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Matemáticas, 4º de ESO, opción B Ejercicios de repaso para las recuperaciones.
(junto con los explicados en clase) Unidad 1: Trigonometría
Ejercicio 1.1 Dado el siguiente triángulo obtén (sin utilizar Pitágoras) los lados y ángulos que faltan Ejercicio 1.2 Un triángulo rectángulo tiene por lados 5 cm, 12 cm y 13 cm. Halla las tres razones trigonométricas principales del ángulo pequeño y los ángulos Ejercicio 1.3 Calcula la altura de una montaña sabiendo que la sombra que proyecta es de 90 metros cuando el Sol está elevado un ángulo de 60º sobre el horizonte Ejercicio 1.4 Completa con la calculadora. Si procede, redondea hasta 2 decimales
30º
sen
cos a 0’4
tg 1’12
15 m
27º
Ejercicio 1.5 Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 60º y si retrocedemos 10 m, bajo un ángulo de 30º Ejercicio 1.6 Una escalera de 2 metros se apoya contra una pared formando con el suelo un ángulo de 45 grados, ¿a qué altura de la pared llegará el extremo superior?
Ejercicio 1.7 Teniendo en cuenta que 2
3sen , halla el valor de cos y tg
mediante las relaciones fundamentales Ejercicio 1.8 Demuestra que se verifica la siguiente igualdad
2
2
11 cos
1 cotg
Unidad 2: Resolución de triángulos
Ejercicio 2.1 Halla el radio (r) y la apotema (a) de un pentágono regular de lado 10 cm Ejercicio 2.2 Calcula x:
Ejercicio 2.3 Halla el área del siguiente triángulo: (ángulo C = 59º; b = 2’3 m; a = 1’8 m). Si eliges la altura adecuada, el problema es muy simple
b a
C
Ejercicio 2.4 Se ha colocado un cable sobre un mástil que lo sujeta como muestra el dibujo; ¿cuánto miden el mástil y el cable?
Ejercicio 2.5 Tres antenas A, B y C deben dar cobertura a los pueblos de la zona. La distancia de A a B es de 9 Km. y la de B a C 6 Km. El ángulo que forman las carreteras de B a C y de C a A es de 120º. ¿Cuánto distan las antenas A y C?
Ejercicio 2.6 En el siguiente triángulo, rectángulo en A, calcula las medidas de los segmentos desconocidos indicados por letras
A
C
B
Ejercicio 2.7 Resuelve el triángulo del que conocemos C = 30º , 25b cm , 18c cm .
Unidad 3: Vectores
Ejercicio 3.1 Realiza el producto escalar de los vectores u y v
u = (-2 ,1) , v = (0 ,-1)
Ejercicio 3.2 Calcula el ángulo que forman estos dos vectores
u = (2 , 3), v = (4 ,1)
Ejercicio 3.3 Calcula a para que sean ortogonales 5,u a y v = -3, 4( )
Ejercicio 3.4
Sean u = (1,1); v = (2 , 0) ; w= (2 , 1)
a) Realiza u-v+w de forma analítica,:
b) Realiza u-v+w de forma gráfica,:
Ejercicio 3.5 Calcula el módulo y el ángulo que forma cada uno de estos vectores con el eje de abscisas
)2,0(u
; )2,3( v
Ejercicio 3.6. Calcula un vector w opuesto a )2,0(u
. ¿Qué relación tienen el módulo
de u y el de w
Unidad 4: Raíces y logaritmos
Ejercicio 4.1 Simplifica
log 1000a
log 0'0001b
1
log10
c
1
10
log 1000d
2log 2e
3
3log 9f
Ejercicio 4.2 Calcula aplicando propiedades
2 5log 2 3log5 log5
Ejercicio 4.3 Calcula los siguientes logaritmos decimales (con base 10), sin calculadora , usando la definición (pasando a ecuación exponencial)
1000
log0'001
a
5log 10b
3log 0'001c
1
log100
d
7 3log 10e
log10f
Ejercicio 4.4 Calcula los siguientes logaritmos, sin calculadora, usando la definición (pasando a ecuación exponencial)
1
7
log 49a
1
100
log 10b
3
2log 16c
3
1
3
log 9d
5log 125e
1
logf
Ejercicio 4.5 Simplifica, aplicando propiedades
3 6log125 log 2 log 100
Ejercicio 4.6 Toma logaritmos en las siguientes expresiones y desarrolla
2
3
1a bA
c
2 310B x y
Ejercicio 4.7 Pasa a forma algebraica las siguientes expresiones indicando todos los pasos
1 3
log log log2 2
a G x y
log 2 3log 3logb J x z
4.8 Opera y simplifica:
a) 32 2x y x
b) 73 42 73 3 3
c) 3 282
4.9. Simplifica:
a) 8 2 18 3 32
b) 27 1 12 3 2 18
32 2 50 2 3 32
1 12
) 272 25
c
4.10. Racionaliza y simplifica al máximo:
a) 3
1
x b)
3 2
3
ba
aab
c) 54
5
Unidad 5: Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
Ejercicio 5.1 Resuelve y comprueba los resultados
xx 22log1log
Ejercicio 5.2 Resuelve la siguiente ecuación exponencial
25 6 5 5 0x x
Ejercicio 5.3 Resuelve el siguiente sistema
3loglog
70
yx
yx
Ejercicio 5.4 Resuelve
2log31log2log xx
Ejercicio 5.5 Resuelve y comprueba resultados
3× log x+ log y = 2
2 × log x-3× log y = 5
ü
ýï
þï
Ejercicio 5.6 Resuelve
76844 212 xx
Ejercicio 5.7 Resuelve
7222 11 xxx
Ejercicio 5.8 Resuelve y comprueba los resultados
4152
95212 yx
yx
Unidad 6: Inecuaciones
6.1. Resuelve algebraicamente la siguiente inecuación de 1er grado
12
2 7
x xx
3 1 4 42
15 5 3
x x x
6.2. Resuelve la siguiente inecuación algebraicamente (con la recta).
2 5 6 0x x
2 2 15 0x x 6.3. Resuelve la siguiente inecuación de 2º grado gráficamente (dibujando la parábola).
2 5 6 0x x
2 2 15 0x x
6.4. Resuelve el siguiente sistema. Expresa la solución con intervalos
221332
5392
xxx
xx
6.5. Resuelve de forma gráfica la siguiente inecuación, indicando todos los pasos:
a) 2 3x y
b) 1x y
Ejercicio 6.6 Resuelve algebraicamente. Cuida que tu solución no permita una división por cero
50
3
x
x
2
20
1
x
x
Unidad 7: Límites de sucesiones
Ejercicio 7.1 Calcula los siguientes límites resolviendo, si cabe, la indeterminación que puedan presentar
2
2
1 1limn
na
n
3 10
3limn
nb
n
2
5lim
4
n
n
nc
n
d)
e) 1
12
x
xlimx
f)I
g)
h) Usando la definición del número e, resuelve:
41
lim 1
n
n n
Ejercicio 7.2 Resuelve
2
23
6lim
3x
x xa
x x
b) 12
22
2
1
xx
xxlimx
c) 3
2lim
3 1x
x
x
d)
2 2lim 2n
n n n n
Unidad 8: Estudio de funciones
Ejercicio 8.1 Completa la siguiente tabla.
Dom f(x)
3y x
52 xy
xy
3
1
5y
3 xy
Ejercicio 8.2 Averigua la posible simetría de las funciones siguientes:
4 1x
a f xx
3 2b f x x x
2 2 1c f x x x
2 1d f x x
Ejercicio 8.3 Realiza las siguientes composiciones de funciones
Siendo 12 xxf y 3xxg
a f g x
b g f x
c f f x
8.4 Siendo 23 xxf y 1 xxg , calcula:
d f g x
e g f x
f g g x
Ejercicio 8.5 Obtén la función inversa de:
2 1
2
xa f x
3 4b f x x
1
2 3
xc f x
x
8.6. Realiza un estudio detallado de la siguiente función
Dominio: Recorrido:
8.7. Realiza un estudio completo de la siguiente función (los mismos apartados que el ejercicio anterior)
Corte con eje X: Corte con eje Y: Crecimiento: Decrecimiento: Máximo/s(relativos y/o absoluto): Mínimo/s (relativos y/o absoluto): ¿Algún periodo constante?
Continuidad:
Unidad 9. Tipos de funciones
Ejercicio 9.1 Calcula las asíntotas oblicuas y verticales de estas funciones. Justifica la respuesta.
a) 2 2 4x x
f xx
b) 3
2 1
xy
x
Ejercicio 9.2 Calcula las asíntotas horizontales y verticales de estas funciones. Justifica la respuesta
a) 2
2
2
4
x xg x
x
b) 2
1
xy
x
Ejercicio 9.3. Representa con precisión la siguiente función a trozos. Usa regla si procede
2
5 2
1 2 1
3 1
x si x
y x si x
si x
2
, 2
( ) , 2 2
4 , 2
x x
f x x x
x
9.4 Representa con precisión las siguientes funciones
a) ( ) 3xf x
b) 1
( )2
x
f x
c) ( ) 1f x x
d) ( ) 2f x x
e) 1
( )f xx
f) 2
( )f xx
Unidad 10: Cálculo de derivadas
Ejercicio 10.1 Obtén la derivada de primer orden de las siguientes funciones
;ln
xa f x
x
f x
2 1b f x x x
2 3 1
1
x xc f x
x
sen 2d f x x
5e f x x
cosxf f x e x
3lng f x x ,
2cosh f x x
10.2. Calcula los puntos máximos y mínimos de las siguientes funciones:
g) 3( ) 3 2f x x x
h) 4 2( ) 8 3f x x x