JU “ GIMNAZIJA OBALA “ ; Sarajevo

MATURSKI RAD IZ MATEMATIKE

TEMA: Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Mentor:Hrbat Maja, prof matematike Učenik:Dević Sanela IV-3

Sarajevo, mart 2010

SADRŽAJ

Uvod.....................................................................................................................................3

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja……………………………………………..3-7

Množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku……………….7-9

Stepenovanje i korjenovanje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku……...9-15

Primjena i primjeri iz svakodnevnog života………………………………………….16-17

Kratka historija nastanka kompleksnih brojeva……………………………18-25

Literatura…………………………………………………………………………………30

2

UVOD

Tema ovog maturskog rada je trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Kao prvo,

postavlja se pitanje zasto se uopšte uvodi trigonometrijski oblik kompleksnog broja.

Podsjetimo se da smo u svakom novom skupu brojeva mogli uvesti neku novu operaciju.

Tako smo u skupu mogli oduzimati (tj. dobili smo inverzne elemente u

odnosu na sabiranje), u skupu smo mogli dijeliti (tj. dobili smo inverzne elemente u

odnosu na množenje), a u skupu R smo mogli računati potencije pozitivnih brojeva i

kada je eksponent racionalan broj, tj. mogli smo vaditi korijene iz pozitivnih brojeva). U

skupu C je pak moguće vaditi korijene iz svih komplesnih brojeva. Također, u skupu

je za i jednačinaa imala najviše dva rješenja (ovisno o predznaku

broja a i parnosti broja n), no u skupu C ona će uvijek imati tačnono n rješenja.

Da bismo na jednostavan način vadili korijene iz kompleksnih brojeva uvodi se novi

način zapisivanja kompleksnoih brojeva tj. trigonometrijski oblik kompleksnog broja.

Zaključak se odosi na primjenu kompleksnih brojeva u fizici, prije svega, ali i u

svakodnevnom životu.

3

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Poznato je da kompleksnom broju

(1)

možemo pridružiti (obostrano jednoznačno) tačku M (x,y) koordinatne ravni. Označimo

sa udaljenost tačke M (x,y) od koordinatnog početka, a sa

orijentisani ugao između pozitivnog dijela x-ose i vektora (radijus-vektor položaja

tačke M (x,y).

Sa slike nalazimo:

(2)

(3)

Iz (1) i (2) dobivamo:

(4)

Izraz (4) zovemo trigonometrijski oblik kompleksnog broja z.

- modul kompleksnog broja z

- argument kompleksnog broja z.

4

Definicija (argumenta): Neka je M (x,y) tačka koja predstavlja kompleksan broj

. Svaki mjerni broj orijentisanog ugla koji čini radijus vector sa

pozitivnim dijelom x-ose zove se argument broja z i označava se sa Arg z. Argument

broja z koji zadovoljava uvjet zove se glavna vrijednost argumenta broja z i

označava se arg z.

Uglu (x, ) odgovara tačno jedan mjerni broj koji se nalazi u intervalu , dok

se svi ostali mjerni brojevi ugla (x, ) dobiju po formuli

.

Iz navedenog zaključujemo broj = Arg z je određen kompleksnim brojem samo do

sabirka , dok je broj arg z potpuno određen brojem z i važi:

tj. ima beskonačno mnogo vrijednosti.

Pokažimo sada kako određujemo i iz zadanog broja .

Ako je iz (3) slijedi =0 pa je (4) zadovoljeno za svaki realan broj

. Za određivanje glavne vrijednosti argumenta imamo:

Ako je i >0 (y<0) onda je , ;

Ako je onda =argz određujemo rješavanjem jednačine

(x=Rez, y=Imz)

uz uvjet da je:

, ako je x>0 i y>0 (tačka M (x,y) je u prvom kvadrantu),

, ako je x<0 i y>0 (tačka M (x,y) je u drugom kvadrantu),

, ako je x<0 i y<0 (tačka M (x,y) je u trećem kvadrantu),

, ako je x>0 i y<0 (tačka M (x,y) je u četvrtom kvadrantu).

Na osnovu izloženog o glavnom argumentu kompleksnog broja treba naglasiti da

jednačina

5

(5)

nije ekvivalentna sistemu

, , (6)

Istina, svako rješenje sistema (6) jeste i rješenje od (5), međutim ,

pokazuje da su i rješenja od (5) ali da jedan od tih brojeva

nije rješenje od (6). Imajući sve ovo u vidu, aposebno ova ograničenja za , onda

formule i koristimo za transformaciju kompleksnog broja , iz

oblika u trigonometrijeski oblik .

Primjer1:

Predstaviti u trigonometrijskom obliku broj:

,

jer je općenito

(jer su lukovi i

komplementni) odakle za dobivamo . Dalje je

Odakle zbog slijedi . Znači

.

, pa je , jer se tačka (-1,-1) nalazi u trećem kvadrantu.

6

Prema tome imamo

Teorema:

Dva kompleksna broja i zadana u trigonometrijskom obliku ,

jednaka su onda i samo onda kada je

, , .

Dokaz: Ako je imamo

, (7)

pa je odavde

(8).

Iz (7) i (8) imamo , što daje , , i obrnuto,

ako je , , tada je očigledno .

Množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja pogodan je za množenje i dijeljenje

kompleksnih brojeva.

Ako su

,

dva zadana kompleksna broja onda je:

, (2)

Iz formule (2) slijedi:

, ,

Dakle, kompleksni brojevi zadani u trigonometrijskom obliku množe se tako da im se

moduli pomnože a argumenti saberu.

7

Primjer2:

Naći proizvod kompleksnih brojeva:

, z

.

Za količnik vrijedi:

)sin(cos

)sin(cos

111

222

1

2

i

i

z

z

=

.

Imamo dakle na osnovu teoreme o jednakosti kompleksnih brojeva:

Pa je modul količnika jednak količniku modula djeljenika i djeljitelja, dok je argument

količnika jednak razlici argumenta djeljenika i argumenta djeljitelja.

Primjer3:

Naći količnik kompleksnih brojeva:

i

8

Napomena: Formula za množenje kompleksnih brojeva zadana u trigonometrijskom

obliku lahko se proširuje matematičkom indukcijom na slučaj proizvoda n kompleksnih

brojeva . Prema tome, n kompleksnih brojeva oblika

množe se na sljedeći način:

.

Stepenovanje i korjenovanje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom

obliku

Ako u jednakosti

stavimo dobit ćemo

Slično imamo i za:

,

Neka je

tada je

Uopće, ako u jednakosti

stavimo dobit ćemo

(1).

Na osnovu teoreme o jednakosti kompleksnih brojeva iz formule (1) slijedi:

, .

Dakle, kompleksan broj se stepenuje prirodnim brojem n tako što se njegov modul

stepenuje sa n, a argumene pomnoži sa n.

9

Jednostavnost formule (1) pokazuje da stepenovanje još više nego množenje i djeljenje

kompleksnih brojeva, opravdava cjelishodnost uvođenja trigonometrijskog oblika

kompleksnog broja.

Formulu (1) otkrio je francuski matematičar Moivre (Moavr), pa se ona po njemu i

naziva Moivreova formula.

Specijalno za iz (1) dobivamo

.

Primjer4:

Primjenom Moivreove formule izračunati:

a) b)

a) =

Abram de Moavr emigrira iz Francuske u Englesku 1685. po ukidanju ukaza iz Nanta i izgnanstvom Hugenota. Živeo je

siromašno, te je kao stalni gost “Slaughter's Coffee House, St. Martin's Lane at Cranbourn Street“ zarađivao je novac igrajući šah.

Poznat po “Moavrovoj formuli“, koja povezuje kompleksne brojeve i trigonometriju i po radu na “normalnoj distribuciji“ i “teoriji

slučaja“, godine 1697. izabran je kao član Naučne akademije (Royal Society) u Londonu. Godine 1718, De Moavr je napisao knjigu o

teoriji verovatnoće nazvanoj “Doktrina sreće“ (The Doctrine of Chances).

Korjenovanje kompleksnog broja

Definicija: Neka je dati kompleksni broj; n-tim korijenom

kompleksnog broja z nazivamo takav kompleksan broj čiji je n-ti stepen jednak broju z.

Znači,

10

Za n-ti korijen kompleksnog broja vrijedi:

Teorema:

Za svaki kompleksan broj postoji n različitih vrijednosti tj. jednačina ,

gdje je z bilo koji zadan kompleksan broj različit od nule, ima tačno n različitih rješenja.

Dokaz:

Neka je dat kompleksan broj , )0( z

i neka je

,

gdje je broj koji treba odrediti. Na osnovu definicije je tj

Odakle na osnovu jednakosti kompleksnih brojeva zaključujemo

, tj.

,

gdje je aritmetička vrijednost korjena.

Dakle, sada imamo

( (1)

U formuli (1) broj k može imati bilo koju cijelu vrijednost. Međutim, pokazat ćemo da

postoji tačno n različitih vrijednosti n-tog korjena broja z i da se one dobiju ako je

Dakle, tvrdimo da su sve vrijednosti k=0,1,2,…,(n-1) među sobom različite.

Pretpostavimo suprotno tj. da postoje bar dva različita indeksa

formula za koje je a ovo bi značilo da je

tj.

što je nemoguće jer je i s cijeli broj.

11

Pokažimo još da za svaki cijeli broj takav da vrijedi

Broj možemo predstaviti u obliku (q Z)

odakle je

Što znači da je

Prema tome ima tačno n različitih vrijednosti koje odgovaraju vrijednostima

k = 0,1,2…..,n-1;

(2)

i to su:

Ovim je teorema dokazana.

Vrijednost

(2)

Zove se glavna vrijednost n-tog korjena broja Z

12

Iz izraza (2) za neposredno zaključujemo da Morvreova formula vrijedi i za

razlomljene eksponente tj. da je

ako je z =

Iz izraza (2) za vrijednost mozemo primjetiti da su moduli svih vrijednosti jednaki

to znači tačke koje odgovaraju tim brojevima nalaze se na kružnici poluprečnika i

centrom u tački O; pri tome poluprečnici ma kojih dviju uzastopnih tačaka grade ugao

.

Prema tome, korijeni su tjemena pravilnog n-tougla upisanog u krug poluprečnika

Na osnovu toga zaključujemo da svaka binarna j-na

( n-prirodan broj, dati kompleksan broj) ima n korjena;

Tačke koje ovim korjenima odgovaraju leže na krugu poluprečnika sa centrom u

koordinantnom početku.

Primjer4: Naći sve vrijednosti

Napišimo z=-64 u trigonometrijskom obliku

-64=64

Prema formuli (2) imamo

13

(k=0,1,2,3,4,5)

Slijedi:

Tacke su tjemena pravilnog šestougla u kružnici poluprečnika 2 s

centrom u koordinatnom početku.

14

Primjene i primjeri iz realnog života

Kompleksni brojevi su sastavni dio kvantne fizike. Najčešća primjena kompleksnih

brojeva je kod elektromagnetizma i naizmjenične struje.

Kompleksnim brojevima mjeri se:

Jačina elektromagnetnog polja

Taj broj će biti čisto realan ako je polje električno i nema magnetnih komponenti, a čisto

imaginaran ako je polje magnetno i nema električnih komponenti.

Induktivitet vodiča koji se kreće kroz elektromagnetno polje

Stanje komponenti električne struje

Broj je čisto realan ako postoji napon duž vodiča, ali nema toka kroz vodič i čisto

imaginaran ako postoji tok kroz vodič, ali nema napona duž vodiča.

Einsteinov-a teorija relativnosti

15

Odgovor na pitanje: Da li je moguće putovati brzinom većom od brzine svjetlosti ? , nije

jednostavan niti je odgovor još uvijek poznat.

Einsteinova teorija relativnosti i njegova formula dilatacije vremena govori

o usporavanju protoka vremena što je brzina bliža brzini svjetlosti.

Ako je brzina mala vrijeme će teći normalno, vrijednost ispod korijena je pozitivan broj.

Ako je brzina bliža brzini svjetlosti protok vremena se sve više usporava.

Ako je brzina jako blizu svjetlosnoj brzini (98%) tada će putnik koji putuje 1 godinu kada

se vrati na Zemlju zaključiti da je tamo prošlo 4 godine.

Kod same brzine svjetosti vrijeme se beskonačno uspori!

Područje u kojem je brzina manja od brzine svjetosti možemo nazvati područjem realnog

vremena.

Ako brzina je veća od svjetlosne brzine tada je ispod drugog korjena negativan broj i

izraz postaje imaginaran.

Sada se nalazimo u području imaginarnog, a ne realnog vremena.

Kako se ubrzava to se i dalje u imaginarnom području ubrzava i vrijeme, te bi npr.

putnik koji putuje pri 200% svjetlosne brzine jednu godinu, pri povratku na Zemlju

ustanovio da je prošlo samo 7 mjeseci.

No ovo su samo nagađanja koja nemaju realnog fizikalnog znacđčenja.

Niko ne zna da li je to moguće i što bi se pri tome događalo!

16

Kratka historija nastanka kompleksnih brojeva

Kompleksni brojevi nisu nastali iz potrebe, kao što je uobičajeno mišljenje, rješavanja

kvadratnih jednačina , npr. , već iz potrebe rješavanja kubnih jednačina.

Sljedeće činjenice prikazuju razvoj kompleksnih brojeva kroz historiju i daju podršku

navedenoj tvrdnji:

1. Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (780-850), arapski matematičar, rođen u

Khwarizm (sada Khiva, Uzbekistan) u svom djelu Kitab al-jabr w’al Muqabalah navodi

rješenja različitih tipova kvadratnih jednačina. Njegova rješenja kvadratnih jednačina

odnose se samo na pozitivna rješenja. U svom djelu on daje dokaze koji su geometrijski

utemeljeni i čini se da imaju izvore u grčkoj i hinduskoj matematici.

17

2. Omar Khayyam (oko 1050-1122), perzijski matematičar, astronom i autor

najpoznatijih poema, rođen u Neyshabur (Nishapur, sada Iran) u 12. vijeku daje

geometrijska rješenja nekih kubnih jednačina koristeći konusne presjeke.

3. Latinski prevod Gerarda da Cremona (1114-1187) Al-Khwarizmi–evog djela, kao i rad

Leonardo da Pisa (1170-1250 ), poznatijeg kao Leonardo Fibonacci, omogućili su i

italijanskim matematičarima da se upoznaju sa metodama algebre koje su uveliko bile

poznate arapskim matematičarima. Oko 1225, Fibonacci je gostovao na dvoru, za vrijeme

boravka cara Frederick-a II na Siciliji. Lokalni matematičari postavili su probleme, koje

je Leonardo trebao da riješi . Jedan od problema je bio iz knjige Omar-a Khayyam-a :

problem rješenja kubne jednačine

.

Leonardo Fibonacci, dokazao je da ova jednačina nema rješenja kako u skupu cijelih,

tako ni u skupu racionalnih brojeva. On je našao pibližnu aproksimaciju rješenja s

tacnošcu na devet decimala, koristeci arapske metode sukcesivnih aproksimacija.

4. Svođenje opće kubne jednačine oblika

na kubnu jednačinu bez kvadratnog člana

linearnom supstitucijom (1)

prvi put se pojavljuje u dva anonimna rukopisima blizu Firence krajem 14-tog vijeka.

U slučaju kada su dopušteni samo pozitivni koeficijenti i pozitivne vrijednosti x , tada su

moguća samo tri slučaja kubne jednačine :

(1)

(2)

18

(3)

Scipione del Ferro (1465-1526) profesor Univerziteta u Bolonji, prvi je otkrio formulu za

rješenja jednačine oblika (1) oko 1515 godine, ali svoje rezultate je čuvao u tajnosti . Na

samrti, del Ferro povjerava dobivene rezultate svom zetu Hanibalu Naveu i svom učeniku

Antoniu Maria Fioreu.

Antonio Maria Fiore, osrednji matematičar, u poznavanju tajne metode rješavanja kubne

jednačine vidio je šansu da dođe do slave i novca. Želeći da postane poznat izazvao je

italijanskog matematičara Niccolò Fontana (1500-1557) poznatijeg kao Tartaglia na

matematički dvoboj 1535 godine. Svaki od njih trebao je zadati drugom po 30 zadataka s

rokom rješavanja do 50 dana. Kako se Fiore hvalio da zna tajnu rješavanja kubne

jednačine oblika (1) Tartaglia je očekivao da ce mu dati jednačine tog tipa. Noć uoči

natjecanja Tartaglia smišlja metodu njihova rješavanja. Kad je došao dan dvoboja,

njegovo očekivanje pokazalo se tačnim : Fior mu je dao zadatke isključivo tipa (1) , no

Tartaglia ih je uspio riješiti za dva sata. Nasuprot tome, Tartaglia je Fioru zadao razne

zadatke, koje Fior nije uspio riješiti.

(2) početnu promjenljivu zamijenimo sa koji je jednak umanjenom za trećinu koeficijenta uz

kvadratni član

Za Tartaglinu pobjedu saznao je milanski liječnik, matematičar i kockar Gerolamo

Cardano (1501-1576), jedan od najneobičnijih ličnosti historije matematike. Cardano,

saznavši za nove događaje vezane uz rješavanje, tada iznimno popularnog problema

kubne jednačine, poziva Tartagliu da ga posjeti u Milanu. Po dolasku u Milano Tartaglia

Cardanu otkriva metodu rješavanja kubne jednačine u stihu, ali samo uz uvjet da se

Cardano zakune da je neće objaviti sve dok je on, Tartaglia, sam ne objavi.

Kad su kub i stvari skupa

Jednaki nekom diskretnom broju

Nađi druga dva broja

Koji se za taj razlikuju

Tad ćeš to zadržati kao naviku

Da im je proizvod uvijek jednak

Tačno kubu trećine od stvari

Ostatak tad kao opće pravilo

19

Od njihovih oduzetih kubnih korijena

Bit će jednak tvojoj osnovnoj stvari .

Saznavši o formuli, Cardano je bio u mogućnosti rekonstruirati metodu rješavanja kubne

jednačine.

Dakle, treba riješiti sistem jednačina

Rješenje x polazne jednačine dobije se kao razlika kubnih korijena iz u i v.

Polazeći od Tartaglinog rješenja, Cardano zajedno sa svojim studentom Lodovicom

Ferrarijem (1522-1565) razvio je metodu rješavanja primjenjivu na sva tri tipa kubnih

jednačina.

Ferrari dalje izvodi i metodu za rješavanje jednačine četvrtog stepena.

Kad Cardano sazna da je formulu tridesetak godina prije otkrio del Ferro, a ne Tartaglia

odluči da je objavi u svom najpoznatijem djelu Ars Magna (1545.).

Cardano daje detaljni opis metode za rješavanje jednačina trećeg i četvrtog stepena i pri

tom spominje del Ferro-a i Tartagliu kao autore.

Prilikom rješavanja jednačine oblika (2) Cardano uočava problem, koji nije bio prisutan

pri rješavanju jednačine oblika (1).

Problem : mogućnost da se kvadratni korijen negativnog broja pojavi u numeričkom

izrazu date formule.

Uvodenjem supstitucije

u jednačinu

dobivamo

Uvrštavajući u prethodnu jednačinu dobivamo

To jest, suma i proizvod od dva kuba su poznati.

Prethodne jednačine izračunavamo pomoću jednačina drugog stepena i dobivamo

20

I ako su korijeni negativnih brojeva, bili poznati i ranije, još starogrčkim matematičarima,

Cardano u svom djelu Ars Magna izbjegava raspravu o ovom slučaju .

Npr. treba riješiti klasičan primjer kubne jednačine .

Nakon primjene formule, imamo

U ovom slučaju, Cardan tvrdi da opća formula nije primjenjiva (jer imamo kvadratni

korijen iz -121).

Medutim , B. L. van der Waerden(6), tvrdi

" Cardano je u algebru prvi uveo kompleksne brojeve oblika , ali je imao

nedoumice u vezi s njima. "

Kompleksni brojevi nisu nastali iz ovog primjera , ali su neraskidivo povezani sa

rješenjima kubne jednačine.

5. Rafael Bombelli (1526-1572) italijanski matematičar, u svom djelu l'Algebra (1572 i

1579), polazeći od kubne jednačine , nakon primjene Cardano-ove formule,

dobija

Bombelli uočava da kubna jednačina ima rješenje , a zatim pokušava

da izraze dobijene pomoću Cardano-ove formule predstavi kao drugi prikaz za .

Da bi to postigao stavlja

i

gdje su i realni brojevi.Također, uvodi notaciju i naziva je“ pi´u di meno ” –

više nego manje.

U osnovi on posmatra brojeve oblika

tj. brojeve oblika

i primjenjuje uobičajena pravila algebarskog računa u radu s njima.

21

6. René Descartes (1596-1650) francuski matematičar i filozof čiji čuveni orginalni rad,

La Géométrie, uključuje primjenu algebre u geometriji. U svom djelu dao je geometrijsko

značenje za četiri elementarne računske operacije i vađenje kvadratnog korijena. Zatim je

, konstatovao da euklidska geometrija je zasnovana na aritmetičkoj strukturi, tj. na

strukturi realnih brojeva.

Albert Girard 1620 godine sugerisao je da jednačina može imati onoliko rješenja koliki je

njen stepen.

René Descartes u La Géométrie postavlja sljedeći princip :

“ Ako je n stepen polinoma P(x) , onda jednačina P(x)=0 ima tačno n rješenja “

7. John Wallis (1616-1703) norveško-danski istraživač i matematičar , u svojoj Algebri

bilježi da negativni brojevi, tako dugo posmatrani s podozrenje, imaju savršeno dobro

fizičko objašnjenje. Objašnjenje je bazirano na pravoj na kojoj je označena tačka nula,

pozitivni brojevi su brojevi na pravoj s desne strane tačke nula, a negativni brojevi su

brojevi na pravoj s lijeve strane tačke nula.

Također, on je napravio napredak dajući geometrijsku interpretaciju za .

1673 John Wallis konstruisao je geometrijske slike kompleksnih brojeva koje su slične

onima koje danas koristimo. On je bio zainteresiran za rješavanje kvadratne jednačine

oblika

Koristeći formulu, za rješenja kvadratne jednačine, dobit ćemo korijene jednačine

koji su realni akko je . Wallis je zamislio da su

ovi korijeni jednačine pomaci u

lijevo i desno od tacke za

vrijednost što je dužina

stranice pravouglog trougla

prikazanog na sl.1.1.

22

Tačke P1 i P2, predstavljaju korijene jednačine , što je očigledno ako je

Ali postavlja se pitanje kako bi prikazali tačke P1 i P2, kada predstavljaju negativne

korijene jednačine tj. ako je ?

Wallis je razmišljao da , s negativnim korijenima, b će biti manje od c, tako da je dužina

b na sl.1.1 više ne bi mogla doći sve do x ose.

Umjesto toga, ona će prestati negdje iznad nje, kao što prikazuje sl. 1.2.

Wallis je tvrdio da tacke P1 i P2,

trebaju predstavljati geometrijske

lokacije rješenja

i

kada je . Kako je b kraća

od c, to više nije mogla biti

hipotenuza u pravouglom trouglu

kao što je bila ranije. Stranica dužine

c sada ima tu ulogu.

Wallis-ova metoda imala je neželjene posljedice da je ( u slučaju kada

)

Ipak, ovo tumačenje je pomoglo da se o kompleksnim brojevima razmišlja kao o tačkama

u ravni.

8. Jean-Robert Argand (1768-1822) bio je pariški

knjigovođa. Argand 1806 godine izradio je mali

letak koji na naslovnoj stranici nije sadržavao

njegovo ime već samo naslov eseja " Essay on the

Geometrical Interpretation of Imaginary Quantities

". Jedan primjerak tog eseja završava u rukama

poznatog matematičara A. Legendre (1752-1833).

U pismu svom prijatelju Francois Francais,

profesoru matematike Legendre opisuje Argand-ov

23

rad. Nakon Francaisove smrti, njegove radove naslijedio je njegov brat Jaques, profesor

vojne umjetnosti i matematike . On pronalazi Legendre-ovo pismo i 1813 godine u

časopisu u Annales de Mathémathiques Jaques objavljuje članak o osnovama

kompleksnih brojeva. U posljednjoj tački članka, Jaques priznaje da je rad djelo

nepoznatog autora i podstiće ga da se javi. Argand saznaje o svom radu i šalje svoj

odgovor u sljedećem broju časopisa.

J. R. Argand (1806, 1814) uveo je termin " modul " za apsolutnu vrijednost kompleksnog

broja. Argand-ovim dijagramom ili kompleksnom ravni naziva se bilo koja ravan sa

parom međusobno ortogonalnih pravih, koje koristimo za vizualizaciju kompleksnih

brojeva u ravni tako što kompleksni identifikujemo sa tačkom u ravni čije su

koordinate . Argand je poznat i po geometrijskom prikazu kompleksnog broja

gdje i predstavlja rotaciju za 90°

9. Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

Postoje indicije da je čuveni matematičar Gauss znao za geometrijski interpretaciju

kompleksnog broja od 1796. godine, ali da je nije objavio do 1831.godine, kada je

predstavio svoje ideje Royal Society u Göttingen-u.

U svojoj doktorskoj tezi 1797 objavio je prvi korektan dokaz fundamentalnog teorema

algebra, ali je još uvijek tvrdio " istinska metafizika kvadratnog korijena od -1 je

iskjučiva ".

1831 Gauss nadvladava neke od svojih sumnji vezanih za kompleksne brojeve i

objavljuje rad geometrijske reprezentacije kompleksnih brojeva kao tačaka u ravni.

Gauss uvodi izraz kompleksni broj.

U pismu Bessel-u 1811, Gauss pominje teorem koji ce kasnije biti poznat kao Cauchy-ev

teorem.

10. Augustin Louis Cauchy (1789-1857) zasnovao je teoriju kompleksnih funkcije 1814 u

svom naučnom radu dostavljenom francuskoj Académie des Sciences.

Pojam analitičke funkcije nije se još spominjao , ali koncept jeste.

Cauchy 1847.godine izgrađuje skup kompleksnih brojeva kao

24

LITERATURA:

1. Džubur Nataša, Matematika sa zbirkom zadataka, za IV razred srednje škole, IP

“SVJETLOST” , Sarajevo 2006

2. Huskić Adem, Matematika za drugi razred gimnazije i drugih srednjih škola,

IP “SVJETLOST” , Sarajevo 2006

3. Karamata Jovan, Kompleksan broj sa primjenom na elementarnu geometriju,

Izdavačko preduzeće narodne Republike Srbije, Beograd 1950

Internet

http:www.e-math.com

http:www.matematiranje.com

25