Matriks

Matriks

Cakupan Bahasan

Pengertian Tentang Matriks Operasi-Operasi Matriks Putaran Matriks Sistem Persamaan Linier

Pengertian Dasar Matriks

Matrik adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlakukan sebagai suatu kesatuan.

Contoh-1.1:

123

421

302

baris

kolom

Notasi nama matriks: huruf besar cetak tebal,

123

421

302

A

203

142B

Contoh-1.2:

Notasi

Bilangan ini bisa berupa bilangan nyata atau kompleks. Kita terlebih dulu akan melihat matriks berisi bilangan nyata.


Elemen Matriks

Isi suatu matriks disebut elemen matriks

Contoh-1.3:

203

142B

2, 4, 1 dan 3, 0, 2 adalah elemen-emenen matriks yang membentuk baris-baris

2, 3 dan 4, 0, dan 1, 2 adalah elemen-elemen matriks yang membentuk kolom-kolom

Ukuran Matriks

Secara umum suatu matrik terdiri dari b baris dan k kolom, sehingga suatu matrik akan terdiri dari bk elemen-elemen

Ukuran matriks dinyatakan sebagai bk

Contoh-1.4:

203

142B adalah matriks merukuran 23

123

421

302

A

203

142B

b = k = 3 matriks bujur sangkar 33

4

2p 423q

Nama Khusus


Matriks dengan b = k disebut matriks bujur sangkar.

Matriks dengan k = 1 disebut matriks kolom atau vektor kolom.

Matriks dengan b = 1 disebut matriks baris atau vektor baris.

Matriks dengan b k disebut matrik segi panjang

Contoh-1.4:

b = 2, k = 3 matriks segi panjang 23

k = 1 vektor kolom

b = 1 vektor baris

Notasi nama vektor: huruf kecil cetak tebal

Secara umum, matriks A dapat kita tuliskan sebagai

bk

mnmm

n

n

a

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

A

elemen-elemen a11 …amn disebut diagonal utama

Diagonal Utama


Matriks Segitiga

Matriks segitiga ada dua macam yaitu matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas.

Matriks segitiga bawah adalah matriks yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.

Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol.

Contoh-1.5:


Matriks segitiga bawah :

343

011

002

1T

Matriks segitiga atas :

300

310

122

2T

Matriks Diagonal


Matriks diagonal adalah matriks yang elemen-elemen di atas maupun di bawah diagonal utamanya bernilai nol.

Contoh-1.6:

000

010

002

D

Matriks Satuan


Jika semua elemen pada diagonal utama adalah 1, sedang elemen yang lain adalah 0, matriks itu disebut matriks satuan.

Contoh-1.7:

IA

100

010

001

Matriks Nol

Matriks nol, 0, yang berukuran mn adalah matriks yang berukuran mn dengan semua elemennya bernilai nol.

Anak matriks atau sub-matriks

203

142B

142 203- Dua anak matriks 1 3 , yaitu:

3

2

0

4

2

1- Tiga anak matriks 2 1, yaitu:

- Enam anak matriks 1 1 yaitu: [2] , [4] , [1] , [3] , [0] , [2];

- Enam anak matriks 1 2 yaitu: 42 12 14

03 23 20

03

42

23

12

20

14- Tiga anak matriks 22 yaitu:


Contoh-1.7:

Matriks B memiliki:

Matriks dapat dipandang sebagai tersusun dari anak-anak matriks yang berupa vektor-vektor

123

421

302

A

3

2

1

a

a

a

A dapat kita pandang sebagai matriks

dengan anak-anak matriks berupa vektor baris

3021 a 4212 a 1233 a

dapat kita pandang sebagai matriks 321 aaaA

3

1

2

1a

2

2

0

2a

1

4

3

3a

dengan anak-anak matriks yang berupa vektor kolom


Contoh-1.8:

Contoh-1.9:

123

421

302

A

Kesamaan Matriks

Dua matriks A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika berukuran sama dan elemen-elemen pada posisi yang sama juga sama.

A = B

03

42AJika

03

42B maka haruslah .

Operasi Matriks, Kesamaan, Matriks Nol, Matriks negatif

Contoh-2.1:

Matriks Negatif

Negatif dari matriks berukuran mn adalah matriks berukuran mn yang diperoleh dengan mengalikan seluruh elemennya dengan faktor (1). .

Operasi Matriks, Kesamaan, Matriks Nol, Matriks negatif

Contoh-2.2:

03

42A

03

42A

Penjumlahan Penjumlahan dua matriks hanya didefinisikan untuk matriks yang berukuran sama

Jumlah dari dua matriks A dan B yang masing-masing berukuran mn adalah sebuah matriks C berukuran mn yang elemen-

elemennya merupakan jumlah dari elemen-elemen matriks A dan B yang posisinya sama

ABBA

CBACBA

03

42 A

22

31B

Jika

25

73BAmaka

Sifat-sifat penjumlahan matriks:

Operasi Matriks, Penjumlahan dan Pengurangan

Contoh-2.3:

Pengurangan Matriks

Pengurangan matriks dapat dipandang sebagai penjumlahan dengan matriks negatif

A0A

0AAAA )(

03

42 A

22

31B

21

11

22

31

03

42BA

Contoh-2.4:


Perkalian Matriks

Perkalian antara dua matriks A dan B yaitu C = AB hanya terdefinisikan jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B.

Dalam perkalian matriks, urutan hatus diperhatikan.

Perkalian matriks tidak komutatif.

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

A

pqmp

q

q

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

B

Jadi jika matriks A berukuran mn dan B berukuran pq

maka perkalian AB hanya dapat dilakukan jika n = p.


BAAB

Hasil kali matriks AB berupa matriks berukuran mq dengan nilai elemen pada baris ke b kolom ke k merupakan hasil kali internal (dot product) vektor

baris ke b dari matriks A dan vektor kolom ke k dari matriks B

Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar

Hasil kali suatu bilangan skalar a dengan matriks berukuran mn adalah matriks berukuran mn yang seluruh elemennya bernilai a kali.

aA = Aa

646

462

244

2

323

231

122

323

231

122

2

Perkalian matriks dengan bilangan skalar ini mempunyai sifat-sifat sebagai berikut

BABA aaa

AAA baba

AA abba

Operasi Matriks, Perkalian Matriks

Contoh-2.5:

Perkalian Internal Vektor (dot product)

32a

3

4bvektor baris: vektor kolom:

.

Contoh-2.6:

kolom = 2

baris = 2

Perkalian internal antara dua vektor a dan b yaitu c = ab hanya terdefinisikan jika banyak kolom vektor a sama dengan banyak baris

vektor b.

Dalam perkalian internal vektor, urutan perkalian harus diperhatikan.

1733423

4 32

bac

Jika urutan dibalik, b : 1 kolom, a : 1 baris, maka perkalian dapat dilakukan

96

128

3323

342432

3

4abd

perkalian internal dapat dilakukan

Perkalian matriks tidak komutatif.


Perkalian Matriks Dengan Vektor

43

12A

3

2bMisalkan dan

dapat dikalikan kolom = 2

baris = 2

18

7

3423

3122

2

1

2

1

ba

bab

a

aAbC

Jika urutan perkalian dibalik, perkalian tidak dapat dilakukan karena b terdiri dari satu kolom sedangkan A terdiri dari dua baris.

Contoh-2.7:


Perkalian Dua Matriks Bujur Sangkar


43

12A

35

24B dan

Contoh-2.8:


baris = 2

Matriks A kita pandang sebagai

2

1

a

aA

Matriks B kita pandang sebagai 21 bbB

1832

713

34235443

31225142

2212

211121

2

1

baba

bababb

a

aABC

Perkalian dua matriks persegi panjang


231

342A

32

34

21

B dan


baris = 3

1717

2525

323321224311

333422234412

32

34

21

231

342ABC

Contoh-2.9:

2

1

a

aA 21 bbB

2212

211121

2

1 baba

bababb

a

aABC

Pernyataan matriks dengan anak matriks pada contoh-2.8 adalah

,

sehingga

.


Dalam operasi perkalian matriks, matriks yang pertama kita susun dari anak matriks yang berupa vektor baris sedangkan matriks yang kedua kita susun dari anak matriks yang berupa vektor kolom. Jadi perkalian matriks adalah perkalian dari baris ke kolom

BAABBA aaa

CABBCA

BCACCBA

CBCABAC

Perkalian matriks mempunyai sifat sebagai berikut.

b. Tidak komutatif. Jika perkalian AB maupun BA terdefinisikan, maka pada umumnya AB BA

a. Asosiatif dan distributif terhadap penjumlahan

Jika AB = 0 tidak selalu berakibat A = 0 atau B = 0.

c. Hukum pembatalan tidak selalu berlaku.


Putaran Matriks

Putaran Matriks

Putaran matriks atau transposisi dari matriks A berukuran m×n adalah suatu matriks AT yang berukuran n×m dengan kolom-kolom matriks A sebagai baris-barisnya yang berarti pula bahwa baris-baris matriks A menjadi kolom-kolom matriks AT

bk

mnmm

n

n

a

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

A

pq

mnnn

m

m

a

aaa

aaa

aaa

21

22212

12111

TA

Jika

maka

Putaran Vektor Baris Dan Vektor Kolom

Putaran Matriks

Putaran vektor baris akan menjadi vektor kolom. Sebaliknya putaran vektor kolom akan menjadi vektor baris.

3

4

2

342 Taa

345

3

4

5T

bb

Contoh-3.1:

Putaran Jumlah Dua Vektor Baris

Putaran Matriks

Putaran jumlah dua vektor baris sama dengan jumlah putaran masing-masing vektor

231dan 342 ba

573ba

TTT

2

3

1

3

4

2

5

7

3

baba

TTT baba

Jika

maka

Secara umum :

Contoh-3.2:

Putaran Hasil Kali Vektor Baris Dan Vektor Kolom

Putaran Matriks

Putaran hasil kali vektor baris dengan vektor kolom atau vektor kolom dengan vektor baris, sama dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan dibalik

2

3

1

dan 342 ba

233412 ab

Jika

maka

Contoh-3.3:

TTT

3

4

2

231233412 abab

Putaran Matriks

Contoh-3.4:

Jika 231dan

3

4

2

ba

maka

233313

243414

223212

ab

TTT 342

2

3

1

232422

333432

131412

abab

Secara umum :

TTT abab

Putaran Matriks

Contoh-3.5:

Putaran Matriks Persegi Panjang

231

342A

23

34

12TAJika maka

ma

a

A 1

TT1

TmaaA

Jika matriks A dinyatakan sebagai susunan dari vektor baris

maka

maaaA 21Jika matriks A dinyatakan dengan vektor kolom

ma

a

A 1

T maka

Putaran Matriks

Putaran Jumlah Matriks

Putaran jumlah dua matriks sama dengan jumlah putaran masing-masing matriks. Hal ini telah kita lihat pada putaran jumlah vektor baris.

TTT BABA

maaA 1 mbbB 1

mm babaBA 11

Jika

Dengan demikian

dan

maka

TT

T

T1

T

T1

TT

T1

T1

T

T11

T BA

b

b

a

a

ba

ba

ba

ba

BA

mmmmmm

Putaran Hasil Kali Matriks

Putaran hasilkali dua matriks sama dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan yang dibalik. Hal ini telah kita lihat pada putaran hasil kali vektor baris dan vektor kolom.

TTT ABAB

ma

a

A 1

nbbB 1

nmnm

n

baba

baba

AB

111

Jika dan maka

TT1

1111T ABaa

b

b

baba

baba

AB

m

nnmnm

n

Dengan demikian maka

Putaran Matriks

Putaran Matriks

Matriks Simetris

Jika

dikatakan bahwa matriks B adalah simetris miring.

BB T

Berkaitan dengan putaran matriks, kita mengenal kesimetrisan pada matriks nyata.

Matriks simetris adalah matriks yang putarannya sama dengan matriksnya sendiri. Jadi matriks A dikatakan simetris apabila

AA T

Karena dalam setiap putaran matriks elemen-elemen diagonal utama tidak berubah nilai,

maka matriks simetris miring dapat terjadi jika elemen diagonal utamanya bernilai nol.

Courseware

Matriks

Sudaryatno Sudirham

Documents

Matriks