MATEMÁTICA · 2020. 6. 19. · Teoría Fracciones decimales Una fracción es decimal cuando su denominador es una potencia de 10 y permite hallar fácilmente su expresión decimal

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PABLO

EFFENBERGER

MATEMÁTICA1.° SECUNDARIA CABA

#EducandoGeneracionesCC 61075384ISBN 978-950-13-2593-5

II

Derechos reservados Kapelusz Editora S.A. Prohibida su copia, reproducción y distribución.

Capítulo6

• El conjunto de los números racionales.

• Fracciones y expresiones decimales.

• Fracciones equivalentes.

• Comparación de números racionales.

• Fracciones decimales.

• Adición y sustracción.

• Multiplicación y división.

• Porcentaje.

• Potenciación y radicación.

• Operaciones combinadas.

• Lenguaje simbólico.

• Ecuaciones lineales con fracciones.

• Ecuaciones con potencias y raíces.

Números racionales


Teoría

El conjunto de los números racionales (Q)

Escribir la fracción del entero que representa cada color.

Representar las siguientes fracciones en la recta numérica.

a) Azul:

b) Rojo:

c) Verde:

d) Amarillo:

a) n b) n

a

b

c

d

e

f

g

h

Escribir la fracción que representa el número n.

Escribir la expresión decimal de cada número representado en la recta.

1

2

3

4

Un número es racional cuando puede ser expresado como un cociente entre dos números enteros.

n Q ab

a Z b Z { }0=Q n ∧ ∈a ∧ ∈b −

Los números racionales se expresan mediante una fracción o una expresión decimal.

En una fracción, el denominador indica el número de partes iguales en que se divide el entero; y el numerador, cuántas de esas partes se deben considerar.

Para encontrar la expresión decimal de una fracción, se halla el cociente entre el numerador y el denominador.

Las expresiones decimales pueden ser finitas o periódicas.

a) 34

3 : 4 0,75 b) 23

2 : 3 0,6666... 0,6= = =� c) 7

307 : 30 0,23333... 0,23= = =

�

Un número racional se representa gráficamente a partir de su expresión fraccionaria o en la recta numérica.

a) 58

b) 73

l d l

ab

numeradordenominador

0 1

8

5

0 31 2

3

7

2 13

a) 79

b) 511

c) 115

d) 94

1 0n 0 1 n

1 0 1h d b f a e g c2

102


Teoría

Fracciones equivalentes

Las fracciones equivalentes son las que representan la misma parte de un entero.

Para obtener fracciones equivalentes, se multiplica o divide el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número entero, distinto de cero.

ab

a . nb . n

a : nb : n

n 0= = ∧ ≠n

a) 35

3 . 75 . 7

2135

35

2135

= = = b) 3025

30 : 525 : 5

65

3025

65

= = =

Una fracción es irreducible cuando el numerador y el denominador no tienen divisores comunes distintos de 1. Simplificar una fracción es hallar su equivalente irreducible.

8 Escribir tres valores de a que cumplan con cada condición.

Desafío

Marcar con una X la fracción irreducible de cada fracción.

Unir las fracciones equivalentes.

a) 1830

915

35

610

b) 5436

2718

1812

32

c) 50150

515

15

13

d) 2460

25

38

410

Representar cada trío de fracciones en la misma recta.

5

6

7

a) 54

, 12

y 78

b) 34

, 23

y 56

a) La fracción −+

a 1a 2

se puede simplificar a a a

b) La fracción 2a 13a

es irreducible a a a

1527

2124

125150

2025

2836

3654

2835

812

4963

67

6372

2530

2036a)

b)

c)

d)

e)

f)

34

68

1216

34

68

1216

103


Teoría

Comparación de números racionales

Hallar las fracciones equivalentes y colocar o según corresponda.

Colocar un número que cumpla con cada una de las siguientes condiciones.

a) <74

7 b) >23 3

c) − > −56

4 d)

a) 58

710

b) − −43

65

c) 1112

89

a) 35

0,59 b) 1,3 2720

c) 13

0,3 d) 125

2,5 e) −�

1,15 2320

a) 13

12

b) 57

56

c) 12

110

d) 34

35

Colocar o según corresponda.

Escribir una fracción que cumpla con cada condición.

Plantear y resolver.Nueve sacapuntas iguales pesan lo mismo que doce lápices iguales. ¿Pesan más siete lápices o cinco sacapuntas?

9

10

11

12

13

Para comparar dos fracciones, se buscan fracciones equivalentes a ellas.

• Si tienen igual denominador, es mayor la de mayor numerador.

78

2124

56

2024

2124

2024

78

56

=

=> >

• Si tienen igual numerador, es mayor la de menor denominador.

45

1215

67

1214

1214

1215

67

45

=

=> >

• También se pueden hallar las expresiones decimales correspondientes.

a) 15

0,2

14

0,250,25 0,2 1

415

=

=> >

b) 38

0,375

720

0,350,35 0,375 7

2038

− =−

− =−− >− − >−

El conjunto de números racionales es denso, lo que significa que entre dos números racionales siempre hay otro número racional.

d) − −107

1511

104


Teoría

Fracciones decimales

Una fracción es decimal cuando su denominador es una potencia de 10 y permite hallar fácilmente su expresión decimal finita.

a) 910

910

0,91b) 13

1001310

0,132c) 7

10007

100,0073

Las fracciones que admiten una fracción decimal equivalente son aquellas cuyos denominadores tienen como únicos factores primos al 2 y al 5.

10 2 . 510 2 . 510 2 . 5

1

2 2 2

3 3 3

===

10 2 . 5n n2 n

a) 72

7 . 52 . 5

3510

3,5

b) 35

3 . 25 . 2

610

0,6

c) 14

1 . 52 . 5

25100

0,252

2 2

d) 625

6 . 25 . 2

24100

0,242

2 2

Las expresiones decimales de las fracciones que no admiten una fracción decimal equivalente son infinitas periódicas.

18 Decidir si existe una fracción con denominador diez entre un quinto y tres décimos.

Desafío

Hallar la expresión decimal de cada fracción a partir de su fracción decimal equivalente.

Colocar F (finita) o P (periódica) según sea la expresión decimal de cada fracción.

Escribir una fracción decimal que cumpla con cada condición.

a) 720

b) 3950

c) 58

d) 740

a) 56

b) 78

c) 49

d) 1320

e) 1140

f) 830

g) 916

h) 3250

a) 17

16

b) 79

1 c) 13

0 d) 1 911

Colocar V (verdadero) o F (falso) según corresponda.

a) Cinco centésimos es la expresión decimal de un veinteavo. b) La expresión decimal de tres doceavos es finita. c) Un décimo es la menor fracción decimal positiva. d) La expresión decimal de siete cuartos tiene tres cifras decimales. e) Quince décimos es la mitad de tres. f) Una fracción decimal no tiene otra fracción decimal equivalente.

15

14

16

17

105


Repaso

Completar el entero.

Unir cada situación con la fracción irreducible que la representa.

Escribir la expresión decimal de n en cada recta.

Hallar la fracción irreducible de cada expresión decimal.

Representar los siguientes números racionales en la recta numérica.

Completar los casilleros con los números que verifican cada igualdad.

19

20

23

21

22

24

a) =34

21 b) =3045 6

c) =60

35

d) =6 90105

e) =2432 20

32 0,8 3

5 1,1 2

5 1,3 75

310

a) b)

n n

a) 0,8

b) 1,6

c) 0,02

d) 4,5

e) 3,75

f) 0,016

g) 7,25

h) 1,625

a) b) c)

Cuatro empanadas de tres docenas.

Cuarenta y cinco minutos de dos horas.

Doce días del mes de abril.

Veinticuatro pesos de ochenta pesos.

Tres bimestres de dos años.

Quinientos gramos de tres kilos.

14

25

38

23

19

16

310

a)

b)

c)

d)

e)

f)

188

44999

33377

0

0 n

16

0n

85

106


Escribir una expresión decimal que cumpla con cada condición.


Marcar con una X el o los números racionales iguales a cada fracción.

a) 58

6,25 1524

62510 000

0,625 3556

5580

b) 1227

39

0,4444 818

�

0,04 3681

�

0,4

c) 154

0,375 4512

3,75 15544

37,5 375100

d) 3615

6025

0,024 4820

0,24 24100

2,4

Unir cada número racional con el intervalo al que pertenece.

a) 25

35

b) 0,1 0,11

c) 13

0,34

d) 0,7 0,6

e) 34

58

f) 1,21 65

a) 45

911

b) 0,36 720

c) 73

2,33

d) �

0,25 14

e) 89

78

f) 185

72

g) 25

−�

0,04

h) 0,1 11100

Escribir todas las fracciones que cumplen con cada condición.

a) Denominador cinco, positiva y menor que uno.

b) Numerador siete, positiva y comprendida entre un tercio y un medio.

c) Denominador diez, negativa y mayor que menos tres cuartos.

d) Numerador uno, negativa y menor que menos trece centésimos.

27

26

25

28

29

�0,2

2125

120

�0,7

325

950

�0,5

15

�0,1

45

1120

34

1720

− < <110

x 15

13

35

− < < −14

x 320

a)

b)

c)

i)

d)

j)e)

k)f)

g)

h)

107


Teoría

Adición y sustracción de fracciones

Resolver las siguientes sumas y restas.

Hallar al valor desconocido en cada igualdad.

a) + =a 23

16

b) + =34

b 18

c) − = −c 59

23

d) − − =35

d 710

a) − =49

56

b) − + =38

16

c) − − =53

14

a) ( )− − + =15

1 310

12

b) ( )− − + − =34

38

56

1112

c) 29

23

16

43( )− + − =

d) − + =45

34

310

e) − + − =29

3 136

a) − − ==25

1015

b) − + = + =76

912

c) − = − =59

15 2218

d) − + =− + =−7

217

157

a) − +13

45

67

b) 29

14

135

c) 78

912

− + 325

d) 52

94

1 712

Completar los casilleros.


Resolver.

30

31

32

33

34

Para sumar o restar dos o más fracciones, se buscan fracciones equivalentes a las dadas con el mismo denominador y se suman o restan los numeradores.

a) 25

12

410

510

4 510

110

− = − = − =−

b) 2 54

84

54

8 54

34

− + =− + = − + =−

c) 34

710

1520

1420

15 1420

2920

− − =− − = − − =−

d) 32

14

76

1812

312

1412

18 3 1412

712

+ − = + − = + − =

108


36

14

4243

1832

La mitad de ochenta y seis.

La quinta parte de setenta.

Las dos terceras partes de cincuenta y cuatro.

Las cuatro novenas partes de setenta y dos.

Las seis quintas partes de treinta y cinco.

Teoría

Producto entre un entero y una fracción

Para multiplicar una fracción por un número entero, se multiplica el entero por el numerador de la fracción y se aplica la regla de los signos.

a) 8 35

8 . 35

245

⋅ = = b) 5 23

5 . 23

103

− ⋅ = − =− c) 2 79

2 . 79

149( ) ( )

− ⋅ − =− −

=

Para calcular una parte de una cantidad, se multiplica esa cantidad por la fracción correspondiente.

a) La tercera parte de 180: 180 13

1803

60⋅ = = b) Las tres quintas partes de 120: 120 35

120 . 35

72⋅ = =

39 Plantear y resolver.

De un tanque lleno de agua, se utiliza la tercera parte y luego la cuarta parte. Si aún quedan 250 litros, ¿cuántos litros contiene el tanque?

Desafío

Unir cada enunciado con la cantidad correspondiente.

Calcular los siguientes productos.

Plantear y resolver.

a) ⋅ =8 56

b) ( )⋅ − =1116

24

c) − ⋅ =29

6

d) − ⋅ =15 710

e) ( )− ⋅ − =320

25

f) ( )− ⋅ − =18 427

a) ( )⋅ + − =6 23

34

254

b) ( )− ⋅ − ⋅ − =15 425

38

6 c) ( )− − + ⋅ =12

35

710

2

a) Federico tiene $ 640; gasta las tres octavas partes en la ferretería y luego $ 57 en el quiosco. ¿Cuánto dinero le queda?

b) De un trayecto de 180 km, se recorre la sexta parte; y luego, los siete décimos del resto. ¿Cuántos kilómetros se recorrieron?

Resolver.

36

35

37

38

a bc

a . bc

⋅ =

a)

b)

c)

d)

e)

109


Teoría

Multiplicación y división de fracciones

Resolver simplificando cuando sea posible.


a) − ⋅ =209

625

b) ( )− =421

: 127

c) ( ) ( )⋅ − ⋅ − =185

427

356

d) ( )− ⋅ − =98

54

: 1516

a) ⋅ =76

3548

b) 45: 28

45=

c) ⋅158

32

=

d) 2027

: 53

=

e) =: 3536

85

f) ⋅ ⋅ =3263

43

87

a) ( )⋅ − =83

54

32

b) ( )+ − =49

125

: 3625

c) ( ) ( )− ⋅ − =23

116

914

d) ( )− − − =34

: 278

53

Plantear el cálculo y resolver.

a) La tercera parte de los cuatro quintos de sesenta:

b) Los nueve cuartos de la mitad de cuarenta y ocho:

Resolver las siguientes operaciones.

40

41

42

43

• Para multiplicar dos fracciones, se multiplican los numeradores y denominadores entre sí.

• Para dividir dos fracciones, hay que multiplicar el dividendo por la fracción inversa del divisor.

a) 34

52

3 . 54 . 2

158( ) ( )

⋅ − =−

=− b) 395

43

125

1

−/⋅/= − c)

2 289

65

74

2815

3 1

−//⋅/⋅ −

/=( )

a) 23

: 57

23

75

1415

− =− ⋅ = − b)

2 1815 15

: 43

8 34

25

15

( ) ( )− =/ // ⋅ − /

= −

ab

cd

a . cb . d

⋅ =

ab

: cd

ab

dc

a . db . c

= ⋅ =

110


Se recorren las dos quintas partes de un trayecto y luego, las tres cuartas partes del resto. En total se recorrieron 255km.Calcular y responder.

Un club tiene 1 680 socios.• Las cinco octavas partes de los socios son varones. • Las dos quinceavas partes de los varones juegan al básquet.• Hay 90 mujeres socias del club que también juegan al básquet.Calcular y responder.

Resolver los cálculos combinados.

45

44

46

a) ¿Qué parte de los socios varones juega al básquet?

b) ¿Y qué parte de las socias mujeres?

c) ¿Cuántos jugadores de básquet hay en el club?

d) ¿Qué parte de los socios juega al básquet?

a) ¿Qué parte del trayecto se recorre? b) ¿Cuántos kilómetros faltan por recorrer?

a) ( )− ⋅ + =54

116

207

76

b) ( )− − − =158

: 32

114

3 : 98

c) ( ) ( )− ⋅ − − =13

56

25

2 1310

d) ( )− − − =29

25

38

: 920

512

e) ( )− − + ⋅ =94

218

: 34

65

2512

f) ( ) ( )+ − − =14

38

: 94

: 2518

65

111


Teoría

Porcentaje

Unir cada porcentaje con la fracción que lo representa.

Calcular los siguientes porcentajes.

a) El 4% de 150.

b) El 14% de 200.

c) El 22% de 250.

d) El 35% de 180.

e) El 70% de 300.

f) El 90% de 450.

a) Una camisa de $ 250 se paga $ 175. b) Un pantalón de $ 420 se paga $ 483.

Un LCD tiene un precio de contado de $ 3 600 y se lo puede comprar en cuotas fijas con recargo.Completar la tabla.

Calcular el porcentaje de descuento o de recargo.

47

48

49

50

Para calcular el x% de una cantidad, se deben tomar x partes de las 100 en que se divide la cantidad.

Por ejemplo, el 30% de 400 es: 400 30100

400 310

120⋅ = ⋅ =

Entonces, para calcular un porcentaje; se puede multiplicar directamente la cantidad por una fracción decimal.

a) El 10% de 80 es: 80 10100

80 110

8⋅ = ⋅ =

b) El 20% de 150 es: 150 20100

150 15

30⋅ = ⋅ =

c) El 50% de 180 es: 180 50100

180 12

90⋅ = ⋅ =

d) El 75% de 200 es: 200 75100

200 34

150⋅ = ⋅ =

Cantidad de cuotas Recargo Precio con recargo Valor de la cuota3 5%6 8%9 12%

12 16%

32%45%

80%

8%15%

25%

60%40%

225

45

910

25

320

35

14

825

920

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

112


Teoría

Cálculo directo de descuentos y recargos

Se puede calcular directamente un descuento o un recargo.

• Con un 5% de descuento, se termina pagando el 95% del valor.

Por ejemplo, si el valor es $ 200, con un 5% de descuento: $ 200 95100

$ 190⋅ =

• Con un 5% de recargo, se termina pagando el 105% del valor.

Por ejemplo, si el valor es $ 300, con un 5% de recargo: $ 300 105100

$ 315⋅ =

Otras aplicaciones:a) Con un 4% de descuento, se pagan $ 384. El precio sin el descuento es $ 384 : 96

100$ 400

b) Con un 6% de recargo, se pagan $ 477. El precio sin el recargo es $ 477 : 106100

$ 450

54 Durante una promoción, se rebaja un 20% el precio de lista de un LCD y luego, se aumenta el precio de la promoción en un 20%.Decidir si luego de la promoción el valor del LCD es igual, mayor o menor que su precio de lista.

Desafío

Calcular mentalmente.

Calcular directamente.

a) El valor de un lavarropas de $ 5 600 con un descuento del 5%.

b) El importe de un impuesto de $ 3 200 con un recargo del 7%.

c) El precio de una cocina que se pagó $ 3 840 con un descuento del 20%.

d) El precio de un celular que se pagó $ 1 725 con un recargo del 15%.

a) En un viaje a la Patagonia, el 65% de los turistas son extranjeros y hay 63 argentinos. ¿Cuántas personas realizaron el viaje?

b) Se compra una heladera en 6 cuotas con un recargo del 9% . Si cada cuota es de $ 872, ¿cuál es el precio de la heladera sin recargo?

a) $ 60 con un 25% de descuento:

b) $ 80 con un 20% de recargo:

c) $ 40 con un 30% de descuento:

d) $ 50 con un 40% de recargo:

e) $ 84 con un 50% de descuento:

f) $ 30 con un 60% de recargo:

Plantear y resolver

51

52

53

113


Repaso

Unir las operaciones con el mismo resultado.

Las tres quintas partes de una ruta de 180 km están asfaltadas, se están asfaltando 60 km más; y el resto es de tierra.Calcular y responder.

Luciano gana $ 8 400 mensuales.• Con las tres octavas partes, paga el alquiler del departamento, y con la doceava parte, las expensas.• Las dos quintas partes del resto, las gasta en alimentos.• De lo que le queda, ahorra la tercera parte.Calcular y responder.

Resolver las siguientes multiplicaciones y divisiones.

55

56

57

58a) ( )− ⋅ − =35

465

23

b) ( )− =17

13

: 1235

c) ( ) ( )− − ⋅ − =32

49

914

d) ( )− =158

: 58

53

a) ¿Qué parte de su sueldo destina al alquiler y a las expensas?

b) ¿Cuánto gasta en alquiler y en expensas?

c) ¿Qué parte del sueldo gasta en alimentos?

d) ¿Cuánto gasta en alimentos?

e) ¿Qué parte de su sueldo ahorra?

f) ¿Cuánto dinero ahorra?

a) ¿Cuántos kilómetros están asfaltados?

b) ¿Qué parte de la ruta se está asfaltando?

c) ¿Qué parte es de tierra?

d) ¿Cuántos kilómetros son de tierra?

16

23

35

12

56

13

− +14

320

16

118

12

35

− +32

85

109

43

− +13

59

45

1310

− +110

35

a)

b)

c)

d)

e)

114


Plantear y resolver

Resolver los cálculos combinados.

60

59a) ( )⋅ + + − =4

1515

38

120

23

b) ( ) ( )− − ⋅ − =34

65

: 310

1225

56

c) ( )+ − + + =29

720

: 56

14

415

d) ( )− ⋅ − =56

52

: 38

27

116

e) ( )− + =1225

: 710

32

2415

: 83

f) ( ) ( ) ( )− + ⋅ + − − =65

76

152

1 138

: 5

a) Martín trabajó 23 días en marzo, 24 días en abril y 22 días en mayo. ¿Qué porcentaje de los días trabajó en los tres meses?

b) Se compra una cafetera de $ 680 con un recargo del 5% y se paga en 6 cuotas fijas. ¿Cuál es el valor de la cuota?

c) A una compra de $ 450, se le realiza un descuento; así se ahorran $ 36. ¿Cuál es el porcentaje de descuento?

d) Se deposita dinero en un banco al 3% mensual y después de un año y medio se retiran $ 3 850. ¿Cuánto dinero se depositó?

e) En una excursión, el 45% son varones; y hay 88 mujeres. ¿Cuántas personas fueron a la excursión?

f) Un diariero le agrega un 40% de ganancia a una revista que vende a $ 49. ¿A qué precio compró la revista?

115


Teoría

Potenciación y radicación de fracciones

Resolver las siguientes potencias y raíces.

a) ( ) =813

2

b) ( )− =75

2

c) 81100

d) ( )− =25

3

e) − =1216

3

f) 1681

4

a) ( ) =−7

3

1

b) =−9 1

c) 114

2

( ) =−

d) =−3 3

e) ( )− =−6

5

2

f) ( )− =−7

2

g) ( )− =−1

3

3

h) ( )− =−4

3

i) ( )− =−2

5

4

j) ( )− =−2

6

k) − =−3 2

l) − =−5 3

Calcular las siguientes potencias de exponente negativo.

61

62

• La potenciación de fracciones con exponente natural se define igual que la potenciación de números enteros y cumple con las mismas propiedades.

ab

ab

ab

ab

ab

1n

n veces

n

n

0

( )ab ( )a

b= ⋅ ⋅ =... ∧ =( )a

b

a) 127

14449

2

( ) = b) 611

36121

2

( )− = c) 56

125216

3

( )− = − d) 13

181

4

( )− = e) 12

132

5

( )− = −

Si el exponente es un entero negativo, la potenciación se resuelve según cada definición.

• La radicación de fracciones se define igual que la radicación de números enteros y cumple con las mismas propiedades.

ab

cd

ab

cd

ab

cd

ab

cd

nn n

n

n

n( )= = = =

ab

ab

nn

n

a) 2549

2549

57

b) 18

18

12

33

3 c) 32

24332

24323

55

5− = − =−

a 1a

nn=−

n n

( )ba( )a

b=

−

a) 5 15

125

22= =−

b) ( )( )

− =−

=−7 1

7149

2

2

c) ( )( )

− =−

=−−3 1

3127

3

3

d) − =− =−−4 14

116

22

a) 89

98

1

( ) =−

b) ( ) ( )− = − =−−6

776

343216

3 3

c) 57

75

4925

2 2

( ) ( )− = − =−

d) ( ) ( )− = − =−2

332

8116

4 4

116


Calcular el valor del lado azul en cada triángulo rectángulo.

Hallar el valor de cada letra.

Resolver los siguientes cálculos combinados.

64

63

65

a) 1a

1289

2

( ) = a

b) 5 15

b b

c) 1c

114

c

d) 57

4925

d

( ) = d

e) 8116

32

e e

f) 2 1128

f f

g) 16

216g

( ) = g

h) 1h

18

3 = − h

i) k 1343

3 = −− k

a) b)

a) ( )− + + =−74

32

2 12

33

b) ( ) ( )− − + − =325

12

: 5037

209

: 83

c) ( ) ( )− − ⋅ − − =−12

2 2 52

23 2

2

d) ( ) ( )− + − ⋅ − =−1 1927

35

5 57

3 2

e) ( )− − + + =524

: 15

310

2 79

3

f) ( ) + − + =−

− −15

2 45

3 . 201

44 2 1

12

65

52

2

117


Teoría

Lenguaje coloquial y simbólico

Marcar en cada entero y hallar gráficamente la fracción resultante.

Traducir al lenguaje simbólico y hallar la fracción irreducible.

a) La tercera parte de la mitad. b) Las mitad de las tres quintas partes.

c) Los tres cuartos de las dos terceras partes.

a) Las tres cuartas partes de la suma entre tres y un tercio.

b) Las dos quintas partes de la diferencia entre un sexto y uno.

c) La suma entre las cinco sextas partes de nueve décimos y un octavo.

d) La diferencia entre un tercio y las tres décimas partes de quince novenos.

a) Si se gasta la tercera parte de $ 252 y luego, la cuarta parte del resto.

b) Si se gastan las dos quintas partes de $ 305 y luego, las dos terceras partes del resto.

Calcular la cantidad de dinero que queda.

Marcar con una X la o las expresiones simbólicas que correspondan.

a) La tercera parte del siguiente de un número n3

1 n 13

+ ⋅n 1 13

13

n 1

b) La suma entre un número y su mitad n n : 2 n n2

12

n n n 12

n

c) El cuadrado de la mitad de un número n2

2 n : 42 ( )12

n2

12

n2

d) El anterior de la cuarta parte de un número n 14

n : 4 1 n4

14

14

n 1

68

66

69

67

En el lenguaje simbólico, puede haber varias expresiones equivalentes con el mismo significado.

Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico

La mitad de un número n : 2 n2

12

n n 12

= = = ⋅

Los dos terceras partes de un número 23

n 2n3

2 n3

n 23

= = = ⋅

La cuarta parte del anterior de un número 14

n 1 n 14

n 1 : 4( ) ( )− = − = −

118


Teoría

Ecuaciones lineales con fracciones

Las ecuaciones con fracciones se resuelven de igual manera que con números enteros.

a) 13

x 56

34

x 12

13

x 34

x 12

56

512

x 43

x 43

: 512

=−

( )

− = +

− = +

− =

= −

x 165

b) 2x 15

x 32

14

25

x 15

12

x 32

14

25

x 12

x 14

32

15

110

x 2120

x 2120

: 110( )

− − − =

− − + =

− = − +

− =−

=− −

x 212

72 Decidir si existe un número que cumpla con la siguiente condición.

La mitad de su anterior es igual al siguiente de su mitad.

Desafío

Hallar mentalmente el valor que verifica cada ecuación.

Resolver las siguientes ecuaciones.

a) − − = + −25

x 14

12

x 35

310

x 32

b) ( ) ( )+ − = −23

x 1 35

x 12

x 3

c) ( )− − + =49

38

x 2716

34

x 1 13

d) + − = − +3x 25

310

5x 115

16

x

e) − − − =4x 912

6x 108

56

f) ( )− − = −310

2425

512

58

x 2x 16

a) a 13

4+ = − a

b) 14

b 7 2+ = b

c) 5 23

c 11− = c

d) + =−d10

310

12

d

e) 32

e4

2+ = e

f) 1 g12

23

− = − g

70

71

119


Plantear la ecuación y hallar el número que cumple con cada condición.

Plantear la ecuación y resolver.

73

74a) La base de un rectángulo es 3 cm menor

que las ocho quintas partes de la altura Si el perímetro es de 72 cm, ¿cuál es la superficie del rectángulo?

b) Alicia tiene $ 40 más que Pablo. Si la sexta parte de lo que tiene Pablo es igual a la octava parte de lo que tiene Alicia, ¿cuánto dinero tiene cada uno?

c) De un frasco, se sacan 20 caramelos; y las siete décimas partes de los que quedan son la mitad de los caramelos. ¿Cuántos caramelos hay en el frasco?

d) La quinta parte de agua que queda en un tanque luego de sacarle 10 litros es igual a la cuarta parte que queda si se le sacan 50 litros. ¿Cuántos litros hay en el tanque?

e) Una persona gasta las cuatro séptimas partes del dinero que tiene y luego las tres octavas partes. Si aún le quedan $ 15, ¿cuánto dinero tenía?

f) Si la cuarta parte de la edad que tendrá Sofía dentro de siete años es igual a la tercera parte de la edad que tenía hace un año, ¿Qué edad tiene Sofía?

g) De un trayecto; se recorren las cinco novenas partes y luego las tres cuartas partes del resto. Si aún quedan 30 km, ¿cuál es la longitud del trayecto?

h) De un poste, se pinta la sexta parte de rojo; la cuarta parte, de verde; y los cuatro quintos de lo que queda, de azul. Si faltan pintar 7 m, ¿cuánto mide el poste?

a) La suma entre su mitad y sus cuatro quintas partes es treinta y nueve.

b) Sus cuatro novenas partes superan a su sexta parte en quince unidades.

c) Las tres quintas partes de su anterior es igual a la mitad de su consecutivo.

d) La tercera parte de su siguiente es igual a su cuarta parte aumentada en dos.

120


Teoría

Ecuaciones con potencias y raíces

Las ecuaciones con potencias y raíces se resuelven aplicando las mismas propiedades que con números enteros.

a) x 23

109

x 109

23

x 49

x 49

x 23

2

2

2

2

=±

+ =

= −

=

=

=

x 23

b) 15x 1

4710

15x 1

4710

15x 1

449100

15x 49

10014

15x 6

25

2 2

=

( )

+ =

+ =

+ =

= −

=

x 65

)( c) 2

9x 1

67

1229

x 712

16

29

x 34

x 34

: 29

x 278

x 278

3

3

3

3

3

3

− =

= +

=

=

=

=

x 32

77 En un triángulo isósceles de 60 cm2 de superficie, la altura es igual a los seis quintos de la base.Calcular el perímetro del triángulo.

Desafío

Hallar mentalmente el valor que verifica cada ecuación.


a) − =34

x 13

52

b) + =58

x 35

1720

c) − =758

x 15

163

d) − + =x 12

35

110

3

e) ( )+ − =154

x 16

2 1027

3

f) ( )⋅ − =125

92

x 56

215

4

a) )( =−

5 81

2

b) =64 45

c) )( =+−1

6278

3

d) − =58

14

e) )( + =− 5

652

1

f) =⋅2021

43

75

76

121


Repaso

Resolver las siguientes potencias y raíces.

Colocar V (verdadero) o F (falso) según corresponda.


78

79

80

a) 35

10

b) =−1 11

c) − =925

35

d) ( ) =17

492

e) 49

23

f) − =−3 19

2

g) ( ) =−1

28

3

h) ⋅ =15

15

15

i) ( )+ = +−2 3 1

213

1

j) =−5

225

1

k) =−49 17

1

l) − = −32

92

2

a) ( ) ( ) ( )− ⋅ − − =−5

453

25

1 32

2

b) ( ) − + − =−

−57

910

2 38

123

c) ( )+ + − =910

: 524

1 15

72

2

d) ( ) ( )− + − + =−7

554

: 35

2 13

12

2

e) ( )+ + − − =−− − −

3 2 351

213 2

3 2

f) − + =−56

78

: 23

15 . 2 24

a) ( )+ =25

1720

2

b) + =38

2372

c) ( )− =−7

41

12

3

d) − =34

338

3

122




Hallar la expresión simbólica.


82

83

81

84

a) + + =2x 53

56

x 12

b) − + = −54

x 3x 96

x 58

c) ( )− + − =920

43

x 56

14

310

x 1

d) + − − =7x 1520

12x 1810

1720

a) Las cuatro séptimas partes del siguiente de un número:

b) El anterior a la mitad de la octava parte de un número:

c) El triple de la suma entre la cuarta y la sexta parte de un número:

d) La diferencia entre el doble y las tres quintas partes de un número:

a) ¿Cuál es el número cuyas seis quintas partes son iguales a las cinco cuartas partes de su anterior?

b) La diferencia entre la mitad del anterior y la tercera parte del siguiente de un número es tres. ¿Cuál es el número?

c) Lucas gasta las tres octavas partes del dinero que tenía, luego $ 26 y aún le queda la mitad. ¿Cuánto dinero tenía?

d) Guillermo es cuatro años mayor que Nadia. Si la cuarta parte de la edad de Nadia es igual a la quinta parte de la de Guillermo, ¿qué edad tiene cada uno?

e) Las dos novenas partes de las obras de un museo están en el segundo piso; las tres octavas partes, en el primero; y 174, en la planta baja. ¿Cuántas obras hay en el museo?

f) De un rollo de alambre, se utilizan las cinco sextas partes y luego, las cuatro quintas partes del resto. Si quedan 12 m, ¿cuántos metros de alambre tiene el rollo?

a) − =23

x 18

14

2 b) − =209

x 56

12

c) ( )− + =34

x 23

378

54

3 d) + − =7

8x 5

225

1110

123


Integración

Hallar la fracción irreducible que representa la parte pintada en cada entero.

Buscar fracciones equivalentes y colocar o según corresponda.

Representar los siguientes números racionales.

Escribir tres fracciones que cumplan con cada condición.

a) =

=

58

1320

58

1320

b) =

=

1,4

1915

1,4 1915

c) − =

− =

− −

0,75

712

0,75 712

a) b) c) d)

a) ¿Cuánto gasta en el quiosco?

b) ¿Qué parte gasta en la librería?

c) ¿Qué parte del dinero le queda?

d) ¿Cuánto dinero le queda?

a) 35

34

b) 0,6 0,55

Macarena tiene $ 75, gasta las dos quintas partes en el quiosco y $ 25 en la librería.Plantear y resolver.


a) ( )⋅ − + + =1655

56

38

110

b) ( )− + =89

3524

: 512

1124

c) ( )+ − =920

34

712

: 14

: 389

89

90

87

86

88

85

1,25 43

1312 0,75

23

56

76 0,5

0

124



Plantear la ecuación y hallar el número que cumple con cada condición.



91

92

93

94

a) En un partido de básquet, un jugador lanzó 8 dobles y convirtió 5, lanzó 7 simples y convirtió 4, y lanzó 5 triples y convirtió 3. ¿Cuál es su porcentaje de efectividad?

b) Se compra un producto con un 15% de descuento sobre el precio de lista y se paga $ 204. ¿Cuál es el precio de lista del producto?

c) Se paga un pasaje de avión en 12 cuotas fijas con un 9% de recargo. Si la cuota es de $ 218, ¿cuál es el valor del viaje sin recargo?

d) En los primeros 6 meses del año, un producto aumentó un 15% y en los últimos 6 meses un 20% sobre el nuevo precio. ¿Cuál fue el aumento total anual?

a) ( ) ( )− + − + =−2

51 7

814

: 25

112

1

b) ( ) ( )+ − − − =−

−98

85

: 15

72

22

33

c) ( ) ( )− + + − =−2

358

4 34

: 43

3

d) + − + =−− −

21 . 2 13 : 163

2 35

341 1

a) )( = 125216

3

b) = 1114

c) ( ) =23

8116

d) =1512

18

e) )( =−

6254

f) =729

73

g) )( =−

7 169

2

h) )( =− 15

19

1

a) La mitad de sus tres séptimas partes es doce.

b) El cuádruplo de las cinco novenas partes de su anterior es sesenta.

c) Los cinco tercios de la diferencia entre su mitad y ocho es treinta y cinco.

d) Las dos quintas partes de su siguiente superan en dos a la tercera parte de su anterior.

125


Integración

Hallar mentalmente el valor que verifica cada igualdad.



Tres hermanos le compran un regalo a su mamá. Julieta aporta las tres octavas partes; Mailén, las dos

terceras partes de lo que falta; y Joaquín, $ 10.

Plantear y responder.

a) De un tanque lleno de agua, se sacan las tres

décimas partes. Si para que quede la mitad hay

que sacar 120 litros más, ¿cuánta agua había en

el tanque?

b) Pedro tiene $ 32 más que Laura, y la novena

parte de lo que tiene Pedro es igual a la

quinta parte de lo que tiene Laura. ¿Cuánto

dinero tiene cada uno?

a) + =34

a 11 2 a b) − =52

b3

76

b c) ( )+ =12

14

: c 18

c

a) − =154

x 53

1115

2 b) + =43

x 25

1910

c) + = −65

x 29

163

3 d) − + =12

x 34

75

910

3

a) ( )− − = −25

3x 154

34

x 58

25

x b) + − + =−4x 156

x 129

116

c) ( )− − = − +920

53

x 29

4x 1510

115

a) ¿Con qué parte del regalo colabora Mailén?

b) ¿Cuánto dinero aporta?

c) ¿Cuánto aporta Julieta?

d) ¿Con qué parte del regalo colabora Joaquín?


Calcular el perímetro del rectángulo.

Superficie: 73

cm2

99

100

97

96

98

95

x 23

cm

x2 3

cm

126


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MATEMÁTICA · 2020. 6. 19. · Teoría Fracciones decimales Una fracción es decimal cuando su denominador es una potencia de 10 y permite hallar fácilmente su expresión decimal