Matematyka w Ekonomii: kredyty i

lokatyMateusz Rumiński

Do czego służy matematyka w ekonomii?

• Do ustalania kursów na giełdzie• Obliczanie średniej długości życia• Naliczanie odsetek od należności – zastosowanie w kredytach

i lokatach• I wiele, wiele więcej

Matematyka

Ekonomia

Lokaty

Lokata na procent prosty

• Stały zysk w kolejnych okresach

• Odsetki nie pracują• Ilość pieniędzy na lokacie

opisuje półprosta

0 5 10 15 20 25 30500000

520000

540000

560000

580000

600000

620000

640000

K(k)

3% 4% 5%

Liczba okresów

Ilość

pie

nięd

zy n

a lo

kaci

e

Wykres z rozliczeniem kwartalnym – 4 okresy w ciągu roku

Odsetki na lokacie na procent prosty

Gdzie:• I – wysokość odsetek• K0 – wysokość kwoty wpłaconej na lokatę• r – wysokość rocznej stopy oprocentowania lokaty• n – ilość kapitalizacji w ciągu roku• p – stopa podatku dochodowego• N – ilość lat branych pod uwagę

¿¿¿

Suma zgromadzonych środków na lokacie

• Po k okresach:

• Po N latach:

odsetki I

Lokata na procent składany

• Rosnący zysk w kolejnych okresach

• Odsetki procentują• Ilość pieniędzy na lokacie

opisuje funkcja wykładnicza

0 20 40 60 80 100 120 140500000

700000

900000

1100000

1300000

1500000

1700000

1900000

K(k)

3% 4% 5%

Wykres z rozliczeniem kwartalnym – 4 okresy w ciągu roku

Wysokość kapitału na lokacie na procent składany po k okresach

• Gdzie:Kk – wartość kapitału na lokacie po k okresachK0 – wartość kapitału wpłaconego na lokatęr – wysokość rocznej nominalnej stopy oprocentowania lokatyn – ilość okresów kapitalizacji w ciągu rokuk – ilość okresów branych pod uwagę w obliczaniu wartości kapitału na lokacie

𝑲 𝒌=𝑲 0(1+ 𝒓𝒏 (1−𝒑))𝒌

Odsetki na lokacie na procent składany

Uzyskana zależność:

Porównanie lokat na procent prosty i procent składany

0 20 40 60 80 100 120 140500000700000900000

11000001300000150000017000001900000

5% p. składany 5% p. prosty

Liczba okresów

War

tość

pie

nięd

zy n

a lo

kaci

e

r = 5% - kapitalizacja kwartalna - stopa kwartalna

𝐾 𝑘𝑝=500000(1+0,0125𝑘) 𝐾 𝑘

𝑧=500000∗1,0125𝑘kapitalizacja prosta kapitalizacja złożona

Przykład – procent prosty, czy składany?

0 5 10 15 20 25 30940096009800

100001020010400106001080011000

Procent składany Procent prosty

na 2 lata 𝑟=5% −𝑘𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑐𝑗𝑎𝑚𝑖𝑒𝑠𝑖ę 𝑐𝑧𝑛𝑎 𝑝=19%

• Procent składany:• Odsetki rosną,

ostatnia wyniesie: 36,47 zł

• Zysk po dwóch latach:

842,33 zł

• Procent prosty:• Każda odsetka

wyniesie:33,75 zł

• Zysk po dwóch latach:

810 zł

Przykład – procent prosty, czy składany?

na 10 lat 𝑟=5% −𝑘𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑐𝑗𝑎𝑚𝑖𝑒𝑠𝑖ę 𝑐𝑧𝑛𝑎 𝑝=19%

• Procent składany:• Odsetki rosną,

ostatnia wyniesie: 50,39 zł

• Zysk po dziesięciu latach:

4982 zł

• Procent prosty:• Każda odsetka

wyniesie:33,75 zł

• Zysk po dziesięciu latach:

4050 zł

0 20 40 60 80 100 120 14010000

11000

12000

13000

14000

15000

16000

Procent składany Procent prosty

Kredyty

Kredyt w ratach malejących – raty kapitałowe

• Rata kapitałowa:

• Kredyt pozostały do spłacenia, po wpłaceniu k-tej raty:

Kredyt w ratach malejących - odsetki

• Odsetki w k-tej racie:

Porównajmy odsetki w racie k i k-1:

Kredyt w ratach malejących – suma odsetek

Ponieważ odsetki tworzą malejący ciąg arytmetyczny, ich sumę możemy policzyć ze wzoru na sumę k wyrazów ciągu arytmetycznego:

Kredyt w ratach malejących - przykład

Lp. Rata OdsetkiCzęść kap. Do spłaty

1 2500.00 1666.67 833.33199166.6

7

2 2493.06 1659.72 833.33198333.3

3

3 2486.11 1652.78 833.33197500.0

0239 847.22 13.89 833.33 833.33240 840.28 6.94 833.33 0.00

0 50 100 150 200 250 3000.00

500.00

1000.00

1500.00

2000.00

2500.00

3000.00

Numer raty

Wys

okoś

ć ra

ty

Kredyt na 200000, na 20 lat, na 10%

Całkowite odsetki:𝐼=𝐼 1+…+ 𝐼240=

𝑟𝑛 𝐾 240+12 =

0.112 200000∗120.5=200833.33

Kredyt w ratach stałych – wielkość raty

• K - wielkość kredytu• R - wielkość raty• r - roczna stopa nominalna• n - liczba rat w roku• k - liczba wszystkich rat

𝐾=𝑅

1+ 𝑟𝑛

+𝑅

(1+ 𝑟𝑛 )2+…+

𝑅

(1+ 𝑟𝑛 )𝑘

Suma wyrazów ciągu geometrycznego

Kredyt w ratach stałych – wielkość raty

𝐾=𝑅∗

1−( 1

1+ 𝑟𝑛 )𝑘

𝑟𝑛

Po zsumowaniu:

𝑅=𝑛𝑟 ∗

𝐾

1−( 1

1+ 𝑟𝑛 )𝑘

Kredyt w ratach stałych - przykład

Kredyt na 200000, na 20 lat, na 10%

Całkowite odsetki:𝐼=𝐼 1+…+ 𝐼240=240∗1930.04−200000=263210.4

0 50 100 150 200 250 3000.00

500.00

1000.00

1500.00

2000.00

2500.00

część kapitałowa odsetki rata równa

numer raty

wys

okoś

ć ra

ty

Lp. Część kap. Odsetki Rata Do spłaty

1 263.38 1666.67 1930.04 199736.62

2 265.57 1664.47 1930.04 199471.05

3 267.78 1662.26 1930.04 199203.27

239 1898.27 31.77 1930.04 1914.09

240 1914.09 15.95 1930.04 0.00

PorównanieRata równa Rata malejąca

Numer raty

Wys

okoś

ć rat

y

Lp. Część kap. Odsetki Rata Do spłaty

1 263.38 1666.67 1930.04 199736.62

2 265.57 1664.47 1930.04 199471.05

3 267.78 1662.26 1930.04 199203.27

239 1898.27 31.77 1930.04 1914.09

240 1914.09 15.95 1930.04 0.00

Lp. Część kap. Odsetki Rata Do spłaty

1 833.33 1666.67 2500.00199166.6

7

2 833.33 1659.72 2493.06198333.3

3

3 833.33 1652.78 2486.11197500.0

0239 833.33 13.89 847.22 833.33240 833.33 6.94 840.28 0.00

Rata równa Rata malejąca

𝐼=263210.4 𝐼=200833 .3

Rzeczywiste kredyty...

• Długoterminowe kredyty na rynku mają zmienna stopę procentową. Jest to:

A co to takiego ten WIBOR?

WIBORData 2015-09-30WIBOR ON 1,81% (-0,1500)WIBOR 1M 1,67% (0,0000)WIBOR 3M 1,73% (0,0000)WIBOR 6M 1,81% (0,0000)WIBOR 9M 1,83% (0,0100)WIBOR 1R 1,84% (0,0100)

Pytania i Odpowiedzi

Dziękuję za uwagę.