I.b- Propuesta de Nuevo Currículo Educación Matemáticas

1. ¿Cuál es el listado final de cursos que el grupo disciplinario o de perfil le propone a las universidades? (hacer entrega oficial de los programas de todos los cursos)

EJE TEMÁTICO: NÚMEROS Y OPERACIONES

Descripción:

Este eje identifica los conocimientos y habilidades que debe mostrar sobre los números y sus operaciones un profesor de matemáticas de segundo ciclo básico.

Estos saberes acerca de los números para su enseñanza en el segundo ciclo básico incluyen: - la construcción de los números, sus operaciones y propiedades a partir del estudio de las cantidades y las magnitudes; - la comprensión de las estructuras axiomático deductivas que los modelan, y - la comprensión de los sistemas de numeración usados para su representación; así mismo, el reconocimiento de secuencias apropiadas para la enseñanza de estos números y de los obstáculos que afectan su aprendizaje en condiciones escolares, y el reconocimiento de situaciones de modelación, de resolución de problemas, de uso de tecnología y de evaluación que favorecen el aprendizaje.

El eje se organiza en dos sub-ejes, el de las cantidades discretas, “Números Naturales y Enteros” y el de las cantidades continuas “De los Números Racionales, reales y Complejos”. Esta división hace referencia a los conceptos de cardinal y de magnitud que siendo distintos se superponen en la conformación del concepto de número.

Subeje 1:Números Naturales y Enteros

Estándar 1: Comprende los conceptos de número natural y entero, como abstracción de las cantidades discretas, y los distingue de sus formas de representación.

Justifica procedimientos y estrategias de cálculo aritmético, y propiedades del orden y de las operaciones con números naturales y enteros a partir de propiedades evidentes de los números y de sus sistemas de representación.

Resuelve problemas referidos a cantidades discretas y magnitudes negativas, haciendo uso eficiente del orden, las operaciones, las propiedades de las operaciones, el valor absoluto, las ecuaciones, las inecuaciones, y herramientas tecnológicas, según las condiciones dadas y el modelo que construya de la

situación.

Diseña desafíos y problemas referidos a situaciones de orden, conteo, aditivas, multiplicativas, de divisibilidad y restos ligadas a contextos de los programas oficiales de segundo ciclo de distintos sectores curriculares, en los que se utilice operaciones, ecuaciones, inecuaciones y en general propiedades de los números naturales o enteros.

Indicadores de logro Distingue el objeto matemático número natural de los símbolos usados

para su representación, y de los conceptos de ordinal y cardinal. Además, reconoce que esta complejidad conceptual constituye un obstáculo didáctico.

Reconoce el carácter pragmático y cultural de los sistemas de numeración; relaciona los algoritmos de operación con sus estructuras, en particular en el sistema indo-arábigo, y fundamenta los algoritmos de operación en función de la base del sistema de numeración decimal.

Verifica por medio de ejemplos propiedades como la asociatividad, y explica la limitación de la verificación como argumento de prueba general.

Prueba propiedades de divisibilidad basándose en las propiedades del sistema de numeración decimal y provee argumentos sobre la validez general de la propiedad.

Comprende el número entero como una magnitud vectorial discreta con magnitud y dirección.

Distingue las situaciones donde el cero toma un valor absoluto, por ejemplo tamaño, de aquellas donde el cero toma un valor relativo, por ejemplo indicando una posición.

Clasifica las situaciones aditivas en situaciones de estado, variación y cambio.

Resuelve problemas referidos a situaciones aditivas y multiplicativas usando ecuaciones, cálculo mental y calculadora, según las condiciones dadas.

Utiliza la descomposición prima de los números y el teorema fundamental de la aritmética multiplicativa para resolver problemas multiplicativos.

Genera situaciones problemas referidas a las nociones de divisibilidad, cuociente y resto, las relaciona con el Algoritmo de Euclides y las resuelve.

Modela situaciones problemas del ámbito de su disciplina en que se utilicen números enteros o naturales.

Provee justificaciones a los algoritmos de suma y multiplicación en Z..

Ejemplos1. Da ejemplos que evidencien la diferencia entre cantidad y número.

Argumenta porque IX y 9 representan el mismo número. 2. Resuelve una suma en dos sistemas de numeración, verifica y

argumenta la igualdad de las sumas.3. Ejemplifica una situación en la que los niños confunden el objeto

matemático número con una representación del mismo.4. Explica las virtudes de un sistema de numeración posicional, con cero y

signos simples para la construcción de las cifras.5. Identifica diferencias cualitativas entre la numeración maya, egipcia,

china, indo-arábiga, romana y babilónica. 6. Fundamenta el algoritmo usado para sumar con reserva y los canjes

para restar en el sistema decimal7. Fundamenta el algoritmo de la multiplicación en base a la

descomposición aditiva de los números. 8. Verifica que existen múltiplos de seis que son pares, y explica por qué

ello no constituye una prueba de que “todos los pares son múltiplos de seis”.

9. Investiga estrategias para operar números en distintas bases y discute su utilidad práctica

10.Prueba que la suma de tres números consecutivos es múltiplo de tres, y provee argumentos verbales sobre la validez de la propiedad en N.

11.Representa la suma y la resta de enteros en la recta numérica usando flechas y da sentido a las nociones de magnitud y sentido de las flechas.

12.Argumenta la diferencia entre el cero como tamaño de un objeto y el cero como la temperatura en que se congela el agua.

13. Identifica problemas aditivos relativos a situaciones de estado, cambio y variación.

14.Enuncia problemas referidos a situaciones de combinación o cambio, y relaciona su resolución con la categorización de los problemas aditivos

15.Determina usando cálculo mental el valor a pagar por tres pasajes escolares a $ 130 cada uno, y usando calculadora el área de una propiedad rectangular de 14,5 metros de frente y 18,40 de fondo.

16.Determina el lapso de tiempo en que tres líneas de buses se encuentran simultáneamente en el terminal, si una tiene recorrido cada 12 minutos, la otra cada 15 y la tercera cada 18 minutos. Todas comienzan su recorrido a las 6:30 AM.

17.Elabora el enunciado de una situación problema referida a las nociones de cuociente y resto, en que se requiera hacer uso del Algoritmo de Euclides y lo resuelve.

18.Relaciona el Algoritmo de Euclides con situaciones cotidianas en que adquiere significado el cuociente y el resto de una división

19.Modela una situación referida a geografía humana, frecuencia de uso de palabras, o de ciencias en que utilice números naturales, atendiendo a su mención como estudiante de pedagogía básica..

20.Argumenta el sentido de que la suma de un número positivo por un

negativo pueda ser positiva, pero en cambio la multiplicación de un número positivo con uno negativo no pueda serlo

Estándar 2:

Comprende los conceptos de número natural y entero, como entes formales cuyas propiedades están dadas por los axiomas y las proposiciones que se deducen de ellos.

Comprende la estructura deductiva de los sistemas de números naturales y enteros; reconoce las propiedades de estos sistemas y es capaz de explorar y deducir algunas propiedades en el marco de la teoría de números y de la estructura de anillo de los números enteros.

Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza que favorecen la comprensión y uso de los múltiplos, los divisores, la descomposición en factores primos, la divisibilidad, las potencias y productos como iteraciones, la representación de grandes y pequeños números, y la estimación y el redondeo, como también, de los números enteros, sus operaciones, orden y valor absoluto, atendiendo a los obstáculos didácticos asociados a estos objetos, a las orientaciones didácticas de los programas oficiales del segundo ciclo y a los enfoques cognoscitivos actuales de los aprendizajes.

Indicadores de logro Describe las nociones de correspondencia biunívoca y función sucesor y

reconoce los axiomas de Peano como propiedades verificables con cantidades discretas.

Explica la construcción inductiva de los naturales y su relación con las propiedades del orden, de la adición y de la multiplicación.

Demuestra propiedades de los naturales usando técnicas de inducción, lógica inferencial, cuantificadores, razonamiento deductivo y conceptos de básicos de teoría de conjuntos.

Caracteriza los números naturales a partir de su descomposición en factores, pudiendo describir y demostrar algunos aspectos del algoritmo de Euclides y del teorema fundamental de la aritmética.

Define el orden y las operaciones con números naturales a partir de los axiomas de Peano y las propiedades que se deducen de ellos.

Conjetura y refuta o demuestra propiedades del orden, la adición, la multiplicación, los múltiplos, los divisores, la divisibilidad, el MCM y el MCD.

Distingue las situaciones relativas a conteo y cantidad, que dan origen a los números naturales, de su definición formal, los invariantes asociados y sus sistemas de representación.

Identifica obstáculos didácticos asociados a la comprensión y uso de los números naturales en el segundo ciclo básico, en particular los obstáculos epistemológicos que quedan en evidencia en el desarrollo histórico de la matemática, y planifica actividades para la superación de estos por parte de

los alumnos. Organiza secuencias de enseñanza para el estudio de los múltiplos, los

divisores y la descomposición en factores primos atendiendo a los programas de estudio del segundo ciclo básico.

Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza que favorecen la comprensión y uso de la divisibilidad, las potencias y productos como iteraciones, la representación de grandes y pequeños números, y la estimación y el redondeo, atendiendo a los obstáculos didácticos asociados a estos conceptos, a las orientaciones didácticas de los programas oficiales del segundo ciclo y a los enfoques cognoscitivos actuales de los aprendizajes.

Define los números enteros como clases de equivalencia entre pares de naturales y prueba que Z es un conjunto ordenado y el orden es total

Define las operaciones con números enteros y deduce que ( Z,+,*) es un anillo conmutativo con unidad y sin divisores de cero.

Reconoce en los opuestos una propiedad en Z no válida en N, que permite dar solución a las ecuaciones aditivas.

Comprende la definición del valor absoluto y utiliza su representación gráfica.

Distingue las situaciones relativas a ganancias, perdidas, descuentos, aumentos, descensos y orden de magnitud.que dan origen a los números enteros, de su definición formal, los invariantes asociados y sus sistemas de representación.

Identifica obstáculos didácticos asociados a la comprensión y uso de los números enteros en el segundo ciclo básico y planifica actividades para la superación de estos por parte de los alumnos.

Organiza secuencias de enseñanza para el estudio de los números enteros, atendiendo a los programas de estudio del segundo ciclo básico; en particular, construye situaciones problemas para facilitar en sus alumnos el aprendizaje las operaciones con números enteros.

Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza para el estudio de los números enteros, sus operaciones, orden y valor absoluto, atendiendo a los obstáculos didácticos asociados a estos conceptos, a las orientaciones didácticas de los programas oficiales del segundo ciclo y a los enfoques cognoscitivos actuales de los aprendizajes.

Selecciona con criterio pedagógico problemas que se resuelven usando ecuaciones e inecuaciones aditivas y multiplicativas en Z, justificando los procedimientos por medio de propiedades.

Ejemplos1. Describe tres propiedades de la función sucesor y verifica tres axiomas de

Peano por medio de cardinales.2. Explica el uso del principio de inducción para fundamentar la cancelación

en la suma de números naturales.3. Demuestra la propiedad de cancelación de la suma en los naturales usando

técnicas de inducción y lógica4. Demuestra que la potencia enésima de un primo tiene sólo n+1 divisores.5. Define la suma usando recursividad en los naturales.

6. Propone dos conjeturas acerca de la divisibilidad por 6 y las prueba o refuta

7. Examina tres conjeturas acerca los números pares. y prueba o refuta según corresponda

8. Interpreta la relación MCD(a, b).MCM(a, b)= a b y la prueba9. Explica la diferencia entre el natural como elemento de una teoría formal y

el natural como abstracción de una cantidad.10.Presenta una situación en la que los alumnos confunden los números con

los numerales.11.Organiza una secuencia de enseñanza para estudiar la descomposición en

factores primos de un número atendiendo a los programas de estudio del segundo ciclo básico.

12.Fundamenta el uso de tres métodos distintos para determinar el MCD.13.Planifica una secuencia de enseñanza para favorecer la comprensión y uso

de las potencias con exponente entero, atendiendo a los obstáculos didácticos asociados a estos conceptos y a las orientaciones didácticas de los programas oficiales del segundo ciclo.

14.Prueba que Z es un conjunto ordenado y el orden es total, a partir de la definición de Z como conjunto cuociente.

15. Identifica todas las propiedades de ( Z,+,*) que lo identifican como un anillo y las verifica.

16.Prueba la propiedad asociativa de la suma en Z, a partir de su construcción desde los naturales.

17.Explica la ventaja de que los enteros no tengan divisores de cero en la resolución de ecuaciones lineales.

18.Explica la ventaja de la existencia de opuestos en Z frente a las ecuaciones aditivas.

19.Explica la definición del valor absoluto de un entero y explica su representación gráfica.

20.Relaciona las operaciones en Z con situaciones referidas a magnitudes positivas y negativas.

21.Organiza una secuencia de enseñanza para estudiar el orden en Z, atendiendo a los programas de estudio del segundo ciclo básico.

22.Elabora situaciones de aprendizaje para que sus alumnos investiguen y formulen conjeturas sobre las propiedades de la multiplicación de enteros.

23.Explica la problemática epistemológica asociada a los números negativos24.Planifica una secuencias de enseñanza para tratar sumas y restas con

números enteros, atendiendo a los obstáculos didácticos asociados a estos conceptos, a las orientaciones didácticas de los programas oficiales del segundo ciclo y a los enfoques cognoscitivos actuales de los aprendizajes..

25.Selecciona tres problemas que se resuelven usando ecuaciones e inecuaciones aditivas o multiplicativas en Z, los resuelve y justifica el procedimiento de resolución

26.Elabora una guía de trabajo apropiada a la realidad de un grupo curso con problemas en contexto que se resuelven por medio de ecuaciones.

Subeje 2:Números Racionales , Reales y Complejos Estándar 3:

Comprende los significados asociados a las fracciones y el concepto de número racional como elemento de un conjunto cuociente, distinguiendo sus diferencias y similitudes. Reconoce los números decimales como aquellos racionales que se expresan por fracciones cuyo denominador es una potencia de diez. Reconoce las expresiones o desarrollos decimales finitos y periódicos como una forma de representación de los números racionales, alternativa a las fracciones, que facilita los cálculos de las operaciones aritméticas. Comprende la existencia de cantidades inconmensurables, e identifica los números irracionales con las expresiones o desarrollos decimales infinitos no periódicos. Reconoce en las distintas formas de representación de los números una complejidad conceptual que se constituye en un obstáculo didáctico.

Reconoce las propiedades del orden y de las operaciones, incluyendo potencias y raíces, en los números decimales, racionales e irracionales, y las visualiza bajo las distintas formas de representación, incluyendo esquemas y gráficos, de estas categorías de números. Fundamenta los procedimientos de cálculo a partir de las formas de representación de los números.

Resuelve problemas asociados a fenómenos naturales y sociales a partir de la modelación de situaciones referidas a diferencias y razones entre medidas, mediciones y particiones, repartos y fraccionamientos, equivalencia de fraccionamientos, cuocientes y restos, pendientes, escalas, semejanza, porcentajes, tasas y variaciones proporcionales, probabilidades, medidas grandes y pequeñas, redondeos, aproximaciones, estimaciones, uso de calculadora y algoritmos operatorios, y uso de estrategias de cálculo; para lo cual utiliza números irracionales, el sistema de los números racionales y diferentes registros de representación, incluyendo expresiones fraccionarias, decimales finitas, infinitas periódicas y no periódicas, y potencias con exponente entero.

Diseña, selecciona y resuelve situaciones problemas asociadas a distintas disciplinas, en el marco de los programas de estudio de segundo ciclo básico, usando fracciones, decimales y porcentajes.

Indicadores de logro Describe situaciones referidas a parte todo, parte de la unidad, punto en la

recta, porcentaje, razón entre cantidades que se expresan por medio del símbolo de fracción.

Comprende las fracciones propias e impropias como números que representan cantidades que aluden a parte de una unidad.

Describe situaciones en que es indistinto el uso de fracciones equivalentes y resulta apropiado usar el conjunto cuociente.

Reconoce los números decimales como aquellos racionales que se expresan por fracciones cuyo denominador es una potencia de diez.

Reconoce los desarrollos decimales finitos y periódicos como formas de representación de los números racionales, alternativa a las fracciones, que facilita los cálculos de las operaciones aritméticas.

Muestra que los números con representación decimal finita admiten otra infinita.

Identifica los números irracionales con las expresiones o desarrollos decimales infinitos no periódicos

Transforma fracciones a decimales y viceversa, y fundamenta sus procedimientos.

Compara, ordena e intercala fracciones y decimales entre sí. Realiza multiplicaciones usando fracciones y expresión decimal de las

mismas. para facilitar los cálculos de las operaciones. Fundamenta los procedimientos de cálculo aritmético a partir de las formas

de representación de los números. Prueba la irracionalidad de raíz de dos, a partir del estudio de la

inconmensurabilidad de la longitud de la diagonal de un cuadrado con respecto a la longitud base.

Fundamenta la conveniencia de introducir los números irracionales para describir las magnitudes continuas.

Reconoce las propiedades del orden y de las operaciones, en los números decimales, racionales e irracionales, distingue las que se heredan de los números naturales o enteros, y las visualiza bajo las distintas formas de representación, incluyendo esquemas y gráficos, de estas categorías de números.

Resuelve problemas por medio de cuocientes, razones, tasas, proporciones, probabilidades, repartos y fraccionamientos.

Resuelve problemas asociados a fenómenos naturales y sociales a partir de la modelación de situaciones referidas a diferencias y particiones, equivalencia de fraccionamientos, cuocientes y restos, medidas grandes y pequeñas.

Describe fenómenos de la naturaleza que ilustran magnitudes o razones constantes asociadas a números irracionales como e, pi y phi.

Utiliza en la resolución de problemas estrategias de redondeo, aproximaciones, estimaciones, calculadora, ecuaciones, inecuaciones, algoritmos operatorios y estrategias de cálculo basada en las propiedades de las operaciones.

Utiliza en la resolución de problemas números irracionales y el sistema de los números racionales bajo diferentes registros de representación, incluyendo expresiones fraccionarias, decimales finitas, infinitas periódicas, y notación científica.

Diseña, situaciones problemas asociadas a distintos sectores del currículo de segundo ciclo básico, usando fracciones, decimales y porcentajes.

Reconoce en las distintas formas de representación de los números una complejidad conceptual que se constituye en un obstáculo didáctico.

Ejemplos 1. Muestra cinco situaciones cotidianas que consideren la fracción 4/5

aludiendo a diferentes referentes: parte todo, parte de la unidad, punto en la recta, porcentaje, razón entre cantidades

2. Presenta fracciones propias e impropias usando tres formas de representación distintas.

3. Argumenta por qué no es lo mismo un fósil de un kilo que 2 fósiles de ½ kilo y describe una situación en que es indistinto el uso de fracciones equivalentes.

4. Explica cómo surgieron los números decimales y que ventaja tienen.5. Muestra una situación referida a tasas o impuestos en que es más fácil usar

decimales que fracciones. 6. Argumenta de dos formas por qué 1 es igual al 0,99999... (periódico)7. Argumenta por qué el cuociente entre el numerador y denominador de una

fracción no puede ser un decimal infinito no periódico.8. Justifica el uso del término irracional para los desarrollos decimales infinitos

no periódicos.9. Expresa un decimal semi-periódico como fracciones y fundamenta el

procedimiento usado.10.Ubica fracciones y decimales en la recta numérica.11.Realiza multiplicaciones usando fracciones y una expresión decimal de las

mismas comentando las facilidades de cada método.12.Fundamenta los procedimientos usados para multiplicar con números

decimales.13.Prueba la irracionalidad de raíz de dos, a partir del estudio de la

inconmensurabilidad de la longitud de la diagonal de un cuadrado con respecto a la longitud base.

14.Desarrolla una situación en que tiene sentido usar números irracionales y no una aproximación.

15.Señala dos propiedades de los racionales comunes a los enteros y dos propiedades que no son válidas en los enteros.

16.Utiliza la recta numérica para mostrar las fracciones equivalentes en los racionales

17.Resuelve problemas por medio de razones, tasas, y fraccionamientos.18.Propone y resuelve problemas asociados a fenómenos naturales que hagan

uso de medidas pequeñas y notación científica..19.Describe tres fenómenos que ilustren situaciones que se modelen con

números irracionales trascendentes como e, pi y phi.20.Propone tres situaciones problemas que ilustren el uso de estrategias de

redondeo, aproximación y estimación21.Plantea y resuelve problemas en contextos realistas que requieren el uso

de números irracionales y racionales.22.Diseña una situación problema que haga uso pertinente de fracciones,

decimales y porcentajes.23.Muestra una situación en que la forma de representación de los números se

constituya en un obstáculo didáctico.

Estándar 4: Comprende el concepto de número racional, como ente formal cuyas propiedades están dadas por su definición constructiva y las proposiciones que se deducen de ellos.

Comprende la estructura deductiva del sistema de los números racionales, reconoce sus propiedades como cuerpo ordenado y es capaz de explorar y deducir algunas propiedades en el marco de la estructura del cuerpo cuociente construido desde el anillo de los números enteros. Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza que favorecen la comprensión y utilización de los números irracionales y del cuerpo ordenado de los racionales, en situaciones referidas a fracciones de medidas, particiones, reparto, ubicación en la recta, equivalencia de fracciones, expresiones decimales infinitas periódicas y no periódicas, redondeos, aproximaciones, estimaciones, operaciones entre racionales, cálculos con algoritmos estándares, uso de estrategias de cálculo, uso de calculadora, lectura y escritura de números racionales, divisores, restos, potencias, medidas grandes y pequeñas, exponentes enteros incluyendo negativos; atendiendo a los obstáculos didácticos asociados a estos conceptos, a las orientaciones didácticas de los programas oficiales de cuarto básico a primero medio, y a los enfoques cognoscitivos actuales de los aprendizajes.

Indicadores de logro Comprende el concepto de número racional, como ente formal cuyas propiedades están

dadas por su definición constructiva Comprende la diferencia entre el número irracional como objeto matemático

y su representación. Construye los racionales como cuerpo cuociente y define el orden, la suma

y el producto en Q. Reconoce las propiedades de Q como cuerpo cuociente, ordenado,

arquimediano, pero no completo, incluyendo propiedades de las potencias. Explora y deduce algunas propiedades en el cuerpo ordenado (Q,+,*) a

partir de (Z,+,*). Define raíz de un número y su potencia, explora propiedades de las raíces

y hace demostraciones a partir de las propiedades de las potencias. Identifica y demuestra algunas propiedades de Q que no se verifican en Z. Explica el sentido de la definición de número irracional como un límite de

sucesiones de Cauchy, intervalos encajados o cortaduras. Extiende y verifica demuestra propiedades algebraicas de las operaciones

con números racionales al ámbito de los irracionales. Identifica obstáculos didácticos asociados a la comprensión y uso de los

números racionales e irracionales en el segundo ciclo básico, en particular los obstáculos epistemológicos que quedan en evidencia en el desarrollo histórico de la noción de número real, y planifica actividades para la superación de estos por parte de los alumnos.

Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza que

favorecen la comprensión y utilización del cuerpo ordenado de los racionales, en situaciones referidas a fracciones de medidas, particiones, reparto, equivalencia de fracciones, operaciones entre racionales, cálculos con algoritmos estándares, uso de estrategias de cálculo, uso de calculadora, lectura y escritura de números racionales, divisores, restos, potencias, exponentes enteros incluyendo negativos; atendiendo a los obstáculos didácticos asociados a estos conceptos y a las orientaciones didácticas de los programas oficiales de cuarto básico a primero medio.

Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza que favorecen la comprensión y utilización de los racionales, en situaciones referidas a ubicación en la recta, expresiones decimales infinitas periódicas, redondeos, aproximaciones, estimaciones, medidas grandes y pequeñas; atendiendo a los obstáculos didácticos asociados a estos conceptos, a las orientaciones didácticas de los programas oficiales de cuarto básico a primero medio, y a los enfoques cognoscitivos actuales de los aprendizajes

Organiza y diseña actividades que favorecen la comprensión y utilización de los números irracionales, en situaciones referidas a fracciones de medidas, ubicación en la recta, expresiones decimales infinitas no periódicas, redondeos, aproximaciones, uso de estrategias de cálculo, uso de calculadora, medidas grandes y pequeñas, atendiendo a los obstáculos didácticos asociados a estos conceptos y a las orientaciones didácticas de los programas oficiales de octavo básico y primero medio.

Ejemplos1. Usa la definición de número racional para deducir propiedades desde

los enteros.2. Reconoce la raíz de dos como irracional que no admite una

representación como fracción entre enteros, y cuyo cuadrado es dos.3. Demuestra que existe una única función que a cada par de

racionales (a, b) y (c, d) le asigna el par (ad+bc, bd), con b y d no nulos.

4. Presenta con apoyo tecnológico, la diferencia entre el sistema de numeración decimal indo-arábigo y el sistema numérico de los números decimales

5. Demuestra la propiedad asociativa de la suma en los racionales.6. Explica la propiedad arquimidiana y la consecuencia de la

incompletitud de los racionales.7. Prueba la existencia de un orden en Q que contiene al orden de Z.8. Demuestra que el producto de las raíces de dos números racionales

es igual a la raíz del producto de estos números. 9. Utiliza el acotamiento por exceso y por defecto para calcular un valor

aproximado a una raíz irracional. 10.Demuestra la densidad de Q: que entre dos racionales existen

infinitos racionales11.Demuestra la existencia del irracional raíz de dos usando cortaduras

o límite de sucesiones de Cauchy.12.Demuestra la propiedad asociativa entre números racionales 13. Identifica el obstáculo epistemológico presente en el desarrollo

histórico del concepto de número irracional14.Diseña una secuencia de enseñanza que favorece la utilización de

los racionales, en situaciones referidas a cálculos con algoritmos estándares, atendiendo las orientaciones de los programas de cuarto básico a primero medio.

15.Organiza actividades de aprendizaje en torno a la forma de sumar fracciones y a su fundamento.

16.Diseña actividades que favorecen la comprensión de los racionales, en situaciones referidas a medidas grandes y pequeñas; atendiendo a las orientaciones didácticas de los programas oficiales

17.Elabora una situación de aprendizaje que permita establecer la relación entre el área de una circunferencia y el valor de Pi.

Estándar 5:Comprende de manera intuitiva los números reales como completación de los racionales, a partir de los desarrollos decimales infinitos y el modelo de la recta numérica, disponiendo de herramientas conceptuales y procedimentales para la resolución de problemas y la interpretación de fenómenos referidos a magnitudes continuas, teniendo en vista la organización de su enseñanza.

Comprende los números complejos como producto cartesiano de los reales en el plano, a partir del cual se define una operatoria útil, de tipo vectorial que permite resolver situaciones problemas. Indicadores de logro

Identifica la recta real como un modelo para representar los números racionales e irracionales y ubica fracciones, decimales finitos e infinitos en la recta.

Diseña situaciones problemáticas que involucren magnitudes continuas para el aprendizaje de los números reales y sus propiedades

Identifica el plano como un modelo para representar los números complejos, y ubica números complejos en el plano a partir de sus coordenadas cartesianas o su módulo y argumento.

Identifica situaciones en las que es útil usar números complejos y las representa gráficamente en el plano.

Ejemplos Representa los reales en la recta numérica y ubica en ella fracciones,

decimales finitos e infinitos en la recta. Diseña situaciones problemáticas que involucren magnitudes continuas

para el aprendizaje de los números reales y sus propiedades Verifica la conmutatividad de la adición en R, a partir de

representaciones de magnitudes en la recta numérica. Representa números complejos por medio de pares ordenados en el

plano. Representa situaciones referidas a electricidad por medio de los

números complejos.

EJE TEMÁTICO: Geometría

Descripción:

Este eje está orientado a determinar los conocimientos relacionados con la rama de la Geometría, de los cuales debe apropiarse un profesor de matemática de 2° ciclo básico, como también la profundidad con que esos temas deben presentarse y las competencias que debe demostrar el profesional a la hora de conducir a sus estudiantes en el proceso de aprendizaje de los mismos. Con el fin de estructurar ordenadamente los estándares relacionados con el ámbito de la Geometría, se ha dividido este eje en los siguientes subejes: 1) Figuras Geométricas Planas, 2) Cuerpos Geométricos, 3) Transformaciones Isométricas y 4) Geometría Proporcional. En cada uno de ello están incorporados los contenidos de la matemática de 5° a 8° básico, pero también están aquellos temas matemáticos que son fundantes de los tópicos tratados en la matemática escolar.

Los futuros profesores de 2° ciclo para el subsector matemática deben tener apropiadas competencias en el ámbito pedagógico que son complementarias al ámbito disciplinario. Es por ello que cada uno de los estándares para los distintos subejes incorporará el: conocimiento de Planes y Programas vigentes en Educación Matemática en

2° ciclo de enseñanza básica y también en Enseñanza Media en lo referido a Geometría. desarrollo de habilidades para resolver problemas del ámbito geométricos, diseño y planificación de situaciones para facilitar el aprendizaje de

geometría, en base a actividades de aprendizaje, apoyándose en diferentes recursos. evaluación de aprendizajes.

Subeje: Figuras Geométricas Planas

Estándar 6

Comprende la estructura axiomática de la geometría euclidiana y las nociones básicas de punto, recta, trazo, rayo. Comprende el significado de distintas figuras geométricas tales como ángulo, polígono (centrado en el triángulo y el cuadrilátero), circunferencia y las regiones que ellas delimitan; distinguiendo las distintas formas de clasificar y de caracterizar dichas figuras a través de su construcción geométrica, avanzando hacia la deducción y demostración de sus propiedades y relaciones. Comprende los conceptos de medida de longitud, medida angular, medida de superficie y demuestra propiedades que permitan calcular áreas y perímetros; reconociendo los distintos sistemas y unidades de medida en cada uno de ellos. Comprende el concepto de congruencia de figuras en el plano, y aplica los criterios de congruencia de triángulos para determinar si dos figuras son congruentes, como también para construir tesselaciones y así vincular el estudio de la geometría a diferentes manifestaciones del arte y la arquitectura, valorando a la Geometría como una disciplina muy ligada a la realidad de la humanidad y sus civilizaciones en distintas culturas y épocas.

Organiza, planifica y diseña actividades que direccionen los procesos de enseñanza hacia procesos de conceptualización de los distintos objetos geométricos para inducir en forma comprensiva la clasificación de figuras en los niños, para generar la necesidad de usar regla y compás en construcciones geométricas, para deducir propiedades a partir de figuras construidas geométricamente o en software de geometría dinámica, y para deducir propiedades métricas. Diseña planificaciones de enseñanza que sean coherentes con las orientaciones didácticas presentes en el marco de los programas oficiales y con enfoques cognoscitivos actuales acerca del aprendizaje.

Indicadores de logro Reconoce y comprende las diferentes características que definen a los ángulos,

triángulos, cuadriláteros, polígonos y circunferencia como también los distintos criterios de clasificación de ellas.

Comprende el concepto de congruencia de figuras poligonales y reconoce pares de figuras congruentes. Demuestra sus afirmaciones utilizando criterios de congruencia.

Deduce, comprende y demuestra propiedades y relaciones fundamentales en ángulos, triángulos, cuadriláteros y polígonos, fundamentándolas, cuando corresponda, con teoremas de congruencia. Aplica estas propiedades en la resolución de problemas geométricos.

Reconoce y valora los aportes de la geometría euclidiana en las distintas manifestaciones arquitectónicas, artísticas y estructurales presentes en la humanidad en distintas épocas.

Construye con regla y compás diferentes figuras planas, conocidos algunos de sus elementos y considerando sus características propias; describiendo, además, sus procesos de construcción. Complementa dichos procesos constructivos utilizando un software de construcción geométrica.

Comprende el concepto de equivalencia de figuras y demuestra teoremas de equivalencia.

Conoce, relaciona, selecciona y utiliza unidades de medida adecuadas para medir ángulos, trazos, figuras y superficies, en situaciones problemáticas

Deduce y demuestra fórmulas para el cálculo de perímetros y áreas de regiones planas, comprendiendo el significado de área relacionándolo con la medida de la superficie y el de perímetro con la adición de las longitudes de todos los lados de la figura o de la superficie que la delimita.

Establece un criterio de secuencialidad entre los distintos contenidos de geometría referidos a figuras planas señalados en los Planes y Programas de 5° a 8° año básico.

Identifica conocimientos previos referidos a figuras planas que permitan instalar un nuevo conocimiento y reconoce aquellos conceptos erróneos que dificultan su aprendizaje

Diseña actividades de aprendizaje que propicien la capacidad de razonamiento geométrico en los estudiantes, utilizando un software geométrico que permita experimentar y recopilar información conducente a la elaboración de conjeturas acerca de propiedades de elementos y relaciones conceptuales de los objetos bidimensionales orientadas explícitamente a la resolución de problemas.

Diseña planificaciones de clases referidas a figuras geométricas considerando los momentos de ella.

Diseña pruebas escritas que estén orientadas a la comprensión, la aplicación y la

utilidad de lo aprendido respecto a figuras planas.

Ejemplos

1) Clasifica los cuadriláteros según sus elementos o características. Justifica tu respuesta poniendo de manifiesto los criterios de clasificación inclusiva.

2) Determinar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias de radio dado, tangentes a una circunferencia dada.

3) Fundamente la construcción de la simetral de un trazo, haciendo uso de su concepción como lugar geométrico.

4) Construir un octógono regular de lado , inscrito en una circunferencia.

5) Dado un cuadrado ABCD, construir hacia su interior un triángulo isósceles ABP, de base AB, cuyos ángulos basales son de 15º. Probar que el triángulo CDP es equilátero.

6) Demuestra que la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes con él.

7) Demuestra que la recta que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio, es paralela a las bases, y su medida es igual a la semisuma de las medidas de las bases.

8) Demuestra que todos los triángulos que comparten la misma base y altura son equivalentes entre sí, y equivalentes a la mitad del rectángulo determinado por la base y la altura. Deduce la expresión para el área de la región triangular.

9) Utilice los conocimientos de congruencia y teoremas de congruencia para fundamentar matemáticamente que las diagonales de un paralelogramo se dimidian.

10) Construye la simetría axial en diferentes cuadriláteros ABCD utilizando diferentes ejes de simetría tales como la diagonal y el trazo que une los puntos medios de los lados opuestos y reconoce que en algunos de esos cuadriláteros ABCD el eje de simetría genera dos figuras congruentes, mencionando en forma explícita las condiciones que se deben dar con el cuadrilátero y el eje para que se cumpla dicha condición (dos figuras congruentes).

11) Construye, utilizando un software adecuado, un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia y establezca una relación métrica entre el radio de ella y la longitud del lado del triángulo equilátero.

12) Utilizando diferentes recursos tales como escuadra, regla, compás, superficies recortables, o un software de construcción geométrica, comprueba las siguientes relaciones: Teorema de Pitágoras La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°y fundamenta el hallazgo a través de una argumentación matemática

13) Analiza la ubicación del ortocentro en distintos tipos de triángulos apoyándote en la construcción geométrica de las alturas.

14) Investigue acerca de las propiedades que poseen los triángulos que se forman a partir de las medianas de un triángulo isósceles. Fundamente estas propiedades de manera adecuada.

15) Construir los triángulos determinados por las siguientes condiciones dadas: a = 3 cm, g = 60º, b = 3 cm a = 20º, c = 4 cm, b = 110º a = 25º, c = 3 cm, b = 25º a = 15º, g = 75º, c = 5 cmDetermine los instrumentos que permiten cada construcción, y clasifique los triángulos según la longitud de sus lados y la medida de sus lados.

16) Investigue y explique el sistema radián para la medida angular

17) Dada una circunferencia de radio r, se inscribe en ella un cuadrado, sobre cada uno de los lados del cuadrado se construye una semicircunferencia. Genere una fórmula en función del radio que permita encontrar el perímetro de la figura y el área de la región delimitada.

18) Señala los contenidos de 5°, 6° y 7° referidos a figuras geométricas y establece una secuencialidad en ellos.

19) Menciona al menos tres errores conceptuales que podrían dificultar el aprendizaje de los contenidos presentes en los contenidos de Perímetro y Área de 5° básico.

20) Identifica tres conocimientos previos y justifica la necesidad de utilizarlos para la enseñanza de “estudio y trazado de cuadriláteros” en 6° básico.

21) Diseñe una actividad de aprendizaje utilizando un software adecuado que permita a sus estudiantes:a) evidenciar el teorema de Pitágoras y sus aplicaciones (7° básico)b) elaborar una conjetura acerca de la relación del ángulo exterior del triángulo con los

interiores no adyacentes a él. c) evidenciar la colinealidad del ortocentro, baricentro e inscentro de un triángulo

cualquiera.

22) Planifica una clase considerando inicio-desarrollo-cierre y la adecuación de los tiempos de cada uno de los momentos y que incluya actividades de aprendizaje de 8° básico referidas al análisis de los elementos de una circunferencia y construcción conceptual de las fórmulas para calcular su perímetro y el área del círculo.

23) Diseña 3 preguntas de prueba acerca de las diferencias entre un polígono y un polígono regular (para el ámbito de la comprensión), además de existir otra pregunta respecto de la utilidad de lo aprendido referido al uso de los

polígonos regulares en la vida diaria.

24) Considera los planes y programas 5° básico a 1° medio y señala en qué niveles se analizan los contenidos de congruencia de figuras planas y establece una secuencialidad en ellos.

Subeje: Cuerpos Geométricos

Estándar 7

Comprende los conceptos referidos a rectas y planos paralelos y perpendiculares en el espacio que permitan deducir y demostrar las propiedades involucradas en ellos; como también comprende el concepto de ángulo diedro. Comprende, aplica y fundamenta las diferentes clasificaciones de cuerpos en el espacio, y determina propiedades y relaciones en ellas. Reconoce y clasifica los cuerpos poliedros, identificando sus elementos principales. Es capaz, además, de fundamentar y aplicar el Principio de Cavalieri en la determinación de fórmulas de volumen de cuerpos geométricos. Calcula volúmenes y áreas de superficie, y aplica estos conocimientos a situaciones concretas, y resuelve problemas relacionados con figuras en el espacio.

Organiza el proceso de aprendizaje de cuerpos geométricos a través de una mediación efectiva que considera planificaciones con una alta consistencia interna, involucradas en la conceptualización de los objetos geométricos, la deducción de propiedades y relaciones, y la aplicación de éstas en la resolución de problemas. Además, es capaz de justificar la organización de los contenidos geométricos en los planes de estudio de la enseñanza básica, y comprende la vinculación que ésta tiene con los contenidos vistos en enseñanza media.

Indicadores de logro

Comprende los conceptos de rectas, planos en el espacio, así como sus posiciones relativas, paralelismo, perpendicularidad e intersecciones. Comprende el concepto de ángulo diedro y triedro, sus elementos y características.

Conoce, caracteriza y clasifica los poliedros regulares, y comprende y utiliza la relación existente entre el número de caras, el número de vértices y el número de aristas de un cuerpo geométrico denominada Fórmula de Euler.

Deduce, demuestra y utiliza fórmulas adecuadas para calcular área y volumen de cuerpos geométricos, en resolución de problemas en diversos contextos

Reconoce las características de cuerpos geométricos clasificándolos según criterios como: redondos y no redondos, superficies laterales curvas o paralelas, número de superficies basales, paralelismo de las superficies basales, etc.

Modela objetos de entorno su con cuerpos geométricos conocidos. Conoce, relaciona, selecciona y utiliza unidades de medida adecuadas para áreas y volumen para resolver problemas de la vida cotidiana.

Establece un criterio de secuencialidad entre los distintos contenidos de geometría referidos a cuerpos geométricos señalados en los Planes y Programas de 5° a 8° año de educación general básica.

Reconoce y analiza conceptos erróneos respecto de cuerpos geométricos que dificultan el aprendizaje de otros contenidos geométricos, y diseña y planifica estrategias de intervención para remediar esta situación.

Identifica los conocimientos previos referidos a figuras planas que permiten instalar un conocimiento específico de la geometría del espacio.

Diseña actividades de aprendizaje que propicien la capacidad de razonamiento geométrico en los estudiantes, utilizando un software geométrico que permitan experimentar y recopilar información conducente a la elaboración de conjeturas.

Diseña planificaciones de clases referidas a cuerpos geométricos considerando los momentos de ella.

Diseña pruebas escritas que estén orientadas a la comprensión, la aplicación y la utilidad de lo aprendido respecto a cuerpos geométricos.

Ejemplos

1) Determinar el número máximo de rectas y planos que se pueden determinar por 4 puntos en el espacio.

2) Fundamenta y describe las principales características de un tetraedro regular y establece las diferencias con un hexaedro regular.

3) Utilizando un software de visualización geométrico, establece las diferencias entre un prisma y una pirámide.

4) Observa distintos cuerpos geométricos estableciendo en cada uno de ellos el número de caras (C), el número de vértices (V) y el número de aristas (A). A partir de ello reconoce la relación existente entre C, V y A, denominada Fórmula de Euler.

5) Establece fundamentadamente distintos procesos concretos para el cálculo de volúmenes de conos y cilindros.

6) Construye geométricamente representaciones bidimensionales (redes) de distintos cuerpos geométricos y establece caracterizaciones más precisas de los cuerpos a partir de ellas.

7) Comprende el significado de 1 metro cúbico y lo utiliza para establecer comparaciones en distintos consumos de agua potable facturados.

8) Señala los contenidos de 5°, 6° y 7° referidos a cuerpos geométricos y establece una secuencialidad en ellos.

9) Menciona al menos tres errores conceptuales que podrían dificultar el aprendizaje de los contenidos presentes en la Interpretación y uso de fórmulas para el cálculo de volumen de conos y cilindros presentes en la Unidad 5 de 8° básico.

10) Identifica tres conocimientos previos y justifica la necesidad de utilizarlos para la enseñanza de “relaciones de equivalencias entre unidades de volumen de uso corriente” en la Unidad 5 de 8° básico.

11) Diseña una actividad que permita discriminar los conceptos de volumen y capacidad en niños que confunden ambas nociones.

12) Diseñe una actividad de aprendizaje que permita a sus estudiantes evidenciar la fórmula

de Euler.

13) Diseñe una actividad, usando un software de visualización geométrico, que permita que un alumno determine la relación entre la medida del volumen de una pirámide respecto de la medida del volumen de un prisma.

14) Planifica una clase considerando inicio-desarrollo-cierre y la adecuación de los tiempos de cada uno de los momentos referida al contenido “experimentación de procedimientos concretos para medir el volumen de conos y cilindros”.

15) Diseña una prueba acerca de cuerpos geométricos en donde exista una pregunta acerca de las diferencias entre una pirámide y un prisma; para el ámbito de la comprensión. Además de existir otra pregunta respecto de la utilidad de lo aprendido referido al uso de las esferas en la vida diaria.

16) Genera un conjunto de preguntas para evaluar aprendizajes en diferentes momentos de la clase respecto de los aprendizajes señalados en los planes y programas de educación matemática de 8° básico.

Subeje: Transformaciones Isométricas

Estándar 8

Comprende las características que son propias de cada uno de los distintos tipos de transformaciones isométricas: traslación, rotación, simetría puntual y axial. Reconoce transformaciones isométricas en variados contextos, tanto cotidianos como artísticos, identificando su tipo y los elementos que la generaron. Aplica transformaciones y usa simetrías para analizar y resolver problemas geométricos, así como para ilustrar propiedades de figuras geométricas. Además, está en condiciones de organizar, planificar, diseñar actividades de aprendizaje basadas en la resolución de problemas para los contenidos presentes en el marco de los planes y programas vigentes en Matemática y de generar instancias evaluativas acerca de estos aprendizajes.

Indicadores de logro

Comprende, reconoce y construye traslaciones, simetrías puntuales, simetrías axiales y rotaciones de figuras, usando regla y compás, y software de construcción geométrica.

Valora la importancia de la presencia de las transformaciones isométricas en el arte y arquitectura, identificando el tipo de transformación presente en determinadas obras.

Utiliza simetrías en triángulos y cuadriláteros para clasificarlos, ilustrar propiedades, y resolver problemas en diversos contextos.

Establece una secuencialidad entre los distintos contenidos de geometría referidos o asociados a transformaciones isométricas señalados en los Planes y Programas de 5° básico a 1° medio.

Identifica conocimientos y aprendizajes previos que permitan al estudiante

comprender un nuevo conocimiento referido a transformaciones isométricas.

Diseña y construye actividades de aprendizaje que permitan al alumno de 2do ciclo, relacionar conceptos, plantear fundamentadamente procedimientos y conjeturas, referidas a algún tipo de transformación isométrica, apoyándose en un software geométrico o en construcciones geométricas,

Planifica clases referidas a transformaciones isométricas, considerando los momentos de inicio, desarrollo y cierre, proponiendo en cada uno de éstos diferentes actividades genéricas de aprendizaje y evaluación. Para ello, utiliza al menos dos modelos de planificación.

Diseña pruebas escritas que estén orientadas a la comprensión, la aplicación y la utilidad de lo aprendido respecto a transformaciones isométricas, sus pautas de corrección y, si corresponde, la rúbrica y escala de calificación.

Ejemplos

1) Construye la simetría axial de diferentes cuadriláteros utilizando diferentes ejes de simetría tales como la diagonal y el trazo que une los puntos medios de los lados opuestos, y reconoce que en algunos de esos cuadriláteros la simetría genera una figura coincide con el cuadrilátero original, mencionando en forma explícita las condiciones que se deben dar con el cuadrilátero y el eje para que se cumpla dicha condición.

2) Construye un hexágono regular usando un software geométrico, a partir de una serie de transformaciones isométricas aplicadas a un triángulo equilátero. Describa en forma explícita las transformaciones isométricas realizadas.

3) Dado un triángulo isósceles ABC, de base AB, construya otro triángulo A’B’C’ trasladando el primero 3 unidades a la derecha en la dirección de la recta que contiene la base y aplicando luego un giro de 30º en sentido antihorario respecto del punto A.

4) Valora el rol de traslaciones, simetrías y/o rotaciones en la creación de pinturas de M. Escher.

5) Investiga sobre la presencia de los 17 grupos de simetría en el arte de medio oriente.

6) Reconoce simetrías en tres elementos de la naturaleza o de su entorno físico. Describa el tipo de simetría.

7) Reconoce traslaciones, simetrías y/o rotaciones en las pinturas de M. Escher.

8) Aplica traslaciones, simetrías y/o rotaciones en la construcción de tesselaciones (embaldosamientos).

9) Considera los planes y programas de 5° básico a 1° medio y señala en qué niveles se analizan los contenidos de transformaciones isométricas y establece una secuencialidad en ellos.

10) Explica las consecuencias que en el estudiante puede tener el definir una isometría solo a través de su raíz etimológica (iso = igual, metría = medida) en la respuesta a la siguiente pregunta:

“Indica si la figura de la derecha es una transformación isométrica de la de la derecha:

11) Diseña una prueba acerca de polígonos en donde exista una pregunta acerca de las diferencias entre traslación, simetría axial y rotación; para el ámbito de la comprensión. Además de existir otra pregunta respecto de la utilidad de lo aprendido referido al uso de las transformaciones isométricas en la vida diaria y en las artes.

Subeje: Geometría Proporcional

Estándar 9

Comprende los conceptos de semejanza de figuras y proporcionalidad de trazos, y los utiliza para fundamentar los teoremas de semejanza de triángulos. Aplica estos teoremas para determinar relaciones de semejanza de polígonos, para resolver problemas y para demostrar los teoremas de Euclides y los referidos a relaciones métricas y angulares en la circunferencia. Comprende y aplica las razones trigonométricas para resolver problemas. Construye homotecias directas e inversas de figuras. Valora uso de la semejanza de figuras en el arte y la arquitectura.

Conoce la ubicación de los contenidos asociados a geometría proporcional y semejanza en los planes de estudio de enseñanza básica y media, y es capaz de organizar el proceso de aprendizaje de estos contenidos para el nivel de Educación General Básica.

Indicadores de logro

Comprende el concepto de proporcionalidad de trazos y lo utiliza para fundamentar y construir geométricamente la división interior y exterior de un trazo. Construye geométricamente la media, tercera y cuarta proporcional y comprende los procedimientos involucrados en dicha construcción.

Conoce, comprende y aplica los teoremas de Thales en la resolución de problemas.

Comprende el concepto de semejanza de figuras planas y lo utiliza para construir figuras semejantes y fundamentar los teoremas de semejanza de triángulos aplicándolos en la resolución de problemas.

Comprende el concepto de homotecia, lo utiliza para construir figuras semejantes y fundamentar los teoremas de semejanza de triángulos aplicándolos en la resolución de problemas.

Deduce y demuestra los Teoremas de Euclides y las relaciones métricas presentes

en la circunferencia (Teorema de las cuerdas, de las secantes, etc.) aplicando los teoremas de semejanza.

Aplica las relaciones métricas presentes en el triángulo rectángulo (Teoremas de Thales, Euclides y Pitágoras) y en la circunferencia para resolver problemas geométricos.

Comprende a las razones trigonométricas como la constante de proporcionalidad involucrada en triángulos semejantes, y reconoce su utilidad para resolver problemas en triángulos que no se pueden realizar utilizando los teoremas anteriores.

Aplica las razones trigonométricas para resolver problemas geométricos y contextualizados.

Investiga situaciones reales en los que el concepto de semejanza está presente, y las fundamenta matemáticamente; por ejemplo, la lectura de planos, mapas u otras representaciones que utilicen el dibujo a escala, o bien, la presencia de la razón áurea en el arte, arquitectura y naturaleza.

Identifica los contenidos de enseñanza básica y media, relacionados con la semejanza de figuras, estableciendo una secuencialidad en ellas.

Diseña actividades de aprendizaje que propicien la capacidad de razonamiento geométrico en los estudiantes, utilizando un software geométrico o construcciones geométricas, que permitan experimentar y recopilar información conducente a la elaboración de conjeturas acerca de las condiciones que deben cumplirse para que dos figuras sean semejantes.

Analiza textos escolares de matemática para 2do ciclo, y evalúa la pertinencia de las actividades propuestas, relacionadas con geometría proporcional.

Ejemplos

1) Construye geométricamente la división interior y exterior de un trazo.

2) Dados dos trazos de longitudes p y q, construye la media proporcional geométrica. Relaciona la construcción anterior con el teorema de euclides de la altura.

3) Reconocen en las condiciones de un problema geométrico, la utilización del teorema de thales y elaboran demostraciones utilizando dicho teorema.

4) Utilizan la semejanza de figuras planas y los teoremas de semejanzas en triángulos para demostrar propiedades y para reconocer pares de triángulos semejantes dados algunos medidas angulares y longitudes de lados. Aplica los teoremas de semejanza de triángulos para demostrar los teoremas de Euclides en un triángulo rectángulo.

5) Resuelve problemas geométricos acerca de relaciones métricas en un triángulo rectángulo, utilizando el teorema de Euclides.

6) Construyen por homotecias figuras semejantes y fundamentan el porque las figuras construidas son semejantes y establecen los invariantes asociados a la semejanza de figuras planas.

8) Considera los planes y programas de matemática para 2° medio y construye los indicadores de logro para el aprendizaje esperado “Conocen los criterios de semejanza de triángulos y los aplican en el análisis de los diferentes polígonos y en la resolución de problemas”.

9) Considera los planes y programas 5° básico a 4° medio y señala en qué niveles, la secuencialidad y que deben aprender los alumnos respecto a Teorema de Thales, Teorema de Euclides y Teorema de Pitágoras.

10) Identifica tres conocimientos previos y justifica la necesidad de utilizarlos para la enseñanza de “Semejanza de Figuras Planas” (contenido de 2° medio).

11) Diseñe una actividad de aprendizaje, utilizando el Cabri II (u otro programa adecuado) o construcciones geométricas, que permita a sus estudiantesa) Estimar distancias o alturas aplicando semejanza de triángulos.b) elaborar una conjetura acerca de la relación entre las áreas de dos triángulos

semejantes.

12) Planifica una clase considerando inicio-desarrollo-cierre y la adecuación de los tiempos de cada uno de los momentos y que incluya actividades de aprendizaje referidas a los teoremas de semejanza de triángulos.

13) Diseña una prueba acerca de trazos proporcionales y semejanza de triángulos en donde exista una pregunta acerca de las diferencias entre figuras congruentes y figuras semejantes; para el ámbito de la comprensión. Además de existir otra pregunta respecto de la aplicación de la proporcionalidad en la vida diaria y en las artes.

14) Genera un conjunto de preguntas para evaluar aprendizajes en diferentes momentos de la clase respecto de los aprendizajes señalados en los planes y programas respecto a Teorema de Euclides

EJE TEMÁTICO: TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN

DescripciónEn todas las esferas del mundo actual, políticas, científicas, tecnológicas y domésticas, el tratamiento de la información constituye una herramienta de primer orden en la predicción de fenómenos y la toma de decisiones.Este eje está centrado en los conceptos, técnicas y métodos necesarios para el tratamiento de la información en el marco de la resolución de problemas extraídos de diferentes ámbitos contextuales.El eje se estructura en los siguientes subejes:1. Análisis de datos univariados y divariados.2. Nociones básicas de Probabilidades.

Subeje: Análisis de datos univariados y bivariados

Estándar 10Comprende y aplica conceptos y técnicas estadísticas requeridas para recopilar,

organizar, representar, analizar e interpretar conjuntos de datos a partir del planteamiento, discusión y resolución de problemas extraídos de la vida real, teniendo en vista la organización de su enseñanza.

Indicadores de Logro Formula interrogantes que para ser respondidas requieren de una

recolección de datos. Identifica tipos de variables: cualitativas-ordinales-cuantitativa, continua-

discreta, en contexto tomados de la vida diaria. Organiza conjuntos de datos presentándolos a través de tablas de

distribución de frecuencias y/o gráficos. Interpreta tablas y gráficos para describir el comportamiento de un

conjunto de datos. Fundamenta la importancia de la recopilación de datos en el proceso de

una investigación. Argumenta la elección de una técnica de centralización o dispersión para

describir el comportamiento de un conjunto de datos.

Ejemplos

1. Formula preguntas que pueden ser respondidas con datos recolectados y organizados de su grupo curso.

2. Recopila, organiza y grafica datos extraídos de sus estudiantes, como deporte favorito, número de hermanos, peso, estatura, con la finalidad de obtener información significativa en base al comportamiento de ellos.

3. Diseña actividades de aprendizaje para que el estudiante aplique los conceptos y las propiedades de la media aritmética, la mediana y la moda.Plantea a sus estudiantes problemas con datos de la vida diaria, para que éstos seleccionen y fundamentan el tipo de medida de tendencia central que mejor representa a un conjunto de datos.

Estándar 11Comprende y aplica conceptos y técnicas estadísticas tales como tablas, diagramas, regresiones y correlaciones, requeridas para determinar y describir las relaciones existentes entre dos variables. Planifica estrategias pedagógicas teniendo en cuenta el tipo de variables, el tipo de gráfico y el indicador apropiado en el análisis de la información.

Indicadores de logro Ordena, construye e interpreta conjuntos de datos correspondientes a dos

variables, presentándolos en forma simultánea a través de tablas divariadas y/o gráficos.

Cuantifica el grado de asociación que presentan dos variables seleccionando el estadístico adecuado para la situación.

Obtiene conclusiones a partir del grado de asociación que presentan dos variables.

Utiliza software estadístico para la presentación y análisis de datos.

Ejemplos1. Presenta en una tabla y representa en un gráfico los datos correspondientes al género y edad de los estudiantes de un curso y fundamenta la forma de representación seleccionada.2. Dato el valor de la correlación entre el peso y la estatura de un grupo de sujetos, interpreta su significado.3. Diseña actividades de aprendizaje que involucran situaciones de la vida diaria para que los estudiantes calculen y discutan la relación entre variables.4. Dado un conjunto de datos bivariados, realiza predicciones de una de las variables como un acercamiento a la idea de inferencia estadística.

SUB EJE: Nociones Básicas de Probabilidades

Estándar 12A partir del análisis de situaciones significativas comprende el concepto de probabilidad y la importancia de su aplicación en la predicción y planifica estrategias pedagógicas teniendo en cuenta el concepto de azar.

Indicadores de logro Comprende, explica y describe las diferencias entre fenómenos aleatorios

y fenómenos determinísticos. Establece un espacio muestral asociado a un fenómeno aleatorio. Determina un evento o suceso asociado a un fenómeno aleatorio. Interpreta el concepto de probabilidad asociándolo a “resultados posibles”

y “resultados favorables”. Describe situaciones del mundo natural y cultural en las que se usan la

probabilidad y las limitaciones que ella presenta.

Ejemplos

1. Selecciona y analiza en alguna revista o periódico una situación en la cual se usen las probabilidades.2. Diseña actividades que, basadas en las ideas intuitivas de los estudiantes y en la discusión de ellas, permitan diferenciar y caracterizar fenómenos aleatorios y fenómenos determinísticos.3. Plantea problemas extraídos de medios de información que permitan la discusión y argumentación de las conclusiones.

EJE TEMÁTICO: MODELIZACIÓN ALGEBRAICA

Descripción:

Este eje se fundamenta en la importancia del álgebra como pilar fundamental para la construcción de la matemática como disciplina científica.La modelización algebraica, está estrechamente relacionada con la construcción de modelos para describir una situación y realizar predicciones sobre ella y a su vez comunicar lo obtenido. Estos modelos tienen la fuerza de ser aplicados a diversas situaciones problemáticas, brindándole a la matemática el estatus de ser una herramienta funcional para la vida diaria, consolidándola como una ciencia necesaria para la sociedad del conocimiento.Es por lo anterior que este eje temática está dividido, su vez, en tres subejes:Subeje 1: Lenguaje algebraico y EcuacionesSubeje 2: Variaciones ProporcionalesSubeje 3: Funciones y gráficas

En forma paralela a la adquisición de conocimientos matemáticos, los futuros profesores de Segundo Ciclo Básico deben poseer las competencias pedagógicas-didácticas para una adecuada preparación de la enseñanza en función de los aprendizajes que deben lograr en todos sus estudiantes.Por esta razón en que incluye en cada subeje el conocimiento de las dificultades de enseñanza y de aprendizaje de los conceptos matemáticos, además de su ubicación en el marco curricular y la planificación y evaluación de los contenidos disciplinares a enseñar.

Subeje 1: Lenguaje Algebraico y Ecuaciones

Estándar Nº 13Identifica el lenguaje algebraico como una relación entre la aritmética y el álgebra y de estos con el lenguaje común. Da sentido a la notación y uso de las letras (variables) dentro de este nuevo lenguaje. Relaciona, a su vez, su semántica y sintaxis con símbolos y significados únicos y que si bien se construyó a partir de las propiedades de los sistemas numéricos, tiene sus propias particularidades.Además utiliza el lenguaje algebraico para la resolución de problemas, que se transformarán en ecuaciones o inecuaciones, mediante la utilización de herramientas como la supresión de paréntesis, reducción de términos semejantes, factorización y la operatoria básica con expresiones algebraicas.

También desarrolla la capacidad de generalización del lenguaje algebraico asociado al cálculo de productos y factores, como son los productos notables y el cálculo de perímetros y áreas de figuras planas.Por otra parte, conoce los orígenes históricos del lenguaje, reflexionando en torno al razonamiento inductivo y su importancia para la articulación de un currículo con sentido, para el estudiante que lo aprende en el segundo ciclo básico.De la misma forma para el futuro profesor se hace necesaria la incorporación a su praxis docente de elementos innovadores como es el uso de materiales didácticos y software matemáticos, incorporándolos en la organización, planificación y evaluación de actividades que fomente y mejore los aprendizajes de todos sus estudiantes.

Indicadores de logro

Generaliza la operatoria aritmética de los sistemas numéricos a operatoria algebraica a través del uso de símbolos adecuados a la situación, haciendo un paralelo entre lo particular y lo general.

Construye patrones numéricos y/o geométricos a partir de la generalización de patrones de repetición.

Plantea y resuelve ecuaciones utilizando la operatoria algebraica de reducción de términos semejantes y/o factorización.

Calcula productos notables, hace factorizaciones y los interpreta numérica y geométricamente.

Conocen algunos antecedentes históricos sobre la evolución del lenguaje algebraico.

Resuelve ecuaciones con coeficientes numéricos y literales y analiza la existencia de sus soluciones.

Reconoce las características del lenguaje algebraico, en cuanto a su construcción y sus usos y las utiliza para la justificación de la enseñanza y del aprendizaje de este contenido en el sistema escolar.

Desarrolla el razonamiento inductivo para la obtención de leyes y propiedades que modelen la relación entre objetos matemáticos en situaciones contextualizadas.

Comprende el proceso para llegar a la regla de resolución de la ecuación de segundo grado.

Crea modelos de expresiones numéricas transformándolas en expresiones algebraicas y entiende su significado para la preparación de la enseñanza en el segundo ciclo básico.

Analiza los sistemas de ecuaciones lineales, en función de las posibles soluciones, resolviendo posteriormente para comprobar.

Hace referencia al origen histórico del álgebra en la planificación de los contenidos a enseñar, reconociendo e identificando categorías diferentes de interpretación y uso de letras dentro del álgebra de manera de explicitar la construcción de la matemática como disciplina científica.

Modela situaciones problemáticas en contexto mediante ecuaciones e inecuaciones lineales y las resuelve aplicando las propiedades de los sistemas numéricos, construyendo modelos que permitan generalizar conclusiones acerca de la utilidad de los algoritmos para resolución de problemas.

Organiza en forma didáctica situaciones problema, contextualizadas y con base histórica, en que se utilicen expresiones algebraicas, para darle un sentido utilitario al aprendizaje del álgebra.

Manipula software como el graphmatica que le permitirán relacionar el algebra con la geometría a través de la construcción de gráficos y le proporcionará

herramientas actividades incluyendo el uso de tecnología. Analiza críticamente los libros de texto de educación matemática en el

segundo ciclo de enseñanza básica, relacionando los contenidos disciplinares y didácticos expuestos en él con respecto a el tratamiento del lenguaje algebraico y ecuaciones.

Entiende la modelización algebraica como una capacidad de analizar soluciones de problemas, generalizarlas y justificar el alcance de ellas, permitiendo además reducir los tipos de problemas y unificar las técnicas de solución.

Acepta que el lenguaje común y el lenguaje algebraico se relacionan muchas veces en semántica y sintaxis, pero que su objeto de comunicación son distintos.

Se percata de los posibles errores que un estudiante del segundo ciclo básico puede cometer al trabajar con lenguaje algebraico y ecuaciones.

Ejemplos:1. Escribe el modelo algebraico del “nombre de los números”2. Interpreta geométricamente la identidad 3. Estudia los tres períodos fundamentales del desarrollo de la notación algebraica, distinguiendo claramente cada uno de ellos.4. Planifica una clase considerando la etapa del algebra geométrica, tomando ejemplos del libro II de Euclides y la resolución propuesta en él.5. Encontrar la solución de , por el método geométrico de Al-Khawarizmi.

6. Resolver la ecuación , por el método de completación de cuadrados.7. Elabora guías de estudio de lenguaje algebraico y ecuaciones, donde se utilicen las letras en cada uno de sus seis posibles categorías.8. Determina y explica los errores cometidos en y propone actividades para la corrección de los errores.9. Resuelve la ecuación mediante el uso de la balanza, de un diagrama y algebraicamente.10. Resuelve ecuaciones lineales mediante métodos aritméticos, reglas formales, búsqueda experimental, método de la balanza y resolución en una estructura algebraica.11. Construye secuencias didácticas inspiradas en la progresión histórica de los conceptos a enseñar en el segundo ciclo básico, permitiendo que los niños visualicen que la matemática evoluciona y que no es una ciencia hecha y fija.12. Elabora una planificación para introducir a los estudiantes de 8º básico en la resolución de ecuaciones lineales, mediante modelos concretos y analiza la ventaja y desventaja del procedimiento en el aprendizaje.13. Reconoce los obstáculos que produce el aprendizaje del álgebra a nivel básico, de manera de aportar para que no se repitan en la enseñanza media, ya que articula su enseñanza con la que el estudiante básico recibirá en los siguientes años de escolaridad.14. Elabora actividades donde es posible reconocer que los errores que se producen en el álgebra muchas veces provienen de la incomprensión de las propiedades aritméticas de los números.

Subeje 2:

Variaciones Proporcionales

Estándar Nº 14

Estudia la organización matemática en torno a la proporcionalidad que se inserta en la necesidad de describir mediante un único modelo los diferentes tipos de relaciones de proporcionalidad (segundo nivel de algebrización) justificando la forma actual de la organización matemática escolar en torno a la proporcionalidad de magnitudes.De esta organización matemática en torno a la función lineal, se desprenden las tres relaciones proporcionales que aparecen en la matemática escolar, como son los conceptos de razón, proporción y magnitudes proporcionales, con sus definiciones, propiedades, diferentes representaciones, aplicaciones y técnicas de resolución.A su vez, utiliza los contenidos matemáticos anteriores en función de las necesidades de aprendizaje de los contenidos del segundo ciclo básico establecidos por el marco curricular en cuanto a la organización, planificación y evaluación de actividades contextualizadas y pertinentes para los estudiantes de este grupo, para así lograr un aprendizaje significativo en todos ellos.

Indicadores de logro

Estudia con detalle el concepto de razón como un par ordenado de cantidades de magnitudes, a través de sus distintas utilizaciones, representaciones y conjunto numérico al que pertenecen.

Estudia la organización matemática en torno a la proporcionalidad a partir del modelo funcional que describe en un único modelo las tres relaciones de proporcionalidad clásicas: proporcionalidad directa, inversa y compuesta.

Demuestra el teorema fundamental de las proporciones y lo utiliza para reconocer que algunas razones forman una proporción.

Ejemplifica con situaciones contextuales la no proporcionalidad y proporcionalidad directa e inversa, permitiendo al estudiante de enseñanza básica entender el para qué es necesario su aprendizaje.

Resuelve problemas relacionados con la razón porcentual, entendiendo esta como una aplicación de la proporcionalidad directa, a través de un cociente constante, en un contexto cercano a sus estudiantes.

Utiliza el teorema fundamental de las proporciones para clasificar las distintas proporciones que se forman al cambiar el orden de los términos y las utiliza para la resolución de problemas.

Modela y resuelve problemas de proporcionalidad compuesta, entendiendo esta como una conjunción entre situaciones de proporcionalidad directa y/o inversa y una forma económica de resolución de problemas donde estas estén relacionadas.

Usa las propiedades de las proporciones para resolver problemas geométricos relativos a segmentos proporcionales, semejanza de triángulos, etc. y así relacionar la aritmética y el álgebra con la geometría que aprenderá el estudiante de enseñanza básica, en la enseñanza media.

Comprende que la regla de tres de una técnica eficaz para la resolución de problemas de proporcionalidad directa y compuesta, pero que esta “esconde” la caracterización de los tipos de proporcionalidad.

Diseña situaciones de enseñanza que permitan a los estudiantes de educación básica aprender otras herramientas de resolución de problemas acordes el tema

tratado y lograr un aprendizaje significativo en ellos. Identifica y justifica las razones por las cuales se hace una diferenciación en el

tratamiento del contenido Variaciones Proporcionales entre 6º y 8º año básico. Diseña diferentes tipos de evaluaciones del contenido del marco curricular

Variaciones Proporcionales, considerando la diversidad de estudiantes en la sala de clases.

Diseña y elabora unidades didácticas considerando los aprendizajes esperados, de los contenidos de Variaciones Proporcionales, en cada curso del segundo ciclo básico, donde el contenido es tratado.

Analiza críticamente los libros de texto de educación matemática en el segundo ciclo de enseñanza básica, relacionando los contenidos disciplinares y didácticos expuestos en él con respecto a el tratamiento de las variaciones proporcionales.

Valora la matemática como una herramienta útil y funcional para que los estudiantes del segundo ciclo de educación básica alcancen contenidos y aprendizajes para desenvolverse en la sociedad actual.

Aprecia la organización matemática en torno a la proporcionalidad, comprendiendo su necesidad para la consolidación matemática de los conceptos asociados a ella.

Ejemplos:1. Resuelve problemas del siguiente tipo: La fuerza de gravedad en la luna es 1/6 de la fuerza en la tierra. Si una persona es capaz de hacer un salto de altura de 1, 70 mts y de 4,85 mts de longitud en la tierra, ¿Cuánto podrá saltar en altura y longitud en la luna?. Aplica el razonamiento de la regla de tres y el razonamiento de función lineal para hacer los cálculos.2. Justifica la siguiente regla para el cálculo de porcentaje: Para calcular el p% de un número a, basta con multiplicar a por el operador decimal de porcentaje (p/100).

3. Demostrar que si , entonces se cumple que

4. Analiza el siguiente problema, en relación con las posibles respuestas, formas de resolver y errores que pueden cometer los estudiantes de 8º básico: Si sube el precio de 1 kg. de porotos de $520 a $570, ¿Cuál es el porcentaje de aumento en el precio?5. Dos mangueras de igual caudal, llenan una piscina en tres horas, ¿Cuánto tiempo se demorarán en llenarla cinco mangueras iguales a las anteriores?6. Planifica situaciones de enseñanza y aprendizaje, considerando situaciones como descuento en tiendas comerciales, construcción de obras, ingredientes para elaborar alimentos, donde el estudiante infiera las características de una variación proporcional directa, inversa o de no proporcionalidad.7. Diseña actividades de aprendizaje donde se pone de manifiesto la relación entre la geometría proporcional y las variaciones proporcionales mostrando que las ramas de la matemática están relacionadas entre sí.8. Estudia en los diferentes medios de comunicación donde aparecen porcentajes y los utiliza para la elaboración de proyectos grupales donde los estudiantes de educación básica vean la utilidad de aprender el contenido.9. Elabora una pauta de apreciación para evaluar y calificar el trabajo de proyectos considerando la diversidad de estudiantes, las diferentes formas de aprender y los aprendizajes esperados de la unidad variaciones proporcionales en 6º, 7º y 8º básico, en función de los aprendizajes a alcanzar.

Subeje 3:Funciones

Estándar Nº 15Comprende y utiliza el concepto de función de variable real, sus tipos, representaciones y propiedades, que consolidan la noción de modelización algebraica, que articula los niveles de educación básica y media, comprendiendo que no es un tópico a enseñar, pero que es de vital importancia para dar un sustento teórico al aprendizaje y la enseñanza del álgebra y su utilización en los cursos superiores de enseñanza media y universitaria. A su vez comprende la importancia de este concepto dado el enorme campo de aplicaciones prácticas, ya sea en el ámbito físico, químico o propiamente matemático.

Indicadores de logro Analiza situaciones y fenómenos que se pueden modelar utilizando función

lineal, cuadrática o exponencial Caracteriza diferentes tipos de funciones (lineal, cuadrática, valor absoluto,

raíz cuadrada, exponencial), basándose en su representación gráfica, su crecimiento o decrecimiento, dominio y recorrido y analiza su continuidad.

Construye expresiones algebraicas y/o gráficas para representar fenómenos físicos, biológicos y/o matemáticos.

Reconoce la expresión algebraica y gráfica de las funciones lineales, cuadráticas y exponenciales, traduciendo de un registro a otro.

Relaciona los sistemas de ecuaciones lineales, con su representación gráfica y sus posibles soluciones.

Estudia variados procedimientos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales y selecciona el más adecuado para el problema a resolver.

Desarrolla diferentes estrategias (gráficas y/o algebraicas) para detectar si una relación entre variables es o no una función.

Investiga la construcción histórica el concepto de función, indicando las diferentes etapas por las cuales pasó el concepto para su actual definición.

Explica la relación entre los conceptos de ecuación de primer grado y la función lineal.

Identifica que la proporcionalidad directa e inversa son tipos de funciones y lo verifica mediante el uso de gráficas.

Valora el aporte de diferentes matemáticos a la construcción de la matemática como disciplina científica y valida su campo de acción.

Utiliza software matemático para la graficación de funciones. Es capaz de crear estrategias de enseñanza de ecuaciones lineales donde se

relacionen estas con el concepto intuitivo de función lineal. Investiga situaciones contextuales relacionadas con funciones lineales,

cuadráticas y exponenciales y su utilización en distintas áreas del conocimiento, como economía, finanzas, física, química, entre otras.

Ejemplos:1. Analice la función raíz cuadrada en el intervalo (-4, 0]2. Extrae la información pedida del siguiente gráfico

¿Cuántos litros tenía el estanque a la salida?¿Qué sucedió en el kilómetro 80? ¿Y en el 240?¿Cuántos litros gastó durante el viaje?3. Dada la siguiente tabla, escribe la expresión algebraica asociada. Elabora un gráfico y explicita su dominio y recorrido, ¿A qué conjunto numérico pertenecen?

4. Si el perímetro de un cuadrado es 24 cms., Determina distintos valores para cada uno de los lados¿Cuál es el mayor valor que puede tomar la base? ¿y el menor?Construye una tabla con los valores anteriores y represéntalos en el plano cartesiano.¿Cuál es la expresión funcional que está representada en el gráfico anterior?5. Supón que hoy día vas a un banco y depositas $10.000 en una cuenta de ahorro al 0,3% mensual. Supón, además, que cada mes depositas $1.000 en la misma cuenta y no retiras fondos, ¿Cuánto dinero tendrás en la cuenta al cabo de un año?, ¿y después de dos años?6. En un loteo de sitios rectangulares, el largo de cada terreno tiene 20 m. más que su ancho. Edmundo recuerda que uno de los terrenos tiene 525 m2 de superficie. Encuentra las dimensiones del terreno.7. Desarrolla una exposición de algún matemático que haya contribuido a la formación de la disciplina, en particular con el concepto de función.8. Crea una guía de trabajo con un software matemático que relacione las ecuaciones de primer grado con las funciones lineales.

Asignatura: Algebra y FuncionesAutor(a)/Universidad: Alicia Zamorano/Universidad del Bío-BíoHoras presenciales por semana: 6 (4 teóricas, 2 prácticas)Horas requeridas del alumno por semana fuera del aula: 4

Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica

El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es un profesional con sólida formación pedagógica y disciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje, con autonomía para tomar decisiones informadas.Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación para desarrollar las competencias que le permiten responsabilizarse de los procesos y resultados de su enseñanza.En colaboración con la familia y comunidad, se compromete con el logro de aprendizajes que potencien el desarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantes preadolescentes. Participa en acciones de cooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidad de la educación que ofrece su institución escolar

ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS

I. Estándares y Competencias del perfil de egreso relacionados con el curso.

El curso de Álgebra y Funciones está diseñado para lograr con especial énfasis los estándares y competencias que a continuación se indican:

Estándar Nº 13Identifica el lenguaje algebraico como una relación entre la aritmética y el álgebra y de estos con el lenguaje común. Da sentido a la notación y uso de las letras (variables) dentro de este nuevo lenguaje. Relaciona, a su vez, su semántica y sintaxis con símbolos y significados únicos y que si bien se construyó a partir de las propiedades de los sistemas numéricos, tiene sus propias particularidades.Además utiliza el lenguaje algebraico para la resolución de problemas, que se transformarán en ecuaciones o inecuaciones, mediante la utilización de herramientas como la supresión de paréntesis, reducción de términos semejantes, factorización y la operatoria básica con expresiones algebraicas.También desarrolla la capacidad de generalización del lenguaje algebraico asociado al cálculo de productos y factores, como son los productos notables y el cálculo de perímetros y áreas de figuras planas.Por otra parte, conoce los orígenes históricos del lenguaje, reflexionando en torno al razonamiento inductivo y su importancia para la articulación de un currículo con sentido, para el estudiante que lo aprende en el segundo ciclo básico.De la misma forma para el futuro profesor se hace necesaria la incorporación a su praxis docente de elementos innovadores como es el uso de materiales didácticos y software matemáticos, incorporándolos en la organización, planificación y evaluación de actividades que fomente y mejore los aprendizajes de todos sus estudiantes.

Estándar Nº 15Comprende y utiliza el concepto de función de variable real, sus tipos, representaciones y propiedades, que consolidan la noción de modelización algebraica, que articula los niveles de educación básica y media, comprendiendo que no es un tópico a enseñar, pero que es de vital importancia para dar un sustento teórico al aprendizaje y la enseñanza del álgebra y su utilización en los cursos superiores de enseñanza media y universitaria. A su vez comprende la importancia de este concepto dado el enorme campo de aplicaciones prácticas, ya sea en el ámbito físico, químico o propiamente matemático.Competencias del Perfil, Eje 2

Competencia 1: Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas del sector de aprendizaje que es responsable de enseñar.

Competencia 2: Comprende el marco curricular nacional y los mapas de progreso para el sector curricular que enseña, estableciendo relaciones con el primer ciclo y la enseñanza media, utilizando este conocimiento para planificar su enseñanza.

Competencia 3: Utiliza los resultados de las investigaciones en su especialidad y de las Ciencias de la educación para planificar secuencias de enseñanza y evaluación que contemplan la lógica de los contenidos y el proceso de aprendizaje.

Competencia 5: Utiliza los resultados de las evaluaciones para retroalimentar a los educandos y ajustar sus planificaciones y estrategias didácticas.

El (los) siguiente estándar(es)/competencia(s) tiene(n) un énfasis secundario en este curso:

Estándar 4Comprende la modelación de situaciones referidas a cuocientes, razones, tasas, proporciones, probabilidades, repartos y fraccionamientos, por medio del sistema de los números racionales y sus registros de representación, para aplicarla en la resolución problemas asociados a fenómenos naturales y sociales, teniendo en vista la organización de su enseñanza.

Estándar 5 Comprende de manera intuitiva los números reales como completación de los racionales, a partir de los desarrollos decimales infinitos y el modelo de la recta numérica, disponiendo de herramientas conceptuales y procedimentales para la resolución de problemas y la interpretación de fenómenos referidos a magnitudes continuas, teniendo en vista la organización de su enseñanza.

Estándar Nº 14Estudia la organización matemática en torno a la proporcionalidad que se inserta en la necesidad de describir mediante un único modelo los diferentes tipos de relaciones de proporcionalidad (segundo nivel de algebrización) justificando la forma actual de la organización matemática escolar en torno a la proporcionalidad de magnitudes.De esta organización matemática en torno a la función lineal, se desprenden las tres relaciones proporcionales que aparecen en la matemática escolar, como son los conceptos de razón, proporción y magnitudes proporcionales, con sus definiciones, propiedades, diferentes representaciones, aplicaciones y técnicas de resolución.A su vez, utiliza los contenidos matemáticos anteriores en función de las necesidades de aprendizaje de los contenidos del segundo ciclo básico establecidos por el marco curricular en cuanto a la organización, planificación y evaluación de actividades contextualizadas y pertinentes para los estudiantes de este grupo, para así lograr un aprendizaje significativo en todos ellos.

Competencia 4, Eje 2: Comprende el amplio rango de procedimientos evaluativos y los usa para monitorear el avance y logro de las metas de aprendizaje

II. Aprendizajes esperados:

Conceptual

Generaliza la operatoria aritmética de los sistemas numéricos a operatoria algebraica a través del uso de símbolos adecuados a la situación, haciendo un paralelo entre lo particular y lo general.

Analiza algunos antecedentes históricos sobre la evolución del lenguaje algebraico. Reconoce las características del lenguaje algebraico, en cuanto a su construcción y sus

usos y las utiliza para la justificación de la enseñanza y del aprendizaje de este contenido en el sistema escolar.

Desarrolla el razonamiento inductivo para la obtención de leyes y propiedades que modelen la relación entre objetos matemáticos en situaciones contextualizadas.

Comprende el proceso para llegar a la regla de resolución de la ecuación de segundo grado. Entiende la modelización algebraica como una capacidad de analizar soluciones de

problemas, generalizarlas y justificar el alcance de ellas, permitiendo además reducir los tipos de problemas y unificar las técnicas de solución.

Caracteriza diferentes tipos de funciones (lineal, cuadrática, valor absoluto, raíz cuadrada, exponencial), basándose en su representación gráfica, su crecimiento o decrecimiento, dominio y recorrido y analiza su continuidad.

Reconoce la expresión algebraica y gráfica de las funciones lineales, cuadráticas y exponenciales, traduciendo de un registro a otro

Relaciona los sistemas de ecuaciones lineales, con su representación gráfica y sus posibles soluciones.

Analiza diversos procedimientos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales y selecciona el más adecuado para el problema a resolver.

Investiga la construcción histórica el concepto de función, identificando las diferentes etapas por las cuales pasó el concepto para su actual definición.

Explica la relación entre los conceptos de ecuación de primer grado y la función lineal. Identifica que la proporcionalidad directa e inversa son tipos de funciones y lo verifica

mediante el uso de gráficas.

Procedimental Construye patrones numéricos y/o geométricos a partir de la generalización de patrones de

repetición. Plantea y resuelve ecuaciones utilizando la operatoria algebraica de reducción de términos

semejantes y/o factorización. Calcula productos notables, hace factorizaciones y los interpreta numérica y

geométricamente. Resuelve ecuaciones con coeficientes numéricos y literales y analiza la existencia de sus

soluciones. Modela situaciones problemáticas en contexto mediante ecuaciones e inecuaciones lineales

y las resuelve aplicando las propiedades de los sistemas numéricos, construyendo modelos que permitan generalizar conclusiones acerca de la utilidad de los algoritmos para resolución de problemas.

Crea modelos de expresiones numéricas transformándolas en expresiones algebraicas. Construye expresiones algebraicas y/o gráficas para representar fenómenos físicos,

biológicos y/o matemáticos. Desarrolla diferentes estrategias (gráficas y/o algebraicas) para detectar si una relación

entre variables es o no una función. Analiza situaciones y fenómenos que se pueden modelar utilizando función lineal, cuadrática

o exponencial Utiliza software matemático para la graficación de funciones. Analiza los sistemas de ecuaciones lineales, en función de las posibles soluciones,

resolviendo posteriormente para comprobar.

Actitudinal

Valora el aporte de diferentes matemáticos a la construcción de la matemática como disciplina científica. Acepta que el lenguaje común y el lenguaje algebraico se relacionan muchas veces en

semántica y sintaxis, pero que sus objetos de comunicación son distintos.

III. Lecturas Requeridas:

Lectura Obligatoria Ayres, F., (2001), Matemáticas Financieras, Mc Graw-Hill, México Azcárate, C. y Deulofeu, J. (1990). Funciones y gráficas. Madrid: Síntesis. Hall y Knight (1994) Álgebra Superior. UTHEA. México. Stewart, J.; Redlin, L. - Watson, S.(2001), Precálculo . Thomson Learning.

Lectura complementaria Alcalá, M. (2002 ), La construcción del lenguaje matemático, Editorial Graó, Barcelona. Boyer, C. B. (1986), Historia de la matemática. Alianza, Madrid. (Capítulo 1, 2 y 3) Socas, M.M., Camacho, M., Palarea, M. y Fernández, J. (1989). Iniciación al álgebra. Madrid: Síntesis. (Capítulo 1)

IV. Otros recursos:

http://www.oei.es/innovamedia/mat.htmhttp://almez.pntic.mec.es/%7Eagos0000/http://www.programurl.com/software-algebra-one-on-one-downloadnow.htmlhttp://www.oei.es/innovamedia/mat.htmhttp://math.exeter.edu/rparris/winplot.html

V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias. (Indique las principales actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los estándares y competencias del perfil de egreso)

1. Resolución de ecuaciones con coeficientes numéricos y literales y analiza la existencia de sus soluciones

Estándar 13/Competencia 1 Los estudiantes, resolverán una guía de ejercicios y problemas que involucren el contenido de de ecuaciones, donde sus coeficientes serán números y letras. Para resolver utilizarán las propiedades de los números y comprobarán sus soluciones. En las respuestas con valores literales, analizarán la existencia de las soluciones, según el problema y el conjunto numérico al que pertenezcan los coeficientes literales.

2. Calcula productos notables, hace factorizaciones y los interpreta numérica y geométricamente.

Estándar 13/Competencia 1En base a una guía con problemas de cálculo de perímetros y áreas de cuadrados y rectángulos, con medidas literales, calculan los perímetros y las áreas. Para calcular deben reducir términos semejantes, aplicar productos notables como cuadrado de un binomio, reducción de términos con paréntesis. Relacionan el perímetro con una expresión lineal y el área con una expresión cuadrática.

3. Construcción de expresiones algebraicas y/o gráficas para representar fenómenos físicos, biológicos y/o matemáticos.

Estándar 13- 15/Competencia 1El (la) profesor(a) agrupa a los estudiantes en binomios y les entrega problemas contextualizados como boletas de gasto de electricidad, gas o agua potable, biológicos como el crecimiento de las bacterias y matemáticos, como una serie de números y a partir de ellas encuentran las regularidades, escribiendo la expresión algebraica asociada a cada contexto. Los datos los agrupa en tablas y con la ayuda de un software los grafica.

4. Caracterización de funciones, basándose en sus gráficos, crecimiento, dominio y recorridoEstándar 13-15/Competencia 1

Los estudiantes, en binomios, a partir de una guía de trabajo con gráficos de distintos tipos de funciones, entregada por el (la) profesor(a), los caracterizan según el dominio y recorrido, intervalos de crecimiento y decrecimiento y construyen tablas de valores para escribir la expresión algebraica asociada.

Pauta para la evaluación clave

EVALUACIÓN CLAVE 1

1. Estándar 13-15-4/ Competencias 1-2-3-52. Justificación (¿Por qué tiene que saber esto un/una profesor(a) de segundo ciclo?)

Un(a) profesor(a) de 2º ciclo debe conocer los diferentes matemáticos que han ayudado a la creación de la matemática como disciplina científica, en particular aquellos que contribuyeron a la construcción del lenguaje algebraico y el concepto de función. Por otra parte, tendrán que relacionar las etapas de aprendizaje de los estudiantes con la epistemología de los conceptos matemáticos y así comprender los obstáculos con los cuales se encuentran los estudiantes de enseñanza básica.

3. Pre-requisitos: (lo que los estudiantes deben saber y deben hacer antes de la evaluación):Los estudiantes deben:- Manejar, analizar y seleccionar bibliografía, que sea pertinente con la información necesaria para realizar la tarea encomendada.- Manipular a nivel de usuario el computador para buscar la información requerida.

4. Descripción breve de la evaluación

Los estudiantes realizarán una investigación fuera del aula, en forma individual. Esta investigación consistirá en recopilar información sobre los diversos matemáticos que han contribuido a lo largo de la historia para la construcción de la disciplina, en particular aquellos que lograron “algebrizarla”. Además de reconocerán los obstáculos que se desprenden de los conceptos de lenguaje algebraico y funciones, para comprender algunas dificultades con las que se encontrará en el momento de enseñar dichos contenidos.

5. Describa los pasos de la evaluación en detalle Paso 1:Buscará en libros de historia de la matemática, diversos matemáticos que contribuyeron al desarrollo de la disciplina, en particular durante los siglos XV al XIX y así comprender en forma global los avances matemáticos ocurridos en esa época y la velocidad de su construcción.

Paso 2:

Seleccionará un matemático del cual harán una bibliografía, personal y disciplinar indicando sus aportes a la matemática y otras disciplinas afines, además que línea de investigación desarrollaron y como esta área esta hoy incluida dentro de la matemática disciplinar y otras áreas de investigación. En cuanto al contenido matemático, explicitará las dificultades para la aceptación de los conceptos, además de las complicaciones propias de su complejidad matemática.

Paso 3:Presenta un avance del trabajo realizado ya sea para realizar consultas o para verificar que el avance del trabajo investigativo está encaminado correctamente.

Paso 4:Elabora un informe escrito con los pasos anteriores y las conclusiones obtenidas durante el desarrollo de la investigación, tanto en el ámbito disciplinar como personal para su futura profesión docente.

6. Puntuación de los Pasos/Trabajos para la evaluación:

Puntos1. Revisión bibliográfica pertinente (Estándar 15 / Competencia 1) 10 (rúbrica)

2. Selección pertinente e investigación profunda (Estándar 14 / Competencia 1-2) 20 (rúbrica)

3. Avance del trabajo (Estándar 14 / Competencia 1-3-5) 20 (rúbrica)

4. Informe final (Estándar 14 / Competencia 1-2) 30 (rúbrica)

5. Autoevaluación (Competencia 5 ) _20__

Total de puntos 100

7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades o actitudes (textos, sitios de la red y otros)

- Internet y sitios web coherentes con el tema a investigar- Biblioteca con textos necesarios para desarrollar la investigación- Pauta de cómo serán evaluados con los indicadores de elaboración y presentación del informe- Tiempo coherente para el desarrollo de la investigación, tanto dentro del aula (para responder consultas) como fuera de ella para recopilar información y elaboración del informe.

Rúbrica de evaluación:

EVALUACIÓN CLAVE 1 Insatisfactorio0 puntos

Básico1-5 puntos

Competente5-8 puntos

Destacado9-10 puntos

Puntos

Paso 1Busca en libros de historia de la matemática, diversos matemáticos que contribuyeron al desarrollo de la disciplina, en particular durante los siglos XV al XIX y así comprender en forma global los avances matemáticos ocurridos en esa época y la velocidad de su construcción.

No realiza la revisión bibliográfica o lo que realiza está fuera del período histórico que interesa estudiar.

La revisión bibliográfica es escasa, ya que solo reporta dos o tres matemáticos relevantes o la información extraída de los matemáticos es insuficiente.

Realiza una revisión bibliográfica competente, ya que investiga a más de cuatro personajes matemáticos, describiendo sus aportes para la construcción de la matemática.

Realiza una revisión bibliográfica competente, ya que investiga a más de cuatro personajes matemáticos, describiendo sus aportes para la construcción de la matemática y relacionándolo con la matemática escolar que le tocará enseñar.

10

Paso 2:Selecciona un matemático del cual hará una bibliografía, personal y disciplinar indicando sus aportes a la matemática y otras disciplinas afines, además indica la línea de investigación que desarrolló.Explicita las dificultades para la aceptación de los conceptos estudiados, además de las complicaciones propias de

No selecciona ningún matemático o el que selecciona no está relacionado con el tema algebraico o está relacionado tangencialmente.

Selecciona un matemático, pero no profundizan en el aporte disciplinar, evidenciando una escasa investigación bibliográfica personal y de aporte a la ciencia matemática

Selecciona un matemático e investiga a profundidad sus aportes a la construcción de la matemática. Además de indagar en las dificultades de el o los conceptos matemáticos en los cuales trabajó, indicando su complejidad

Selecciona un matemático e investiga a profundidad sus aportes a la construcción de la matemática. Además de indagar en las dificultades de el o los conceptos matemáticos en los cuales trabajó, indicando su complejidad matemática. Además relaciona los conceptos estudiados por ese matemático con otras áreas del conocimiento científico moderno.

20

su complejidad matemática.

(multiplicar por 2)

matemática.

Paso 3:Presenta un avance del trabajo realizado ya sea para realizar consultas o para verificar que el avance del trabajo investigativo está encaminado correctamente.

(multiplicar por 2)

No presenta avance del trabajo o lo que presenta es solo la revisión bibliográfica, sin mayores indagaciones.

Presenta un avance del trabajo, pero este es pobre en calidad y cantidad, ya que no hay profundidad en la investigación, sólo muestra al matemático en un ámbito personal.

Presenta un avance del trabajo destacado, ya que en el hay evidencias de una revisión bibliográfica importante y la profundidad del estudio del matemático es adecuada.

Presenta un avance del trabajo destacado, ya que en el hay evidencias de una revisión bibliográfica importante y la profundidad del estudio del matemático es adecuada. Además que tienen claro las ideas faltantes para la entrega del trabajo final.

20

Paso 4:Elabora un informe escrito con los pasos anteriores y las conclusiones obtenidas durante el desarrollo de la investigación en el ámbito disciplinar como personal para su futura profesión docente.

(multiplicar por 3)

No elabora el informe escrito, o solo con alguno de los pasos anteriores, sin conclusiones

El informe final no muestra rigurosidad ni en su presentación ni en el contenido matemático encontrado, evidenciando una escasa revisión por parte del estudiante.

El informe final presentado es impecable en cuanto a presentación, desarrollo del tema y rigurosidad matemática.

El informe final presentado es impecable en cuanto a presentación, desarrollo del tema y rigurosidad matemática. Además de hacer un aporte a su proyección de la docencia.

30

Total Puntos

Asignatura: Didáctica del ÁlgebraAutor(a)/Universidad: Alicia Zamorano/Universidad del Bío-BíoHoras presenciales por semana: 6 (3 teóricas y 3 prácticas)Horas requeridas del alumno por semana fuera del aula: 6

Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica

El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es un profesional con sólida formación pedagógica y disciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje, con autonomía para tomar decisiones informadas.Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación para desarrollar las competencias que le permiten responsabilizarse de los procesos y resultados de su enseñanza.En colaboración con la familia y comunidad, se compromete con el logro de aprendizajes que potencien el desarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantes preadolescentes. Participa en acciones de cooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidad de la educación que ofrece su institución escolar

ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS

I. Estándares y Competencias del perfil de egreso relacionados al curso.

El curso de Didáctica del Álgebra, está diseñado para lograr con especial énfasis los estándares y competencias que a continuación se indican:

Estándar Nº 13Identifica el lenguaje algebraico como una relación entre la aritmética y el álgebra y de estos con el lenguaje común. Da sentido a la notación y uso de las letras (variables) dentro de este nuevo lenguaje. Relaciona, a su vez, su semántica y sintaxis con símbolos y significados únicos y que si bien se construyó a partir de las propiedades de los sistemas numéricos, tiene sus propias particularidades.Además utiliza el lenguaje algebraico para la resolución de problemas, que se transformarán en ecuaciones o inecuaciones, mediante la utilización de herramientas como la supresión de paréntesis, reducción de términos semejantes, factorización y la operatoria básica con expresiones algebraicas.También desarrolla la capacidad de generalización del lenguaje algebraico asociado al cálculo de productos y factores, como son los productos notables y el cálculo de perímetros y áreas de figuras planas.Por otra parte, conoce los orígenes históricos del lenguaje, reflexionando en torno al razonamiento inductivo y su importancia para la articulación de un currículo con sentido, para el estudiante que lo aprende en el segundo ciclo básico.De la misma forma para el futuro profesor se hace necesaria la incorporación a su praxis docente de elementos innovadores como es el uso de materiales didácticos y software matemáticos, incorporándolos en la organización, planificación y evaluación de actividades que fomente y mejore los aprendizajes de todos sus estudiantes.

Estándar Nº 14Estudia la organización matemática en torno a la proporcionalidad que se inserta en la necesidad de describir mediante un único modelo los diferentes tipos de relaciones de proporcionalidad (segundo nivel de algebrización) justificando la forma actual de la organización matemática escolar en torno a la proporcionalidad de magnitudes.

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De esta organización matemática en torno a la función lineal, se desprenden las tres relaciones proporcionales que aparecen en la matemática escolar, como son los conceptos de razón, proporción y magnitudes proporcionales, con sus definiciones, propiedades, diferentes representaciones, aplicaciones y técnicas de resolución.A su vez, utiliza los contenidos matemáticos anteriores en función de las necesidades de aprendizaje de los contenidos del segundo ciclo básico establecidos por el marco curricular en cuanto a la organización, planificación y evaluación de actividades contextualizadas y pertinentes para los estudiantes de este grupo, para así lograr un aprendizaje significativo en todos ellos.

Estándar Nº 15Comprende y utiliza el concepto de función de variable real, sus tipos, representaciones y propiedades, que consolidan la noción de modelización algebraica, que articula los niveles de educación básica y media, comprendiendo que no es un tópico a enseñar, pero que es de vital importancia para dar un sustento teórico al aprendizaje y la enseñanza del álgebra y su utilización en los cursos superiores de enseñanza media y universitaria. A su vez comprende la importancia de este concepto dado el enorme campo de aplicaciones prácticas, ya sea en el ámbito físico, químico o propiamente matemático.

Competencias del Perfil, Eje 2Competencia 1: Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas del sector de aprendizaje que es responsable de enseñar.Competencia 2 : Comprende el marco curricular nacional y los mapas de progreso para el sector curricular que enseña, estableciendo relaciones con el primer ciclo y la enseñanza media, utilizando este conocimiento para planificar su enseñanza. Competencia 3: Utiliza los resultados de las investigaciones en su especialidad y de las ciencias de la educación para planificar secuencias de enseñanza y evaluación que contemplan la lógica de los contenidos y el proceso de aprendizaje.Competencia 4: Comprende el amplio rango de procedimientos evaluativos y los usa para monitorear el avance y logro de las metas de aprendizaje.Competencia 5: Utiliza los resultados de las evaluaciones para retroalimentar a los educandos y ajustar sus planificaciones y estrategias didácticas.Competencia 6: Selecciona y diseña recursos y situaciones de aprendizaje pertinentes y significativas para presentar ideas y conceptos disciplinarios a los estudiantes del nivel que enseña.

El (los) siguiente estándar(es)/competencia(s) tiene(n) un énfasis secundario en este curso:

Estándar 1Comprende los conceptos de número natural y entero, como abstracción de las cantidades discretas, y los distingue de sus formas de representación. Justifica procedimientos y estrategias de cálculo aritmético, y propiedades del orden y de las operaciones con números naturales y enteros a partir de propiedades evidentes de los números y de sus sistemas de representación. Resuelve problemas referidos a cantidades discretas y magnitudes negativas, haciendo uso eficiente del orden, las operaciones, las propiedades de las operaciones, el valor absoluto, las ecuaciones, las inecuaciones, y herramientas tecnológicas, según las condiciones dadas y el modelo que construya de la situación.

Diseña desafíos y problemas referidos a situaciones de orden, conteo, aditivas, multiplicativas, de divisibilidad y restos ligadas a contextos de los programas oficiales de segundo ciclo de

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distintos sectores curriculares, en los que se utilice operaciones, ecuaciones, inecuaciones y en general propiedades de los números naturales o enteros.

.Estándar 3Comprende los significados asociados a las fracciones y el concepto de número racional como elemento de un conjunto cuociente, distinguiendo sus diferencias y similitudes. Reconoce los números decimales como fracciones cuyo denominador es una potencia de diez. Reconoce las expresiones o desarrollos decimales finitos y periódicos como una forma de representación de los números racionales, alternativa a las fracciones, que facilita los cálculos de las operaciones aritméticas. Comprende la existencia de cantidades inconmensurables, e identifica los números irracionales con las expresiones o desarrollos decimales infinitos no periódicos. Reconoce en las distintas formas de representación de los números una complejidad conceptual que se constituye en un obstáculo didáctico.Reconoce las propiedades del orden y de las operaciones en los números decimales, racionales e irracionales, y las visualiza bajo las distintas formas de representación de estas categorías de números.Resuelve problemas asociados a fenómenos naturales y sociales a partir de la modelación de situaciones referidas a diferencias y razones entre medidas, mediciones y particiones, repartos y fraccionamientos, equivalencia de fraccionamientos, cuocientes y restos, tasas y variaciones proporcionales, probabilidades, medidas grandes y pequeñas, redondeos, aproximaciones, estimaciones, uso de calculadora y algoritmos operatorios, y uso de estrategias de cálculo; para lo cual utiliza el sistema de los números racionales y diferentes registros de representación, incluyendo expresiones fraccionarias, decimales finitas, infinitas periódicas y no periódicas, y potencias con exponente entero.Diseña, selecciona y resuelve situaciones problemas asociadas a distintas disciplinas, en el marco de los programas de estudio de segundo ciclo básico, usando fracciones, decimales y porcentajes.

Estándar 5Comprende de manera intuitiva los números reales como completación de los racionales, a partir de los desarrollos decimales infinitos y el modelo de la recta numérica, disponiendo de herramientas conceptuales y procedimentales para la resolución de problemas y la interpretación de fenómenos referidos a magnitudes continuas, teniendo en vista la organización de su enseñanza. Comprende los números complejos como producto cartesiano de los reales en el plano, a partir del cual se define una operatoria útil, de tipo vectorial que permite resolver situaciones problemas.

Competencias del Perfil, Eje 2Competencia 8: Logra identificar, entre sus estudiantes, aquellos con necesidades educativas especiales que necesitan una enseñanza diferenciada para brindarles los apoyos pedagógicos apropiados.

Competencia 11: Promueve un ambiente propicio para el aprendizaje, estableciendo y manteniendo normas consistentes y consensuadas de disciplina en el aula que potencian el desarrollo social de los educandos para la vida en una sociedad democrática.

II. Aprendizajes esperados:

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Conceptual.Hace referencia al origen histórico del álgebra en la planificación de los contenidos a enseñar, reconociendo e identificando categorías diferentes de interpretación y uso de letras dentro del álgebra de manera de explicitar la construcción de la matemática como disciplina científica. Identifica y justifica las razones por las cuales se hace una diferenciación en el tratamiento

del contenido Variaciones Proporcionales entre 6º y 8º año básico.

Procedimental Organiza en forma didáctica situaciones problema, contextualizadas y con base

histórica, en que se utilicen expresiones algebraicas, para darle un sentido utilitario al aprendizaje del álgebra

Analiza críticamente los libros de texto de educación matemática en el segundo ciclo de enseñanza básica, relacionando los contenidos disciplinares y didácticos expuestos en él con respecto a el tratamiento del lenguaje algebraico y ecuaciones.

Ejemplifica con situaciones contextuales la no proporcionalidad y proporcionalidad directa e inversa, permitiendo al estudiante de enseñanza básica entender el para qué es necesario su aprendizaje.

Resuelve problemas relacionados con la razón porcentual, entendiendo esta como una aplicación de la proporcionalidad directa, a través de un cociente constante, en un contexto cercano a sus estudiantes.

Usa las propiedades de las proporciones para resolver problemas geométricos relativos a segmentos proporcionales, semejanza de triángulos, etc. y así relacionar la aritmética y el álgebra con la geometría que aprenderá el estudiante de enseñanza básica, en la enseñanza media.

Diseña situaciones de enseñanza que permitan a los estudiantes de educación básica aprender otras herramientas de resolución de problemas acordes el tema tratado y lograr un aprendizaje significativo en ellos.

Diseña diferentes tipos de evaluaciones del contenido del marco curricular Variaciones Proporcionales, considerando la diversidad de estudiantes en la sala de clases.

Diseña y elabora unidades didácticas considerando los aprendizajes esperados, de los contenidos de Variaciones Proporcionales, en cada curso del segundo ciclo básico, donde el contenido es tratado.

Crea estrategias de enseñanza de ecuaciones lineales donde se relacionen éstas con el concepto intuitivo de función lineal.

Actitudinal Valora la matemática como una herramienta útil y funcional para que los estudiantes del

segundo ciclo de educación básica alcancen contenidos y aprendizajes para desenvolverse en la sociedad actual.

Se percata de los posibles errores que un estudiante del segundo ciclo básico puede cometer al trabajar con lenguaje algebraico y ecuaciones.

III. Lecturas Requeridas:

Lectura Obligatoria Alcalá, M. (2005), La construcción del lenguaje matemático, Editorial Graó, Barcelona. Alsina, C., Burgués, C, Fortuny, J., Jiménez, J. & Torra, M. (2002), Enseñar Matemáticas, Editorial Graó, Barcelona. Boyer, C. B. (1986), Historia de la matemática. Alianza, Madrid.

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Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. (1997). Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre la enseñanza y el aprendizaje. Barcelona: ICE-Horsori. Grupo Azaquiel, (1991), Ideas y actividades para enseñar álgebra, Editorial Síntesis, Madrid. Mineduc, Marco Curricular de la educación básica, Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios de la Educación Básica, (2002), Santiago. Orton, A. (1990). Didáctica de las matemáticas. Madrid: Morata/MEC. Socas, M., Camacho, M., Palarea, M. & Hernández, J. (1996), Iniciación al Álgebra, Editorial Síntesis, Madrid.

Lectura Complementaria Brousseau, G. (1990) ¿Qué pueden aportar a los enseñantes los diferentes enfoques de la Didáctica de la Matemáticas? Versión Castellana de L. Puig. España (Primera Parte) Gimenez, J., (1997), Evaluación en Matemáticas. Una Integración de Perspectivas. Editorial Sintesís S.A. Madrid, España. Gutiérrez, A., Gómez, A., Godino J. & Rico, L. (1999), Área de conocimiento: didáctica de las matemáticas, Editorial Síntesis, Madrid.

IV. Otros recursos:

http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestroshttp://standards.nctm.org/document/eexamples/chap4/4.1/index.htm#applet http://ddm.ugr.es/personal/pflores/textos/cLASES/Materiales/Recomendaciones_%202003-04.pdfhttp://www.comenius.usach.cl/enlacesmatsp/index.php?q=materialhttp://redalyc.uaemex.mx/redalyc/pdf/335/33590107.pdf

V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias. (Indique las principales actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los estándares y competencias del perfil de egreso)

1. Revisión y análisis de los programas de estudio de educación matemática, en torno a las unidades de Proporcionalidad, Perímetro, área y volumen, Ecuaciones de Primer grado y Lenguaje algebraico.

Estándar 13-14-15/ Competencia 1-3-6De la totalidad de los estudiantes del curso, el profesor o profesora, los dividirá en 4 grupos. Cada grupo revisará el programa de un curso del segundo ciclo básico de educación matemática de 6º a 8º, además de primer año medio. Los integrantes de cada grupo se dividirán según el número de unidades del curso que contenga los temas de proporcionalidad, perímetro, área, volumen, ecuaciones de primer grado y lenguaje algebraico, según esten presentes en cada curso. En cada unidad harán la relación entre los contenidos y los aprendizajes esperados de ella. Luego lo presentarán al resto del curso, por medio de una pequeña disertación, para su conocimiento.

2. Diseño de actividades para el aprendizaje del contenido de la unidad de Relaciones de Proporcionalidad de séptimo año básico, con base en su origen histórico.

Estándar 13-14/ Competencia 1-3-6

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Los estudiantes en binomios (parejas) investigarán sobre el origen del álgebra y su conexión con las relaciones de proporcionalidad y diseñarán actividades en función del aprendizaje esperado “Evalúan y utilizan diversas estrategias para solucionar problemas que implican variaciones proporcionales de las magnitudes”, que deberán lograr con sus futuros estudiantes. Elaborarán un pequeño informe que será calificado por el profesor o profesora del curso.

3. Utilización de elementos históricos, didácticos y pedagógicos del contenido de Ecuaciones de Primer grado, para la planificación de los contenidos a enseñar

Estándar 13-15 / Competencia 1-2-6

Los estudiantes en forma individual elaborarán una unidad didáctica relacionada con la unidad Números y ecuaciones de octavo año básico, en particular los contenidos “Traducción de situaciones y problemas a ecuaciones con una incógnita y Uso de propiedades de los números y de las operaciones para encontrar soluciones” y sus respectivos aprendizajes esperados. La planificación deberá contemplar las actividades a desarrollar, los materiales a utilizar y el tiempo destinado para realizar este proceso. La unidad didáctica elaborada será entregada al profesor o profesora del curso como un informe de trabajo.

Pauta para la evaluación clave

EVALUACIÓN CLAVE 1

1. Estándar 13-14-15/ Competencia 1-2-3-6-82. Justificación (¿Por qué tiene que saber esto un/una profesor(a) de segundo ciclo?)

Un(a) profesor(a) de 2º ciclo debe ser capaz de comprender los conceptos matemáticos a enseñar de álgebra: variaciones proporcionales, lenguaje algebraico, ecuaciones, funciones para crear situaciones de enseñanza adecuadas a los estudiantes, teniendo el cuenta distintas metodologías y evaluaciones que permitan lograr aprendizaje en todos sus estudiantes, considerando la diversidad de estilos de aprendizaje y la utilización de los contenidos en su realidad inmediata.

3. Pre-requisitos: (lo que los estudiantes deben saber y deben hacer antes de la evaluación):Los estudiantes deben:- Conocer y comprender los contenidos disciplinares a enseñar (variaciones proporcionales, lenguaje algebraico, ecuaciones, funciones)- Manejar la operatoria básica (adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación) de los diferentes sistemas numéricos para la resolución de diversos problemas.

4. Descripción breve de la evaluación

Cada estudiante, en forma individual, creará un “texto de saber”. El texto de saber consiste en la elaboración de un informe que considere tanto lo disciplinar como lo pedagógico y didáctico de los contenidos a enseñar. Este contiene la disciplina matemática que está relacionada con los aprendizajes a lograr en algún nivel del segundo ciclo básico en una unidad particular que trate variaciones proporcionales o lenguaje algebraico o ecuaciones de primer grado, el desarrollo histórico de estos contenidos y el discurso pedagógico didáctico que cualquier profesor pone en práctica en el aula para la realización de una enseñanza que provoque los aprendizajes esperados en la unidad.

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5. Describa los pasos de la evaluación en detalle

Paso 1:Seleccionarán un contenido disciplinar y lo buscarán en el programa del segundo ciclo básico. Luego de identificar el curso donde se trata, elegirán un aprendizaje esperado.

Paso 2:Recopilarán la información disciplinar que fundamenta ese aprendizaje. Para esto deberán hacer una revisión bibliográfica matemática. Al mismo tiempo buscarán el origen histórico de ese contenido disciplinar mencionando los matemáticos o matemáticas que contribuyeron a la disciplina.

Paso 3:Con la información anterior, elaborarán el discurso pedagógico-didáctico que utilizarán en la sala de clases para el logro del aprendizaje esperado en todos sus estudiantes. En este discurso traducido en una planificación deben estar presenten las actividades que desarrollarán, los recursos que se utilizarán, la metodología, los posibles errores y dificultades a encontrar en el aula, el tiempo a utilizar y la forma de evaluar el proceso.

Paso 4:Entrega del informe: “texto del saber”

6. Puntuación de los Pasos/Trabajos para la evaluación:

Puntos1. Selección del contenidodisciplinar y su relación con el contenido escolar (Estándar 13-14-15 / Competencia 1-2) 10 (rúbrica)

2. Revisión bibliográfica (Estándar 13-14-15 / Competencia 1) 20 (rúbrica)

3. Creación del discurso (Estándar 13-14-15 / Competencia 1-2-3-6) 20 (rúbrica)

4. Reporte individual (Estándar 13-14 -15/ Competencia 1-2-3-6) 30 (rúbrica)

5. Autoevaluación (Competencia 4-5) _20__

Total de puntos 100

7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades o actitudes (textos, sitios de la red y otros)

- Biblioteca con textos matemáticos, históricos y didácticos- Internet y sitios webs coherentes con el contenido matemático y el aprendizaje esperado- Pauta de cómo serán evaluados con los indicadores de elaboración y presentación del “texto del saber”- Tiempo coherente para el desarrollo del proyecto, tanto dentro del aula (para responder consultas) como fuera de ella para recopilar información y elaboración del texto.

50

Rúbrica de evaluación:EVALUACIÓN CLAVE 1 Insatisfactorio

0 puntosBásico1-5 puntos

Competente5-8 puntos

Destacado9-10 puntos

Puntos

Paso 1Selecciona un contenido disciplinar y lo busca en los programas de Matemática del segundo ciclo básico. Luego de identificar el curso donde se trata, elige un aprendizaje esperado.

No elige un contenido matemático, se remiten al contenido escolar, basando todo su trabajo en este contenido escolar.

Elige el contenido matemático y el contenido escolar, pero hay relación entre ambos. No elige un aprendizaje esperado adecuado.

El contenido escolar está estrechamente relacionado con el contenido disciplinar y lo identifica con el curso donde ese contenido debe enseñarse en la escuela, además se seleccionar un aprendizaje esperado coherente con el contenido.

El contenido escolar está estrechamente relacionado con el contenido disciplinar y lo identifica con el curso donde ese contenido debe enseñarse en la escuela, además se seleccionar un aprendizaje esperado coherente con el contenido. Paralelo a esto, hace una reflexión de la importancia del contenido matemático para comprender los contenidos escolares y los aprendizajes que se deben lograr en el segundo ciclo básico.

10

Paso 2:Recopila la información disciplinar que fundamenta ese aprendizaje. Para esto hace una revisión bibliográfica matemática. Al mismo tiempo busca el origen histórico de ese contenido disciplinar mencionando los matemáticos o matemáticas que contribuyeron a la disciplina.

No recopila información de los textos matemáticos para la construcción del texto del saber.

Recoge información de distintos textos disciplinares, pero su búsqueda es superficial y no nombra a los matemáticos o matemáticas que contribuyeron a la construcción del conocimiento.

La revisión bibliográfica es exhaustiva. Hace una estrecha relación entre el saber disciplinar y el saber escolar escogido. Investiga sobre los matemáticos que ayudaron a la construcción de la matemática.

La revisión bibliográfica es exhaustiva. Hace una estrecha relación entre el saber disciplinar y el saber escolar escogido. Investiga sobre los matemáticos que ayudaron a la construcción de la matemática. Además indaga en los otros temas matemáticos que trabajaron los autores estudiados, relacionando la matemática de un curso determinado con sus conexiones en otras áreas del conocimiento matemático.

20

Paso 3:Con la información

No realiza el Su discurso es pobre Crea su discurso Crea su discurso pedagógico 20

51

51

anterior, realiza el discurso pedagógico-didáctico que utilizará en la sala de clases para el logro del aprendizaje esperado en todos sus estudiantes. En este discurso deben estar presenten las actividades que desarrollarán, los recursos que se utilizarán, la metodología, y la forma de evaluar el proceso.

(multiplicar por 2)

discurso pedagógico o es escasamente comprensible para quien lo lee.

en el sentido pedagógico y didáctico, ya que se centra en el paradigma conductista, dejando escaso desarrollo al trabajo del estudiante, ya sea en forma individual como grupal.

pedagógico didáctico acorde con los requerimientos ministeriales considerando los aprendizajes a lograr e incluyendo una evaluación coherente con la metodología empleada en las actividades realizadas.

didáctico acorde con los requerimientos ministeriales, considerando los aprendizajes a lograr e incluyendo una evaluación coherente con la metodología empleada en las actividades realizadas.Además señala los posibles errores y dificultades a encontrar en el aula en el momento de aplicar este discurso.

Paso 4:Entrega del informe: “texto del saber”

(multiplicar por 3)

No elaboran el informe escrito, o solo con alguno de los pasos anteriores, sin conclusiones individuales ni grupales

Elaboran el informe final , aunque deficitario en algunos aspectos como la investigación o la creación del discurso

Entregan el informe final con todos los detalles que se le pedían: investigación rigurosa, discurso pedagógico-didáctico adecuado al curso y considerando los aprendizajes a lograr y evaluación coherente

Entregan el informe final con todos los detalles que se le pedían: investigación rigurosa, discurso pedagógico-didáctico adecuado al curso y considerando los aprendizajes a lograr y evaluación coherente. Además concluyen la importancia de vincular la matemática disciplinar con la escolar.

30

Total Puntos 80

52

52

Proyecto MECESUP Profesores Especialistas para la Educación Básica: Respuesta a un Desafío (UCV 0402)

Asignatura: Geometría del Triángulo y del CuadriláteroAutor(a)/Universidad: Andrés Ortiz/ Universidad de ConcepciónHoras presenciales por semana: 7 horasHoras requeridas del alumno por semana afuera del aula: 14 horas

Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica

El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es un profesional con sólida formación pedagógica y disciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje, con autonomía para tomar decisiones informadas. Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación para desarrollar las competencias que le permiten responsabilizarse de los procesos y resultados de su enseñanza. En colaboración con la familia y comunidad, se compromete con el logro de aprendizajes que potencien el desarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantes preadolescentes. Participa en acciones de cooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidad de la educación que ofrece su institución escolar

ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS

I. Estándares y Competencias del perfil de egreso, relacionados al curso.

El curso, sus expectativas de logro, lo que se le pide al alumno hacer y las evaluaciones han sido alineadas con los estándares y competencias del perfil de egreso para la formación inicial de profesores del segundo ciclo básico. Los siguientes estándares y competencias tienen un énfasis principal en este curso:

Estándar 6Comprende la estructura axiomática de la geometría euclidiana y las nociones básicas de punto, recta, trazo, rayo. Comprende el concepto de distintas figuras geométricas tales como ángulo, polígono (centrado en el triángulo y el cuadrilátero), circunferencia y las regiones que ellas delimitan; distinguiendo las distintas formas de clasificar y de caracterizar dichas figuras a través de su construcción geométrica, avanzando hacia la deducción y demostración de sus propiedades y relaciones. Comprende los conceptos de medida de longitud, medida angular, medida de superficie y demuestra propiedades que permitan calcular áreas de regiones y perímetro de la circunferencia; reconociendo los distintos sistemas y unidades de medida en cada uno de ellos. Comprende el concepto de congruencia de figuras en el plano, y aplica los criterios de congruencia de triángulos para determinar si dos figuras son congruentes, como también para construir tesselaciones y así vincular el estudio de la geometría a diferentes manifestaciones del arte y la arquitectura, valorando a la Geometría como una disciplina muy ligada a la realidad de la humanidad y sus civilizaciones en distintas culturas y épocas.

Organiza, planifica y diseña actividades que guíen los procesos de enseñanza hacia procesos de conceptualización de los distintos objetos geométricos para inducir en forma comprensiva la clasificación de figuras en los niños, para generar la necesidad de usar regla y compás en construcciones geométricas, para deducir propiedades a partir de figuras construidas geométricamente o en software de geometría dinámica, y para deducir propiedades métricas. Diseña

53

53

planificaciones de enseñanza que sean coherentes con las orientaciones didácticas presentes en el marco de los programas oficiales y con enfoques cognoscitivos actuales acerca del aprendizaje.Competencia 1, eje 2:Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas del sector de aprendizaje que es responsable de enseñar.

Competencia 2, eje 2:Comprende el marco curricular nacional y los mapas de progreso para el sector curricular que enseña, estableciendo relaciones con el primer ciclo y la enseñanza media, utilizando este conocimiento para planificar su enseñanza.

Competencia 6, eje 2:Selecciona y diseña recursos y situaciones de aprendizaje pertinentes y significativas para presentar ideas y conceptos disciplinarios a los estudiantes del nivel que enseña)

El (los) siguiente estándar(es)/competencia(s) tiene(n) un énfasis secundario en este curso:

Estándar 8

Comprende las características que son propias de cada uno de los distintos tipos de transformaciones isométricas: traslación, rotación, simetría puntual y axial. Reconoce transformaciones isométricas en variados contextos, tanto cotidianos como artísticos, identificando su tipo y los elementos que la generaron. Aplica transformaciones y usa simetrías para analizar y resolver problemas geométricos, así como para ilustrar propiedades de figuras geométricas. Además, está en condiciones de organizar, planificar, diseñar actividades de aprendizaje basada en la resolución de problemas para los contenidos presentes en el marco de los planes y programas vigentes en Matemática y de generar instancias evaluativas de estos aprendizajes.

Competencia 7, eje 2:Planifica la enseñanza en colaboración con otros profesionales para organizar experiencias de aprendizaje interdisciplinarias que permiten a los estudiantes integrar el conocimiento, destrezas y métodos de investigación de diversos sectores de aprendizaje.

II. Aprendizajes esperados (los aprendizajes claves para el logro de los estándares/competencias)

Conceptual Comprende los atributos relevantes que estructuran los conceptos de ángulo, triángulo,

cuadrilátero, polígono, circunferencia y círculo y explica las relaciones conceptuales entre ellas. Deduce la fórmula de área y perímetro de un círculo y circunferencia respectivamente, a partir de la relación entre un polígono de n lados y la circunferencia.

Clasifica triángulos y cuadriláteros según longitud de sus lados, medidas de sus regiones angulares interiores y ejes de simetría. En el caso de cuadriláteros, además la cantidad de pares de lados paralelos que posee.

Deduce y demuestra los teoremas referidos a cuadriláteros inscriptibles y circunscriptibles para reconocer este tipo de cuadriláteros.

Reconoce pares de triángulos congruentes utilizando criterios de congruencia.54

54

Explica, utilizando el concepto de congruencia de figuras, porqué todos los cuadrados son congruentes entre sí y porqué no todos los rectángulos son congruentes entre sí.

Utiliza los criterios de congruencia para demostrar propiedades de los elementos secundarios del triángulo y propiedades de los paralelógramos.

Deduce y demuestra fórmulas para el cálculo de perímetros y áreas de regiones planas utilizando los teoremas de equivalencia; comprendiendo, además, el significado de área relacionándolo con la medida de la superficie y el de perímetro con la longitud del contorno de la superficie que la delimita, utilizando las unidades de medida adecuadas.

Establece un criterio de secuencialidad entre los distintos contenidos de geometría referidos a figuras planas señalados en los Planes y Programas de 5° a 8° año básico.

Procedimental Resuelve problemas geométricos que involucren propiedades y relaciones fundamentales en

ángulos, triángulos, cuadriláteros y polígonos en la resolución de problemas geométricos.

Construye con regla y compás diferentes figuras planas, conocidos algunos de sus elementos y considerando sus características propias; describiendo, además, sus procesos de construcción. Complementa dichos procesos constructivos utilizando un software de construcción geométrica.

Actitudinal Valora los aportes de la geometría euclidiana en las distintas manifestaciones arquitectónicas,

artísticas y estructurales presentes en la humanidad en distintas épocas.

III. Lecturas Requeridas:

Obligatorios Arenas, F; Masjuan, G; Villanueva, F (1997) “Geometría elemental”, Ediciones Universidad

Católica de Chile. Cano, O (1963) “Geometría”. Clemens, S; O’Daffer, P; Cooney, T (1998) “Geometría”, Pearson / Addison Wesley. Mercado Schüller, C (1983) “Geometría”, Editorial Universitaria. Moise, E; Downs, F (1996) “Geometría Moderna”, Addison Wesley. Pogorélov, A. V. (1974) “Geometría elemental”, Editorial Mir.

Complementarios Coxeter, H. S. M (1989) “Introduction to geometry”, John Wiley & Sons. MINEDUC (2003) “Programas de estudio NB2, Cuarto año básico”, MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Quinto año básico”, MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Sexto año básico”, MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Educación Matemática, Séptimo año básico”,

MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Educación Matemática, Octavo año básico”,

MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Primer año medio”, MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Segundo año medio”, MINEDUC, 2da

ed.

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55

IV. Otros recursos:

http://www.geometriadinamica.cl/default.asp?dir=guias&sub = http://descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php http://paraisomat.ii.uned.es/paraiso/cabri.php?id=indice

V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias. (Indique las principales actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los estándares y competencias del perfil de egreso)

TRABAJO 1: Construcción geométrica de figuras Estándar 6/ Competencia 1 (12 PUNTOS)

Utilizando sólo regla, compás y hojas construye geométricamente las siguientes figuras:A. El Triángulo Órtico y la Recta de Euler de un triángulo cualquiera.B. Las tres circunferencias ex inscritas a un triángulo acutángulo.C. Construye un triángulo equilátero sobre cada uno de los lados de un triángulo

rectángulo.

Elabora un informe (que incluya introducción, cuerpo principal y conclusiones), que incluya cada una de las construcciones geométricas realizadas describiendo esta construcción en lenguaje coloquial y formal como también las respuestas a las siguientes preguntas:

¿el triángulo órtico existe para cualquier tipo de triángulo? Fundamente Las tres bisectrices interiores de un triángulo son concurrentes en un punto llamado

inscentro, ¿sucede lo mismo con las bisectrices exteriores? ¿Qué ángulo se forma entre la bisectriz interior y la exterior respectiva? Demuestre su

afirmación. Demuestre que el triángulo equilátero definido sobre la hipotenusa de un triángulo

rectángulo cualquiera es equivalente a la suma de los triángulos equiláteros definidos sobre los catetos.

TRABAJO 2: Construcción de figuras utilizando un software geométrico Estándar 6/ Competencias 1- 6 (12 PUNTOS)

2.a) Utilizando Cabri II, construye una “macro” para triángulos equiláteros (macro 1) y triángulos rectángulos (macro 2).

2.b) En un informe replica dichos procedimientos, pero con regla y compás, y explica porqué la figura construida es un triángulo equilátero o un triángulo rectángulo.

2.c) Utilizando Cabri II, construye una “macro” para circunferencias inscritas (macro 3) y otra para circunferencias circunscritas (macro 4) a un triángulo cualquiera.

2.d) Utilizando la macro 3 construye circunferencias inscritas en diferentes tipos de triángulos, analizando la ubicación del inscentro.

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2.e) Utilizando la macro 4 construye circunferencias circunscritas en diferentes tipos de triángulos, analizando la ubicación del circunscentro.

2.f) Construye una circunferencia circunscrita en un triángulo equilátero y analiza la relación existente entre la longitud del lado del triángulo y la longitud del radio de la circunferencia

2.g) Entrega un informe que contenga la siguiente información: Descripción en lenguaje matemático de las construcciones de una circunferencia

inscrita y una circunscrita. Ubicaciones de los centros de las circunferencias inscritas y circunscritas de acuerdo

al tipo de triángulo en donde estén definidas y el dibujo de la construcción que muestra claramente dichas posiciones.

La razón entre la longitud del lado de un triángulo equilátero y la longitud del radio de la circunferencia circunscrita en él.

TRABAJO 3: Figuras congruentes presentes en el arte y arquitectura Estándar 6 - 8 / Competencia 7 (8 PUNTOS)

Investiga, con arquitectos o diseñadores gráficos, sobre la presencia de las figuras congruentes (tesselaciones, por ejemplo) en el arte, arquitectura y naturaleza, presentando un informe que contenga 5 manifestaciones (artísticas, de la naturaleza o arquitectónicas) claramente referenciadas en donde estén presentes de forma manifiesta las figuras congruentes

TRABAJO 4: Visualización, deducción y demostración de Teoremas de Paralelógramos Estándar 6 / Competencia 1- 8 (12 PUNTOS)

Elabora un informe en que desarrolla las siguientes actividades:

4.a) Construye en GeoGebra (freeware en español) o en Cabri II (software con licencia) figuras que permitan visualizar los siguientes teoremas:

El cuadrilátero definido a partir de los puntos medios de los lados de un cuadrilátero cualquiera es siempre un paralelógramo.

Las diagonales de un paralelógramos cualquiera se dimidian. Las diagonales de un rombo cualquiera son perpendiculares. Los ángulos opuestos de un paralelógramos son suplementarios. Los lados opuestos de un paralelogramo tienen igual longitud

4.b) Demuestra los teoremas anteriores.4.c) Resuelve un listado problemas en los que estén involucrados teoremas

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57

VI. EVALUACIONES CLAVES

Evaluación 1

1. Estándar 6 / Competencia 1

2. Justificación:Un(a) profesor(a) de 2do ciclo debe ser capaz de comprender que el triángulo es una figura fundamental en la geometría, cuyas características permiten sustentar el estudio de otras figuras geométricas. Además, y debido a que los procedimientos de construcción de triángulos se basan en los criterios de congruencia, es necesario que el profesor los aplique en la deducción de las propiedades y teoremas que deberá enseñar en 2do ciclo. Esto les permitirá entender los procesos de construcción geométrica de triángulos, posteriormente, de otras figuras geométricas y también las distintas formas de clasificar triángulos; tema que es abordado como uno de los contenidos mínimos obligatorios del programa oficial de estudios de 2do ciclo.

3. Pre-requisitos:Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formación son capaces de:

Comprender y reconocer los conceptos de punto, segmento, recta, rayo, ángulo, perpendicularidad y paralelismo, figura.

Construir geométricamente rectas perpendiculares y paralelas, ángulos y segmentos de medidas determinadas.

Comprender la noción de simetría y de eje de simetría.

4. Descripción breve de la evaluación: Los profesores en formación clasificarán triángulos según distintos elementos, reconocerá pares de figuras congruentes, deducirá propiedades de triángulos y construirá triángulos a partir de información dada.

5. Describa los pasos de la evaluación en detalle

Paso 1: Clasificación de Triángulos según longitud de sus lados, medidas angulares y número de ejes de simetría.

Individualmente, clasifican diversos triángulos según medida de sus lados o de sus ángulos interiores. Identifican además aquellos triángulos en los que es posible descomponerlos en triángulos congruentes. Relacionan esta propiedad con la simetría, y los clasifican según el número de ejes de simetría que poseen. Establecen una relación entre estos tres tipos de clasificaciones.

Paso 2: Construcción de los elementos secundarios y deducción de propiedades

Para una colección de triángulos de distintos tipos, construyen geométricamente sus alturas, simetrales y bisectrices, deducen propiedades de éstas y establecen las condiciones para que se cumplan (identifican aquellas regularidades propias de determinado tipo de triángulo, por ejemplo). Enuncian sus resultados como teoremas y los demuestran.

Paso 3: Aplicación de criterios de congruencia para identificar triángulos y polígonos congruentes.

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58

Los profesores en formación, mediante la aplicación de los criterios de congruencia, identificarán figuras congruentes (triángulos y otros polígonos), descomponiéndolas, cuando sea posible, en triángulos congruentes. Demuestran todas sus afirmaciones.

Paso 4: Construcción de triángulos según condiciones dadas y utilización de criterios de congruencia para justificar formalmente sus afirmaciones

Construyen geométricamente triángulos a partir de medidas determinadas, o bien, a partir de elementos dados (trazos que definen lados o elementos secundarios y/o ángulos). Describen sus construcciones y demuestran sus afirmaciones usando los criterios de congruencia.

7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

Instrumentos de construcción y medición (regla, compás y transportador). Textos escolares de Matemática y Textos de Universitarios de Geometría. Planes y programas del subsector Educación Matemática (4to a 8vo básico) y Matemática (1ro

a 3ro medio).

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Rúbrica de evaluación

Paso Insatisfactorio(0 puntos)

Básico(3 puntos)

Competente(6 puntos)

Destacado(8 puntos)

Puntos

1 No clasifican triángulos según medida de sus lados y ángulo; y

No descomponen un triángulo simétrico en dos triángulos congruentes, o bien, descomponen en triángulos no congruentes.

Clasifican los triángulos según medida de sus lados y ángulos; y

Descomponen un triángulo simétrico en dos triángulos congruentes

Clasifican los triángulos según medida de sus lados y ángulos; y

Descomponen un triángulo simétrico en dos triángulos congruentes identificando el eje de simetría.

Clasifican los triángulos según medida de sus lados y ángulos; y

Descomponen un triángulo simétrico en dos triángulos congruentes identificando el eje de simetría; y

Establecen una relación entre el número de ejes de simetría y la clasificación según sus lados.

8

2

(1,5 x)

No construyen geométricamente ni alturas, ni bisectrices, ni simetrales, ni medianas.

Tampoco deducen propiedades o deducen propiedades de forma incorrecta. (por ej: la altura de cualquier triángulo es eje de simetría).

Construye geométricamente sólo algunos de los elementos secundarios; y

No logran deducir propiedades correctas que involucren los elementos secundarios del triángulo.

Construye geométricamente todos los elementos secundarios; y

Deducen propiedades correctas que involucren los elementos secundarios del triángulo, pero no son capaces de escribir la propiedad como teorema.

Construye geométricamente todos los elementos secundarios; y deducen propiedades correctas que involucren los elementos secundarios del triángulo, escribiéndolas como teorema y demostrándolas.

12

3.

No identifica correctamente figuras congruentes; o bien, identifica triángulos congruentes, pero no fundamenta su respuesta.

Identifica triángulos congruentes, y fundamenta sin criterios de congruencia, e

Identifica polígonos congruentes, pero no descompone los polígonos en triángulos congruentes.

Identifica triángulos congruentes, y fundamenta con criterios de congruencia, e

Identifica polígonos congruentes, y fundamenta mediante descomposición, pero sin usar criterios de congruencia.

Identifica triángulos y polígonos congruentes, fundamentando mediante descomposición y criterios de congruencia de triángulos.

8

4 Construyen geométricamente triángulos dados solamente sus tres lados. Describen su construcción en lenguaje no formal.

Construyen geométricamente triángulos, dados algunos de sus elementos principales y describen su construcción en lenguaje no formal.

Construyen geométricamente triángulos, dados algunos de sus elementos principales, o dada alguna característica de éste y describen su construcción en lenguaje formal. Demuestran sus afirmaciones en lenguaje formal.

Construyen geométricamente triángulos dados algunos de sus elementos (principales o secundarios), escriben y demuestran su construcción en lenguaje formal; y

Analizan la existencia de otras soluciones.

8

TOTAL DE PUNTOS 36

60

60

EVALUACIÓN 2

1. Estándar 6 / Competencia 1

2. Justificación:Un(a) profesor(a) de 2do ciclo debe ser capaz de comprender al cuadrilátero, y sus distintas formas de clasificación, pues es una figura fundamental en la geometría de enseñanza básica. Además, debe ser capaz de deducir, comprender y demostrar las propiedades de cuadriláteros, pues éstas fundamentan diversas relaciones métricas. Finalmente, debe comprender, deducir y aplicar las fórmulas para el cálculo de áreas de regiones delimitadas por cuadriláteros y triángulos.

3. Pre-requisitos:Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formación son capaces de:

Comprender y reconocer los conceptos de punto, segmento, recta, rayo, ángulo, perpendicularidad y paralelismo, figura.

Construir geométricamente rectas perpendiculares y paralelas, ángulos y segmentos de medidas determinadas.

Comprender y aplicar el concepto de congruencia y los criterios de congruencia. Comprender la noción de simetría y de eje de simetría.

4. Descripción breve de la evaluación:Los profesores en formación clasificarán cuadriláteros según distintos criterios, deducirán y demostrarán propiedades de cuadriláteros y construirán cuadriláteros a partir de información dada. Finalmente, deducirán y aplicarán fórmulas para el cálculo de áreas de regiones delimitadas por cuadriláteros y triángulos.

5. Describa los pasos de la evaluación en detalle

Paso 1:Dada una colección de cuadriláteros convexos, los clasifica como pertenecientes a la familia de los trapezoides, trapecios o paralelogramos, fundamentando de acuerdo a la cantidad de lados paralelos y señalando en cada uno el nombre por el cual es identificado en la familia a la que pertenece. Además dada una colección de paralelogramos los clasifica según el número de ejes de simetría

Paso 2:En parejas o ternas, construyen un mapa conceptual que relacione los elementos geométricos involucrados en el concepto de cuadrilátero y en sus clasificaciones.

Paso 3:Construyen geométricamente cuadriláteros convexos, a partir de elementos dados y/o características específicas siendo de capaz de escribir formalmente los procesos constructivos. Dada una colección de cuadriláteros reconoce aquellos que son inscriptibles y circunscriptibles justificando a partir de los teoremas relativos a la inscriptibilidad y la circunscriptibilidad; además aplica dichos teoremas para resolver problemas geométricos que involucren este tipo de cuadriláteros.

Paso 4:Deducen de ellos las propiedades métricas y angulares presentes en los planes y programas de 5° básico a 1° medio, discuten sus afirmaciones y las enuncian como teoremas, los que finalmente demuestran.

Paso 5:

61

61

Deducen fórmulas para el área de regiones delimitadas por cuadriláteros y triángulos. Utilizan la noción de equivalencia de figuras para demostrar sus afirmaciones. Aplican estas fórmulas en la resolución de problemas geométricos dados.

7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

Instrumentos de construcción y medición (regla, compás y transportador). Textos escolares de Matemática. Planes y programas del subsector Educación Matemática (4to a 8vo básico) y Matemática (1ro

a 3ro medio).

62

62

Rúbrica de evaluación

Paso Insatisfactorio(0 puntos)

Básico(3 puntos)

Competente(6 puntos)

Destacado(8 puntos)

Puntos

1 Clasifica sin fundamentar o clasifica incorrectamente al menos un cuadrilátero o al menos uno de los paralelogramos.

Clasifica la colección de cuadriláteros sólo señalando la familia a la cual pertenece según la cantidad de pares de lados paralelos, sin identificar el nombre que recibe en la familia respectiva, y

No clasifica correctamente la colección de paralelogramos utilizando los ejes de simetría como argumento

Clasifica la colección de cuadriláteros señalando la familia a la cual pertenece según la cantidad de pares de lados paralelos, identificando el nombre que recibe en la familia respectiva, y

Clasifica correctamente la colección de paralelogramos argumentando con los ejes de simetría

Clasifica la colección de cuadriláteros sólo señalando la familia a la cual pertenece según la cantidad de pares de lados paralelos, identificando el nombre que recibe en la familia respectiva e identifica correctamente la colección de paralelogramos, justifica utilizando los ejes de simetría

8

2

x 1,5

Elabora sólo una secuencia de contenidos.

Elabora un mapa conceptual estableciendo enlaces entre niveles de jerarquía contiguos.

Elabora un mapa conceptual estableciendo enlaces entre niveles de jerarquía contiguos y no contiguos.

Elabora un mapa conceptual estableciendo enlaces entre niveles de jerarquía contiguos y no contiguos fundamentando cada enlace.

12

3

x 1,5

No construye geométricamente cuadriláteros o los construye, sin argumentar los procedimientos utilizados y sin escribir formalmente los pasos de la construcción, o

No reconoce cuadriláteros inscriptibles ni circunscriptibles.

Construye geométricamente cuadriláteros según condiciones dadas, escribiendo formalmente los pasos y argumentando los procedimientos utilizados en la construcción, y

No reconoce cuadriláteros inscriptibles ni circunscriptibles.

Construye geométricamente cuadriláteros según condiciones dadas, escribiendo formalmente los pasos y argumentando los procedimientos utilizados en la construcción, y

Reconoce cuadriláteros inscriptibles y circunscriptibles argumentando según los teoremas respectivos.

.

Construye geométricamente cuadriláteros según condiciones dadas, escribiendo formalmente los pasos y argumentando los procedimientos utilizados en la construcción, y

Reconoce cuadriláteros inscriptibles y circunscriptibles argumentando según los teoremas respectivos, y

Resuelve problemas geométricos que involucran cuadriláteros inscriptibles y circunscriptibles.

12

4

x 1,5

No deducen propiedades o deducen propiedades de forma incorrecta. (Por ej: las diagonales de cualquier paralelogramo son perpendiculares).

Deducen propiedades para los distintos tipos de cuadriláteros, sin ser capaces de enunciarlas como teoremas.

Deducen propiedades para los distintos tipos de cuadriláteros enunciándolas como teoremas, pero no son capaces de demostrarlas.

Demuestran propiedades para los distintos tipos de cuadriláteros.

12

63

63

5

x 1,5

No deducen fórmulas para calcular el área de una superficie delimitada por un triángulo ni por un paralelogramo. No resuelven problemas de cálculo de áreas.

No deducen la fórmula para determinar el área de un paralelogramo y un triángulo.

Resuelven problemas donde se deben utilizar las fórmulas de área de un paralelogramo y triángulo.

Deducen la fórmula para determinar el área de un paralelogramo, un triángulo y un trapecio, y las aplican para resolver problemas.

Demuestran la fórmula que permite calcular el área de un triángulo equilátero en función de la longitud del lado.

Deducen la fórmula para determinar el área de un paralelogramo, un triángulo y un trapecio, y las aplican para resolver problemas, y

Explican las demostraciones de teoremas que utilizan áreas de triángulos y cuadriláteros (ejemplo: teorema de Pitágoras y teorema de Ceva)

12

Total Puntos 56

64

64

VII. PUNTUACION DE LOS PASOS/TRABAJOS PARA LA EVALUACION:

Puntaje de las Evaluaciones Claves

Evaluación clave 1 (estudio del triángulo) Estándar 6/Competencia 1

Paso 1 8 puntosPaso 2 12 puntosPaso 3 8 puntosPaso 4 8 puntos_______________________________TOTAL 36 puntos

Evaluación clave 2 (estudio de los cuadriláteros) Estándar 6/Competencia 1

Paso 1 8 puntosPaso 2 12 puntosPaso 3 12 puntosPaso 4 12 puntosPaso 5 12 puntos_______________________________TOTAL 56 puntos

65

Asignatura: Variaciones ProporcionalesAutor(a)/Universidad: Alicia Zamorano/Universidad del Bío-BíoHoras presenciales por semana: 6 (4 teóricas y 2 prácticas)Horas requeridas del alumno por semana fuera del aula: 4

Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica

El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es un profesional con sólida formación pedagógica y disciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje, con autonomía para tomar decisiones informadas.Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación para desarrollar las competencias que le permiten responsabilizarse de los procesos y resultados de su enseñanza.En colaboración con la familia y comunidad, se compromete con el logro de aprendizajes que potencien el desarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantes preadolescentes. Participa en acciones de cooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidad de la educación que ofrece su institución escolar

ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS

I. Estándares y Competencias del perfil de egreso relacionados con el curso.

El curso de Variaciones Proporcionales está diseñado para lograr con especial énfasis los estándares y competencias del perfil que a continuación se indican

Estándar 14Estudia la organización matemática en torno a la proporcionalidad que se inserta en la necesidad de describir mediante un único modelo los diferentes tipos de relaciones de proporcionalidad (segundo nivel de algebrización) justificando la forma actual de la organización matemática escolar en torno a la proporcionalidad de magnitudes.De esta organización matemática en torno a la función lineal, se desprenden las tres relaciones proporcionales que aparecen en la matemática escolar, como son los conceptos de razón, proporción y magnitudes proporcionales, con sus definiciones, propiedades, diferentes representaciones, aplicaciones y técnicas de resolución.A su vez, utiliza los contenidos matemáticos anteriores en función de las necesidades de aprendizaje de los contenidos del segundo ciclo básico establecidos por el marco curricular en cuanto a la organización, planificación y evaluación de actividades contextualizadas y pertinentes para los estudiantes de este grupo, para así lograr un aprendizaje significativo en todos ellos.

Competencia 1, Eje 2: Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas del sector de aprendizaje que es responsable de enseñar.

66

Competencia 4, Eje 2: Comprende el amplio rango de procedimientos evaluativos y los usa para monitorear el avance y logro de los educandos.

El (los) siguiente estándar(es)/competencia(s) tiene(n) un énfasis secundario en este curso:

Estándar 1Comprende los conceptos de número natural y entero, como abstracción de las cantidades discretas, y los distingue de sus formas de representación. Justifica procedimientos y estrategias de cálculo aritmético, y propiedades del orden y de las operaciones con números naturales y enteros a partir de propiedades evidentes de los números y de sus sistemas de representación. Resuelve problemas referidos a cantidades discretas y magnitudes negativas, haciendo uso eficiente del orden, las operaciones, las propiedades de las operaciones, el valor absoluto, las ecuaciones, las inecuaciones, y herramientas tecnológicas, según las condiciones dadas y el modelo que construya de la situación.Diseña desafíos y problemas referidos a situaciones de orden, conteo, aditivas, multiplicativas, de divisibilidad y restos ligadas a contextos de los programas oficiales de segundo ciclo de distintos sectores curriculares, en los que se utilice operaciones, ecuaciones, inecuaciones y en general propiedades de los números naturales o enteros.

Estándar 3Comprende los significados asociados a las fracciones y el concepto de número racional como elemento de un conjunto cuociente, distinguiendo sus diferencias y similitudes. Reconoce los números decimales como fracciones cuyo denominador es una potencia de diez. Reconoce las expresiones o desarrollos decimales finitos y periódicos como una forma de representación de los números racionales, alternativa a las fracciones, que facilita los cálculos de las operaciones aritméticas. Comprende la existencia de cantidades inconmensurables, e identifica los números irracionales con las expresiones o desarrollos decimales infinitos no periódicos. Reconoce en las distintas formas de representación de los números una complejidad conceptual que se constituye en un obstáculo didáctico.Reconoce las propiedades del orden y de las operaciones en los números decimales, racionales e irracionales, y las visualiza bajo las distintas formas de representación de estas categorías de números.Resuelve problemas asociados a fenómenos naturales y sociales a partir de la modelación de situaciones referidas a diferencias y razones entre medidas, mediciones y particiones, repartos y fraccionamientos, equivalencia de fraccionamientos, cuocientes y restos, tasas y variaciones proporcionales, probabilidades, medidas grandes y pequeñas, redondeos, aproximaciones, estimaciones, uso de calculadora y algoritmos operatorios, y uso de estrategias de cálculo; para lo cual utiliza el sistema de los números racionales y diferentes registros de representación, incluyendo expresiones fraccionarias, decimales finitas, infinitas periódicas y no periódicas, y potencias con exponente entero.Diseña, selecciona y resuelve situaciones problemas asociadas a distintas disciplinas, en el marco de los programas de estudio de segundo ciclo básico, usando fracciones, decimales y porcentajes.

Estándar 9Comprende los conceptos de semejanza de figuras y proporcionalidad de trazos, y los utiliza para fundamentar los teoremas de semejanza de triángulos. Aplica estos teoremas para determinar relaciones de semejanza de polígonos, para resolver problemas y para demostrar los teoremas de Euclides y los referidos a relaciones métricas y angulares en la circunferencia.

67

Comprende y aplica las razones trigonométricas para resolver problemas. Construye homotecias directas e inversas de figuras. Valora uso de la semejanza de figuras en el arte y la arquitectura.Conoce la ubicación de los contenidos asociados a geometría proporcional y semejanza en los planes de estudio de enseñanza básica y media, y es capaz de organizar el proceso de aprendizaje de estos contenidos para el nivel de Educación General Básica.

II. Aprendizajes esperados

Conceptual Analiza con detalle el concepto de razón como un par ordenado de cantidades de

magnitudes, a través de sus distintas utilizaciones, representaciones y conjunto numérico al que pertenecen.

Comprende la organización matemática en torno a la proporcionalidad a partir del modelo funcional que describe en un único modelo las tres relaciones de proporcionalidad clásicas: proporcionalidad directa, inversa y compuesta.

Demuestra el teorema fundamental de las proporciones y lo utiliza para reconocer que algunas razones forman una proporción

Comprende que la regla de tres de una técnica eficaz para la resolución de problemas de proporcionalidad directa y compuesta, pero que ésta “esconde” la caracterización de los tipos de proporcionalidad.

Procedimental Resuelve problemas relacionados con la razón porcentual, entendiendo esta como una

aplicación de la proporcionalidad directa, a través de un cociente constante. Modela y resuelve problemas de proporcionalidad compuesta, entendiendo esta como

una conjunción entre situaciones de proporcionalidad directa y/o inversa y una forma económica de resolución de problemas donde estas estén relacionadas

Usa las propiedades de las proporciones para resolver problemas geométricos relativos a segmentos proporcionales, semejanza de triángulos, etc. y así relacionar la aritmética y el álgebra con la geometría que aprenderá el estudiante de enseñanza básica, en la enseñanza media.

Utiliza el teorema fundamental de las proporciones para clasificar las distintas proporciones que se forman al cambiar el orden de los términos y las utiliza para la resolución de problemas.

Actitudinal Aprecia la organización matemática en torno a la proporcionalidad, comprendiendo su

necesidad para la consolidación matemática de los conceptos asociados a ella.

III. Lecturas Requeridas: A) Lecturas obligatorias Bolea, P., Bosch, M., Gascón, J., (2001), La transposición didáctica de organizaciones

matemáticas en proceso de algebrización. Recherches en Didactique des mathématiques, Vol. 21, nº3, pp. 247-304

Deulofeu, J., Azcárate C., ( ) Funciones y Gráficas, Editorial Síntesis, Madrid Fiol, M. L., Fortuny, J. M., (1990) Proporcionalidad Directa. La forma y el número, Editorial

Síntesis, Madrid Grupo Beta, (1997), Proporcionalidad geométrica y semejanza, Editorial Síntesis, Madrid

B) Lecturas complementarias Ayres, F., (2001), Matemáticas Financieras, Mc Graw-Hill, México

68

Boyer, C. B. (1986), Historia de la matemática. Alianza, Madrid. Wisniewski, P., Gutiérrez, A., (2004), Introducción a las matemáticas universitarias,

Colección Schaum, Mc Graw Hill.

IV. Otros recursos:http://matti.usu.edu/nlvm/nav/frames_asid_160_g_1_t_1.htmlhttp://math.rice.edu/~lanius/proportions/index.html

Graphmaticahttp://www8.pair.com/ksoft/espanol/grmat16e.ziphttp://www.eduteka.org/matecuapoli.php3http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad4aa.htmhttp://descartes.cnice.mecd.es/

V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias. (Indique las principales actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los estándares y competencias del perfil de egreso)

1. Estudia con detalle el concepto de razón como un par ordenado de cantidades de magnitudes, a través de sus distintas utilizaciones, representaciones y conjunto numérico al que pertenecen

Estándar 14-1-3/ Competencia 1

El (la) profesor(a) da a los estudiantes distintas formas de comparar cantidades, llegando a la comparación por cociente y conociendo su amplio rango de aplicaciones en contextos cotidianos. Se formaliza la noción de par ordenado, generalizando sus propiedades numéricas y algebraicas.

2. Caracterización algebraica de la proporcionalidad directa e inversa.Estándar 14-1-3 / Competencia 1

El estudiante construye tablas con datos de situaciones propuestas por el profesor, donde estén presentes la proporcionalidad directa e inversa. Generaliza a partir de los datos y escribe la relación algebraica entre los datos, escribiendo las características de las proporciones encontradas

3. Resolución de problemas de proporcionalidad compuesta Estándar 14-1-3 / Competencia 1-4-8

El (la) profesor(a) propone a los estudiantes resolver problemas de proporcionalidad compuesta, descomponiendo en proporcionalidad directa e inversa. Realiza tabla con los datos de los problemas y obtenidos a través de la resolución y luego se grafican con algún software matemático.

4. Relación entre la aritmética y el álgebra con la geometríaEstándar 14-9 / Competencia 1

69

Se le proponen desafíos numéricos, donde tienen que generalizar los datos obtenidos, en contexto geométricos, como son la relación entre la medida de los lados de un cuadrado y/o rectángulo con su perímetro y área. Se complican los problemas multiplicando los lados (el factor puede ser un número natural y fraccionario) por un número dado y conjeturando que pasa con el perímetro y área. Escriben algebraicamente las relaciones obtenidas.

Pauta para la evaluación clave

EVALUACIÓN CLAVE 1

1. Estándar 14-1-4/ Competencia 12. Justificación (¿Por qué tiene que saber esto un/una profesor(a) de segundo ciclo?)

Un(a) profesor(a) de 2º ciclo debe ser capaz de comprender los conceptos de razón y de variación proporcional: directa, inversa o compuesta, sus propiedades, aplicaciones contextualizadas o matematizadas y diferentes representaciones ya sea mediante la construcción de tablas o de gráficos, utilizando software, para así entender la potencia de la matemática como una herramienta que crea modelos de situaciones contextualizadas, generalizando los resultados que permiten utilizarlos en contextos similares.

3. Pre-requisitos: (lo que los estudiantes deben saber y deben hacer antes de la evaluación):Los estudiantes deben:- Conocer y reconocer los números en diferentes contextos de utilización de razones y proporcionalidad con sus respectivas propiedades.- Manejar la operatoria básica (adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación) de los diferentes sistemas numéricos para la resolución de diversos problemas.- Manipular a nivel de usuario el computador para la utilización de algún software matemático.

4. Descripción breve de la evaluación

Los estudiantes realizarán un proyecto fuera del aula. Este proyecto deberán realizarlo en forma grupal (no más de 4 estudiantes) y consistirá en la recopilación de datos para conocer y saber cómo se calcula el I.P.C. (índice de precios al consumidor), cuál es su influencia en el mercado económico nacional, regional y local y relacionar la matemática estudiada con aspectos de la cotidianeidad que rodean a las personas. Luego deberán realizar un informe escrito explicando detalladamente todo el trabajo anterior.

5. Describa los pasos de la evaluación en detalle

Paso 1:Buscarán en Internet información acerca de lo que es el I.P.C. ,para que se le utiliza, donde se utiliza, su incidencia en la economía nacional

Paso 2:Concurrirán a la institución adecuada (cámara de comercio, secretaría de economía y/o algún economista) para obtener de fuentes directas cómo se calcula el I.P.C. y cual(es) es(son) la(s) incidencia(s) de éste en la economía nacional, regional y local.

Paso 3:Presentan un avance del trabajo realizado ya sea para realizar consultas o para verificar que el avance del trabajo investigativo está encaminado correctamente.

70

Paso 4:Elaboración de un informe escrito con los pasos anteriores y las conclusiones obtenidas tanto en forma grupal como personal del desarrollo del proyecto, en los ámbitos disciplinares, personales y profesionales.

6. Puntuación de los Pasos/Trabajos para la evaluación:

Puntos1. Utilización contextual de concepto de razón y proporcionalidad (Estándar 14 / Competencia 1) 10 (rúbrica)

2. Análisis de la situación (Estándar 14 / Competencia 1) 20 (rúbrica)

3. Reporte grupal (Estándar 14 / Competencia 1) 20 (rúbrica)

4. Reporte personal (Estándar 14 / Competencia 1) 30 (rúbrica)

5. Coevaluación (Competencia 4) _20__

Total de puntos 100

7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades o actitudes (textos, sitios de la red y otros)

Internet y sitios web coherentes con el tema a investigar Pauta de cómo serán evaluados con los indicadores de elaboración y presentación del

informe Tiempo coherente para el desarrollo del proyecto, tanto dentro del aula (para responder

consultas) como fuera de ella para recopilar información y elaboración del informe.

71

Rúbrica de evaluación:

EVALUACIÓN CLAVE 1 Insatisfactorio0 puntos

Básico1-5 puntos

Competente5-8 puntos

Destacado9-10 puntos

Puntos

Paso 1Buscarán en Internet información acerca de lo que es el I.P.C. para que se le utiliza, donde se utiliza, su incidencia en la economía nacional

No busca la información pedida en internet

Busca la información en Internet, pero solo encuentra lo que es el IPC o donde se utiliza o para que se utiliza

Busca información en Internet, el tema buscado y extraen toda la información pertinente.

Busca información en Internet, en las páginas ad-hoc, haciendo referencia a los organismos estatales y privados donde el tema es de fundamental importancia.

10

Paso 2:Concurrirán a la institución adecuada (cámara de comercio, secretaría de economía, instituciones financieras y/o algún economista) para obtener de fuentes directas cómo se calcula el I.P.C. y cual(es) es(son) la(s) incidencia(s) de este en la economía nacional, regional y local.(multiplicar por 2)

No asisten a la institución en busca de la información solicitada

Buscan la información, pero sólo en una o dos instituciones relacionadas con el tema del I.P.C.. Obtienen fuentes directas, pero con una visión parcializada de la importancia de su cálculo y de su incidencia en la economía.

Recopilan la información necesaria de todas las fuentes propuestas, acercándose completamente a la importancia del I.P.C. en la economía local, regional y nacional.

Recopilan la información necesaria de todas las fuentes propuestas, acercándose completamente a la importancia del I.P.C. en la economía local, regional y nacional y además concluyen en forma personal la importancia de este indicador para su vida personal.

20

Paso 3:Presentan un avance del trabajo realizado ya sea para realizar consultas o para verificar que el avance del trabajo investigativo está

No presentan un avance del trabajo

El avance del trabajo demuestra las insuficiencias del trabajo investigativo y/o presentación y/o rigurosidad

El avance del trabajo es presentado en los tiempos propuestos, con la información pedida y una buena presentación

El avance del trabajo es presentado en los tiempos propuestos, con la información pedida y una buena presentación profesional. Se complementa lo pedido con una

20

72

encaminado correctamente.

(multiplicar por 2)

profesional. profesional. visión grupal y personal del trabajo realizado hasta ahora.

Paso 4:Elaboración de un informe escrito con los pasos anteriores y las conclusiones obtenidas a tanto en forma grupal como personal del desarrollo del proyecto, en los ámbitos disciplinares, personales y profesionales.

(multiplicar por 3)

No elaboran el informe escrito, o solo con alguno de los pasos anteriores, sin conclusiones individuales ni grupales

Elaboran un informe escrito, presentado de los pasos anteriores, pero realizar un análisis profundo de las consecuencias económicas del I.P.C, tanto a nivel local, regional y/o nacional.

Elaboran el informe escrito, presentando todos los datos pedidos, con una adecuada reflexión de la información recabada, tanto personal como grupalmente, evidenciando un buen trabajo colaborativo y conceptual.

Elaboran el informe escrito, presentando todos los datos pedidos, con una adecuada reflexión de la información recabada, tanto personal como grupalmente, evidenciando un buen trabajo colaborativo y conceptual. Además incluyen una reflexión para su futura labor como profesores y como este trabajo les permitió concretar su profesionalidad.

30

Total Puntos

73

Asignatura: Aritmética con Naturales y EnterosAutor(a)/Universidad: Raimundo Olfos /P.U. Católica de Valparaiso, Horas presencial por semana: 4 horas teóricas, 2 horas prácticasHoras requeridas del alumno por semana afuera del aula: 6 horas.

Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica

El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es un profesional con sólida formación pedagógica y disciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje, con autonomía para tomar decisiones informadas. Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación para desarrollar las competencias que le permiten responsabilizarse de los procesos y resultados de su enseñanza. En colaboración con la familia y comunidad, se compromete con el logro de aprendizajes que potencien el desarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantes preadolescentes. Participa en acciones de cooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidad de la educación que ofrece su institución escolar

ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS

I. Estándares y Competencias del perfil de egreso relacionado al curso.

El siguiente estándar y las siguientes competencias tienen un énfasis principal en este curso:

Estándar 2:Comprende los conceptos de número natural y entero, como entes formales cuyas propiedades están dadas por los axiomas y las proposiciones que se deducen de ellos.

Comprende la estructura deductiva de los sistemas de números naturales y enteros; reconoce las propiedades de estos sistemas y es capaz de explorar y deducir algunas propiedades en el marco de la teoría de números y de la estructura de anillo de los números enteros.

Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza que favorecen la comprensión y uso de los múltiplos, los divisores la descomposición en factores primos, la divisibilidad, las potencias y productos como iteraciones, la representación de grandes y pequeños números, y la estimación y el redondeo de lo, como también, a los números enteros, sus operaciones, orden y valor absoluto, atendiendo a los obstáculos didácticos asociados a estos conceptos, a las orientaciones didácticas de los programas oficiales del segundo ciclo y a los enfoques cognoscitivos actuales de los aprendizajes..

Competencia 1, Eje 2: Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas del sector de aprendizaje educación matemática que es responsable de enseñar.

Competencia 3, Eje 2: Planifica secuencias de enseñanza y evaluación que contemplan la lógica de los contenidos y el proceso de aprendizaje, considerando en sus actividades y en la evaluación de estas, los procesos cognoscitivos.

74

74

El siguiente estándar y la siguiente competencia tienen un énfasis secundario en este curso:

Estándar 1: Comprende los conceptos de número natural y entero, como abstracción de las cantidades discretas, y los distingue de sus formas de representación.

Justifica procedimientos y estrategias de cálculo aritmético, y propiedades del orden y de las operaciones con números naturales y enteros a partir de propiedades evidentes de los números y de sus sistemas de representación.

Resuelve problemas referidos a cantidades discretas y magnitudes negativas, haciendo uso eficiente del orden, las operaciones, las propiedades de las operaciones, el valor absoluto, las ecuaciones, las inecuaciones, y herramientas tecnológicas, según las condiciones dadas y el modelo que construya de la situación.

Diseña desafíos y problemas referidos a situaciones de orden, conteo, aditivas, multiplicativas, de divisibilidad y restos ligadas a contextos de los programas oficiales de segundo ciclo de distintos sectores curriculares, en los que se utilice operaciones, ecuaciones, inecuaciones y en general propiedades de los números naturales o enteros.

Competencia 2.Eje 2:Comprende el marco curricular nacional y los mapas de progreso para el sector curricular que enseña y utiliza este conocimiento para planificar su enseñanza.

Competencia 6, Eje 2:Selecciona y diseña recursos y situaciones de aprendizaje pertinentes para presentar ideas y conceptos disciplinarios a los estudiantes del nivel que enseña.

Competencia 9, Eje 2: Conoce los principios didácticos que le permiten una gestión eficiente y efectiva en el aula para optimizar el tiempo dedicado al aprendizaje.

II. Aprendizajes (claves para el logro de los estándares/competencias)

Conceptuales Describe las nociones de correspondencia biunívoca y función sucesor y reconoce los axiomas

de Peano como propiedades verificables con cantidades discretas. Explica la construcción inductiva de los naturales y su relación con las propiedades del orden,

de la adición y de la multiplicación. Caracteriza los números naturales a partir de su descomposición en factores, pudiendo describir

y demostrar algunos aspectos del algoritmo de Euclides y del teorema fundamental de la aritmética.

Define el orden y las operaciones con números naturales a partir de los axiomas de Peano y las propiedades que se deducen de ellos.

Distingue las situaciones relativas a conteo y cantidad, que dan origen a los números naturales, de su definición formal, los invariantes asociados y sus sistemas de representación.

Identifica obstáculos didácticos asociados a la comprensión y uso de los números naturales en el segundo ciclo básico, en particular los epistemológicos que se visualizan en el desarrollo histórico de los números, y planifica actividades para la superación de estos por parte de los alumnos.

Define los números enteros como clases de equivalencia entre pares de naturales y define las operaciones con números enteros

75

75

Reconoce en los opuestos una propiedad en Z no válida en N, que permite dar solución a las ecuaciones aditivas.

Aplica la definición del valor absoluto y su representación gráfica. Distingue las situaciones relativas a ganancias, perdidas, descuentos, aumentos, descensos y

orden de magnitud.que dan origen a los números enteros, de su definición formal, los invariantes asociados y sus sistemas de representación.

Identifica obstáculos didácticos asociados a la comprensión y uso de los números enteros en el segundo ciclo básico en particular los epistemológicos que se visualizan en el desarrollo histórico de los números,.

Procedimentales Demuestra propiedades de los naturales usando técnicas de inducción, lógica inferencial,

cuantificadores, razonamiento deductivo y conceptos de teoría de conjuntos. Prueba que el orden es una relación de orden total en N. Conjetura y refuta o demuestra propiedades del orden, la adición, la multiplicación, los múltiplos,

los divisores, la divisibilidad, el MCM y el MCD. Organiza secuencias de enseñanza y materiales para el estudio de los múltiplos, los divisores y

la descomposición en factores primos atendiendo a los programas de estudio del segundo ciclo básico y la disponibilidad de recursos computacionales.

Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza que favorecen la comprensión y uso de la divisibilidad, las potencias y productos como iteraciones, la representación de grandes y pequeños números, y la estimación y el redondeo, atendiendo a los obstáculos didácticos asociados a estos conceptos, a las orientaciones didácticas de los programas oficiales del segundo ciclo y a los enfoques cognoscitivos actuales de los aprendizajes.

Diseña actividades y secuencias de evaluación referidas a la comprensión y uso de la divisibilidad, las potencias y productos como iteraciones, la representación de grandes y pequeños números, y la estimación y el redondeo, atendiendo a los obstáculos didácticos asociados a estos conceptos, a las orientaciones didácticas de los programas oficiales del segundo ciclo y a los enfoques cognoscitivos actuales de los aprendizajes.

Prueba que Z es un conjunto ordenado y el orden es total Deduce que ( Z,+,*) es un anillo conmutativo con unidad y sin divisores de cero. Planifica actividades para la superación de obstáculos didácticos asociados a la comprensión y

uso de los números enteros en el segundo ciclo básico por parte de los alumnos. Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza y materiales para el estudio

de los números enteros, sus operaciones, orden y valor absoluto, atendiendo a los obstáculos didácticos asociados a estos conceptos, a las orientaciones didácticas de los programas oficiales del segundo ciclo y a los enfoques cognoscitivos actuales de los aprendizajes.

Diseña actividades y secuencias de evaluación para el estudio de los números enteros, sus operaciones, orden y valor absoluto, atendiendo a los obstáculos didácticos asociados a estos conceptos, a las orientaciones didácticas de los programas oficiales del segundo ciclo y a los enfoques cognoscitivos actuales de los aprendizajes.

Selecciona con criterio pedagógico problemas que se resuelven usando ecuaciones e inecuaciones aditivas y multiplicativas en Z, justificando los procedimientos por medio de propiedades

Actitudinales

Valora los sistemas numéricos N y Z como teorías útiles para modelar situaciones referidas a cantidades positivas y negativas.

III. Lecturas Requeridas:

76

76

Lecturas Obligatorias:

Campbell, S., & Zazkis, R. (2002). Toward number theory as a conceptual field. In Campbell, S., & Zazkis, R. (Eds.) Learning and teaching number theory: Research in cognition and instruction (pp. 1-14). Journal of Mathematical Behavior Monograph. Westport, CT: Ablex Publishing.

Chuaqui, R. (1980). ¿Qué son los Números? El método axiomático. Universitaria. Santiago

Gentile, E. (1985). Aritmética Elemental. OEA. Washington.

Kamii, Constante (1989). Reinventando la Aritmética II. Ed. Visor Distribuciones, Madrid.

MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para quinto año básico. Santiago, Chile

MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para sexto año básico. Santiago, Chile

MINEDUC,(1998). Planes y programas de estudio para séptimo año básico. Santiago, Chile

MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para octavo año básico. Santiago, Chile

Zazkis, R. y Campbell, S. (1996) Divisibility and Multiplicative Structure of Natural Numbers: Preservice Teachers’ Understanding. En Journal for Research in Mathematics Education. Vol. 27. Nº 5 pp 540-563

Textos Complementarios

Bravo, R. (1971). Fundamentos de los Sistemas Numéricos. Interamericana. Primera Edición, Ciudad de México.

Boyer, C.B. (1986) Historia de la matemática. Alianza Editorial, Madrid, (3ª impresión 2003).

Burton, D. (1967). Introduction to Modern Abstract Álgebra. Addison Wesley Pub. Co.

Castro, E., Rico, L. y Castro, E. (1995). Estructuras Aritméticas Elementales y su Modelización. Una Empresa Docente. Bogotá.

Courant, R y Robbins, H. (1996). What is mathematics ? Oxford University Press.

NCTM (1989). Estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática.

Niven, I. y Zuckerman, H. (1969) Introducción a la Teoría de los Números. Limusa. México.

Parent, D. P. (1984) Exercises in Number Theory. Springer-Verlag, New York.

Rico, L. (1998) Conocimiento Numérico y Formación del Profesorado. En Revista de Educación de la Universidad de Granada. Vol. 11 Granada.

Scheinermann, E. (2001). Matemáticas discretas. Thompson Learning

Trejo, C. (1968) El Concepto de Numero. Serie de Matemáticas. Monografía Nº 7. OEA Washington, D.C.

IV. Otros recursos

Cid, E., Godino, J.D. y Batanero, C. (2003) Sistemas numéricos y su didáctica para maestros. Universidad de Granada. . En http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

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77

V. Trabajos requeridos al alumno para lograr estándares y competencias del perfil

1. Modelación y deducciones en los naturales Estándar 2El estudiante elabora un informe, en conformidad a los siguientes requerimientos Dadas situaciones referidas a ordinales y cardinales, el alumno identifica las propiedades

comunes, tales como la existencia de un primer elemento, y la existencia y unicidad de los sucesores. Tras la institucionalización por parte del profesor, el estudiante comparte verbalmente con sus pares las nociones de correspondencia biunívoca y función sucesor. Y luego las describe por escrito

Tras analizar situaciones de iteración, como la recurrencia en la programación computacional y los fractales, discute y explica por escrito la construcción inductiva de los naturales

Tras estudiar las propiedades iniciales de los naturales como conjunto inductivo, elabora al menos dos demostraciones referidas al orden, la adición o la multiplicación en N y explica el significado del axioma de inducción.

2. Análisis de conjeturas y elaboración de demostraciones Estándar 2El estudiante entrega un informe atendiendo a las siguientes solicitudes: Tratada la descomposición de los naturales en factores, el estudiante propone y prueba

conjeturas, siendo conducido a encontrar propiedades relativas a la descomposición en factores, el algoritmo de Euclides y el teorema fundamental de la aritmética.

A partir del análisis de los números naturales (o enteros) y la deducción de algunas propiedades, el estudiante es desafiado a conjeturar, refutar, verificar y discutir demostraciones sobre propiedades del orden, la adición, la multiplicación, los múltiplos, los divisores, la divisibilidad, el MCM y el MCD.

3. Análisis del anillo (Z,+,*) como modelo y teoría. Estándar 2El estudiante entrega un informe atendiendo a las siguientes requerimientos: Tras reconocer los números enteros como modelo de situaciones referidas a “traslaciones” y a

“cantidades negativas y positivas”, el estudiante identifica la construcción axiomático deductiva de Z y sus operaciones a partir de N. Demuestra las propiedades algebraicas del anillo.

El estudiante analiza la veracidad de conjeturas acerca del valor absoluto, muestra situaciones referidas a las conjeturas y demuestra o refuta según corresponde.

4. Simulación de tareas recursivas en el computador Competencia 2.9 El estudiante expone ante sus compañeros, atendiendo al siguiente requerimiento:

El estudiante indaga sobre el uso de un lenguaje (LOGO, Visual Basic) y lo utiliza para simular tareas recursivas, las cuales comparte con sus compañeros ( Podría ser también en pseudo-lenguaje, sin computador).

Pauta para la Evaluación Clave

Se contemplan dos evaluaciones claves: una prueba sobre conjeturas y demostraciones, y un informe referido a planificaciones de clases.

Evaluación clave 1. Prueba: Conjeturas, refutaciones y demostraciones en N y Z.

78

78

1. Estándar 2/ Competencia 1, Eje 2

2. Justificación: El profesor de matemáticas de segundo ciclo básico debe comprender en qué consiste el trabajo matemático, por ello debe ser capaz de formular desafíos y argumentar su veracidad, para así favorecer el desarrollo de estas habilidades en sus alumnos.

3. Pre-requisitos:El profesor debe comprender las propiedades básicas de los números naturales y enteros, y de sus operaciones. Además, debe comprender las exigencias lógicas de los procesos deductivos.

4. Descripción breve de la evaluación:Los profesores en formación son sometidos a una prueba o evaluación escrita en la que deben enfrentarse a conjeturas y hacer demostraciones o refutaciones acerca de los números naturales y enteros, sus operaciones y propiedades, en un tiempo delimitado.

5. Descripción en detalle de los pasos de la evaluación.

Paso 1: Algoritmo de Euclides y Teorema Fundamental de la Aritmética Estándar 2. Demuestran algunos lemas o parte de la demostración del algoritmo de Euclides o del Teorema

fundamental de la aritmética, justificando los pasos correspondientes.

Paso 2: Propiedades de los números naturales y sus operaciones Estándar 2. Analizan conjeturas sobre propiedades del orden, la adición, la multiplicación, los múltiplos, los

divisores, la divisibilidad, el MCM y el MCD y proveen contraejemplos para refutar las inapropiadas.

Analizan una demostración por inducción con errores acerca de la cancelación, asociatividad o conmutatividad de la suma, señalen los errores y corrigen la demostración

Paso 3: Propiedades de los números enteros y sus operaciones Estándar 2. Prueban o dan contraejemplos de conjeturas relativas al orden o al valor absoluto en Z.

Paso 4: Propiedades de la estructura algebraica de los números enteros Estándar 2. Demuestran la asociatividad o conmutatividad en el anillo (Z,+,*) a partir de su validez en los

naturales. Deducen algunas propiedades del anillo Z, con uno y sin divisores de cero.

6. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

Antes de la prueba estudiarán demostraciones a partir de guías de trabajo, tendrán tiempo para consultas y dispondrán de ejemplos detallados de demostraciones. Durante la prueba no podrán tener material de consulta y será resuelta individualmente.

Rúbricas de evaluación

79

79

Criterio Insuficiente0

Básico3

Competente6

Destacado8

Ptos

Prueba, justificando, un lema o parte del algoritmo de Euclides o del Teorema fundamental de la aritmética

No es capaz de estructurar la demostración

Reconstruye la demostración, pero comete errores lógicos que la invalidan.No justificando correctamente

Elabora la demostración, pero comete algunas faltas formaleso errores de justificación

Construye la demostración completa y sin errores, y justifica adecuadamente.

8

Elabora contraejemplos para refutar conjeturas que no son teoremas

Identifica errores en una demostración inductiva en N (cancelación, asociativa, conmutativa) y los corrige.

Confunde las propiedades de N con proposiciones falsas

No comprende la demostración inductiva

Identifica menos del 60% de las conjeturas que no son propiedades en los naturales

No es capaz de identificar adecuadamente los errores de la demostración

Identifica sobre el 60%, pero no todas las conjeturas inconducentes a teoremas.

Identifica los errores de la demostración, pero no los corrige adecuadamente

Distingue todas las conjeturas que son teorema de las que no lo son, proveyendo los contraejemplos.

Identifica los errores de la demostración, y los corrige adecuadamente

4

8

Analiza conjetu-ras sobre el orden o el valor absoluto en Z

No provee contraejemplos ni demuestra

Distingue menos del 60% de los teoremas

Distingue al 60% de los teoremas y provee contraejemplos, a las conjeturas inadecuadas.

Construye contraejemplos y demuestra correctamente todas las conjeturas

8

Demuestra la asociatividad o conmutatividad en Z a partir de N

Deduce alguna propiedad en el anillo Z sin divisores de cero

No provee una demostración o sólo provee un esbozo.

No elabora una demostración

Provee una demostración incompleta o bien con errores lógicos.

Elabora una demostración con errores lógicos

Provee una demostración completa, con errores leves, formales

Elabora demostración con errores formales

Provee una demostración completa, sin errores.

Elabora una demostración completa, sin errores

4

8

TOTAL DE PUNTOS

40

Evaluación clave 2. Planificación de actividades de aprendizaje.

1. Estándar 2, Competencias 2, 3 y 6/Eje 2.

2. Justificación: Es prioritaria la coherencia entre la matemática pura y la matemática escolar, de modo que la asignatura no pierda su esencia. El profesor debe articular el saber puro con el saber a

80

80

enseñar, y nada mejor que hacerlo en el mismo momento que se aprende. Esta evaluación se inspira en la reflexión sobre ¿Qué es lo importante sobre los números que debe ser enseñado en el segundo ciclo básico?.

3. Pre-requisitos:El profesor debe conocer los programas de estudio y los saberes previos de los alumnos que podrían poner en juego para llegar al nuevo conocimiento. Estos saberes incluyen elementos de lógica, como el modus ponens, la sustitución, el modus tallens y la equivalencia entre una proposición y su contrarecíproca.

4. Descripción breve de la evaluación:Los profesores elaboran una secuencia de actividades y de evaluación en torno a un tema de la matemática escolar, de modo que conserve lo esencial del conocimiento matemático puro que le precede. Esta planificación de clases se referirá a los números naturales o enteros, dispondrá de 7 días para prepararla, una vez que haya consultado las orientaciones didácticas de los programas de estudio, revisado textos escolares, y analizado los obstáculos didácticos asociados al tema según lo establece la literatura.

5. Descripción en detalle de los pasos de la evaluación.

Paso 1: Delimitación del tema a tratar y de la evaluación asociada. estándar 2, comp.2. Una vez trabajado en clases la descomposición en factores primos, la divisibilidad, las potencias

y productos como iteraciones, y el anillo Z, el estudiante analiza actividades de aprendizaje sobre estos conceptos en los programas de estudio y textos escolares del segundo ciclo básico.

Paso 2: Análisis del tema en los Programas y textos de estudio. estándar 2, comp..6. Analiza el tema teniendo en consideración el saber matemático presente en los conceptos

tratados en los programas de estudio oficiales..

Paso 3: Análisis de los obstáculos didácticos asociados al tema. estándar 2. Analiza las actividades teniendo en consideración los obstáculos didácticos asociados a los

conceptos tratados y las orientaciones didácticas entregadas por los programas de estudio.

Paso 4: Elaboración de secuencia de actividades de aprendizaje. estándar 2, comp.3. Planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza que favorecen la comprensión y uso

de tales conceptos atendiendo a los antecedentes anteriores, a los enfoques cognoscitivos actuales de los aprendizajes, y a la disponibilidad de recursos computacionales.

6. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

Programas de estudio del 2º Ciclo Básico. Textos escolares de 2º Ciclo Básico.

Rúbricas

Criterio Insuficiente0

Básico3

Competente6

Destacado8

Ptos

Las actividades No formula Actividades que Actividades Actividades que 8

81

81

son coherentes con los aprendizajes seleccionados del los Programas

actividades que pongan en juego conocimientos previos

ponen en juego saberes, pero que no conducen a los aprendizajes seleccionados

relacionadas con los aprendizajes esperados pero no a partir de saberes previos.

ponen en juego conocimientos previos y apuntan a los aprendizajes esperados

Las actividades mantienen en esencia el saber matemático contenido en los aprendizajes esperados

No formula actividades relacionadas con los aprendizajes esperados.

Las actividades no se relacionan con los saberes matemáticos asociados a los aprendizajes esperados

Las actividades se relacionan parcialmente con los saberes matemáticos asociados a los aprendizajes esperados.

Las actividades se relacionan claramente con los saberes matemáticos asociados a los aprendizajes esperados

8

Las actividades tienen en consideración los obstáculos didácticos sobre el tema y son coherentes con las sugerencias didácticas de los Programas.

No propone actividades de aprendizaje, en que los alumnos pongan en juego saberes para construir o consolidar nuevos saberes.

Las actividades no se ajustan a las sugerencias del programa ni tienen en cuenta los obstáculos didácticos asociados al tema.

Las actividades se ajustan a las sugerencias del programa o bien tienen en cuenta los obstáculos didácticos asociados al tema, pero no ambas.

Las actividades se ajustan a las sugerencias del programa y tienen en cuenta los obstáculos didácticos asociados al tema.

8

La secuencia de actividades es consistente con los enfoques cognitivos actuales sobre aprendizaje en matemática Y contempla el uso adecuado de tecnología.

Las actividades no atienden los principios básicos sobre el aprendizaje

Las actividades se limitan a atender principios de aprendizaje conductistas.

Las actividades tienen en cuenta principios socio cognitivos actuales acerca del aprendizaje de la matemática

Las actividades son consistentes con los enfoques cognitivos actuales sobre aprendizaje en matemática Y contemplan el uso adecuado de tecnología.

8

TOTAL DE PUNTOS

32

VI. Puntuación de los Trabajos para la evaluación:Puntos:

1. Informe escrito Modelación y deducciones en N (Estándar 2, comp.. 2,1) 62. Informe escrito Conjeturas y demostraciones en N (Estándar 2, comp.. 2,1) 83. Informe escrito El anillo (Z,+,*) modelo y teoría (Estándar 2, comp.. 2,1) 84. Exposición simulación recursiva computacional (Competencia 2.9)) 65. Prueba individual (Evaluación clave1, Estándar 2, comp. 2,1) 406. Planeamiento de la enseñanza (Evaluación Clave2, Comps 2.2, 2,3 y 2,6) 32

Total de puntos: 100

Proyecto MECESUP Profesores Especialistas para la Educación Básica: Respuesta a un Desafío (UCV 0402)

82

82

Asignatura: Didáctica de la Geometría.Autor(a) / Universidad: María del Valle y Andrés Ortiz/Universidad de ConcepciónHoras presenciales por semana: 6Horas requeridas del alumno por semana afuera del aula: 4

Nuestra Visión Profesor Especialista para el Segundo Ciclo Básico

El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es un profesional con sólida formación pedagógica y disciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje, con autonomía para tomar decisiones informadas. Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación para desarrollar las competencias que le permiten responsabilizarse de los procesos y resultados de su enseñanza. En colaboración con la familia y comunidad, se compromete con el logro de aprendizajes que potencien el desarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantes preadolescentes. Participa en acciones de cooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidad de la educación que ofrece su institución escolar

I. Estándares y Competencias del perfil de egreso, relacionados al curso:

La asignatura de “didáctica de la geometría” tiene como misión que los futuros profesores de 2° ciclo que se desempeñarán en el subsector Educación Matemática se apropien de los saberes que permiten promover aprendizajes en la disciplina, en que los procesos de mediación liderados por el profesor, adquieren una importancia fundamental al interior del aula. En los estándares que se listan a continuación, se han destacado aquellos contenidos en los que se centrará la asignatura.

Estándar 6: Comprende la estructura axiomática de la geometría euclidiana y las nociones básicas de punto, recta, trazo, rayo. Comprende el significado de distintas figuras geométricas tales como ángulo, polígono (centrado en el triángulo y el cuadrilátero), circunferencia y las regiones que ellas delimitan; distinguiendo las distintas formas de clasificar y de caracterizar dichas figuras a través de su construcción geométrica, avanzando hacia la deducción y demostración de sus propiedades y relaciones. Comprende los conceptos de medida de longitud, medida angular, medida de superficie y demuestra propiedades que permitan calcular áreas y perímetros; reconociendo los distintos sistemas y unidades de medida en cada uno de ellos. Comprende el concepto de congruencia de figuras en el plano, y aplica los criterios de congruencia de triángulos para determinar si dos figuras son congruentes, como también para construir tesselaciones y así vincular el estudio de la geometría a diferentes manifestaciones del arte y la arquitectura, valorando a la Geometría como una disciplina muy ligada a la realidad de la humanidad y sus civilizaciones en distintas culturas y épocas.

Organiza, planifica y diseña actividades que direccionen los procesos de enseñanza hacia procesos de conceptualización de los distintos objetos geométricos para inducir en forma comprensiva la clasificación de figuras en los niños, para generar la necesidad de usar regla y compás en construcciones geométricas, para deducir propiedades a partir de figuras construidas geométricamente o en software de geometría dinámica, y para deducir propiedades métricas. Diseña planificaciones de enseñanza que sean coherentes con las orientaciones didácticas presentes en el marco de los programas oficiales y con enfoques cognoscitivos actuales acerca del aprendizaje.

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Estándar 7: Comprende los conceptos referidos a rectas y planos paralelos y perpendiculares en el espacio que permitan deducir y demostrar las propiedades involucradas en ellos; como también comprende el concepto de ángulo diedro. Comprende, aplica y fundamenta las diferentes clasificaciones de cuerpos en el espacio, y determina propiedades y relaciones en ellas. Reconoce y clasifica los cuerpos poliedros, identificando sus elementos principales. Es capaz, además, de fundamentar y aplicar el Principio de Cavalieri en la determinación de fórmulas de volumen de cuerpos geométricos. Calcula volúmenes y áreas de superficie, y aplica estos conocimientos a situaciones concretas, y resuelve problemas relacionados con figuras en el espacio. Organiza el proceso de aprendizaje de cuerpos geométricos a través de una mediación efectiva que considera planificaciones con una alta consistencia interna, involucradas en la conceptualización de los objetos geométricos, la deducción de propiedades y relaciones, y la aplicación de éstas en la resolución de problemas. Además, es capaz de justificar la organización de los contenidos geométricos en los planes de estudio de la enseñanza básica, y comprende la vinculación que ésta tiene con los contenidos vistos en enseñanza media.

El (los) siguiente estándar(es)/competencia(s) tiene(n) un énfasis secundario en este curso:

Estándar 8: Comprende las características que son propias de cada uno de los distintos tipos de transformaciones isométricas: traslación, rotación, simetría puntual y axial. Reconoce transformaciones isométricas en variados contextos, tanto cotidianos como artísticos, identificando su tipo y los elementos que la generaron. Aplica transformaciones y usa simetrías para analizar y resolver problemas geométricos, así como para ilustrar propiedades de figuras geométricas. Además, está en condiciones de organizar, planificar, diseñar actividades de aprendizaje basadas en la resolución de problemas para los contenidos presentes en el marco de los planes y programas vigentes en Matemática y de generar instancias evaluativas acerca de estos aprendizajes.

Estándar 9: Comprende los conceptos de semejanza de figuras y proporcionalidad de trazos, y los utiliza para fundamentar los teoremas de semejanza de triángulos. Aplica estos teoremas para determinar relaciones de semejanza de polígonos, para resolver problemas y para demostrar los teoremas de Euclides y los referidos a relaciones métricas y angulares en la circunferencia. Comprende y aplica las razones trigonométricas para resolver problemas. Construye homotecias directas e inversas de figuras. Valora uso de la semejanza de figuras en el arte y la arquitectura.

Conoce la ubicación de los contenidos asociados a geometría proporcional y semejanza en los planes de estudio de enseñanza básica y media, y es capaz de organizar el proceso de aprendizaje de estos contenidos para el nivel de Educación General Básica.

Considerando que los 4 estándares mencionados, en lo que a didáctica se refiere, centran su interés en “organizar los contenidos disciplinarios con propósitos de su enseñanza para el aprendizaje”, para todos y cada uno de ellos es necesario desarrollar las siguientes competencias, que emanan del perfil, eje 2:

Competencia 2 Comprende el marco curricular nacional y los mapas de progreso para el sector curricular que enseña, estableciendo relaciones con el primer ciclo y la enseñanza media, utilizando este conocimiento para planificar su enseñanza

Competencia 3 Utiliza los resultados de las investigaciones en su especialidad y de las ciencias de la educación para planificar secuencias de enseñanza y evaluación que contemplan la lógica de los contenidos y el proceso de aprendizaje.

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Competencia 4 Comprende el amplio rango de procedimientos evaluativos y los usa para monitorear el avance y logro de las metas de aprendizaje;

Competencia 5 Utiliza los resultados de las evaluaciones para retroalimentar a los educandos y ajustar sus planificaciones y estrategias didácticas;

Competencia 6 Selecciona y diseña recursos y situaciones de aprendizaje pertinentes y significativas para presentar ideas y conceptos disciplinarios a los estudiantes del nivel que enseña

Competencia 7 Planifica la enseñanza en colaboración con otros profesionales para organizar experiencias de aprendizaje interdisciplinarias que permiten a los estudiantes integrar el conocimiento, destrezas y métodos de investigación de diversos sectores de aprendizaje;

Competencia 9 Conoce los principios didácticos que le permiten una gestión eficiente y efectiva en el aula para optimizar el tiempo dedicado al aprendizaje.

Competencia 10 Promueve un ambiente propicio para el aprendizaje, estableciendo y manteniendo normas consistentes y consensuadas de disciplina en el aula que potencian el desarrollo social de los educandos para la vida en una sociedad democrática; y

II. Aprendizajes esperados (aprendizajes claves para el logro de los estándares y las competencias):

Conocimiento Reconoce que existen diferentes acercamientos teóricos que pueden perfilar una forma de instalar

conocimiento. Reconoce que el proceso de “reducción didáctica” tiene una fundamentación teórica proveniente del

ámbito psicológico, curricular, evaluativo, entre otros. Caracteriza una forma de instalar el conocimiento geométrico en niños y/o preadolescentes de

enseñanza general básica, de modo tal se desarrollen habilidades fundantes del intelecto, tales como la habilidad para resolver problemas, la capacidad argumentativa, la creatividad, la autonomía personal para la toma de decisiones, entre otras.

Analiza los conceptos geométricos erróneos que dificultan el aprendizaje de otros contenidos, diseña y planifica estrategias de intervención para remediar esta situación;

Analiza los conocimientos y aprendizajes previos que permitan instalar un conocimiento geométrico específico.

Procedimentales

Establece criterios de secuencialidad en distintos contenidos de geometría presentes en los planes y programas de 5° a 3° medio;

Diseña actividades de aprendizaje que propicien la capacidad de razonamiento geométrico en los estudiantes, utilizando un software geométrico que permita experimentar y recopilar información

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conducente a la elaboración de conjeturas acerca de propiedades de elementos y relaciones conceptuales de los objetos bidimensionales orientadas explícitamente a la resolución de problemas;

Diseña y construye actividades de aprendizaje que permitan al alumno de 2do. ciclo, relacionar conceptos, plantear fundamentadamente procedimientos y conjeturas referidas a algún tipo de transformación isométrica, apoyándose en un software geométrico o en construcciones geométricas;

Diseña actividades de aprendizaje que propicien la capacidad de razonamiento geométrico en los estudiantes, utilizando un software geométrico o construcciones geométricas, que permitan experimentar y recopilar información conducente a la elaboración de conjeturas acerca de las condiciones que deben cumplirse para que dos figuras sean semejantes;

Diseña unidades temáticas y planificaciones de clases en geometría, proponiendo en cada uno de éstos diferentes actividades de aprendizaje; para ello utiliza a lo menos, dos modelos de planificación;

Ejecuta procesos de simulación de clases basados en enfoques cognoscitivistas acerca de los procesos de aprendizaje.

Diseña pruebas escritas que estén orientadas a la comprensión, la aplicación y la utilidad de lo aprendido respecto a transformaciones isométricas, sus pautas de corrección y, si corresponde, la rúbrica y escala de calificación;

Diseña pruebas escritas que estén orientadas a la comprensión, la aplicación y la utilidad de lo aprendido respecto a figuras planas y cuerpos geométricos.

Analiza textos escolares de matemática para 2do. ciclo y evalúa la pertinencia de las actividades propuestas, relacionadas con geometría proporcional.

Actitudinales Reconoce y valora la generación de procesos interactivos que motiven a los estudiantes a aprender

matemática haciendo uso de una adecuada expresión verbal oral. Reconoce y valora el trabajo independiente de carácter responsable, honesto y comprometido. Valora el aporta que la matemática hace al desarrollo de la capacidad del pensamiento de carácter

elaborativo.

III Lecturas sugeridas:

Obligatorios Alsina, C.; Burgués, C.; Fortuna, J.: (1991). Invitación a la Didáctica de la Geometría. V.12. Madrid.

España. Chamorro M. del C. et alli: (2003). Didáctica de las Matemáticas. Prentice Hall. Madrid. España. Chamorro M. del C.: (1991). El Aprendizaje Significativo en el área de las Matemáticas. Alambra

Longman. Madrid. España. Baquero, R. Et alli: (1998). Debates Constructivistas. AIQUE. Capital Federal. Argentina. Brunner, J. J:(2000), Evaluación de la calidad en el Nuevo contexto Latinoamericano. www.e.2000 Delval, J.: (1992). Aprender a Aprender II. La construcción del conocimiento. Alambra Longman.

Madrid. España. De Pujadas (1991) Calidad de la Educación. Los nuevos educadores. CPU Santiago. Chile. Dowerty, G.: (1997) Desarrollo de sistemas de calidad en la educación. Editorial La Muralla. Madrid.

Capítulo 4:"La idea de la calidad, opinión sobre la educación". Gordon, T.: (1994). Maestros Eficaz y Técnicamente preparados. Ed. Diana. México MINEDUC: (1999). Perfeccionamiento Docente para la implementación de los nuevos Planes y

programas de Estudio. Santiago. Chile. MINEDUC: (2001). Reforma en el 2001: balances y prioridades. Santiago. Chile. Novak, J. y Gowin, D.: (1988). Aprendiendo a aprender. Martínez Roca Ed. Madrid. España. Notario, A. Et allí: (1997). Mapas Conceptuales. Narcea Edición. Madrid. España. Sander, B.: (1996). Administración de la Educación y Relevancia Cultural en América Latina. Capítulo

86

86

11 en "Gestión Educativa: América Latina. Editorial Troquel. Bs.As. Wertsch, James: (1995). Vigotsky y la Formación Social de la Mente. Cognición y desarrollo humano.

PAIDOS. Barcelona. España.

Complementario Aguerrondo, I: (1993). La calidad de la educación: ejes para su definición y evaluación". En Revista

Interamericana de Desarrollo Educativo. OEA. Año XXXVII, No 116. Washington. EE.UU Bishop, Alan: (1988). Enculturación Matemática. La educación matemática desde una perspectiva

cultural. PAIDOS. Barcelona. España. Burke M. et alli: (2001) “Navigating through Algebra in Grades 9-12”. National Council of teachers of

Mathematics. Reston .Virginia. USA Carrasco, J. y otros.: (1995).Técnicas y recursos para Motivar a los alumnos. Ed. RIALP. 2ª Ed.

Madrid. Cobb, Paul: (1996). “Emergent and Sociocultural Views of mathematical activity”. En “Theories of

Mathematical Learning”. Awrence Eribaum Associates, Publishers. Mahwah, New Jersey Riveros, M.; Zanocco, P.: (2002). Resolver Problemas matemáticos: una tarea de profesores y

alumnos. Ed. PUC de Chile. Santiago de Chile. Secada W.G. y otros.: (1995). Equidad y Enseñanza de las Matemáticas. Nuevas tendencias. Ed.

Morata, S.L. Madrid. España. Vergnaud Gèrard : (1996). The Theory of Conceptual Fields. En “Theories of Mathematical Learning”.

Awrence Eribaum Associates, Publishers. Mahwah, New Jersey. Voigt Jörg: (1996). Negotiation of Mathematical meaning in Classroom processes: social interactions

and learning mathematics. En “Theories of Mathematical Learning”. Awrence Eribaum Associates, Publishers. Mahwah, New Jersey.

Yackel, Erna: (1996) Social Interaction and Individual Cognition. “Theories of Mathematical Learning”. Awrence Eribaum Associates, Publishers. Mahwah, New Jersey.

IV Otros Recursos:

www.geometriadinamica.cl/default.asp?dir=guias&sub = http://descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php Software GeoGebra (disponible gratuitamente en www.geogebra.org/) http://paraisomat.ii.uned.es/paraiso/cabri.php?id=indice MINEDUC (2003) “Programas de estudio NB2, Cuarto año básico”, MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Quinto año básico”, MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Sexto año básico”, MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Educación Matemática, Séptimo año básico”, MINEDUC,

2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Educación Matemática, Octavo año básico”, MINEDUC, 2da

ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Primer año medio”, MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Segundo año medio”, MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Tercer año medio”, MINEDUC, 2da ed.

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V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias. (Indique las principales actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los estándares y competencias del perfil de egreso)

Trabajo 1: Aspectos Teóricos del Aprendizaje relacionados con el conocimiento geométrico Estándar 6-9 / Competencias 1-2-3

Elabora un informe escrito el que posteriormente debe defender oralmente (utilizar PowerPoint) el que debe abordar las siguientes problemáticas:

1. Utilizando la construcción del conocimiento y desde el punto de vista Vigostkiano diseñe e proceso de aprendizaje que permita instalar el concepto de congruencia de figuras planas o el concepto de medida de una superficie. Agregue a la fundamentación una ejemplificación coherente con el enfoque teórico mencionado.

2. Ejemplifica un proceso de “reducción didáctica del concepto “polígonos semejantes” que sea coherente con una forma de instalar conocimiento geométrico que desarrolle en los niños y pre adolescentes habilidades fundantes del intelecto tales como: habilidad para resolver problemas, capacidad argumentativa, creatividad, autonomía en toma de decisiones, entre otros.

Trabajo 2: Secuencialidad en los contenidos geométricos Estándar 6-7-8-9 / Competencias 1-2.

Utilizando los planes y programas oficiales del subsector matemáticas de 5° a 3° medio, seleccione uno de los siguientes temas:

Ángulos-triángulos-cuadriláteros; Congruencia de figuras planas – Transformaciones isométricas; Semejanza de figuras planas;

y elabore una secuencia de contenido explicitando la complejidad según el nivel.

Trabajo 3: Análisis de errores conceptuales y sus implicancias en la instalación de nuevos conceptos geométricos. Estándar 6-7-8-9 / Competencias 2-3-6-7-

Analiza unidades de geometría presentes en los textos escolares de matemática de 5° básico a 1° medio. En base al análisis anterior, selecciona un contenido matemático que presenta errores conceptuales y/o actividades de aprendizaje que no respetan las orientaciones didácticas de los planes y programas oficiales del subsector matemática; diseña y planifica estrategias para intervenir didácticamente en la reparación de dichos errores.

1. Presentar un informe el que debe considerar los siguientes aspectos, incluido los formales. Este informe debe:

a. Señalar el libro, curso y contenido geométrico seleccionado, justificando su elección.b. Señalar el(los) aprendizaje(s) esperado(s) (AE) para el contenido mínimo obligatorio

(CMO) que incluye al seleccionado.c. Señalar los conceptos y habilidades previas que deberían cautelarse para instalar el

adecuadamente el concepto geométrico seleccionado.d. Explicitar fundamentadamente del error conceptual y/o actividad de aprendizaje no

coherente con las orientaciones didácticas actuales en el sector matemática.

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e. Explicitar detalladamente la estrategia de intervención para modificar dicho error conceptual, señalando claramente las actividades de aprendizaje las cuáles deben incluir recursos TIC’s; como también los procesos evaluativos involucrados en dicha estrategia.

2. Presentar oralmente los resultados del informe.

Trabajo 4: Diseño de Procesos Evaluativos. Estándar 6-7-8-9 / Competencias 2-3-4-5-6

A partir de la observación de videos de clases de geometría de un curso determinado, elabora un informe escrito que aparte de los aspectos formales propios de cualquier informe, incluya:

El contenido geométrico presente en la(s) clase(s) observada(s). Las condiciones de infraestructura, motivacionales, de horario y de interacción. La planificación de la Unidad Temática que incluye el contenido de una de las clases

observadas. Un conjunto de instrumentos de evaluación, tanto de carácter cuantitativo como cualitativo, que

se correspondan con el proceso de aprendizaje vivenciado por los alumnos a los cuales estará dirigida la acción docente.

Diseñar las revisiones que corresponda a cada uno de los aspectos relevantes del aprendizaje esperado, utilizando estrategias diferentes a las utilizadas en la planificación original, de modo que sus alumnos puedan readecuar sus interpretaciones y significados que han asignado a las experiencias de aprendizaje vivenciadas en el aula.

TRABAJO 5: Análisis de Textos Escolares y Planes y Programas de Estudio Oficiales Estándar 6 / Competencia 2 (12 PUNTOS)

En grupo, analizan los planes de estudio de 4to básico a 1ro medio, presentando un informe que contenga la siguiente información:

Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) en los que estén involucrados los temas referidos a triángulos, en donde cada uno de ellos se debe relacionar con el Objetivo Fundamental Vertical (OFV) y los Aprendizajes Esperados (AE) del curso respectivo.

Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) en los que estén involucrados los temas referidos a cuadriláteros, en donde cada uno de ellos se debe relacionar con el Objetivo Fundamental Vertical (OFV) y los Aprendizajes Esperados (AE) del curso respectivo.

La consistencia conceptual y el grado de complejidad presente en Textos Escolares utilizados en las escuelas y liceos, y su pertinencia con los CMO y Aprendizajes Esperados de los Planes y Programas de Estudio oficiales.

VI. Evaluaciones Clave

EVALUACIÓN 1

1. Estándar 6-7 / Competencias 2-3-4-5-6

2. Justificación:Es importante que el profesor de 2° ciclo aplique los lineamientos establecidos en el Marco Curricular que sustentan la Reforma Educacional Chilena, pues estos serán los que orienten la planificación de los

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procesos de aprendizaje para así utilizar métodos y situaciones de aprendizajes apropiadas, como también la selección y diseño de materiales.

3. Pre-requisitos:Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formación son capaces de:

Comprender el rol de las Teorías de Aprendizaje (Constructivismo) en la forma de aspectar el proceso de aprendizaje.

Reconocer que el proceso de planificación es fundamental para anticipar los posibles eventos de la clase.

4. Descripción breve de la evaluación:

El profesor en formación deberá discutir las teorías de aprendizaje enmarcadas en el paradigma cognoscitivo -específicamente en el constructivismo- para demostrar su competencia en diseñar procesos de planificación de unidades temáticas, en la comprensión y utilización del Marco Curricular, y en el diseño de situaciones de aprendizajes adecuadas.

5. Describa los pasos de la evaluación en detalle

Paso 1: Planificar una Unidad Temática referida a Pirámide y Triángulo

A partir del contenido Pirámide-Triángulo y considerando el número de horas semanales disponibles se iniciará el proceso de planificación, especificando:

Los conceptos y habilidades requeridas como aprendizajes previamente alcanzados; La secuenciación del contenido matemático de acuerdo a los AE presentes en los planes y

programas de estudio; Las actividades de aprendizaje que se utilizarán para el logro de los aprendizajes esperados; Señalar los recursos que se utilizarán para el logro de los AE; Mencionar los instrumentos de evaluación tanto de carácter cualitativo y cuantitativo que

permitirán.

Paso 2: Planificar una clase de 90’ centrada en la construcción de triángulos bajo condiciones dadas

A partir del contenido “construcción de triángulos bajo condiciones dadas”:

Establecer como conceptos previos: construcción geométrica, trazo, ángulo, recta, medida de un trazo, medida de un ángulo, triángulo, altura y bisectriz en un triángulo, circunferencia y arco de circunferencia, sistema de unidades de medidas de longitud;

Establecer como condición ser capaz de ejecutar las siguientes acciones: describir arcos de circunferencias, copiar trazos y ángulos, escribir formalmente la construcción geométrica, construcción geométrica y/o mecánica de la altura y la bisectriz según sea el caso.

Identificar el contenido matemático de la clase y desagregarlo secuencialmente de acuerdo al aprendizaje esperado.

Generar e implementar las actividades de aprendizaje. Generar los instrumentos de evaluación que se requerirán para establecer los niveles de logro.

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Paso 3: Planificar una Unidad Temática referida a Prisma y Cuadrilátero

A partir del contenido Prisma-Cuadrilátero y considerando el número de horas semanales disponibles se iniciará el proceso de planificación, especificando:

Los conceptos y habilidades requeridas como aprendizajes previamente alcanzados; La secuenciación del contenido matemático de acuerdo a los AE presentes en los planes y

programas de estudio; Las actividades de aprendizaje que se utilizarán para el logro de los aprendizajes esperados; Señalar los recursos que se utilizarán para el logro de los AE Mencionar los instrumentos de evaluación tanto de carácter cualitativo y cuantitativo que

permitirán.

Paso 4: Planificar una clase de 90’ centrada en la caracterización y clasificación de paralelógramos

A partir del contenido “caracterización y clasificación de paralelogramos”:

Establecer como conceptos previos: cuadrilátero, diagonal de un cuadrilátero, eje de simetría. Establecer como condición ser capaz de ejecutar las siguientes acciones: trazado de paralelas y

perpendiculares, medir ángulos. Identificar el contenido matemático de la clase y desagregarlo secuencialmente de acuerdo al

aprendizaje esperado. Generar e implementar las actividades de aprendizaje. Generar los instrumentos de evaluación que se requerirán para establecer los niveles de logro.

7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

Textos de geometría, textos de evaluación, textos de didáctica de la matemática, textos de psicología educativa.

Publicaciones MINEDUC. http://www.geometriadinamica.cl/default.asp?dir=guias&sub = http://descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php http://paraisomat.ii.uned.es/paraiso/cabri.php?id=indice Software GeoGebra (disponible gratuitamente en http://www.geogebra.org/ ) Material de trazado geométrico. Notebook y multimedia.

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Rúbrica de evaluación

Paso Insatisfactorio(0 puntos)

Básico(3 puntos)

Competente(6 puntos)

Destacado(8 puntos)

Puntos

1 Sólo realiza una secuenciación de contenido.

Sólo reconoce el contenido presente en cada uno de los aprendizajes esperados.

La planificación elaborada presenta un proceso evaluativo no coherente con el enfoque metodológico esperado, pero si presenta coherencia entre las actividades de aprendizaje diseñadas y los logros de aprendizaje

La planificación elaborada muestra coherencia interna entre los aprendizajes esperados, las actividades de aprendizajes diseñadas, el proceso de evaluación considerado.

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2 No logra establecer los conceptos previos necesarios para construir triángulos bajo condiciones dadas.

Establece los conceptos previos necesarios para construir triángulos bajo condiciones dadas e identifica el contenido matemático de la clase y lo desagrega secuencialmente de acuerdo al aprendizaje esperado.

Genera e implementa actividades de aprendizaje referidas a construcción de triángulos bajo condiciones dadas, considerando los conocimientos y habilidades previas de los alumnos, como también la secuencia lógica del contenido.

La planificación elaborada muestra coherencia interna entre los aprendizajes esperados, las actividades de aprendizajes diseñadas, el proceso de evaluación considerado.

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3 Sólo realiza una secuenciación de contenido.

Sólo reconoce el contenido presente en cada uno de los aprendizajes esperados.

La planificación elaborada presenta un proceso evaluativo no coherente con el enfoque metodológico esperado, pero si presenta coherencia entre las actividades de aprendizaje diseñadas y los logros de aprendizaje

La planificación elaborada muestra coherencia interna entre los aprendizajes esperados, las actividades de aprendizajes diseñadas, el proceso de evaluación considerado.

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4 No logra establecer los conceptos previos necesarios para caracterizar y clasificar paralelógramos.

Establece los conceptos previos necesarios para caracterizar y clasificar paralelógramos e identifica el contenido matemático de la clase y lo desagrega secuencialmente de acuerdo al aprendizaje esperado.

Genera e implementa actividades de aprendizaje referidas a caracterización y clasificación de paralelógramos, considerando los conocimientos y habilidades previas de los alumnos, como también la secuencia lógica del contenido.

La planificación elaborada muestra coherencia interna entre los aprendizajes esperados, las actividades de aprendizajes diseñadas, el proceso de evaluación considerado.

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TOTAL DE PUNTOS 32

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EVALUACIÓN 2

1. Estándar 8 / Competencias 2-3-4-5-6-7-9-10

2. Justificación:

La formación inicial docente considera el desarrollo de habilidades docentes básicas tales como gestionar convenientemente una clase, adecuar los tiempos a los requerimientos del Plan de Estudio, promoción de aprendizajes efectivos a partir de la selección de actividades pertinentes, selección de materiales consistentes con los logros de aprendizaje a promover, entre otros. Al simular situaciones de clases, los futuros profesores desarrollarán y fortalecerán habilidades docentes relacionadas con la motivación que deben generar en sus alumnos hacia el aprendizaje, con el control del tiempo asignados a los momentos de la clase y cómo gestionar los sucesos de la clase de modo que resulte un encuentro en que profesor y alumno reconozcan y valoren las tareas realizadas y los conocimientos adquiridos.

3. Pre-requisitos:

A partir de experiencias previas relacionadas con la infraestructura de las Instituciones Escolares, la distribución del mobiliario, el uso de la voz hablada y a partir, también, de los conocimientos adquiridos con relación al hacer docente en aula, los futuros profesores preparan sus clases simuladas y valorarán esta actividad como un hito importante en su Formación Profesional.

4. Descripción breve de la evaluación:

Evaluación que pretende fortalecer el desarrollo de habilidades docentes básicas y fundamentales para el desempeño profesional lo que se logrará a partir de la filmación de las simulaciones.

5. Describa los pasos de la evaluación en detalle

Paso 1: Elaborar una planificación de clases referida a Transformaciones Isométricas en el plano euclidiano.

A partir del contenido “transformaciones isométricas”:

Establecer como conceptos previos: movimientos que impliquen intuitivamente las ideas de trasladar y rotar, polígonos, rectas paralelas y perpendiculares, construcción geométrica y mecánica, circunferencia y arco de circunferencia;

Establecer como condición ser capaz de ejecutar las siguientes acciones: describir arcos de circunferencias, copiar trazos y ángulos, construcción mecánica de rectas paralelas y perpendiculares.

Identificar el contenido matemático de la clase y desagregarlo secuencialmente de acuerdo al aprendizaje esperado.

Generar e implementar las actividades de aprendizaje. Generar los instrumentos de evaluación que se requerirán para establecer los niveles de logro.

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Paso 2: Preparación de los Recursos Didácticos para llevar a cabo la(s) clase(s)

Teniendo presente los recursos que se mencionan en la planificación:

Establecer los criterios de pertinencia que permiten controlar la concordancia entre el aprendizaje esperado y la pertinencia del material a partir del cual se promueve este logro.

Cautelar que la naturaleza del material a utilizar se corresponda con el nivel de desarrollo cognitivos de los estudiantes que lo utilizarán en términos de estructura y lenguaje, a lo menos.

Prever que el material esté disponible en cantidad suficiente para ser utilizado en forma efectiva por el grupo curso (a lo más un material para dos estudiantes).

Paso 3: Preparar los elementos de evaluación que sean pertinentes al hacer de la(s) clase(s), según corresponda (preguntas orales, actividades a desarrollar u otros).

Generar un instrumento de observación que permita llevar un registro de las acciones de construcción llevadas a cabo por los alumnos. Expresar los resultados de la observación en términos cuantitativos de modo de generar una calificación.

Generar un instrumento de evaluación que permita evaluar la capacidad de trabajo en grupo de sus estudiantes. Expresar los resultados de la observación en términos cuantitativos de modo de generar una calificación.

Generar una prueba sumativa y expresar sus resultados con una calificación.

Paso 4: Ejecutar la simulación

A partir de una presentación personal con tenida formal, la evaluación de la ejecución de la simulación considerará la filmación de esta y se centrará en los siguientes aspectos:

Gestión de la clase centrada en los momentos posibles de distinguir en ella Desplazamiento al interior de la sala. Interacción docente efectiva con los estudiantes, orientada hacia el aprendizaje de ellos. Promoción del trabajo independiente de los estudiantes, utilizando la contextualización y la

resolución de problemas como ejes centrales de su intervención. Reconoce el momento en que se hace necesario verificar los grados de avance en el logro del

aprendizaje esperado para optimizar el proceso. Manejo en forma eficiente de las situaciones de conflicto que se generan dentro de la clase.

Paso 5: Evaluar y autoevaluar su desempeño para optimizarlo si fuese necesario

Utilizar pautas de autoevaluación, pautas de evaluación por pares. Promover discusiones de carácter didáctico para fortalecer conductas docentes básicas

7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

Textos de geometría, textos de evaluación, textos de didáctica de la matemática, textos de psicología educativa.

Publicaciones MINEDUC. http://www.geometriadinamica.cl/default.asp?dir=guias&sub = http://descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php http://paraisomat.ii.uned.es/paraiso/cabri.php?id=indice Software GeoGebra (disponible gratuitamente en http://www.geogebra.org/ ) Material de trazado geométrico. Notebook y multimedia.

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Rúbrica de evaluación

Paso Insatisfactorio(0 puntos)

Básico(3 puntos)

Competente(6 puntos)

Destacado(8 puntos)

Puntos

1 No logra establecer los conceptos previos necesarios para transformaciones isométricas.

Establece los conceptos previos necesarios para transformaciones isométricas e identifica el contenido matemático de la clase y lo desagrega secuencialmente de acuerdo al aprendizaje esperado.

Genera e implementa actividades de aprendizaje referidas a transformaciones isométricas, considerando los conocimientos y habilidades previas de los alumnos, como también la secuencia lógica del contenido.

La planificación elaborada muestra coherencia interna entre los aprendizajes esperados, las actividades de aprendizajes diseñadas, el proceso de evaluación considerado.

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2 No se observa pertinencia entre las actividades propuestas y el aprendizaje esperado.

Genera actividades de aprendizaje con sus correspondientes recursos que son pertinentes con los aprendizajes esperados y se corresponden con la secuencia de contenidos.

Genera actividades de aprendizaje que responden al nivel de desarrollo cognitivos de los estudiantes, con sus correspondientes recursos que son pertinentes con los aprendizajes esperados y se corresponden con la secuencia de contenidos.

Genera actividades de aprendizaje que incluyen el uso de TIC’s y responden al nivel de desarrollo cognitivos de los estudiantes, con sus correspondientes recursos que son pertinentes con los aprendizajes esperados y se corresponden con la secuencia de contenidos.

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3 No logra diferenciar la naturaleza de los procesos evaluativos a desarrollar en relación a la naturaleza del contenido en cuestión y los logros de aprendizaje.

Logra diferenciar los elementos teóricos que están presentes en los procesos evaluativos cualitativos y cuantitativos; sin embargo, no logra generar instrumentos de evaluación pertinentes a ambos enfoques

Logra diferenciar los elementos teóricos que están presentes en los procesos evaluativos cualitativos y cuantitativos; sin embargo, no logra generar instrumentos de evaluación de naturaleza cualitativa.

Genera procesos evaluativos de naturaleza cualitativa y cuantitativa, generando además los instrumentos de evaluación respectivos. 8

4 En el desarrollo de la clase no es posible establecer coherencia entre el propósito de ésta y las actividades, perdiéndose el control del tiempo asignado a la clase y la capacidad de gestionarla en forma eficiente.

Se observan dificultades en la orientación del aprendizaje al trastocarse las secuencias, dado que la interacción docente-alumno no está bien planteada.

Existe coherencia entre el tiempo asignado y las secuencias planeadas tanto para el contenido como para las actividades y la verificación de lo aprendido.

Se observa total coherencia entre lo planeado y los procesos de la clase a partir de una gestión efectiva de la misma representada por el control del grupo, del tiempo y de las secuencias planeadas tanto para el contenido como para las actividades y la verificación de lo aprendido.

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5 Utiliza pautas de autoevaluación y de evaluación por pares pero es incapaz de generar discusiones que promuevan los aprendizajes esperados.

Utiliza pautas de autoevaluación y de evaluación por pares pero no utiliza la información obtenida en forma conveniente para fortalecer los logros de aprendizaje u optimizarlos, si fuera el caso.

Se hace necesario fortalecer el uso de pautas de autoevaluación y de evaluación por pares con el fin de que las discusiones que promueva permitan optimizar el proceso de aprendizaje.

Se observa habilidad en el uso de pautas de autoevaluación y de evaluación por pares a partir de las cuales se es capaz de generar discusiones que fortalecen los aprendizajes esperados. 8

Total Puntos 32

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VII. PUNTUACION DE LOS PASOS/TRABAJOS PARA LA EVALUACION:

Puntaje de las Evaluaciones Claves

Evaluación clave 1 (planificación de clases y unidades temáticas)Estándar 6-7/Competencias 2-3-6

Paso 1: 8 puntosPaso 2 8 puntosPaso 3 8 puntosPaso 4 8 puntos_______________________________TOTAL 32 puntos

Evaluación clave 2 (simulación de clases) Estándar 8/Competencia 2-3-4-5-6-7-9-10

Paso 1: 8 puntosPaso 2: 8 puntosPaso 3: 8 puntosPaso 4: 8 puntosPaso 5: 8 puntos_______________________________TOTAL 40 puntos

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Proyecto MECESUP Profesores Especialistas para la Educación Básica:Respuesta a un Desafío (UCV 0402)

Asignatura: Geometría ProporcionalAutor(a)/Universidad: Andrés Ortiz/Universidad de Concepción.Horas presenciales por semana: 5 horasHoras requeridas del alumno por semana afuera del aula: 6 horas

Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica

El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es un profesional con sólida formación pedagógica y disciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje, con autonomía para tomar decisiones informadas. Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación para desarrollar las competencias que le permiten responsabilizarse de los procesos y resultados de su enseñanza. En colaboración con la familia y comunidad, se compromete con el logro de aprendizajes que potencien el desarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantes preadolescentes. Participa en acciones de cooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidad de la educación que ofrece su institución escolar

ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS

I. Estándares y Competencias del perfil de egreso, relacionados al curso.

El curso, sus expectativas de logro, lo que se le pide al alumno hacer y las evaluaciones, han sido alineadas con los estándares y competencias del perfil de egreso para la formación inicial de profesores del segundo ciclo básico. Los siguientes estándares y competencias del perfil tienen un énfasis principal en este curso:

Estándar 9Comprende los conceptos de semejanza de figuras y proporcionalidad de trazos, y los utiliza para fundamentar los teoremas de semejanza de triángulos. Aplica estos teoremas para determinar relaciones de semejanza de polígonos, para resolver problemas y para demostrar los teoremas de Euclides y los referidos a relaciones métricas y angulares en la circunferencia. Comprende y aplica las razones trigonométricas para resolver problemas. Construye homotecias directas e inversas de figuras. Valora uso de la semejanza de figuras en el arte y la arquitectura.

Conoce la ubicación de los contenidos asociados a geometría proporcional y semejanza en los planes de estudio de enseñanza básica y media, y es capaz de organizar el proceso de aprendizaje de estos contenidos para el nivel de Educación General Básica.

Competencia 1, eje 2:Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas del sector de aprendizaje que es responsable de enseñar.

El (los) siguiente estándar(es)/competencia(s) tiene(n) un énfasis secundario en este curso:

Estándar 6

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Comprende la estructura axiomática de la geometría euclidiana y las nociones básicas de punto, recta, trazo, rayo. Comprende el significado de distintas figuras geométricas tales como ángulo, polígono (centrado en el triángulo y el cuadrilátero), circunferencia y las regiones que ellas delimitan; distinguiendo las distintas formas de clasificar y de caracterizar dichas figuras a través de su construcción geométrica, avanzando hacia la deducción y demostración de sus propiedades y relaciones. Comprende los conceptos de medida de longitud, medida angular, medida de superficie y demuestra propiedades que permitan calcular áreas y perímetros; reconociendo los distintos sistemas y unidades de medida en cada uno de ellos. Comprende el concepto de congruencia de figuras en el plano, y aplica los criterios de congruencia de triángulos para determinar si dos figuras son congruentes, como también para construir tesselaciones y así vincular el estudio de la geometría a diferentes manifestaciones del arte y la arquitectura, valorando a la Geometría como una disciplina muy ligada a la realidad de la humanidad y sus civilizaciones en distintas culturas y épocas.

Organiza, planifica y diseña actividades que direccionen los procesos de enseñanza hacia procesos de conceptualización de los distintos objetos geométricos para inducir en forma comprensiva la clasificación de figuras en los niños, para generar la necesidad de usar regla y compás en construcciones geométricas, para deducir propiedades a partir de figuras construidas geométricamente o en software de geometría dinámica, y para deducir propiedades métricas. Diseña planificaciones de enseñanza que sean coherentes con las orientaciones didácticas presentes en el marco de los programas oficiales y con enfoques cognoscitivos actuales acerca del aprendizaje.

Competencia 2, eje 2:Comprende el marco curricular nacional y los mapas de progreso para el sector curricular que enseña, estableciendo relaciones con el primer ciclo y la enseñanza media, utilizando este conocimiento para planificar su enseñanza

Competencia 6, eje 2:Selecciona y diseña recursos y situaciones de aprendizaje pertinentes y significativas para presentar ideas y conceptos disciplinarios a los estudiantes del nivel que enseña

II. Aprendizajes esperados (los aprendizajes claves para el logro de los estándares/competencias)

Conocimiento

Utiliza el concepto de proporcionalidad de trazos en la formulación del teorema de Thales Aplica el concepto de semejanza para identificar figuras semejantes. Fundamenta con ello

la lectura de planos y mapas. Utiliza los teoremas de semejanza de triángulos en la deducción de los teoremas de

Euclides y de las relaciones métricas y angulares en la circunferencia. Reconoce a las razones trigonométricas como constantes de proporcionalidad

involucradas en triángulos rectángulos semejantes. Demuestra y aplica los teoremas de semejanza de triángulos, los teoremas de Euclides y

las relaciones métricas y angulares en la circunferencia. Identifica los contenidos de enseñanza básica y media relacionados con la semejanza de

figuras estableciendo una secuencialidad en ellas.

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Procedimentales

Construye geométricamente la división interior y exterior de un trazo, así como la media, tercera y cuarta proporcional geométrica. Explicita y fundamenta sus construcciones.

Utiliza el concepto de semejanza de figuras planas para construir figuras semejantes y homotecias aplicadas a figuras. Fundamenta con ello la lectura de planos y mapas.

Resuelve problemas, tanto geométricos como cotidianos, usando los teoremas de geometría proporcional.

Analiza textos escolares de matemática para 2do ciclo y evalúa la pertinencia de las actividades propuestas, relacionadas con la geometría proporcional.

Actitudes

Valora la presencia de la razón áurea en el arte, arquitectura y naturaleza.

III. Lecturas Requeridas:

Obligatorias Arenas, F; Masjuan, G; Villanueva, F (1997) “Geometría elemental”, Ediciones Universidad

Católica de Chile. Cano, O (1963) “Geometría”. Clemens, S; O’Daffer, P; Cooney, T (1998) “Geometría”, Pearson / Addison Wesley. Mercado Schüller, C (1983) “Geometría”, Editorial Universitaria. Moise, E; Downs, F (1996) “Geometría Moderna”, Addison Wesley. Pogorélov, A. V. (1974) “Geometría elemental”, Editorial Mir.

Complementarias Coxeter, H. S. M (1989) “Introduction to geometry”, John Wiley & Sons.

IV. Otros recursos: http://www.geometriadinamica.cl/default.asp?dir=guias&sub = http://descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php Software GeoGebra (disponible gratuitamente en http://www.geogebra.org/ ) http://paraisomat.ii.uned.es/paraiso/cabri.php?id=indice MINEDUC (2003) “Programas de estudio NB2, Cuarto año básico”, MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Quinto año básico”, MINEDUC, 2da

ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Sexto año básico”, MINEDUC, 2da

ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Educación Matemática, Séptimo año básico”,

MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Educación Matemática, Octavo año básico”,

MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Primer año medio”, MINEDUC, 2da

ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Segundo año medio”, MINEDUC,

2da ed.

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MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Tercer año medio”, MINEDUC, 2da ed.

V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias.

TRABAJO 1: Construcción de figuras semejantesEstándar9-6/Competencia1 (8 PUNTOS)

Elaboran un informe escrito en el que desarrollan las siguientes actividades: Para un trazo dado, construir otro que esté en la razón . En un trazo dado construir la división interior y exterior para la razón 5 : 3 Construyen geométricamente la cuarta proporcional geométrica de tres trazos dados. Dado un cuadrilátero, construir uno semejante, según la razón . Establecer la relación de la semejanza de figuras con la lectura de planos y mapas.

Ejemplifique.

TRABAJO 2: Elaboración de un mapa conceptual.Estándar9-6/Competencia1 (8 PUNTOS)

Individualmente los profesores en formación, elaborarán un mapa conceptual que relacione entre otros los conceptos de triángulos semejantes, trazos proporcionales, figuras semejantes, cuarta proporcional geométrica.

TRABAJO 3: Relaciones métricas y angulares en la circunferenciaEstándar9-6/Competencia1-6 (8 PUNTOS)

Elabora un informe en el que desarrolla las siguientes actividades: Construye en GeoGebra (freeware en español) figuras que permitan visualizar los

siguientes teoremas:o Teorema del ángulo inscrito en una circunferencia.o Teorema del ángulo semi inscrito en una circunferencia.o Teorema de las cuerdas.o Teorema de la tangente

Demuestra los teoremas anteriores. Resuelve un listado problemas en los que estén involucrados teoremas sobre

circunferencia.

TRABAJO 4: Razones trigonométricas Estándar9/Competencia1 (8 PUNTOS)

Resuelve un listado de problemas (geométricos y de aplicación) haciendo uso de razones trigonométricas, con apoyo de tablas o de calculadora.

TRABAJO 5: Geometría proporcional en el arte, arquitectura y naturaleza Estándar9/Competencia 7 (4 PUNTOS)

En parejas o ternas, exploran la red buscando información sobre la presencia de la razón áurea en el arte, arquitectura o naturaleza. Diseñan una presentación en PowerPoint para presentar a sus compañeros uno de los sitios, fundamentando el por qué lo seleccionaron, y el uso que le darían en el trabajo con jóvenes en cuanto a recurso computacional para la enseñanza. Además,

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diseñan en un software adecuado una figura que les permita ilustrar geométricamente algún aspecto de interés asociado a la razón áurea. Elaboran un informe con el resultado de sus investigaciones.

TRABAJO 6: Análisis de Textos Escolares con Planes y Programas Oficiales de Matemática Estándar9/Competencia2 (4 PUNTOS)

En grupo, analizan los planes de estudio de 4to básico a 3ro medio, identificando aquellos contenidos mínimos obligatorios (CMO) en los que estén involucradas figuras semejantes, relacionándolos con los aprendizajes esperados. Utilizan textos escolares que incluyan conceptos de figuras semejantes, analizando la consistencia conceptual y grado de complejidad utilizados en ellos y se pertinencia con los CMO y aprendizajes esperados de los planes y Programas. Realizan un informe que contenga el análisis realizado.

VI. EVALUACIONES CLAVES

EVALUACIÓN 1

1. Estándar 9-6 / Competencia 1

2. Justificación:Un(a) profesor(a) de 2do ciclo debe ser capaz de reconocer en los programas de estudio aquellos contenidos referidos o relacionados con la semejanza de figuras planas, pues debe comprender el marco curricular nacional y la forma en la que éste se estructura y articula. Lo anterior justifica que el o la docente, comprenda con profundidad adecuada la matemática que le corresponde enseñar: en particular, aquella que se relacione directamente con el tema de proporcionalidad.

3. Pre-requisitos:Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formación son capaces de:

Comprender y reconocer los conceptos de rectas perpendiculares y paralelas, ángulo, triángulo.

Construir geométricamente rectas perpendiculares y paralelas, ángulos de medida determinada, triángulos con determinadas características y trazos de medida dada. Copiar ángulos.

Comprender y aplicar los conceptos de razón y proporción.

4. Descripción breve de la evaluación:Los profesores en formación deducirán y aplicarán el teorema de Thales y los criterios de semejanza., demostrando estos últimos.

5. Describa los pasos de la evaluación en detalle

Paso 1: Los profesores en formación, en parejas o ternas, identifican en una colección de triángulos, aquellos que tienen la misma forma. Deducen las relaciones (igualdad en medidas de ángulos interiores y proporcionalidad de lados) que se producen en estos triángulos utilizando distintos instrumentos de construcción y/o medición. Establecen, con apoyo bibliográfico, el concepto de triángulos semejantes.

101

101

Paso 2: Individualmente los profesores en formación, construyen triángulos semejantes a otros, explicitan sus procedimientos y los utilizan para construir polígonos semejantes a otros. Aplican relaciones de proporcionalidad para construir geométricamente la cuarta proporcional geométrica de tres trazos dados.

Paso 3: Individualmente el profesor en formación, dado un triángulo determina la mínima información para construir uno semejante a otro. Sistematiza sus afirmaciones, establece los teoremas de semejanza y los demuestra.

Paso 4: El profesor en formación demuestra los teoremas de Euclides utilizando los teoremas de semejanza de triángulos. Resuelve un listado de problemas en los que estos teoremas están involucrados.

6. Puntuación de los Pasos/Trabajos para la evaluación: Puntos1. Identificación de triángulos semejantes (Estándar 9/Comp. 1) 8 2. Construcción de triángulos semejantes (Estándar 9-6/Comp. 1) 8 3. Determinación de información mínima para construir un triángulo semejante a otro (Estándar 9-6/Comp. 1) 124. Demotración del teorema de Euclides (Estándar 9/Comp. 1) 12 _____________ Total de puntos 40

7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

Instrumentos de construcción y medición (regla, compás y transportador). Textos escolares de Matemática y literatura especializada.

102

102

Rúbrica de evaluación

Paso Insatisfactorio(0)

Básico(3)

Competente(6)

Destacado(8) Puntos

1

(1x)

Identifica pares de triángulos que no tienen la misma forma, o no fundamenta su elección.

Fundamenta la elección de pares de triángulos con la misma forma a través de la congruencia de los ángulos interiores correspondientes.

Fundamenta la elección de pares de triángulos con la misma forma a través de la congruencia de los ángulos interiores correspondientes y deduce la relación de igualdad de los cuocientes entre las longitudes de los lados correspondientes.

Fundamenta la elección de pares de triángulos con la misma forma a través de la congruencia de ángulos interiores correspondientes y proporcionalidad de las longitudes de los lados correspondientes.

8

2

(1x)

No construyen geométricamente ni triángulos semejantes, ni polígonos semejantes, ni la cuarta proporcional geométrica.

Construyen geométricamente triángulos semejantes sin explicitar ni fundamentar sus procedimientos.

No construyen geométricamente polígonos semejantes.

Establecen proporcionalidad en los lados e identifican la cuarta proporcional geométrica, pero no son capaces de construirla.

Construyen geométricamente triángulos semejantes explicitando y fundamentando sus procedimientos

Construyen geométricamente polígonos semejantes sin explicitar ni fundamentar sus procedimientos.

Construyen la cuarta proporcional sin describir la construcción en lenguaje geométrico

Construyen geométricamente triángulos semejantes explicitando y fundamentando sus procedimientos

Construyen geométricamente polígonos semejantes explicitando y fundamentando sus procedimientos

Construyen la cuarta proporcional y describen la construcción en lenguaje geométrico.

8

3

(1,5x)

No logran identificar la información mínima necesaria para construir un par de triángulos semejantes.

Determinan información necesaria, pero redundante, para construir un par de triángulos semejantes. Describen sus procedimientos

Determinan información mínima necesaria para construir un par de triángulos semejantes. Describen sus procedimientos y enuncian sus resultados. Justifican sus afirmaciones en lenguaje no formal.

Determinan información mínima necesaria para construir un par de triángulos semejantes deduciendo los teoremas de semejanza para triángulos y demostrándolos.

12

4

(1,5x)

No demuestra los teoremas de Euclides.No resuelve, o lo hace incorrectamente los problemas

En la demostración del teorema de Euclides, identifica triángulos semejantes, pero no utiliza proporciones.Resuelve problemas de aplicación directa del teorema de Euclides.

Demuestra el teorema de Euclides, y resuelve problemas geométricos de mediana complejidad.

Demuestra el teorema de Euclides, y resuelve problemas geométricos de alta dificultad.

12

TOTAL PUNTOS 40

103

103

EVALUACIÓN 2

1. Estándar 9-6 / Competencia 1-6

2. Justificación:Un(a) profesor(a) de 2do ciclo debe ser capaz de comprender el origen, enunciar y demostrar las propiedades métricas en el triángulo rectángulo y en la circunferencia, por cuanto estos contenidos son parte del currículo escolar, y porque robustece la formación de la disciplina que enseña, dándole así al profesor una visión de la matemática desarrollada a partir del 2do ciclo. Así mismo, debe comprender de qué forma los conocimientos de la matemática escolar están presentes en la realidad social y natural del hombre.

3. Pre-requisitos:Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formación son capaces de:

Comprender y reconocer los conceptos de triángulo, polígono, circunferencia y los elementos secundarios de éstos.

Comprende las relaciones angulares en un triángulo. Comprende y aplica los criterios de semejanza de triángulos. Construir geométricamente rectas perpendiculares y paralelas, ángulos de determinadas

medidas, y triángulos con determinadas características. Comprende y aplica los conceptos de razón y proporción.

4. Descripción breve de la evaluación:Los profesores en formación deducirán y demostrarán las relaciones métricas, para luego aplicarlas en la resolución de problemas, tanto geométricos como cotidianos. Además, investigarán sobre la presencia de la razón áurea, explorando en la red ejemplos y sitios de aprendizaje.

5. Describa los pasos de la evaluación en detalle

Paso 1:En parejas o en grupos de 3, resuelven puzzles o tangramas que les permitan identificar relaciones métricas relacionadas con los teoremas de Euclides. Enuncian sus resultados e identifican los elementos del triángulo rectángulo involucrados en estas relaciones. A continuación, descomponen el triángulo rectángulo en triángulos semejantes, y haciendo uso de los criterios de semejanza, demuestran los teoremas de Euclides.

Paso 2:Desarrollan una guía de aprendizaje en la que deducen las relaciones angulares en una circunferencia, y demuestran sus afirmaciones.

Paso 3:A partir del trabajo realizado en el paso anterior, consideran los segmentos utilizados y reconocen triángulos semejantes presentes en la circunferencia, dibujando los trazos necesarios para ello, de ser necesario. Identifican relaciones métricas en la circunferencia y las demuestran.

104

104

Paso 4:Individualmente, resuelven una guía de problemas geométricos referidos a polígonos y circunferencias, usando las relaciones determinadas en los pasos anteriores y fundamentando sus afirmaciones.

6. Puntuación de los Pasos/Trabajos para la evaluación: Puntos1. Resuelven tangrama y establecen relaciones entre los elementos del triángulo. 82. Desarrollo de guía de aprendizaje. 83. Establecer relaciones métricas 124. Resolución de problemas 12 __________ Total de puntos 40

7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

Instrumentos de construcción geométrica. Software de geometría dinámica. Internet y sitios Web.

105

105

Rúbrica de evaluación

Paso Insatisfactorio(0)

Básico(3)

Competente(6)

Destacado(8) Puntos

1

(1x)

No resuelven correctamente el tangrama. Descomponen el triángulo rectángulo en dos triángulos no semejantes.

Resuelven el tangrama, pero no identifican los elementos secundarios del triángulo que permiten establecer la relación en función de ellos. Descomponen el triángulo rectángulo en dos triángulos no semejantes.

Resuelven el tangrama, y establecen la relación entre los elementos del triángulo. Enuncian sus resultados en lenguaje no formal. Descomponen el triángulo rectángulo en triángulos semejantes y establecen las relaciones de proporcionalidad.

Resuelven el tangrama, y establecen la relación entre los elementos del triángulo. Enuncian sus resultados en lenguaje formal. Descomponen el triángulo rectángulo en triángulos semejantes y demuestran sus afirmaciones anteriores.

8

2

(1x)

No logran establecer las relaciones angulares en la circunferencia.

Establecen algunas relaciones angulares, pero no logra demostrarlas.

Establece relaciones angulares en la circunferencia, pero no las demuestra, o su demostración es incompleta.

Establece y demuestra las relaciones angulares en la circunferencia. 8

3

(1,5x)

No logran establecer las relaciones métricas en la circunferencia, o la establece sin hacer uso del concepto de proporcionalidad

Establecen algunas relaciones métricas haciendo uso del concepto de proporcionalidad, pero no las demuestra

Establece las relaciones métricas haciendo uso del concepto de proporcionalidad, pero no las demuestra, o lo hace de forma incompleta.

Establece las relaciones métricas haciendo uso del concepto de proporcionalidad, y demuestra sus afirmaciones. 12

106

106

4

(1,5x)

No logran identificar datos y preguntas, o bien, hipótesis y tesis, a partir de los enunciados. No resuelven los problemas.

Resuelven los problemas por métodos poco eficientes. No respetan una estrategia de resolución de problemas ni utilizan un lenguaje matemático ni una escritura ordenada.

Resuelven los problemas aplicando las relaciones métricas, pero tienen dificultades en escribir sus procedimientos, ya sea un uso inadecuado de la escritura matemática o de la falta de una estrategia de resolución de problemas.

Resuelven los problemas aplicando y justificando con propiedades adecuadas y pertinentes. Respetan una estrategia de resolución de problemas y la escritura formal propia de la disciplina.

12

TOTAL PUNTOS 40

107

107

VII. PUNTUACION DE LOS PASOS/TRABAJOS PARA LA EVALUACION:

Puntaje de las Evaluaciones Claves

Evaluación clave 1 (estudio del triángulo) Estándar 6/Competencia 1

Paso 1 8 puntosPaso 2 8 puntosPaso 3 12 puntosPaso 4 12 puntos_______________________________TOTAL 40 puntos

Evaluación clave 2 (estudio de los cuadriláteros) Estándar 6/Competencia 1-6

Paso 1 8 puntosPaso 2 8 puntosPaso 3 12 puntosPaso 4 12 puntos_______________________________TOTAL 40 puntos

108

Asignatura: Introducción a la GeometríaAutor(a)/Universidad: Ximena Cruz, Universidad de TarapacáHoras presencial por semana: 4 hrs.Horas requeridas del alumno por semana afuera del aula: 6

Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica

El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es un profesional con sólida formación pedagógica y disciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje, con autonomía para tomar decisiones informadas. Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación para desarrollar las competencias que le permiten responsabilizarse de los procesos y resultados de su enseñanza. En colaboración con la familia y comunidad, se compromete con el logro de aprendizajes que potencien el desarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantes preadolescentes. Participa en acciones de cooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidad de la educación que ofrece su institución escolar.

ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS

I. Estándares y Competencias del perfil de egreso relacionados al curso.

Estándar 6Comprende la estructura axiomática de la geometría euclidiana y las nociones básicas de punto, recta, trazo, rayo. Comprende el concepto de distintas figuras geométricas tales como ángulo, polígono (centrado en el triángulo y el cuadrilátero), circunferencia y las regiones que ellas delimitan; distinguiendo las distintas formas de clasificar y de caracterizar dichas figuras a través de su construcción geométrica, avanzando hacia la deducción y demostración de sus propiedades y relaciones. Comprende los conceptos de medida de longitud, medida angular, medida de superficie y demuestra propiedades que permitan calcular áreas y perímetros; reconociendo los distintos sistemas y unidades de medida en cada uno de ellos. Comprende el concepto de congruencia de figuras en el plano, y aplica los criterios de congruencia de triángulos para determinar si dos figuras son congruentes, como también para construir tesselaciones y así vincular el estudio de la geometría a diferentes manifestaciones del arte y la arquitectura, valorando a la Geometría como una disciplina muy ligada a la realidad de la humanidad y sus civilizaciones en distintas culturas y épocas.

Organiza, planifica y diseña actividades que direccionen los procesos de enseñanza hacia procesos de conceptualización de los distintos objetos geométricos para inducir en forma comprensiva la clasificación de figuras en los niños, para generar la necesidad de usar regla y compás en construcciones geométricas, para deducir propiedades a partir de figuras construidas geométricamente o en software de geometría dinámica, y para deducir propiedades métricas. Diseña planificaciones de enseñanza que sean coherentes con las orientaciones didácticas presentes en el marco de los programas oficiales y con enfoques cognoscitivos actuales acerca del aprendizaje.

Competencia 1, Eje 2Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas del sector de aprendizaje que es responsable de enseñar.

109

Competencia 3, Eje 2 Utiliza los resultados de las investigaciones en su especialidad y de las ciencias de educación para planificar secuencias de enseñanza y evaluación que contemplan la lógica de los contenidos y el proceso de aprendizaje.

Competencia 6, Eje 2 Selecciona y diseña recursos y situaciones de aprendizaje pertinentes y significativas para presentar ideas y conceptos disciplinarios a los estudiantes del nivel que enseña.

El siguiente estándar y competencia tiene un énfasis secundario en este curso:

Estándar 8Comprende las características que son propias de cada uno de los distintos tipos de transformaciones isométricas: traslación, rotación, simetría puntual y axial. Reconoce transformaciones isométricas en variados contextos, tanto cotidianos como artísticos, identificando su tipo y los elementos que la generaron. Aplica transformaciones y usa simetrías para analizar y resolver problemas geométricos, así como para ilustrar propiedades de figuras geométricas. Además, está en condiciones de organizar, planificar, diseñar actividades de aprendizaje basada en la resolución de problemas para los contenidos presentes en el marco de los planes y programas vigentes en Matemática y de generar instancias evaluativas de estos aprendizajes.

Competencia 8, Eje 2Conoce los principios didácticos que le permiten una gestión eficiente y efectiva en el aula para optimizar el tiempo dedicado al aprendizaje

II. Aprendizajes esperados (los aprendizajes claves para el logro de los estándares/competencias)

Conocimiento Identifica y explica la estructura axiomática de la geometría euclidiana y las nociones

básicas de punto, recta, rayo, trazo, plano y espacio; situándose para trabajar en el plano (dos dimensiones)

Reconoce objetos geométricos como rectas paralelas, rectas perpendiculares, simetral de un trazo, ángulo, bisectriz de un ángulo.

Clasifica ángulos según su medida e identifica parejas de ángulos entre paralelas cortadas por una transversal.

Conoce el concepto de triángulo y sus distintos elementos primarios y secundarios. Clasifica triángulos según la medida de sus lados y/o según la medida de sus ángulos

interiores. Deduce las propiedades de los triángulos utilizando material concreto y/o software

computacional. Reconoce y explica las diferentes características que definen a los cuadriláteros,

polígonos y circunferencia como también los distintos criterios de clasificación de ellas. Reconoce la circunferencia como el Lugar Geométrico de un conjunto de puntos que

satisfacen determinada condición.

110

Deduce fórmulas para el cálculo de perímetros y áreas de regiones planas, comprendiendo el significado de área, relacionándolo con la medida de la superficie y el de perímetro con la adición de las longitudes de todos los lados de la figura o del contorno que delimita la superficie.

Aplica las propiedades de las figuras en la resolución de ejercicios geométricos. Procedimentales

Construye utilizando regla y compás: rectas paralelas, rectas perpendiculares, simetral de un trazo, copia de ángulos, bisectriz de un ángulo, triángulos, elementos secundarios del triángulo (alturas, transversales, etc.) y lugares geométricos.

Construye los puntos singulares de un triángulo, utilizando un software geométrico e identificando la posición que ocupa de acuerdo al tipo de triángulo que se trate.

Construye con regla y compás diferentes cuadriláteros y polígonos, conocidos algunos de sus elementos y considerando sus características; describiendo, además, los procesos de construcción.

Calcula la medida de ángulos, trazos y superficies, en situaciones problemáticas utilizando unidades de medida adecuadas.

Actitudes

Valora la geometría euclidiana como una poderosa herramienta para favorecer el desarrollo del pensamiento lógico deductivo

Aprecia los aportes de la geometría euclidiana en la descripción de elementos de la naturaleza y de su entorno próximo.

Reflexiona sobre sus aprendizajes listando indicadores de autoevaluación.

III. Lecturas Requeridas

Bibliografía Básica: Carreño, Ximena; Cruz, Ximena. Geometría. Arrayán. Santiago, Chile. 2004. capítulos 1

y 3 Alsina, C.; Burgués, C.; Fortuny, J. Materiales para construir la Geometría. Colección

Matemáticas: Cultura y Aprendizaje. N°s 11. Síntesis. Madrid. 1991. MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para quinto año básico.

Santiago, Chile MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para sexto año básico. Santiago,

Chile MINEDUC,(1998). Planes y programas de estudio para séptimo año básico.

Santiago, Chile MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para octavo año básico.

Santiago, ChileBibliografía Complementaria Riveros, Marta; Zanocco, Pierina y otros. Resolver Problemas Matemáticos: una

tarea de profesores y alumnos. Ediciones Pontificia Universidad Católica de Chile. Santiago Chile. 2002

Gómez Chacón, M. Inés. Matemática Emocional. Narcea. Madrid. 2000. Gorgorió, N.; Deulofeu, J.; Bishop, A (coords.) Matemática y Educación. N° 154. Grao.

Barcelona. 2002. Alsina, C.; Burgués, C.; Fortuny, J. Invitación a la Didáctica de la Geometría.

111

Colección Matemáticas: Cultura y Aprendizaje. N°s 12. Síntesis. Madrid. 1991. Arenas, F; Masjuan, G; Villanueva, F (1997) “Geometría elemental”, Ediciones

Universidad Católica de Chile. Cano, O (1963) “Geometría”. Mercado Schüller, C (1983) “Geometría”, Editorial Universitaria. Moise, E; Downs, F (1996) “Geometría Moderna”, Addison Wesley.

IV. Otros recursos: http://clic.xtec.net/db/act_ca.jsp?id=1308 http://www.vitanet.cl/busqueda/buscar.php?materia=GEOMETRIA http://www.educaguia.com/Servicios/software/matematicas%20de%20primaria_.htm

V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias. (Indique las principales actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los estándares y competencias del perfil de egreso)

1. Construcción, caracterización y clasificación de triángulo, cuadriláteros y circunferencias Estándar 6 / Competencia 1 (Trabajo individual)Elabora un trabajo de construcción con regla y compás y/o utilizando algún software interactivo de triángulos, cuadriláteros y circunferencias, caracteriza cada figura y las clasifica de acuerdo a algún criterio preestablecido. Describe los procesos de construcción.

2. Construcción de polígonos inscritos y circunscritos en una circunferencia Estándar 6 / Competencia 1(Trabajo individual)Construye diversos polígonos y verifica argumentadamente la posibilidad de inscribirlos o circunscribirlos a una circunferencia. Describe los procesos de construcción.

3. Resolución problemas de Geometría__________ Estándar 6 / Competencia 1 (Trabajo grupal)Resuelven problemas aplicando conceptos de perímetros y áreas y los relacionan con medidas de longitud y superficies.Realizan un trabajo de investigación grupal para descubrir aplicaciones de los conceptos geométricos de figuras, áreas y perímetros en la vida del hombre, como manifestaciones del arte o de la arquitectura y su presencia en la naturaleza. Hacen una exposición de sus hallazgos y conclusiones.

4. Geometría Plana en los Planes y Programas Estándar 6 / Competencia 3, 6 (Trabajo grupal)Los alumnos, en grupo hacen una lectura comprensiva de los Planes y Programas de 5° básico a 1° medio e identifican los Objetivos Fundamentales Transversales y Verticales que dicen relación con Geometría Plana y que deben lograr los estudiantes en cada año escolar. Exponen su trabajo, elijen uno de esos OFT / OFV detectados y muestran el diseño de una actividad de aprendizaje, que sea coherente con las orientaciones didácticas del marco curricular de los programas revisados.

112

Aplican esta actividad de aprendizaje a sus compañeros considerando todos los momentos de una clase: inicio, motivación, desarrollo, evaluación de lo aprendido y cierre.

5. Investigación de software de geometría plana disponible en la Internet Estándar 6 / Competencia 6

(Trabajo grupal)Los alumnos, en equipo, realizan una exploración en la Red Internet buscando software para el aprendizaje de los contenidos geométricos vistos. Eligen un sotware o un medio de la web 2 (blog, wiki, etc.), diseñan una actividad en él y lo exponen a sus compañeros señalando las razones de su elección y abriendo un debate.

Pauta para la Evaluación Clave

1. Estándar 6 / Competencia 1 y 6

2. Justificación (¿Por qué tiene que saber/hacer esto un/una profesor de segundo ciclo?):

La geometría plana es una excelente área del conocimiento para desarrollar en los alumnos la ubicación espacial. Al mismo tiempo aprenden a aplicar el pensamiento lógico para resolver problemas. Les apropia de características como rigurosidad de pensamiento y minuciocidad en el trabajo de construcción, condiciones que deberán desarrollar en sus alumnos. El conocimiento de las figuras geométricas y sus propiedades les permite apreciar el arte desde la perspectiva de las formas. Aprende a evaluar

3. Pre-requisitos: (lo que los estudiantes deben saber y deben saber hacer antes de la evaluación):

Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formación son capaces de:Construir figuras, clasificarlas, describir el proceso de construcción y hacer un análisis de las condiciones necesarias para la construcción.Aplicar las características de las figuras y los conceptos geométricos a la solución de ejercicios.Explorar en la Red de Internet para seleccionar Obras de arte que presenten figuras geométricas en su composición.Distinguir los distintos momentos de una clase y alguna forma de evaluar el aprendizaje logrado.

4. Descripción breve de la evaluación:

Primera parte: Grupo de cincoLos profesores en formación, agrupados de cinco personas, realizarán un trabajo de construcciones de triángulos, cuadriláteros y circunferencia con regla y compás, describiendo acabadamente cada paso de cada construcción y haciendo un análisis de los casos en que la construcción es posible y cuando no lo es. Emitirán un informe escrito grupal y un reporte personal.Segunda parte: individual

113

Los profesores en formación, individualmente resolverán 20 ejercicios propuestos por el profesor aplicando los conceptos y propiedades de figuras, perímetros y áreas. Tercera parte: Grupo de dos y coevaluación de todos sus compañerosLos profesores en formación, en grupos de dos, explorarán en la Red de Internet buscando obras de arte o arquitectónicas que ofrezcan la presencia de figuras geométricas. Elegirán una para exponerla a sus compañeros en un power point, editado por tres alumnos voluntarios. La evaluación de esta parte se realizará a través de una coevaluaciónCuarta parte: individual. AutoevaluaciónAl concluir el proceso de la evaluación clave y como última parte de él, el profesor(a) entregará a cada alumno(a) una pauta de autoevaluación detallada para que el alumno observe las prácticas que desarrolló en distintos ámbitos como aportes al debate, formalidades de cumplimiento y horarios, calidad de sus producciones, etc. y los aprendizajes logrados durante el proceso. Coherente con ello el alumno se asignará un puntaje de 1 a 10 puntos, que el profesor no podrá intervenir

5. Describa los pasos de la evaluación en detalle

Paso 1: El profesor(a) buscará una estrategia para formar grupos de cinco personas para trabajar en equipo e indicará las exigencias del trabajo requerido: Un informe escrito que contenga a lo menos cinco construcciones, tres deben ser de figuras distintas (triángulo, cuadrilátero y circunferencia). El informe debe contener: carátula, introducción, construcciones, y conclusión. Cada construcción debe ser realizada con regla y compás, describiendo paso a paso y rigurosamente el proceso realizado y consignando el análisis de otras posibles soluciones. Cada alumno(a) debe realizar en forma individual un reporte en el que identifique qué distinciones nuevas aprendió, qué es capaz de realizar con estas nuevas distinciones y qué estado de ánimo le produjo la realización de esta actividad.

Paso 2:Conformados los equipos de trabajo, los profesores en formación diseñarán las construcciones que realizarán, discutirán las formas de realizarlo y se distribuirán el trabajo. Dispondrán de dos clases de 90 min. para desarrollar esta parte de la evaluación.

Paso 3: Los profesores en formación responderán una prueba de desarrollo de 10 preguntas en que aplicarán las propiedades y conceptos geométricos aprendidos. Todas las respuestas deben ser justificadas. Contarán con una clase de 90 min. para responderla.

Paso 4:Una vez corregidas las pruebas, los alumnos(as) reconocerán y analizarán sus aciertos y sus errores realizando las correcciones pertinentes. Dispondrán de una clase de 90 min.

Paso 5:El profesor(a) dará las indicaciones para que los alumnos(as), contando con un computador por cada dos personas, realicen una investigación en internet y elijan una obra de arte (pintura, escultura o arquitectura) para presentar a sus compañeros. La presentación deberá contar con una breve descripción de la obra (autor, año, lugar donde se encuentra, etc.), Con todas las obras elegidas, un grupo de tres alumnos voluntarios, editará un power point y el profesor las presentará en una clase. Cada pareja de alumnos irá explicando porqué su elección desde el

114

criterio de la integración de figuras geométricas. Los compañeros realizarán una coevaluación de acuerdo a una pauta predeterminada, la que asignará puntaje a observaciones como: cantidad de formas presentes en la obra, integración de las formas, presencia o ausencia y calidad del reporte que identifica la obra y calidad de la expresión (comunicación) que sus electores hacen de la presentación.

Paso 6:El profesor preparará una pauta de auto evaluación que consigne indicadores para los diversos aprendizajes esperados, tanto de prácticas individuales y sociales del alumno como de los aprendizajes de geometría logrados. Esto con el objeto de que el alumno aprenda a mirar sus prácticas (sus maneras de hacer y aprender) y pueda empezar a diseñarlas.

6. Puntuación de los Pasos/Trabajos para la evaluación: (del curso)

Puntos:1. Informe escrito de las construcciones (grupal)

( Estándar 6/Competencia 1) 30

2. Reporte personal ( Estándar 6/Competencia 6 ) 20

3. Prueba escrita (individual) ( Estándar 6) 30

4. Coevaluación (Estándar 6,Competencia 1) 10

5. Autoevaluación (Competencia 8) 10__

Total puntos 100

7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

Para realizar el informe grupal, cada grupo dispondrá de una pauta elaborada por el profesor y negociada con los alumnos

El alumno debe proveerse de regla, compás y papel para su informe Para el reporte personal la guía serán tres preguntas elaboradas por el profesor: ¿Qué

nuevas distinciones obtuvo o qué aprendió con este trabajo? ¿Qué es capaz de hacer con ello? y ¿Qué estado de ánimo le produjo el trabajo?

Una prueba con 10 reactivos que den cuenta de los aprendizajes esperados. Un computador por cada dos alumnos con conección a internet Una pauta de Coevaluación para consignar las observaciones a sus compañeros en la

clase de presentación de las obras de arte, arquitectura o escultura seleccionadas Una pauta de autoevaluación

115

116

Rúbrica de evaluación

Evaluación Clave Insatisfactorio0 puntos

Básico3 puntos

Competente6 puntos

Destacado8 puntos Puntos

Elaboración de un informe en grupo de cinco personas, que de cuenta de las construcciones, rigurosamente, de cinco figuras usando regla y compás, describiendo los paso de cada construcción y haciendo un análisis de los casos en que la construcción es posible y cuando no lo es

Construye menos de tres figuras distintas

No describe los pasos del proceso

No realiza el análisis

No cumple con la forma solicitada para el informe

Construye las cinco figuras solicitadas.

Describe parcialmente el proceso de construcción

No realiza el análisis

Cumple con parte de la formalidad exigida

Construye las cinco figuras solicitadas

Describe completo el proceso pero sin la rigurosidad del lenguaje de la geometría

Realiza parcialmente el análisis

Cumple la formalidad exigida

Construye las cinco figuras solicitadas con exactitud y limpieza

Describe el proceso completo y en forma rigurosa

Realiza el análisis completo en todas las construcciones

Cumple la formalidad exigida con calidad en la presentación y redacción.

117

Reporte personal respondiendo las preguntas: ¿Qué aprendió con este trabajo? ¿Qué es capaz de hacer con ello? y ¿Qué estado de ánimo le produjo el trabajo?

No responde ninguna de las tres preguntas

Responde una o dos preguntas

Responde las tres preguntas sin dar argumentación a sus afirmaciones en todas ellas

Responde y argumenta las tres preguntas

Reconoce y aplica las características de las figuras para resolver ejercicios (3)*

Identifica pares de figuras congruentes identificando sus elementos homólogos(2)*

Identifica figuras equivalente y resuelve problemas usando el concepto de equivalencia (2)*

Responde correctamente 0 de 3 preguntas

Responde correctamente 0 de 2 preguntas

Responde correctamente 0 de 2 preguntas

Responde correctamente 1 de 3 preguntas

Responde correctamente 1 de 2 preguntas

Responde correctamente 1 de 2 preguntas

Responde correctamente 2 de 3 preguntas

Responde correctamente 2 de 2 preguntas

Responde correctamente 2 de 2 preguntas

Responde correctamente 3 de 3 preguntas

Responde correctamente 2 de 2 preguntas y justifica sus respuestas

Responde correctamente 2 de 2 preguntas y justifica sus

118

Resuelve problemas utilizando concepto de perímetro y área de figuras (2)*

Resuelve ejercicios aplicando propiedades de figuras (1)*

Responde correctamente 0 de 2 preguntas

Responde correctamente 0 de 1 preguntas

Responde correctamente 1 de 2 preguntas

Responde parcialmente 1 de 1 preguntas

Responde correctamente 2 de 2 preguntas

Responde correctamente 1 de 1 preguntas

respuestas

Responde correctamente 2 de 2 preguntas y justifica sus respuestas

Responde correctamente 1 de 1 preguntas y justifica su respuesta

Exploran en internet, identifican y eligen una obra de arte, arquitectura o escultura, donde se evidencie la presencia de formas geométricas conocidas, justifican su elección y elaboran una pequeña historia de la obra

No exploran en internetNo eligen obra

Exploran en InternetNo registran sus visitasEligen una obraNo justifican su elecciónElaboran parcialmente la historia de la obra

Exploran, registran sus visitas y eligen una obraJustifican su elección en forma básicaElaboran la historia de la obra con todos los datos solicitados

Exploran, registran sus visitas y eligen una obraJustifican su elección con tres o más argumentosElaboran la historia de la obra con todos los datos solicitados y contextualizada para el mundo actual

PUNTOS TOTAL

119

Este número representa el número de reactivos o preguntas de la prueba que dará cuenta del logro de ese aprendizaje esperado.

120

Asignatura: Cuerpos GeométricosAutor(a)/Universidad: Ximena Cruz/ Universidad de TarapacáHoras presencial por semana: 3 teóricas y 2 prácticasHoras requeridas del alumno por semana afuera del aula: 8 horas.

Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica

El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es un profesional con sólida formación pedagógica y disciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje, con autonomía para tomar decisiones informadas. Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación para desarrollar las competencias que le permiten responsabilizarse de los procesos y resultados de su enseñanza. En colaboración con la familia y comunidad, se compromete con el logro de aprendizajes que potencien el desarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantes preadolescentes. Participa en acciones de cooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidad de la educación que ofrece su institución escolar

ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS

I. Estándares y Competencias del perfil de egreso relacionados al curso.

El (los) siguiente estándar(es)/competencia(s) del eje 2 del perfil tiene(n) un énfasis principal en este curso:

Estándar 7:

Comprende los conceptos referidos a rectas y planos paralelos y perpendiculares en el espacio que permitan deducir y demostrar las propiedades involucradas en ellos; como también comprende el concepto de ángulo diedro. Comprende, aplica y fundamenta las diferentes clasificaciones de cuerpos en el espacio, y determina propiedades y relaciones en ellas. Reconoce y clasifica los cuerpos poliedros, identificando sus elementos principales. Es capaz, además, de fundamentar y aplicar el Principio de Cavalieri en la determinación de fórmulas de volumen de cuerpos geométricos. Calcula volúmenes y áreas de superficie, y aplica estos conocimientos a situaciones concretas, y resuelve problemas relacionados con figuras en el espacio.

Organiza el proceso de enseñanza de cuerpos geométricos, planificando adecuadamente las secuencias y actividades de aprendizaje y evaluativos involucradas en la conceptualización de los objetos geométricos, la deducción de propiedades y relaciones, y la aplicación de éstas en la resolución de problemas.

Es capaz de justificar la organización de los contenidos geométricos en los planes de estudio de la enseñanza básica, y comprende la vinculación que ésta tiene con los contenidos vistos en enseñanza media.

Competencia 1

121

Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas del sector de aprendizaje que es responsable de enseñar.

Competencia 2 Comprende el marco curricular nacional y los mapas de progreso para el sector curricular que enseña y utiliza este conocimiento para planificar su enseñanza.

Competencia 4Comprende el amplio rango de procedimientos evaluativos y los usa para monitorear el avance y logro de las metas de aprendizaje.

El (los) siguiente estándar(es)/competencia(s) del eje 2 del perfil tiene(n) un énfasis secundario en este curso:

Estándar 6Comprende la estructura axiomática de la geometría euclidiana y las nociones básicas de punto, recta, trazo, rayo. Comprende el significado de distintas figuras geométricas tales como ángulo, polígono (centrado en el triángulo y el cuadrilátero), circunferencia y las regiones que ellas delimitan; distinguiendo las distintas formas de clasificar y de caracterizar dichas figuras a través de su construcción geométrica, avanzando hacia la deducción y demostración de sus propiedades y relaciones. Comprende los conceptos de medida de longitud, medida angular, medida de superficie y demuestra propiedades que permitan calcular áreas y perímetros; reconociendo los distintos sistemas y unidades de medida en cada uno de ellos. Comprende el concepto de congruencia de figuras en el plano, y aplica los criterios de congruencia de triángulos para determinar si dos figuras son congruentes, como también para construir tesselaciones y así vincular el estudio de la geometría a diferentes manifestaciones del arte y la arquitectura, valorando a la Geometría como una disciplina muy ligada a la realidad de la humanidad y sus civilizaciones en distintas culturas y épocas.

Competencia 10 Promueve un ambiente propicio para el aprendizaje, estableciendo y manteniendo normas consistentes y consensuadas de disciplina en el aula que potencian el desarrollo social de los educandos para la vida en una sociedad democrática.

II. Aprendizajes esperados

Conceptuales

Comprende los conceptos de rectas y planos en el espacio, así como sus posiciones relativas, paralelismo, perpendicularidad e intersecciones. Comprende el concepto de ángulo diedro y triedro, sus elementos y características.

Conoce, caracteriza y clasifica los poliedros regulares, y comprende y utiliza la relación existente entre el número de caras, el número de vértices y el número de aristas de un cuerpo geométrico denominada Fórmula de Euler.

Deduce, demuestra y utiliza fórmulas adecuadas para calcular área y volumen de cuerpos geométricos, en resolución de problemas en diversos contextos

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Reconoce las características de cuerpos geométricos clasificándolos según criterios como: redondos y no redondos, superficies laterales curvas o paralelas, número de superficies basales, paralelismo de las superficies basales, etc.

Modela objetos de entorno su con cuerpos geométricos conocidos. Conoce, relaciona, selecciona y utiliza unidades de medida adecuadas para áreas y volumen para resolver problemas de la vida cotidiana.

Identifica los conocimientos previos referidos a figuras planas que permiten instalar un conocimiento específico de la geometría del espacio.

Procedimentales

Establece un criterio de secuencialidad entre los distintos contenidos de geometría referidos a cuerpos geométricos señalados en los Planes y Programas de 5° a 8° año de educación general básica.

Reconoce y analiza conceptos erróneos respecto de cuerpos geométricos que dificultan el aprendizaje de otros contenidos geométricos, y diseña y planifica estrategias de intervención para remediar esta situación.

Construye diferentes cuerpos geométricos diseñando su malla y evidenciando sus características.

Diseña actividades de aprendizaje que propicien la capacidad de razonamiento geométrico en los estudiantes, utilizando un software geométrico que permitan experimentar y recopilar información conducente a la elaboración de conjeturas.

Diseña planificaciones de clases referidas a cuerpos geométricos considerando los momentos de ella.

Diseña pruebas escritas que estén orientadas a la comprensión, la aplicación y la utilidad de lo aprendido respecto a cuerpos geométricos.

Actitudinales

Valora el aprendizaje sobre cuerpos geométricos como una herramienta para el desarrollo de la ubicación espacial en los niños.

Se da cuenta de las formas geométricas presentes en distintas manifestaciones artísticas.

Valora que en la geometría del espacio muchos objetos de la naturaleza se pueden modelar a través de cuerpos geométricos

II. Lecturas Requeridas: A) Lecturas obligatorias

Carreño, Ximena; Cruz, Ximena. Geometría. Arrayán. Santiago, Chile. 2004. Alsina, C.; Burgués, C.; Fortuny, J. Materiales para construir la Geometría. Colección

Matemáticas: Cultura y Aprendizaje. N°s 11. Síntesis. Madrid. 1991.

123

Alsina, C.; Burgués, C.; Fortuny, J. Invitación a la Didáctica de la Geometría. Colección Matemáticas: Cultura y Aprendizaje. N°s 12. Síntesis. Madrid. 1991.

MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para quinto año básico. Santiago, Chile

MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para sexto año básico. Santiago, Chile

MINEDUC,(1998). Planes y programas de estudio para séptimo año básico. Santiago, Chile

MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para octavo año básico. Santiago, Chile

B) Lecturas complementarias Riveros, Marta y otros. Resolver Problemas Matemáticos: una tarea de profesores

y alumnos. Ediciones Pontificia Universidad Católica de Chile. Santiago Chile. 2002 Gómez Chacón, M. Inés. Matemática Emocional. Narcea. Madrid. 2000. Gorgorió, N.; Deulofeu, J.; Bishop, A (coords.) Matemática y Educación. N° 154. Grao.

Barcelona. 2002.

IV. Otros recursos:http://nogal.mentor.mec.es/~lbag0000/html/cuerpos_geometricos.htmhttp://www.amejor.com/mates/poliedros/descripcion.htmhttp://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Departamentos/DMatem/2000/SEPTIEMBRE-EULER.htmlhttp://www.fuenterrebollo.com/Matematicos/areas-volumenes.html

http://www.educarioja.org/educarioja/pizarradigital/repositorio_pd/Cuerpos%20Geometricos.ppthttp://www.santillana.cl/futuro/figuras.htmhttp://www.kokone.com.mx/tareas/figuras/home.html

V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias. (Indique las principales actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los estándares y competencias del perfil de egreso)

1. Identifica y caracteriza Cuerpos Geométricos Estándar 7 /Competencia 1

En forma individual cada alumno investiga en los diversos medios sugeridos por el profesor u otros e identifica los distintos cuerpos geométricos y los relaciona con objetos reales, naturales o tecnológicos. Los caracteriza (caras, aristas, diagonales, altura, apotema, etc.) y agrupa de acuerdo a distintos criterios (redondos, poliedros; rectos, oblicuos; regulares, irregulares; etc.) Elabora un mapa conceptual del concepto Cuerpo Geométrico.

2. Construye Cuerpos Geométricos y Elabora una Pauta de evaluación de los trabajos Estándar 7 / Competencia 4

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Cada alumno Identifica las redes de los distintos cuerpos geométricos y construye a lo menos cinco de ellos. En forma grupal, y previo a la construcción, elaboran en conjunto con el profesor, una pauta de evaluación del trabajo de construcción. De acuerdo a la pauta elaborada, las construcciones son coevaluadas por grupos de dos alumnos. (cada pareja evalúa el trabajo de dos alumnos)

3. Producen una Exposición con charlas para alumnos de básica de la comunidad circundante Estándar 7 / Competencia 10

Todo el curso, generando comisiones, diseñan, organizan y realizan una exposición de los trabajos de construcción realizados. Durante la exposición realizan una charla para alumnos de 5° a 8° básico sobre los cuerpos geométricos, sus características, su presencia en la naturaleza y su utilización en creaciones humanas (construcciones milenarias y actuales, tiendas de campaña, cúpulas, invernaderos, etc.).

4. Investiga la vinculación de los Cuerpos Geométricos con otras áreas del curriculum en los niveles de 5° a 8° Básico ______Estándar 7 / Competencia 2

En grupos de cuatro, los alumnos revisan los planes y programas de 5° básico a 1° medio, establecen la presencia y secuencia de los contenidos sobre cuerpos geométricos y su posible vinculación con los otros sectores de aprendizaje. Cada grupo emite un informe escrito proponiendo un plan para enseñarlo.

5. Resuelve problemas considerando volúmenes de cuerpos y áreas de figuras Estándar 7 / Competencia 1

Los alumnos, en forma individual o grupal resuelven una guía de ejercicios y problemas propuestos por el profesor que den cuenta de su comprensión (analizan, sintetizan o hacen una interpretación personal de lo aprendido y valoran o emiten juicios sobre lo aprendido) del contenido y de su aplicación a la resolución de problemas, especialmente de capacidades, superficies y modelos. (espacios arquitectónicos, empaques y contenidos, descripciones atómicas y moleculares, etc.)

Pauta para la Evaluación Clave 1. Estándar 7 / Competencia 1 y 4

2. Justificación (¿Por qué tiene que saber/hacer esto un/una profesor de segundo ciclo?):

La geometría de los cuerpos geométricos y su construcción permite que el estudiante desarrolle una interpretación del espacio tridimensional, la generación de formas y relaciones, el diseño de diferentes tipos de mallas de distintas rigideces y capacidad de cobertura, representaciones de cuerpos o combinaciones de cuerpos y su relación área / volumen. Es útil además para evidenciar el fenómeno de la conservación del contenido bajo distintas formas, etc. Por otro lado, la comprensión de las formas espaciales colabora en la construcción e interpretación de modelos de redes cristalinas, modelos atómicos y moleculares, modelos víricos y otros.

125

La postergación sistemática de la geometría tridimensional en el curriculum realizado por los profesores, hasta ahora, ha producido una pérdida de conocimiento social de interpretación del medio natural, el cual debemos recuperar y proponemos hacerlo a través del desarrollo en profundidad de este programa.

3. Pre-requisitos:(lo que los estudiantes deben saber y deben saber hacer antes de la evaluación):

Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formación son capaces de: Distinguir las distintas formas geométricas planas Conocer y aplicar los teoremas básicos de triángulos y polígonos Medir, recortar y pegar en forma rigurosa y limpia Diseñar las redes de los distintos cuerpos geométricos Construir los distintos cuerpos geométricos Interpretar las propiedades de los cuerpos geométricos y aplicarlas al diseño o recreación

de problemas de aplicación.

4. Descripción breve de la evaluación:

Los profesores en formación, en grupo de tres diseñarán las redes y construirán cinco cuerpos geométricos, elegirán uno y expondrán a sus compañeros todas sus características y posibles aplicaciones en la vida natural y social. Cada grupo debe elaborar o recrear dos problemas de aplicación de algún cuerpo geométrico. El grupo producirá un informe escrito adjunto a los cuerpos construidos. Cada integrante del grupo realizará un reporte personal de no más de una plana señalando qué aprendió (qué nuevas distinciones adquirió) con este trabajo, qué es capaz de realizar con dichas distinciones y qué estado de ánimo le produjo la actividad.

5. Describa los pasos de la evaluación en detalle

Paso 1:El profesor negociará con los alumnos una estrategia para formar los grupos de trabajo y entregará por escrito una pauta con las indicaciones para realizar el trabajo de diseño, construcción, exposición y aplicación de los cuerpos geométricos.

Paso 2:Los estudiantes, en grupo deliberan sobre los aprendizajes esperados que deben evidenciar en esta evaluación, sobre las actividades que pueden desarrollar para lograr lo solicitado, sobre la forma cómo van a constituir su equipo de trabajo, sobre las responsabilidades que adquirirá cada uno, sobre los tiempos disponibles para lograr el producto comprometido, etc. y dejarán por escrito un acta con las promesas que tiene cada uno, a quién le debe responder y en qué tiempo. Para los pasos 1 y 2 los alumnos contarán con una sesión de 90 min.

Paso 3:Los estudiantes, constituidos en equipo, traerán a la sesión todos los materiales (redes dibujadas, tijeras, regla, pegamento, etc.) preparados para la construcción de los cuerpos y los construirán. Elegirán o inventarán dos problemas de aplicación para ser presentados a sus compañeros. Dispondrán para ello de una sesión de 90 min.

Paso 4:

126

Cada grupo presentará a sus compañeros uno de los cuerpos construidos por ellos exponiendo sus características y propiedades, y explicará uno de los problemas elegido o inventado. Dicha presentación será coevaluada por los compañeros con una pauta previamente elaborada y negociada entre los alumnos y el profesor. Cada grupo dispondrá de 30 min. máximo para hacer su exposición. Se medirá, entre otros indicadores, organización de la exposición y capacidad de síntesis. Todos los alumnos del grupo deben intervenir en la exposición y la coevaluación será personal para cada uno.

Paso 5:Cada alumno, en forma individual realizará un reporte de lo que aprendió con este trabajo, lo que puede realizar con las nuevas distinciones adquiridas y del estado de ánimo que la actividad le produjo.

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6. Puntuación de los Pasos/Trabajos para la evaluación:

Puntos1. Cuerpos geométricos (Estándar 7 / Competencia 1) 30 (rúbrica)

2. Problemas de aplicación (Estándar 7 / Competencia 4) 20 (rúbrica)

3. Exposición de su trabajo (Estándar 7 / Competencia 1) 30 (rúbrica)

4. Reporte personal (Estándar 7 / Competencia 1) 10 (rúbrica)

5. Coevaluación (Competencia 4) _10__

Total de puntos 100

7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

Pauta con las indicaciones para realizar el trabajo y los aprendizajes esperados Apuntes de clases Materiales traídos por los alumnos, incluido textos si así lo estiman Pauta de coevaluación Data, computador, pizarra para la exposición.

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Rúbrica de evaluación

Evaluación clave No logra estándar0 pts.

Logra estándar parcialmente

4 pts.

Logra estándar superficialmente

6 pts.

Logra estándar con profundidad

8 pts.Puntos

Construcción de cinco cuerpos geométricos y emisión de Informe

Construye uno o dos cuerposNo expone sus propiedades ni característicasNo muestra aplicacionesSe evidencian errores en el informe

Construye más de dos cuerpos o ninguno de ellos irregularExpone en forma incompleta sus características y propiedadesNo muestra aplicacionesEl informe aparece incompleto

Construye los cinco cuerpos, pero ellos sólo se refieren a poliedros simples (prisma o pirámide recta regular)Sus características y propiedades están completas y correctasEl informe está completo pero superficial

Construye los cinco cuerpos considerando distintos tipos (regular, irregular, prisma, pirámide, recto, oblicuo, prisma triangular descompuesto en tres pirámides de igual volumen, etc.)Sus características y propiedades están completas, correctas y relacionadasEl informe está completo y agrega valor con apreciaciones personales y relaciona los distintos conceptos

Creación o recreación de dos problemas de aplicación, mostrando enunciado, solución y análisis

Presenta los dos problemas sin relación a cuerpos geométricos, presenta un solo problema o no presenta problemas.No presenta las soluciones

Presenta los dos problemas muy simples (aplicaciones directas). Presenta las soluciones

Presenta un problema interesante (que relaciona más de tres conceptos en a lo menos dos áreas del saber).Presenta un problema que contienen sólo aplicaciones directas.

Presenta los dos problemas relacionando más de dos conceptos y a lo menos dos áreas del saber en cada uno.Presenta diversas alternativas de solución y un análisis de ellas.

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Presenta las soluciones

Exposición del trabajo a sus compañeros

Las ideas son poco claras, su lenguaje es pobre, no sabe responder preguntas relacionadas con su presentación

Las ideas presentadas son claras y precisas, pero son aisladas.Responde algunas preguntas relacionadas con su presentación

Presenta ideas claras, precisas, relacionadasResponde a todas las preguntas que se le hagan relacionadas con su presentación

Presenta un cuerpo geométrico complejo, sus ideas son claras y precisas. Las propiedades y características del cuerpo se exponen integradas y aplicadas.

Reporte personal No responde ninguna de las tres preguntas

Responde una o dos preguntas

Responde las tres preguntas sin argumentar sus afirmaciones

Responde y argumenta las tres preguntas

PUNTOS TOTAL

130

Asignatura: Estadística Básica.Autor(a)/Universidad: Salim Elal Olivero y Manuel Barahona Droguett Universidad de AtacamaHoras presenciales por semanas: 4 horasHoras requeridas del alumno por semana fuera del aula: 4 horas

Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Enseñanza Básica.

El profesor especialista para el segundo ciclo de Enseñanza Básica es un profesional con sólida formación pedagógica y disciplinaria en, al menos, un sector del aprendizaje, con autonomía para tomar decisiones informadas. Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación para desarrollar las competencias que le permiten responsabilizarse de los procesos y resultados de su enseñanza. En colaboración con la familia y comunidad se compromete con el logro de aprendizajes que potencien el desarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantes preadolescentes. Participa en acciones de cooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidad de la educación que ofrece su institución escolar.

ALINEACION CON ESTANDARES Y COMPETENCIAS.

I. Estándares y Competencias del perfil de egreso relacionados con el curso.

El curso, sus expectativas de logro, lo que se le pide al alumno hacer, y las evaluaciones, han sido alineadas con los estándares y competencias del perfil de egreso para la formación inicial de profesores del segundo ciclo básico.

(A) Los siguientes estándares tienen un énfasis principal en este curso.

Estándar 10 Comprende y aplica conceptos y técnicas estadísticas requeridas para recopilar, organizar, representar, analizar e interpretar conjuntos de datos a partir del planteamiento, discusión y resolución de problemas extraídos de la vida real, teniendo en vista la organización de su enseñanza. (B) Las siguientes competencias del perfil de egreso tienen un énfasis principal en este curso.

Competencia 1, Eje 2. Comprende con amplitud y profundidad las disciplinas del sector de aprendizaje que es responsable de enseñar.

Competencia 4, Eje 2 Comprende el amplio rango de procedimientos evaluativos y los usa para monitorea el avance y logro de las metas de aprendizaje.

131

Competencia 5, Eje 2. Utiliza los resultados de las evaluaciones para retroalimentar a los educandos y ajustar sus planificaciones y estrategias didácticas.

Competencia 6, Eje 2. Selecciona y diseña recursos y situaciones de aprendizaje pertinentes y significativas para presentar ideas y conceptos disciplinarios a los estudiantes del nivel que enseña.

(C) Los siguientes estándares tienen un énfasis secundario en el perfil de egreso.

Estándar 1. Comprende los números naturales como abstracción de las cantidades discretas y los distingue de sus representaciones disponiendo así de modelos para interpretar situaciones y resolver problemas reales de orden y conteo, aditivos y multiplicativos, de divisibilidad y restos.

Estándar 4. Comprende la modelación de situaciones referidas a cuocientes, razones, tasas, proporciones, probabilidades, repartos y fraccionamientos, por medio del sistema de números racionales y sus registros de representación para aplicarla en la resolución de problemas asociados a fenómenos naturales y sociales, teniendo en vista la organización de su enseñanza.

(D) Las siguientes competencias del perfil de egreso tienen un énfasis secundario.

Competencia 6, Eje 2. Selecciona y diseña recursos y situaciones de aprendizajes pertinentes y significativos para presentar ideas y conceptos disciplinarios los estudiantes del nivel que enseña.

II APRENDIZAJES ESPERADOS Son los aprendizajes claves para el logro de los estándares/competencias.

Conceptual

Conozca el desarrollo histórico de la estadística y explique el por qué la necesidad de la sociedad, en su conjunto, de recolectar datos e información en el contexto de su evolución y perfeccionamiento.

Comente las características del quehacer estadístico en el mundo moderno y relacione dichas características en disciplinas tales como negocios, economía, demografía, ingeniería, salud, seguros, educación, medicina, psicología y otras.

Identifique tipos de variables: sean estas cualitativas, tanto ordinales como nominales, o bien cuantitativas, las cuales pueden ser continuas y discretas, tomadas en contextos de la vida diaria.

132

Comprenda las técnicas para agrupar datos en tablas de distribución de frecuencias y la posterior descripción y análisis del comportamiento de dichos datos.

Procedimental

Recopile información de situaciones de la vida diaria y planteé problemas que para ser resueltos requieran de una recolección y análisis de datos.

Organice conjuntos de datos presentándolos a través de tablas de distribución de frecuencias o bien por medio de gráficos.

Actitudinal

Aprecie la importancia de manejar las medidas de tendencia central y las medidas de dispersión para caracterizar un conjunto de datos.

Acceda a software estadístico adecuado para la presentación y análisis de datos.

III LECTURAS REQUERIDAS.

TEXTOS OBLIGATORIOS:

[1] J.P. Guilford – Benjamín Fruchter, Estadística Aplicada a la Psicología y la Educación, Mc Graw Hill, Mexico, 1984 Capítulos 1 al 6[2] Guillermo Briones, Análisis e Interpretación de datos, Formación de Docentes en Investigación Educativa, SECAB, Santa Fé de Bogota, Colombia, 1992.Capitulo 1

Leonidas Espina M. Estadística Elemental Imprenta Universitaria S.A, Santiago Chile 1998 . Capítulos 1 al 6[4] Maria José Fernández et al, 225 Problemas de Estadística Aplicada a las Ciencias Sociales, Editorial Síntesis, Madrid, España, 1992.Capítulos 1 y 2[5] Milton Smith, Estadística Simplificada Para Psicólogos y Educadores, El Manual Moderno, S.A, Mexico, 1971.Capítulos 1 al 6

Murray R.Spiegel, Estadística Serie de compendios Schaum’s, Mexico 1995, Capitulo 1 al 4

LECTURAS COMPLEMENTARIAS

Rodrigo Bamón, Patricio González, Jorge Soto, Matemática Activa Segundo Año Medio, Editorial Mare Nostrum y Teduca Editora, Santiago, Chile, 2005[8] Rodrigo Bamón, Patricio González, Carmen Medina, Jorge Soto, Matemática Activa Tercer Año Medio, Editorial Universitaria, Editorial Mare Nostrum, Santiago, Chile, 2005.[9] Jorge Soto Andrade, Patricio González, Matemática Texto Para el Estudiante, Cuarto Año Medio, Editorial Mare Nostrum y Teduca S. L, Santiago Chile, 2005.[10] Educación Matemática, Programas de Estudio de quinto, sexto, séptimo y octavo año básico, Ministerio de Educación, República de Chile, 1999.

IV OTROS RECURSOS.

133

[1] Software: Excel[2] Software: Statistic.[3] statgrafic

V Trabajos del alumno y su relación con el logro de Estándares y Competencias. (indique las principales actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los estándares y competencias del perfil de egreso)

1. Mostrar resumidamente la información. Estándar 10, 1, 4/ Competencias 6

Construya un conjunto de datos y represéntelos mediante diferentes tipos de gráficos. Verifique los resultados utilizando un software estadístico apropiado.

2. Cálculo de indicadores de tendencia central. Estándar 10, 1, 4/Competencias 6

Calcule las medidas de tendencia central, basado en un conjunto de datos, y determine cual de estas representa mejor a la dicha información, atendiendo a su distribución. Verifique los resultados utilizando un software estadístico

3. Comparación de datos. Estándar 11, 1, 4 / Competencia 6 .Datos bivariados. Análisis de la información bivariada. Atendiendo a la naturaleza de la información (cuantitativa y cualitativa) estudiar la Correlación existente entre variables en estudio.

Pauta para la evaluación clave

EVALUACIÓN CLAVE 1

1. Estándar 10 / Competencias 6

2. Justificación: (¿por qué tiene que saber/hacer esto un/profesor de 2º ciclo?.)

Organización y análisis de la información En un mundo que nos bombardea constantemente con información de tipo cuantitativo y cualitativo, de resultados de encuestas, tales como variaciones esperadas en los índices económicos, de salud, de la educación y de otros ámbitos de la sociedad, de una lista interminable de información entregada mediante gráficos, cifras y datos, que nos muestra una realidad sumergida en la incertidumbre, el profesor tiene que saber organizar dicha información y dimensionar la realidad que dicha información nos quiere mostrar.

3. Pre-requisitos: (Lo que los estudiantes deben saber y saber hacer: antes de la evaluación)

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(a) Conocer el conjunto de los números reales, sus propiedades y las Operaciones que se pueden realizar con dicho conjunto.(b) Graficar en el Sistema Cartesiano de Coordenadas.

4. Descripción breve de la evaluación.Aplicar las técnicas propias de la estadística, a un conjunto de datos, con el fin comprender mejor la información que dichos datos nos muestran.

5. Describa los pasos de la evaluación en detalle.

Paso 1. Recolecte y construya una base de datos relativo a un problema dado y analice el tipo de datos que se ha recopilado, el que puede ser cualitativo o cuantitativo.

Paso 2. Agrupe y organice la información de acuerdo al tipo de datos de que se trate, esto es, si fuesen datos de naturaleza cuantitativa o cualitativa, presentándolos de acuerdo a las técnicas estadísticas enseñadas. Utilice un software especializado si fuese necesario.

Paso 3. Analice los datos utilizando para ellos indicadores estadísticos apropiados que permitan caracterizar la información de acuerdo al problema planteado.

Paso 4. Explique claramente el planteamiento del problema y la solución hallada de manera que pueda observarse que ha entendido, aprendido y aplicado correctamente las técnicas de la estadística y utilice en su exposición herramientas tales como computador, software, power point, y otros que considere pertinente.

6. Puntuación de los Pasos/Trabajos para la evaluación PUNTOS

PASO 1. Construcción de la base de datos 10PASO 2. Organización y presentación de la Información 30PASO 3. Caracterización de la Información, basandose

en estadísticos de tendencia central y de dispersión 40

PASO 4. Exposición, utilizando herramientas adecuadas 20

Total de puntos 100

7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

1. Uso de reglas, escuadras, compás, transportador, calculadoras manuales, papel milimetrado. 2. Uso de Calculadora manual, Tecnología mas avanzada como Power point y Software estadístico 3. Textos y Apuntes

Rúbrica de evaluación

Evaluación clave Insatisfactorio Básico Competente Destacado Recolecte y construya una base de datos relativo al problema y

El estudiante no logra explicar el problema dentro de un contexto,

El estudiante logra explicar el problema dentro de un contexto,

El estudiante entiende el problema correctamente,

El estudiante logra explicar

135

analiza el tipo de datos que ha recopilado, el que puede ser cualitativo o cuantitativo.

Agrupe y organice la información de acuerdo al tipo de datos de que se trate, esto es, si fuesen datos de naturaleza cuantitativa o cualitativa, presentándolos de acuerdo a las técnicas estadísticas aprendidas.

Analice los datos utilizando para ello indicadores estadísticos apropiados que permitan caracterizar la información de acuerdo al problema planteado.

Explique claramente el planteamiento del problema y la solución alcanzada de manera que pueda observarse que ha entendido, aprendido y aplicado correctamente las técnicas de la estadística y utilice en su exposición herramientas tales como computador, software, power point, y otros que considere pertinente.

no identifica variables y no recolecta datos.

No agrupa y no organiza la información ya que no reconoce las variables y no recoge datos.

No analiza los datos al no contar con la base de datos.

No explica

identifica variables, recolecta datos pero no distingue la naturaleza de los datos.

Agrupa y organiza la información de acuerdo a la identificación de los datos dados por él.

Analiza los datos incorrectamente causa de la incorrecta identificación de la variable.

Intenta dar una explicación que arrastra los errores cometidos a causa de la incorrecta identificación de la variable.

construye una base de datos y distingue el tipo de datos,

Agrupa y organiza la información correctamente de acuerdo a las técnicas estadísticas.

Analiza los datos correctamente utilizando los estadísticos apropiados.

Explica claramente el problema, pero no utiliza las Tics.

el problema dentro de un contexto, identifica variables y distingue la naturaleza de los datos entregando mas información acerca de ellos.

Agrupa y organiza la información correctamente de acuerdo a las técnicas estadísticas aprendidas y las corrobora mediante un software estadístico .

Analiza los datos correctamente utilizando los estadísticos apropiados y corrobora sus resultados con un software.

Explica claramente el problema utilizando los estadísticos apropiados y emplea Tics en su exposición.

Asignatura: Transformaciones IsométricasAutor(a)/Universidad: Andrés Ortiz, Universidad de Concepción Ximena Cruz, Universidad de Tarapacá

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Horas presenciales por semana: 4 hrs.Horas requeridas del alumno por semana afuera del aula: 6hrs

Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica

El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es un profesional con sólida formación pedagógica y disciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje, con autonomía para tomar decisiones informadas.Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación para desarrollar las competencias que le permiten responsabilizarse de los procesos y resultados de su enseñanza.En colaboración con la familia y comunidad, se compromete con el logro de aprendizajes que potencien el desarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantes preadolescentes. Participa en acciones de cooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidad de la educación que ofrece su institución escolar

ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS

I. Estándares y Competencias del perfil de egreso relacionado al curso.

El curso de Transformaciones Isométricas está diseñado para lograr con especial énfasis los estándares y competencias del perfil que a continuación se indican:

Estándar 8:Comprende las características que son propias de cada uno de los distintos tipos de transformaciones isométricas: traslación, rotación, simetría puntual y axial. Reconoce transformaciones isométricas en variados contextos, tanto cotidianos como artísticos, identificando su tipo y los elementos que la generaron. Aplica transformaciones y usa simetrías para analizar y resolver problemas geométricos, así como para ilustrar propiedades de figuras geométricas. Además, está en condiciones de organizar, planificar, diseñar actividades de aprendizaje basada en la resolución de problemas para los contenidos presentes en el marco de los planes y programas vigentes en Matemática y de generar instancias evaluativas de estos aprendizajes.

Competencia 1, Eje 2Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas del sector de aprendizaje que es responsable de enseñar.

Competencia 2, Eje 2 Comprende el marco curricular nacional y los mapas de progreso para el sector curricular que enseña y utiliza este conocimiento para planificar su enseñanza.

Competencia 7, Eje 2

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Crea experiencias de aprendizaje interdisciplinarias que permiten a los estudiantes integrar el conocimiento, destrezas y métodos de investigación de diversos sectores de aprendizaje.

El (los) siguiente estándar(es)/competencia(s) tiene(n) un énfasis secundario en este curso:

Estándar 6Comprende la estructura axiomática de la geometría euclidiana y las nociones básicas de punto, recta, trazo, rayo. Comprende el concepto de distintas figuras geométricas tales como ángulo, polígono (centrado en el triángulo y el cuadrilátero), circunferencia y las regiones que ellas delimitan; distinguiendo las distintas formas de clasificar y de caracterizar dichas figuras a través de su construcción geométrica, avanzando hacia la deducción y demostración de sus propiedades y relaciones. Comprende los conceptos de medida de longitud, medida angular, medida de superficie y demuestra propiedades que permitan calcular áreas y perímetros; reconociendo los distintos sistemas y unidades de medida en cada uno de ellos. Comprende el concepto de congruencia de figuras en el plano, y aplica los criterios de congruencia de triángulos para determinar si dos figuras son congruentes, como también para construir tesselaciones y así vincular el estudio de la geometría a diferentes manifestaciones del arte y la arquitectura, valorando a la Geometría como una disciplina muy ligada a la realidad de la humanidad y sus civilizaciones en distintas culturas y épocas.

Organiza, planifica y diseña actividades que direccionen los procesos de enseñanza hacia procesos de conceptualización de los distintos objetos geométricos para inducir en forma comprensiva la clasificación de figuras en los niños, para generar la necesidad de usar regla y compás en construcciones geométricas, para deducir propiedades a partir de figuras construidas geométricamente o en software de geometría dinámica, y para deducir propiedades métricas. Diseña planificaciones de enseñanza que sean coherentes con las orientaciones didácticas presentes en el marco de los programas oficiales y con enfoques cognoscitivos actuales acerca del aprendizaje.

Competencia 10, Eje 2Promueve un ambiente propicio para el aprendizaje, estableciendo y manteniendo normas consistentes y consensuadas de disciplina en el aula que potencian el desarrollo social de los educandos para la vida en una sociedad democrática.

II. Aprendizajes esperados (los aprendizajes claves para el logro de los estándares / competencias)

Conceptual

Reconoce y comprende las traslaciones, simetrías puntuales, simetrías axiales y rotaciones de figuras.

138

Procedimental

Utiliza simetrías en triángulos y cuadriláteros para clasificarlos, ilustrar propiedades, y resolver problemas en diversos contextos.

Construye traslaciones, simetrías puntuales, simetrías axiales y rotaciones de figuras, usando regla y compás y software de construcciones geométricas.

Establece una secuencialidad entre los distintos contenidos de geometría referidos o asociados a transformaciones isométricas señalados en los Planes y Programas de 5° básico a 1° medio.

Actitudinal

Valora la importancia de la presencia de las transformaciones isométricas en el arte y arquitectura, identificando el tipo de transformación presente en determinadas obras.

III. Lecturas Requeridas:

A) Lecturas obligatorias Jaime Pastor, A.; Gutiérrez Rodríguez, A; (1996) "El grupo de las isometrías en el

plano", Editorial Síntesis. ISBN: 8477383464. - 1ª Ed. Síntesis. Carreño, Ximena; Cruz, Ximena. Geometría. Arrayán. Santiago, Chile. 2004. Alsina, C.; Burgués, C.; Fortuny, J. Materiales para construir la Geometría. Colección

Matemáticas: Cultura y Aprendizaje. N°s 11. Síntesis. Madrid. 1991. Alsina, C.; Burgués, C.; Fortuny, J. Invitación a la Didáctica de la Geometría.

Colección Matemáticas: Cultura y Aprendizaje. N°s 12. Síntesis. Madrid. 1991. Alsina, C.; Burgués, C.; Fortuny, J. Simetría Dinámica. Colección Matemáticas: Cultura

y Aprendizaje. N°s 13. Síntesis. Madrid. 1991.

B) Lecturas complementarias http://www.uv.es/Angel.Gutierrez/archivos1/textospdf/Jai93.pdf http://www.uv.es/Angel.Gutierrez/archivos1/textospdf/Gut90a.pdf Gómez Chacón, M. Inés. Matemática Emocional. Narcea. Madrid. 2000. Gorgorió, N.; Deulofeu, J.; Bishop, A (coords.) Matemática y Educación. N° 154. Grao.

Barcelona. 2002. Riveros, Marta; Zanocco, Pierina y otros. Resolver Problemas Matemáticos: una

tarea de profesores y alumnos. Ediciones Pontificia Universidad Católica de Chile. Santiago Chile. 2002

IV. Otros recursos: http://centros5.pntic.mec.es/sierrami/dematesna/demates12/opciones/Mundo

%20Poliedros/Poliedros%20y%20Teselaciones/Tesselmania%20Demo.htm http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/teselacion/Otras_teselaciones.htm http://www.comenius.usach.cl/webmat2/programa (ver Unidad 3) http://www.dmat.udec.cl/~ivcifuentes/ http://www.geometriadinamica.cl/

139

V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias. (Indique las principales actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los estándares y competencias del perfil de egreso)

1. Construcciones de transformaciones isométricas Estándar 8-6 /Competencia 1

Construye traslaciones, simetrías y rotaciones utilizando regla y compás indicando las características que las distinguen.

2. Utilizar las simetrías para clasificar triángulos y cuadriláteros Estándar 8 – 6 /Competencia1

Construye simetrías axiales en diferentes triángulos y cuadriláteros utilizando diferentes ejes de simetría, y reconoce que en algunos casos la simetría genera una figura coincide con la figura original, mencionando en forma explícita las condiciones que se deben dar con el cuadrilátero y el eje para que se cumpla dicha condición.3. Transformaciones Isométrica en el Arte y la Arquitectura Estándar 8 /Competencias7-10

Elaboran y exponen grupalmente un informe de investigación acerca de los grupos de simetrías y su vinculación y presencia en las obras de arte más importantes del medio oriente como también en algunas obras arquitectónicas4. Tesselaciones y Uso de TIC’s Estándar 8 / Competencia 7

En forma individual cada alumno elabora una presentación en power point que contenga tres digitalizaciones de pinturas de M. Escher en las cuales se logre establecer como las transformaciones isométricas contribuyen a la construcción de dichas obras de arte. Para ello, dentro de la misma presentación debe incluir links con archivos sharware especializados en tesselaciones (ej. tesselmania) y también con sitios web que muestren como a partir de una o más transformaciones isométricas se pueden construir tesselaciones y en particular algunas pinturas de M. Escher

5. Transformaciones Isométricas y su vinculación con el Marco Curricular Vigente Estándar 8 / Competencia 2

Analiza los Planes y Programas y los Textos de Enseñanza de circulación nacional de 3° básico a 1° medio y señala en qué niveles se analizan los contenidos de transformaciones isométricas sus grados de complejidad de acuerdo al nivel y establece una secuencialidad en ellos. El análisis debe considerar el aspecto conceptual de cada una de las transformaciones isométricas presentes tanto en el Marco Curricular como en los textos de Enseñanza.

Pauta para la Evaluación Clave

EVALUACION CLAVE 1

1. Estándar 8 / Competencia 1-7

2. Justificación (¿Por qué tiene que saber/hacer esto un/una profesor de segundo ciclo?):

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Un(a) profesor(a) de 2° ciclo debe ser capaz de comprender las características que son propias de cada uno de los distintos tipos de transformaciones isométricas: traslación, rotación, simetría puntual y axial; construirlas con regla y compás, y con software geométrico; y reconocerlas en variados contextos, tanto cotidianos como artísticos, identificando su tipo y los elementos que la generaron.

3. Pre-requisitos: (lo que los estudiantes deben saber y deben saber hacer antes de la evaluación):

Los estudiantes deben: Comprender y reconocer los conceptos de rectas perpendiculares y paralelas, punto

medio, ángulo, triángulo. saber hacer construcciones geométricas: rectas perpendiculares y paralelas; simetral de

un trazo saber a nivel de usuarios el manejo de algún software geométrico

4. Descripción breve de la evaluación:

Realizarán construcciones con regla y compás, y construcciones utilizando software geométrico de diferentes tipos de transformaciones geométricas reconociendo en cada una de ellas las características que las distinguen y diferencian. Además reconocerán dichas transformaciones en diferentes contextos del ámbito geométrico y artístico.

5. Pasos de la Evaluación (Describa los pasos de la evaluación en detalle)

Paso 1:Dadas 4 figuras en hojas blancas no cuadriculadas, los estudiantes individualmente construirán con regla y compás según distintas condiciones, una traslación, una simetría axial, una simetría puntual y una rotación.

Paso 2:Dado un set de pares de figuras, deberán reconocer, trabajando individualmente, en cuáles de ellas hay una transformación isométrica y de qué tipo es, fundamentando la elección indicando claramente el vector y su magnitud en el caso de la traslación, el punto de simetría en el caso de la simetría puntual, el eje de simetría en el caso de la simetría axial, el punto de giro y medida angular en el caso de la rotación.

Paso 3:Trabajando en parejas frente a un computador con una guía de aprendizaje resuelven situaciones problemáticas de construcción de transformaciones isométricas utilizando un software geométrico y reconocen atributos propios de las traslaciones, rotaciones y simetrías utilizando el software

Paso 4:Dada la imagen de una pintura de M. Escher que contenga transformaciones isométricas los alumnos reconocerán al menos dos tipo de ella caracterizándolas completamente.

141

6. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

Instrumentos de construcción y medición (regla, compás y transportador) Internet y algunos Sitios web

142

Rúbrica de evaluación

EVALUACIÓNCLAVE 1

Insatisfactorio0 puntos

Básico3 puntos

Competente6 puntos

Destacado8 puntos Puntos

Construcción, en hojas blancas, de una traslación, una simetría axial, una simetría puntual y una rotación; cada una con una descripción del proceso e identificación de los elementos básicos

Construye 1 o 2 transformaciones sin descripción del proceso ni identificación de los elementos básicos

Construye las 4 transformaciones sin descripción del proceso ni identificación de los elementos básicos

Construye las 4 transformaciones describiendo el proceso, pero sin identificar los elementos básicos

Construye las 4 transformaciones describiendo el proceso e identificando los elementos básicos en cada una

En un set de pares de figuras, los alumnos reconocen en cuáles de ellas hay una transformación isométrica y de qué tipo es, fundamentando la elección indicando claramente el vector y su magnitud en el caso de la traslación, el punto de simetría en el caso de la simetría puntual, el eje de simetría en el caso de la simetría axial, el punto de giro y medida angular en el caso de la rotación.

Reconoce 1 o 2 transformaciones sin fundamentar ni indicar los elementos solicitados

Reconoce cuatro transformaciones sin fundamentar ni indicar sus elementos

Reconoce las cuatro transformaciones, fundamenta su elección, pero no indica los elementos solicitados

Reconoce las cuatro transformaciones, fundamenta su elección e indica los elementos solicitados

Cada pareja construye cuatro transformaciones isométricas, una de cada tipo, utilizando un software geométrico

Construye sólo un tipo de transformaciones

Construye dos tipos de transformaciones distintas

Construye tres tipos de transformaciones distintas

Construye cuatro tipos de transformaciones distintas

En pinturas de M. Escher, los alumnos reconocerán al menos

No identifica transformaciones

Identifica una transformación,

Identifica dos transformaciones

Identifica dos transformaciones y

143

dos tipos de transformaciones, identificándolas con todos sus elementos

pero no la caracteriza sin caracterizarlas las caracteriza.

144

EVALUACION CLAVE 2

1. Estándar 8-6 / Competencia 1-2

2. Justificación (¿Por qué tiene que saber/hacer esto un/una profesor de segundo ciclo?):

Un(a) profesor(a) de 2° ciclo debe ser capaz de usar simetrías para analizar y resolver problemas geométricos, así como para reconocer el tipo de triángulo o cuadrilátero de acuerdo al número de ejes de simetrías presentes. Además, debe estar en condiciones de reconocer en los planes y programas de 4° básico a 1° medio los contenidos referidos a transformaciones isométricas, relacionarlos con los aprendizajes esperados y crear indicadores de logro de dichos aprendizajes. Esto último es una manera de que el alumno se adueñe de los conocimientos, los aprehenda y desarrolle la capacidad de preguntar al mismo tiempo que de responder.

3. Pre-requisitos: (lo que los estudiantes deben saber y deben saber hacer antes de la evaluación):

Los estudiantes deben: Comprender y reconocer los conceptos de triángulo, cuadriláteros y sus clasificaciones

y propiedades. Saber hacer construcciones geométricas: rectas perpendiculares y paralelas; simetral

de un trazo, elementos secundarios del triángulo. Ubicar en los Planes y Programas de estudio los contenidos referidos a

Transformaciones Isométricas y relacionarlos con los aprendizajes esperados. Crear indicadores de logro para evaluar aprendizajes de transformaciones isométricas.

4. Descripción breve de la evaluación:

Realiza construcciones geométricas de simetrías utilizándolas para la comprensión del tipo de clasificación de triángulos y cuadriláteros centrada en ejes de simetría. Además analiza los planes y programas en los tópicos referidos a transformaciones isométricas, los relaciona con los aprendizajes esperados y crean indicadores de logro para su evaluación.

5. Pasos de la Evaluación (Describa los pasos de la evaluación en detalle)

Paso 1:Trabajando individualmente construye la simetría axial en 4 triángulos: uno equilátero, uno isósceles, uno isósceles rectángulo y otro escaleno utilizando diferentes ejes de simetría reconociendo que en algunos de esos triángulo la simetría genera una figura semejante con el triángulo original, mencionando en forma explícita las condiciones que se deben dar con el triángulo y el eje para que se cumpla dicha condición y además estableciendo la clasificación de acuerdo a los ejes de simetría.

Paso 2:Trabajando individualmente construye la simetría axial en 5 cuadriláteros: un cuadrado, un romboide, un rectángulo, un trapecio isósceles y un cuadrilátero cualquiera utilizando diferentes ejes de simetría reconociendo que en algunos de esos cuadriláteros la simetría genera una figura coincidente con el cuadrilátero original, mencionando en forma explícita las condiciones que se deben dar con la figura de 4 lados y el eje para que se cumpla dicha condición y además estableciendo la clasificación de acuerdo a los ejes de simetría.

145

Paso 3:En grupos de dos o tres, los alumnos desarrollan un mapa conceptual que relacione los siguientes conceptos: ejes de simetría, tipo de cuadriláteros, paralelogramos, trapecios.

Paso 4:En grupos de dos o tres, los alumnos desarrollan un mapa conceptual que relacione los siguientes conceptos: ejes de simetría, tipo de triángulos.

Paso 5:En grupos de dos o tres, los alumnos analizan los planes y programas de 3° básico a 1° medio para reconocer los contenidos referidos a transformaciones isométricas presentes, los relacionan con los aprendizajes esperados y elaboran indicadores de logros para evaluarlos

6. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

Libros de Texto de Enseñanza Planes y programas del subsector Educación Matemática (3° a 8°) y Matemática

(1° medio) Instrumentos de construcción y medición.

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Rúbrica de evaluación

EVALUACIÓNCLAVE 2

Insatisfactorio0 puntos

Básico3 puntos

Competente6 puntos

Destacado8 puntos Puntos

Construye simetría axial en cuatro triángulos: equilátero, isósceles, rectángulo isósceles y escaleno. Reconoce que en alguno de ellos el eje de simetría generan dos triángulos semejante al original. Establece clasificación de acuerdo a la cantidad de ejes de simetría

No construye simetrías

Construye las cuatro simetrías pero no clasifica ni reconoce condiciones para la semejanza

Construye las cuatro simetrías, clasifica los triángulos pero no reconoce condiciones de semejanza

Construye las cuatro simetrías, clasifica los triángulos y reconoce condiciones de semejanza

Construye simetría axial en cinco cuadriláteros: cuadrado, romboide, trapecio isósceles y cuadrilátero cualquiera. Reconoce condiciones para que la simetría genere figuras semejantes al cuadrilátero original. Clasifica los cuadriláteros respecto al número de ejes de simetría

No construye simetrías

Construye las cinco simetrías pero no clasifica ni reconoce condiciones para la semejanza

Construye las cinco simetrías, clasifica los cuadriláteros pero no reconoce condiciones de semejanza

Construye las cuatro simetrías, clasifica los cuadriláteros y reconoce condiciones de semejanza

Desarrolla dos mapas conceptuales, uno que relaciona los conceptos ejes de simetría, tipos de cuadriláteros,

No desarrolla ningún mapa conceptual coherentemente

Desarrolla un mapa conceptual simple

Desarrolla los dos mapas conceptuales simples

Desarrolla los dos mapas conceptuales haciendo relaciones complejas

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paralelogramos y trapecios, y el otro que relaciona los conceptos ejes de simetría y tipos de triángulosAnaliza los Planes y Programas de 3° básico a 1° medio identificando los contenidos y aprendizajes esperados referidos a transformaciones isométricas, los relaciona y crea indicadores de logro para cada uno de los aprendizajes esperados

No analiza los Planes y Programas o no identifica los contenidos ni aprendizajes esperados referidos a transformaciones isométricas

Reconoce e identifica en los Planes y Programas, los contenidos y aprendizajes esperados referidos a transformaciones isométricas

Relaciona los contenidos referidos a transformaciones isométricas con los aprendizajes esperados

Relaciona los contenidos referidos a transformaciones isométricas con los aprendizajes esperados y crea un indicador de logro para cada aprendizaje esperado

148

VI. Puntuación de los Trabajos para la evaluación: Puntos:

1. Evaluación clave 1 32 (Estándar 8 / Competencia 1 – 7)

2 Evaluación clave 2 32 (Estándar 8 – 6 / Competencia 1 – 2)

Total 64 puntos

Asignatura: Didáctica de los sistemas numéricos.Autor(a) / Universidad: Raimundo Olfos / P. U. Católica de Valparaiso

149

Horas presenciales por semana: 2 horas teóricas, 2 horas prácticasHoras requeridas del alumno por semana afuera del aula: 4 horas

Nuestra Visión Profesor Especialista para el Segundo Ciclo Básico

El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es un profesional con sólida formación pedagógica y disciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje, con autonomía para tomar decisiones informadas. Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación para desarrollar las competencias que le permiten responsabilizarse de los procesos y resultados de su enseñanza. En colaboración con la familia y comunidad, se compromete con el logro de aprendizajes que potencien el desarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantes preadolescentes. Participa en acciones de cooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidad de la educación que ofrece su institución escolar

I. Estándares y Competencias del perfil de egreso, relacionados al curso:

Los siguientes estándares y las siguientes competencias tienen un énfasis principal en este curso:

Estándar 1:Comprende los conceptos de número natural y entero, como abstracción de las cantidades discretas, y los distingue de sus formas de representación.

Justifica procedimientos y estrategias de cálculo aritmético, y propiedades del orden y de las operaciones con números naturales y enteros a partir de propiedades evidentes de los números y de sus sistemas de representación.

Resuelve problemas referidos a cantidades discretas y magnitudes negativas, haciendo uso eficiente del orden, las operaciones, las propiedades de las operaciones, el valor absoluto, las ecuaciones, las inecuaciones, y herramientas tecnológicas, según las condiciones dadas y el modelo que construya de la situación.

Diseña desafíos y problemas referidos a situaciones de orden, conteo, aditivas, multiplicativas, de divisibilidad y restos ligadas a contextos de los programas oficiales de segundo ciclo de distintos sectores curriculares, en los que se utilice operaciones, ecuaciones, inecuaciones y en general propiedades de los números naturales o enteros.

Estándar 3:Comprende los significados asociados a las fracciones y el concepto de número racional como elemento de un conjunto cuociente, distinguiendo sus diferencias y similitudes. Reconoce los números decimales como aquellos racionales que se expresan por fracciones cuyo denominador es una potencia de diez. Reconoce las expresiones o desarrollos decimales finitos y periódicos como una forma de representación de los números racionales, alternativa a las fracciones, que facilita los cálculos de las operaciones aritméticas. Comprende la existencia de cantidades inconmensurables, e identifica los números irracionales con las expresiones o desarrollos decimales infinitos

150

no periódicos. Reconoce en las distintas formas de representación de los números una complejidad conceptual que se constituye en un obstáculo didáctico.

Reconoce las propiedades del orden y de las operaciones, incluyendo potencias y raíces, en los números decimales, racionales e irracionales, y las visualiza bajo las distintas formas de representación, incluyendo esquemas y gráficos, de estas categorías de números. Fundamenta los procedimientos de cálculo a partir de las formas de representación de los números. Resuelve problemas asociados a fenómenos naturales y sociales a partir de la modelación de situaciones referidas a diferencias y razones entre medidas, mediciones y particiones, repartos y fraccionamientos, equivalencia de fraccionamientos, cuocientes y restos, pendientes, escalas, semejanza, porcentajes, tasas y variaciones proporcionales, probabilidades, medidas grandes y pequeñas, redondeos, aproximaciones, estimaciones, uso de calculadora y algoritmos operatorios, y uso de estrategias de cálculo; para lo cual utiliza números irracionales, el sistema de los números racionales y diferentes registros de representación, incluyendo expresiones fraccionarias, decimales finitas, infinitas periódicas y no periódicas, y potencias con exponente entero.

Diseña, selecciona y resuelve situaciones problemas asociadas a distintas disciplinas, en el marco de los programas de estudio de segundo ciclo básico, usando fracciones, decimales y porcentajes.Competencia 2, Eje 2:Comprende el marco curricular nacional y los mapas de progreso para el sector curricular que enseña y utiliza este conocimiento para planificar su enseñanza.

Competencia 3, Eje 2: Planifica secuencias de enseñanza y evaluación que contemplan la lógica de los contenidos y el proceso de aprendizaje, considerando en sus actividades y en la evaluación de estas, los procesos cognoscitivos.

Competencia 6, Eje 2:Selecciona y diseña recursos y situaciones de aprendizaje pertinentes para presentar ideas y conceptos disciplinarios a sus estudiantes en el nivel que enseña.Competencia 7, Eje 2: Planifica la enseñanza en colaboración con otros profesionales para organizar experiencias de aprendizaje interdisciplinarias que permiten a los estudiantes integrar el conocimiento, destrezas y métodos de investigación de diversos sectores de aprendizaje.Competencia 10, Eje 2:Conoce los principios didácticos que le permiten una gestión eficiente y efectiva en el aula para optimizar el tiempo dedicado al aprendizaje..

Los siguientes estándares y las siguientes competencias tienen un énfasis secundario en este curso:

Estándar 2:Comprende los conceptos de número natural y entero, como entes formales cuyas propiedades están dadas por los axiomas y las proposiciones que se deducen de ellos.

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Comprende la estructura deductiva de los sistemas de números naturales y enteros; reconoce las propiedades de estos sistemas y es capaz de explorar y deducir algunas propiedades en el marco de la teoría de números y de la estructura de anillo de los números enteros.

Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza que favorecen la comprensión y uso de los múltiplos, los divisores la descomposición en factores primos, la divisibilidad, las potencias y productos como iteraciones, la representación de grandes y pequeños números, y la estimación y el redondeo de lo, como también, a los números enteros, sus operaciones, orden y valor absoluto, atendiendo a los obstáculos didácticos asociados a estos conceptos, a las orientaciones didácticas de los programas oficiales del segundo ciclo y a los enfoques cognoscitivos actuales de los aprendizajes.

Estándar 4:Comprende el concepto de número racional, como ente formal cuyas propiedades están dadas por su definición constructiva y las proposiciones que se deducen de ellos.

Comprende la estructura deductiva del sistema de los números racionales, reconoce sus propiedades como cuerpo ordenado y es capaz de explorar y deducir algunas propiedades en el marco de la estructura del cuerpo cuociente construido desde el anillo de los números enteros. Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza que favorecen la comprensión y utilización de los números irracionales y del cuerpo ordenado de los racionales, en situaciones referidas a fracciones de medidas, particiones, reparto, ubicación en la recta, equivalencia de fracciones, expresiones decimales infinitas periódicas y no periódicas, redondeos, aproximaciones, estimaciones, operaciones entre racionales, cálculos con algoritmos estándares, uso de estrategias de cálculo, uso de calculadora, lectura y escritura de números racionales, divisores, restos, potencias, medidas grandes y pequeñas, exponentes enteros incluyendo negativos; atendiendo a los obstáculos didácticos asociados a estos conceptos, a las orientaciones didácticas de los programas oficiales de cuarto básico a primero medio, y a los enfoques cognoscitivos actuales de los aprendizajes.

Estándar 5:Comprende de manera intuitiva los números reales como completación de los racionales, a partir de los desarrollos decimales infinitos y el modelo de la recta numérica, disponiendo de herramientas conceptuales y procedimentales para la resolución de problemas y la interpretación de fenómenos referidos a magnitudes continuas, teniendo en vista la organización de su enseñanza.

Comprende los números complejos como producto cartesiano de los reales en el plano, a partir del cual se define una operatoria útil, de tipo vectorial que permite resolver situaciones problemas.

Competencia 1, Eje 2:

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Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas del sector de aprendizaje educación matemática que es responsable de enseñar.

Competencia 4, Eje 2: Comprende el amplio rango de procedimientos evaluativos y los usa para monitorear el avance y logro de las metas de aprendizaje.Competencia 5, Eje 2: Utiliza los resultados de las evaluaciones para retroalimentar a los educandos y ajustar sus planificaciones y estrategias didácticas

Competencia 10, Eje 2: Promueve un ambiente propicio para el aprendizaje, estableciendo y manteniendo normas consistentes y consensuadas de disciplina en el aula que potencian el desarrollo social de los educandos para la vida en una sociedad democrática

II. Aprendizajes esperados (aprendizajes claves para el logro de los estándares y las competencias):

Conceptuales

Relaciona el aprendizaje de los números en el segundo ciclo básico con el desarrollo de la habilidad para resolver problemas, la capacidad argumentativa y la autonomía personal para la toma de decisiones, entre otras.

Identifica diferencias entre el saber matemático de los sistemas numéricos y el saber escolar referido a los números.

Reconoce y analiza conceptos erróneos respecto a los números que dificultan el aprendizaje de nuevos contenidos, y diseña y planifica estrategias de intervención para remediar esta situación;

Analiza los conocimientos y aprendizajes previos que permiten instalar un conocimiento específico de los números, sus operaciones y propiedades.

Reconoce que el trabajo en aula exige la elaboración de un objeto de enseñaza considerando un contenido matemático, condiciones para su enseñanza y el nivel cognitivo y social del alumnado.

Describe el rol del análisis a priori, de la experimentación del análisis a posteriori, y confrontación de los análisis, con respecto a las actividades de aula.

Identifica las características de las situaciones a-didácticas y el rol de las mismas en el proceso de aprendizaje.

Caracteriza la actividad de institucionalización como la tarea indelegable del profesor que consiste en redactar los conocimientos obtenidos a partir de las actividades de aula y que los alumnos deberán retener y apropiarse.

Identifica criterios, focos y preguntas relevantes para el análisis de textos escolares y sitios WEB educativos.

Reconoce en el análisis de textos la importancia de preguntas como ¿Cuál es el sentido matemático de los problemas en cuestión?, ¿Tienen los

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problemas una importancia extra-matemática: en una dimensión utilitaria, o en relación con los objetivos transversales tratados en el curso?

Caracteriza las modalidades de “trabajo en equipo orientado”, apoyado por el profesor en los procesos y en la elaboración de productos, y el “trabajo autónomo de equipos”, en el cual los alumnos se hace responsables de la producción.

Caracteriza la modalidad de trabajo “taller”, en el cual se privilegia la metodología del debate.

Describe la metodología del debate como la fase final de un trabajo en equipos, durante la cual éstos exhiben las estrategias que han utilizado para realizar la tarea pedida.

Describe la metodología de trabajo en binomio como una estrategia de análisis compartido entre pares de alumnos de situaciones problemas.

Caracteriza las situaciones a-didácticas y didácticas de Brousseau con sus fases de acción, formulación y validación, como también la pertinencia de ellas para favorecer el aprendizaje de nuevos conceptos en los alumnos.

Muestra ejemplos de formas de uso de los computadores en la enseñanza, como por ejemplo el uso del software SWP en la resolución de ecuaciones e inecuaciones o bien el uso de Applet disponibles en Internet para el trabajo con las fracciones.

Muestra el uso de las calculadoras para trabajar en el aula problemas con cambio de monedas o para confirmar estimaciones.

Procedimentales

Elabora una mini ingeniería didáctica que incluye un análisis a priori de las actividades, experimentación en el aula, procesamiento de los resultados en protocolos, análisis a posteriori de los resultados, y confrontación de los análisis.

Diseña planificaciones de clases referidas a los números racionales y enteros.

Establece una secuencia entre los distintos contenidos de los números racionales, decimales y enteros señaladas en los Planes y Programas de 5° básico a 8º Año.

Construye una situación didáctica que muestra las ventajas del sistema decimal como sistema de representación sobre otros sistemas: dígitos, base y valor de posición.

Elabora una situación de aprendizaje sobre medición de tiempo y la vigencia del sistema binario.

Construye una situación referida al crecimiento y decrecimiento exponencial, en la cual se usa calculadora y se identifica la variación de la razón de cambio.

Construye situaciones que facilitan la distinción entre múltiplos y divisores, la descomposición en factores primos y los criterios de divisibilidad para 2, 3, 5, 9, y 10.

Prepara una situación a-didáctica referida a la escritura de los números en instrumentos bancarios y comerciales y discute desde un punto de vista didáctico el uso de recortes de periódicos.

154

Construye una actividad de institucionalización referida a la descomposición de un número en factores, evidenciando que todo número tiene descomposición única.

Elabora situaciones que exigen a los alumnos validación y demostración de propiedades aceptando las verificaciones heurísticas en los niveles de 5º y 6º básico, y validaciones a partir de propiedades desde séptimo básico.

Diseña y construye actividades de aprendizaje que permitan al alumno de básica relacionar conceptos, plantear procedimientos y conjeturas referidas a los racionales.

Diseña actividades de aprendizaje que favorecen el razonamiento numérico, la elaboración de conjeturas acerca de las propiedades de los números y sus relaciones conceptuales y la resolución de problemas.

Discute la pertinencia y relevancia del uso de analogías como los amigos de mis enemigos son mis enemigos, multiplicar por -1 corresponde a un giro en 180°, condonar una deuda equivale a dar dinero, para facilitar la comprensión matemática.

Analiza en textos escolares el lenguaje que aparece en relación a las fracciones: el concepto de fracción, de número racional, de razón y de fraccionamiento, Distinción entre una fracción y el valor de la misma.

Discute sobre el significado de “número decimal” en los textos escolares y programas de estudio, distinguiendo el número decimal como elemento de un sistema numérico del decimal con coma, como un desarrollo en el sistema de numeración decimal.

Propone el mejoramiento de un texto a partir de una colección de críticas constatadas, por medio de la proposición de actividades con el fin de remediar la debilidad focalizada, probándola en clases con alumnos.

Analiza textos escolares de matemática para segundo. ciclo y evalúa la pertinencia de las actividades propuestas, relacionadas con los números.

Elabora un ensayo sobre la forma de enseñar a hacer cálculos de adición y sustracción de números decimales.

Organiza y pone a prueba una actividad de debate como fase final de un trabajo con alumnos en aula; planteando cuatro fases principales durante la sesión: lectura del problema, trabajo grupal en la que se construye un afiche, debate del mismo y síntesis del profesor.

Elabora un informe de experimentación con binomios en actividades que extiendan el sistema de numeración a decimos, centésimos y milésimo en situaciones que permitan leer, escribir e interpretar números decimales, establecer equivalencias, y estudiar familias de números decimales.

Prepara una actividad de taller en el laboratorio de computación con el software SWP para la resolución de ecuaciones e inecuaciones, usando las propiedades de la desigualdad.

Diseña pruebas escritas que estén orientadas a la comprensión, la aplicación y la utilidad de lo aprendido respecto a los números racionales, irracionales y enteros, sus pautas de corrección y, si corresponde, la rúbrica y escala de calificación;

Actitudinales

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Desarrolla su autoestima y la confianza en su trabajo para organizar una actividad pedagógica que propicie aprendizajes de buena calidad, en conformidad al marco para la buena enseñanza.

Aprecia el aporte de la matemática escolar en la consecución de los Objetivos Fundamentales Transversales, especialmente aquellos referidos a desarrollar el pensamiento reflexivo, una actitud ética en relación a la protección del medio ambiente, género y al respeto a la diversidad.

Valora los aportes de Euclides, Eudoxio y Peano en la construcción de los principales sistemas numéricos.

Valora la importancia de los sistemas numéricos y sistemas de numeración en la enseñanza básica y media.

III Lecturas sugeridas:

Lecturas obligatorias :

Brousseau, G. (1986): “Fondements et methods de la Didactique des Mathématiques”, Vol. 7, N° 2, Ed RDM, Francia.

Chamorro M. del C. et alli: (2003). Didáctica de las Matemáticas. Prentice Hall. Madrid. España.

Eggen, P. & Kauchak, D. (1999): “Estrategias docentes: Enseñanza de contenidos curriculares y desarrollo de habilidades de pensamiento”, Ed. F.C.E., Buenos Aires, Argentina.

Guzmán, I. (2000) Apuntes curso “Didáctica de las Matemáticas” Programa de Magíster en Enseñanza de las Ciencias Mención Didáctica de la Matemática, Universidad Católica de Valparaíso.

MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Quinto año básico”, MINEDUC, 2da ed.

MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Sexto año básico”, MINEDUC, 2da ed.

MINEDUC (2004) “Programas de estudio Educación Matemática, Séptimo año básico”, 2da ed.

MINEDUC (2004) “Programas de estudio Educación Matemática, Octavo año básico”, 2da ed.

Vergnaud Gèrard : (1996) The theory of Conceptual Fields. En “Theories of Mathematical Learning”. Awrence Eribaum Associates, Publishers. Mahwah, New Jersey.

Voigt Jörg: (1996). Negotiation of Mathematical meaning in Classroom processes: social interactions and learning mathematics. En “Theories of Mathematical Learning”. Awrence Eribaum Associates, Publishers. Mahwah, New Jersey.

Textos Complementarios

Bishop, Alan: (1988). Enculturación Matemática. La educación matemática desde una perspectiva cultural. PAIDOS. Barcelona. España

156

Cobb, P. (1996). “Emergent and Sociocultural Views of mathematical activity”. En “Theories of Mathematical Learning”. Awrence Eribaum Associates, Publishers. Mahwah, New Yersey.

Chamorro M. del C.: (1991). El Aprendizaje Significativo en el área de las Matemáticas. Alambra Longman. Madrid. España

Chevallard, Y. (1991) : “La transposition Didactique”, Ed La Pensée Sauvage, Francia

Gálvez, G. y Figueroa, A. (2000):”Para multiplicar y dividir”. Cuaderno del alumno. Programa de las 900 escuelas. Ministerio de Educación. Santiago de Chile.

Gálvez, G. y Navarro, S. (1989): “Proporcionemos instrumentos para el trabajo en el aula”. OREAL/UNESCO.

Guzmán, I. (2000) Apuntes curso “Transposición Didáctica” programa Magíster en Enseñanza de las Ciencias Mención Didáctica de la Matemática, Universidad Católica de Valparaíso.

Meirieu, PH. (1991) : “Rapport entre projet personnel de l` eleve et l`apprentissage”. En: Bulletin de l`ACOF, Nº 330, (pp. 73-80).

Notario, A. Et allí: (1997). Mapas Conceptuales. Narcea. /ma. Edición. Madrid. España.

Olfos, R. (2002) Axiomática y Fenomenología de los números. Ed. Vicerrectoría Académica. Universidad de La Serena.

Riveros, M.; Zanocco, P.: (2002). Resolver Problemas matemáticos: una tarea de profesores y alumnos. Ed. P.U.C. de Chile. Santiago de Chile

Yackel, Erna: (1996) Social Interaction and Individual Cognition. “Theories of Mathematical Learning”. Awrence Eribaum Associates, Publishers. Mahwah, New Jersey.

IV Otros Recursos:

http://descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php

V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias. (Indique las principales actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los estándares y competencias del perfil de egreso)

1. Análisis de la secuencia de actividades que introduce un concepto en un texto Competencia 2

Elabora un informe, en conformidad a los siguientes requerimientos Elige un texto escolar de matemáticas de segundo ciclo básico y en él

tres a cuatro páginas referidas a la introducción de un concepto. Identifica los aprendizajes esperados del programa oficial, vinculados al concepto elegido.

Identifica la meta de aprendizaje de las actividades del texto que someterá al análisis y establece las preguntas que guiarán el análisis de las páginas del texto.

Responde a las preguntas planteadas, incorpora evidencias que avalan su interpretación ante las preguntas y emite una conclusión con respecto a la calidad del texto.

157

La evaluación del trabajo se centrará en la calidad de las preguntas planteadas y la concordancia entre las respuestas a esas preguntas y las evidencias que avalan sus respuestas.

Pauta para la Evaluación Clave

Se contemplan dos evaluaciones claves: Un informe referido a la construcción de una situación problema y una planificación de una secuencia de enseñanza.

Evaluación clave 1.

1. Estándar 1 y 3 , Competencia 2, 3 y 6 /Eje 2

2. Justificación: La enseñanza de la matemática en Chile se caracteriza por actividades de aprendizaje repetitivas, bajo las cuales los alumnos adquieren destrezas reducidas para resolver problemas de manera algorítmica. Los profesores no disponen de modelos de actividades abiertas o de situaciones que pongan en juego los saberes de los alumnos para llegar a una situación de conflicto desafiante que requieran superar para llegar a un nuevo conocimiento. Se espera que los alumnos, profesores en formación, ganen destreza en la elaboración de estas actividades desafiantes y que se acreciente un banco de datos con actividades de esta naturaleza.

3. Pre-requisitos:El profesor debe reconocer los conceptos más importantes que debe dominar un alumno de segundo ciclo básico en relación a los números. Además, debe identificar la relación entre estos saberes y los conocimientos que demanda poner en juego para su aprendizaje.

4. Descripción breve de la evaluación:Esta evaluación se aplica a un informe que describe una situación problema, el proceso de validación de la situación y las condiciones para su aplicación.

5. Descripción en detalle de los pasos de la evaluación.

Paso 1: Formulación del Problema y análisis preliminar Competencia 3 y 6. El profesor en formación debe formular un problema que esté a nivel de

alumnos de Enseñanza Básica, pero a la vez les ofrezca un desafío de modo que se interesen por abordarlo, aunque no puedan resolverlo por completo. .

El profesor debe realizar un análisis preliminar en términos de los conocimientos a desarrollar. El problema tendrá por objeto favorecer el desarrollo de un nuevo conocimiento, poniendo en juego conocimientos previos hasta llegar a un momento en que no es posible solucionarlo con los saberes anteriores y surja la necesidad de crear un nuevo conocimiento con esta intencionalidad. El análisis preliminar identifica de esta manera los saberes en juego, el obstáculo presente en el problema y las características del nuevo saber ideado.

Paso 2: Experimentación del problema Competencia 3 y 6 Incluye un análisis a priori que consistirá en identificar las posibles

respuestas esperadas de los alumnos y un informe de la puesta en

158

escena del problema con un grupo curso o un grupo de alumnos del nivel.

Paso 3: Análisis a posteriori. Informe de caminos seguidos por los alumnos Competencia 3 y 6 Se elabora un informe que contenga:

Un análisis de las respuestas de los alumnos al problema en términos de la matemática presente en las soluciones.

La codificación de los comportamientos de los alumnos ante el problema Un análisis de los resultados de la aplicación del problemas

Paso 4: Contrastación de los análisis y conclusiones Competencia 3 y 6. Se elabora un informe final donde se presente: Una contrastación de los análisis a priori y a posteriori. Un juicio acerca del nivel de logros del objetivo para el cual se planteó

el problema. Los alcances en torno al problema derivados de la experimentación. Recomendaciones para la modificación o adaptación del problema para

una circunstancia de aplicación similar.

6. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

Los alumnos dispondrán de ejemplos de situaciones problemas en la Web. Además dispondrán de las rúbricas de evaluación, lo que les permitirá orientar el avance de su trabajo.

RúbricasCriterio Insuficiente

0Básico

3Competente

6Destacado

8Ptos

Características del problema y del análisis preliminar

El problema pone en juego los saberes previos, pero no conduce al aprendizaje esperado.

El problema pone en juego los saberes previos, pero no presenta un desafío. a los alumnos

El problema pone en juego conocimientos previos y propone un desafío para alcanzar un nuevo conocimiento

El problema pone en juego conocimientos previos, propone un desafío para alcanzar un nuevo conocimiento

8

Análisis a priori y puesta en escena del problema

No identifica con claridad los posibles caminos a tomar por los alumnos.Los alumnos no se involucran en el problema

Identifican las posibles vías, pero no especifica el camino que conduce al obstáculo en juego. Algunos alumnos se involucran

Identifica las posibles vías y en particular la que conduce al obstáculo previsto. La mayor parte de los alumnos se involucra, pero poco salvan el obstáculo

Identifica las posibles vías, incluyendo la que conduce al obstáculo. La mayor parte de los alumnos se involucra y salva el obstáculo, mostrando aprendizaje.

8

Análisis a posteriori

La codificación no da información, ya que los alumnos no se involucran en la actividad propuesta

Algunos alumnos se involucran, pero la codificación no favorece la recolección de información

Se codifica la información obteniéndose resultados dispersos a partir de la misma.

Codifica la información, ajustándose claramente al modelo propuesto y verificándose aprendizajes

4

Contraste análisis a priori y

No presenta adecuadamente

Presenta el contraste,

Expresa con claridad el

Expresa con claridad el

8

159

a posteriori el contraste entre el análisis a priori y a posteriori, lo cual limita todo intento de ofrecer comentarios o sugerencias.

aunque de manera difusa. No provee sugerencias claras para mejorar la situación pese a sus evidentes limitaciones.

contraste, da evidencias de las limitaciones de la situación y sugerencias para mejorar

contraste, da evidencias de los aciertos y provee sugerencias para el buen funcionamiento en contextos similares.

Evaluación clave 2.

o Estándar 1 y 3 , Competencia 3, 6 y 7.

2. Justificación: La planificación de secuencias de enseñanza es una actividad clave para mejorar la calidad de la enseñanza y aumentar las probabilidades de éxito de los nuevos docentes en el sistema escolar. La planificación de clases ayuda al profesor a controlar la actividad de aula y generar una actividad verdaderamente de interés y utilidad para los alumnos. La improvisación debido al poco tiempo que dedican los docentes a la planificación y falta de hábitos para ello lleva a clases sin n norte fijo en las cuales poco se logra en atención a los aprendizajes de calidad que se espera que alcancen los alumnos en el sistema educativo. La planificación no es una actividad genérica, cada tema es peculiar y exige del docente una preparación puntual. En particular, para la enseñanza de los números el docente debe planificar las clases atendiendo a distintas categorías de aprendizaje, desde los más rutinarios como memorización de las tablas hasta los más complejos que permiten al alumno diferenciar un número irracional de su representación.

3. Pre-requisitos:Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formación son capaces de: distinguir aprendizajes matemáticos rutinarios, como los algoritmos de operación, de aprendizajes complejos como el reconocimiento de los sistemas de numeración y de los sistemas numéricos con sus propiedades y usos como modelo en contexto.

4. Descripción breve de la evaluación:

El informe de la planificación de una secuencia de enseñanza incluye tres informes preliminares; estos se refieren a: la unidad del programa a tratar, las propuestas de dos textos sobre el tema, y los conocimientos previos de los alumnos para los cuales se propone la planificación. La planificación debe contener los aprendizajes esperados, la descripción detallada de las actividades de aprendizaje con los recursos a utilizar en marcos de tiempo preasignados, los recursos complementarios para los alumnos con mayor dificultad y más aventajados, las actividades de evaluación que permiten identificar los logros de aprendizajes de los alumnos con sus respectivas especificaciones o rúbricas para el evaluador.

160

5. Describa los pasos de la evaluación en detalle

Paso 1:Informes preliminares acerca del tratamiento en los programas de estudio y en dos textos escolares de los contenidos a tratar en la unidad a planificar.

La primera sub-etapa será elegir los temas a tratar y los correspondientes aprendizajes esperados,

Luego se emite un informe que identifica las tareas propuestas a los alumnos, tanto en los programas como en dos textos para el logro de los aprendizajes esperados en la unidad.

Se incluye en el informe los márgenes temporales en los que se ubican estos aprendizajes según los programas y las actividades de evaluación propuestas en el programa y los textos para verificar los logros de aprendizaje.

Paso 2:Informe preliminar acerca de los conocimientos previos que se esperaría que pongan en juego los alumnos durante la implementación de la secuencia de aprendizaje:

Antecedentes institucionales, en términos de las características socioculturales del establecimiento: características de los hogares de los alumnos, establecimiento de origen,

Procedimientos de selección e historial de deserción en el establecimiento, antecedentes sobre rendimiento en pruebas nacionales como SIMCE y PSU.

Opinión del profesor acerca del curso, registros en el libro de clases con respecto a rendimiento e interés por aprender

Descripción de los conocimientos previos que los alumnos podrán en juego, a partir del análisis de un par de cuadernos de alumnos del grupo curso, para el cual se supone se elabora la planificación.

Paso 3:Planificación de la unidad propiamente tal:

Identificación de los aprendizajes que los alumnos debieran lograr durante la unidad.

Identificación breve de las actividades a proponer a los alumnos y de las explicaciones acerca de cómo estas actividades favorecen el logro de los aprendizajes esperados.

Descripción breve del rol del profesor y de los alumnos durante las distintas fases del proceso y de los tiempos asignados a las distintas fases.

Análisis crítico de las actividades propuestas en términos de los conocimientos previos que se ponen en juego durante las distintas fases del proceso, caracterización de las actividades en términos del nivel de dificultad y rol que estas juegan, como actividades de familiarización con el contenido, de desafío para la resolución de un problema nuevo que no es posible resolver fácilmente con los esquemas disponibles hasta el momento por el alumno, actividades de reforzamiento que buscan consolidar los conocimientos nuevos de los alumnos.

Inclusión de actividades diferenciadas para alumnos con dificultad y para alumnos aventajados.

Paso 4:

161

Verificación de la calidad de l planificación: Inclusión de actividades de evaluación o auto-evaluación que

corroboran el nivel de aprendizaje alcanzado por los alumnos Especificación de los indicadores de logro, en términos de rúbricas o

porcentajes de respuestas correctas a preguntas simples. Juicio con respecto a la importancia relativa de los aprendizajes

esperados en el contexto de los objetivos fundamentales del programa y al nivel cognitivo asociado a las tareas y aprendizajes involucrados en la unidad de aprendizaje propuesta.

6. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

Los alumnos dispondrán de material de apoyo con respecto a los elementos que debe tener una planificación, de ejemplos de planificaciones en el sitio Web del curso, de los programas de estudio y de variados textos escolares en biblioteca para avanzar en sus trabajos..

Los alumnos dispondrán de indicaciones escritas para la elaboración de la unidad y de los criterios que se usarán para la evaluación de sus producciones.

Rúbricas

Criterio Insuficiente0

Básico3

Competente6

Destacado8

Ptos

Aprendizajes esperados en los programas y textos

.A lo más identifica los aprendizajes esperados y las tareas asociadas en el programas y un texto, pero no los vincula con el tiempo requerido para lograrlas, ni describe las actividades que permiten evaluar los aprendizajes esperados.

Identifica los aprendizajes esperados ylas tareas del programa y de dos textos para conseguirlos

No realiza vínculos entre ellas, ni desprende del programa el tiempo para las fases de la unidad.

Describe las actividades de evaluación del programa y de los textos pero no las justifica.

Identifica los aprendizajes esperados ylas tareas del programa y de dos textos para conseguirlos

Desprende del programa los márgenes temporales para la consecución de los aprendizajes

Describe acertadamente actividades de evaluación del programa y de los textos para verificar los logros de aprendizaje

Identifica claramente los aprendizajes esperados ylas tareas del programa y de dos textos para conseguirlos

Especifica acertadamente los márgenes de tiempo requeridos conforme a los programas y las actividades de evaluación propuestas por los programas y textos para la consecución de los aprendizajes en juego.

8

Características de los alumno y del medio

No caracteriza los aspectos socioculturales, del

No caracteriza con claridad los aspectos socioculturales, del alumno,

Caracteriza aspectos socioculturales, del alumno.

Caracteriza aspectos socioculturales, académicos

8

162

alumno, ni el compromiso del colegio por el aprendizaje del alumno

o bien el compromiso del colegio por el aprendizaje del alumno

Identifica el compromiso del colegio por el aprendizaje del alumno

y psico-afectivos del alumno.

Identifica exigencia y compromiso del colegio por el aprendizaje del alumno

Aprendizajes esperados y actividades propuestas en la secuencia de enseñanza

No Identifica los aprendizajes o las actividades a desarrollar,

No es claro el rol de las actividades.

No son claros los roles del profesor y del alumno

Identifica aprendizajes y actividades, pero no los relaciona adecuadamente.

Identifica el rol de las actividades. pero no profundiza en la descripción.,

No describe claramente los roles del profesor y del alumno

Identifica los aprendizajes y las actividades asociadas a esos aprendizajes.

Identifica el rol de las actividades. Y describe al menos una propiedad de cada una. .

Describe los roles del profesor y del alumno

Identifica aprendizajes a desarrollar, las actividades y sus relaciones.

Caracteriza cada actividad (su ubicación, su función, su relevancia).

Describe claramente el rol del profesor y del alumno

16

Evaluación de los aprendizajes.

Indicadores y niveles cognitivos exigidos por las actividades de evaluación

No propone evaluaciones o bien no son claras las actividades de evaluación propuestas.

Incluye actividades de evaluación. relativamente claras.

Pero la especificación de los indicadores está ausente o bien no es adecuada.

Presenta evaluación e indicadores adecuados a los aprendizajes.

Pero no hace distinciones con respecto a qué es lo más importante.

Presenta evaluación e indicadores adecuados a los aprendizajes esperados.

Clarifica el nivel cognitivo asociado a las distintas tareas.

8

VI. Puntuación de los Trabajos para la evaluación:

Puntos: 1. Informe “Análisis de secuencia de actividades que introduce un concepto en un texto 16

163

2. Informe: Elabora y valida un: problema abierto (Evaluación clave 1, Competencias 3, 7 y 10. Estándar 1 y 3) 283. Informe “Planificación secuencia de enseñanza” Evaluación clave 2, Competencias 3, 6 y 7. Estándar 1 y 3) 40

4. Informe “Actividad de evaluación de un aprendizaje 16

Total de puntos: 100Asignatura: Estadística y Probabilidad.Autores: Salim Elal Olivero, Manuel Barahona Droguett Universidad de Atacama Horas presenciales por semanas: 5Horas requeridas del alumno por semana fuera del aula: 10

.

Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Enseñanza Básica El profesor especialista para el segundo ciclo de Enseñanza Básica es un profesional con sólida formación pedagógica y disciplinaria en, al menos, un sector del aprendizaje, con autonomía para tomar decisiones informadas. Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación para desarrollar las competencias que le permiten responsabilizarse de los procesos y resultados de su enseñanza. En colaboración con la familia y comunidad se compromete con el logro de aprendizajes que potencien el desarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantes preadolescentes. Participa en acciones de cooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidad de la educación que ofrece su institución escolar.

ALINEACION CON ESTANDARES Y COMPETENCIAS.

I. Estándares y Competencias del Perfil de Egreso relacionados al curso.

El curso, sus expectativas de logro, lo que se le pide al alumno hacer, y las evaluaciones, han sido alineadas con los estándares y competencias del perfil de egreso para la formación inicial de profesores del segundo ciclo básico.

(A) Los siguientes estándares tienen un énfasis principal en este curso.

Estándar 10 Comprende y aplica conceptos y técnicas estadísticas requeridas para recopilar, organizar, representar, analizar e interpretar conjuntos de datos a partir del planteamiento, discusión y resolución de problemas extraídos de la vida real, teniendo en vista la organización de su enseñanza.

Estándar 11 Comprende y aplica conceptos y técnicas estadísticas tales como tablas, diagramas, regresiones y correlaciones, requeridas para determinar y describir las relaciones existentes entre dos variables. Planifica estrategias pedagógicas

164

teniendo en cuenta el tipo de variables, el tipo de gráfico y el indicador apropiado en el análisis de la información.

Estándar 12 A partir del análisis de situaciones significativas comprende el concepto de probabilidad y la importancia de su aplicación en la predicción y planifica estrategias pedagógicas teniendo en cuenta el concepto de azar.

(B) Las siguientes competencias del perfil de egreso, Eje 2, tienen un énfasis principal.

Competencia 1. Comprende con amplitud y profundidad las disciplinas del sector de aprendizaje que es responsable de enseñar.

Competencia 4. Comprende el amplio rango de procedimientos evaluativos y los usa para monitorea el avance y logro las metas de aprendizaje.

Competencia 5. Utiliza los resultados de las evaluaciones para retroalimentar a los educandos y ajustar sus planificaciones y estrategias didácticas.

Competencia 6. Selecciona y diseña recursos y situaciones de aprendizaje pertinentes para presentar ideas y conceptos disciplinarios a los estudiantes del nivel que enseña.

(C) Los siguientes estándares tienen un énfasis secundario en el perfil de egreso.

Estandar 1 Comprende los números naturales como abstracción de las cantidades discretas y los distingue de sus representaciones disponiendo así de modelos para interpretar situaciones y resolver problemas reales de orden y conteo, aditivos y multiplicativos, de divisibilidad y restos.

Estandar 4 Comprende la modelación de situaciones referidas a cuocientes, razones, tasas, proporciones, probabilidades, repartos y fraccionamientos, por medio del sistema de números racionales y sus registros de representación para aplicarla en la resolución de problemas asociados a fenómenos naturales y sociales, teniendo en vista la organización de su enseñanza.

II APRENDIZAJES ESPERADOS Son los aprendizajes claves para el logro de estándares/competencias.

Conceptual

1. Conozca el desarrollo histórico de la estadística y explique el porqué la necesidad de la sociedad en su conjunto de recolectar datos e información en el contexto de su evolución y perfeccionamiento.

165

2. Identifique y comente las características del quehacer estadístico en el mundo moderno y relacione dichas características en disciplinas tales como negocios, economía, demografía, ingeniería, salud, seguros, educación, medicina, psicología, y otras.

3. Identifique tipos de variables: sean estas cualitativas, tanto ordinales como nominales, o bien cuantitativas, que sean continuas o discretas, tomadas en contextos de la vida diaria.

4. Clasifique y compare conjuntos de datos correspondientes a fenómenos que comprometen a dos variables, presentándolos por medio de tablas bivariadas o por medio de gráficos tales como los diagramas de dispersión y otros.

5. Analice el posible grado de relación que puedan presentar dos variables en un determinado problema y seleccione el estadístico adecuado para describir el comportamiento de dichas variables y obtener conclusiones a partir del grado de asociación que presenten dichas variables

6. Interprete el concepto de probabilidad asociándolo a los conceptos de “resultados posibles” y “resultados favorables”

7. Observe fenómenos de la naturaleza y de su entorno social y cultural y reconozca aquellos que puedan explicarse utilizando el concepto de probabilidad, mostrando, al mismo tiempo, las limitaciones de dicho concepto.

Procedimental.

8. Recoja información de situaciones de la vida real y planteé problemas que, para ser resueltos, requieran de una recolección y análisis de datos.

9. Organice conjuntos de datos representándolos en tablas de distribución de frecuencias u otros tipos de gráficos, y observe el comportamiento de dichos datos.

10. Maneje software estadísticos adecuados para representar y realizar experimentos con datos obtenidos de situaciones de la vida real

11. Realice experimentos aleatorios con dados, cartas, y otros juegos de azar y construya los espacios muestrales asociados a dichos fenómenos.

12. Planifique una clase, a partir de situaciones de la vida real que deje en evidencia el tipo de variable y el tipo de gráfico asociado a dicha situación y otra en la cual dado un conjunto de datos seleccione el mejor indicador de tendencia central.

Actitudinal

13. Reconozca las diferencias entre fenómenos aleatorios y fenómenos determinísticos y sea consciente de la importancia de dichos conceptos en el desarrollo de la estadística en particular, y de la matemática en general.

166

14. Aprecie y valore el conocimiento de las técnicas estadísticas, mediante las cuales es posible inferir resultados que nos ayudan a reaccionar frente a la realidad de nuestro entorno.

15. Valore la importancia de manejar las medidas de tendencia central y las medidas de dispersión para caracterizar un conjunto de datos en el proceso de evaluación de sus estudiantes.

16. Se de cuenta en que actividades de su vida diaria usted tienen un comportamiento aleatorio.

III. LECTURAS REQUERIDAS.

Lectura Obligatoria

[1] J.P. Guilford – Benjamín Fruchter, Estadística Aplicada a la Psicología y la Educación, Mc Graw Hill, Mexico, 1984[2] Milton Smith, Estadística Simplificada Para Psicólogos y Educadores, El Manuel Moderno, S.A, Mexico, 1971.[3] Guillermo Briones, Análisis e Interpretación de datos, Formación de Docentes en Investigación Educativa, SECAB, Santa Fé de Bogota, Colombia, 1992.[4] Celeste Mc Collough, Análisis Estadístico Para la Educación y las Ciencias Sociales, Mc Graw Hill, Mexico, 1986.[5] Maria José Fernández et al, 225 Problemas de Estadística Aplicada a las Ciencias Sociales, Editorial Síntesis, Madrid, España, 1992.

LECTURA COMPLEMENTARIA

[6] Rodrigo Bamón, Patricio González, Jorge Soto, Matemática Activa Segundo Año Medio, Editorial Mare Nostrum y Teduca Editora, Santiago, Chile, 2005[7] Rodrigo Bamón, Patricio González, Carmen Medina, Jorge Soto, Matemática Activa Tercer Año Medio, Editorial Universitaria, Editorial Mare Nostrum, Santiago, Chile, 2005.[8] Jorge Soto Andrade, Patricio González, Matemática Texto Para el Estudiante, Cuarto Año Medio, Editorial Mare Nostrum y Teduca S. L, Santiago Chile, 2005.[9] Educación Matemática, Programas de Estudio de quinto, sexto, séptimo y octavo año básico, Ministerio de Educación, República de Chile, 1999. .

IV. OTROS RECURSOS.

[1] Software: Excel[2] Software: Statgrafic [3] Software: Statistic

V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de Estándares y Competencias. (Indique las principales actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los estándares y competencias del perfil de egreso)

167

1. Mostrar resumidamente la información. Estándar 10, 1, /Competencias 1

Construye un conjunto de datos, preséntelo en una tabla de distribución de frecuencia y represéntelos gráficamente. Verifique los resultados utilizando un software estadístico apropiado.

2. Calculo de indicadores de tendencia central. Estándar 10, 1/Competencia 1

Calcule las medidas de tendencia central, basado en un conjunto de datos dados, y determine cual de estos representa mejor a la información, atendiendo a la distribución de estos. Verifique los resultados utilizando un software estadístico apropiado.

3. Comparación de datos. Estándar 10, 11, 4 / Competencia 1

Dado un conjunto de datos bivariados estudie el grado de relación existente entre estos. Represente dicha información en una nube de puntos. Verifique los resultados utilizando un software estadístico apropiado.

4. Definición de probabilidad. Estandar 11, 1, 4 / Competencias 1, 6

Estudie experimentalmente el concepto de probabilidad mediante algún juego de azar asociándolo a resultados favorables o desfavorables e infiera la definición clásica dede probabilidad.

5. Planificación de una clase. Estandar 10, 11, 4 / Competencia 1, 4, 5, 6

Planifique una clase, a partir de situaciones de la vida real que deje en evidencia el tipo de variable y el tipo de gráfico asociado a dicha situación y otra en la cual dado un conjunto de datos seleccione el mejor indicador de tendencia central. Utilice un software apropiado.

Pauta para la evaluación clave

EVALUACIÓN CLAVE 1

1. Estándar 10, 11, 1 / Competencias 1 2. Justificación: (¿por qué tiene que saber/hacer esto un/profesor de 2º

ciclo)

Organización y análisis de la información.

En un mundo que nos bombardea constantemente con información de tipo cuantitativo y cualitativo, de resultados de encuestas tales como, variaciones esperadas en los índices económicos de salud, de la educación y de otros ámbitos de la sociedad, de una lista interminable de información entregada mediante gráficos, cifras y datos, que nos muestra una realidad sumergida en la

168

incertidumbre, el profesor tiene que saber organizar dicha información y dimensionar la realidad que dicha información nos quiere mostrar.

3. Pre-requisitos: (Lo que los estudiantes deben saber y saber hacer, antes de la evaluación)

(c) Conocer el conjunto de los números reales, sus propiedades y las operaciones que se pueden realizar con dicho conjunto.(d) Graficar en el sistema el sistema cartesiano de coordenadas.

2. Descripción breve de la evaluación.

Aplicar las técnicas propias de la estadística, a un conjunto de datos, con el fin de comprender mejor la información que dichos datos nos muestran.

3. Describa los pasos de la evaluación en detalle.

Paso 1. Recolecte y construya una base de datos relativo a un problema dado y analice el tipo de datos que ha recopilado, el que puede ser cualitativo o cuantitativo.

Paso 2. Agrupe y organice la información de acuerdo al tipo de datos de que se trate, esto es, si fuesen datos de naturaleza cuantitativa o cualitativa, presentándolos de acuerdo a las técnicas estadísticas enseñadas. Utilice un software especializado si fuese necesario.

Paso 3. Analice los datos utilizando para ellos indicadores estadísticos apropiados que permitan caracterizar la información de acuerdo al problema planteado.

Paso 4. Explique claramente el planteamiento del problema y la solución hallada de manera que pueda observarse que ha entendido, aprendido y aplicado correctamente las técnicas de la estadística y utilice en su exposición herramientas tales como computador, software, power point, y otros que considere pertinente

4. Puntuación de los pasos /trabajos para la evaluación PUNTOS Paso 1. Construcción de la base de datos 10Paso 2. Organización y presentación de la información 30Paso 3. Caracterización de la información, basándose en Estadísticos de tendencia central y de dispersión 40Paso 4. Exposición, utilizando herramientas adecuadas 20

5. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades o actitudes(textos, sitios de la red,otros):

1 Uso de reglas, escuadras compás transportador, calculadoras manuales, papel milimetrado.

169

2. Uso de calculadora manual, tecnología mas avanzada como Power Point y Software estadístico.

3. Textos y apuntes

8. Rúbrica de evaluación

Evaluación clave Insatisfactorio Básico Competente Destacado Recolecte y construya una base de datos relativo al problema y analice el tipo de datos que ha recopilado, el que puede ser cualitativo o cuantitativo.

Agrupe y organice la información de acuerdo al tipo de datos de que se trate, esto es, si fuesen datos de naturaleza cuantitativa o cualitativa, presentándolos de acuerdo a las técnicas estadísticas aprendidas.

Analice los datos utilizando para ello indicadores estadísticos apropiados que permitan caracterizar la información de acuerdo al problema planteado.

Explique claramente el planteamiento del problema y la solución alcanzada de manera que pueda observarse que ha entendido, aprendido y aplicado correctamente las técnicas de la estadística y utilice en su exposición herramientas tales como computador, software, power point, y otros que considere pertinente.

El estudiante no logra explicar el problema dentro de un contexto, no identifica variables y no recolecta datos.

No agrupa y no organiza la información ya que no reconoce la variable.

No analiza los datos al no contar con la base de datos.

No explica

El estudiante logra explicar el problema dentro de un contexto, identifica variables, recolecta datos pero no distingue la naturaleza de los datos

Agrupa y organiza la información de acuerdo a la identificación de los datos dados por el .

Analiza los datos incorrectamente a causa de la incorrecta identificación de la variable.

Intenta dar una explicación que arrastra los errores cometidos a causa de la incorrecta identificación de la variable.

El estudiante entiende el problema correctamente, construye una base de datos y distingue el tipo de datos,

Agrupa y organiza la información correctamente de acuerdo a las técnicas estadísticas

Analiza los datos correctamente utilizando los estadísticos apropiados.

Explica claramente el problema, pero no utiliza las Tics.

El estudiante logra explicar el problema dentro de un contexto, identifica variables y distingue la naturaleza de los datos entregando mas información acerca de ellos

Agrupa y organiza la información correctamente de acuerdo a las técnicas estadísticas aprendidas y las corrobora mediante un software estadístico.

Analiza los datos correctamente utilizando los estadísticos apropiados y corrobora sus resultados con un software.

Explica claramente el problema utilizando los estadísticos apropiados y emplea Tics en su exposición.

EVALUACIÓN CLAVE 2

1. Estándar 10, 4 / Competencias 1, 6

2. Justificación: (¿por qué tiene que saber/hacer esto un/profesor de 2º ciclo)

Medición del azar

170

La mayoría de los fenómenos de la naturaleza contienen variables sujetas al azar, es decir, que pueden ser explicadas mediante el concepto de probabilidad. Sin embargo, el azar puede ser controlado y explicado a su vez mediante ciertas leyes, en particular mediante las leyes de los grandes números. El profesor tiene que ser capaz de contextualizar y comprender dichos fenómenos y analizar y resolver problemas de naturaleza probabilística.

3. Pre-requisitos. (lo que los estudiantes deben saber y saber hacer: antes de la evaluación)

a) Conocer el conjunto de los números reales, sus propiedades y las

operaciones que se pueden realizar con ellos.b) Tener nociones básicas del concepto de conjunto.c) Análisis combinatorio: Variaciones, permutaciones y combinaciones.

2. Descripción breve de la evaluación.

Analizar la naturaleza probabilística o deterministica de un experimento y calcular la probabilidad de ocurrencia de sucesos asociados a dicho experimento.

3. Describa los pasos de la evaluación en detalle.

Paso 1. Explique claramente la naturaleza aleatoria o determinística de un experimento, determinando la cardinalidad de un espacio muestral asociado a el. Paso 2. Describa la cardinalidad del suceso y su probabilidad de ocurrencia en dicho experimento.

4. Puntuación de los Pasos/Trabajos para la evaluación: PUNTOS

Paso 1. Determinar la aleatoriedad del fenómeno, distinguiendo la cardinalidad de un espacio muestral asociado a él 40

Paso 2. Calculo de la probabilidad de un suceso asociado a dicho 60 experimento

5. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus

conocimientos y habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

171

1. Materiales concretos, como domino, cartas, monedas, dados, etc.

2. Uso de calculadoras, textos y apuntes.

6. La rúbrica de evaluación

Evaluación clave Insatisfactorio Básico Competente Destacado

Explique claramente la naturaleza aleatoria o determinística de un experimento, determinando la cardinalidad de un espacio muestral asociado a el.

Describa la cardinalidad del suceso y su probabilidad de ocurrencia en dicho experimento

No logra explicar la naturaleza aleatoria o deterministica del experimento

No describe la cardinalidad

Logra explicar la naturaleza aleatoria o deterministica del experimento, pero, no determina correctamente el espacio muestral.

No logra describir la cardinalidad correctamente debido a que no determinó correctamente el espacio muestral

Logra explicar la naturaleza aleatoria o deterministica del experimento. Logra determinar el espacio muestral y describe correctamente su cardinalidad.

Describe correctamente la cardinalidad del suceso y su probabilidad de ocurrencia en el experimento..

Logra explicar la naturaleza aleatoria o deterministica del experimento. Determina correctamente el espacio muestral y su cardinalidad y conjetura la posibilidad de mas de un espacio muestral asociado en experimentos aleatorios.

Describe correctamente la cardinalidad del suceso y su probabilidad de ocurrencia en el experimento.

Asignatura: Nùmeros: sus usos y operacionesAutor(a)/Universidad: Raimundo Olfos /P.U. Católica de Valparaíso, Horas presenciales por semana: 4 horas teóricas, 2 horas prácticasHoras requeridas del alumno por semana afuera del aula: 6 horas.

Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica

El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es un profesional con sólida formación pedagógica y disciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje, con autonomía para tomar decisiones informadas. Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación para desarrollar las competencias que le permiten responsabilizarse de los procesos y resultados de su enseñanza. En colaboración con la familia y comunidad, se compromete con el logro de aprendizajes que potencien el desarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantes preadolescentes. Participa en acciones de cooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidad de la educación que ofrece su institución escolar

ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS

I. Estándares del perfil de egreso relacionados al curso.

172

Los siguientes estándares y competencia tienen un énfasis principal en este curso:

Estándar 1:

Comprende los conceptos de número natural y entero, como abstracción de las cantidades discretas, y los distingue de sus formas de representación.

Justifica procedimientos y estrategias de cálculo aritmético, y propiedades del orden y de las operaciones con números naturales y enteros a partir de propiedades evidentes de los números y de sus sistemas de representación.

Resuelve problemas referidos a cantidades y magnitudes discretas positivas o negativas, haciendo uso eficiente del orden, las operaciones, las propiedades de las operaciones, el valor absoluto, las ecuaciones, las inecuaciones, y herramientas tecnológicas, según las condiciones dadas y el modelo que construya de la situación.

Diseña desafíos y problemas referidos a situaciones de orden, conteo, aditivas, multiplicativas, de divisibilidad y restos ligadas a contextos de los programas oficiales de segundo ciclo de distintos sectores curriculares, en los que se utilice operaciones, ecuaciones, inecuaciones y en general propiedades de los números naturales o enteros.

Estándar 3:

Comprende los significados asociados a las fracciones y el concepto de número racional como elemento de un conjunto cuociente, distinguiendo sus diferencias y similitudes. Reconoce los números decimales como aquellos racionales que se expresan por fracciones cuyo denominador es una potencia de diez. Reconoce las expresiones o desarrollos decimales finitos y periódicos como una forma de representación de los números racionales, alternativa a las fracciones, que facilita los cálculos de las operaciones aritméticas. Comprende la existencia de cantidades inconmensurables, e identifica los números irracionales con las expresiones o desarrollos decimales infinitos no periódicos. Reconoce en las distintas formas de representación de los números una complejidad conceptual que se constituye en un obstáculo didáctico.

Reconoce las propiedades del orden y de las operaciones, incluyendo potencias y raíces, en los números decimales, racionales e irracionales, y las visualiza bajo las distintas formas de representación, incluyendo esquemas y gráficos, de estas categorías de números. Fundamenta los procedimientos de cálculo a partir de las formas de representación de los números.

Resuelve problemas asociados a fenómenos naturales y sociales a partir de la modelación de situaciones referidas a diferencias y razones entre medidas, mediciones y particiones, repartos y fraccionamientos, equivalencia de fraccionamientos, cuocientes y restos, pendientes, escalas, semejanza,

173

porcentajes, tasas y variaciones proporcionales, probabilidades, medidas grandes y pequeñas, redondeos, aproximaciones, estimaciones, uso de calculadora y algoritmos operatorios, y uso de estrategias de cálculo; para lo cual utiliza números irracionales, el sistema de los números racionales y diferentes registros de representación, incluyendo expresiones fraccionarias, decimales finitas, infinitas periódicas y no periódicas, y potencias con exponente entero.

Diseña, selecciona y resuelve situaciones problemas asociadas a distintas disciplinas, en el marco de los programas de estudio de segundo ciclo básico, usando fracciones, decimales y porcentajes.

El siguiente estándar y las siguientes competencias tienen un énfasis secundario en este curso:

Estándar 5Comprende de manera intuitiva los números reales como completación de los racionales, a partir de los desarrollos decimales infinitos y el modelo de la recta numérica, disponiendo de herramientas conceptuales y procedimentales para la resolución de problemas y la interpretación de fenómenos referidos a magnitudes continuas, teniendo en vista la organización de su enseñanza.

Comprende los números complejos como producto cartesiano de los reales en el plano, a partir del cual se define una operatoria útil, de tipo vectorial que le permite resolver situaciones problemas.

Competencia 6 (Eje 2 del Perfil): Evalúa, selecciona y diseña materiales, métodos y situaciones de aprendizaje apropiadas, en cuanto a su precisión y utilidad para presentar ideas y conceptos en su disciplina

II. Aprendizajes (claves para el logro de los estándares/competencias)

Conceptuales Distingue el objeto matemático número natural de los símbolos usados

para su representación, y de los conceptos de ordinal y cardinal. Relaciona los algoritmos de operación con sus estructuras, en particular

en el sistema indo-arábigo, y fundamenta los algoritmos de operación en función de la base del sistema de numeración decimal.

Comprende el número entero como una magnitud vectorial discreta con magnitud y dirección asociada al valor absoluto, y distingue el uso del cero como valor absoluto (magnitud) y como valor relativo (posición).

Clasifica los problemas aditivos en problemas de transformación, agregación y variación; y desarrolla estrategias para la resolución de los mísmos.

Provee justificaciones a los algoritmos de suma y multiplicación en Z.

174

Describe situaciones referidas a parte todo, parte de la unidad, punto en la recta, porcentaje, razón entre cantidades que se expresan por medio del símbolo de fracción.

Comprende las fracciones propias e impropias como números que representan cantidades que aluden a parte de una unidad.

Describe situaciones en que es indistinto el uso de fracciones equivalentes y resulta apropiado usar el conjunto cuociente.

Fundamenta la conveniencia de introducir los números irracionales para describir las magnitudes continuas

Diferencia los números decimales, que representan a las fracciones cuyo denominador es una potencia de diez, de los desarrollos decimales que representan cantidades racionales e irracionales.

Identifica la recta real como un modelo para representar los números racionales e irracionales y ubica fracciones, decimales finitos e infinitos en la recta.

Fundamenta los procedimientos de cálculo aritmético a partir de las formas de representación de los números.

Identifica el plano como un modelo para representar los números complejos, y ubica números complejos en el plano a partir de sus coordenadas cartesianas o su módulo y argumento.

Procedimentales Verifica por medio de ejemplos propiedades como la asociatividad, y

explica la limitación de la verificación como argumento de prueba general. Prueba propiedades de divisibilidad basándose en las propiedades del

sistema de numeración decimal y provee argumentos sobre la validez general de la propiedad.

Muestra que los números con representación decimal finita admiten otra infinita.

Resuelve problemas referidos situaciones multiplicativas usando ecuaciones, y calculadora o cálculo mental, según las condiciones dadas.

Utiliza la descomposición prima de los números y el teorema fundamental de la aritmética multiplicativo para resolver problemas multiplicativos.

Genera situaciones problemas referidas a las nociones de divisibilidad, cuociente y resto, las relaciona con el Algoritmo de Euclides y las resuelve.

Modela situaciones problemas del ámbito de su disciplina en que se utilicen números enteros o naturales.

Transforma fracciones a decimales y viceversa, y fundamenta sus procedimientos.

Compara, ordena e intercala fracciones y decimales entre sí. Realiza multiplicaciones usando fracciones y expresión decimal de las

mismas. para facilitar los cálculos de las operaciones Prueba la irracionalidad de raíz de dos, a partir del estudio de la

inconmensurabilidad de la longitud de la diagonal de un cuadrado con respecto a la longitud base.

Reconoce las propiedades del orden y de las operaciones, en los números decimales, racionales e irracionales, distingue las que se heredan de los números naturales o enteros, y las visualiza bajo las

175

distintas formas de representación, incluyendo esquemas y gráficos, de estas categorías de números.

Resuelve problemas por medio de cuocientes, razones, tasas, proporciones, probabilidades, repartos y fraccionamientos.

Utiliza en la resolución de problemas estrategias de redondeo, aproximaciones, estimaciones, calculadora, ecuaciones, inecuaciones, algoritmos operatorios y estrategias de cálculo basada en las propiedades de las operaciones

Diseña, situaciones problemas asociadas a distintos sectores del currículo de segundo ciclo básico, usando fracciones y decimales y porcentajes.

Representa en el plano cartesiano situaciones en que se usan números complejos.

.Actitudinales Reconoce el carácter pragmático de los sistemas de numeración y valora

su aporte a la cultura Reconoce que la complejidad conceptual presente en la noción de

número constituye un obstáculo didáctico para la enseñanza de los números.

III. Lecturas Requeridas:

Lecturas obligatorias:

Castro, E., Rico, L. y Castro, E. (1995). Estructuras Aritméticas Elementales y su Modelización. Una Empresa Docente. Bogotá.

Centeno, J. (1988) Números Decimales. ¿Por qué?, ¿Para qué?. Síntesis. Madrid.

Chuaqui, R. (1980). ¿Qué son los Números? El método axiomático. Universitaria. Santiago

Dávila, M. (1992). El Reparto y las Fracciones. En Educación Matemática. Vol.4 Nº 1 Abril Pp 32-45. MéxicoLembke, L. Y Reys, B. (1994) The development of , and interaction between, intuitive and school-thaught ideas about percent. En Journal for Research in Mathematics Education. Vol. 25, Nº 3, 237-259. 1994.

Llinares, S. Y Sánchez, M.A. (1988). Fracciones. Síntesis. Madrid.

MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para quinto año básico. Santiago, Chile

MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para sexto año básico. Santiago, Chile

MINEDUC,(1998). Planes y programas de estudio para séptimo año básico. Santiago, Chile

MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para octavo año básico. Santiago, Chile

Lecturas complementarias:

Adler, I. (1969). Magic House of Numbers Signet, New York.

176

Boyer, C.B. (1986) Historia de la matemática. Alianza Editorial, Madrid, (3ª impresión 2003).

Brumfiel, Ch., Eichole, R. y Shanks, M. (1962). Fundamental Concepts of Elementary Mathematics. Addison Wesley, Massachusetts.

Campbell, S., & Zazkis, R. (2002). Toward number theory as a conceptual field. In Campbell, S., & Zazkis, R. (Eds.) Learning and teaching number theory: Research in cognition and instruction (pp. 1-14). Journal of Mathematical Behavior Monograph. Westport, CT: Ablex Publishing.

Carpenter, T., Fenema, E. Y Romberg, T. (eds.) (1993). Racional Numbers, an integration of research. N.Y. Erlbaum.

Pitkenthly, A. y Hunting, R. (1996). A review of recent research in the area of initial fraction concepts. Educational Studies in Mathematics. (30), 1, pp. 5-38. Estados Unidos.

Rico, L. (1998) Conocimiento Numérico y Formación del Profesorado. En Revista de Educación de la Universidad de Granada. Vol. 11 Granada.

Zazkis, R. y Campbell, S. (1996) Divisibility and Multiplicative Structure of Natural Numbers: Preservice Teachers’ Understaning. En Journal for Research in Mathematics Education. Vol. 27. Nº 5 pp 540-563. Estados Unidos.

IV. Otros recursos:Cid, E., Godino, J.D. y Batanero, C. (2003) Sistemas numéricos y su didáctica para maestros. Universidad de Granada. En http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

V. Trabajos requeridos al alumno para lograr estándares y competencias del perfil

1. Elaboración del concepto y funcionamiento del número natural Estándar 1

Habiendo organizado el profesor tareas para trabajos en grupo, los estudiantes exploran y comparten con sus pares antecedentes sobre distintos sistemas de numeración y proveen una clasificación de ellos. Luego, los estudiantes analizan situaciones en que se usan los números naturales como identificadores, ordinales y cardinales y discuten con sus pares acerca de las características estructurales subyacentes a los números según el uso que se les da. Finalmente, elaboran una definición de número, natural, en función de sus sistemas de representación, las situaciones en que se utilizan y los invariantes operatorios subyacentes.

Tras representar el profesor los naturales en un sistema como el binario, desafía a los alumnos a indagar sobre la numeración y los algoritmos operatorios en distintos sistemas de numeración, como el sexagesimal y el de base doce. Los estudiantes son desafiados a elaborar justificaciones para los algoritmos de operación, como por ejemplo el uso de reservas o ceros en el cuociente, el corrimiento de cifras y el ordenamiento de los números en columnas alineadas a la derecha para sumar. Se les solicita indagar y dar justificaciones sobre la forma

177

de multiplicar por los turcos y el uso de algoritmos alternativos para operar en distintas bases, o bien en casos particulares como multiplicar por 25 en base 10

Los cursantes en grupos y coordinados con el profesor del curso presentan en Ppoint a sus compañeros parte de este trabajo

2. Argumentación de los usos y técnicas usadas con fracciones y decimales Estándar 3

A partir de desafíos propuestos por el profesor del curso, tales como fundamentar la igualdad entre 1 y 0,999..., justificar el uso del MCM entre denominadores para sumar fracciones, justificar la estrategia de multiplicar cruzado para dividir fracciones, fundamentar las técnicas para transformar decimales periódicos en fracciones, argumentar la equivalencia entre calcular la mitad de la mitad de una cantidad multiplicada por 100 para determinar el 25% de la misma, los estudiantes son inducidos a buscar justificaciones a los algoritmos operatorios, a generar técnicas operatorias basados en fundamentos propios y a encontrar propiedades de los números usando configuraciones puntuales, cambios de registro y distintas formas de representar los números.

Los estudiantes utilizan el MCM, el MCD, razones y distintas operaciones con decimales y fracciones para resolver problemas, justificando las operaciones y estrategias utilizadas.

Los cursantes en grupos y coordinados con el profesor del curso entregan un informe breve de parte de este trabajo

3.Elaboración entre pares de problemas de distintas disciplinas, usando distintos tipos de números: Estándares 1, 3, 5 y Competencia 6

El profesor solicita a los estudiantes que se agrupen entre cursantes de distintas menciones. Los grupos elaboran y comparten problemas en contextos apropiados para alumnos de segundo ciclo básico en los cuales se usen distintos tipos de números: enteros, racionales y reales.

Luego relacionan esos problemas con los aprendizajes esperados en los programas de estudio y textos escolares de segundo ciclo básico.

Los cursantes en grupos y coordinados por el profesor entregan informes breves de parte de los productos alcanzados en la actividad.

VI. Evaluaciones Clave

EVALUACIÓN 1: “Ensayo escrito y exposición oral acerca del significado y uso de los números”

1. Estándar 1

2. Justificación:

178

El estándar 1 exige al futuro profesor la comprensión de los conceptos de número natural y entero, la comprensión de los procedimientos para operar con ellos y la habilidad para utilizarlos para resolver situaciones problemas. Estos conocimientos permitirán al profesor entender las dificultades que enfrentarán sus alumnos al aprender el sentido y uso de estos números, y permitirán al profesor disponer de herramientas conceptuales para facilitar a sus alumnos estos aprendizajes.

3. Pre-requisitos:

Para la elaboración del ensayo escrito y hacer la exposición oral, los estudiantes deben:

Saber usar un procesador de textos como Word y un presentador como PowerPoint.

Tener dominio de la aritmética en N y Z, incluyendo los algoritmos canónicos para las cuatro operaciones, la prioridad de las operaciones, el uso de paréntesis y entendimiento de las posiciones de las cifras en el sistema de numeración decimal.

4. Descripción breve de la evaluación:

Ensayo escrito y exposición oral

Se solicita a los estudiantes que:

Entreguen un ensayo elaborado sobre su comprensión de los números naturales como abstracción de las cantidades discretas y sus usos por medio de sistemas de representación para modelar situaciones y resolver problemas de orden y conteo, aditivos y multiplicativos, y de divisibilidad y restos.

Expongan al curso en un tiempo breve de 10 minutos y con apoyo de un presentador, algunos conceptos desarrollados en el ensayo, a partir de una selección previa concordada con el profesor.

5. Descripción en detalle de los pasos de la evaluación.

Paso 1: Situaciones de uso de los números naturales Los futuros profesores deben desarrollar con claridad situaciones distintas, en las que los números por ejemplo se usen como cantidades o como ordinales, de modo que se aprecie la potencialidad del modelo de los números y se diferencie de las situaciones en que se utilice.

Paso 2: Formas de representación de los números naturales.El análisis de las formas de representación de los números deben dejar en evidencia las ventajas de los sistemas usados según las situaciones en juego. Por ejemplo en una situación de orden (tomos de libros), que no requiere operar cantidades, es suficiente un sistema de numeración como el romano, y en situaciones en que los números se procesan con un lector óptico es apropiado un código de barras.

Paso 3: Acerca del concepto de número natural.

179

El ensayo debe identificar los principales invariantes de los números naturales, independientes de su forma de representación y de las situaciones a las que se alude con ellos en determinado momento.

Exposición oral.La exposición debe centrarse en un aspecto, debe ser clara, concisa y de relevancia para los compañeros de su curso. Por lo cual será previamente orientada y acotada en acuerdo con el profesor.

6. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

Para el ensayo escrito dispondrán de referencias bibliográficas y una pauta de evaluación, y

Para la exposición oral dispondrán además de un proyector y del tiempo preestablecido

Rúbrica de Evaluación:

Criterio Insuficiente0

Básico3

Logra6

Destacado8

Puntos

Uso de los números naturales en la resolución de problemas

No es capaz de modelar ni resolver problemas de orden conteo ni aditivos, usando números.

Modela parcialmente situaciones, pero no es capaz de resolver problemas de orden conteo y aditivos, usando números

Comprende el uso de los números para modelar y resolver proble-mas de orden conteo y aditivos.

Modela y resuelve correctamente problemas de orden conteo y aditivos, usando números.

8

Distinción entre el concepto de número y su representación

No es capaz de proveer ejemplos ni explicaciones que clarifiquen la diferencia.

Distingue los naturales de los símbolos usados para representar-los

Provee ejemplos pero no es capaz de explicar la diferencia.

Provee claras explicaciones y ejemplos que clarifican la diferencia.

8

Distinción del concepto de número de las situaciones que le dan sentido en la realidad.

No es capaz de proveer ejemplos ni explicaciones que clarifiquen la diferencia.

Provee ejemplos pero no es capaz de explicar la diferencia

Distingue los naturales de las nociones de ordinal, cardinal y cantidad discreta.

Provee claras explicaciones y ejemplos que clarifican la diferencia.

8

Claridad para exponer su comprensión de aspectos sobre los números naturales, sus usos y representación

No muestra comprensión del concepto a tratar

Presentación poco clara

Presenta con claridad el concepto a tratar, aunque no concisa o con débil apoyo multimedial.

Presentación clara, concisa y buen apoyo

8

EVALUACIÓN 2

180

“Resuelve y elabora problemas vinculados a distintas disciplinas, que requieren usar números racionales o irracionales para su resolución y que se ajustan a los contenidos de los programas de estudio de segundo ciclo básico”

1. Estándar 3 y 5 / Competencia 6.

2. Justificación:

Esta evaluación es consistente con los estándares 3 y 5, que establecen que el profesor de segundo ciclo básico comprenda los números racionales e irracionales y utilice estos números desde una perspectiva interdisciplinaria para resolver y plantear situaciones problemas, en el ámbito de los contenidos de los programas de segundo ciclo básico.

En atención a la competencia 6, se aprovecha la participación de estudiantes de distintas menciones, para compartir un enfoque interdisciplinario en la construcción de desafíos y problemas matemáticos en diversos contextos para alumnos de segundo ciclo básico.

La resolución de problemas es un objetivo de aprendizaje medular en la educación escolar. Relaciona la actividad escolar con la vida cotidiana, favorece el desarrollo de un pensamiento autónomo en los alumnos y ayuda a los alumnos a una mejor participación social. En esta evaluación la modelación de las situaciones problemas se realiza en el marco de distintas categorías de números y de distintas representaciones usadas para éstos.

3. Pre-requisitos:

Para la elaboración y resolución de los problemas, los estudiantes deben:

Tener comprensión lectora, y habilidad para redactar.

Tener dominio de la aritmética en Q y R.

4. Descripción breve de la evaluación:

Resolución y elaboración de problemas

Se solicita a los estudiantes que:

Resuelvan problemas propuestos en los que requieren interpretar la situación haciendo uso de los números enteros, racionales o irracionales, sus operaciones y propiedades.

Elaboren problemas que requieran el uso de números enteros, racionales o irracionales, que hagan referencia a distintos sectores del currículo y que sean pertinentes a los aprendizajes esperados para alumnos de segundo ciclo básico. .

181

5. Descripción en detalle de los pasos de la evaluación.

Paso 1: Plantear problemas a partir de los enunciados dados. Los futuros profesores deben interpretar correctamente el sentido de las situaciones propuestas, de modo que determinen el modelo aritmético requerido para resolver el problemas.

Paso 2: Resolver el problema haciendo cálculos y aplicando propiedades de las operaciones, e interpretando el resultado.Una vez modelado el problema, el futuro profesor debe llevar adelante las operaciones y usar las propiedades de los números. Llegando a un resultado, ha de contrastarlo con la pregunta, para revisar si parece ser una respuesta ajustada.

Paso 3: Idear situaciones que hagan uso de los números reales y sus operaciones. Las situaciones pueden dar cabida tanto a problemas abiertos como a problemas de aplicación. Tales situaciones deben ser cercanas a la realidad de los estudiantes, de modo que el enunciado no constituya un obstáculo para la comprensión del problema por parte del alumno.

Estructurar las situaciones conforme al nivel de segundo ciclo básico..La situación debe ajustarse desde una perspectiva interdisciplinaria a los programas de segundo ciclo básico. De modo que sea pertinente y atractiva para los alumnos.

6. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

Para la resolución de problemas sólo dispondrán de papel y lápiz, y no calculadora. Será un trabajo individual que deberán hacer dentro de un tiempo limitado.

El trabajo de elaboración de situaciones problemas podrá hacerse en binomios o pequeños grupos. Los alumnos dispondrán de los programas de estudio y de un tiempo suficiente para reflexionar y mejorar sus producciones, en el contexto de una tarea evaluada.

Rúbrica de Evaluación:

Insuficiente0

Básico3

Logra6

Destacado8

Puntos

Planteamiento del problema sobre cuocientes, fraccionamientos, repartos, proporciones, porcentajes, y probabilidades

No es capaz de modelar los problemas que se le proponen

Sólo es capaz de modelar los problemas simples, relativos a números enteros o con una operación.

Es capaz de modelar los problemas simples y complejos

Plantea caminos de resolución fáciles de entender e implementar

8

Resolución de los problemas

No es capaz de resolver el problema

Resolución parcial del problema. Comete errores en cálculos o en la aplicación de

Resuelve totalmente los problemas, pero por caminos poco eficientes

Resuelve correctamente los problemas por medio de caminos

8

182

propiedades eficientes.Elaboración de situaciones problemas, tanto de aplicación como de descubrimiento o conceptualización

No es capaz de proponer situaciones relacionadas con el uso de distintos tipos de números

Propone situaciones poco coherentes, que poca relación tienen con los números y con la realidad

Propone situaciones adecuadas, pero simples en que se usan algoritmos convencionales y no estrategias poco convencionales

Propone situaciones realistas y complejas, incluso abiertas, que involucran cambios de registro.

16

Ubicación de la situación en el contexto del nivel del segundo ciclo básico

No es capaz de ubicar la situación en el ámbito de los programas de matemática del segundo ciclo básico.

Las situaciones se refieren a contenidos de los programas de matemáticas del segundo ciclo, pero sólo a nivel de aplicaciones. Además, no se relaciona con contenidos de otros sectores del ciclo.

Las situaciones aplican la matemática de segundo ciclo, no llevan a descubrir nociones. Aunque, se relacionan con contenidos de otros sectores del nivel.

Se incluyen situaciones abiertas que llevan a conceptos nuevos, y se relacionan con los contenidos de otros sectores del ciclo.

8

VI. Puntuación de los Trabajos para la evaluación:

Puntos:1. Presentación Ppoint “Concepto de Números” 122. Informe I “Justificación de técnicas operatorias”

83. Informe II “Elaboración de problemas”

84 Ensayo escrito y exposición oral (Evaluación clave 1, Estándar 1)

325. Trabajo en binomio y prueba Individual (Evaluación clave 2, Estándar 3 y 5) 40

Total de puntos: 100

Se exige un 60% para la aprobación del curso.

Asignatura: Números racionales, reales y complejosAutor(a)/Universidad: Raimundo Olfos /P.U. Católica de Valparaíso, Horas presencial por semana: 6 (4 teóricas, 2 prácticas)Horas requeridas del alumno por semana afuera del aula: 6 horas.

Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica

El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es un profesional con sólida formación pedagógica y disciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje, con autonomía para tomar decisiones informadas. Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación para desarrollar las competencias que le permiten responsabilizarse de los procesos y resultados de su enseñanza. En colaboración con

183

la familia y comunidad, se compromete con el logro de aprendizajes que potencien el desarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantes preadolescentes. Participa en acciones de cooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidad de la educación que ofrece su institución escolar

ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS

I. Estándares y Competencias del perfil de egreso relacionado al curso.

Los siguientes estándares y competencias tienen un énfasis principal en este curso:

Estándar 4:

Comprende el concepto de número racional, como ente formal cuyas propiedades están dadas por su definición constructiva y las proposiciones que se deducen de ellos.

Comprende la estructura deductiva del sistema de los números racionales, reconoce sus propiedades como cuerpo ordenado y es capaz de explorar y deducir algunas propiedades en el marco de la estructura del cuerpo cuociente construido desde el anillo de los números enteros. Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza que favorecen la comprensión y utilización de los números irracionales y del cuerpo ordenado de los racionales, en situaciones referidas a fracciones de medidas, particiones, reparto, ubicación en la recta, equivalencia de fracciones, expresiones decimales infinitas periódicas y no periódicas, redondeos, aproximaciones, estimaciones, operaciones entre racionales, cálculos con algoritmos estándares, uso de estrategias de cálculo, uso de calculadora, lectura y escritura de números racionales, divisores, restos, potencias, medidas grandes y pequeñas, exponentes enteros incluyendo negativos; atendiendo a los obstáculos didácticos asociados a estos conceptos, a las orientaciones didácticas de los programas oficiales de cuarto básico a primero medio, y a los enfoques cognoscitivos actuales de los aprendizajes.

Estándar 5:

Comprende de manera intuitiva los números reales como completación de los racionales, a partir de los desarrollos decimales infinitos y el modelo de la recta numérica, disponiendo de herramientas conceptuales y procedimentales para la resolución de problemas y la interpretación de fenómenos referidos a magnitudes continuas, teniendo en vista la organización de su enseñanza.

184

Comprende los números complejos como producto cartesiano de los reales en el plano, a partir del cual se define una operatoria útil, de tipo vectorial que permite resolver situaciones problemas.

Competencia 1, Eje 2: Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas del sector de aprendizaje que es responsable de enseñar. (Matemática)

Competencia 3, Eje 2: Planifica secuencias de enseñanza y evaluación que contemplan la lógica de los contenidos y el proceso de aprendizaje, considerando en sus actividades y en la evaluación de estas, los procesos cognoscitivos.

El siguiente estándar y las siguientes competencias tienen un énfasis secundario en este curso:

Estándar 3:

Comprende los significados asociados a las fracciones y el concepto de número racional como elemento de un conjunto cuociente, distinguiendo sus diferencias y similitudes. Reconoce los números decimales como aquellos racionales que se expresan por fracciones cuyo denominador es una potencia de diez. Reconoce las expresiones o desarrollos decimales finitos y periódicos como una forma de representación de los números racionales, alternativa a las fracciones, que facilita los cálculos de las operaciones aritméticas. Comprende la existencia de cantidades inconmensurables, e identifica los números irracionales con las expresiones o desarrollos decimales infinitos no periódicos. Reconoce en las distintas formas de representación de los números una complejidad conceptual que se constituye en un obstáculo didáctico.

Reconoce las propiedades del orden y de las operaciones, incluyendo potencias y raíces, en los números decimales, racionales e irracionales, y las visualiza bajo las distintas formas de representación, incluyendo esquemas y gráficos, de estas categorías de números. Fundamenta los procedimientos de cálculo a partir de las formas de representación de los números.

Resuelve problemas asociados a fenómenos naturales y sociales a partir de la modelación de situaciones referidas a diferencias y razones entre medidas, mediciones y particiones, repartos y fraccionamientos, equivalencia de fraccionamientos, cuocientes y restos, pendientes, escalas, semejanza, porcentajes, tasas y variaciones proporcionales, probabilidades, medidas grandes y pequeñas, redondeos, aproximaciones, estimaciones, uso de calculadora y algoritmos operatorios, y uso de estrategias de cálculo; para lo cual utiliza números irracionales, el sistema de los números racionales y diferentes registros de representación, incluyendo expresiones fraccionarias, decimales finitas, infinitas periódicas y no periódicas, y potencias con exponente entero.

185

Diseña, selecciona y resuelve situaciones problemas asociadas a distintas disciplinas, en el marco de los programas de estudio de segundo ciclo básico, usando fracciones, decimales y porcentajes.

Competencia 2, Eje 2:Comprende el marco curricular nacional y los mapas de progreso para el sector curricular que enseña y utiliza este conocimiento para planificar su enseñanza.

Competencia 6, Eje 2:Evalúa, selecciona y diseña materiales, métodos y situaciones de aprendizaje aprendidas, en cuanto a su precisión y utilidad para presentar ideas y conceptos en su disciplina.

II. Aprendizajes (claves para el logro de los estándares/competencias)

Indicadores de logro

Conceptuales: Describe el concepto de número racional, como ente formal cuyas

propiedades están dadas por su definición constructiva Explica la diferencia entre el número irracional como objeto matemático y

su representación. Construye los racionales como cuerpo cuociente y define el orden, la

suma y el producto en Q. Identifica las propiedades de Q como cuerpo cuociente, ordenado,

arquimediano, pero no completo, incluyendo propiedades de las potencias.

Identifica las propiedades de Q que no se verifican en Z. Define raíz de un número y su potencia, Explica la necesidad de definir los números irracionales para representar

situaciones referidas a magnitudes continuas. Explica el sentido de la definición de número irracional como un límite de

sucesiones de Cauchy, intervalos encajados o cortaduras. Caracteriza las situaciones en contextos cotidianos o de especialidad en

que se usa preferentemente los decimales en vez de las fracciones, y viceversa.

Identifica obstáculos didácticos asociados a la comprensión y uso de los números racionales e irracionales en el segundo ciclo básico, en particular los obstáculos epistemológicos que quedan en evidencia en el desarrollo histórico de la noción de número real, y planifica actividades para la superación de estos por parte de los alumnos

Define los números reales como completación de Q y los Identifica con sucesiones de Cauchy, intervalos encajados o cortaduras que se representan por medio de los desarrollos decimales infinitos y por puntos en la recta numérica.

Utiliza el modelo de los números reales para resolver problemas y representar fenómenos o situaciones referidos a magnitudes continuas, teniendo en vista la organización de su enseñanza en el segundo ciclo básico.

186

Identifica los números complejos como pares ordenados de números reales, los representa en el plano, conoce su operatoria, sus propiedades y usos como vectores que permiten resolver situaciones problemas.

Procedimentales: Explora y deduce algunas propiedades en el cuerpo ordenado (Q,+,*) a

partir de (Z,+,*). Demuestra algunas propiedades de Q que no se verifican en Z. Explora propiedades de las raíces y hace demostraciones a partir de las

propiedades de las potencias. Extiende y verifica o demuestra propiedades algebraicas de las

operaciones con números racionales al ámbito de los irracionales. Fundamenta los algoritmos de operación para las fracciones y los

decimales, los cambios de registro, el uso de estrategias de cálculo mental y otras estrategias ad hoc.

Resuelve problemas en contextos cotidianos sobre cuocientes, razones, tasas, proporciones, probabilidades, repartos y fraccionamientos utilizando distintas representaciones de los racionales, sus operaciones y propiedades.

Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza, entre ellos algunas situaciones problemas que favorecen la comprensión y utilización del cuerpo ordenado de los racionales, en situaciones referidas a fracciones de medidas, particiones, reparto, equivalencia de fracciones, operaciones entre racionales, cálculos con algoritmos estándares, uso de estrategias de cálculo, uso de calculadora, lectura y escritura de números racionales, divisores, restos, potencias, exponentes enteros incluyendo negativos; atendiendo a los obstáculos didácticos asociados a estos conceptos y a las orientaciones didácticas de los programas oficiales de cuarto básico a primero medio.

Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza que favorecen la comprensión y utilización de los racionales, en situaciones referidas a ubicación en la recta, expresiones decimales infinitas periódicas, redondeos, aproximaciones, estimaciones, medidas grandes y pequeñas; atendiendo a los obstáculos didácticos asociados a estos conceptos, a las orientaciones didácticas de los programas oficiales de cuarto básico a primero medio, y a los enfoques cognoscitivos actuales de los aprendizajes

Organiza y diseña actividades que favorecen la comprensión y utilización de los números irracionales, en situaciones referidas a fracciones de medidas, ubicación en la recta, expresiones decimales infinitas no periódicas, redondeos, aproximaciones, uso de estrategias de cálculo, uso de calculadora, medidas grandes y pequeñas, atendiendo a los obstáculos didácticos asociados a estos conceptos y a las orientaciones didácticas de los programas oficiales de octavo básico y primero medio.

Actitudinales

Valora los números reales y los números complejos como modelos de las cantidades continuas

187

III. Lecturas Requeridas:

Obligatoria:

Burton, D. (1967). Introduction to Modern Abstract Álgebra. Addison Wesley Pub. Co.

Centeno, Julia (1997). Números decimales ¿Por qué?, ¿Para qué?. Serie matemáticas: Cultura y aprendizaje. Editorial Síntesis.

MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para quinto año básico. Santiago, Chile

MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para sexto año básico. Santiago, Chile

MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para séptimo año básico. Santiago, Chile

MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para octavo año básico. Santiago, Chile

NCTM (1989). Estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática.

Complementaria

Adler, I. (1969). Magic House of Numbers Signet, New York.

Boyer, C.B. (1986) Historia de la matemática. Alianza Editorial, Madrid, (3ª impresión 2003).

Brumfiel, Ch., Eichole, R. y Shanks, M. (1962). Fundamental Concepts of Elementary Mathematics. Addison Wesley, Massachusetts.

Courant, R y Robbins, H. (1996). What is mathematics ? Oxford University Press.

Dávila, M. (1992). El Reparto y las Fracciones. En Educación Matemática. Vol.4 Nº 1 Abril Pp 32-45.

Llinares, S. Y Sánchez, M.A. (1988). Fracciones. Síntesis. Madrid.

Pitkenthly, A. y Hunting, R. (1996). A review of recent research in the area of initial fraction concepts. Educational Studies in Mathematics. (30), 1, pp. 5-38.

Rico, L. (1998) Conocimiento Numérico y Formación del Profesorado. En Revista de Educación de la Universidad de Granada. Vol. 11 Granada.

Rouche, N. (1993). De las Magnitudes a los Racionales. Documento Inédito. CIDE, Santiago.

Dobrot, S (1964). Real Numbrers, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J

IV. Otros recursos:Cid, E., Godino, J.D. y Batanero, C. (2003) Sistemas numéricos y su didáctica para maestros. Universidad de Granada. En http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

188

V. Trabajos requeridos al alumno para lograr estándares y competencias del perfil

1. Modelación y deducciones en los Racionales Estándar 4El estudiante elabora un informe, en conformidad a los siguientes requerimientos Dadas situaciones referidas a fraccionamientos y repartos, el alumno identifica

las propiedades comunes, tales como la subdivisión de los enteros y la existencia de valores equivalentes. Tras la institucionalización por parte del profesor, el estudiante comparte verbalmente con sus pares las nociones de fracción equivalente y de clase de equivalencia. Y luego las describe por escrito

Tras analizar situaciones de fraccionamiento y reparto, como la distribución equitativa de objetos y la subdivisión de enteros a partir de un fraccionamiento, discute y explica por escrito la construcción de los racionales como conjunto cuociente.

Tras estudiar las propiedades iniciales de los racionales como anillo cuociente, elabora al menos dos demostraciones referidas al orden, la adición o la multiplicación en Q y explica el significado de una partición asociada a una relación de equivalencia.

IV. Otros recursos:

2. Análisis de conjeturas y elaboración de demostraciones Estándar 4El estudiante entrega un informe atendiendo a las siguientes solicitudes: Tratada la construcción del cuerpo ordenado arquimediano Q, el estudiante

propone y prueba conjeturas, siendo conducido a encontrar propiedades relativas a la estructura de cuerpo de Q y de su orden.

A partir del análisis de los números racionales y la deducción de algunas propiedades, el estudiante es desafiado a conjeturar, refutar, verificar y discutir demostraciones sobre propiedades del orden, la adición, la multiplicación y las potencias en Q.

3. Análisis del cuerpo (R,+,*) como modelo. Estándar 5El estudiante entrega un informe atendiendo a los siguientes requerimientos: Tras reconocer los números reales como modelo de situaciones referidas a

“magnitudes continuas”, el estudiante identifica la recta numérica y los desarrollos decimales como representaciones del modelo de los números reales.

El estudiante verifica las propiedades algebraicas de los reales. El estudiante analiza la veracidad de conjeturas acerca del orden y la completitud

de los reales, muestra situaciones referidas a las conjeturas y demuestra o refuta según corresponda.

4. Análisis del cuerpo (C,+) como modelo. Estándar 5El estudiante entrega un informe atendiendo a los siguientes requerimientos: Tras reconocer los números complejos como modelo de situaciones referidas a

“vectores en el plano”, el estudiante identifica el plano como una representación del modelo de los números complejos.

El estudiante verifica las propiedades algebraicas de los complejos El estudiante analiza la veracidad de conjeturas acerca de loa magnitud y de la

norma de un número complejo.

189

Pauta para la Evaluación Clave

Se contemplan dos evaluaciones claves: una prueba sobre conjeturas y demostraciones, y un informe referido a planificaciones de clases.

Evaluación clave 1. Prueba: Conjeturas, refutaciones y demostraciones en Q y R.

1. Estándares 4 y 5, Competencia 2.1

2. Justificación: El profesor de matemáticas de segundo ciclo básico debe comprender en qué consiste el trabajo matemático, por ello debe ser capaz de formular desafíos y argumentar su veracidad, para así favorecer el desarrollo de estas habilidades en sus alumnos.

3. Pre-requisitos:El profesor debe comprender las propiedades básicas de los números racionales y reales, y de sus operaciones. Además, debe comprender la forma en que estas propiedades son deducidas.

4. Descripción breve de la evaluación:Los profesores en formación son sometidos a una prueba o evaluación escrita en la que deben enfrentarse a conjeturas y hacer demostraciones o refutaciones acerca de los números racionales y reales, sus operaciones y propiedades, en un tiempo delimitado.

5. Descripción en detalle de los pasos de la evaluación.

Paso 1: Conjunto cuociente y Cuerpo Ordenado estándar 4. Explica la construcción de los racionales y deducen algunas de sus

propiedades como cuerpo ordenado

Paso 2 : Concepto de número irracional y sus formas de representación. estándar 4.

Analiza una demostración de la existencia de números irracionales y justifican cada uno de sus pasos.

Construye un esquema que distinga los números racionales, las fracciones, los números decimales y las fracciones cuyo denominador son potencias de 10 o fracciones equivalentes, los números reales y los desarrollos decimales.

Paso 3: Propiedades de los racionales, irracionales y sus operaciones. estándar 4. Señala las propiedades de Q que no se heredan de Z y de los

irracionales que no se heredan de Q. Analiza conjeturas sobre las propiedades del orden, la adición, la multiplicación,

la potenciación y la radicación en los racionales e irracionales, y provee contraejemplos para refutar las inapropiadas.

Prueba o da contraejemplos de conjeturas relativas al orden y la completitud en R.

190

Paso 4: Contextos de aplicación de los números reales estándar 5. Identifica situaciones asociadas a los números irracionales que no

permiten una modelación eficiente por medio de los racionales. Resuelve situaciones problemas por medio de la modelación con

números reales, sus operaciones y propiedades.

6. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

Antes de la prueba estudiarán las propiedades de los sistemas numéricos en juego y de sus formas de representación; previamente llevarán adelante tareas a partir de guías de trabajo y tendrán tiempo para consultas, además, dispondrán de ejemplos detallados de demostraciones. Durante la prueba no podrán tener material de consulta y será resuelta individualmente.

RúbricasCriterio Insuficiente

0Básico

3Competente

6Destacado

8Ptos

Explica la construcción de Q y deduce las propiedades de cuerpo ordenado que se le soliciten.

No es capaz de explicar la construcción de Q ni de deducir propiedades

Comete errores al explicar la construcción de Q o bien comete errores lógicos que la invalidan sus deducciones.

Explica algunos aspectos centrales de la construcción de Q y deduce sólo algunas de las propiedades requeridas

Explica lo esencial de la construcción de Q y deduce todas las propiedades requeridas.

8

Justifica los pasos de una demostración acerca de la existencia de irracionales

Construye esquema que distingue R, Q, D y formas que los representan.

No es capaz de justificar los pasos de una demostración acerca de la existencia de irracionales

No logra distinguir los conjuntos ni sus formas para representarlos

Justifica sólo los pasos simples de una demostración acerca de la existencia de irracionales

Distingue los conjuntos pero no las formas en que se representan.

Justifica la mayoría de los pasos de una demostración acerca de la existencia de irracionales

Distingue los conjuntos y las formas que los representan, pero no da explicaciones imprecisas

Justifica la totalidad de los pasos de una demostración acerca de la existencia de irracionales.Construye un esquema claro que distingue R, Q, D y las formas que los representan.

4

8

Reconoce propiedades de los irracionales que no son de Q y de Q que no son de Z.

Analiza conjeturas, prueba y da contraejemplos

No reconoce propiedades de los irracionales que no son de Q y de Q que no son de Z.

No es capaz de elaborar, probar o dar contraejemplos

Reconoce sólo un par de propiedades de los irracionales que no son de Q y de Q que no son de Z.

Identifica conjeturas, pero no prueba ni da contraejemplos

Reconoce al menos cuatro propiedades de los irracionales que no son de Q y de Q que no son de Z.

Ante conjeturas falsas da contraejemplos, pero no

Reconoce cinco o màs propiedades de los irracionales que no son de Q y de Q que no son de Z.

Analiza conjeturas, prueba las verdaderas y da

8

191

sobre el orden y las operaciones en los reales.

de conjeturas en los reales.

en los reales. demuestra en el caso de ser verdaderas.

contraejemplos sobre las falsas.

Identifica situaciones que requieren una modelación con irracionales.

Resuelve problemas de situaciones modeladas con reales

No identifica situaciones que requieren una modelación con irracionales.

No logra resolver problemas de situaciones modeladas con reales

Confunde situaciones que se pueden modelar en Q o con irracionales.

No logra modelar adecuadamente las situaciones planteadas

Identifica sólo situaciones de medición que requieren una modelación con irracionales

Modela las situaciones, pero comete errores al resolver el problema.

Identifica al menos tres situaciones que requieren los irracionales para ser bien modeladas..

Modela y resuelve correctamente los problemas.

4

8

Evaluación clave 2 Planificación de actividades de aprendizaje.

1. Estándar 4, Competencias 2.3, 2,6 y 2,12

2. Justificación: Es prioritaria la coherencia entre la matemática pura y la matemática escolar, de modo que la asignatura no pierda su esencia. El profesor debe articular el saber matemático puro con el saber matemático a enseñar, y nada mejor que esa articulación se haga desde el momento en que se aprende. Esta evaluación se inspira en la reflexión sobre ¿Qué es lo importante sobre los números que debe ser enseñado en el segundo ciclo básico?.

3. Pre-requisitos:El profesor debe conocer los programas de estudio, la operatoria aritmética en los reales, elementos de lógica preposicional y debe reconocer los conocimientos que requieren poner en juego los alumnos para alcanzar los aprendizajes sobre los números en el segundo ciclo básico.

4. Descripción breve de la evaluación:

Los profesores elaboran una secuencia de actividades y de evaluación en torno a un tema de la matemática escolar, de modo que conserve lo esencial del conocimiento matemático puro que le precede. Esta planificación de clases se referirá a los números racionales, dispondrá de 7 días para prepararla, una vez que haya consultado las orientaciones didácticas de los programas de estudio, la presentación de los textos escolares, y los obstáculos didácticos asociados al tema según lo establece la literatura.

5. Descripción en detalle de los pasos de la evaluación.

Paso 1: Delimitación del tema y análisis de programas y textos estándar 4, comp.. 2.12. Una vez tratada en clases la construcción de los racionales y habiendo

trabajado demostraciones en torno a las propiedades del orden y las

192

operaciones en Q, el estudiante analiza actividades de aprendizaje sobre estos conceptos en los programas de estudio y textos escolares del segundo ciclo básico..

Paso 2: Análisis de la matemática presente en Programas y textos. estándar 4, comp.. 2.6. Analiza el saber matemático presente en los conceptos según son

tratados en los programas de estudio oficiales.

Paso 3: Análisis de los obstáculos didácticos asociados al tema. estándar 4. Analiza las actividades teniendo en consideración los obstáculos

didácticos asociados a los conceptos tratados y las orientaciones didácticas entregadas por los programas de estudio.

Paso 4: Elaboración de secuencia de actividades de aprendizaje. estándar 4, comp. 2.3. Planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza que favorecen

la comprensión y uso de tales conceptos atendiendo a los antecedentes anteriores, a los enfoques cognoscitivos actuales de los aprendizajes, y a la disponibilidad de recursos computacionales.

6. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

Para mostrar el informe de las planificaciones dispondrán de proyector de pantalla.

Rúbricas

Criterio Insuficiente0

Básico3

Competente6

Destacado8

Ptos

Las actividades son coherentes con los aprendizajes seleccionados del los Programas

No formula actividades que pongan en juego conocimientos previos

Actividades que ponen en juego saberes, pero que no conducen a los aprendizajes seleccionados

Actividades relacionadas con los aprendizajes esperados pero no a partir de saberes previos.

Actividades que ponen en juego conocimientos previos y apuntan a los aprendizajes esperados

8

Las actividades mantienen en esencia el saber matemático contenido en los aprendizajes esperados

No formula actividades relacionadas con los aprendizajes esperados.

Las actividades no se relacionan con los saberes matemáticos asociados a los aprendizajes esperados

Las actividades se relacionan parcialmente con los saberes matemáticos asociados a los aprendizajes esperados.

Las actividades se relacionan claramente con los saberes matemáticos asociados a los aprendizajes esperados

8

Las actividades tienen en consideración los obstáculos didácticos sobre el tema y son coherentes con

No propone actividades de aprendizaje, en que los alumnos pongan en juego saberes para construir o

Las actividades no se ajustan a las sugerencias del programa ni tienen en cuenta los obstáculos didácticos

Las actividades se ajustan a las sugerencias del programa o bien tienen en cuenta los obstáculos didácticos

Las actividades se ajustan a las sugerencias del programa y tienen en cuenta los obstáculos didácticos

8

193

las sugerencias didácticas de los Programas.

consolidar nuevos saberes.

asociados al tema.

asociados al tema, pero no ambas.

asociados al tema.

La secuencia de actividades es consistente con los enfoques cognitivos actuales sobre aprendizaje en matemática Y contempla el uso adecuado de tecnología.

Las actividades no atienden los principios básicos sobre el aprendizaje

Las actividades se limitan a atender principios de aprendizaje conductistas.

Las actividades tienen en cuenta principios socio cognitivos actuales acerca del aprendizaje de la matemática

Las actividades son consistentes con los enfoques cognitivos actuales sobre aprendizaje en matemática Y contemplan el uso adecuado de tecnología.

8

VI. Puntuación de los Trabajos para la evaluación:

Puntos:

1. Informe escrito Modelación y deducciones en Q (Estándar 4, comp.. 2,1) 62. Informe escrito Conjeturas y demostraciones en Q (Estándar 4, comp.. 2,1) 83. Informe escrito El cuerpo (R,+,*) Como modelo (Estándar 5, comp.. 2,1) 84. Informe escrito El cuerpo (C,+,*) como modelo (Estándar 5, comp.. 2,1) 85. Prueba individual (Evaluación clave, Estándar 4, comp.. 2,1) 406. Planeamiento de la enseñanza (Evaluación Clave, Comps 2.3, 2,6 y 2,12) 32

Total de puntos: 100

2. ¿Cuál es la secuencia recomendada de estos cursos?

Año I Números: Sus Usos y Operaciones Introducción a la Geometría Geometría del Triángulo y del Cuadrilátero Estadística Básica

Año II Aritmética en IN y Z Transformaciones Isométricas Cuerpos Geométricos Racionales, Reales y Complejos

194

Año III Didáctica de los Sistemas Numéricos Geometría Proporcional Variaciones Proporcionales Estadística y Probabilidades

Año IV Algebra y Funciones Didáctica de la Geometría Didáctica del Álgebra

3. Identifique principales fortalezas y debilidades de los siguientes procesos implementados durante el proyecto

Elaboración de estándares (grupos disciplinarios) o Perfil y sus competencias (grupo Perfil)

Fortalezas: La elaboración de los estándares se basó en el curriculum de

Educación Básica y a partir de ello se construyeron indicadores La integración del contenido disciplinar y el contenido

didáctico en los estándares

Debilidades: La rotativa de coordinadores del grupo retrasó la elaboración de los

estándares. La experta asignada al grupo de Matemática en marzo del 2006

generó un retroceso pues modificó la línea de desarrollo del proceso seguido hasta ese momento

“Currículum mapping”

Fortalezas: Se propuso la construcción del currículum a partir de las

competencias del perfil y los indicadores de los estándares. La adecuada asesoría de Janet McDaniel en “Currículum

Mapping”

Elaboración de programas de curso

Fortalezas: Constante diálogo y apertura a modificaciones de los

Programas por parte de todos los integrantes del Equipo Confianza en la capacidad profesional entre todos los

integrantes del Equipo para la elaboración de programas.

Debilidad:

195

Poco tiempo para elaborar, discutir y analizar en forma presencial los programas de los cursos por lo integrantes del grupo

Falta de recursos humanos para la elaboración de programas

Coordinación y trabajo colaborativo a nivel de grupo (disciplinario y perfil)

Fortaleza: Todos los integrantes del Equipo tuvieron la posibilidad de

expresar sus opiniones divergentes, aspecto que enriqueció la discusión de la elaboración de estándares, indicadores y programas.

La coordinación de Patricia Brizuela dió cabida a las opiniones divergentes del Equipo incluyéndolas en los análisis y los productos.

Debilidad: La rotativa de los coordinadores e integrantes del equipo de las

distintas universidades.

Conducción y organización del proyecto (Coordinación del consorcio y equipo directivo)

Fortalezas: Seguimiento continuo al Equipo Las asesorías externas (excepto Marzo 2006) La solución oportuna a los problemas emergentes de distinta

naturaleza.

Debilidad: La subutilización de la Plataforma Web para la interacción al interior

del Consorcio y entre Consorcios.

OtrosFortaleza

Los altos grados de preocupación mostrados por cada una de las Universidades que en su momento tuvieron que ser anfitriones del Proyecto.

196

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