Projekt „Inżynieria materiałowa – inżynieria przyszłości” współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Publikacja dystrybuowana bezpłatnie

Materiały dydaktyczne do zajęć

wyrównawczych z matematyki

dla kierunku Inżynieria Materiałowa

Autor:

Marek Radwański

2

Spis treści

1. Od autora str. 3

2. Pojęcia podstawowe str. 5

2.1. Wzory skróconego mnożenia str. 8

2.2. Działania na ułamkach str. 9

2.3. Działania na potęgach str. 11

2.4. Działania na pierwiastkach str. 14

2.5. Działania na logarytmach str. 16

2.6. Działania na zbiorach str. 17

3. Równania str. 21

3.1 Równania liniowe str. 23

3.2. Równania kwadratowe str. 23

3.3. Równania wyższego stopnia str. 27

3.4. Równania wymierne str. 32

3.5. Równania wykładnicze str. 33

3.6. Równania logarytmiczne str. 35

3.7. Układy równań str. 38

4. Nierówności str. 44

4.1. Nierówności liniowe str. 44

4.2. Nierówności kwadratowe str. 45

4.3. Nierówności wyższego stopnia str. 49

4.4. Nierówności wymierne str. 52

4.5. Nierówności wykładnicze str. 53

4.6. Nierówności logarytmiczne str. 55

5. Rozwiązania zadań i komentarze str. 58

3

1. OD AUTORA

Zajęcia wyrównawcze, z każdego przedmiotu i na każdym poziomie nauczania, mają na celu –

jak sama nazwa na to wskazuje – umożliwienie studentom usunięcie nierówności w poziomie ich

wiedzy z danego przedmiotu. Przyczyny tych nierówności są wielorakie, do najważniejszych należy

zaliczyć rodzaj realizowanego programu (podstawowy i rozszerzony), różny poziom ukończonych

szkół, no i przede wszystkim indywidualne predyspozycje (żeby nie używać określenia zdolności)

każdego z uczniów.

Analizując problemy z matematyką absolwentów szkół średnich należy podkreślić, że

matematyka jest przedmiotem, w którym szczególne znaczenie ma konieczność posiadania wiedzy

z wszystkich działów podstawowych. Nie można swobodnie poruszać się np. w analizie

matematycznej mając braki z algebry. Przenosząc to na grunt szkoły średniej niemożliwe jest

nauczenie się i polubienie (!) np. ciągów, jeżeli działania na ułamkach czy potęgach sprawiają

trudności. Tutaj znajduję jedną z przyczyn, że matematyka dla wielu uczniów jest przedmiotem

sprawiającym największe trudności. Mając braki w podstawach nie są w stanie przyswoić sobie

dalszej wiedzy. Ale kwestią ważniejszą, być może najważniejszą, jest pamięciowe podejście do nauki

tego przedmiotu. A przecież matematyka winna uczyć nie wzorów, ale myślenia. Brak świadomości

tej zasady, podkreślającej uniwersalność tego przedmiotu, był prawdopodobnie powodem usunięcia

w 1985 roku matematyki z listy obowiązkowych przedmiotów maturalnych, co stało się początkiem

degradacji poziomu nauczania tego przedmiotu.

Przed podjęciem się prowadzenia tych zajęć zadałem pytanie osobie prowadzącej wykłady

i ćwiczenia z matematyki na pierwszym roku naszej uczelni – jakie widzi największe matematyczne

problemy wśród najmłodszych studentów. Odpowiedź była następująca: „To że dzielą bez problemu

przez zero, no i jeżeli im wyjdzie ujemna objętość, to jest ok.” Śmieszne, czy raczej tragiczne? A może

przesada? Ale w wydanym przez Ministerstwo Edukacji Narodowej tomie 6 wydawnictwa „Podstawa

programowa z komentarzami” pt. „Edukacja matematyczna i techniczna w szkole podstawowej,

gimnazjum i liceum”, w rozdziale „Komentarz do podstawy programowej przedmiotu matematyka”,

na stronie 79, odpowiadając na pytanie Dlaczego w podstawie nie ma pojęcia granicy funkcji, ani

rachunku różniczkowego? czytamy: …Nauczyciele akademiccy niemal jednogłośnie twierdzą:

„Z granicami sobie poradzimy; domagamy się, by maturzyści mieli opanowane ułamki”…

Podręcznik ten nie może być kolejnym zestawieniem wzorów do nauczenia się na pamięć.

Oczywiście trudno sobie wyobrazić matematykę bez wzorów, ale większość z nich można sobie

wyprowadzić a nawet zrozumieć. Podobnie jest z definicjami. Jeżeli je zrozumiemy, świat

4

(matematyczny) okaże się o wiele prostszy a nawet przyjemniejszy! Ale podstawą sukcesu jest

uwierzenie w to, że matematykę można zrozumieć, że można się jej nauczyć. A od tego już tylko mały

kroczek do polubienia (co najmniej) matematyki. Że to jest możliwe świadczy rzesza jej entuzjastów,

do których należy również autor.

Stawiam sobie jako cel tej pracy pokazanie konieczności myślenia. W matematyce, ale

przecież nie tylko. Posłużmy się prostym, niemalże klasycznym zadaniem tekstowym: Kombajn

w ciągu godziny zbiera zboże z obszaru 2 ha. Ile czasu potrzebuje na oporządzenie 7 ha? 7 dzielimy

przez 2, wychodzi 3,5 i mamy gotową odpowiedź: 3,5 godziny. No to podobne zadanie: (Zadania do

rozwiązania będą w tekście wyróżniane kursywą i niebieskim kolorem. Rozwiązania i ewentualne

komentarze znajdują się na końcu opracowania)

1. Kombajn w ciągu godziny zbiera zboże z obszaru 2 ha. Ile potrzeba kombajnów do

zebrania w ciągu godziny zboża z 5 ha?

Dzielimy 5 przez 2 i co nam wychodzi?... Jeżeli komuś wydaje się ten przykład zbyt prosty

i trywialny, to dobrze. Ma rację. Oby wszyscy tak uważali. Entuzjastom zadań tekstowych (pewnie że

są tacy!) Podaję następne zadania tego typu:

2. Pan Kowalski w ciągu minuty zjada 5 pączków. Ile zje pączków w ciągu 15 minut?

3. Jedna osoba jest w stanie wykopać studnię w ciągu 14 dni. Ilu pracowników musiałoby

kopać żeby zrobić tę pracę w ciągu jednego dnia?

Istnieją dziesiątki jak nie setki podręczników, tablic matematycznych czy linków gdzie można

znaleźć wszystkie wzory matematyczne z zakresu obowiązującej aktualnie podstawy programowej

przedmiotu matematyka. Byłoby wręcz nadużyciem powielanie ich po raz kolejny. Można sięgnąć na

przykład do zestawu wzorów matematycznych opracowanego w Centralnej Komisji Egzaminacyjnej

dla potrzeb egzaminu maturalnego z matematyki. Można go ściągnąć np. ze strony

www.perspektywy.pl/nasze_moduły/matematyka2010/wzory_matematyczne.pdf, natomiast

w niniejszym opracowaniu zamieszczono subiektywny wybór wzorów i definicji ułatwiających –

w przekonaniu autora – zainspirowanie młodych ludzi do rozumowego a nie pamięciowego podejścia

do matematyki.

Zakres tematyczny tego opracowania – ze względu na limity objętościowe – został

ograniczony do pojęć podstawowych oraz rozwiązywania równań i nierówności. Nie jest to dużo, ale

zrozumienie i opanowanie tego programu pomoże swobodniej poruszać się w innych działach

matematyki.

5

2. POJĘCIA PODSTAWOWE

Liczby które dodajemy to składniki, a wynik dodawania to suma. Można więc zapisać:

składnik + składnik = suma

Liczba od której odejmujemy to odjemna, liczba którą odejmujemy to odjemnik, a wynik

odejmowania nazywamy różnicą. Czyli:

odjemna – odjemnik = różnica

Liczby które mnożymy to czynniki. Wyniki mnożenia to iloczyn, a więc:

czynnik x czynnik = iloczyn

Liczbę którą dzielimy nazywamy dzielną, liczba przez którą dzielimy to dzielnik, a wynik

dzielenia nazywamy ilorazem:

dzielna : dzielnik = iloraz

Dzielenie dwóch liczb możemy wyrazić w postaci ułamka, gdzie liczbę dzieloną nazywamy

licznikiem a liczbę przez którą dzielimy mianownikiem. Czyli:

ułamek =

Zwróćmy uwagę, że liczby które dodajemy mają taką samą nazwę (składniki), podobnie jak

liczby które mnożymy (czynniki). W odejmowaniu i dzieleniu jest inaczej. Mamy wyróżnioną odjemną

i odjemnik oraz dzielną i dzielnik. Pomyślmy dlaczego?... Wynika to z cechy, którą nazywamy

przemiennością - dodawania, polegającej na braku wpływu kolejności składników na sumę

i mnożenia (kolejność czynników nie wpływa na iloczyn). Nie ma przemienności odejmowania ani

dzielenia, więc należy odróżnić którą liczbę odejmujemy od tej od której odejmujemy i tę którą

dzielimy od tej przez którą dzielimy.

Mówiąc o dzieleniu i o ułamkach należy natychmiast podkreślić jedną ich istotną cechę.

Niewykonalne jest dzielenie przez zero. Zarówno dzielnik jak i mianownik nie mogą być równe zero!

Do tego jeszcze wrócimy, a dla tych którzy nie mogą tego zapamiętać wierszyk:

Pamiętaj cholero

Nigdy nie dziel przez zero.

6

Liczby wymierne – liczby które można przedstawić w postaci ułamka dwóch liczb

całkowitych. Np. -4; 0;

; 1,26.

Liczb takich jak np. π, √ nie można przedstawić w postaci ułamka dwóch liczb całkowitych,

a więc nie są liczbami wymiernymi. Nazywamy je liczbami niewymiernymi.

Wszystkie liczby wymierne i niewymierne tworzą zbiór liczb rzeczywistych. Są to po prostu

„wszystkie” liczby. Dlaczego więc określamy je dodatkowym określeniem? Ponieważ istnieją liczby

które nie są liczbami rzeczywistymi. Są to liczby zespolone, ale przynajmniej na razie to nas nie

interesuje.

Liczby dodatnie to liczby większe od zera, a liczby ujemne to liczby mniejsze od zera. Liczby

różniące się tylko znakiem, takie jak np. 11 i -11 są to liczby przeciwne.

Liczby naturalne to liczba 0 i liczby całkowite dodatnie, czyli: 0,1,2,3,4…

Liczby parzyste to liczby podzielne przez 2 (bez reszty) a liczby nieparzyste to liczby

niepodzielne przez 2.

4. Liczba 0 jest liczbą parzystą czy nieparzystą?

Liczby pierwsze są to liczby mające tylko dwa dzielniki, czyli podzielne tylko przez 1 – przez

samą siebie, czyli 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19… itd. Liczba 1 nie jest zaliczana do zbioru liczb pierwszych,

gdyż ma tylko jeden dzielnik: 1.

Liczba odwrotna do danej liczby, czyli odwrotność tej liczby to iloraz liczby 1 przez tę liczbę.

Liczby a i b nazywamy odwrotnymi jeżeli:

a =

, czyli b =

Odwrotnością liczby 5 jest

, a odwrotnością liczby

jest

, czyli

.

No to teraz kilka zadań, może nie zadań tylko pytań, a nawet zagadek. Odpowiedzi na nie

uzyskamy myśląc, a nie szukając w pamięci gotowych odpowiedzi.

5. Czy istnieje liczba, która nie ma swojej odwrotności?

6. Czy istnieje liczba która jest równa swojej odwrotności?

7. Kiedy suma dwóch liczb jest równa zeru?

8. Kiedy różnica jest równa zeru?

9. Kiedy różnica jest mniejsza od zera ?

10. Kiedy różnica jest liczbą dodatnią?

11. Czy iloczyn może być równy zeru? Jeżeli tak, to kiedy?

7

12. Kiedy iloczyn dwóch liczb jest równy 1?

13. Kiedy iloczyn dwóch liczb jest liczbą dodatnią, a kiedy ujemną?

14. Kiedy iloczyn jest liczbą dodatnią, a kiedy ujemną? (Porównaj z zadaniem12 i wyciągnij

wnioski).

15. Kiedy iloraz jest równy zeru?

16. Kiedy iloraz jest równy 1?

17. Kiedy iloraz jest liczbą dodatnią, a kiedy ujemną?

18. Kiedy iloraz liczb dodatnich jest większy od 1?

19. Kiedy iloraz liczb dodatnich jest mniejszy od 1?

20. Co się stanie z ilorazem , gdy zamienimy dzielną z dzielnikiem?

21. Co się stanie z różnicą, gdy zamienimy odjemną z odjemnikiem?

22. Jaką liczbę należy dodać do (odjąć od) dowolnej liczby aby suma (różnica) była równa tej

liczbie?

23. Przez jaką liczbę należy pomnożyć (podzielić) daną liczbę, aby iloczyn (iloraz) był równy tej

liczbie?

24. Jaką liczbę należy odjąć od dowolnej liczby, aby różnica była liczbą przeciwną do tej

liczby?

Zadań takich można wymyślać w nieskończoność. Spróbuj sam(a) kilka wymyśleć i rozwiązać.

Przecież nic nie mówiliśmy o ułamkach, nie zastanawialiśmy się np. kiedy wynik działań

algebraicznych jest liczbą parzystą, a kiedy nieparzystą itd.

We wzorze a =

litery a i b oznaczają liczby. Zawsze, gdy we wzorze chodzi nam o jakąś

dowolną liczbę lub liczbę nieznaną (niewiadomą) oznaczamy ją za pomocą litery. Wyrażenie

składające się z liczby, litery, lub liczb i liter połączonymi znakami działań oraz nawiasami nazywamy

wyrażeniem algebraicznym.

Dziedzina wyrażenia algebraicznego jest to zbiór wszystkich liczb dla których wyrażenie

algebraiczne ma sens, czyli dla których istnieje konkretne wartość tego wyrażenia.

Przykład 1. Obliczmy wartość wyrażenia algebraicznego:

dla a = 2 i b = 3

=

=

= 9

8

Czyli a = 2 i b = 3 należą do dziedziny tego wyrażenia algebraicznego, bo dla tych wartości

istnieje jego wartość równa 9

.

Przykład 2. Obliczmy wartość wyrażenia z przykładu 1 dla a = 0 i b = 6:

=

= …?

Oczywiście pamiętamy już że nie dzielimy przez zero, a więc nie możemy obliczyć wartości

tego wyrażenia dla a = 0 i b = 6, czyli nie istnieje w tym przypadku wartość tego wyrażenia ( wartość

tego wyrażenia dla tych wartości a i b nie ma sensu). Wnioskujemy z tego że para liczb a = 0 i b = 6 nie

należy do dziedziny. Ale to nie wartość a =0 tylko b =6 jest przyczyną wystąpienia zera w mianowniku.

Możemy więc powiedzieć że dziedzinę tego wyrażenia algebraicznego tworzą wszystkie (dowolne)

wartości a oraz wszystkie wartości b z wyjątkiem b = 6, bo powoduje wystąpienie zera w mianowniku,

z konsekwencjami doskonale już nam znanymi. Możemy więc zapisać dziedzinę tego wyrażenia:

a є R i b є R\{6}

Czyli b należy do zbioru liczb rzeczywistych i b należy do zbioru liczb rzeczywistych

pomniejszonego o liczbę 6. Jeżeli ten zapis nie jest wystarczająco czytelny, możemy tu wrócić po

przeczytaniu więcej o zbiorach.

Pojęcie dziedziny pojawia się wielokrotnie w matematyce, szczególnie w funkcjach, więc

jeszcze do niego wrócimy. Tym czasem sprawdźmy co z tego zrozumieliśmy:

25. Oblicz wartość wyrażenia 32 + 5a – 3b + 27abc – 3bc dla a = -2, b = 5 i c = 0. Określ

dziedzinę tego wyrażenia.

26. Oblicz wartość wyrażenia

dla m = 2 i n = 5, a następnie określ jego dziedzinę.

Działania algebraiczne wykonujemy w następującej kolejności:

1. działania w nawiasach

2. potęgowanie i pierwiastkowanie

3. mnożenie i dzielenie (w kolejności ich zapisania)

4. dodawanie i odejmowanie(w kolejności ich zapisania).

10 [(3 : 5) + 2] – 21 = 10 (

+ 2) – 21 = 10 2

– 21 = 26 -21 = 5

27. Oblicz: {[ 3 + 5(6 : 2 + 3)(8 – 2 3)] – 18

2.1. WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA

Zaczniemy nietypowo, od zadań.

9

Wykonaj działania, a następnie nazwij wyrażenie występujące w wyprowadzonym wzorze:

(zad.28 – 34)

28. (a + b)2

Jeżeli nie wiesz jak się do tego zabrać to pomyśl. Co oznacza m2? Jeżeli m2 = m m, to (a + b)2

oznacza (a + b) (a + b)

29. (a – b)2

30. (a + b)3

31. (a – b)3

32. (a – b)(a + b)

33. (a – b)(a2 + ab + b2)

34. (a + b)(a2 – ab + b2)

No i już sami wyprowadziliśmy wzory skróconego mnożenia. Mamy wzory na kwadrat sumy,

sześcian sumy kwadrat różnicy, , sześcian różnicy, różnicę kwadratów, różnicę sześcianów i sumę

sześcianów. Zwróćmy uwagę, że nie ma wzoru skróconego mnożenia na sumę kwadratów.

Wykonaj obliczenia stosując wzory skróconego mnożenia: (zad. 35 – 38)

35. (5 – 3a)3

36. (3b – 2a)(2a + 3b)

37. (2c + 5d)(4c2 – 10cd + 25d2)

38. (7e – 1)( 7e + 1 + 49e2)

Rozłóż na czynniki: (zad. 39 – 41)

39. 49f2 – 25

40. 9g2 – 12g + 4

41. 1 + 216h3

2.2. DZIAŁANIA NA UŁAMKACH

Podstawowymi sposobami przekształcania ułamków jest ich skracanie, czyli dzielenie licznika

i mianownika przez tę samą liczbę oraz rozszerzanie czyli mnożenie licznika i mianownika przez tę

samą liczbę. Nie zmieniają one wartości ułamka, umożliwiają natomiast przedstawienie go w innej

postaci.

10

Ułamki o tych samych mianownikach dodajemy (odejmujemy) dodając (odejmując) liczniki

a mianownik pozostaje bez zmian:

+

=

-

=

Dodając lub odejmując ułamki o różnych mianownikach przed zastosowaniem powyższej

zasady musimy sprowadzić do wspólnego mianownika. Wykonujemy poprzez rozszerzenie ułamka:

+

=

+

=

-

=

-

=

W powyższych wzorach wspólne mianowniki uzyskaliśmy rozszerzając każdy z ułamków przez

mianownik drugiego ułamka. Działając na liczbach wygodniej jest znaleźć najmniejszy z możliwych

wspólny mianownik (NWW – najmniejsza wspólna wielokrotność). Wspólny mianownik zawsze

możemy obliczyć jako iloczyn wszystkich mianowników, co – pomijając otrzymanie niepotrzebnie

dużych liczba – zmusza nas do skrócenia ostatecznego wyniku.

Aby uzyskać ułamek nieskracalny skracamy go przez największy wspólny dzielnik NWD.

Aby obliczyć NWW i NWD dwóch (lub więcej) liczb. Rozkładamy je najpierw na czynniki

pierwsze. Pojęcie czynniki pierwsze winno być zrozumiałe, gdyż wiemy co to są czynniki i co to są

liczby pierwsze.

Przykład 3. Obliczmy NWW i NWD dla liczb 105 i 126.

Rozkładamy 105 i 126 na czynniki pierwsze i zapisujemy w postaci iloczynów:

105 = 3 5 7 126 = 2 2 3 7

Wyszukujemy czynniki które występują w każdej z liczb. W naszym przykładzie są to 3 i 7.

105 = 3 5 7 126 = 2 3 3 7

Największy wspólny dzielnik to iloczyn czynników pierwszych występujących w każdej z liczb.

W naszym przypadku NWD(105, 126) = 3 7 = 21

NWD wykorzystujemy do skracania ułamków do postaci ułamka nieskracalnego:

=

=

Najmniejszą wspólną wielokrotność obliczamy mnożąc jedną z liczb przez czynniki drugiej

liczby, niewystępujące w wybranej liczbie:

NWW(105, 126) = 105 3 2 = 630 lub NWW(105,126) = 126 5 = 630

NWW wykorzystujemy do wyznaczania najmniejszego wspólnego mianownika:

+

=

+

=

11

Wykonując działania na ułamkach i liczbach całkowitych traktujemy liczbę całkowitą jako

ułamek o mianowniku 1 ( a =

):

c =

=

=

Ułamki mnożymy przez siebie mnożąc licznik przez licznik a mianownik przez mianownik.

Mnożąc ułamek przez liczbę całkowitą mnożymy licznik przez liczbę całkowitą, a mianownik

pozostaje bez zmian. Jest to konsekwencja potraktowania liczby całkowitej jako ułamka

o mianowniku 1.

=

f =

(

)

Ułamki dzielimy przez siebie mnożąc pierwszy ułamek (dzielną) przez odwrotność drugiego

ułamka (dzielnika). Dzielenie ułamków przez liczbę całkowitą i na odwrót wykonujemy stosując tę

samą zasadę, czyli mnożąc dzielną przez odwrotność dzielnika:

=

=

: g =

=

h :

= h

=

Zauważmy, że traktowanie dzielenia jako mnożenia dzielnej przez odwrotność dzielnika jest

zasadą uniwersalną i odnosi się również do działań na liczbach całkowitych:

56 : 7 = 8 56 : 7 = 56

=

= 8

Oblicz: (zad. 42 – 45)

42.

+

+

43. -

+

44. 7 - (

)

45.

(

)

46. Na podstawie jakiego warunku określamy dziedzinę ułamka?

47. Kiedy ułamek jest równy 1?

48. Kiedy ułamek jest równy 0?

49. Kiedy ułamek przyjmuje wartość dodatnią?

50. Kiedy wartość ułamka jest liczbą ujemną?

2.3. DZIAŁANIA NA POTĘGACH

12

Potęga oznacza, że liczba a, którą nazywamy podstawą potęgi (liczbą potęgowaną),

mnożona jest przez siebie b razy. Liczba b to wykładnik potęgi.

Wykładnik potęgi nie musi być liczbą całkowitą dodatnią. Gdy wykładnik jest liczbą ujemną,

do potęgi o wykładniku dodatnim podnosimy odwrotność liczby potęgowanej:

= (

)

=

np. = (

)

=

Wartość potęgi o wykładniku 0 jest – na podstawie definicji – równa 1:

a0 = 1 (a 0)

Jeżeli wykładnikiem potęgi jest liczba wymierna (ułamek dwóch liczb całkowitych) to do

potęgi o wykładniku równym licznikowi podnosimy pierwiastek o stopniu równym mianownikowi.

Prościej to wygląda na wzorze:

= √

np.

= √

= = 4

Gdy połączymy ze sobą obie powyższe zasady otrzymamy wzór na potęgę o ujemnym

wykładniku wymiernym. (Nic gorszego nas już w ułamkach nie może spotkać!):

= (

)

=

=

√ np.

= (

)

= (

√ )

= (

)

=

Oblicz: (zad. 51 – 69)

51. (

)

52. (

)

53.

Tutaj przydadzą się nam wartości kolejnych potęg liczby 2. Warto je zapamiętać!

=1 =2 =4 =8 =16 =32 =64 =128 =256 =512 =1024

54. (

)

( =1 =3 =9 =27 =81 =243 =729 )

55. (

)

Do wykonania wszystkich działań na potęgach potrzebna jest znajomość tylko pięciu(!)

wzorów. Oto one:

= [1]

13

= ( ) [2]

: = [3]

: = ( ) [4]

( ) = [5]

Przyglądnijmy się tym wzorom. Dotyczą one wyłącznie mnożenia [1] i [2] i dzielenia [3] i [4]

potęg. Wzór piąty dotyczy potęgowania potęgi, ale potęgowanie to też forma mnożenia. A więc

możemy tylko mnożyć i dzielić potęgi i to tylko jeżeli mają takie same podstawy [1] i [3] lub takie

same wykładniki [2] i [4]. Słownie możemy te wzory przedstawić następująco:

[1] Potęgi o tych samych podstawach mnożymy dodając ich wykładniki a podstawa pozostaje

ta sama.

[3] Potęgi o tych samych wykładnikach mnożymy mnożąc ich podstawy i pozostawiając

niezmieniony wykładnik.

[2] Potęgi o tych samych podstawach dzielimy odejmując ich wykładniki a podstawę

pozostawiamy bez zmian.

[4] Potęgi o tych samych wykładnikach dzielimy dzieląc podstawy i pozostawiając wykładnik

bez zmian.

[5] Potęgę potęgujemy pozostawiając podstawę i mnożąc wykładniki.

Wystarczy więc przy działaniach na potęgach doprowadzić je do takich samych podstaw,

lub takich samych wykładników i zastosować powyższe wzory.

Wzór [4] można zapisać zastępując znaki dzielenia kreskami ułamkowymi, otrzymując wzór

na potęgowanie ułamka:

(

)

=

Przykład 4. Podnieśmy do kwadratu .

Stosujemy oczywiście wzór [5] na potęgowanie potęgi:

( ) = = = 1024

Zadanie to możemy rozwiązać też inaczej. ( ) możemy zapisać w postaci , więc

możemy zastosować wzór na iloczyn potęg. Tylko który? Mamy takie same podstawy i takie same

wykładniki. Stosujemy więc obydwa, po kolei:

- wzór [1]: = = = 1024

- wzór [2]: = ( ) = = 1024

Dochodzimy do oczywistej prawdy, że wynik nie zależy od przyjętej metody rozwiązania.

14

56. :

57.

: 8

58. (

)

- (

)

59. : (

)

60.

2.4. DZIAŁANIA NA PIERWIASTKACH

Pierwiastkowanie jest działaniem przeciwnym do potęgowania, a więc: jeżeli a = to √

=

c gdzie a to liczba pierwiastkowana (liczba podpierwiastkowa), b to stopień pierwiastka a c to

wartość pierwiastka. Czyli pierwiastkiem stopnia b z liczby a nazywamy taką liczbę c, która

podniesiona do potęgi b da nam liczbę pierwiastkowaną a. Możemy to zapisać:

√

= c = a

Z wzoru na potęgę o wykładniku wymiernym wynika że każdy pierwiastek możemy

przedstawić w postaci potęgi:

= √ =>

= √

=> √

=

Każde więc działanie na pierwiastkach możemy wykonać stosując wzory na działania na

potęgach (pamiętamy że jest ich tylko pięć!). Pamiętamy też, przez analogię do potęgowania, że nie

możemy dodawać ani odejmować różnych pierwiastków (o różnym stopniu lub różnej liczbie

pierwiastkowanej). Praktycznie jest jednak zapamiętać proste wzory dotyczące mnożenia i dzielenia

pierwiastków tego samego stopnia:

√

√

= √

√

: √

= √

Jeżeli we wzorze na dzielenie pierwiastków tego samego stopnia znaki dzielenia zastąpimy

kreskami ułamkowymi, otrzymamy wzór na pierwiastkowanie ułamka:

√

=

√

√

No i jeszcze jeden wzór warty zapamiętania. Wynika on również z wzorów na potęgowanie:

√

= √

Wynika z niego, że potęgując pierwiastek, możemy – jeżeli jest to nam wygodne –

najpierw spotęgować liczbę pierwiastkowaną a potem obliczyć z niej pierwiastek.

15

61. √ √

62. √

: √

63. √ : √

64. √ √

65. √

√

66. √

√

√ √

√

Nie powinny nam również sprawiać problemu obliczenia wyrażeń z pierwiastkami i potęgami.

Zamieniamy pierwiastki na potęgi i stosujemy znane wzory.

Przykład 5. Wykonajmy działania:

(√ )

= [( )

]

=

=

67. ( √

)

68. (√ + √ )2

69. (2 - √ )3

Działania na pierwiastkach występują zawsze podczas usuwania niewymierności

z mianownika. Tą niewymiernością jest pierwiastek występujący w jednomianie lub wielomian.

W przypadku niewymierności występującej w mianowniku w jednomianie usuwamy ją rozszerzając

ułamek przez ten pierwiastek.

√ =

√

√ √ =

√

=

√

√ = ( ) √

√ √ =

( ) √

√ = ( ) √

W przypadku niewymierności występującej w mianowniku w wielomianie rozszerzamy ten

ułamek o wielomian wynikający z wzoru skróconego mnożenia, który po zastosowaniu go

w mianowniku utworzy wyrażenie wymierne.

Przykład 6. Usuńmy niewymierność z mianownika:

√ =

( √ )

( √ ) ( √ ) =

√

=

√

√ =

( √

√

)

( √

) ( √

√

) =

( √

√

)

( √

) =

√

√

70. Dlaczego nie możemy usunąć niewymierności podnosząc licznik i mianownik dom

odpowiedniej potęgi?

16

Usuń niewymierność z mianownika: (zad. 70 – 75)

71.

√

72. √

73.

√

74.

√

75.

√

√

2.5. DZIAŁANIA NA LOGARYTMACH

Logarytmem z dodatniej liczby a przy dodatniej, różnej od 1 podstawie logarytmu c

nazywamy liczbę b do której podniesiona podstawa logarytmu da liczbę logarytmowaną.

logca = b <=> cb = a, c > 0 i c ≠ 1 i a > 0

gdzie: - c – podstawa logarytmu

- a – liczba logarytmowana

- b – wartość logarytmu

Zapis log a oznacza logarytm dziesiętny - czyli logarytm o podstawie 10 - z liczby a.

log a = log10a

Zauważmy, że logarytmowanie – podobnie jak pierwiastkowanie – definiowane jest za

pomocą potęgowania:

cb = a <=> c = √

cb = a <=> b = logca

Pierwiastkowanie pozwala obliczyć liczbę którą należy podnieść do danej potęgi aby uzyskać

liczbę pierwiastkowaną, natomiast logarytmowanie pozwala obliczyć wykładnik potęgi, do której

należy podnieść daną liczbę aby uzyskać inna, liczbęlogarytmowaną.

Jeżeli chodzi o działania na logarytmach, to możemy tylko wykonywać dodawanie

i odejmowanie logarytmów o tej samej podstawie, a nie ma wzorów na mnożenie i dzielenie

logarytmów. Przeciwnie niż przy działaniach na potęgowanie!

Oto wzory:

logab + logac = loga(bc)

17

logab – logac = loga(b:c)

Konsekwencją wzoru na dodawanie logarytmów jest wzór na logarytm z potęgi:

n logab = logabn

Potocznie możemy opisać ten wzór mówiąc że „wykładnik liczby logarytmowanej możemy

wyciągnąć przed znak logarytmu”.

Jeszcze jeden wzór pozwalający zmienić podstawę logarytmu na dowolną, spełniające jednak

warunki definicji, liczbę:

logab =

Pozostałe wzory wynikają z definicji i powyższych wzorów.

Określ na podstawie definicji logarytmu wartość logarytmu i sformułuj słownie

zaobserwowaną prawidłowość: (zad. 76 - 79)

76. logaa

77. loga1

78. loga

79. loga

80. Przekształć dowolny logarytm według wzoru na zamianę podstawy logarytmu,

wprowadzając nową podstawę równą liczbie logarytmowanej. Sformułuj słownie wyprowadzoną

zależność.

Oblicz: (zad. 81 – 82)

81. log40 + log5 – log2

82. +

83. Oblicz wartość logarytmu zamieniając jego podstawę na 2:

2.6. DZIAŁANIA NA ZBIORACH

Zbiór jest w matematyce pojęciem pierwotnym (podobnie jak np. punkt czy prosta) czyli nie

definiowanym, jednak powszechnie zrozumiałym. Zawiera on nieuporządkowane, tzn. bez określonej

kolejności obiekty (liczby, zwierzęta, figury geometryczne…) które nazywamy elementami zbioru.

Zbiory oznaczamy dużymi literami, a ich elementy małymi. Ilość elementów danego zbioru nazywamy

mocą zbioru. Należenie elementu a do zbioru B zapisujemy a є B. Ze względu na ilość elementów

zbiory mogą być:

18

- puste, czyli niezawierające żadnych elementów, oznaczane Ø

- skończone, o określonej liczbie elementów

- nieskończone, czyli posiadające nieskończoną liczbę elementów.

Zbiór A jest podzbiorem zbioru B ( A B) wtedy, gdy wszystkie elementy zbioru A należą do

zbioru b. Możemy też w tym przypadku powiedzieć, że zbiór A zawiera się w zbiorze B. Jeżeli zbiór A

jest podzbiorem zbioru B, takim przypadku zbiór B nazywamy nadzbiorem zbioru A.

Dwa zbiory nazywamy rozłącznymi jeżeli nie zawierają żadnego elementu wspólnego.

Podstawowe działania wykonywane na zbiorach, to:

- suma zbiorów - A B

- iloczyn zbiorów – A B

- różnica zbiorów – A\ B

- dopełnienie zbioru A w przestrzeni U – A’

Sumą dwóch zbiorów nazywamy zbiór, którego elementy należą do jednego lub drugiego

zbioru. Rysunek poniżej przedstawia sumę dwóch zbiorów, w trzech różnych sytuacjach. Dla dwóch

zbiorów A i B posiadających część wspólną, gdy B A i dla dwóch zbiorów rozłącznych.

Iloczynem dwóch zbiorów nazywamy zbiór, którego elementy należą (równocześnie) do

jednego i do drugiego zbioru. Iloczyn dwóch zbiorów przedstawiono graficznie poniżej.

19

Różnicą dwóch zbiorów A \ B nazywamy zbiór, którego elementy należą do zbioru a, ale nie

należą do zbioru B. Ponieważ odejmowanie zbiorów, podobnie jak odejmowanie w arytmetyce nie

jest przemienne, przedstawiono poniżej dwa zestawy rysunków, dla A \ B oraz dla B \ A.

Dopełnieniem A’ zbioru A w przestrzeni U nazywamy różnicę U \ A, czyli zbiór elementów

należących do przestrzeni U i nienależących do zbioru A. Przestrzeń U jest to zbiór (nadzbiór) do

którego należy zbiór A.

Niech A, B, C, D oznaczają dowolne zbiory. Oblicz: (zad. 84 - 87)

20

84. A Ø

85. B \ Ø

86. Ø \ C

87. D Ø

Niech zbiór A = {-1, 0, 1, 2, 3} a zbiór B = {-2, 0, 1, 4}. Oblicz: (zad. 88 - 91)

88. A B

89. A \ B

90. B \ A

91. A B

Niech C – zbiór liczb pierwszych, a D – zbiór liczb parzystych. Określ: (zad. 92 - 95)

92. C D

93. C \ D

94. D \ C

95. C D

21

3. RÓWNANIA

Równaniem nazywamy dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości. Lewa

strona równania jest równa prawej. Równanie można porównać do wagi w równowadze. Masy ciał

znajdujących się na obu szalkach muszą być równe. Porównanie do wagi jest o tyle trafne, że chcąc

dodać pewną masę po jednej stronie wagi, aby pozostała w równowadze, musimy po drugiej stronie

dodać taką samą masę. Analogicznie jest z równaniem. W ten sposób możemy łatwo zapamiętać że

równanie możemy przekształcić wyłącznie poprzez:

- dodanie do obu stron równania tej samej liczby,

- odjęcie od obu stron równania tej samej liczby,

- pomnożenie obu stron równania przez tę samą liczbę,

- podzielenie obu stron równania przez tę samą liczbę.

Powszechnie używane określenie „przenoszenie na drugą stronę” nie jest odrębnym

działaniem. Jest to po prostu obustronne dodawanie lub odejmowanie tej samej liczby:

a + b = c / -b

a = c – b

Proponuję, przynajmniej na początku zaznaczać obustronne działanie jak w powyższym

przykładzie. Za pomocą ukośnika z zaznaczonym obustronnym działaniem.

Tak jak waga może nie być w równowadze, tak i czasami lewa strona równania może nie być

równa prawej. Takie równanie nazywamy równaniem sprzecznym. Np.:

2 + 4 = 7

lub x + 3 = x – 5

W drugim równaniu x oznacza niewiadomą. Rozwiązać równanie, to znaczy wyliczyć taką

wartość niewiadomej, która spełnia to równanie, czyli dla której lewa strona równania jest równa

prawej. Rozwiązaniem równania nazywamy więc taką liczbę lub kilka liczb, które spełniają to

równanie. Pojedyncze rozwiązanie równania nazywamy też pierwiastkiem tego równania.

Równaniem nieoznaczonym (tożsamościowym) nazywamy równanie które ma

nieskończenie wiele rozwiązań. Np.:

3 + x = 1 + x + 2

Równanie które ma tylko jedno rozwiązanie nazywamy równaniem oznaczonym.

22

Równania, ze względu na ilość niewiadomych dzielimy na równania jednej niewiadomej

i równania wielu niewiadomych. Jedno równanie wielu niewiadomych jest równaniem

nieoznaczonym, czyli ma nieskończenie wiele rozwiązań. Np.:

x + 3y = 5

Rozwiązaniem tego równania jest x = 5 – 3y, czyli nieskończenie wiele par liczb wstawionych

w miejsce x i y spełnia to równanie: x = 5 i y = 0, x = -1 i y = 2, x =14 i y =-3 itd.

Żeby uzyskać skończoną ilość rozwiązań równania z wieloma niewiadomymi, liczba równań

musi być równa liczbie niewiadomych. Mówimy wtedy o układzie równań. Więcej informacjo na ten

temat znajdziemy w rozdziale 3.7. na stronie 37.

Ze względu na postać wyrażenia znajdującego się w równaniu, możemy wyróżnić równania

algebraiczne, wymierne, wykładnicze itd.

Równaniem algebraicznym nazywamy równanie o postaci:

W(x) = 0

W(x) oznacza wielomian jednej zmiennej (x), czyli wyrażenie algebraiczne o postaci:

anxn + an-1xn-1 + an-2x

n-2 +……… + a2x2 +a1x + a0

Ponieważ w równaniu algebraicznym występuje wielomian, często nazywa się je równaniami

wielomianowymi.

Stopień wielomianu jest równy najwyższej potędze zmiennej występującej w wielomianie.

Wielomian piątego stopnia będzie miał więc postać:

a5x5 + a4x

4 + a3x3 +a2x

2 + a1x + a0

Liczby przez które mnożymy zmienną ( an …. a0 ) noszą nazwę współczynników wielomianu,

natomiast współczynnik a0 ma odrębną nazwę – wyraz wolny.

Równania algebraiczne noszą nazwy od stopnia wielomianu. Mamy więc równanie

pierwszego stopnia (liniowe), drugiego stopnia czyli kwadratowe i równania wyższych stopni.

Jeżeli chodzi o rozwiązywanie równań, to generalną zasadą jest doprowadzenie równania,

na początku, do najprostszej postaci. Uzyskujemy to wykonując wszystkie możliwe działania,

redukując wyrazy podobne, przeniesienie wszystkich wyrażeń na lewą stronę tak aby po prawej

pozostało zero i uszeregowanie potęg od najwyższej do najniższej. Jeżeli chcemy pozbyć się z

równania ułamka, mnożymy obustronnie równanie przez mianownik tego ułamka. Jeżeli chcemy

zmienić znak przy jakimś wyrażeniu mnożymy (lub dzielimy) obie strony równania przez -1.

23

3.1. RÓWNANIA LINIOWE

Równanie liniowe to równanie o postaci ax + b = 0.

Spróbujmy według powyższych zasad rozwiązać następujące równanie:

Przykład 7. Rozwiążmy równanie:

( )( ) ( )( )

= ( ) +3

Wykonując możliwe działania (pamiętajmy o wzorach skróconego działania) i mnożąc obie

strony równania przez 7 otrzymujemy:

3x2 – 6x - 9 – 24 + 4x2 – 9 = 7x2 – 14x + 28

Przenosząc wszystko na lewą stronę a następnie redukując wyrazy podobne mamy:

8x - 46 = 0

Dopiero teraz widzimy że jest to równanie liniowe. Zauważmy też że współczynniki tego

równania (8 i 46) dzielą się przez 2, co wykorzystujemy – dzieląc obie strony równania przez 4 – do

otrzymania jeszcze prostszej postaci równania:

4x – 23 = 0

Teraz tylko wystarczy do obu stron równania dodać 23 a następnie obie strony podzielić

przez 4, żeby uzyskać ostateczny wynik:

x =

= 5

Rozwiąż równania: (zad. 96 – 99)

96. (2x - 5)(3x + 6) = 6(x – 3)2 + 15

97. (3x – 2)2 = (3x + 2)(3x – 2) - 12x

98. (5x – 8)2 = (5x + 8)2

99. (x + 2)3 – 6(x + 1)2 = x3

3.2. RÓWNANIA KWADRATOWE

Równanie kwadratowe to równanie o postaci ax2 + bx + c = 0 gdzie a 0.

Równanie drugiego stopnia może mieć najwyżej dwa rozwiązania. Zbieżność największej

ilości rozwiązań równania z jego stopniem nie jest przypadkowa. Maksymalna ilość pierwiastków

równania algebraicznego jest równa stopniowi wielomianu w nim występującego.

24

Ilość pierwiastków równania kwadratowego zależy od wartości wyróżnika Δ definiowanego

następująco:

Δ = b2 – 4ac

Gdzie a, b, c to współczynniki równania kwadratowego.

Równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki gdy Δ 0, jeden pierwiastek gdy Δ = 0 i nie ma

rozwiązania gdy Δ < 0.

Wzory na pierwiastki równania kwadratowego są następujące:

x1 = √

x2 =

√

czyli: x1,2 =

√

Zastanówmy się co będzie, gdy wyróżnik będzie równy 0 (Δ = 0).

Łatwo zauważyć że oba pierwiastki będą sobie równe i dlatego nazywamy go pierwiastkiem

podwójnym:

dla Δ = 0 x1 = x2 = x1,2 =

= -

Co stanie się gdy Δ będzie ujemna (Δ < 0)? Nie będziemy mogli obliczyć pierwiastka z Δ, a

więc nie istnieją wtedy pierwiastki x1 i x2, czyli równanie kwadratowe nie ma pierwiastków.

Przykład 8. Rozwiążmy równanie:

(x – 2)(x + 2) + (x – 4)2 – 22 = 0

Po wykonaniu możliwych działań, zredukowaniu wyrazów podobnych, podzieleniu obu stron

równania przez 2 i uporządkowaniu kolejności otrzymujemy:

x2 – 4x -5 = 0

a więc Δ = 36, a rozwiązanie równania to: x1 = 5 i x2 = -1.

Przykład 9. Rozwiążmy równanie:

(2x – 7)(3x + 12) = 0

Moglibyśmy wykonać mnożenie, otrzymując po lewej stronie równanie trójmian kwadratowy

6x2 + 3x – 84, ale zauważmy że mamy w temacie iloczyn dwóch nawiasów przyrównany do zera.

Stwierdziliśmy już uprzednio, że iloczyn jest równy zeru gdy któryś z czynników jest równy zeru,

a więc:

(2x – 7)(3x + 12) = 0 <=> 2x – 7 = 0 lub 3x + 12 = 0

czyli zamiast rozwiązywać równanie kwadratowe rozwiązujemy dwa równania liniowe otrzymując

x1 = 3,5 i x2 = -4.

Zawsze gdy będziemy mieli w równaniu iloczyn przyrównany do zera nie warto wykonywać

mnożenia. Wystarczy przyrównać każdy z czynników do zera. Łatwiej i szybciej!

25

100. Sprawdź, czy rozwiązując za pomocą Δ zadanie z ostatniego przykładu otrzymamy to

samo rozwiązanie.

Rozwiąż równania: (zad. 101 - 107)

101. 6x2 – 13x + 6 = 0

102. 4x2 -28x + 49 = 0

103. 3x2 – x + 12 = 0

104. (2x + 5)(2 – x) = 11

105. (x + 2)(2x + 5) = 10

106. (2x – 5)(x – 2) = 19(2 – x)

107. (x – 3)(4 + x) = 0

Definicja równania kwadratowego mówi, że współczynnik a stojący przy x2 nie może być

równy 0. Pozostałe współczynniki b i c mogą być równe 0 i wtedy mówimy o niepełnych równaniach

kwadratowych. Można je rozwiązywać za pomocą wyróżnika Δ ale można je rozwiązać prościej.

Dlatego rozpatrzmy poszczególne przypadki:

- b = 0 i c = 0 więc równanie ma postać ax2 = 0. Iloczyn jest równy 0. Jeden czynnik (a) nie

może być równy 0, więc x2 musi być równe 0, czyli: x1,2 = 0

- b ≠ 0 i c = 0 więc równanie ma postać ax2 + bx = 0. Wyłączamy x przed nawias i otrzymujemy

równanie x(ax + b) = 0 czyli iloczyn równy 0, więc x = 0 lub ax + b = 0. Mamy więc x1 = 0 x2 =

108. Przy niepełnym równaniu kwadratowym ax2 + bx = 0 mamy zawsze dwa pierwiastki.

Dlaczego?

- b = 0 i c ≠ 0 więc równanie ma postać ax2 + c = 0. Wyliczamy x2:

x2 = -

Mogą zaistnieć dwa przypadki:

> 0 lub

< 0

109. Dlaczego nie rozpatrujemy przypadku, gdy

?

Jeżeli

jest ujemne, to równanie x2 =

jest sprzeczne więc brak rozwiązania (rozwiązaniem

jest zbiór pusty).

Jeżeli

jest dodatnie, to równanie x2 =

ma dwa pierwiastki: x1 = √

, x2 = -√

Przykład 10. Rozwiążmy równanie:

2x2 – 18 = 0 /+18

26

2x2 = 18 /:2

x2 = 9

x1 = 3 x2 = -3

Istnieje inny sposób rozwiązania takiego równania, szczególnie polecany tym, którzy

pierwiastkując zapominają o pierwiastku ujemnym:

2x2 – 18 = 0 /:2

x2 – 9 = 0

(x – 3)(x + 3) = 0

x1 = 3 x2 = -3

A jeżeli będą inne współczynniki? Jeżeli każdą liczbę dodatnią można wyrazić jako kwadrat jej

pierwiastka:

a > 0 => a = √

to każdą różnicę można rozłożyć na czynniki stosując wzór na różnicę kwadratów:

a – b = (√ - √ )(√ + √ )

Przykład 11. Rozwiążmy równanie:

3x2 – 5 = 0 /:3

x2 -

= 0

(x - √

)(x + √

) = 0

x1 = √

x2 = -√

Rozwiąż równania: (zad. 110 – 114)

110. 37x2 = 0

111. 381x2 + 127x = 0

112. x2 + 25 = 0

113. 2x2 -32 = 0

114. 7x2 – 2 = 0

27

3.3. RÓWNANIA WYŻSZEGO STOPNIA.

Niestety nie ma algorytmu, który – jak np. przy równaniu liniowym czy kwadratowym –

umożliwiłby rozwiązanie każdego równania stopnia wyższego niż 2. Gdy jednak wielomian

przedstawiony jest w postaci iloczynu wielomianów o stopniu nie wyższym niż 2 możemy zastosować

zasadę o iloczynie równym 0.

Przykład 12. Rozwiążmy równanie:

x(x - 3)(3x + 5)(-x + 2)(x2 + x + 1) = 0

Przyrównujemy każdy z czynników do zera i uzyskujemy następujące rozwiązanie

powyższego równania: x1 = -2

x2 = 0 x3 = 2 x4 = 3. Trójmian kwadratowy zawarty w ostatnim

nawiasie nie daje pierwiastka gdyż jego Δ jest mniejsza od zera.

Przykład 13. Rozwiążmy równanie:

x2(x – 3)3(2x -7)2 = 0

Rozpiszmy potęgi jako iloczyny:

xx (x – 3)(x – 3)(x – 3)(2x -7(2x – 7) = 0

Przyrównując każdy z czynników do zera otrzymujemy:

x1 = 0 x2 = 0 x3 = 3 x4 = 3 x5 = 3 x6 = 3,5 x7 = 3,5

Mamy tu do czynienia z powtarzającymi się pierwiastkami, czyli pierwiastkami

wielokrotnymi, które możemy zapisać następująco (podobnie jak pierwiastek podwójny) równania

kwadratowego:

x1,2 = 0 x3,4,5 = 3 x6,7 = 3,5

Jeżeli zapisalibyśmy wynik w postaci x1 = 0 x2 = 3 x3 = 3,5 nie popełnilibyśmy błędu,

niemniej już teraz warto wrócić uwagę na pierwiastki wielokrotne, gdyż będą one istotne przy

rozwiązywaniu nierówności wielomianowych (wyższego stopnia).

115. Oblicz stopień równania z przykładu 12.

Istnieją różne sposoby przekształcenia wielomianu w iloczyn. Można to zrobić poprzez:

a) stosowanie wzorów skróconego mnożenia

Przykład 14. Rozwiążmy równanie:

8x3 + 125 = 0

Stosujemy wzór na sumę sześcianów:

(2x)3 + 55 = (2x + 5)( 4x2 – 10x + 25) = 0

28

2x + 5 = 0 lub 4x2 – 10x + 25 = 0

x = -2,5 (Δ = 0)

Przykład 15. Rozwiążmy równanie:

32x4 – 162 = 0

2(16x4 – 81) = 0

2(4x2 – 9)(4x2 + 9) = 0

2(2x -3)(2x + 3)(4x2 + 9) = 0

2 = 0 lub 2x – 3 = 0 lub 2x + 3 = 0 lub 4x2 + 9 = 0

Pierwsze i ostatnie równania są sprzeczne, gdyż 2 ≠ 0 i 4x2 ≠ -9, więc:

x1= 1,5 x2 = -1,5

116. Dlaczego 4x2 ≠ -9?

Rozwiąż równania: (zad. 117 – 134)

117. x3 – 64 = 0

118. 2x3 + 54 = 0

119. x4 + 81 = 0

120. 16 – 81x4 = 0

121. x6 – 729 = 0

b) wyłączanie niewiadomej przed nawias

Przykład 16. Rozwiążmy równanie:

x3 – 5x2 – 6x = 0

x(x2 – 5x – 6) = 0

x = 0 lub x2 – 5x – 6 = 0

x1 = 0 x2 = 6 x3 = -1

Zwróćmy uwagę, że z każdego wielomianu nie posiadającego wyrazu wolnego możemy

wyłączyć zmienną przed nawias.

122. x3 – 8x = 0

123. x4 + 6x2 = 0

124. 3x6 + 192x3 = 0

29

125. x4 – 4,5x3 – 2,5x2 = 0

126. x9 – 5x8 + 6,25x7 =0

c) grupowanie i wyłączanie przed nawias

Przykład 17. Rozwiążmy równanie:

2x3 – 7x2 – 8x + 28 = 0

grupujemy składniki wielomianu: 2x3 – 8x – 7x2 + 28 = 0

i wyłączamy przed nawias: 2x(x2 – 4) – 7(x2 – 4) = 0

Ponieważ (x2 – 4) się powtarza wyciągamy to wyrażeni przed nawias:

(x2 – 4)(2x – 7) = 0

Zaważamy możliwość zastosowania wzoru na różnicę kwadratów i otrzymujemy ulubioną

postać iloczynową:

(x – 2)(x + 2)(2x – 7) = 0

a więc: x1 = 2 x2 = -2 x3 = 3,5

127. x3 + 3x2 -6x – 18 = 0

128. x4 - 3x3 +9x2 – 9x = 0

129. x3 + 0,5x2 – 0,25x – 0,125 = 0

130. x4 + 2x3 – x – 2 = 0

d) podstawiania pomocniczej niewiadomej

Przykład 18. Rozwiążmy równanie:

2x4 – x2 – 15 =0

Podstawiamy za x2 pomocniczą niewiadomą, np. m:

2m2 – m – 15 = 0

i otrzymujemy: m1 = - 2,5 m2 = 3

Ponieważ m = x2 otrzymujemy równania:

x2 = -2,5 lub x2 = 3

Pierwsze równanie jest sprzeczne, a drugie daje rozwiązanie:

x1 = √ x2 = -√

30

Równanie z tego przykładu, po wprowadzeniu pomocniczej niewiadomej, zostało

sprowadzone do równania kwadratowego, dlatego równanie:

ax4 + bx2 + c = 0

nosi nazwę równania dwukwadratowego i rozwiązujemy je podstawiając za x2 pomocniczą

niewiadomą.

131. x6 + 26x3 – 27 = 0

132. x4 – 9x2 + 20 = 0

133. x64 – 2x32 + 1 = 0

134. x86 – 2x43 – 8 =0

W przypadkach gdy niemożliwe jest przekształcenie wielomianu w iloczyn pozostaje nam

zastosowanie schematu (tabelki) Hornera. Należy jednak podkreślić, że metoda ta nie pozwala na

bezpośrednie wyliczenie pierwiastków wielomianu, lecz jedynie na określenie, czy jakaś konkretna

liczba jest pierwiastkiem wielomianu czy nie.

Dlatego, przed zastosowaniem schematu Hornera, należy wytypować liczby mogące być tymi

pierwiastkami. Korzystamy z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu, które mówi, że

pierwiastkiem wymiernym wielomianu może być tylko liczba

, gdzie licznik jest podzielnikiem

wyrazu wolnego a mianownik podzielnikiem współczynnika stojącego przy najwyższej potędze

zmiennej. Wynika z tego, że gdy współczynnikiem przy najwyższej potędze niewiadomej jest 1,

to pierwiastkami wymiernymi mogą być tylko liczby całkowite, podzielniki wyrazu wolnego.

Dopiero mając wytypowane liczby spełniające powyższe warunki, czyli mogące być

pierwiastkami wielomianu , stosujemy schemat Hornera. W pierwszym wierszu tabeli wpisujemy

kolejne współczynniki (a, b, c, d, e, gdzie a – współczynnik przy niewiadomej o najwyższej potędze, e–

wyraz wolny) wielomianu, pozostawiając miejsce w pierwszej kolumnie puste. Do pierwszej kolumny

wpisujemy liczby mogące być pierwiastkami (x), a w drugiej przepisujemy współczynnik a. Następne

pola tego wiersz wypełniamy według schematu: iloczyn x przez liczbę znajdującą się na lewo od

obliczanego pola powiększoną przez liczbę znajdującą się nad tym polem. W polu drugiego wiersza

trzeciej kolumny będzie to x a+b. Analogicznie postępujemy w następnym polu (drugi wiersz, czwarta

kolumna). Mnożymy x przez liczbę znajdującą się na lewo, czyli przez x a+b i dodajemy liczbę z pola

powyżej czyli c. W analogiczny sposób obliczamy liczby w następnych polach tego wiersza,

aż dojdziemy do ostatniego pola, pod wyrazem wolnym e. Jeżeli otrzymaliśmy 0, to znaczy że liczba

wpisana na początku wiersz jest pierwiastkiem wielomianu, jeżeli liczbę różną od zera

to kontynuujemy sprawdzanie następnej liczby z uprzednio wytypowanych.

a b c d e

x a xa + b x(xa +b) + c x[x(xa+b)+c]+d …….

31

Dalszych pierwiastków szukamy w analogiczny sposób z wielomianu o stopniu o 1 mniejszym

i o współczynnikach znajdujących się w wiersz odpowiadającym znalezionemu pierwiastkowi.

Przykład 19. Rozwiążmy równanie:

x4 – 4x3 – 9x2 + 16x – 20 = 0

Po stwierdzeniu że nie potrafimy przedstawić wielomianu w postaci iloczynu, zaczynamy od

wytypowania liczb które mogłyby być pierwiastkami. Ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze

niewiadomej (przy x4) jest równy 1, z twierdzenia o pierwiastkach wiemy, że pierwiastkiem tego

wielomianu może być tylko liczba całkowita będąca podzielnikiem wyrazu wolnego, czyli 20.

Sprawdzać więc będziemy liczby ze zbioru: {±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20}. Kolejność sprawdzania jest

dowolna. Rysujemy tabelkę Hornera (poniżej) i wpisujemy w pierwszym wierszu współczynniki

wielomianu: 1. -4, -9, 16, 20 i zaczynamy sprawdzanie od 1 wpisując ją w pierwszym polu drugiego

wiersza. W drugim polu spisujemy z góry 1 i wykonując obliczenia według opisanego uprzednio

schematu otrzymujemy w kolejnych polach: 1 1 – 4 = -3, 1 (-3) + (-9) = -12, 1 (-12) + 16 = 4,

1 4 + 20 = 24. Ponieważ w ostatnim polu tego wiersza uzyskaliśmy inną liczbę niż 0, więc 1 nie jest

pierwiastkiem tego wielomianu. Sprawdzamy więc następną liczbę: -1. Przeprowadzając analogiczne

obliczenia uzyskaliśmy w ostatnim polu tego wiersz 0, a więc -1 jest pierwiastkiem tego równania.

1 -4 -9 16 20

1 1 -3 -12 4 24

-1 1 -5 -4 20 0

Dalszych pierwiastków szukamy rozwiązując równanie:

x3 – 5x2 – 4x + 20 = 0

Współczynniki wielomianu odczytaliśmy z tabelki Hornera (podkreślone). Powtarzamy całą

procedurę, zaczynając od ponownego sprawdzenia -1, gdyż nie możemy wykluczyć że jest

to pierwiastek ujemny:

1 -5 -4 20

-1 1 -6 2 18

2 1 -3 -10 0

Z powyższej tabeli wynika że:

- liczba -1 nie jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu x4 – 4x3 – 9x2 + 16x – 20

32

- liczba 2 jest drugim pierwiastkiem tego wielomianu

- następnych pierwiastków należy szukać w rozwiązaniu równania (współczynniki wielomianu

podkreślono w powyższej tabeli):

x2 – 3x – 10 = 0

Jest to już równanie kwadratowe, które najprościej rozwiązać za pomocą wyróżnika Δ,

uzyskując następne pierwiastki x3 = -2 i x4 = 5.

Rozwiązaliśmy w ten sposób równanie:

x4 – 4x3 – 9x2 + 16x – 20 = 0

otrzymując rozwiązanie: x1 = -1 x2 = 2 x3 = -2 x4 = 5

Rozwiąż równania: (zad. 135 – 138)

135. x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0

136. x4 + 2x3 – 2x2 + 2x – 3 = 0

137. 2x3 + 4x2 – x – 2 = 0

138. 6x3 + 11x2 – 3x -2 = 0

3.4. RÓWNANIA WYMIERNE

Równaniem wymiernym nazywamy równanie, które możemy przedstawić w postaci:

( )

( ) = 0

gdzie U(x) i W(x) są to dowolne wielomiany.

Równania wielomianowe rozwiązujemy w oparciu o wiadomości poznane już przy ułamkach,

a mianowicie w jaki sposób wyznaczamy dziedzinę ułamka oraz kiedy ułamek jest równy 0. Równanie

wymierne rozwiązujemy więc przyrównując licznik do 0 odrzucając następnie pierwiastki nienależące

do dziedziny wyrażenia.

Przykład 20. Rozwiążmy równanie:

= 0

Wyznaczamy dziedzinę z warunku: x2 – 1 ≠ 0 otrzymując D = R \ {-1, 1).

Przyrównując licznik do zera uzyskujemy jego pierwiastki x1 = -3 x2 = 2. Ponieważ oba

pierwiastki licznika należą do dziedziny ułamka stanowią więc rozwiązanie równania wymiernego.

33

Przykład 21. Rozwiążmy równanie:

= 0

Dziedziną ułamka jest R \ {1, 3} a pierwiastkami wielomianu znajdującego się w liczniku liczby

є {-3, -2, 1, 2}. Z pierwiastków licznika liczba 1 nie należy do dziedziny równania, więc po jej

odrzuceniu otrzymujemy rozwiązanie równania: x1 = -3 x2 = -2 x3 = 2.

Rozwiąż równania: (zad. 139 - 146)

139.

= 0

140.

= 0

141.

= o

142.

= 0

143.

= 0

Przykład 22. Rozwiążmy równanie:

= 3

Równanie to możemy, ale nie musimy przekształcać do uzyskania 0 po prawej stronie. Wystarczy że

określimy dziedzinę (x ≠ -2 ) i pomnożymy obie strony równania przez mianownik. Uzyskamy:

x2 + 3x – 3 = 3x + 6

Po przeniesieniu wyrażenia z prawej strony na lewą i zredukowaniu wyrazów podobnych

uzyskamy równanie x2 – 9 = 0, którego pierwiastkami są x1 = -3 x2 = 3. Ponieważ spełniają one

dziedzinę równania wymiernego, są automatycznie jego rozwiązaniem.

144.

= 1

145.

=

146.

= x – 1

3.5. RÓWNANIA WYKŁADNICZE

Równaniem wykładniczym nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje

w wykładniku potęgi. Ponieważ dwie potęgi o tych samych podstawach są sobie równe tylko wtedy

gdy ich wykładniki są równe, podstawą rozwiązania równań tego typu jest doprowadzenie równania

do postaci równości dwóch potęg o tych samych wykładnikach.

34

Przykład 23. Rozwiążmy równanie:

(

)

=

Zamieniamy obie strony równania do potęg o podstawie 2, podstawiając

= i 8 = 23:

( ) ( )

=

Porównujemy wykładniki potęg, przenosimy na jedną stronę i redukujemy wyrazy podobne,

aby otrzymać równanie 3x2 + 17x + 10 = 0, którego pierwiastki x1 = -5 x2 = -

są rozwiązaniem

równania wykładniczego.

Do przekształcania potęg używamy znane już pięć wzorów na działania na potęgach.

Istnieją też równania wykładnicze, które wymagają dodatkowo podstawienia za potęgę

pomocniczej niewiadomej.

Przykład 24. Rozwiążmy równanie:

- 28

3

3 ( )

Wstawiamy pomocniczą niewiadomą t = 3x :

Uzyskujemy równanie kwadratowe 3t2 – 28t + 9 = 0, rozwiązujemy je uzyskując t1 =

, t2 = 9.

Podstawiając za pomocniczą niewiadomą z powrotem 3x uzyskujemy dwa równania:

3x =

lub 3x =9

które dają ostateczne rozwiązanie: x = -1 lub x = 2 (x1 = -1 x2 = 3)

Rozwiąż równania 147 i 148:

147.

=

148. (

)

- 7 + 11 - 5 = 0

149. (

)

(

) ( )

3.6. RÓWNANIA LOGARYTMICZNE

35

Równania logarytmiczne, to równania w których niewiadoma występuje w wyrażeniu

logarytmowanym lub podstawie logarytmu. Przykłady najprostsze pozostawiamy do samodzielnego

rozwiązania. Rozwiązujemy je w oparciu o definicję logarytmu lub stosując zasadę, analogiczną jak

przy równaniach potęgowych, że dwa logarytmy o tych samych podstawach są sobie równe jeżeli ich

liczby logarytmowane są równe i na odwrót: dwa logarytmy o takich samych liczbach

logarytmowanych są sobie równe, jeżeli ich podstawy są takie same.

Rozwiązywanie każdego równania logarytmicznego powinniśmy zacząć od wyznaczenia

jego dziedziny, czyli od rozwiązania nierówności zawartych w definicji logarytmu. Ponieważ

rozwiązywanie nierówności zostanie przedstawione w następnym rozdziale, możemy zamiast tego

sprawdzać, czy dla każdego z wyliczonych pierwiastków są spełnione te nierówności. Jeżeli nie są

spełnione musimy taki pierwiastek odrzucić.

Rozwiąż równania: (zad. 149 – 153)

150. logx – 39 = 2

151. ( ) = 2

152. logx +28x = 2

153. log2x – 317 = log517

154. log3(2x2 + 3) = log321

Rozpatrzmy bardziej skomplikowane równania. Do powyższych, prostych postaci,

doprowadzamy je stosując wzory dotyczące działań na logarytmach lub podstawiając pomocniczą

niewiadomą.

Przykład 25. Rozwiąż równanie:

= 4

Wyznaczamy dziedzinę tego równania:

2x – 3 > 0 i 2x – 3 ≠ 1

czyli: x > 1,5 i x ≠ 2

Stosując definicję logarytmu zamieniamy równanie logarytmiczne na równanie 4-go stopnia;

( ) = 625

Wstawiamy pomocniczą niewiadomą m = 2x – 4, zauważamy że 625 = 54 i przenosimy je na

lewą stronę uzyskując:

t4 – 54 = 0

36

Stosując dwukrotnie wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów zamieniamy

wielomian na iloczyn:

(t – 5)(t + 5)(t2 + 25) = 0

Pierwiastkami tego równania są x1 = 5 i x2 = -5 z których tylko x = 5 należy do dziedziny, więc

odrzucamy drugi pierwiastek, więc ostatecznym rozwiązaniem jest x = 5.

Przykład 26. Rozwiąż równanie:

( ) + = 2

Dziedzinę równania wyznaczamy z warunków wynikających z definicji logarytmu,

rozwiązujemy nierówności x > 0 i x ≠ 1 i 2x – 3 > 0 i 2x – 3 ≠ 1 co daje ostatecznie : x є (1

, ) \ {2}.

Przekształcamy drugi logarytm, aby miał taką samą podstawę jak pierwszy:

( ) +

( ) = 2

Wygodniej będzie nam kontynuować obliczenia wstawiając w miejsce logarytmu pomocniczą

niewiadomą:

m = ( )

Otrzymujemy równanie wymierne, które następnie rozwiązujemy:

m +

= 2

= 2 /

m2 – 2m + 1 = 0

(m – 1)2 = 0

m = 1

Wracamy do głównej niewiadomej x:

logx(2x – 3) = 1

czyli: x1 = 2x – 3

co daje: x = 3

Sprawdzamy jeszcze, czy obliczony pierwiastek należy do dziedziny równania i po pozytywnej

odpowiedzi mamy ostateczny wynik x = 3.

W tym przykładzie uzyskaliśmy pożądaną podstawę logarytmu zamieniając miejscami liczbę

logarytmowaną z podstawą logarytmu (zad. 80). Zawsze do tego celu możemy zastosować wzór na

zmianę podstawy logarytmu.

37

Przykład 27. Rozwiąż równanie:

log9(x – 2) + log27(x + 1) = log3(4x – 9)

Dziedziną tego równania są x spełniające nierówności: x – 2 > 0 i x + 1 > 0 i 4x – 9 > 0 ,

czyli x > 2.

W obu logarytmach znajdujących się w lewej stronie równania zmieniamy podstawy

logarytmu na 3:

( )

+

( )

= ( )

( )

+

( )

= ( )

( ) + log3(x + 1) = log3(4x – 6)

W tym momencie z kilku możliwości obliczeń zastosujemy dwie:

1) wykorzystamy po lewej stronie wzór na sumę logarytmów i porównamy liczby

logarytmowane

2) przeniesiemy na lewą stronę logarytm z prawej strony tego równania i zastosujmy wzory

na sumę i różnicę logarytmów, a po prawej stronie zamienimy zero na logarytm o podstawie 3.

ad 1)

log3(x – 2)(x + 1) = log3(4x – 6)

(x - 2)(x + 1) = 4x – 6

x2 – 5x + 4 = 0

x1 = 1 x2 = 4

Pierwiastek x1 = 1 nie należy do dziedziny równania, więc rozwiązaniem równania jest jeden

pierwiastek x = 4

ad 2)

log3(x – 2) + log3(x + 1) – log (4x – 6) = 0

( )( )

=

( )( )

= 1 / ( )

(x – 2)( x + 1) = 4x – 6

Otrzymaliśmy to samo równanie jak przy pierwszym sposobie obliczeń, a więc to samo

rozwiązanie. Nie może być inaczej. Przykład ten pokazuje, że bardzo często istnieją różne sposoby

dojścia do prawidłowego wyniku.

38

Rozwiąż równania: ( 155 – 158)

155. ( )

( ) = 1

156.

( )

157.

( )

( )

158.

3.7. UKŁADY RÓWNAŃ

Układem równań nazywamy pewną liczbę równań spełnianych przez te same liczby, które

nazywamy rozwiązaniem układu równań. Np. rozwiązaniem układu równań z trzema niewiadomymi

mogą być trzy liczby.

Układy równań, podobnie jak pojedyncze równania, mogą być:

- oznaczone, czyli mające skończoną liczbę rozwiązań,

- nieoznaczone, mające nieskończenie wiele rozwiązań oraz

- sprzeczne, czyli te które nie mają rozwiązań.

Istnieją cztery podstawowe metody rozwiązywania układów równań:

- metoda podstawiania,

- metoda przeciwnych współczynników,

- metoda graficzna,

- metoda wyznaczników.

Metoda podstawiania jest metodą uniwersalną ale i żmudną przy większej ilości

niewiadomych. Nazwa jej pochodzi od kolejnego podstawiania w miejsce niewiadomych wzorów na

tę niewiadomą wyznaczonych z poszczególnych równań. Po każdym podstawieniu „tracimy” z układu

jedno równanie (to z którego wyprowadziliśmy wzór do podstawienia) redukując równocześnie ilość

niewiadomych, tak że dalej liczba równań jest równa liczbie niewiadomych. Postępujemy tak aż do

uzyskania jednego równania z jedną niewiadomą. Po jego rozwiązaniu podstawiamy -0wyliczoną

wartość niewiadomej do ostatniego wzoru na niewiadomą, którą w ten sposób możemy wyliczyć

i postępujemy w ten sposób aż do wyliczenia wszystkich niewiadomych.

Przykład. 28. Rozwiążmy metodą podstawiania układ równań:

2x + 3y = 5

4x – y = 3

39

Nim wyprowadzimy wzór na którąś z niewiadomych uświadommy sobie, że mamy cztery

możliwości: wyliczyć x z pierwszego lub drugiego równania albo wyliczyć y z pierwszego lub drugiego

równania. Brak refleksji nad tym, którą niewiadomą podstawić i skąd wziąć wzór doprowadza często

do trudniejszych obliczeń, będących później powodem błędów. Wyprowadźmy więc wszystkie cztery

możliwe wzory do podstawienia:

Każde z tych podstawień jest prawidłowe, niemniej od razu widać, że podstawiając y

z drugiego równania obliczenia będą najprostsze. Wstawiamy więc za y w pierwszym równaniu 4x -3

otrzymując:

2x + 3(4x – 3) = 5

Otrzymaliśmy równanie z jedną niewiadomą, z którego, po wykonaniu działań i redukcji

wyrazów podobnych , możemy wyliczyć niewiadomą x:

x =1

Mając wyliczoną jedną niewiadomą wstawiamy ją do zastosowanego wzoru podstawionego

w miejsce drugiej niewiadomej:

y = 4x – 3 = 4 1 – 3 = 1

Wyliczając drugą niewiadomą, mamy już rozwiązanie całego układu równań, którym jest para

liczb x = 1 i y = 1.

Przykład 29. Rozwiążmy metodą podstawiania układ równań:

2x + 3y + z = 0

x + 2y – 2z = 5

3x – 4y + 2z = -1

Z dziewięciu (!) możliwości pierwszego wzoru do podstawienia wybieramy wzór na z

z pierwszego równania z = -2x -3y (równie dobry byłby wzór na x z drugiego równania) i wstawiamy

go do równania drugiego i trzeciego:

z = -2x – 3y

x + 2y – 2(-2x – 3y) = 5

3x – 4y + 2(-2x – 3y) = -1

Straciliśmy pierwsze równanie na wzór na z ale za to w pozostałych równaniach mamy już

tylko dwie niewiadome. Z układu trzech równań z trzema niewiadomymi uzyskaliśmy w ten sposób

układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi. (Warto w trakcie stosowania tej metody sprawdzać

czy rzeczywiście po podstawieniu „zniknęła” jedna niewiadoma). Po wykonaniu działań i redukcji

40

wyrazów podobnych ma postać: (Proponuję nie przepisywać wielokrotnie wzoru na podstawienie,

który de facto jest trzecim równaniem układu z trzema niewiadomymi. Podkreślenie ułatwi nam

znalezienie go, gdy będziemy mieli wyliczone x i y).

5x + 8y = 5

x + 10y = 1

Wybór najkorzystniejszego podstawienia jest oczywisty i rozwiązujemy analogicznie do

końca:

x = 1 – 10y

5(1 – 10y) + 8y = 5

5 – 50y + 8y = 5 / - 5

-42 y = 0 / :(-42)

y = 0

Mając wyliczoną pierwszą niewiadomą (y = 0) możemy wstawić ją do wzoru na wcześniejsze

podstawienie, wyliczając w ten sposób x (x = 1 – 10 0 = 1) a potem szukamy następnego

podkreślonego wzoru umożliwiającego wyliczenie z (z = -2 1 – 3 0 = -2). Otrzymaliśmy w ten sposób

rozwiązanie układu równań:

x = 1 y = 0 z = -2

Przykład 30. Rozwiąż metodą podstawiania układ równań:

x – 2y = 6

-2x + 4y = 9

Postępujemy zgodnie z przedstawionymi powyżej zasadami:

x = 6 + 2y

-2(6 + 2y) + 4y = 9

-12 – 4y + 4y = 9

-12 = 9

Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, mamy więc do czynienia ze sprzecznym układem równań,

czyli nie istnieją takie liczby x i y które wstawione do układu spełniałyby jego równania. Możemy

to zapisać: x, y є Ø

Przykład 31. Rozwiąż metodą podstawiania układ równań:

41

2x – 3y = 1

-4x + 6y = -2

Wyliczamy x z pierwszego równania:

I podstawiamy do równania drugiego:

(

)

-2 – 6y + 6y = -2

-2 = -2

Otrzymaliśmy równanie prawdziwe, niezależnie od wartości y, czyli równanie nieoznaczone.

Układ rozwiązywany jest więc układem nieoznaczonym, czyli posiadającym nieskończenie wiele

rozwiązań. Nie oznacza to jednak że rozwiązaniem jest dowolne x i dowolne y. Pary liczb będące

rozwiązaniem układu nieoznaczonego wyznaczamy wyliczając jedną niewiadomą z dowolnie

dobranej (z dziedziny równania) drugiej niewiadomej. Do tego celu służy nam wzór, którym

posłużyliśmy się do podstawienia:

Dla np. y = 7 wyliczamy x = 11 i mamy jedno z nieskończenie wielu rozwiązań tego układu.

Jako wynik rozwiązania układu nieoznaczonego podajemy wzór zależności pomiędzy niewiadomymi.

159. Które z par (x, y) poniższego zbioru są rozwiązaniami zadania z przykładu 31?

{(-3, -4), (-1, -1), (0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 5)}

Metoda przeciwnych współczynników nosi swoją nazwę od możliwości jej zastosowania

tylko w przypadku gdy w dwóch równaniach współczynniki stojące przy tej samej niewiadomej są

liczbami przeciwnymi. W takiej sytuacji dodając stronami dwa równania nastąpi zredukowanie do

zera niewiadomej przy której stoją te współczynniki a więc nastąpi zredukowanie liczby

niewiadomych.

Metoda ta jest praktyczna i wygodna przy układach dwóch równań z dwoma niewiadomymi,

w innych układach równań może być zastosowana w wyjątkowych przypadkach.

Przykład 32. Rozwiążmy układ równań:

5x + 2y = 6

x – 2y = 6

Zauważamy, że przy niewiadomej y stoją współczynniki 2 i -2, więc nie myślimy o innych

metodach, tylko stosujemy metodę przeciwnych współczynników. Dodajemy więc stronami oba

42

równania, to znaczy do lewej strony pierwszego równania dodajemy lewą stronę drugiego równania

a z prawymi postępujemy analogicznie. Obie sumy muszą być sobie równe:

5x + 2y + x – 2y = 6 + 6

6x = 12 / :6

x = 2

Po zredukowaniu wyrazów podobnych otrzymaliśmy równanie z jedną niewiadomą, z którego

wyliczyliśmy niewiadomą x. Drugą niewiadomą wyliczymy wstawiając do dowolnego równania

wyliczoną niewiadomą. Prościej będzie skorzystać z drugiego równania:

2 – 2y = 6 / - 2

-2y = 4 / :(-2)

y = -2

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb x = 2 y = -2

160. Rozwiąż układ równań z przykładu 32 metodą podstawiania.

Przykład 33. Rozwiążmy metodą przeciwnych współczynników układ równań z przykładu 28.

2x + 3y = 5

4x – y = 3

Przy żadnej z niewiadomych współczynniki nie są liczbami przeciwnymi, niemniej mnożąc

obie strony równania przez tę samą liczbę możemy uzyskać dowolne współczynniki. W powyższym

przykładzie istnieją cztery możliwości uzyskania przeciwnych współczynników:

- pomnożenie obu stron pierwszego równania przez -2

- podzielenie obu stron pierwszego równania przez 3

- podzielenie obu stron drugiego równania przez -2

- pomnożenie obu stron drugiego równania przez 3.

Wybieramy jako najprostszy wariant ostatni i otrzymujemy:

2x + 3y = 5

12x – 3y = 9

Możemy już zastosować procedurę dodawania stronami i wyliczenia niewiadomych:

14x = 14

x = 1 y = 1

43

Przykład 34. Rozwiążmy metodą przeciwnych współczynników układ równań z przykładu 30.

x – 2y = 6 /

-2x + 4y = 9

2x – 4y = 12

-2x + 4y = 9

Dodajemy stronami: 0 = 21

i otrzymujemy równanie sprzeczne, więc układ jest sprzeczny. Brak rozwiązania, x,y є Ø.

Przykład 35. Rozwiążmy metodą przeciwnych współczynników układ równań z przykładu 31

2x – 3y = 1 / 2

-4x + 6y = -2

4x – 6y = 2

-4x + 6y = -2

Po dodaniu stronami otrzymujemy równanie 0 = 0 czyli równanie nieoznaczone, spełnione

dla każdej wartości niewiadomej. Układ jest więc też nieoznaczony, ma nieskończenie wiele

rozwiązań – par liczb x i y, pomiędzy którymi zachodzi relacja wyznaczona z dowolnego równania:

x =

Rozwiąż układy równań: (zad. 161 – 165)

161. 7x – 4y - 2 = 0

3x + 5y -21 =0

162. 31x – y = 31

y – x = 29

163. 7x + 2y – 3z = 8

-2y + 3z + 7x = 6

3z -2y – 7x = 6

164. x + y + z = 3

2x + y – z = 2

-3x – 3y – 3z = -9

44

165. 2x + 2y + 2z = 14

3x + 4y + 5z = 26

-2x - y + 8z = -9

4. NIERÓWNOŚCI

Nierównością nazywamy dwa wyrażenia algebraiczne połączone jednym ze znaków:

Podstawową zasadą, jedyną odróżniającą przekształcenia nierówności od przekształceń

równań jest to, że mnożąc lub dzieląc obie strony nierówności, przez liczbę ujemną, zmieniamy

znak nierówności na przeciwny. To znaczy > na <, na itd.

Zrozumienie tego postępowania jest łatwe. Wyobraźmy sobie dowolną nierówność

prawdziwą, np.

5 > 3

Jeżeli pomnożymy obie strony nierówności przez np. -2, otrzymamy po lewej stronie -10, a po

prawej -6. Aby nierówność była nadal prawdziwa, musimy zmienić znak nierówności na przeciwny:

-10 < -6

Nierówności wielomianowe drugiego i wyższych stopni rozwiązujemy graficznie.

Nierówności wymierne, wykładnicze i logarytmiczne doprowadzamy do postaci nierówności

wielomianowej.

4.1. NIERÓWNOŚCI LINIOWE

Nierówności liniowe rozwiązujemy analogicznie jak równania, pamiętając o zasadzie zmiany

znaku nierówności przy mnożeniu lub dzieleniu obu stron nierówności przez tę samą liczbę:

Przykład 36. Rozwiąż: równanie nierówność

3x – 2 = 5 / +2 3x – 2 > 5 / +2

3x = 7 / :3 3x > 7 / :3

x =

x >

Przykład 37. Rozwiąż: równanie nierówność

2 – 3x = 5 / -2 2 – 3x 5 / -2

45

-3x = 3 / :(-3) -3x 3 / :(-3)

x = -1 x -1

Rozwiąż nierówności: (zad. 166 – 170)

166. (x – 2)(x + 5) + (x – 6)(3 – x) 8

167. (2x – 3)2 -2(5 + x)(x – 5) – 2(x + 8)2 27

168. (2x – 5)3 + (5 - 2x)3 < 3

169. (2x – 3)3 - (3 + 2x)3 + 2(6x – 3)2 > 0

170. (x + 2)(x + 3) – (x - 1)(x - 6) – 3(4x + 1) > 2

4.2 NIERÓWNOŚCI KWADRATOWE

Nierówności kwadratowe, zwane również nierównościami drugiego stopnia, to nierówności

o postaci ax2 + bx + c ( ) 0

Nierówności kwadratowe, podobnie jak pozostałe nierówności wielomianowe,

rozwiązujemy graficznie, czyli na podstawie wykresu.

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie W(

,

). Zwrot

ramion paraboli zależny jest od współczynnika a (stojącego przy x2). Gdy a > 0 ramiona skierowane są

ku górze, gdy a < 0 – w dół. Parabola przecina oś x w punktach o odciętych (x) równych miejscom

zerowym funkcji.

Miejscem zerowym funkcji nazywamy taką wartość argumentu, dla której wartość funkcji jest

równa zeru. Jeżeli równanie funkcji oznaczymy y = f(x), to obliczenie miejsc zerowych sprowadza się

do rozwiązania równania f(x) = 0, czyli np. dla funkcji kwadratowej y = ax2 + bx + c obliczenie miejsc

zerowych polega na rozwiązaniu równania ax2 + bx + c = 0, czyli na rozwiązaniu równania

kwadratowego. Pierwiastki równania kwadratowego są więc miejscami zerowymi funkcji

kwadratowej.

Wykres służący do rozwiązania nierówności musi umożliwić odczytanie kiedy, to znaczy dla

jakich argumentów (x), wartość funkcji (y) przyjmuje wartości dodatnie. Nie musimy więc wyznaczać

współrzędnych wierzchołka, wystarczy obliczenie miejsc zerowych i określenie, czy ramiona paraboli

skierowane są do góry czy na dół. Ponieważ funkcja kwadratowa może mieć 2 miejsca zerowe (Δ > 0),

jedno miejsce zerowe (Δ = 0) lub nie mieć miejsc zerowych (Δ < 0), a ramiona mogą być skierowane

tylko w górę (a > 0) lub w dół (a < 0) jej wykres może przyjmować tylko jeden z sześciu poniższych

przebiegów. Przy każdym wykresie określono wartości Δ i a dla każdego z nich:

46

Mając wykres funkcji odczytujemy z niego dla jakich wartości argumentu funkcja przyjmuje

wartości dodatnia, ujemne lub zero. Ponieważ osią wartości funkcji jest oś pionowa, wartości

dodatnie znajdują się na niej powyżej punktu odpowiadającemu zeru, a wartości ujemne poniżej.

Przenosząc to spostrzeżenie na układ współrzędnych prostokątnych (x,y) dodatnim wartościom

47

funkcji odpowiada obszar znajdujący się nad osią x, ujemnym wartościom funkcji – obszar pod osią x,

a miejscom zerowym funkcji – punkty należące do osi x. Wystarczy więc odczytać dla jakich

argumentów wykres funkcji przebiega nad osią x, dla jakich pod i w których punktach osi x wykres ją

przecina. To wszystko. Przejdźmy do przykładu:

Przykład 38. Rozwiąż nierówność:

-x2 + 2x + 3 0

Obliczamy miejsca zerowe funkcji rozwiązując równanie:

-x2 + 2x + 3 = 0

Znając pierwiastki tego równania (x1 = -1 x2 = 3), czyli miejsca zerowe funkcji oraz odczytując

że a < 0 możemy naszkicować wykres funkcji. Używamy słowa „naszkicować”, gdyż nie jest to

dokładny wykres funkcji. Wierzchołek rysowanej przez nas paraboli może się znaleźć w dowolnym

punkcie. Nie ma to wpływu na rozwiązanie nierówności.

Z wykresu widać, że część wykresu znajdująca się nad osią x odpowiada argumentom od -1

do 3. Ponieważ rozwiązujemy nierówność słabą (nierówności , nazywamy mocnymi lub ostrymi,

a , słabymi lub nieostrymi), końce tego przedziału należą do rozwiązania, gdyż dla argumentów -

1 i 3 wartość funkcji jest równa 0. Ostateczne rozwiązanie nierówności –x2 + 4x + 3 > 0, odczytane

z wykresu jest następujące:

x є < -1, 3 >

Przykład 39. Rozwiążmy nierówność:

x2 – 4x + 4 0

Jeżeli jesteśmy spostrzegawczy, to zauważymy po lewej stronie możliwość zastosowania

wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy (x2 – 4x + 4 = (x – 2)2) jeżeli nie, to wyliczymy że Δ =

=0. Tak czy owak stwierdzamy że funkcja ma jedno miejsce zerowe x1,2 = 2. Podobnie przy niepełnych

postaciach trójmianu kwadratowego, nie musimy obliczać Δ, lecz w omówiony uprzednio sposób

wyznaczyć miejsca zerowe. Wykres umożliwiający rozwiązanie powyższej nierówności wygląda

następująco:

48

Widzimy z niego, że nad osią x znajduje się cały wykres z wyjątkiem jednego punktu, wobec

czego rozwiązaniem jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem liczby 2, co można zapisać:

x є R \ {2}

albo: x є ( ) ( )

Zastanówmy się teraz nad przypadkami, kiedy funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych,

czyli gdy rozwiązując równanie kwadratowe otrzymamy Δ < 0. Brak miejsc zerowych nie wyklucza

istnienia wykresu funkcji. Popatrzmy na rysunki na str.45. W takim przypadku kontynuujemy

rozwiązanie rysując wykres i odczytując z niego rozwiązanie nierówności.

Przykład 40. Rozwiążmy nierówność: -2x2 + 3x – 4 0. Δ = -32, więc wykres przebiega

następująco:

Wynika z niego, że nie ma ani jednego punktu wykresu znajdującego się nad osią x, czyli że

nie ma ani jednej wartości x dla której -2x2 + 3x – 4 0. Rozwiązaniem jest więc zbiór pusty:

x є Ø

49

Przykład 41. Rozwiążmy nierówność:

-2x2 + 3x – 4 0

Trójmian kwadratowy jest taki sam jak w przykładzie 32, więc mamy taki sam wykres jak

powyżej. Inny jest znak nierówności, więc również inne rozwiązanie:

x є R

Jeszcze jedna grupa nierówności, które możemy przedstawić w postaci:

(x k)2 lub (x k)2 0

Zwróćmy uwagę, że wyrażenie po lewej stronie nierówności przedstawia dowolną liczbę (dla

każdego x i k) podniesioną do kwadratu. W pierwszej nierówności pytamy się kiedy ona jest większa

lub równa od zera a w drugiej, kiedy jest mniejsza. Odpowiedzi na oba pytania są oczywiste. Dowolna

liczba podniesiona do kwadratu jest zawsze większa lub równa zeru, czyli rozwiązaniem pierwszej

nierówności jest x R, natomiast nigdy nie jest ujemna, czyli rozwiązaniem drugiej nierówności jest

x є Ø. Oznacza to, że nie zawsze musimy rysować wykres funkcji kwadratowej, natomiast zawsze

musimy myśleć!

Rozwiąż nierówności: (zad. 171 – 177)

171. x2 + 11x + 30 0

172. 2x2 – 9x – 5 0

173. 10 – x2 0

174. x2 0

175. (x - 7)2 0

176. 5x2 – 2x 0

177. (x - 2)(x + 4) (3x – 1)2

4.3. NIERÓWNOŚCI WYŻSZEGO STOPNIA

Nierównością wyższego stopnia nazywamy nierówność którą możemy przedstawić w postaci

w której po jednej stronie będziemy mieli zero, a z drugiej wielomian stopnia wyższego niż drugi.

Zasada rozwiązywania nierówności wyższego stopnia jest taka sama jak przy nierównościach

kwadratowych, uzupełniona jednak o dwie zasady dotyczące szkicowania wykresu funkcji stopnia > 2.

Pierwsza wynika z faktu, że funkcja wyższego stopnia, mając wiele miejsc zerowych, może

mieć miejsca zerowe wielokrotne. W punktach na osi x, odpowiadającym nieparzyście wielokrotnym

50

miejscom zerowym wykres funkcji przecina oś, natomiast w punktach odpowiadającym parzyście

wielokrotnym miejscom zerowym funkcji, wykres jest styczny do osi (obrazowo mówi się, że wykres

funkcji „odbija się od osi”).

Druga zasada wynika z tego, że ramiona funkcji stopnia nieparzystego są przeciwnie

skierowane, to znaczy jedno do góry a drugie do dołu. Możemy zastosować zasadę znaną z paraboli,

odnosząc ją do prawego ramienia wykresu: Jeżeli współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu

W(x) jest większy od zera, to wykres funkcji f(x) = W(x) ma prawe ramię skierowane ku górze. Jeżeli

ten współczynnik jest ujemny, to prawe ramię skierowane jest w dół.

Zwróćmy uwagę, że parabola, jako wykres funkcji kwadratowej, podlega obu tym zasadom.

Przykład 42. Rozwiążmy nierówność:

x3 + 6x2 + 9x + 4 0

Pamiętając że nierówności wielomianowe stopnia 2 (kwadratowe) i stopnia wyższego

rozwiązujemy graficznie Aby naszkicować wykres funkcji z lewej strony nierówności obliczamy jej

miejsca zerowe, rozwiązując równanie:

x3 + 6x2 + 9x + 4 = 0

Otrzymujemy x1 = -4 i x2,3 = -1. Pamiętając o zasadach przedstawionych powyżej możemy

naszkicować wykres funkcji y = x3 + 6x2 + 9x + 4, z którego w sposób analogiczny jak przy

nierównościach kwadratowej odczytujemy rozwiązanie nierówności.

51

Rozwiązaniem nierówności jest: x є (-4, -1) (-1, + ), co możemy również zapisać w postaci:

x є (-4, + ) \ {-1}

Przykład 43. Rozwiążmy nierówność:

-x33 + 9x31 0

Aby obliczyć miejsca zerowe w równaniu x33 – 9x31 = o wyłączamy x31 przed nawias

i rozkładamy różnicę kwadratów 9 - x2 na czynniki, uzyskując pierwiastki x1 = -3 x2 = 3 oraz

trzydziesto- jednokrotny pierwiastek x3-33 = 0. Ponieważ jest to miejsce zerowe nieparzysto krotne,

wykres podobnie jak w punktach x1 =-3 i x2 = 3 przecina oś x:

Z wykresu odczytujemy rozwiązanie, pamiętając o tym, że rozwiązujemy nierówność słabą:

x є <-3, 0> <3, + )

Rozwiąż nierówności: (zad. 178 – 182)

178. x3 - 3x2 – 4x + 12 0

179. x4 – 4x3 – 21x2 + 100x - 100 0

180. –x4 – 2x3 + 3x2 + 4x – 4 0

181. –x3 + 15x2 – 75x + 125 0

182. x6 + 6 0

4.4. NIERÓWNOŚCI WYMIERNE

52

Nierówności wymierne, to nierówności w postaci

( )

( ) ( ) 0

Stosowana przy równaniach wymiernych metoda pozbywania się mianownika poprzez

pomnożenie obu stron równania przez mianownik jest w przypadku nierówności nieprzydatna, gdyż

nie znając znaku mianownika nie możemy przez niego mnożyć obu stron nierówności.

183. Dlaczego nie możemy pomnożyć obu stron nierówności wymiernej przez wielomian

występujący w mianowniku?

Możemy natomiast pomnożyć obie strony nierówności przez kwadrat mianownika, gdyż

mnożąc przez liczbę dodatnią (mianownik nie może być równy zeru) nie zmieniamy znaku

nierówności:

( )

( ) 0 / W2(x)

U(x) W(x) 0

Oznacza to, że jeżeli iloraz dwóch liczb jest większy od zera, to ich iloczyn również jest

większy od zera. Ale do tego spostrzeżenia doszliśmy już dużo wcześniej, porównując rozwiązania

zadań 13 i 17.

Analogicznie postępujemy przy każdym znaku nierówności, zamieniając w ten sposób

nierówność wymierną na nierówność drugiego, lub wyższego stopnia.

Nierówności wymierne rozwiązujemy więc w następujących etapach:

- ustalenie dziedziny nierówności,

- zamiana nierówności wymiernej na wielomianową i rozwiązanie jej,

- uwzględnienie dziedziny w rozwiązaniu nierówności.

Przykład 44. Rozwiążmy nierówność:

0

- wyznaczamy dziedzinę: x є R \ {-3, 3}

- zamieniamy nierówność wymierną na wielomianową (w postaci iloczynu):

(x2 -4)(9 – x2) 0

(nie wymnażamy nawiasów, gdyż z iloczynu będzie nam łatwiej wyznaczyć pierwiastki)

- rozwiązujemy nierówność wielomianową:

x є <-3, -2> <2, 3>

53

- uwzględniamy dziedzinę nierówności usuwając z rozwiązania liczby nie należące do

dziedziny. Otrzymujemy w ten sposób ostateczne rozwiązanie:

x є (-3, -2> <2, 3)

Przykład 45. Rozwiąż nierówność:

0

Po zauważeniu możliwości przekształcenia licznika na iloczyn, na podstawie wzoru

skróconego mnożenia, a następnie skróceniu ułamka przez x + 7, istnieje pokusa rozwiązania

liniowego x-7 0, co dałoby rozwiązanie x 7. Musimy jednak postępować zgodnie z zasadami:

- dziedzina: x є R \ {-7}

- zamiana ilorazu na iloczyn: (x2 – 49)(x + 7) < 0

- odczytanie z wykresu rozwiązania: x є (- ) ( )

Rozwiąż nierówności (zad. 184 – 189)

184.

0

185.

0

186.

0

187.

0

188.

1

189.

o

4.5. NIERÓWNOŚCI WYKŁADNICZE

Nierówności wykładnicze to nierówności w których niewiadoma występuje w wykładniku

potęgi.

Rozwiązywanie nierówności sprowadza się – po zastosowaniu znanych procedur jak np.

wzory na działania na potęgach czy podstawianie pomocniczej niewiadomej – do porównania dwóch

potęg o tych samych podstawach. Wtedy znak nierówności odnosimy do wykładników potęg, przy

zachowaniu zasady, że gdy podstawą potęgi jest liczba >1, to pomiędzy wykładnikami zachodzi taka

sama nierówność jak pomiędzy potęgami.

Przykład 46. Rozwiążmy nierówność:

54

x + 3 2x – 6 / -2x - 3

-x -9 / (-1)

x 9

Jeżeli podstawy porównywanych potęg są liczbą dodatnią < 1, to przenosząc nierówność

na wykładniki zmieniamy znak nierówności na przeciwny.

Przykład 47. Rozwiążmy nierówność:

(

)

(

)

2x + 5 < x – 1 / - x -5

x < -6

Przykład 48. Rozwiążmy nierówność:

+ – 24 0

Wykorzystujemy wzory na działania na potęgach i uzyskujemy:

+

Wstawiamy pomocniczą niewiadomą t = 2x otrzymując nierówność kwadratową:

której rozwiązaniem jest t є (- , -6) (2, + ), co wygodniej zapisać w postaci nierówności:

t < -6 lub t > 2

Wracamy z powrotem do niewiadomej x podstawiając 2x za t:

2x < 6 lub 2x > 2

Pierwsza nierówność jest sprzeczna bo 2x > 0 dla każdego x, a drugą zapisujemy w postaci:

2x > 21

z której wyliczamy rozwiązanie x > 1.

Rozwiąż nierówności: (zad. 190 – 195)

190.

191. -(

) (

)

192. -

55

193. (

)

194. ( ) ( )

195. (

)

4.6. NIERÓWNOŚCI LOGARYTMICZNE

Nierówności logarytmiczne to nierówności w których niewiadoma występuje w logarytmie

w podstawie logarytmu lub w liczbie logarytmowanej.

Nierówności tego typu, podobnie jak równania logarytmiczne, rozwiązujemy porównując

dwa logarytmy o takich samych podstawach. Aby dojść do takie postaci nierówności stosujemy wzory

dotyczące działań na logarytmach, wzoru na zmianę podstawy logarytmowania, zamieniamy liczbę na

logarytm lub podstawiamy pomocniczą niewiadomą.

Przenosząc znak nierówności na wyrażenia logarytmowane zmieniamy znak nierówności na

przeciwny gdy podstawa logarytmu jest 1 (o tym że musi byś dodatnia – pamiętamy), natomiast

gdy podstawa logarytmu jest 1, znak nierówności pozostawiamy bez zmian. Zwróćmy uwagę na

analogię z rozwiązywaniem nierówności wykładniczych.

Zasadę tę obrazują przykłady 41 i 42.

Przykład 49. Rozwiążmy nierówność:

( )

Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny: 3x + 1 > 0 więc x > -

Zamieniamy 2 na logarytm o podstawie 3, otrzymując nierówność:

( )

Ponieważ podstawa logarytmu jest większa od 1 przenosząc nierówność na wyrażenia

logarytmowane pozostawiamy znak nierówności bez zmian. Otrzymujemy nierówność:

3x + 1 > 9

która daje rozwiązanie: x >

Sprawdzamy zgodność rozwiązania z dziedziną – całe rozwiązanie zawarte jest w dziedzinie,

więc jest rozwiązaniem ostatecznym.

Przykład 50. Rozwiążmy nierówność:

( )

56

Obliczamy dziedzinę tej nierówności:

x – 2 0 i 2x 0 x

Nierówność odnosimy do wyrażeń logarytmowanych, pamiętając o zmianie znaku

nierówności, gdyż podstawa logarytmów jest mniejsza od zera:

x – 2

x -2

Ponieważ nie całe rozwiązanie należy do dziedziny, znajdujemy tę część rozwiązania która

należy do dziedziny, czyli ich iloczyn (część wspólną). Jest to ostateczne rozwiązanie nierówności

logarytmicznej.

Przykład 51. Rozwiążmy nierówność:

( )

Z warunku:

wyznaczamy dziedzinę:

x є (- -3) (2, + )

Zamieniamy -1 znajdujące się po prawej stronie nierówności na logarytm o podstawie

:

( )

Zapisujemy nierówność odnoszącą się do wyrażeń logarytmowanych:

x2 + x – 6 6

Rozwiązaniem nierówności:

x2 + x – 12 0

jest przedział liczbowy x є <-4, 3>. Ostatecznym rozwiązaniem jest ta jego część, która należy do

dziedziny nierówności, czyli:

x є -4, -3) (2, 3

Przykład 52. Rozwiążmy nierówność:

log22x – log2x

4 -3

Obliczamy dziedzinę nierówności: x 0

57

Wykonujemy możliwe przekształcenia i przenosimy -3 na lewą stronę:

log22x – 4log2x + 3 0

Za log2x wstawiamy pomocniczą niewiadomą t:

t2 – 4t + 3 0

Rozwiązujemy nierówność kwadratową (pamiętając o tym że robimy to graficznie)

i otrzymujemy rozwiązanie:

t є 1, 3

które, ze względu na dalsze obliczenia, wygodniej przedstawić w postaci nierówności:

t 1 i t 3

Teraz wracamy do naszej niewiadomej x, wstawiając t = log2x. Otrzymujemy:

log2x 1 i log2x

Zamieniamy liczby znajdujące się po prawych stronach obu nierówności na logarytmy

o podstawie 2:

log2x log22 i log2x log28

W znany już sposób zamieniamy na nierówności:

x 2 i x

a więc: x є

Ponieważ rozwiązanie to w całości należy do dziedziny nierówności jest rozwiązaniem

końcowym.

Rozwiąż nierówności: (zad. 196 – 200)

196. ( )

197.

( ) [

( ) ]

198. ( )

199. ( )

200. ( )

58

5. ROZWIĄZANIA ZADAŃ I KOMENTARZE

1. Wynikiem dzielenia 5 przez 2 jest 2,5, ale pytamy o ilość kombajnów, więc prawidłowa

odpowiedź brzmi: 3 kombajny.

2. W ciągu 15 minut zje 15 razy więcej niż w ciągu1 minuty, czyli 75 pączków, ale czy to jest

możliwe?

3. Żeby pracę wykonać 14 razy szybciej należałoby 14-krotnie zwiększyć liczbę pracowników,

czyli musiałoby ich być czternastu. Ale czy możemy sobie wyobrazić czternastu ludzi kopiących

równocześnie jedną studnię?

Zadania 2 i 3 są dowodem na to, że obowiązek myślenia spoczywa nie tylko na tych którzy

rozwiązują zadania, ale też na tych którzy je układają.

4. Zero jest liczbą parzystą, bo 0 : 2 = 0, czyli dzieli się przez 2 bez reszty.

5. Zero. Nie możemy przecież obliczyć

.

6. Jeden, bo

= 1.

7. Gdy są to liczby przeciwne. Np. 4 + (-4) = 0.

8. Gdy odjemna i odjemnik są sobie równe. 7 – 7 = 0.

9. Gdy odjemnik jest większy od odjemnej. Np. 6 – 9 = -3.

10. Gdy odjemna jest większa od odjemnika. Np. 12 – 8 = 4.

11. Tak. Gdy jeden z czynników jest równy zeru. Np. 6 8 0 (-3) = 0.

12. Kiedy mnożymy daną liczbę przez jej odwrotność. Np. 4

= 1.

13. Iloczyn dwóch liczb jest dodatni, gdy obie są dodatnie lub obie ujemne, czyli gdy są tego

samego znaku. Iloczyn dwóch liczb jest liczbą ujemną, gdy jeden czynnik jest dodatni a drugi ujemny,

czyli gdy czynniki mają przeciwne znaki. Porównaj rozwiązanie tego zadania z rozwiązaniem zadania

17 i wyciągnij wnioski.

14. Iloczyn jest dodatni, gdy ilość ujemnych czynników jest parzysta, np. 2 (-3) (-5) = 30.

Iloczyn jest ujemny, gdy ilość czynników ujemnych jest nieparzysta: -3 (-5) (-6) = -270.

15. Gdy dzielna jest równa 0. Np 0 : 136 =0.

16. Gdy dzielnik jest równy dzielnej. Np. 77 : 77 = 1

59

17. Iloraz jest ujemny gdy dzielna i dzielnik mają przeciwne znaki, a dodatni gdy dzielna

i dzielnik są tego samego znaku. Porównaj rozwiązanie tego zadania z rozwiązaniem zadania 13

i wyciągnij wnioski.

18. Gdy dzielna jest większa od dzielnika. Np. 6 : 5 =

= 1

.

19. Gdy dzielna jest mniejsza od dzielnika. Np. 3 : 6 = 0,5.

20. Iloraz będzie odwrotnością pierwotnego ilorazu: 3 : 7 =

a 7 : 3 =

.

21. Różnica będzie liczbą przeciwną w stosunku do różnicy pierwotnej, bo 9 – 3 = 6 a 3 – 9 =

=-6.

22. Zero: 6 + 0 = 6; 34 – 0 = 34. Dlatego liczbę 0 nazywamy niezmiennikiem dodawania

i odejmowania.

23. Jeden: 13 1 = 13; 21 : 1 = 21. Dlatego liczbę 1 nazywamy niezmiennikiem mnożenia

i dzielenia.

24. Liczbę równą podwojonej tej liczbie, czyli np. 13 – 2 13 = 13 – 26 = -13.

25. 17 Ponieważ dla każdej wartości a, b, c można wyliczyć wartość tego wyrażenia

dziedziną zarówno dla a jak i b oraz c jest zbiór liczb rzeczywistych, czyli a, b, c є R.

26.

Ponieważ mianownik jest równy zero dla m = 0 i n = 0, obie te zmienne nie mogą

być równe 0, gdyż wtedy (dla mianownika równego zero) nie istnieje wartość całego wyrażenia

algebraicznego. a, b є R \ {0}.

27. 54

28. a2 + 2ab + b2 - kwadrat sumy

29. a2 - 2ab + b2 - kwadrat różnicy

30. a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - sześcian sumy

31. a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 - sześcian różnicy

32. a2 – b2 - różnica kwadratów

33. a3 – b3 - różnica sześcianów

34. a3 + b3 - suma sześcianów

35. 125 – 225a + 135a2 – 27a3

36. 9b2 – 4a

37. 8c3 – 125d3

38. 343e3 – 1 Zastosowałeś wzór skróconego mnożenia?

60

39. (7f – 5)(7f + 5)

40. (3g – 2)2

41. (1 + 6h)(1 – 6h + 36h2)

42. 1

(wspólny mianownik 64)

43. 0

44. 5

45. -

46. Mianownik musi być różny od zera.

47. Gdy licznik jest równy mianownikowi.

48. Gdy licznik jest równy 0

49. Gdy licznik i mianownik maja taki sam znak (porównaj z zadaniem 17 i wyciągnij

wniosek).

50. Gdy licznik i mianownik mają przeciwne znaki (porównaj z zadaniem 17 i wyciągnij

wniosek).

51. 32

52. 1

53. 128

54. 81

55. 1

56. 2

57. 1

58.

59. Sprowadź do takich samych podstaw potęg. ( 9 = a

= )

60. 160 000 Sprowadź do takich samych wykładników potęg ( 16 = )

61. 12

62. 5

63. √

61

64. √

65. 1

66. √

67. 2

68. 2√

69. 20 - 14√

70. Ponieważ podnosząc licznik i mianownik do tej samej potęgi zmieniamy wartość ułamka

(o ile nie jest równy jeden). Rozszerzanie ułamka, podobnie jak skracanie nie zmienia wartości

ułamka.

71. 3 + √

72. √

( √

=

√

√ )

73. 4√

74. 2(√

√

)

75. √

Rozszerzamy ułamek przez uzupełnienie mianownika do wzoru na sumę

sześcianów

76. 1 Jeżeli liczba logarytmowana jest równa podstawie logarytmu, to wartość tego

logarytmu jest równa 1.

77. 0 Logarytm z liczby 1, bez względu na wartość podstawy logarytmu jest równa 0.

78. -1 Jeżeli liczba logarytmowana jest równa odwrotności podstawy logarytmu, to wartość

tego logarytmu jest równa -1.

79. n Jeżeli liczba logarytmowana jest potęgą podstawy logarytmu, to wartość tego

logarytmu jest równa wykładnikowi potęgi.

80. =

=

Jeżeli zamienimy miejscami liczbę logarytmowaną z podstawą

logarytmu, to otrzymamy odwrotność danego logarytmu.

81. 2

82. 2

83. 1

84. A

62

85. B

86. Ø

87. Ø

88. {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}

89. {-1, 2, 3}

90. {-2, 4}

91. {0, 1}

92. Zbiór wszystkich liczb pierwszych lub parzystych. Użycie spójnika i w miejsce spójnika

lub, skądinąd zrozumiałe w języku potocznym, byłoby tutaj niewłaściwe, gdyż i oznacza

występowanie równoczesne.

93. Zbiór liczb pierwszych z wyłączeniem 2

94. Zbiór liczb parzystych z wyłączeniem 2

95. {2}

96. x = 3

97. x є R

98. x = 0

99. x є Ø

100. Nie może być inaczej. x1 = 3,5 x2 = -4

101. x1 =

x2 = 1

102. x1,2 = 3,5

103. Brak rozwiązania. Δ < 0

104. Brak rozwiązania. Δ < 0

105. x1,2 = -4,5 Mam nadzieję że nie liczyłeś(aś) Δ

106. x1 = 2 x2 = -7

107. x1 = 3 x2 = -4 Mam nadzieję że nie liczyłaś(eś) Δ

108. Bo jeśli c = 0, to Δ = b2. Jeżeli b ≠ 0 (tak założyliśmy) to delta jest zawsze dodatnia, więc

zawsze muszą istnieć dwa pierwiastki tego równania kwadratowego.

109.

= 0 gdy c = 0, a my rozpatrujemy przypadek gdy c ≠ 0.

63

110. x1,2 = 0

111. x1 = -

x2 = 0

112. x є Ø

113. x1 = -4 x2 = 4

114. x1 = - √

x2 =

√

115. 6 Należy wymnożyć wszystkie nawiasy aby uzyskać postać wielomianu, ale wystarczy

tylko wymnożyć z każdego czynnika x w najwyższej potędze i odczytać wykładnik. W tym zadaniu:

x x 3x (-x) x2 = -3x1 + 1 + 1 + 2 = -3x6

116. Gdyż każda liczba podniesiona do kwadratu jest liczbą większą lub równą zero, czyli

liczbą nieujemną, a więc pomnożona przez 4 (tak jak przez każdą liczbę dodatnią) nie może dać liczby

ujemnej.

117. x = 4

118. x = -3

119. x є Ø (równanie sprzeczne)

120. x1 =

x2 = -

121. x1 = 3 x2 = -3 [ x6 – 729 = x6 – 36 = (x3 - 33)(x3 + 33) lub (x2 - 32)(x4 + 32x2 + 32) ]

122. x1 = 0 x2 = 2√ x3 = -2√

123. x1,2 = 0

124. x1,2,3 = 0 x4 = - 4

125. x1,2 = 0 x3 = - 0,5 x4 = 5 (Można sobie ułatwić obliczenia mnożąc obie strony

równania przez 2.)

126. x1,2,3,4,5,6,7 = 0 x8,9 = 2,5

127. x1 = -3 x2 = - √ x3 = √

128. x1 = 0 x2 = 3

129. x1,2 = - 0,5 x3 = 0,5

130. x1 = -2 x2 = 1

131. x1 = -3 x2 = 1

132. x1 = -√ x2 = -2 x3 = 2 x4 = √

64

133. x = 1

134. x1 = - √

x2 = √

135. x1 = 1 x2 = 2 x3 = 3

136. x1 = -3 x2 = 1

137. x1 = -2 x2 = - √

x3 =

√

138. x1 = -2 x2 = -

x3 =

139. x = -3

140. x є Ø

141. x є Ø

142. x = 2

143. x = 1

144. x є Ø

145. x1 = -3 x2 = 1

146. x1 = -0,5 x2 = 3 x3 = 5

147. x =

148. x1,2 = 0 x3 = 1

149. x1 = -3 x2 = 0 x3 = 5

150. x = 6 Rozwiązanie x = 0 odrzucamy, gdyż wtedy podstawa logarytmu < 0

151. x1 = -2√ x2= 2√

152. x1,2 = 2

153. x = 4

154. x1 = -3 x2 = 3

155. x = 0

156. x = -1

157. x є Ø

158. x = √

65

159. (-1, -1)

161. x = 2 y = 3

162. x = 2 y = 31

163. x, y, z є Ø

164. x є R y =

z = 3 – x – y (Układ nieoznaczony)

165. x = 2 y = 5 z = 0

166. x є 3, + )

167. x є (- , -2

168. x є R Jeżeli zorientowałeś(aś) się bez obliczeń to brawo za spostrzegawczość!

169. x є (- , -0,5)

170. x є Ø

171. x є -6, -5

172. x є (- , - 0,5) ( 5, + )

173. x є (- , -√ ) (√ , + )

174. x = 0

175. x є R \ {7}

176. x є (- , 0

, + )

177. x є R

178. x є (-2, 2) (3, + )

179. x є (- , -5 {2} 5, + )

180. x є {-2, 1}

181. x є (5, + )

182. x є R

183. Ponieważ mnożąc obie strony nierówności przez mianownik, którego znaku nie znamy,

nie wiedzielibyśmy czy mamy zmienić znak nierówności na przeciwny, czy nie.

184. x є (- , -5) 3, + )

185. x є (- 7) \ {-7}

66

196. x є -5, ) \ ( {-2, 3}

187. x є (-3, 3

188. x є ( -11, 3) (3, + )

189. x є {2} 3, + )

190. x є (2, + )

191. x є -1, -2

192. x є Ø

193. x є (-

194. x є (- ) ( )

195. x є -3, -1

196. x є (- , -3 1, + )

197. x є (2, 3) (83, + )

198. x є (- , -1) (5, + )

199. x є (-3; -2,75) 5, + )

200. x є Ø