iverti:

2 < e < 3.

Galima irodyti, kad skaicius e yra iracionalus ir

e = 2, 71182818284....

2.6 PosekiaiApibreimas 9 . Tegu {ni}i=1 naturaliuju skaiciu (numeriu) seka ir

n1 < n2 < n3 < n4 < ...,

t.y. i seka grietai monotonikai dideja.Tada seka {ani}i=1 yra vadinama sekos {an}nN posekiu.

Jei posekis konverguoja, tai jo riba vadinsime sekos {an}nN daline riba.

Pastaba. Nesunku parodyti, kad seka turi riba tada ir tik tada, kai visi jos posekiaituri ta pacia riba.

Pavyzdiai.

2.6. POSEKIAI 27

1. Seka1,

13,15, ...,

12n+ 1

, ...

yra sekos1,

12,13,14,15, ...,

1n, ...

posekis.Visu galimu ios sekos posekiu riba yra 0 ir sutampa su sekos riba, kai n.

2. Seka 1, 0, 1, 0, 1, ... ribos neturi, kadangi ji turi du posekius, kuriu ribos yraskirtingos (suraskite juos).Teorema 6 (BolcanoVejertraso). Kiekviena apretoji seka turi konverguojantiposeki.

Irodymas:

Tegu {an}nN apreta seka. Tada atsiras segmentas [b1, c1] toks, kad

{an}nN [b1, c1] .

Daliname i segmenta i dvi lygias dalis. Kadangi seka {an}nN turi be galo daugnariu, bent vienas i naujuju segmentu, kuri ymesime

[b2, c2] ,

taip pat turi savyje be galo daug sekos {an}nN nariu.Segmenta [b2, c2] daliname dar pusiau ir [b3, c3] ymesime ta puse, kuriai pri-

klausys be galo daug sekos {an}nN nariu.Dalinimo procesa tesiame toliau. Gausime segmentu [bn, cn] seka, kur

[bn+1, cn+1] [bn, cn] .

Todel segmentu galai sudarys dvi monotonines sekas: {bn}nN didejancia ir{cn}nN maejancia.

Be to,limn

(cn bn) = 0,nes dalinimo pusiau procesas tesiamas be galo.

28 SKYRIUS 2. SEKOS

Sekos {bn}nN ir {cn}nN yra apretos, todel pagal Bolcano - Vejertraso teo-rema jos konverguoja ir

limn

cn = limn

(cn bn) + limn

bn = limn

bn = a0.

Sukonstruosime dabar reikalaujama sekos {an}nN poseki. Tam segmente [b1, c1]pasirenkamas bet koks sekos {an}nN elementas an1;

segmente [b2, c2], kadangi jam priklauso be galo daug sekos {an}nN nariu,surandame kita elementa an2 su numeriu n2 > n1 ir t.t.

I konstrukcijos matyti, kadlimi

ani = a0,

t.y. posekis {ani}i=1 konverguoja.Apibreimas 10 . Sakysime, kad seka {an}n=1 R:

a) neapretai dideja , jei kiekvienam A > 0 N N toks, kad an > Avisiems n > N .

b) neapretai maeja, jei kiekvienam A > 0 N N toks, kad an < Avisiems n > N .

a) atveju ymimalimn

an = +,b) atveju ymima

limn

an = .

Tegu {an}n=1 R bet kokia skaiciu seka. Jeigu ji bus apreta, tai, kaip mesirodeme, butinai tures bent viena daline riba.

Galima irodyti, kad apretos sekos {an}nN daliniu ribu tarpe bus maiausiadaline riba ir didiausia daline riba.

Apibreimas 11 . Didiausia sekos {an}nN daline riba ymima limnan irvadinama sekos virutine riba;

maiausia daline riba ymima limnan ir vadinama apatine sekos {an}nNriba.

Pastaba apie sekos konvergavima performuluojama taip: seka {an}nN kon-verguoja tada ir tik tada , kai

limnan = limnan.

2.7. KOI SEKOS 29

Bendru atveju, kai seka nebutinai apreta, i jos galima iskirti arba konverguo-janti, arba neapretai didejanti poseki. Pastaruoju atveju ymejimu lim ir limpanaudojimas ipleciamas , raant

limnan = +,

jei egzistuoja neapretai didejantis posekis, beilimnan = ,

jei egzistuoja neapretai maejantis posekis.

2.7 Koi sekosApibreimas 12 . Sakysime, kad seka {an}n=1 R yra Koi seka, arba funda-mentalioji seka, jei > 0 egzistuoja numeris N toks, kad visiems n,m > N yrateisinga nelygybe

|an am| < .

Teorema 7 (Sekos konvergavimo Koi kriterijus ).a) konverguojanti seka yra Koi seka;

ir atvirkciai,

b) kiekviena Koi seka konverguoja.

Irodymas:

a) Tegu > 0, o {an}nN Koi seka. Tada, pagal Koi sekos apibreima,atsiras naturalusis skaicius N toks, kad visiems n,m > N bus

|an am| < ,

arba|an| = |an am + am| |an am| < + |am| ,

kai m,n N.Fiksuojamem. Tada sekos aN+1, aN+2, ..., aN+k, ... nariu moduliai bus apreti

skaiciumi + |am|.

30 SKYRIUS 2. SEKOS

Kita vertus, kadangi nariu a1, a2, ..., aN yra N , t.y. baigtinis skaicius, tai tarpju yra narys, kurio modulis bus didiausias. Todel, jei paymesime raide

A = max {|a1| , |a2| , ..., |aN | , |am|+ } ,

visa seka {an}nN bus apreta skaiciais A i abieju pusiu. Bet tada, pagalBolcano-Vejertraso teorema, i seka tures konverguojanti poseki {ank}k=1.

Tegua = lim

kank .

Irodysime, kad skaicius a bus visos sekos {an}n=1 riba.Visu pirma, kadangi posekis konverguoja, tai kiekvienam > 0 K N

toks, kadk > K |a ank | < k.

Prisiminkime, kad musu seka yra Koi seka, todel (r. a) dalies irodymo pradia)tam paciam yra toks N N, kad kai n ir nk > N bus

|an ank | < ,ir

|an a| |an ank |+ |a ank | < 2,o tai reikia, kad seka {an}nN konverguoja.

b) Tegu seka {an}nN konverguoja ir jos ribaa = lim

nan.

Pasirenkame bet koki > 0. Jam atsiras numeris n N toks, kad

|an a| < 2 ,

jeigu tiktai n > N .Kai n,m > N , tai

|an am| |an a|+ |a am| < ,

t.y. {an}nN bus Koi seka.

Skyrius 3

Funkcija ir funkcijos tolydumas

3.1 Funkcijos savokaFunkcija f : A B tai taisykle, kurios pagalba elementui x A priskiriamaselementas y B. Raoma

y = f (x) .

ymejimai:

D (f) A funkcijos f apibreimo sritis, t.y. aibe, kurios kiekvienamelementui x priskiriamas lygiai vienas aibes B elementas f (x);

R (f)funkcijos reikmiu sritis, t.y. aibe visu f (x), kur x D (f).

Realaus kintamojo funkcija vadinsime funkcija f : R R.

Tarp pastaruju funkciju iskiriama elementariuju funkciju klase. Jai priklau-so laipsnine, rodikline, logaritmine, trigonometrines, atvirktines trigonometrinesfunkcijos bei ju superpozicijos.

Dar keletas danai pasitaikanciu funkciju, kurios nevadinamos elementario-siomis:1.

sgn x =

1, jei x > 00, jei x = 01, jei x < 0.31

32 SKYRIUS 3. FUNKCIJA IR FUNKCIJOS TOLYDUMAS

Paymetina, kad |x| = x sgn x.

2. Dirichle funkcijaf (x) =

{1, jei x Q0, jei x 6 Q.

ios funkcijos reikmiu aibe turi tik du elementus 0 ir 1, t.y. R (f) = {0, 1} .

3. f (x) = [x] skaiciaus x sveikoji dalis, t.y. ne didesnis u x, jam artimiausiassveikasis skaicius. iuo atveju, R (f) = Z.

4. f (x) = {x} skaiciaus x trupmenine dalis : {x} := x [x] . Cia R (f) =[0, 1).

Praktiniuose udaviniuose atsirandancios funkcijos vaizduojamos lenteliu ar-ba grafiku pagalba.

3.2 Funkcijos ribaApibreimas 13 . Sakysime, kad skaicius b R yra funkcijos f riba take a, jeikiekvienai sekai {xn}n=1 tokiai, kad xn 6= a visiems n ir

limn

xn = a,

iplaukialimn

f (xn) = b.

ymimab := lim

xaf (x) .

Pavyzdiai:

1. Tegu f(x) = 1 visiems x R.

i funkcija turi riba kiekvienam a R.I tiesu, tegu {xn}n=1- skaiciu seka tokia, kad limnxn = a.Tada

limn

f (xn) = limn

1 = 1,

3.2. FUNKCIJOS RIBA 33

arbalimxa

f (x) = 1.

2. f(x) = x.

ios funkcijos ribalimxa

f (x) = limxa

x = a,

t. y. sutampa su a kiekvienam a R.3. Funkcija, neturinti ribos ne viename take.Tai Dirichle funkcija. Noredami ta parodyti, pastebesime, kad kiekvienam

skaiciui a R galima surasti racionaliuju skaiciu seka {xn}n=1 ir iracionaliujuskaiciu seka

{xn

}n=1 tokias, kad

limn

xn = lim

nxn = a.

Tadalimn

f(xn

)= 1 6= 0 = lim

nf(xn

),

t. y. take a Dirichle funkcija ribos neturi.Teorema 8 . Take a funkcija f turi ne daugiau kaip viena riba .

Irodymas:

Tegu b1, b2 funkcijos f ribos take a. Tegu seka {xn}n=1 konverguoja irlimn

xn = a.Tada

b1 = limn

f (xn) = b2,

kadangi seka gali tureti tik viena riba (r. anksciau irodyta teorema apie seku ribusavybes).Teorema 9 . Tegu lim

xaf (x) = A, lim

xag (x) = B, kur A,B R.

Tada:a) lim

xa[f (x) + g (x)] = A+B;

b) limxa

f (x) g (x) = A B;c) lim

xaf (x) /g (x) = A/B,

jei B 6= 0.


Irodymas:

a) Tegu {xn}n=1 bet kuri seka tokia, kad limnxn = a ir xn 6= a, kur n N.Tada

limxa

[f (x) + g (x)] = limn

[f (xn) + g (xn)] =

(pagal seku sumos savybe )= lim

nf (xn) + lim

ng (xn) = A+B.

b), c) tvirtinimu irodymai panaus i pastaraji.Pastaba (kitas funkcijos ribos apibreimas). Sakoma, kad funkcija f turi riba

b take x = a, jei kiekvienam > 0 egzistuoja skaicius > 0 toks, kad, jei|x a| < , x 6= a,

tai|f(x) b| < , (aiku, x D(f)).

Galima irodyti, kad toks funkcijos ribos apibreimas yra ekvivalentus ankstes-niajam.

Geometrikai naujas apibreimas reikia, kad koks maas bebutu intervalas(b , b + ), visada atsiras intervalas (a , a + ) su centru take a toks, kadfunkcija f tame intervale, imetus i jo taka a, igyja reikmes tik i intervalo(b , b+ ) . Tai ir pateisina funkcijos ribos pavadinima.

3.3 Funkcijos tolydumasJeigu funkcija f turi riba b take a, tai dar nereikia, kad f(a) = b. Gali buti, kadfunkcija f nera apibreta take a; gali buti, kad f apibreta take a, bet f(a) 6= b.

Pavyzdys:

f (x) ={

0, jei x 6= 01, jei x = 0.

Funkcija f turi riba take x = 0 ir limx0

f (x) = 0 , bet f(0) = 1.

3.3. FUNKCIJOS TOLYDUMAS 35

1

y

x0

Pav. 3.1: Funkcija, turinti riba trukio take.

Apibreimas 14 . Sakysime, kad funkcija f yra tolydi take x = a, jei ji turi ribatame take, sutampancia su funkcijos reikme, t. y. jei

limxa

f (x) = f (a) .

Pavyzdiai:

1. f(x) = x tolydi kiekviename take a R, kadangi limxa

f (x) = limxa

x =

a = f (a).2. f(x) = sgn x nera tolydi take 0, nes lim

x0sgn x neegzistuoja.

3. Del tos pacios prieasties Dirichle funkcija nera tolydi nei viename takea R.Teorema 10 (sudetines funkcijos tolydumas take).

Tegu A,B,C aibes R poaibiai (atskiru atveju, intervalai). Tegu f : A B, g : B C, o sudetine funkcija h : A C apibreiama formule h(x) =g(f(x)).

Jei funkcija f yra tolydi take a, o funkcija g yra tolydi take f(a), tai funkcijah bus tolydi take a.

Irodymas:

Tegu {xn}n=1 priklauso funkcijos f apibreimo sriciai ir limnxn = a . Ka-dangi funkcija f tolydi take a, tai

limn

f (xn) = f (a) .


Kadangi funkcija g tolydi take f(a), tai

limn

g (f (xn)) = g (f (a)) ,

arbalimn

h (xn) = h (a) ,

ka ir reikejo irodyti.

Pastaba.

Kartais sakoma, kad funkcija h : A C paskutineje teoremoje yra funkcijug ir f kompozicija, arba superpozicija.

ymima h = g f .

Apibreimas 15 . Sakysime, kad funkcija f : (a, b) R - tolydi intervale (a, b),jei ji yra tolydi kiekviename intervalo (a, b) take.

Teorema 11 . Tegu f, g tolydiosios intervale (a, b) funkcijos. Tada ir funkcijosf + g, f g, fupslopeg bus tolydios intervale (a, b). Paskutiniu atveju reikalaujama,kad g (x) 6= 0, kai x (a, b) .

Irodymas:

Fiksuojame taka c (a, b) . Remiantis dvieju funkciju sumos ribos savybe(r. ankstesniji skyreli), galima rayti

limxc

[f (x) + g (x)] = limxc

f (x) + limxc

g (x) =

(kadangi f ir g tolydios take c )

= f (c) + g (c) = (f + g) (c) ,

t.y. suma f + g tolydi funkcija take c , o, kadangi takas c bet koks, taif+g yra tolydi visame intervale (a, b). Funkciju f g ir fupslopeg tolydumas irodomasanalogikai.

3.4. FUNKCIJOS TR UKIAI 37

3.4 Funkcijos trukiaiTegu funkcija f apibreta tako c aplinkoje, iskyrus nebent pati taka. Jeigufunkcija f nera tolydi take c, tai sakoma, kad iame take funkcija f turi truki.Prie klasifikuodami galimus funkcijos trukius , apibreime funkcijos f riba takec i deines ir i kaires.

Apibreimas 16 . Tegu funkcija f apibreta intervale (a, b) iskyrus galbut takac. Tegu a c < b. Funkcijos f riba take c i deines vadinsime skaiciu d (susalyga, kad jis egzistuoja) toki, kad visoms sekoms

{xn}n=1 (c, b) , limnxn = c,butu teisinga

limn

f (xn) = d.

ymima: f (c+ 0) := d, arba limxc+0

f (x) := d.

Tegu a < c b. Funkcijos f riba take c i kaires vadinsime skaiciu d toki,kad visoms sekoms

{xn}n=1 (a, c) , limnxn = c,butu

limxc0

f (x) := d (6=) .

ymima: f (c 0), arba limxc0

f (x) := d ( 6=) .

Kad funkcija f turetu riba take c, butina ir pakankama, kadlimxc

f (x) = f (c+ 0) = f (c 0) .

3.4.1 Trukiu klasifikacijaApibreimas 17 . Tegu funkcija f apibreta intervale (c, b) iskyrus galbut takac ir nera tolydi take c.

Sakysime, kad funkcija take c turi pirmosios ruies truki, jeif (c+ 0)


-1 1

y

x

1

-1

Pav. 3.2: Funkcija, kurios trukiai yra pirmosios ruies.

jei, priedo, f (c+ 0) = f (c 0), t.y. jei funkcija f turi riba take c (bet neraapibreta jame), sakysime, kad trukio takas yra paalinamas. Jei trukis nerapirmosios ruies, tai sakoma, kad jis - antrosios ruies trukis.

Pavyzdiai:

1. Funkcija

f (x) ={

x, kai |x| > 1x, kai |x| 1.

bus tolydi kiekviename take x 6= 1. Takuose x = 1 ir x = 1 ji turespirmosios ruies truki. I tiesu,

f (1 0) = 1, f (1 + 0) = 1, f (1 0) = 1, f (1 + 0) = 1.

2. Dirichle funkcija

f (x) ={

1, kai x Q0, kai x 6 Q.

kiekviename take c tures antrosios ruies truki, kadangi riba nei i kaires, nei ideines neegzistuoja .

Tam pakanka surasti dvi xu sekas, konverguojancias i nuli, kurioms pritaikiusfunkcija f , gautume skirtingas ribas. Tegu xn = 1n , o xn =

2n.

Tada limn

xn = lim

nxn = 0,

bet

3.5. MONOTONIN ES FUNKCIJOS 39

limn

f(xn

)= 1, o lim

nf(xn)

= 0,

kadangi xn racionalusis, o xn iracionalusis skaicius.

3.f (x) =

{sin 1

x, kai x 6= 0

0, kai x = 0.

i funkcija tolydi visiems x 6= 0, nes kai x = 0 ji yra funkciju (tolydiu kiekvie-name take x 6= 0) sin y ir y = 1

xsuperpozicija.

Kai x = 0, funkcija turi antrosios ruies truki. Norint ta parodyti, pakankarasti dvi xu sekas, konverguojancias i 0, kad

limn

f(xn

)6= lim

nf(xn).

Pvz., tegu xn = 12pin , xn =

1pi(2n+12) .

Tada

limn

xn = lim

nxn = 0, x

n, x

n > 0,

o

limn

f(xn

)= lim

nsin 2pin = 0, lim

nf(xn)

= limn

sin (2pin+ piupslope2) = 1.

3.5 Monotonines funkcijosApibreimas 18 . Sakoma, kad funkcija f monotonikai dideja intervale (a, b),jei

x1 < x2 = f (x1) f (x2) ;funkcija f grietai monotonikai dideja, jei

x1 < x2 = f (x1) < f (x2) ;funkcija f monotonikai maeja intervale (a, b), jei

x1 < x2 = f (x1) f (x2) ;


y

xc

Pav. 3.3: Monotonine funkcija gali tureti tik pirmosios ruies trukius.

funkcija f grietai monotonikai maeja intervale (a, b), jei

x1 < x2 = f (x1) > f (x2)visiems x1, x2 (a, b) .

Monotonines funkcijos pasiymi idomiomis savybemis, kuriu, deja, mes ne-irodinesime.

Teorema 12 . Monotonine funkcija gali tureti tik pirmosios ruies trukius.

Mums bus svarbi teorema apie monotonines funkcijos atvirktine funkcija.Tegu funkcija f apibreta segmente [a, b] ir igyja reikmes segmente [, ]. Tadatakui x i [a, b] yra priskiriamas takas f (x) [, ]. Jei funkcija f pasiymi tuo,kad f (x1) 6= f (x2), kai x1 6= x2, galima apibreti nauja funkcija f1, kuri takuif (x) [, ] priskiria taka x [a, b]. Taigi, jei y = f (x), tai f1 (y) = x.Galima irodyti, kad jei funkcija f grietai monotonine, tai ir funkcija f1 busgrietai monotonine. Priedo, jei f didejanti, tai ir f1 bus didejanti funkcija.

Teorema 13 (apie funkcija, atvirktine grietai monotoninei tolydiajai funkci-jai).

3.5. MONOTONIN ES FUNKCIJOS 41

Tegu f : [a, b] [, ] grietai monotonine ir tolydi funkcija ir f (a) =, f (b) = . Tada atvirktine funkcija f1 : [, ] [a, b] egzistuoja ir yratolydi.


y

x0

Pav. 3.4: Parabole

3.6 Keli funkciju pavyzdiaiFunkcija f (x) = xn, x N.

Funkcija apibreiama sandaugos xn = x x ..... x (n - kartu) pagalba. Josapibreimo sritis

D (f) = R,o kitimo sritis

R (f) = {x|x 0} ,kai n lyginis ,ir

R (f) = R,kai n nelyginis.

Pavyzdiai.

1. f (x) = x2.ios funkcijos grafikas yra parabole (pav. 3.4 ).

2. f (x) = x3.ios funkcijos grafikas kartais vadinamas kubine parabole (pav. 3.5 ).

Funkcijos f (x) = xn savybes:a) kiekvienam x = a > 0, segmenta [0, a] funkcija f atvaizduoja i segmenta[0, an].

b) funkcija f (x) = xn yra tolydi kiekviename take x R, nes yra tolydiujufunkciju g (x) = x sandauga;

3.6. KELI FUNKCIJU PAVYZDIAI 43

x

y

0

Pav. 3.5: "Kubine parabole"

c) f (x) = xn grietai monotonikai dideja segmente [0, a] , a > 0.I tiesu, tegu 0 < x1 < x2. Tada

f (x2) f (x1) = xn2 xn1 =

= (x2 x1)(xn12 + x

n22 x1 + ...+ x2 xn21 + xn11

)> 0.


x

y

0

Pav. 3.6: Funkcija f (x) = x.

Funkcija f (x) = xmn , m, n N.Segmente [0, a] grietai monotonikai didejanti funkcija xn turi atvirktine,

taip pat grietai monotonikai didejancia tolydia funkcija (r. skyriu apie mo-notonines funkcijas). Naujoji funkcija bus apibreta segmente [0, a] kiekvienama > 0, todel jos apibreimo sritis intervalas [0,) (pav. 3.6 ).

Jos ymejimas:x

1n .

Sudaugine tarpusavyje m funkciju x 1n , turesime funkcija, kuri yra ymima xmn .

Funkcijos f (x) = xmn savybes:a) funkcijos apibreimo sritis [0,);b) funkcija grietai monotonikai dideja ir tolydi intervale [0,).Funkcija f (x) = xp, kai p bet koks racionalusis skaicius.

Visu pirma apibreiame, kad

x0 := 1

visiems x > 0.

Jei p neneigiamas racionalusis skaicius, laipsnis xp buvo apibretas aukciau.

Jei p neigiamas racionalusis skaicius, tai xp apibreiamas lygybe

xp := 1/xp

visiems x > 0.


y

x-4 -2 2 4

4

2

-2

-4

0

a>1

Pav. 3.7: Funkcija f (x) = ax kai a > 1.

Funkcija f (x) = ax.Tegu a > 1.Remiantis ankstesniais punktais, galima apibreti funkcija f (x) = ax racio-

naliems x. Racionaliems x, y yra teisingos lygybes:

ax+y = ax ay; axy = ax/ay.

Be to, jei x < y, tai ax < ay (a > 1!) visiems x, y Q.Apibreime ax, kai x teigiamas iracionalusis skaicius.Tegu {xn}n=1 monotonikai didejanti racionaliuju skaiciu seka tokia, kad

limn

xn = x.

Pavyzdiui, noredami gauti sekos nari xn, galime parinkti skaiciaus x idestymodeimtaine trupmena sveikaja dali ir n skaitmenu po kablelio. Analogikai gali-ma surasti seka {yn}n=1, kuri monotonikai maeja, yra sudaryta i racionaliujuskaiciu ir

limn

yn = x.

Tada seka {axn}n=1 monotonikai dideja ir apreta i viraus. Seka {ayn}n=1monotonikai maeja ir apreta i apacios.

I konstrukcijos seka, kadlimn

axn = limn

ayn .

ia riba ir laikysime funkcijos ax reikme take x, kai x > 0.


y

x-4 -2 2 4

4

2

-2

-4

0

a 1; .

I funkcijos f (x) = ax apibreimo, kai 0 < a < 1, seka, kad i funkcija yragrietai monotonikai maejanti ir tolydi visiems x R.b)

ax+y = ax ay;(ax)y = axy;

ax bx = (a b)x ,kai a, b > 0.


y

x-4 -2 2 4

4

2

-2

-4

0

a>1

Pav. 3.9: Logaritmine funkcija f (x) = loga x, kai a > 1y

x-4 -2 2 4

4

2

-2

-4

0

a 1, maeja,

jei a < 1 ir tolydi kiekviename segmente [, ], kai , < . Todel ji turiatvirktine funkcija, ymima loga x, kuri yra tolydi intervale (0,) ( primename,kad butent is intervalas yra funkcijos ax reikmiu sritis).Funkcijos f (x) = loga x savybes:a) Jei a > 1, funkcija loga x yra grietai monotonikai didejanti intervale (0,);b) loga x y = loga x+ loga y.

Pastaba. Kai a = e, logaritmine funkcija ymima lnx := loge x ir vadinamanaturaliuoju logaritmu.


y

x-4 -2 2 4

4

2

-2

-4

0

Pav. 3.11: Hiperbolinis sinusas

y

x-4 -2 2 4

4

2

-2

-4

0

Pav. 3.12: Hiperbolinis kosinusas

Hiperbolines funkcijos.Taia) hiperbolinis sinusas:

sh x := ex ex

2;

b) hiperbolinis kosinusas:ch x := e

x + ex

2;

c) hiperbolinis tangentas:th x := sh x

ch x;

d) hiperbolinis kotangentas:

cth x := ch xsh x

.


y

x-4 -2 2 4

4

2

-2

-4

0

1

-1

Pav. 3.13: Hiperbolinis tangentas

y

x-4 -2 2 4

4

2

-2

-4

0

1

-1

Pav. 3.14: Hiperbolinis kotangentas


Hiperboliniu funkciju savybes:a) apibreimo sritis visa realiuju skaiciu aibe, tik hiperbolinis kotangentas ne-apibretas take x = 0.b) funkcijos yra tolydios savo apibreimo srityje: tai seka i funkcijos ex tolydu-mo.


y

x-4 -2 2 4

4

2

-2

-4

0 1

1 a=0

a>1 a=1

0


y

x-4 -2 2 4

4

2

-2

-4

0

Pav. 3.16: Laipsnines funkcijos pavidalas, kai rodiklis - neigiamas.

x

0 B

A

C

Pav. 3.17: Trigonometriniu funkciju apibreimas.

42-2-4

1

0

-1

y

x

Pav. 3.18: Sinusas nelygine funkcija


42-2-4

1

0

-1

x

y

Pav. 3.19: Kosinusas lygine funkcija.

0

y

x-1.57.. 1.57...

Pav. 3.20: Tangentas turi antrosios ruies trukius.

Funkciju f (x) = sinx ir f (x) = cosx savybes:

a) Tai periodines funkcijos, kuriu periodas 2pi, apibretos aibeje R.

b) Jei , R, tai

sin ( + ) = sin cos + cos sin ,

cos ( + ) = cos cos sin sin ;

c) sin 0 = 0, cos 0 = 1, sin pi2 = 1, cos pi2 = 0.

d) Jei 0 < x < pi2 , tai 0 < sinx < x < tg x.

d) savybes irodymas:


y

x0 3.141-3.141

Pav. 3.21: ...kotangentas taip pat.

Tegu skritulio spindulys OD = OC = 1. Tada skritulio sektoriaus ODC plo-tas lygus x/2. Trikampio ODC plotas lygus OC DB/2 = sinx/2. TrikampiaiODB ir OAC panaus ( kongruentus ).

TodelOB

BD=OC

AC,

arba

AC = (OC OB) /OB = tg x.Trikampio OAC plotas lygus tg x/2. Bet ( r. breini) trikampio OCD plotas

yra maesnis nei skritulio sektoriaus OCD plotas, kuris savo ruotu maesnis utrikampio OAC plota. I to seka 4 - toji savybe.e) Funkcijos f (x) = sinx, f (x) = cosx yra tolydios realiuju skaiciu aibeje R.

Patikrinsime, pavyzdiui, kad sinusas yra tolydi funkcija.Tegu x0 realusis skaicius ir tegu lim

nxn = x0.

Tada

limn

sinxn = sinx0+ limn

(sinxn sinx0) = sinx0+2 limn

[sin

xn x02

cos xn + x02

].

Kadangi1 cos xn + x0

2 1

visiems n,


x

0 BC

D

A

1

Pav. 3.22: Nelygybe, siejanti sinusa, tangenta ir funkcija f (x) = x.

o

|xn x0|2

sin |xn x0|2

|xn x0|2

pradedant pakankamai dideliu numeriu N , tai

limn

|xn x0|2

limn

[sin

xn x02

cos xn + x02

] lim

n|xn x0|

2.

Bet limn

|xn x0| = 0, todel

limh

sinxn = sinx0,

t.y. funkcija f (x) = sinx yra tolydi take x0.Funkciju f (x) = tg x ir f (x) = ctg x savybes:a) D (tg ) = {x | x 6= pi2 + pin} ,

D (ctg ) = {x | x 6= pin} ,kur n sveikasis skaicius.

b) Savo apibreimo srityse funkcijos f (x) = tg x ir f (x) = ctg x yra tolydios.


-1 1

-1.57

1.57

x

y

Pav. 3.23: f (x) = arcsinx

Atvirktines trigonometrines funkcijos.Funkcija f (x) = arcsinx.

Segmente[pi2 , pi2 ] funkcija sin turi atvirktine funkcija, kuri ymima arcsin.

iame segmente f (x) = arcsinx bus tolydioji funkcija.Funkcija f (x) = arccosx.

Segmente [0, pi] funkcija cos turi atvirktine tolydiaja funkcija, kuri ymimaarccos.

Funkcija f (x) = arctg x.Tai funkcija, atvirktine tangentui intervale [pi2 , pi2 ] .Funkcija arctg apibreta ir tolydi visiems realiesiems x.

Funkcija f (x) = arcctg x.Tai funkcija, atvirktine kotangentui intervale (0, pi), tolydi visiems realie-

siems x.


3

2

1

y

x0-1 1

Pav. 3.24: f (x) = arccosx

1.57

-1.57

y

x

Pav. 3.25: Funkcija f (x) = arctg x

y

x01.57

Pav. 3.26: f (x) = arcctg x


3.7 Elementariosios funkcijosFunkcijos, nagrinetos ankstesniame skyrelyje, yra tolydios savo apibreimo sri-tyje. ia savybe turi ir tokiu funkciju baigtines aritmetines kombinacijos bei su-perpozicijos. Minetos funkcijos vadinamos elementariosiomis funkcijomis.

Pavyzdiai:

1. f(x) = tg sin e 1x .

2. f(x) = x2 + 2x + x2x .

3.8 Kai kuriu funkciju ribos take x = 01. lim

x0sinxx

= 1.

Irodymas:

Kadangi (r. praeita skyreli)

0 < sinx < tg x,

kai 0 < x < pi2 , tai

cosx 0.

Tarkime, kad kiekvienoje tako x = a aplinkoje atsiras taku, kuriuose funk-cija f yra neigiama arba lygi nuliui. Tada ir atkarpoje (a 1

n, a+ 1

n

)bus takas

xn toks, kadf (xn) 0.

Tai bus teisinga visiems n N. Pastebesime, kad limn

xn = a. Vadinasi, turi butiir f (a) = lim

nf (xn) 0, o tai neimanoma, kadangi f (a) > 0.

Teorema 15 . Tegu f tolydi segmente [a, b] funkcija ir reikmes f (a) , f (b) skirtingu enklu. Tada segmento viduje atsiras takas toks, kad f () = 0.

Irodymas:

Tegu f (a) < 0, f (b) > 0. Iveskime paymejima

3.9. KELIOS ATKARPOJE TOLYDIU FUNKCIJU GEOMETRIN ES SAVYB ES61

( )

a

y

x

f(x)>0

Pav. 3.28: Tolydioji funkcija nekeicia enklo tako aplinkoje.

A := {x [a, b] |f (x) < 0}.i aibe nebus tucia, kadangi jai priklauso pats takas a. Kita vertus, aibe A

apreta i viraus, taigi turi tiksluji virutini rei (r. atitinkamo skyrelio teorema),kuri ymesime raide .

Pastebesime, kad butinai (a, b). Jei butu = b, tai taipogi butu f () =f (b) > 0, o tai neimanoma, remiantis ankstesne io skyrelio teorema . Isitikinsi-me, kad f () = 0. Jei butu f () > 0, tai pagal pirmaja teorema atsirastu tako aplinka ( , + ), kurioje f enklas butu pliusas, o tai reiktu, kad nega-li buti aibes A tiksliuoju virutiniu reiu. Analogikai nagrinejamas atvejis, kaif () < 0. Taigi f () = 0.

Teorema 16 . Tolydi segmente [a, b] funkcija f yra apreta. (|a| , |b| n. Seka {xn}n=1 apreta skaiciais a ir b. Todelpagal BolcanoVejertraso teorema ji turi poseki {xnk}k=1, konverguojanti i takax0 [a, b]. Funkcija f pagal teoremos salyga bus tolydi take x0, taigi

f (x0) = limk

f (xnk) =,


a b x

y

f(b)>0

f(a) 0 toks, kad f (x) M visiems x A. Skaicius M yravadinamas funkcijos f virutiniuoju reiu aibeje A. Galima parodyti, kad tarpvirutiniu funkcijos f reiu yra pats maiausias, kuris ymimas sup

xAf (x) .

Analogikai apibreiama funkcijos, apretos i apacios aibeje A, savoka. Di-diausias tarp apatiniu funkcijos f reiu ymimas inf

xAf (x) . Funkcija vadinama

apreta aibeje A, jei M > 0 : |f (x)| M.

3.9. KELIOS ATKARPOJE TOLYDIU FUNKCIJU GEOMETRIN ES SAVYB ES63

Aiku, kad funkcija bus apreta aibeje A tada ir tik tada, kai ji bus apreta ir iviraus, ir i apacios.

Taigi, f (x) = sinx apreta realiuju skaiciu aibeje funkcija, funkcija f (x) =x2 apreta toje pacioje aibeje i apacios, o funkcija f (x) = tg x neapretaintervale

(pi2 , pi2 ).Teorema 17 . Tolydi segmente [a, b] funkcija f igyja iame segmente didiausiair maiausia savo reikmes.

Pastaba. Didiausia funkcijos f reikme aibeje A yra vadinamas skaicius Mtoks, kad:

1. f(x0) = M kokiam nors x0 A;2. f(x) f(x0) visiems x A.

Didiausia funkcijos reikme yra ymima max f(x) ir vadinama funkcijos fmaksimumu aibeje A.

Analogikai apibreiamas dydis min f(x), vadinamas funkcijos f minimumu,arba maiausia reikme aibeje A.

Todel, turint galvoje priepaskutine teorema, paskutine teorema galima for-muluoti ir taip:

Tolydiai segmente [a, b] funkcijai galioja lygybessup f(x) = max f(x), inf f(x) = min f(x).

Funkcija f(x) = tg x, kaip jau minejome, nera apreta intervale (pi2 , pi2 ), taciau ifunkcija yra apreta kiekviename segmente [a, b], jeigu a > pi2 , b < pi2 . Tokiamesegmente maksimali tangento reikme bus tg b, o minimali tg a.

Teoremos irodymas:

Irodysime, kad funkcija f igyja didiausia reikme segmente [a, b]. Tarkimeprieingai. Tada

f(x) < M

visiems x [a, b] (r. priepaskutiniaja teorema) ir galima laikyti, kad M yratikslus virutinis funkcijos f reis aibeje [a, b].

Tada aibeje [a, b] bus apibreta tolydioji funkcija

F (x) =1

M f (x) .


Funkcija F (x), savo ruotu, bus apreta aibeje [a, b] funkcija (vel tos pacios teo-remos ivada), todel atsiras skaicius B > 0 toks, kad

F (x) =1

M f (x) B

visiems x [a, b], arba

f (x) M 1B

visiems x [a, b] .

Bet tai reiktu, kad M negali buti tikslus virutinis reis.

Gavome prietaravima, i kurio seka, kad funkcija f igyja maksimalia reikmesegmente [a, b].

Irodymas tinka ir funkcijai (f), o tai reikia, kad funkcija f igyja segmente[a, b] ir minimalia savo reikme.

Skyrius 4

Funkcijos ivestine

4.1 Ivestines savokaFunkcija f turi ribine reikme take x0, jei egzistuoja riba lim

xx0f (x).

Funkcija f yra tolydi take x0, jeigu papildomai,limxx0

f (x) = f (x0) .

Ta galima perrayti ir taip:

limxx0

[f (x) f (x0)] = 0.

Isivedus paymejima x := x x0, ia lygybe galima perrayti dar kitaip:lim

x0[f (x0 + x) f (x0)] = 0.

Skirtumas f (x0 + x) f (x0) yra vadinamas funkcijos f pokyciu take x0, ati-tinkanciu argumento pokyti x.

Taigi galima pasakyti taip: funkcija f yra tolydi take x0 tada ir tik tada, jeigufunkcijos pokytis take x0 nyksta kartu su argumento pokyciu.

O ka galima pasakyti apie pokyciu santykio riba

limx0

f (x0 + x) f (x0)x

?

Po ribos enklu yra neapibetumas, kurio pavidalas 00 . Kaip jau esame patyre,tokia riba danai neturi prasmes.

65

66 SKYRIUS 4. FUNKCIJOS IVESTIN E

Apibreimas 20 . Jeigu baigtine riba egzistuoja, sakoma, kad funkcija f turiivestine take x0.

Ivestine ymimaf (x0) , arba

df

dx(x0) .

Taigi,

f (x0) := limxx0

f (x) f (x0)x x0 .

Funkcijos f deinine ivestine take x0 apibreiama kaip

f d (x0) := limxx0+0

f (x) f (x0)x x0 ,

o kairine ivestine take x0:

f k (x0) := limxx00

f (x) f (x0)x x0 ,

Pastarosios dvi savokos leidia kalbeti apie funkcijos f ivestine segmento [a, b]galuose.

Pavyzdiai:

1. f(x) = x. Tegu x0 koks nors realusis skaicius. Tada

limxx0

f (x) f (x0)x x0 = limxx0

x x0x x0 = 1,

t.y. funkcijos f ivestine take x0 egzistuoja irf (x0) = 1.

2. f(x) = c, kur c konstanta, t.y. pastovus skaicius. Tada duotam skaiciui x0

funkcijos f ivestine yra lygi

f (x0) = limxx0

c cx x0 = 0.

3. f(x) = sinx. Skaiciuojame funkcijos f ivestine take x0:

4.1. IVESTIN ES SAVOKA 67

f (x0) = limxx0

sinx sinx0x x0 = 2 limxx0

sin xx02 cos x+x02x x0 =

= limxx0

sin xx02xx0

2

limxx0

cosx+ x0

2= cosx0,

o tai rodo, kad(sinx) = cosx,

koks bebutu takas x.Analogikai gaunama formule

(cosx) = sinx.

4. f (x) = xn, kur n naturalusis skaicius.Fiksuojame skaiciu x0.Tada

f (x0) = limxx0

xn xn0x x0 =

= limxx0

[xn1 + xn2 x0 + xn3 x20 + ...+ xn10

]= nxn10 .

Tokiu budu, visiems naturaliesiems n

(xn) = nxn1.

Pastaba. Paskutine formule teisinga ir tada, kai rodiklis n yra bet koks realusisskaicius.

5. f (x) = ex. Fiksuojame x0.Tada

f (x0) = limxx0

ex ex0x x0 = e

x0 limxx0

exx0 1x x0 = e

x0 .

Taigi,(ex) = ex.

6. f (x) = lnx. Tegu x0 > 0.Tada, paymeje t := x

x0 1, turesime


f(x )

f(x)

x

0

x0

Pav. 4.1: Funkcijos ivestine take yra lygi tangentui kampo, kuri sudaro funkcijosgrafiko liestine tame take ir x teigiamoji pusae.

f (x0) = limxx0

lnx lnx0x x0 =

1x0

limxx0

ln xx0

xx0 1 =

=1x0

limt0

ln (t+ 1)t

=1x0,

t.y.(lnx) =

1x.

4.2 Ivestines geometrine prasmeTegu x, x0 du x aies takai. XY ploktumos takai (x, f (x)) , (x, f (x0)) , (x0, f (x0))yra staciojo trikampio virunes. Kirstine, kuriai priklauso trikampio iambine, sux aies teigiamaja kryptimi sudaro kampa , kuriam

tg = f (x) f (x0)x x0 .

Kai x x0, santykis, esantis deineje lygybes puseje, arteja prie funkcijos fivestines take x0, o kirstines tieses arteja prie tieses, vadinamos funkcijos fgrafiko liestine take x0.

4.2. IVESTIN ES GEOMETRIN E PRASM E 69

f(x)=|x|

x

y

Pav. 4.2: Liestine funkcijos grafikui take x=0 neegzistuoja; funkcija neturi ives-tines iame take.

Tokiu budu, teisinga lygybe

tg = f (x0) ,

kur kampas tarp liestines take x0 ir teigiamosios x pusaes, r. 4.1.Kada funkcija f neturi ivestines take ?a) arba tg = taip bus, kai liestine yra statmena x aiai;b) arba funkcijos grafikas neturi liestines nagrinejamame take.Paaikinsime iuos atvejus pavyzdiais.Pirmas pavyzdys. f (x) = |x|. Funkcija f neturi ivestines take x0 = 0.I tiesu,

f d (0) = limx0+

|x| 0x 0 = limx0+

x 0x 0 = 1,

f k (0) = limx0

|x| 0x 0 = limx0+

x 0x 0 = 1.

Kadangi deinine ivestine nelygi kairinei ivestinei, ivestine f (0) neegzistuoja(r. pav. 4.2).

Pastaba.Pravartu prisiminti, funkcija f turi ivestine f (x0) tada ir tik tada,kai egzistuoja kairine ir deinine ivestines ir

f (x0) = f k (x0) = fd (x0) .


y=x13

y

x

Pav. 4.3: Funkcijos ivestine neegzistuoja ir tokiame take, kuriame liestine yravertikali.

Antras pavyzdys. Tegu f (x) = 3x. Fiksuojame x0 6= 0.

Tada

f (x0) = limxx0

3x 3x0x x0 = limxx0

13x2 + 3

x x0 + 3

x20

=13

13x20,

t.y. (x

13

)=

13x

23 , jei x 6= 0.

Kam yra lygi ivestine take x0 = 0?

limx0

3x

x= lim

x01

x23

=,

t.y. ivestine nulio take neegzistuoja (r. pav. 4.3).

4.3. MECHANIN E IVESTIN ES PRIGIMTIS 71

A Bt 0

SAB

Pav. 4.4: Greitis kaip kelio ivestine

4.3 Mechanine ivestines prigimtisNorint rasti vidutini greiti, kuriuo iveikta atkarpa AB, reikia kelio ilgi SAB pada-linti i laiko tAB, sugaito kelionei:

vvid =SABtAB

.

Tegu S(t) per laiko tarpa t nueito kelio ilgis. Tada

S (t0) =dS

dt(t0) = lim

t0S (t0 + t) S (t0)

tbus momentinis greitis laiko momentu t0.

Jeigu judejimas yra tolygus, tai bet kokiu laiko momentu vidutinis ir momen-tinis greiciai sutampa.

4.4 Ivestines savybesTeorema 18 . Jeigu funkcija f turi ivestine take x0, tai ji yra tolydi tame take.Irodymas:

Priminsime, kad funkcija f yra tolydi take x0, jeigulimxx0

f (x) = f (x0) .


Tikriname ia lygybe:

limxx0

f (x) = limxx0

[f (x) f (x0)

x x0 (x x0) + f (x0)]

=

= f (x0) limxx0

(x x0) + f (x0) = f (x0) .

(f (x0) egzistuoja, remiantis teoremos prielaida).Teorema 19 . Tegu funkcijos f ir g turi ivestines take x0.

Tada

a) (f g) (x0) = f (x0) g (x0) ;b) (af) (x0) = a f (x0) , visiems a R;c) (f g) (x0) = (f g + f g) (x0) ;d)(fg

)(x0) =

(f gf g

g2

), jeigu g (x0) 6= 0.

Irodymas:

a) Skaiciuojame:

(f g) (x0) = limxx0

(f g) (x) (f g) (x0)x x0 =

= limxx0

[f (x) f (x0)

x x0 g (x) g (x0)

x x0

]= lim

xx0f (x) f (x0)

x x0 limxx0g (x) g (x0)

x x0 =

= f (x0) g (x0) .Kadangi, remiantis teoremos prielaida, deine lygybes puse egzistuoja, kaire pusetaip pat turi prasme ir tapatybe a) yra teisinga.

b) Pagal apibreima

(af) (x0) = limxx0

(af) (x) (af) (x0)x x0 =

= a limxx0

f (x) f (x0)x x0 = a f

(x0) .

4.4. IVESTIN ES SAVYB ES 73

c) Skaiciuojame:

(f g) (x0) = limxx0

(f g) (x) (f g) (x0)x x0 =

= limxx0

{[f (x) f (x0)] g (x)

x x0 +[g (x) g (x0)] f (x0)

x x0

}=

= limxx0

g (x) limxx0

f (x) f (x0)x x0 + f (x0) limxx0

g (x) g (x0)x x0 =

= (f g + f g) (x0) .Raant pastarasias lygybes, buvo naudojamas ir funkcijos g tolydumas take x0.

d) Kadangi fg

= f 1g, pasinaudoje savybe c) pastebime, kad(

f

g

)=(f 1

g

)= f

(1g

)+ f

(1g

),

Bet (1g

)= g

g2

(r. sekancia teorema) ir teoremai irodyti lieka atlikti elementarius veiksmus.Teorema 20 (Sudetines funkcijos ivestine). Tegu funkcija g turi ivestine takex0, o funkcija f turi ivestine take g(x0) . Tada sudetine funkcija (f g) (x) :=f (g (x)) turi ivestine take x0 ir

(f g) (x0) = f (g (x0)) g (x0) .

Irodymas:

(f g) (x0) = limxx0

(f g) (x) (f g) (x0)x x0 =

= limxx0

f (g (x)) f (g (x0))x x0 =

= limxx0

f (g (x)) f (g (x0))g (x) g (x0)

g (x) g (x0)x x0 =


= limg(x)g(x0)

f (g (x)) f (g (x0))g (x) g (x0) limxx0

g (x) g (x0)x x0 =

= f (g (x0)) g (x0) .

Teorema 21 (Atvirktines funkcijos ivestine). Jeigu:a) funkcija y = f(x) turi atvirktine funkcija tako x0 aplinkoje;b) funkcija f turi ivestine take x0 ir f (x0) 6= 0,

tai atvirktine funkcija f1 turi ivestine take y0 = f(x0) ir(f1) (y0) = 1

f (x0).

Irodymas:

(f1) (y0) = lim

yy0(f1) (y) (f1) (y0)

y y0 =

= limyy0

x x0f (x) f (x0) = limxx0

1(f(x)f(x0)

xx0

) = 1f (x0)

.

4.5 Diferencialo savokaPagal apibreima

f (x0) = limxx0

f (x) f (x0)x x0 .

Ivede paymejimax := x x0,

vadinama dar argumento pokyciu take x0, ivestine galime perrayti taip:

f (x0) = limx0

f (x0 + x) f (x0)x

= limx0

f (x0; x)x

,

kur dydis f (x0; x) ymi funkcijos f pokyti take x0.

4.5. DIFERENCIALO SAVOKA 75

Tokiu budu, funkcijos f ivestine take x0 yra lygi funkcijos pokycio ir argu-mento pokycio santykio ribinei reikmei. Todel danai vartojamas kitas ivestinesymejimas:

f (x0) =df

dx(x0) .

Geometrikai dydis dx suvokiamas kaip be galo maas argumento pokytis, o df be galo maas funkcijos pokytis. dx yra vadinamas argumento diferencialu, odf funkcijos diferencialu take x0.

Nors df ir dx nera skaiciai, jie turi kai kurias skaiciu savybes. Pavyzdiui, katik paminetoje lygybeje leidiama atsikratyti "trupmenos", padauginus abi lygy-bes puses i dx:

1. df = f (x0) dx.

iai lygybei galima suteikti grieta matematine prasme, kuri aikesne keliukintamuju funkcijos teorijoje, bet mes to nedarysime. Taigi,

df

dx= g df = gdx.

Diferencialu kalba perraysime funkcijos ivestiniu savybes:2. d(fg)

dx= df

dx dg

dx;

3. d(fg)dx

= dfdx dg

dx; d(af)

dx= a df

dx, jei a R.

4. d(f g)dx

= dfdx g + f dg

dx.

Cia galioja dfdx g = g df

dx;

5. d(f/g)dx

=dfdxgf dg

dx

g2;

6. (Sudetines funkcijos savybe )df

dx=df

dg dgdx,

(tokiu budu diferencialas dg "suprastinamas" );7. (Atvirktines funkcijos savybe )

df

dx=

1(dxdf

) .


Pastabos.

1. Jei funkcija f turi ivestine take x0, tai danai sakoma, kad funkcija yradiferencijuojama take x0. ymejima dfdx ivede G. Leibnicas.

2. Ivardintos diferencialu savybes yra naudojamos, skaiciuojant integralus irsprendiant diferencialines lygtis .

3. Diferencialai naudojami ir kitiems skaiciavimams. Tam naudojama apy-tiksle lygybe

f (x0 + x) f (x0) f (x0) x,duodanti nedidele paklaida maiems argumento pokyciams. Jos pagalba galimaurayti apytikslio skaiciavimo formule

f (x0 + x) f (x0) + f (x0) x.

Pavyzdiai.

1. Rasime apytiksle cos 31 reikme:

cos31 = cos(pi

6+

pi

180

) cos pi

6 pi

180 sin pi

6=

=

32 1

2 pi

180 0, 851.

2.5

33 = 5

32 + 1 5

32 +(

5x) |x=32 1 =

= 2 +1

5 5

324= 2 +

15 24 .

Darbo su diferencialais iliustravimui rasime kai kuriu funkciju ivestines.3. y = lnx, x > 0. ios funkcijos ivestine jau skaiciavome anksciau.

Dabar siulomas budas remiasi lygybe (ex) = ex.

4.6. FUNKCIJOS IVESTIN ES SKAI CIAVIMAS 77

Turime, kad x = ey. Taigi

y =dy

dx=

1dxdy

=1ey

=

= ey = e lnx = elnx1

=1x.

4. y = arcsinx. Tada x = sin y, kai pi2 < y < pi2 , ir

y =dy

dx=

1dxdy

=1

cos y=

=1

1 sin2 y=

11 x2 .

Atkreipsime demesi, kad aknys raomos su pliuso enklu, kadangi

cos y > 0, kai pi2< y 0, 0 < a 6= 1) .

Taigi, (lnx) = 1x.

3. (ax) = ax ln a (0 < a 6= 1) .

Atskiru atveju, (ex) = ex.4 (sinx) = cosx.


5. (cosx) = sinx.6. (tg x) = 1cos2 x

(x 6= pi2 + pin, n Z

).

7. (ctg x) = 1sin2 x (x 6= pin, n Z) .

8. (arcsinx) = 11x2 (1 < x < 1) .

9. (arccosx) = 11x2 (1 < x < 1) .

10. (arctg x) = 11+x2 .

11. (arcctg x) = 11+x2 .

12. (sh x) = ch x.

13. (ch x) = sh x.

14. (th x) = 1ch 2x .

15. (cth x) = 1sh 2x (x 6= 0) .

Pastaba:

Kadangi kiekviena elementarioji funkcija yra paprasciausiu elementariuju funk-ciju baigtine kombinacija, gaunama aritmetiniu veikmu ir kompozicijos pagalba,tai remdamiesi ia lentele bei ivestines savybemis, matome, kad elementariosiosfunkcijos ivestine yra elementarioji funkcija.

4.7 Funkcijos auktesniuju eiliu ivestinesSakoma, kad funkcija f diferencijuojama (turi ivestine) intervale (a, b), jei ji turiivestine kiekviename take x0 (a, b).

Tegu f diferencijuojama funkcija intervale (a, b). Tada tame paciame in-tervale apibreta funkcija f . Bendru atveju f nera tolydiojii funkcija.Apibreimas 21 . Tuo atveju , kai f yra diferencijuojama take x0 (a, b),sakoma, kad tame take funkcija f turi antraja ivestine. ymima f (x0) :=(f ) (x0) .

4.7. FUNKCIJOS AUKTESNIUJU EILIU IVESTIN ES 79

Pastaba:

Antrosios ivestines apibreimui butina, kad funkcija f turetu pirmaja ivesti-ne tako x0 aplinkoje t.y. intervale (x0 , x0 + ) maam > 0. Vien pirmosiosivestines egzistavimo take x0 nepakanka.

Indukcijos pagalba apibreiama ir n-tosios eiles ivestine:

f (n) :=(f (n1)

).

Pavyzdiai:

1. (xn)(n) = n (xn1)(n1) = n (n 1) ... 1 = n!.

2. (ax)(n) = (ax)(n1) ln a = ... = ax (ln a)n .

3. (sinx)(n) = sin(x+ n pi2

).

4. (cosx)(n) = cos(x+ n pi2

).

5. Jei funkcijos u, v n-kartu diferencijuojamos take x0, ar intervale (a, b),tai

(u v)(n) = u(n) v(n)

take x0(atitinkamai, intervale (a, b)).

Leibnico formule.

Tegu funkcijos u, v tenkina 5-tojo pavyzdio salygas.Tada

(u v)(n) = u(n) v + C1nu(n1) v + C2nu(n2) v + ...+ u v(n).

Irodymas:

Kai n = 1, formule

(u v) = u v + u v

jau inoma.


Tarkime, kad Leibnico formule teisinga, kai n = k.Pasinaudodami ankstesniuoju ingsniu, parodysime, kad tada formule teisinga

ir kai n = k + 1.I tiesu,

(u v)(k+1) =[(u v)(k)

]=

= u(k+1) v +[u(k) v + C1ku(k) v

]+

+[C1ku

(k1) v + C2ku(k1) v]

+ ...+ u v(k+1),nes

Cmk + Cm1k = C

mk+1,

kai m k.

Taikymo pavyzdys:

Tegu f (x) = x3 ex. Reikia rasti n-taja ivestine.Cia u (x) = x3, v (x) = ex.Tada u (x) = 3x2, u (x) = 6x, u (x) = 6, u(n) (x) = 0,jei n 4 ir v(n) (x) = ex visiems n 1.

Todel pagal Leibnico formule

f (n) (x) =(x3ex

)(n) == Cn3n u

(x) v(n3) (x) + Cn2n u (x) v(n2) (x) +

+Cn1n u (x) v(n1) (x) + u (x) v(n) (x) =

= 6 Cn3n ex + Cn2n (6x) ex + Cn1n (3x2) ex + x3ex =

= ex[n (n 1) (n 2) + 3n (n 1)x+ 3nx2 + x3] .

4.8. PAGRINDIN ES DIFERENCIALINIO SKAI CIAVIMO TEOREMOS 81

y=x

10sinx

Pav. 4.5: i funkcija turi be galo daug lokaliojo ekstremumo taku.

4.8 Pagrindines diferencialinio skaiciavimo teoremosApibreimas 22 . Sakoma, kad funkcija f : (a, b) R turi lokaluji maksi-muma take x0 (a, b), jei atsiras tokia tako x0 aplinka (x0 , x0 + ), kadf (x0) f (x) visiems x0 (x0 , x0 + ). Analogikai apibreiama lokaliojominimumo savoka. Lokalusis ekstremumas, tai lokalusis maksimumas, arbalokalusis minimumas.

Pavyzdys: Tegu f (x) = 10 sinxx

.

i funkcija turi be galo daug lokaliuju ekstremumu, tiek maksimumu, tiekminimumu.

Teorema 22 (Ferma).Jei f : (a, b) R turi lokaluji ekstremuma take x0 (a, b) ir tame take

egzistuoja ivestine f (x0), taif (x0) = 0.

Irodymas:


Pagal apibreimaf (x0) = f k (x0) = f

d (x0) .

Tarkime, kad x0 funkcijos f lokaliojo maksimumo takas. Tada

f k (x0) = limxx00

f (x) f (x0)x x0 0,

kadangi nei trupmenos skaitiklis, nei vardiklis nera teigiami, o

f d (x0) = limxx0+0

f (x) f (x0)x x0 0,

nes vardiklis yra teigiamas, o skaitiklis yra maesnis arba lygus nuliui.Todel turime, kad

0 f k (x0) = f (x0) = f d (x0) 0,

arbaf (x0) = 0.

Geometrine interpretacija. Teorema ireikia ta paprasta fakta, kad, jei lokaliojoekstremumo takuose egzistuoja liestine grafikui, tai ji lygiagreti xo aiai (r.pav. 4.6).

Teorema 23 (Rolis). Tegu funkcija f :a) tolydi segmente [a, b];b) turi ivestine intervale (a, b);c) f (a) = f (b).Tada egzistuoja toks takas x0 i (a, b), kad f (x0) = 0.

Irodymas: (r. pav. 4.7)Funkcija f tolydi segmente [a, b], todel funkcija f igyja jame maksimuma

ir minimuma.Gali buti, kad:

a) bent vienas i iu ekstremumo taku yra intervalo (a, b) takas x0;b) abu ie takai yra segmento [a, b] galai.

a) atveju x0 bus ir lokaliojo ekstremumo takas, todel pagal Ferma teoremaf (x0) = 0.


x

y

x0

Pav. 4.6: Liestine ekstremumo take yra lygiagreti x aiai.

x

y

a b

f(a)=f(b)

Pav. 4.7: Rolio teoremos demonstravimas.


x

y

f(x)=|x|

Pav. 4.8: Ekstremumo take funkcija gali netureti ivestines.

b) atveju, viename i taku a, b funkcija igyja maksimalia, o kitame mi-nimalia reikme segmente. Bet pagal teoremos salyga, f (a) = f (b); taigi,f (x) = f (b) visiems x [a, b] ir f (x) = 0 visiems x (a, b).

Pastabos:

1. Be lokaliojo yra ir globaliojo funkcijos ekstremumo savoka. Pavyzdiui,paraboles y = x2 virune yra kartu ir jos globalusis minimumas.

2. Ekstremumo take funkcija gali netureti ivestines ir netgi nebuti tolydi.Pavyzdiai:

1. Funkcijaf (x) = |x|

take 0 pasiekia minimuma, taciau ivestine f (0) neegzistuoja.2. Funkcijaf (x) :=

{1, kai x 6= x02, kai x = x0

(r. pav. 4.9) savo maksimumo take yra truki.

Teorema 24 (Lagranas). Tegu funkcija f :a) tolydi segmente [a, b];b) diferencijuojama intervale (a, b).Tada atsiras takas x0 (a, b) toks, kad

f (b) f (a) = f (x0) (b a) .


x

y

x0

1

2

0

Pav. 4.9: Trukis ekstremumo take

Irodymas:Jei f (a) = f (b), tai irodymas seka i Rolio teoremos, nes tada egzistuoja toks

x0 (a, b), kad f (x0) = 0.Bendru atveju iveskime funkcija

F (x) = f (x) f (a) f (b) f (a)b a (x a) .

Funkcija F tolydi segmente [a, b], diferencijuojama intervale (a, b) ir F (a) =F (b) = 0. Todel pagal Rolio teorema atsiras toks x0 (a, b), kad F (x0) = 0,kas reikia, kad

f (x0) =f (b) f (a)

b a .I ios lygybes ir iplaukia teoremos teiginys.

Pavyzdys. Parodysime, kad nelygybe |sinx sin y| |x y| yra teisingavisiems x, y i aibes R.

I tiesu, segmente [x, y] funkcija f (x) = sinx tenkina Lagrano teoremossalygas, todel

f (x) f (y) = f (x0) (x y) ,|f (x) f (y)| = |f (x0)| |x y| ,

arba|sinx sin y| = |cosx0| |x y| |x y| .


Teorema 25 (Koi). Tegu funkcijos f, g:a) tolydios segmente [a, b];b) diferencijuojamos intervale (a, b);c) g (x) 6= 0 visiems x (a, b) .Tada atsiras x0 (a, b) toks, kad

f (b) f (a)g (b) g (a) =

f (x0)g (x0)

.

Irodymas:

Visu pirma, g (b) 6= g (a) . Prieingu atveju, pagal Rolio teorema atsirastu tokstakas x0 i (a, b), kad butu g (x0) = 0, o tai prietarautu teoremos c) salygai.

Isiveskime funkcija

F (x) = f (x) f (a) f (b) f (a)g (b) g (a) [g (x) g (a)] .

Tada F (a) = F (b) = 0, funkcija F tolydi segmente [a, b] ir diferencijuojamaintervale (a, b). Pagal Rolio teorema atsiras takas x0 (a, b) toks, kad

F (x0) = 0.

Suskaiciave funkcijos F ivestine, gauname Koi teoremos irodyma.Pastaba. Jeigu Koi teoremos formulavime istatysime g (x) = x, gausime

Lagrano teorema. Savo ruotu nesunku pastebeti, kad Rolio teorema yra Lag-rano teoremos ivada.

4.9 Lopitalio taisykleTeorema 26 (Lopitalio taisykle). Tegu funkcijos f ir g:

a) apibretos ir diferencijuojamos intervale (a, b), kuris gali buti ir begalinis;

b) limxa+0

f (x) = 0 = limxa+0

g (x) ;

c) g (x) 6= 0 visiems x (a, b);

4.9. LOPITALIO TAISYKL E 87

d) egzistuoja baigtine arba begaline riba

limxa+0

f (x)g (x)

.

Tadalim

xa+0f (x)g (x)

= limxa+0

f (x)g (x)

.

Irodymas:

Pirmas atvejis: < a.Paymekime

F (x) :={ f (x) , jei x (a, b) ,

0, jei x = a,

G (x) :={ g (x) , jei x (a, b) ,

0, jei x = a.Funkcijos F irG tolydios pusiau atvirame intervale [a, b) ir diferencijuojamosatvirame intervale (a, b).

Tegu x (a, b). Tada funkcijos F ir G tenkina visas Koi teoremos salygassegmente [a, x]. Todel atsiras toks takas cx (a, x), kad

F (x) F (a)G (x)G (a) =

F (cx)G (cx)

,

arba, kadangi F (a) = G (a) = 0,

F (x)G (x)

=F (cx)G (cx)

.

Kai x a+ 0,lim

xa+0F (x)G (x)

= limxa+0

F (cx)G (cx)

=

= lim(cx)a+0

F

G(cx) = lim

ta+0F

G(t) .

Antras atvejis: a = .


Paymekimet = 1

x.

Tada, kai x arteja i , t artes i 0 + 0 ir, remiantis pirmuoju atveju,

limx

f (x)g (x)

= limt0+0

f(1

t

)g(1

t

) == lim

t0+0f (1

t

) 1t2

g(1

t

) 1t2

= limx

f (x)g (x)

.

Teorema 27 (Lopitalio taisykle, esant pakeistai b) salygai). Tegu funkcijos f ir gtenkina Lopitalio taisykles a), b), c), d) salygas ir salyga

b) f (a+ 0) = g (a+ 0) = +.

Tadalim

xa+0f (x)g (x)

= limxa+0

f (x)g (x)

.

ios teoremos irodyma praleisime. Ji galima rasti, pavyzdiui, V. Kabailosvadovelyje "Matematine analize. I dalis", 117-tame puslapyje.

Pavyzdiai ir pastabos.

1. Gali buti taip, kad riba limxa

f(x)g(x) egzistuoja, o tuo pat metu riba limxa

f (x)g(x)

ne.

Pavyzdiui,

limx0

x2 sin 1x

sinx= lim

x0

( xsinx

)limx0

(x sin

1x

)= 1 0 = 0,

kai tuo tarpu ivestiniu santykio riba

limx0

(x2 sin 1

x

)(sinx)

= limx0

2x sin 1x cos 1

x

cosx= 0 lim

x0cos

1x

neegzistuoja, taigi ir Lopitalio taisykle negali buti taikoma.

4.9. LOPITALIO TAISYKL E 89

2. Kartais naudinga Lopitalio taisykle taikyti kelis kartus.

a) limx0

xsinxx3

= limx0

(xsinx)(x3) = limx0

1cosx3x2 =

= limx0

(1 cosx)(3x2)

= limx0

sinx6x

=16.

b) limx0

x4

x2+2 cosx2 = limx04x3

2x2 sinx =

= limx0

12x2

2 2 cosx = limx024x

2 sinx= 12.

3. Jeigu ivestines f (a) , g (a) egzistuoja, g (a) 6= 0 ir f (a) = g (a) = 0,tai

limxa

f (x)g (x)

=f (a)g (a)

.

I tiesu, tokiu atveju,

limxa

f (x)g (x)

= limxa

f (x) f (a)g (x) g (a) =

=limxa

f(x)f(a)xa

limxa

g(x)g(a)xa

=f (a)g (a)

.

4. 0 , pavidalo neapibretumu pavyzdiai.

a) limx0+0

x lnx = lim

x0+0lnx

x12

=

= limx0+0

1x(12)x 32 = 2 limx0+0

x = 0.

b) limx

xn

ex= lim

xnxn1ex

= ... = limx

n!ex

= 0.


5. 1, 00,0 pavidalo neapibretumai.Ribos lim

xaf (x)g(x) iekome, logaritmuodami reikini, esanti po ribos enklu.

Visu pirma, suskaiciuojame riba A := limxa

g (x) ln f (x), tada limxa

f (x)g(x) = eA.

Pavyzdys. Rasime riba

limx0

(1 + x2

) 1ex1x .

Tam skaiciuojame riba

limx0

ln (1 + x2)ex 1 x = limx0

(2x

1+x2

ex 1

)=

= 2 limx0

1ex (1 + x2) + (ex 1) 2x = 2.

Todellimx0

(1 + x2

) 1ex1x = e2.

4.10 Teiloro formulePagal Lagrano teorema

f (x) = f (a) + f () (x a) ,jei tiktai funkcija f tolydi ir diferencijuojama intervale (a , a+ ) (cia >0 nebutinai maas skaicius), o yra tarp x ir a.

Ka tik paminetos lygybes apibendrinimas yra

Teorema 28 (Teiloras). Jeigu funkcija f yra (n+ 1)-karta diferencijuojama in-tervale (a , a+ ), kuriam priklauso ir x, x 6= a, tada egzistuoja takas ,esantis tarp x ir a, toks, kad

f (x) = f (a) + f (a) (x a) + f (a)2!

(x a)2 + ...+

+f (n) (a)n!

(x a)n + f(n+1) ()

(n+ 1)!(x a)n+1 .

4.10. TEILORO FORMUL E 91

Paskutinis deines puses demuo yra vadinamas Teiloro formules liekamuoju na-riu:

Rn(x) =f (n+1) ()(n+ 1)!

(x a)n+1 .

Pastaba.

Tokiu budu, tako a aplinkoje funkcija f galima urayti n-tos eiles polinomoir liekamojo nario sumos pagalba.Irodymas:

Tegu, apibretumo delei, x > a. Segmente [a, x] apibrekime funkcija :

(t) := f (x) f (t) f (t) (x t) ... f(n) (t)n!

(x t)n .

Kadangi funkcija f (n+1)-a karta diferencijuojama, funkcijos f, f , ..., f (n), otuo paciu ir funkcija , yra tolydios segmente [a, x] ir diferencijuojamos intervale(a, x).

Funkcijos ivestine

(t) = f (t)[f (t) (x t) f (t)][f (3) (t)

2!(x t)2 f (t) (x t)

]...

= f(n+1) (t)n!

(x t)n .Tegu tolydioji segmente [a, x] funkcija, diferencijuojama intervale (a, x) ir (t) 6= 0 visiems t i (a, x). Tada pagal Koi teorema atsiras toks takas i(a, x), kad

(x) (a) (x) (a) =

() ()

.

Bet (x) = 0, (a) = Rn (x)

ir () = f

(n+1) ()n!

(x )n .Todel

Rn (x) = f(n+1) ()n!

(x )n [ (x) (a)] 1 ()

.


Istacius vietoje (t) = (x t)n+1 ,

gauname teoremos irodyma.

Apibreimas 23 . Raoma p (x) = o ((x a)n), jeigu

limxa

p (x)(x a)n = 0.

Teoremos ivada. Liekamaji nari galima urayti ir taip:

Rn (x) = o ((x a)n) ,

Irodymas: I tiesu,

limxa

Rn (x)(x a)n = limxa f

(n+1) () (x a) = f (n+1) (a) (a a) = 0.

Terminai: Liekamasis narys

Rn (x) = f(n+1) ()

(n+ 1)!(x a)(n+1)

yra vadinamas Lagrano formos liekamuoju nariu;Liekamasis narys

Rn (x) = o ((x a)n)yra vadinamas Peano formos liekamuoju nariu. Galima parayti

f (x) = f (a) + f (a) (x a) + f (a)2!

(x a)2 + ...

+f (n) (a)n!

(x a)n + o ((x a)n) .

Apibreimas 24 . Yra sakoma, kad funkcija f : (a, b) R priklauso funkcijuklasei Cn (a, b), jei f (n) tolydioji intervale (a, b) funkcija. Dar sakoma, kad fyra n-kartu tolydiai diferencijuojama funkcija.

4.11. TEILORO FORMUL ES TAIKYMAS 93

Pastabos.

1. Paskutineje formuleje reikalavimus funkcijai f galima kiek sumainti (r.,pavyzdiui, V. Iljino, E. Pozniako knygos "Matematines analizes pagrindai" 1-ajitoma).

2. Ivedant Teiloro formule, nebutina formuluoti salygas visoje tako a aplin-koje: pakanka apsiriboti segmentu [a, x], kai x > a, ir segmentu [x, a], kai x < a(r., pavyzdiui, E. Miseviciaus "Matematines analizes" 1-aja dali).

4.11 Teiloro formules taikymas1. Elementariasias funkcijas galima urayti Teiloro formules pagalba:

ex = 1 + x+x2

2!+ ...+

xn

n!+Rn (x) .

sinx = x x3

3!+x5

5! ...+ (1)n1 x

2n1

(2n 1)! +R2n (x) .

cosx = 1 x2

2!+x4

4! ...+ (1)n x

2n

(2n)!+R2n+1 (x) .

(1 + x) = 1 + x+ ( 1)

2!x2 + ...+

( 1) ... ( n+ 1)n!

xn +Rn (x) .

ln (1 + x) = x x2

2+x3

3 ...+ (1)n1 x

n

n+Rn (x) .

arctg x = x x3

3+x5

5 ...+ (1)n1 x

2n1

2n 1 +R2n (x) .

iu formuliu pagalba galima rasti apytiksles funkciju reikmes norimu tikslumu.

Pastaba. Tuo atveju, kai a = 0, Teiloro formule yra vadinama Maklorenoformule:

f (x) = f (0) + f (0)x+f (0)

2!x2 + ...+

f (n) (0)n!

xn +Rn (x) .


2. Teiloro formules liekamasis narys gali buti uraomas ir taip:

Rn (x) =f (n+1) (a+ (x a))

(n+ 1)!(x a)n+1 ,

kur 0 < < 1 ( priklauso nuo x).I tiesu, Teiloro formuleje minetas neinomas dydis yra tarp x ir a. Ji galima

urayti naujo neinomo dydio , esancio tarp 0 ir 1, pagalba: = a+ (x a).

Neivedinedami dar paminesime liekamojo nario Koi pavidala

Rn (x) =(1 )n f (n+1) (a+ (x a))

n!(x a)n+1 .

Iliustracijai ivertinsime logaritmo liekamaji nari Makloreno skleidinyje:

ln (1 + x) = x x2

2+x3

3 ...+ (1)n1 x

n

n+Rn (x) .

Kai x [0, 1], vertinimui naudosime liekamojo nario Lagrano pavidala

Rn (x) =(1)n xn+1

(n+ 1) (1 + x)n+1 .

iuo atveju

|Rn (x)| 1(n+ 1) (1 + 0 x)n+1 =

1n+ 1

0,

kai n.Kai x [, 0] , 0 < < 1, ( = 1 neleistina situacija, ar ne?), lieka-

mojo nario vertinimui naudosime Koi pavidala:

Rn (x) = (1)n xn+1 (1 )n

(1 + x)n+1 = (1)n

(1

1 + x)n

xn+1

1 + x.

Pastebesime, kad kai x > > 1, yra teisinga nelygybe1

1 + x < 1.

4.11. TEILORO FORMUL ES TAIKYMAS 95

Todel|Rn (x)| <

n+1

1 0,

kai n ir < 1. Kadangi limn

Rn (x) = 0, turima ln (1 + x) skleidini galimanaudoti apytiksliam funkcijos reikmiu skaiciavimui, kai 1 < < x < 1.Pavyzdiui, norint suskaiciuoti ln 32 0, 05 tikslumu, pakaks Makloreno formulejen nariu, kur

1n+ 1

0, 05,t.y. jei n 19.

3. Jau minejome, kad liekamaji nari galima urayti ir Peano pavidalu:Rn (x) = o ((x a)n) .

Tai reikia, kadlimn

Rn (x)(x a)n = 0.

Viena i Peano pavidalo panaudojimo sferu

Documents

Matematines Analizes Kursas (Grigelionis)