Matematyka finansowa

Matematyka finansowa

Marcin Krzywda, 21.11.2007

Procent

Procent

1 % = 1100

Procent (2)

Zad. Przed rokiem cena pewnego towaru wynosiła 200zł i w ciągu roku wzrosła o 25%. Ile wynosi cena tego towaru obecnie?

Procent (3)

Zad. Przed rokiem cena pewnego towaru wynosiła 200zł i w ciągu roku wzrosła o 25%. Ile wynosi cena tego towaru obecnie?

200zł + 200zł x 25% = 250zł

Procent (4)

Zad. Wzrost kursu euro w stosunku do złotego spowodował podwyżkę ceny wycieczki zagranicznej o 5%. Ponieważ nowa cena nie była zachęcająca, postanowiono obniżyć ją o 8%, ustalając cenę promocyjną równą 1449 zł.

Oblicz pierwotną cenę wycieczki dla jednego uczestnika.

Procent (5)

X · 1,05 · 0,92 = 1449

X · 0,966 = 1499

X = 1500

Procent (6)

Procent (7)

Dochód bez uwzględnienia prowizji:530 · (45-25) = 10600 zł

Prowizja I:530·25·1% + 60 = 13250·1% + 60 = 192,5zł

Prowizja II:530·45·0,7% + 105 = 23850·1% + 105 = 271,95zł

Dochód – prowizja:10600 - 192,5 - 271,95 = 10379,55zł

Oprocentowanie proste

Oprocentowanie proste

Oznaczenia:

P – kapitał

r – stopa procentowa (roczna !!!)

t – okres oprocentowania (jako ułamek roku)

Oprocentowanie proste (2)

ZASADA. Odsetki rosną liniowo w stosunku do upływu czasu.

I = P·t·r

F = P + I = P + P·t·r = P(1 + t·r)


Zad. Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy 10 000 PLN oprocentowany na 12% (kap. prosta) po:

a) 4 latach

b) 180 dniach (rok = 360 dni) ?


a)

P = 10 000 PLN r = 12%

t = 4

F = 10 000 · (1 + 4 ·12%) =

= 10 000 · 1,48 = 14 800 PLN


b)

P = 10 000 PLN r = 12%

t = 180/360 = 1/2

F = 10 000 · (1 + 1/2 ·12%) =

= 10 000 · 1,06 = 10 600 PLN


Zad. Właścicielowi 18-miesięcznej lokaty (kap. prosta) na sumę 20 000 PLN wypłacono przy jej likwidacji 23 450 PLN. Jaka była roczna stopa procentowa?


P = 20 000 PLN P = 23 450 PLN

t = 1,5 r = ?

F = P + P·t·rP·t·r = F – P

r = r = 3 450 / 30 000

= 11,5 %

F PP t

Oprocentowanie składane


ZASADA. Odsetki oblicza się za każdy okres (kapitalizacji) i dopisuje do kapitału na koniec okresu.

Zatem, w kolejnym okresie liczy się odsetki od wyższej kwoty!

Def. Kapitalizacja = doliczenie odsetek!


Oznaczenia:

P – kapitał

r – stopa procentowa (roczna, nominalna !!!)

t – okres oprocentowania (jako ułamek roku)

Oprocentowanie składane (2)

Zad. Policzmy ile wyniosą odsetki od kwoty 1000 PLN z lokaty 2 letniej, przy 10 % stopie, jeśli odsetki są obliczane:

a) raz na końcu (procent prosty)

b) po upływie każdego roku (procent składany).


a) I = 1000 · 2 · 10% = 200 PLN

b) I1 = 1000 · 10 % = 100 PLN

I2 = 1100 · 10 % = 110 PLN

I = 210 PLN

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


Wariant I. Kapitalizacja roczna• Odsetki dopisujemy na koniec roku

Rok Odsetki za rok n

Kapitał po kapitalizacji Odsetki łącznie

1 Pr P + Pr = P(1+r) P(1+r) – P = P[(1+r) – 1]

2 P(1+r) r P(1+r) + P(1+r) r = P(1+r)2 P(1+r)2 – P = P[(1+r)2 – 1]

3 P(1+r)2r P(1+r)2 + P(1+r)2 r = P(1+r)3 P(1+r)3 – P = P[(1+r)3 – 1]

4 P(1+r)3r P(1+r)3 + P(1+r)3r = P(1+r)4 P(1+r)4 – P = P[(1+r)4– 1]


• Jak powiększa się kapitał w kolejnych latach?

F = P(1+r)n

(dowód: indukcja)


OBSERWACJA. Przy oprocentowaniu składanym wartość kapitału rośnie w postępie geometrycznym.

Fn+1 = Fn(1+r)


Jak w ciągu 10 lat stać się milionerem?

F0 = 1 000 PLN F5 = 16 000 · 2 = 32 000 PLN

F1 = 1 000 · 2 = 2 000 PLN F6 = 32 000 · 2 = 64 000 PLN

F2 = 2 000 · 2 = 4 000 PLN F7 = 64 000 · 2 = 128 000 PLN

F3 = 4 000 · 2 = 8 000 PLN F8 = 128 000 · 2 = 256 000 PLN

F4 = 8 000 · 2 = 16 000 PLN F9 = 256 000 · 2 = 512 000 PLN

F10 = 512 000 · 2 = 1 024 000 PLN


Zad*. Po ilu latach wartość kapitału wzrośnie dwukrotnie, zakładając kapitalizację roczną, stopę r=20%?


Szukamy n takiego, aby:

P(1+r)n = 2P

czyli:

(1+r)n = 2

(1+0,2)n = (1,2)n = 2

Rozważmy ogólniejszy problem. Mamy liczby: a € R+\{1}, b € R+.

Pytanie: Do jakiej potęgi c podnieść a, aby otrzymać b?

ac = b, c=?

ac = b, c=?

Przykład.

a = 2

b = 4 c = ?

ac = b, c=?

Przykład (2).

a = 3

b = 81 c = ?

ac = b, c=?

Przykład (3).

a = 1/16

b = 1/2 c = ?

Logarytm

Def. Logarytmem przy podstawie a z liczby b nazywamy taką liczbę c, że

ac = b

Piszemy wtedy

c = logab

Uwaga! Obowiązują wcześniejsze założenia!

Logarytm (2)

UWAGA. Istnienie oraz jedyność logarytmu nie jest oczywista. Dowód tych faktów można znaleźć np. tutaj:

http://math.uni.lodz.pl/~kfairr/analiza/rozdzial3.pdf

Wróćmy do zadania

Dla przypomnienia, szukamy n takiego, aby:

(1+r)n = 2

Wróćmy do zadania (2)

(1+r)n = 2, n=?

Teraz znamy już odpowiedź:

n = log(1+r)2

Logarytm (3)

Fajną podstawą logarytmu jest liczba e

(inaczej liczba Eulera lub liczba Nepera)

e ≈ 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174...

Logarytm (4)

Dlaczego akurat e?

Z pewnych względów (<naturalności> obliczeń) jest ona ważna w matematyce. Dla nas powodem jest to, że wartości logarytmu o podstawie e (log. naturalnego) można znaleźć w tablicach (lub obliczyć na kalkulatorze).

Ozn. ln x := logex

Logarytm (4)

Twierdzenie. Każdy logarytm (o dowolnej podstawie) można wyrazić za pomocą logarytmów naturalnych i działań arytmetycznych.

Logarytm (5)

Lemat. Własność logarytmu.

(*)

c – dowolne, spełniające założenia

lo g a blo g c b

lo g c a

Logarytm (6)

Dowód twierdzenia:

Korzystając z (*) , c := e, mamy:

■

lo g a blo g e b

lo g e aln bln a

Wróćmy do zadania (3)

Jako, że nie można wypłacić pieniędzy z lokaty przed upływem pełnego roku (traci się wtedy odsetki) musimy wziąć n naturalne.

Zatem n = 4.

n lo g 1,2 2ln 2ln 1 ,2

0 ,69310 ,1823

3 ,8


Dotychczas zajmowaliśmy się sytuacją, gdy odsetki do lokaty dopisywano raz do roku na koniec okresu kapitalizacji.

F = P(1+r)n

W tym wariancie okres kapitalizacji ( 1 rok) zgadza się ze skalą stopy procentowej ( 1 rok).


Wariant II. Kapitalizacja częstsza niż roczna

• Odsetki dopisujemy na koniec podokresu.• Stopa procentowa w każdym podokresie to

r/m, gdzie m – liczba podokresów w roku.• Długość podokresu to 1/m.


Przez analogię:

F = P(1+r/m)mn

n – liczba lat (ewentualnie możemy dopuścić ułamki postaci k/m)


Zad. Porównajmy zysk z lokat rocznej, oraz kwartalnej, ale odnawianej przez rok o tej samej stopie procentowej (w skali rocznej) r = 12%.


Lokata roczna.

I = (1+0,12) – 1

= 0,12 = 12%

Lokata kwartalna.

I = (1+0,12/4)4 – 1

= (1+0,03)4 – 1

= 1,1255 – 1

= 12,55%


Zad. Banki różnicują stopy procentowe dla lokat o różnych terminach. Która opcja lokaty będzie korzystniejsza, lokata roczna, czy lokata kwartalna odnawiana 4-krotnie?


Dla przykładu:

P = 10 000 PLN

rrok = 4,6% rkwartał = 3,9%

Frok = 10 460 PLN

F4xkwartał = 10 000 (1 + 0,039/4)4

= 10 395 PLN

Zadanie maturalne

Zad. Rodzeństwo w wieku 8 i 10 lat otrzymało razem w spadku 84100 zł. Kwotę tę złożono w banku, który stosuje kapitalizację roczną przy rocznej stopie 5%. Każde z dzieci otrzyma swoją część spadku z chwilą osiągnięcia 21 lat. Życzeniem spadkodawcy było takie podzielenie kwoty spadku, aby w przyszłości obie części spadku zaokrąglone do 1 zł były równe.

Jak należy podzielić kwotę 84100 zł między rodzeństwo?

Zadanie maturalne (2)

X + (1-X) = 1 (X oznacza ułamek kwoty)

X (1+0,05)21-8 = (1-X) (1+0,05)21-10

X (1+0,05)2 = (1-X)

X·1,1025 = 1 – X

X = 1 / 2,1025

Zadanie maturalne (3)

X = 1 / 2,1025

Dla dziecka 8 letniego:

84 100 · 1 / 2,1025 = 40 000

Dla dziecka 10 letniego:

84 100 – 40 000 = 44 100

Kredyt

Stała rata kapitałowa

Kredyt (stała rata kapitałowa)

Bierzemy kredyt na kwotę P

Oddajemy w kolejnych ratach:

R1 = K + O1

R2 = K + O2

…

RN = K + ON

K = P/N

Kredyt (stała rata kapitałowa) (2)

Zad. Wyznaczyć harmonogram spłat dla kredytu na kwotę 100 000 PLN, spłacanego w 10 rocznych ratach, przy stopie oprocentowania 10%.


Nr Rata kapitałowa

Rata odsetkowa Rata w sumie Obecne zadłużenie

100 000

1 10 000 10 000 20 000 90 000

2 10 000 9 000 19 000 80 000

3 10 000 8 000 18 000 70 000

4 10 000 7 000 17 000 60 000

5 10 000 6 000 16 000 50 000

6 10 000 5 000 15 000 40 000

7 10 000 4 000 14 000 30 000

8 10 000 3 000 13 000 20 000

9 10 000 2 000 12 000 10 000

10 10 000 1 000 11 000


OBSERWACJA.

Raty odsetkowe tworzą ciąg arytmetyczny.

O 1 P r

O n 1 – O nPN

r

Kredyt

Stała rata całkowita

Kredyt (stała rata)

Bierzemy kredyt na kwotę POddajemy w kolejnych (równych) ratach:

R = K1 + O1

R = K2 + O2

…

R = KN + ON

Ile wynosi rata R? (znamy oprocentowanie r, oraz liczbę rat N)

Kredyt (stała rata) (2)

Zobaczmy jak wyglądają raty odsetkowe:

O1 = Pr

O2 = (P – K1)r…

Oi = (P – K1 – … – Ki-1)r…

ON = (P – K1 – … – KN-1)r


OBSERWACJA.

Raty kapitałowe tworzą ciąg geometryczny.

Ki+1 = Ki(1+r)


Wniosek.

Ki+1 = K1(1+r)i


FAKT. Raty kapitałowe sumują się do kwoty kredytu.

K1 + … + KN = P

Co nam to daje?


K1 + … + KN = P

K1 + K1(1+r) + … + K1(1+r)N-1 = P

K 1

1 r N 11 r 1

P


K 1 Pr

1 r N 1

C Pr

1 r N 1P r P r

1 r N

1 r N 1


Zad. Wyznaczyć harmonogram spłat dla kredytu na kwotę 100 000 PLN, spłacanego w 10 rocznych ratach, przy stopie oprocentowania 10%.

R = 16 274,54 PLN


Nr Rata kapitałowa

Rata odsetkowa Rata w sumie Obecne zadłużenie

100 000

1 6 274,54 10 000,00 16 274,54 93 725,46

2 2 373,41 9 372,55 16 274,54 86 823,47

3 3 063,61 8 682,35 16 274,54 79 231,27

4 3 822,83 7 923,13 16 274,54 70 879,86

5 4 657,97 7 087,99 16 274,54 61 693,31

6 5 576,63 6 169,33 16 274,54 51 588,10

7 6 587,15 5 158,81 16 274,54 40 472,37

8 7 698,72 4 047,24 16 274,54 28 245,07

9 8 921,45 2 824,51 16 274,54 14 795,04

10 10 266,46 1 479,50 16 274,54

KONIEC

Documents

Matematyka finansowa