Mathématiques : Exercicesmoodle.espe-lnf.fr/pluginfile.php/33337/course/summary... · 2019-09-05 · 3.Léonie s'appuie sur les écritures décimales des nombres 2+ 5 10 + 2 100

M1 - MEEF Table des matières

Mathématiques :

Exercices

Table des matières

1 Ensembles de nombres 2

2 Le calcul et son enseignement 10

3 Numération 24

4 Arithmétique des nombres entiers naturels 33

5 Géométrie :Rappels et triangles semblables 40

6 Géométrie :Théorèmes de Thalès et Pythagore 52

ESPE Lille Nord-de-France. Thomas Morel, 2019, 1

M1 - MEEF 1 Ensembles de nombres

1 Ensembles de nombres

Exercice 1

Parmi les nombres suivants, lesquels sont des nombres entiers naturels ? des entiers relatifs ? des nombresdécimaux ? rationnels ? réels ?

6 ; 34 ; 2, 222222... ; -8 ; −12−3 ;

√2 ; 169

13 ; π4 ;√

196 ; 113 ; 4, 0

Exercice 2

Mettre les nombres suivants sous forme de fractions irréductibles

a.) 1315 +

45 b.) 3

4 −54 ×

711 c.) 15

6 + 1− 104 + 2

3

d.) 18×1527×25 −

325 e.) (2

3 +56)× (5

6 −23) f.)

2+ 13

37×

2827

Exercice 3

Ranger par ordre croissant :

4,4 ; 4,044 ; 4,440 ; 4,040404 ; 4,00444 ; 4,0004 ; 4,4044

Ranger par ordre décroissant :

3, 14 ; 355113 ; π ;

227 ;√

10 ; 25681 ; 3 , 223

71

Exercice 4

Écrire sous la forme a√

2, avec a ∈ N :

√32 ;√

50 ;√

288

Écrire sous la forme a√

7, avec a ∈ N :

√28 ;√

343 ;√

63

Simpli�er (si possible sans calculatrice) les racines carrées suivantes :

√108 ;

√676 ;

√539

Exercice 5

Véri�er que le nombre a =√

6 + 2 est solution de l'équation a2 − 4a = 2

Exercice 6

Donner des approximations (par excès ou par défaut) à 10−3 des fractions ou racines suivantes (calcu-latrice autorisée) :

113 ;

√22 ; π4

En partant de ce résultat, chercher des exemples de nombres entiers n, de nombres décimaux d et denombres rationnels q tels que :

a :113> n > π

4



b :

√22

< n < π4

c :

√22

< d < π4

d :

√22

< q < π4

Dans chaque cas, déterminer combien de nombres véri�ent la condition.

Exercice 7

E�ectuer la division de 5 par 13 jusqu'au dixième rang après la virgule. Que constatez-vous ?

Pourquoi ce résultat était-il prévisible ?

En déduire les écritures décimales de 1113 ,

813 et 2

13 .

E�ectuer la division 113 jusqu'à trouver la partie périodique.

Exercice 8

Soit le nombre 0, 076923 (signi�e que la partie 076923 est périodique, se répète donc à l'in�ni).� Ce nombre est-il décimal ? Est-il rationnel ? Justi�er.� Montrer que 0, 076923 est égal à la fraction irréductible 1

13

Exercices type concours

Exercice 9 (G1 2019) � Ensemble de nombres

[Extrait de la première partie (problème) du sujet ]

⇒ voir correction sur le site de Denis Vekemans (ESPE LNF, site Gravelines) : http://vekemans.free.fr/public_html/IMG/pdf/PE_2019_1.pdf

Dans cette partie, les �gures qui sont représentées dans l'énoncé ne sont pas dessinées à l'échelle.

A. Situation des trois carrés

La �gure ci-dessous représente trois carrés dont les mesures des côtés, en centimètre, sont respective-ment 3 cm, 4 cm et 5 cm. Les deux plus petits carrés sont gris, le troisième est blanc.

1. Véri�er que la somme des aires des deux carrés gris est égale à l'aire du carré blanc.

2. Claude a�rme : � Si on dispose les trois carrés obtenus à la question précédente comme sur la�gure 1 ci-dessous alors le triangle ABC est un triangle rectangle �. L'a�rmation de Claudeest-elle vraie ou fausse ? Justi�er la réponse.


http://vekemans.free.fr/public_html/IMG/pdf/PE_2019_1.pdf



3. Avec les mêmes carrés, Dominique a�rme : � Sur la �gure 2 ci-dessous, les longueurs exactes, encentimètres, des segments [MN] et [IJ] sont des nombres décimaux �. L'a�rmation de Dominiqueest-elle vraie ou fausse ? Justi�er la réponse.

4. Avec les mêmes carrés, Camille a�rme : � Sur la �gure 3 ci-dessous, les points R, S et T sontalignés �. L'a�rmation de Camille est-elle vraie ou fausse ? Justi�er la réponse.

B. Situation des cinq carrés

La �gure ci-dessous, qui n'est pas à l'échelle représente cinq carrés dont les mesures des côtés, encentimètres, sont des nombres entiers consécutifs. Les trois plus petits carrés sont gris, les deux autressont blancs.

On désigne par n la mesure, exprimée en centimètres, du côté du carré gris le plus grand (carré dumilieu). L'objectif de cette partie est de chercher les valeurs de n pour lesquelles la somme des airesdes trois carrés gris est égale à la somme des aires des deux carrés blancs.



1. Montrer que ce problème revient à résoudre l'équation n2 − 12n = 0.

2. Quelles sont les solutions de l'équation n2 − 12n = 0 ? Justi�er la réponse.

3. Ces solutions peuvent-elles être retenues pour le problème de la � situation des cinq carrés � ?Justi�er votre réponse.

4. Réaliser une �gure à l'échelle 15 d'une solution du problème de la � situation des cinq carrés �en

détaillant les calculs e�ectués pour construire la �gure.

Exercice 10 (G2 2016) � Décimaux et fractions

[Extrait de la troisième partie (didactique) du sujet ]

⇒ voir une correction sur le site de Primath : http://primaths.fr/Resources/Corrige%20CRPE%202016gpt2.pdf

Voici l'extrait d'un article sur les nombres décimaux et les fractions de l'ouvrage � Le nombre au cycle3, les apprentissages numériques �, publié aux éditions Scérén.

Pour permettre aux élèves de donner du sens à ces nouveaux nombres, et justi�er leur introduction, ilest nécessaire de proposer des activités qui leur permettent de prendre conscience que :* les nombres décimaux, et plus généralement les fractions, permettent de résoudre de nouveaux pro-blèmes ;[...]* certains raisonnements et certaines procédures correctes avec les nombres entiers peuvent ne plusl'être avec les nombres décimaux et les fractions.

1. Existe-t-il des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction mais qui ne sont pasdes nombres décimaux ? Si oui, donner un exemple d'un tel nombre, si non, justi�er.

2. Existe-t-il des nombres décimaux qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'une fraction ? Sioui, donner un exemple d'un tel nombre, si non, justi�er.

3. Donner un exemple de procédure ou de raisonnement correct avec les nombres entiers mais quipeut s'avérer erroné avec les nombres décimaux.

Exercice 11 (G2 2012) � Fractions

[Exercice sur 5 points (sur 20) pour une épreuve de 3 heures]


On justi�era toutes les réponses. On appelle � fraction égyptienne � toute fraction de la forme 1n ,

n désignant un nombre entier naturel non nul. Dans l'Égypte ancienne, on n'écrivait les nombresrationnels positifs inférieurs à 1 que sous la forme de sommes de � fractions égyptiennes � toutesdi�érentes.

Par exemple, 2528 peut s'écrire 1

2 + 14 + 1

7 .

Le but du problème est de présenter quelques méthodes de décomposition de nombres rationnels ensomme de � fractions égyptiennes � toutes di�érentes.

Partie A : Exemples

1. Calculer la somme des six � fractions égyptiennes � 12 ,

14 ,

18 ,

116 ,

132 ,

164 .

2. Décomposer 58 en somme de � fractions égyptiennes � toutes di�érentes, dont les dénominateurs

sont tous des puissances de 2.

Partie B : Présentation d'une méthode de décomposition dans un cas particulier

On s'intéresse au cas où la fraction à décomposer a un numérateur égal à 2 et un dénominateur égalau produit de deux nombres entiers naturels impairs p et q.

1. Démontrer la formule 2pq = 1

p×( p+q2

)+ 1

q×( p+q2

)


http://primaths.fr/Resources/Corrige%20CRPE%202016gpt2.pdf

http://primaths.fr/Resources/Corrige%20CRPE%202016gpt2.pdf




2. Justi�er que les dénominateurs des fractions précédentes sont des nombres entiers naturels.3. En utilisant la formule établie à la question 1, trouver deux décompositions di�érentes de 2

15 ensomme de � fractions égyptiennes � di�érentes.

4. Soit n un nombre entier naturel non nul. Donner une décomposition de la fraction 22n+1 en

somme de deux � fractions égyptiennes � di�érentes.

Partie C : � Algorithme glouton � de Fibonacci

En 1201, Léonard de Pise (1175-1250), dit � Fibonacci �, prouva que tout nombre rationnel comprisentre 0 et 1 peut s'écrire sous la forme d'une somme de � fractions égyptiennes � toutes di�érentes etproposa la méthode suivante pour obtenir une telle décomposition :

� Soustraire à la fraction donnée la plus grande fraction égyptienne possible qui lui est inférieure,répéter l'opération avec la nouvelle fraction, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on obtienne 0. �

1. Appliquer cet algorithme à 1381 et donner une décomposition de la fraction 13

81 en somme de trois� fractions égyptiennes � toutes di�érentes.

2. Dans le papyrus Rhind (1650 av JC), exposé au British Museum, �gure une des plus anciennesapproximations du nombre π égale à 256

81 (écriture moderne).a) Écrire 256

81 sous la forme d'une somme d'un entier naturel et d'une fraction comprise entre 0et 1.

b) Proposer une écriture de l'approximation de π donnée dans le papyrus Rhind sous formed'une somme d'un nombre entier naturel et de � fractions égyptiennes � toutes di�érentes.

Exercice 12 (G1 2015) � Didactique des fractions

[Il s'agit de la première moitié de la partie didactique (14 points sur 40) pour une épreuve de 4 heures]

SITUATION 1 : Extrait du manuel � Outils pour les maths � CM1 Magnard (édition2011)

1. Un élève a bien réussi la question 2. mais a fait plusieurs erreurs à la question 3. En comparantla présentation et les tâches demandées dans ces deux questions, donner trois raisons pouvantexpliquer cette di�érence de réussite.

2. Quelle dé�nition d'un nombre décimal peut-on proposer à l'école élémentaire ?

SITUATION 2 : Extrait du manuel scolaire � Tribu des maths � CM2 Magnard (édition2010)



Trois copies d'élèves sont proposées ci-après (Lara, Clément et Léonie).1. Quelles sont les erreurs faites par Lara ? Indiquer pour chacune une origine possible.2. Citer une compétence qui semble acquise dans le domaine de la numération pour Clément.3. Léonie s'appuie sur les écritures décimales des nombres 2+ 5

10 + 2100 et 2+ 6

10 + 1100 pour comparer

ces nombres. Énoncer la règle de comparaison qu'elle utilise implicitement.Copies d'élèves :

Exercice 13 (G3 2015) � Didactique des fractions

[Partie � Exercices �, exercice 3 ]

⇒ voir correction sur le site de Primath : http://primaths.fr/Resources/corrige%20CRPE%202015gpt3.pdf

Les questions 1 et 2 sont indépendantes. Toutes les réponses devront être justi�ées.

1. On considère un nombre rationnel pq où p et q sont des nombres entiers, q étant non nul. Ce


http://primaths.fr/Resources/corrige%20CRPE%202015gpt3.pdf



nombre a pour valeur approchée par excès à 10−3 près 1,118. On sait de plus que q = 1789.Quelle(s) est (sont) la (les) valeur(s) possible(s) pour p ?

2. L'objectif de cette question est d'établir un résultat pour la comparaison de deux nombres ayantpour écritures fractionnaires n−1

n et nn+1 où n est un nombre entier naturel non nul.

a) Comparer 12 et 2

3 ;1213 et 13

14 ;176177 et 177

178 . Quel résultat général peut-on conjecturer ?b) Démontrer ce résultat.c) Comparer les nombres 987654322

987654323 et 987654321987654322 sans e�ectuer de calcul.

Exercice 14 (G1 2014) � Didactique des nombres décimaux

[Il s'agit de la seconde moitié de la partie didactique (14 points sur 40) pour une épreuve de 4 heures]

⇒ voir correction sur le site de Primath : http://primaths.fr/Resources/corrige-groupement-1-2014.pdf

A. En classe de CM1, un enseignant propose en application de la leçon sur les nombres décimaux lesdeux exercices suivants :

Exercice 1 : Calcule les sommes suivantes : 0, 3 + 0, 8 ; 1, 3 + 0, 12

Exercice 2 : Range dans l'ordre les nombres décimaux suivants : 5, 100 ; 5, 6 ; 5, 03

1. Voici les réponses d'un élève à l'exercice 1

0, 3 + 0, 8 = 0, 111, 3 + 0, 12 = 1, 15

À partir de ces réponses, indiquer ce que cet élève semble maîtriser et ce qu'il lui reste à travailler.

1. Voici les réponses d'un élève à l'exercice 2

5, 03 < 5, 6 < 5, 100

a) Quelle représentation erronée des nombres décimaux pourrait être à l'origine de l'erreur de cetélève ? Justi�er.

b) Quelle désignation orale des nombres 5, 03 ; 5, 6 et 5, 100 l'enseignant pourrait-il utiliser pouraider les élèves à se construire une bonne représentation des nombres décimaux ?

B. En classe de CM2, un autre enseignant propose l'exercice de réinvestissement suivant :

1. Quelle dé�nition d'un nombre décimal peut-on donner à l'école élémentaire ?


http://primaths.fr/Resources/corrige-groupement-1-2014.pdf

http://primaths.fr/Resources/corrige-groupement-1-2014.pdf


2. Un élève a�rme que la somme de deux nombres décimaux ne pourra jamais être un nombreentier. Comment l'enseignant peut-il utiliser le support de l'exercice du manuel pour lui apporterune réponse justi�ée ?

3. Un autre élève se demande si la somme de deux nombres décimaux est toujours un nombredécimal. Quelle réponse argumentée l'enseignant peut- il lui apporter ?

4. Pour prolonger l'activité, l'enseignant demande aux élèves de placer le nombre 1, 07 sur ladroite graduée de l'exercice ci-dessus. Citer deux intérêts qu'il pourrait y avoir à prolonger ainsil'activité.

Pour aller plus loin :⇒ Sujet 2008, groupement académique 6, exercice 2 (écriture scienti�que) et exercice 3 (fractions,

rationnels). Le sujet se trouve à cette adresse : vekemans.free.fr/public_html/IMG/pdf/MAT-08-PG6.pdf et le corrigé se trouve à cette adresse : http://vekemans.free.fr/public_html/IMG/pdf/PE_2008_6.pdf

⇒ Sujet 2015, groupement académique 2, partie trois (didactique), situation 1 : notion de frac-

tion, grandeur et mesure. Le sujet se trouve à cette adresse : http://primaths.fr/Resources/sujet%202015gpt2.pdf et le corrigé à cette adresse : http://primaths.fr/Resources/corrige%20CRPE%202015gpt2.pdf


vekemans.free.fr/public_html/IMG/pdf/MAT-08-PG6.pdf

vekemans.free.fr/public_html/IMG/pdf/MAT-08-PG6.pdf



http://primaths.fr/Resources/sujet%202015gpt2.pdf




M1 - MEEF 2 Le calcul et son enseignement

2 Le calcul et son enseignement

Exercice 15 (G1 2019) � Compter en maternelle

[Partie didactique, situation 1 ]

⇒ voir correction sur le site de Denis Vekemans (ESPE LNF, site Gravelines) : http://vekemans.free.fr/public_html/IMG/pdf/PE_2019_1.pdf, p. 8

Dans une classe de maternelle, une enseignante donne à un groupe d'élèves la consigne suivante :

� Vous devez aller chercher des voyageurs pour remplir le petit train, pas un de plus, pas un de moins.

Vous poserez les voyageurs sur le quai. �

Matériel :� des jetons représentant les voyageurs (ils sont placés dans une boîte éloignée dans un coin de la

classe) ;� un support pour chaque élève représentant des places libres ou occupées ;� une partie libre (le quai) sur lequel seront posés les voyageurs rapportés avant validation.

Le premier support proposé compte 7 places vides (blanches) et 3 places occupées (noires). Les placesvides peuvent être organisées de di�érentes façons. Les élèves devront déposer les voyageurs sur le quai(zone grisée) avant de les faire monter à bord.

L'élève A a e�ectué deux voyages. Au premier voyage, il ramène une dizaine de jetons et au secondil rapporte les jetons en trop ;

L'élève B a e�ectué un voyage, il revient très rapidement avec 7 jetons ;

L'élève C a e�ectué sept voyages, rapportant un seul jeton à la fois ;

L'élève D a e�ectué un voyage. Il revient avec 4 jetons dans une main et 3 jetons dans l'autre main.

1. Quel usage du nombre est mobilisé dans cette situation ?

2. Quel est l'intérêt du quai ?

3. Au regard des acquis liés à la notion du nombre, analyser les procédures mises en ÷uvre parchacun des élèves.

4. Proposer deux modi�cations de la tâche, que l'enseignant peut proposer pour amener les élèvesA ou C à progresser dans leur utilisation du nombre ?

Exercice 16 (G1 2019) � Les nombres décimaux

[Partie didactique, situation 2 ]

Un enseignant propose deux calculs à e�ectuer en ligne à des élèves de cycle 3 et relève quatre produc-tions.

Calcul 1 : L'enseignant écrit au tableau : 12, 42 − 6, 8 et dit aux élèves : � Calculer la di�érence,entre 12 unités et 42 centièmes et 6 unités et 8 dixièmes �

Elève 1 : 12, 42− 6, 8 = 6, 42− 0, 8 = 6− 0, 38 = 5, 62

Elève 2 : 12 unités et 42 centièmes moins 6 unités et 8 dixièmes





= 1242 centièmes moins 68 dixièmes

= 1242 centièmes moins 680 centièmes

1242 - 680 = 1262 - 700 = 562

Résultat : 562 centièmes

Calcul 2 :

Calculer le produit de 15 par 0,24.

Elève 3 : 15× 0, 24 = 2, 4 + 1, 2 = 3, 6

Elève 4 : 15× 24 centièmes

= 300 centièmes + 60 centièmes

= 360 centièmes

1. Pour chaque calcul, analyser les productions des élèves au regard des connaissances mobiliséessur les nombres et sur les propriétés des opérations.

2. Pour chaque calcul, préciser ce qui distingue les productions des deux élèves.

Exercice 17 (G1 2014) � Compter en maternelle

[Premier exercice de la partie 1 ]

Un enseignant propose un jeu de bataille à ses élèves de maternelle. Il utilise un jeu de cartes repré-sentant les nombres de 1 à 6. Voici douze cartes extraites du jeu : par exemple, la première carte (enhaut à gauche) représente le nombre 3 et la dernière carte (en bas à droite) représente le nombre 5.

Voici la règle du jeu :

Deux élèves s'opposent. Les cartes sont battues puis distribuées, puis chacun des deux élèves pose sescartes, à l'envers, en tas devant lui. Ils retournent chacun une carte : celui dont la carte représente lenombre le plus grand remporte les deux cartes et les met sous son tas. En cas d'égalité, chaque élèveretourne une nouvelle carte sur la table. Celui dont la nouvelle carte représente le nombre le plus grandremporte toutes les cartes retournées sur la table. À la �n, celui qui n'a plus de carte a perdu. (Onpeut aussi arrêter le jeu au bout d'un certain temps et compter les cartes de chacun des deux élèves :celui qui a le plus de cartes a gagné).

� 1. Citer deux compétences mathématiques travaillées par les élèves lors de ce jeu de bataille.� 2. Pour chaque compétence citée en réponse à la question 1., donner deux causes possibles

d'erreurs.� 3. L'enseignant peut utiliser un autre jeu de cartes représenté ci-dessous :



Comparer les intérêts respectifs de chacun des jeux au regard des deux compétences citées en réponseà la question 1. .

Exercice 18 (G1 2018) � Nombres et calculs

⇒ Voir le corrigé sur le site de Denis Vekemans, http://vekemans.free.fr/public_html/IMG/pdf/PE_2018_1.pdf, p. 6

Cette partie est composée de trois situations indépendantes.

SITUATION 1

1. Donner deux raisons pour lesquelles le calcul en ligne est, en termes d'apprentissage, complé-mentaire au calcul posé.

2. Le calcul suivant est proposé à des élèves de cycle 2 qui pratiquent régulièrement le calcul enligne : 28 + 17 = ? Expliciter trois stratégies qu'un élève de cycle 2 pourrait mobiliser poure�ectuer ce calcul en ligne.

3. Expliciter trois stratégies de calcul mental ou en ligne qu'un élève de cycle 2 pourrait mobiliserpour e�ectuer 14 × 5. Pour chacune, indiquer quelles sont les connaissances et les propriétésutilisées.

SITUATION 2





1. À partir des productions suivantes, expliquer pour chaque élève :� la démarche utilisée ;� les compétences qui semblent acquises ;� les éventuelles erreurs.

Productions d'élèves de CM2 :

2. Que peut proposer l'enseignant pour amener Thomas à rédiger sa réponse sous forme d'écritureà virgule ?

SITUATION 3

Des élèves d'une classe de cycle 3 doivent calculer 3, 12+5, 7 et expliquer comment ils procèdent. Voicides exemples de productions d'élèves.



� À partir de l'analyse des di�érentes productions, expliquer quelles sont les di�érentes démarchesproposées.

� Quelle représentation erronée des nombres décimaux pourrait être à l'origine des erreurs desélèves ?

� Proposer trois tâches ou activités que pourrait mettre en place l'enseignant pour remédier à cetype d'erreurs ?



Exercice 19 (G4 2009) � Calcul au CE2

[Question complémentaire, 3 points sur 20 pour une épreuve de 3 heures]

Le document de l'annexe 1 (voir page 20) présente l'énoncé d'un exercice proposé dans le cadre del'évaluation CE2 et les réponses de trois élèves.

1) Pour les élèves A, B et C, décrire les procédures utilisées et repérer les erreurs commises enformulant des hypothèses sur leur origine (présenter la réponse dans un tableau).

2) Pour l'élève B, le maître propose les deux situations suivantes, analogues à l'exercice initial.Pour chacune de ces situations, préciser l'intention du maître.� Situation 1 : il a 3 billets de 10.� Situation 2 : il a 7 pièces de 2 et une pièce de 1.

3) Lors d'une séance suivante, ce même enseignant de CE2 propose à toute la classe le problèmesuivant comme situation d'échange :J'ai un billet de 50 et je veux l'échanger contre des billets de 5. Combien de billets de 5 puis-jeobtenir ?Donner un avantage et un inconvénient du choix de ces valeurs numériques.

Exercice 20 (G2 2019) � Didactique : calcul mental, calcul en ligne

⇒ voir correction sur le site de Denis Vekemans (ESPE LNF, site Gravelines) : http://vekemans.free.fr/public_html/IMG/pdf/PE_2019_2_BL.pdf, p. 6

SITUATION 2 :

Dans le cadre d'une séquence ayant pour objectif de calculer avec des multiples de 25, l'enseignantd'une classe de CE2 donne l'exercice ci-dessous :

Le compte est bon : il s'agit de trouver le nombre en gras, ou à défaut un nombre le plus proche possible,

en utilisant les nombres situés en dessous. Chacun d'entre eux ne peut être utilisé qu'une fois. Il est

possible d'utiliser les quatre opérations

98

25− 10− 4− 75− 50− 8

1. Ci-dessous sont présentées les productions de quatre élèves. Analyser chaque production A, B,C, D en termes de réussites et d'éventuelles erreurs.

2. Quels sont les faits numériques, liés à l'objectif de l'enseignant, connus des élèves C et D ?


http://vekemans.free.fr/public_html/IMG/pdf/PE_2019_2_BL.pdf



3. Proposer un nouvel exercice de � compte est bon � ayant pour objectif de réinvestir la connais-sance des multiples de 9 et deux solutions attendues des élèves.

4. Citer deux avantages de l'activité � Le compte est bon � dans l'apprentissage du calcul mentalet deux points de vigilance que doit avoir un enseignant qui propose une activité � Le compteest bon �.

SITUATION 3 :

Lors d'une séance de calcul en ligne, une enseignante de CM2 propose le calcul suivant : 12,47 + 2,7.

Voici les productions de quatre élèves :

1. En quoi le calcul en ligne est un mode de calcul complémentaire au calcul mental ?

2. Pour chacun des élèves, expliciter des procédures utilisées et analyser les erreurs éventuelles.

3. Quel étayage l'enseignante pourrait-elle proposer à Zoé pour l'aider à corriger l'erreur qu'elle afaite ?

Exercice 21 (G4 2009) � La multiplication en CE2


Annexe page 21 : Productions d'élèves, exercice extrait du manuel � Vivre les maths � CE2 2005Nathan.

1. L'énoncé proposé aux élèves est le suivant : Sur l'étagère de fournitures de la classe, il y a 8 pilesde 10 cahiers plus 9 cahiers. Quel est le nombre de cahiers ? Cet énoncé comporte une ambiguïtéqui peut mener à deux résultats di�érents.a. Quelle est cette ambiguïté ? Quels sont les deux résultats que l'on peut obtenir ?b. Proposer un nouvel énoncé permettant de lever cette ambiguïté pour obtenir 89 cahiers

comme seule réponse possible.2. Comparer les productions des élèves A et C. Décrire l'erreur de l'élève B et fournir une hypothèse

qui pourrait l'expliquer.3. Proposer un nouvel énoncé (dans le même contexte) qui obligerait l'élève A à modéliser la

situation de la même manière que l'élève C.4. Fournir deux pistes de travail à envisager avec l'élève B pour l'aider à surmonter ses di�cultés.

Exercice 22 (G3 2015) � Sens et procédures de la division en CM1

L'exercice ci-dessous a été donné en évaluation à des élèves de CM1. Une école organise une sortie de�n d'année. Pour se déplacer, le directeur loue des bus qui peuvent accueillir 42 passagers chacun. Il ya 157 élèves dans l'école et 20 adultes les accompagneront. Combien faut-il réserver de bus ?

1. Quelle opération mathématique est l'enjeu de ce problème ?2. Dans l'annexe (voir page 22), sont présentées les productions de quatre élèves A, B, C et D.

Pour chacune d'elles, expliquer la procédure utilisée.



3. Un autre élève de la classe a e�ectué la division de 157 par 20. À quelle question ce calculpourrait-il répondre ?

4. La situation du problème de départ et celle de la question 3. illustrent deux sens di�érents dela division. Les expliciter.

Exercice 23 (G1 2016) � Le nombre au cycle 3

[Il s'agit ici de la situation 2 (sur 3) de la partie didactique de l'examen]

⇒ voir correction sur le site de Denis Vekemans (ESPE LNF, site Gravelines) : http://vekemans.free.fr/public_html/IMG/pdf/PE_2016_1.pdf, p. 7

Un enseignant de Moyenne Section de maternelle utilise le jeu ci-dessous avec ses élèves.

Le problème suivant est proposé à une classe de cycle 3 :

� Les chameaux et les dromadaires. Dans un troupeau composé de chameaux (2 bosses) et dedromadaires (1 bosse), on compte 12 têtes et 20 bosses.

Combien y a-t-il de dromadaires ? �

1. Voici la réponse de Quentin

a. Expliquer sa démarcheb. Appliquer le raisonnement de Quentin au problème suivant : � Dans un troupeau composé de

chameaux (2 bosses) et de dromadaires (1 bosse), on compte 152 têtes et 216 bosses. �

2. Voici la réponse de Ramia.

a. Expliquer sa démarcheb. Appliquer le raisonnement de Ramia au problème suivant : � Dans un troupeau composé de

chameaux (2 bosses) et de dromadaires (1 bosse), on compte 546 têtes et 700 bosses. �





Exercice 24 (G2 2017) � La multiplication posée



Technique opératoire de la multiplication. Voici quatre opérations posées.

1. Dans chacun des cas, décrire les erreurs éventuelles.

2. Que pourrait proposer le professeur aux élèves ayant produit les calculs 1 et 3 pour leur permettrede contrôler leur résultat ?

Exercice 25 (G3 2017) � Procédures soustractives


On considère l'exercice suivant

1. Quelle est la notion abordée ? Citer deux connaissances et savoir-faire que cette situation meten jeu.

2. Etude des productions des élèves. On considère les quatre productions d'élèves suivantes :





a. Quelles sont les di�érentes procédures employées par Antoine, Barbara et Clara ?b. Qu'est-ce qui di�érencie les procédures utilisées par Barbara et Dominique ?c. Relever les réussites et les erreurs de Barbara et Clara ?d. Quel accompagnement pédagogique mettriez-vous en place pour remédier aux di�cultés ren-

contrées par Clara ?

Pour aller plus loin :

⇒ Finir le problème du G2 2017 : http://vekemans.free.fr/public_html/IMG/pdf/MAT17_PG2.pdf. La situation 1 porte sur les problèmes de répartition en CE2, la situation 2 sur le calcul enCM2.

⇒ Partie Problème du G1 2017 : http://vekemans.free.fr/public_html/IMG/pdf/MAT17_PG1.pdf. La situation 1 porte sur le nombre au cycle 1, la situation 2 sur la division en CM2, lasituation 3 également sur le CM2.

⇒ Le nombre en maternelle : �nir le problème du G1 2016 : http://vekemans.free.fr/public_html/IMG/pdf/MAT16_PG1.pdf

⇒ Multiplication et division en cycle 3 : �nir l'exercice du sujet G3 2015 : http://primaths.fr/Resources/sujet%202015gpt3.pdf et le corrigé http://primaths.fr/Resources/corrige%

20CRPE%202015gpt3.pdf

⇒ Technique opératoire de la division G1 2015, partie didactique exercice 4 : http://primaths.fr/Resources/sujet%202015gpt1.pdf et le corrigé http://primaths.fr/Resources/corrige%

20CRPE%202015gpt1.pdf


http://vekemans.free.fr/public_html/IMG/pdf/MAT17_PG2.pdf






















M1 - MEEF 3 Numération

3 Numération

Exercice 26 � Approche historique : le School-Master's Guide

En 1764, le professeur de mathématiques Charles Hutton publie un ouvrage à l'intention des instituteursintitulé The School-Masters Guide : or, a complete System of Practical Arithmetic, adapted to the Use

of Schools. Il y présente de nombreux problème de conversions, en particulier le suivant 1 :

Exercice 27 � Approche historique : une Arithmétique de 1698

En 1696, François Barrême, arithméticien du roi, publie un Livre facile pour apprendre l'arithmétique

de soy-même. Il y enseigne que � L'arithmétique eft l'Art de compter jufte, ou la jufte & �delle Science

des Nombres. Nombre eft une quantité compofée de plu�eurs unités. Et tout Nombre fe peut exprimer

& reprefenter par les I0 �gures fuivantes. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 �.

Néanmoins, la France ne possède pas encore un système uni�é de poids et mesures, et Barrême doitdonc enseigner, pour chaque marchandise, le système de mesure qui lui est propre. Pour les longueurs,on utilise des toises, des pieds, pouces et lignes. Voici l'explication donnée par F. Barrême :

1. Combien y a-t-il de lignes dans une toise ?2. Exprimer 137 toises, 5 pieds et 10 pouces en pouces.3. Lors du passage au système métrique, � Le rapport entre la toise et le mètre est dé�nitivement

établi par la loi du 10 décembre 1799, qui �xe la longueur du mètre à 443,296 lignes �.� Traduire cette longueur en toises, pieds, pouces et lignes.� Combien une toise mesure-t-elle dans notre système métrique ?

1. Les abbréviations du tableau correspondent aux unités suiantes : Firk ⇒ Firkin, Kilderk ⇒ Kilderkin, Bar ⇒Barrel, Hhds ⇒ Hogshead.



Barrème détaille ensuite le système permettant de peser les métaux précieux :

1. Combien y a-t-il de grains dans 1 marcd'argent ?

2. Exprimer 15 Marcs 5 onces 4 gros 2 deniers9 grains en grains d'argent.

3. Barrême donne en bas de page un exempled'addition. Son calcul est-il correct ?

4. Ce système de numération est-il position-nel ?

Exercice 28 (Lille 2005) � L'écriture des nombres chez les Cinco�les

Dans la tribu des Cinco�les on a une manière particulière de compter. Lors d'un voyage dans cettetribu, un chercheur a ramené un certain nombre d'observations qu'il a retranscrites dans un carnet.Voici ce qu'il a noté sur la manière de compter des Cinco�les :



1. En expliquant votre démarche :a) Transcrire dans notre système de numération le nombre noté par les Cinco�les � �� .b) Transcrire dans le système Cinco�le le nombre que nous notons � 273 �.

2. Sans passer par une transcription dans notre système de numération décimale et en justi�antvotre réponse, écrire :a) le nombre qui précède le nombre �5�• � dans le système Cinco�le ?b) le nombre qui suit le nombre � ∧�� dans le système Cinco�le ? Ces deux derniers nombres

seront donnés en écriture Cinco�le.

Exercice 29 (ESPE Nord 2016)

On considère la technique de calcul suivante :

� choisir un nombre naturel N dont le chi�re des unités est 5 ;� déterminer d, le nombre de dizaines de N ;� e�ectuer le produit d× (d+ 1) ;� écrire le nombre entier qui se termine par 25 et dont le nombre de centaines est le produit

précédent.

1. Faites fonctionner cette technique en choisissant pour valeur de N successivement 15, 5 et en�n145.

2. � Démontrez que cette technique de calcul permet de calculer le carré de tout nombre entierdont le chi�re des unités est 5.



� Véri�ez-le sur le cas particulier de 145, en posant le calcul 145× 145.

Exercice 30 (ESPE Nord 2017)

1. Multiplier douze-millions-trois-cent-quarante-cinq-mille-six-cent- soixante-dix-neuf par un mil-liard (on utilisera l'écriture chi�rée des nombres).

2. En déduire l'écriture chi�rée du produit de douze-millions-trois-cent-quarante-cinq-mille-six-cent-soixante-dix-neuf par neuf-cent-quatre-vingt-dix-neuf-millions-neuf-cent-quatre-vingt-dix-neuf-mille-neuf-cent-quatre-vingt-dix-neuf. Quelle particularité présente ce résultat ?

Exercice 31 � Durées et densités

Tirés de Maths Monde, Didier cycle 4, programme 2016, p. 403.

A. Classer par ordre croissant les vitesses de pointe des animaux de la savane :� la gazelle : 25 m/s ;� le gnou : 65 km/h ;� le zèbre : 1 000 m / min ;� le rhinocéros : 0,83 km / min.

B. Voici les densités de population de quatre pays européens (source Insee) :

� France : 118 habitants / km2 ;� Allemagne : 0,0231 habitants / km2 ;� Espagne : 0,92 habitants / km2 ;� Italie : 2,03 habitants / km2.

Quel pays a la plus forte densité ? la plus faible ?

Exercice 32 � Calcul en base n

Exprimer les nombres suivants en base 10 :� 24315

� B8416

� 100110012

Exprimer le nombre 782 :� en base 7� en notation binaire (base 2)� en notation hexadécimale (base 16)

Exercice 33 � Comparer deux nombres en base n

On veut comparer 434215 et 5728.

� Ecrire ces deux nombres en base 10, et les comparer.� Calculer la valeur, en base 10, de 400005 et 5008.� Comment aurait-on pu comparer 434215 et 5728 sans calculer entièrement leur valeur en base

10 ?

De manière similaire, essayer de comparer astucieusement :

� 4235 et 4237

� 5307 et 42067

� B0316 et 10111001012

Exercice 34 � Application : du binaire à l'hexadécimal

Les numérations en base 2 (binaire) et 16 (hexadécimale) sont étroitement liées. Le binaire permet decoder la quantité minimale d'information (0 ou 1, nommé bit pour binary digit). L'hexadécimal permetde réduire la taille des nombres utilisés et de les rendre plus facilement intelligibles par des humains.

� Écrire les nombres de 0 à 15 en base 2.� Les mettre en correspondance avec les mêmes nombres écrits en base 16, et en déduire une table

de correspondance entre binaire et hexadécimal.



� Utiliser cette table pour convertir directement les nombres suivants :� 10112 en base 16� 1100101100112 en base 16� 1011101012 en base 16� 8416 et A2716 en base 2

⇒ Pour vous entraîner, vous pouvez véri�er que la table de conversion marche en convertissant vosrésultats et les nombres donnés en base 10. Les résultats obtenus doivent alors être égaux.

Exercice 35 (G2 2010) � Didactique, calcul mental


Dans une classe de cycle 3, lors d'une évaluation sommative de calcul mental, un enseignant demandeà ses élèves d'e�ectuer les calculs suivants :

a) 251× 10, b) 14× 10, c) 2, 3× 10, d) 3500÷ 10, e) 2130÷ 100, f) 15, 8÷ 10.

L'enseignant dicte ces calculs aux élèves qui doivent les écrire � en ligne � avec leur résultat.

Les six calculs sont donnés à la suite. Une correction est réalisée ultérieurement.

� 1) En référence aux progressions fournies avec les programmes, préciser à quel niveau de classecette séance peut être menée. Justi�er.

� 2) Pour chaque calcul, le nombre de bonnes réponses obtenues dans cette classe de 28 élèves estfourni dans le tableau suivant :

Calculs 251× 10 14× 10 2, 3× 10 3500÷ 10 2130÷ 100 15, 8÷ 10

Nombre debonnes réponses

28 28 18 26 14 17

Expliquer les di�érences de réussite entre ces six calculs.

Trois réponses d'élèves à cette évaluation sont reproduites ci-dessous :

� a) Donner une hypothèse concernant les erreurs de Théo, de Younes et de Sarah lors de latroisième multiplication : 2, 3× 10



� b) Donner une hypothèse concernant l'erreur de Théo à la deuxième division 2130÷ 100.� c) Comment peut-on expliquer que Sarah n'ait pas su donner une réponse à la troisième division

15, 8÷ 10 ?

Exercice 36 (G4 2010) � Didactique, enseignement de l'heure

[Question indépendante, 4 points sur 20 pour une épreuve de 4 heures, prévoir 40 minutes]

1. Le maître présente à des élèves de CE2 une horloge à aiguilles identique à celle-ci.

Il positionne les aiguilles de telle sorte qu'elles indiquent 10 h 45, et demande aux élèves de lirel'heure indiquée.a) Un élève répond � dix heures neuf �. Proposer une hypothèse explicative de cette erreur.b) Quelle autre réponse erronée peut apparaître ? Donner une hypothèse sur son origine.

2. Il demande ensuite aux élèves de placer sur leur horloge individuelle les aiguilles des heures etminutes correspondant à l'horaire 20 h.a) Un élève place l'aiguille des heures sur le 4 et l'aiguille des minutes sur le 12. Citer une

di�culté qu'il peut avoir rencontrée.b) Que pourrait lui proposer le maître pour l'aider à dépasser cette di�culté ?

3. On considère les deux problèmes suivants, proposés à des élèves de cycle 3 :Problème A - Arnaud mesure 90 cm. Son papa mesure 1 m 85 cm. Quelle est leur di�érence detaille ?Problème B - Jean-Claude a regardé à la télévision un �lm qui a commencé à 20 h 45 min ets'est terminé à 22 h 10 min. Quelle est la durée du �lm ?a) Citer une di�culté que présente le problème B et que ne présente pas le problème A.b) Proposer une procédure que l'on peut attendre d'un élève de cycle 3 pour résoudre le pro-

blème A, procédure qu'il ne pourra pas directement transférer sur le problème B.

Exercice 37 (G3 2010) � Didactique, numération de position


Dans cette question, on se réfère aux documents de l'annexe page 32 :

Annexe 1 A : Vivre les Maths, CP, Nathan, 2008, p. 58.

Annexe 1 B : Cap Maths, CP, Hatier, 2008, p. 44.

Ces documents sont proposés par un enseignant à ses élèves avant tout apprentissage spéci�que lié àla valeur positionnelle des chi�res dans l'écriture d'un nombre à deux chi�res.

1. Cette question concerne l'annexe 1 - A.a) Les auteurs ont fait certains choix quant à la disposition des éléments de chacune des deux

collections. Expliciter et légitimer un de ces choix, en référence à la consigne : � Entoure parpaquets de 10 �.

b) Dans le cas des sapins, donner deux réponses correctes à la consigne : � Complète les phrases� que pourrait fournir un élève. Compléter la consigne pour n'autoriser qu'une seule réponse.

2. Cette question concerne l'annexe 1 - B.Dans le dernier cas, décrire deux procédures correctes que peut mettre en oeuvre un élève pourrépondre à la consigne.

3. Comparaison des deux documents. Si l'objectif est de savoir que dans l'écriture d'un nombre àdeux chi�res, le chi�re de gauche désigne le nombre maximal de paquets de 10, préciser ce quidi�érencie les deux tâches et discuter de la pertinence de chacune.



Exercice 38 (ESPE LNF 2016, S1 session 1) � Cryptarithmes

Un cryptarithme est un casse-tête numérique, une opération élémentaire où les chi�res (tous ou certainsd'entre eux) sont représentés par des lettres ou des symboles, comme par exemple AB +BA = CBC.À l'intérieur d'un même cryptarithme, un même symbole représente toujours le même chi�re, et deuxlettres di�érentes représentent des chi�res di�érents. L'objet de cette partie est de ré�échir à l'utilisa-tion des cryptarithmes avec des élèves de cycle 3.

Dans la partie A. et la partie B., les éventuelles retenues ne sont pas notées dans le cryptarithme,comme c'est le plus souvent le cas dans la pratique. Dans la partie C., où le cryptarithme provientd'un ouvrage des Éditions Retz, des retenues apparaissent, ce sont les retenues faites dans les deuxmultiplications intermédiaires.

A. Considérons tout d'abord l'opération suivante :

A 4 A× A

3 8 7 A

1. En ne considérant que les � A � sur fond grisé ci-dessous, quelles informations un élève de cycle3 peut-il obtenir sur A ?

A 4 A

× A

3 8 7 A

2. Quelle information supplémentaire obtiendra-t-il avec le � A×A � sur fond grisé ci-dessous ?

A 4 A

× A

3 8 7 A

Combien vaut donc A ?

B. Considérons l'addition suivante (où C est bien entendu di�érent de 0) :

A B+ B A

C B C

1. Discutez la pertinence de proposer un tel exercice additif en cycle 3.

2. Quel argument simple pourrait avoir un élève de cycle 3 pour convaincre ses camarades que Cvaut forcément 1 ?

C. Considérons en�n la multiplication suivante, tirée des Petits Cahiers Retz, Des jeux pour réussir

toutes les opérations (9-11 ans) :

D 1

2 1

A B 2× C B

D A C 0E B 1 2 0

E F F F 0



1. Dans cette multiplication, déterminer les valeurs respectives de A, B, C, D, E, et F . Aucunejusti�cation n'est demandée.

2. Par un raisonnement portant uniquement sur les retenues, justi�ez que D ne peut pas être égalà 9.

3. Indiquez brièvement le sens de chacun des trois zéros de cette opération posée.

4. Comment modi�er l'exercice pour le rendre plus abordable tout en gardant la disposition destrois zéros ?

Exercice 39 (G1 2011) � Base ternaire

[Question indépendante, 4 points sur 20 pour une épreuve de 4 heures, prévoir 40 minutes]


L'écriture en base 3 d'un nombre n positif est de la forme akak−1...a1a0, avec k un entier naturel, lestermes ak, ak−1, ..., a1, a0 des entiers compris entre 0 et 2, ak > 0 sauf si n = 0 (auquel cas k = 0 eta = 0), et

n = ak3k + ak−13k-1 + ...+ a13 + a0

Les termes ak, ak−1, ..., a1, a0 sont alors appelés les chi�res de l'écriture en base 3 de n. Toutes lesréponses doivent être justi�ées.

1.a) Véri�er que l'écriture en base 3 du nombre 11 est 102.b) Quelle est l'écriture en base 3 du nombre 74 ?c) Que peut-on dire d'un nombre dont l'écriture en base 3 se termine par le chi�re � 0 � ?

On s'intéresse aux nombres entiers n dont aucun chi�re de l'écriture en base 3 ne prend la valeur 2.On appellera ces nombres des entiers 2-lacunaires. Par exemple 12 = 110 est 2-lacunaire alors que19 = 201 ne l'est pas.

2.a) Déterminer le nombre d'entiers 2-lacunaires compris entre 0 et 100.b) A quelle condition nécessaire et su�sante un nombre 2-lacunaire possédant 4 chi�res en base 3

est-il divisible par 2 ?3. On appelle nombres 1-lacunaires les nombres entiers n dont aucun chi�re de l'écriture en base 3 neprend la valeur 1.

a) Montrer que tout entier 1-lacunaire est le double d'un entier 2-lacunaire.b) Montrer que tout entier peut se décomposer comme la somme d'un entier 2-lacunaire et d'un

entier 1-lacunaire.c) Montrer que cette décomposition n'est pas toujours unique.

Pour aller plus loin :⇒ Calculs en heures, pourcentages : G3 2015, partie 2 exercice 1, http://primaths.fr/Resources/

sujet%202015gpt3.pdf et son corrigé http://primaths.fr/Resources/corrige%20CRPE%202015gpt3.pdf

⇒ Enseignement de l'heure (didactique) : SZ2 2014, exercice 4, http://primaths.fr/Resources/exemple_sujet_math_p1.pdf et son corrigé http://primaths.fr/Resources/corrige%20sujet%200%202014.pdf








http://primaths.fr/Resources/exemple_sujet_math_p1.pdf

http://primaths.fr/Resources/exemple_sujet_math_p1.pdf

http://primaths.fr/Resources/corrige%20sujet%200%202014.pdf

http://primaths.fr/Resources/corrige%20sujet%200%202014.pdf



M1 - MEEF 4 Arithmétique des nombres entiers naturels

4 Arithmétique des nombres entiers naturels

Exercice 40, CRPE 2018

Vrai ou Faux :

1. L'inverse de la somme de deux nombres est égal à la somme des inverses de ces deux nombres.

2. 126 possède exactement 10 diviseurs ?

3. Tout nombre entier ayant 1 pour chi�re des centaines, 2 pour chi�re des dizaines et 5 pourchi�re des unités est un multiple de 125.

4. Tout nombre entier ayant 1 pour chi�re des dizaines et 5 pour chi�re des unités est un multiplede 15.

Exercice 41

Existe-il un nombre entier naturel qui soit multiple de 5 sans être multiple de 10 ?

À l'inverse, y a-t-il un nombre qui soit multiple de 10 sans être multiple de 5 ? Justi�er.

Sans poser d'opération, montrer que 282 828 est multiple de 14. .

Exercice 42, (2019 G3)

⇒ voir correction sur le site de Denis Vekemans (ESPE LNF, site Gravelines) : http://vekemans.free.fr/public_html/IMG/pdf/PE_2019_3_BL.pdf, exercice 2, p. 3.

1. Pour tout nombre entier n, montrer que 30n+ 25 est divisible par 5.

2. Voici un programme de calcul :� choisir un nombre entier� multiplier par 3� ajouter 5� élever au carré� soustraire neuf fois le carré du nombre de départ

a. Montrer que ce programme a pour résultat 265 si le nombre entier choisi est 8. Les calculsseront détaillés.

b. Quel résultat obtient-on si le nombre entier choisi est (-56) ?c. Montrer que le résultat de ce programme de calculs, quel que soit le nombre de départ, est

divisible par 5.

Exercice 43

Vrai ou faux ? Justi�er.

� La somme de deux nombres pairs est paire.� Le produit de deux nombres pairs est pair.� Le produit de deux nombres impairs est impair.

La somme et le produit d'un nombre pair et d'un nombre impair sont-ils pairs ou impairs ?

Exercice 44 � Critères de divisibilité.

Les nombres 1324 et 834 sont-ils divisibles par 4 ?

123456789 est-il divisible par 3 ? par 9 ?

2178× 3726 est-il divisible par 9 ?

Exercice 45

Trouver la décomposition en produit de facteurs premiers de 600.

En déduire la liste de tous les diviseurs de 600.

Faire de même avec : 588, 990 et 493





Exercice 46 (G2 2018) écriture littérale

⇒ Voir le corrigé sur le site de l'IREM de la Réunion, http://irem.univ-reunion.fr/spip.php?article971.

Pour calculer de tête le carré d'un nombre entier se terminant par 5 :

� on prend le nombre de dizaines et on le multiplie par l'entier qui suit ce nombre de dizaines,cela donne le nombre de centaines du résultat ;

� on écrit ensuite 25 à droite du nombre de centaines pour obtenir le résultat.

Par exemple, 105 est composé de 10 dizaines et 5 unités, son carré s'obtient :

� étape 1 : en calculant 10× 11 = 110, ce qui donne le nombre de centaines du résultat ;� étape 2 : on écrit ensuite 25 à droite de 110 pour obtenir le résultat. On a donc 1052 = 11025 .

1. Montrer comment calculer mentalement 452.

2. Soit n un nombre entier se terminant par 5, n peut s'écrire : 10d+5 avec d le nombre de dizaines.Établir la relation :

n2 = 100d(d+ 1) + 25.

3. Expliquer en quoi le résultat de la question 2 permet d'établir la technique de calcul mentalprésentée dans l'énoncé.

4. Comment, par extension de la technique de calcul mental présentée, calculer mentalement lecarré de 3,5 ?

Exercice 47 - (ESPE LNF, 2015) Ecriture littérale

Dans l'industrie textile, pour comparer les épaisseurs de di�érents �ls de même nature (par exemple,il sera toujours ici question de coton), il s'agit d'étudier le rapport entre la longueur et la masse du �l.On appelle ainsi "numéro métrique", noté Nm, le nombre de mètres de �l obtenus dans un gramme de�l. Par exemple, Nm = 12 correspond à 12 mètres de �l pour 1 gramme.

1. Vrai ou faux, justi�er :A�rmation A : � Nm = 20 correspond à 20 km de �l pour 1 kg. �A�rmation B : � Plus le numéro métrique est grand, plus le �l est épais. �

2. L'opération de titrage consiste, dans la pratique, à prélever un échantillon de 500 mètres de �là l'aide d'un dévidoir puis de le peser.La pesée donne 62,5 grammes, quel est le numéro métrique du �l ?

3. On souhaite connaître la longueur restante d'un �l sur une bobine déjà entamée. La connaissancede la masse d'une bobine vide permet de déduire par pesée la masse du �l restant.S'il reste sur la bobine 40 g de �l de numéro métrique Nm = 50, quelle est la longueur de �lcorrespondant ?

4. Un � �l retors � est un �l obtenu à partir de plusieurs �ls simples assemblés par torsion (voirillustration).

On considère pour simpli�er que la torsion n'agit pas sur la longueur : un �l retors de 1 mètre

peut être obtenu par assemblage de deux �ls simples de 1 mètre chacun.

(a) Quel est numéro métrique d'un �l obtenu par retordage de deux �ls simples de caractéristiqueNm = 40 ?


http://irem.univ-reunion.fr/spip.php?article971



(b) Quel est numéro métrique d'un �l obtenu par retordage de deux �ls simples de caractéris-tiques Nm = 40 pour l'un et Nm = 10 pour l'autre ?

(c) Démontrer que le numéro métrique n d'un �l retors constitué de deux �ls simples de numéros

métriques respectifs n1 et n2 est : n =n1 × n2n1 + n2

.

Exercice 48 - 2017 (tiré des G1, G2 et G3) Diviseurs et multiples

Indiquer si les a�rmations suivantes sont vraies ou fausses, en justi�ant la réponse.

� � 117 est un nombre premier �� Pour n'importe quel nombre entier n, (n+ 2)2 − (n− 2)2 est un multiple de 8 �.� � Pour n'importe quel nombre entier n, (n+ 2)2 − (n− 2)2 est un multiple de 32 �.� � Il existe au moins un nombre entier pair supérieur à 7, divisible par 3 mais qui n'est divisible

ni par 9 ni par 4 �.� � Pour obtenir le carré d'un nombre entier, il su�t de multiplier le nombre entier qui le précède

par le nombre entier qui le suit et d'ajouter un �.� � Pour réaliser un collier en perles, Camille en�le 200 perles en répétant le modèle suivant : une

perle jaune, puis trois perles rouges, puis deux perles blanches. A�rmation : la couleur de la147ème perle sera rouge �.

Exercice 49 - 2017 (G2)

⇒ voir une correction sur le site de Denis Vekemans, http://vekemans.free.fr/public_html/IMG/pdf/PE_2017_2.pdf p. 5 et 6.

Un batelier descend une rivière de 120 km en un certain nombre de jours n, puis il la remonte. Ladistance parcourue quotidiennement lors de la remontée est inférieure de 6 km à celle parcourue quo-tidiennement lors de la descente. Le batelier met au total un jour de plus pour remonter que pourdescendre. On considère qu'il descend à vitesse constante et qu'il remonte à vitesse constante.

1. Exprimer en fonction de n, la distance, en kilomètre, parcourue quotidiennement pendant ladescente et la distance, en kilomètre, parcourue quotidiennement pendant la remontée.

2. Montrer que 120n+1 = 120

n − 6.

3. Déduire de la question précédente que n(n+ 1) = 20.

4. En déduire la valeur de n et interpréter ce résultat.

Exercice 50 - ESPE LNF 2016

Voici un chemin de la case A à la case D sur un quadrillage. Chaque case de ce chemin contient unevaleur, mais seulement deux de ces valeurs restent a�chées : la case B qui contient la valeur 49 et lacase C qui contient la valeur 25.





A

B

C

D

49

25

On avait une certaine valeur sur la case A et quand on s'est déplacé sur ce chemin, on a appliqué lesrègles suivantes :

� quand on se déplace d'une case vers la droite, on ajoute une valeur x ;� quand on se déplace d'une case vers la gauche, on retire cette même valeur x ;� quand on descend d'une case, on retire la valeur y ;� quand on monte d'une case, on ajoute cette même valeur y.

On remarque, qu'une fois arrivé sur la case D, on retrouve la valeur qu'on avait sur la case A.

Quelle est la valeur commune aux cases A et D ?

Exercice 51

On veut véri�er la propriété suivante : � Si un nombre est diviseur de n, alors le quotient q de n parce nombre est aussi un diviseur de n �.

1. Reformuler cette propriété avec vos propres mots : vous semble-t-elle logique ?2. Véri�cation : trouver des exemples qui véri�ent cette propriété. Y a-t-il des contres-exemples ?3. Démonstration : démontrer cette propriété, par exemple en utilisant le calcul littéral.

Exercice 52

Un critère de divisibilité par 4 est le suivant : � soit n un nombre entier naturel ayant au moins deuxchi�res. n est divisible par 4 si et seulement si le nombre composé de ses deux derniers chi�res estdivisible par 4 �.

1. Le nombre 123 412 893 135 552 est-il divisible par 4 ?2. L'objet de cette question est de démontrer le critère. On considère un nombre entier naturel n

ayant au moins deux chi�res.a) Justi�er que l'on peut écrire n sous la forme n = 100q+r, où q et r sont des nombres entiers

naturels et 0 ≤ r < 100.b) Démontrer que si r est divisible par 4, alors n est divisible par 4.c) Démontrer que si n est divisible par 4, alors r est divisible par 4.d) En déduire une démonstration du critère de divisibilité par 4.

3. a) Quel peut être un critère de divisibilité par 8 pour les nombres entiers naturels ayant aumoins trois chi�res ? Justi�er brièvement.

b) Le nombre 123 412 893 135 552 est-il divisible par 8 ?



4. a) En généralisant, quel critère de divisibilité concernant les nombres entiers naturels ayant aumoins p chi�res (p ≥ 1) peut-on formuler ? Démontrer.

b) Quelle est la plus grande puissance de 2 qui divise le nombre 123 412 893 135 552 ?

Exercice 53 � CRPE Lyon 1993

Un enfant range toutes les petites voitures dont il dispose.

Il les met par rangées de 6 ; il lui en reste 3.

Il les met par rangées de 5 ; il n'en reste pas.

a) S'il les range par 3, en reste-t-il ? Justi�er cette réponse.b) S'il les range par 2, en reste-t-il ? Justi�er cette réponse.c) Quel peut être le nombre de voitures de cet enfant, sachant qu'il en a moins de 100 ?

Exercice 54 (G3 2016) � Arithmétique, programme de calcul

⇒ voir une correction sur le site de Primath, http://primaths.fr/Resources/Corrige%20CRPE%202016gpt3.pdf.

Un enseignant demande à ses élèves d'une classe de troisième d'appliquer le programme de calculsuivant :

� choisir un nombre a quelconque ;� le multiplier par 4 ;� ajouter 7 à ce produit ;� mettre le tout au carré ;� écrire le résultat.

1. a. Véri�er que le nombre obtenu sera 225 si le nombre de départ est 2.b. Déterminer le nombre obtenu, si le nombre de départ est 1

2

2. Montrer que pour un nombre de départ a, le nombre obtenu est 16a2 + 56a+ 49.

3. a. Déterminer (s'ils existent) tous les nombres que l'on peut choisir au départ pour obtenir unrésultat égal à 0.

b. Déterminer (s'ils existent) tous les nombres que l'on peut choisir au départ pour obtenir unrésultat égal à 49.

c. Déterminer (s'ils existent) tous les nombres que l'on peut choisir au départ pour obtenir unrésultat égal à 1.

Exercice 55 (G6 2009) � Arithmétique

[Exercice à 3 points (sur 20) pour une épreuve de 3 heures]

⇒ un corrigé supplémentaire est disponible dans les annales corrigées Hatier, 2010, pp. 199, 206 et207.

Toutes les réponses devront être justi�ées.

Soit le problème suivant :

Quel(s) nombre(s) se cache(nt) derrière ces informations ? Un entier naturel N est composéde trois chi�res dont le produit est 120 et la somme 16.

1) Montrer que N ne contient ni 0, ni 1, ni 2.2) N peut-il contenir le chi�re 7 ? le chi�re 9 ?3) Déterminer un nombre N solution du problème ci-dessus en explicitant votre procédure.

Peut-on en déduire d'autres solutions ? Si oui, lesquelles ?4) Déterminer tous les nombres N solutions de ce problème.

Exercice 56


http://primaths.fr/Resources/Corrige%20CRPE%202016gpt3.pdf.

http://primaths.fr/Resources/Corrige%20CRPE%202016gpt3.pdf.


On veut paver un rectangle avec des dalles carrées toutes exactement superposables, les plus grandespossibles, et de dimensions entières (en cm).

a) Le rectangle a pour dimensions 42 cm sur 98 cm. Combien devra mesurer le côté de chaquedalle ?

b) Le rectangle a pour dimensions 462 cm sur 165 cm. Combien devra mesurer le côté de chaquedalle ?

c) Le rectangle a pour dimensions 176 cm sur 315 cm. Combien devra mesurer le côté de chaquedalle ?

Exercice 57 � CRPE Dijon 2002

Déterminer le nombre entier N satisfaisant simultanément aux trois conditions ci-dessous :� N est divisible par 6,� N n'est pas divisible par 8,� N a exactement 15 diviseurs.

Exercice 58 � CRPE Bordeaux 2005

Une colonie de vacances, qui accueille au maximum 100 enfants, organise une course d'orientation paréquipes. Chaque équipe est constituée d'au moins deux enfants. Les moniteurs souhaiteraient qu'il y aitle même nombre d'enfants dans chaque équipe mais s'ils regroupent les enfants par trois, il en resteradeux. S'ils les regroupent par quatre, il en restera un et s'ils les regroupent par cinq, il en restera deux.Finalement, ils réussissent à former plusieurs équipes, toutes avec le même nombre d'enfants.

a) Combien d'enfants y a-t-il dans cette colonie de vacances ?b) Combien d'équipes sont ainsi formées ?

Exercice 59 (G3 2013) � Division euclidienne par neuf


⇒ voir correction sur le site de Denis Vekemans, http://vekemans.free.fr/public_html/IMG/pdf/PE_2013_3.pdf.

On rappelle la propriété P suivante : � Un nombre entier naturel et la somme de ses chi�res ont lemême reste dans la division euclidienne par 9. �

1. Quel est le reste de la division de 164 330 258 647 par 9 ?

2. L'objet de cette question est de démontrer la propriété P pour un nombre entier naturel stric-tement inférieur à 10 000. On considère un nombre entier naturel strictement inférieur à 10 000et on note abcd son écriture en base dix.a) Montrer qu'il existe un nombre entier naturel k tel que abcd = a+ b+ c+ d+ 9kb) On note r le reste de la division euclidienne de abcd par 9, et r' le reste de la division

euclidienne de a+ b+ c+ d par 9. Montrer que r = r′.

3. a) Déduire de la propriété P un critère de divisibilité par 9 d'un nombre entier naturel , utilisantla somme de ses chi�res.

b) Déterminer le plus grand diviseur commun de 18 et 164 330 258 643.

Exercice 60 (G2 2014 SE) � Suite de Syracuse


⇒ voir correction sur le site de Denis Vekemans, http://vekemans.free.fr/public_html/IMG/pdf/PE_2014_2.pdf.

Une suite de Syracuse est une suite de nombres entiers construite de la manière suivante :� le premier terme de cette suite est un nombre entier naturel arbitrairement choisi ;� si ce nombre est pair, on le divise par 2 et on obtient le terme suivant de la suite ;� sinon, on le multiplie par 3, on ajoute 1 au résultat et on obtient le terme suivant de la suite ;� on itère la procédure avec le nombre obtenu pour construire les termes suivants.







Voici, en exemple, les cinq premiers termes de la suite de Syracuse commençant par 7 :

7− 22− 11− 34− 17

1. a) Donner les dix premiers termes de la suite de Syracuse dont le premier terme est 3.b) Donner les dix premiers termes de la suite de Syracuse dont le premier terme est 5.c) Donner les dix premiers termes de la suite de Syracuse dont le premier terme est 6.d) À partir des trois exemples précédents, quelle conjecture peut-on faire ? (on ne cherchera pas

à démontrer cette conjecture.)

2. On dira que deux suites de Syracuse sont di�érentes si elles n'ont pas le même premier terme.a) Donner le premier terme de deux suites de Syracuse di�érentes ayant comme deuxième terme

10.b) Peut-on trouver trois suites de Syracuse di�érentes ayant le même deuxième terme ? Justi�er.

3. Dans une suite de Syracuse, un nombre impair peut-il être suivi par un nombre impair ? Justi�erla réponse donnée.

Exercice 61 (G6 2009) � Didactique de l'arithmétique


⇒ voir correction sur le manuel Hatier, annales corrigées 2010, pp. 198-199, 205-206.

Un maître souhaite donner à ses élèves le problème suivant :

Les questions qui suivent se rapportent à ce problème.

1) Quelle est la notion mathématique sous-jacente ?2) a) Indiquer deux procédures qui pourraient être trouvées par les élèves pour répondre à la

question 2) du problème que le maître souhaite donner aux élèves.b) Quelle synthèse peut-on proposer à la suite de la résolution de la question 3) du problème

que le maître souhaite donner aux élèves ?3) a) Citer un objectif que peut viser l'enseignant en proposant ce problème à ses élèves ?

b) Est-il pertinent d'autoriser l'usage de la calculatrice ? Justi�er la réponse.

Pour aller plus loin :⇒ Sujet 2015, groupement académique 1, partie Exercice, exercice 1 (multiples, trouver un nombre)⇒ Sujet 2014, groupement académique 1, partie Exercice, exercice 2 (QCM à justi�er)⇒ Sujet 2014, session exceptionnelle 3, partie Exercice, exercice 2 (propriétés des nombres entiers)


M1 - MEEF5 Géométrie :

Rappels et triangles semblables

5 Géométrie :


Exercice 62 � Quadrilatères

Vrai ou faux ? Justi�er chaque réponse.

A. Un carré est un losange.B. Un rectangle est un trapèze.C. Un parallélogramme est un rectangle.D. Un losange est un rectangle.E. Un carré est un quadrilatère.F. Un carré est un trapèze.

Exercice 63 � Dessin à main levée et démonstration

Soit la �gure ci-dessous faite à main levée.

A�rmation : Les points C, D et E sont alignés. (CRPE 2018 G1)

Exercice 64 � ESPE LNF 2016 (Le quadrilatère Cerf-volant)

Dans cet exercice, on s'intéresse à un quadrilatère, le � cerf-volant �. Un cerf-volant est un quadrilatèrenon-croisé dont une des diagonales est la médiatrice de l'autre. Dans tout l'exercice, on appelle ABCDun tel cerf-volant, et on suppose que (AC) est la médiatrice de [BD].

1. Pourquoi, dans la dé�nition ci-dessus, a-t-on écrit (AC) avec des parenthèses, mais [BD] avecdes crochets ?

2. Démontrer que AB = AD et que CB = CD.

3. Tout losange est-il un cerf-volant ?

4. Que peut-on dire d'un cerf-volant qui est un parallélogramme ?

5. Si un cerf-volant a deux angles droits, est-ce nécessairement un carré ?

6. Dessiner à main levée un cerf-volant concave (c'est-à-dire non convexe).

Dans la suite, on suppose que ABCD est convexe, que AB = 4 = AD et BC = 7 = CD.

7. Démontrer que BD < 8.

8. Construire ABCD avec AB = 4 = AD, BC = 7 = CD, et BD = 6.

9. Proposer un programme de construction correspondant à la �gure précédente.

10. Déterminer AC.

Exercice 65 � G3 2019 (Exercices : rappels)

⇒ voir correction sur le site de Denis Vekemans (ESPE LNF, site Gravelines) : http://vekemans.free.fr/public_html/IMG/pdf/PE_2019_3_BL.pdf, exercice 1, p. 2

On considère la �gure ci-contre qui n'est pas représentée à l'échelle. On sait que :

� BC = 8 cm






� AB = 6 cm� AC = 10 cm� AD = 8 cm� D appartient aux segments [AE] et [BC]� Les droites (BC) et (CE) sont perpendiculaires

Le but de l'exercice est de déterminer l'aire du triangle ACE.

� Montrer que les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires.� En déduire la longueur BD.� Déterminer la longueur CE.� Déterminer l'aire du triangle ACE.

Exercice 66 � ESPE LNF 2015 (didactique en cycle 3)

Voici un texte proposé par un enseignant de cycle 3 : � Trace un triangle : il doit être rectangle etavoir deux côtés de même longueur. Sur le grand côté du triangle, trace un demi-cercle. � Voici lesproductions de quatre enfants :

1. Quelles sont les connaissances, compétences ou savoir-faire du domaine de la géométrie néces-saires pour réussir cette activité ?

2. Quels sont les élèves qui n'ont pas respecté le programme de construction ? Analysez leurs erreursen formulant des hypothèses sur leurs origines.

3. Rédigez un énoncé accessible à des élèves de cycle 3 et dont la seule solution serait la constructionde la �gure D.

Exercice 67 � ESPE LNF 2015 (didactique en cycle 3)

Voici un exercice extrait d'un manuel de l'école élémentaire :




Reproduis cette �gure

1. À quel niveau peut-on proposer cet exercice ? Justi�ez votre réponse.

2. Quelles sont les compétences travaillées lors de cet exercice ?

3. Quelles di�cultés les élèves pourraient-il rencontrer pour reproduire la �gure ?

4. Comment rendre la reproduction de la �gure plus facile pour les élèves ? Sans changer la �gureà reproduire, citez deux modi�cations possibles.

Exercice 68 � Triangles (d'après Brevet Pondichéry 2015 )

Trois triangles équilatéraux sont découpés dans les coins d'un triangle équilatéral de côté 6 cm. Lasomme des périmètres des trois petits triangles est égale au périmètre de l'hexagone gris restant.

� Quelle est la mesure du côté des petits triangles ?

Exercice 69 (G2 2018)

⇒ voir le corrigé sur le site de l'IREM de la Réunion, http://irem.univ-reunion.fr/spip.php?article971

ABE est un triangle rectangle en E. AE = 5 cm, AB = 13 cm.

La droite (BE) et la droite perpendiculaire à (AB) passant par A se coupent en C. La droite (AE) etla droite perpendiculaire à (AC) passant par C se coupent en D.

1. Réaliser la �gure en vraie grandeur.

2. Déterminer l'aire du triangle CEA ; on donnera l'arrondi au dixième de mm2.

Exercice 70 � Mesurer la hauteur d'un arbre

Pour mesurer la hauteur d'un arbre, l'arpenteur de la Renaissance pouvait se servir d'un instrument,nommé � bâton de Gerbert �, en utilisant la méthode suivante 2.

2. Illustration tirée de la Geometria practica de C. Puehler, 1563, p. 49v (légèrement modi�ée).






� Quelle est la nature du triangle formé par son outil et sa ligne de vue ? .� Schématiser la situation et en déduire une méthode pour trouver la hauteur de l'arbre.� L'arpenteur mesure 6 pieds de haut et est situé à 5 toises de l'arbre (on rappelle qu'une toise

vaut six pieds). Quelle est la hauteur de celui-ci ?

Exercice 71 � Mesurer la hauteur d'une tour

Pour mesurer la hauteur d'une tour, l'arpenteur de la Renaissance peut se servir d'un miroir placé ausol, en utilisant la méthode suivante 3.

� Schématiser la situation, préciser la nature des triangles et en déduire une méthode pour trouverla hauteur de la tour.

� L'arpenteur mesure 6 pieds et est situé à 3 pieds du miroir. La distance entre le miroir et lepieds de la tour est de 7 toises (on rappelle qu'une toise vaut six pieds). Quelle est la hauteurde la tour ?

Exercice 72 � Distance entre deux points inaccessibles l'un à l'autre

On cherche à résoudre l'exercice suivant : �Deux objets (ici une tour A et un arbre B) sont inaccessibles

l'un à l'autre, mais chacun est accessible à l'observateur. Comment déterminer la distance AB ? �. Voicila méthode proposée par le maître de mathématiques Mallet en 1702 :

3. Illustration tirée de la Geometria practica de J. Köbel publiée 1570.




� Rédiger un programme de tracé en langage moderne.� Démontrer la validité de la méthode.� Comment adapter la méthode dans le cas où il est impossible de mesurer 70 pas sur (AC), par

exemple car l'espace disponible n'est que de 40 pas ?

Exercice 73 � Arpentage : trouver un lieu avec des angles

Voici le plan de la commune de Flers (canton de Lannoy) selon le cadastre établi en 1825 par le géomètreDequesne. Essayons de localiser l'emplacement du futur bâtiment de l'ESPE de Villeneuve d'Ascq : ilse trouve au sud de la base [AB]. L'angle de visée est de 4,3◦ à partir de A et de 20,7◦ à partir de B.Etablir sur le plan cadastral l'endroit où sera construit l'ESPE.




Exercice 74 (G2 2008) � Quadrilatères (disciplinaire et didactique).


Pour l'ensemble des questions de cet exercice, les traits de construction doivent rester apparents.

1) Placer deux points A et C non situés sur les lignes de la copie. Ces deux points sont les sommetsopposés d'un carré ABCD. Construire ce carré à la règle et au compas et justi�er la constructionen citant la ou les propriétés géométriques utilisées.

2) a) Construire un rectangle EFGH tel que la longueur du côté EF soit 7 cm et celle de ladiagonale EG soit 9 cm. Justi�er la construction en citant la ou les propriétés géométriquesutilisées.

b) La construction d'un rectangle dont on impose la longueur d'un côté et celle de la diagonaleest-elle toujours réalisable ? Justi�er.

3) Construire deux rectangles IJKL et IMKN. Quelle est la nature du quadrilatère MJNL? Justi�erla réponse.

Question complémentaire :

1) Pour cette question, se reporter aux exercices 3, 4 et 5 du document reproduit dansl'annexe 3 [page 98 du manuel, ici en page 50].a) Expliciter un point commun et une di�érence entre les tâches demandées aux élèves dans

l'exercice 3 et celles demandées dans les exercices 4 et 5.b) Quel(s) outil(s) le maître pourrait-il fournir aux élèves pour qu'ils valident eux-mêmes leurs

réponses dans les exercices 4 et 5 ?2) Pour cette question, se reporter à l'exercice 3 du document reproduit dans l'an-

nexe 4 [page 99 du manuel, ici en page 51]. Indiquer trois di�cultés que les élèves pourraientrencontrer dans la réalisation de cet exercice.

Exercice 75 (G3 2014 session exceptionnelle)


⇒ voir correction sur le site Primath : http://primaths.fr/Resources/corrige%20crpe%202014-3a.pdf

Les parties I et II sont indépendantes.


http://primaths.fr/Resources/corrige%20crpe%202014-3a.pdf

http://primaths.fr/Resources/corrige%20crpe%202014-3a.pdf



Partie I

1. Construire un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 6 cm et AC = 10 cm. Placer un pointD sur le segment [AC], distinct de A et de C. Tracer la parallèle à la droite (AB) passant parD. Elle coupe le segment [BC] en un point E. Tracer la parallèle à la droite (AC) passant parE. Elle coupe le segment [AB] en un point F.

2. Déterminer la position du point D pour que le quadrilatère ADEF soit un carré.

Partie II

1. Tracer un triangle DEF rectangle en E puis construire, à la règle et au compas, le centre de soncercle inscrit. Laisser apparents les traits de la construction de ce point. On note C ce cercle ; I,J et K ses points de contact avec les côtés [DE], [EF] et [FD].

2. On considère un triangle DEF rectangle en E tel que :� son cercle inscrit a un rayon de longueur 2 cm.� son hypoténuse a pour longueur 13 cm.Calculer le périmètre du triangle DEF.


[Il s'agit d'un exercice valant 5 points (sur 40) pour une épreuve de 3 heures. La partie B n'est pas

traitée ici.]

⇒ voir correction sur le site de Denis Vekemans : http://vekemans.free.fr/public_html/IMG/pdf/PE_2011_2.pdf

Un polygone régulier est un polygone convexe inscrit dans un cercle et dont tous les côtés ont la mêmelongueur.

Partie A

On considère un hexagone régulier ABCDEF inscrit dans un cercle de centre O et de rayon r (voir�gure ci-dessous).

H est le pied de la hauteur issue de O, dans le triangle AOB.

Montrer que l'aire de l'hexagone ABCDEF est égale à 3√3

2 r2.

Partie C

RSTUV est un pentagone régulier inscrit dans un cercle de centre O et de rayon r.

1. H est le pied de la hauteur issue de O dans le triangle ROS. Déterminer la longueur OH enfonction de r.

2. Calculer l'aire du pentagone RSTUV en fonction de r.







[Il s'agit des questions 1, 2 et 3 (sur 5) du Problème]

⇒ voir correction sur le site de Denis Vekemans (ESPE LNF, site Gravelines) : http://vekemans.free.fr/public_html/IMG/pdf/PE_2017_1.pdf, problème.

Présentation du problème

Une entreprise de BTP est mandatée pour étudier la faisabilité de la réalisation d'une portion d'auto-route et d'un nouvel échangeur dans la région de Bordeaux / Brive-la-Gaillarde / Montauban.

1) Représentation géométrique

À vol d'oiseau, il y a 204,4 km entre Brive-la-Gaillarde et Bordeaux, 210 km entre Bordeaux et Mon-tauban et 145,6 km entre Montauban et Brive-la-Gaillarde.

On admet que cette situation géographique est modélisée par un triangle ABC, construit à une certaineéchelle, dans lequel A représente Bordeaux, B représente Brive-la-Gaillarde et C représente Montauban.

Dans ce triangle, la longueur AB est 7, 3 cm.

a) Montrer que la longueur AC est 7, 5 cm et que la longueur BC est 5, 2 cm.b) Construire le triangle ABC.c) Déterminer l'échelle utilisée pour modéliser la situation.

2) Étude de faisabilité

Dans le cadre d'un projet d'extension, la société d'exploitation mandate une entreprise de BTP pourétudier la construction d'une portion d'autoroute reliant Brive-la-Gaillarde et l'autoroute entre Bor-deaux et Montauban. On cherche à construire la portion d'autoroute la plus courte possible.

Sur la �gure construite précédemment, on note D le point du segment [AC] tel que la distance BD soitla plus courte possible. Le point D représente l'emplacement de l'échangeur à construire.

a) Placer le point D sur la �gure et indiquer ce que représente la droite (BD) dans le triangle ABC.b) Les formules trigonométriques et un théorème appelé théorème d'Al Kashi permettent d'établir

l'égalité (admise) : BC2 = AB2+AC2−2×AC×AD. En utilisant l'égalité précédente, montrerque AD = 5, 5 cm.

c) En déduire les longueurs CD et BD.

3) Validation du projet

Il s'avère que l'échangeur ne peut être placé à cet endroit car il serait situé dans une zone protégée.

Sur la �gure construite précédemment, E désignera l'emplacement dé�nitivement choisi pour l'échan-geur et donc [BE] la portion d'autoroute à réaliser. On appelle E le point du segment [AD] tel que






[ED] mesure 0, 9 cm.

a) Déterminer la mesure en degré, arrondie au centième de degré, de l'angle DBE.b) Calculer la longueur BE, arrondie au centième de centimètre.c) En déduire la longueur, en kilomètre, arrondie au dixième de kilomètre près, de la portion

d'autoroute qui sera réalisée.

Exercice 78 (ESPE LNF 2017) � Didactique de la géométrie (cycle 3)

Voici deux extraits de l'évaluation nationale à l'entrée en 6e de 2004. Les élèves disposaient des instru-ments suivants : règle graduée, équerre et compas.

1. Donner trois connaissances ou savoir-faire mathématiques en jeu dans ces deux exercices.

2. Dans l'exercice 16, si dans la consigne on précise que la �gure est composée de quatre quadri-latères et d'un cercle dont le centre est le sommet commun à ces quatre quadrilatères :� Est-il possible de justi�er l'élimination du ou des quadrilatère(s) qui ne sont pas des losanges,

sans recours aux instruments mais aussi sans se contenter de la simple perception visuelle ?� Est-il possible de justi�er le choix d'un losange sans recours aux instruments mais aussi sans

se contenter de la simple perception visuelle ?

3. Relever les réussites et les erreurs et faire une hypothèse sur l'origine des erreurs des trois élèvesdont les productions sont données en ci-dessous.

4. A�n de proposer l'exercice 25 en �n de cycle 2, on considère l'adaptation suivante : on enlève lecercle, on conserve les quatre quadrilatères en les écartant les uns des autres, et on n'autoriseaux élèves que l'utilisation d'une équerre non graduée, d'une bande de papier, d'un compas.� Quel est le but de l'exercice ainsi modi�é ?� Quel est le but des modi�cations apportées ?







Page 98 du manuel Cap Maths CE1 Hatier




Page 99 du manuel Cap Maths CE1 Hatier



Théorèmes de Thalès et Pythagore

6 Géométrie :


Exercice 79

Soit un triangle ABC avec AB = 3, BC = 5 et CA = 6. Ce triangle est-il rectangle ?

Soit un triangle DEF avec DE = 2√

3, EF = 2√

6 et FD = 6. Ce triangle est-il rectangle ?

Exercice 80

Montrer que la longueur de la diagonale d'un carré de côté a est égale à a√

2.

Montrer que la hauteur d'un triangle équilatéral de côté a est égale à a√32 .

Exercice 81

Dans la �gure suivante, sachant que ABCD est un carré, déterminer la longueur du segment BF.

Exercice 82

Les droites (BE) et (CD) sont-elles parallèles ?

Exercice 83 (d'après Brevet 2018)

La �gure ci-dessous n'est pas à l'échelle




On considère ci-dessus un triangle ABC rectangle en A tel que ABC = 30◦ et AB = 7cm. H est lepied de la hauteur issue de A.

1. Tracer la �gure en vraie grandeur sur la copie. Laisser les traits de construction apparents sur lacopie.

2. Démontrer que AH = 3,5 cm.

3. Démontrer que les triangles ABC et HAC sont semblables.

4. Déterminer le coe�cient de réduction permettant de passer du triangle ABC au triangle HAC. .

Exercice 84

Dans un triangle isocèle ABC, les côtés [AB] et [AC] ont la même longueur 8,5 cm. La hauteur issuede A est telle que AH = 2BC (H est le pied de la hauteur issue de A).

1) Faire une �gure approximative à main levée.2) Montrer que BC =

√17 cm.

3) Placer sur le segment [HC] un point D tel que HD = 1 cm et sur le segment [AH] un point E telque HE = 4 cm. Démontrer que les droites (DE) et (AC) sont parallèles. Calculer la longueur BE.

Exercice 85 � CRPE 2008, GA1

[Exercice sur 5 points (sur 20) pour une épreuve de trois heures]

⇒ voir des indications de corrections sur le site de Denis Vekemans : http://vekemans.free.fr/public_html/IMG/pdf/PE_2008.pdf. D'autres explications dans le Hatier Concours, annales corrigées2009, pp. 124, 132-133.

On considère trois cercles (C1), (C2) et (C3) de même rayon, noté r, et de centres respectifs I, O et J.

Dans tout l'exercice, le rayon r est un nombre entier non nul. Nous savons que :

� les trois points I, O et J sont alignés et dans cet ordre ;� le cercle (C1) est tangent au cercle (C2) ;� le cercle (C2) est tangent au cercle (C3) ;� le point E est à l'intersection de la droite (OI) et du cercle (C1), et n'appartient pas au cercle (C2) ;� la droite (∆) est tangente au cercle (C3) en T et passe par E ;� la droite (∆) coupe le cercle (C2) en A et en B ;� H est le point de (∆) tel que (OH) et (∆) sont perpendiculaires.


http://vekemans.free.fr/public_html/IMG/pdf/PE_2008.pdf

http://vekemans.free.fr/public_html/IMG/pdf/PE_2008.pdf



On pose OH = a :

� 1) En utilisant le théorème de Thalès, démontrer que a = 35r.

� 2) Expliquer pourquoi le nombre a est toujours un nombre rationnel.� 3) a est-il toujours un nombre décimal ? Justi�er la réponse.� 4) Quels sont les nombres r pour lesquels a est un nombre entier ?� 5) Le nombre a peut-il être un nombre premier ?� 6) Calculer HB en fonction de r.

On pose AB = b :

� 7) Démontrer que H est le milieu de [AB] et en déduire que b = 85r.

� 8) Existe-t-il des nombres r pour lesquels le nombre b est un nombre premier ? Justi�er.

Exercice 86 � CRPE 2008, GA1 � Didactique : géométrie au cycle 3

[Exercice sur 4 points (sur 20) pour une épreuve de trois heures]

⇒ voir des indications de corrections dans le Hatier Concours, annales corrigées 2009, pp. 127, 137-138.

On considère l'exercice suivant extrait de l'évaluation nationale à l'entrée en sixième (septembre 2004,DEP, Ministère de l'Education nationale).




Les réponses de quatre élèves à cet exercice sont fournies en annexe [voir pages 58 et 59] :

1) Quelle connaissance mathématique est nécessaire pour réussir cet exercice ?2) Quels sont les élèves qui fournissent les réponses attendues ? Justi�er.3) Analyser les productions des élèves en précisant, pour chacune d'elles :

a. La conception du centre du cercle que l'élève semble avoir.b. L'utilisation qui a été faite des instruments de géométrie.

Exercice 87 � CRPE Sujet zéro 2, 2011

⇒ voir des indications de corrections sur le site de Denis Vekemans : http://vekemans.free.fr/public_html/IMG/pdf/sujet0_deuxieme_epreuve_2_2011.pdf, p. 7

Pour jouer au tir à l'arc, Arthur veut construire une cible en carton rectangulaire. Il a fait un schémade cette cible, qui est reproduit ci-dessous : les supports des diagonales du rectangle gris, au centre dela cible, et du grand rectangle sont confondus.

Arthur a nommé sur son schéma quelques points particuliers. Il sait que :� Les quadrilatères OIJK et OABC sont des rectangles ;� La droite (OB) est une diagonale commune à ces deux rectangles ;� Le point I appartient au segment [OA] et OI=40 cm ;� Le point J appartient au segment [OB], avec JB=20 cm et JI=30 cm ;� Le point K appartient au segment [OC].


http://vekemans.free.fr/public_html/IMG/pdf/sujet0_deuxieme_epreuve_2_2011.pdf




1. Arthur dispose d'une feuille de carton rectangulaire au format A0 (norme ISO 216), dont les di-mensions en millimètres sont de 841 sur 1189. La feuille est-elle assez grande pour y dessiner lacible ? Justi�er.

2. Calculer l'aire du rectangle OIJK.3. Calculer l'aire du rectangle OABC.

Exercice 88 CRPE Sujet zéro 1, 2011

[Problème sur 5 points (sur 20), pour une épreuve de 4 heures]

⇒ voir des indications de corrections sur le site de Denis Vekemans : http://vekemans.free.fr/public_html/IMG/pdf/sujet0_deuxieme_epreuve_1_2011.pdf, p. 6 et suivantes

L'objet de ce problème est la construction, par deux méthodes di�érentes, du point I d'un segment[AB] donné, tel que IA

IB = 2

Partie A : première méthode de construction du point I.

On considère une demi-droite d'origine A, et un point B de cette demi-droite distinct de A.

1) Montrer que si I est un point du segment [AB] distinct de A et de B, alors la condition IAIB = 2 est

équivalente à la condition AIAB = 2

3 .2) Ecrire un programme de construction du point I à la règle non-graduée et au compas, utilisant le

théorème de Thalès.3) Faire une �gure avec AB = 10.4) Justi�er la construction du point I.

Partie B : deuxième méthode de construction du point I, dans un cas particulier.

1) Un segment [AB] de longueur 10 cm étant donné, peut-on construire un point C tel que AC = 8cm et BC = 4 cm ? Justi�er.Faire une �gure, qui sera complétée au fur et à mesure des questions.

2) La bissectrice de l'angle ACB coupe le segment [AB] en J.Tracer cette bissectrice à la règle et au compas. Laisser apparent les traits de construction.Le but des questions suivantes est de montrer que le point J est tel que JA

JB = 23) La parallèle à la droite (CJ) passant par B coupe la demi-droite [AC) en M.4) Montrer que la bissectrice de l'angle BCM est perpendiculaire à la droite (CJ).5) Montrer que le triangle BCM est isocèle.6) Déterminer AJ

AB et conclure.

Pour aller plus loin :

⇒ Programme de construction et théorème de Pythagore

Construire, sur une feuille libre, la �gure décrite par le programme de construction suivant :

� Tracer un triangle rectangle ABC, rectangle en A, tel que AB soit strictement inférieur à AC� Construire les carrés ABDE, ACGF, BCHI. Ces carrés ont chacun un côté commun avec ABC et

sont tracés à l'extérieur du triangle.






� Tracer un arc de cercle de centre A et de rayon AE. Cet arc coupe le segment [AF] en M.� Construire le carrée FMNL, à l'intérieur du carré AFGC.� Tracer les segments [MC], [LC], [NC] et [EB].

En découpant les �gures planes suivantes : EAB, EBD, AMC, MNC, NLC, FLNM et LCG, commentpeut-on s'assurer (par manipulation) que le théorème de Pythagore est véri�é ?








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Mathématiques : Exercicesmoodle.espe-lnf.fr/pluginfile.php/33337/course/summary... · 2019-09-05 · 3.Léonie s'appuie sur les écritures décimales des nombres 2+ 5 10 + 2 100