Material de Apoyo Curricular MATEMÁTICA II CENMA Nº 195 2013

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C.E.N.M.A. Nº 195 MATEMÁTICA Ciclo Orientado 2º Año

Cr.: Lucas Pablo Andrés Dall’Agata

3

BIBLIOGRAFÍA GENERAL

Matemática 7- Estadística y probabilidad. Berio, Adriana B. ;Gasol, Laura G.; Graciano, Alicia B. Editorial Puerto de Palos. 2006

Matemática 8- Estadística y probabilidad. Berio, Adriana B. ;Gasol,

Laura G.; Graciano, Alicia B. Editorial Puerto de Palos. 2006

Matemática 9- Estadística y probabilidad. Berio, Adriana B. ;Gasol, Laura G.; Graciano, Alicia B. Editorial Puerto de Palos. 2006

Material de estudio elaborado por las Profesoras Adriana Baudino,

Milbra Viotto y Mariela Luna

Programa de Educación a distancia Nivel Medio Adultos (Provincia de Córdoba)

Sitios web:

www.matematicas.net/paraiso/materia.php?id=ap_algebra www.mitareanet.com/mates1.htm

www.matematicas.ula.ve/postgrado/doctorado/programas_doctorado www.cmat.edu.uy/~andres/al2/p3al2-04. www.cmat.edu.uy/~andres/ www.emagister.com/cursos-series-matematicas-kwes-9649.htm www.matematicas.itam.mx/pdf/ingenierias/alging www.monografías,com www.thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0024-03/ed99-0024-03 www.cientificos.arnet.com.ar www.enciclopediaencarta.com



4

PARA LEER Y REFLEXIONAR. Cuento de Fleming y Churchill - El valor de la educación - Su nombre era Fleming, un granjero escocés pobre. Un día, mientras intentaba ganar el pan para su familia, oyó un lamento pidiendo ayuda que provenía de un pantano cercano. Dejó caer sus herramientas y corrió hacia el lugar. Allí encontró hundido hasta la cintura, dentro del estiércol húmedo y negro del pantano, a un muchacho aterrorizado, gritando y esforzándose por liberarse. El granjero Fleming salvó al muchacho de lo que podría haber sido una agonía lenta y espantosa. Al día siguiente, llegó a la granja un carruaje muy ostentoso que traía a un noble, elegantemente vestido que bajó y se presentó como padre del muchacho salvado por el granjero Fleming. -Quiero recompensarlo- dijo el noble-. Usted salvó la vida de mi hijo. -No, yo no puedo aceptar un pago por lo que hice, era mi deber –contestó el granjero escocés-. En ese momento, el hijo del granjero se acercó a la puerta de la cabaña. -¿Es su hijo?- preguntó el noble-. -Sí. – contestó el granjero orgullosamente. -Le propongo hacer un trato. Permítame proporcionarle a su hijo el mismo nivel de educación que mi hijo recibe. Si el muchacho se parece a su padre no dudo que crecerá hasta convertirse en el hombre del que ambos estaremos orgullosos. Y el granjero aceptó. El hijo del granjero Fleming asistió a las mejores escuelas y, al tiempo, se graduó en la Escuela Médica del Saint Mary´s Hospital en Londres, convirtiéndose en un renombrado científico conocido en todo el mundo por el descubrimiento que revolucionó el tratamiento de las infecciones: la penicilina. Años después, el hijo del mismo noble que fue salvado de la muerte en el pantano enfermó de pulmonía. ¿Qué salvó su vida esta vez...? La penicilina, ¡por supuesto! ¿El nombre del noble? Sir Randolph Churchill... ¿El nombre de su hijo? Sir Winston Churchill Estimados alumnos: Uds. comenzarán a estudiar Matemática Ciclo Orientado 2º año, lo mismo que matemática I, el término produce con sólo nombrarlo cierto temor y automáticamente se lo asocia a lo “difícil y complicado”. Formen, de ser posible, un grupo de compañeros de estudio, la consulta entre ustedes es muy beneficiosa; no esperen para estudiar y consultar todo a último momento, es muy complejo resolver todo un día antes de la prueba. Todos conocemos el esfuerzo realizado por cada uno de Uds. para poder asistir al C.E.N.M.A., recortando el tiempo que anteriormente dedicaban a su familia, trabajo, ocio, etc... por eso es muy importante que aprovechen las horas que se encuentran en el colegio realizando las actividades y tareas que se les solicitan. El hecho de



5

pertenecer al C.E.N.M.A. significa que Uds. realmente consideran el valor de la educación en sí y se encuentran identificados con los personajes del cuento anterior. Tengan en cuenta que están en el segundo año, lo que significa que comprenden que han iniciado el Ciclo de Especialización, por lo tanto se enfrentarán a situaciones cada vez más interesantes y de mayor complejidad. Lo más importante es que Uds. comiencen con muchísima confianza y entusiasmo y sobre todo teniendo en cuenta que, no sólo yo, sino todo el personal estamos a su disposición para poder solucionar cualquier inconveniente o duda que se le presente durante el transcurso del año. Mucha, muchísima suerte y adelante. El MAC está estructurado de tal forma que no necesitarán de material extra, en el tendrán conceptos teóricos, ejercicios resueltos con su respectiva explicación, ejercicios para resolver, algunos con respuesta y además guías de trabajos prácticos para realizar en forma grupal. Las distintas referencias guiarán el desarrollo de la materia indicando en que momentos se deben realizar cada una de las actividades.

Cuando aparezca el siguiente dibujo, indicará que debes realizar actividades de resolución de ejercicios o guías que se encuentran al final del MAC.

Antes de comenzar a desarrollar la asignatura Matemática II realizaremos un repaso de los números enteros, sus características y operaciones.

Rápidamente nuestro sistema numérico quedo limitado, pues no nos permitía representar numéricamente muchas cosas, como por ejemplo, una deuda, una temperatura bajo cero o un saldo en contra. Para solucionar este problema aparecen los números enteros, mismos que pueden ser positivos o negativos.

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6

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7

El cociente de dos números naturales no siempre es un número

natural, sólo ocurre cuando la división es exacta.

6 : 2

2 : 6

Podemos utilizar potencias, ya que es la forma abreviada de escribir un

producto formado por varios factores iguales.

La raíz de un número natural no siempre es un número natural, sólo

ocurre cuando la raíz es exacta.

b-NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS “Z”:

Los números enteros son del tipo:

= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

Nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero,

las profundidades con respecto al nivel del mar, etc.

La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros es otro

número entero.

El cociente de dos números enteros no siempre es un número

entero, sólo ocurre cuando la división es exacta.

6 : 2

2 : 6

Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un

número natural.



8

La raíz de un número entero no siempre es un número entero, sólo

ocurre cuando la raíz es exacta o si se trata de una raíz de índice par

con radicando positivo.

b1 ) Números Enteros Positivos:

Se llaman así a todos los números que representen una cantidad. Los números naturales son los enteros positivos, con la única diferencia que a la hora de representar un entero positivo podemos anteponerle el signo +. El número 8 es un entero positivo, puedo representarlo como 8 o como +8 El número 24 es un entero positivo, puedo representarlo como 24 o como +24 Los números 11, +32, +7, 35 son todos enteros positivos (no es necesario anteponer +).

b2 ) Números Enteros Negativos:

Los enteros negativos representan una cantidad en contra o algo que no tenemos y necesariamente debemos anteponerle el signo -. El número -8 es un entero negativo. El número -24 es un entero negativo.

Los números -11, -32, -7, -35 son todos enteros negativos y por ello llevaran necesariamente el signo -.

c) Valor Absoluto:

El valor absoluto será la distancia que haya entre determinado número al origen de la recta numérica. En la práctica el valor absoluto es simplemente el número que tenemos, sin importar el signo positivo o negativo. Para hallar el valor absoluto de -33: |-33| = 33 Para hallar el valor absoluto de +15: |+15| = 15

COMPARACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para comparar números enteros debemos tener en cuenta que:

a) Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo. Por ejemplo: 4 es mayor que -1, ya que 4 es un entero positivo y -1 es un entero negativo. +3 es mayor que -18, ya que +3 es un entero positivo y -18 es un entero negativo.

b) Entre números positivos será mayor el que represente mayor cantidad. Por ejemplo: +5 es mayor que +3, ya que 5 representa mayor cantidad que 3. 16 es mayor que 8, ya que 16 representa mayor cantidad que 8. +13 es mayor que +12, ya que 13 representa mayor cantidad que 12.



9

c) Entre números negativos será mayor el que represente menor cantidad. Por ejemplo: -2 es mayor que -5, ya que 2 representa menor cantidad que 5. -11 es mayor que -13, ya que 11 representa menor cantidad que 13

OPERACIONES

Adición y Sustracción de Números Enteros

Tendremos dos posibilidades, las cuales son:

a) Si tenemos números de igual signo: Cuando tengamos dos o más números de igual signo, lo que tendremos que hacer es sumar las cantidades y al resultado anteponerle el mismo signo.

Observemos el siguiente caso: 35 +46 +11

35 +46 +11 En esta operación tenemos tres números positivos: +35, +46 y +11

35 +46 +11 Entonces lo que debemos hacer es sumar los tres números, nos dará: 92

+92 = 92 El resultado también será positivo.

Otro ejemplo podría ser: -12 -28 -21

-12 -28 -21 En esta operación tenemos tres números negativos: -12, -28 y -21

-12 -28 -21 Entonces lo que debemos hacer es sumar los tres números, nos dará: 61

-61 = -61 El resultado también será negativo, necesariamente le antepondremos -.

b) Si tenemos números de signos diferentes: Si tenemos números de diferentes signos, restamos el número mayor menos el número menor y el resultado llevara el signo del número mayor.

Veamos: 35 -46

35 -46 En esta operación tenemos un número positivo y otro negativo.

35 -46 El mayor es 46 y el menor 35, entonces: 46 - 35 = 11

-11 Como el número mayor es 46, y este es negativo, el resultado será también negativo.



10

Otro ejemplo: -12 +28

-12 +28 En esta operación tenemos un número negativo y otro positivo.

-12 +28 El mayor es 28 y el menor 12, entonces: 28 -12 = 16

+16 = 16 Como el número mayor es 28, y este es positivo, el resultado será también positivo

Multiplicación de Números Enteros

Cuando tengamos que multiplicar dos o más números enteros, lo primero que debemos hacer es proceder a multiplicar los números sin importarnos el signo que estos tengan. Una vez que hemos hallado el resultado, recién colocaremos el signo que corresponda de acuerdo a la siguiente Ley de Signos:

(+) x (+) = (+) El resultado de multiplicar dos números positivos es un número positivo

(+) x (-) = (-) El resultado de multiplicar un número positivo por otro negativo es un número negativo

(-) x (+) = (-) El resultado de multiplicar un número negativo por otro positivo es un número negativo

(-) x (-) = (+) El resultado de multiplicar dos números negativos es un número positivo

Por ejemplo, queremos multiplicar -20 x 5

-20 x 5 Recordemos que cuando un número no lleva signo, es positivo.

-20 x + 5 En esta operación 20 es un número negativo y 5 es un número positivo.

20 x 5= 100 Nos olvidamos momentáneamente de los signos y hacemos 20 x 5 = 100

-20 x 5 = -100 Como tenemos un número negativo y otro positivo, el resultado será número negativo

Debemos emplear el mismo procedimiento para cualquier caso de multiplicación de números enteros o con signo que se nos presente.

División de Números Enteros

Cuando tengamos que dividir números enteros, lo primero que debemos hacer es proceder a dividir los números sin importarnos el signo que estos tengan. Una vez que hemos hallado el resultado, recién colocaremos el signo que corresponda de acuerdo a la siguiente Ley de Signos (que es prácticamente la misma que la que utilizamos en multiplicación):



11

(+) ÷ (+) = (+) El resultado de dividir dos números positivos es un número positivo

(+) ÷ (-) = (-) El resultado de dividir un número positivo entre otro negativo es un número negativo

(-) ÷ (+) = (-) El resultado de dividir un número negativo entre otro positivo es un número negativo

(-) ÷ (-) = (+) El resultado de dividir dos números negativos es un número positivo

Por ejemplo, queremos dividir -80 ÷ -5

-80 ÷ -5 En esta operación tanto -80 como -5 son números negativos.

80 ÷ 5 = 16 Nos olvidamos momentáneamente de los signos y hacemos 80 ÷ 5 = 16

-80 ÷ -5 = +16 Como tenemos dos números negativos dividiéndose, el resultado será número positivo

-80 ÷ -5 = 16 Recordando siempre que cuando un número es positivo no es necesario ponerle signo

El mismo procedimiento se empleará para cualquier caso de división de números enteros o con signo que se nos presente.

Potenciación de Números Enteros

Ya hemos definido previamente lo que es la potenciación, por lo cual nos orientaremos a definir que signo llevara la respuesta de una potencia.

Si el exponente es un número positivo (recordando que cuando no tiene signo es número positivo también), podemos afirmar que de acuerdo al signo de la base y si el exponente es número par o impar, tendremos:

(+)impar=(+) Cualquier número positivo elevado a exponente impar tiene resultado positivo

(+)par =(+) Cualquier número positivo elevado a exponente par tiene resultado positivo

(-)impar= (-) Cualquier número negativo elevado a exponente impar tiene resultado negativo

(-)par = (+) Cualquier número negativo elevado a exponente par tiene resultado positivo

Por ejemplo: 163 = 16 x 16 x 16 = 4096



12

-142 = -14 x -14 = 196 -173 = -17 x -17 x -17 = -4913

Ahora, pasara diferente si el exponente es negativo. Cuando encontremos un exponente negativo haremos lo siguiente:

5-3 En este caso encontramos exponente negativo: -3

1 53

Lo que debemos hacer en estos casos es colocar 1 sobre la misma base elevada ahora a exponente positivo

1 125

Resolvemos la potencia abajo y el resultado será un número fraccionario (veremos más acerca de números fraccionarios más adelante)

Radicación de Números Enteros

Recordemos que la radicación es una de las operaciones inversas de la potenciación y se representa por n√, donde n es el grado del radical, √ es el signo radical y dentro de este último irá un número denominado cantidad o radicando.

Nosotros buscamos un número que elevado a un exponente igual al grado del radical me de como resultado la cantidad o radicando, misma que podrá ser un número positivo o negativo.Al resolver nos podemos ver en cualquiera de los siguientes casos:

impar√(+) = (+) Raíz impar de un número positivo dará otro número positivo

par√(+) = (+) y (-) Raíz par de un número positivo dará un número positivo y otro negativo.

par√(-) = no se puede Raíz par de un número negativo no se puede determinar

impar√(-) = (-) Raíz impar de un número negativo dará otro número negativo

Veamos el caso de 2√25:

√25 El grado 2 se omite, es decir, cuando no encontremos grado este es 2.

√25 Buscamos un número que elevado a potencia 2 nos de 25.

√25 Se cumple: 52 = 25, entonces la respuesta será 5 (respuesta positiva)

√25 Se cumple: -52 = 25, entonces la respuesta será -5 (respuesta negativa)

√25 = 5 , -5 Se tiene dos respuestas en este caso, una positiva y otra negativa.



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c -LOS NÚMEROS RACIONALES “Q”:

Se llama número racional a todo número que puede representarse

como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.

Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico

mixto) son números racionales; pero los números decimales ilimitados

no.

La suma, la diferencia, el producto y el cociente de dos números

racionales es otro número racional.

Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un

número entero.

La raíz de un número racional no siempre es un número racional,

sólo ocurre cuando la raíz es exacta y si el índice es par el radicando ha

de ser positivo.

d -LOS NÚMEROS IRRACIONALES “I”

Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no

periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.



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El número irracional más conocido es , que se define como la

relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

= 3.141592653589...

Otros números irracionales son:

El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración

radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos

apreciar en los tendidos eléctricos.

e = 2.718281828459...

El número áureo, , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias,

Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus

obras.

El conjunto formado por los Números Racionales y los Números Irracionales se denomina conjunto de los Números Reales “R”. Para leer y pensar

Si el mundo fuera una villa de 100 personas - Habría 57 asiáticos, 21 europeos, 14 americanos y 8 africanos - 70 serían no blancos; 30 blancos - 70 serían no cristianos; 30 cristianos - 50 % de la riqueza de todo el planeta estaría en manos de 6

personas. Los 6 serían ciudadanos de los Estados Unidos - 70 serían analfabetos - 50 sufrirían de malnutrición - 80 habitarían viviendas de construcción precaria - Solo 1 tendría educación de nivel universitario

¿No es cierto que creíamos que la humanidad había alcanzado un mayor nivel de desarrollo?

Chiste malo ¿Quién inventó las fracciones? Respuesta: Enrique Octavo...

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artes que coramente en l

MATEMÁ

o indica queica cuántas

. Es decir, cu

nominador

tiene sentid

ón con el n

no tienebolos que tien un significen construir

pldit'' es sólo

máticos cier

al más una p

odas ellas.

iguales)

omponen la la figura de l

ÁTICA Ciclo

e la unidad nunidades se

ualquier núm

es 0. Tal c

o.

número 0 e

e ningún senen un signcado preciso

palabras sin

o un conjunto

tas expresio

parte de la u

unidad, natula derecha.

o Orientado

no se ha divie toman.

mero natural

como se ha

n el denom

significado nificado prec

o. Pero con n significado

o de letras a

ones extrañ

nidad se le l

uralmente

2º Año

17

dido, sino qu

n se puede

an entendid

inador NO

matemáticociso, de la mlas mismas

o.

agrupadas q

as como

llama fracció

es un núme

ue se

do las

ESTÁ

o. Las mismaletras

que no

, por

ón

ero

Pufra

¿P

Si

¿P

Pa

C.E

Cr.: Lu

uede ahora acción es p

Puedes expl

el numerad

Puedes expl

ara leer

E.N.M.A. Nº

ucas Pablo An

Con frecue

concluirse propia, es de

icar por qué

or y el deno

icar por qué

º 195

ndrés Dall’Aga

encia, se esc

que si el nuecir, es men

é estas fracc

ominador son

é estas fracc

ata

cribe:

umerador dor que la un

iones son pr

n iguales, la

iones son ig

MATEMÁ

e una fraccidad. Por eje

ropias?

fracción es

guales a 1?

ÁTICA Ciclo

ción es menemplo

igual a 1. Po

o Orientado

nor que el d

or ejemplo:

2º Año

18

denominador, esa



19

FRACCIONES EQUIVALENTES

Dos fracciones se llaman equivalentes cuando ambas representan la misma cantidad, como se verá en los ejemplos siguientes:

10m

Si pa

Si

Coesten Esqu

Enmi

Ot

C.E

Cr.: Lu

0/14 y 5/7 sisma cantid

ahora se sartes:

se consider

on la nueva s el número níamos al pr

s decir, si elue las dos fra

n general, siismo número

tro ejemplo

E.N.M.A. Nº

ucas Pablo An

son, entoncedad y por es

ubdivide cad

ra se esta

división de de partes m

rincipio).

l denominadacciones se

se tiene uno se obtiene

o:

º 195

ndrés Dall’Aga

es fraccioneso, se escrib

da séptima

arán tomand

la unidad enmás pequeñ

dor se multipan equivalen

na fracción ce otra fracció

ata

es equivalene:

parte en 3

o 5 partes, c

n 21 partes, ñas que tom

plica por 3, ntes:

cualquiera, yón que es eq

MATEMÁ

ntes, pues, c

partes igual

cada una de

esto es lo mmamos (3 po

el numerado

y se multiplicquivalente a

ÁTICA Ciclo

como se ve

es, el rectán

e ellas igual a

mismo que toor cada una

or debe mul

can el numerla primera.

o Orientado

en el dibuj

ngulo queda

a .

omar 15/21, de las 5 pa

ltiplicarse ta

rador y el de

2º Año

20

jo, represen

ará dividido

pues artes grande

ambién por 3

enominador

ntan la

en 21

es que

3 para

por el

se

Se

¿P

FR

sede

Si div

C.E

Cr.: Lu

e puede ver q

Al subdivid

se o

e aprecia cla

Podrías deci

RACCIONES

e ha visto quenominador

la fracción dvidiendo el n

E.N.M.A. Nº

ucas Pablo An

que es e

dir en dos ca

obtienen dos

aramente qu

r cuántas fra

S IRREDUC

ue es posiblede esa fracc

dada fuera numerador y

º 195

ndrés Dall’Aga

equivalente a

ada sector q

s sectores q

e del círcu

acciones eq

CIBLES:

e encontrar ción dada po

y se quisiey el denomin

ata

a , de la ma

ue represen

ue equivale

ulo es lo mis

A

uivalentes a

una fracciónor un mismo

era encontranador por 3:

MATEMÁ

anera siguie

nta del círc

n, cada uno

smo que d

A ejerc

a existen?

n equivalente número:

ar una fracció

ÁTICA Ciclo

ente:

culo

, a del círc

del mismo cí

citar!!

Respuesta;

e a otra dad

ón equivalen

o Orientado

culo.

írculo

!!!!!

infinitas

da, multiplica

nte a ella, p

2º Año

21

ando numera

puede obten

ador y

nerse

Eneq

Endees

En

En

NodeElde

Deunnu

Pana

En

Seun

En

C.E

Cr.: Lu

n este casoquivalente a

n general, penominador se número. P

n este caso,

n este caso,

o es posibenominador proceso

enominador

e nuevo se cna cantidad qumerador es

ara realizar atural más u

n este caso e

e sabe que cnidades y qu

n otras palab

E.N.M.A. Nº

ucas Pablo An

, ya se sab6/9, pues só

ara poder epor el mism

Por ejemplo:

4 y 6 son am

no existe ni

ble, entoncer por el misde encont

r por el mis

consideraránque es may

s mayor o igu

ciertas opena fracción p

es fácil ver p

cada 3/3 equedan 2/3 má

bras, se usa

º 195

ndrés Dall’Aga

bía que dividólo se realizó

encontrar framo número, :

mbos múltip

ingún númer

es, encontmo número

trar fracciomo número

n las fraccioor o igual quual que el de

eraciones, espropia, como

por qué es c

uivale a la uás.

el hecho de

ata

dir por 3 el ó el proceso

acciones eques necesari

plos de 2. Si

ro mayor qu

rar fraccioo. Cuando eones equivo, se llama s

nes impropiue la unidadenominador.

s convenieno por ejemp

cierta esa igu

unidad y al to

e que

MATEMÁ

numeradoro inverso al a

uivalentes aio que nume

se consider

e 1 que sea

nes equivaesto ocurre,valentes a simplificaci

as. Se ha vid. También s.

nte escribir lo:

ualdad.

omar 8/3 se

con

ÁTICA Ciclo

r y denominanterior.

a una dada, erador y de

ra esta otra f

divisor de 5

alentes a , se dice quuna dada,

ión de fracc

isto que unase sabe que

una fracción

e está toman

resto 2.

o Orientado

nador produc

dividiendo enominador s

fracción:

5 y 8 a la vez

dividiendue la fracció, dividiendciones.

a fracción ime en toda fra

n impropia

ndo dos vece

2º Año

22

ciría una fra

el numeradosean múltipl

z.

do numeraón es irredudo numerad

mpropia repreacción impro

como un nú

es 3/3, es de

acción

or y el los de

dor y ucible.dor y

esentapia, el

úmero

ecir, 2

Po

Pasig

se

se

Es

Cucu

Padis

5-

Labaa.C

Losó

Lotér

C.E

Cr.: Lu

or eso,

ara escribir guiente:

e divide

e obtiene un

sto se hace

uando se pieual dos fracc

ara algunos stinto de 30.

OPERACIO

a idea del nabilonios y mC. y desarro

os pitagóricoólo como can

os números rminos de re

Si doscantidaimpropnúmer

E.N.M.A. Nº

ucas Pablo An

la fracción

cociente igu

porque una

ensa que unciones como

resulta un .

ONES

número fracmás tarde poolló una verd

os, como fuentidades sino

eran asocielaciones ma

s fraccionesad que ha spias, númeroo de partes.

º 195

ndrés Dall’Aga

impropia

ual a 7 y res

fracción cua

na fracción re3/5 y 18/30

poco extrañ

Su

ccionario fueor los griegodadera filoso

eron llamadoo como los e

ados a todatemáticas.

s tienen igsido divididaos naturales Por ejemplo

ata

como un n

to igual a 6,

alquiera tam

epresenta tason equival

ño el hecho

umas y rest

e desarrollaos seguidoreofía del núme

os los seguielementos q

os los fenó

ual denomia en un miss más una fo:

MATEMÁ

número natu

lo cual quie

bién represe

ambién una dlentes.

de que 3/5 =

tas de fracc

ada no sólo es del gran sero.

idores de Piue regían al

ómenos con

inador: se ssmo númerofracción de

ÁTICA Ciclo

ural más una

ere decir que

enta una div

división se h

= 18/30, sien

ciones

por los egsabio Pitágo

itágoras, conl Universo.

ocidos y el

sabe que reo de partes,la unidad ta

o Orientado

a fracción p

e

visión:

hace más cla

ndo 3 distint

gipcios, sinooras, quien v

nsideraban

Universo e

epresentan , o en el caambién divid

2º Año

23

propia, se ha

ara la razón

to de 18 y 5

o también pvivió en el si

a los númer

era concebi

porciones daso de fraccdida en el m

ace lo

por la

or losiglo VI

ros no

do en

e una cionesmismo

Ennude

Si

se

Al

es

C.E

Cr.: Lu

n ambos cumeradores e la unidad s

se quiere re

e puede repr

sustraer o r

s decir

E.N.M.A. Nº

ucas Pablo An

casos, suma(que indican

sigue siendo

estar:

resentar gráf

retirar del

º 195

ndrés Dall’Aga

ar estas frn cuántas pa la misma.

ficamente la

área sombre

ata

racciones reartes tomam

a situación as

eada en el p

MATEMÁ

esulta muy mos) y copia

sí:

primer rectán

ÁTICA Ciclo

sencillo, pr el mismo d

ngulo, evide

o Orientado

pues bastadenominado

ntemente qu

2º Año

24

con sumaor, pues la d

uedan ;

ar los ivisión

y d

Pa5/9

1)

A

ah

Gr

al el re

ah

C.E

Cr.: Lu

de nuevo es

ara reflex9 + 3/9 = 8/1

Ahora

Trabajamos

A y a qu

hora, en

ráficamente

escoger frarectángulo ctángulo en

hora, se aña

E.N.M.A. Nº

ucas Pablo An

ste resultado

xionar: si 18, ¿qué exp

sumaremo

s con fraccio

ue tengan el

lugar de

el proceso a

acciones equen 12 parte3 partes, y s

den las dos

º 195

ndrés Dall’Aga

o se obtiene

alguien plicación le d

os dos fracc

ones equiv

mismo den

sumar

anterior se r

uivalentes a es iguales. Esubdividiend

partes somb

ata

restando los

te dijera darías para

ciones con

alentes:

ominador:

, se

epresenta a

y a queEsto se pueddo cada sext

breadas del

MATEMÁ

s numerado

que la convencerle

distinto den

y

suman las

así:

e tengan dede lograr suta parte del

segundo re

ÁTICA Ciclo

res y copian

siguiente e de que está

nominador:

.

s fraccione

nominador ibdividiendo segundo rec

ctángulo al

o Orientado

ndo el denom

operacióná equivocad

:

es equivale

igual a 12, scada cuarta

ctángulo en

primero y se

2º Año

25

minador.

n es cordo?

entes a

se está divida parte del p2 partes:

e obtiene:

rrecta:

éstas:

diendo primer

Es

Ad

3 =

2 =

2)

Cusues

Secá En

eq

Re4 am

Assig

Toirrecede

C.E

Cr.: Lu

sto se puede

demás,

= número de

= número de

Encontrar M

uando se efumar fracciose denomina

e sabe ya qálculos, es co

n el primer

quivalentes a

ecuérdese qy de 6 a la

mbas fracci

sí, dadas 2 guiente:

Encont Hallar

1). Sumar

odo esto eseducible, y

erca de ser enominadore

E.N.M.A. Nº

ucas Pablo An

e hacer porq

e subdivision

e subdivision

MCM (múltip

fectúa la suones equiv

ador debe se

que hay infinonveniente s

r caso, cua

a y a

que esto sia vez. Es eones.

ó más fracc

trar el m.c.mlas fraccione

r esas fraccio

s útil porqueal sumar doirreducible

es.

º 195

ndrés Dall’Aga

que 12 es mú

nes que se h

nes que se h

plo común

uma de dosvalentes a eer múltiplo de

nitas fracciosumar las fra

ando se es

es porque 1

gnifica queel número

ciones con

m. de todos les equivalen

ones encont

e se facilitaos fracciones

que si se t

ata

últiplo de 4 y

hacen en ca

hacen en ca

menor):

s fraccionesellas, que tee los denom

nes equivalacciones má

coge al nú

12 = m.c.m.

e 12 es el mque más c

distinto den

os denominntes a las da

tradas, que

an las operas siguiendo tomara un

MATEMÁ

y es múltiplo

ada cuarta pa

ada sexta pa

s que tieneengan igual minadores de

entes a cuaás sencillas

úmero 12 c

(4,6).

menor de todconviene es

nominador, s

adores. adas con de

son equivale

aciones conestos pasodenominado

ÁTICA Ciclo

o de 6:

arte.

rte.

n distinto ddenominado

e las fraccion

alquier fraccposibles.

como denom

dos los númscoger com

si se quiere

enominador i

entes a las d

n fraccioness, se obtienor que no f

o Orientado

denominadoor. Como senes dadas.

ción. Pero pa

minador par

meros que smo denomin

e sumarlas,

igual al m.c.

dadas.

s cuando esne una fraccfuera el m.c

2º Año

26

or, se tienee puede obs

ara simplific

ra las fracc

son múltiplnador comú

se debe ha

m. encontra

stán en su ción que estác.m. de todo

n queservar,

car los

ciones

os de ún de

acer lo

ado en

forma á másos los

Ej

Pr

m.

y

ah

en

Aq

An

Ejde

¿Cfra Fr

Al co

C.E

Cr.: Lu

emplo: para

rimero se ha

.c.m.

hora se suma

n forma abre

quí se obtien

nálogamente

ercicio: Reenominador

Crees que eacciones con

racciones n

estudiar laonsiderar com

E.N.M.A. Nº

ucas Pablo An

a sumar

alla el m.c.m

an:

eviada, se pu

ne el 8 así:

e, el 21 se o

ealiza la sigcomún un n

es necesarion el mismo d

egativas y

resta de nmo la suma

º 195

ndrés Dall’Aga

.(9,6); para e

. Las fra

uede proced

btiene así:

guiente sumúmero difere

o, para sumadenominado

restas de fr

úmeros entde un núme

ata

ello se desc

acciones equ

der así:

ma de dos ente cada ve

ar fraccionesr? ¿por qué

racciones

teros debe hero más su o

MATEMÁ

omponen am

uivalentes a

maneras ez. 5/6 + 3/1

s con distint?

haber quedopuesto. Por

ÁTICA Ciclo

mbos númer

las dadas s

diferentes, 10

to denomina

ado claro qr ejemplo:

o Orientado

ros en sus fa

son:

es decir, e

ador, expres

ue esta ope

2º Año

27

actores prim

escogiendo

sarlas antes

eración se p

mos:

como

como

puede

Iguop

Ob

nuo

qulo

De 3/4 Tatiepu

Pa

po

Desi fra

Po

C.E

Cr.: Lu

ualmente, spuesta:

bsérvese qu

umerador. Pouna expresi

ue esa expreque se acab

e hecho, si a

4 + (-3)/4 = (

ambién se henen signos ueden interp

ara reflexion

or otra parte,

e manera quya se saben

acción minue

or ejemplo:

E.N.M.A. Nº

ucas Pablo An

se puede co

ue la fracción

or ejemplo, ón completa

esión sea unba de decir,

a 3/4 se le su

(3 + (-3)) / 4

ha visto que opuestos, yretar tambié

nar: ¿Puede

, se tiene:

ue aprender n sumar fracendo el opue

º 195

ndrés Dall’Aga

onsiderar la

n opuesta a

la fracción oa, se está h

na fracción, se tiene que

uma -3/4 se

4 = 0/4 = 0.

la división dy da positivoén como divi

es explicar p

a restar fraccciones, pueesto de la fra

Multipl

ata

a resta de f

una fracció

opuesta a ablando del

se tiene exae

obtiene:

de un númeo si los númsiones, se ti

por qué son

cciones no sesto que resacción sustr

icación y D

MATEMÁ

fracciones c

ón dada es la

es . al anl opuesto a

actamente lo

ero entre otrmeros tieneniene lo siguie

iguales las f

significa en star una fracraendo.

División de F

ÁTICA Ciclo

como la sum

a que se ob

nteponer un ese númer

o mismo: el o

o da un númn signos iguaente:

fracciones a

realidad aprción a otra e

Fracciones

o Orientado

ma de una

tiene cambi

signo "-" a ro o expresió

opuesto de

mero negativales. Como

nteriores?

render algo tes lo mismo

2º Año

28

fracción m

ándole el sig

un número eón. En el ca

es ,

vo si los núlas fraccion

totalmente no que sumar

más su

gno al

entero aso de

, y por

merosnes se

nuevo, le a la

Lo

síEs

ta

Y

Ees

A

C.E

Cr.: Lu

El Papiro algunos d

numerado

Para escrisigno de denominad

os egipcios

ímbolo . s bien sabid

ambién mul

esto se obti

n realidad, scrito el 3 en

hora, ¿cómo

E.N.M.A. Nº

ucas Pablo An

de Rhind de ellos inc

or 1, con exc

ibir las fraccun óvalo

dor. Por ejem

representab

do que mult

tiplicarse

iene también

siempre pun la multiplic

o podría inte

º 195

ndrés Dall’Aga

contiene 8cluyen fracc

cepción de

ciones unitarsobre el nmplo:

ban el núme

tiplicar

y el

n así:

ede escribircación anteri

erpretarse la

ata

85 problemciones, sólo

.

rias, los egipnúmero que

ero uno med

significa su

l resultado

rse cualquieor:

multiplicaci

MATEMÁ

as resueltoo aquellas

pcios usabae designaba

iante el sím

umar al 4 c

es igual

er número e

ón? :

ÁTICA Ciclo

os y con

n el a el

Papiro

mbolo | y el

onsigo mism

a lo que

entero de la

o Orientado

o de Rhind

número 10

mo 7 veces.

se obtiene

a manera en

2º Año

29

mediante e

. Así, puede

e al suma

n que se ha

el

e

r

a

G

Setose

¿Qdi

E

fo

Es

so

Es

Esmha

Esap

C.E

Cr.: Lu

ráficamente

e dibuja ahomamos las e obtiene:

Qué parte vidiera cada

ntonces, los

ormada por 2

sto es, en d

on exactame

s

ste resultadmultiplicar do

acer lo sigui

s importanteprender el si

E.N.M.A. Nº

ucas Pablo An

e se represen

hora el pedados tercera

del rectánga quinta pa

s pedacitos

2 de estos p

definitiva, lo

ente del t

o se ha obts fraccionesente:

e observar ignificado de

º 195

ndrés Dall’Aga

ntan las dos

azo que repas partes de

gulo mayorrte en tres

obtenidos r

edacitos, se

que se obtie

total.

tenido a pars, pero ya se

algunos cael producto.

ata

s fracciones:

presenta ,e ese pedaz

r representapartes igua

representan

e tiene que e

ene al multip

rtir de las fige sabe que p

asos muy sPor ejemplo

MATEMÁ

, y zo,

a el área soales, se obte

cada un

esa área es i

plicar

guras, para para multipli

encillos de o:

ÁTICA Ciclo

ombreada?endrían en

no. Como e

igual a .

: las dos ter

comprendericar estas do

multiplicaci

o Orientado

? se observatotal 15 par

el área som

rceras parte

r mejor en qos fraccione

ón de fracc

2º Año

30

a que, si sertes iguales

breada está

s de , que

decir

qué consistees, basta con

ciones, para

e .

á

e

r,

e n

a

C

A

E

se

A

m

y

Ej

S

ca

po

Sex

Ej

C.E

Cr.: Lu

uando se m

l multiplicar

n particular,

e obtiene

nálogament

multiplica por

la tercera pa

jemplo

upóngase a

antidad de 1

or 10

i el herederoxactamente

jemplo para

E.N.M.A. Nº

ucas Pablo An

ultiplica po

cualquier nú

si se multip

, que es la

e, si se quie

. Por ejem

arte de es

hora que alg

0.000.000 d

0.000.000.

o sabe manelo que le co

a resolver e

º 195

ndrés Dall’Aga

or 10, se ob

úmero por

plica

mitad de

ere calcular

mplo, la terc

s

guien recibió

de pesos. Pa

Como

ejar bien lasrresponde.

entre todos

ata

tiene 5, que

se obtiene

.

r la tercera

era parte de

ó una herenc

ara determin

s operacione

MATEMÁ

e es la mitad

la mitad de

parte de cu

e 210.000 es

cia que cons

nar esta can

es con fracci

ÁTICA Ciclo

de 10.

ese número

alquier núm

s

siste en las t

ntidad, senci

ones, no se

o Orientado

o.

mero, simple

tres quintas

illamente se

, se

e dejará enga

2º Año

31

emente se le

partes de la

e multiplica

tiene

añar y sabrá

e

a

:

á

Sdecuenlom

Po

1)de

pore

pode

ah

La

2)

ah

C.E

Cr.: Lu

upóngase ae 60.000 heuatro. Resulntre su espo

os dos terciomadre?

odría busca

) se sabe que lo que here

or ser el totaecibirá es ex

or otra partee la haciend

hora, de 6

a madre de

) Podría tam

hora, de es

E.N.M.A. Nº

ucas Pablo An

ahora que laectáreas. Sulta que uno osa y su hijoos restantes.

rse la respu

ue Juan recibedó su padr

al de hectárxactamente

e, la madre da que ella re

60.000 es ig

Pedro recibi

mbién calcula

a cantidad,

º 195

ndrés Dall’Aga

herencia quu última vode los hijo

o. A la espos. ¿Qué cant

esta a la pre

birá del tore. Por lo tan

reas igual a

de Pedro rececibirá es

gual a

irá, entonces

arse directam

Pedro reci

ata

ue deja un hluntad fue qs, Juan, qusa, Sofía detidad de hec

egunta plant

otal de la hacnto, la fracció

60.000, ten

cibirá de lo

s, 5.000 hec

mente la can

birá dos ter

MATEMÁ

hacendado que se repaiere repartir

ejará un tercictáreas le to

teada por do

cienda, y poón de la hac

nemos que la

o que recibió

ctáreas.

ntidad de he

rceras parte

ÁTICA Ciclo

a sus cuatroartiera en pr de inmediaio de su her

ocarán a Ped

os vías:

r otra parte,cienda que re

a cantidad d

ó su esposo.

ctáreas que

es, y para c

o Orientado

o hijos es upartes igualeato lo que hrencia y a sudro y qué ca

su hijo Pedecibirá Pedr

de hectáreas

. Por lo tanto

heredó Jua

calcular esto

2º Año

32

na haciendaes entre losha heredadou hijo Pedroantidad a su

dro recibirá ro es igual a

s que Pedro

o, la fracción

an:

o, basta con

as o,

u

:

o

n

n

m

pael

Sebi

O

Mreenelgr

¿P

¿S

P

CPo

C

C.E

Cr.: Lu

multiplicar:

ara calcular la le toca un

e ve que poen el por qu

Otro ejemplo

Mariela va paeparta en suntre las 9 pe pedazo de rande o más

Podría Marie

Serán las M

rimero se ve

ada uno comor lo tanto, c

omerán ,

E.N.M.A. Nº

ucas Pablo An

la cantidad na tercera pa

or ambas víaué se realiza

o:

ara una fiestu casa entreersonas pres

torta que les pequeño q

ela tener una

atemáticas,

erá cuánto le

merá una tecomerán la s

, es decir la

º 195

ndrés Dall’Aga

de hectáreaarte de lo qu

as se obtienan las operac

ta de cumplee sus tres hesentes en la e regalaron pue el que co

a respuesta

o será la to

e tocará com

rcera parte dsiguiente fra

doceava pa

ata

as que le tocue heredó Ju

en los mismciones en ca

eaños y alláermanos. Elfiesta. Marie

para sus heomerían sus

a esa pregu

rta lo que ca

mer a cada h

del pedazo qcción de la t

rte de la tort

MATEMÁ

caron a la esuan, se mult

mos resultadada caso.

le dan una resto de laela se pregurmanos, si e hermanos.

unta?

aptura el inte

hermano (si e

que ella trajotorta comple

ta.

ÁTICA Ciclo

sposa de Juaiplica:

dos. Es muy

cuarta partea torta la repuntaba, al coel pedazo qu

erés de Mari

es que Marie

o a casa, queta:

o Orientado

an, como se

importante

e de la tortaparten en paortar en 3 paue ella com

iela?

ela no hace

ue es un cua

2º Año

33

e sabe que a

comprende

a para que laartes igualesartes igualesió sería más

trampa):

arto del total

a

r

a sss

.

Cpo

Sedepogo

Sre

Sel

Ejsi

C.E

Cr.: Lu

por otraquedaroMariela la fracccomió, f

onclusión: Mor las Matem

e estudiará e dos fraccioor un lado, yobiernan el p

i se multipliesultado. Po

i se multiplic resultado e

jercicio: tommplifica,

E.N.M.A. Nº

ucas Pablo An

a parte, de lon para los se comió u

ción de la fue:

Mariela comimáticas y la j

ahora la muones se reay los que esproducto de

ican fraccior ejemplo:

can dos fraces positivo.

ma una hojasi es

º 195

ndrés Dall’Aga

as tres cuarque estabana novena torta comp

ió es igual ajusticia no e

ultiplicación liza multiplic

stán en los dnúmeros en

nes con sig

cciones con Por ejemplo

a de tu cuaposible,

ata

rtas partes qan en la fiesparte, es depleta que

lo que coms menor que

de fraccionecando númedenominadonteros, sigue

gnos distin

igual signo o:

derno y efela fracc

MATEMÁ

questa,

ecir,ella

ieron sus hee el que tien

es con signoeros enteros ores por otroen siendo vá

ntos, se ob

(ambas pos

ectúa los sigción que

ÁTICA Ciclo

ermanos, si ne por la torta

os. Al observ(los que es

o), se comprálidas en el p

tiene una f

sitivas o amb

guientes proobtienes

o Orientado

es que el ina.

var que la mstán en los nrende que laproducto de

racción neg

bas negativa

oductos de fs como

2º Año

34

terés de ella

multiplicaciónnumeradoresas leyes quefracciones.

gativa como

as) entonces

fracciones, yresultado

a

nse

o

s

y:

Des

¿P

E

qu

es

nú

Semensi

E

es

Ddi

O

po

de

C.E

Cr.: Lu

ebes haber s igual a 1.

Podrías dec

n general, s

ue son inve

s , y la in

úmero enter

Dividi

e sabe quemultiplica al n

ntre 3, se vmplemente

n la operaci

ste caso, el

e manera qufícil.

Otros ejemplo

Dividi

or ejemplo:

ebe invertirs

E.N.M.A. Nº

ucas Pablo An

observado a

cir por qué oc

siempre que

ersas, o que

versa de

ro, por ejemp

imos fraccio

e la divisiónnúmero 5, pvuelve a obtse hace com

ión anterior,

divisor es

ue, si se ha

os:

imos fraccio

se la fracció

º 195

ndrés Dall’Aga

algo curioso

curre esto?

el producto

e una de ell

es

plo: la invers

ones invirti

n es una opor ejemplo,tener al 5. Amo en el ejem

, se ha mult

y su inverso

aprendido b

ones realiza

ón , y lueg

ata

o en los ejerc

de dos frac

as es la inv

. En

sa de es

Divisió

endo la 2º f

peración inv por el númAhora, cuanmplo siguien

tiplicado al d

o, por supue

bien a multip

ando "multi

go multiplica

MATEMÁ

cicios 2) y 8

cciones da c

versa de la

muchos cas

.

ón

fracción

versa a la mero 3 se obndo se va ante:

dividendo (

esto, es .

plicar fraccio

iplicación e

arla por ,

ÁTICA Ciclo

) anteriores.

como resulta

otra. Por ej

sos la invers

multiplicacióbtiene el 15a dividir una

) por el in

nes, la divis

en cruz"

la multiplica

o Orientado

. En ambos,

ado el núme

emplo, la in

sa de una fra

ón, pues cu, y si se div

a fracción e

verso del d

ión no result

ación en cru

2º Año

35

el resultado

ro 1, se dice

nversa de

acción es un

uando sevide el 15ntre otra,

ivisor. En

tará nada

uz lo que

o

e

n

ha

Psi

Es

fraot

E

E

Pasu

y

8-

Ecoento

Hne

C.E

Cr.: Lu

ace es dejar

uede elegirsempre muy

s interesant

acciones cotras con num

n el caso de

n efecto,

ara los matuma

no la más e

-ORDEN EN

l conjunto donjunto de lnteros se pu

odos los natu

ay una manegativos:

E.N.M.A. Nº

ucas Pablo An

r las dos frac

se la maneclaro que la

te observar

omo, por ejemerador igua

e , esta fra

temáticos m

vidente

N LOS NÚM

de todos loslos Númeroueden escriburales y a los

nera de rep

º 195

ndrés Dall’Aga

cciones tal c

era de dividas dos forma

que los ma

mplo , coal a 1.

acción era ex

modernos no

EROS RAC

s números os Racionabir como fras enteros ne

resentar so

ata

como están y

ir fraccioneas son equiva

atemáticos

n numerado

xpresada co

o queda mu

IONALES

fraccionarioles, y se recciones, el

egativos.

bre una rec

MATEMÁ

y multiplicar

s que se palentes y ha

egipcios, al

or distinto de

mo la suma

uy claro por

os, sean poepresenta coconjunto de

cta horizonta

ÁTICA Ciclo

así:

prefiera. Lo ay un sólo re

l no tener u

e 1, las exp

:

qué usaba

ositivos o neon la letra

e los número

al los núme

o Orientado

importante esultado corr

una manera

resaban com

an, para exp

egativos, esQ. En vista

os racionales

ros enteros

2º Año

36

es tenerrecto

a de escribi

mo suma de

presar , la

s llamado e de que loss contiene a

, positivos y

r

e

a

els a

y

So

qual

E

Sprqu

núco

A1.

Pefratie

C.E

Cr.: Lu

obre esa rec

ue es la m 0 con el 1:

l número

i se quisierarimer lugar, ue escribirse

úmero racioonveniente e

hora se sab.

ero, ¿cómo acciones eqene:

E.N.M.A. Nº

ucas Pablo An

cta es posib

mitad de 1, p

está ubicad

a ubicar en esi está entree ese núme

nal está eescribirlo así

be que es

saber si quivalentes a

º 195

ndrés Dall’Aga

le también r

por lo tanto e

do a la izqui

esta recta ae 0 y 1, es dero como un

entre 0 y 1, í:

stá entre 5 y

es menor oa las dadas

ata

representar a

está ubicado

erda del 0, y

cualquier oecir, si es u

n número en

porque es u

y 6, porque e

o mayor ques y que teng

MATEMÁ

a los númer

o justo en el

y a la misma

otro número na fracción ntero más u

una fracción

es igual a 5

e ? Una mgan el mism

ÁTICA Ciclo

os racionale

punto medio

a distancia d

racional pospropia. En c

una fracción

n propia, per

más un núm

manera es lamo denomin

o Orientado

es. Por ejem

o del segme

del 0 que :

sitivo, debe caso de no s

propia. Por

ro no es

mero que es

a siguiente: ador. En es

2º Año

37

mplo, se sabe

ento que une

saberse, enserlo, tendríar ejemplo, e

propia, y es

s menor que

se escribenste caso, se

e

e

nael

s

e

n e

se

ah

Es

To

Ete Ej

Po

Ete

pa

O

se

E

so

po

Se

C.E

Cr.: Lu

e han escog

hora, se com

sto se sabe

odo está bas

ntre dos fracenga el mayo

jemplo:

or otra parte

ntre dos fracenga el meno

ara reflexion

Otro ejemplo

e establecer

l m.c.m.(7,3

on:

or lo tanto

e ha visto q

E.N.M.A. Nº

ucas Pablo An

ido las fracc

mparan:

porque 5<6

sado en la c

cciones posor numerado

e, es bueno s

cciones posior denomina

nar: ¿Podrías

o:

rá en qué ord

) es 21. Las

y

, en

ue, si entre

º 195

ndrés Dall’Aga

ciones con d

. Así, regres

certeza sigui

itivas que teor.

saber tambi

itivas que teador. Ejempl

s explicar po

den están

fracciones e

. Inmediatam

ntonces:

dos número

ata

denominador

sando a las f

ente:

engan el mis

én lo siguien

ngan el mislo:

or qué son c

y .

equivalentes

mente se co

os enteros p

MATEMÁ

r 10 porque

fracciones o

smo denomin

nte:

mo numerad

ciertas las af

s a las dada

mparan los

positivos cua

ÁTICA Ciclo

10 es el m.c

originales, se

nador, la ma

dor, la mayo

firmaciones a

s, y con den

numeradore

alesquiera a

o Orientado

c.m.(5,2).

e tiene que:

ayor de amb

or de ambas

anteriores?

nominador ig

es y se ve qu

y b, se tien

2º Año

38

bas es la que

es la que

gual a 21,

ue 14<15,

ne que a <b

e

,

en

Lo

su

poPo

Omsi

N

enm

C.E

Cr.: Lu

ntonces -a >

o mismo ocu

u derecha) q

or lo tanto, eor eso,

Ocurre algo imultiplicación

empre es m

o es siempr

n este casomanera tamb

E.N.M.A. Nº

ucas Pablo An

>-b . Por ejem

urre con los

que , pues

el opuesto a

nteresante cn de los natumayor que ca

e así cuando

o, ambos faién:

º 195

ndrés Dall’Aga

mplo:

números rac

s

a , que es

con la multipurales. Al muada uno de lo

o se trata de

actores son

ata

cionales. El

, está

plicación deultiplicar un os números

e racionales

mayores qu

MATEMÁ

número rac

á más lejos

e números ranúmero entque se han

. Por ejempl

ue el produ

ÁTICA Ciclo

ional est

del 0 (y a s

acionales, qero positivo multiplicado

lo:

ucto. Pero p

o Orientado

tá más lejos

su izquierda)

ue la diferepor otro, el

o:

puede ocurr

2º Año

39

del 0 ( y a

) que

ncia de laresultado

rir de otra

.

Aq

es

pr

poel

en

O

Em

E

se

en

A

7-

Dla

Po

se

C.E

Cr.: Lu

quí tenemos

s decir, uno

roducto (

or otra parte producto:

n este caso,

Obsérvese co

n el primeromenores que

n el segundo

e tiene que

n el tercer ca

mbos factor

- Potenciac

espués de ha potenciació

otencias com

erán estudia

E.N.M.A. Nº

ucas Pablo An

s que

de los facto

).

e, se puede t

on cuidado c

o, 1 y mayores

o,

y

aso,

es son mayo

ión con bas

haber estudión con base

mo

adas ahora y

º 195

ndrés Dall’Aga

, m

ores es men

también dar

y tambié

cada uno de

, ambs que cero.

.

ores que 1.

se en Q y ex

iado la sumaen Q y expo

y se verá qu

ata

mientras que

nor que el p

r un ejemplo

n

los tres ejem

bos factores

xponente e

a, la resta, lonente en Z

ue el resulta

MATEMÁ

.

producto (

o en el cual a

.

mplos.

son fraccio

n Z

a multiplicac.

ado de esa o

ÁTICA Ciclo

), y el

ambos facto

ones propia

ción y la div

operación n

o Orientado

otro es may

ores son me

as, es decir,

visión en Q,

o es un núm

2º Año

40

yor que el

nores que

, números

se estudiará

mero entero

á

,

si

A

se

Dob

punu

As

enne

po

ah

es

C.E

Cr.: Lu

no un núme

l multiplicar

e obtiene

e manera qbtiene la uni

uesto que umerador po

sí, por ejem

n general, cuegativo, se t

or ejemplo:

hora, si el ex

sto es lo que

E.N.M.A. Nº

ucas Pablo An

ero fracciona

, y es

que es dad como re

, y or denomina

plo

uando se eletiene

xponente es

e se espera

º 195

ndrés Dall’Aga

ario.

o se ha obte

el inverso esultado. En

ya se sabe ador en la fra

eva un núm

s negativo:

ría que ocur

ata

enido aplican

de , puntonces, no q

que el inveacción origin

ero racional

rriera si deb

MATEMÁ

ndo las leye

esto que alqueda otra a

erso de todanal.

a un expo

en cumplirse

ÁTICA Ciclo

s de la pote

l multiplicar alternativa q

fracción se

onente ente

e las leyes d

o Orientado

nciación.

estos dos ue escribir:

e obtiene al

ero n, sea és

de la potenc

2º Año

41

números se

intercambia

ste positivo o

ciación en N

e

r

o

N,

pa

As

P

La

Pe

U

O

Es

di

C.E

Cr.: Lu

ara potencia

sí , para cua

uesto que

as leyes de

ero ahora se

n ejempl

Otro caso pod

sta última p

vidir

E.N.M.A. Nº

ucas Pablo An

as con núme

alquier núme

potenciación

e debe agreg

o donde

dría ser:

propiedad es

, y no

º 195

ndrés Dall’Aga

eros racional

ero racional

n que valen

gar la siguie

se us

s muy útil p

hay calculad

ata

les en la bas

y cualquie

en N y Z sig

ente:

sa esta

para simplific

dora a la ma

MATEMÁ

se .

er entero pos

guen siendo

última

car ciertos c

ano, se escr

ÁTICA Ciclo

sitivo n se c

válidas:

propiedad,

cálculos. Po

riben el divid

o Orientado

umple que:

es el

or ejemplo,

dendo y el d

2º Año

42

siguiente

si se quiere

divisor como

e

e

o

pr

Lu

R

C.E

Cr.: Lu

roducto de s

uego,

ecordemos:

E.N.M.A. Nº

ucas Pablo An

sus factores

A

º 195

ndrés Dall’Aga

primos:

A ejer

ata

rcitar!

MATEMÁ

!!!!!!

ÁTICA Ciclo

o Orientado 2º Año

43



44

C.E

Números Números d Para leer

John NapiEdimburgodel movimpolíticos pEscocia de

Napier eslogarithmose utilizanlogaritmosprimeros, decimalescálculos a

Enciclopetodos los d 1-NÚMER

En el scomenzarolos cálcdenominad

Naturalmetomar 10.000 com

Este tipo dUn ingeniepara hace

E.N.M.A. Nº

decimales decimales. O

ier o John No. Estudió e

miento de la promovidos pe la Biblia.

más conocorum canonin actualments naturales asi no el prim de una foritméticos, d

edia Microsderechos.

ROS DECIMA

siglo XVI on a notar la

culos con dores fueran

ente, para su

mo denomin

de fracción sero y matemr cálculos co

º 195

Operaciones

Neper (1550en la UniversReforma enpor los prote

cido por intis descriptio te no usan a veces se mero, en utorma sistemdescritos en

soft ® Enca

ALES

d.C., los a facilidad c

números n potencias d

umar las fra

nador común

se llama fracmático holanon fraccione

UNID

s con decima

0-1617), matsidad de Sa

n Escocia y estantes. Es

roducir el p(1614). Losla misma bles denomi

tilizar la modmática. Tam

Rabdologiae

rta ® 2005.

matemáticocon la cual s

fraccionade 10. Por e

cciones ante

n y se obtien

cción decimandés llamads decimales

MATEMÁ

DAD

ales. (Trabaj

temático escan Andrés yaños más ta

s autor de la

primer sistems sistemas cobase que losna logaritmoderna notac

mbién invente seu numer

© 1993-200

os europeose efectuabaarios cuyoejemplo:

eriores bast

ne

al. do Simón Sts sin usar el

ÁTICA Ciclo

II

jo práctico).

cocés nacido durante suarde tomó pa primera int

ma de logaromunes y nas logaritmosos neperianción decimaltó sistemas rationis per

04 Microsoft

os an os

a con

tevin inventódenominado

o Orientado

o en Merch estancia al

parte activa terpretación

ritmos, descaturales de

s de Napier,os. Napier fl para expre

mecánicosvirgulas libri

ft Corporatio

ó en el S. Xor. Por ejem

2º Año

45

iston, cerca llí fue seguiden los asun importante

crito en Mirlogaritmos q, aunque a fue uno de esar fraccions para realii duo (1617)

on. Reservad

XVI un métoplo, escribía

de dor

ntos en

rifici que los los

nes zar .

dos

odo a

C.E

Al sumar e

Aunque suescocés, escribir lasAl princip

Finalmenteentera de

Esta últimllaman núm Sabiendo de facilitarforma de eLa mayor

números edecimal, slos número

E.N.M.A. Nº

estos númer

u método noNapier, quies fracciones io, colocó

e, ya en 161la parte dec

a idea de Nmeros decim

que el origer los cálculoexpresar cua

facilidad p

enteros y nose obtiene (2os enteros

º 195

ros, obtenía

o llegó a usen desarrolldecimales. una línea

17, Napier prcimal:

Napier fue lamales.

en de la escros con fraccalquier fraccara los cálc

o ya con fra2,5)(0,03) y

co

co

co

sarse mucholó, a partir debajo de

ropuso el us

a que se ad

ritura de los ciones decimción como unculos radica

cciones, puen realidad

MATEMÁ

omo

omo

omo

o, su idea fude la propo

los dígitos

so de una co

optó definiti

números demales, es bn número dea en que só

es al escribesta operac

ÁTICA Ciclo

ue tomada posición de S

s del nume

oma o un pu

vamente pa

ecimales estueno notar

ecimal. ólo se efect

ir, por ejemción requiere

o Orientado

por un gran Stevin, otra

erador, de

nto para sep

ara escribir l

á vinculado que luego

túan las op

plo, e sólo que s

2º Año

46

matemáticomanera de

esta mane

parar la part

los que hoy

a la necesidse encontró

peraciones c

en la forse multipliqu

o e

ra:

e

se

dad ó la

con

rma uen

C.E

y luego sela coma, y

Es importacalculadorciertas áremucha preLos númesino cualq

Por ejempdecimal, d

pues se saque tiene d

Otra mane

La serie dedividendo

El paso fincaso:

De esta mcualquieraSi la fraccmanera us Por ejemp

Cuando laun decima

El ejemploel número

E.N.M.A. Nº

e le coloca lay se escribe

ante saber qras que ayueas, como eecisión. ros decimaluier fracción

plo, sabemosde la siguient

abe que denominado

era de obten

e operacionepor 10, por

nal de coloca

manera, es pa. ión es imprsual, y se ob

plo:

a parte decimal finito.

o anterior no65 y no sigu

º 195

a coma de mentonces

que, en los udaran a losen la astron

es se usaron en general

s que te manera: s

y eor igual a 10

ner esto, es l

es mostradaser menor é

ar la coma e

posible enco

ropia, se reabtiene la exp

mal tiene un

os decía queue por lo tan

manera que s

tiempos en s científicosnomía, por e

on finalmentel.

, lo cual se multiplica

esa operació:

la siguiente:

as equivale aéste que el d

en el sitio cor

ntrar la expr

aliza la divispresión decim

final determ

e teníamos 0nto se trata d

MATEMÁ

se obtengan

que esta id en la realiejemplo, los

e, no sólo p

se puede oan numerado

ón permitirá e

a la división divisor:

rrecto equiva

resión decim

sión del nummal de la fra

minado y no v

0,65. Aquí vede un decim

ÁTICA Ciclo

n 3 espacios

ea surgió, nzación de c

s cálculos c

para represe

btener escrior y denomin

encontrar la

, que

ale a la mult

mal que corr

merador entrección.

va mas allá,

emos que la al finito.

o Orientado

ocupados a

no existían, cálculos comcomplicados

entar fraccion

biendo comnador por 5,

fracción equ

e se realiza m

tiplicación po

esponde a u

e el denomin

decimos qu

parte decim

2º Año

47

a la derecha

por supuestmplicados. E

requerían d

nes decimal

mo fracción en este cas

uivalente a

multiplicando

or , en es

una fracción

nador, de la

ue se trata de

mal termina c

de

to, En de

les,

so,

o el

ste

n

a

e

con

C.E

Ocurre conel denomi

caso de decimal en

Los puntos Esta expre

El númeroEn alguno

Ciertamen

expresión

El período

Decimales

En ellos

0,1

0,1

0,

Hay ca

En este ej

E.N.M.A. Nº

n algunas frnador, se o

. al efectun cuestión e

s suspensivo

esión se llam

o que se repis casos, el p

nte, es intere

fraccionaria

o de la expre

s Periódico

s se repite si

161616......

16

,143

asos en los q

jemplo, el p

º 195

acciones algobtienen cifr

ar la divisións:

os indican q

ma expresión

ite, en este cperíodo tiene

esante la ex

a es tan senc

esión decima

os Puros

iempre el mi

En la part

Entonces

Podemosasí.

que la expre

período com

go curioso: cras decimale

n, en cada p

que la suces

n decimal p

caso, el 6, ee más de un

xistencia de

cilla como

al periódica d

ismo número

te decimal s

16 es el pe

escribirlo ta

esión decima

mienza despu

MATEMÁ

cuando se rees que se r

paso se obtie

ión de 6 ¡no

periódica y t

es llamado ena cifra, por

estas expre

.

de es 14

o o periodo.

e repite infin

riodo, el dec

ambién

al periódica t

ués de las c

ÁTICA Ciclo

ealiza la divirepiten inde

ene resto igu

tiene fin!

también se e

l período deejemplo:

esiones deci

2857. y se

Por ejemplo

nitas veces e

cimal se pue

tiene esta fo

cifras decim

o Orientado

isión del numefinidamente

ual a 2 y así

escribe así:

e la expresió

imales para

llaman:

o:

el 16

ede escribir a

orma:

males: 01. E

2º Año

48

merador ente, como en

í, la expresió

n decimal.

números cu

así.

stas dos cif

tre el

ón

uya

fras

C.E

constituye

Decimale

Encontr

Como se hcantidad fdecimales ¿Existe la de cifras dque sea ili La respues Es muy im Por ejempparte entemientras q Así,

E.N.M.A. Nº

n el anteper

es Periódico

ramos una p

0,143333

ha visto, todfinita, limita que se repi

posibilidad decimales nmitado su n

sta es que ta

mportante sa

plo, entre 5,9era de 6,1 esque la de 5,9

º 195

ríodo de la e

os Mixtos

parte que no

3..... En la

da fracción sada, de cifrten de mane

de que un no periódicasúmero?.

ales número

ber reconoc

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50

UNIDAD III

Razones y proporciones 1- Razones 2- Proporciones. 3- Escala (Trabajo Práctico). 4- Proporcionalidad directa e inversa. 5- Regla de tres simple directa e inversa.

1-RAZÓN O RELACIÓN:

Lean detenidamente el relato de estas situaciones: a-Observo que el médico toma la muñeca del paciente, mira el reloj, y enseguida dice: _Usted tiene 72 pulsaciones por minuto. Lo hizo tan rápido que estoy seguro de que no pasó medio minuto. ¿Qué cálculo hizo el médico? b-Miramos una máquina de envasar. Alguien pregunta: _ ¿Cuántos envases se llenarán en una hora? No pasaron cinco minutos y uno de los presentes responde: _Alrededor de 960 envases. ¿Cómo lo hizo? Discute con tus compañeros y encuentra una respuesta a los interrogantes anteriores.

Razón o Relación: Se llaman así al resultado de comparar dos cantidades, la primera de ellas llamada antecedente y la segunda llamada consecuente.

Estas cantidades las presentaremos en forma fraccionaria (aunque no es exactamente una fracción), de la siguiente manera:

antecedente consecuente

Por ejemplo si tenemos la razón de 7 a 4, el antecedente será 7 y el consecuente será 4.

Nuestra razón quedará: 7 4

Responde:¿Por qué una razón no es considerada como una fracción?

Ejemplo:

Si queremos relacionar el número de mujeres con el número de varones del Cenma 195 en el año 2007, podemos empezar por calcular su diferencia: Por ejemplo si obtenemos “mujeres menos varones = 120 – 80 = 40, esta diferencia no da una idea precisa sobre la distribución por sexos, ya que respondería igualmente a otras situaciones cuya diferencia sea 40.



51

Más interesante sería, en este caso, indicar el cociente. Supongamos que obtenemos:

80

120

varones

mujeres

Decimos que la razón “mujeres/varones es 3/2”, o que están en razón de 3 a 2 Con este dato sabemos que, independientemente del número total, por cada 3 mujeres hay 2 varones, y esto sí da idea de la distribución por sexos. Actividades

1. En un colegio hay 10 computadoras si va a la sala de computación un curso de 40 alumnos. ¿Cuál es la razón entre el número de computadoras y el número de alumnos? ¿Se puede simplificar?

2. Escriban la razón y calculen el cociente entre los 180 km que recorre un auto y las 2h que tarda en recorrerlos. ¿Qué nombre recibe dicho cociente?

3. Si un auto va a 120 km/h. ¿Qué significa?

4. La medida del lado de una habitación en un plano es de 3cm y su medida real 3m. Calculen la razón. ¿Qué nombre recibe dicha razón?

5. Para dibujar el croquis de una ciudad se utilizó una escala 1:500. ¿Qué significa

dicha expresión?

Aplicación: La densidad de población de un territorio es la razón entre la cantidad de habitantes y la superficie del territorio. Se la expresa habitualmente en habitantes por kilómetro cuadrado (hab/km2)

Por ejemplo. Argentina tiene una superficie de 2.780.400 km2, y en ella viven, según el censo nacional 2006, aproximadamente 39.921.000 habitantes. Su densidad de

población es, entonces: 22

15400.780.2

000.921.39

km

hab

km

hab , esto significa que, en promedio,

existen en el territorio argentino 15 habitantes por cada kilómetro cuadrado.

Ejemplos de superficie, población y densidad de distintos países del mundo.

País Superficie (km2) Población Densidad (hab/km2)

BAHREIM 707 698.000 987

BANGLADESH 147.570 147.36.500 998

ARGENTINA 2.780.400 39.921.000 15



52

MONGOLIA 1.566.000 2.832.000 2

CHINA 9.571.000 1.313.973.000 137

INDIA 3.165.000 1.095.352.000 346

Ubica en un mapa los países citados en el cuadro y analiza los diferentes datos comparándolos.

2-PROPORCIONES:

Las llamamos así cuando tenemos un par de razones que son iguales. Por ejemplo, tenemos: las razones 2 es a 3 y 6 es a 9.

Se escribirán: 2 y 6 3 9

Ejemplo: dura Si 1 ficha telefónica 15 segundos 2 fichas telefónicas 30 segundos Se lee “a es a b como c es a d” (con b y d distintos de cero)

Se puede escribir: 30

2

15

1 PROPORCIÓN

Simbólicamente d

c

b

a

Las proporciones se pueden clasificar en: ORDINARIAS: sus elementos no son iguales CONTINUAS: los medios son iguales

d

c

b

a

c

b

b

a

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES

En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios

Simbólicamente:

medios

extremos



53

cbdad

c

b

aSi ..

105

63 porque 3. 10 = 5 . 6

3621

127

porque 7 . 36 = 12 . 21

Esta propiedad se utiliza para: Probar si cuatro números forman una proporción. Calcular un medio o un extremo desconocido. RESUELVE 1-Verifiquen si las siguientes expresiones son proporciones Escriban = ó según corresponda:

159

106

54

45

2510

104

412

29

101

10010

17

71

3632

98

31

217

2-Algunos alumnos pidieron autorización al director del colegio para ir a pasar el día al Cerro Colorado. El director los autorizó con la condición de que fueran 3 profesores cada 40 alumnos. En total son 200 alumnos que van a ir. ¿Cuántos profesores los acompañarán? 3-Para el paseo, decidieron llevar 2 litros de jugo cada 8 chicos. ¿Cuántos litros de jugo llevarán? 4-Apliquen la propiedad fundamental de las proporciones y calculen el medio o el extremo desconocido.

131236

x

945

50 x

5,494 x

3271

34

x

215

4321

x

x

2,725,02,1

A ejercitar!!!!!!



54

3-ESCALA La escala de un mapa define la relación entre la distancia medida sobre el mapa y la distancia correspondiente en la realidad; en una relación de 1:100.000.000. (izquierda); las unidades de medida que aparecen en la escala representan 1.000 km en la realidad. (centro); una unidad en el mapa equivale a una distancia de 10.000.000 unidades en la realidad. (derecha); una unidad en el mapa equivale a una distancia de 1.000.000 unidades en la realidad.

En los mapas, la escala puede expresarse de tres modos distintos: en forma de proporción o fracción, como por ejemplo 1:50.000 ó 1/50.000, que significa que una unidad medida en el mapa equivale a 50.000 de esas unidades medidas sobre la superficie de la Tierra; con una escala gráfica, que suele ser un segmento recto en el que se marcan las distancias, expresadas la mayoría de las veces en kilómetros u otras unidades de longitud; o con una expresión en palabras y cifras, como por ejemplo: "1 centímetro representa 100 kilómetros", es decir, 1 cm en el mapa representa 100 km en la superficie terrestre. Cuanto mayor es la escala, más se aproxima al tamaño real de los elementos de la superficie terrestre. Los mapas a pequeña escala generalmente representan grandes porciones de la Tierra y, por tanto, son menos detallados que los mapas realizados con escalas más grandes.

A Resolver la guía y ejercitar!!!!!

4-MAGNITUDES PROPORCIONALES

Las magnitudes proporcionales pueden ser de dos clases:



55

a) Magnitudes Directamente Proporcionales:

Son dos magnitudes tales que, multiplicando una de ellas por un número, la otra también debe ser multiplicada por el mismo número; o dividiendo a una de ellas por un número, la otra también debe ser dividida por el mismo número.

Por ejemplo si tenemos: 7 4

Se quiere formar una proporción, entonces tendremos que multiplicar o dividir por el mismo número tanto a 7 como a 4:

7 ~> x4 ~> 28 4 ~> x4 ~> 16

Hemos formado:

7 = 28 4 16

Nótese que en este caso ambas cantidades aumentan proporcionalmente

Ejemplos de magnitudes directamente proporcionales:

El tiempo y las unidades de trabajo realizadas (a mayor tiempo, mayor trabajo realizado)

La cantidad y el precio (a mayor cantidad, mayor precio) El peso y el precio (a mayor peso, mayor precio)

El tiempo de trabajo y el sueldo de un trabajador (a mayor tiempo, mayor sueldo)

El espacio con la velocidad (recorremos mayor distancia si vamos a mayor velocidad)

El espacio con el tiempo (recorremos mayor distancia en mayor tiempo)

b) Magnitudes Inversamente Proporcionales:

Son dos magnitudes tales que, multiplicando una de ellas por un número, la otra queda dividida por el mismo número; o dividiendo a una de ellas por un número, la otra debe ser multiplicada por el mismo número.

Por ejemplo si tenemos: 4 7

Queremos formar una proporción (empleando el criterio de magnitudes inversamente proporcionales:

4 ~> ÷4 ~> 1 7 ~> x4 ~> 28

Nótese que mientras una cantidad aumenta la otra disminuye proporcionalmente



56

Ejemplos de magnitudes inversamente proporcionales:

El número de obreros y el tiempo para realizar una obra (mas obreros, menos tiempo)

Las horas de trabajo y los días que se trabaja (mas horas, menos días) La velocidad y el tiempo (a mayor velocidad, menor tiempo en recorrer una

distancia)

5-REGLA DE TRES SIMPLE

La regla de tres simple se apoya en los criterios de las magnitudes proporcionales, entonces tendremos dos clases:

Regla de Tres Simple Directa: Esta se utiliza para magnitudes directamente proporcionales.

Por ejemplo, si tenemos que 5 libros me cuestan 26 pesos, queremos saber cuanto costaran 15 libros

5 libros ~> $. 26 15 libros ~> x

Para hallar el valor de x, empezamos a multiplicar cruzado los datos que si tenemos: 5 libros ~> $ 26 15 libros ~> x 15 x 26 = 390

Y ahora dividimos la cantidad obtenida entre el número que aún no habíamos empleado: 5 libros ~> S/. 26 15 libros ~> x 390 ÷ 5 = 78

Finalmente decimos que 15 libros nos costaran 78 pesos.

Regla de Tres Simple Inversa: Esta se utiliza para magnitudes inversamente proporcionales.

Por ejemplo, si 4 obreros hacen una pequeña construcción en 12 días, ¿cuántos días demoraran 6 obreros?

4 obreros ~> 12 días 6 obreros ~> x

Para hallar el valor de x, empezamos a multiplicar directamente los datos que si tenemos: 4 obreros ~> 12 días 6 obreros ~> x 4 x 12 = 48

Y ahora dividimos la cantidad obtenida entre el número que aún no habíamos empleado: 4 obreros ~> 12 días 6 obreros ~> x 48 ÷ 6 = 8



57

Finalmente decimos que 6 obreros completaran su trabajo en 8 días. Responde:¿existe alguna limitación en la cantidad de obreros puedo aumentar indefinidamente ese valor?

A ejercitar!!!!!!


Cr.: Lucas Pablo Andrés Dall’Agata 58

UNIDAD IV 1- Expresiones algebraicas: Monomios, Polinomios, Operaciones con Polinomios. 2- Ecuaciones. 1 Expresiones algebraicas polinomios Definiciones:

Comenzaremos por conocer algunos nombres con los que se identifican algunas expresiones algebraicas.

• Se llama monomio a una expresión algebraica en la que no hay sumas ni restas.

Por ejemplo:

3xz2, 5y, - 1 w, ab, etc.

2 • Se llama binomio a la suma y/o resta de dos monomios.

Por ejemplo: -4m + 2n, 7x + 5xy, - 5x + 8, etc.

• Se llama trinomio a la suma y/o resta de tres monomios.

Por ejemplo: ¾ m + 1/2 n + 4.5n, 7.8x - 5x 3/7 x, 9y - 2xy - 17, etc.

Por ejemplo:

8a2

- 27b + 4c - 25, -2k + 0.5k2 - 5/k , etc. • A los monomios que conforman un binomio, trinomio o polinomio también se los llama términos. Un término o un monomio está compuesto por un numero que multiplica a una o varias variables; este número se llama coeficiente. Por ejemplo, en el término –5 mn

Se llama polinomio a un binomio, a un trinomio o a la suma y/o resta de más de tres

monomios.



el coeficiente es –5 y las letras m y n son variables. En general, cuando el coeficiente es 1, no se escribe: por ejemplo, en el monomio ab el coeficiente es 1.

Cuando dos monomios tienen la misma parte literal, es decir, las mismas letras

con los mismos exponentes, se dice que son términos semejantes. En los ejemplos anteriores tenemos los siguientes términos semejantes:

12

, 4,5 2 ;

5y, -5y y 9y;

2xy y 5xy

4 ;

Actividades

1) Diga si las siguientes expresiones son monomios, binomios, trinomios o polinomios. En el caso en que no sean monomios, indique cuáles son los términos que las componen. a) 67d + 12.4 ed c) 58.7 wqyhk e) 78s - 12r + 41u - 34v + 87 b) a - ab + abc - 4 d) t + e + f f) -5h + 5h 2) En los siguientes polinomios indique los términos semejantes:

a) 5 ab4 + a2 b - 3/4 a2 b c) -4r - 2s + 28r 2

b) m - 7nm + 2m + 2mn d) 6xy + 3x2 y - 7xy + 2x2 y2 Operaciones con polinomios

En esta sección veremos cómo se opera con polinomios. Empezaremos revisando la suma y resta de polinomios, continuará con la multiplicación de polinomios y finalizaremos con la división de un polinomio entre un monomio. Conviene tener presente en estas operaciones que los términos de un polinomio están compuestos de coeficientes numéricos y de letras que representan números, por lo que estaremos aplicando continuamente las propiedades de las operaciones entre números reales que revisamos en módulos anteriores.

La suma o resta de dos o más polinomios es la suma o resta de los monomios o términos que los conforman. Por ello, el problema de suma o resta de polinomios se reduce a conocer cómo se opera con monomios.

Sólo se pueden resolver las sumas o restas de monomios semejantes, para lo cual se utilizan las propiedades de la suma y resta entre números que usted ya ha visto desde los primeros módulos de estudio.

Cuando tenemos sumas de términos no semejantes, la dejamos indicada, ya que no se puede avanzar en su resolución. Veamos los siguientes ejemplos:



Si queremos sumar los monomios 3mn y 4mn, al escribir la suma ya tenemos un binomio:

Para resolver la suma indicada podemos pensar del siguiente modo, por un lado tenemos 3 veces el producto mn, y por otro lado lo tenemos 4 veces, si hacemos la suma podemos decir que tenemos 7 veces el producto mencionado. Entonces:

El procedimiento que hemos seguido en este ejemplo puede generalizarse a la suma y a la resta de dos términos semejantes cualesquiera:

• El resultado de la suma de términos semejantes es otro monomio semejante a los anteriores, cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes de los sumandos.

• El resultado de la resta de dos términos semejantes es otro monomio semejante a los anteriores, cuyo coeficiente es la diferencia entre los coeficientes del minuendo y el sustraendo.

• Como los coeficientes son números reales, al sumarlos o restarlos se tendrán en cuenta las propiedades de las operaciones de esos números.

Veamos otro ejemplo. Supongamos que tenemos una operación como la siguiente: el monomio 3x más el binomio 5y – 4x Primero escribimos el trinomio resultante: 3x + 5y – 4x

y luego reordenamos los sumandos para poder operar con los términos semejantes: 3x + 5y – 4x = 3x – 4x + 5y = (3 – 4) x + 5y = –1x + 5y Finalmente, como en general no se escribe el coeficiente 1, tenemos que 3x + 5y – 4x = –x + 5y



Cuando se resuelven sumas o restas entre términos de un polinomio, se dice que se reducen términos.

Si queremos sumar dos polinomios simplemente reordenamos y agrupamos los términos semejantes de cada uno de ellos para efectuar, como en los ejemplos anteriores, las operaciones que sean posibles. Si en el polinomio aparecen restas es útil escribirlas como sumas considerando los inversos aditivos, de esta forma será más fácil reagrupar los términos. A modo de ejemplo, vamos a efectuar la suma de los siguientes tres polinomios: 2x + 4y – 5; 3x – y + 16; 7y + 3

Podemos acomodar los polinomios en posición vertical de modo que los términos semejantes queden en la misma columna. Veamos:

2x + 4y + (-5) + 3x + (-y) + 16

w + 7y + 3

w + 5 x + 10y+ 14 Si quisiéramos restar dos polinomios actuamos de forma muy similar, más aún, puede convertir la resta entre los polinomios en una suma considerando el inverso aditivo de cada uno de los términos del sustraendo. Por ejemplo vamos realizar la siguiente resta:

Al polinomio 8a + 5b – 4ab, le vamos a restar el polinomio 3ab –2a + 8. Entonces tenemos que: (8a + 5b – 4ab) – (3ab –2a + 8) = (8a + 5b – 4ab) + [–3ab – (–2a) + (– 8)]

Como ahora se tiene una suma usted puede resolverla del mismo modo en que lo hicimos en el ejemplo anterior y seguramente llegará al resultado: 10a + 5b – 7ab – 8

Veamos a continuación cómo efectuar la multiplicación de polinomios. Aquí se pueden presentar tres situaciones que analizaremos por separado: el producto de dos monomios, el producto de un polinomio por un monomio y el producto de dos polinomios. Para multiplicar dos monomios no es necesario que éstos sean semejantes. Veamos el siguiente ejemplo

(4 x2 ) (2 xy)

Como cada monomio expresa una multiplicación, tenemos 4 por x2 que multiplica a 2 por x por y, y nosotros sabemos por las propiedades conmutativa y asociativa del producto que podemos cambiar el orden de los factores y agrupar- los como nos convenga, para poder multiplicar como ya sabemos hacerlo. La expresión anterior se nos convierte entonces en:



(4) (2) (x2 ) (x) (y) = 8x3 y

Habrá observado que al multiplicar (x 2) (x), usamos la regla de producto de dos potencias de igual base, es decir sumamos los exponentes.

La segunda situación que veremos es el producto de un polinomio por un monomio. En este caso aplicamos la propiedad distributiva y cada vez tenemos el producto de dos monomios. Por ejemplo: Finalmente, para multiplicar dos polinomios aplicamos también la propiedad distributiva, recordando que debemos multiplicar cada término de un polinomio por cada término del otro. Veamos un primer ejemplo: multipliquemos los polinomios (5w + 2) y (z + 3) Primero distribuiremos el binomio z + 3 multiplicándolo por el binomio 5w + 2, y después distribuiremos este último multiplicándolo por cada uno de los términos del primero: (5w + 2) (z + 3) = (5w + 2) (z) + (5w + 2) (3) = = (5w) (z) + (2) (z) + (5w) (3) + (2) (3) = = 5wz + 2z + 15w + 6

En general para multiplicar polinomios entre sí, se procede de la siguiente manera:

• El producto de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes de los factores, y la parte literal está formada por todas las letras que aparecen en los factores; cada letra tendrá como exponente la suma de los exponentes que tenía en cada factor.

• Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva de modo que cada término de un polinomio quede multiplicado por cada uno de los términos del otro. Si es posible se reducen términos.

• Si en los factores aparecen restas es útil escribir éstas como sumas usan- do el inverso aditivo.

• Se debe aplicar la regla de los signos que se ha visto para la multiplicación de números.

Por último para dividir un polinomio entre un monomio seguimos un proceso muy similar al que aplicamos en la multiplicación. Para poder aplicar más fácilmente la regla de la división de potencias de igual base, resulta útil que cada



término del dividendo tenga todas las letras del divisor. Cuando esto no ocurre podemos agregarlas con exponente cero, ya que como cualquier número elevado a la cero es uno, la expresión no cambia aunque la escribamos de distinta forma. Veamos el siguiente ejemplo:

(3b2 + b3 c) ÷ (2bc) = Como en el primer término no aparece la letra c que sí está en el divisor la agregamos con exponente 0, y nuestra expresión se convierte en:

(3b2 c0 + b3 c) ÷ (2bc)

Ahora aplicamos la propiedad distributiva y dividimos como ya sabemos hacerlo:

(3b2 c0 + b3 c) (2bc) = (3b2 c0 ) (2bc) + (b3 c) (2bc)

= 3/2 b1 c-1 + 1 b2 c0

32

12

Entonces, nuestra división queda así:

3 2 32

12

En general podemos decir que:

• El cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el cociente del coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor, y cuya parte literal está formada por todas las letras que aparecen en la operación, en la que cada letra tendrá como exponente la resta del exponente que tenía en el dividendo menos el que tenía en el divisor.

Para dividir un polinomio entre un monomio se aplica la propiedad distributiva de modo que cada término del polinomio quede dividido entre el divisor.

• Si en el polinomio aparecen restas es útil escribir éstas como sumas usan- do el inverso aditivo.

• Se debe aplicar la regla de los signos que se ha visto para la división de números.



Actividades 3) Resuelva las siguientes sumas y restas

a) ( x - 7z +4) + (5x + 4z - 1/4 ) f)

b) (2x - 3v + 5) - (4y + 6u - 5) g) 5a - 3b) + (-6a - 2b) - (3a + 4b) - (-a-b) c) (n + hg - 2nhg) + (nhg - n + 1) h) 8 x3 - 40x2 + 50x) + (-20x2 + 100x - 125) d) -6d + 4 - 2e) - (6d - 5f + 3) i) 2t4 - t2 + tt - 1) + t5 - t3 + 3 + 2t) e) 3a + 2b - 4) - (-3a + 4b) j) -7k + 2s - 3q) - (-2q - 3k) + (4k + q - 2s) 4) Resuelva las siguientes operaciones de polinomios

a) (2x2y) (3x3y2) g) 2x2 - 5xy + 6y2) (2x2 - 5xy + 6y2)

b) 8w2 - 5z + 4) (3w) h) (x4 - 5x3 - 10x2 + 15x) ÷ (-5x)

c) (x3 - 2x2 + 2) (x3 - 2x + 3) i) (12q2d - 6qd2 + 24qd) ÷ (3qd)

d) (3a + 2b2) (a - b) j) (4rt + 5e2 - 3e) (2e - 4 + rt)

e) (g + h) (g - h) k) (-8x - 3x2 - 2x3 - 4) (-5x3 - 2x2 - 3x - 5) f) (2w - 3v) (2w - 3v) Claves de corrección: 1) a) es un binomio; sus términos son 67d y 12.4ed

b) es un polinomio; sus términos son a, ab, abc, y 4;

c) es un monomio; d) es un trinomio; sus términos son t, e y f; e) es un polinomio; sus términos son 78s, 12r, 41u, 34v y 87; f) es un binomio; sus términos son -5h y 5h.

C.E.N.M.A. N* 195 MATEMÁTICA Ciclo Orientado 2º Año - U. II

65

2) 3)

4)

C.E.N.M.A. N* 195 MATEMÁTICA Ciclo Orientado 2º Año - U. II

66

2 -ECUACIONES: Para Leer

Hasta el siglo XVII, las ecuaciones estuvieron limitadas pues los matemáticos no fueron capaces de aceptar que los números negativos y complejos podían ser raíces de ecuaciones polinómicas. Sólo los antiguos matemáticos indios, como Brahmagupta, conocían las raíces negativas, pero fuera de China e India no se trabajaba con coeficientes negativos en los polinomios. En vez de un solo tipo de ecuación de segundo grado, el mencionado más arriba, había seis tipos distintos, según cuáles fueran los coeficientes negativos. Un método de resolución de ecuaciones que puede encontrarse en antiguos libros egipcios y chinos, es el de la falsa posición. Los egipcios utilizaban el método de la falsa posición para encontrar una raíz en ecuaciones de segundo grado sencillas. Para ecuaciones cuadráticas con un término en x, como x2 - 5x = 6, las primeras soluciones no se encuentran hasta en los libros de matemáticas babilonios del 2000 a.C. Aunque los babilonios no conocían las raíces negativas ni las complejas, su método de búsqueda de las raíces positivas reales es el mismo que se utiliza en la actualidad. Otro importante descubrimiento del mundo antiguo, que se puede encontrar en los escritos del matemático y científico griego Herón de Alejandría en el siglo I, es un método de aproximación de la raíz positiva de ecuaciones como x2 = 2.. Un método iterativo muy útil, que se encuentra en los trabajos de los matemáticos chinos Liu Hui (en el siglo III) y Chu Shih-Chieh (en el siglo XIII), fue redescubierto en Europa hacia 1800 por el matemático inglés W. G. Horner. También había sido usado por el matemático árabe Yamschid al-Kaschi. Entre otros matemáticos árabes que hicieron importantes contribuciones a la teoría de ecuaciones se incluyen al-Jwarizmi y Omar Jayyam, que desarrollaron la primera teoría de las ecuaciones cúbicas. Sin embargo, esta teoría estaba definida en términos geométricos y era, por tanto, incompleta. En 1545 el matemático italiano Gerolamo Cardano publicó una solución algebraica para las ecuaciones de tercer grado en función de sus coeficientes y Niccolò Tartaglia la desarrolló. Poco después, Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, encontró una solución algebraica para las ecuaciones de cuarto grado. En 1629 el matemático francés Albert Girard aceptó raíces de ecuaciones tanto negativas como complejas y fue, por tanto, capaz de finalizar el aún incompleto estudio que François Viète había realizado sobre la relación entre las raíces de una ecuación algebraica y sus coeficientes. Viète había descubierto que si a y b son las raíces de x2 - px + q = 0, entonces p = (a + b) y q = a·b. En 1635 el matemático y filósofo francés René Descartes publicó un libro sobre la teoría de ecuaciones, incluyendo su regla de los signos para saber el número de raíces positivas y negativas de una ecuación. Unas cuantas décadas más tarde, el físico y matemático inglés Isaac Newton descubrió un método iterativo para encontrar las raíces de ecuaciones. Hoy se denomina método Newton-Raphson, y el método iterativo de Herón mencionado más arriba es un caso particular de éste. A finales del siglo XVIII, el matemático alemán Carl Friedrich Gauss demostró que cualquier ecuación polinómica tiene al menos una raíz. Sin embargo, quedaba aún por saber si era posible expresar esta raíz con una fórmula algebraica utilizando los coeficientes de la ecuación, como se había encontrado para las de segundo, tercer y cuarto grado. El astrónomo y matemático francés Joseph Lagrange dio un paso importante para resolver esta cuestión con su método de permutación de las raíces de una ecuación para el estudio de sus soluciones. Este fructífero concepto, junto con los trabajos del matemático italiano Paolo Ruffini, del noruego Niels Abel y del francés Évariste Galois, condujo a una teoría completa de los polinomios. Entre otras cosas, esta teoría demuestra que un polinomio sólo se puede resolver utilizando una fórmula

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MATEMÁTIC

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Año - U. II

67

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MATEMÁTIC

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Año - U. II

68

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MATEMÁTIC

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CA Ciclo Or

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Año - U. II

69

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MATEMÁTIC

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Año - U. II

70

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MATEMÁTIC

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CA Ciclo Or

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rientado 2º Año - U. II

71


Cr.: Dall’Agata Lucas Pablo Andrés 72

UNIDAD V

UNIDAD V: funciones. 1- Funciones. Variables, función lineal. 2- Representación en ejes cartesianos. 3- Ejercitación.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), también conocido como barón Gottfried Wilhelm von Leibniz. Filósofo, matemático y estadista alemán, considerado como uno de los mayores intelectuales del siglo XVII. Nacido en Leipzig, se educó en las universidades de esta ciudad, de Jena y de Altdorf. Desde 1666 (año en que fue premiado con un doctorado en leyes) trabajó para Johann Philipp von Schönborn, arzobispo elector de Maguncia, en diversas tareas legales, políticas y diplomáticas. En 1673, cuando cayó el régimen del elector, Leibniz marchó a París. Permaneció allí durante tres años y también visitó Amsterdam y Londres, donde dedicó su tiempo al estudio de las matemáticas, la ciencia y la filosofía. En 1676 fue designado bibliotecario y consejero privado en la corte de Hannover. Durante los 40 años siguientes, hasta su muerte, sirvió a Ernesto Augusto, duque de Brunswick-Lüneburg, más tarde elector de Hannover, y a Jorge Luis, elector de Hannover, después Jorge I, rey de Gran Bretaña.

Leibniz fue considerado un genio universal por sus contemporáneos. Su obra aborda no sólo problemas matemáticos y filosofía, sino también teología, derecho, diplomacia, política, historia, filología y física.

La contribución de Leibniz a las matemáticas consistió en enumerar en 1675 los principios fundamentales del cálculo infinitesimal. Esta explicación se produjo con independencia de los descubrimientos del científico inglés Isaac Newton, cuyo sistema de cálculo fue inventado en 1666. El sistema de Leibniz fue publicado en 1684, el de Newton en 1687, y el método de notación ideado por Leibniz fue adoptado universalmente. En 1672 también inventó una máquina de calcular capaz de multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas. Es considerado un pionero en el desarrollo de la lógica matemática.

En la exposición filosófica de Leibniz, el Universo se compone de innumerables centros conscientes de fuerza espiritual o energía, conocidos como mónadas. Cada mónada representa un microcosmos individual, que refleja el Universo en diversos grados de perfección y evolucionan con independencia del resto de las mónadas. El Universo constituido por estas mónadas es el resultado armonioso de un plan divino. Los humanos, sin embargo, con su visión limitada, no pueden aceptar la existencia de las enfermedades y la muerte como partes integrantes de la armonía universal. Este Universo de Leibniz, “el mejor de los mundos posibles”, es satirizado como una utopía por el autor francés Voltaire en su novela Cándido (1759).

Entre las obras filosóficas fundamentales de Leibniz se incluyen Ensayos de Teodicea sobre la bondad de Dios, la libertad del hombre y el origen del mal (2 vols., 1710),



Monadología (1714; publicado en latín como Principia Philosophiae, 1721), y Nuevo tratado sobre el entendimiento humano (1703; pub. 1765). Los dos últimos influyeron mucho en los filósofos alemanes del siglo XVIII, incluyendo a Christian von Wolff e Immanuel Kant.

FUNCIONES

LA FUNCIÓN LINEAL

Todos los meses debemos abonar la factura de luz. Te mostramos las tres últimas facturas que hemos tenido que pagar:

Analizando las tres facturas vemos que existe un importe que se repite: el básico. Éste es el que tenemos que pagar sin importar si consumimos o no energía. Sería el mantenimiento de la línea. También podemos observar que hay un valor que cambia con la cantidad de Kw. consumidos, el subtotal de consumo de energía. Finalmente el total depende como la suma del básico más el consumo de energía depende de estos dos valores. Antes de continuar con la lectura de esta página intenta hallar una fórmula que te permita calcular el total de la factura de un período cualquiera, teniendo en cuenta que puede variar la cantidad de Kw. consumidos. La fórmula: No es muy complicado entender que el total se calcula haciendo la siguiente cuenta:

Precio de un Kw. x Cantidad de Kw. + Básico = total de la factura

sabemos que: Precio de un Kw. es $0,23. Básico es $12.

Período:

Precio por Kw Kw consumidos Subtotal12 0.23 120 27.6 39.6

Período:


Período:


Noviembre

BásicoConsumo en Kw

Total

Octubre

BásicoConsumo en Kw

Total

Consumo en KwTotalBásico

Septiembre



Cantidad de Kw. consumidos es una variable, porque puede cambiar según el período facturado. Entonces podemos ponerle una letra a fin de identificar esta variable. Nosotros elegimos la letra x, entonces tenemos que:

X = cantidad de Kw. consumidos en un período

El total depende de la cantidad de Kw. consumidos, porque el básico permanece constante en todos los períodos. Entonces el total es la variable dependiente, mientras que los Kw. consumidos en el período es la variable independiente. Escribiremos el total de la factura como f(x). Recuerda que poner la variable independiente entre paréntesis indica que f depende de x, también la representamos con la letra Y.

Con estas consideraciones podemos expresar la fórmula de la siguiente manera:

y =$0,23x +$12

La formula anterior nos indica que hay una relación entre el total a pagar y las constantes y la variable x. Además si pensamos un poco veremos que la relación es una función, porque a una cantidad de Kw. consumidos le corresponde un y sólo un total, no puede haber dos precios a pagar distintos si la cantidad consumida es la misma. Entonces la fórmula anterior nos dice que estamos en presencia de una función. Como recordarás de introducción a las funciones, éstas pueden graficarse. Intenta realizar la gráfica de la función que estamos analizando antes de continuar.

X 1223.0 xy

0 12.5 20 16.6 40 21.2 50 23.5 100 35.0 150 46.5

1223.0 xy

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 50 100 150 200

Consumo en Kw/h

Pes

os



Además no tomamos los valores negativos de x porque no puede haber una cantidad negativa de Kw. consumidos, como mínimo el consumo es 0 y como esta función solamente tiene valores negativos cuando x < 0, entonces tampoco se consideran los valores negativos del eje vertical.

Observando la gráfica vemos que la primera coordenada vertical que aparece es el número 12. Esto coincide con el valor x =0, es decir que si no consumimos energía deberemos pagar $12 por el mantenimiento de la línea eléctrica que nos corresponde. Matemáticamente decimos que el origen de coordenadas se ha desplazado hacia el punto (0,12), en lugar de estar en el (0,0), por ello a este valor se lo llama ORDENADA AL ORIGEN. Entonces la ordenada al origen es el valor de la función f(x) en x = 0. Otra observación de la gráfica nos conduce a afirmar que es una recta que forma un ángulo con el eje horizontal. En efecto si tomamos al eje horizontal como uno de los lados del ángulo, a la recta como el segundo lado y al punto ordenada al origen como el vértice, tenemos el ángulo que forma la recta con el eje horizontal. Suponiendo que cambia el del Kw, no así el abono 1) f(x) = 0.35x+12 2) f(x) = 0.115x+12

Ya habrás notado que las tres gráficas tienen tres ángulos distintos y lo único que ha cambiado en las fórmulas (además de las letras de las variables dependiente) es el número que multiplica a la x.

1223.0 xy

12115.0 xy

1235.0 xy

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

0 50 100 150 200

Consumo en Kw/h

Pes

os



Esto nos permite conjeturar que el número que acompaña a la x, es justamente el indicador del ángulo que forma la recta con el eje horizontal. Y en efecto, éste número llamado PENDIENTE DE LA RECTA, es quien nos marca que ángulo forma la recta con el eje horizontal. Para entender porque es este número el indicador del ángulo, debes saber trigonometría de triángulos rectángulos. En ese tema se estudia entre otras funciones, la función tangente y es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje horizontal el número al que hemos llamado PENDIENTE DE LA RECTA. A partir de la observación de las tres gráficas de la segunda imagen, podemos conjeturar que todas las funciones que tengan la forma y = a x + b, son funciones cuya gráfica es una recta. Entonces generalizamos las observaciones anteriores diciendo que: LA FUNCIÓN LINEAL ES LA FUNCIÓN QUE TIENE COMO GRÁFICA UNA RECTA Y SU FORMA GENERAL ES y = a x + b . Donde: a es la pendiente (tangente del ángulo que forma la recta con el eje horizontal o eje de abscisas) b es la ordenada al origen, es decir el punto la coordenada vertical en el punto (0,b) o (0, f(0)).

Resuelve la guía !!!!!!!!!!!!!

REPRESENTACION DE UNA FUNCIÓN

La representación gráfica de una función permite visualizar de un modo claro y preciso su comportamiento.

El conjunto de los pares de números (x, y) determinados por la función recibe el nombre de grafo de la función.

Para obtener los pares basta con dar valores a la variable independiente x, y obtener los correspondientes de la variable dependiente y, formando así una tabla de valores de la función como lo indicamos anteriormente.

Una vez obtenidos los pares de números, se representan en un sistema de ejes cartesianos, que consiste en dos ejes perpendiculares que se cortan en un punto, llamado origen de coordenadas, y representado por O; el eje horizontal recibe el nombre de eje de abscisas, y en él se representan los valores de la variable independiente; el eje vertical recibe el nombre de eje de ordenadas, y en él se representan los valores de la variable dependiente. Cada par de números corresponde a un punto del plano.

Uniendo todos los puntos, se obtiene la gráfica de la función.



A continuación se encuentran representadas diferentes funciones, todas tienen el mismo valor absoluto de misma ordenada al origen y la misma pendiente, sólo cambian los signos.

Analiza con tus compañeros las distintas situaciones.

1; -1

2; -4

3; -7

-1; 5

-2; 8

-3; 11

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

X

Y

1; 1

2; 4

3; 7

-1; -5

-2; -8

-3; -11-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

X

Y

X 23 xy

1 -1 2 -4 3 -7 -1 5 -2 8 -3 11

X 23 xy

1 5 2 8 3 11 -1 -1 -2 -4 -3 -7

X 23 xy

1 1 2 4 3 7 -1 -5 -2 -8 -3 -11



Ejercicios

1) Representar en un mismo sistema de coordenadas cartesianas las siguientes rectas:

y = x y = x + 1 y = x + 3 y = x - 1

¿Cómo resultan las rectas obtenidas?.

2) Representar en un mismo sistema de ejes:

y = -3.x

1; 5

2; 8

3; 11

-1; -1

-2; -4

-3; -7-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

X

Y

1; -5

2; -8

3; -11

-1; 1

-2; 4

-3; 7

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

X

Y

X 23 xy

1 -5 2 -8 3 -11 -1 1 -2 4 -3 7



y = 2.x + 2 y = 3.x - 4 y = 4/5 - x/2

Indicar en cada caso la pendiente y la ordenada al origen.

Documents

Material de Apoyo Curricular MATEMÁTICA II CENMA Nº 195 2013