Maturski rad iz modelovanja u fizici: Generatori pseudo – slučajnih brojeva

Maturski rad iz modelovanja u fizici:Maturski rad iz modelovanja u fizici:

Generatori pseudo – Generatori pseudo – slučajnih brojevaslučajnih brojeva

MentorMentor::

Jugoslav KaramarkoviJugoslav Karamarkovićć Strahinja BonićStrahinja Bonić

Slučajne promenljiveSlučajne promenljive

Slučajna promenljivaSlučajna promenljiva je veličina koja na je veličina koja na numerički način opisuje ishod nekog numerički način opisuje ishod nekog eksperimenta (ogleda) sa slučajnim eksperimenta (ogleda) sa slučajnim ishodom.ishodom.

Slučajne promenljive se dele na Slučajne promenljive se dele na diskretnediskretne i i kontinualnekontinualne. Ako je skup ishoda ogleda . Ako je skup ishoda ogleda konačan ili prebrojivo beskonačan onda je konačan ili prebrojivo beskonačan onda je u pitanju diskretna, a ako je neprebrojivo u pitanju diskretna, a ako je neprebrojivo beskonačan u pitanju je kontinualna beskonačan u pitanju je kontinualna slučajna promenljiva. slučajna promenljiva.

Slučajne promenljiveSlučajne promenljive

Posmatrajmo kontinualnu slučajnu Posmatrajmo kontinualnu slučajnu promenljivu x koja može da uzme promenljivu x koja može da uzme bilo koju vrednost iz intervala bilo koju vrednost iz intervala (x1,x2).(x1,x2).

Ako postoji funkcija g(x) definisana Ako postoji funkcija g(x) definisana na intervalu (x1,x2) takva da g(x1)dx na intervalu (x1,x2) takva da g(x1)dx predstavlja verovatnoću da slučajna predstavlja verovatnoću da slučajna promenljiva uzme vrednost u interva-promenljiva uzme vrednost u interva-lu (x1, x1+dx) onda se funkcija g(x) lu (x1, x1+dx) onda se funkcija g(x) naziva funkcija gustine raspodele. naziva funkcija gustine raspodele.

SluSlučajni brojevičajni brojevi

Definicija: Slučajna promenljiva Definicija: Slučajna promenljiva ZZ sa sa uniformnom raspodelom na intervalu uniformnom raspodelom na intervalu (0,1) naziva se slučajan broj. (0,1) naziva se slučajan broj.

funkcija gustine funkcija gustine ff((zz)=)={ { 00 zz<0<0

110<0<zz<1<1

00zz>0>0

SluSlučajni brojevičajni brojevi

Uopšteno govoreći, postoje tri načina Uopšteno govoreći, postoje tri načina za generisanje slučajnih brojeva:za generisanje slučajnih brojeva:

1) tablice - mana tablica je 1) tablice - mana tablica je ograničena dužina i glomaznostograničena dužina i glomaznost

2) slučajni procesi u prirodi (poput 2) slučajni procesi u prirodi (poput šuma u elektronskoj spravi)šuma u elektronskoj spravi)

3) kompjuterski generisani "pseudo-3) kompjuterski generisani "pseudo-slučajni" brojevislučajni" brojevi

Pseudoslučajni brojeviPseudoslučajni brojevi

Pseudoslučajni brojeviPseudoslučajni brojevi su oni koji se su oni koji se dobijaju po nekoj formuli ili algoritmu dobijaju po nekoj formuli ili algoritmu i koji imitiraju vrednosti slučajne i koji imitiraju vrednosti slučajne promen-ljive Z sa uniformnom promen-ljive Z sa uniformnom raspodelom na intervalu (0,1) u raspodelom na intervalu (0,1) u smislu da smislu da zadovoljavaju niz testovazadovoljavaju niz testova koje zadovoljavaju i slučajni brojevi.koje zadovoljavaju i slučajni brojevi.


Da bi se ubrzao proces generisanja, Da bi se ubrzao proces generisanja, napisani su kompjuterski softveri za napisani su kompjuterski softveri za dobijanje nizova slučajnih brojeva. dobijanje nizova slučajnih brojeva. Međutim, kako je kompjuter Međutim, kako je kompjuter deterministička mašina, sam koncept deterministička mašina, sam koncept "slučajnog" na njega je neprimenljiv. "slučajnog" na njega je neprimenljiv.


Ovi softveri zapravo samo Ovi softveri zapravo samo simuliraju nizove slučajnih simuliraju nizove slučajnih brojeva, obzirom da je niz koji se brojeva, obzirom da je niz koji se dobija potpuno određen relativno dobija potpuno određen relativno malim brojem zadatih početnih malim brojem zadatih početnih vrednosti i nakon nekog broja vrednosti i nakon nekog broja elemenata počinje periodično da elemenata počinje periodično da se ponavlja.se ponavlja.


Na osnovu metoda koji koriste, ovi softveri Na osnovu metoda koji koriste, ovi softveri mogu se podeliti na:mogu se podeliti na:

Linear congruential generatorLinear congruential generator - linearni - linearni generator slučajnih brojeva generator slučajnih brojeva

Lagged Fibonacci generatorLagged Fibonacci generator –koristi se –koristi se formula slična onoj za dobijanje formula slična onoj za dobijanje Fibonačijevog nizaFibonačijevog niza

Linear shift register generatorLinear shift register generator - brojevi se - brojevi se ne dobijaju aritmetičkim već logičkim ne dobijaju aritmetičkim već logičkim operacijama.operacijama.

Pseudoslučajni brojeviPseudoslučajni brojevi Mnogo kvalitetniji nizovi se dobijaju kada Mnogo kvalitetniji nizovi se dobijaju kada

na računaru postoji neki modul koji daje na računaru postoji neki modul koji daje slučajne brojeve prikupljene iz istinski slučajne brojeve prikupljene iz istinski sstohtohastičkih događaja koji se događaju astičkih događaja koji se događaju na mikronivou. Neka od mogućih rešenja na mikronivou. Neka od mogućih rešenja su data ispod:su data ispod:

1) hardverske mogućnosti:1) hardverske mogućnosti: sistemski satsistemski sat korišćenje audio ulaza na zvučnoj karticikorišćenje audio ulaza na zvučnoj kartici merenje vremena između klikova mišem ili merenje vremena između klikova mišem ili

praćenje kretanja kursorapraćenje kretanja kursora 2) upotreba privremenih podataka:2) upotreba privremenih podataka:


Primena generatora slučajnih brojeva Primena generatora slučajnih brojeva može se podeliti na dve grupe:može se podeliti na dve grupe:

kriptografija (šifrovanje):kriptografija (šifrovanje): računarska simulacija (opisivanje računarska simulacija (opisivanje

realnog događaja uz pomoć brojeva)realnog događaja uz pomoć brojeva)

PseudosluPseudoslučajni brojevičajni brojeviMetod sredina kvadrata (Nojman)Metod sredina kvadrata (Nojman)

ZZkk=0,w=0,w11,w,w22,...w,...w2m2m

ZZkk22=0, u=0, u11,u,u22,...u,...u4m4m

ZZk+1k+1=0, u=0, um+1m+1,u,um+2m+2,...u,...u3m3m

(0.3762)2

0.1415264

0.1526

PseudosluPseudoslučajni brojevičajni brojeviDecimale broja Decimale broja ππ

ππ/10=0.314159.../10=0.314159... PrimerPrimer:: k=0.000 k=0.00033 (10000*k=3 (od (10000*k=3 (od

treće značajne cifre broja treće značajne cifre broja ππ/10))/10)) 0.310.314159265358 4159265358

979397932384622384626433832795643383279502880288...... ZZ00=0,w=0,w11,w,w22,...w,...w1010=0.4159265358 =0.4159265358 ZZ11=0,w=0,w1111,w,w1212,...w,...w2020=0.9793=0.9793238462238462 ZZ22=0,w=0,w2121,w,w2222,...w,...w3030=0.=0.64338327956433832795

PseudosluPseudoslučajni brojevičajni brojeviGenerator ,,Wolfram Mathematica” Generator ,,Wolfram Mathematica” Programski paket Programski paket ,,Wolfram ,,Wolfram

Mathematica”, kao i mnogi drugi Mathematica”, kao i mnogi drugi programi danas, koriste programi danas, koriste generatorgenerator ,,Mersenne twister ,,Mersenne twister”” koji su koji su 1997. godine isprogramirali 1997. godine isprogramirali Makoto MatsumotoMakoto Matsumoto i i Takuji NishimuraTakuji Nishimura. Generator se bazira na matričnoj . Generator se bazira na matričnoj linearnoj rekurenciji nad binarnim linearnoj rekurenciji nad binarnim poljem. poljem.

Testovi (pseudo)slučajnih brojevaTestovi (pseudo)slučajnih brojeva

Test uniformnosti (bin test)Test uniformnosti (bin test) Test korelacije (test dupleta, tripleta, Test korelacije (test dupleta, tripleta,

kvadripleta,...) kvadripleta,...) Test srednjih vrednosti kvadrata, Test srednjih vrednosti kvadrata,

kubova...kubova...

Testovi (pseudo)slučajnih brojevaTestovi (pseudo)slučajnih brojeva

Za različite ulazne podatke generisana su Za različite ulazne podatke generisana su po 3 niza za svaki od prethodno po 3 niza za svaki od prethodno navedenih generatoranavedenih generatora

Vrši se upoređivanje sva 3 generatora Vrši se upoređivanje sva 3 generatora pomoću 3 različita testa. Testovi se rade pomoću 3 različita testa. Testovi se rade za svaki od 3 niza navedenih generatoraza svaki od 3 niza navedenih generatora

Za test dupleta i test uniformnosti Za test dupleta i test uniformnosti generisani su nizovi od po 10000 brojeva, generisani su nizovi od po 10000 brojeva, a za test srednjih vrenosti kvadrata po a za test srednjih vrenosti kvadrata po 1000 brojeva1000 brojeva

Test dupletaTest dupleta Zamislimo kvadrat stranice Zamislimo kvadrat stranice a=1a=1 i i

podelimo ga na npr. podelimo ga na npr. P P =20x20=400 =20x20=400 jednakih delova (ćelija). jednakih delova (ćelija).

Uočimo jednu ćeliju. Verovatnoća da Uočimo jednu ćeliju. Verovatnoća da se generacija slučajnog para (zse generacija slučajnog para (z11,z,z22) ) poklopi sa tom ćelijom jednaka je poklopi sa tom ćelijom jednaka je 1/P1/P. . Ako se opit ponavlja Ako se opit ponavlja N=kPN=kP puta, puta, verovatnoća da će ćelija ostati verovatnoća da će ćelija ostati nepogođena jednaka je nepogođena jednaka je

p=(1-1/P)p=(1-1/P)kPkP==expexp(-k)(-k)

Test dupletaTest dupleta

a očekivani broj nepogođenih ćelija jea očekivani broj nepogođenih ćelija je

PPexpexp(-k)(-k)

Test prati broj nepogođenih ćelija i Test prati broj nepogođenih ćelija i upoređuje ga sa teorijskom upoređuje ga sa teorijskom vrednošću.vrednošću.

Test dupletaTest dupleta Loš genrator tipa 1Loš genrator tipa 1:: Teži da što pre popuni sva polja pa Teži da što pre popuni sva polja pa

se može pretpostaviti da u se može pretpostaviti da u sledećem koraku par neće popuniti sledećem koraku par neće popuniti neko od već popunjenih poljaneko od već popunjenih polja

LoLoš generator tipa 2š generator tipa 2:: Vrlo sporo popunjava prazna polja Vrlo sporo popunjava prazna polja

jer se parovi grupisu oko odrejer se parovi grupisu oko određenih đenih polja (koordinata) pa se u sledećem polja (koordinata) pa se u sledećem koraku može predvideti par u koraku može predvideti par u nekom od tih poljanekom od tih polja



0 500 1000 1500 2000 2500 3000

1

10

100

Bro

j ne

po

pu

nje

nih

po

lja (

N)

Broj generisanih pseudo - slucajnih parova (k)

Pi1Nojman1Mathematica1 Teorijska vrednost

N=P*Exp(-x/P)P=400


0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

1

10

100


N=P*Exp(-x/P)P=400

Bro

j nep

op

unje

nih

pol

ja (

N)



0 500 1000 1500 2000 2500 3000

1

10

100


N=P*Exp(-x/P)P=400

Bro

j ne

po

pu

nje

nih

po

lja (

N)



Što se tiče metoda sredina kvadrata, Što se tiče metoda sredina kvadrata, on daje dobre vrednosti samo u on daje dobre vrednosti samo u početku i to samo za neke ulazne početku i to samo za neke ulazne vrednosti. U naredna tri grafika vidi vrednosti. U naredna tri grafika vidi se da ovaj metod daje dobre se da ovaj metod daje dobre rezultate za prvih 50 parova, dok za rezultate za prvih 50 parova, dok za vise od 500 parova pokazuje velika vise od 500 parova pokazuje velika odstupanja. Ostala dva generatora odstupanja. Ostala dva generatora daju jako dobre rezultate.daju jako dobre rezultate.

Test srednje vrednosti kvadrataTest srednje vrednosti kvadrata

Izračunava se srednja vrednost Izračunava se srednja vrednost kvadrata za prvih 10 članova (kvadrata za prvih 10 članova (XXsr10 sr10

=(=(ZZ11+...+ Z+...+ Z1010

)/10), pa zatim za 20 ()/10), pa zatim za 20 (XXsr20sr20), pa za 30...), pa za 30... Pokazuje se da kod beskonačo dugih Pokazuje se da kod beskonačo dugih

nizova slučajnih brojeva (sa nizova slučajnih brojeva (sa uniformnom raspodelom) važiuniformnom raspodelom) važi::

XXsr ∞sr ∞=1/3=0.333=1/3=0.333


200 400 600 800 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Sre

dn

ja v

red

no

st k

vad

rata

(X

sr)

Broj generisanih pseudo - slucajnih brojeva (i)

Pi1 Nojman1 Mathematica1 Teorijska vrednost

Xsr=0.333


200 400 600 800 10000.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50


Xsr=0.333

Sre

dn

ja v

red

no

st k

vad

rata

(X

sr)



200 400 600 800 1000

0.32

0.34

0.36

0.38

0.40

0.42

0.44

0.46

0.48

0.50

0.52

0.54


Xsr=0.333

Sre

dn

ja v

red

no

st k

vad

rata

(X

sr)



Sa prethodnih grafika se vidi da sva Sa prethodnih grafika se vidi da sva tri generatora daju dobre rezultate, s tri generatora daju dobre rezultate, s tim što metod sredina kvadrata tim što metod sredina kvadrata pokazuje izvesna odstupanja od pokazuje izvesna odstupanja od teorijske vrednosti. teorijske vrednosti.

Test uniformnostiTest uniformnosti

Test uniformnosti (bin test): Interval Test uniformnosti (bin test): Interval (0,1) se podeli na (0,1) se podeli na mm jednakih jednakih podintervala i pro-verava da li je podintervala i pro-verava da li je verovatnoća pojavljivanja slučajnog verovatnoća pojavljivanja slučajnog broja u svakom podintervalu broja u svakom podintervalu 1/m1/m..

U našem slučaju je m=10U našem slučaju je m=10


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

200

400

600

800

1000

1200

1400

Uce

sta

lost

po

javl

jiva

nja

(f)

Vrednost pseudo - slucajnog broja (z)

Teorijska ucestalost f=1000 Pi1 Nojman1 Mathematica1


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

200

400

600

800

1000

1200

1400


Uce

sta

lost

po

javl

jiva

nja

(f)



0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

200

400

600

800

1000

1200

1400


Uce

sta

lost

poj

avl

jiva

nja

(f)



Sa prethodnih grafika se vidi da π-Sa prethodnih grafika se vidi da π-generator i Mathematica daju dobre generator i Mathematica daju dobre rezultate, dok metod sredina rezultate, dok metod sredina kvadrata pokazuje izvesna kvadrata pokazuje izvesna odstupanja.odstupanja.

Provera generatora pseudo-Provera generatora pseudo-slučajnih brojevaslučajnih brojeva

Jednodimenzionalna slučajna šetnja:Jednodimenzionalna slučajna šetnja: Čestica se nalazi u koordinatnom Čestica se nalazi u koordinatnom

početku x-ose. Ona može da se kreće početku x-ose. Ona može da se kreće jediničnim koracima levo (xi=-1) i jediničnim koracima levo (xi=-1) i desno (xi=+1). Pre svakog koraka desno (xi=+1). Pre svakog koraka verovatnoća kretanja u desno je p, a verovatnoća kretanja u desno je p, a verovatnoća kretanja u levo q (q=1-verovatnoća kretanja u levo q (q=1-p). p). SluSlučajna promenljiva X definiše se čajna promenljiva X definiše se kao položaj čestice nakon n koraka:kao položaj čestice nakon n koraka:

X=x1+x2+...+xnX=x1+x2+...+xn


Pretpostavimo sada da je p=q=0.5. Pretpostavimo sada da je p=q=0.5. Intuitivno je jasno da je E(X)=0. Intuitivno je jasno da je E(X)=0. Potražimo D(X):Potražimo D(X):

Onda je: σ=Onda je: σ=nn^̂(1/2)(1/2)

nxxExEXE)]X(EX[E)X(Dji

ji

n

ii

1

222


Kako shvatiti ovaj rezultat?Kako shvatiti ovaj rezultat? Ako posmatramo m Ako posmatramo m ččesticaestica, svaka od , svaka od

čestica će se posle definisanog broja čestica će se posle definisanog broja koraka (n) naći u nekoj tački xi koja ne koraka (n) naći u nekoj tački xi koja ne mora biti nula: nmora biti nula: n>=>=xixi>=>=-n (i=1,m). -n (i=1,m). Međutim, ako izvršimo usrednjavanje po Međutim, ako izvršimo usrednjavanje po svim česticama, imaćemo:svim česticama, imaćemo:

nXDm

x

xx,XEm

x

xx

m

ii

m

ii

1

2

221 0



Modelovanje jednodimenzionalne Modelovanje jednodimenzionalne slučajne šetnje pomoću generatora slučajne šetnje pomoću generatora se vrši na sledeći način:se vrši na sledeći način:

1) 1) Ako se slučajni broj Zi nalazi u Ako se slučajni broj Zi nalazi u intervalu (0.0,0.5) čestici se dodeljuje intervalu (0.0,0.5) čestici se dodeljuje korak xi = -1korak xi = -1

2) Ako se slučajni broj Zi nalazi u 2) Ako se slučajni broj Zi nalazi u intervalu (0.5,1.0) čestici se dodeljuje intervalu (0.5,1.0) čestici se dodeljuje korak xi = +1korak xi = +1


Za modelovanje je korišćen Za modelovanje je korišćen generator programskog generator programskog paketa ,,Wolfram Mathematica” i π-paketa ,,Wolfram Mathematica” i π-generator. Na graficima su prikazani generator. Na graficima su prikazani rezultati matematičkog očekivanja i rezultati matematičkog očekivanja i disperzije za slučaj od disperzije za slučaj od m=10,20,50,100 čestica u n=100 m=10,20,50,100 čestica u n=100 koraka, prvo za Mathematicu, a onda koraka, prvo za Mathematicu, a onda za π-generator, naizmenično:za π-generator, naizmenično:


0 20 40 60 80 100

-4

-3

-2

-1

0

1

<x>

n

m=10, n=100 teorijska vrednost


0 20 40 60 80 100

-2

-1

0

1

2

3

<x>

n



0 20 40 60 80 100

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

<x2 >

n



0 20 40 60 80 100

0

20

40

60

80

100

<x2

>

n



0 20 40 60 80 100-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

<x>

n



0 20 40 60 80 100

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

<x>

n



0 20 40 60 80 100-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

<x2

>

n



0 20 40 60 80 100

0

20

40

60

80

100

120

140

<x2

>

n



0 20 40 60 80 100-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

<x>

n



0 20 40 60 80 100

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

<x>

n



0 20 40 60 80 100

0

20

40

60

80

100

120

<x2

>

n



0 20 40 60 80 100

0

20

40

60

80

100

<x2

>

n



0 20 40 60 80 100-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

<x>

n



0 20 40 60 80 100-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

<x>

n

m=100, n=100 teorisjka vrednost


0 20 40 60 80 100

0

20

40

60

80

100

120

<x2 >

n

m=100, n=100 teoriska vrednost


0 20 40 60 80 100

0

20

40

60

80

100

<x2

>

n


ZaključakZaključak

Na osnovu rezultata svih prethodnih Na osnovu rezultata svih prethodnih testova, kao i modelovanja testova, kao i modelovanja jednodimenzionalne slučajne šetnje jednodimenzionalne slučajne šetnje možemo reći da je generator možemo reći da je generator programskog paketa ,,Wolfram programskog paketa ,,Wolfram Mathematica“ opravdao svoja Mathematica“ opravdao svoja očekivanja. Von Neumann-ov generator očekivanja. Von Neumann-ov generator je pokazao svoje slabosti, ali ipak ostaje je pokazao svoje slabosti, ali ipak ostaje neuporedivo brži i jednostavniji od neuporedivo brži i jednostavniji od ostala dva.ostala dva.


Jako dobre rezultate je pokazao i π-Jako dobre rezultate je pokazao i π-generator, što je još jedan dokaz da generator, što je još jedan dokaz da decimale broja π ne pokazuju skoro decimale broja π ne pokazuju skoro nikakvu pravilnost, tj. broj π je nikakvu pravilnost, tj. broj π je iracionalan. Ipak, bez obzira na sva iracionalan. Ipak, bez obzira na sva istraživanja, otvoreno pitanje o ovom istraživanja, otvoreno pitanje o ovom broju koje najviše pritiska jeste da li broju koje najviše pritiska jeste da li je π ,,normalan broj.je π ,,normalan broj.

ZaključakZaključak Definicija ,,normalnog broja“ bi bila Definicija ,,normalnog broja“ bi bila

sledeća: sledeća: Broj je ,,normalan u osnovi Broj je ,,normalan u osnovi bb” ako za ” ako za

svaki prirodan broj svaki prirodan broj mm i za svaki niz cifara i za svaki niz cifara ss dužine dužine mm važi: važi:

gde gde N(n,s)N(n,s) predstavlja broj pojavljivanja predstavlja broj pojavljivanja niza cifara niza cifara ss u prvih u prvih n n cifara datog broja cifara datog broja (u osnovi (u osnovi bb). ). Broj je „apsolutno normalan“ Broj je „apsolutno normalan“ (ili samo „normalan“) ako je normalan u (ili samo „normalan“) ako je normalan u svim prirodnim osnovama.svim prirodnim osnovama.

mn b

1

n

)n,s(Nlim


Dakle, danas ovo predstavlja otvoren Dakle, danas ovo predstavlja otvoren problem i jedan od najistraživanijih problem i jedan od najistraživanijih (ako ne i najistraživaniji) vezanih za (ako ne i najistraživaniji) vezanih za broj π, tj. da li je π normalan broj (ili, broj π, tj. da li je π normalan broj (ili, specijalan slučaj, da li je normalan u specijalan slučaj, da li je normalan u bazi 10). Dokle su matematičari stigli bazi 10). Dokle su matematičari stigli sa ovim pitanjem? Pa, ne baš daleko - sa ovim pitanjem? Pa, ne baš daleko - još uvek nije poznato čak ni to da li se još uvek nije poznato čak ni to da li se sve cifre javljaju beskonačan brojsve cifre javljaju beskonačan broj puta! puta!

Documents

Maturski rad iz modelovanja u fizici: Generatori pseudo – slučajnih brojeva