Matrice Définie Positive — Wikipédia

14/3/2015 Matrice dfinie positive Wikipdia

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MatricedfiniepositiveEnalgbrelinaire,lanotiondematricedfiniepositiveestanaloguecelledenombrerelstrictementpositif:unematricedfiniepositiveestunematricepositiveinversible.

Onintroduittoutd'abordlesnotationssuivantessi estunematricelmentsrelsoucomplexes:

dsignelamatricetransposede dsignelamatricetransconjuguede (conjuguedelatranspose).

Onrappelleque:

dsignelecorpsdesnombresrelsdsignelecorpsdesnombrescomplexes.

Sommaire

1Matricesymtriquerelledfiniepositive1.1Exempledebase1.2Exemple:matricedeHilbert1.3Intrtdesmatricesdfiniespositives

2Matricehermitiennedfiniepositive3Proprits4CritredeSylvester5Voiraussi6Notesetrfrences

Matricesymtriquerelledfiniepositive

Soit unematricesymtriquerelled'ordre .Elleestditedfiniepositivesiellevrifiel'unedestroispropritsquivalentessuivantes:

1. Pourtoutematricecolonnenonnulle lmentsrels,ona

.

(autrementdit,laformequadratiquedfiniepar eststrictementpositivepour )

2. Touteslesvaleurspropresde sontstrictementpositives,c'estdire:

.

(o estlespectrede ,reprsentantdoncl'ensembledesvaleurspropres)

3. Laformebilinairesymtriquedfinieparlarelation



estunproduitscalairesur (identifiicil'espacevectorieldesmatricescolonnes lmentsrels).

Unematricesymtriquerelleestditedfiniengativesisonoppose(symtriqueelleaussi)estdfiniepositive.

Laproprit1signifieque dfinitsur uneformequadratiquedfiniepositive,laproprit2que

sur ,vucommeespaceeuclidienavecleproduitscalaire , dfinitun

oprateurautoadjointpositif.L'quivalenceentre1et2vientdecettedoubleinterprtation,lalumiredelarductiondeGaussetduthormespectral.Si1estvraie,sachantquelesvaleurspropresd'unematricesymtriquerellesontrelles,onvoitenappliquant1auxvecteurspropresquelesvaleurspropressontstrictementpositives.Puisquetoutematricesymtriquerelleestdiagonalisable(cfDcompositionspectrale),ilexisteunematriceorthogonale (dontlescolonnessontdesvecteurspropresde )etunematricediagonale (dontlescoefficientsdiagonauxsontlesvaleurspropresde

)tellesque

.

Puisque ,lamatrice estaussicongruelamatricediagonaleenquestion,donclaformequadratique estdfiniepositive.

Exempledebase

Pourtoutematricerelle ,lesmatricessymtriques et sontpositivesellessontdfiniespositivessietseulementsi estinversible.LesmatricesdeGramdonnentunexempledecettesituation.

Plusprcisment,c'estunexemplegnrique,puisque:

Unematrice estdfiniepositivesietseulementsionpeuttrouverunematrice inversibletelleque ,c'estdiresietseulementsielleestcongruentelamatriceidentit.

Lamatrice n'estpasunique.Ellel'estsionimposequ'ellesoitellemmedfiniepositive.

Si ,alors ,etsicetermeestnul,alors ,etsil'onsupposeAinversible,alorsxestnul.

Inversement,si estdfiniepositive,elleestdiagonalisableavecunematricedepassageorthogonale(puisquesymtriquerelle),lamatrice ayantdesvaleurspropresstrictementpositives.Ilsuffitdedfinirlamatrice commetantlamatricediagonaledontlestermesdiagonauxsontlesracinescarresdes ,etdeposer ,caralors .Sil'onveutunematricedfiniepositive,ilsuffitdeposerplutt .

Exemple:matricedeHilbert

Articledtaill:MatricedeHilbert.



OnappellematricedeHilbertlamatrice(symtriqued'ordre ) ,telleque

.Elleestdfiniepositive.

Eneffet,soitunematricecolonnequelconque lmentsrels .

Onremarqueque .Alors,parlinaritdel'intgrale:

,

d'oenfin: .

Danscettedernireintgrale,l'intgrandeestcontinuetvaleurspositives.Parconsquent:

si ,alorspourtout .

Doncpourtout .

Ilenrsultequeles ,coefficientsd'unpolynmeadmettantuneinfinitderacines,sonttousnuls,c'estdire .

Ceciprouveque pourtoutematricecolonnenonnulle lmentsrels.

Nota:ceciestuncasparticulierd'unepropritdesmatricesdeGram.LamatricedeGramd'unefamillede vecteursd'unespaceprhilbertien(reloucomplexe)estdfiniepositivesietseulementsilafamilleestlibre.

Intrtdesmatricesdfiniespositives

Lesproblmesdersolutiondesystmeslinaireslesplusfacilestraiternumriquementsontceuxdontlesmatricessontsymtriquesdfiniespositives .Toutematricesymtriquerellepositiveestlimited'unesuitedematricessymtriquesrellesdfiniespositives,cequiestlabasedenombreuxraisonnementspardensit .

Matricehermitiennedfiniepositive

Ontendlespropritsetdfinitionsprcdentesauxmatricescomplexeshermitiennes.

Soit unematricehermitienned'ordre .Elleestditedfiniepositivesiellevrifiel'unedestroispropritsquivalentessuivantes:

1. Pourtoutematricecolonnenonnulle lmentscomplexes,ona

1

2



.

2. Touteslesvaleurspropresde sontstrictementpositives,c'estdire:

.

3. Laformehermitiennedfinieparlarelation

estunproduitscalairesur (identifiicil'espacevectorieldesmatricescolonnes lmentscomplexes).

Unematricehermitienneestditedfiniengativesisonoppose(hermitienneelleaussi)estdfiniepositive.

Proprits

Lespropritssuivantessontcommunesauxmatricessymtriquesrellesetauxmatricescomplexeshermitiennes.

1. Toutematricedfiniepositiveestinversible(dterminantrelstrictementpositif),etsoninverseestelleaussidfiniepositive.

2. Si estdfiniepositiveet estunnombrerelstrictementpositif,alors estdfiniepositive.

3. Si et sontdfiniespositives,alors estdfiniepositive.4. Si et sontdfiniespositives,etsi (onditqu'ellescommutent),alors

estdfiniepositive.5. Unematrice estdfiniepositivesietseulements'ilexisteunematricedfiniepositive telle

que danscecas,lamatricedfiniepositive estunique,etonpeutlanoter(voirl'articleracinecarred'unematrice).

Cettepropritestutilisepourladcompositionpolaire.

CritredeSylvester

Pourqu'unematrice ,rellesymtriqueoucomplexehermitienne,soitdfinie

positive,ilfautetsuffitqueles matrices pour de1 ,aientleurdterminantstrictementpositif,autrementditqueles mineursprincipauxdominantssoientstrictementpositifs.

Remarque1.Pour ,lecritredeSylvesterestessentiellementlecritredepositivitdutrinmeduseconddegr.

Remarque2.Plusgnralement,l'indiced'unematricesymtriquerelleestgalaunombredechangementsdesignesdanslasuitedeses mineursprincipaux(enincluant ),sousrservequetoussoientnonnuls.



Remarque3.Enfaitsuruncorps(commutatif)quelconque,cetteconditiondenonnullitdesmineursprincipauxestuneconditionncessaireetsuffisantepourqu'ilexisteunematrice triangulairesuprieuretelleque soitdiagonaleetderangmaximum(ilsuffitd'adapterladmonstrationquisuit).

Preuve.Notons laformequadratiqueassocie ,dfiniepar .

Laconditionestncessaire.Onremarqued'abordquesi estdfiniepositive,alors .Eneffet,parrapportunebaseorthogonalepourcetteformequadratique(ilenexiste,d'aprslarductiondeGauss),lamatricede s'crit les tanttousstrictementpositifs.Alors

( tantlamatricedepassage),donc .Lersultats'ensuit,enappliquantlemmeraisonnementlarestrictionde auxsousespaces ,pour

.

Montronsmaintenantquelaconditionestsuffisante.Onprocdeparrcurrencesurladimension.Pourc'estvidentpuisqu'endimension0l'ensembledesvecteursnonnulsestvide.Supposonsla

propritvraiepour etnotons .Parhypothsedercurrence, estdfiniepositive.Deplus, estnondgnre(parcequeledterminantde estnonnul)donc

Soient unvecteurnonnulde et .Alors et ontmmesigned'aprslemmeargumentquedanslapremirepartie(quimetimplicitementenjeulediscriminant),orparhypothse et sontstrictementpositifs.Donc ,sibienquelarestrictionde

est,elleaussi,dfiniepositive,cequimontreque estdfiniepositive.

Danslecascomplexe,lapreuveestanalogue,enconsidrantlaformehermitiennedfinieparlamatrice.

Voiraussi

FactorisationdeCholeskyPourtoutematricesymtriquedfiniepositive ,ilexisteunematricetriangulaireinfrieure telleque .

Notesetrfrences1. PhilippeG.Ciarlet,Introductionl'analysenumriquematricielleetl'optimisation,Dunod,Paris,1998,p.26.2. JeanVoedts,Coursdemathmatiques,MPMP*,Ellipses,Paris,2002(ISBN9782729806668),p.634.

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