MATLAB Indledning II

Anders P. Ravn

Institut for Datalogi

Aalborg Universitet

Forår 2005

Hvor er matricen ?

Skiverne skal pakkes i pakker af ca. samme vægt.

Hvad er vægten af de næste skiver?

Hvor er matricen ?

Skivevægt (gram) for Fisk1: 6 9 13 16 22 24 26 27 27 28 28 28 27 29 31 29 29 32 26 27 30 28 30 28 27 27 25 25 23 23 22 20 25 18 16 15 13 11

Skivevægt (gram) for Fisk2: 3 5 7 6 12 13 11 11 14 14 16 19 23 27 28 29 27 28 31 29 35 32 33 26 26 32 30 28 29 26 35 21 28 21 21 26 7 21 31 31 26 21 16 11 8 11 4 5 3 7 10

Hvor er Matricen ?

Et kulpartikel brænder: - Nogle dele er dækket af en askeflage - Andre dele er glød

Hvordan udvikler det sig ?

En model

function Pnext = step(P,f)

% Simulering af forbrænding: emne

% er matrix P

% med glød = 1

% aske = 0

Delmatricer

• A(2:3,1:2)

• A(2,2)

• A(1,:)

• A(1:2:3,1:2:3)

• A(pi,pi)

A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

» A(2:3,1:2) 4 5 7 8

» A(2,2) 5

» A(1,:) 1 2 3

» A(1:2:3,1:2:3) 1 37 9

» A(pi,pi)

Warning: Subscript indices must be integer values. 9

Hvor er matricen ?

Billedbehandling» Udsnit = B(101:104, 301:304, :)Rød 188 183 176 182 198 182 172 172 188 195 173 159 185 188 169 156Grøn 183 168 162 172 190 172 169 167 179 185 172 158 179 179 166 151Blå 179 163 159 171 187 163 162 163 174 176 167 153 167 170 157 147

100 200 300 400 500 600 700 800

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Transponering

Transponering af A A’Ombytter rækker og søjler

» D = [1 2 3 4; 5 6 7 8]

D = 1 2 3 4 5 6 7 8

» D' 1 5 2 6 3 7 4 8

» A' 1 4 7 2 5 8 3 6 9

Specielle Matricer•Nulmatrix

•Enhedsmatrix

•Etmatrix

• Tom matrix

•Tilfældige tal……Se help elmat

» zeros(2,3) 0 0 0 0 0 0

» eye(2,3) 1 0 0 0 1 0

» ones(2,3) 1 1 1 1 1 1

» A = []» size(A) 0 0» rand(2,3) 0.9501 0.6068 0.8913

0.2311 0.4860 0.7621

Bygning af Matricera = 1 2 3

» A = [a ; a] 1 2 3 1 2 3

» B = [A , [4 ;4]] 1 2 3 4 1 2 3 4

» C = [A ; a] 1 2 3 1 2 3 1 2 3

» D = [A, a]??? All matrices on a row in the bracketed expression must have the same number of rows.

» D = [A, a']??? All matrices on a row in the bracketed expression must have the same number of rows.

» D = [C, a'] 1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3 3

Hvor er Matricen ?

Styremoment

Drivmoment

Resulterende moment

Resulterende kraft

Kinematik

p = [x , y]’

w1 = [a,b] ‘

A = [ cos(theta) sin(theta) ; -sin(theta) cos(theta) ]

wl GLOBAL = (p + A * w1)’

Hvordan bruges det ?

p = [x , y]

w1 = [a,b] -- lokalt

A = [ cos(theta) sin(theta) -sin(theta) cos(theta) ]

wl GLOBAL = (p’ + A * w1’)’

Matrix-Division

X = A / B

betyder at

X * B = A

Y = A \ B

betyder at

A * Y = B

» X = A/BX = 0.6250 0.1250 0.1250 0.6250» X*B 1.0000 2.0000 2.0000 1.0000

» Y = 1.6667 -0.3333 -0.3333 1.6667» A*Y 1 3 3 1

\ “op i”

Hvordan bruges det ?

p = [x , y]

w1 = [a,b] -- lokalt

A = [ cos(theta) sin(theta) -sin(theta) cos(theta) ]

wl GLOBAL = (p’ + A * w1’)’

w1‘ = A \ (wl GLOBAL‘ – p’)

Et eksempel

p =[p1,p2]

q =[q1,q2]

Hvad er ligningen for linjen ?

y = ax + b – find a og b

[p2 ; q2] = [p1 1 ; q1 1] * [a ; b]

[p1 1; q1 1] \ [p2 ; q2] = [a ; b]

En løsning

[p1 1; q1 1] \ [p2 q 2]’ = [a b]’

» p = [0 0]; q = [1 1];

» A = [p(1) 1; q(1) 1]; a = [p(2) q(2)];» x = A\a'x = 1 0

findlinje.m

» p = [1 1]; q = [3,4];» findlinjex = 1.5000 -0.5000

» p = [1 1]; q = p; findlinje

Warning: Matrix is singular to working precision.x = Inf Inf

Overbestemthed

p =[p1,p2]

q =[q1,q2]

Find den bedste løsning !

y = ax + b

[p2; q2; r2] = [p1 1 ; q1 1; r1 1] * [a ; b]

r =[r1,r2]

Bedste løsning

[p1 1; q1 1; r1 1] \ [p2; q2; r2] = [a ;b]

» p = [0 0]; q = [1 1]; r = [2 1]

» A = [p(1) 1; q(1) 1; r(1) 1]; a = [p(2) q(2) r(2)];

» x = A\a'x = 0.5000 0.1667

Polynomier[an an-1 an-2 … a1 a0] * [xn xn-1 xn-2 … x 1 ]’

» roots([1 -2 1])ans = 1 1

» roots([1 -3 3 -1])ans = 1.0000 1.0000 + 0.0000i 1.0000 - 0.0000i

» roots([1 -4 6 -4 1])ans = 1.0001 1.0000 + 0.0001i 1.0000 - 0.0001i 0.9999

» p2 = [1 -2 1];» p3 = [1 -3 3 -1];» p4 = [1 -4 6 -4 1];

» x = 0.6:0.05:1.4;

» plot(x,polyval(p2,x), x, polyval(p3,x), x,polyval(p4,x), x,polyval([0],x) )

Undersøgelse

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Andre Operationer» A^2 » A*A

5 4 5 4 4 5 4 5

» hilb(2) 1.0000 0.5000 0.5000 0.3333

» A * hilb(2) == hilb(2) *A 1 0 0 1

» A * hilb(2) 2.0000 1.1667 2.5000 1.3333

» hilb(2) * A 2.0000 2.5000 1.1667 1.3333

Næste gang …

Programmer:

FOR … , IF …