Material de Apoyo Curricular Matemática III - 2013 - Cenma Nº 195

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C.E.N.M.A. Nº 195 MATEMÁTICA Ciclo Orientado 3º Año

Cr.: Dall’Agata Lucas Pablo Andrés

PROGRAMA DENOMINACIÓN: MATEMÁTICA III CARGA HORARIA: 3 HORAS SEMANALES CARÁCTER: ANUAL AÑO: 2010 PROFESOR: CR. DALL’AGATA LUCAS PABLO ANDRÉS CONTENIDOS CONCEPTUALES: UNIDAD I: 1- Repaso. 2- Números irracionales: Historia, definición, ejemplos. Números reales: representación en la recta numérica. Orden de las operaciones. Leyes. Operaciones: Adición y sustracción. Producto y cociente. Potencia y raíz. 3-Ecuaciones, Ejercitación. Trabajo Práctico. Ecuaciones, tipos. Resolución. UNIDAD II: Álgebra y funciones. 1- Funciones. Variables, función lineal. Representación en ejes cartesianos. Función de proporcionalidad directa e inversa. 2- Sistemas de ecuaciones lineales. Representación gráfica. 3- Funciones cuadráticas. Ejercitación. UNIDAD III: Estadística y Probabilidad. 1- Estadística: Tabla de frecuencias. Medidas de posición: media, mediana y modo. Gráficos. Intervalos, histogramas. Interpretación. 2- Probabilidad simple. Trabajo Práctico BIBLIOGRAFÍA GENERAL

Matemática 7- Estadística y probabilidad. Berio, Adriana B. ;Gasol, Laura G.; Graciano, Alicia B. Editorial Puerto de Palos. 2006

Matemática 8- Estadística y probabilidad. Berio, Adriana B. ;Gasol,

Laura G.; Graciano, Alicia B. Editorial Puerto de Palos. 2006

Matemática 9- Estadística y probabilidad. Berio, Adriana B. ;Gasol, Laura G.; Graciano, Alicia B. Editorial Puerto de Palos. 2006

Sitios web: www.matematicas.net/paraiso/materia.php?id=ap_algebra www.mitareanet.com/mates1.htm www.matematicas.ula.ve/postgrado/doctorado/programas_doctorado www.cmat.edu.uy/~andres/al2/p3al2-04. www.cmat.edu.uy/~andres/ www.emagister.com/cursos-series-matematicas-kwes-9649.htm www.matematicas.itam.mx/pdf/ingenierias/alging www.monografías,com www.thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0024-03/ed99-0024-03 www.cientificos.arnet.com.ar www.enciclopediaencarta.com www.ub.edu.ar www.famaf.unc.edu.ar

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Estimados alumnos: Uds. comenzarán a estudiar Matemática III, lo mismo que matemática I y II, el término produce con sólo nombrarlo cierto temor y automáticamente se lo asocia a lo “difícil y complicado”. Formen, de ser posible, un grupo de compañeros de estudio, la consulta entre ustedes es muy beneficiosa; no esperen para estudiar y consultar todo a último momento, es muy complejo resolver todo un día antes de la prueba. Todos conocemos el esfuerzo realizado por cada uno de Uds. para poder asistir al Cemna, recortando el tiempo que anteriormente dedicaban a su familia, trabajo, ocio, etc.. por eso es muy importante que aprovechen las horas que se encuentran en el colegio realizando las actividades y tareas que se les solicitan. Tengan en cuenta que están en el tercer año, lo que significa que comprenden que están terminando el Ciclo de Especialización, por lo tanto se enfrentarán a situaciones cada vez más interesantes y de mayor complejidad. Lo más importante es que Uds. comiencen con muchísima confianza y entusiasmo y sobre todo teniendo en cuenta que, no sólo yo, sino todo el personal estamos a su disposición para poder solucionar cualquier inconveniente o duda que se le presente durante el transcurso del año. Mucha, muchísima suerte.

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Cuento Una princesa en problemas...¿matemáticos?

Una conocida serie de dibujos animados de origen checo cuenta, en sucesivos capítulos, la historia de una princesa cuya mano es disputada por un gran número de pretendientes. Estos deben convencerla: distintos episodios muestran los intentos de seducción que despliega cada uno de ellos, de los más variados e imaginativos.

Así, empleando diferentes recursos, algunos más sencillos y otros verdaderamente magníficos. Uno tras otro pasan los pretendientes pero nadie logra conmover siquiera un poco a la princesa. Recuerdo por ejemplo a uno de ellos mostrando una lluvia de luces y estrellas; a otro, efectuando un majestuoso vuelo y llenando el espacio con sus movimientos. Nada.

Al fin de cada capítulo aparece el rostro de la princesa, el cual no deja ver gesto alguno. El episodio que cierra la serie nos proporciona el impensado final: en contraste con las maravillas ofrecidas por sus antecesores, el último de los pretendientes extrae con humildad de su capa un par de anteojos, que da a probar a la princesa: esta se los pone, sonríe y le brinda su mano. La historia, más allá de las posibles interpretaciones, es muy atractiva y cada episodio por separado resulta de una gran belleza. Sin embargo, sólo la resolución final nos da la sensación de que todo cierra adecuadamente.

En efecto, hay un interesante manejo de la tensión que nos hace pensar, en cierto punto, que nada conformará a la princesa. Con el paso de los episodios y por consiguiente, el agotamiento cada vez mayor de los artilugios de seducción, nos enojamos con esta princesa insaciable. ¿Qué cosa tan extraordinaria es la que está esperando? Hasta que, de pronto, aparece el dato que desconocíamos: la princesa no se emocionaba ante las maravillas ofrecidas, pues no podía verlas.

¡Así que ese era el problema!

Claro. Si el cuento mencionara este hecho un poco antes, el final no nos sorprendería. Podríamos admirar igualmente la belleza de las imágenes, pero encontraríamos algo tontos a estos galanes y sus múltiples intentos de seducción, ya que nosotros sabríamos que la princesa es miope. No lo sabemos: nuestra idea es que la falla está en los pretendientes, que ofrecen, al parecer, demasiado poco.

Lo que hace el último, ya enterado del fracaso de los otros, es cambiar el enfoque del asunto. Mirar al problema de otra manera.

De no saber ya ustedes de qué trata esta nota, quizás se sorprenderían ahora como se sorprendieron con el final de la historia anterior: vamos a hablar –o estamos hablando- de Matemática. En efecto, hablar de matemática no es solamente demostrar el Teorema de Pitágoras: es, además, hablar del Amor y

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contar historias de princesas. También en la Matemática hay belleza. Como dijo el poeta Fernando Pessoa: El binomio de Newton es tan hermoso como la Venus de Milo, lo que pasa es que muy poca gente se da cuenta.

¡Muy poca gente se da cuenta!. Por eso el cuento de la princesa; porque el problema, como adivina el último de los pretendientes, es que lo más interesante que hay en este país, no se lo ve (Henri Michaux – “El país de la magia” (“Au pays de la magie”)).

Muchas veces me sentí en el lugar de los primeros galanes. Así, siempre me esforcé por exponer las cuestiones matemáticas más bellas, pero la mayoría de las veces, debo reconocerlo, mis apasionados intentos no tuvieron la respuesta esperada, pero trato siempre de de acercarme al galán humilde del último capítulo. Enseñar a pensar... Cierta vez un alumno le cuestiona a un profesor sobre la nota que le había colocado en un examen. El alumno expresaba que la respuesta era correcta y el profesor comentaba que no lo era. Profesores y estudiantes acordaron pedir arbitraje de alguien imparcial y así se hizo. Yo tomaré el lugar de aquel árbitro para poner en escena lo sucedido: Leí la pregunta del examen y decía: "Demuestre cómo es posible determinar la altura de un edificio con la ayuda de un barómetro". El estudiante había respondido: lleva el barómetro a la azotea del edificio y átale una cuerda muy larga. Descuélgalo hasta la base del edificio, marca y mide. La longitud de la cuerda es igual a la longitud del edificio. Realmente el estudiante había planteado un serio problema con la resolución del ejercicio, porque había respondido a la pregunta correcta y completamente. Por otro lado, si se le concedía la máxima puntuación, podría alterar el promedio de su año de estudios, obtener una nota más alta y así certificar su alto nivel en física; pero la respuesta no confirmaba que el estudiante tuviera ese nivel. Sugerí que se le diera al alumno otra oportunidad. Le concedí seis minutos para que me respondiera la misma pregunta pero esta vez con la advertencia de que en la respuesta debía demostrar sus conocimientos de física. Habían pasado cinco minutos y el estudiante no había escrito nada. Le pregunté si deseaba marcharse, pero me contestó que tenía muchas respuestas al problema. Su dificultad era elegir la mejor de todas. Me excuse por interrumpirle y le rogué que continuara. En el minuto que le quedaba escribió la siguiente respuesta: coge el barómetro y lánzalo al suelo desde la azotea del edificio, calcula el tiempo de caída con un cronometro. Después se aplica la fórmula altura = 0,5 por A por T2. Y así obtenemos la altura del edificio. En este punto le pregunté a mi colega si el estudiante se podía retirar. Le dio la nota más alta.

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Tras abandonar el despacho, me reencontré con el estudiante y le pedí que me contara sus otras respuestas a la pregunta. Bueno, respondió, hay muchas maneras, por ejemplo, tomas l barómetro en un día soleado y mides la altura del barómetro y la longitud de su sombra. Si medimos a continuación la longitud de la sombra del edificio y aplicamos una simple proporción, obtendremos también la altura del edificio. Perfecto, le dije, ¿y de otra manera? Si contestó, este es un procedimiento muy básico para medir un edificio, pero también sirve. En este método tomas el barómetro y te sitúas en las escaleras del edificio en la planta baja. Según subes las escaleras, vas marcando la altura del barómetro y cuentas el número de marcas hasta la azotea. Multiplicas al final la altura del barómetro por el número de marcas que has hecho y ya tienes la altura. Este es un método muy directo. Por supuesto, si lo que quiere es un procedimiento más sofisticado, puede atar el barómetro a una cuerda y moverlo como si fuera un péndulo. Si calculamos que cuando el barómetro está a la altura de la azotea la gravedad es cero y si tenemos en cuenta la medida de la aceleración de la gravedad al descender el barómetro en trayectoria circular al pasar por la perpendicular del edificio, de la diferencia de estos valores, y aplicando una sencilla fórmula trigonométrica, podríamos calcular, sin duda, la altura del edificio. En este mismo estilo de sistema, atas el barómetro a una cuerda y lo descuelgas desde la azotea a la calle. Usándolo como un péndulo puedes calcular la altura midiendo su período de precesión. En fin, concluyó, existen otras muchas maneras. Probablemente la mejor sea tomar el barómetro y golpear con él la puerta de la casa del conserje. Cuando abra, decirle: señor conserje, aquí tengo un bonito barómetro. Si usted me dice la altura de este edificio, se lo regalo. En este momento de la conversación le pregunté si no conocía la respuesta convencional al problema –la diferencia de presión marcada por un barómetro en dos lugares diferentes nos proporciona la diferencia de altura entre ambos lugares- evidentemente, dijo que la conocía, pero que durante sus estudios, sus profesores habían intentado enseñarle a pensar. El estudiante se llamaba Niels Bohr, físico danés, premio Nobel de Física en 1922, más conocido por ser el primero en proponer el modelo de átomo con protones y neutrones y los electrones que lo rodeaban. Fue fundamentalmente un innovador de la teoría cuántica. Al margen del personaje, lo divertido y curioso de la anécdota, lo esencial de esta historia es que le habían enseñado a pensar... El MAC está estructurado de tal forma que no necesitarán de material extra, en el tendrán conceptos teóricos, ejercicios resueltos con su respectiva explicación, ejercicios para resolver, algunos con respuesta y además guías de trabajos prácticos para realizar en forma grupal. Las distintas referencias guiarán el desarrollo de la materia indicando en que momentos se deben realizar cada una de las actividades.

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Cuando aparezca el siguiente dibujo, indicará que debes realizar actividades de resolución de ejercicios que se encuentran al final del MAC

Cuando aparezca el siguiente dibujo, indicará que debes realizar las actividades propuestas en un trabajo práctico que se encuentra al final del MAC.

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El cociente de dos números naturales no siempre es un número

natural, sólo ocurre cuando la división es exacta.

6 : 2

2 : 6

Podemos utilizar potencias, ya que es la forma abreviada de escribir un

producto formado por varios factores iguales.

La raíz de un número natural no siempre es un número natural, sólo

ocurre cuando la raíz es exacta.

b- NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS “Z”:

Los números enteros son del tipo:

= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

Nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero,

las profundidades con respecto al nivel del mar, etc.

La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros es otro

número entero.

El cociente de dos números enteros no siempre es un número

entero, sólo ocurre cuando la división es exacta.

6 : 2

2 : 6

Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un

número natural.

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La raíz de un número entero no siempre es un número entero, sólo

ocurre cuando la raíz es exacta o si se trata de una raíz de índice par

con radicando positivo.

b1 ) Números Enteros Positivos:

Se llaman así a todos los números que representen una cantidad. Los números naturales son los enteros positivos, con la única diferencia que a la hora de representar un entero positivo podemos anteponerle el signo +. El número 8 es un entero positivo, puedo representarlo como 8 o como +8 El número 24 es un entero positivo, puedo representarlo como 24 o como +24 Los números 11, +32, +7, 35 son todos enteros positivos (no es necesario anteponer +).

b2 ) Números Enteros Negativos:

Los enteros negativos representan una cantidad en contra o algo que no tenemos y necesariamente debemos anteponerle el signo -. El número -8 es un entero negativo. El número -24 es un entero negativo.

Los números -11, -32, -7, -35 son todos enteros negativos y por ello llevaran necesariamente el signo -.

c) Valor Absoluto:

El valor absoluto será la distancia que haya entre determinado número al origen de la recta numérica. En la práctica el valor absoluto es simplemente el número que tenemos, sin importar el signo positivo o negativo. Para hallar el valor absoluto de -33: |-33| = 33 Para hallar el valor absoluto de +15: |+15| = 15

COMPARACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para comparar números enteros debemos tener en cuenta que:

a) Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo. Por ejemplo: 4 es mayor que -1, ya que 4 es un entero positivo y -1 es un entero negativo. +3 es mayor que -18, ya que +3 es un entero positivo y -18 es un entero negativo.

b) Entre números positivos será mayor el que represente mayor cantidad. Por ejemplo: +5 es mayor que +3, ya que 5 representa mayor cantidad que 3. 16 es mayor que 8, ya que 16 representa mayor cantidad que 8. +13 es mayor que +12, ya que 13 representa mayor cantidad que 12.

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c) Entre números negativos será mayor el que represente menor cantidad. Por ejemplo: -2 es mayor que -5, ya que 2 representa menor cantidad que 5. -11 es mayor que -13, ya que 11 representa menor cantidad que 13

OPERACIONES

Adición y Sustracción de Números Enteros

Tendremos dos posibilidades, las cuales son:

a) Si tenemos números de igual signo: Cuando tengamos dos o más números de igual signo, lo que tendremos que hacer es sumar las cantidades y al resultado anteponerle el mismo signo.

Observemos el siguiente caso: 35 +46 +11

35 +46 +11 En esta operación tenemos tres números positivos: +35, +46 y +11

35 +46 +11 Entonces lo que debemos hacer es sumar los tres números, nos dará: 92

+92 = 92 El resultado también será positivo.

Otro ejemplo podría ser: -12 -28 -21

-12 -28 -21 En esta operación tenemos tres números negativos: -12, -28 y -21

-12 -28 -21 Entonces lo que debemos hacer es sumar los tres números, nos dará: 61

-61 = -61 El resultado también será negativo, necesariamente le antepondremos -.

b) Si tenemos números de signos diferentes: Si tenemos números de diferentes signos, restamos el número mayor menos el número menor y el resultado llevara el signo del número mayor.

Veamos: 35 -46

35 -46 En esta operación tenemos un número positivo y otro negativo.

35 -46 El mayor es 46 y el menor 35, entonces: 46 - 35 = 11

-11 Como el número mayor es 46, y este es negativo, el resultado será también negativo.

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Otro ejemplo: -12 +28

-12 +28 En esta operación tenemos un número negativo y otro positivo.

-12 +28 El mayor es 28 y el menor 12, entonces: 28 -12 = 16

+16 = 16 Como el número mayor es 28, y este es positivo, el resultado será también positivo

Multiplicación de Números Enteros

Cuando tengamos que multiplicar dos o más números enteros, lo primero que debemos hacer es proceder a multiplicar los números sin importarnos el signo que estos tengan. Una vez que hemos hallado el resultado, recién colocaremos el signo que corresponda de acuerdo a la siguiente Ley de Signos:

(+) x (+) = (+) El resultado de multiplicar dos números positivos es un número positivo

(+) x (-) = (-) El resultado de multiplicar un número positivo por otro negativo es un número negativo

(-) x (+) = (-) El resultado de multiplicar un número negativo por otro positivo es un número negativo

(-) x (-) = (+) El resultado de multiplicar dos números negativos es un número positivo

Por ejemplo, queremos multiplicar -20 x 5

-20 x 5 Recordemos que cuando un número no lleva signo, es positivo.

-20 x + 5 En esta operación 20 es un número negativo y 5 es un número positivo.

20 x 5= 100 Nos olvidamos momentáneamente de los signos y hacemos 20 x 5 = 100

-20 x 5 = -100 Como tenemos un número negativo y otro positivo, el resultado será número negativo

Debemos emplear el mismo procedimiento para cualquier caso de multiplicación de números enteros o con signo que se nos presente.

División de Números Enteros

Cuando tengamos que dividir números enteros, lo primero que debemos hacer es proceder a dividir los números sin importarnos el signo que estos tengan. Una vez que hemos hallado el resultado, recién colocaremos el signo que corresponda de acuerdo a la siguiente Ley de Signos (que es prácticamente la misma que la que utilizamos en multiplicación):

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(+) ÷ (+) = (+) El resultado de dividir dos números positivos es un número positivo

(+) ÷ (-) = (-) El resultado de dividir un número positivo entre otro negativo es un número negativo

(-) ÷ (+) = (-) El resultado de dividir un número negativo entre otro positivo es un número negativo

(-) ÷ (-) = (+) El resultado de dividir dos números negativos es un número positivo

Por ejemplo, queremos dividir -80 ÷ -5

-80 ÷ -5 En esta operación tanto -80 como -5 son números negativos.

80 ÷ 5 = 16 Nos olvidamos momentáneamente de los signos y hacemos 80 ÷ 5 = 16

-80 ÷ -5 = +16 Como tenemos dos números negativos dividiéndose, el resultado será número positivo

-80 ÷ -5 = 16 Recordando siempre que cuando un número es positivo no es necesario ponerle signo

El mismo procedimiento se empleará para cualquier caso de división de números enteros o con signo que se nos presente.

Potenciación de Números Enteros

Ya hemos definido previamente lo que es la potenciación, por lo cual nos orientaremos a definir que signo llevara la respuesta de una potencia.

Si el exponente es un número positivo (recordando que cuando no tiene signo es número positivo también), podemos afirmar que de acuerdo al signo de la base y si el exponente es número par o impar, tendremos:

(+)impar=(+) Cualquier número positivo elevado a exponente impar tiene resultado positivo

(+)par =(+) Cualquier número positivo elevado a exponente par tiene resultado positivo

(-)impar= (-) Cualquier número negativo elevado a exponente impar tiene resultado negativo

(-)par = (+) Cualquier número negativo elevado a exponente par tiene resultado positivo

Por ejemplo: 163 = 16 x 16 x 16 = 4096

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-142 = -14 x -14 = 196 -173 = -17 x -17 x -17 = -4913

Ahora, pasara diferente si el exponente es negativo. Cuando encontremos un exponente negativo haremos lo siguiente:

5-3 En este caso encontramos exponente negativo: -3

1 53

Lo que debemos hacer en estos casos es colocar 1 sobre la misma base elevada ahora a exponente positivo

1 125

Resolvemos la potencia abajo y el resultado será un número fraccionario (veremos más acerca de números fraccionarios más adelante)

Radicación de Números Enteros

Recordemos que la radicación es una de las operaciones inversas de la potenciación y se representa por n√, donde n es el grado del radical, √ es el signo radical y dentro de este último irá un número denominado cantidad o radicando.

Nosotros buscamos un número que elevado a un exponente igual al grado del radical me de como resultado la cantidad o radicando, misma que podrá ser un número positivo o negativo.Al resolver nos podemos ver en cualquiera de los siguientes casos:

impar√(+) = (+) Raíz impar de un número positivo dará otro número positivo

par√(+) = (+) y (-) Raíz par de un número positivo dará un número positivo y otro negativo.

par√(-) = no se puede Raíz par de un número negativo no se puede determinar

impar√(-) = (-) Raíz impar de un número negativo dará otro número negativo

Veamos el caso de 2√25:

√25 El grado 2 se omite, es decir, cuando no encontremos grado este es 2.

√25 Buscamos un número que elevado a potencia 2 nos de 25.

√25 Se cumple: 52 = 25, entonces la respuesta será 5 (respuesta positiva)

√25 Se cumple: -52 = 25, entonces la respuesta será -5 (respuesta negativa)

√25 = 5 , -5 Se tiene dos respuestas en este caso, una positiva y otra negativa.

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c- LOS NÚMEROS RACIONALES “Q”:

Se llama número racional a todo número que puede representarse

como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.

Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico

mixto) son números racionales; pero los números decimales ilimitados

no.

La suma, la diferencia, el producto y el cociente de dos números

racionales es otro número racional.

Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un

número entero.

La raíz de un número racional no siempre es un número racional,

sólo ocurre cuando la raíz es exacta y si el índice es par el radicando ha

de ser positivo.

2- LOS NÚMEROS IRRACIONALES “I”

Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no

periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.

El número irracional más conocido es , que se define como la

relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

15



= 3.141592653589...

Otros números irracionales son:

El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración

radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos

apreciar en los tendidos eléctricos.

e = 2.718281828459...

El número áureo, , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias,

Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus

obras.

El conjunto formado por los Números Racionales y los Números Irracionales se denomina conjunto de los Números Reales “R”

Para leer

Cuántos infinitos hay?

Hagamos un planteo para ejercitar nuestra cabeza: en una bolsa llamada Aponemos todos los números enteros positivos y en otra llamada B solamentelos números pares. Si ahora pregunto “¿en qué bolsa hay más números?”guiado por su intuición cualquiera me contestaría “en la bolsa A, porque en elconjunto de los números enteros positivos están tanto los pares como losimpares”. Sin embargo, la gente queda sorprendida al descubrir que hay lamisma cantidad de números en ambas bolsas.

Para convencerse, basta realizar la siguiente correspondencia: al número 1 lehacemos corresponder el 2; al 2 el 4; al 3 el 6; al 4 el 8; al 5 el 10. Y asíseguimos hasta el número X al que le hacemos corresponder el 2X. A cadanúmero de la bolsa A le corresponde uno de la bolsa B. Pasa lo mismo en cualquier par de segmentos. Sea cual fuere su longitud –uno muy corto y otro muy largo- en ambos hay el mismo número de puntos. Se me ocurre otro caso, el de los distintos tipos de infinito. Uno tiende apensar que sólo puede existir un infinito. ¿Qué pasaría si afirmara que hayinfinitos más grandes e infinitos más pequeños? ¿Cómo creer semejante cosa?

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Sin embargo, uno de los matemáticos más lúcidos de la historia, GeorgCantor, lo demostró. Por ejemplo, si bien los números racionales y losirracionales forman ambos conjuntos infinitos, los irracionales son más. Esdecir, no hay forma de hacer corresponder a cada número irracional unoracional, lo que indica que su infinito es más grande. Un ejemplo nos puede ayudar a comprender mucho mejor lo que Cantordescubrió. Tiremos un dado poliédrico de diez caras, cada una con un dígito, yanotemos cada resultado como si fuera un decimal de un número. Ahorapensemos, qué es lo más probable…que a partir de un determinado momento¿comience a repetirse un período o que los números salgan anárquicamente?Para que sea un número racional, a partir de un momento debe aparecer unarepetición, ya sea de un dígito como en el caso 8, 783000000000 (se reitera el0) o en el 8,33333333…(en donde se repite el 3) o en el 8,6767676767... endonde se repite el 67. Lo cierto es que resulta muy poco probable que cada vez que tiremos el dadopoliédrico saquemos todos ceros o todos 3 o siempre 6,7,6,7,6,7. Esto da unaidea intuitiva del por qué hay más números irracionales que racionales.Pero representa un choque para nuestra manera de pensar. Con Cantor nace la idea de los diferentes tipos de infinitos, unos más grandesque otros. En otras palabras, hay la misma cantidad de números naturalesque de enteros o racionales, pero todos estos son menos que losirracionales. Pero también es fácil ver que dos segmentos de cualquierlongitud tienen el mismo número de puntos, lo que parece otro atentado a laintuición. A partir de estas observaciones surgió otra pregunta interesante: ¿hay algúnconjunto que tenga un número de elementos más grande que el de losnaturales pero más chico que el de los irracionales?…¿existe algún conjuntointermedio? Dicha pregunta originó lo que se conoce con el nombre de la “hipótesis delcontinuo”. Con los axiomas actuales de la matemática es indecidible siexiste o no, pero es posible demostrar que en cualquiera de los casos, todo loque se sabe hasta el momento es independiente de este hecho. Creo que todos los ejemplos a los que nos referimos demuestran que uno escapaz de estimular y desarrollar una forma de pensamiento que enapariencia, sólo en apariencia, atenta contra el sentido común.

Estimando y analizando el error Método para estimar el número de peces que hay en una laguna

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Se quiere ESTIMAR, el número de peces que hay en un lago.. o en una laguna no demasiado grande, es decir, en un cuerpo de agua de proporciones razonables. ¿Cómo podemos estimarlo?

Lo que se hace, es PESCAR con una red, arriesguemos un número: digamos MIL... es importante pescarlos con una red o con cualquier otro método que no mate a los peces porque habrá que devolverlos al agua vivos. Pero para continuar agregamos la condición de marcarlos o pintarlos de un color que no se borre con el agua. O sea, pescamos mil peces y los pintamos de amarillo a prueba de agua. Los tiramos al agua otra vez y esperamos un tiempo razonable, hasta estar seguros de que se hayan vuelto a mezclar en la población que habita el lago o la laguna. Una vez que estamos seguros de esto, volvemos a sacar con el mismo método, otra vez MIL PECES. Ahora, lo que hacemos, es CONTAR el número de peces entre estos MIL, que están pintados de amarillo... y aparecerá una cierta cantidad. Digamos que aparecen DIEZ pintados de amarillo. Para fijar la idea, repasamos: esto quiere decir DIEZ ENTRE MIL, que es el UNO POR CIENTO. Hemos sacado mil peces de los cuales sólo 10 son amarillos. O sea un 1%, por lo tanto, sabemos que el 1% de los peces del lago están pintados, pero como nosotros estamos SEGUROS de que hay MIL PINTADOS entonces decimos: si el 1% de los peces del lago son MIL PECES, el TOTAL de peces, debe ser 100 veces más... o sea, CIEN MIL peces. Una vez más, y para aclararlo un poquito: los datos son que hay mil peces pintados y que nosotros encontramos un método para descubrir que representan el 1% del total. Luego, si el 1% del total es 1000, esto significa que el TOTAL de peces es CIEN MIL....

Historia de los números irracionales

La introducción de los distintos sistemas de números no ha sido secuencial. Así en el siglo VII a.C, los griegos descubrieron las magnitudes irracionales, es decir números que no pueden ser expresados a través de una fracción, al comparar la diagonal y el lado de un pentágono regular o la diagonal y el lado de un cuadrado, estando, también, familiarizados con la extracción de las raíces cuadradas y cúbicas, pero sin embargo, no conocían los números negativos y el cero, ni tampoco tenían un sistema de símbolos literales bien desarrollado.

El predominio en esta época de la Geometría fue la causa de que la Aritmética y el Álgebra no se desarrollara independientemente. Por ejemplo, los elementos que intervienen en los cálculos se representaban geométricamente y las magnitudes irracionales las tomaban como segmentos de recta. Así una ecuación que hoy en día representamos por:

X2 + a X = b2

para ellos significaba hallar un segmento X tal que si al cuadrado construido sobre él, se le suma un rectángulo construido sobre ese mismo segmento y

18



sobre un segmento dado "a", se obtuviese un rectángulo de área coincidente con la de un cuadrado de lado "b" conocido.

Es en China, hacia los siglos II y I a.C, donde por primera vez se hace uso de coeficientes negativos y se dan reglas para operar con ellos, pudiendo resolver un sistema de tres ecuaciones de primer grado, buscando sólo las soluciones positivas. También conocían técnicas rudimentarias para la resolución de las ecuaciones de tercer grado.

Cuando la matemática Griega comenzó a declinar, Diofanto abandonó la representación geométrica de los números y empezó a desarrollar las reglas del álgebra y aritmética, utilizando un literal, por ejemplo, para representar las incógnitas de una ecuación. En esta etapa, Europa se estanca científicamente y el desarrollo matemático se desplaza hacia la India, Asía Central y los países árabes, impulsándose sobre todo la Astronomía.

Fueron los indios, entre los siglos V- XV, los que inventaron el sistema de numeración actual, introdujeron los números negativos y comenzaron a operar con los números irracionales de forma semejante que con los racionales sin representarlos geométricamente. Utilizaban símbolos especiales para las operaciones algebraicas, como la radicación. encontraron métodos para resolver ecuaciones, y descubrieron la fórmula del binomio de Newton (en forma verbal).

Durante el periodo renacentista, entre los siglos XVI y XVIII, los europeos toman contacto con las ideas griegas a través de traducciones árabes reemplazándolas, paulatinamente, por los métodos indios.

A principios del siglo XVI, los italianos Tartaglia y Ferrari, lograron resolver por radicales, de forma general, las ecuaciones de tercer y cuarto grado, viéndose involucrados en el uso de los números imposibles (imaginarios), aunque sin fundamento lógico. La notación algebraica se perfecciona gracias a Viéte y Descartes, difiriendo poco de la actual.

A mediados del siglo XVII en Gran Bretaña, Neper inventa los logaritmos y Briggs elabora las primeras tablas de logaritmos decimales. A partir de esta época el nacimiento del análisis hizo que se despreciase un poco el álgebra debido al interés sobre los estudios de magnitudes variables.

Para terminar, es importante resaltar que el conocimiento de los números por parte de los Griegos no fue superado hasta veinticuatro siglos más tarde. Los matemáticos G. Cantor, R. Dedekind, K. Weiertrass y B. Bolzano fueron los que culminaron la obra, que duro medio siglo de investigaciones, sobre los números naturales, enteros, racionales e irracionales, que considerados juntos, constituyeron lo que se denominó el sistema de los números reales.

Los conceptos de intervalo y entornos asociados a los números reales, así como una operación denominada paso al límite, consolidó y otorgó rigor al conjunto de conceptos y métodos que constituyen la rama de las matemáticas conocida como Cálculo diferencial e Integral..

19



Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan los números racionales.

Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen un período definido. De este modo, puede definirse número irracional como decimal infinito no periódico.

Toda expresión en números decimales es solo una aproximación en números racionales al número irracional referido, por ejemplo, el número racional 1.4142135 es solo una aproximación a 7 cifras decimales del número irracional raíz cuadrada de 2, el cual posee infinitas cifras decimales que no siguen un periodo.

Entonces, decimos con toda propiedad que el número raíz cuadrada de dos es aproximadamente igual a 1.4142135 en 7 decimales, o bien es igual a 1,4142135..., es decir, los tres puntos hacen referencia a los infinitos decimales que hacen falta y que jamás terminaríamos de escribir.

Debido a ello, los más célebres números irracionales son identificados mediante símbolos especiales; los tres principales son los siguientes:

1. π (pi): relación entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro.

2. e:

3. Φ (número áureo): 4. 2 = 1.4142135 ... (Irracional que surge del cálculo de la hipotenusa de

un triángulo rectángulo de lado 1)

Resuelve la guía !!!!!!!!!!!!!

Los números irracionales se clasifican en dos tipos:

1.- Irracionales algebraicos: Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales; si x representa ese número, al eliminar radicales del segundo miembro mediante operaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado.

Todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos.

20



Por ejemplo, el número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica:

2.- Irracionales trascendentes: No pueden representarse mediante un número finito de radicales; provienen de las llamadas funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. También surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido, respectivamente, como los dos siguientes:

0,193650278443757...

0,101001000100001...

Los llamados números trascendentes tienen especial relevancia ya que no pueden ser solución de ninguna ecuación algebraica.

Ejercitación

1) Indica a que conjunto de números pertenecen los siguientes números

a) 13 b) –12 c) –15/4 d) 25 e) 16/8 f) 5

2) Ubica los siguientes números en la recta numérica

a) 4/7 b) 8/5 c)-1/2 d) 1,3 e) 2 f) –5,2

3) Lista los siguientes números de menor a mayor

-5 -2/5 3,6 16/3 5 -1,8

Operaciones Básicas con Números Reales Las operaciones básicas que pueden realizarse con los Números Reales son las de Suma, Resta, Producto, Cociente, Potencia, Radicación. Como estas operaciones ya son bien conocidas solo realizaremos ejercitación para cada una de ellas, siguiendo la regla de los signos y las siguientes leyes enunciadas para los Números Reales. Para el caso de Potencia y Radicación las estudiaremos mas adelante Leyes básicas de los Números Reales Para usar los Números Reales debemos tener en cuenta ciertas reglas o leyes. Ley Conmutativa Se aplica a las operaciones suma y multiplicación, y establece que no importa el orden en que se sumen o multipliquen dos números. Esta ley garantiza que: a + b = b + a a x b = b x a Ley asociativa Se aplica a las operaciones suma y multiplicación, y establece que no importa el orden en que se sumen o multipliquen tres números. Es decir que (a + b) + c = a + (b + c) (a x b) x c = a x (b x c)

21

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3º Año

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echa.

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da como

o da como

22



1) Determine el inverso aditivo de los siguientes números

91 -8 3 1/5

2) Determine el inverso multiplicativo de los siguientes números

½ -5 -3/5

3) Use el orden correcto de las operaciones para resolver los siguientes

ejercicios

1) 16-8+4

2) 16+8+2

3) 24+3-10+5 . 8+2

4) 13 . 7 –26+5+5

5) (7-2)-(3+8-7)

4)Efectúa la operación indicada

1) -27 + ( -23)

2) 8 + ( -19)

3) 27 + (-13)

4) -9 + ( -8)

5) 7 – 16

6) 29 – ( -8)

7) -8 – 16

8) -25 – ( -13)

9) -37 – ( -49)

10) -2 . 6

11) -3 . ( -5)

12) 7 . ( -8)

13) -38 : ( -4)

14) -45 : ( -9)

15) 12 + 3/5

16) -19 – 16/3

17) ¾ + 5/8

18) 1 1/2 – 3/5

19) 5/6 + ( -2/5)

20) -9/5 + 7/3

21) -2/3 + 5/6

A ejercitar!!!!!!

Potenciación

A veces es necesario multiplicar un número a por si mismo varias veces y esto puede indicarse como bn , que es lo mismo que multiplicar b, n veces, asi bn = b.b.b ....b El numero b se llama base y el n se llama exponente y decimos que bn es la n-esima potencia de b

23



Reglas de los exponentes

Producto de potencias de igual base Para multiplicar dos o más potencias que tienen la misma base basta con sumar los exponentes y aplicarlo a la base

bm . bn = bn+m

Producto de cocientes de igual base Para dividir dos o más potencias que tienen la misma base basta con restar los exponentes y aplicarlo a la base

bm / bn = bn-m si b es distinto de cero Potencia de Potencia Para resolver la potencia de una potencia se multiplican los exponentes y se aplican a la base

(bn)m=bn.m Ley distributiva respecto del producto (ab)n=an . bn Ley distributiva respecto del cociente (a/b)n=an / bn si b es distinto de cero Potencia cero Por convención b0 = 1 b-n = 1/ bn Leyes de los signos

Si la base es positiva el resultado es positivo cualquiera sea el exponente

b3=b.b.b b4=b.b.b.b Si la base es negativa el resultado es positivo si el exponente es positivo y el resultado es negativo si la base es negativa

(-b)3 = (-b).(-b).(-b) = -b3 (-b)4 = (-b).(-b).(-b).(-b)= b4

Ejercitación

1) Resolver los siguientes ejercicios

1) 51

2) 3.80

3) (3/2)-1

4) (1/3)-2

5) (-4)2

6) (-5)4

7) 7/72

8) -32

2) Realizar las siguientes operaciones

1. 32. 34

2. d4. d3

24



3. 26. 23. 21

4. f5. f2. f0

5. 4

5

2

2

6. (23)4

7. (57)2

8. (x4)3

A ejercitar!!!!!!

Radicación

La operación de radicación es la inversa de la potencia, si an = b entonces diremos que nb = a, donde b es el radicando, n es el índice de la raíz y a es raíz de b.

Por ejemplo para encontrar la solución a 5243 nos preguntamos: que número a la potencia 5 da como resultado 243?, la respuesta es 3. Esto es razonable ya que si 35 = 243 será 5243 =3.

Realicemos otra pregunta para resolver 16: ¿qué número a la potencia 2 da como resultado 16?, tenemos dos respuestas, 4 y –4, ambos valores satisfacen la condición. 42 = 16 y (-4)2 = 16. es positiva si b es positivo

1. es negativa si b es negativo y n es impar

Ejemplo

16 = + - 4 38 = 2 3-8 = -2

(No existe en el campo de los números reales la raíz, con n par, de un

número negativo)

Con esta consideración podemos aplicar las leyes de la potencia a la

radicación.

Cuando tenemos radicales "semejantes", podemos resolver la suma o la resta usando la propiedad distributiva y agrupando los términos semejantes. Los radicales "semejantes" son los que tienen el mismo radicando. Ejemplos:

25

C.E

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Leyes

Dina . b

na : b

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2) 3

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4) 1

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= na : n

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MATEMÁ

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ÁTICA Ciclo

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3º Año

r indicada.

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26



7) 3-27

8) 481

2) Simplifica cada uno de los números reales usando las leyes para las raíces y para los exponentes

1) 32

2) 353

3) 48,324

4) 35 . 325

5) 5-3 . 581

6) 48 . 49

7) 612 . 648

8) 75 : 3

9) 112 : 7

10) 35 : 340

11) 311 : 3297

12) 323 : 454

13) 32 : 323

14) 3(2/3)3 : 4(7/3)4

A ejercitar!!!!!! Para leer Pierre de Fermat El matemático francés Pierre de Fermat destacó por sus importantes aportaciones a la teoría de la probabilidad y al cálculo diferencial. También contribuyó al desarrollo de la teoría de números. Último teorema de Fermat, en matemáticas, famoso teorema que ha dado lugar a importantes descubrimientos en el álgebra y el análisis. Al estudiar la Aritmética, obra del matemático griego Diofante, el matemático francés Pierre de Fermat se interesó por el capítulo sobre los números pitagóricos —esto es, los conjuntos de tres números enteros, a, b y c, como 3, 4 y 5 para los que se cumple la ecuación a2 + b2 = c2. Fermat propuso que si se altera el teorema de Pitágoras de manera que sea an + bn = cn, esta ecuación no tiene solución para números enteros si n es mayor que 2. Por ejemplo, no se puede encontrar

27



un conjunto de enteros a, b y c que cumplan a3 + b3 = c3. Fermat escribió en su ejemplar de la Aritmética: “He descubierto una demostración realmente extraordinaria de esto, que no cabe aquí por ser este margen demasiado pequeño”. Muchos matemáticos han tratado de demostrar esta afirmación de Fermat o de encontrar una excepción para demostrar que es falsa. En 1908 se estableció un premio de 100.000 marcos, que es administrado por la Universidad de Gotinga en Alemania, para quien sea capaz de encontrar una demostración (aunque no por una excepción) que pueda verificarse antes del 13 de septiembre del 2007. El teorema ha sido comprobado, utilizando computadoras, para exponentes hasta 125.000, pero todavía no se ha conseguido una demostración completa. En junio de 1993, Andrew Wiles, un matemático británico de la Universidad de Princeton, afirmó que había logrado demostrar el teorema. En diciembre del mismo año, los expertos encontraron un fallo en la demostración, pero Wiles siguió trabajando en ella con unos resultados que, en la actualidad, son aceptados por gran parte de la comunidad matemática. Biblioteca de Consulta Microsoft ® Encarta ® 2005 © 1993-2004 Microsoft Corporation. 3- ECUACIONES

Podemos definir a las ecuaciones como una igualdad entre expresiones algebraicas (sucesión de términos constituidos de números y letras, cada término es separado del otro por un signo "+" ó "), en la que intervienen una o más letras, llamadas incógnita (cuyo valor hay que averiguar). Las expresiones que están a ambos lados del signo igual son los miembros de la ecuación: primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha. Se denomina solución de una ecuación a un valor o conjunto de valores de la incógnita (x), para los cuales se verifica la igualdad.

Una ecuación puede tener ninguna, una o varias soluciones. Por ejemplo:

5x – 9 = 1 es una ecuación con una incógnita con una solución, x = 2

x 2 + y 2 + 5 = 0 es una ecuación con dos incógnitas sin solución, pues la suma de dos cuadrados es un número positivo, a partir del cual no se puede obtener 0 sumándole 5.

2x + 3y = 15 es una ecuación con dos incógnitas que tiene infinitas soluciones, algunas de las cuales son x = 0, y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = 15.

Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas carecen de solución. Así, la ecuación 3x – 7 = x + 1 es equivalente a 2x – 8 = 0 porque ambas tienen como solución única x = 4.

Verifica el valor de x.

28

C.E

Cr.: Da

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2

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2

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ÁTICA Ciclo

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3

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3º Año

30



UNIDAD II

UNIDAD II: Álgebra y funciones. 1- Funciones. Variables, función lineal. Representación en ejes cartesianos. Función de proporcionalidad directa e inversa. 2- Sistemas de ecuaciones lineales. Representación gráfica. Ejercitación.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), también conocido como barón Gottfried Wilhelm von Leibniz. Filósofo, matemático y estadista alemán, considerado como uno de los mayores intelectuales del siglo XVII. Nacido en Leipzig, se educó en las universidades de esta ciudad, de Jena y de Altdorf. Desde 1666 (año en que fue premiado con un doctorado en leyes) trabajó para Johann Philipp von Schönborn, arzobispo elector de Maguncia, en diversas tareas legales, políticas y diplomáticas. En 1673, cuando cayó el régimen del elector, Leibniz marchó a París. Permaneció allí durante tres años y también visitó Amsterdam y Londres, donde dedicó su tiempo al estudio de las matemáticas, la ciencia y la filosofía. En 1676 fue designado bibliotecario y consejero privado en la corte de Hannover. Durante los 40 años siguientes, hasta su muerte, sirvió a Ernesto Augusto, duque de Brunswick-Lüneburg, más tarde elector de Hannover, y a Jorge Luis, elector de Hannover, después Jorge I, rey de Gran Bretaña.

Leibniz fue considerado un genio universal por sus contemporáneos. Su obra aborda no sólo problemas matemáticos y filosofía, sino también teología, derecho, diplomacia, política, historia, filología y física.

La contribución de Leibniz a las matemáticas consistió en enumerar en 1675 los principios fundamentales del cálculo infinitesimal. Esta explicación se produjo con independencia de los descubrimientos del científico inglés Isaac Newton, cuyo sistema de cálculo fue inventado en 1666. El sistema de Leibniz fue publicado en 1684, el de Newton en 1687, y el método de notación ideado por Leibniz fue adoptado universalmente. En 1672 también inventó una máquina de calcular capaz de multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas. Es considerado un pionero en el desarrollo de la lógica matemática.

En la exposición filosófica de Leibniz, el Universo se compone de innumerables centros conscientes de fuerza espiritual o energía, conocidos como mónadas. Cada mónada representa un microcosmos individual, que refleja el Universo en diversos grados de perfección y evolucionan con independencia del resto de las mónadas. El Universo constituido por estas mónadas es el resultado armonioso de un plan divino. Los humanos, sin embargo, con su visión limitada, no pueden aceptar la existencia de las enfermedades y la muerte como partes integrantes de la armonía universal. Este Universo de Leibniz, “el mejor de los mundos posibles”, es satirizado como una utopía por el autor francés Voltaire en su novela Cándido (1759).

31



Entre las obras filosóficas fundamentales de Leibniz se incluyen Ensayos de Teodicea sobre la bondad de Dios, la libertad del hombre y el origen del mal (2 vols., 1710), Monadología (1714; publicado en latín como Principia Philosophiae, 1721), y Nuevo tratado sobre el entendimiento humano (1703; pub. 1765). Los dos últimos influyeron mucho en los filósofos alemanes del siglo XVIII, incluyendo a Christian von Wolff e Immanuel Kant.

1- FUNCIONES

LA FUNCIÓN LINEAL Todos los meses debemos abonar la factura de luz. Te mostramos las tres últimas facturas que hemos tenido que pagar:

Analizando las tres facturas vemos que existe un importe que se repite: el básico. Éste es el que tenemos que pagar sin importar si consumimos o no energía. Sería el mantenimiento de la línea. También podemos observar que hay un valor que cambia con la cantidad de Kw. consumidos, el subtotal de consumo de energía. Finalmente el total depende como la suma del básico más el consumo de energía depende de estos dos valores. Antes de continuar con la lectura de esta página intenta hallar una fórmula que te permita calcular el total de la factura de un período cualquiera, teniendo en cuenta que puede variar la cantidad de Kw. consumidos. La fórmula: No es muy complicado entender que el total se calcula haciendo la siguiente cuenta:

Precio de un Kw. x Cantidad de Kw. + Básico = total de la factura

sabemos que:

Período:

Precio por Kw Kw consumidos Subtotal12 0.23 120 27.6 39.6

Período:


Período:


Noviembre

BásicoConsumo en Kw

Total

Octubre

BásicoConsumo en Kw

Total

Consumo en KwTotalBásico

Septiembre

32



Precio de un Kw. es $0,23. Básico es $12. Cantidad de Kw. consumidos es una variable, porque puede

cambiar según el período facturado. Entonces podemos ponerle una letra a fin de identificar esta variable. Nosotros elegimos la letra x, entonces tenemos que:

X = cantidad de Kw. consumidos en un período

El total depende de la cantidad de Kw. consumidos, porque el básico permanece constante en todos los períodos. Entonces el total es la variable dependiente, mientras que los Kw. consumidos en el período es la variable independiente. Escribiremos el total de la factura como f(x). Recuerda que poner la variable independiente entre paréntesis indica que f depende de x, también la representamos con la letra Y.

Con estas consideraciones podemos expresar la fórmula de la siguiente manera:

y =$0,23x +$12

La formula anterior nos indica que hay una relación entre el total a pagar y las constantes y la variable x. Además si pensamos un poco veremos que la relación es una función, porque a una cantidad de Kw. consumidos le corresponde un y sólo un total, no puede haber dos precios a pagar distintos si la cantidad consumida es la misma. Entonces la fórmula anterior nos dice que estamos en presencia de una función. Como recordarás de introducción a las funciones, éstas pueden graficarse. Intenta realizar la gráfica de la función que estamos analizando antes de continuar. X 1223.0 xy 0 12.5 20 16.6 40 21.2 50 23.5 100 35.0 150 46.5

33



0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 50 100 150 200

Consumo en Kw/h

Pes

os

Además no tomamos los valores negativos de x porque no puede haber una cantidad negativa de Kw. consumidos, como mínimo el consumo es 0 y como esta función solamente tiene valores negativos cuando x < 0, entonces tampoco se consideran los valores negativos del eje vertical.

Observando la gráfica vemos que la primera coordenada vertical que aparece es el número 12. Esto coincide con el valor x =0, es decir que si no consumimos energía deberemos pagar $12 por el mantenimiento de la línea eléctrica que nos corresponde. Matemáticamente decimos que el origen de coordenadas se ha desplazado hacia el punto (0,12), en lugar de estar en el (0,0), por ello a este valor se lo llama ORDENADA AL ORIGEN. Entonces la ordenada al origen es el valor de la función f(x) en x = 0. Otra observación de la gráfica nos conduce a afirmar que es una recta que forma un ángulo con el eje horizontal. En efecto si tomamos al eje horizontal como uno de los lados del ángulo, a la recta como el segundo lado y al punto ordenada al origen como el vértice, tenemos el ángulo que forma la recta con el eje horizontal. Suponiendo que cambia el del Kw, no así el abono 1) f(x) = 0.35x+12 2) f(x) = 0.115x+12

1223.0 xy

34



0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

0 50 100 150 200

Consumo en Kw/h

Pes

os

Ya habrás notado que las tres gráficas tienen tres ángulos distintos y lo único que ha cambiado en las fórmulas (además de las letras de las variables dependiente) es el número que multiplica a la x. Esto nos permite conjeturar que el número que acompaña a la x, es justamente el indicador del ángulo que forma la recta con el eje horizontal. Y en efecto, éste número llamado PENDIENTE DE LA RECTA, es quien nos marca que ángulo forma la recta con el eje horizontal. Para entender porque es este número el indicador del ángulo, debes saber trigonometría de triángulos rectángulos. En ese tema se estudia entre otras funciones, la función tangente y es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje horizontal el número al que hemos llamado PENDIENTE DE LA RECTA. A partir de la observación de las tres gráficas de la segunda imagen, podemos conjeturar que todas las funciones que tengan la forma y = a x + b, son funciones cuya gráfica es una recta. Entonces generalizamos las observaciones anteriores diciendo que: LA FUNCIÓN LINEAL ES LA FUNCIÓN QUE TIENE COMO GRÁFICA UNA RECTA Y SU FORMA GENERAL ES y = a x + b .

1223.0 xy

12115.0 xy

1235.0 xy

35



Donde: a es la pendiente (tangente del ángulo que forma la recta con el eje horizontal o eje de abscisas) b es la ordenada al origen, es decir el punto la coordenada vertical en el punto (0,b) o (0, f(0)).


REPRESENTACION DE UNA FUNCIÓN

La representación gráfica de una función permite visualizar de un modo claro y preciso su comportamiento.

El conjunto de los pares de números (x, y) determinados por la función recibe el nombre de grafo de la función.

Para obtener los pares basta con dar valores a la variable independiente x, y obtener los correspondientes de la variable dependiente y, formando así una tabla de valores de la función como lo indicamos anteriormente.

Una vez obtenidos los pares de números, se representan en un sistema de ejes cartesianos, que consiste en dos ejes perpendiculares que se cortan en un punto, llamado origen de coordenadas, y representado por O; el eje horizontal recibe el nombre de eje de abscisas, y en él se representan los valores de la variable independiente; el eje vertical recibe el nombre de eje de ordenadas, y en él se representan los valores de la variable dependiente. Cada par de números corresponde a un punto del plano.

Uniendo todos los puntos, se obtiene la gráfica de la función.

A continuación se encuentran representadas diferentes funciones, todas tienen el mismo valor absoluto de misma ordenada al origen y la misma pendiente, sólo cambian los signos.

Analiza con tus compañeros las distintas situaciones.

X 23 xy 1 -1 2 -4 3 -7 -1 5 -2 8 -3 11

36



1; -1

2; -4

3; -7

-1; 5

-2; 8

-3; 11

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

X

Y

1; 1

2; 4

3; 7

-1; -5

-2; -8

-3; -11-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

X

Y

1; 5

2; 8

3; 11

-1; -1

-2; -4

-3; -7-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

X

Y

X 23 xy 1 5 2 8 3 11 -1 -1 -2 -4 -3 -7

X 23 xy 1 1 2 4 3 7 -1 -5 -2 -8 -3 -11

37



1; -5

2; -8

3; -11

-1; 1

-2; 4

-3; 7

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

X

Y

Ejercicios

1) Representar en un mismo sistema de coordenadas cartesianas las siguientes rectas:

y = x y = x + 1 y = x + 3 y = x - 1

¿Cómo resultan las rectas obtenidas?.

2) Representar en un mismo sistema de ejes:

y = -3.x y = 2.x + 2 y = 3.x - 4 y = 4/5 - x/2

Indicar en cada caso la pendiente y la ordenada al origen.

A ejercitar!!!!!!

X 23 xy 1 -5 2 -8 3 -11 -1 1 -2 4 -3 7

38



Casos Especiales

FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA

El cociente de dos números reales, x e y es constante e igual a 12, por lo tanto, x e y son directamente proporcionales (si x aumenta y aumenta en forma proporcional): y/x = 12. Si despejamos y, obtenemos la fórmula de una función de proporcionalidad directa Y= 12 . x Completar la tabla de valores de la función

1; 12

2; 24

3; 36

-1; -12

-2; -24

-3; -36-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4temp(ºC)

d (metros)

El gráfico de la función, una línea recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. En forma general la fórmula de una función de proporcionalidad directa es: xay . con x y a números reales distintos de 0.

FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

X xy .12

1 12 2 24 3 36 -1 -12 -2 -24 -3 -36

39



2 4 6 8 10 12 14-2-4-6-8-10-12-14

2468

101214

-2-4-6-8

-10-12-14

t (h)

d (km)

El producto de dos números reales, x e y es constante e igual a 12, por lo tanto, x e y son inversamente proporcionales (si x aumenta y disminuye en forma proporcional): x. y = 12. Si despejamos y, obtenemos la fórmula de una función de proporcionalidad

inversa x

y12

Completar la tabla de valores de la función

El gráfico de la función, una hipérbola, se va acercando a los ejes sin llegar a cortarlos. En forma general la fórmula de una función de proporcionalidad inversa es:

x

ay con x y a números reales distintos de 0.

***ANALIZA LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA ANTERIOR Y ENCUENTRA EL ERROR*****

Ejercicios

1) La ley de Ohm relaciona el voltaje V (que en las baterías de los coches, por ejemplo, suele ser de 12 voltios) con la intensidad de corriente I y la resistencia R. Dicha ley afirma que: V = I.R Considerando V= 12 voltios y dando valores a R, se obtienen distintos valores de I. Construye una tabla y dibuja la gráfica correspondiente. ¿Cómo es la función?

2) Un automovilista parte de viaje con 60 litros de nafta en el tanque. Sabemos que lleva una velocidad constante y gasta 1 litro de nafta por cada 8 km. recorridos. Representa gráficamente la cantidad de nafta contenida en el tanque en función de los kilómetros recorridos. ¿Qué gráfico obtenés? ¿Qué nombre recibe la función que graficaste? ¿Hay proporcionalidad entre la cantidad de nafta contenida en el tanque y los kilómetros recorridos a velocidad constante?

X

xy

12

1 12 2 6 3 4 -1 -12 -2 -6 -3 -4

40



1 2 3 4 5-1

25

50

75

100

125

150

175

200

T en horas

D en km

¿Cuántos kilómetros puede llegar a recorrer el automovilista a esa velocidad sin volver a cargar nafta? 3) ¿A qué velocidad constante debe ir un automovilista para recorrer una distancia de 360 km. en: 2 horas? .......... 4 horas? .......... 6 horas? .......... 3 horas? .......... 5 horas? .......... 9 horas? .......... Arma una tabla de valores y representa gráficamente la velocidad del auto en función del tiempo que tarda en recorrer 360 km. ¿Qué gráfico obtenés? ¿Qué nombre recibe la función que graficaste? ¿Existe proporcionalidad directa o inversa entre la velocidad del auto y el tiempo que tarda en recorrer 360 km? A medida que el tiempo transcurre, ¿a qué valor tiende la velocidad? Escribí la fórmula de la velocidad en función del tiempo. 4) Juan vive en la ciudad de San Ferrando y Beatriz en la ciudad de Beccar, que esta sobre el camino entre San Fernando y Olivos, a 5 kilómetros de San Fernando. Juan sale de San Fernando en bicicleta con rumbo a Olivos, avanza a 15 km./h. Beatriz sale de la ciudad Beccar a la misma hora, en la misma dirección, caminando a una velocidad de 5 km./h. Determinar si se encuentran y, en caso afirmativo, a que hora y a que distancia de San Fernando están en ese momento. 5) Dos caminantes parten a la misma hora y avanza por el mismo camino, en la misma dirección. En el instante de la partida, el segundo esta 6 km. adelante del primero. El primero camina a 7 km./h y el segundo a 5 km./h.

¿Cuánto tiempo después y a que distancia del punto de partida del primero se encuentran?

6) Las rectas representan el desplazamiento de dos autos A1 y A2.

¿Cómo son ambas velocidades? ¿Cuáles mayor? ¿Partieron del mismo lugar? ¿Partieron a la misma hora? ¿Qué velocidad lleva A1? ¿Y A2? ¿a que distancia del punto de partida se encuentran? ¿cuantas horas después de la partida del primero?

7) El gráfico representa la velocidad de un tren subterráneo entre las estaciones A y B. (eje y en km./h, eje x en seg.)

¿el movimiento del tren es uniforme? ¿cuánto dura el viaje entre A y B? ¿durante cuanto tiempo

41



la velocidad es constante? ¿Cuál es la velocidad máxima? ¿En que tiempo se alcanza? ¿Cuánto tarda en frenar?

A ejercitar!!!!!!

2- SISTEMA DE ECUACIONES: IMPORTANTE:

Conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se pretende hallar. Para indicar que varias ecuaciones forman un sistema, se abarca el conjunto de todas ellas con una llave.

Las ecuaciones de un sistema suelen tener dos o más incógnitas, por lo que cada una de ellas puede tener infinitas soluciones.

Se llama solución del sistema a una solución común a todas las ecuaciones que lo forman. Resolver un sistema de ecuaciones es hallar todas sus soluciones o concluir que no tiene solución.

Si dos sistemas de ecuaciones tienen las mismas soluciones o ambos carecen de solución, se dice que son equivalentes.

Los sistemas de ecuaciones sin solución se llaman incompatibles y los que tienen solución, compatibles.

Por ejemplo, el sistema formado por las ecuaciones 2x - 5y = 16 y 4x + y = 10

se expresa así

La solución de este sistema es x = 3, y=2 porque es solución de ambas ecuaciones. Es, por tanto, un sistema compatible.

Y

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100110120 130140 150160

X10

20

30

40

50

60

70

80

42



El sistema es incompatible, pues no tiene solución.

Los sistemas de ecuaciones lineales son especialmente interesantes por las múltiples aplicaciones que tienen en diversas ciencias.

Sistemas de Ecuaciones Lineales:

Una ecuación con varias incógnitas es lineal si es de la forma ax + by = c, ax + by + cz = d,…, es decir, si las incógnitas aparecen sin exponentes (elevadas a 1).

Un sistema de ecuaciones lineales compatible, o bien tiene solución única (es determinado), o tiene infinitas soluciones (es indeterminado).

Existen varios métodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones: el método de sustitución, el método de igualación y el método de reducción. A continuación se aplican en la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su expresión en la otra, la cual se transformará en una ecuación con una incógnita que se puede resolver. Una vez conocido el valor de dicha incógnita se obtiene, de inmediato, el valor de la otra.

Para resolver el sistema por el método de sustitución conviene despejar la y de la segunda ecuación (existen otros métodos, pero sólo veremos el de sustitución) :

y = 10 – 4x (ahora se sustituye su valor en la primera) y= 2X- 5.(10 – 4x) = 16

Se resuelve la ecuación resultante, pues sólo tiene una incógnita:

2x – 50 + 20x = 16 22 . x = 66 x = 66 : 22 x= 3

Ahora el valor de x se sustituye en la expresión de y obtenida antes:

y = 10 – 4x y= 10 – 4 · 3 y= 10 – 12 y= – 2

Se ha obtenido así la solución x = 3, y = – 2.

Representación Gráfica Los sistemas de ecuaciones se pueden representar gráficamente, las gráficas son, diagramas que muestran relaciones entre números.

43



Las gráficas organizan la información numérica en forma de figura de manera que es posible encontrar tendencias o patrones en la información. En el ejemplo siguiente encontramos el punto de corte, que es la solución del sistema.

Según lo dicho arriba, en un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, cada ecuación representa una recta en el plano. Las dos rectas del sistema sólo pueden tener tres posiciones relativas y cada posición corresponde a una posible clasificación del sistema de ecuaciones. Puede ocurrir: 1) Las dos rectas son secantes. Se cortan en un punto.- En este caso el sistema es compatible y determinado y la solución única nos da las coordenadas del punto solución. 2) Las dos rectas son paralelas.- El sistema es incompatible. 3) Las dos rectas son coincidentes.- El sistema es compatible e indeterminado

Ejemplo:

Dado el sistema de ecuaciones

Se representa del siguiente modo:

44



El punto en que se cortan las rectas, (2,1), es la solución del sistema: x = 2, y = 1.

Resolvemos entre todos el sistema y comprobamos la solución gráfica

Ejercicios Encuentra gráfica y analíticamente el punto de intersección de las rectas:

5.x - y = 9 2.x + 4.y = 8

Respuesta: [2; 1] 5.x - y = 1/2 2.x + 3.y = -10

Respuesta: [-1/2; -3]

2.x - 4.y = -7 x + 8.y = -1

Respuesta: [-3; 1/4]

-3.x + 15.y = 59 3.x + 4.y = 17

Respuesta: [1/3; 4]

-3.x - 4.y = 5 -x - 2.y = 2

Respuesta: [-1; -1/2]

3.x - 5.y = 19 2.x + y = 4

Respuesta: [3; -2]

A ejercitar!!!!!!

45

Curso de Apoyo en Matemática

Página 82

2) Dada la ecuación x2 - (m + 2) x + 10 = 0 hallar los valores de m para que las dos raíces sean iguales.

3) La suma de un número positivo y su cuadrado es 42. Hallar dicho número.

4) Hallar dos números consecutivos cuyo producto es 380.

5) El producto de un número negativo por su tercera parte es 27. Calcular dicho número.

6) La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 5. Hallar dichos números.

7) Calcular las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su área es 405 cm2 y su perímetro 84

cm. 8) Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medida, en cm., tres números pares

consecutivos. Hallar los valores de dichos lados. 9) Dentro de 11 años la edad de Marcela será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13

años. Calcular la edad de Marcela. 10) Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de

ancho uniforme. Hallar el ancho de dicho camino si se sabe que su área es 540 m2. 11) En cada una de las esquinas de una plancha de cartón de forma cuadrada se recorta un

cuadrado de 5 cm de lado y doblando y pegando, se forma una caja de 1280 cm3. Hallar el lado de la hoja inicial.

12) El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 11 m y la hipotenusa 1m más que el otro

cateto. Hallar los lados del triángulo. 13) Un poste de luz de 7 metros se rompe a una cierta altura del suelo y al doblarse, la punta libre

del trozo roto cae a 3 m de la base del poste. ¿A qué altura se rompió?. 5.2. FUNCIONES CUADRÁTICAS

Función Función CuadráticaCuadrática

A toda función de la forma

y = f (x) = a x2 + b x + c , con a , b , c ∈∈ R y a ≠≠ 0

se la llama función cuadrática.

Ejemplo: 4x2 – 2x + 5

4x2 es el término cuadrático, – 2x es el término lineal, y

5 es el término independiente.

En la expresión anterior

a x2 es el término cuadrático,

b x es el término lineal, y

c el término independiente.

46

Ecuaciones y Funciones Cuadráticas

Página 83

El dominio de la función es R y su gráfica es una curva llamada parábola.

Cada uno de los lugares en los que la gráfica corta el eje x

se conoce como raíz. El vértice es el punto en el cual

la gráfica alcanza su valor mínimo (o máximo).

El eje de simetría es una recta que permite observar claramente que las

parábolas son curvas simétricas.

En su gráfica identificamos los siguientes elementos:

A continuación analizaremos los gráficos de algunas funciones cuadráticas cuando varía el coeficiente de x2.

-1 1 2 3 4

6

8

10

12

14

y = 2x2−6x+7

En principio, si a > 0 la gráfica es de la forma:

-2 -1 1 2 3 4 5

-10

-5

5

10

y = −2x2+ 6x + 7

en cambio, si a < 0 la gráfica es de la forma:

Eje

de

sim

etría

x

y

Vértice V= (xV, yV)

Raíz xV

Raíz xV

y

x

y = a x2 + b x + c

y

x

y = a x2 + b x + c

47


Página 84

Así, dada la función y = a x2 + b x + c, el signo de a indica hacia donde se dirigen las ramas de la parábola:

- si a es positivo, las ramas van hacia arriba,

- si a es negativo, las ramas van hacia abajo.

Por otro lado, si comparamos ahora la gráfica de

y = a1 x2 + b1 x + c1

con la gráfica de

y = a2 x2 + b2 x + c2

en aquellos casos en que a1 y a2 tienen el mismo signo y el vértice de ambas parábolas coincide, resulta uno de los siguientes casos:

-2 2 4 6

10

20

30

40

2x2−8x+11 y = 4x2−16x+19

si a1 > a2 > 0

-2 2 4 6

-40

-30

-20

-10

−2x2+8x−5 −4x2+16x−13

si a1 < 0, a2 < 0, y a1 > a2.

y

x xV

y = a1x2 + b1x + c1

y = a2x2 + b2x + c2

x

y

xV

y = a1x2 + b1x + c1

y = a2x2 + b2x + c2

48


Página 85

Así, el valor absoluto de a modifica la abertura de las parábolas:

- cuanto menor es a, la parábola es más abierta,

- cuanto mayor es a, la parábola es más cerrada.

-2 -1 1 2

1

2

3

4y = x2

Para continuar investigando la gráfica de una parábola, centraremos nuestra atención ahora en la función

y = x2

cuya gráfica es simétrica respecto del eje y. Veamos que si desplazamos su gráfico en forma vertical u horizontal, obtenemos las gráficas de otras funciones cuadráticas. Comenzaremos analizando lo que sucede al trasladarla verticalmente.

-2 -1 1 2

1

2

3

4

5

6

Ejemplo:

• Si trasladamos la gráfica y = x2 dos unidades hacia arriba, obtenemos la gráfica de la función y = x2 + 2.

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

3

4

• Si trasladamos la gráfica y = x2 tres unidades hacia abajo, obtenemos la gráfica de la función y = x2 - 3.

Observemos que...

estos desplazamientos no modifican el eje de simetría, pero sí la ordenada del vértice y el conjunto imagen de cada función.

Para pensar…. Recuerda que...

ü el vértice es el punto en el cual la parábola alcanza su valor máximo o mínimo;

ü el conjunto imagen está formado por las coordenadas en y de cada uno de los puntos pertenecientes a la parábola.

¿Cómo completarías el siguiente cuadro?

y = x2 y = x2 + 2 y = x2 - 1. Vértice (0 , 2) Conjunto imagen [-1 , +∞)

y = x2

y = x2 + 2

y = x2

y = x2 - 3

49


Página 86

Concluimos entonces que en caso de contar con una parábola cuya ecuación es de la forma

y = x2 + k,

las coordenadas del vértice son

(0, k)

mientras que el conjunto imagen es

[k, +∞∞).

-2 -1 1 2

1

2

3

4y = x2

Continuando con nuestro análisis de la gráfica de la función

y = x2

veamos qué sucede ahora si desplazamos su gráfico en forma horizontal.

-2 2 4 6

5

10

15

20

Ejemplo:

• Si trasladamos la gráfica y = x2 dos unidades hacia la derecha, obtenemos la gráfica de la función y = ( x - 2 )2 .

-6 -4 -2 2

5

10

15

20

• Si trasladamos la gráfica y = x2 dos unidades hacia la izquierda, obtenemos la gráfica de la función y = ( x + 2 )2 .

Observemos que ...

estos desplazamientos modifican el eje de simetría y la abscisa del vértice, pero no su ordenada ni el conjunto imagen de cada función.

Para pensar….

Puede que te ayude el gráfico de las funciones.

¿Cómo completarías el siguiente cuadro?

y = x2 y = (x - 2)2 y = (x + 1)2 Eje de simetría x = -1 Vértice (2 , 0)

y = x2

y = (x – 2)2

y = x2

y = (x + 2)2

50


Página 87

Concluimos entonces que en caso de contar con una parábola cuya ecuación es de la forma

y = (x – p)2

las coordenadas del vértice son

( p, 0)

mientras que el eje de simetría es

x = p.

Combinando lo visto hasta ahora, podemos observar que:

-3 -2 -1 1 2 3

1

2

3

4

5

ü si trasladamos la gráfica y = x2 una unidad hacia la derecha, y dos unidades hacia arriba, obtenemos la gráfica de la función y = ( x - 1 )2 + 2.

-6 -4 -2 2

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

ü si, trasladamos y = x2 tres unidades hacia la izquierda y una unidad hacia abajo, obtenemos la gráfica de la función y = ( x + 3 )2 - 1.

Para pensar….

Recuerda efectuar los gráficos partiendo de la función y = x2.

ü Representa en un mismo sistema coordenado las gráficas de: y = x2 ; y = (x - 1)2 + 2 e y = ( x + 3 )2 - 1.

ü ¿Cómo completarías el siguiente cuadro?

y = x2 y = (x - 1)2 + 2 y = (x + 3)2 - 1 Eje de simetría x = -3 Vértice (1 , 2) Conjunto imagen

y = (x – 1)2 + 2

y = x2

y = x2

y = (x + 3)2 - 1

51


Página 88

En síntesis, al desplazar la gráfica de

y = x2

p unidades en sentido horizontal y k unidades en sentido vertical, obtenemos la gráfica de la función

y = (x - p)2 + k

Su vértice es el punto

V = (p , k)

El eje de simetría es la recta de ecuación

x = p.

Forma Forma CanónicaCanónica

Ahora bien, ¿cómo podemos expresar la función cuadrática

y = a x2 + b x + c , con a ≠ 0 ,

en la forma

y = a (x - p)2 + k ?

Precisamente mediante el método de completar cuadrados. A la forma y = a (x - p)2 + k se la conoce como forma canónica de la parábola.

-4 -2 2 4

-5

5

10

y = x2 − x − 6

Cuando y = 0 , resulta la ecuación a x2 + b x + c = 0 cuyas raíces se obtienen como ya hemos visto aplicando la fórmula:

x1,2 = a 2

c a 4-bb - 2± .

Las mismas representan los puntos de intersección de la parábola con el eje x.

Según que la ecuación tenga dos raíces reales, una o ninguna,

la parábola cortará al eje x, será tangente a él, o quedará toda ella por encima o por debajo del eje:

-4 -2 2 4

-5

5

10

y = x2 − x − 6

dos raíces reales

y = a (x – p)2 + k

y = x2

p

k x = p

raíz raíz

x = -2 x = 3

y

x

52


Página 89

-1 1 2 3 4

2

4

6

8y = x2 − 4x + 4

una raíz real doble

-5 -4 -3 -2 -1 1

2

4

6

8y = x2 + 4x + 6

ninguna raíz real Observemos que ...

cuando la parábola tiene raíces reales, las mismas equidistan del eje de simetría. Luego podemos obtener la abscisa del vértice de la parábola haciendo:

xV = 2

21 xx +

y la ordenada de dicho vértice, yV reemplazando xV en la ecuación de la función cuadrática. Otra forma de obtener la abscisa del vértice es aprovechar el hecho de que si en la fórmula

xV = 2

21 xx + reemplazamos x1 y x2 por las expresiones de la fórmula x1,2 =

a 2c a 4-bb - 2±

,

obtenemos

xV = a 2b -

.

Al aplicar xV = a 2b -

, podemos obtener xV , sin importar el tipo de raíces.

x1 = x2 = 2

y

x

y

x

53


Página 90

Comprueba efectuando la gráfica correspondiente.

Ejemplo:

La función y = - x2 - 2 x - 3 , no tiene raíces reales. Las coordenadas del vértice son :

xV = a 2b -

= 1) (- 22) (- -

= - 1 e yV = - (-1)2 - 2 (-1) - 3 = - 2.

Para pensar….

Si no recuerdas el método de completar cuadrados

es conveniente que estudies nuevamente este tema contenido en la unidad anterior.

Considera la función y = 3x2 - 2 x – 1. Completando

cuadrados resulta y = 3 (x - 31 )2 -

34

.

Grafica la función y responde: ü ¿ Hacia dónde está abierta la parábola ?

ü ¿ Cuáles son las coordenadas del vértice ?

ü ¿ Cuál es el eje de simetría ?

ü ¿ Cuáles son los puntos de intersección de la parábola con los ejes x e y ?

Ejemplo: Hallaremos la expresión de la función cuadrática graficada.

-5 -4 -3 -2 -1 1

1

2

3

4

5

6

• reemplazamos las coordenadas del vértice en la forma canónica y = a [x - (- 2)] 2 + 1

• Reemplazamos x e y por las coordenadas del punto P: 3 = a (- 1 + 2)2 + 1

• Obtenemos: a = 2 • Sustituimos en la ecuación y = a [x - (-2)] 2 + 1 el valor de a y obtenemos la expresión de

la función:

y = 2 (x + 2)2 + 1

V

P

54


Página 91

Ejemplo: la función

y = - x2 - 13 x

puede expresarse como:

y = - x2 - 13 x = - x . (x + 13)

Por último, una función cuadrática

y = a x2 + b x + c

con raíces reales x1 y x2 puede ser expresada en la forma:

y = a (x - x1) . (x - x2),

como lo vimos en la unidad anterior.

Resumiendo, podemos expresar la ecuación de una función cuadrática como muestra el siguiente cuadro:

Forma Expresión Parámetros

Polinómica o general y = a x2 + b x + c , a ≠ 0 a, b , c (c: ordenada al origen)

Canónica y = a (x - xV)2 + yV , a ≠ 0 a, xV , yV ( V = (xV , yV) vértice )

Factorizada y = a (x - x1) . (x - x2) , a ≠ 0 a, x1, x2 (x1 , x2 : raíces )

Retomemos ahora el problema de la introducción de la unidad Cuenta la historia que cuando Dido, perseguida por su cruel hermano, asentó sus pies en lo que luego sería Cartago, negoció con el rey del lugar, Iarbas, la compra del terreno necesario para fundar una factoría. Iarbas aceptó en un precio ridículamente bajo pues el trato consistía en que debía entregar la tierra abarcada por la piel de 3 bueyes. Cerrado el trato, la astuta Dido cortó en finas tiras dicha piel logrando entonces abarcar mucho más de lo que Iarbas había pensado entregar. Además la belleza de Dido ayudó a que Iarbas se dejase engañar. Si el trato hubiera sido que la parcela tenía que ser rectangular, ¿ que rectángulo hubiese convenido a Dido construir? En principio, consideremos el perímetro igual a 24, tal como analizamos al inicio de esta unidad. Designemos con b y h a las medidas de la base y la altura del rectángulo, respectivamente. Como el perímetro es 24, resulta

24 = 2 (b + h). De aquí, despejando b tenemos

b = 12 – h.

Por otro lado, el área del rectángulo, a la que simbolizaremos con A, resulta ser

A = b h,

y reemplazando en esta ecuación el valor de b con el obtenido en el paso anterior tenemos

A = (12 – h) h.

55


Página 92

2.5 5 7.5 10 12.5

-20

-10

10

20

30

40fHhL = H12 − hL h

El miembro derecho de esta ecuación es una función de segundo grado

f (h) = (12 – h) h.

Si observamos la gráfica de esta función, es claro que alcanza su valor máximo cuando h es la coordenada del vértice de la misma.

f (h) = (12 – h) h

f (h) = – h2 + 12h

f (h) = - (h – 6)2 + 36

Como el vértice de esta parábola tiene las coordenadas (6, 36)

resulta que el valor de h que hace que el área del rectángulo en cuestión sea máxima es

h = 6.

Retornando a la ecuación anterior, con este valor obtenemos

b = 12 – h = 12 – 6 = 6

lo que corrobora que efectivamente a Dido le hubiese convenido construir un cuadrado.

Para pensar….

Plantea la situación anterior considerando un

perímetro P cualquiera.

ü ¿Serías capaz de probar que cualquiera sea el perímetro fijado siempre lo conveniente es construir un cuadrado?.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

14) Representar en un mismo sistema de coordenadas las gráficas de: y = 2 x2 ; y = 21

x2 ;

y = -2 x2 ; y = -21

x2.

15) Sea la función y = x2 :

a) Calcular f (- 4) , f

31

, f ( ) 7 .

b) Indicar, si es posible los valores de x para los cuales: f (x) = 100 ; f (x) = 5 ; f (x) = - 4 ; f (x) = f (5) .

16)

1) Indicar cuál fue el desplazamiento aplicado a la función y = x2 para obtener cada una de las siguientes expresiones:

a) y = (x - 5)2 b) y = (x + 4)2 - 27

c) y = x 2 + 2,5

2) Graficar las funciones del inciso anterior, señalando en cada gráfico el vértice y el eje de

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UNIDAD III

UNIDAD III: Estadística y Probabilidad. 1- Estadística: Tabla de frecuencias. Medidas de posición: media, mediana, cuartiles y modo. Medidas de dispersión: Rango, desvió y coeficiente de variación. Gráficos. Intervalos, histogramas. Interpretación. 2- Probabilidad simple. Trabajo Práctico 1- ESTADISTICA MEDIDAS DE POSICIÓN Con la distribución de frecuencias se ha condensado, en cierto sentido la información. Sin embargo, es necesario resumirla en un número que sea representativo de todo el conjunto. Como dijimos en la unidad anterior, donde construimos tablas y gráficas a partir de una colección de datos sin procesar. Los resultados de las distribuciones de frecuencias nos indicaron tendencias y patrones de los datos. En casi todos los casos, sin embargo, teníamos necesidad de medidas más exactas. En estos casos, podemos usar una serie de números conocidos como estadísticas. La forma más usual es el promedio, de ahí que hablemos, por ejemplo del promedio de ventas del año 2006. Estos números llamados estadísticas se dividen generalmente en tres grupos: Tendencia central: La tendencia central se refiere al punto medio de una distribución. Las medidas de tendencia central se conocen también como medidas de posición dentro de las cuales estudiaremos a la media aritmética, la mediana, el modo y los cuartiles. Dispersión: La dispersión se refiere a la extensión de los datos en una distribución, es decir, el grado con que las observaciones se distribuyen. Para ello estudiaremos el coeficiente de variación, desvío estándar, rango y varianza Existen otras características de los conjuntos de datos que proporcionan información útil: la asimetría, indicada por el coeficiente de PEARSON. En este punto de la unidad definiremos PROMEDIO O MEDIA ARITMÉTICA y otras cantidades que en conjunto son las medidas de posición. Las medidas de posición poblacionales constituyen los PARÁMETROS POBLACIONALES, que expresan propiedades particulares de todo la población. Las medidas resumen de los datos maestrales se llaman. ESTADISTICAS

MUESTRALES → ESTADÍSTICAS POBLACIONALES → PARÁMETROS

Dentro de las mediadas de posición, como lo refleja el cuadro, estudiaremos las MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, llamadas así porque tienden a los valores medios y son:

57



MEDIA ARITMETICA MEDIANA MODO CUARTILES

MEDIA ARITMETICA

La definimos como el promedio de los valores de la variable, en el caso de ciertos valores de las ventas que representan a un total general, nos encontramos en presencia de una muestra por lo tanto el resultado del cálculo es una media muestral. En el caso de que los valores correspondan al total de la población el resultado seria la media poblacional.

1, , nX XX

n

Xn: valores de la variable n: tamaño de la muestra Esta misma fórmula puede abreviarse de la forma siguiente:

1

n

ii

XX

n

∑: símbolo de sumatoria En caso de la media poblacional se utiliza la letra griega “mu” µ De acuerdo al tipo de distribución de frecuencias, es decir al tipo de variable, se debe calcular la media aritmética de distinta forma El cálculo de la media aritmética se puede realizar con calculadora, oportunamente lo realizaremos Datos sin agrupar En este caso lo único que debemos hacer es reemplazar en la fórmula. Ejemplo: Calcular la media aritmética de los datos correspondientes a la muestra de diámetros internos de aros de pistón (en milímetros).

74.030 74.002 74.018 73.993 74.005 74.005 73.996 73.998 Rta. Media aritmética correspondiente a la muestra de aros de pistón es de 74.006 mm.

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Este cálculo también se puede realizar con:

la calculadora formulas de planilla de calculo

link de CASIO (donde se puede consultar los manuales)

http://world.casio.com/calc/download/es/manual/ Ventajas: Es una medida que puede calcularse y es única debido a que cada

conjunto de datos posee una y solo una media. Por último, la media es útil para llevar a cabo procedimientos estadísticos

como la comparación de medias de varios conjuntos de datos. Desventajas: Sin embargo, como cualquier medida, la media aritmética tiene desventajas de las cuales debemos tener conocimiento. 1º Aunque la media es confiable en el sentido de que toma en cuenta todos los valores del conjunto de datos puede verse afectada por valores extremos que no son representativos del resto de los datos. Es decir, que si en el caso de los sueldos hubiera uno de $ 2000, intervendría en el cálculo de la media distorsionándola, el valor extremo de $ 2000 distorsiona el valor que obtengamos para la media. Sería más representativo calcular la media sin tomar en cuenta el valor extremo. 2º Problema con la media es el mismo que encontramos con nuestros 80 sueldos. Resulta tedioso calcular la media debido a que utilizamos cada uno de los puntos de datos en nuestro cálculo al menos, desde luego, que tomemos datos agrupados para determinar aproximadamente la media. 3º Desventaja es que somos incapaces de calcular la media para un conjunto de datos que tiene clases de extremo abierto, ya sea en el inferior o en el superior de la escala. La media, a menudo, puede malinterpretarse si los datos no forman parte de un grupo homogéneo. Es importante revisarlos después de haber sido registrados ya sea poniéndolos en una lista o representándolos gráficamente, y decidir si la media tendrá significado. Para concluir con esta medida de posición leer el siguiente poema titulado:

LA ESTADÍSTICA ¿Sabes qué es la estadística? Una cosa con que se hace la cuenta general de los que nacen, van al hospital. A la curia, a la cárcel o a la fosa. Más para mí la parte más curiosa Es la que da le promedio individual.

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MEDIANA Es el valor de la variable que deja a su izquierda y a su derecha el 50 % de los datos. Al igual que la media proporciona un valor numérico y se representa con el símbolo: Me Se puede calcular en el nivel intercalar y determinar en el nivel ordinal. Debemos determinar en el nivel ordinal, ya que este nivel no es matemático y por lo tanto no se puede efectuar ningún cálculo. Lo mismo que para la media aritmética, realizaremos el cálculo para los distintos tipos de distribuciones. Debemos tener en cuenta dos pasos antes de realizar el cálculo.

ordenar los datos en forma creciente. Buscar el dato ubicado en la posición central.

Esto lo podemos realizar de la siguiente forma:

1

2

nMe

lo aplicaremos en el siguiente ejemplo: Datos de la cantidad de facturas de una empresa durante las primeras 5 semanas

28 35 36 44 44

Reemplazando en la fórmula tenemos:

5 13

2Me

Este valor indica el orden de la mediana no el valor numérico de la misma. Una vez determinado el orden de la mediana, en este caso el TERCER LUGAR, procedemos a establecer su valor. En este caso no hay dudas que el VALOR es 36.

En la que todo se parte por igual Hasta en la población menesterosa. Por ejemplo, resulta sin engaño. Que según la estadística del año, Te toca un pollo y medio cada mes. Y aunque el pollo en tu mesa se halle Ausente entras en la estadística igualmentePorque hay alguno que se come tres

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1 2 3 promedio 2media 2

1 2 96 promedio 33media 2

El primer problema se plantea citando el número de DATOS ES PAR, en este caso el orden me indica un valor con “,” es decir 0,50

28 35 36 44

Reemplazando en la fórmula tenemos:

4 12,5

2Me

En este caso la mediana es promedio de los dos valores centrales. En este otro caso no hay dudas que el VALOR es 35,50. La unidad de medida es la misma que la de la variable. Ejemplos: Calcular la media y la mediana de tres personas cuyas edades son: Ejemplos: 1)

2) Datos agrupados, variable discreta Volvemos al ejemplo anterior:

X f Fa0 1 11 3 42 5 93 7 164 4 205 2 22

TOTAL 22

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 TOTAL0 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 MEDIA 3

Como la variable es discreta, seguimos el mismo procedimiento que para el caso en que le número de datos es impar. Determinar el orden de la mediana: en este caso es 11,50 el número de ORDEN, entonces sabemos que la mediana se encuentra en el lugar, entonces nos remitimos a la columna de las FRECUENCIAS ACUMULADAS. Vemos que

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hasta x = 2 se acumulan 9 datos, y para x = 3 se acumulan 16 datos. Por lo tanto el valor de orden 11,50 debe corresponder al valor de variable 3 ya que es menor que 16 y mayor que 9 datos.

X f Fa0 1 11 2 32 3 63 5 114 6 175 5 22

TOTAL 22

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 TOTAL0 1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 MEDIA 3,5

Rta: Después de construir la columna de las frecuencias acumuladas obtenemos el orden 11,50; por lo tanto la posición 11 corresponde al 3 y la posición 12 corresponde al 4 por lo tanto el valor de la Me = 3,50 Las ventajas y desventajas de la mediana Ventajas: con respecto a la media la más importante de ellas, demostrada en el ejemplo de los sueldos, es que los valores extremos no afectan a la mediana (ya que no depende de los valores que toma la variable, sino del orden de las mismas) tan intensamente como a la media. La mediana es fácil de entender y se puede calcular a partir de cualquier tipo de datos incluso a partir de datos agrupados con el extremo abierto como los ejemplos dados anteriormente, a menos que la mediana entre en una clase del extremo abierto. Por ello es adecuado su uso en distribuciones asimétricas. Desventajas: los cálculos que se utilizan en la mediana son más complejos que aquellos que utilizan la media. También, ya que la mediana es una posición promedio cualquier cálculo implica consumo de tiempo para cualquier conjunto de datos que se utilice.

CUARTILES Los cuartiles de una distribución, como su nombre lo indica, son valores de la variable que dividen al conjunto de datos (ordenados de menor a mayor) en cuatro subconjuntos que contienen la misma cantidad de datos. Para calcular los cuartiles de una distribución de frecuencias se precede del mismo modo que en el caso de la mediana, salvo que ahora dividiremos a la distribución de la variable en cuatro partes iguales en lugar de dos. A partir de esta definición es evidente que la mediana coincide con el segundo cuartil. Los cuartiles se simbolizan con la letra Q y un subíndice que indica el número. Para ubicar los valores de la variable que se encuentran en cada cuarto de la distribución, veremos un ejemplo sencillo para el caso de datos no agrupados.

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Datos sin agrupar Supongamos que un veterinario ha registrado los pesos de pollos de seis semanas de vida y los ordenó de menor a mayor obteniendo:

150 151 152 154 155 156 157 159 Q1 151,50Q2 154,50Q3 156,50

La mediana de este conjunto de datos está posicionada entre el 4º y el 5º valor de la serie. El primer cuartil Q1 surge de dividir la primera mitad de la serie en dos partes iguales por lo que el valor Q1 se ubicará entre el 2º y 3º valor de la serie. Del mismo modo Q3 el tercer cuartil, divide a la segunda mitad de la serie en dos partes iguales.

MODO O MODA La tercera medida de tendencia central es el modo y la podemos definir como el valor más frecuente de la variable es decir el que más veces se repite. Supongamos este ejemplo:

2 3 4 4 4 5 6 6 6 6 7 8 8 9 9 12

Observamos que el valor que más se repite es el 6, no importa cuantas veces, sino que es el más frecuente. De esta forma decimos que 6 es el MODO, por supuesto que la unidad es la misma que la de la variable. Para su cálculo debemos tener en cuenta el tipo de distribución: El MODO lo simbolizamos de la siguiente forma: Mo Es el tipo de ejemplo que dimos al iniciar el concepto de modo. Datos agrupados, variable discreta Agrupamos los datos del ejemplo anterior y obtenemos la distribución de frecuencia.

Observamos que en la columna de las frecuencias el valor mayor es 4 por lo tanto vemos que le corresponde a la variable 6, SIENDO 6 EL VALOR DEL MODO, que es el mismo resultado que en el caso de los datos sin agrupar, ya que los datos son los mismos en definitiva.

X f1 02 13 14 35 16 47 18 29 2

10 011 012 1

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Ventajas y desventajas del modo Ventajas: * Al igual que la mediana, se puede utilizar como una posición central para datos tanto cualitativos como cuantitativos. Si una prensa estampa cinco impresiones que podemos clasificar como “muy nítida”, “nítida”, “nítida y borrosa” “borrosa”; entonces el valor modal es “nítido”. De manera análoga, podemos hablar de estilos modales cuando, por ejemplo, los clientes de una mueblería prefieren muebles tipo “colonial” sobre cualquier otro estilo. * Al igual que la mediana, la moda no se ve mayormente afectada por los valores extremos. Incluso si los valores extremos son muy altos o muy bajos, nosotros escogemos el valor más frecuente del conjunto de datos como el valor modal. Podemos utilizar la moda sin importar que, tan grandes o que, tan pequeños sean los valores del conjunto de datos, e independientemente d cuál sea su dispersión. * La podemos utilizar aun cuando una o más clases sean de extremo abierto como en los ejemplos anteriores. Desventajas * A pesar de estas ventajas, la moda no se utiliza con tanta frecuencia como medida de tendencia central, como se hace con la media y la mediana. Muy a menudo, no existe un valor modal debido a que el conjunto de datos no contiene valores que se presenten más de una vez. En otras ocasiones, cada valor es la moda, pues cada uno de ellos se presenta el mismo número de veces. Resulta claro que la moda es una medida inútil en tales casos. * Cuando los conjuntos de datos contienen dos, tres o más modas. Resultan difíciles de interpretar y compara. * Adicionalmente cuando existe más de un modo. En ese caso se deben calcular en forma separada y puede estar indicando dentro de la población general la existencia de subpoblaciones. La existencia de DOS MODOS nos indicaría la necesidad de, por ejemplo, preparar publicidad para dos grupos distintos dentro de una misma población. ¿qué sucede cuando tenemos dos valores diferentes y cada uno parece ser el número mayor de veces que aparece un valor en un conjunto de datos? Esta distribución, entonces, tiene dos modas y se le conoce como distribución bimodal y procede a calcular e interpretar los dos modos. Elección de una medida de posición adecuada Cuando trabajamos un problema de estadística, debemos decidir si vamos a utilizar la media, la mediana o la moda como medidas de tendencia central.

Las distribuciones simétricas que sólo contienen una moda siempre tienen el mismo valor para la media, la mediana y la moda. En tales casos, no es necesario escoger la medida de tendencia central, pues ya está hecha la selección.

En una distribución positivamente sesgada (es decir, sesgada hacia la derecha), la moda todavía se encuentra en el punto

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más alto de la distribución, la mediana está hacia la derecha de la moda y la media se encuentra todavía más a la derecha de la moda y la mediana.

En un distribución negativamente sesgada (es decir, sesgada hacia la izquierda), la moda sigue siendo el punto más alto de la distribución, la mediana está hacia la izquierda de aquella y la media se encuentra todavía más a la izquierda de la moda y la mediana.

Cuando la población está sesgada negativa o positivamente, con frecuencia la mediana resulta ser la mejor medida de posición, debido a que siempre está entre la moda y la media. La mediana no se ve altamente influida por la frecuencia de aparición de un solo valor como es el caso de la moda, ni se distorsiona con la presencia de valores extremos como la media. Asimetría positiva:

Si las frecuencias más altas se encuentran en el lado izquierdo de la media, mientras que en derecho hay frecuencias más pequeñas (cola).

Asimetría negativa: Cuando la cola está en el lado izquierdo.

Figura: Asimetría positiva y asimetría negativa

En cualquier otro caso, no existen guías universales para la aplicación de la media, la mediana o la moda como medidas de tendencia central para diferentes poblaciones. Cada caso debe considerarse de manera independiente, de acuerdo con las líneas generales que hemos analizado La selección de la media, la mediana o la moda, en ocasiones, depende de la práctica común de cada caso en particular. Con frecuencia se habla del salario promedio de los empleados de una fábrica (media aritmética) y éste puede ser de utilidad para tomar muchas de las decisiones en la planeación de negocios. Pero el precio mediano de una casa nueva es una estadística más útil para personas que se mudan a un nuevo vecindario (evita el problema causado por la presencia de una o dos crestas que pueden distorsionar la media) La elección de una medida de posición adecuada depende de la variable que estamos observando y de la forma de la distribución de frecuencias.

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En el caso que la variable utilizada sea del tipo cualitativa nominal, la única medida que se puede utilizar es el modo o la mediana en algunos casos. Cuando la distribución es bimodal, cualquier medida de posición que utilicemos es inútil, por eso conviene calcular las medidas de las dos poblaciones por separado Con esta última conclusión finalizamos las de tendencia central. MEDIDAS DE VARIABILIDAD

RANGO DESVIO ESTÁNDAR COEFICIENTE DE VARIACIÓN

Estas son cantidades que acompañan al promedio, midiendo el grado de concentración o de dispersión d las observaciones con respecto a aquel. Sirven para ver cuán representativo resultó el promedio. Es decir el promedio solo no es suficiente para obtener una conclusión válida.

RANGO Se denomina rango de un conjunto de observaciones a la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable. Recordemos que ya hemos hablado del rango sin haber dado su nombre en las partes anteriores. Definiendo ahora el rango como una medida de dispersión, debemos destacar que el mismo es completamente dependiente de los dos valores extremos que toma la variable. Por ejemplo, si dos familias tienen 1 y 4 hijos, respectivamente, el rango es: Rango = R = 4-1 = 3 hijos Ahora bien, si se agrega otra familia, el rango será el mismo si, esta tiene 1, 2, 3 o 4 hijos, pero será mayor si tiene 0 o más de 4 hijos. Ahora si podemos utilizar el rango para comparar las dispersiones de dos o más muestras o poblaciones. La utilización del rango como medida de dispersión presenta el problema que se incrementa con la cantidad de observaciones, porque existe una mayor posibilidad de que los datos se encuentren más dispersos. Una medida de dispersión debería ser independiente el número de mediciones para reflejar realmente la mayor o menor variabilidad de los datos. El rango es una medida de dispersión satisfactoria únicamente cuando la muestra es pequeñá, prácticamente menor a 10 observaciones. Esta medida es muy utilizada en los estudios de control de procesos productivos para la confección de gráficos de control dado que, en estos casos, los procesos son generalmente evaluados por muestras frecuentes y de reducido tamaño.

DESVÍO ESTÁNDAR

En una reunión entre nueve empresas se dispone a tratar el tema de salarios. Todos coinciden en que pagan a sus empleados 500 pesos mensuales (por supuesto todos ellos hacen referencia al promedio de los salarios, es decir a la media aritmética).

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En un determinado momento se comenta acerca de la cantidad de empleados y de los sueldos de los jefes de las mismas, entonces ante las diferencias uno de los empresarios propone presentar un listado de cada una de las empresas: LEG. EMP. 1 EMP. 2 EMP. 3 EMP. 4 EMP. 5 EMP. 6 EMP. 7 EMP. 8 EMP. 9

1 500$ -$ -$ -$ 1$ 500$ 100$ 100$ 80$ 2 500$ -$ -$ -$ 2$ 200$ 100$ 80$ 3 500$ -$ -$ -$ 3$ 300$ 100$ 80$ 4 500$ -$ -$ 2.000$ 4$ 400$ 300$ 80$ 5 500$ -$ -$ 5$ 500$ 1.000$ 80$ 6 500$ 3.000$ -$ 6$ 1.500$ 1.400$ 100$ 7 -$ 7$ 200$ 8 -$ 9$ 800$ 9 -$ 13$ 3.000$

10 5.000$ 100$ 11 150$ 12 200$ 13 1.000$ 14 5.500$

MEDIA 500$ 500$ 500$ 500$ 500$ 500$ 500$ 500$ 500$ Podemos ver una gran heterogeneidad en la distribución de los salarios en las distintas empresas, aún cuando tienen el mismo promedio, de esta situación irreal podemos decir que el promedio es una medida insuficiente, por lo tanto es imprescindible agregar otra medida llamada DESVÍO ESTÁNDAR. Es una medida que refleja la: HETEROGENEIDAD Las fórmulas para su cálculo son:

2( )

n

X

n

Para la población

μ: media poblacional n: cantidad de elementos En la práctica el valor del desvío no puede determinarse, ya que por lo general las poblaciones son muy grandes, lo que obliga a extraer una muestra, siendo la fórmula la siguiente:

2

1

( )

( 1)n

X X

n

Para la muestra

_ x: media muestral n: cantidad de elementos

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Existen otras fórmulas derivadas de las anteriores, que se utilizan con mayor frecuencia por su comodidad y simplicidad, pero en realidad el cálculo se realiza, con la calculadora ya sea para población o muestra. Cuando se consideran estas cantidades antes de extraerles la raíz cuadrada reciben el nombre de varianza, no es muy aplicable ya que esta expresado en las mismas unidades que la variable y las medidas de posición, por lo tanto se puede operar y comparar. Solamente debemos reemplazar en la fórmula para obtener los resultados, teniendo en cuenta o para mayor simplicidad utilizar la calculadora. Veamos para cada una de las empresas: LEG. EMP. 1 EMP. 2 EMP. 3 EMP. 4 EMP. 5 EMP. 6 EMP. 7 EMP. 8 EMP. 9

1 500$ -$ -$ -$ 1$ 500$ 100$ 100$ 80$ 2 500$ -$ -$ -$ 2$ 200$ 100$ 80$ 3 500$ -$ -$ -$ 3$ 300$ 100$ 80$ 4 500$ -$ -$ 2.000$ 4$ 400$ 300$ 80$ 5 500$ -$ -$ 5$ 500$ 1.000$ 80$ 6 500$ 3.000$ -$ 6$ 1.500$ 1.400$ 100$ 7 -$ 7$ 200$ 8 -$ 9$ 800$ 9 -$ 13$ 3.000$

10 5.000$ 100$ 11 150$ 12 200$ 13 1.000$ 14 5.500$

MEDIA 500$ 500$ 500$ 500$ 500$ 500$ 500$ 500$ 500$

σ n-1 0,00 1224,74 1581,14 1000,00 1462,95 0,00 509,90 562,14 966,44

σ n 0,00 1118,03 1500,00 866,03 1409,73 0,00 465,47 513,16 911,17

Datos agrupados, distribuciones discretas X F0 11 32 53 74 45 2

22 Para calcular en estos casos debemos tener en cuenta las frecuencias, es decir el número de veces que se repite la variable. 2- PROBABILIDADES

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Generalmente todos tenemos una idea intuitiva de lo que significa el término probabilidad. Así, cuando decimos es probable que el dólar siga aumentando o cuando escuchamos en un noticiero que hay un. 20% de probabilidad de lluvia, estamos incorporando el término probabilidad en nuestra vida cotidiana como idea de posibilidad de ocurrencia de cierto evento.

Historia y relevancia de la teoría de la probabilidad Jacob Bernoulli (1654-1705), Abraham de Moivre (1667-1754), el reverendo Thomas (1712-1761) y Joseph Lagrange (1736-1813) desarrollaron fórmulas cálculo de la probabilidad. En el siglo XIX, Píerre Simon, marqués de Laplace unificó todas estas primeras ideas y compiló la primera teoría general de probabilidad. Joseph Louis Lagrange (1736-1813), matemático y astrónomo francés nacido en Turín (Italia), en cuya universidad estudió. Fue nombrado profesor de geometría en la Academia Militar de Turín a los 19 años y en 1758 fundó una sociedad que más tarde se convertiría en la Academia de Ciencias de Turín. En 1766 fue nombrado director de la Academia de Ciencias de Berlín, y 20 años después llegó a París invitado por el rey Luis XVI. Durante el periodo de la Revolución Francesa, estuvo al cargo de la comisión para el establecimiento de un nuevo sistema de pesos y medidas (véase Sistema métrico decimal). Después de la Revolución, fue profesor de la nueva École Normale y con Napoleón fue miembro del Senado y recibió el título de conde. Fue uno de los matemáticos más importantes del siglo XVIII; creó el cálculo de variaciones, sistematizó el campo de las ecuaciones diferenciales y trabajó en la teoría de números. Entre sus investigaciones en astronomía destacan los cálculos de la libración de la Luna y los movimientos de los planetas. Su obra más importante es Mecánica analítica (1788). Abraham de Moivre (1667-1754), matemático francés nacido en Vitry-le-François, Champagne. Descendiente de hugonotes (protestantes franceses), se trasladó a Inglaterra después de la revocación del Edicto de Nantes, que garantizaba la libertad religiosa. Vivió allí el resto de su vida, trabajando como preceptor. A los 30 años fue elegido miembro de la Royal Society. Fue muy amigo del físico y matemático Isaac Newton e intercedió en su favor, sobre todo en la disputa entre Newton y el matemático alemán Gottfried Willhelm Leibniz sobre la invención del cálculo infinitesimal y la probabilidad. Su teorema más importante aparece en Miscellanea Analytica (1730), obra en la que investiga las series infinitas y los números complejos. Se le considera, junto al astrónomo y matemático Pierre Simon de Laplace, uno de los dos grandes pensadores de la teoría de la probabilidad en el siglo XVIII. Muchos de los resultados de De Moivre fueron publicados en las diversas ediciones de su Doctrine of Chances (Doctrina del azar, 1718, 1738 y 1756). Otra de sus

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investigaciones fue publicada en las Transactions of the Royal Society (Actas de la Royal Society). Pierre Simon Laplace (1749-1827), astrónomo y matemático francés, conocido por haber aplicado con éxito la teoría de la gravitación de Newton a los movimientos planetarios en el Sistema Solar. Nació en Normandía y estudió en la Escuela Militar de Beaumont. En 1767 fue profesor de matemáticas en la Escuela Militar de París y en 1785 fue elegido miembro de la Academia de Ciencias Francesa. Laplace realizó su trabajo más importante al desarrollar el análisis matemático del sistema de astronomía gravitacional elaborado por el matemático, físico y astrónomo británico Isaac Newton. Demostró que los movimientos planetarios son estables y que las perturbaciones producidas por la influencia mutua de los planetas o por cuerpos externos, como los cometas, solamente son temporales. Trató de dar una teoría racional del origen del Sistema Solar en su hipótesis nebular de la evolución estelar (véase Cosmología). En Mecánica celeste (5 volúmenes, 1799-1825) Laplace sistematizó toda la obra matemática que se había realizado sobre la gravitación. Exposición del sistema del mundo (1796) contiene un resumen de la historia de la astronomía. También trabajó sobre la teoría de la probabilidad en su Teoría analítica de las probabilidades (1812) y en Ensayo filosófico sobre la probabilidad. (1814). La teoría de la probabilidad fue aplicada con éxito en las mesas juego y lo que es más importante para nuestros casos, en el estudio de problemas sociales y económicos, La industria de los seguros que surgió en el siglo XIX, requería un conocimiento preciso acerca de riesgos de pérdidas con el fin de calcular las primas. Medio siglo más tarde, muchos centros de estaban estudiando la probabilidad como una herramienta para el entendimiento de fenómenos sociales. En la actualidad, la teoría matemática de la probabilidad es la base para las aplicaciones estadísticas tanto como para la toma de decisiones. La probabilidad es una parte de nuestras vidas cotidianas. En la toma de decisiones personales y administrativas, nos enfrentamos a la incertidumbre y utilizamos probabilidad, admitamos o no el uso de algo tan complejo. Cuando administradores que se encargan de inventarios de ropa de moda para mujer trabajan sobre las posibilidades de que las ventas alcancen o excedan un cierto valor. Un comprador que adquiere una patineta para su hijo considera la probabilidad de duración de su pasajero capricho. Antes de la tan publicada y antigua pelea de Muhamed Alí con Leo Spinks, se afirmaba que Alí había dicho: "Les apuesto a que todavía seré el más grande cuando termine la pelea". Vivimos en un mundo que es incapaz de predecir el futuro con total certeza. Nuestra necesidad de tratar con total incertidumbre nos lleva a estudiar y utilizar la teoría de la probabilidad. En muchos casos, nosotros, como ciudadanos preocupados, tendremos algún conocimiento sobre los posibles resultados de una decisión. Al organizar esta información y considerarla de manera sistemática, seremos capaces de reconocer nuestras suposiciones, comunicar nuestro razonamiento

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a otras personas y tomar una decisión más sólida que la que tomaríamos si sólo diéramos palos de ciego.

Experimentos deterministas y experimentos aleatorios. Consideremos dos listas de experimentos que denominaremos A y B. Experimentos tipo A ¿Qué ocurrirá si experimentamos poniendo agua en un recipiente y calentándola hasta 100 *C? ¿Qué‚ ocurrirá si suelto un vaso que tengo en la mano? Experimentos tipo B Si arrojo un dado, ¿qué número aparecerá en la cara superior?. ¿Si seleccionamos al azar una ficha del archivo de participantes de este curso, cuál ser el estado civil de la persona seleccionada? ¿Si tiranos una moneda cuántas veces debemos arrojarla hasta que salga cara?. Todos aceptarán que, en los experimentos del tipo A, el agua hervirá y el vaso caerá. En otras palabras, en estos experimentos el resultado es perfectamente previsible. En cambio, en los experimentos del tipo B, no ocurre lo mismo. Y aunque podríamos llegar a pensar que el resultado es imprevisible veremos que esta afirmación no es tan taxativa. Se ignora totalmente el resultado que obtendremos al arrojar un dado, al seleccionar una ficha, o cuántas veces habrá que tirar la moneda?. Es razonable suponer que, al tirar el dado muchas veces, el numero tres por ejemplo, saldrá aproximadamente 1/6 de las veces. También podemos pensar, que aproximadamente la mitad de las veces saldrá un numero par. Ahora bien, si repetimos el experimento de seleccionar una ficha de matriculación correspondiente a los participantes del curso y el 20 % de los inscriptos son casados, aproximadamente una de cada cinco fichas seleccionadas, será la de un casado. En cuanto a la cantidad de veces que debamos tirar la moneda hasta que salga cara podemos intuir que, probablemente no serán muchas. En un experimento del tipo B, no podemos predecir de antemano el resultado que obtendremos cada vez que se repita. Pero siempre es posible prever una ley de comportamiento de todos los resultados posibles y, basándose en ella, calcular la probabilidad de obtener cada uno de los mismos. IMPORTANTE

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Los experimentos de tipo A cuyos resultados son predecibles, se conocen con el nombre de experimentos deterministas. Los de tipo B, cuyos resultados sólo pueden conocerse estableciendo cierta ley de su comportamiento, se denominan experimentos aleatorios. Estas últimas consideraciones, nos llevan a la siguiente reflexión: en los experimentos aleatorios, y sólo en ellos, es posible hablar de probabilidad.

CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Probabilidad

Como hemos comentado anteriormente, la probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado cuando se realiza un experimento aleatorio.

La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%):

El valor cero corresponde al suceso imposible: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el número 7 es cero (al menos, si es un dado certificado por la OMD, "Organización Mundial de Dados").

El valor uno corresponde al suceso seguro: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%).

El resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno: que será tanto mayor cuanto más probable sea que dicho suceso tenga lugar.

¿Cómo se mide la probabilidad?

Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles.

P(A) = Casos favorables / casos posibles

Veamos algunos ejemplos:

a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2: el caso favorable es tan sólo uno (que salga el dos), mientras que los casos posibles son seis (puede salir cualquier número del uno al seis). Por lo tanto:

P(A) = 1 / 6 = 0,166 (o lo que es lo mismo, 16,6%)

b) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par: en este caso los casos favorables son tres (que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que los casos posibles siguen siendo seis. Por lo tanto:

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P(A) = 3 / 6 = 0,50 (o lo que es lo mismo, 50%)

c) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor que 5: en este caso tenemos cuatro casos favorables (que salga el uno, el dos, el tres o el cuatro), frente a los seis casos posibles. Por lo tanto:

P(A) = 4 / 6 = 0,666 (o lo que es lo mismo, 66,6%)

d) Probabilidad de que nos toque el "Gordo" de Navidad: tan sólo un caso favorable, el número que jugamos (¡qué triste...¡), frente a 100.000 casos posibles. Por lo tanto:

P(A) = 1 / 100.000 = 0,00001 (o lo que es lo mismo, 0,001%)

Para poder aplicar la Regla de Laplace el experimento aleatorio tiene que cumplir dos requisitos:

El número de resultados posibles tiene que ser finito. Si hubiera infinitos resultados, al aplicar la regla "casos favorables / casos posibles" el cociente siempre sería cero.

Todos los sucesos tienen que tener la misma probabilidad. Si al lanzar un dado, algunas caras tuvieran mayor probabilidad de salir que otras, no podríamos aplicar esta regla.

A la regla de Laplace también se le denomina "probabilidad a priori", ya que para aplicarla hay que conocer antes de realizar el experimento cuales son los posibles resultados y saber que todos tienen las mismas probabilidades.

¿Y si el experimento aleatorio no cumple los dos requisitos indicados, qué hacemos?,

¿UNA DENUNCIA?

No, no va a ser necesario denunciar a nadie, ya que en este caso podemos acudir a otro modelo de cálculo de probabilidades que se basa en la experiencia (modelo frecuentista):

Cuando se realiza un experimento aleatorio un número muy elevado de veces, las probabilidades de los diversos posibles sucesos empiezan a converger hacia valores determinados, que son sus respectivas probabilidades.

Ejemplo: si lanzo una vez una moneda al aire y sale "cara", quiere decir que el suceso "cara" ha aparecido el 100% de las veces y el suceso "cruz" el 0%.

Si lanzo diez veces la moneda al aire, es posible que el suceso "cara" salga 7 veces y el suceso "cruz" las 3 restantes. En este caso, la probabilidad del suceso "cara" ya no sería del 100%, sino que se habría reducido al 70%.

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Si repito este experimento un número elevado de veces, lo normal es que las probabilidades de los sucesos "cara" y "cruz" se vayan aproximando al 50% cada una. Este 50% será la probabilidad de estos sucesos según el modelo frecuentista.

En este modelo ya no será necesario que el número de soluciones sea finito, ni que todos los sucesos tengan la misma probabilidad.

Ejemplo: si la moneda que utilizamos en el ejemplo anterior fuera defectuosa (o estuviera trucada), es posible que al repetir dicho experimento un número elevado de veces, la "cara" saliera con una frecuencia, por ejemplo, del 65% y la "cruz" del 35%. Estos valores serían las probabilidades de estos dos sucesos según el modelo frecuentista.

A esta definición de la probabilidad se le denomina probabilidad a posteriori, ya que tan sólo repitiendo un experimento un número elevado de veces podremos saber cual es la probabilidad de cada suceso.

Aplicaremos las probabilidades a priori (Regla de Laplace) y probabilidades a posteriori (modelo frecuentista), utilizando elementos que aporten los alumnos: dados, ruleta, cartas de diferentes tipos, perinola, etc.

Un poco de historia... El problema se presenta cuando debemos cuantificar, medir o calcular estas probabilidades. Este problema, históricamente originado en las preocupaciones de los nobles franceses para tener éxito en los juegos de azar, dio lugar al desarrollo de una teoría matemática: la teoría de probabilidades. Así mismo se aplican conocimientos de probabilidades en distintas ciencias y con distintos fines y al poder combinarlos con los contenidos de las unidades anteriores se transforman en un arma fundamental para la toma de decisiones.


Más comentarios... Imagínese la desbordada creatividad que debería mostrar un poeta para escribir cien billones -100.000.000.000.000- de poesías distintas en su vida. Basta realizar un par de sencillas operaciones matemáticas para descubrir que, por muy cortos que fueran los poemas y por mucho que viviera el autor, jamás lo conseguiría. Nuestro razonamiento se desmorona al conocer que hace 30 años un poeta francés lo logró. En 1961, el escritor Raymond Queneau (1903-1976) publicó un Iibro titulado Cent mille milliards de poemes Queneau, además de poeta,

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era un aventajado matemático. Clara esto que no pudo escribir de su puño y letra tal cantidad de poesías, así que recurrió a un ardid: colocó diez hojas, una encima de otra, y escribir en cada una de ellas catorce líneas en verso. Es decir, que compuso diez poemas de 14 versos, con la particularidad de que concordaban en su contenido. A continuación, Queneau recortó las hojas en tiras, de forma que cada una contuviese un verso. De esta manera, se podían levantar las tiras par separado y combinar unos versos con otros. Calculando los distintos poemas que se pueden componer con este sencillo método, nos encontramos con la friolera de cien billones de piezas. lngeniosísimo. Los poemas de Queneau son algo más que un mero juego numérico, pues representan el modelo matemático que hay puede encontrarse en muchos ámbitos de las ciencias aplicadas. Físicos, matemáticos, demógrafos, psicólogos, economistas, biólogos, astrónomos. Recurren habitualmente al mundo de las combinaciones y la teoría de probabilidades. En la mayoría de los casos, los números no aparecen como una realidad, sino como una probabilidad. Así, un admirador de Queneau sólo podría leer parte de su obra. Si se tomara un minuto de su tiempo en cada poesía, tardaría 190 millones de años en leérselas todas. En consecuencia, la mayoría de los poemas de Queneau existen, por decirlo de alguna forma, como idea matemática. Realidad y probabilidad son dos conceptos que, aunque puedan parecemos antagónicos, casi siempre vienen acompañados de la mano. Los biólogos, por ejemplo, saben que nuestro organismo está formado por unos 70 billones de células. Esta cifra está muy próxima a la realidad. Tras la fusión de las células sexuales, se origina un único huevo, que tiene que dividirse sucesivamente: primero se convierte en dos células, luego en cuatro, ocho, dieciséis... En la cuadragésimosexta duplicación ya se ha alcanzado los 70 billones de células. Sin embargo, mediante este sencillo cálculo se describe someramente el mecanismo del crecimiento biológico pues no todas las células se dividen a la misma velocidad, ni poseen idéntica esperanza de vida. Los genetistas saben que una célula humana, antes de agotar su fuerza vital y fenecer, es capaz de dividirse unas 50 veces. Si se tiene en cuenta que una célula puede propiciar hasta medio centenar de mitosis, se obtiene que el número de células que podría entrar a formar parte de nuestro cuerpo se dispara de 70 a más de 1.000 billones. Pero aquí no queda la cosa. Si profundizamos en los mecanismos genéticos que regulan el ciclo vital de una célula, las cifras se elevan. El código genético por el cual se rigen todos las seres vivos, combina tan solo cuatro bases químicas las letras del abecedario de la vida de manera tan inteligente que, por ejemplo, la información que encierra una única célula humana sería más que suficiente para levantar una biblioteca con más de mil volúmenes; coda volumen con mil páginas y cada página con mil letras. Para hacemos una composición de lugar; la célula guarda en su biblioteca particular - su úcleo - Un texto formado por 3.000 millones de letras. GENÉTICA O PROBABILIDADES

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Cada parrafada genética está hecha exclusivamente con cuatro sustancias químicas, conocidas por los biólogos como bases químicas: adenina (A), guanina (G), citosina (C) y timina (T). Desde el punto de vista estrictamente matemático, estas sustancias no son otra cosa que cuatro letras que se combinan siguiendo las directrices que marca el código genético. Los cromosomas están constituídos por un largo hilo de ADN, el Acido desoxirribonucleico. La estructura de esta macromolécula puede compararse a la de un collar en el que las cuentas de colores son las distintas bases: AATTACCTTGGCTA... La cosa se complica, si añadimos que el ADN está organizado en forma de una doble hélice en la que las bases aparecen enfrentadas. Estas, para emparejarse, siguen una sencilla regla: la adenina siempre se liga con una timina, y viceversa; y allí donde aparece una guanina, siempre habrá una citosina, y viceversa. De esta forma se van construyendo los eslabones de ADN las cuentas del conciliar, que ordenados en una secuencia concreta son traducidos en órdenes específicas. Dejemos ahora de lado los conceptos biológicos para centrarmos de nuevo en los números. Solo con cuatro eslabones podemos originar 4 a la cuarta combinaciones, es decir 256; con diez eslabones 4 a la décima es decir más de un millón; y con cien, un decillón o, lo que es lo mismo, un uno seguido de 60 ceros. Ahora bien, si tenemos en cuenta que las científicos han calculado que el ADN de una célula humana contiene 3.000 millones de pares de bases, el número de combinaciones es de 4 elevado a 3.000.000.000. Una barbaridad. EN EL JUEGO, LA BANCA SIEMPRE GANA A vista de pájaro, las leyes que rigen la física de partículas tienen mucho que ver con los juegos de azar, como la ruleta. En este juego, los participantes esperan ansiosos a que la bola se detenga en una de las 36 casillas numeradas del piano giratorio. La probabilidad de que caiga en el número elegido es de uno entre 36. Otro tipo de posibilidad es apostar a pares o nones, o al rojo y negro. Entonces la probabilidad de acertar es del 50 por ciento. El científico se enfrenta al mismo dilema que el jugador: ha de prever el resultado de la colisión de dos partículas atómicas. En una ruleta no trucada, nadie conoce en que número se detendrá la bola. Es un error muy frecuente dentro del mundillo de las apuestas pensar que un número va a salir más veces por el hecho de que se haya repetido en las anteriores jugadas. Una aclaración: la ruleta, al igual que los dados o una baraja, no tiene memoria. Por supuesto, esto no significa que no se pueda adivinar nada en los juegos de azar. Esto lo saben, sobre todo, en la banca de los casinos. Cuando se conducen miles de series de jugadas, la distribución de los números que van saliendo, se aproxima a los fríos cálculos matemáticos. Un número determinado en la ruleta aparece con una probabilidad de 1 entre 36; en el caso de un dado, de 1 entre 6. A la larga, esta distribución de la suerte se regula. A partir del cálculo de probabilidades, los responsables de casinos y salas de juego calculan las cuotas que debe pagar en premios y el dinero que se embolsaran. Uno de los matemáticos más ingeniosos de nuestro siglo, John

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von Neumann (1903-1957) dedicó gran parte de su vida al cálculo en el juego, y descubrió una serie de leyes matemáticas que también podían aplicarse a infinidad de disciplinas científicas. En 1944 publicó, junto con el economista Oskar Morgenstern, una singular obra titulada Teoría del juego y tácticas económicas. De la lectura de este Iibro podemos concluir que tanto la evolución social, económica y política de un, país, así como las crisis económicas, las revoluciones y los conflictos bélicos - en los que muchos hombres entran en juego- transcurren siguiendo regularidades matemáticas, como en el juego. LAS TRETAS DEL CORREDOR DE BOLSA Comparable al dilema del jefe de personal es la situación que se origina cuando queremos adivinar los números que van a salir en la próxima lotería. Quién pudiera conocerlos. Los números premiados, de los 49 posibles, pueden hallarse según el mismo procedimiento: 49 x 48 x 47 x 46 x 45 x 44 = 10.068.347.520. Ahora, esta cantidad hay que dividirla entre 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1, es decir, 720. El resultado: 13.983.816. ¿Qué quiere decir esto? La posibilidad de que en una apuesta nos toque la lotería nacional es de una entre 14 millones Sin embargo, el cálculo de probabilidades se complica cuando se consideran todas las opciones y los diferentes premios que ofrece este juego de azar. Podría escribirse todo un informe. Sin embargo, a pesar de lo complejo que es el sistema, también hay que decir que siempre existe un ganador seguro en cada sorteo: el 50 por ciento de todos los tipos de apuestas va a parar a las arcas del estado. Analicemos ahora un juego bien diferente al de los dados, la ruleta y la lotería nacional, sobre la que ya nos previno el matemático americano John Allen Paulos, profesor de matemáticas de la Temple University de Filadelfia, en su libro Innumeracy. Es un juego de bolsa muy especial, en el que el avispado asesor de bolsa se sirve de una simple y no menos ingeniosa artimaña. El analista de bolsa envía la siguiente oferta a 32.000 personas adineradas: « En nuestras oficinas hemos desarrollado un seguro programa de ordenador que, con la ayuda de estudios de mercado, puede predecir todas las semanas si subirá o bajará el índice de un paquete de acciones determinado. » Según la notificación, cada siete días los clientes seleccionados recibirán el pronóstico sobre las tendencias que se esperan. Como oferta promocional, las primeras seis semanas de información es gratuita. Pero a partir de la séptima, si uno queda lo suficientemente convencido de la calidad del asesoramiento, cada nuevo pronóstico le costará 500 dólares. Lo que ninguno de los 32.000 consignatarios sabe es que 16.000 de ellos recibirán el, pronóstico de que la cotización de las acciones bajará, y a los otros 16.000 se les informará de que subirá. En el curso de la segunda semana se les enviará una carta a los 16.000 clientes que previamente recibieron el pronóstico correcto. Par consiguiente, ahora 8.000 reciben todavía el pronóstico de que subirán las cotizaciones, mientras que la otra mitad recibirá el data contrario. Esto marcha así durante seis semanas. Quedan todavía 500 direcciones a las cuales siempre se les ha ido enviando el verdadero pronóstico de bolsa. Los 500 si desconocen la treta estarán impresionados sobre la fiabilidad del pronóstico y creerán en la casi clarividente cualidad del analista de bolsa y en su programa de ordenador. En

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realidad, son las víctimas de un sencillo cálculo: en cada pronóstico, las oportunidades de acierto son de un 50 por ciento. Obtener seis veces consecutivas el pronóstico acertado corresponde a una probabilidad de 0'5 x 0'5 x 0'5 x 0'5 x 0'5 x 0'5, es decir, una entre 64. Cuando el medio millar de clientes asesorados - la mayoría quizá ha ganado ya el primer dinero en la bolsa- compran el séptimo pronóstico par 500 dólares, el taimado analista de bolsa se ha embolsado 250.000 dólares. Paulos no se ha olvidado señalar que esta práctica es ilegal. También advierte sobre los videntes y profetas que hacen su negocio con parecidas argucias. Pero que nadie piense que la estadística es un mero juego. Sin ir más lejos, su importancia es trascendental en detectar y analizar riesgos tan directamente ligados a nosotros como son las enfermedades cáncer, sida, hipertensión, las catástrofes naturales y los accidentes. ¿Cómo puede un individuo evaluar, por ejemplo, el riesgo de accidente al subir a un avión? Mucha gente tiene fobia a estos aparatos y, sin embargo, no se detiene a pensar en el riesgo que corre cuando ocupa el coche para dirigirse al aeropuerto. REVISTA MUY INTERESANTE (FEBRERO DE 1992) Para resolver entre todos. Actividad 1 Una persona posee un billete de lotería perteneciente a una tirada de 150 billetes. El sorteo ofrece un primer premio, dos segundos premios y cinco terceros premios. Cuál es la probabilidad de ganar: a) El primer premio. b) El segundo premio. c) El tercer premio. Actividad 2 Supongamos que Usted está realizando el experimento de arrojar dos dados simultáneamente (uno rojo y uno verde). ¿Cuál es la probabilidad de que: a) La suma de los puntos de los dos dados sea 7? b) La suma de los puntos de los dos dados sea menor que 5?

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Documents

Material de Apoyo Curricular Matemática III - 2013 - Cenma Nº 195