Colegio Antonino

TALLER DE REPASO ANUAL 2019 Profesora: Johana Acevedo

Área de: Matemáticas

Grado: Undécimo.

Matemáticas

1. Determina si las siguientes funciones son pares o impares, o si no presentan ninguna de

estas simetrías; además, calcula los puntos de corte con los ejes.

a. (𝑥) = (𝑥2 − 2𝑥)(𝑥 − 2)2(𝑥 − 4)

b. 𝑓(𝑥) =𝑥(𝑥2−9)

5𝑥+4

c. 𝑓(𝑥) =(𝑥−1)(𝑥2−9)

3(𝑥2−1)

d. 𝑓(𝑥) =(𝑥−3)(𝑥+2)

𝑥+1

e. 𝑓(𝑥) = 𝑥(1 − 𝑥)(2 + 𝑥)

f. 𝑓(𝑥) = −5𝑥 + (𝑥 + 1)

g. 43 48)( xxxf

h. 2

1)(

xxf

2. Encuentra el dominio de las siguientes funciones:

a. 𝑓(𝑥) =√𝑥−2

𝑥2−2𝑥−8

b. 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 2𝑥 − 15

c. 𝑓(𝑥) =1

√(𝑥+1)(2𝑥+3)

d. 𝑓(𝑥) =𝑥+2

𝑥2−4

3. Determina si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F). Justifica la respuesta.

a. Una función polinómica en la que todos los exponentes que aparecen son pares

es una función par. ( )

b. La gráfica de las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 con n perteneciente a los enteros corta a

los ejes en el punto (0,0). ( )

c. El rango de las funciones de la forma y=xn, con n un número par, es [0,+∞). ( )

d. Las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, donde n es un número impar son simétricas respecto a l

eje Y. ( )

e. La función polinómica 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 + 𝑥 es de grado 3. ( )

4. Completa los espacios, con la información correspondiente a las funciones

polinómicas.

a. El rango de las funciones de la forma y=xn, con n un número ________, es el conjunto

de los números reales.

b. Las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, donde n es un número _________ son _________ con respecto

al eje y.

c. La grafica de las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 con 𝑛 ∈ _________ corta a los ejes en el punto

______.

d. La __________ de la función 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 no interseca al eje _____.

e. El __________ de 𝑓(𝑥) = 𝑏𝑥 es (0, +∞).

5. Relacionada cada función con su respectiva tabla de valores, elige una y represéntala.

a. 𝑓(𝑥) = log5 𝑥

( )

x 10 100 1000

y 1 2 3

b. 𝑓(𝑥) = (1

2)𝑥

( )

x 1 5 25

0 1 2

c. 𝑓(𝑥) = 3𝑥

( )

x -2 -1 0

y 1

9

1

3

1

d. 𝑓(𝑥) = log 𝑥

( )

x -2 -1 0

y 4 2 1

6. En base a la sucesión 𝑐𝑛, analiza cada enunciado y escribe una V si es verdadero, de lo

contrario escribe F.

𝑐𝑛 = {1

3,2

6,3

11,4

18,… }

a. El término general de la sucesión es 𝑐𝑛 =𝑛

𝑛2−2. ( )

b. La sucesión es monótona decreciente. ( )

c. El décimo término de la sucesión es 5

51. ( )

d. El termino general para los numeradores de la sucesión es n. ( )

e. Si en la sucesión 𝑐𝑛 le sumo a cada término 1

2, obtengo la sucesión

𝑐𝑛 = {5

6,5

6,17

22,13

18, … } ( )

7. Encuentra los primeros 5 términos de las siguientes sucesiones.

a.

1

1 24

n

nnbn

b. 2

32

n

nan

c. 𝑎𝑛 = (−1)𝑛+1 1

3𝑛−1

d. 𝑏𝑛 = (−1)𝑛 1

(𝑛+1)(𝑛+2)

e.

n

nn

nb

5

1

8. Comprueba si 5, 7 y 9 son términos de la sucesión que tiene de término general

32 nan

9. Halla el termino general de las siguientes sucesiones:

a. ,...

243

32,

81

16,

27

8,

9

4,

3

2

b. ,...17

16,

13

8,

9

4,

5

2

c. ,25

4,

16

3,

9

2,

4

1

d. −3,−5,−7,−9

e. 5,−10, 20,−40

f. −3, 9,−27, 81

10. Dadas las sucesiones 1

1

nan

y 32 nbn , calcula:

a. nn ba

b. nn ba

11. Determina si 65

11

13

6,

17

7,1 y son términos de la sucesión:

1

32

n

nan

.

12. Dadas las sucesiones ,...23,18,9,6,4na y ,...5,3,4,2,3,1 nb halla na·2 y nn ba .

13. Determinar el valor de cada límite a partir de la gráfica que se muestra:

lim𝑥→−2−

𝑓(𝑥) =

lim𝑥→−0−

𝑓(𝑥) =

lim𝑥→−2+

𝑓(𝑥) =

lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) =

lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) =

lim𝑥→0+

𝑓(𝑥) =

14. Calcula el valor de los siguientes límites:

1) 163 2

1

xxlim

x 2) 122

xxlim

x 3) xxlim

x

33

4)

22

2 1

ax

axaxlim

ax

5)

12

22

2

1

xx

xxlimx

6)

2

1

2

1

xxlimx

7) 12

22

2

1

xx

xxlimx

8) 44

12 xx

limx

9) 632 34

4

xx

xlimx

10) 2

2

0

96

x

xxlimx

11)

xx

xlimx 5

252

2

5

12)

xx

xxxlimx 62

22

23

13) 15

24

x

xxlimx

14) 12

32

25

x

xxlimx

15) ax

axlim

ax

16) x

xlimx

33

0

17) xxlim

x

3 2

52 18)

x

xxlimx

21

19)

xxxxlim

x 20)

42

11

2

2

x

xlimx

21) 1

12

x

xlimx

15. Representa y estudia la continuidad de las funciones:

24

21

2

)(

2

xsi

xsi

xsix

xf

27

2372

32

)( 2

xsi

xsixx

xsix

xf

16. Calcula el valor de a y b para que sea continua la función:

2

213

11

)(

2

xsibx

xsi

xsiaxx

xf

17. Hallar el valor de a y b, para que la función sea continua en los reales:

22

213

1

)(

2

xsibx

xsi

xsiaxx

xf

18. Teniendo en cuenta las siguientes funciones, resuelve las operaciones indicadas:

𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥 + 1; 𝑔(𝑥) = (3𝑥2 − 𝑥)2 𝑦 ℎ(𝑥) = 4𝑥2

a. ((3𝑔 ∙ 𝑓)′′ − ℎ2′)(𝑥)=

b. (−4𝑓

𝑔2)′(𝑥)=

19. Dadas las siguientes funciones, calcula las derivadas que se indican en cada caso:

𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥 + 1; 𝑔(𝑥) = (3𝑥2 − 𝑥)3 𝑦 ℎ(𝑥) = 4𝑥2

a. 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)

b. (𝑔 ∙ 𝑓)′′(𝑥)

c. (𝑓

ℎ2)′(𝑥)

d. (2𝑓 − 3𝑔)′(𝑥)

20. Resuelve las siguientes integrales

2

7

5

3

3

23

3

)

)

)

)

) 3

1)

)

1)

2)

5

a x dx

b x dx

c x dx

d x dx

e x dx

f dxx

g x dx

h dxx

xi

x

21. Calcula cada una de las siguientes integrales indefinidas:

a. ∫ (2𝑥2−𝑥3+𝑥+3

√√𝑥3 )𝑑𝑥

b. ∫ (√𝑥 +1

√𝑥−

3

𝑥3− 𝑒𝑥)𝑑𝑥

c. ∫ (√𝑥 +1

√𝑥−

3

𝑥3+ 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑒𝑥)𝑑𝑥

d. ∫(2𝑥4 − 3𝑥2 + 1)𝑑𝑥

e. ∫ (√𝑥−𝑥3+2𝑥

𝑥2)𝑑𝑥

f. ∫ ((𝑥+1)2−(𝑥+3)(𝑥+6)

√𝑥34 )𝑑𝑥

Analiza y resuelve las siguientes situaciones problema:

22. Un estacionamiento público tiene una tarifa de $4000 la primera hora y $2500 por cada

hora o fracción adicional. Elige la forma más conveniente para representar la función que

da el precio que debe pagar una persona por las cuatro horas que estará, posiblemente,

su auto en el estacionamiento.

23. La población de una especie animal está modelada mediante la función 𝑓(𝑥) =20+3𝑥2

𝑥2+6𝑥+9,

donde X se mide en años. ¿Se puede afirmar que la especie tiende a desaparecer

después de muchos años? Argumenta.

24. Un equipo de fútbol desea que todos sus aficionados adquieran el bono que les permitirá

ingresar a todos los partidos de la temporada. La siguiente función muestra el número de

aficionados que comprará el bono desde el momento en que se lanza la oferta (x en

meses):

f(x) = √𝑛 + 1 − √𝑛 + 2

¿Cuántos aficionados comprarán el bono si se mantiene la promoción por un tiempo

ilimitado?

25. Unos científicos están probando un tratamiento contra cierta enfermedad que aumenta

la vida media de los glóbulos rojos.

Los hematólogos que han empleado el medicamento saben que la vida media de los

glóbulos rojos varía dependiendo de la duración en días del tratamiento, según la

expresión 𝑉(𝑡) =150𝑡

𝑡+5.

26. si se emplea el tratamiento por un período muy largo, ¿qué pasaría con la vida media de

los glóbulos rojos?

27. si la vida media de estas células es de 120 días, ¿en qué momento del tratamiento se

alcanzará esa cifra?

28. En cierto país, se analizó la tasa de fecundidad y se dedujo que el número de hijos que

tiene una mujer es inferior a la cantidad de hijos procreados en décadas pasadas. Según

los estudios, e número de hijos f(n) puede definirse mediante el modelo:

𝑓(𝑛) =3𝑛2 + 1

2𝑛2 + 3

Donde n es el número de años.

¿A qué valor tiende el número de hijos cuando el tiempo crece tanto como se quiera?

29. Los fractales son objetos geométricos que se generan luego de infinitas interacciones,

donde el mismo patrón de crecimiento se repite a diferentes escalas.

El perímetro del fractal anterior, está dado por la sucesión 𝑎𝑛 = 3(3

2)𝑛

Calcula el perímetro de todos los triángulos generados cuando el número de lados (n)

tiende a infinito.

30. Un equipo de investigación estimo que el número de bacterias, en miles, de un cultivo, en

función del tiempo x que pasó de un instante inicial x=0 en horas, viene dado por la

función:

{

2

9𝑥2 + 1, 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 3

4𝑥

𝑥 + 1, 𝑠𝑖 3 < 𝑥 ≤ 10

4 𝑠𝑖 𝑥 > 10

a. Compruebe que la función es continua en todo su dominio.

b. Haz una representación de la función.

c. Demuestra que existe algún instante en el que el número de bacterias es de 3600.

d. ¿Cuál es el número de bacterias cuando han transcurrido 30 minutos?

31. Con relación a la siguiente información, responde si cada enunciado es verdadero (v) o

falso (f).

Un peluquero canino cobra por el corte de pelo de acuerdo con el peso de una

mascota. Si el perro pesa 15 libras o menos, el corte cuesta $35 000; si pesa entre 15 y

40 libras, cobra $ 40 000, y si pesa 40 o más libras, cobra $ 2000 por cada libra adicional.

a. La función que representa la situación presenta una discontinuidad evitable. ( )

b. El corte del pelo para un perro de 45 kg cuesta $ 50 000. ( )

c. El corte del pelo para un perro de 20 kg cuesta $ 35 000. ( )

d. El último tramo de la función se puede representar mediante la expresión 2000𝑥. ( )

e. La derivada del primer tramo de la función es igual a 1. ( )

f. La función es continua en todo su dominio. ( )

32. Una empresa de fabricación de puertas de madera utiliza un tablón rectangular para la

hoja y tres listones de 10cm de ancho para el marco (lados laterales y lado superior). El

precio del tablón es de $128000 por metro cuadrado y el de los listones es de $87000 por

metro lineal.

Determina:

a. Las dimensiones de una puerta de 2 m2 de superficie de hoja para que el coste

sea mínimo. ¿Cuál será su precio?

b. Si la puerta es de 2.5 metros de ancho y 0.8 metros de alto, ¿cuál es su precio?

33. Demuestra la siguiente fórmula, la cual corresponde al cálculo de la segunda derivada

de una función (𝑓 ∙ 𝑔)′′ = 𝑓′′𝑔 + 2𝑓′𝑔′ + 𝑓𝑔′′ y realiza la operación (2𝑓 ∙ 𝑔2)′′, dada las

funciones 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 2𝑥 + 1 y 𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 1.

34. Una ventana tiene forma de rectángulo coronado por un triángulo equilátero. Encuentre

las dimensiones del rectángulo para que la ventana permita la máxima entrada de luz, si

el perímetro de la misma debe ser 12 metros.

35. La expresión 𝑠(𝑡) = 2𝑡3 −9

2𝑡2 − 7𝑡, con t>0, corresponde a la función posición de una

partícula.

a. ¿Cuándo alcanza la partícula una velocidad de 5m/s?

b. ¿Cuándo es CERO la aceleración?

36. En un estanque se tienen 25 peces. Cada pez engorda 45 g por mes. Por cada 2 peces

que se aumente al estanque, la producción por pez disminuye en 2.5 g por mes. Hallar el

número ideal de peces para garantizar la máxima producción.

37. Se quiere hacer un encierro de atún de forma cilíndrica para permitir el movimiento de los

organismos. Las paredes y el fondo estarán hechos con red. Se ha determinado que el

volumen ideal para los encierros es de 100 m3. Calcular las dimensiones que debe tener el

encierro para utilizar la menor cantidad de red posible.

38. Se cuenta con el dinero para comprar 500 m2 de terreno. Dentro de este terreno se quieren

construir cuatro estanques rectangulares para el cultivo de un molusco dado. Encontrar

las dimensiones del terreno que garanticen que el área de cada estanque será máxima.

La separación entre estanques y con la reja que cercará el terreno debe de ser de 2 m.

39. Se quiere hacer una lata de atún que tenga 125 cm3 de volumen. El costo del material

para hacer las tapas de dicha lata es de $0.25 por cm2 mientras que el costo del material

que conforma al cilindro es de $0.35 por cm2. Hallar las dimensiones que deberá tener la

lata de atún para que el costo de la lata sea el mínimo.

40. Un inversionista recibió un pagaré por valor de $120.000 a un interés del 8% el 15 de julio

con vencimiento a 150 días. El 200de octubre del mismo maño lo ofrece a otro inversionista

que desea ganar el 10%. ¿Cuánto recibe por el pagaré el primer inversionista?

41. Una persona debe cancelar $14.000 a 3 meses, con el 8% de interés. Si el pagará tiene

como cláusula penal que, en caso de mora, se cobre el 10% por el tiempo que exceda al

plazo fijado ¿qué cantidad paga el deudor, 70 días después del vencimiento?

42. Una persona descuenta el 15 de mayo un pagaré de $ 20.000 con vencimiento para el 13

de agosto y recibe & 19.559,90. ¿A qué tasa de descuento racional o matemático se le

descontó el pagaré?

43. Por un préstamo de 19.000.000 para comprar un vehículo hemos tenido que pagar

21.200.000 al cabo de un año a Bancolombia. ¿Cuál es la tasa de interés que nos han

cobrado?

44. ¿Cuál es el valor que voy a recibir si al cabo de 5 años cuando termine mi carrera

universitaria, había invertido $2.000.000 en la CFA, a una tasa de interés del 7,5% anual

simple?

45. Se depositan $ 8.000.000 en un banco que reconoce una tasa de interés del

14% anual, capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el monto acumulado en cuatro

años?

46. Calcula el interés de un capital de $19.000.000 invertido durante 720 días al 10% anual,

del cual se obtiene $26.500.000.

47. ¿Cuál es el valor que voy a recibir si al cabo de 5 años cuando termine mi carrera

universitaria, había invertido $2.000.000 en la CFA, a una tasa de interés del 7,5% anual

Estadística.

48. Considere el experimento que consiste en lanzar cuatro monedas, se define la variable

aleatoria X como el número de sellos obtenidos.

a. Halla la función de probabilidad.

b. Encuentra la media, la varianza y la desviación típica.

c. Para la variable aleatoria X de esta distribución halla las probabilidades p(x< 2)

y p(x ≤ 3).

49. Explica si las siguientes variables corresponden al modelo de una distribución binomial.

a. X: “Número de niñas en una familia que tiene cuatro hijos”.

b. A: “Número de artículos defectuosos en un grupo de 1500 artículos”.

c. Y: “Número de veces que una persona ha salido de su país natal”.

d. C: “Número de estudiantes que aprueban el examen final de matemáticas del

grado once del colegio Antonino”

50. Considere el experimento que consiste en lanzar tres monedas, se define la variable

aleatoria X como el número de sellos obtenidos.

d. Halla la función de probabilidad.

e. Encuentra la media, la varianza y la desviación típica.

f. Para la variable aleatoria X de esta distribución halla las probabilidades p(x< 2)

y p(x ≤ 3).

51. Se lanza un par de dados. Se define la variable aleatoria X como la suma de las

puntuaciones obtenidas. Halla la función de probabilidad, la esperanza matemática y la

varianza

52. Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:

x p i

0 0,1

1 0,2

2 0,1

3 0,4

4 0,1

5 0,1

a. Calcula y representa gráficamente la función de distribución

b. Calcula las siguientes probabilidades:

p (X < 4.5)

p (X ≥ 3)

p (3 ≤ X < 4.5)

53. La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los

lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura. ¿Cuál es la

probabilidad de que el grupo hayan leído la novela 2 personas?

54. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan

de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas

condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30

años, vivan:

a. Las cinco personas

b. Al menos tres personas

c. Exactamente dos personas

55. La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál

es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la

probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?

56. La probabilidad de que un artículo producido por una fábrica sea defectuoso es 0.02. Se

envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Halla el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.

57. Un grupo de estudiantes avanzan en un proyecto de indagación, el cual está apoyado

en el siguiente objetivo general.

Identificar los obstáculos cognitivos presentes en la comprensión del concepto de

derivada en los estudiantes.

a. ¿A qué población se deben dirigir y como pueden determinar la muestra para que sea

significativa?

b. Elabora un marco teórico que sustente el proyecto (entre 10 y 15 líneas).

c. Describe dos tecinas (instrumentos), que les permita la recolección de los datos de

manera segura y asertiva.

58. Menciona otra situación problemática que se pueda sustentar mediante los elementos y

la información recolectada hasta la fecha, como soporte del proyecto de indagación.

¿Qué estrategias utilizarías para dar a conocer las conclusiones de tú trabajo, para que

sirvan de entrada a nuevos estudios investigativos?

59. Realiza un mapa conceptual que permita identificar las diferentes técnicas de recolección

de datos en un proyecto de investigación.

60. Elabora un escrito en el que compares los diferentes tipos de muestreo, haciendo énfasis

en las ventajas y desventajas de cada uno de estos.