Mathematik und Rechnen – Test zur Erfassung von Konzepten ... · Five essential concepts are: numbers as counting sequence, ordinal number line, cardi- nal understanding, part –

256 G. Ricken, A. Fritz, L. Balzer

Empirische Sonderpädagogik, 2011, Nr. 3, S. 256-271

Mathematik und Rechnen – Test zur Erfassung von Konzepten im Vorschulalter (MARKO-D) – ein Beispiel für einen niveauorientierten AnsatzGabi Ricken1, Annemarie Fritz2, Lars Balzer3

1Universität Hamburg; 2Universität Duisburg-Essen; 3Eidgenössisches Hochschulinstitut für

Berufsbildung (EHB) Zollikofen, Schweiz

Eine prozessorientierte Diagnostik erfordert eine theoretische Dimension, anhand derer Verände-rungen beschrieben und interpretiert werden können. Für den Test zur Erfassung von Konzepten imVorschulalter, MARKO- D, wurde eine solche Dimension bzw. Skala aus der Analyse theoretischerAussagen und empirischer Befunde für die Entwicklung mathematischer Konzepte im Vorschulalterabgeleitet. Die fünf zentralen Konzepte sind: Zählzahl, mentaler Zahlenstrahl, Kardinalzahl, Teil-Teil-Ganzes-Konzept und Relationalzahl. Mit der empirischen Prüfung gelang der Nachweis der Gültig-keit des Modells (eindimensionales Raschmodell). Damit steht ein Testkonzept zur Verfügung, dassowohl den Vergleich mit der Sozialnorm als auch insbesondere eine Einordnung eines Kindes in ei-nen Entwicklungsverlauf und damit ein individuelles Bezugssystem erlaubt.

Schlüsselwörter: mathematische Konzepte, prozessorientierte Diagnostik, Kompetenzdiagnostik,Rechenstörungen, Entwicklungsmodell

Math and Calculation – A Test for Diagnosing Concepts at Pre-school Age – An Example of a Level-oriented Approach

Process-oriented diagnostics require a theoretical framework which allows to describe and interpretindividual competence changes. For MARKO-test, a corresponding dimension/scale of mathemati-cal achievement in preschool age was developed on the basis of theoretical assumptions and em-pirical data. Five essential concepts are: numbers as counting sequence, ordinal number line, cardi-nal understanding, part – part – whole and concept of congruent intervals. There is empirical evi-dence for the validity of the model, using a unidimensional Rasch model. Therefore, a concept oftesting is available which on the one hand allows to compare individual data with a social norm andon the other hand is usable to make valid statements about individual changes and the current de-velopment status of a child.

Key words: mathematical concepts, process-oriented diagnostics, specific learning disabilities, dys-calculia, competencies, developmental model

Grundidee der Testkonstruktion

Die aktuelle Entwicklung in der pädagogi-schen Diagnostik zeigt eine Veränderung derAufgabenstellung von einer Zustandserhe-bung zu einer Verlaufserfassung. Damit wer-den diagnostische Verfahren benötigt, die fürVeränderungen sensibel sind: Veränderun-gen, die einerseits durch quantitative Zu-wächse und andererseits durch Weiterent-wicklungen von Wissensinhalten entstehen.

Im Folgenden wird mit dem Test MARKO-D ein Beispiel für einen Ansatz vorgestellt,der die Abbildung qualitativer Veränderun-gen erlaubt. Inhaltlich betrachtet werden ma-thematische Konzepte erfasst, die sich be-reits im Vorschul- und frühen Grundschulalterentwickeln. Die Auswahl dieses Altersbe-reichs lässt sich mit der besonderen prognos-tischen Bedeutung der Entwicklung mathe-matischer Kompetenzen für das Schulalterbegründen (Landerl & Kaufmann, 2008). Kin-der mit besonders guten oder schlechten Vo-raussetzungen könnten so vor Schulbeginndiagnostiziert werden, um bereits zu so frü-hen Zeitpunkten ihre Entwicklung angemes-sen zu unterstützen.

Üblicherweise werden zwei Prinzipiengenutzt, um Entwicklungsstände zu erfassen:eine Auswahl von Aufgaben, die Curricu-lumsanforderungen repräsentiert (z.B. DE-MAT 4 – Gölitz, Roick & Hasselhorn, 2006)oder eine Auswahl von sogenannten Basis-kompetenzen (Eggenberger Rechentests 1+,Schaupp, Holz & Lenart, 2007). Tests, die sokonstruiert werden, enthalten meist mehrereUntertests. Durch die Bestimmung der richti-gen Lösungen pro Untertest werden die indi-viduellen Werte (richtig gelöste Aufgaben)mit der Verteilung der Werte in der sozialenNormgruppe verglichen. Insofern sich Unter-tests zu Faktoren bilden, sind Stärken undSchwächen von Kindern auch für Untertest-gruppen (Faktoren) ausweisbar. Die Frage,die sich daraufhin stellt, ist die nach der in-haltlichen Interpretation. Was bedeutet eine

257Mathematik und Rechnen – Test zur Erfassung von Konzepten im Vorschulalter

quantitativ geringere Ausprägung, eine gerin-ge Punktzahl in einem Untertest? Im Grundekann damit ein Bereich oder ein Aufgaben-typ benannt werden, bei dem ein Kind nurwenige richtige Lösungen erzeugt, also überkein ausreichend anwendbares Wissen ver-fügt, um in vergleichbarer Weise zu seiner Al-tersgruppe oder einem Kriterium die Anfor-derungen zu bewältigen. Bei Kindern, dieSchwierigkeiten in der Entwicklung zeigen,entsteht eine Liste von Aufgaben, die nichtgut genug bewältigt werden.

Damit ist der Bereich inhaltlich umrissen,an dem in einem Förderprozess gearbeitetwerden sollte. Noch nicht beantwortet ist,wie der Aufbau von Wissen nun erfolgenkann, in welcher Reihenfolge Aufgaben bear-beitet werden müssen, um Kompetenzenoder Konzepte zu entwickeln.

Mit dem MARKO-D wird ein Ansatz vor-gestellt, der von einer Ordnung im Aufbaumathematischen Wissens ausgeht (kompe-tenzorientierter Ansatz). Ausgewählt wirdals Wissensbereich das deklarative Wissen,speziell mathematische Konzepte, die sichim Vorschulalter entwickeln. Diese Wahl istdamit zu begründen, dass Konzepte eine ent-scheidende Rolle spielen, wenn mathemati-sche Sachverhalte verstanden werden sollen.Damit wird der Aspekt der Beherrschung, ins-besondere der Schnelligkeit der Beherr-schung von Rechenoperationen, der als eineBedingung für Rechenstörungen diskutiertwird (Haffner et al, 2005), hier explizit nichtweiterverfolgt.

Die Konstruktion des MARKO-D erfor-dert zwei Arbeitsschritte: Erstens sind Kon-zepte auszuwählen, die für alle Kinder einezentrale Bedeutung insofern haben, als dasssie erworben werden müssen, um den nächs-ten Entwicklungsschritt zu vollziehen. Zwei-tens ist eine Reihenfolge der Konzepte aufder Basis theoretischer und empirischer Be-funde sowie auf der Grundlage einer empiri-schen Überprüfung herzustellen. Für denzweiten Arbeitsschritt wird mit einem eindi-mensionalen Raschmodell geprüft, ob sich

auf der Basis der Lösungswahrscheinlichkei-ten der Items eine Skala bilden lässt, die mitden theoretischen Vorhersagen überein-stimmt. Für Items, die hinsichtlich ihrerSchwierigkeit eng beieinander liegen, ist beiModellgültigkeit davon auszugehen, dass sieje ein Konzept repräsentieren. Die Itemgrup-pen sollten dann die angenommene Abfolgeder Konzepte in der Entwicklung abbilden.Damit läge eine Skala mit Abschnitten, mitunterscheidbaren Entwicklungsniveaus vor.

Ein so konstruierter Test erlaubt insgesamtAussagen der folgenden Art: Durch die An-zahl gelöster Items (Rohwertsumme) liegt einKind z.B. in Niveau III. Das bedeutet, dasKind entwickelt gerade das Konzept diesesNiveaus. Die Items der darunter liegendenNiveaus I und II werden bewältigt, was alsVorhandensein der entsprechenden Konzep-te zu interpretieren ist. Als Nächstes ist dieBewältigung der Items des darüber liegendenNiveaus und damit die Entwicklung diesesKonzepts zu erwarten.

Die Grundidee der Entwicklung des Test-konzeptes für MARKO-D ist wie folgt zusam-menzufassen: Es werden zentrale Konzepteder frühen mathematischen Entwicklung aus-gewählt, die Annahmen zu ihrer Ordnunghinsichtlich der Aufeinanderfolge in ihrer Ent-wicklung werden empirisch und auf der Basisdes eindimensionalen Raschmodells geprüft.Die erhaltene Skala ermöglicht eine Platzie-rung eines Kindes und damit die Aussage,welche Entwicklungsschritte ein Kind bewäl-tigt hat, was es gegenwärtig entwickelt undwas in der Zukunft entstehen wird. DieserStand kann mit anderen Kindern im Sinne derSozialnorm abgeglichen werden. Von beson-derem Wert ist jedoch, dass der Entwick-lungsstand bei einer wiederholten Testungdurch eine Veränderung des Platzes auf derSkala beschrieben werden kann. Das kannsich als quantitativer Zuwachs innerhalb ei-nes Niveaus und als qualitativer Zuwachsdurch den Wechsel ins nächste Niveau aus-drücken.


Zu benennen sind nunmehr die ausge-wählten Konzepte, zu beschreiben ist die em-pirische Prüfung und darzustellen ist exem-plarisch die Testumsetzung. Erste Ergebnissehinsichtlich der Beobachtung von Verände-rungen bei Kindern entlang dieser Skala lie-gen einschließlich von Interventionsbedin-gungen vor und werden an späterer Stelle pu-bliziert.

Wesentliche Konzepte der mathematischen Entwicklungim VorschulalterEmpirische Untersuchungen haben in denletzten Jahren gezeigt, zu welchen Leistun-gen Säuglinge und Kleinkinder bereits in derLage sind. Mengenveränderungen und Men-genunterschiede werden, wenn sie deutlichgenug sind, sowohl bei kleinen als auch beigroßen Mengen bemerkt (Butterworth,2005). Kinder sind von Geburt an auf denUmgang mit Numerositäten durch einen„Zahlensinn“ (number sense) vorbereitet.

Wesentliche Schritte im Vorschulaltersind die Entstehung einer festen Reihenfolgevon Zahlworten, die einen mentalen Zahlen-strahl bilden, das Aus- und Abzählen vonMengen erlauben, indem Zahlworte undZählobjekte einander zugeordnet werden.Zunächst steht das letzte Zahlwort für das zu-letzt gezählte Objekt. Der Entwicklung desZählens wird insgesamt eine große Bedeu-tung beigemessen. Kinder erlangen im Vor-schulalter erste Einsichten in die Vermehrung,Verminderung und Teilbarkeit von Mengen,erste Einsichten hinsichtlich der Bedeutungder Anzahlen von Mengen als wesentlicheMerkmale. Zahlen bezeichnen Mengen mitspezifischen Anzahlen, Mengen mit gleichenAnzahlen von Elementen sind gleich großund natürliche Zahlen setzen sich aus ande-ren Zahlen (Mengen) zusammen. Zahlendrücken auch Abstände zwischen den natür-lichen Zahlen aus. Ziffern und Zahlwortewerden ineinander transkodierbar (Kauf-

mann & Nuerk, 2007). Mit dem nachfolgendbeschriebenen Modell, das dem MARKO-DTest zugrunde liegt, werden diese Konzeptepräzisiert und im Sinne von Niveaus aufei-nander bezogen.

Da das Ziel in der Konstruktion eines Test-verfahrens für Kinder ab 4 Jahren bestand,wurden die ganz früh entstehenden Fertigkei-ten nicht einbezogen. Im Folgenden werdendie für den Test gesetzten Entwicklungsni-veaus expliziert.

Fünf EntwicklungsniveausNiveau I: Zählzahl

Zahlen werden zunächst nur als Wortreihegelernt. Ganz allmählich wird die Bedeutungvon Zahlen als Zähl- und später als Kardinal-zahl konstruiert. Zunächst werden kleineMengen aus- und abgezählt, indem jedemObjekt ein Zahlwort zugeordnet wird. DieFrage danach, wie viele Elemente die Mengeenthält, wird mit dem letzten Zahlwort beant-wortet. Aus den Befunden von Le Corre et al.(2006) und Wynn (1990, 1992) lässt sichschlussfolgern, dass sich das Aus- und Abzäh-len kleiner Mengen von Zahlwort zu Zahl-wort entwickelt: Zuerst wird zuverlässig nurein Objekt, später werden zwei Objekte, da-nach drei und schließlich vier Objekte ausge-zählt. Wenn vier Objekte sicher ab- und aus-gezählt werden können, ist das Zählprinziperworben.

Niveau II: Repräsentation eines mentalen Zahlenstrahls

In einer nächsten Phase wird das Wissenüber Ordnungen von Zahlen differenzierter.Zahlworte sind geordnet und werden allmäh-lich “größer”. Es wird angenommen, dass Kin-der Zahlenrepräsentationen in der Form ei-nes mentalen Zahlenstrahls repräsentieren.


Jede Zahl hat eine Position auf diesem Zah-lenstrahl, ohne dass Abstände quantifiziertwerden. Zahlen vor oder nach einer Zahlkönnen benannt werden (Vorgänger- undNachfolgerzahlen). Zahlen, die in der Reihespäter kommen, sind „größer“, Vorgänger-zahlen „kleiner“. Mit diesem Wissen könnenZahlen über ihre Position in der Zahlwortrei-he miteinander verglichen werden. Da Kin-der das Vermehren und Vermindern vonMengen verstehen, sind Additionsaufgaben(a + b = ?) numerisch präzise zu lösen. Diestun die Kinder, indem sie Mengen zusam-menschieben und die Zahlwortreihe jeweilsbei 1 beginnend den Objekten zuordnen.Mit dieser Kompetenz können Rechenopera-tionen als abstrakte (Zähl-) Handlungen voll-zogen werden, wobei alle (Teil-) Mengen ein-zeln ausgezählt werden müssen.

Niveau III: Kardinalität und Zerlegbarkeit

Haben die Kinder gelernt, die Mächtigkeitvon Mengen aus- und abzuzählen sowie dieGesamtmenge mit dem letzten Zahlwort zubenennen (last-word-rule, Fuson, 1988), heißtdas noch nicht, dass sie verstanden haben,dass das letzte Zahlwort für alle Elemente derMenge steht, unabhängig davon, von wo (or-der irrelevance-principle) und was (Repräsen-tation) ausgezählt wird. Das Konzept kardina-ler Einheiten, die durch bestimmte Zahlwortebenannt werden, entwickelt sich erst auf demNiveau III.

Das Kardinalzahlkonzept ermöglicht Ad-ditionen und Subtraktionen, bei denen eineAnzahl von Elementen als Teilmenge betrach-tet wird. Das bedeutet, die Bearbeitung derAufgaben erfordert nicht mehr das sukzessi-ve Auszählen aller Elemente oder das Abzäh-len an den Fingern, jeweils bei eins begin-nend, sondern erfolgt durch das Bilden einerGesamtmenge aus zwei Teilmengen bzw.das Herstellen von zwei Teilmengen aus ei-ner Gesamtmenge. Bei Additionsaufgaben

zählen Kinder von der ersten Teilmenge ausweiter.

Die Zahlwortreihe wird als Sequenz grö-ßer werdender kardinaler Einheiten verstan-den. Das bedeutet, Größenvergleiche zwi-schen zwei Zahlen finden nun nicht mehr aufder Ebene des Rangplatzes in der Zahlwort-reihe statt (die 5 ist größer als die 4, da siespäter in der Zahlwortreihe auftaucht), son-dern auf der Ebene des Vergleichs der Mäch-tigkeit zweier Mengen (die 5 ist größer alsdie 4, da sie mehr Elemente enthält).

Niveau IV: Enthaltensein

Im nächsten Schritt erfolgt eine Differenzie-rung des Wissens über Verhältnisse zwischenMengen. Auf der Basis des Prinzips der Klas-seninklusion (Piaget, 1964) entwickelt sichdie Einsicht, dass Zahlen andere Zahlen ent-halten. Jede Zahl der Zahlenreihe enthält allevorangegangenen Zahlen. Wird nun eineTeilmenge aus einer Zahl herausgelöst (dieZahl 7 aus der Zahl 12), kann sie als Teilmen-ge in Beziehung zu ihrer Gesamtmenge be-trachtet werden.

Auf früheren Entwicklungsniveaus zerle-gen Kinder Mengen bereits handelnd und fü-gen Teilmengen wieder zu einer Gesamt-menge zusammen. Zerlegen und Zusam-menfügen sind hier noch sequentielle Prozes-se, in deren Abfolge je neue Mengen herge-stellt und für sich ausgezählt werden. Dassdie Teilmengen Teile der Gesamtmenge sind,in der sie enthalten sind, wird aber eben erstauf dem Niveau IV verstanden. Die Kenntniszweier Mengen reicht folglich aus, um diedritte zu bestimmen. Mit diesem Verständniskönnen Sachaufgaben zur Addition und Sub-traktion gelöst werden, bei denen nach derEndmenge, einer Austausch- oder der Aus-gangsmenge gefragt wird. Nach Riley et al.(1983) können ca. 50% der Erstklässler dieseAufgaben lösen.


Niveau V: Relationalität

Mit der Erkenntnis, dass Zahlworte für zu-sammengesetzte („united“, Fuson, 1992)Mächtigkeiten stehen und die Zahlwortreiheeine Sequenz aufeinander folgender Mäch-tigkeiten darstellt, ist noch nicht verstanden,wie genau sich die Mächtigkeiten der Men-gen in der Zahlfolge unterscheiden. Kindererkennen größer-als/kleiner-als-Beziehungenzwischen Mengen. Aber erst mit der Erweite-rung dieses Wissens um ordinale Relationenund die Kenntnis der Mächtigkeit der Zahlenentwickeln Kinder ein Verständnis dafür, dassjedes nachfolgende Zahlwort sich von sei-nem Vorgänger um die Mächtigkeit + 1 un-terscheidet.

Das bedeutet, dass die Intervalle zwi-schen aufeinander folgenden Zahlen gleichgroß, nämlich eins sind und damit eine ArtMaßstab zur Verfügung steht, um zwei Men-gen exakt miteinander zu vergleichen. Sowerden Differenzen zwischen Mengen unter-schiedlicher Größe bestimm- und vergleich-bar (die Differenz zwischen 7 und 9 Elemen-ten sowie 43 und 45 Elementen ist je 2). Zah-len stehen in diesem Sinne folglich auch fürdie Zählschritte zwischen zwei Zahlen. Da-mit kommt ihnen eine neue Bedeutung zu,nämlich die Abstände bzw. Relationen zwi-schen anderen Zahlen zu bezeichnen (Stern,2003). Berechnungen von Aufgaben, die un-abhängig vom Nullpunkt das Addieren oderSubtrahieren um eine bestimmte Zahl erfor-dern, werden nun lösbar. Dass der Erwerbdes relationalen Zahlbegriffs deutlich schwie-riger und für die meisten Kinder erst ab dem2. Schuljahr zu erwarten ist, zeigen wieder-um die Studien von Riley et al. (1983). Erst-klässlern gelang die Bewältigung entspre-chender Textaufgaben zur Bestimmung derDifferenzmenge (Selina hat 8 Murmeln. Fritzhat 5 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Seli-na mehr?) nur zu 33% bzw. 28% und zur Be-stimmung der Referenzmenge (Selina hat 9Murmeln. Sie hat 4 Murmeln mehr als Fritz.

Wie viele Murmeln hat Fritz?) gar nur zu 11%bzw. 22%.

Empirische Prüfung

Die Operationalisierungen dieser fünf Ni-veaus wurden in mehreren Studien entwi-ckelt und geprüft. Mit ca. 3000 Kindern wur-den verschiedene Itemversionen und -zusam-mensetzungen erprobt. Dabei wurden Kor-rekturen hinsichtlich der Präzision der Aufga-benstellung, der Bewertung und der Niveau-zuordnung der Items erforderlich. Im We-sentlichen konnte das Modell in seinem Auf-bau repliziert werden (Ricken, Fritz & Balzer,im Druck).

Für die Konstruktion des Tests ist die Prü-fung von Annahmen über den Zusammen-hang zwischen der durch den Test bestimm-baren Testleistung und der eigentlich interes-sierenden, aber nicht direkt beobachtbarenlatenten Personenfähigkeit (hier: erworbeneKonzepte) relevant. Die empirische Modell-prüfung ist auf der Grundlage der Item-Re-sponse-Theory (IRT) und dem dichotomenRaschmodell möglich (z. B. Rasch, 1960;Rost, 2004).

Eine zentrale Voraussetzung für die Gül-tigkeit dieses Raschmodells ist die Raschho-mogenität. Gilt diese, besteht ein Zusammen-hang zwischen der Itemschwierigkeit und derPersonenfähigkeit und beide sind auf dersel-ben latenten Dimension gemeinsam darstell-bar. Ist die Itemschwierigkeit niedriger als diePersonenfähigkeit ist es wahrscheinlicher,dass das Item gelöst wird, und umgekehrt. Jehöher die Differenz zwischen Itemschwierig-keit und Personenfähigkeit, desto wahr-scheinlicher ist das Lösen bzw. Nicht-Löseneines Items.

Zur Prüfung der Modellgültigkeit stehendiverse Prüfstatistiken zur Verfügung (Lina-cre, 2002). Mit der Infit-Statistik vergleichtman die tatsächlich beobachteten Lösungs-häufigkeiten mit den auf Grundlage des an-genommenen Modells berechneten Lösungs-


wahrscheinlichkeiten. Diese Prüfung erfolgtmit dem Gesamtantwortmuster im Daten-satz. Die Outfit-Statistik ist hingegen sensitivgegen Ausreißerpersonen, die unerwartetrichtig bei eher schweren Items (z. B. Raten)bzw. unerwartet falsch bei eher leichtenItems (z. B. Leichtsinnsfehler) antworten. Bei-de Werte sind Maße für die Passung der Da-ten zum Modell und seinen Annahmen.Nach Linarce (2002) sind schlechte Outfit-Werte für das Modell weniger bedeutsam alsauffällige Infit-Werte (vgl. auch Adams & Wu,2002).

Im Weiteren sind Grenzwerte für die Prüf-statistiken festzulegen. Ein durchschnittlicherMNSQ (= standardisierter Fitwert) in der Nä-he von 1 (Einheit: logit) entspricht einem gu-ten Modellfit, also einer guten Passung zwi-schen Daten und Modell. Ein zu hoherMNSQ-Wert spricht für eine zu niedrigeTrennschärfe, ein zu niedriger für redundanteItems im Test. Als Grenzwerte für MNSQ de-finieren Wright & Stone (1979) den Bereich1±0.5. Die strengste Vorgabe liefern Wright& Linacre (1994) mit 1±0.2; sie sprechenaber auch Werten zwischen 1±0.3 Modell-gültigkeit zu.

Nachfolgend wird das Ergebnis der empi-rischen Modellprüfung unter Verwendungdes Statistikprogramms WINSTEPS 3.66 aufder Basis der Normierungsdaten zu MARKO-D dargestellt. Der Normierungsdatensatz be-steht aus Daten von 1095 Kindern im Alterzwischen 48 und 87 Monaten (M = 64.6; SD= 7.2). 567 Kinder (51.8%) sind Jungen und528 (48.2%) sind Mädchen. Die Normdatenwurden von Februar 2009 bis Februar 2010erhoben und über Kindergärten rekrutiert, da91.2% der Kinder im Alter von 3 bis 6 Jahrenin Kindereinrichtungen (Kindertagesstätten,Kitas) betreut werden (Statistisches Bundes-amt, 2010, S. 232). Weitere Stichproben-merkmale sind im Testmanual (Ricken, Fritz &Balzer, im Druck) dargestellt.

Die Modellprüfung ergab für alle 55Items einen MNSQ Infit im Bereich von1±0.3; für 53 Items gilt sogar das strengste

Kriterium 1±0.2. Als Schwellenwerte für dielogit-Konvergenz-Einstellungen wurde sowohlfür die Item- als auch für die Personenschät-zung (RCONV und LCONV) das eher stren-ge .00001 festgelegt. Diese Schwellenwertestellen die obere Grenze für logit-Verände-rungen dar. Erst wenn diese unterschrittenwerden, ist eine hinreichende Konvergenzzum Modell erreicht und es benötigt keineweiteren Iterationen mehr. Das Modell kon-vergiert mit diesen Einstellungen in 150 Itera-tionen.

Die Anforderungen an ein eindimensio-nales Raschmodell können damit als erfülltangesehen werden. Bringt man Personenund Items in die für das eindimensionale Raschmodell typische Darstellung, so resul-tiert die Abbildung 1.

Auf der gemeinsamen intervallskaliertenFähigkeits-/Schwierigkeitsskala mit einerBandbreite von -5 bis +6 sind im„ Person/Item MAP“ jeweils links die Perso-nen (das Zeichen ’#’ repräsentiert 6 Perso-nen; das Zeichen ’.’ repräsentiert 1-5 Perso-nen) und rechts die direkt benannten Itemsabgetragen. Je höher die Position einer Per-son, desto höher ihre Fähigkeit – und je hö-her die Position eines Items, desto schwieri-ger ist es. Je höher die Position einer Personim Vergleich zu einem Item, desto höher istdie Wahrscheinlichkeit, dass die Person dasItem richtig löst. Liegen Person und Item aufgleicher Höhe, liegt die Wahrscheinlichkeiteiner richtigen Lösung bei 50%. Die auf derY-Achse angegebenen Intervalle werden inlogit ausgegeben. M, S und T (links der Trenn-linie für die Personen und rechts der Trennli-nie für die Items) repräsentieren den Mittel-wert sowie 1 bzw. 2 Standardabweichungender entsprechenden Verteilung. Per Konventi-on wird der Itemmittelwert auf 0 logit fixiert.

Die „Person/Item MAP“ zeigt, dass esmit Hilfe der eingesetzten Items gelingt, dieDimension der Konzepte in ihrer ganzenBreite abzudecken. Es gibt kein Kind ohnerichtige Lösung und lediglich 1 Kind mit aus-


schließlich korrekten Lösungen. Somit existie-ren weder ein Decken- noch ein Bodeneffekt.

Die Grenzen zwischen den Niveaus wer-den gebildet, indem die Items theoriegeleitetdem jeweiligen Niveau, für das sie konstruiertworden waren, zugeordnet werden. In derAbbildung 1 ist der Wechsel von einem Ni-veau zum nächst höheren mit einer Trennli-nie gekennzeichnet. Empirisch ist die Grenz-ziehung mit Bezug zu den Item-Schätzfehlernzu kontrollieren. Bei einem mittleren Item-Schätzfehler von 0.10 logit ergibt sich ein95%-Konfidenzintervall von ± 0.2 logit umdie jeweilige Itemschwierigkeit. Das bedeu-tet, dass Items, die mehr als 1 Zeile voneinan-der entfernt sind (1 Zeile entspricht 0.2 logit),zuverlässig voneinander trennbar sind. Damitgibt es lediglich zwischen Niveau 2 und 3 ge-ringfügige Überlappungen der Konfidenzin-tervalle im Grenzbereich der Niveaus. Eineweitere Statistik des Raschmodells bestätigtdiesen Befund. Der sogenannte Separation-Index gibt an, wie viele Niveaugrenzen imModell empirisch belegbar sind. Mit einemWert von 3.26 werden 3-4 Niveaugrenzen,also 4-5 verschiedene Niveaus nahe gelegt.Eine starke theoretische Untermauerung un-terstützt einen solchen empirischen Befund.Tabelle 1 enthält die Itemkennwerte für dieNormierungsstichprobe.

Dargestellt sind die Schwierigkeit derItems in logit und das resultierende Kompe-tenzniveau. Count gibt an, wie viele Kinderder Normierungsstichprobe ein Item bearbei-tet haben. Score gibt an, wie viele Kinder dasItem richtig gelöst haben. Infit ist das Maß da-für, wie gut ein Item dem eindimensionalenRaschmodell folgt. Mit dem Schätzfehlerkann pro Item ein Konfidenzintervall be-stimmt werden, dessen untere (KI unten) undobere (KI oben) Grenzen bei einer angenom-menen Irrtumswahrscheinlichkeit von 95%jeweils angegeben sind.

Insgesamt können damit die Modellie-rung der unterschiedlichen Konzepte und dieAbfolge in Form aufeinanderfolgender Ni-


Abb. 1: Rasch-Skala mit Niveaugrenzen, Personen und Items


Tab. 1: Itemkennwerte für die Normierungsstichprobe

Item-nummer

Schwie-rigkeit

Niveau Count Score Infit Schätz-fehler

KIunten

KIoben

46 3.34 5 555 42 1.05 0.18 2.99 3.69

26 3.27 5 555 44 1.02 0.17 2.94 3.60

33 3.18 5 555 47 1.16 0.17 2.85 3.51

22 3.07 5 220 16 0.87 0.28 2.52 3.62

32 2.87 5 555 59 1.22 0.15 2.58 3.16

24 2.85 5 221 19 0.84 0.27 2.32 3.38

34 2.45 5 555 79 1.07 0.14 2.18 2.72

20 2.39 5 555 82 1.04 0.14 2.12 2.66

35 2.32 5 555 86 1.16 0.13 2.07 2.57

31 2.08 5 1095 183 0.99 0.09 1.90 2.26

39 1.85 5 1095 212 0.93 0.09 1.67 2.03

29 1.85 5 1095 212 1.15 0.09 1.67 2.03

38 1.6 4 1095 246 0.9 0.08 1.44 1.76

45 1.58 4 1095 249 0.85 0.08 1.42 1.74

44 1.53 4 1095 256 0.82 0.08 1.37 1.69

47 1.21 4 1095 306 1.03 0.08 1.05 1.37

43 1.13 4 1095 318 0.88 0.08 0.97 1.29

49 0.96 3 1095 348 1.03 0.08 0.80 1.12

30 0.95 3 1095 349 1.2 0.08 0.79 1.11

55 0.83 3 1095 370 0.97 0.08 0.67 0.99

18 0.7 3 1095 393 1.04 0.07 0.56 0.84

54 0.68 3 1095 398 1.03 0.07 0.54 0.82

17 0.57 3 1095 417 0.9 0.07 0.43 0.71

7 0.56 3 1044 394 1.14 0.08 0.40 0.72

14 0.31 3 1095 466 0.83 0.07 0.17 0.45

12 0.31 3 1095 467 1.08 0.07 0.17 0.45

16 0.24 3 1095 480 1.15 0.07 0.10 0.38

13 0.19 3 1095 490 0.91 0.07 0.05 0.33

15 0.18 3 1095 491 0.95 0.07 0.04 0.32

10 0.14 2 1095 500 1.03 0.07 0.00 0.28

5 0.1 2 1095 508 0.88 0.07 -0.04 0.24

37 0.07 2 1095 514 0.87 0.07 -0.07 0.21

veaus aus theoretischer und empirischer Per-spektive als erfolgreich bezeichnet werden.

Im nächsten Abschnitt wird sodann derAufbau des Tests beschrieben.


Testaufbau

Der Test besteht aus 55 Items, die Kindergar-tenkindern zwischen 4;0 und 6;5 Jahren prä-sentiert werden. Für einen unkompliziertenZugang zu den Kindern und in die Testsitua-tion wurden die Items in eine Geschichte ein-gebettet. Zwei Eichhörnchen – Ben und Lisa– zählen, vergleichen und bestimmen Men-

Tab. 1: Fortsetzung

Item-nummer

Schwie-rigkeit

Niveau Count Score Infit Schätz-fehler

KIunten

KIoben

36 0.07 2 1095 514 0.89 0.07 -0.07 0.21

28 0.02 2 1095 524 1.25 0.07 -0.12 0.16

2 -0.04 2 1095 534 0.91 0.07 -0.18 0.10

11 -0.12 2 1094 549 1.13 0.07 -0.26 0.02

4 -0.19 2 1095 565 0.91 0.07 -0.33 -0.05

48 -0.32 2 1095 589 0.96 0.07 -0.46 -0.18

3 -0.73 2 1095 669 0.97 0.07 -0.87 -0.59

53 -1.7 1 1095 837 0.95 0.08 -1.86 -1.54

6 -2.08 1 1095 890 1.16 0.09 -2.26 -1.90

50 -2.22 1 1095 908 1.01 0.09 -2.40 -2.04

41 -2.23 1 1095 909 0.89 0.09 -2.41 -2.05

9 -2.31 1 1050 884 1.02 0.09 -2.49 -2.13

51 -2.41 1 1095 930 1.05 0.09 -2.59 -2.23

52 -2.54 1 1095 945 0.9 0.1 -2.74 -2.34

42 -2.63 1 1095 954 0.85 0.1 -2.83 -2.43

8 -2.72 1 1065 936 1 0.1 -2.92 -2.52

1 -2.93 1 1095 982 0.99 0.11 -3.15 -2.71

27 -3.03 1 1095 990 1.01 0.11 -3.25 -2.81

40 -3.23 1 1095 1005 0.87 0.12 -3.47 -2.99

25 -3.26 1 1095 1007 0.89 0.12 -3.50 -3.02

23 -3.51 1 1095 1023 1.05 0.13 -3.76 -3.26

19 -3.51 1 1095 1023 0.86 0.13 -3.76 -3.26

21 -3.73 1 1095 1035 0.97 0.14 -4.00 -3.46

gen und Zahlen. Die Rahmenhandlung wirddurch dekorative Bilder illustriert (Abb. 2).Das Arbeitsgedächtnis wird durch die Ge-schichte und die Bilder nicht zusätzlich belas-tet (Ehlert et al., submitted). Die Kinder benö-tigen insgesamt etwa 20 bis 30 Minuten, umalle Aufgaben zu bearbeiten.

Die Bilder und die Geschichte dienen zurVorbereitung der Items. Einige Items werdenmit instruktiven Bildern und mit Plättchenpräsentiert (Abb. 3). Die Inhalte wurden aufwesentliche Informationen reduziert.

Tabelle 2 enthält Aufgabenbeispiele fürdie Niveaus und die Angabe der Anzahl derItems, die das jeweilige Niveau repräsentie-ren.

Die Itemreihenfolge entspricht nicht denNiveaus. Vielmehr wechseln sich Items mitunterschiedlichem Schwierigkeitsgrad ab.Dieser Aufbau wurde gewählt, um zu errei-chen, dass alle Kinder alle Aufgaben bearbei-


ten, ohne dass es zu Überforderungssituatio-nen oder Testabbrüchen kommt, wodurchsich die Zuverlässigkeit für die Schätzung desindividuellen Entwicklungsniveaus ver-schlechtern würde.

Auswertungsaspekte

Neben der Einordnung in die Normstichpro-be ist in MARKO-D vor allem die inhaltliche

Beschreibung des erworbenen Entwicklungs-standes wesentlich. Die Zuordnung Rohwert-summe zum Entwicklungsniveau erfolgt aufBasis der Informationen, die in Abbildung 1abgebildet sind. Da Rohwertsummen undPersonenfähigkeiten direkt miteinander kor-respondieren, die Personenfähigkeiten im Raschmodell wiederum auf einer gemeinsa-men Dimension mit den Itemschwierigkeitenliegen und die Entwicklungsniveaus bezüg-

Abb. 2: Beispiel für dekorative Bilder-Instruktion: "Ben und Lisa sind damit beschäftigt, die Vor-

räte für den Winter zu ordnen. Sie wollen Zahlen an die Gläser schreiben. Lisa macht kleine Kno-

belaufgaben draus."

Abb. 3: Instruktion: "Hier siehst Du 4 Sterne (auf Sterne zeigen), und unter der Wolke (zeigen)

sind noch 3 Sterne. Wie viele Sterne sind das zusammen?"

lich ihrer Lage zu den Items und ihrenSchwierigkeiten eindeutig bestimmt sind,kann man diese Verbindung direkt herstellen.

Eine punktgenaue Einschätzung der ma-thematischen Leistungsfähigkeit auf statisti-scher Basis ist aufgrund von Fehlereinflüssen


nicht möglich. Aus dem Raschmodell resultie-ren im Unterschied zu Messfehlern in derklassischen Testtheorie Schätzfehler für indi-viduelle Fähigkeitswerte.

Im ersten Schritt wird auf diese Weise dasEntwicklungsniveau aufgrund des Gesamt-

Tab. 2: Beispiele für Operationalisierungen von Items pro Niveau

Niveau Konzepte Itemanzahlpro Niveau

Itembeispiele

Niveau I Zählen 16 Gib mir 5 Plättchen.

Kannst Du die Beeren für die Eichhörnchenso aufteilen, dass jeder gleich viele hat? Legedie Plättchen unter Ben und Lisa.

Niveau II Mentaler Zahlen-strahl

10 Wie heißt die Zahl, die zwischen der 5 undder 7 kommt?

Sein Bruder hat heute Morgen 2 Nüsse ge-funden und dann hat ihm der Biber noch 2geschenkt. Wie viele hat er jetzt? Kannst dumir die Aufgabe mit diesen Plättchen legen?

Niveau III Kardinalität undZerlegbarkeit

12 Hier (links) hat Ben hingemalt, wie vieleNüsse er hat. Lege bitte hier (rechtes Käst-chen) genau so viele Punkte hin, dass es ge-nau so viele sind wie hier (auf das linke Käst-chen zeigen).

Niveau IV Enthaltensein 5 Jetzt möchte der Biber 6 Blumen haben -mehr blaue als rote. Gib mir bitte 6 Plätt-chen, davon sollen mehr blau als rot sein.

Niveau V Rationaler Zahl-begriff

12 Und jetzt bring mir 8 Blumen. Es sollen 2mehr blaue als rote sein.

Ben und Lisa haben Erdbeeren entdeckt. (Inwelcher Reihe sind weniger?) Und wie vielesind es weniger?

wertes (Rohwertsumme) bestimmt. Dies istimmer dann eine zuverlässige Variante, wenndie Items zu niedrigeren Niveaustufen kom-plett gelöst wurden. Schwieriger wird die In-terpretation, wenn nur einige Items zu niedri-geren, dafür aber einige Items zu höheren Ni-veaustufen korrekt bearbeitet wurden. Dieskommt aufgrund der Gültigkeit des eindi-mensionalen Raschmodells nur selten vor,muss aber für eine individuelle Interpretationin Betracht gezogen werden. Damit erforderteine Niveauzuordnung eine differenzierteBetrachtung der gelösten Items pro Niveauund eine Analyse der Lösungsmuster.

Für die Daten der Normierungsstichpro-be wurde die Analyse mit folgenden Ergeb-nissen durchgeführt. Eine Zuordnung zu ei-nem Niveau schließt nicht gelöste Items ein,die durch andere Faktoren im Testverlauf alsdurch die Fähigkeiten der Kinder entstandensind. Die Festlegung einer Anzahl nicht gelös-ter Items ist aus inhaltlicher Perspektive nichtzu leisten, deshalb wurde der empirischeWeg gewählt und auf der Basis der Norm-stichprobe das Kriterium gesucht, das diebesten Verhältnisse zwischen interpretierba-ren und nicht interpretierbaren Lösungsmus-


tern erzeugt. Dies ist der Fall für das Kriteri-um: Das Niveau gilt als bewältigt, wenn 75%der Items richtig gelöst werden.

Nach dieser Regel können von den 1095Kindern der Normierungsstichprobe 993 ein-deutig einem Niveau zugeordnet werden,was einer Quote von 90.7% entspricht. ImDetail befinden sich 75 dieser Kinder auf Ni-veau 5 (haben also Niveau 4 gemeistert), 50Kinder auf Niveau 4, 114 Kinder auf Niveau3, 592 Kinder auf Niveau 2 und 162 Kinderauf Niveau 1.

Interessant ist dann, wie viele Items einesNiveaus von Kindern auf unterschiedlichenNiveaus im Durchschnitt gelöst werden. Sohaben Kinder auf Niveau 4 durchschnittlich98% aller Items auf Niveau 1, 90% auf Ni-veau 2 und 84% auf Niveau 3 gelöst. Auf ih-rem Niveau 4 lösen sie durchschnittlich 38%aller Items, auf Niveau 5 nur noch 29%. Die-se Häufigkeiten belegen die Annahme, dassjeweils Items unter dem aktuellen Niveau ge-löst und in den drüber liegenden Niveauseher nicht gelöst werden (Abb.4).

In der Normierungsstichprobe stimmt dieAuswertung der Rohwertsumme und der Lö-sungsmuster für 717 Kinder überein. Das be-

Abb. 4: durchschnittlich gelöste Items je Niveau in Prozent pro Niveau

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Kinder auf

Niveau 1

Kinder auf

Niveau 2

Kinder auf

Niveau 3

Kinder auf

Niveau 4

Kinder auf

Niveau 5

korrekte

Lösungen in %

Items auf Niveau 5

Items auf Niveau 4

Items auf Niveau 3

Items auf Niveau 2

Items auf Niveau 1

deutet, dass beide Auswertungen zur glei-chen Niveauzuordnung führen.

Für 102 Kinder ist die Niveauzuordnungüber die 75%-Regel nicht möglich, womitauch keine Diskrepanz prüfbar ist. Bei 276Kindern führen beide Methoden der Niveau-zuordnung zu Diskrepanzen in der Größen-ordnung von einem Niveau. Nur für 8 Kinderbeträgt der Unterschied mehr als ein Niveau.

Die Interpretation wird in Fällen der Dis-krepanz in der folgenden Weise vorgeschla-gen:

Fall A: Gesamtwert fällt besser als das Lö-

sungsmuster aus

Kind A erreicht insgesamt 30 Punkte, nachder Rohwertsummen-Auswertung entsprichtdies dem Niveau III. Eine Betrachtung des Lö-sungsmusters zeigt, dass sich die Punkte fol-gendermaßen verteilen: Auf Niveau I werden100% der Punkte, auf Niveau II nur 57% undauf Niveau III 75% erreicht. Damit wird das75%-Kriterium von Niveau II unterschritten.Entgegen der Erwartung löst das Kind aller-dings so viele Aufgaben von Niveau III, dassdieses als bewältigt gelten kann (Kriterium er-reicht). Eine Zuordnung der Leistung des Kin-des zu Niveau III kann jedoch aufgrund dergeringen Anzahl richtiger Lösungen von Ni-veau II nicht sicher erfolgen. Da das Kindaber bereits viele Aufgaben, die ein kardina-les Verständnis erfordern, bewältigt, könnteeine Zuordnung zu Niveau II eine Unter-schätzung seines Entwicklungsstandes dar-stellen. Insgesamt ist die Aussage hier durchweitere Beobachtungen zu stützen, da eineeindeutige Interpretation nicht möglich ist.

Fall B: Gesamtwert fällt schlechter aus als das

Lösungsmuster

Der Gesamtwert des Kindes B liegt mit 28Punkten auf dem Niveau III. Dieses Kind löstalle 12 Aufgaben aus dem Niveau I, 75% derAufgaben aus Niveau II und 78% der Aufga-ben auf Niveau III. Damit ist das 75%-Kriteri-um auf allen drei Niveaus erfüllt und es ist da-von auszugehen, dass das Kind die Konzepte


dieser Entwicklungsniveaus beherrscht undaktuell das Konzept des nächsten Niveaus,das Teile-Ganze-Konzept entwickelt (NiveauIV). In diesem Fall würde eine Zuordnung derLeistung zu Niveau III möglicherweise eineUnterschätzung darstellen. Auch hier müssenweitere Beobachtungen hinzugezogen wer-den, um zu verifizieren, ob das Kardinalzahl-konzept eventuell nicht schon vorhanden ist.

Fall C & D: Werte in den Randbereichen

Für besonders schwache und besonders star-ke Leistungen sind folgende Interpretationenvorzunehmen: Kind C erreicht insgesamt 11 Punkte undwird mit diesem Gesamtwert dem Niveau Izugeordnet. Die Analyse des Lösungsmusterszeigt, dass das Kind 8 Punkte im Niveau I und3 Punkte im Niveau II erreicht. Für beide Ni-veaus wird das 75%-Kriterium unterschritten.Hier stimmen die Angaben überein, das Kindbefindet sich auf Niveau I, d.h. es ist dabei zuverstehen, dass Zahlen Objekten zugeordnetund mit Hilfe von Zahlen Mengen aus- undabgezählt werden können (Zählzahlkon-zept). Kind D: Mit einer Gesamtpunktzahl vonmehr als 40 Punkten wird dem Rohsummen-wert zufolge die Leistung dem Niveau V zu-geordnet. Zeigt das Lösungsmuster, dass das75%-Kriterium auf allen Niveaus erfüllt ist, sokann davon ausgegangen werden, dass dasKind auch alle Konzepte bereits verstandenhat. Für dieses Kind tritt somit ein Deckenef-fekt ein, da die Zone seiner aktuellen Ent-wicklung mit dem vorhandenen Modell nichtmehr korrekt angegeben werden kann.

Für weitere Validierungsmerkmale desVerfahrens wird auf das Manual verwiesen,da sie für den hier vorgestellten Konstrukti-onsansatz nur am Rand eine Rolle spielen.

Fazit

Die Annahmen zur Ordnung der Konzeptebewähren sich in der empirischen Prüfung.Dies zeigt sich insgesamt in einer guten Inter-pretierbarkeit der Entwicklungsniveaus, dienur für wenige Kinder zu nicht eindeutigenErgebnissen führt. Zwischenbefunde, die inaktuellen Studien validiert werden, legen dieAnnahme nahe, dass sich individuelle Ent-wicklungsprozesse als Verschiebung auf derSkala darstellen lassen und für rechenschwa-che Kinder ein längeres Verweilen auf unte-ren Niveaus anzunehmen ist. Diese Datensind durch umfangreichere Längsschnittda-ten zu vervollständigen. Des Weiteren schei-nen gezielte Fördermaßnahmen zu gezieltenVeränderungen von Konzepten zu führen(MARKO-T: Gerlach, Fritz & Leutner, imDruck).

LiteraturAdams, R.J. & Wu, R. (Eds.) (2002). PISA 2000

technical report. Paris: OECD.Butterworth, B. (2005). The development of

arithmetical abilities. Journal of Child Psy-chology and Psychiatry, 46 (1), 3-18.

Ehlert, A., Fritz, A., Ricken, G. & Leutner, D.(submitted). Besser rechnen mit Bildern?Zum Einfluss dekorativer Bilder auf die Re-chenleistung.

Fuson, K.C. (1988). Children´s counting andconcepts of number. New York: Springer.

Fuson, K.C. (1992). Research on learning andteaching addition and subtraction of wholenumbers. In G. Leinhardt, R. Putnam & R.A.Hattrup (Eds.), Analysis of arithmetic for ma-thematics teaching (pp. 53-187). Hillsdale,NJ: Erlbaum.

Gerlach, M., Fritz, A. & Leutner, D. (i. Dr.). MAR-KO-T. Mathematik und Rechnen – Trainingzur Förderung von Konzepten im Vorschul-und frühen Grundschulalter. Göttingen: Ho-grefe.

Gölitz, D., Roick, T. & Hasselhorn, M. (2006).DEMAT 4 Deutscher Mathematiktest fürvierte Klassen. Göttingen: Hogrefe.


Haffner, J., Baro, K., Parzer, P. & Resch, F.(2005). Heidelberger Rechentest – HRT1–4. Göttingen: Hogrefe.

Kaufmann, L. & Nuerk, H.C. (2007). Zahlverar-beitung: typische und atypische Entwick-lungsverläufe. In L. Kaufmann, L., H.C. Nu-erk, K. Konrad & K. Willmes (Hrsg.), Kogniti-ve Entwicklungsneuropsychologie (S. 383-398). Göttingen: Hogrefe.

Landerl, K. & Kaufmann, L. (2008). Dyskalkulie:Modelle, Diagnostik, Intervention. Mün-chen: Reinhardt.

Le Corre, M., van de Walle, G., Brannon, E.M. &Carey, S. (2006). Re-visiting the compe-tence/performance debate in the acquisiti-on of the counting principles. Cognitive Psy-chology, 52, 130-169.

Linacre, J.M. (2002). What do Infit and Outfit,Mean-square and Standardized mean?Rasch Measurement Transactions, 16 (2),878.

Piaget, J. (1964). Rechenunterricht und Zahlbe-griff. Die Entwicklung des kindlichen Zahl-begriffes und ihre Bedeutung für den Re-chenunterricht. Braunschweig: Wester-mann.

Rasch, G. (1960). Probabilistic models for someintelligence and attainment tests. Copenha-gen: Nielsen & Lydiche.

Resnick, L B. (1983). A developmental theory ofnumber understanding. In H. Ginsburg(Ed.), The development of mathematicalthinking (pp. 109-151). New York, NY: Aca-demic Press.

Ricken, G. & Fritz, A. (2009). Diagnostik mathe-matischer Kompetenzen, In A. Fritz, G. Ri-cken & S. Schmidt (Hrsg.), Handbuch Re-chenschwäche. Lernwege, Schwierigkeitenund Hilfen, 2. überarbeitetet Aufl. (S. 292-321). Weinheim: Beltz.

Ricken, G., Fritz, A. & Balzer, L. (im Druck).MARKO-D – Mathematik und Rechnen –Test zu Erfassung von Konzepten im Vor-schulalter. Göttingen: Hogrefe.

Riley, M.S., Greeno, J.G. & Heller, J.H. (1983).Development of children´s problem-solvingability in arithmetic. In: H.P. Ginsburg (Ed.),The development of mathematical thinking(pp. 153-196). New York: Academic Press.

Rost, J. (2004). Lehrbuch Testtheorie – Testkon-struktion (2. Auflage). Göttingen: Hans Hu-ber.

Schaupp, H., Holzer, N. & Lenart, F. (2007). Eg-genberger Rechentest 1+. Göttingen: Ho-grefe.

Statistisches Bundesamt (2009). 30% der be-treuten Kinder von 3 bis 5 Jahren in Ganz-tagsbetreuung. Pressemitteilung Nr.010vom 09.01.2009.

Stern, E. (2003). Früh übt sich – Neuere Ergeb-nisse aus der LOGIK-Studie zum Lösen ma-thematischer Textaufgaben. In A. Fritz, G.Ricken & S. Schmidt (Hrsg.), Handbuch Re-chenschwäche (S. 116-130). Weinheim:Beltz.

Wright, B.D. & Linacre, J.M. (1994). Reasonablemean-square fit values. Rasch MeasurementTransactions, 8 (3), 370.

Wright, B.D. & Stone, M.H. (1979). Best TestDesign. Chicago: MESA Press.

Wynn, K. (1990). Children´s understanding ofcounting. Cognition, 36, 155-193.

Anschriften der Autoren

PROF. DR. GABI RICKEN

Fakultät EPB der Universität Hamburg

Sedanstr. 19

20146 Hamburg

[email protected]

PROF. DR. ANNEMARIE FRITZ

FB Bildungswissenschaften der

Universität Duisburg-Essen

Campus Essen

Universitätsstr. 1

45117 Essen

[email protected]

DR. LARS BALZER

Eidgenössisches Hochschulinstitut für

Berufsbildung (EHB)

Kirchlindachstr. 79

CH-3052 Zollikofen

Schweiz

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Pia Anna Weber

Das große NEIN zur Schule: Trennungsangst und Schulphobie –Ursachenforschung, soziale Wahrnehmung in derSchule und Maßnahmen der Intervention

Kinder und Jugendliche ver-weigern aus unterschiedli-chen Gründen die Schule. Ei-ne Erscheinungsform ist dieSchulphobie. Hierbei han-delt es sich um ein durchTrennungsangst begründetesFernbleiben von der Schule.Auf den ersten Blick er-scheint das schulische Fern-

bleiben als Ausdruck einer "Null-Bock-Einstellung".Bei näherer Betrachtung haben wir es mit einer kli-nischen Angststörung zu tun. Ziel dieser Arbeit ist, die Störungsbilder Schulpho-bie und Trennungsangst multiperspektivisch zu be-trachten. Erkrankt ein Schüler an einer emotiona-len Störung mit Trennungsangst, hat dies Auswir-kungen auf den häuslichen, den schulischen undden therapeutischen Bereich. Drei wissenschaftliche Untersuchungen werdenim Rahmen dieser Arbeit durchgeführt: (1) zur Ur-sachenforschung, (2) zur sozialen Wahrnehmungin der Schule und (3) zu den Möglichkeiten einergezielten Intervention. Im Rahmen der ersten Un-tersuchung werden die Ursachen zum Störungs-bild empirisch erforscht. Dabei wird auf die er-krankten Kinder und Jugendliche selbst und aufderen Familie eingegangen. In Studie zwei wirdder Fragestellung nachgegangen, welche Alltags-vorstellungen Lehrer und Schüler zu einer Tren-nungsangst und Schulphobie haben. Die Fragestel-lung wird anhand selbst konzipierter Fragebögenüberprüft. Untersuchung 3 dokumentiert vier Fallstudien inHinblick auf die Interventionsmöglichkeiten schul-vermeidender Schüler mit dem Ziel einer erfolgrei-chen Wiedereingliederung von der Klinikschule indie Regelschule.

312 Seiten, ISBN 9783-389967-710-2,Preis: 30,- Euro

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Eichengrund 28, 49525 Lengerich,Tel. ++ 49 (0) 5484-308, Fax ++ 49 (0) 5484-550,E-Mail: pabst.publishers@t-online.dewww.pabst-publishers.dewww.psychologie-aktuell.com

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Mathematik und Rechnen – Test zur Erfassung von Konzepten ... · Five essential concepts are: numbers as counting sequence, ordinal number line, cardi- nal understanding, part –