Materijali Za Gospodarsku Matematiku(1)

8/16/2019 Materijali Za Gospodarsku Matematiku(1)

1/20


2/20

Q={m/n : m∈Z, n∈ N} Skup svihracionalnih brojeva

Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} Skup svihcijelih brojeva

N0={0,1,2,3,…} Skup svih prirodnih brojeva proširen nulom

N={1,2,3,…} Skup svih prirodnih brojeva

Za određene skupove brojeva koriste sestandardne oznake: I Skup svihiracionalnih brojeva

R Skup svihrealnih brojevaR + Skup svih pozitivnih realnih brojevaC Skup svihkompleksnih brojeva

Broj elemenata skupa zove sekardinalni brojskupa.

Skup koji ne sadrži niti jedan element zovese prazan skupi označuje se sa∅.

Skupove zorno prikazujemo pomoćuVennovih dijagrama.

Ako je X⊆Y i postoji element u skupu Y

koji nije u skupu X, kažemo da je X pravi podskupskupa Y. Budemo li željeli toistaknuti, pisatćemo X⊂Y.

Definicija 1.11. Neka su X i Y dva skupa. Kažemo da jeskup X podskupskupa Y (odnosno Ynadskupskupa X) i pišemo X⊆Y (odnosnoY⊇X) ako je svaki element skupa X ujednoi element skupa Y.

(X⊆Y ) (∀x)(x∈X⇒x∈Y).

Smatra se da su, u okviru nekog područ ja, sviskupovi podskupovi nekog obuhvatnijeg skupa kojise zoveuniverzalni skupili univerzumi označujeslovom U.Definicija 1.12 Skupovi X i Y su jednaki (X=Y) akoi samo ako je X podskup od Y i Y podskup od X.

(X=Y) (X⊆Y∧Y⊆X).Drugim riječima, dva su skupa jednaka ako i samoako imaju iste elemente.

Simboli⊆i⊂ nazivaju se simbolima inkluzije.

Negacije simbola⊂i = su simboli⊄i ≠ ,respektivno. Svaki skup S jednoznačno određuje partitivni skupP (S)={X: X⊆S}


3/20

Operacije sa skupovima

Unijaskupova X i Y je skup X∪Y koji sesastoji od svih elemenata koji pripadaju bar jednom od skupova X ili Y.

X∪Y={x: x∈X∨x∈Y}

Presjekskupova X i Y je skup X∩Y kojise sastoji od svih elemenata koji pripadajui skupu X i skupu Y.

X ∩Y={x: x∈X∧x∈Y}

Razlikaskupova X i Y je skup X\Y kojise sastoji od svih onih elemenata skupa Xkoji nisu ujedno elementi skupa Y.

X\Y={x: x∈X∧x∉Y}.Ako je X podskup univerzalnog skupaU, razlika U\X zove sekomplementskupa X u odnosu na skup U. Označujese s Xc.

Xc={x∈U: x∉X}.Za skupove kojima je presjek prazanskup kažemo da sudisjunktni.

X∪X=X, X∩X=X (idempotentnost)X∪Y=Y∪X, X∩Y=Y∩X (komutativnost)(X∪Y)∪Z=X∪ (Y∪Z),(X∩Y)∩Z=X∩(Y∩Z) (asocijativnost)

X∪ (Y∩Z)=(X∪Y) ∩(X∪Z),X∩ (Y∪Z)=(X∩Y)∪(X∩Z) (distributivnost)X∪U=U, X∩ ∅=∅

Za proizvoljne skupove X,Y,Z vrijedeslijedeća svojstva:

(X∪Y)c=Xc∩ Yc,(X∩Y)c=Xc∪Yc (De Morganovi zakoni)

(Xc)c=X (involutivnost)

Kartezijev umnožak skupova

Definicija 2.1.Uređeni par elemenata x i y je par(x,y)u kojem je točno određeno koji je prvi a koji drugi element para.Element x nazivamo prvimčlanom ili prvom koordinatom (komponentom), aelement y drugimčlanom ilidrugomkoordinatom uređenog para (x,y).

Uređeni parovi (x,y) i (y,x) općenito surazličiti.


4/20

Dva su uređena para jednaka samo akosu im istoimene komponente jednake:

(x,y)=(x’,y’) (x=x’ ∧y=y’)

Analogno se definira i uređena trojka,četvorka i općenito n-torka elemenata

DefinicijaKartezijevili direktni umnožak nepraznih skupova X i Y, u oznaciX×Y, je skup svih uređenih parova,takvih da je prvičlan uređenog para iz

skupa X, a drugi iz skupa Y.X × Y={(x,y):x∈X∧y∈Y}

Kada je X=Y dobiva seKartezijev kvadrati označuje sa X².

X²={(x,y): x,y∈X}

Kartezijev umnožak triju nepraznih skupovaX, Y, Z skup uređenih trojki:X×Y×Z={(x,y,z): x∈X , y∈Y, z∈Z}, aza X=Y=Z dobiva seKartezijev kub

X×X×X=X³={(x,y,z): x,y,z∈X}

Kartezijev koordinatni sustav uravnini i prostoru

Oznaci li se sR skup svih realnih brojeva, ondaR ²=R × R označujeskup svih uređenih parova realnih brojeva.

R ²=R × R ={(x,y): x,y∈R }.

Geometrijski,R ² je, u stvari, ravninas uvedenim koordinatnim sustavom – brojevna ravnina.

Analogno,R ³= R × R × R jetrodimenzionalni prostor s uvedenimkoordinatnim sustavom – brojevni prostor .


5/20

Ako su osi u koordinatnom sustavuokomite tada je toKartezijev (Descartesov) pravokutni koordinatni sustav. Dakle,Kartezijev pravokutni koordinatni sustav0XY (ili x0y) u ravnini je određen s dvijemeđusobno okomito orijentirane osi x i ykoje se sijeku u točki 0 (ishodište).Analogno, u prostoru je određen sa tri osi,x, y, z koje se nazivaju apscisa, ordinata iaplikata.

Pomoću Kartezijeva koordinatnogsustava svakoj točki ravnine /prostora jednoznačno je pridružen uređeni par/trojka realnih brojeva (x,y)/(x,y,z).To su koordinatne točke:apcisaiordinata /aplikata.

Funkcije

x1 y1

X Y

Sa x označujemo proizvoljni element skupa X.

Definicija Neka su X i Y neprazni skupovi.Funkcijaili preslikavanje ƒ sa skupa X u skup Y je pravilo po kojem se svakom elementu x∈X pridružuje jedan i samo jedan element y∈Y.

Funkcije označujemo sƒ, g ,h, F ,G,… iƒ :X→Y ili X→Y

Sa x označujemo proizvoljni element skupa X. Nazivamo ganezavisna promjenjivailiargument.Element y=ƒ(x) jezavisna promjenjivailifunkcija.

Kaže se i da jeƒ(x) slikaod x, odnosno da je xoriginal (praslika)od ƒ(x).

Skup X je područ je definicijeili domenafunkcijeƒ. Označuje se još s Dƒ i s D.

Skup Y je područ je vrijednostiili kodomenafunkcijeƒ. Često se označuje sa K.


6/20

Znači funkcija je određenadomenomX,kodomenomY i pravilom pridruživanja ƒ po kojem se svakom elementu x∈X pridružuje neki element y∈Y, odnosnouređenom trojkom (X,Y,ƒ). Često umjestooznake (X,Y,ƒ) pišemo samoƒ.

Graf funkcije (X,Y,ƒ) je skup uređenih parova:

Γƒ={(x,y): x∈X, y =ƒ(x)∈Y}

Realna funkcija realne varijable

je funkcija kojoj su domena i kodomena podskupovi skupa realnih brojeva.Graf takve funkcije je skupΓƒ⊂R 2 i može se prikazati krivuljom u Kartezijevomkoordinatnom sustavu.

Najčešće se funkcije zadajuanalitički,tablično ili grafički.

Analitičko zadavanje

Pri ovakvom načinu zadavanjačesto domenanije eksplicitno navedena nego se premadogovoru uvodi pojam ‘ prirodna domena’funkcije i pod tim pojmom se podrazumijevaskup svih onih realnih brojeva za koje je f(x)realan broj, odnosno za koje analitički izrazima smisla.

Kod ispitivanja prirodne domene nekefunkcije, najčešća su 3 ograničenja kojadovode do sužavanja domene:

1 . (pri čemu je n paran broj)

ograničenje je da

2. ograničenje je da3. ograničenje je da

n x g x f )()( =

0)( ≥ x g

)()(

)( xh x g

x f = 0)( ≠ xh)(log)( x g x f a= 0)( > x g

Razlikujemo tri vrste analitičkog prikazafunkcije:eksplicitni y=f(x)implicitni F(x,y)=0i parametarski x=ϕ(t) y=ψ(t)Tablično zadavanjeJavlja se najčešće u eksperimentalnom istatističkom proučavanju funkcijskihzavisnosti.

3. Grafičko zadavanjeUobičajeno je u tehničkoj praksi.

Svojstva funkcije vezana uz njezin graf

-Rast i pad funkcije-Konkavnost i konveksnost-Omeđenost

-Parnost i neparnost-Periodičnost

-Nultočka funkcije


7/20

Jednakost funkcija

Funkcijeƒ : X1→Y1 g: X2→Y2 su jednake (ƒ =g) ako i samo ako je:

X1=X2 (jednake domene)Y1=Y2 (jednake kodomene)ƒ(x)=g(x) (∀x∈X1=X2)

Ako bar jedan od navedenih uvjeta nijeispunjen, funkcije nisu jednake (ƒ ≠g)

Složena funkcija(Kompozicija funkcija)

X1 Y1

X Y

Z1

Z

f(x) g(x)

h(x)

DefinicijaNeka su zadane funkcijeƒ : X→Y i g:Y→Z.Složena funkcijadobivena kompozicijom funkcijaƒi g (tim redom) je funkcija h:X→Z,takva da je h(x) = g(ƒ(x)).

Označujemo je s g°ƒ i zovemokompozicijomfunkcija ƒ i g.Funkcijaƒ : X→Y je bijekcijaili obostrano

jednoznačno preslikavanjeako je ona surjekcija iinjekcija.(Svaki element iz kodomene je slika točno jednogelementa iz domene.)

x1

X Y

y1= f(x1)

f -1(y)=g(y)

f(x)

Inverzna funkcija

Definicija Neka jeƒ : X→Y bijekcija.Inverzna funkcijafunkcijeƒ je funkcija g: Y→X za koju vrijedi

(∀x∈X) g(ƒ(x))=x.

Računanje inverzne funkcije:1. U zadanoj jednadžbi umjesto x pišemo y i

umjesto y(odnosno f(x)) pišemo x, te jeriješimo po nepoznanici y.

2. Ako postoji jedinstveno riješenje te jednadžbe, funkcija ima inverznu funkciju.

3. Zamijenimo ime varijable y saƒ ¯¹(x).

Obično se označuje sƒ-1. Dakle g=ƒ-1.Za funkcijuƒ-1 vrijedi: ƒ-1(y)=x ƒ(x)=y.

Grafovi funkcijaƒ i ƒ-1 simetrični su uodnosu na pravac y=x.

Elementarne funkcije


8/20

Elementarna funkcija je svaka funkcija koja se odosnovnih elementarnih funkcija može dobiti pomoćukonačnog broja osnovnih računskih operacija(zbrajanja, oduzimanja, množenja, dijeljenja,potenciranja i korjenovanja) i konačnog brojanjihovih kompozicija.

Osnovne elementarne funkcije:1. Algebarske

PolinomiRacionalne funkcijeIracionalne funkcije

2. TranscendentneEksponencijalna funkcijaLogaritamska funkcijaOpća potencijaTrigonometrijske funkcijeCiklometrijske funkcijeHiperbolne funkcijeArea funkcije

Realan ili kompleksan broj c jenultočka funkcije y=f(x)ako je y= f(c)=0

Polinomi

Opći oblik polinoma:

Pn (x) = an xn + an-1xn-1 + ... + a2 x2 + a1 x + a0

- a0, a1, ... , an-1, an ∈R koeficijenti polinoma- n jestupanj polinoma

- f (x) = a2 x2 + a1 x + a0 - polinom 2. stupnja

-f (x) = a0 - konstantna funkcija-f (x) = a1 x + a0 - polinom 1. stupnja - afina funkcija

Racionalne funkcije

su funkcije koje se mogu prikazati kao kvocijent dvaju polinoma:

)()()(

x P x P

x Rn

m=

Domena je skup svih realnih brojeva različitih odnultočaka polinoma Pn(x).Ako je m0 i a≠1

Broj a se naziva baza, a x jeeksponentfunkcije.Domena je skup R.Eksponencijalna funkcija je bijekcija.Pošto je f(0) = a0 = 1 graf svake eksponencijalne funkcije prolazi točkom (0,1)Za a>1 funkcija je monotono rastuća, a za 0< a


9/20

Logaritamska funkcija

baze a je funkcija: f(x) = logax za a>0 i a≠1Ona je inverzna eksponencijalnoj funkciji iste baze: g(x) =ax. (Grafovi su im simetrični s obzirom na pravac y=x)Zbog toga je njihova kompozicija identitet odnosno vrijedi:

(∀x∈R) loga(ax) =

(∀x∈R +

) = xa

alog

Za a>1 funkcija je monotono rastuća, a za 0< a


10/20

Kamatni ra č un

Kamate su naknada koju pla ća dužnik za posu đenuglavnicu (iznos novca ili kakvog drugog dobra) naodređeno vrijeme.Vrijeme na koje se odnose ukupne kamate senaziva se vrijeme trajanja kapitalizacije (odposudbe do vra ćanja).Kamate se uvijek obračunavaju u jednakimunaprijed određenim vremenskim razmacima koji senazivaju razdoblje kapitalizacije ili razdobljeukama ć ivanja (najčeš će 1 godina).

Obračun kamata može se vršiti krajemrazdoblja na glavnicu sa početka razdoblja(dekurzivni ) ili početkom razdoblja naglavnicu sa kraja razdoblja (anticipativni ).Iznos kamata na svakih 100 novčanih jedinica glavnice za jedno razdobljekapitalizacije naziva se kamatna stopa ilikamatnjak .Obilježava se sa:p ako je dekurzivni obračun kamataq ako je anticipativni obračun kamata.Kamatnjak za neki vremenski intervalpropisuje se zakonom ili ugovorom izmeđudužnika i vjerovnika.

Ako se kamate za svako razdobljeukamać ivanja obračunavaju na istu glavnicutada se radi o jednostavnom kamatnomra č unu .Ukoliko se kamate u svakom slijedećemrazdoblju ukamaćivanja obračunavaju nanovu (ukamaćenu) glavnicu tada se radi osloženom kamatnom ra č unu .

Jednostavni kamatni ra č un

Dekurzivni obra č unKamate se ra čunaju na glavnicu sa početkarazdobljaC glavnica sa početka razdobljap kamatnjak (dekurzivni)n broj godina (m broj mjeseci, d broj dana)Cn konačna vrijednost glavnice (glavnica nakraju razdoblja) Cn = C + KK kamate

C: 100 = K : pn za godine

(C ± K) : (100± pn) = C : 100(C ± K) : (100± pn) = K : (pn)C : 1200 = K : pm za mjesece

(C ± K):(1200± pm) = C:1200(C ± K):(1200± pm) = K : (pm)

C : 36000 = K : pd za dane(C ± K):(36000± pd) = C: 36000(C ± K):(36000± pd) = K : (pd)

Za izračunavanje jednostavnih kamata za danekoriste se 3 metode: njema čka, francuska iengleska. U našoj privrednoj praksi najčeš ća jefrancuska kod koje je 1godina=360 dana, a dani u

mjesecu ra čunaju se prema kalendaru.

Anticipativni obrač

unKamate se ra čunaju na početku razdoblja na glavnicu sa

kraja razdoblja.q kamatnjakiz osnovnog razmjera Cn : 100 = K : qn

prema pravilima o razmjeru slijedi:Cn : 100 = (Cn-K) : (100-qn)a iz Cn = C + K slijedi da je Cn-K =C pa dobivamo:

Cn : 100 = C : (100-qn)


11/20

Složeni kamatni ra č unKod složenog kamatnog računa se kamate na kraju obra čunskograzdoblja pribrajaju glavnici pa se u slijedećem obračunskomrazdoblju kamate više ne računaju na istu glavnicu kao kod jednostavnog računa već na novu tj. onu uvećanu za prethodnekamate. Ako je dekurzivni obračun i kamatnjak p slijedi:

212K

101K

0 K CCK CCC 21 += → += → ++

100 pCK 01 ⋅=

+=⋅+=+=⇒

100 p1C

100 pCCK CC 000101

Uvodimo “kamatni faktor”

C1= C0 · r

.

.

.C n = C 0 · r n

100 p1r +=

212 K C +=C

r C12 ⋅=C 100 pCC 11 ⋅+=

+=

100 p1C1

200 r Cr r)C( ⋅=⋅⋅= 20 r C ⋅=

Cn = C0 · ρ nCn = C0 · r nGlavnica na kraju

razdoblja Cn

Kamatni faktor

anticipativni obračundekurzivni obračun

100 p1r += q-100

100ρ =

Za oba obračuna važi:

Cn = C 0 + K

gdje su K ukupne kamate

Nominalni, relativni ikonformni kamatnjak

Nominalni, relativni i konformni(ekvivalentni) kamatnjak Zadani kamatnjak se uvijek odnosi na određeno jedinično vremensko razdoblje (najčeš će 1 godina) izove se nominalni kamatnjak.

Ako se učestalost kapitalizacije ne podudara savremenskim razdobljem kamatnjaka (npr. kamatnjakgodišnji a kapitalizacija kvartalna) moramo ih svestina ista jedinična vremenska razdoblja. To se radi takoda se kamatnjak svede na jedini čno vremenskorazdoblje ukamaćivanja ili obratno.

Ako se iz nominalnog kamatnjaka izračunava novi

kamatnjak svođenjem na jedinično razdobljeukamać ivanja onda tako dobiveni kamatnjak zovemorelativni kamatnjak.

p nominalni kamatnjak (npr. 1 godina)m broj krać ih razdoblja u dužem razdoblju

a) relativni kamatnjak za razdoblje kraće od nominalnog

b) Relativni kamatnjak za razdoblje duže od nominalnogm p prel =

m p prel

⋅=


12/20

Promotrimo to na primjeru:Svota C0 uložena na 3 godine kapitalizira se (ukama ćuje)

jednom godišnje sa nominalnom godišnjom kamatomstopom p i pripadnim kamatnim faktorom. Pitamo se kolikiće biti konformni (ekvivalentni) kamatnjak p’, npr. kvartalnii njegov pripadajuć i kamatni faktor. Dakle, on mora bititakav da svota C 0 naraste na istu vrijednost bez obzira dali je ukamaćujemo tri puta sa p (odnosno r) ili 3 · 4 = 12puta sa p’ (odnosno r’) jer u jednoj godini ima 4 kvartala(m = 4).

12

r'r 12 3 =4r' r =

//C0· r 3 = C0 · (r ’)12

ili općenito:a) konformni kamatnjak za razdoblje kraće odnominalnog

m r r'=

mr r'=b) konformni kamatnjak za razdoblje duže od nominalnog

Kod anticipativnog obračuna kamata sve je isto, samoumjesto p imamo q , odnosno umjesto r imamo ρ .

Ponavljanje:Geometrijski red

Primjer:2 + 6 + 18 + 54 + …

a1= 2, q = 3; a2 = a1·q = 6 a3= a2·q = 18 …a3= a2·q =a1·q·q = a1·q2 … an = a1 ·qn-1

kvocijent

Suma prvih n članova:

3aa

aa

aaq

1-n

n

2

3

1

2 ==⋅⋅⋅===

1-q1qaS n1n −⋅=

Periodi č ne uplate ili isplateU složenom kamatnom računu radi se o jednokratnomulogu na štednju ili o jednokratnom zaduženju zaodređeno vrijeme i na zadanu kamatnu stopu.U praksi se često vrši uplata ili isplata jednakih iznosa u

jednakim vremenskim razmacima. Takve se uplate iliisplate zovu periodi č ne .

Uplate ili isplate mogu se vršiti na dva nač ina:a) na po četku termina, to su prenumerando uplate ili

isplateb) Na kraju termina, to su postnumerando uplate ili

isplate

Periodične uplate ili isplate mogu trajati odre đ eno

vremensko razdoblje, neodre đ eno vremensko razdoblje(npr. osobne rente koje se korisniku ispla ćuju iz nekogtrajnog izvora) ili“vje č no” (npr. “vječne” rente koje sekorisniku isplaćuju neograničeno od izvora neke trajnoiste vrijednosti).

Kod periodičnih uplata ili isplata izračunava se kona č navrijednost svih periodičnih uplata ili isplata nakonodređenog broja termina i sadašnja vrijednostperiodičnih uplata ili isplata koje će se izvršiti određenibroj puta.

Konač

na vrijednost periodič

nih uplata iliisplata Ako se periodične uplate, odnosno isplate, vrše kroz ntermina, onda će konačna vrijednost svih periodičnihuplata ili isplata na kraju n-tog termina ovisiti o brojutermina n, o načinu obračunavanja kamata (tj. da li jeobračunavanje kamata dekurzivno ili anticipativno), ovisini kamatne stope i o tome da li je prenumerando ilipostnumerando.

Konačnu vrijednost svih periodičnih uplata ili isplata nakraju n-tog termina dobitćemo tako da svakoj uplati iliisplati pribrojimo složene kamate od trenutka uplate iliisplate do kraja n-tog termina i sve takve pojedinačne

vrijednosti zbrojimo.


13/20

Kpr = R · r n + R · r n-1 + · · · + R · r 2 + R · r = R · r (r n-1 + r n-2 + · · · + r + 1)

Izraz u zagradi je geometrijski red od n č lanova sa a 1=1 i

pa mu je suma

Kada to uvrstimo u Kpr dobijemo:

r 1r q ==

1 2R R R · · · R R Kpr

·r n

·r n-1

·r 2·r

1-r 1r 1Sn

n −⋅=

1-r 1r r R K

n

pr −

⋅=

Na sličan na č in možemo dobiti formulu za konačnuvrijednost postnumerando svota

Kpo = R · r n-1 + · · · + R · r 2 + R · r + R == R (r n-1 + r n-2 + · · · + r 2 + r + 1) =

Uoč imo: Kpo = Kpr / r Napomena:

Za anticipativni obračun u danim formulama samozamijenimo r sa ρ .

1 2R R · · · R R R

Kpo

·r n-1

·r 2·r

1-r 1r R K

n

po−

⋅=

Sadašnja vrijednost periodi č nih uplata iliisplata

Više jednakih svota R koje se javljaju u jednakimvremenskim razmacima zamjenjujemo jednom svotomkoja dospijeva odmah, tj. izračunavamo im sadašnjuvrijednost. Prema tome, svote sa kasnijim dospijeć imasvodimo na ranije dospijeće, pa ih moramo diskontirati.Ovisno o ekonomskom problemu kojeg razmatramo,svote R mogu imati različiti smisao. To mogu biti:dugovanja, isplate, rente, ulozi,… Razlikujemo da lisvote R dospijevaju krajem ili početkom termina, tj. da lisu postnumerando ili prenumerando svote.

Sadašnja vrijednost periodi č nihpostnumerando svota (S po )

Sadašnja vrijednost prvih n postnumerando svota kojese javljaju u jednakim vremenskim razmacima dobiju sekao zbroj sadašnjih vrijednosti pojedinačnih svota.

Primjer: Dužnik bi morao n godina, na kraju svakegodine, otplać ivati R kn za zaduženje koje danas iznosiSpo kn. koliko je to zaduženje ako je kamatna stopa p%,

a kapitalizacija godišnja i dekurzivna.

n

r

1

1-nr 1

12r 1

Spo R R R R R R1 2 3 n-1 n

=++⋅⋅⋅++= n1-n2 po r R

r R

r R

r R S =

+⋅⋅⋅+⋅ nr

1r 1

R

111)r r (

r 1r r 1-n

n

1-n

−−

⋅=++⋅⋅⋅+⋅=++⋅⋅⋅+⋅=r r

r R

r R

Rn

nn

( )1-r r 1r R S

n

n

po−

⋅= jer je1-r 1r

1r r

n1-n −

=++⋅⋅⋅+

Sadašnja vrijednost periodič

nihprenumerando svota Ako se uplate ili isplate vrše na početku termina, ondaprilikom svođenja svih uplata ili isplata na početnuvrijednost, sadašnja vrijednost prve uplate ili isplate

jednaka je toj uplati ili isplati.

1-nr 1

12r 1

R R R R R RSpr

1 2 3 n-1 n


14/20

=+⋅⋅⋅+++= 1-n2 pr r R

r R

r R R S =

+⋅⋅⋅++ 1-nr

1r 11R

1-n

1-n

r 1r r R ++⋅⋅⋅+⋅=

( )1-r r 1r R S 1-n

n

pr −

⋅= jer je 1-r 1r 1r r

n1-n −=++⋅⋅⋅+

ILI Spr = Spo · r

Postnumerandouplate ili isplate

Prenumerandouplate ili isplate

Sadašnjavrijednost

Konačnavrijednost

( )1-r r 1r R S n

n po

−⋅=

1-r 1r r R K

n

pr −

⋅⋅=

1-r 1r R K n po −⋅=

( )1-r r 1r R S 1-n

n

pr −

⋅=

Kpr =Kpo·r Spr =Spo·r

ZAJAM

Zajam se obra čunava po složenom kamatnom ra čunu.Obračun kamata može biti dekurzivan ili anticipativan.U praksi se češ će koristi dekurzivan. Visina zajma,vrijeme trajanja otplate, datum početka otplać ivanja,broj termina, kamatna stopa i na čin vraćanja potvr đujuse ugovorom koji sklapaju zajmodavac i zajmoprimac.

Simboli koje koristimo kod zajma:C odobreni iznos zajmaa anuitetR otplatna kvotaI kamaten broj termina (broj anuiteta)p dekurzivna kamatna stopaq anticipativna kamatna stopaCn ostatak zajma na kraju n-tog termina

Otplatna kvota je iznos kojim se otplaćuje(umanjuje) glavnica zajma i zato zbroj svih otplatnihkvota mora biti jednak nominalnoj vrijednosti zajma.

Anuitet je iznos koji zajmoprimac plaća u k-tom terminua on je suma otplatne kvote i kamata za taj termin.

Anuiteti se mogu plaćati početkom ili krajem termina.Način otplate zajma može biti :

jednakim otplatnim kvotama (tada su anuiteti različ iti) jednakim anuitetima (tada su otplatne kvote različ ite)

Otplata zajma se vodi pomoću otplatne tablice tj. planaotplate koji sadrži sve bitne velič ine za svaki terminposebno.

Otplata zajma jednakim otplatnim kvotama(krajem termina uz dekurzivni obračun kamata)

nC

R = 1100 −= k k C p

I k k I Ra +=

RC C k k −= −1


15/20


16/20

21 100 −− = nn C

p I

1100 −= nn C

p I Cn=0R n=a-I nan

C n-1 =C n-2 -R n-1R n-1=a-In-1an-1

.

a2

a1

ostatak zajmaCk

kamataIk

otplatna kvotaR k

anuitetak =a

početakk-tog

termina

R1=a-I1=a C1=C0-R1=C0-a

12 100 C

p I =R2=a-I2 C2=C1-R2

01 = I

∑=

+=n

k k I C

1

Kontrole: - zbroj otplatnih kvota jednak je visini zajma

- zbroj svih anuiteta (n·a) jednak je zbroju svih otplatnihkvota (tj. visini zajma) uvećanoj za zbroj svih kamata.

∑∑ ==+=⋅

n

k k

n

k k I Ran

11

C Rn

k k =∑

=1

LINEARNA ALGEBRA

MATRICE

Matrica je pravokutna shema brojeva kod koje svaki brojima poziciju određenu brojem retka i brojem stupca ukojem se nalazi

= ..

....

.......

.......

.......

...............

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

Obilježavaju se velikim slovima, a njihovi elementi malislovima i dva indeksa aij. Prvi označava broj retka a drugi broj stupca u kojem se element nalazi.

−−

−−

3870419358102

Kažemo da je matricaformata m x nako ima m redaka i nstupaca.

Dvije matrice su jednakeako su istog formata i svi elementina istim mjestima u obje matrice su međusobno jednaki.

Različiti oblici matrica:

-matrica stupac(zove se još i vektor stupac) ima m redakasamo jedan stupac

-matrica redak (zove se još i vektor redak) ima n stupaca i jedan redak

-nula matrica je matricač iji su svi elementi nule

−=31

2 A

[ ]2032 −= B

= 0000

O=

00000000

00000000

Oili


17/20

-transponirana matrica Aτ matrice A dobije se međusobnomzamjenom redaka i stupaca

−−

−−=

3870419358102

A

−−−

−=

345818

7910

032τ A

-elementi a11, a22, … ,ann čineglavnu dijagonalumatrice-dijagonalna matrica je kvadratna matrica kojoj su svielementi osim onih na glavnoj dijagonali jednaki nuli

- jedinična matrica je dijagonalna matrica kojoj su svielementi (na glavnoj dijagonali) jedinice-simetrična matrica ima međusobno jednake sve elementekoji leže simetrično u odnosu na dijagonalu-gornja trokutasta matricaima sve elemente ispod glavnedijagonale jednake nuli-donja trokutastamatrica obrnuto

-kvadratna matricaima jednak broj redaka i stupaca (m=n

-skalarna matrica je dijagonalna matrica kojoj su svielementi (na glavnoj dijagonali) jednaki

Zbrajati i oduzimati možemo samo matrice istog formata.Zbroj dviju matricaA i B je matrica C istog formata kojoj suelementi cij jednaki zbroju odgovarajuć ih elemenata matricaA i B.Svojstva: (A+B)+C=A+(B+C)

A+B=B+AA+O=AA+(-A)=O

Računske operacije sa matricama

Matricu množimo skalarom(brojem) tako da njime množimo

sve njezine elemente.Svojstva: α(βA)=(αβ)A ∀ α,β ∈R (α+β)A=αA+βA ∀ α,β ∈Rα(A+B)=αA+αB ∀ α ∈R

1A=A

Množenje matrica Neka su zadane matrica A formata mxn i matrica B formnxs. Umnožak matrica AxB je matrica C formata mxs čijielementi aij se dobivaju množenjem i-tog retka matrice A s j-tim stupcem matrice B.Znači, da bi mogli množiti dvije matrice, mora biti brojstupaca (broj elemenata u retku) prve matrice, jednak broredaka (broju elemenata u stupcu) druge.Svojstva: (AB)C=A(BC)

A(B+C)=AB+AC(A+B)C=AC+BC(αA)B=A(αB)=α(AB)

VAŽ NO!!!! A·B≠ B·A

Pojam determinante

Teorija determinanti razvila se kod riješavanja sustavalinearnih jednadž bi.Determinanta drugog reda.

D = = (a11a22-a12a21)2221

1211

aa

aa

Determinanta trećeg reda

D =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

može se računati pomoću Saruss-ovog pravila. Pokazatićemo ga na primjeru:

Uoč imo: DETERMINANTA JE BROJ(za razliku od

matrice koja je pravokutna shema)

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

.... .......

.......

.......

...............

21

22221

11211

Det(A)=|A| = D =

Determinanta n-tog reda zadaje se kvadratnom formom(sličnom kvadratnoj matrici) od n·n brojeva, pa se svakojkvadratnoj matrici može pridružiti njezina determinanta.Determinanta kvadratne matrice A, formata nxn, je reda obilježava se sa :


18/20

Ako se u determinanti Dn, n-tog reda izostavi i-ti redak i j-ti stupac dobije se determinanta n-1 reda koja se zovesubdeterminanta ili minor Mij determinante Dn.Ako joj još dodamo predznak (-1)i+j dobivamo takozvanialgebarski komplement Aij = (-1)i+jMij, elementa aij koji senalazi na križanju i-tog retka i j-tog stupca.

Takav postupak računanja determinante zove seLaplace-ovrazvoj determinante. Njime se računaju determinante redavećeg od 3. Npr. Razvoj po i-tom retku izgleda ovako:Dn= ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin

Definicija. Determinanta Dn jednaka je sumi umnožakaelemenata proizvoljnog retka ili stupca s algebarskimkomplementima tih elemenata.

Posebnodeterminanta trećeg redamože se računati pomoćuSaruss-ovog pravila. Pokazatićemo ga na primjeru:

Svojstva determinanata:

1. Vrijednost determinante ne mijenja se ako se reci zamsa stupcima istim redoslijedom.

2. Ako se međusobno zamijene bilo koja dva retka ili bilkoja dva stupca determinanta mijenja predznak.

d b

ca

d c

ba =

cd

ab

d c

ba −=

3. Determinanta se množi nekim brojem tako da se njime pomnoži svaki element samo jednog retka ili stupca.

Obrnuto, zajednički faktor svih elemenata nekog retka ilistupca možemo izluč iti ispred simbola determinante:

td tc

ba

d tc

bta

d c

bat ==

4. Determinanta je jednaka nuli ako:a) su svi elementi jednog retka ili stupca jednaki nuli b) su joj bilo koja dva retka ili stupca jednaka

c) su joj elementi dvaju redaka ili stupaca međusobno proporcionalni

d c

bat

td tc

ba =

5. Vrijednost determinante ne mijenja se ako elementim jednog njenog retka (stupca) pribrojimo odgovarajućeelemente nekog drugog njenog retka (stupca ) pomnoženognekim brojem.

6. Determinanta trokutaste ili dijagonalne matrice jedna je umnošku elemenata na glavnoj dijagonali.

kcd c

kaba

d c

ba++

=

nn

nn

n

n

aaa

a

aa

aaa

⋅⋅⋅= 221122211211

000.... .0

.

Inverzna matrica

Za množenje realnih brojeva vrijedi:∀x∈R : x≠0 postoji x-1∈ R takav da vrijedix x-1 = x-1 x = 1

Definicija: Ako za kvadratnu matricu n-tog reda A postoji takva kvadratna matrica A-1 da vrijedi A A-1 =A-1 A = I (jedinična matrica istog formata kao A) kažese da je A-1 inverzna matrica zadanoj matrici A.

Kvadratna matrica jeregularna ako postoji njojinverzna matrica A-1. U suprotnom, matrica jesingularna. Kvadratna matrica je regularna ako i samoako joj je determinanta različita od nule (det(A)≠0).

Postupak za računanje inverzne matrice:

1. Izračunati det(A)

a) ako je det(A) = 0 matrica je singularna i nema inve

b) ako je det(A)≠0 nastavljamo postupak 2. Izračunati sve algebarske komplemente (kofaktore)

formirati matricu kofaktora Ak 3. Transponirati matricu Ak da se dobije adjungirana

matrica A*=(Ak )τ

4. *1)det(

1 A

A A =−

5.Pokus: A A-1 = A-1 A = I


19/20

Sustavi od m linearnih jednad žbi sa n nepoznanica

a11x1 + a12x2+ … + a1nxn=b1a21x1 + a22x2+ … + a2nxn=b2

.. (1.1).

am1x1+am2x2+ … +amnxn=bm

-brojevi aij (i = 1 ,…, m j = 1 ,…, n ) zovu sekoeficijenti sustava-brojevi bi ( i = 1, … , m ) su slobodni č lanovi -x j ( j = 1, … , n ) su nepoznanice

-ako je m = n sustav se nazivakvadratnim-ako je bi = 0 (za svaki i = 1,…,m) sustav nazivamo

homogenim-ako je barem jedan bi ≠ 0 sustav jenehomogen-elementarne transformacije nad jednadž bamasustava su:1. zamjena redoslijeda jednadž bi2. množenje bilo koje jednadž be brojem≠ 03. dodavanje (pribrajanje) neke jednadž be sustavadrugojKombinaciju 2. i 3. primjenjujemo tako da jednojjednadž bi dodajemo drugu pomnoženu nekimbrojem≠ 0.

Definicija 1.1 Linearni sustav (1.1)ima rješenje(kaže se da je sustavrješiv ili konzistentan ) ako postoji uređena n-torka brojeva (x1, … ,xn) takvada za te brojeve sve jednadžbe u (1.1) prelaze uidentitete. Svaka n-torka (x1, … ,xn) sanavedenim svojstvom zove serješenje sustava(1.1). Ako takva n-torka brojeva ne postoji, ond je sustav (1.1)nerješiv ili kontradiktoranodnosnonekonzistentan (inkopatibilan ).

Prikaz sustava u matričnom oblikua11x1 + a12x2+ … + a1nxn=b1a21x1 + a22x2+ … + a2nxn=b2..am1x1+am2x2+ … +amnxn=bm

=

+++

++++++

nmnm

nn

nn

xa xa x

xa xa x

xa xa x

...a .

.

....a...a

221m1

2222121

1212111

mb

b

b

.

.

.2

1

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

................................

....

....

21

22221

11211

n x

x

x

.

.

.

.2

1

=

mb

b

b

.

.

.

.2

1

A·X = B

-matrica sustavaA (elementi su joj koeficijenti uznepoznanice)-stupčana matricaX ( elementi su joj nepoznanice iz sustav

-stupčana matricaB (elementi su joj slobodničlanovi sustava


20/20

Rješavanje sustava pomo ć u inverzne matrice

-ako je sustav kvadratni i matrica A regularna(det(A)≠ 0) važi:

A X = B / A-1 s lijevaA-1 A X = A-1 B

I X = A -1 BX = A -1 B

Gaussova metoda eliminacije

Proširena matrica sustava:

[ ] B A ,~ = =

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

.....................................

....

....

21

222221

111211

Ovom metodom možemo rješavati sve vrste linearnihsustava (bez obzira na broj jednadžbi i nepoznanica i beobzira da li je det(A) =0 ).

Metoda se sastoji u postepenom eliminiranju nepoznanica primjenom elementarnih transformacija nad jednadžbamasustava. Radimo ih sa ciljem da sustav na najkraći mogućinačin pojednostavnimo, odnosno dovedemo doekvivalentnog, stepenastog (ako je kvadratni, gornjetrokutastog) oblika u kojem prva jednadžba obavezno sadržinepoznanicu x1 i bilo koliko ostalih, druga x2 i bilo kolikoostalih itd. Iz takvog oblika sustava možemo lako doći dorješenja ili ustanoviti da sustav nije rješiv.

A~Radi kratkoće pisanja, umjesto cijelog sustava možemokoristiti proširenu matricu sustava . Takva varijanta

Gaussove metode zove se shematizirana Gaussova metoda.

Documents

Materijali Za Gospodarsku Matematiku(1)