MATHCAD ISMERTET 1. Mathcadmunkalapja, tartomnytpusokBrmilyen egyenlet, szvegrszlet, diagram elhelyezhet a Mathcad munkalap tetszleges helyre. Apiros szlkereszt mutatja a helyet ahova az objektum (algebrai kifejezs, egyenlet, szvegrszlet, diagram)berhat. A szlkereszt pozicija a bal egrgomb kattintsval jellhet ki. 1.1. Tartomnyok tpusaiAmunkalapon elhelyezett minden egyes objektumot a Mathcad egy tartomnynak tekint, teht a Mathcad a munkalap tartomnyok sszesge.A tartomnyt egy lthatatlan derszg ngyszg hatrolja, amely a kpernyn csak a szerkeszts alatt ll illetve a kijellt tartomny krl vlik lthatv. A ngyszg mrete a tartomny szerkesztsekor a helyignynek megfelelen automatikusan mdosul.A Mathcad az opertort tartalmaz, de szkzt nem tartalmaz karaktersorozatot matematikai tartomnynak, egybknt a karaktersorozatot szveges tartomnynak tekinti. Szveges tartomny ltrehozst kln is kezdemnyezhetjk az Insert =>Text Region (gyors billenty: ") parancssorral.A szveges tartomnyt hatrol ngyszget a Mathcad 'ablakkeretknt' kezeli (mret-, helyvltozts). A ngyszg mrett a bert szveg helyignynek megfelelen a Mathcad automatikusan mdostja, de nknyesen is megvltoztathat a kijellt tartomny keretn megjelen 'karmok'-ra helyezett ktirny nyl alakra vltozott kurzor mozgatsval.1.2. Mveletek tartomnyokkalAz esetleg egymsra csszott tartomnyoka Format => Separate Regions parancssalsztvlaszthatk.A szlkereszt helye utn elhelyezett tartomnyok kztt soremelst a Crtl + F9, sszehzst a Crtl + F10 gombokkal vgezhetnk.Tartomny csak a munkalap res helyn hozhat ltre, mr ltez tartomny terletn nem. Kijellt tartomny(ok) msolhatk, thelyezhetk, kivghatk s trlhetk.ACopy, Cut parancsokkal a kijellt tartomny(ok) a vglapra helyezhetk,a Paste parancssal a szlkereszt pozicijban megjelenthet(k). Az F2, F3 funkcionlis billentykkel a Copy pilletve a Cut parancsok, az F4 billentyvel aPaste parancs kivlthat.Ha a balradl nyl alak kurzort brmelyik kijellt tartomny hatrra helyezzk, a kurzorkz alakra vltozik, lenyomott bal egrgombbal a kijellt tartomny(ok) a munkaterlet tetszleges helyre vonszolhat.Edit -> Delete parancssal tetszleges szm kijellt tartomny trlhet.1-1MATHCAD ISMERTET 1.2.1. Tartomny kijellseEgy tartomny:bal egrgomb kattints a tartomny terletn, a kijellt tartomny krl a hatrol ngyszg folytonos vonallal vlik lthatv.Tbb tartomny:lenyomott CTRL billenty mellett bal egrgomb kattints a minden egyes kijellend1.tartomny terletna szlkereszt pozcijbl kiindulva lenyomott bal gombbal mozgatott egrrel a kijellend2.tartomnyokat befoglal ngyszg terlet hatrozhat meg. A kijellt tartomnyok krl a hatrol ngyszgek szaggatott vonallal vlnak lthatv.kt tartomny kztti sszes tartomny kijellse: az els (utols) tartomny kijellse, majd3.a SHIFT gomb nyomvatartsa mellett az utols (els) tartomny kijellse.1.2.2.Tartomny(ok) elrejtseA Mathcad munkalap tetszleges, res helyn meghatrozhat egy terlet, amelybe bert vagy bemsolt tartomnyok elrejhetk. A munkalapon vgrehajtott szmtsokban lthatatlan terleten elhelyezett matematikai tartomnyok gyangy vgrehajtsra kerlnek mint a lthat matematikai tartomnyok. Insert -> Area parancs hatsra a kpenyn megjelennek az eltntethet terlet hatrol vonalai.A terlet mrete vltoztathat: a hatrol vonal a kijellse utn a lenyomott bal egrgombbal vonszolhat.A hatrol vonalak kz tetszleges tartalm tartomny elhelyezhet.A hatrol a vonalon lenyomott jobb egrgomb hatsra megjelen felbukkan men Collapse parancsval vonalak kz helyezett informci eltntethet, egyetlen jelzvonal mutatja az eltntetett terlet helyt. A jelz kijellse utn a Edit -> Delete parancs hatsra terlet tartalma trlhet, vagy a vonalon lenyomott jobb egrgomb hatsra megjelen felbukkan men Expand parancsval megjelenthet.1-2MATHCAD ISMERTET 2. Aritmetikai kifejezs ltrehozsaAz algebrai ill. aritmetikai kifejezst a Mathcad matematikai tartomnynak tekinti. Valamely tartomny -szveg, matematikai- els karaktere a kperny tetszleges helyre helyezhet piros szlkereszt pozicijban jelenik meg. A kifejezs els tagjnak (egy operandus vagy egy opertor) elhelyezsvel egy idben megjelenik a kpernyn a tartomnyt hatrol ngyszg s ezen bell az aktulis (szerkeszthet) kifejezst jell kk szin, egy fggleges s egy vizszintes vonalbl ll szerkeszt kurzor.View men Toolbars meneleme a Windows rendszerekben mindig jelenlev Standard s Format eszkzsor mellett az algebrai kifejezs szerkesztst segt Math eszkzsor csoportot is felknlja. A Math eszkzsor piktogramjai paletta-ikonok, amelyek egy egy matematikai mvelet csoport eszkzsort kpviselik, ezekre kattintvaa kpernyre hozhatk a szerkesztst segt parancsok piktogramjait tartalmaz eszkzsor. 2.1. Aritmetikai kifejezs bevitele A kifejezsbe az operandusok illetve az opertorok billenty letssel, vagy a Calculator eszkztr piktogramjaira kattintssal helyezhetk el. A Math eszkztr Calculator ikonjnak aktivizlsval jelenthet meg a Calculator eszkztr.A Math eszkztr ikonjai:A Calculator eszkztr2.2. A szerkesztsi szablyok A szerkeszt kurzor fggleges vonala a szerkeszts helyt (beilleszts, trls), a vzszintes vonala az aktulis (szerkeszthet) kifejezs rszt jelli ki.Az operandus lehet egyetlen szm vagy opertor(oka)t tartalmaz kifejezs rsz.Amennyiben a kijelzsbe opertort runk a szksges operandusok helyn kis fekete tglalap, az "operandus helykijell" jelenik meg, ez jelzi, hogy a kifejezs csak az operandus megadsa utn vlik kirtkelhetv. Szkz letsvel kijellhet a szkz letst kvet opertor operandust kpez kifejezs rsz. A szkz zrjelek kz helyezi a tbb tagbl ll, egyetlen operandusknt kezelend kifejezsrszt. A zrjel a kpernyn csak akkor jelenik meg automatikusan, ha azt a precedencia szably szksgess teszi.Egyetlen szmbl ll operandust kvet szkz szveg tartomnny vltoztatja a matematikai tartomnyt.A kk szerkeszt kurzor az aritmetikai kifejezs brmelyik operandushoz mozgathat a kurzor mozgat nyl billentykkel vagy a kvnt helyen kattintott egr balgombbal.2-1MATHCAD ISMERTET ENTER x 6 x3 + 1 ENTER x 6 + ( ) x3 1 ENTER x 6 + ( ) x3 1 ENTER x 6 + ( ) x31 ( )2.3. A szerkesztsi szablyok szemlltetseA szlkereszt pozcijban megadott els karakter operandus. A szekeszt kurzor fggleges vonala a kvetkez karakter beillesztsi helyt, a vzszintes vonala a szerkeszts alatt ll kifejezs rszt jelli ki.A szlkereszt pozicijban megadott els karakter opertor. A szerkeszt kurzor fggleges vonala az opertorhoz szksges els operandus "operandus hely kijell"-jnl llOpertort nem tartalmaz, operandust kvet szkz a matematikai tartomnyt szveg tartomnny vltoztatja .Opertort tartalmaz, operandust kvet szkz letsvel kijellhet a szkz letst kvet opertor operandust kpez kifejezs rsz.A szkz zrjelek kz helyezi a tbb tagbl ll, egyetlen operandusknt kezelend kifejezs rszt. A zrjel a kpernyn acsak akkor jelenik meg, ha azt a precedencia szably szksgess teszi.Plda a szerkesztsi szablyok alkalmazsraENTER x 6 x3 1 +2-2MATHCAD ISMERTET A trlsre kijellt opertorhoz tartoz kifejezs rsz opertort tartalmaz akkor trls utn "opertor helykijell" jelenik meg. Ez egy trl billenty ismtelt letst kveten a hozztartoz operandussal egytt trldik. A trlsre kijellt operandus trlse utn "operandus helykijell" jelenik meg. Ezt egy trl billenty ismtelt letst kveten a hozztartoz opertorral egytt trldik A szerkeszt kurzor fggleges vonala a trls helyt jelli ki. A BkSp billentyvel a fggleges vonal bal oldaln, a Delete billentyvel a jobb oldaln lev karakter vagy kifejezs rsz trlhet.A trlsre kijellt opertor csak akkor trlhet, ha az opertor trlse utn a kifejezs kirtkelhet marad, ellenkez esetben "opertor beviteli mez" jelenik meg. Az opertor helykijell nem trlhet csak a hoztartoz operandus trlse utn! Brmilyen opertor karaktert letve, az az opertor helykijell pozicijba kerl.2.4.2.TrlsAposztrof (') letst kveten az aktulis (a szerkeszt kurzor vizszintes vonalval alhzott) kifejezs rsz a zrjelpr kz zrhat. Opertort a beszrsi helyen lehet elhelyezni. Ha a beszrsi hely eltt vagy mgtt nincs kifejezs, akkor ott beviteli mez jelenik meg.Az Ins (insert) billenty letsvel a szerkeszt kurzor fggleges vonalnak helye - azaz a beszrsi hely - a kijellt kifejezs kt vge kztt thelyezhet. A szerkeszt kurzor a bal egrgomb kattintssal vagy a kurzormozgat billentykkel thelyezhet.A szerkeszt kurzor vzszintes vonalnak hossza automatikusan kveti a szerkeszts alatt ll operandus karakter szmnak nvekedst.A beszrs helyt a szerkeszt kurzor fggleges vonala jelli ki. Karakter vagy egy billenty letssel, vagy a Calculator eszkztr valamelyik ikonjra val kattintssal illeszthet be a kifejezsbe. Ha a karakter operandus, akkor az a fggleges vonal baloldaln jelenik meg, ha opertor, akkor a fggleges vonal baloldala jelli ki az opertor els operandust. 2.4.1. BeszrsA kt legfontosabb mvelet a mr meglv kifejezs mdostst illeten a beszrs s a trls.2.4. Az algebrai kifejezs mdostsa2-3MATHCAD ISMERTET A trlsre kijellt opertorhoz tartoz kifejezs rsz opertort nem tartalmaz, akkor a trls utn az opertor helyn a szerkeszt kurzor fggleges vonala jelenik meg. Ez a kifejezs tetszleges helyre thelyezhet. A trlsre kijellt kifejezs rsz opertort tartalmaz akkor a trl billenty letse utn a trlend inverz sznben lthat s csak egy trl billenty ismtelt letst kveten trldik.Zrjelpr brmelyik tagjnak trlsekor a zrjelpr trldik.2.5. Az aritmetikai kifejezs rtknek meghatrozsaA munkalapon elhelyezett, a kifejezs jobb oldaln = jellel lezrt aritmetikai kifejezsek rtknek meghatrozsra a Mathcad a kvetkez lehetsgeket biztostja:automatikus kirtkels- default llapot, vagyis az j munkalap megnyitsakor rvnyes szmtsi md (az llapot sorban AUTO) - Math => Automatic Calculation parancs bekapcsolsval. (a parancs mellett pipa, az llapot sorban Auto szveg lthat) Brmilyen vltoztatst kveten a munkalapnak a kpernyn lthat s az eltte lev terleten elhelyezett aritmetikai kifejezsek aktulis rtke automatikusan megjelenik az = jobb oldaln. manulis kirtkelsAz automatikus kirtkels letilthat a Math => Automatic Calculation parancs kikapcsolsval. (a parancs melletti pipa eltnik, az llapot sorban Calc F9 jelenik meg) A munkalapnak a kpernyn lthat s az eltte lev terleten elhelyezett aritmetikai kifejezsek az aktulis rtknek megjelense az = jel jobb oldaln aktivizlhat- F9 billenty letsvel- Standard eszkztr ikonjra kattintssal- Math => Calculate parancs aktivizlsvalKifejezs szerkesztse kzben is lehet kzi kirtkelst kezdemnyezni munkalap kirtkelsMath => Calculate Worksheet parancs aktivizlsval a munkalap teljes terletn, minden aritmetikai kifejezs aktulis rtknek megjelense az = jel jobb oldalnA parancs mind az automatikus, mind a manulis mdban kiadhat (az llapotsorban nem vltozik az elzleg belltott szmtsi mdra vonatkoz szveg)2.6. Az aritmetikai kifejezs kirtkelsnek letiltsaTetszleges, kijellt matematikai tartomny tartalmnak kirtklse letilthat.A letiltott matematikai tartomny tartalma szerkeszthet, de rtkt munkalapra kiadott kirtkelsi parancs nem lltja el s nem mdostja.2-4MATHCAD ISMERTET Matematikai tartomny tiltsa a kvetkez tevkenysg sorozattal valsthat meg:tartomny kijellse 1.A Format => Properties parancs aktivizlsa 2.A megjelen prbeszd ablakban a Calculation lap megjelentse 3.A Disable Evaluation parancs aktivizlsa (pipa jel jelenik meg a parancs mellett) 4.OK 5.A tartomny jobb fels sarkban megjelen kis fekete ngyzet mutatja azt, hogy a tartomny letiltott llapontban van.A tiltott llapot feloldhat fenti lpsek ismtelt vgrehajtsval (termszetesen a Disable Evaluation parancsot ki kell kapcsolni (pipa jel eltnik a parancs melll). 2-5MATHCAD ISMERTET Jaspis_78 a Bambi + :=Bambi 6.089 :=Az rtkads opertor vlaszthat az Evaluation vagy a Calculator eszkztrrl, az oszts a Calculator eszkztrrl.a:23/3 Begplse: a233:=3.2. rtkadsVltoz neve nem tartalmazhat szkzt s nem kezddhet szmmal.ezegyvltoz EzEgyVltozA MathCAD a vltoznvben megklnbzteti a kis- s nagybetket:l[CTRL+g].k kMM.a[CTRL+g]T.rg[CTRL+g] TrA vltoz nevn bell a latin s grg betk szabadon keverhetk (a grg betk a Greek eszkztrrl vehetk, vagy a megfelel latin bet letse utn CTRL-g-vel talakthatk):M.B MBM.A MABegpelve: Kpernyn:A vltoz neve tartalmazhat egy pontot, ekkor a pont utni rsz als indexbe kerl:Jspis_78 Bambi a3.1.Vltoz nvA vltoz definilsa rtknek megadsval trtnik. j rtkadssal a vltoz jradefinildik(korbban vektorknt hasznlt vltoz j rtkadssal a tovbbiakban lehet skalr is).3. Vltoz definilsa, algebrai kifejezs megadsa3-1MATHCAD ISMERTET y2100 =y2100 = y 10 :=Helyesen :y 10 :=Itt kap rtket, de ez a kirtkelsi sorrendben az elbbi utn kvetkezik.Ez a vltoz nem kapott korbban rtket (kirtkelsi sorrend!), ezrt a szne piros.y2= yA kirtkels balrl jobbra s fentrl lefel trtnik:A manulis kirtkels hasznlata javasolt.A MathCAD alaprtelmezse az automatikus kirtkels, ekkor a kifejezs begpelsnek befejezsekor (egrrel kilpnk a kifejezsbl, vagy Enter-t tnk) rgtn kirtkeli a kifejezst. Ilyenkor a MathCAD ablaknak a jobb als sarkban az AUTO felirat ltszik.A Math men Automatic Calculation pontjnak vlasztsval kikapcsolhatjuk az automatikus kirtkelst, ekkor kvetkez mdokon manulis kirtkels krhet:billenty: F9 gomb, ikon: Standard eszkztr Calculate gombja, men: Math men Calculate pontja. Ilyenkor a MathCAD ablaknak a jobb als sarkban a Calc F9 szveg ltszik. Automatikus mdban is lehet manulis kirtkelst krni, pl. egy kifejezs szerkesztse kzben.3.4. Kirtkels kezdemnyezseJaspis_78 13.756 =Bambi 6.089 =A numerikus kirtkels opertor vlaszthat az Evaluation eszkztrrl is.a= Begpelse: a 7.667 =3.3. A vltoz rtknek lekrdezse3-2MATHCAD ISMERTET a 3 + 48 =de a numerikus mveletekben megrzi eredeti szmrtkt:a29 3 a +simplify a 3 Ekkor mr a szimbolikus kirtkels esetn mint szimbolikus vltoz viselkedika a :=Ezen segthetnk ha a vltozhoz magt rendeljk (rekurzv definci) :a29 3 a +42 a 45 = a 45 :=Ha a vltozhoz elzleg mr szmrtket rendeltnk hozz, akkor a szimbolikus kirtkels eredmnye is szm lesz legfeljebb nem vals hanem racionlis szm:Ezt tasakos nyllal, ahol a tasakba berjuk a parancsota b + ( )2expand5299463b + b2+ Ikon: Evaluation eszkztr, vagy CTRL+.(pont)a b + ( )2233b +2 a2333.6. Szimbolikus lekrdezs illetve kirtkelsIkon: Evaluation eszkztr, vagy ~ z 3 z29 =A globlis rtkads esetn brhol llhat az rtkads. 3.5. Globlis rtkads3-3MATHCAD ISMERTETz 0 = s 1 =Minden, nulltl eltr rtk igaz. Karakter: nem kln tpus, lsd a stringeknl.4.2. Mveletek4.2.1. Alapmveletek3 12 + 15 = 3 12 36 =3 12 9 =3120.25 =31214312531441 = (Format => Result => Decimal) 0.120.9 6.741 =4.2.2. Egsz mveletekLegnagyobb kzs oszt s legkisebb kzs tbbszrs:gcd 38 12 , ( ) 2 = lcm 38 12 , ( ) 228 =4. Egyszer adattpusok s mveleteik 4.1. Egyszer adattpusokEgsz: 10 6025 + 6035 = (Decimal)Racionlis:5611212 Szimbolikus kirtkels esetnVals: 12.89 4.00009 + 16.89 = (General)Az brzolt tizedesjegyek illetve az brzols formja bellithat a Format => Result utastsokkal. A bellts csak a kijellt eredmnyre vonatkozik, kivve a Set as default gomb vlasztsa esetn.Komplex: 2 4i + ( ) 8 2i ( ) 24 28i + =Begpelse: 2+4i[Szkz]*(8-2i)=Logikai:s 5 9 < := z 8 6 = :=4-1MATHCAD ISMERTETEgszrsz (csonkols fggvny):x10819:= x 5.684 = trunc x ( ) 5 =trunc 3.4 ( ) 3 = trunc 3.9 ( ) 3 =trunc 3.4 ( ) 3 = trunc 3.9 ( ) 3 =(v. a ceil() s floor() fggvnyekkel)4.2.4. Komplex mveletekx 5 9i := Im x ( ) 9 = Re x ( ) 5 =komplex konjuglt (kijells utn " ) : x5 9i + = x x 106 =4.2.5. Logikai mveletekLsd : View => Toolbars => Boolean (csak MathCAD 2000)Osztsi maradk: mod 12 5 , ( ) 2 =Vals szm talaktsa egsz szmm (plafon s padl fggvnyek):ceil 3.4 ( ) 4 = ceil 3.9 ( ) 4 =ceil 3.4 ( ) 3 = ceil 3.9 ( ) 3 =floor 3.4 ( ) 3 = floor 3.9 ( ) 3 =floor 3.4 ( ) 4 = floor 3.9 ( ) 4 =4.2.3. Vals mveletekKerekts n tizedesjegyre:x12378:= x 1.576923077 =z round x 4 , ( ) := z 1.576900 =x 1.576923 = x round x 0 , ( ) :=4-2MATHCAD ISMERTETEgyb mveletekkel kapcsolatosan lsd mg:View => Toolbars => Calculatornem 10 ( ) 0 = nem x ( ) 1 = nem x ( ) 1 sign x ( ) := nem:x y + 1 = vagy:x y 0 = s:Ms lehetsg:Csak MathCAD 2000!y 1 = y1234 = := x 0 = x 6 6 :=4-3MATHCAD ISMERTET v1"c" =A vektorindex opertor ([) a Calculator eszkztr xn gombjval is elrhet.v323 =v[0= Begpelse: v00.889 =v0.889"c"1.23232 8i |

\||||||= v89"c"1.23232 8i |

\||||||||:=Tmb eleme brmilyen tpus lehet, akr klnbzk, vagy jabb tmb (ld. egymsba gyzott tmbk) is.v12 3|

\||||:=Ltrehozsa: Insert => MatrixIkon: Matrix eszkztr, vagy CTRL+M, az oszlopok szma 1. 5.2.1. Egydimenzis tmb5.2. Egyszer adatszerkezetek (sszetett adattpusok) a b +3.53.73.94.1= b 2.5 = b 2.5 := a11.21.41.6=Begpels: a:=1,1.2;1.6 a 1 1.2 , 1.6 .. :=Lehetsg van egy vltoz nvhez tbb rtket rendelni. (Ez nem vektor! Egyes fggvnyek paramterei pl. csak vektorok lehetnek, intervallumvltozk nem.) Intervallumvltoz alkalmazsa elssorban a grafikus megjelents, illetve ciklusszervezs sorn kerl eltrbe, de akkor is hasznlhatjuk ha egy szmts sorn tbb input rtkre akarunk eredmny kapni.Szintakszisa: Vltoz nv := Els rtk, Msodik rtk .. Vgrtk5.1. Intervallum vltoz (Range variable)5. Adatszerkezetek s mveleteik5-1MATHCAD ISMERTET Nem kell a mrett elre deklarlni, lista jelleg adatszerkezet. A vektor definilatlan elemeinek az rtke automatikusan 0.w00123456789101189000000000099=w90 =w1199 := w089 :=Tmb ltrehozsnak msik mdja :Nincs 5. elem!v5 =5v323 = ORIGIN 0 :=v52 8i = v31.23 = ORIGIN 1 :=Az ORIGIN paramter tlltsval az els elem indexe bellthat (0 vagy 1). Alaprtelmezs: 0ORIGIN 0 =v=Megjegyzs: A vektorindex opertort nem szabad sszekeverni az egyszer alsindexszel (pont a vltoz nevben):rtkadsLekrdezsMegjelens Begpelve Eredmnye Megjelens BegpelveLett egy v.1 nev vltoznk, amelynek az rtke 13.v113 := v.1:13 v113 = v.1=Az elbb ltrehozott v tmb 1. elemnek az rtkt ("c") fellrtuk, most mr az rtke 13.v113 := v[1:13v0.889131.23232 8i |

\||||||=5-2MATHCAD ISMERTET M2 1 ,45 = M21 89 1045|

\||||:=Ltrehozsa: Insert => MatrixIkon: Matrix eszkztr, vagy CTRL+M V0123412345234563456745678|

\||||||=Vi j ,i j + := j 0 4 .. := i 0 4 .. :=Mtrix ltrehozsa intervallum vltozkkal:x[1,3= Begpelse: x1 3 ,0 =x041251301501602803|

\||||=x0 1 2 3 401230 2 3 5 64 5 0 0 01 1 1 1 2:=Input tbla ltrehozsa - beviteli mdszer numerikaus adatok bevitelre: Insert => Component => Input Table :5.2.2.Ktdimenzis tmbd0012345678910000810121416182022=di2 i 2 + := i 3 10 .. :=Vektor ltrehozsa intervallum vltozval:5-3MATHCAD ISMERTET Ennek ellenre ez vltoztathat, brmely brzols vlaszthat a mrettl fggetlenl: Format => Result => Display Options => Matrix display styleM0 1 2 3 4 5 6 7 8 90123456789101 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 203 6 9 12 15 18 21 24 27 304 8 12 16 20 24 28 32 36 405 10 15 20 25 30 35 40 45 506 12 18 24 30 36 42 48 54 607 14 21 28 35 42 49 56 63 708 16 24 32 40 48 56 64 72 809 18 27 36 45 54 63 72 81 9010 20 30 40 50 60 70 80 90 10011 22 33 44 55 66 77 88 99 110=Ennek megjelentse: Kijells (pl. M => Format=> Result => Display Options => Matrix Display Types => TableMi j ,i 1 + ( ) j 1 + ( ) := j 0 12 .. := i 0 10 .. :=Ha a sorok vagy oszlopok szma meghaladja a 9-t akkor tblzatos megjelents a mtrixos helyett. Megjelents:T00 1 ,( )1 1 ,

(01 = T00 1 ,( )1 1 ,123|

\||=T00 1 ,136{2,1}|

\||= T01192x10|

\||||:=Itt a {2,1} a bels tmb mrete.Ennek megjelentse: Kijells (pl. T0)=>Format => Result => Display Options => Expand Nested Arrayx1 1 ,123|

\||= x136y|

\||:=y123|

\||:=A tmb eleme lehet tovbbi tmb:5.2.3. Tbbdimenzis tmb5-4MATHCAD ISMERTET (Ikon: Matrix eszkztr, vagy CTRL+4) x3 = elemek sszege:2xy3+2.3335.6673 |

\||||=(CTRL+M, 1 sor 3 oszlop) y 1 5 9 ( )T:=elemi mveletek:(Ikon: Matrix eszkztr, vagy CTRL+1) xT1 2 0 ( ) = transzponlt:last x ( ) 2 = utols (nem nulla) elem:min x ( ) 0 =max x ( ) 2 =maximlis s minimlis eleme:length x ( ) 3 = x120|

\||||:= vektor hossza5.3.1. Egydimenzis tmb5.3. Mveletekadatszerkezetekkely "lny" := x "kirly" :=5.2.4. KarakterlnclsdM22. M44y91215121620152025|

\||||:=Msols a tblbl:Tblban kijellni a tartomnyt (szmokat) => jobb egrgombbal rkattintani. A felbukkan menbl Copy Selection, majd mint rtkadsnl a fekete ngyzetbe beilleszteniEdit => Paste:5-5MATHCAD ISMERTET | | | |A stack s az augment fggvnyek hasznlata:(Ikon: Mtrix eszkztr, vagy CTRL+6) V1 12345|

\||||||=Egy oszlop kiemelse: rows V ( ) 5 = cols V ( ) 5 = Sorok illetve oszlopok szma :min V ( ) 0 = max V ( ) 8 = Maximlis s minimlis elem:V0123412345234563456745678|

\||||||=5.3.2. Ktdimenzis tmbstack x y , ( )T1 2 0 1 5 9 ( ) = sszekapcsols:reverse reverse x ( ) ( )120|

\||||= reverse x ( )021|

\||||= x120|

\||||=sort y ( )T9 1 5 ( ) =sort y ( )9 15|

\||||= rendezs :5-6MATHCAD ISMERTET gT( )289 = g2 =2g 2 34 89 902 98 9 ( ) =g augment 2 34 , 89 , 902 , 98 , 9 , ( ) :=f26 = f2567810 |

\||||||= f stack 2 5 , 6 , 78 , 10 , ( ) :=Specilis esetek:Z134472185268814421610|

\||||= Z augment M1 M2 , ( ) :=augment x y , ( )120159 |

\||||= y159 |

\||||= x120|

\||||=Illeszts egyms mellstack M1 M2 , ( )134268472814418521610|

\||||||||=Illeszts egyms alM2268814421610|

\||||= M2 2 M1 := M1134472185|

\||||:=5-7MATHCAD ISMERTET transzponls:5.3.3. Lineris algebrai szmtsokrsort JO 2 , ( )90 "sas"9 103 1"alma"0.1210"tyk"89.123|

\||||=JO1"alma"0.1210"tyk"89.12390 "sas"9 103 |

\||||= JO JT:=sorszerinticsort J 0 , ( )90 110"sas""alma""tyk"9 103 0.1289.123|

\||||=csort J 1 , ( )190 10"alma""sas""tyk"0.129 103 89.123|

\||||=oszlopszerinti :J11090 "alma""tyk""sas"0.1289.1230.009|

\||||:=Rendezsek:submatrix f 1 , 3 , 0 , 0 , ( )5678|

\||||=submatrix Z kezdosor , vegsor , kezdooszlop , vegoszlop , ( )26814216|

\||=vegoszlop 5 := kezdooszlop 3 := vegsor 1 := kezdosor 0 :=Tmbrszlet kiemelse :5-8MATHCAD ISMERTET | |M1 M2 341126068154807619890|

\||||= M1 M2 +39121221632415|

\||||=elemi mveletek:M2268814421610|

\||||= M2 2 M1 := M1134472185|

\||||:=A100020000|

\||||= A diag x ( ) := x120|

\||||= diagonl mtrix:x 2.236 = x x 2.236 = abszolut rtk (a vektor hossza):x2140|

\||||= Vigyzat: x x 5 = nmagval:x y 11 = egyszerbben:(Ikon: Calculus eszkztr, vagy CTRL+SHIFT+4)0length x ( ) 1 ixiyi=11 =skalr szorzat:y159 |

\||||=xT1 2 0 ( ) =(Ikon: Matrix eszkztr, vagy CTRL+1)y 1 5 9 ( )T:= x120|

\||||:=transzponls:5-9MATHCAD ISMERTET | | | |(Ikon: Matrix eszkztr, vagy CTRL+-)exp x ( ) 2.7187.3891|

\||||= sin M1 ( ) 0.8410.1410.757 0.757 0.6570.9090.8410.9890.959 |

\||||=M2268814421610|

\||||= M1134472185|

\||||=(a tmbk elemeire vonatkozan egy tetszleges f() fggvny elemenknti kirtkelse - Mapping):5.3.4.Vektorizls (mapping)y9178|

\||||= yi02jM1i j ,xj=:=i 0 2 .. :=y9178|

\||||=y02iM1i xi=:=alternativk :M1 x 9178|

\||||= x120|

\||||= M1134472185|

\||||=mtrix-vektor szorzs:Mtrix invertls (Ikon: Matrix eszkztr) M1 M21 0.50000.50000.5|

\||||=5-10MATHCAD ISMERTET Stringek sszekapcsolsas3 " kerekben" := s2 "kocsi" := s1 "baba" :=5.3.5. Karakterlnc (string)h M1 ( ) 0.159 8.859 16.757 16.757 48.343 3.091 0.159 63.011 25.959 |

\||||=h x ( ) sin x ( ) x2 :=Tetszleges fggvny esetn:Vektornl ez ugyanaz, de mtrixnl nem!M132716833303829614904791.167 103575|

\||||= M1 M1 M1 ( ) 127646434381512125|

\||||=def381252164.746 1051 103|

\|||||||= s f f f ( ) 81252164.746 1051 103|

\|||||||= f2567810 |

\||||||=X0.51.5223.510.542.5|

\||||= Xi j ,M1i j ,( )2M2i j ,:= vagyM12M2 0.51.5223.510.542.5|

\||||=j 0 2 .. := i 0 2 .. :=(Mtrix- szorzs)M1 M2 341126068154807619890|

\||||= de M1 M2 ( ) 2183232988212850|

\||||=5-11MATHCAD ISMERTET Vltoz tpusnak eldntsre az albbi logikai fggvnyek llnak rendelkezsre5.3.6. Vltoz tpusnak eldntse search s "es" , keress_kezdopozicioja , ( ) 1 =search s keresendo_string , keress_kezdopozicioja , ( ) 7 =keresendo_string "sk" :=keress_kezdopozicioja 2 :=Keress:substr s kezdopozicio , reszstring_hossza , ( ) "kecs" =reszstring_hossza 4 :=Els pozici 0 index.kezdopozicio 4 :=Rszstring:strlen s ( ) 10 = s "kerekecske" :=String hossza:vec2str kod ( ) "Cg" =kod 67 103 23 ( )T:=str2vec "abraka" ( )T97 98 114 97 107 97 ( ) =ASCII kd string karatereistr2num num2str 234.89 ( ) ( ) 234.89 =num2str 234.89 ( ) "234.89" =szm string:Konvertls: concat s1 s2 , s3 , ( ) "babakocsi kerekben" =5-12MATHCAD ISMERTET IsArray M1 ( ) 1 = IsArray x ( ) 1 = IsArray s ( ) 0 =IsScalar x ( ) 0 = IsScalar kezdopozicio ( ) 1 =IsString s ( ) 1 =5-13MATHCAD ISMERTET G1 READPRN concat t nv , tpus , ( ) ( ) :=Beolvass Mathcad ltal kirt vagy ASCII fjlbl.6.2.2. Tmb beolvassa fjlblrsnl a Mathcad egy emlkeztet fejlcet kszt s berja a a fjlba a tmb mrett is. Elvlasztjelknt reshelyet (space-t) hoz ltre.WRITEPRN concat t nv , tpus , ( ) ( ) M1 :=p "data1.prn" = p concat t nv , tpus , ( ) :=nv "data1" := tpus ".prn" := t "" :=A tmb kiiratsa fjlbaM11.20.12 119.8340.99:=Tmb-tpus adatszerkezet:A karakterlnc a teljes fjlnevet tartalmazza, azaz: t, nv, tpus.Szintakszisa: WRITEPRN (karakterlnc) := Tmbvltoz6.2.1. Tmb kiiratsa fjlbaA Mathcad standard beolvassi illetve kirsi mdjai a kvetkezk: 6.2. Vltozk rtkeinek beolvassa s fjlba val kirsa.A Mathcad munkalapot klnbz tpus fjlknt menthetjk le (File => Save As):a) Klnbz korbbi verzij*. MCD fjlknt,b) Szvegszerkeszt (Word) ltal kezelhet *.RTF fjlknt (ekkor a szvegmez szerkeszthet),c) Web oldalhoz, *.HTML fjlknt.6.1. A Mathcad munkalap lementsi lehetsgei6. Fjlkezels6-1MATHCAD ISMERTET G11.20.12 119.80.750.99=Nem ignyli a tmbmretre vonatkoz informcit!Eltr tipus elemek esetn is hasznlhat:nv "data2" :=M2"Sndor""Lajos""Piri"197719671979123456823987001345679:=WRITEPRN concat t nv , tpus , ( ) ( ) M2 :=G2 READPRN concat t nv , tpus , ( ) ( ) :=G2"Sndor""Lajos""Piri"197719671979123500023990001346000=Vigyzat: Alaprtelmezsben csak 4 jegyet r ki a fjlba! Mdostsa: Math => Options => PRNPRECISION6.2.3. Ltez fjl bvtseMr ltez fjl bvtse - komponensenknt:APPENDPRN concat t "data1" , tpus , ( ) ( ) 12 100 ( ) :=READPRN concat t "data1" , tpus , ( ) ( )1.20.12 11129.80.750.99100=6-2MATHCAD ISMERTET u = u ukREAD concat t nv , tpus , ( ) ( ) := READ concat t nv , tpus , ( ) ( ) k 0 1 .. :=Csak szekvencilis hozzfrs lehetsges. Be kell olvasni az elemeket a keresett elemig (pl. a msodik elemig) :z = zziREAD concat t nv , tpus , ( ) ( ) := READ concat t nv , tpus , ( ) ( ) i 0 3 .. :=VisszaolvasvaWRITE concat t nv , tpus , ( ) ( ) xi:= WRITE concat t nv , tpus , ( ) ( ) xi:= i 0 3 .. :=x1.24.59.10.13:=nv "data3" :=Elemenknt val kiirsb = bbiREAD concat t "data1" , tpus , ( ) ( ) := READ concat t "data1" , tpus , ( ) ( )i 0 5 .. :=Elemenknt val beolvass6.2.4. Elemenknti kezels6-3MATHCAD ISMERTET A tasakba berjuk a tmb nevt, kijells s F9. Figyelem, csak szmokat visz t!data4G1Szintakszisa : Insert => Component => File Read/Write => Teljes filenv => Text G11.20.12 119.80.750.99=Kiirats:Itt nem rvnyes a *.PRN tpus fjlra vonatkoz fejlc s tmbmret kiirats, sem a *.PRN fjlra definilt pontossg, azaz "tiszta" ASCII fjlt hozhatunk ltre.6.3 Text tpus fjl kezelseulast u ( )= uA fjl utols eleme:u = u ukREAD concat t nv , tpus , ( ) ( ) := READ concat t nv , tpus , ( ) ( ) k 0 10 .. :=Ha tlolvassuk a fjlt nem okoz problmt:Fjlvg kezelseu = u ukREAD concat t nv , tpus , ( ) ( ) := READ concat t nv , tpus , ( ) ( ) k 0 4 .. :=azazAPPEND concat t nv , tpus , ( ) ( ) 45.2 := APPEND concat t nv , tpus , ( ) ( ) 45.2 :=Bvts elemenknt6-4MATHCAD ISMERTET Beolvass:G2data5.txt:=data5.txtG2 = G2A "pontossg" megjelentse a szoks Format => Result => Display Options => Number of decimal places6.4. Grafikus fjlok kezelseA Mathcad sok lehetsget biztost a grafikus fjlok kezelsre. Itt csak a fontosabbnak itlt fggvnyeket mutatjuk be, amelyek alkalmasak a fjl mdostsra, teht nem egyszeren csak beillesztsre a Mathcad dokumentumba.6.4.1. Bitmap fjlok kezelseBeolvassa grayscale (0 - 255) mtrixbaM READBMP "Mona.bmp" ( ) := READBMP "Mona.bmp" ( )M = Mcols M ( )= MA kpmret 216*216 pixel6-5MATHCAD ISMERTET Megjelentse: Insert => PictureMMSznes kp beolvassa (RGB)D READRGB "dog.bmp" ( ) := READRGB "dog.bmp" ( )DDA hrom sznnek (piros, zld, kk) megfelel mtrix egyms mellett van a D-ben. A sznes brzols rdekben kln kell vlasztani ket.wcols D ( )3:=Drdog submatrix D 0 , rows D ( ) 1 , 0 , w 1 , ( ) := wgdog submatrix D 0 , rows D ( ) 1 , w , 2 w 1 , ( ) := wbdog submatrix D 0 , rows D ( ) 1 , 2 w , 3 w 1 , ( ) := w6-6MATHCAD ISMERTET Majd alkalmazzuk a Insert => Picture parancsokat (rdog, gdog, bdog) argumentumokkal.rdog gdog , bdog , bdogA megfelel mtrix kpfjlknt val kiiratsa a WRITEBMP(file) := Milletve a WRITERGB(file) := M fggvnyekkel trtnhet.6.4.2. Egyb tipusgrafikus fjlok Lehetsg van nem BMP tipus fjlok bitmap mtrixba val belolvassra (*.GIF,*.JPG,*.PCX,*.TGA)S READ_IMAGE "mla_about.jpg" ( ) := READ_IMAGE "mla_about.jpg" ( )SSTovbbi fjlkezelsi lehetsgeket lsd 13. fejezetben. 6-7MATHCAD ISMERTET x 2 1.9 , 2 .. :=10 0 10050100h x ( )xh x ( ) if x 0 > 3 x , x2,( ):=Szakaszonknt definilt fggvny megadsa, if fggvny alkalmazsa:7.2.1. Szakaszonknt definilt fggvnyekAz albbiakban nhny jl felhasznlhat fggvnyt mutatunk be.7.2. Fggvnyek tpusaiz x y , ( ) x y x2y := Tbbvltozs fggvnyg x ( ) xsin7x x 2 +x3 := 8 :=Ha paramter van a fggvnyben akkor annak elre rtkkel kell rendelkeznie:f a ( ) 3136.182 = a 56 :=f(x):x^2-sin(x/3) Begpelse: f x ( ) x2sinx3 :=7.1. Fggvnyekdefinilsa A Mathcad szmtalan beptett fggvnnyel rendelkezik, lsd Insert => Functions. Itt most rviden a felhasznl ltal definilhat fggvnyekrl lesz sz. 7. Fggvnyek 7-1MATHCAD ISMERTET Szakaszonknt definilhatunk fggvnyt a Heaviside fggvny segitsgvel. Heaviside fggvny definicija F(x) = 1 ha x >0 vagy x =0 s F(x) = 0 ha x < 0x 0 0.01 , 4 .. :=0 2 400.51 x 2 ( )xEzek kombincijval is elllithatunk klnbz, szakaszonknt definilt fggvnyeket0 2 400.51 x 2 ( ) x 3 ( ) xValamivel ltalnosabbanp a b , x , ( ) x a ( ) x b ( ) :=c x ( ) p 1.5 3 , x , ( ) x2 p 5 7 , x , ( ) expx 10 10 + :=x 0 0.01 , 10 .. :=0 2 4 6 8 100510c x ( )x7-2MATHCAD ISMERTET 7.2.2. Paramteresen definilt fggvnyekParamteres fggvny megadsa:x t ( ) expt 10cos t ( ) :=y t ( ) expt 10sin t ( ) :=t 0 0.01 , 8 .. :=1 0 1101y t ( )x t ( )7.2.3. Rekurzival definilt fggvnyekRekurzv fggvny (Pl. Csebishev polinomok)T n x , ( ) if n 1 > 2 x T n 1 x , ( ) T n 2 x , ( ) , if n 1 = x , 1 , ( ) , ( ) :=x 1 0.9 , 1 .. :=1 0 1101T 0 x , ( )T 1 x , ( )T 2 x , ( )T 3 x , ( )x7-3MATHCAD ISMERTET 7.3. Funkcionlis programozsA modern nyelvek nagyszm beptett fggvnnyel rendelkeznek, gy egy sszetettebb szmts elvgzse a szoksos program utastsok sorozata helyett sszetett fggvnyek hvsval oldhat meg, amelyben az input vltozk helyett a definilt sszetett fggvny argumentumai szerepelnek.Plda. Adott C rtk esetn hatrozzuk meg aintegrl fels hatrt!x 0 :=F C ( ) root0x e2d C x ,:=C 0 0.05 , 0.95 .. :=0 0.5 1012F C ( )CPlda Egy vektor legkisebb elemnek indexe: indexminv ( )0length v ( ) 1 iif vimin v ( ) = i , 0 , ( )=:=d1 02389 100:=indexmind ( ) 3 =7-4MATHCAD ISMERTET Plda: Egy sorozatadott T tulajdonsgot kielgt eleme, abban az esetben ha csak egy ilyen van vagy ha nincs. ORIGIN 1 :=select L T , ( ) if1length L ( )iif T Li( ) i , 0 , ( )=0 > L1length L ( )iif T Li( ) i , 0 , ( )=, "nincs" ,:=Legyen G 1 27 6 100 89 ( )T:=s keressk az els hrommal oszthat negatv elemet. Ekkor a tuladonsg-fggvny:K x ( ) x 0 < ( ) mod x 3 , ( ) 0 = ( ) :=Teht select G K , ( ) 27 =deK x ( ) x 100 > :=ekkorselect G K , ( ) "nincs" =Megjegyzs: Egy fggvny lehet egy msik fggvny argumentuma, (azaz vltoz!) de csak a nevt adjuk meg (select( ,K)). Ha a fggvny neve mindig a, vagyis nem akarjuk vltozknt kezelni, akkor korbban megadjuk, vagy globlisan definiljuk.7-5MATHCAD ISMERTET 8. Programozs8.1. A program szerkezeteA programozs lnyegben a fggvnydefincikiterjesztse, amennyiben egy fggvnyt utastsok sorozatval is definilhatunk szemben egyetlen utastssal. Egyszersg kedvrt tekintsnk egy fggvnydefincit:f x w , ( ) logxw|

\||:=Ha programozott formban akarjuk ezt a fggvnyt ellltani akkor elszr nyissuk meg a programozs eszkztrat: View => Toolbars => Programming vagy a Math eszkztrrlAz eszkztron az ltalunk rt programokban kiadhat sszes utasts megtallhat. Az utastsokat mindig innen vlasszuk, betnknt begpelve nem mkdnek!rjuk le a baloldalt mintha a szoksos fggvnydefincit alkalmaznnk, majd Add Line:f x w , ( ) :=Egy z vltoznak akarjuk tadni az x/w hnyados. rjuk a z-t az els tskba, majd vlasszuk a nyilat mint rtkad utastst (programon bell nem a := az rtkads!) s rjuk be a jobboldalra a log(x/w) kifejezst:f x w , ( ) z logxw|

\|| :=A kvetkez utastsban a z rtkt kell eredmnyl adni. Ezt a return utastssal tehetjk meg:f x w , ( ) z logxw|

\||z return:=Termszetesen ezt a fggvnyt csak didaktikai okokbl definiltuk program formjban, itt a szoksos fggvnydefinci egyszerbb. 8-1MATHCAD ISMERTET Az a amelynek rtket adtunk mr loklis a!a 78 =lakat 2 ( ) 80 = lakat x ( ) z x a + a 23 z:= a 78 :=Loklis s globlis vltoz krdse a Mathcadben kicsit szokatlan. A loklis vltoz minden olyan vltoz, amely a proramon bell kerl rtkadsra. Ez szoksos. Egy kls vltoz rtke hasznlhat a programon bell, mint globlis vltoz, azaz nem a paramter listn keresztl, de rtke nem mdosthat.8.3. Loklis, globlis vltozk p 3 ( ) 6 =p x ( ) t 2 x t returnx2:=A program outputja a fggvny nvben mint vltozban addik vissza. Ez lehet az utols utasts eredmnye a programban, vagy visszadhat a return utastssal. A return utasts brhol lehet a programban, hatsra a program futsa befejezdik s a prarmterben szerepl kifejezs rtkt adja eredmnyl.h 2 ( ) 44.091 =h x ( ) u sin x ( ) z u return:= z 45 :=A programon bell felhasznlhatunk azon kvl mr rtkkel rendelkez vltozt s mr definilt fggvnyt (beptett vagy magunk definilta) is:f 2 3 , s , ( ) 11 =f a b , g , ( ) c a c g b ( ) return:=s x ( ) u x2u return:=A program inputja vltozkon kvl lehet mr korbban definilt ms fggvnynv is:8.2. Input s output vltozk8-2MATHCAD ISMERTET 8.4. ElgazsElgazs az if.... otherwise szerkezettel valsthat meg.kuk x y , ( ) z 6 x y > ifz 6 otherwisez:=kuk 7 9 , ( ) 6 =Ha akr a hamis akr az igaz gban tbb utasts van akkor az Add Line alkalmazsval csinlunk tskkatkakukk x y , ( )z x z z y x y > ifz y z z x otherwisez:=8.5. Ciklusok szervezseA Mathcad alkalmas a szmllssal s a felttellel vezrelt ciklusok ltrehozsra is.paci n ( ) s 0 s s i + i 1 n .. fors:= lali m ( ) s 0 i 1 s s i + i i 1 + s m < whiles:=paci 10 ( ) 55 = lali 345 ( ) 351 =Ha tbb tskt akarunk, alkalmazzuk az Add Line-t. Ha a programban j utastst akarunk beszrni akkor kijelljk azt a sort, amely al akarunk beszrni s Add Line. Trlsnlkijelljk a trlendt s Backspace. 8-3MATHCAD ISMERTET 8.6. BreakCiklusbl kiugrs a break-kel lehetsges. A ciklus utni els utastsra ugrik.lali m ( ) s 0 i 1 s s i + i i 1 + break i 3 > ifs m < whiles:=lali 345 ( ) 6 =8.7. ContinueA continue utasts tadja a vezrlst a befoglal ciklus fejhez s a kvetkez ismtls indul, teht a ciklusmag tovbbi rszt tugorja:f n ( ) s 0 continue mod k 2 , ( ) 0 = ifs s k + k 0 n .. for n 0 ifs s k + k 0 n .. for otherwises:=f 10 ( ) 25 = 1 3 + 5 + 7 + 9 + 25 =8.8. On errorAz on error utasts:A B on error jelentse :B "Ha nem trtnik hiba a B szmtsnl" ifA otherwise8-4MATHCAD ISMERTET g x ( ) 10101xon error :=g 4 ( ) 0.25 = g 0 ( ) 1 1010 =Hiba esetn nem ll le a program, mi mondjuk meg mi legyen ekkor.type x ( ) y "number" substr concat "string" x , ( ) 0 , 6 , ( ) on error "complex" return Im x ( ) 0 if"integer" return floor x ( ) x = if"float" return otherwisey "number" = ify return:=type 78 ( ) "integer" = type 87.5 ( ) "float" = type "jojo" ( ) "string" =8.9. ErrorA Mathcad programozsa nem ad lehetsget a print utastshoz hasonl eljrshoz. Egy programban alkalmazott vltoz kiiratsa egy aktulisan elhelyett return utastssal vagy az error() fggvny alkalmazsval oldhat meg. Az error() fggvny csak stringet ad vissza, ezrt a szm esetn konverzira van szksg. A hibazenet csak akkor olvashat, ha a kifejezs aktv.p x ( ) t 2 x error num2str t ( ) ( )x2:=p 5 ( )= p 5 ( )F x ( ) error "x pozitv kell, hogy legyen!" ( ) x 0 if1xreturn otherwise:=F 3 ( )= F 3 ( ) F 5 ( ) 0.2 =8-5MATHCAD ISMERTET 8.10. Rekurzv hivsRekurzv hvs lehetsges:LKO a b , ( ) a return a b = ifLKO a b b , ( ) a b > ifLKO a b a , ( ) otherwiseotherwise:=LKO 32 76 , ( ) 4 =8.11. Szimbolikus kirtkelsSzimbolikus kirtkels programon bell is lehetsges:Giga N ( ) I15t1tN((d D sin I ( ) 2D return:=Giga 5 ( ) 0.994 = Giga 5 ( ) 2 sin156625|

\||12 Giga n ( ) 2 sin5 5n1 n + ( ) 11 n ++

((12 Amikor csak szimbolikus kirtkels lehetsges f x2sin x ( ) dxfddd|

\|||||= xf x2sin x ( ) dxfddd|

\|||||2 x sin x ( ) x2cos x ( ) + 8-6MATHCAD ISMERTET Tovbbi plda:P n x , ( ) 1 n 0 = ifx n 1 = if2 n 1 nx P n 1 x , ( ) n 1 nP n 2 x , ( ) otherwise:=a 78 =a a :=P 4 a , ( )74a 53a 32a212|

\||23a

((98a2 38+ P 4 0.2 , ( ) 0.232 =8-7MATHCAD ISMERTET 9. Szimbolikus szmtsokA Mathcad lehetv teszi bizonyos szmtsok analitikus vgrehajtst. Az els fontos lps, hogya kplet kirtkels kapcsoljtautomatikus mdba lltsuk:Math =>Automatic Calculation9.1. Szimbolikus kirtkelsA szimblikus kirtkels esetn az egyenlsg jel helyett a "->" jelet alkalmazzuk amit a Crtl+. (pont) -tal hozhatunk ltre, vagy a View => Toolbars => Evaluation menbl vlasztjuk ki. A kirtls sorn (vltoztatst kveten) szksg lehet az F9 -re.Nzznk kt pldt:xx22 y x ( )dd2 x 2 y 0xsin x ( )x((d12 A szimblikus szmtsokat alapveten vagy a beptett Symbolics men segtsgvel vagy az n. Live Symbolic (kzvetlen kirtkels) mdszerrel hajthatjuk vgre. Ha fggetlen a szimblikus szmts a numerikustl, akkor clszer a Symbolics men-t hasznlni.Plda a kt kirtkelsi mdra:002101 2 |

\||||22002 2 +104 2 2 +2|

\||||mtrix determinnsa :002101 2 |

\||||2 mg Symbolics menvel (Symbolics=> Matrix =>Determinant)002101 2 |

\||||has determinant29-1MATHCAD ISMERTET s 39.59797974644666136644728 Igy teht vgezhetnk mveleteket nagypontossg kifejezsekkel.s 39.5979797464467 =de numerikusan csak maximum 15 tizedesjegyre kerektve krdezhetjk le :s float 25 , 39.59797974644666136644728 Lekrdezve s rtkt szimbolikusans 14 8 float 25 , 39.59797974644666136644728 :=vagy hozzrendelve egy vltozhoz :39.597979746446661366 28 2 14 8 14 812 Tetszleges pontossggal val vals kirtkelse :9.2. Nagypontossg szmtsok14 8 14 812 Nemvals kifejezseket csak egyszersthetnk0k1 ( )kx2 k 1 +72 k 1 +2 k 1! +=simplify0kx14 49k k 1 +x2( )k=03k3!k! 3 k! xk 23 k =simplify 24 12 x + 3 x2 +12x3 + A szimbolikus kirtkels harmadik, talnlegelegnsabb mdja az n. Customizing Symbolic Equal Sign, azaz a szimblikus kirtkel jelet "->" specifikljuk egy el bert paramterrel : " paramter(ek) ->". Ltrehozsa a View => Toolbar => EvaluationEltte belltottuk az Evaluation Style menben a Show Comments s Horizontally paramtereket.9-2MATHCAD ISMERTET 5 x y x2y 2 x2 3 y2 + 3 x y2 factor 3 y x + ( ) x y 2 x y + ( ) Polinom faktorizcija8238913765711 factor 73 112861832407 Egy szm primtnyezs alakjaa b ( )2x y + ( )4 expand x y + ( )4, x y + ( )4a2 2 x y + ( )4 a b x y + ( )4b2 + Adott rsz egyttartsa s csak a megmaradk kifejtsex y + ( )4expand x44 x3 y + 6 x2 y2 + 4 x y3 + y4+ Egy kifejezs kifejtseLssunk nhny pldtaz algebraikifejezsek szimbolikus kirtkelsre9.3. Algebrai kifejezsek kezelses3 float 25 , 24.15464390021259878279094 s3 s1 s2 +425812363917+ :=persze ennl pontosabb ha vgig szimbolikusan szmolunk s csak az eredmnyt alaktjuk valsrasc sa sb + float 24.154643900212598783 :=sb s2 float 25 , .3958560523446019629225736 :=s2363917363917 :=sa s1 float 25 , 23.75878784786799681986837 :=s1 14 8 35|

\||425812 :=9-3MATHCAD ISMERTET Polinomilis kifejezs egytthatinak kiemelsex2a y x2 2 y2 x + x collect x , 1 a y ( ) x2 2 y2 1 ( )x + Az egytthatk kigyjtsex2a y x2 2 y2 x + x coeffs y ,x2x a x22 x |

\||||Egyenlet szimbolikus megoldsa :ALr22 C + = solve r ,1A 2 C A 2 C ( ) L [ ]121 A 2 C A 2 C ( ) L [ ]12

((((((Egyenletrendszer szimbolikus megoldsaa 2 b ( ) 21 =a2b 0 =

((solveab|

\ ||,1414i 16712 +1414i 16712 83 818i 16712 +83 818i 16712 |

\||||||Komplexszm trigonometrikus alakjaei n complex cos n ( ) i sin n ( ) + Helyettestsa2b + sin a ( ) substitute a x = , x b sin x12|

\|| + Sorbafejts sin x ( ) series x 1 = , 3 , sin 1 ( ) cos 1 ( ) x 1 ( ) +1 2sin 1 ( ) x 1 ( )2 + 9-4MATHCAD ISMERTET Megjegyzs: Ha a vltoznv eredetileg intervallum vltozt vagy fggvny nevt jelli akkor szimbolikus kirtkels sorn szimbolikus vltozkntviselkedikx2= x xx22 +3 x 6 +lim13x x azaz a numerikus szmitsokban marad az rtkede szimblikus kirtkelsnl mint szimblikus vltozviselkedikx = xx 1 + ( ) z 1 + ( ) expand x z x + z + 1 + sajt nevt rendeljk hozz x x x x xx 1 + ( ) z 1 + ( ) 4 z 4 + x 3 :=Korbban rtkkel ellltott vltoz felszabadtsa szimbolikus kirtkelshez9.5. Numerikus vltoz szimbolizlsax2simplify assume RealRange 1 0 , ( ) = , x x2simplify csgn x ( ) x Paramter mdostsa9 x 6 + x3 2 x2 x34 x2 + x + 6 convert parfrac , x , 1 1x 1 3x 3 + +4x 2 ++ Trt rszlettrtekre bontsaa5b5+substitute a c 1 + = b c 1 = , ( ) ,expanda5c55 c4 + 10 c3 10 c2 + 5 c 1 + Tbb paramter esetn a tskba beirt els utn Ctrl+Shift+.(pont) segtsgvel csinlunk helyet a kvetkez paramternek s gy tovbb. Ezzel a mdszerrel egy kis szimbolikus programot is irhatunk a paramterekkel mint utastsokkal.9.4. Tbbparamteres szimbolikus fggvnyek9-5MATHCAD ISMERTET 9.6. Szimbolikus integrls s differencilsPldk szimbolikus integrlsra s differencilsra0x ex2(d1212 xx22 +3 x 6 +ddsimplify23x 1 x22 +( )12x 2 + ( )2 abxx23 x2 1 +( )(((d13b 19312 atan b 312|

\|| 13a 19312 atan a 312|

\|| + Egy integrl elrt pontossggal val numerikus kirtkelst is szimbolikusan vgezzks0x ex2(d float 25 , .8862269254527580136490835 :=s .8862269254527580136490835 9.7 Kifejezsek kirtkelsnek optimalizlsaSzimbolikus szmtssal val egyszersts a numerikus kirtkels eltt, a Math menbl az Optimization aktivizlsval vlik lehetv. Ennek hatsra a Mathcad megprblja a numerikus kirtkels eltt a feladatot szimbolikusan egyszersten s csak utna numerkusan rtkelni.A Mathcad az A numerikus kirtkelse eltt, szimblikusan egyszerstette a kifejezst. Ezt jelzi a piros csillag. Csak ezt kveten szmol numerikusan.A0uz0vy0wx x2y2+ z2+(d(d(d :=u9-6MATHCAD ISMERTET Most A -ra trolta a szimbolikus eredmnyt (Click jobb egrgombbal s Show Popup)Numerikus integrls:u 1 := v 1 := w 1 :=0uz0vy0wx x2y2+ z2+(d(d(d 1 =Optimalizlssal jval rvidebb ideig tart a kirtkels, hiszen ilyenkor a mr analitikusan meghatrozott eredmnybe helyettesti be a numerikus rtkeket.A0uz0vy0wx x2y2+ z2+(d(d(d :=A 1 =9-7MATHCAD ISMERTET 10. Elemi numerikus mdszerekNem clunk a numerikus mdszerek ismertetse, csupn a Mathcad ltal biztositott elemi szolgltatsok bemutatsa. Nem trnk ki a kznsges s parcilis differencilegyenletek megoldsra, valamint az integrltranszformcik (Fourier, Laplace, Wavelet) alkalmazsra. Nem foglalkozunk tovbb a ktdimenzis interpolci s regresszi lehetsgvel, tovbb a Numerical Recipes kiegszt modul ismertetsvel sem.10.1. Nemlineris egyenlet megoldsaEgyismeretlenes egyenlet gykhelynek meghatrozsra a kvetkez lehetsgek llnak rendelkezsre:10.1.1. Grafikus brzols alapjnLegyen a megoldand egyenlet:f x ( ) ex x :=Rajzoljuk fel x 0 0.1 , 1 .. :=0 0.2 0.4 0.6 0.8101f x ( )0xJobb egrgomb a grafikonon 1.Felbukkan menbl: Zoom 2.Bal egrgombbal a gykhely tartomny kijellse s zoom 3.A 3. lps ismtlse 4.10.1.2. Fixpont iterciA fixpont itercit a Mathcad az until fggvnnyel valsitja meg. Az elz egyenletnket adjuk meg fixpont itercira alkalmas alakban, azaz x = g(x) formban.g x ( ) ex :=10-1MATHCAD ISMERTET x 0.5 :=A root fggvny a leghatkonyabb beptett mdszer. Alkalmazshoz szksges egy kezdrtk:10.1.3. A root fggvny alkalmazsaxlast x ( ) 1 = xAz eredmny (az utols nem zrus elem)last x ( ) 1 = xAz itercik szma xT= xamelyben az j rtk szmitsaa rgi alapjn (msodik argumentum) addig ismtldik, amig az els argumentum negativ nem lesz, vagy az itercik szma meghaladja az nmax rtkt.xi 1 +until xiG xi , ( ) G xi , ( ) , ( ) := until xiG xi , ( ) G xi , ( ) , ( )Az itercis formula:i 0 nmax .. :=Az itercis lpsek eredmnyeit egy x vektorba helyezzk 0.0005 := nmax 15 :=Adjunk meg egy kezdrtket x0, az itercik maximlis szmt nmax, s egy hibakorltot a lellshoz, 0.1 := x0x0 := x0 0.5 :=ahol nulla s egy kztti szm.Legyen G x , ( ) x 1 ( ) g x ( ) + :=Sokszor clszer a kzvetlen behelyettesits helyett relaxcit alkalmazni:10-2MATHCAD ISMERTET 2 x y z 2 =x 2 y z + 1 =x y 2 z 5 =Legyen adott a kvetkez lineris egyenletrendszer10.2. Lineris egyenletrendszer megoldsap xpr ( ) 4.897 1010 4.897 1010 4.897 1010 =Ellenrzs (Mapping!)xpr0.199 0.1 3.167i 0.1 3.167i += xprpolyroots c ( ) :=A gykk a polyroots fggvny segtsgvel c 2 10 0 1 ( )T:=Az egytthatit tartalmaz vektor:p x ( ) x310 x + 2 + :=Legyen a polinom10.1.4. Polinom gykeinek meghatrozsaf xr ( )1.589 105 =Ellenrzs: xr0.567 = xrroot f x ( ) x , ( ) :=A megolds:TOL 0.0005 :=Az sszes iterativ numerikus megold fggvny hibakorltjt a TOL vltozval szablyozhatjuk, amelynek alaprtke 0.001. Legyen most10-3MATHCAD ISMERTET rGE1000100010.667 1 2.333 = rGErref Ab ( ) :=Az eliminci elvgzseAb1121 2 1 2 11 51 2= Ab augment A b , ( ) :=Elkszts:Az rref fggvny a Gauss elimincis alakot lltja el.10.2.3. A Gauss-fle elimincis alakra hozssalA r b 0 =r0.667 1 2.333 = r lsolve A b , ( ) :=10.2.2. Az lsolve fggvny alkalmazsab A r 000=Ellenrzs r0.667 1 2.333 = r A1 b :=10.2.1. Mtrix invertlssalA1121 2 1 2 11 :=b51 2:=Ennek mtrixos formja10-4MATHCAD ISMERTET x 1 0.9 , 1 .. :=y x12+ =s egy egyenes metszspontjairl van szx2y2+ 1 =Egy nemlineris egyenletrendszernek ltalban tbb megoldsa van.Pldul esetnkben egy krg r0r1, ( ) 0 = f r0r1, ( ) 0 =Ellenrzs r0.4110.911= r Find x y , ( ) :=g x y , ( ) 0 =f x y , ( ) 0 =GivenEgyenletek a Given s a Find kztt soroljuk fely 0 := x 0 :=Itercis kezdrtk megadsag x y , ( ) x y 12+ :=f x y , ( ) x2y2+ 1 :=Nemlineris egyenletrendszert a Find fggvny felhasznlsval oldhatunk meg. 10.3. Nemlineris egyenletrendszer megoldsar0.667 1 2.333 = r rGE3 :=vagyis a megolds10-5MATHCAD ISMERTET g r0r1, ( ) 0 = f r0r1, ( ) 2.636 107 =s r0.911 0.411 = r Find x y , ( ) :=y 0 Differentiate):f x ( ) a0 xa1 =Legyen 10-17MATHCAD ISMERTET 11. Elemi vizualizciBevezetAz sszefoglal a Mathcad grafikus lehetsgeibe kivn bepillantst nyjtani. A gyakorlatok anyagnak sszefoglalja s tmutat annak megtartshoz. A cl a gyakorlati alkalmazhatsg s az elmleti anyag szemlltetse. Az ismertet a felvetett tma oldalrl kzelt. A funkcihoz tartoz menpont ismertetse utn plda segti a megrtst.Matematikai magyarzatok nem kpezik ezen anyag rszt, ez az elads, illetve ms trgyak feladata.11.1. Ktdimenzis brzolsok2D-s megjelentst kt menponttal kszthetnkInsert -> Graph -> X - Y Plot vagy Insert -> Graph -> Polar Plotx,f: intervallumvltoz, kifejezs vagy fggvny(megadsa ktelez)z,r: kifejezs vagy fggvny (megadsa ktelez)x1, x2, y1, y2, r1, r2: als, fels hatrok(megadsuk opcionlis)y2y1yx2 x1 xyr2r1rrKiegsztsek, illetve grafikon mdostsDupla klikk a grafikon terletn s tmakrkre bontva interaktv mdon llithatk be a vezrl paramterek.Axes: koordintahl formja. Traces: grafikonvonalak megjelense. Labels: cm, tengelyfeliratok elhelyezse. 11.1.1 y = f(x) alak egyvltozs fggvnyekEbben az esetben az x tengelyhez intervallumvltozt adunk meg, azaz ez lesz afggvny fggetlen vltozja.11-1MATHCAD ISMERTET fv x ( )sin x ( )x:= x 0.1 0.2 , 20 .. :=0 10 200fggvnyx tengelyy tengelyfv x ( )xTbb grbt egy grafikonra gy tehetnk, hogy az y tengely megadsnl vesszvelvlasztjuk el a megjelentend fggvnyeket. Paramterezsre is van lehetsg.fv_ek x a , ( ) asin x ( )x:=k 1 4 .. :=0 10 202024fv_ek x 1 , ( )fv_ek x 2 , ( )fv_ek x 3 , ( )fv_ek x 4 , ( )x0 10 202024ksin x ( )xx11.1.2 x = f(t), y = g(t) koordinta-fggvny paramteres grbe (vektor-skalr fggvny)Mindkt tengely kifejezs vagy fggvny, egy intervallumvltoz rtkkszletvel.x t ( ) 10 cos 2 t ( ) := y t ( ) 5 sin 2 t ( ) := t 0 .01 , 1 .. :=0 0.5 110010koordinta fggvnyekx t ( )y t ( )t10 0 1010010vektor-skalr fggvnyy t ( )x t ( )11-2MATHCAD ISMERTET 11.1.3 xi, yi kulcspontok megjelentseDiszkrt pontok megjelentsnek technikja az, hogy a Traces almenben a vonal tpust points-ra lltjuk s bellitunk hozz egy megfelel Symbol-t is.Albb pldt ltunk kifejezssel s vektor elemeivel rajzolt pontsorozatra.A kt tengely megadsnl fontos a sorrend betartsa: x tengely balrl jobbra, y tengely fentrl lefel. u .5 1.0 , 10 .. := x .1 .2 , 10 .. := i 1 10 .. := Pii10:=0 2 4 6 8 10112fv x ( )xsin x ( )101uPix x , u , i ,11.1.4 r = f(t), f = g(t) polrkoordints brzolsA szgtengely (krv) vltoz, kifejezs vagy fggvny lehet, a sugr kifejezs vagy fggvny. Alul a szget, bal oldalt a sugarat kell megadni. A pldban ltjuk, hogy hasznlata nem klnbzik azX - Y Plot -tl t .5 .51 , 20 .. := s 3 3.01 , 20 .. :=03060901201501802102402703003300.80.60.40.20sin(t)/t spirllineris spirlfv t ( )s20t s ,11-3MATHCAD ISMERTET 11.2. Hromdimenzis brzolsokA megjelentshez elszr meg kell konstrulni az brzoland fggvnyt, vagy adatainak ktdimenzis mtrixt. 3D-s megjelentst t menponttal kszthetnk Insert -> Graph -> Ez utn a bal als sarokban megadjuk a fggvnyt ler adatszerkezetet. Dupla klikk az bra terletn s tmakrkre bontva interaktv mdon llithatk be a vezrl paramterek. Fontosabb funkcik:General: ltalnos belltsok - nzet irnya, koordintahl stlusa megjelentsi md vlts(nem javasolt).Axes: koordintahl beosztsa, megjelense. Appearance: a fggvny megjelense - hl, rnyalt, markerek,takars. Tile: cm elhelyezse. Lighting: rnyals esetn a megvilgts. QuickPlot data: rajzolsi tartomny s feloszts megadsa Advanced: sznezsi md, perspektva llts Special: interpolcis hl, szintvonalak cmkzse 11.2.1 z = f(x,y) alak ktvltozs fggvnyek vettett megjelentseInsert -> Graph -> Surface Plot fggvny defnilssal:(jdonsg a MathCAD 2000-ben)takars nlkl a rcsfelosztst s az rtkhatrokata dialguslapon kell megadni adatmtrix ksztsvel:(MathCAD 8-ig)takarssaln 10 := m 10 := i n n .. := j m m .. :=fv2v x y , ( )11 x2+( )11 y2+( ) :=FV2Vn i + m j + ,fv2v2 i n2 j m,|

\||:=fv2v FV2V11-4MATHCAD ISMERTET markerekkelX Y , Z , ( )vonallalx y , z , ( )Ziz 2in|

\||:= Yiy 2in|

\||:= Xix 2in|

\||:=y t ( ) sin 2 t ( ) :=i 0 n .. := n 50 := z t ( ) t := x t ( ) cos 2 t ( ) :=adatmtrix ksztsvel: fggvny defnilssal:Insert -> Graph -> 3D Scatter Plot A trgrbe hrom koordinta-fggvnyt kell zrjelben megadni.11.2.2 x = f(t), y = g(t), z(t) koordinta-fggvny paramteres grbe (vektor-skalr fggvny)megvilgtssal rnyalvaFV2Vperspektv megjelentsfv2v Insert -> Graph -> 3D Bar Plot oszlopos megjelentsi forma11-5MATHCAD ISMERTET FV2Vfv2vInsert -> Graph -> Contour Plot A vezrl paramterek kztt a Special -> Auto Contour -ral llthat a cimkzs.A korbban defnilt fggvnyt felhasznlva, szintjellssel s rnyaltan fggvny defnilssal:adatmtrix ksztsvel:11.2.4 Ktvltozs fggvny szintvonalas megjelentse (skalr-vektor fggvny)rnyalt hengerx y , z , ( ) xx yy , zz , ( ) ,drtvzas hengerpalstx y , z , ( )henger = hengerpalst + krlapzz u v , ( ) 1 := yy u v , ( ) v sin 2 u ( ) := xx u v , ( ) v cos 2 u ( ) := krlap:z u v , ( ) v := y u v , ( ) sin 2 u ( ) := x u v , ( ) cos 2 u ( ) := hengerpalst:Insert -> Graph -> Surface Plot A felletet ler egyenletek11.2.3 x = f(u,v), y = g(u,v), z = h(u,v) koordinta-fggvny fellet(ktparamteres vektor-skalr fggvny)11-6MATHCAD ISMERTET z3 u v , ( )12u4v4 := y3 u v , ( ) v := x3 u v , ( ) u := sklap:z2 u v , ( ) 0 := y2 u v , ( ) v sin 2 u ( ) := x2 u v , ( ) v cos 2 u ( ) := krlap:z1 u v , ( ) v := y1 u v , ( ) 1 v ( ) sin 2 u ( ) := x1 u v , ( ) 1 v ( ) cos 2 u ( ) := kppalst:Kp s sk thatsa:11.2.6.1 Ismert a fellet(ek) egyenlete11.2.6 sszetett felletek konstrulsaErtrE F , ( )Fn i + m j + ,if i 0 = ( ) j 0 = ( ) 0 ,ji2j2+,

((:= En i + m j + ,if i 0 = ( ) j 0 = ( ) 0 ,ii2j2+,

((:=j m m .. := i n n .. := m 5 := n 5 :=A funkci ktelem vektor rtk, ktvltozs fggvny megjelentsre alkalmas.Insert -> Graph -> Vector Field Plot Az egyik lehetsg olyan adatszerkezet ltrehozsa, melyben az adatok ktdimenzis mtrix elemeinek ktelem vektoraiban vannak. Clszer a komplex szmok hasznlata.A msik, a plda szerinti, hogy a vektormez x s y komponenst egy - egy ktdimenzis mtrixba tesszk. A kt mtrix nevt kell zrjelben a bal als sarokba berni.11.2.5 Vektormez brzolsa (vektor-vektor fggvny)11-7MATHCAD ISMERTET x1 y1 , z1 , ( ) x2 y2 , z2 , ( ) , x3 y3 , z3 , ( ) , x1 y1 , z1 , ( ) x2 y2 , z2 , ( ) , x3 y3 , z3 , ( ) ,11.2.6.2 Forgstest konstrulsa:A profilgrbt az egyik paramter rja le, a msik paramter cos, sin fggvnye adja a megfelel tengely forgsszimmetrit.x1 u v , ( )sin v ( )vcos 2 u ( ) := x2 u v , ( ) if v 1 < v , 2 v , ( ) cos 2 u ( ) :=y1 u v , ( )sin v ( )vsin 2 u ( ) := y2 u v , ( ) if v 1 < v , 2 v , ( ) sin 2 u ( ) :=z1 u v , ( ) v := z2 u v , ( ) v :=x1 y1 , z1 , ( ) x2 y2 , z2 , ( )11-8MATHCAD ISMERTET Z0.4510.0570.7830.520.8760.9560.5390.462|

\|||||||||||= Y0.9141.4739.8851.1910.0895.3176.0181.662|

\|||||||||||= X0.0131.9335.853.5038.2281.7417.1053.04|

\|||||||||||=X Y , Z , ( ) X Y , Z , ( ) ,Z runif 8 0 , 1 , ( ) := Y runif 8 0 , 10 , ( ) := X runif 8 0 , 10 , ( ) :=A pontokat clszerkoordintnknt egy-egy vektorba tenni. 3D-s megjelentst vlasztva az interpolcis hl felosztsnak megfelel finomsg, a befoglal tgla tartomnyn kapjuk a szmolt felletet.A pldban egy brn jelentettk meg a mintapontokat (Scatter plot) s a szintvonalas trkpet.11.2.6.4 Mintapontokbl szmtott, tglalap tartomnyon rtelmezett ktvltozs fggvny megjelentse (2D-s interpolci)rnyalssal s paramtervonalakkalx1 y1 , z1 , ( )z1 u v , ( ) 5 v :=y1 u v , ( ) R cos 2 v ( ) r sin 2 u ( ) + :=x1 u v , ( ) R sin 2 v ( ) r cos 2 u ( ) + := R 1 := r 1 :=Az egyik paramter a profil alakjt rja le, a msik a vezrgrbt. Ennl az egyszer mdszernl a profil nem merleges a vezrgrbre.11.2.6.3 Eltolt profil11-9MATHCAD ISMERTET 11.2.6.5 Sklap megjelentseA megjelentend sklapot meghatroz poligon cscsponti koordintit kellvektorokba, illetve mtrixba tenni. A hivatkozsban a hrom koordinta adatszerkezett kell megadni. Clszer a befoglal tglalap cscsaival dolgozni.lapx0110|

\|||||:= lapy0011|

\|||||:= lapz0000|

\|||||:= lap011000111111|

\|||||:=lapx lapy , lapz , ( )lap0 lap1 , lap2 ,( )Mtrixos koordinta megadssal nincs interpolci, ngyszgenknt definilunk. Ekkor egy lapot a szomszdos pontngyes r le.lapx0101|

\||:= lapy1111|

\||:= lapz0011|

\||:=lapx21111|

\||:= lapy20101|

\||:= lapz20011|

\||:=lapx lapy , lapz , ( ) lapx2 lapy2 , lapz2 , ( ) ,11-10MATHCAD ISMERTET Egy adatszerkezettel:lapx111100|

\||:= lapy001111|

\||:= lapz010101|

\||:=lapx lapy , lapz , ( )11.3. Geometriai transzformcik bemutatsaA transzformcik egysges kezelst lineris algebrai eszkzkkel valsthatjuk meg. sszetett transzformcit az elemiek konkatencijval konstrulhatunk. 11.3.1 2D-s alakzatok transzformlsaElksztjk egy H1 hromszg homogn koordints adatszerkezett.Az oszlopok: x,y koordinta, konvencionlis 1.A sorok: a hrom oldalszakaszt megad vgpontok krljrsi sorrendben.(Az els s utols sor egyezik a zrds miatt.) H1011010111111|

\|||||:= j 0 3 .. :=0 202H1j 1 ,H1j 0 ,11-11MATHCAD ISMERTET H30.707 0.70700.707 0.7070.7071.4140.7071111|

\|||||=0 202H1j 1 ,H3j 1 ,H1j 0 ,H3j 0 ,,j 0 3 .. :=H3 H1 Forg := Forgcos4|

\ ||sin4|

\ ||0sin4|

\ ||cos4|

\ ||0001|

\||||||:=H3 legyen az elforgatott hromszg: A forgatsi mtrix:Forgassuk el H1-et az orig krl 45 fokkal.11.3.1.2 Forgats0 202H1j 1 ,H2j 1 ,H1j 0 ,H2j 0 ,,j 0 3 .. :=H20.51.51.50.51.20.21.21.21111|

\|||||= H2 H1 Tol := Tol10.501.2001|

\||||:=H2 legyen az eltolt hromszg: Az eltolsi mtrix:Toljuk el a hromszget dx = 0.5 s dy = 0.2 -del.11.3.1.1 Eltols11-12MATHCAD ISMERTET H5 H1 T := T1.0611.061 0.6671.0611.0610.748 001|

\||||= T Tol Forg Skala Tol1 :=Skala1.50001.50001|

\||||:= Forgcos4|

\ ||sin4|

\ ||0sin4|

\ ||cos4|

\ ||0001|

\||||||:= Tol10S001S1001|

\||||:=Elemi lpsek: Eltoljuk az alakzatot gy, hogy a slypont az origba kerljn. Elvgezzk a forgatst s a nagytst. Visszatoljuk eredeti helyre a hromszget. S0.6670.667|

\||= Sj1302iH1i j ,= := j 0 1 .. :=A slypont meghatrozsa:Forgassuk el a H1 hromszget a slypontja krl 45 fokkal s nagytsuk fel onnan nzve 1.5-szeresre:11.3.1.4 sszetett transzformciH401.51.501.501.51.51111|

\|||||=0 202H1j 1 ,H4j 1 ,H1j 0 ,H4j 0 ,,j 0 3 .. :=H4 H1 Skala := Skala1.50001.50001|

\||||:=H4 legyen az elforgatott hromszg: A nagytsi mtrix:Nagytsuk H1 hromszget az origbl nzve 1.5 -szeresre:11.3.1.3 Sklzs(kzppontos kicsinyts-nagyts)11-13MATHCAD ISMERTET Forgcos4|

\ ||0sin4|

\ ||00100sin4|

\ ||0cos4|

\ ||00001|

\||||||||:= Tol100001000011 0001|

\|||||:=Forgassuk el L1-et az y tengellyel prhuzamos oldala krl 45 fokkal. Elszr eltoljuk (Tol) a lapot gy, hogy a forgats tengelye egybeessen az y tengellyel. Az elforgats (Forg) utn visszatoljuk (Tol-1) a lapot.11.3.2.2 ForgatsL201100.50.51.51.51.21.21.21.21111|

\|||||= L2 L1 Tol := Tol1000010.5001.20001|

\|||||:=L2 legyen az eltolt lap:Toljuk el a lapot dy = 0.5 s dz = 0.2-del.11.3.2.1 EltolsL10110001111111111|

\|||||= L13 1111|

\|||||:= L1 lap :=Elksztjk az L1 lap homogn koordints adatszerkezett egy meglvbl.11.3.2 3D-s alakzatok transzformlsaH50.394 1.7270.6670.394 0.3130.3131.3740.3131111|

\|||||=1 0 1 21012H1j 1 ,H5j 1 ,S1H1j 0 ,H5j 0 ,, S0,j 0 3 .. :=11-14MATHCAD ISMERTET L3 L1 Tol Forg Tol1 :=11.3.2.3 Sklzs (kzppontos kicsinyts-nagyts)Nagytsuk L1 lapot az origbl nzve 1.5 -szeresre:Skala1.500001.500001.500001|

\|||||:= L4 L1 Skala :=L1:zldL2:srgaL3:cinL4:szrkeTranszformlt sklapokL10 L11 , L12 ,( )L20 L21 , L22 ,( ), L30 L31 , L32 ,( ), L40 L41 , L42 ,( ),11.4. Alaklers, grbetervezsTekintsk a skon a kvetkez x s y koordintikkal megadott pontokat. Px12455.5|

\||||||:= Py11.51.812|

\||||||:=Keressnk a pontokhoz klnbz szempontok szerint illeszked fggvnyeket.11-15MATHCAD ISMERTET ltalnos alak: interp(vs,vx,vy,x) ahol vs egy mdszer eredmnyvektora, vx az x koordintk vektora, vy az y koordintk vektora, x az adott hely rtkt keressk (formlis paramter is lehet). 11.4.1 Interpolcis mdszerekEbben az esetben a grbe tmegy a mintapontokon.Lfv t ( ) linterp Px Py , t , ( ) := Lineris interpolci.Spline interpolci elsfok hatrfelttellelSpline interpolci msodfok hatrfelttellelSpline interpolci harmadfok hatrfelttellel Sfv1 t ( ) interp lspline Px Py , ( ) Px , Py , t , ( ) :=Sfv2 t ( ) interp pspline Px Py , ( ) Px , Py , t , ( ) :=Sfv3 t ( ) interp cspline Px Py , ( ) Px , Py , t , ( ) :=t 0 .1 , 6 .. :=0 1.5 3 4.5 600.751.52.253PyLfv t ( )Sfv1 t ( )Sfv2 t ( )Sfv3 t ( )Px t , t , t , t ,Ltszik, hogy minnl magasabb fok a peremfelttel annl inkbb "kunkorodik" az extrapolcis tartomny.11.4.2 RegressziA mintapontok csak a grbe alkjnak jellegt befolysoljk. regress(X,Y,k)a hipotzisgrbe k-ad fok polinm. Rfv1 t ( ) interp regress Px Py , 1 , ( ) Px , Py , t , ( ) :=Rfv2 t ( ) interp regress Px Py , 3 , ( ) Px , Py , t , ( ) :=Rfv3 t ( ) interp regress Px Py , 4 , ( ) Px , Py , t , ( ) :=11-16MATHCAD ISMERTET t 0 .01 , 6 .. :=00PyiPxi 00PyiSfvy t ( )PxiSfvx t ( ) ,i 0 6 .. :=Rfvy2 t ( ) interp regress T Py , 6 , ( ) T , Py , t , ( :=Rfvx2 t ( ) interp regress T Px , 6 , ( ) T , Px , , ( :=Rfvy1 t ( ) interp regress T Py , 5 , ( ) T , Py , t , ( :=T0123456|

\|||||||||:= Py01 010.5 0|

\|||||||||:= Px1 010.5 0.5|

\|||||||||:=Rfvx1 t ( ) interp regress T Px , 5 , ( ) T , Px , , ( :=Sfvy t ( ) interp lspline T Py , ( ) T , Py , t , ( ) :=Sfvx t ( ) interp lspline T Px , ( ) T , Px , t , ( ) :=Vizsgljuk meg az albbi mintapontokat. Ltszik, hogy fggvnyt nem kereshetnk a pontokhoz, ezrt paramteres grbvel dolgozunk. Ksztnk egy T paramter-tmbt s feltesszk, hogy egyenletesen haladunk a grbe mentn. A koordintafggvnyeket spline s polinm illesztssel konstruljuk. 11.4.3 GrbetervezsAmennyiben k = pontszm - 1 akkor az interpolcis polinomot kapjuk meg.0 1.5 3 4.5 600.751.52.253PyLfv t ( )Rfv1 t ( )Rfv2 t ( )Rfv3 t ( )Px t , t , t , t ,11-17MATHCAD ISMERTET 1 0 10PyiRfvy1 t ( )PxiRfvx1 t ( ) ,1 0 10PyiRfvy2 t ( )PxiRfvx2 t ( ) ,A klnbz fokszm polinm illesztsek meglep formkat eredmnyezhetnek.11.5. Animcis lehetsgekA Mathcad-ben az animci kpek egyms utni vettst jelenti. Hrom lpsben ksztjk el a filmet.Megkonstruljuk az brt a FRAME animcit vezrl vltozsegtsgvel.Viev -> Animate ... dialguslapon belltjuk a kpszmot (FRAMEciklusvltoz hatraival), a sebessget s megadjuk (bekeretezzk) a kptartomnyt. Az Animate funkci indtja a kpek elksztst.Lejtsszuk a filmet a Playback-kel. t 1 1.02 , 10 .. :=R t ( ) t := t ( ) 2 t FRAME :=0306090120150180210240270300330840R t ( ) t ( )A FRAME ciklusvltozvalvezrelt forg spirl paramteresfggvnynek elksztse.A Viev -> Animate ... Save as funkcival elmenthetjk a filmetElmentett animcinkat a Viev -> Playback... -> Open menponttal jtszhatjuk le.Esetleges grafikus szoftverhiba esetn a Viev -> Animate ... -> Options ... funkcival kezelhetjk le a problmt.11-18MATHCAD ISMERTET Hgmm1736at := at 10000kpm2 := kp 9.81 N :=A meglv bzis egysgek alapjn j egysgek definilhatk. Pldaknt definiljunk az ismert Newton(N) alapjn egy j eregysget (kp), majd ennek felhasznlsval kt nyomsegysget (at s Hgmm):12.2.1. Definci a bzisegysgek alapjnA Mathcad lehetsget ad arra, hogy sajt mrtkegysget is definiljunk. Ezt megtehetjk amr meglv, bzisegysgek alapjn vagy azoktl fggetlenl is.12.2. j mrtkegysg defincijav 6.448 104cmhr= v 17.91cms=tvltsnl az eredmny vagy lekrdezs utn megjelen tasakba rjuk be a kvnt j egysget:v 0.179ms-1= vxt:=Mveletek vgzsnl automatikusan addik az eredmny mrtkegysge: A mrtkegysg ugyanolyan vltoz, mint brmelyik msik, gy rtke fellrhat. Gyakori hiba az m vltoz hasznlata magassgra, vagy az N vltoz erre, ha mrtkegysgeket is hasznlunk. A vltoz rtke fellrja az m (mter) s N (Newton) mrtkegysgeket, s igen furcsa eredmnyeket kapunk brmifle hibazenet nlkl! t 67 s := g 9.81ms2 := y 78 kg := x 12 m :=rtkadsnl szorzunk a dimenzi jelvel12.1. Mrtkegysgek hasznlataA Mathcadben nhny mrtkegysg-rendszer dimenzii elre definilt formban megtallhatk:Math => Options => Unit System => Dimensions => Displaydimensions (Jele az els alhzott bet)12. Mrtkegysgek hasznlata12-1MATHCAD ISMERTET b38kg3= a 0.964m =Az opertorok esetn ez nem problma:ln b ( )= b sin a ( )= ab 2 kg := a 10 ft2 :=Bizonyos bepitett fggvnyek argumentuma dimenzi mentes kell, hogy legyen:12.3. Mrtkegysgek hasznlata fggvnyek esetn sszeg 100.989Dollr = sszeg 28.782eFt =sszeg 28782Ft = sszeg n r :=n 123 drb := r 234Ftdrb :=Az j egysgek alapjn:drb 1 :=Egy msik j egysg legyen a darab :Dollr 285 Ft := mFt 106Ft := eFt 1000 Ft := Fillr1100Ft :=Ennek alapjn tovbbi egysgek definilsa :Ft 1 :=j mrtkegysg definicija a meglv bzis egysgektl fggetlenl, pl. a forint definci bevezetse:12.2.2. Definci a bzisegysgektl fggetlenlp 8832Hgmm = p 12 at :=F 1.223kp = F 12 N :=gy12-2MATHCAD ISMERTET G Ax( )0110641069106m2= Ax0100020003000m= G Ax( )0149km2= Ax0123km=vektor indexben az x vltoz Axx km := x 0 3 .. :=Definiljunk egy intervallumvltoztG x ( ) x2:=LegyenEkkor a Mathcad az alaprtelmezsknt a beptett alap mrtkegysgeket hasznlja!Nzznk egy pldt a mrtkegysg hasznlatra intervallumvltoz esetn: 12.4. Mrtkegysgek hasznlata intervallumvltoz esetn t1f t1 ( )dd28.161 ms-1= 2t1f t1 ( )dd29.807 ms-2=t13.45 sec :=f 1.4 sec ( ) 5.78m =Mirt hibs? f 2 ( )= f 2 ( ) f 5 sec ( ) 86.772 m =f t ( ) 4.9033 msec2t2 5.672msect + 7.45 m + :=Derivlt fggvnynl is mkdikSum a b , ( )= Sum a b , ( ) Sum x y , ( ) x y + :=Mrtkegysg szempontjbl csak homogn mvelet vgezhetlnbkg0.693 = sinaft20.544 =A fggvnyek esetn idlegesen a mrtkegysggel oszthatunk:12-3MATHCAD ISMERTET Afggvny felrajzolsa esetn a Mathcad mindig a sajt beptett bzisegysgt hasznlja.0 1000 2000 300005 .1061 .107G Ax( )AxHa az ltalunk megkvnt egysgbe kvnjuk felrajzolni a kapcsolatot akkor a megfelel mrtkegysggel osztani kelldm 10 cm :=0 1 .1042 .1043 .1040510G Ax( )km2AxdmEgy msik plda egy msik megoldsi lehetsget mutat.Rajzoljuk fel a mozgsi energit mint a sebessg fggvnyt. Itt teht a sebessg lesz az intervallum vltoz.mass 5 kg := v 0.1cmsec 0.2cmsec , 1.5cmsec .. :=K v ( )mass v22:=12-4MATHCAD ISMERTET 0 0.5 1 1.502 .1044 .104K v ( )vcmsec12.5. Mrtkegysg hasznlata vektor esetn Legyen egy z vektor adottz2314cm :=ms mrtkegysgbenz0.020.030.14m =egy komponensez20.459ft =A vektor egyes elemeinek nem lehet ms-ms mrtkegysget adni.Mvelet egy msik vektorral (skalrszorzat)y158km :=zTy ( )0ft2= zTy ( )012-5MATHCAD ISMERTET Rajzolsnl gy viselkedik mint az intervallumvltoz0 2000 4000 6000 800000.050.1zys 0 2 .1054 .1056 .1058 .10500.20.40.6zftycm12-6MATHCAD ISMERTET 13. Kapcsolat ms alkalmazsokkal Lehetsg van az aktulis Mathcad munkalap s ms Mathcad munkalap, valamint ms alkalmazsok (Excel, Maple, MathConnex) kztti kapcsolat ltrehozsra. Ezenkvl a Mathcad munkalapbl hvhatunk Visual Script vagy Java Scriptben irt modulokat.A fent emlitett kapcsolat vonatkozhat klcsns adattadsra illetve a msik alkalmazs fggvnyeinek hvsra.Itt csak a legegyszerbb kapcsolatok ismertetsre szortkozunk.13.1. Ms Mathcad munkalapokkal val kapcsolatMs munkalapon definilt kifejezsek, elssorban fggvnyek felhasznlhatk, hivhatk az aktulis munkalapon is. A mdszer fleg modulknyvtr ltrehozsra szolglhat. A hivatkozs ltrehozsa:Insert => Reference => Teljes fjlnv (tvonal\fjlnv)A Use relativ path for reference kapcsol bekapcsolsval a MathCAD automatikusan csak a relatv elrsi utat trolja (a legtbb esetben ezt rdemes hasznlni). Ezt a hivatkozs vgn tallhat (R) jel mutatja.Definiljunk egy elemi(x)fggvnyt a hivatkozs.mcd munkalapon:Reference:E:\TERVEZS\Templates\Mathcad kziknyv-tutor\hivatkozas.mcd(R)Ezutn a hivatkozst kveten hasznlhatjuk az elemi(x) fggvnyt:elemi 0.9 ( )= elemiHvskor a hivatkozott munkalap automatikusan aktivizldik, nem kell kln behvni. A hivatkozs teljesen gy mkdik, mint ha a munkalapunk adott pontjra beillesztettk volna a hivatkozott munkalap teljes tartalmt. Teht a MathCAD elszr kirtkeli a munkalap hivatkozs eltti rszt, majd a hivatkozott munkalapot, s ez utn az eredeti munkalap tovbbi rszt. (Pl. egy hivatkozott munkalapon rdemes ezrt vatosan bnni az ORIGIN vltozval.)13.2. Kapcsolat ExcellelAz Excellel val kapcsolatok ngy lehetsge kzl (Excel adatfjl beolvassa Mathcad munkalap vltozjba, Mathcad vltoz (tmb) rtkeinek tvitele Excel fjlba vagy munkalapra (dinamikus kapcsolat), Mathcad fggvny hvsa Mathcadbl, valamint Excel fggvny hvsa Mathcadbl) csak az els kettt ismertetjk, amelyek off-line kapcsolatnak tekinthetk. 13-1MATHCAD ISMERTET 13.2.1. Excel file beolvassa MathcadbeA beolvassa egy adott tblzatnak, amit korbban egy Excel - file -ba (*.xls) mentettnk, a kvetkez formban lehetsges:Insert => Component => File Read or Write => File Read => File Format => ExcelOlvassuk be az ExcelOut.xls file-t a munkalap M vltozjbaMExcelIn.xls:=ExcelIn.xlsAz M tartalmaM = M13.2.2. Mtrix tartalmnak kiratsa Excel tblzatba Lnyegben mint elbb, csak olvass helyett rs. Az M mtrix ngyzett irjuk ki egy Excel fileba, ExcelIn.xls B M2:= MB = B13-2MATHCAD ISMERTET ExcelOut.xlsBBEzek a fjlmveletek nem ignyeltk az Excel alkalmazs aktivizlst.Megjegyzs: A fentieken kivl lehetsg van rajzol programokkal (SmartSketch, Autocad2000) val dinamikus kapcsolatra, illetve Mathcad munkalapoknak Mathematica notebook fjlba val transzformlsra.A Matlab s Mathcad kztti kapcsolatra lthatunk pldt az eladsjegyzet fjlkezelssel foglalkoz fejezetben.13-3