Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Diplomski studij matematike - Financijska i poslovnamatematika

Kristina Lastavica

Teorija redova čekanja

Diplomski rad

Osijek, 2013.

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Diplomski studij matematike - Financijska i poslovnamatematika

Kristina Lastavica

Teorija redova čekanja

Diplomski rad

Mentor: doc. dr. sc. Nenad Šuvak

Osijek, 2013.

Sadržaj

1. Uvod 11.1. Cilj teorije redova čekanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Osnovni pojmovi 22.1. Osnovni elementi sustava usluživanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2. Notacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3. Osnovni parametri i relacije sustava usluživanja . . . . . . . . . . . . . 9

3. Markovljevi sustavi 103.1. Općenito o procesima rađanja i umiranja . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2. Primjeri Markovljevih sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.1. Sustav posluživanja M/M/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.2. Sustav posluživanja M/M/1/N . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.3. Model sa grupnim usluživanjem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.4. Erlangov sustav gubitka ili M/M/k sustav . . . . . . . . . . . . 32

3.3. Mreže redova čekanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.1. Otvoreni sustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4. Nemarkovljevi sustavi ili M/G/1 i G/M/1 sustavi 404.1. Općenito o M/G/1 sustavu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1.1. Razdoblja mirovanja i zauzeta razdoblja . . . . . . . . . . . . . 424.2. Varijacije sustava M/G/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2.1. M/G/1 sustav sa grupnim dolascima klijenata . . . . . . . . . . 434.2.2. Sustavi sa prioritetnom disciplinom usluživanja . . . . . . . . . 45

4.3. G/M/1 sustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5. Zaključak 52

6. Sažetak 54

7. Summary 55

8. Životopis 56

1

1. Uvod

Pitamo se što imaju zajedničko restoran, banka, zabavni park, gradski prijevoz, pošta,trgovina, itd.? Odgovor: ljude koji čekaju kako bi njihov zahtjev za uslugom bioispunjen! Većina nas je jedan dio svoga života provela čekajući u redu, pa zbog togamožemo reći da su redovi čekanja dio našega svakodnevnoga života. Kada jedinice kojetreba uslužiti ili mjesta koja vrše tu uslugu "čekaju", nastupaju problemi čekanja iliredovi čekanja. Odgovarajuće rješenje tog problema može poboljšati kvalitetu življenja,jer čekanje u redu je dio naše svakodnevnice. Inače, među prvim asocijacijama kadase spomenu redovi čekanja jeste problematika reda osoba koje čekaju na uslugu utrgovini, pošti, banci, itd., kako bi se njihovi individualni zahtjevi ispunili. Upravoiz ovoga slikovitoga opisa dolaze nazivi koji se najčešće susreću u literaturi, a to su’klijent’, ’red čekanja’ i ’uslužna mjesta’.

Međutim, klijenti ne moraju biti fizički prisutni na mjestu pružanja usluge da bidošlo do formiranja redova čekanja. Naime, redovi čekanja se mogu formirati putemtelefonskih poziva, primjerice, prilikom narudžbi kataloških proizvoda, ili poziva taksislužbe. Pored toga, mnogi ljudi svoje poslove obavljaju preko interneta, pri čemu seu ovome slučaju redovi čekanja javljaju kao posljedica usporenog pristupa određenojstranici, zbog preopterećenosti servera. Također, klijenti koji čekaju na pružanje us-luge ne moraju biti samo ljudi, već to mogu biti i strojevi, automobili koji čekaju nasemaforu, brodovi koji trebaju ući u pomorsku luku, avioni koji kruže iznad piste prijenego što dobiju dozvolu od kontrole leta da mogu sletjeti...

Teoriju redova čekanja (poznatu i kao teoriju masovnog usluživanja ili teoriju pos-luživanja ili teoriju poredavanja engl. Queueing Theory) mnogi smatraju jednom odvažnih grana primjenjene teorije vjerojatnosti. Ona je jedna od metoda operacijskihistraživanja koja proučava procese usluživanja slučajno pristiglih jedinica ili zahtjevaza nekom uslugom koristeći se pritom matematičkim modelima pomoću kojih se usta-novljava međuzavisnost između dolazaka jedinica, njihovoga čekanja na uslugu, usluži-vanja, te na kraju izlaska jedinica iz sustava, sa svrhom da se postigne optimalno funk-cioniranje promatranog sustava. Teorija redova čekanja razvijena je samo za određenevrste sustava s redovima usluživanja, dok se vrste sustava koje se ne mogu analiziratiterijom redova čekanja, vrlo uspješno mogu rješavati simulacijskim metodama. Ovateorija se pojavila u prvom desetljeću 20. stoljeća, zahvaljujući danskom matematičaruA.K. Erlangu (1878-1929). On je rješavao praktične zadatke usluživanja, kada se javiniz poziva koji čekaju na svoju distribuciju na telefonskoj centrali u Copenhagen-u.Shvatio je da se ovakvi problemi primjenom stohastičkih modela mogu dovoljno dobroopisati i riješiti. 1909. Godine Erlang objavljuje svoj rad pod nazivom The Theory ofProbabilities and Telephone Conversations, a upravo ti radovi iz razdoblja od 1909. do1920. čine temelj na kojemu je zasnovana teorija redova čekanja.

2

1.1. Cilj teorije redova čekanja

Kada govorimo o cilju teorije redova čekanja, to je postizanje maksimalnih ekonom-skih učinaka tj. donošenje optimalnih odluka. Primjerice, u luku pristižu brodovi izrazličitih dijelova svijeta. Pitamo se koliko pristaništa u luci treba izgraditi da bi eko-nomski učinci bili najveći. Ako izgradimo mali broj pristaništa i ukrcajno - iskrcajnihpostrojenja, imat ćemo maksimalno iskorištenje, ali će se pojaviti gubici pri čekanjubrodova u luci, primjerice ako brod vozi lako pokvarljivu robu. Suprotno tome, akoizgradimo prevelik broj pristaništa i postrojenja, brodovi neće čekati, ali bi postrojenjabila neiskorištena, pa ponovno imamo gubitke. Riješiti ovaj problem znači odreditioptimalan broj uslužnih mjesta za koji će vrijeme čekanja u redu ili troškovi (gubici)prouzrokovani čekanjem biti minimalni. Slijedi da se rješavanjem problema reda čeka-nja neće moći u potpunosti eliminirati čekanje, već će se samo gubici zbog čekanja svestina minimum. Ponekad klijenti pristigli u banku, gledatelji filma u redu na blagajnikina, kupci na blagajni u supermarketu, itd., mogu čekanje u redu za pružanje uslugesmatrati gubljenjem vremena. Tada nastaje problem, jer ponavljana i bespotrebnazadržavanja u redu mogla bi, u krajnjem slučaju, za posljedicu imati gubitak klijenata.U tom smislu zanimljiv je i primjer koji se može vidjeti u poznatoj trgovini Kaufland.Naime, iznad blagajni se može vidjeti plakat s upadljivim naslovom: "Kaufland jamči:Brzinu na blagajni!! Čekali ste dulje od 5 minuta, a sve blagajne nisu bile otvorene?Dobit ćete 5 kuna!". Kratko i jasno.

2. Osnovni pojmovi

2.1. Osnovni elementi sustava usluživanja

Kako bi se definirali osnovni elementi, zamislimo si najjednostavniji primjer sustavausluživanja: ljekarnu koja ima jednoga poslužitelja. Klijenti ulaze u ljekarnu i čekaju uredu (ukoliko ima još ljudi u ljekarni koji trebaju biti posluženi), a kada su posluženi,izlaze iz ljekarne. Upravo nam Slika 1. prikazuje kako izgleda osnovna struktura sustavaposluživanja, gdje je ljekarna naš sustav.

Na Slici 1. također možemo primjetiti 3 najosnovnija pojma koja ćemo koristitikroz cijeli rad, a to su:

• ulazne jedinice (korisnici usluga, klijenti, potrošači, stranke, obradni strojevi,engl. customers)

• uslužna mjesta (kanali, uslužna mjesta, mjesta koja pružaju uslugu ili obavljajuobradu, engl. servers)

• red čekanja (rep, linija, gomilanje, međuskladište, engl. queue).

3

Slika 1: Struktura reda čekanja

Uz te najosnovnije pojmove, također je bitno pojasniti što su to ulazni, a što izlazniprocesi odnosno ulazni i izlazni tok jedinica. Ulazni proces koji se još naziva i procespristizanja važan nam je zbog vremena koje protekne između sukcesivnih pristizanjaulaznih jedinica. Pretpostavljamo da na proces pristizanja ne utječe broj ulaznih je-dinica koje se trenutno nalaze u sustavu (npr. bez obzira nalazi li se u banci 1 čovjekili 50 njih, proces pristizanja ostaje nepromijenjen). Kod izlaznoga procesa ili procesapružanja usluge važno nam je vrijeme koje je potrebno za usluživanje klijenta. Takođerpretpostavljamo da izlazni proces ne ovisi o broju jedinica koje se trenutno nalaze usustavu jer primjerice poslužitelj u pošti neće raditi brže ako se poveća broj klijenatakoji čekaju na uslugu pred šalterom.

Upravo ta dva spomenuta procesa su dio sljedećih 6 karakteristika koje su izuzetnobitne za analizu sustava primjenom teorije usluživanja:

1. Distribucija vremena dolazaka jedinica. Definira se vremenom koje protekneizmeđu dvaju uzastopnih dolazaka jedinica u sustav usluživanja. Obzirom naveličinu vremenskoga razmaka između dva dolaska, dolasci jedinica mogu biti:

• s jednakim intervalima vremena

• s nejednakim, ali unaprijed određenim (determiniranim) vremenskim inter-valima i

• s nejednakim intervalima vremena koji nisu unaprijed poznati, nego slučajni,ali za koje je poznata njihova distribucija.

U ovome radu baviti ćemo se ovim zadnjima. Neka je Tj vrijeme pristizanja j-togklijenta u sustav. Za j ≥ 1, definiramo tj = Tj − Tj−1 kao j-to vrijeme među-pristizanja (engl. interarrival times). Klijenti dolaze u vremenima T1, T2, T3, . . . ,a za slučajne varijable tj = Tj − Tj−1 kojima su definirana vremena međudola-zaka klijenata, pretpostavit ćemo da su nezavisne i jednako distribuirane slučajnevarijable sa funkcijom distribucije

A(t) = Ptn ≤ t,

4

te sa funkcijom gustoće a(t) := dA(t)dt

.

2. Distribucija vremena posluživanja (engl.service time distribution). Definira sevremenom koje je potrebno da jedno uslužno mjesto usluži jednu jedinicu, tj. toje vrijeme potrebno da poslužitelj usluži potrošača. Trajanje obavljanja uslugemože biti :

• konstantno (uvijek jednako vrijeme)

• varijabilno, ali unaprijed poznato (određeno) i

• slučajno (vrijeme trajanja usluge nije poznato, ali je moguće odrediti distri-buciju).

I ovdje ćemo promatrati zadnji slučaj, tj. slučajno vrijeme trajanja usluge. Kaoi kod slučajnih varijabli kojima su definirana vremena međudolazaka, vremenausluživanja klijenata su također nezavisne i jednako distribuirane slučajne vari-jable.

3. Broj poslužitelja (engl.number of servers). Definira se brojem paralelnih posluži-telja. Inače, razlikujemo dva uređenja poslužitelja (kanala): poslužitelji povezaniu paralelnu vezu i oni povezani u rednu vezu. U prvom slučaju, svi kanali pružajuisti tip usluge, a kako bi klijent bio gotov sa usluživanjem dovoljno je da budeuslužen samo od jednoga (bilo kojega) poslužitelja. Na primjer, blagajnici u su-permarketu su povezani u paralelnu vezu i svaki blagajnik može pružiti željenuuslugu. U drugom slučaju, tj. u slučaju redne veze, klijent mora biti usluženkod svih poslužitelja kako bi bio gotov sa usluživanjem. Tvornica za proizvodnjuautomobila je primjer takvoga sustava.

Kod paralelnih poslužitelja (kanala) razlikuju se jednokanalni i višekanalni sus-tavi reda čekanja. Jednokanalni sustavi imaju jedno mjesto za usluživanje, avišekanalni nekoliko takvih mjesta. Kod poslužitelja povezanih u rednu vezurazlikujemo jednofazne i višefazne sustave. Na Slici 2. možemo vidjeti različiteprimjere uređenja poslužitelja.

4. Kapacitet sustava (engl.system capacity). To je maksimalni broj jedinica koječekaju u redu na usluživanje i koje se upravo uslužuju. Red jedinica koje čekajuna usluživanje može biti:

• zajednički, što znači da za svaki pojedinačni zahtjev nije definiran kanal nakojemu će jedinica biti uslužena i sve do trenutka usluživanja to može bitibilo koji od postojećih kanala, i

5

Slika 2: Primjeri uređenja poslužitelja

• odvojeni red čekanja za svako uslužno mjesto kada se jedinica, ušavši uodređeni red odabran prema nekom kriteriju, opredijeli za određeno mjestousluživanja.

Kada je sustav usluživanja potpuno zauzet, jedinica koja je pristigla ne može ućiu sustav, odnosno stati u red čekanja. Oni sustavi koji imaju veliki kapacitetobično se prihvaćaju kao sustavi s beskonačnim kapacitetom.

5. Veličina populacije (engl.population size). Definira se kao ukupan broj potrošačakoji mogu pokušati ući u sustav. Ovaj broj može biti beskonačan. Najčešće seza modele usluživanja pretpostavlja beskonačna, homogena populacija ulaznihjedinica.

6

6. Disciplina usluživanja ili način usluživanja (engl.service discipline). To je redosli-jed usluživanja potrošača koji čekaju. Od velike važnosti za rad uslužnog mjestaje definiranje pravila po kojem će se vršiti usluživanje ulaznih jedinica. Ulaznejedinice iz reda čekanja koje pristupaju poslužitelju podvrgavaju se disciplinamareda, koje mogu biti (vidi [1, str. 4]):

• FIFO (First In, First Out) ili FCFS (First Come, First Served), je način kojiuzima u obzir redoslijed dolaženja: tko je prvi došao bit će i prvi poslužen.Ovo je najčešće korišteni poredak usluživanja.

• LIFO (Last In, First Out) ili LCFS (Last Come, First Served), je načinkoji daje prednost jedinici koja je zadnja ušla u red. Ako izlaženje iz liftagledamo kao pružanje usluge, onda lift pun ljudi ilustrira LCFS poredak.

• PRIOR je oznaka prioriteta usluživanja koji daje prednost nekim jedini-cama za usluživanje. Poretci prioriteta se često koriste u hitnoj pomoći,za određivanje redoslijeda u kojem će pristigli pacijenti primiti liječničkupomoć.

• SIRO (Service In Randon Order) se odnosi na slučajan odabir koji svakojjedinici daje istu vjerojatnost posluživanja bez obzira na vrijeme dolaska ured.

• SPTF (Shortest Processing Time First) je disciplina kod koje se poslužujuulazne jedinice sa najmanje vremena usluživanja. Ova disciplina pretpos-tavlja poznavanje vremena usluživanja pojedinih ulaznih jedinica.

• RR (Round Robin) podrazumijeva da svaka ulazna jedinica dobiva istu du-žinu vremena posluživanja i ukoliko se dogodi da nakon tog vremena procesposluživanja nije završen, jedinica se vraća u red čekanja na zadnje mjesto,gdje čeka nastavak posluživanja.

• GD je oznaka za bilo koju drugu disciplinu čekanja.

2.2. Notacija

Za definiranje sustava potrebno je zadati navedenih šest parametara. Za to se koristiskraćena notacija koja se zove Kendallova notacija (nazvana prema matematičaru Da-vidu Georgeu Kendallu (1918 - 2007)). U jednom istraživanju iz 1953. Kendall je pred-ložio način označavanja koji se i danas koristi za klasifikaciju raznih modela čekanja uredu, a koji je standardiziran 1971. godine (Queueing Standardization Conference Re-port, May 11, 1971 ) (vidi [8]). Radi se o jednom stenogramu1 kojim je moguće ukratko

1stenografija(brzopis)-vještina brzog pisanja pomoću kratica i znakova

7

i na brzinu izložiti pretpostavke danoga modela masovnog posluživanja. Kendall-ovanotacija je oblika:

A/B/c/x/y/z

prema kojoj navedena slova označavaju:

A - distribuciju vremena dolazaka jedinica u sustav

B - distribuciju vremena usluživanja jedinica

c - broj poslužitelja

x - kapacitet sustava opsluživanja

y - veličina populacije iz koje klijenti dolaze

z - disciplinu reda čekanja.

Parametri A i B zadaju se simbolima za pojedine vrste distribucija (vidi [1, str. 5]):

• M - Eksponencijalna distribucija sa parametrima λ ili µ čija je funkcija distribu-cije

A(t) =

1− e−θt ako je t > 0

0 inače ,

a funkcija gustoće je:

a(t) =

θe−θt ako je t > 0

0 inače ,

gdje θ poprima vrijednosti λ ili µ. M dolazi od Markovljevog lanca, te iz činjeniceda eksponencijalna distribucija ima svojstvo zaboravljanja prošlosti (vidi [3, str.13]; [5, str. 284]), tj. vrijedi

P (T > t+ s |T > t) = P (T > s) za sve t, s ≥ 0.

Ako slučajna varijabla T predstavlja primjerice vijek trajanja nekoga uređaja,tada prethodna jednadžba kaže kako je vjerojatnost da će uređaj trajati dulje odt+ s vremena, s tim da je već preživio t vremena, jednaka početnoj vjerojatnostida uređaj traje dulje od s vremena. Koristeći definiciju uvjetne vjerojatnosti,lako se može pokazati prethodna jednakost:

P (T > t+ s |T > t) =P (T > t+ s , T > t)

P (T > t)=P (T > t+ s)

P (T > t)

=e−λ(t+s)

e−λt= e−λs = P (T > s).

Samo eksponencijalna distribucija ima svojstvo zaboravljanja prošlosti.

8

• Ek - Erlangova distribucija reda k (k = 1, 2, . . . ) sa parametrima k i θ (gdje θpoprima vrijednosti λ ili µ) čija funkcija distribucije glasi:

A(t) = 1− e−kθtk−1∑j=0

(kθt)j

j!.

• Hk - Hiper-eksponencijalna distribucija sa k stupnjeva (linearna kombinacija odk različitih eksponencijalnih distribucija)

• D - deterministička distribucija karakterizirana time da su međudolazna vremenai vremena usluživanja fiksna

• G - neka opća distribucija, tj. nepoznata distribucija (G dolazi od engleskogatermina ’General distibution’ ).

Najčešće korištena distribucija je eksponencijalna distribucija.Ukoliko zadnje tri vrijednosti Kendall-ove notacije nisu zadane, podrazumijeva se

da su vrijednosti kapaciteta sustava usluživanja i veličina populacije beskonačni i da jedisciplina reda čekanja FIFO strategija.

Primjer 2.1

a) M/M/5/25/1500/ FCFS označava sustav s jednim redom sa sljedećim karakte-ristikama:

– eksponencijalnom distribucijom dolazaka klijenata

– eksponencijalnim vremenom posluživanja

– 5 poslužitelja

– 25 mjesta u sustavu (5 u poslužiteljima i 20 u redu)

– 1500 potrošača mogu ući u sustav

– redoslijed usluživanja: tko je prvi došao, biti će prvi poslužen (FCFS).

b) M/G/1 označava sustav s jednim redom sa sljedećim karakteristikama:

– eksponencijalnom distribucijom dolazaka

– vremenom posluživanja s općom razdiobom

– 1 poslužitelj

– kapacitet sustava (broj mjesta) nije ograničen

– broj potrošača nije ograničen

– redoslijed usluživanja: tko je prvi došao, biti će prvi poslužen (FCFS).

Kao što smo rekli, u slučaju kad su zadnja tri parametra ∞ / ∞ / FCFS, pišuse samo prva tri parametra: M/G/1.

9

2.3. Osnovni parametri i relacije sustava usluživanja

Neke osnovne veličine koje su važne za teoriju redova čekanja, i koje ćemo spominjatiu radu su (vidi [5, str. 495]; [2, str. 9]):

λ - intenzitet toka dolazaka jedinica (ili stopa dolazaka) - prosječan broj korisnika kojipristižu u jedinici vremena

µ - intenzitet usluživanja (ili stopa usluživanja) - prosječan broj korisnika koji mogubiti usluženi u jedinici vremena

WQ - prosječno vrijeme čekanja na usluživanje (engl. average waiting time)

E[S] - prosječno vrijeme usluživanja, gdje je S vrijeme usluživanja (engl. averageservice time)

W - prosječno vrijeme odziva ili prosječno vrijeme provedeno u sustavu (engl. averageresponse time)

L - prosječan broj potrošača u sustavu

LQ - prosječan broj potrošača u redu čekanja

LS - prosječan broj potrošača kod samoga pružanja usluge.

Grafički opis osnovnih veličina možemo vidjeti na Slici 3.. Logično je da vrijede sljedeće

Slika 3: Grafički opis osnovnih veličina

10

jednakosti, što možemo također vidjeti iz Slike 3.:

W = WQ + E[S]

L = LQ + LS.

Prva jednakost kaže da je prosječno vrijeme koje klijent provede u sustavu jednakozbroju prosječnoga vremena u kojem klijent čeka u redu na usluživanje i prosječnogavremena koje je poslužitelju potrebno kako bi uslužio klijenta. Druga jednakost govori otome da je prosječan broj klijenata u sustavu jednak zbroju prosječnoga broja klijenatau redu čekanja i prosječnoga broja klijenata kod samoga pružanja usluge.

3. Markovljevi sustavi

U ovome poglavlju baviti ćemo se sustavima posluživanja kod kojih su distribucijavremena dolazaka jedinica u sustav i distribucija vremena usluživanja jedinica ekspo-nencijalne distribucije sa parametrima λ i µ, tj. baviti ćemo se sustavima M/M/C/N

gdje C i N poprimaju različite vrijednosti. Ovi sustavi su specijalni primjeri Markov-ljevih lanaca u neprekidnom vremenu. Definirajmo Markovljeve lance:

Definicija 3.1 (vidi [7 , str. 6])Neka je S prebrojiv skup. Slučajni proces X = (Xn, n ≥ 0) definiran na vjerojatnosnomprostoru (Ω,F , P ) s vrijednostima u skupu S je Markovljev lanac ako vrijedi

P (Xn+1 = j | Xn = i,Xn−1 = in−1, . . . , X0 = i0) = P (Xn+1 = j | Xn = i) (3.1)

za svaki n > 0 i za sve i0, . . . , in−1, i, j ∈ S za koje su obje uvjetne vjerojatnosti dobrodefinirane.

Svojstvo u relaciji (3.1) naziva se Markovljevim svojstvom. To svojstvo možemo jednos-tavnije opisati na sljedeći način: ako je poznata prošlost i sadašnjost, onda budućnostovisi samo o sadašnjosti, dok prošlost nema nikakvoga utjecaja. Markovljevi lanci suposebna vrsta Markovljevih procesa koju karakterizira prebrojiv skup stanja, a postojeMarkovljevi lanci u diskretnom vremenu i u neprekidnom vremenu. Kod Markovljevihlanaca u neprekidnome vremenu, vrijeme koje sustav provede u nekom stanju prije negoprijeđe u neko drugo stanje je slučajna varijabla koja ima eksponencijalnu distribuciju.

Definicija 3.2 (vidi [7, str. 47])Markovljev lanac s neprekidnim vremenom i prebrojivim skupom stanja S je slučajniproces X = (Xt : t ≥ 0) definiran na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F , P ) za koji vrijedisljedeće Markovljevo svojstvo: za sve n ≥ 1, za sve vremenske trenutke 0 ≤ t1 < t2 <

. . . < tn−1 < tn i sva stanja i1, . . . , in−2, i, j ∈ S

P (Xtn = j | Xt1 = i1, . . . , Xtn−2 = in−2, Xtn−1 = i) = P (Xtn = j | Xtn−1 = i).

11

Jedan primjer Markovljevog lanca u neprekidnom vremenu je Poissonov proces.Poissonov proces je jedan od temeljnih slučajnih procesa.

Definicija 3.3 (vidi [5, str. 304])Slučajan proces N(t), t ≥ 0 je Poissonov proces sa intenzitetom λ > 0 ako vrijedi:

1. N(0) = 0

2. proces N(t), t ≥ 0 ima nezavisne priraste

3. broj događaja u bilo kojem intervalu duljine t modeliran je slučajnom varijablomN(t) koja ima Poissonovu distribuciju sa očekivanjem λt, tj. za sve s, t > 0

vrijedi:

P (N(t+ s)−N(s) = n) = e−λt(λt)n

n!, n ∈ N0.

Definicija 3.4 Ako je limh→0f(h)h

= 0, tada kažemo da je f(h) = o(h) za h→ 0.

Definicija 3.5 (vidi [5, str. 303])Slučajan proces N(t), t ≥ 0 je Poissonov proces sa intenzitetom λ > 0 ako vrijedi:

1. N(0) = 0,

2. proces N(t), t ≥ 0 ima nezavisne i stacionarne priraste

3. P (N(t) ≥ 2) = o(t), t→ 0

4. P (N(t) = 1) = λt+ o(t), t→ 0.

Primjedba 3.1 Ove dvije definicije Poissonovog procesa su ekvivalentne. Također pri-mjetimo da vrijednost slučajne varijable N(t) interpretiramo kao broj realizacija pro-matarnog događaja u svakom vremenskom intervalu duljine t (primjerice, broj klijenatabanke koji su stali u red od početka promatranja pa sve do trenutka t).

Neka slučajna varijabla Xn predstavlja vrijeme koje protekne između pristizanja(n−1) i n-tog klijenta u sustav (X1 je vrijeme pristizanja prvog klijenta, X2 je vrijemepristizanja drugoga klijenta, itd.). Primjerice, ako je X1 = 5, a X2 = 10, tada će seprvo pristizanje (događaj) dogoditi za 5 sati (ukoliko smo vrijeme počeli brojati od 0sati), a drugo pristizanje će se dogoditi za 15 sati, gledano od početka promatranja.Odredimo distribuciju slučajne varijable Xn. Kako bi to učinili, primjetimo da će sedogađaj X1 > t dogoditi onda i samo onda ako ne postoje događaji koji se javljajuu vremenskome intervalu [0, t], stoga vrijedi

PX1 > t = PN(t) = 0 = e−λt.

12

Zato funkcija distribucije slučajne varijable X1 izgleda ovako (vidi [5, str. 307]):

FX1(t) = PX1 ≤ t = 1− PX1 > t =

1− e−λt ako je t > 0

0 inače .

Dakle, X1 ima eksponencijalnu distribuciju sa očekivanjem 1λ. Isto tako pogledajmo

X2:PX2 > t = E[IX2>t] = E[E[IX2>t|X1]].

Kako jeE[IX2>t|X1 = s] = PX2 > t|X1 = s

= P0 događaja u (s, s+t] | X1 = s= PN(s+ t)−N(s) = 0|N(s) = 1= PN(s+ t)−N(s) = 0= e−λt,

slijedi zbog normiranosti gustoće

PX2 > t =

∫ ∞0

e−λtfX1(s)ds = e−λt · 1 = e−λt.

Iz toga zaključujemo da je X2 neovisna o X1, da ima eksponencijalnu distribuciju saočekivanjem 1

λ, koje predstavlja prosječno vrijeme međupristizanja (gdje za jedinicu

vremena uzimamo npr. sat), a λ predstavlja prosječan broj klijenata po jedinici vre-mena koji pristižu u sustav, tj. λ je intenzitet pristizanja klijenata. Na primjer, ukolikoje λ = 120, to znači da u sustav svakog sata prosječno pristiže 120 klijenata, kao i daje prosječno vrijeme koje protekne između sukcesivnih pristizanja klijenata jednako1/λ = 1/120 sati, odnosno 0.5 minuta. Ponavljajući ovaj postupak i za X3, X4, . . .

proizlazi sljedeća propozicija.

Propozicija 3.1 (vidi [5, str. 308])Xn, n = 1, 2, . . . , su nezavisne, jednako distribuirane eksponencijalne slučajne varijablesa očekivanjem 1

λ.

Isto tako se i vrijeme potrebno za usluživanje klijenata može modelirati eksponen-cijalnom distribucijom sa parametrom µ, gdje µ predstavlja prosječan broj usluženihklijenata po jedinici vremena, tj. intenzitet ili brzinu usluživanja klijenata, dok 1

µ

predstavlja prosječno vrijeme usluživanja klijenata. Na primjer, ukoliko je µ = 5, to ćeznačiti da poslužitelj može poslužiti 5 klijenata po satu, kao i da je prosječno vrijemeusluživanja svakoga klijenta 1

5sata, odnosno 12 minuta.

Primjer 3.1 Servis HAK-a pozvan je u prosjeku 7 puta u toku jednoga sata. Kolikaje vjerojatnost da će u toku određenoga sata servis biti pozvan

a) točno 4 puta

13

b) barem jedanput?

RJEŠENJE:

Zadano: λ = 7

a) P (X = 4) = e−7 74

4!= 0.09

b) P (X ≥ 1) = 1− P (X < 1) = 1− P (X = 0) = 1− e−7 70

0!= 1− e−7 = 0.9991.

Većina redova čekanja kod kojih vrijeme proteklo između sukcesivnih pristizanjaklijenata, kao i vrijeme pružanja usluge, imaju eksponencijalnu distribuciju, mogu bitimodelirani kao procesi rađanja i umiranja.

3.1. Općenito o procesima rađanja i umiranja

Proces rađanja i umiranja je poseban slučaj Markovljevoga lanca u neprekidnome vre-menu sa skupom stanja 0, 1, 2, ... kod kojeg je prijelaz moguć samo u susjedna stanja(tj. iz stanja n samo u prethodno n − 1 i sljedeće n + 1 stanje). Ovaj proces se pri-mjenjuje u demografiji, teoriji redova čekanja, epidemiologiji ili u biologiji, itd.. Možese koristiti, primjerice, za proučavanje evolucije bakterija, za proučavanje broja ljudi sbolestima u populaciji, ili broja kupaca u redu u supermarketu.

Zamislimo sustav čije je stanje u bilo kojem trenutku predstavljeno brojem ljudi usustavu u to vrijeme. Pretpostavimo da kad god postoji n ljudi u sustavu, tada

• novi ljudi će ući u sustav sa eksponencijalnom stopom λn, i

• ljudi će napustiti sustav sa eksponencijalnom stopom µn.

To jest, uvijek kada je n ljudi u sustavu, tada je vrijeme do sljedećega dolaska eks-ponencijalno distribuirano sa očekivanjem 1

λni neovisno je o vremenu do sljedećega

odlaska koje je također eksponencijalno distribuirano sa očekivanjem 1µn. Takav sustav

se zove proces rađanja i umiranja. Koristit ćemo terminologiju rađanje tj. pristizanjeklijenta u sustav, te umiranje tj. odlazak klijenta iz sustava, dok su λn i µn infini-tezimalne stope rađanja, odnosno umiranja, gdje je n veličina populacije. Na osnovusvojstva Poissonovog procesa, prijelazne vjerojatnosti tijekom vremena (t, t+ ∆t] mo-žemo izraziti na sljedeći način (vidi [6, str. 29]):

rađanje (n ≥ 0) :

P (jedno rođenje) = λn∆t+ o(∆t),

P (nema rađanja) = 1− λn∆t+ o(∆t),

P (više od jednoga rođenja) = o(∆t)

14

umiranje (n > 0) :

P (jedna smrt) = µn∆t+ o(∆t),

P (nema umiranja) = 1− µn∆t+ o(∆t),

P (više od jedne smrti) = o(∆t).

Kada je µn = 0 a λn = λ za sve n, tada je riječ o čistom procesu rađanja gdje jemoguće iz stanja n otići samo u stanje n + 1. Primjetimo da je čisti proces rađanjaujedno i Poissonov proces. Kada je λn = 0 a µn = µ za sve n, tada govorimo o čistomprocesu umiranja. Slikoviti primjer čistoga procesa rađanja može biti rodilište, dokprimjer procesa umiranja može biti trgovina iz koje se povlače artikli kojima je istekaorok trajanja.

Primjer 3.2 (Sustav posluživanjaM/M/1) U ovakvim redovima čekanja, postoji jedanred u kojemu klijenti čekaju uslugu od strane jednoga poslužitelja, dok je redoslijedusluživanja FCFS. Pri tome, svaki klijent koji zatekne slobodnog poslužitelja odmahbiva uslužen, dok u situaciji kada je poslužitelj zauzet staje u red za pružanje usluge.Nakon pružene usluge, klijent napušta sustav, a poslužitelj počinje usluživati novogaklijenta (ukoliko on postoji u redu). Kapacitet sustava je beskonačan, kao i populacijaiz koje klijenti dolaze.

Ako N(t) predstavlja broj klijenata u sustavu u vremenskom trenutku t, tada jeN(t), t ≥ 0 proces rađanja i umiranja sa sljedećim stopama rađanja i umiranja

µn = µ, ∀n ≥ 1

λn = λ, ∀n ≥ 0.

Bilo koji sustav posluživanja opisan procesom rađanja i umiranja možemo predstavitidijagramom stanja na Slici 4.

Slika 4: Dijagram stanja sustava posluživanja

Neka N(t) označava broj klijenata u sustavu u vremenskom trenutku t. Definirajmovjerojatnost

Pij(∆t) = PN(t+ ∆t) = j|N(t) = i,

15

koja predstavlja vjerojatnost da će j klijenata biti prisutno u sustavu u vremenskomtrenutku t+ ∆t, ako je u trenutku t bilo prisutno i klijenata (vidi [4, str. 15]).

Kao što smo već rekli, kod procesa rađanja i umiranja, može se iz stanja j prijećijedino u stanje j−1 ( ako je j > 0) ili u stanje j+1. U kratkom vremenskom intervaluduljine ∆t, vjerojatnost da će proces prijeći iz stanja j u stanje j + 1 je jednaka

λj∆t+ o(∆t)

a vjerojatnost da će preći iz stanja j u stanje j − 1 je jednaka

µj∆t+ o(∆t)

gdje za o(∆t) važi da o(∆t)∆t→ 0 kada ∆t → 0 (u ovim izrazima o(∆t) ne određuje

stvarne vrijednosti). Prema tome, vjerojatnost da će proces i dalje biti (ili će se vratiti)u stanje j nakon ∆t jedinica vremena jednaka je

1− (λj + µj)∆t+ o(∆t).

Ili sve do sada navedeno možemo zapisati na ovaj način:

PN(t+ ∆t) = j|N(t) = i =

λj−1∆t+ o(∆t) , ako i = j-1µj+1∆t+ o(∆t) , ako i = j+1o(∆t) , ako |i-j| ≥ 2.

Ako primjenimo teorem o potpunoj vjerojatnosti, tada slijedi:

PN(t+ ∆t) = j =∞∑i=0

PN(t+ ∆t) = j|N(t) = iPN(t) = i. (3.2)

Budući da zahtijevamo

∞∑k=0

PN(t+ ∆t) = k|N(t) = j = 1,

slijedi da za ∆t→ 0 vrijedi

PN(t+ ∆t) = j|N(t) = j = 1− (λj + µj)∆t+ o(∆t).

Stoga, ako stavimo PN(t) = j = Pj(t), tada jednadžbu (3.2) možemo napisati nasljedeći način:

Pj(t+ ∆t) = λj−1∆tPj−1(t) + µj+1∆tPj+1(t) + [1− (λj + µj)∆t]Pj(t) + o(∆t),

∆t→ 0 j = 0, 1 . . . λ−1 = µ0 = P−1(t) = 0.

16

Ako oduzmemo Pj(t) sa obje strane prethodne jednakosti, te cijelu jednakost podijelimosa ∆t dobijemo:

Pj(t+ ∆t)− Pj(t)∆t

= λj−1Pj−1(t) + µj+1Pj+1(t)− (λj + µj)Pj(t) +σ(∆t)

∆t,

∆t→ 0 j = 0, 1 . . . λ−1 = µ0 = P−1(t) = 0.

Ako pustimo da lim∆t→∞ djeluje na prethodnu jednakost, dobijemo:

d

dtPj(t) = λj−1Pj−1(t) + µj+1Pj+1(t)− (λj + µj)Pj(t), (3.3)

j = 0, 1 . . . λ−1 = µ0 = P−1(t) = 0.

Dobili smo sustav diferencijalnih jednadžbi za proces rađanja i umiranja.Ako je N(0) = i, tada su početni uvjeti prethodne diferencijalne jednadžbe:

Pj(0) =

1 , ako j = i0 , ako j 6= i . (3.4)

Lako se može provjeriti da diferencijalna jednadžba (3.3) uvijek može biti riješenau slučaju čistog procesa rađanja, ili umiranja.

Primjerice, uzmimo u obzir čisti proces rađanja gdje je

λj = λ

µj = 0,

te neka je N(0) = 0. Tada je:

d

dtPj(t) = λPj−1(t)− λPj(t),

j = 0, 1, 2, . . . P−1(t) = 0,

Pj(0) =

1 , ako j = 00 , ako j 6= 0 .

Lagano dobijemo rješenje, za svaki t ≥ 0

Pj(t) =(λt)j

j!e−λt. (3.5)

Primjetimo da prethodne vjerojatnosti zadovoljavaju uvjet:∞∑j=0

Pj(t) = 1, t ≥ 0.

Prema jednadžbi (3.5), N(t) ima Poissonovu distribuciju sa očekivanjem λt, pa kažemoda je N(t), t ≥ 0 Poissonov proces.

17

U slučaju čistoga procesa rađanja, diferencijalna jednadžba (3.3) može biti jednos-tavno riješena, ali u općem slučaju, eksplicitno izvođenje rješenja može biti mukotrpanposao. Također jedan od problema pri rješavanju ovakvih jednadžbi je taj što ih imabeskonačno mnogo, a pitanje o egzistenciji i jedinstvenosti rješenja je komplicirano pao tome ovdje nećemo ništa spominjati.

Primjer 3.3 Kao primjer kako se proces rađanja i umiranja može primjeniti u teorijiredova čekanja uzmimo sustav sa jednim poslužiteljem gdje nema redova čekanja, tj.ukoliko prilikom klijentovoga dolaska poslužitelj bude zauzet, taj klijent neće ući u sus-tav. Dakle ovaj sustav će imati dva stanja: N(t) = 0 kada poslužitelj nije zauzet iN(t) = 1 kada je poslužitelj zauzet. Budući da novi klijent neće ući u sustav ukolikoje poslužitelj zauzet (dolasci klijenata se događaju samo kada je poslužitelj slobodan),stopa dolazaka će biti λ0 = λ i λj = 0, za j 6= 0. Slično tome, ukoliko nema klijenatau sustavu, poslužitelj neće biti zauzet, pa je stopa posluživanja µ1 = µ i µj = 0, za j 6= 1.Zato ćemo imati diferencijalne jednadžbe sljedećega oblika:

d

dtP0(t) = µP1(t)− λP0(t) (3.6)

d

dtP1(t) = λP0(t)− µP1(t). (3.7)

Ako zbrojimo ove dvije jednadžbe, dobiti ćemo:

d

dt[P0(t) + P1(t)] = 0,

pa iz toga zaključujemo da je

P0(t) + P1(t) = c, ∀t ≥ 0.

Zbog pretpostavke da je P0(0) + P1(0) = 1, slijedi da je c = 1,∀t ≥ 0 pa vrijedi

P0(t) + P1(t) = 1, ∀t ≥ 0. (3.8)

Ako (3.8) uvrstimo u (3.6) dobijemo

d

dtP0(t) + (λ+ µ)P0(t) = µ

čije je rješenje

P0(t) =µ

λ+ µ+

(P0(0)− µ

λ+ µ

)e−(λ+µ)t,

a ako uvrstimo (3.8) u (3.7) dobijemo

P1(t) =λ

λ+ µ+

(P1(0)− λ

λ+ µ

)e−(λ+µ)t.

18

Rješenja koja smo dobili u prethodnome primjeru nazivamo tzv. "prolazna rješenja"(engl. transient sollution) jer ona opisuju sustav kao funkciju vremena (vidi [4, str. 19]).U mnogim primjenama nisu zanimljiva takva rješenja koja se odnose na određenu točkuvremena, tj. poznavanje vremenski zavisnih događaja nije bitno. Stoga je rezultat kojije u najširoj upotrebi onaj koji se dobije na osnovu jednadžbe (3.3) kada t→∞. Akoto primjenimo na prethodni primjer dobiti ćemo

P0 = limt→∞

P0(t) =µ

λ+ µ

P1 = limt→∞

P1(t) =λ

λ+ µ

a kako je P0 + P1 = 1, ti rezultati su valjani. Primjetimo da su granične vrijednostiovih vjerojatnosti nezavisne o početnim vrijednostima P0(0) i P1(0), tj. nakon dovoljnodugog perioda vjerojatnosti su nezavisne obzirom na početne vrijednosti, a tada ka-žemo da je sustav u ravnoteži. U stanju ravnoteže, ponašanje procesa je nezavisno ovremenskom parametru i o početnim vrijednostima, tj.

limt→∞

Pj(t) = Pj.

Dakle, funkcija Pj(t) postaje konstanta Pj pa zbog toga

P′

j → 0 kada t→∞.

Sada jednadžba (3.3) ima oblik

0 = λj−1Pj−1 + µj+1Pj+1 − (λj + µj)Pj,

j = 0, 1 . . . λ−1 = µ0 = P−1 = 0.

Jedan od načina za analiziranje ovakvih jednadžbi je način pomoću rekurzije. Pri-mjerice, iz prve jednakosti ćemo dobiti P1 = λ0

µ1P0, iz druge jednakosti ćemo dobiti

P2 = λ0λ1µ1µ2

P0 itd.Drugi način za analiziranje je promatranje ove jednadžbe kao uvjeta ravnoteže

između stanja. Prijelazi između stanja se slikovito mogu prikazati (Slika 4.) takoda je svako stanje prikazano kružićem, a strelice predstavljaju prijelaze s pozitivnimvjerojatnostima. Osnovno pravilo kod ovakve analize je izjednačavanje stope po kojojproces ulazi u određeno stanje sa stopama po kojima proces izlazi iz toga stanja. Upravoovaj drugi način ćemo koristiti u daljnjim analizama u nastavku ovoga rada.

19

3.2. Primjeri Markovljevih sustava

3.2.1. Sustav posluživanja M/M/1

U ovakvim sustavima, postoji jedan red u kojemu klijenti čekaju uslugu od stranejednoga poslužitelja, dok je redoslijed usluživanja FCFS. Pri tome, svaki klijent kojizatekne slobodnog poslužitelja odmah biva uslužen, dok u situaciji kada je poslužiteljzauzet staje u red za pružanje usluge. Nakon pružene usluge, klijent napušta sustav,a poslužitelj počinje usluživati novoga klijenta (ukoliko on postoji u redu). Kapacitetsustava je beskonačan, kao i populacija iz koje klijenti dolaze.

Pretpostavimo da su procesi pristizanja u sustave masovnoga posluživanja Poisso-novi procesi sa intenzitetom λ, pa je vrijeme proteklo između sukcesivnih pristizanjaklijenata modelirano nezavisnim slučajnim varijablama koje imaju eksponencijalnudistribuciju sa očekivanjem 1

λ. Također i vremena usluživanja modeliramo nezavis-

nim slučajnim varijablama koje imaju eksponencijalnu distribuciju s očekivanjem 1µ.

Dakle, protok klijenata kroz sustav je Markovljev proces sa diskretnim skupom stanja0, 1, 2, . . . .

Promotrimo slučajne procese (N(t), t > 0) sa neprekidnim vremenom i diskretnimstanjima, gdje N(t) predstavlja broj klijenata u sustavu u vremenskom trenutku t, idefinirajmo

Pn = limt→∞

PN(t) = n

gdje su Pn za n ≥ 0 vjerojatnosti stacionarnog stanja. Drugim riječima, Pn je gra-nična ili dugoročna (long-run) vjerojatnost da će biti točno n klijenata u sustavu, ainterpretira se kao proporcija vremena tijekom kojega se sustav nalazi u stanju n, tj.tijekom kojega se u sustavu nalazi točno n klijenata. Na primjer, ako je P0 = 0.2, tadaće, dugoročno gledano, sustav ostati bez klijenata 20% vremena. Slično tome, ako jeP1 = 0.3, tada će sustav imati točno jednoga klijenta 30% vremena (vidi [5, str. 496]).Kada već spominjemo granične vjerojatnosti bitne su nam i (an, n ≥ 0) te (dn, n ≥ 0)

gdje je

an = proporcija klijenata koji su prilikom dolaska zatekli n klijenata u sustavu

dn = proporcija klijenata koji su prilikom odlaska ostavili iza sebe n klijenata,

a njih ćemo kasnije spomenuti.Dakle, Pn možemo interpretirati kao proporciju vremena tijekom kojega je u sus-

tavu n klijenata, an je proporcija klijenata koji su prilikom dolaska zatekli n klijenatau sustavu, a dn proporcija klijenata koji su prilikom odlaska ostavili iza sebe n klije-nata. Za sustave redova čekanja kod kojih ulaske u sustav modeliramo Poissonovimprocesom, vrijedi svojstvo koje kaže da klijenti pri dolasku u sustav zateknu prosječnoistu situaciju u sustavu kao i vanjski promatrač koji promatra sustav u proizvoljnom

20

trenutku. Točnije, proporcija klijenata koji su pri dolasku zatekli sustav u stanju n,jednaka je proporciji vremena tijekom kojega je sustav u stanju n. Ovo svojstvo vrijedisamo za dolaske klijenata koji su modelirani Poissonovim procesom, dok općenito nevrijedi. Primjerice, u sustavu G/G/1 u kojemu je vrijeme usluživanja 1, koji je prazanu trenutku 0, i u koji klijenti pristižu u trenucima 1, 3, 5, . . . , svaki klijent pri dolaskuzatekne prazan sustav, dok god je proporcija vremena tijekom kojega je sustav prazan12.Prema tome vrijedi sljedeća propozicija:

Propozicija 3.2 Proporcija klijenata, čiji ulazak u sustav modeliramo Poissonovimprocesom, koji pri dolasku sustav zateknu u stanju n podudara se s proporcijom vremenatijekom kojeg je sustav u stanju n, tj. vrijedi

Pn = an

Rezultat koji smo dobili u prethodnoj propoziciji zove se PASTA (Poisson Arrivals SeeTime Averages) princip (vidi [2, str. 12]; [3, str. 27]).

Sustavi jednakosti koji izjednačavaju stope po kojima proces ulazi u određeno stanjesa stopama po kojima proces izlazi iz tog stanja nazivaju se ravnotežne jednakosti(engl. balance equations)(vidi [5, str. 500]). Jedna od intuitivnih metoda za dobivanjesustava takvih jednakosti jeste crtanje dijagrama stanja i primjena metode ravnotežestopa, koja se sastoji od sustava jednakosti formiranih izjednačavanjem ’stope ulaska’sa ’stopom izlaska’ za svako stanje sustava čekanja.

Slika 5: Dijagram stanja sustava posluživanja M/M/1

Za svako n ≥ 0 stopa po kojoj proces ulazi u stanje n je jednaka stopi po kojojproces izlazi iz stanja n. Za određivanje ovih stopa razmotrimo prvo stanje 0. Kada jesustav u stanju 0, proces ga može napustiti samo ako klijent dođe, jer nitko ne možeotići iz sustava ako je on prazan. Kako je stopa dolazaka λ, a vjerojatnost za kojuje sustav u stanju 0 je P0, stopa po kojoj proces napušta stanje 0 jednaka je λP0. Sdruge strane u stanje 0 se može doći iz stanja 1 samo po odlasku. Odnosno ako jesamo jedan klijent u sustavu i usluživanje se završi, onda sustav ostaje prazan. Kakoje stopa odlazaka µ, a vjerojatnost da je u sustavu jedan klijent P1, slijedi da je stopa

21

po kojoj sustav ulazi u stanje 0 jednaka µP1. Tako iz našega principa jednakosti stopadobivamo prvu jednakost

λP0 = µP1.

Nakon stanja 0 razmotrimo stanje 1. Proces može napustiti stanje 1 ili dolaskom(koji se događa po stopi λ) ili odlaskom (koji se događa po stopi µ), iz čega zaključu-jemo da će proces napustiti stanje 1 po stopi λ+ µ. Kako je vjerojatnost da je procesu stanju 1 jednaka P1, stopa po kojoj proces napušta ovo stanje je (λ + µ)P1. Dru-gim riječima, u stanje 1 može se doći iz stanja 0 po dolasku klijenta ili iz stanja 2 poodlasku klijenta, pa je zato stopa po kojoj proces ulazi u stanje 1 jednaka λP0 + µP2.Ovakav način razmatranja primjenimo i na ostala stanja, te dobivamo sljedeći sustavjednakosti tj. dobivamo sljedeće ravnotežne jednakosti:

stanje stopa po kojoj proces napušta stanje =stopa po kojoj proces ulazi u stanje

0 λP0 = µP1

1 (λ+ µ)P1 = λP0 + µP2...

...n = 2, 3, . . . (λ+ µ)Pn = λPn−1 + µPn+1

Kako bi našli rješenje prethodnoga sustava, potrebno ga je napisati u sljedećem obliku:

P1 =λ

µP0 (3.9)

Pn+1 =λ

µPn +

(Pn −

λ

µPn−1

), n ≥ 1. (3.10)

Sustav jednakosti može se riješiti sukcesivnom supstitucijom rješenja i izražavanjemsvih Pn , n ≥ 1 s obzirom na P0:

P0 = P0

P1 =λ

µP0

P2 =λ

µP1 +

(P1 −

λ

µP0

)=λ

µP1 =

(λ

µ

)2

P0

P3 =λ

µP2 +

(P2 −

λ

µP1

)=λ

µP2 =

(λ

µ

)3

P0

P4 =λ

µP3 +

(P3 −

λ

µP2

)=λ

µP3 =

(λ

µ

)4

P0

...

22

Lako slijedi tvrdnja

Pn =

(λ

µ

)nP0 (3.11)

za n ≥ 0, koja se može dokazati matematičkom indukcijom. Koristeći indukcijskuhipotezu zajedno sa općim jednakostima (3.9) i (3.10) dobivamo

Pn+1 =λ

µPn +

(Pn −

λ

µPn−1

)=λ

µPn =

(λ

µ

)n+1

P0

i na taj način smo dokazali tvrdnju (3.11).Kako bi odredili P0 koristimo činjenicu da je zbroj svih vjerojatnosti Pn, n ≥ 0

jednak 1, pa zato vrijedi:

1 =∞∑n=0

Pn =∞∑n=0

(λ

µ

)nP0 =

P0

1− λµ

iliP0 = 1− λ

µ,

pa ako tako dobiveni P0 uvrstimo u (3.11), tada dobivamo sljedeći izraz za Pn zaM/M/1 sustav:

Pn =

(λ

µ

)n(1− λ

µ

), n ≥ 1. (3.12)

Kako bi prethodna jednakost imala smisla, nužno treba vrijediti

λ

µ< 1,

jer bi u suprotnom suma∑∞

n=0

(λµ

)nbila beskonačna i sve vjerojatnosti Pn, n ≥

0 bi bile jednake nuli. Dakle, pretpostavit ćemo da je λµ< 1 (to je ujedno uvjet

stabilnosti). Taj odnos λµ

nazivamo intenzitet prometa (engl. traffic intensity) ilipokazatelj iskorištenosti (odnosno opterećenja) uslužnoga mjesta (vidi [2, str. 10]; [1,str. 12]). Općenito se pokazatelj iskorištenosti sustava definira kao količnik stopedolaska i ukupne stope usluživanja (ako primjerice imamo k uslužnih mjesta, tada jepokazatelj iskorištenosti λ/kµ). U literaturi se često taj odnos označava sa ρ.

Kada bi vrijedilo λµ≥ 1, tj. kada bi intenzitet pristizanja klijenata λ najmanje

bio jednak intenzitetu pružanja usluge µ, došlo bi do toga da bi se prosječan brojklijenata i vrijeme provedeno u sustavu povećalo bez ograničenja, i ne bi postojalegranične vjerojatnosti, pa bi sustav bio nestabilan. (Jedan od načina da to spriječimoje povećanje broja uslužnih mjesta.) Zato ćemo u analizi pretpostaviti da je zadovoljenuvjet λ

µ< 1, jer ako to nije zadovoljeno, dugoročno će doći do zagušenja sustava,

jedinice će se nagomilavati tijekom vremena, i sustav neće moći normalno funkcionirati.

23

U daljnjem tekstu objasnit ćemo termine L,LQ,W i WQ koje ćemo izraziti u termi-nima granične vjerojatnosti Pn. Kako je Pn granična vjerojatnost sustava koji sadržin klijenata, prosječan broj klijenata u sustavu jasno je definiran kao:

L =∞∑n=0

nPn.

Uzimajući u obzir jednakost (3.12) i jednakost∑∞

n=0 nxn = x

(1−x)2vrijedi (vidi [5, str.

503])

L =∞∑n=0

n

(λ

µ

)n(1− λ

µ

)=

λµ

(1− λµ)2

(1− λ

µ

)=

λµ

(1− λµ)

=λ

µ− λ.

Nadalje, kako bismo odredili veličine LQ,W i WQ promotrimo sljedeći primjer.

Primjer 3.4 Zamislimo da u sustav ulaze klijenti koji moraju platiti račune (dakle,trebaju ostaviti novac u sustavu). Tada će vrijediti sljedeća osnovna jednadžba troškova:

a = λab (3.13)

• a = prosječna stopa po kojoj sustav zarađuje

• b = prosječan iznos kojega klijenti plaćaju sustavu

• λa definira prosječnu stopu dolaska klijenata u sustav,

tj. ako N(t) označava broj dolazaka klijenata u sustav u vremenu t tada vrijedi:

λa = limt→∞

N(t)

t.

Sada ćemo uvesti pojam Little-ove formule (vidi [5, str. 495]). Općenito, ona kažeda za sustav vrijedi sljedeće: Prosječan broj klijenata u sustavu jednak je umošku pro-sječne stope dolazaka i prosječnom vremenu koje klijent provede u sustavu. Primjerice,pretpostavimo da klijenti dolaze po stopi od 10 klijenata na sat i ostati će u sustavuprosječno 0.5 sata. To znači da će prosječan broj klijenata u sustavu u svakom trenutkubiti 5.

Ako se vratimo na jednadžbu (3.13), i ako pretpostavimo da svaki kupac plaća jedandolar po jedinici vremena dok je u sustavu, ta jednadžba daje Little-ovu formulu

L = λaW, (3.14)

jer prema pravilu troškova, stopa po kojoj sustav zarađuje je samo broj klijenata usustavu, a iznos kojega klijent plaća je jednak vremenu koje klijent provede u sustavu.

24

Isto tako, ako pretpostavimo da svaki klijent plaća 1 dolar po jedinici vremena dok je uredu, onda jednadžba 3.13 daje

LQ = λaWQ. (3.15)

Po pretpostavci pravila troška, koja kaže da svaki kupac plaća 1 dolar po jedinici vre-mena dok je u sustavu, dobivamo iz jednadžbe (3.13) sljedeće:

LS = λaE[S]. (3.16)

Treba naglasiti da jednadžbe u ovom primjeru vrijede za gotovo sve modele redovačekanja bez obzira na proces dolazaka, broj poslužitelja, ili disciplinu usluživanja.

Sada možemo odrediti LQ,W , i WQ uz pomoć jednadžbi (3.14) i (3.15). Kako jeintenzitet usluživanja µ, tada je E[S] = 1

µ. Budući da vrijedi λa = λ slijedi:

W =L

λ=

1

µ− λ,

WQ = W − E[S] = W − 1

µ=

λ

µ(µ− λ),

LQ = λWQ =λ2

µ(µ− λ).

Primjetimo da ove veličine možemo napisati i u ovom obliku:

L =λ/µ

1− λ/µ,

W =1/µ

1− λ/µ,

odakle možemo vidjeti, kada je λ/µ u blizini 1, blagi porast u λ/µ će dovesti do velikogpovećanja u L i W .

Primjer 3.5 Na naplatnu kućicu dolazi 180 vozila/sat po Poissonovoj razdiobi. Vre-mena dolazaka i posluživanja se ravnaju po eksponencijalnoj razdiobi. Srednje vrijemeposluživanja iznosi 4 vozila/ min. Odredimo:

a) prosječnu duljinu reda (tj. koliko vozila stoji prosječno u redu)

b) vrijeme čekanja u redu (u minutama po vozilu)

c) prosječno vrijeme zadržavanja u sustavu (u minutama po vozilu)

d) vjerojatnost da nema automobila na naplatnoj kućici

e) iskorištenost naplatne kućice.

25

Zadano je:λ = 180vozila/h = 3vozila/min

µ = 4vozila/min

a) LQ = λ2

µ(µ−λ)= 9

4(4−3)= 2.25 vozila

b) WQ = λµ(µ−λ)

= 34(4−3)

= 0.75 minuta po vozilu

c) W = 1µ−λ = 1

4−3= 1 minuta po vozilu

d) P0 = 1− λµ

= 0.25

e) ρ = λµ

= 0.75, tj. iskorištenost naplatne kućice jeste 75%.

3.2.2. Sustav posluživanja M/M/1/N

Za razliku od prethodnoga modela, u kojemu smo pretpostavili da ne postoji ogra-ničenje broja klijenata u sustavu, u ovome modelu ćemo ograničiti taj broj. Dakle,M/M/1/N sustav ima jedan red u kojemu klijenti čekaju uslugu od strane jednogaposlužitelja, dok je redoslijed usluživanja FCFS. Procesi pristizanja u sustav su Po-issonovi procesi sa intenzitetom λ, pa je vrijeme proteklo između sukcesivnih pristiza-nja klijenata modelirano nezavisnim slučajnim varijablama koje imaju eksponencijalnudistribuciju sa očekivanjem 1

λ. Također i vremena usluživanja modeliramo nezavisnim

slučajnim varijablama koje imaju eksponencijalnu distribuciju s očekivanjem 1µ. Je-

dina je razlika, u odnosu na prethodni model, u tome što kapacitet sustava više nijebeskonačan, već u sustav može ući točno N < ∞ jedinica. Ako nova jedinica želi ućiu sustav, a u sustavu već postoji N jedinica, ta jedinica će biti zaustavljena, a s timei izgubljena za sustav.

Iako je M/M/1 model koristan za modeliranje različitih slučajeva, pretpostavka obeskonačnom kapacitetu često ne odgovara stvarnosti i mnogo je realističnija pretpos-tavka da je kapacitet sustava neki cijeli broj N <∞.

Kao i u prethodnome slučaju, sa Pn, 0 ≤ n ≤ N, označimo granične vjerojatnosti.Primjenom metode ravnoteže stopa dobijemo sljedeći sustav ravnotežnih jednakosti:

stanje stopa po kojoj proces napušta stanje =stopa po kojoj proces ulazi u stanje

0 λP0 = µP1

1 ≤ n ≤ N − 1 (λ+ µ)Pn = λPn−1 + µPn+1

N µPN = λPN−1

26

Argument za stanje 0 je isti kao i kod M/M/1 sustava. Naime, kada je sustav u stanju0, proces će napustiti to stanje samo po dolasku klijenta (koji se događa po stopi λ),pa je stopa po kojoj sustav napušta stanje 0 jednaka λP0. S druge strane, proces možeući u stanje 0 samo iz stanja 1 po odlasku klijenta. Dakle, stopa po kojoj proces ulaziu stanje 0 je µP1. Jednadžba za stanje n, gdje je 1 ≤ n ≤ N − 1, je jednaka kao i uprethodnome slučaju. No, jednadžba za stanje N nije jednaka, jer se sada stanje Nmože napustiti samo po odlasku klijenta, a klijent koji želi ući, neće ući u sustav, akoje on u stanju N . Dakle, u stanje N se može ući samo iz stanja N − 1 (primjetimo dastanje N + 1 ne postoji) po dolasku klijenta.

Sada možemo riješiti sustav ravnotežnih jednadžbi na način kako smo to učinili usustavu s beskonačnim kapacitetom, ili izravno pomoću rezultata koji kaže da je stopapo kojoj sustav napušta stanje n− 1 po odlasku klijenta jednaka stopi po kojoj sustavulazi u stanje n− 1 po dolasku klijenta. Pozivajući se na taj rezultat,slijedi

µPn = λPn−1, n = 1, . . . , N,

pa zato vrijedi

Pn =λ

µPn−1 =

(λµ

)2

Pn−2 = · · · =(λµ

)nP0, n = 1, . . . , N. (3.17)

Koristeći činjenicu da je∑N

n=0 Pn = 1 slijedi

1 = P0

N∑n=0

(λµ

)n= P0

(1− (λ/µ)N+1

1− λ/µ

),

tj. P0 =1− λ/µ

1− (λ/µ)N+1.

Zato iz jednadžbe (3.17) slijedi:

Pn =(λ/µ)n(1− λ/µ)

1− (λ/µ)N+1, n = 0, 1, . . . , N.

Primjetimo da u ovome slučaju nema potrebe za isticanjem uvjeta λµ< 1. Prema

početnoj pretpostavci, red je ograničen, pa zbog toga ne postoji mogućnost njegovogpovećanja.

Što se tiče veličina L i W , kao i što smo to prije radili, možemo ih izraziti pomoćuPn :

L =N∑n=0

nPn =1− λ/µ

1− (λ/µ)N+1

N∑n=0

n(λµ

)n,

27

iz čega se dobije:

L =λ[1 +N(λ/µ)N+1 − (N + 1)(λ/µ)N ]

(µ− λ)(1− (λ/µ)N+1).

Pri izvođenju veličine W , moramo paziti na značenje riječi "klijenti", tj. trebamobiti sigurni što to ubrajamo pod pojam "klijenti"(vidi [5, str. 510]). Primjerice, tre-bamo paziti jesmo u taj pojam ubrojili i one klijente koji su došli i pronašli popunjensustav (pa nisu moglu ući u sustav), ili samo ubrajamo one klijente koji su ušli u sustav.Ukoliko pod pojam "klijenti" ubrajamo ove prve, tada vrijedi λa = λ. Za ove druge,tj. za klijente koji su ušli u sustav, budući da je dio klijenata koji su stvarno ušli usustav 1− PN , vrijedi λa = λ(1− PN). Tek nakon što smo razjasnili pojam "klijenti",možemo definirati W

W =L

λa.

Kao i u prošlome modelu, tako je i u ovome

E[S] =1

µ,

WQ = W − E[S],

LQ = λaWQ.

Primjer 3.6 Pretpostavimo da pružanje usluge sa intenzitezom (stopom) µ banku ko-šta cµ kuna po satu. Također pretpostavimo da će banka imati bruto dobit (engl. grossprofit) u vrijednosti od A kuna za svakog klijenta koji bude uslužen. Ako banka ima ka-pacitet koji može primiti N klijenata, koji će intenzitet µ maksimalno povećati ukupnudobit banke?RJEŠENJE:Odrediti ćemo iznos novca koji banka zaradi po satu (tj. iznos kojega će banka dobitiod svakoga klijenta), i od toga iznosa oduzeti iznos usluge koji banku košta cµ kuna posatu. Tako ćemo dobiti ukupnu profit banke po satu, a tada možemo izabrati µ koji ćetu dobit maksimalno povećati.

Neka potencijalni klijenti dolaze intenzitetom λ. Neki će od tih potencijalnih kli-jenata ući u banku, a neki to neće uspjeti, ako se dogodi slučaj da je u banci već Nklijenata, tj. ako je kapacitet banke popunjen. Budući je PN jednak dijelu vremenakada je kapacitet banke popunjen, a nama su bitni samo klijenti koji su imali moguć-nost ući u sustav, slijedi da će kupci ulaziti u sustav intenzitetom λ(1 − PN), a kakosvaki kupac plaća banci iznos od A kuna, banka zarađuje intenzitetom λ(1 − PN)A.Budući da banku pružanje usluge košta, banka gubi novac intenzitetom cµ po satu, paje ukupna profit banke dana sljedećim izrazom u kojem nam f(µ) predstavlja profit po

28

satu:

f(µ) = λ(1− PN)A− cµ

= λA[1− (λ/µ)N(1− λ/µ)

1− (λ/µ)N+1

]− cµ

=λA[1− (λ/µ)N ]

1− (λ/µ)N+1− cµ.

Primjerice, ako je N = 2, λ = 1, A = 20, c = 2 tada je

f(µ) =20[1− (1/µ)2]

1− (1/µ)3− 2µ =

20(µ3 − µ)

µ3 − 1− 2µ.

Vrijednost intenziteta µ koji maksimalno povećava profit banke, dobije se tako da seprethodna jednakost derivira, izjednači sa nulom, i riješi numerički. Dakle,

d

dµ[f(µ)] = 20

(2µ3 − 3µ2 + 1)

(µ3 − 1)2− 2

20(2µ3 − 3µ2 + 1)

(µ3 − 1)2− 2 = 0

−µ6 + 22µ3 − 30µ2 + 9 = 0.

Rješavanjem ove jednadžbe dobit ćemo µ.

3.2.3. Model sa grupnim usluživanjem

Model sa grupnim usluživanjem (engl. bulk service) možemo opisati na sljedeći na-čin: Klijenti dolaze u sustav intenzitetom λ, a vrijeme proteklo između sukcesivnihpristizanja klijenata modelirano je nezavisnim slučajnim varijablama koje imaju eks-ponencijalnu distribuciju. Klijenti stoje u jednom redu i čekaju na uslugu. Dakle,vidimo da se model, u ovome što smo naveli,ne razlikuje od prethodnih modela. Nopostoji razlika u posluživanju klijenata. Ovaj model ima jednoga poslužitelja koji možeposlužiti dva klijenta istovremeno. Primjerice, ako u redu imamo 10 ljudi, jedan pos-lužitelj će poslužiti prva dva klijenta, nakon toga druga dva klijenta itd.. Ukoliko je uredu samo jedan klijent, on će biti sam uslužen.

Kao i u prethodnim modelima, vremena usluživanja modeliramo nezavisnim slučaj-nim varijablama koje imaju eksponencijalnu distribuciju, a intenzitet usluživanja je µbez obzira na činjenicu poslužuje li se jedan ili dva klijenta. Redoslijed usluživanja jeFCFS. U stvarnome životu posvuda možemo vidjeti ovakve sustave. Primjerice, ovakavsustav može biti taksi ili žičara koja može povesti najviše dva putnika u bilo kojemtrenutku.

29

Dakle, stanje sustava nam može reći, ne samo koliko je klijenata u sustavu, već ikoliko se njih trenutno poslužuje (od strane jednoga poslužitelja), jedan klijent ili dvaklijenta. Međutim, ispostavlja se da je ovaj problem lakše riješiti ako se usredotočimona broj klijenata u redu, nego na broj klijenata u cijelom sustavu. Zbog toga ćemoanalizirati stanje sustava tako da gledamo broj klijenata koji čekaju u redu. Može sedogoditi da nitko ne čeka uslugu, da je poslužitelj zauzet, ali nitko ne stoji u redu, tesituacija kada n klijenata stoji i čeka na uslugu kao što je opisano u sljedećoj tablici:

Stanje Interpretacija stanja0′ Nitko ne čeka uslugu0 Poslužitelj je zauzet usluživanjem, ali nitko ne čeka u redu

n, n > 0 Poslužitelj je zauzet usluživanjem, a n klijenata čeka u redu

Dijagram stanja možemo vidjeti na Slici 6., a sustav ravnotežnih jednakosti u sljedećoj

Slika 6: Dijagram stanja sustava posluživanja sa bulk servisom

tablici:

stanje stopa po kojoj proces napušta stanje =stopa po kojoj proces ulazi u stanje

0′ λP0′ = µP0

0 (λ+ µ)P0 = λP0′ + µP1 + µP2

n, n ≥ 1 (λ+ µ)Pn = λPn−1 + µPn+2

Neka jePn = αnP0

rješenje sustava jednadžbi

(λ+ µ)Pn = λPn−1 + µPn+2, n = 1, 2, . . . . (3.18)

30

Kako bi to provjerili, uvrstimo rješenje u sustav (3.18):

(λ+ µ)αnP0 = λαn−1P0 + µαn+2P0.

Ako tu jednadžbu podijelimo sa αn−1P0 dobijemo:

(λ+ µ)α = λ+ µα3.

Ako riješimo prethodnu jednadžbu kako bi dobili α, dobijemo sljedeća 3 rješenja:

α1 = 1, α2 =−1−

√1 + 4λ/µ

2, α3 =

−1 +√

1 + 4λ/µ

2.

Jasno je da prva dva rješenja nisu moguća (kada bi vrijedilo da je α = 1 tada bivrijedilo da je Pn = P0, a to nema smisla, dok je drugi α negativan, pa iz toga razloganije moguć), pa slijedi:

α =−1 +

√1 + 4λ/µ

2.

Dakle, vrijedi nam jednakostPn = αnP0,

a iz prve ravnotežne jednakosti slijedi (možemo ignorirati drugu ravnotežnu jednakost,jer je uvijek jedna od tih jednakosti suvišna):

P0′ =µ

λP0.

Kako bi dobili P0, koristit ćemo sljedeću činjenicu:

P0 + P0′ +∞∑n=1

Pn = 1.

Ako uvrstimo vrijednosti P0′ i Pn slijedi:

P0

[1 +

µ

λ+∞∑n=1

αn

]= 1,

P0

[1 +

µ

λ+

α

1− α

]= 1,

P0

[µ

λ+

1

1− α

]= 1,

tj. P0 =λ(1− α)

λ+ µ(1− α),

31

iz čega slijedi:

Pn =αnλ(1− α)

λ+ µ(1− α), n ≥ 0

P0′ =µ(1− α)

λ+ µ(1− α),

gdje je

α =−1 +

√1 + 4λ/µ

2.

Primjetimo da će prethodne jednadžbe biti valjane ukoliko su ispunjeni uvjeti:

α < 1,λ

µ< 2.

To je intuitivno jasno, pošto je maksimalni intenzitet usluživanja 2µ, a on mora bitiveći od intenziteta dolazaka klijenata λ kako bi se izbjeglo preopterećenje sustava.

Sada možemo odrediti i ostale veličine koje nas zanimaju. Primjerice, kako biodredili udio klijenata koji su sami usluženi (a ne u paru)(vidi [5, str. 517]), trebamoimati na umu da je intenzitet kojim su klijenti sami usluženi jednak λP0′ + µP1, jerkad je sustav prazan, klijent će biti sam uslužen prilikom dolaska, a kada jedan klijentčeka u redu, on će biti sam uslužen prilikom odlaska. Kako je intenzitet usluživanjajednak λ, slijedi da je udio klijenata koji su sami usluženi jednak

λP0′ + µP1

λ= P0′ +

µ

λP1.

Također vrijedi

LQ =∞∑n=1

nPn

=λ(1− α)

λ+ µ(1− α)

∞∑n=1

nαn

=λα

(1− α)[λ+ µ(1− α)](zbog

∞∑n=1

nαn =α

(1− α)2),

i

WQ =LQλ,

W = WQ +1

µ,

L = λW.

32

3.2.4. Erlangov sustav gubitka ili M/M/k sustav

U svim do sada modelima uvijek su sustavi imali jednoga poslužitelja, no u ovome mo-delu to nije slučaj, jer ćemo imati k poslužitelja (poredanih u paralelnu vezu). Sustavgubitka ili sustav bez čekanja je karakterističan po tome što se pristiglim klijentima nedozvoljava ulazak ako su svi poslužitelji zauzeti, tj. ne formira se red čekanja. Ovo jejedan od prvih sustava koje je A.K.Erlang razmatrao. Prije uvođenja međuspremnika(engl. buffer) za čekanje poziva, telefonski sustavi su funkcionirali isključivo kao sus-tavi gubitka. Najjednostavniji takav sustav je M/M/k sustav gubitka u kojem klijentidolaze u skladu s Poissonovim procesom sa stopom λ, ulaze u sustav ukoliko je baremjedan od k poslužitelja slobodan, i bivaju usluženi, a vremena usluživanja modeliranasu nezavisnim slučajnim varijablama koje imaju eksponencijalnu distribuciju sa sto-pom µ. Inače, sustavi sa više poslužitelja su mnogo kompliciraniji nego li sustavi sajednim poslužiteljem.

Slika 7: Dijagram stanja sustava gubitka

Dijagram stanja ovoga sustava možemo vidjeti na Slici 7., a sustav ravnotežnihjednakosti je dan sljedećom tablicom:

stanje stopa po kojoj proces napušta stanje =stopa po kojoj proces ulazi u stanje

0 λP0 = µP1

1 (λ+ µ)P1 = 2µP2 + λP0

2 (λ+ 2µ)P2 = 3µP3 + λP1

i, 0 < i < k (λ+ iµ)Pi = (i+ 1)µPi+1 + λPi−1

k kµPk = λPk−1

33

iz čega slijedi

P1 =λ

µP0,

P2 =λ

2µP1 =

(λ/µ)2

2P0,

P3 =λ

3µP2 =

(λ/µ)3

3!P0,

...

Pk =λ

kµPk−1 =

(λ/µ)k

k!P0,

a koristećik∑0

Pi = 1

dobijemo

Pi =

(λµ

)i/i!∑k

j=0

(λµ

)j/j!

, i = 0, 1, . . . , k.

Budući je E[S] = 1µgdje je E[S] očekivano vrijeme usluživanja, prethodna jednadžba

se može napisati kao tzv. Erlangova formula gubitka:

Pi =(λE[S])i

i!∑kj=0

(λE[S])i

i!

.

3.3. Mreže redova čekanja

Do sada smo uvijek promatrali sustave u kojem su poslužitelji bili poredani u paralelnuvezu. Sada ćemo analizirati sustave gdje su poslužitelji u rednoj vezi, a upravo takvisustavi se nazivaju mreže redova čekanja (vidi [2, str. 45]).

Mreže redova čekanja su vrlo važni i zanimljivi sustavi. U stvarnome životu, češćese susrećemo sa mrežama redova čekanja nego li sa do sada spomenutim sustavima.Primjerice, u zabavnome parku razne vožnje su različite stanice (faze), kupci čekaju uredovima na svakoj stanici, i kada su gotovi sa jednom stanicom (vožnjom) prelaze nadrugu (s time da nam zabavni park označava jedan sustav). Također različiti sustavikoji se bave proizvodnjom ili transportom mogu biti modelirani kao mreže redovačekanja. I internet, bez kojega danas ne možemo, je mreža redova čekanja, jer raznipodaci putem mreže se kreću od rutera do drugog rutera.

Mreža redova čekanja dijelimo na

• otvorene sustave

34

• zatvorene sustave

• miješane sustave.

U otvorenim sustavima novi klijenti izvan sustava koji dolaze iz beskonačne populacijemogu se pridružiti bilo kojem redu, a kada su od jednoga poslužitelja do drugoga dobiliuslugu koju su trebali oni napuštaju sustav. Slika 8. je primjer otvorenoga sustava.

Slika 8: Primjer otvorenoga sustava

U zatvorenim sustavima isti klijenti su cijelo vrijeme u sutavu, tj. broj klijenata usustavu je stalan. Ni jedan novi klijent ne ulazi u sustav, niti klijenti koji su u sustavunapuštaju taj sustav. Kada klijent bude uslužen kod jednoga poslužitelja, ne znači daće on napustiti sustav, nego će otići kod sljedećega poslužitelja, pa kod sljedećega, itd..Pretpostavlja se da klijent nikada ne napušta sustav. Slika 9. je primjer zatvorenogasustava.

Slika 9: Primjer zatvorenoga sustava

Miješani sustavi su kombinacija otvorenih i zatvorenih sutava. Slika 10. prikazujemiješani sustav.

35

Slika 10: Primjer miješanoga sustava

Za mreže redova čekanja ne postoji notacija slična Kendallovoj, a najjednostavnijemreže su serije sustava s jednim poslužiteljem, te sa eksponencijalnim dolascima ivremenom obrade, tj. serija od k sustava tipaM/M/1, a upravo takve otvorene sustavećemo analizirati u nastavku rada. Zatvorene i miješane sustave nećemo analizirati.

3.3.1. Otvoreni sustav

Za početak pretpostavimo da ovaj sustav ima dva poslužitelja povezana rednom (se-rijskom) vezom, gdje su klijentovi dolasci prvome poslužitelju modelirani Poissonovimprocesom sa intenzitetom λ. Nakon što je klijent uslužen kod prvoga poslužitelja, stajeu red kako bi dobio uslugu i od drugoga poslužitelja (Slika 11.). Redovi čekanja kod

Slika 11: Poslužitelji u serijskoj vezi

oba poslužitelja su beskonačnoga kapaciteta. Dakle, za početak ćemo pretpostaviti dasvaki od dva poslužitelja uslužuje jednoga klijenta, dok je vrijeme usluživanja svakogaposlužitelja modelirano slučajnom varijablom koja ima eksponencijalnu distribuciju, ausluživanje se vrši intenzitetom µi, i = 1, 2 (µ1 je intenzitet usluživanja prvoga, a µ2

drugoga poslužitelja).Kako bi analizirali ovaj sustav trebamo pratiti broj klijenata u redu ispred jednoga

i ispred drugoga poslužitelja. Zato definirajmo stanje oblika (n,m) gdje je n brojklijenata u redu ispred prvoga poslužitelja, a m broj klijenata u redu ispred drugogaposlužitelja. Ravnotežne jednakosti su:

36

stanje stopa po kojoj proces napušta stanje =stopa po kojoj proces ulazi u stanje

0, 0 λP0,0 = µ2P0,1

n, 0; n > 0 (λ+ µ1)Pn,0 = µ2Pn,1 + λPn−1,0

0,m; m > 0 (λ+ µ2)P0,m = µ2P0,m+1 + µ1P1,m−1

n,m; n,m > 0 (λ+ µ1 + µ2)Pn,m = µ2Pn,m+1 + µ1Pn+1,m−1 + λPn−1,m

Umjesto da pokušamo riješiti ovaj sustav, mi ćemo pretpostaviti rješenje, pa ćemoonda to rješenje uvrstiti u sutav, i vidjeti da li ga ono zadovoljava. Primjetimo da jesituacija kod prvoga poslužitelja jednaka kao i u M/M/1 sustavu. Kako je u sustavuM/M/1 i proces odlazaka modeliran Poissonovim procesom, slijedi da je i kod drugogaposlužitelja ista situacija kao i u M/M/1 sustavu. Dakle, vjerojatnost da je u reduispred prvoga poslužitelja n klijenata je

P (n klijenata kod P1) =

(λ

µ1

)n(1− λ

µ1

).

Tako vrijedi i kod drugoga poslužitelja

P (m klijenata kod P2) =

(λ

µ2

)m(1− λ

µ2

).

Intuitivno zaključujemo da su brojevi ljudi u redu ispred prvoga i drugoga poslužiteljanezavisne slučajne varijable, pa slijedi

Pn,m =

(λ

µ1

)n(1− λ

µ1

)(λ

µ2

)m(1− λ

µ2

).

Kako bismo provjerili je li Pn,m uistinu rješenje sustava ravnotežnih jednakosti (a timei je li broj klijenata u redu ispred prvoga poslužitelja neovisan o broju klijenata ispreddrugoga poslužitelja), trebamo vidjeti zadovoljavaju li prethodno dobivene vrijednostisustav ravnotežnih jednakosti (to će biti dovoljno, jer znamo da je Pn,m jedinstvenorješenje sustava ravnotežnih jednadžbi). Sada, primjerice, ako uzememo u obzir prvujednadžbu sustava ravnotežnih jednakosti, trebamo pokazati da je

λP0,0 = µ2P0,1.

Kada uvrstimo P0,0 i P0,1 vidimo da vrijedi jednakost

λ

(1− λ

µ1

)(1− λ

µ2

)= µ2

(1− λ

µ1

)(λ

µ2

)(1− λ

µ2

)tj. λ = λ.

37

Ako uzmemo drugu ravnotežnu jednakost

(λ+ µ1)Pn,0 = µ2Pn,1 + λPn−1,0

i uvrstimo Pn,0, Pn,1 i Pn−1,0, slijedi

(λ+ µ1)

(λ

µ1

)n(1− λ

µ1

)(1− λ

µ2

)= µ2

(λ

µ1

)n(1− λ

µ1

)(λ

µ2

)(1− λ

µ2

)

+ λ

(λ

µ1

)n−1(1− λ

µ1

)(1− λ

µ2

)

(λ+ µ1)

(λ

µ1

)n(1− λ

µ1

)(1− λ

µ2

)=

(1− λ

µ1

)(1− λ

µ2

)·

·

(λ

µ1

)n−1[µ2

(λ

µ1

)(λ

µ2

)+ λ

]

tj. (λ+ µ1)

(λ

µ1

)=

(λ

µ1

)(λ+ µ1).

Slično se pokaže da Pn,m zadovoljava i ostale ravnotežne jednakosti, pa smo time po-kazali da je Pn,m uistinu rješenje sustava ravnotežnih jednakosti .

Iz svega navedenoga, možemo zaključiti da su L i W definirani na sljedeći način:

L =∑n,m

(n+m)Pn,m

=∑n

n

(λ

µ1

)n(1− λ

µ1

)+∑m

m

(λ

µ2

)m(1− λ

µ2

)=

λ

µ1 − λ+

λ

µ2 − λ,

W =L

λ=

1

µ1 − λ+

1

µ2 − λ.

Naravno, spomenuti otvoreni sustav sa samo dva poslužitelja, možemo i genera-lizirati, tj. pogledajmo što će se dogoditi ako imamo k poslužitelja, a ne samo dva.Ovakve mreže sa k poslužitelja, te eksponencijalnim stopama dolazaka i odlazaka sva-kog poslužitelja, nazivaju se Jacksonove mreže.

Dakle, klijenti izvana ulaze u sustav i staju u red (ukoliko postoji) ispred poslužiteljai, i = 1, . . . , k sukladno Poissonovom procesu sa intenzitetom ri. Kada ih je poslužitelj iuslužio, tada staju u red ispred sljedećega poslužitelja j, j = 1, . . . , k i to sa vjerojatnostiPij. Vrijedi

k∑j=1

Pij ≤ 1,

38

a 1 −∑k

j=1 Pij predstavlja vjerojatnost da će klijent napustiti sustav nakon što jeuslužen od strane klijenta i.

Ako sa λj označimo ukupan intenzitet dolazaka klijenata ka poslužitelju j, tada jeλj rješenje jednadžbe

λj = rj +k∑i=1

λiPij, i = 1, . . . , k. (3.19)

Ovu jednadžbu zovemo jednadžba prometa (engl. traffic equation), a ona izgleda ovakozbog toga što je rj stopa dolazaka klijenata izvana u sustav ka poslužitelju j, λi stopapo kojoj klijenti napuštaju poslužitelja i (stopa dolazaka je jednak stopi odlazaka), aλiPij stopa dolazaka onih klijenata koji su napustivši poslužitelja i došli poslužitelju j.Brojevi klijenata koji su u redu ispred svakoga poslužitelja su neovisni jedan od drugogi vrijedi

P (n klijenata kod posluzitelja j) =

(λjµj

)n(1− λj

µj

), n ≥ 1,

gdje je µj eksponencijalna stopa usluživanja poslužitelja j s tim da je nužan uvjet

λjµj

< 1, ∀j.

Kako bi to dokazali, primjetimo da je prethodna jednakost ekvivalentna tome dasu granične vjerojatnosti P (n1, n2, . . . , nk) = P (nj klijenata kod posluzitelja j, j =

1, . . . , k) dane izrazom

P (n1, n2, . . . , nk) =k∏

j=1

(λjµj

)nj(

1− λjµj

),

što se može pokazati tako da se prethodna jednadžba uvrsti u ravnotežne jednakostiza ovaj model. Prethodna jednadžba je prilično značajna po tome što kaže da jedistribucija broja korisnika kod poslužitelja i ista kao i u M/M/1 sustavu sa stopamaλi i µi.

Primjedba 3.2 Općenito kod modela mreže redova čekanja, proces dolaska na čvorui (kod poslužitelja i) ne mora uvijek biti Poissonov proces. Ako postoji mogućnost daklijent može više puta posjetiti istoga poslužitelja (situacija se zove povratna veza (engl.feedback)), tada proces dolazaka neće biti Poissonov proces, no takvim slučajevima senećemo baviti.

39

Prosječan broj klijenata u ovome sustavu je

L =k∑j=1

(prosječan broj klijenata kod posluzitelja j)

=k∑j=1

λjµj − λj

,

a prosječno vrijeme koje klijent provede u ovakvom sustavu je

W =

∑kj=1

λjµj−λj∑k

j=1 rj,

gdje smo W dobili na osnovu Littleovog zakona L = λW gdje je λ =∑k

j=1 rj.

Primjer 3.7 Zamislimo sustav u kojemu imamo dva poslužitelja koja su poredana urednu vezu. Primjerice neka je to benzinska postaja koja ima dva poslužitelja, čovjekakoji toči i naplaćuje gorivo, tj. poslužitelja 1 i čovjeka koji radi na blagajni, tj. posluži-telja 2 (on je unutar trgovine u kojoj se još mnogo toga uz gorivo može kupiti). Kupciizvana dolaze na benzinsku postaju u skladu s Poissonovim procesom, i to sa inten-zitetom od 4 osobe po satu ka poslužitelju 1, i sa intenzitetom od 5 osoba po satu kaposlužitelju 2. Intenzitet usluživanja kod poslužitelja 1 je 8 osoba po satu, a kod posluži-telja 2 je 10 osoba po satu. Kada je klijent natočio gorivo kod poslužitelja 1 jednako jevjerojatno da će platiti gorivo poslužitelju 1 i otići sa benzinske, ili otići ka poslužitelju2 (P11 = 0, P12 = 1

2). Kada je klijent obavio uslugu kod poslužitelja 2, vjerojatnost da

će otići poslužitelju 1 jeste 0.25, a 0.75 da će otići sa benzinske (P21 = 14, P22 = 0).

Odredi granične vjerojatnosti, L i W .

RJEŠENJE:

Imamo zadano: r1 = 4, r2 = 5, µ1 = 8, µ2 = 10.Ukupna stopa dolazaka klijenata poslužitelju 1 je

λ1 = 4 +1

4λ2,

a poslužitelju 2

λ2 = 5 +1

2λ1.

Kada riješimo sustav ovih dviju jednadžbi, dobijemo

λ1 = 6, λ2 = 8.

40

Sada možemo izračunati graničnu vjerojatnost

Pn,m =(6

8

)n1

4

( 8

10

)m1

5=

1

20

(6

8

)n( 8

10

)mi

L =λ1

µ1 − λ1

+λ2

µ2 − λ2

=6

8− 6+

8

10− 8= 7,

W =L

r1 + r2

=7

9.

4. Nemarkovljevi sustavi ili M/G/1 i G/M/1 sustavi

4.1. Općenito o M/G/1 sustavu

Možemo reći da je M/G/1 sustav poopćeni sustav sustava M/M/1 gdje vrijeme uslu-živanja više nije eksponencijalno (vidi [5, str. 528]). Tim poopćenjem raste i složenostsustava redova čekanja, jer se više ne možemo uvijek osloniti na svojstva Markovljevoglanca, kao što smo to mogli do sada, pa ćemo zato morati koristite neke druge metodekako bi analizirali problem sustava čekanja. Sada pretpostavljamo da je vrijeme usluži-vanja modelirano nezavisnim, jednako distribuiranim slučajnim varijablama sa nekomopćenitom distribucijom. Proces dolazaka je i dalje Poissonov proces sa stopom λ,postoji samo jedan poslužitelj, neograničen kapacitet sustava, a disciplina usluživanjaje FCFS.

Za neki proizvoljan sustav čekanja, neka općeniti rad sustava u nekom vremenu toznačava zbroj vremena usluživanja svih klijenata u sustavu u vremenu t. Primjericeako imamo 4 klijenta u sustavu, i ako klijent koji se poslužuje provede u sustavu 3jedinice vremena (npr. 3 sata) od potrebnih 6, a ostali po 6 jedinica svaki, tada je radsustava u tom vremenu 3 + 6 + 6 + 6 = 21. Neka je sa V označen prosječan rad sustava(tj. ukupno vrijeme usluživanja). Ako se pozovemo na osnovnu jednadžbu troškova(3.13),i ako uzmemo u obzir sljedeće pravilo troškova: Svaki klijent plaća stopom y pojedinici vremena kada je njegovo preostalo vrijeme usluživanja y, bez obzira je li u reduili se uslužuje. Tada će nam stopu po kojoj sustav zarađuje označavati rad sustava, tj.V . Zato vrijedi

V = λaE[iznos kojega klijent plaća sustavu].

Nadalje, ako S označava vrijeme koje je klijent potrošio dok ga je poslužitelj usluživao,a W ∗

Q vrijeme koje je klijent proveo čekajući u redu vrijedi

E[iznos kojega klijent plaća sustavu] = E

[SW ∗

Q +

∫ S

0

(S − x)dx

]

41

budući da klijent plaća konstantnom stopom S po jedinici vremena dok je čekao u redui stopom S − x nakon što je proveo neko vrijeme x kod poslužitelja. Zato vrijedi

V = λaE[SW ∗Q] +

λaE[S2]

2(4.1)

Prethodna jednadžba je osnovna jednadžba teorije redova čekanja, i kao takva vrijediu skoro svim sustavima redova čekanja. Osim toga, ukoliko je vrijeme koje je klijentpotrošio dok je čekao kod poslužitelja da ga usluži neovisno o vremenu koje je proveočekajući u redu (što je vrlo često, ali ipak ne mora uvijek biti tako) tada jednadžba(4.1) poprima oblik

V = λaE[S]WQ +λaE[S2]

2(4.2)

Budući da imamo samo jednoga poslužitelja možemo pretpostaviti da je

klijentovo čekanje u redu = rad sustava prilikom dolaska klijenta,

tj.W ∗Q = rad sustava prilikom dolaska klijenta,

a ako na obje strane jednakosti primjenimo očekivanje slijedi

WQ = prosječan rad sustava prilikom dolaska klijenta

Zbog toga što je proces dolazaka Poissonov proces (vrijedi PASTA princip), slijedi daje prosječan rad sustava prilikom dolaska klijenta, jednak vremenu prosječnog rada usustavu, tj. V , pa vrijedi

WQ = V,

a iz toga i iz jednadžbe

V = λE[S]WQ +λE[S2]

2

proizlazi tzv. Pollaczek–Khintchine jednakost

WQ =λE[S2]

2(1− λE[S])(4.3)

gdje su E[S] i E[S2] prva dva momenta opće distribucije usluživanja. Iz ove jednakosti,možemo dobiti i veličine L,LQ i W :

LQ = λWQ =λ2E[S2]

2(1− λE[S]),

W = WQ + E[S] =λE[S2]

2(1− λE[S])+ E[S],

42

L = λW =λ2E[S2]

2(1− λE[S])+ λE[S].

Kako bi ove jednadžbe bile valjane, trebao bi biti ispunjen uvjet

λE[S] < 1.

Ako je poslužitelj uvijek zauzet, tada je stopa odlaska klijenta 1E[S]

(to znamo od prije),a ona mora biti veća od stope dolaska λ, jer u suprotnom jednadžbe ne bi vrijedile. Paje naš uvjet intuitivno zadovoljen.

4.1.1. Razdoblja mirovanja i zauzeta razdoblja

Sustav redova čekanja se naizmjenično izmjenjuje između razdoblja mirovanja kadanema klijenata u sustavu, pa poslužitelj miruje, te zauzetoga razdoblja kada postojibarem jedan klijent u sustavu, pa je poslužitelj zauzet. Neka je In duljina n-togarazdoblja mirovanja, a Bn duljina n-toga zauzetog razdoblja gdje je n ≥ 1. Zato seudio vremena tokom kojega poslužitelj miruje, kojega ćemo označiti sa P0, može izrazitina sljedeći način:

P0 = limn→∞

I1 + · · ·+ InI1 + · · ·+ In +B1 + · · ·+Bn

.

Lako se može zaključiti da su I1, I2, . . . nezavisni i jednako distribuirani, kao iB1, B2, . . . .Ako prethodni razlomak podijelimo sa n, i ako primjenimo jaki zakon velikih brojeva,dobijemo

P0 = limn→∞

(I1 + · · ·+ In)/n

(I1 + · · ·+ In)/n+ (B1 + · · ·+Bn)/n=

E[I]

E[I] + E[B](4.4)

gdje su I i B slučajne varijable kojima je modelirano razdoblje mirovanja i zauzetorazdoblje. Dakle, I predstavlja vrijeme od klijentovoga odlaska i ostavljanja praznogsustava sve dok ne dođe novi klijent. Zbog procesa dolazaka koji je Poissonov processlijedi da je I slučajna varijabla sa eksponencijalnom distribucijom sa stopom λ, pavrijedi

E[I] =1

λ. (4.5)

Kako bi dobili P0 trebamo se vratiti na jednadžbu (3.16). Vrijedi

prosječan broj zauzetih poslužitelja = λE[S].

Kako je lijeva strana prethodne jednakosti jednaka 1− P0 vrijedi

1− P0 = λE[S]

tj. P0 = 1− λE[S],

43

pa zbog jednadžbi (4.4) i (4.5) vrijedi

1− λE[S] =1/λ

1/λ+ E[B]

iliE[B] =

E[S]

1− λE[S].

Također nas zanima i broj klijenata koji su usluženi u zauzetom razdoblju, a tajbroj ćemo označiti sa C. Očekivanje od C se može izračunati, uz napomenu da zasvakih E[C] dolazaka točno jedan klijent će pronaći prazan sustav, a to je prvi kupacu zauzetom razdoblju. Dakle,

a0 =1

E[C],

a kako je a0 = P0 = 1− λE[S] zbog Poissonovog procesa dolazaka, vrijedi

E[C] =1

1− λE[S].

4.2. Varijacije sustava M/G/1

4.2.1. M/G/1 sustav sa grupnim dolascima klijenata

Ovaj sustav će biti poseban po tome što će u njega klijenti ulaziti u grupama saslučajnim brojem članova, a ne pojedinačno kao do sada. Kao i u običnom M/G/1

sustavu i ovdje će se dolasci odvijati u skladu s Poissonovim procesom sa stopom λ, teće postojati samo jedan poslužitelj čije će vrijeme usluživanja biti modelirano nekomopćenitom distribucijom G.

Neka je αj, j ≥ 1, vjerojatnost da će se proizvoljna grupa sastojati od j klijenata,a N neka označava slučajnu varijablu kojom modeliramo veličinu grupe, pa vrijedi

PN = j = αj.

Budući da je λa = λE[N ], formula (4.2) poprima oblik

V = λE[N ]

(E[S]WQ +

E[S2]

2

). (4.6)

Ako se stavimo u poziciju jednoga klijenta vrijedi

njegovo čekanje u redu = rad sustava prilikom dolaska klijenta

+ njegovo čekanje zbog drugih u grupi.

Uzimajući u obzir da su dolasci Poissonovi procesi i da vrijedi PASTA princip, primje-njujući očekivanje na prethodnu jednadžbu slijedi

WQ = V + E[njegovo čekanje zbog drugih u grupi] = V + E[WB]. (4.7)

44

Analizirajmo E[WB]. Najprije definirajmo vjerojatnost kojom prosječan klijent dolaziiz grupe veličine j. Neka jeM neki veliki broj. Tada će od prvihM grupa njih približnoMαj biti veličine j, j ≥ 1, i zbog toga će približno jMαj klijenata dolaziti u sustav ugrupi veličine j. Dakle, udio dolazaka prvih M grupa koje su veličine j je približno

jMαj∑j jMαj

.

Ova relativna frekvencija postaje točnija kada M →∞, pa vrijedi

udio klijenata iz grupe veličine j =jαj∑j jαj

=jαjE[N ]

.

Sada možemo izračunati očekivano čekanje klijenta zbog drugih u grupi, tj. E[WB]:

E[WB] =∑j

E[WB | grupa veličine j]jαjE[N ]

. (4.8)

Ukoliko je naš klijent i-ti po redu u svojoj grupi, i ukoliko je u klijentovoj grupi jčlanova, tada će taj klijent čekati dok se i − 1 članova grupe ne posluži. Kako jejednako vjerojatno hoće li klijent biti prvi, drugi, . . . , ili j-ti u redu u svojoj grupi,slijedi

E[WB | grupa veličine j] =

j∑i=1

(i− 1)E[S]1

j=j − 1

2E[S].

Ako to uvrstimo u jednadžbu (4.8), dobijemo sljedeće:

E[WB] =E[S]

2E[N ]

∑j

(j − 1)jαj =E[S](E[N2]− E[N ])

2E[N ],

a zbog jednadžbi (4.6) i (4.7) vrijedi

WQ =E[S](E[N2]− E[N ])/2E[N ] + λE[N ]E[S2]/2

1− λE[N ]E[S].

Kako bi prethodna jednadžba bila valjana treba biti ispunjen uvjet

λE[N ] <1

E[S],

što intuitivno vrijedi jer stopa dolazaka mora biti manja od stope usluživanja. VeličineL,LQ i W imaju sljedeći oblik

W = WQ + E[S],

L = λaW = λE[N ]W,

LQ = λE[N ]WQ.

45

4.2.2. Sustavi sa prioritetnom disciplinom usluživanja

Do sada smo većinom imali sustave u kojima je disciplina posluživanja bila FCFS, nou ovom sustavu to neće biti slučaj. Ovdje je disciplina usluživanja PRIOR, tj. oznakaprioriteta usluživanja koji daje prednost nekim jedinicama za usluživanje. Zamislimosituaciju gdje imamo dva tipa klijenata, čiji dolasci su u skladu sa Poissonovim pro-cesom sa stopama λ1 i λ2, a distribucije usluživanja su G1 i G2. Pretpostavimo da jeprvom tipu klijenata dodijeljen prioritet usluživanja, tako da usluživanje nikad nećepočeti sa drugim tipom klijenata, ukoliko prvi tip klijenata čeka u redu. No, ako sedogodi da su klijenti prvoga tipa stali u red za vrijeme usluživanja klijenata drugogtipa, usluživanje klijenata drugoga tipa će biti nastavljeno, dok će klijenti prvoga tipapričekati u redu.

Neka (WQ)i označava prosječno čekanje u redu klijenata tipa i, i = 1, 2. Izraču-najmo (WQ)i. Najprije primjetimo da će ukupni rad sustava u bilo kojem vremenubiti jednak bez obzira što imamo prioritetnu disciplinu usluživanja. Dakle, rad sustavaje jednak radu sustava prilikom FCFS discipline čekanja, pa sukladno tome, ovo jeM/G/1 sustav sa stopom i distribucijom sljedećega oblika

λ = λ1 + λ2,

G(x) =λ1

λG1(x) +

λ2

λG2(x),

a to vrijedi zbog činjenice da je kombinacija dvaju nezavisnih Poissonovih procesa isama Poissonov proces. Dakle, iz prijašnjih rezultata slijedi da je prosječan rad uovakvom sustavu dan sljedećim izrazom

V =λE[S2]

2(1− λE[S])

=λ((λ1/λ)E[(S1)2] + (λ2/λ)E[(S2)2])

2[1− λ((λ1/λ)E[S1] + (λ2/λ)E[S2])]

=λ1E[(S1)2] + λ2E[(S2)2]

2(1− λ1E[S1]− λ2E[S2]),

gdje Si ima distribuciju Gi, i = 1, 2.

Kako bi izračunali (WQ)i, primjetimo također da W ∗Q i S proizvoljnoga klijenta,

nisu nezavisni u ovome modelu budući da iz S dobivamo informacije o tipu klijenta,a iz toga tipa klijenta dobivamo informaciju za W ∗

Q. Tu ćemo činjenicu zaobići takošto ćemo računati odvojeno prosječan iznos rada za prvi i drugi tip. Označimo sa Viprosječan iznos rada sustava sa klijentima tipa i. Vrijedi

Vi = λiE[Si](WQ)i +λiE[(Si)

2]

2, i = 1, 2.

46

Ako definiramo(VQ)i = λiE[Si](WQ)i

(VS)i =λiE[(Si)

2]

2,

tada (VQ)i možmo interpretirati kao prosječan iznos rada sa klijentima tipa i u redu, a(VS)i prosječan iznos rada prilikom usluživanja klijenata tipa i.

Sada imamo sve što nam je potrebno za računanje (WQ)i, i = 1, 2. Najprijeizračunajmo (WQ)1. Pretpostavimo da u sustav dolazi neki proizvoljni klijent prvogatipa, i to baš u vrijeme kada se uslužuje klijent tipa 2. Za njega vrijedi

njegovo kašnjenje = iznos rada sustava prilikom dolaska klijenta prvoga tipa

+ iznos rada sustava prilikom usluživanja klijenta drugoga tipa.

Primjenjujući očekivanje na prethodnu jednakost i uz činjenicu da su procesi dolazakaPoissonovi procesi (PASTA princip), vrijedi

(WQ)1 = V1 + (VS)2 = λ1E[S1](WQ)1 +λ1E[(S1)2]

2+λ2E[(S2)2]

2

ili(WQ)1 =

λ1E[(S1)2] + λ2E[(S2)2]

2(1− λ1E[S1]). (4.9)

Kako bi izračunali (WQ)2 primjetimo da je V = V1 + V2 pa vrijedi

λ1E[(S1)2] + λ2E[(S2)2]

2(1− λ1E[S1]− λ2E[S2])= λ1E[S1](WQ)1 + λ2E[S2](WQ)2

+λ1E[(S1)2]

2+λ2E[(S2)2]

2= (WQ)1 + λ2E[S2](WQ)2,

pa zbog jednadžbe (4.9) dobijemo

λ2E[S2](WQ)2 =λ1E[(S1)2] + λ2E[(S2)2]

2

[1

1− λ1E[S1]− λ2E[S2]

− 1

1− λ1E[S1]

]

ili(WQ)2 =

λ1E[(S1)2] + λ2E[(S2)2]

2(1− λ1E[S1]− λ2E[S2])(1− λ1E[S1]). (4.10)

Kako bi jednadžba (4.9) bila valjana trebao bi biti ispunjen uvjet

λ1E[S1] < 1,

47

dok bi za jednadžbu (4.10) trebalo vrijediti

λ1E[S1]) + λ2E[S2] < 1.

Budući da je stopa dolazaka svih klijenata λ = λ1 +λ2, a prosječno vrijeme usluživanjasvih klijenata

(λ1/λ)E[S1] + (λ2/λ)E[S2]),

prethodni uvjet je ispunjen kada je prosječna stopa dolazaka manja od prosječne stopeusluživanja.

4.3. G/M/1 sustav

Kako vidimo iz naziva ovoga sustava, više nećemo imati dolaske klijenata koji su bilimodelirani Poissonovim procesom, zbog čega smo imali Markovljevo svojstvo, zbogkojega nam je analiza bila olakšana. Sada će vrijeme između sukcesivnih dolazakaimati proizvoljnu distribuciju G (vidi [5, str. 544]). Vrijeme usluživanja modelirano jePoissonovim procesom, pa će imati eksponencijalnu distribuciju sa stopom µ, i postojatiće samo jedan poslužitelj.

Kako više nemamo proces dolazaka koji je modeliran Poissonovim procesom, samoinformacija o broju klijenata nam više neće biti dovoljna. Sada ćemo trebati i količinuvremena koje je proteklo od posljednjega dolaska klijenta, zato što više ne možemokoristiti Markovljevo svojstvo u kojemu buduće stanje ovisi samo o trenutačnome, a nei o prethodnim stanjima. Kako bi izbjegli ovaj problem, promotriti ćemo samo dolaskeklijenata. U tu svrhu definirajmo Xn, n ≥ 1 gdje će nam Xn predstavljati broj klijenatau sustavu iz gledišta n-toga klijenta koji dolazi u sustav.

Lako se može zaključiti da je proces Xn, n ≥ 1 Markovljev lanac. Kako bi izraču-nali prijelazne vjerojatnosti Pij za ovaj Markovljev lanac, trebamo primjetiti činjenicuda dok god postoje klijenti koji čekaju usluživanje, broj usluga u bilo kojem vremenut je Poissonova slučajna varijabla sa očekivanjem µt. Dakle

Pi,i+1−j =

∫ ∞0

e−µt(µt)j

j!dG(t), j = 0, 1, . . . , i

što slijedi iz činjenice da ako klijent prilikom dolaska zatekne i klijenata u sustavu,tada će sljedeći klijent prilikom dolaska zateći i + 1 − broj posluženih klijenata, avjerojatnost da će j klijenata biti posluženo jednaka dana je izrazom.

Jednadžba za Pi0 je malo drugačija (to je vjerojatnost da će najmanje i+ 1 Poisso-novih događaja u nekom vremenu imati distribuciju G), i glasi

Pi0 = 1−∑j=0

iPi,i+1−j.

48

Stacionarna distribucija πk, k = 0, 1, . . . može se dobiti kao jedinstveno rješenjejednadžbe

πk =∑i

πiPik, k ≥ 0,

∑i

πk = 1,

tj.

πk =∞∑

i=k−1

πi

∫ ∞0

e−µt(µt)i+1−k

(i+ 1− k)!dG(t), k ≥ 1, (4.11)

∞∑0

πk = 1,

a nismo uključili jednadžbu π0 =∑πiPi0 jer je uvijek jedna jednadžba suvišna. Kako

bi riješili prethodnu jednadžbu, pokušajmo sa rješenjem oblika πk = cβk, koje ćemouvrstiti u prethodnu jednadžbu:

cβk = c∞∑

i=k−1

βi∫ ∞

0

e−µt(µt)i+1−k

(i+ 1− k)!dG(t),

tj.

cβk = c

∫ ∞0

e−µtβk−1

∞∑i=k−1

(βµt)i+1−k

(i+ 1− k)!dG(t). (4.12)

Svakako je∞∑

i=k−1

(βµt)i+1−k

(i+ 1− k)!=∞∑j=0

(βµt)j

j!= eβµt,

pa ako to uvrstimo u jednadžbu (4.12) slijedi

βk = βk−1

∫ ∞0

e−µt(1−β)dG(t),

tj. β =

∫ ∞0

e−µt(1−β)dG(t).

Konstanta c se može dobiti iz∑

k πk = 1 , pa vrijedi

c∞∑0

βk = 1,

tj. c = 1− β.

Kako je (πk) jedinstveno rješenje jednadžbe (4.11), a rješenje je oblika πk = (1− β)βk,slijedi

πk = (1− β)βk, k = 0, 1, . . .

49

gdje je β

β =

∫ ∞0

e−µt(1−β)dG(t),

a egzaktna veličina β može biti dobivena numeričkim metodama. Budući je πk gra-nična vjerojatnost kojom klijent prilikom dolaska pronalazi k klijenata u sustavu, to jezapravo ak kojega smo ranije spominjali u ovome radu, pa vrijedi

ak = (1− β)βk, k ≥ 0,

ali ak u ovome slučaju nije jednaka količini vremena tijekom kojega je u sustavu k

klijenata, budući da proces dolazaka više nije Poissonov proces. Kako bi dobili Pkprimjetimo da stopa po kojoj se broj klijenata u sustavu mijenja od k−1 do k (označimoju sa z) mora biti jednaka stopi po kojoj se taj broj mijenja od k do k − 1 (označimoju sa s). Vrijedi

z = λak−1

s = Pkµ.

Izjednačavanjem ovih stopa dobivamo

Pk =λ

µak−1, k ≥ 1

tj. Pk =λ

µ(1− β)βk−1, k ≥ 1,

a kako je

P0 = 1−∞∑k=1

Pk

vrijedi

P0 = 1− λ

µ.

Veličinu W možemo dobiti na sljedeći način:

W =∑k

E[vrijeme u sustavu | klijent prilikom dolaska pronalazi k klijenata](1−β)βk.

Budući da klijent prilikom dolaska pronalazi k klijenata u sustavu, tada će on provestiu sustavu onoliko vremena koliko je potrebno da poslužitelj usluži k + 1 klijenata, pavrijedi

W =∑k

k + 1

µ(1− β)βk.

Zbog∑∞

0 kxk = x(1−x)2

slijedi

W =1

µ(1− β).

50

Kada smo dobili W sad možemo dobiti i ostale veličine:

WQ = W − 1

µ=

β

µ(1− β),

L = λW =λ

µ(1− β),

LQ = λWQ =λβ

µ(1− β),

gdje je recipročna vrijednost od λ jednaka očekivanju međudolaznih vremena, tj.

1

λ=

∫ ∞0

xdG(x).

Zapravo može se pokazati da je W ∗ eksponencijalna sa stopom µ(1− β), te da je

W ∗Q =

0 , sa vjerojatnošću 1− β

eksponencijalna sa stopom µ(1− β) , sa vjerojatnošću β

gdje su W ∗ i W ∗Q količine vremena koje klijent provede u sustavu, i u redu (njihova

očekivanja su W i WQ).Naravno, i kod ovoga sustava postoje razdoblja mirovanja i zauzeta razdoblja. Pret-

postavimo da neki klijent prilikom dolaska zatekne prazan sustav. Takvim klijentovimdolaskom počinje zauzeto razdoblje. Sa N označimo broj klijenata usluženih u za-uzetom razdoblju, a kako će N -ti klijent koji uđe u sustav (poslije prvoga klijenta uzauzetom razdoblju) ostaviti prazan sustav, slijedi da je N broj prijelaza od stanja0 i natrag do stanja 0 u Markovljevom lancu. Tada je 1

E[N ]biti udio prijelaza koje

će Markovljev lanac dovesti do stanja 0, tj. udio klijenata koji su pri dolasku zatekliprazan sustav. Stoga vrijedi

E[N ] =1

a0

=1

1− β.

Ukoliko sljedeće zauzeto razdoblje počinje nakon N -toga međudolaska, slijedi da je vri-jeme ciklusa (koje dobijemo ako zbrojimo zauzete periode i periode mirovanja) jednakovremenu prije N -toga međudolaska. Drugim riječima zbroj zauzetih perioda i periodamirovanja može se izraziti kao zbroj od N međudolaznih vremena. Dakle, ako je Tii-to vrijeme međudolaska nakon što je zauzeti period počeo, vrijedi

E[B] + E[I] = E

[N∑i=1

Ti

]= E[N ]E[T ]

=1

λ(1− β).

51

Argumente koje smo upotrijebili kod zauzetih i perioda mirovanja kod sustava M/G/1

možemo i ovdje upotrijebiti, pa vrijedi

1− P0 =E[B]

E[I] + E[B],

a kako je

P0 = 1− λ

µ

vrijedi

E[B] =1

µ(1− β),

E[I] =µ− λ

λµ(1− β).

52

5. Zaključak

Kao što smo rekli, čekanje u redu je nešto s čime se susrećemo svaki dan, a u ovomeradu smo koristili matematičke modele kako bi opisali upravo taj problem. Cilj ovogarada bio je opisivanje tih matematičkih modela na osnovu čega se mogla ocijeniti učin-kovitost funkcioniranja nekog sustava redova čekanja. Svaki sustav u kojemu se javljajuredovi čekanja promatra te redove razmatrajući s jedne strane broj klijenata koji če-kaju u redu (kao i njihovo vrijeme provedeno u redu), a sa druge troškove servisnihkapaciteta. Prevelik servisni kapacitet u sustavu može prouzrokovati nepotrebne tro-škove, dok sa druge strane nedovoljan servisni kapacitet može rezultirati prekomjernimčekanjem i drugim neželjenim posljedicama. Prema tome, ovakvi sustavi se suoča-vaju sa problemom balansiranja između ove dvije obrnuto proporcionalne veličine, od-nosno problemom postizanja maksimalno ekonomskih učinaka, tj. određivanjem načinaprema kojem bi sustav radio na najefikasniji način.

Teorija redova čekanja koju smo opisali u ovome radu, koristi matematičke mo-dele kako bi opisala različite tipove sustava redova čekanja koji se javljaju u praksi.Ukoliko je klasična teorija redova čekanja iscrpljena, tu pomažu metode simulacijskogamodeliranja slučajnih procesa. No, u ovome radu smo smo se bavili samo klasičnomteorijom koja se bazira na matematičkim formulama koje pokazuju kako će se odgo-varajući sustav ponašati, uključujući i prosječno vrijeme čekanja koje će se javiti podutjecajem različitih okolnosti. Iako možda na prvi pogled izgleda jednostavno, teorijuredova karakterizira velika matematička složenost.

Inače, teorija redova čekanja ima veliku primjenu u stvarnome životu. Primjerice,primjenjuje se u planiranju kapaciteta kontejnerskog terminala riječnih i morskih luka, urazličitim ustanovama, ima veliku primjenu u telekomunikacijama i u prometu. Pomoćuteorije redova čekanja moguće je izračunati troškove koji nastaju zbog čekanja i ukupnetroškove sustava posluživanja koji se mogu koristiti u analizi međusobno konkurentnihuslužnih mjesta.

Kako u stvarnome životu postoji mnogo različitih sustava redova čekanja, nismo biliu mogućnosti sve ih opisati. Opisali smo samo one najosnovnije, koje najčešće možemosresti u našoj svakodnevici.

53

Literatura

[1] A.Willig, A short introduction to Queueing Theory , Tehnical University Berlin,Berlin, 1999.

[2] A.Ravi Ravindran, Operations research and management science , The Penn-sylvania State University, USA, 2008.

[3] I. Adan J. Resing, Queueing Theory, Department of Mathematics and Compu-ting Science Eindhoven University of Technology, Eindhoven, Netherlands, 2002.

[4] RobertB.Cooper, Introduction to Queueing Theory, Florida Atlantic Univer-sity, Boca Raton, Florida, 1981.

[5] SheldonM.Ross, Introduction to Probability Models, University of California,Berkeley, California, 2007.

[6] U.NarayanBhat, An introduction to Queueing Theory , Birkhäuser, Basel,2008.

[7] http://web.math.pmf.unizg.hr/∼vondra/2012-13.html

[8] http://en.wikipedia.org/wiki/Queueing_theory

54

6. Sažetak

Na početku rada opisali smo osnovne pojmove teorije redova čekanja, a zatim smoprešli na sustave. Definirali smo Markovljeve lance u neprekidnome vremenu. Bavilismo se uglavnom sustavima M/M/C/N gdje su C i N imali različite vrijednosti. Tesu sustave karakterizirali Poissonovi dolasci klijenata u sustav i primjena Markovljevihlanaca u neprekidnome vremenu. Zaključili smo da kod svih sustava mora biti zadovo-ljen uvjet da je stopa pristizanja klijenata u sustav manja od stope posluživanja jer biu suprotnome moglo doći do zagušenja sustava i sustav ne bi mogao normalno funkci-onirati. U posljednjem dijelu smo opisali malo složenije sustave M/G/1 i G/M/1, a snjima smo i završili analiziranje redova čekanja.

55

7. Summary

At the beginning of the paper, we will describe the basic concepts of the queueingtheory, and then we move on to systems. We defined Markov chains in a continuoustime. We have dealt mainly systems M/M/C/N where C and N have different values.These systems are characterized by Poisson arrivals of customers in the system and theapplication of Markov chains in a continuous time. We conclude that for all systemsmust be met provided that the rate of arrival of customers in the system is less thanthe rate of serving because, otherwise, could lead to congestion of the system and thesystem could not function normally. In the last section, we describe a bit more complexsystems M/G/1 and G/M/1, and with them we have finished analyzing the queuing.

56

8. Životopis

Rođena sam 25. studenog 1988. godine. Osnovnu školu pohađala sam u Županji od1995. do 2003. godine. Nakon završene osnovne škole upisala sam Opću gimnazijuu Županji i maturirala 2007. godine. Iste godine upisala sam u Osijeku na Odjeluza matematiku Preddiplomski studij matematike te nakon toga, 2010. upisala samDiplomski studij smjer poslovna i financijska matematika.