Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicascb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-51.pdf · Definición de Conjunto Definici on´ Un conjunto es una colección o familia de objetos

Teoría de Conjuntos: DefinicionesBásicas

Departamento de Matematicas

Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.1/27

Definición de Conjunto

Definici on

Un conjunto es una colección o familia de objetos.



Definici on

Un conjunto es una colección o familia de objetos.Las llaves { } tendrán un uso muy especial y único;



Definici on

Un conjunto es una colección o familia de objetos.Las llaves { } tendrán un uso muy especial y único;servirán para definir un conjunto.



Definici on

Un conjunto es una colección o familia de objetos.Las llaves { } tendrán un uso muy especial y único;servirán para definir un conjunto. Para ninguna otracosa más.


Formas de Construir o Definir Conjuntos

Manejaremos dos formas de constrir conjuntos:




Definición de un conjunto por extensión.




Definición de un conjunto por extensión.

Definición de un conjunto por intención.


Definición por Extensión

Definici on

Construir o definir un conjunto por extensiónconsiste en declarar todos lo elementos que loforman.


Definición por Extensión

Definici on

Construir o definir un conjunto por extensiónconsiste en declarar todos lo elementos que loforman.

Ejemplo

{Rosana, Sakura, María del Carmen, Vito Corleone,Pedro }


Definición por Intención

Definici on

Construir o definir un conjunto por intención

consiste en declarar cuáles elementos de un cierto

conjunto con tomados. Esto se lleva a cabo por una

propiedad o predicado P (x).

{x ∈ D|P (x)}


Definición por Intención

Definici on

Construir o definir un conjunto por intención

consiste en declarar cuáles elementos de un cierto

conjunto con tomados. Esto se lleva a cabo por una

propiedad o predicado P (x).

{x ∈ D|P (x)}

EjemploTeorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.5/27

Pertenencia a un Conjunto

Definici on

Un objeto x se dice pertenecer o ser elemento oestar en un conjunto A si

cuando el conjunto A está definido por extensióncuando el elemento x aparece en la lista deelementos del conjunto A

cuando el conjunto A está definido por intencióncuando el elemento x es tomado del universodel discurso y cumple la propiedad establecidapara A


Ejemplo

Indique cuáles opciones contienen elementos delconjunto:

A = { Rosana,Sakura,María del Carmen,Vito Corleone,Pedro}

1. Jonas2. Tomás Tomás3. Agrin4. Lucía5. Pedro6. Pablo Morales


Ejemplo



1. Jonas :Jonas /∈ A

2. Tomás Tomás3. Agrin4. Lucía5. Pedro6. Pablo Morales


Ejemplo



1. Jonas :Jonas /∈ A

2. Tomás Tomás3. Agrin4. Lucía5. Pedro :Pedro ∈ A

6. Pablo Morales


Ejemplo


{x ∈ Z| − 2 < x < 5}

1. 32. 63. -34. 1.5


Definición de Subconjunto

Definici on

Diremos que un conjunto A es un subconjunto de el

conjunto B y lo simbolizaremos

A ⊆ B

si todo elemento de A es también un elemento deB.


Ejemplo

En referencia a los conjuntos

R, Q, Z, N


Definición de Subconjunto Propio

Definici on

Diremos que un conjunto A es un subconjunto

propio de el conjunto B y lo simbolizaremos

A ⊂ B

si todo elemento de A es también un elemento deB y además existe un elemento de b que no eselemento de A.


Ejemplo

En referencia a los conjuntos

R, Q, Z, N


Ejemplo

SiA = {c, d, f, i}

B = {a, f}

C = {c, i}

Indique cuáles afirmaciones son verdaderas:a) B ⊆ B

b) C ⊆ B

c) C ⊆ A


Cuidado con la Notación

Ejemplo

Indique cuáles opciones contienen afirmacionesfalsas :1. c ∈ {c}

2. {c} ⊆ {a, b, {c}}

3. {c} ∈ {a, b, {c}}

4. {c} ∈ {{c}}

5. {c} ⊆ {{c}}


Igualdad entre conjuntos

Definici on

Dos conjuntos A y B se dicen iguales si poseen los

mismos elementos. Es decir, todos los elementos

de A son elementos de B y todos los elementos de

B son también elementos de A. En términos

formales:

A = B si y sólo si (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)


Ejemplo

Indique cuáles opciones contienen afirmacionesciertas para los conjuntos:a) D = {a, b, e, f}

b) A = {a, a, f, g, e, g}

c) C = {f, g, a, e}

d) B = {f, b, a, e}

Entre:1. D = C

2. C = A

3. D = B

4. D = A


El conjunto Vacío

Definici on

El conjunto que no tiene ningún elemento se

llamará el conjunto vacío.

Y se simbolizará por:

∅


Ojo con la notación

Ejemplo

Indique cuáles opciones contienen afirmacionesfalsas :1. ∅ ∈ {∅}

2. ∅ ⊆ {∅}

3. ∅ ⊂ {∅}

4. ∅ ⊂ ∅

5. 0 = ∅



Ejemplo

Indique cuáles opciones contienen afirmacionesfalsas :1. ∅ ∈ {∅} Cierto: aparece como elemento.2. ∅ ⊆ {∅}

3. ∅ ⊂ {∅}

4. ∅ ⊂ ∅

5. 0 = ∅



Ejemplo

Indique cuáles opciones contienen afirmacionesfalsas :1. ∅ ∈ {∅} Cierto: aparece como elemento.2. ∅ ⊆ {∅} Cierto: el vacío es subconjunto de

cualquiera3. ∅ ⊂ {∅}

4. ∅ ⊂ ∅

5. 0 = ∅



Ejemplo


cualquiera3. ∅ ⊂ {∅} Cierto4. ∅ ⊂ ∅

5. 0 = ∅



Ejemplo


cualquiera3. ∅ ⊂ {∅} Cierto4. ∅ ⊂ ∅ Falso5. 0 = ∅



Ejemplo


cualquiera3. ∅ ⊂ {∅} Cierto4. ∅ ⊂ ∅ Falso5. 0 = ∅ Falso


Operaciones entre conjuntos: Unión

Definici on

Sean A y B dos conjuntos. La unión de A con B es

el conjunto de aquellos elementos que están en A o

que están en B. Este conjunto se simbolizará por

A ∪ B

Así

x ∈ A ∪ B ↔ (x ∈ A ∨ x ∈ B)Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.19/27

Operaciones entre conjuntos: Intersección

Definici on

Sean A y B dos conjuntos. La intersección de A

con B es el conjunto de aquellos elementos que

están en A y que están en B. Este conjunto se

simbolizará por

A ∩ B

Así

x ∈ A ∪ B ↔ (x ∈ A ∧ x ∈ B)Teorıa de Conjuntos: Definiciones Basicas– p.20/27

Operaciones entre conjuntos: Diferencia

Definici on

Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A con B

es el conjunto de aquellos elementos que están en

A y que no están en B. (el orden diferencia de

con importa). Este conjunto se simbolizará por

A − B

Asíx ∈ A − B ↔ (x ∈ A ∧ x /∈ B)


Operaciones entre conjuntos: Complemento

Definici on

Sea A un subconjunto de un conjunto universal U .

El complemento de A son todos aquellos

elementos de U que no están en A. Este conjunto

se simbolizará por

Ac

Asíx ∈ Ac ↔ (x ∈ U ∧ x /∈ A)


Ejemplo

SiU = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A = {2, 5, 6, 7}

B = {1, 2, 4, 6}

C = {4, 5, 6, 8}

Calculea) Bc

b) C − (A − B)

c) A ∩ C

d) B − (A ∪ C)


Ejemplo

SiU = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A = {2, 5, 6, 7}

B = {1, 2, 4, 6}

C = {4, 5, 6, 8}

Calculea) Bc ={3,5,7,8}b) C − (A − B)

c) A ∩ C

d) B − (A ∪ C)


Ejemplo

SiU = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A = {2, 5, 6, 7}

B = {1, 2, 4, 6}

C = {4, 5, 6, 8}

Calculea) Bc ={3,5,7,8}b) C − (A − B) ={4,5,8}c) A ∩ C

d) B − (A ∪ C)


Ejemplo

SiU = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A = {2, 5, 6, 7}

B = {1, 2, 4, 6}

C = {4, 5, 6, 8}

Calculea) Bc ={3,5,7,8}b) C − (A − B) ={4,5,8}c) A ∩ C ={5,6}d) B − (A ∪ C)


Ejemplo

SiU = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A = {2, 5, 6, 7}

B = {1, 2, 4, 6}

C = {4, 5, 6, 8}

Calculea) Bc ={3,5,7,8}b) C − (A − B) ={4,5,8}c) A ∩ C ={5,6}d) B − (A ∪ C) ={1}


Conjunto Potencia

Definici on

El conjunto potencia de una conjunto A es el

conjunto que contiene todos los posibles

subconjuntos de A.


Conjunto Potencia

Definici on

El conjunto potencia de una conjunto A es el

conjunto que contiene todos los posibles

subconjuntos de A. Notación o simbología:

P (A)


Ejemplo

Determinar P ({4, 15}).


El Producto Cartesiano

Definici on

Sean A y B dos conjuntos (posiblemente iguales

pero no vacíos). El producto cartesiano de A con B

(el orden de con importa). Es el

conjunto de todas las parejas ordenadas (a, b)

donde a ∈ A y b ∈ B.


El Producto Cartesiano

Definici on

Sean A y B dos conjuntos (posiblemente iguales

pero no vacíos). El producto cartesiano de A con B

(el orden de con importa). Es el

conjunto de todas las parejas ordenadas (a, b)

donde a ∈ A y b ∈ B. Notación:

A × B = {(a, b)|a ∈ A ∧ b ∈ B}


Ejemplo

Si A = {1, 4, 14} y B = {1, 3}. Calcular:

A × B


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