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R esolução das atividades complementares Matemática M18 — Noções de Estatística   p. 132

  1  (UFRJ) Dois estados do país, num certo ano,produzem os mesmos tipos de grãos. Os gráficos de setoresilustram a relação entre a produção de cada tipo de grão deum estado e a produção total desse mesmo estado.a) Determine que percentual da produção de grãos do

estado II desse ano representa as produções de soja e

de trigo, juntas. Justifique.b) Pode-se dizer que nesse ano o estado I produziu umaquantidade total de milho maior que a do estado II?Por quê?

  2  (FGV-SP) No gráfico abaixo está representado, no eixo das abscissas, o número de fitas de vídeoalugadas por semana numa videolocadora e, no eixo das ordenadas, a correspondente freqüência (isto é, aquantidade de pessoas que alugaram o correspondente número de fitas):

a) Qual a porcentagem de pessoas que alugaram 4 oumais fitas?

b) Se cada fita é alugada por R$ 4,00, qual a receitasemanal da videolocadora?

estado I estado II

feijão

milho

soja

trigo

5

Número de fitas

        F      r      e      q       ü        ê      n      c        i      a

10

15

20

25

30

1 2 3 4 5 6

 Resolução:

a) No estado II, o setor relativo às produções de soja e de trigo juntas é representado por umsemicírculo. Logo, corresponde a 50% da produção total de grãos.

b) Não, porque o total da produção de cada estado não é conhecido.

 Resolução:

a)   2580

  0,3115 5 5

10 25 20 15 5 51 1

1 1 1 1 1  5 5   22 31,25% das pessoas alugaram 4 ou mais f 5   5   iitas

b) R: receita semanal

R 4(105 ? 1 ? 1 ?1 25 2 20 3   11 ? 1 ? 1 ?

5

15 4 5 5 5 6)

R R$ 940,00

31,25%

R$ 940,00

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  4  (PUC-SP) É dado um conjunto de vinte números cuja média aritmética é 64. Cada número desseconjunto é multiplicado por 2 e, em seguida, acrescido de 5 unidades. Qual é a média aritmética dos vintenúmeros assim obtidos?

  3  (UERJ) Às vésperas das eleições, verificou-se que todos os 2 mil eleitores pesquisados tinham pelomenos dois nomes em quem, com certeza, iriam votar.Nos quatro gráficos a seguir, o número de candidatos que cada eleitor já escolheu está indicado no eixohorizontal e cada “carinha” representa 100 eleitores.

O gráfico que está de acordo com os dados da pesquisa é o de número:a) I b) II c) III d) IV 

  p. 133

1 2 3 4 5

I

1 2 3   4   5

II

1 2 3 4 5

III

1 2 3 4 5

IV

 Resolução:

Como cada “carinha” representa 100 eleitores, o gráfico deve apresentar exatamente 20 “carinhas”.Logo, os gráficos (II) e (IV) não servem.Por outro lado, todos os eleitores iriam votar em pelo menos dois candidatos. Então, o gráfico deveapresentar a 1a coluna vazia, e o gráfico (III) não serve.O único gráfico que satisfaz os dados da pesquisa é o de número (I).

 Resolução:

x   51 1 1 1

5 5 1x x x x

20  64; y 2x 51 2 3 20 i i

...

 y y

 y

51 1 1 1

51 1 1 1

 y y y y

20(2x 5) (2x 5) (2x

1 2 3 20

1 2 3

...

11 1 1 15

5? 1 1 1 1 1

5) (2x 5)

20(x x )

20

20

...

...2 21 2 3x x 00 5

20

5 2 64 51 2 3

?

5? 1 1 1 1

1 5 ? 1 y  x x

 y2 (x x )

20

Lo

20... ⇒

ggo, y   5 133

133

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  5  (FEI-SP) A média das idades de um grupo de estudantes é 22 anos. Excluindo-se o mais novo deles, quetem 17 anos, a média do novo grupo formado passa a ser 23 anos. Quantos estudantes há no primeiro grupo?

 

6 

Para ser aprovado em uma disciplina, o aluno precisa ter média maior ou igual a 5,0, obtidanum conjunto de cinco provas, sendo quatro parciais, com peso 1 cada uma, e uma prova-exame, compeso 2. Um aluno obteve, nas quatro provas parciais, notas iguais a 3,0; 6,0; 5,0 e 7,0. Calcule a nota mínimaque esse aluno deverá obter na prova-exame para ser aprovado.

  7   A média aritmética de cem números é igual a 40,19. Retirando-se um desses números, a médiaaritmética dos 99 números restantes passará a ser 40,5. Determine o número retirado.

 Resolução:x x x 17

n  22

x x x

1 2 n

1 2 n

1 1 1 15

1 1 1

...

...

1

5

1 1 1

  5

1 1 1

1

1

17

1   23

22n (I)

x x x

x x

1 2 n

1 2

...

...

n

xx 23n (II)

(I) (II): 22n 17 23n 23

n     5

5 5 5

1   23

6   n

 Resolução:

M   5  ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?

1 1 1 1  5

1 3 1 6 1 5 1 7 2 x

1 1 1 1 2  ⇒   5

  221 2xmínimo1

5

6

4 5xmínimo   ,

 Resolução:

x

x

xi

i

ii

5 5 55

5

1

100

1

100

100  4 0

∑∑40,19   ⇒   119

991

99

1

99

( )x

x

xi

i

ii

5 5 5

1

5

5

∑∑40,5 4 009,5

x 4 0

⇒

009,5

x 9,5

5

5

4 019

6

4,5

9,5

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  9  O quadro ao lado mostra a distribuição das alturas,em metros, de 25 alunos de uma classe. Determine a alturamédia dos alunos dessa classe.

 10  (Unicamp-SP) A média aritmética das idades de um grupo de 120 pessoas é 40 anos. Se a média

aritmética das idades das mulheres é 35 anos e as dos homens é 50 anos, qual o número de pessoas de cadasexo, no grupo?

  8  (Fefisa-SP) Foram pesquisadas as idades daspessoas de um grupo e obtiveram-se os seguintesresultados:

No de pessoas Idade (anos)

5 12

22 18

25 27

16 32

3 40

1 65

Total 72

65 anos

40 anos

27 anos

12 anos

32 anos

�

18 anos

Podemos afirmar que a mede:

a) 72° c) 25° e) 5°

b) 60° d) 10°

O gráfico de setores abaixo representa a distribui-ção dada na tabela.

Classe fi

[1,60; 1,70[ 5

[1,70; 1,80[ 6

[1,80; 1,90[ 7

[1,90; 2,00[ 5

[2,00; 2,10[ 2

40 homens e 80 mulheres

 Resolução:72 360

5

5 360

aa 5

  ?a 5

°   °72

  25°

h    1,82 m

 Resolução:Os pontos médios das classes são, 1,65, 1,75, 1,85, 1,95e 2,05 m, respectivamente.

h   5  ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?

1 1 1

5 6 7 5 26 7 5

1,65 1,75 1,85 1,95 2,055   11

5

2

25h h45,55 1,82 m⇒  

 

 Resolução:

x x35;

x x1 2   m m 21 1 1

51 1 1

1 1...   ...x

m

xm   1 mm n

m n

n

x

1

1

5

1 1 15

15

1

50

x x40

35m 50n120

m

1 2   ...

120

40

nn 120

40 e m

São 40 homens e 80 mu

5

5 5

n 80

llheres.

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 11  (Faap-SP) Nas eleições em 1o turno em todo o país, no dia 3 de outubro de 1996, inaugurou-se o votoeletrônico. Numa determinada seção eleitoral, cinco eleitores demoraram para votar, respectivamente:1min 4s, 1min 32s, 1min 12s, 1min 52s e 1min 40s. A média aritmética do tempo de votação (em minutos e segundos) desses eleitores é:a) 1min 28s c) 1min e) 2min 4s

b) 1min 58s d) 1min 4s

 12  (PUC-SP) O histograma representa a distribuiçãodas estaturas de 100 pessoas e as respectivas freqüências.Por exemplo, na 3a classe (155 – 160) estão situadas 11%das pessoas com estatura de 1,55 m a 1,59 m. A 5a classe(165 – 170) chama-se classe mediana. Pelo ponto  M  situadona classe mediana, traça-se uma reta paralela ao eixo dasfreqüências, de modo que divida a área da figura formadapelos nove retângulos das freqüências em duas regiões demesma área. Determine a abscissa do ponto M  (medianadas observações).

15

11

8

6

24

14

10

7

5

   F  r  e  q

   ü   ê  n  c   i  a   (   %   )

145

M

   F  r  e  q

   ü   ê  n  c   i  a   (   %   )

150 155 160 165 170 175 180 185 190

 Resolução:

Transformando os tempos de votação em segundos, e calculando a média, temos:

x

x x

5  1 1 1 1

5 5

5 5

64 92 1125

4405

  8872 100

88 s ou 1min 28s

 

167,08

 Resolução:

xi

  fi

  fia

[145; 150[ 6 6

[150; 155[ 8 14

[155; 160[ 11 25

[160; 165[ 15 40

[165; 170[ 24 64

[170; 175[ 14 78

[175; 180[ 10 88

[180; 185[ 7 95

[185; 190[ 5 100

64 4050 405 10

165

5 ?

5 1

170 165

24x 2,08M

xx⇒  

xx M⇒ ⇒ 165 2,08 M 167,081

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 13  (Fuvest-SP) A distribuição das idades dos alunos de uma classe é dada pelo gráfico seguinte:

16 17 18 19 20

25

10

20

23

Númerode alunos

Idade(anos)

2

4

14

0   500 1 000 1 500 2 000 2 500

Número de

funcionários

Salário

em reais

Com os dados disponíveis, pode-se concluir que a médiadesses salários é, aproximadamente:a) R$ 420,00 d) R$ 640,00

b) R$ 536,00 e) R$ 708,00

c) R$ 562,00

 14  (PUC-SP) O histograma abaixo apresenta a distribuição de freqüências das faixas salariais numapequena empresa.

Qual das alternativas representa melhor a média de idadedos alunos?a) 16 anos e 10 meses d) 18 anos e 6 meses

b) 17 anos e 1 mês e) 19 anos e 2 meses

c) 17 anos e 5 meses

 Resolução:

De acordo com o gráfico apresentado, há 10 alunos com 16 anos de idade, 23 alunos com 17 anos, 20com 18 anos, 5 com 19 anos e 2 com 20 anos.Portanto, a média de idades dos alunos é dada por:

x

x

5  ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?

1 1 1 1

5

10 16 23 2 2 2010 23 20 5 2

17 0 18 5 19

11046

60  5 17,433... 17 anos e 5 meses⇒   x  

 

 Resolução:

De acordo com o histograma, temos:

x

x

5  ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?

5

14 250 4 2 2 2 25024

1700

750 1 250 2 1 750

0024

  5 5708,333... R$ 708,00⇒   x

 

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 15  (Fuvest-SP) Uma prova continha cinco questões, cada uma valendo dois pontos. Em sua correção,foram atribuídas a cada questão apenas as notas 0 ou 2, caso a resposta estivesse, respectivamente, errada oucerta. A soma dos pontos obtidos em cada questão forneceu a nota da prova de cada aluno. Ao final da correção, produziu-se a seguinte tabela, contendo a porcentagem de acertos em cada questão:

Questão 1 2 3 4 5

% de acerto 30 10 60 80 40

Logo, a média das notas da prova foi:a) 3,0 c) 4,2 e) 4,6

b) 4,0 d) 4,4

 

16 

(Unicamp-SP) Neste ano, para obter as notas da primeira fase de seu vestibular, a Unicamp estáusando da seguinte forma a nota da prova do Enem: sejam U  a nota da primeira fase da Unicamp, E a nota daprova de conhecimentos gerais do Enem e N

F a nota final de cada candidato.

Se U > E, então NF 5 U e se U , E, então: N  E

F   5  1  4U

5  .  

Suponha que algumas das notas dos candidatos A, B, C, X  e Y  sejam as apresentadas na tabela a seguir:

Estudante U E NF

 A 6,0 5,0

B 5,5 5,5

C 5,0 6,0

X 6,0

 Y 6,0

a) Calcule as notas finais dos candidatos A, B e C.

b) Sabendo-se que as notas do candidato X  são tais que E 5 2U

e que as notas do candidato Y  são tais que U5

 2E, calcule asnotas obtidas por esses dois candidatos.

 Resolução:

Cada questão certa vale 2 pontos. Logo, a média das notas é:2 ? (0,30 1 0,10 1 0,60 1 0,80 1 0,40) 5 4,4

N A  5 6,0N

B 5 5,5

NC 5 5,2

XE

 Y   U

E

U 5,0

10,0

6,0

3,0

5

5

5

5

 Resolução:

a) Candidato  A: Como U . E, então N A  5 U  N A  5 6,0  Candidato  B: Como U 5 E, então NB 5 U  NB 5 5,5

  Candidato C: Como U , E, então N   6,0 5,0 N 5,2C C5  1 ?

54

5 

 

b) X: E 5 2U  Como NX 5 6,0 . 0, E e U são positivos e U , E.

 Logo, N

  E 4U6,0

  2U 4U5,0 e E 10,0X   5

  15

  15 5

5 5⇒     U

  Y: U 5 2E  Como N

 Y  5 6,0 . 0, U e E são positivos e E , U.

  Logo, N Y  5 U  U 5 6,0 e E 5 3,0.

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 17  Dez canções concorrentes a um festival foram apreciadas por um júri que lhes atribuiu as seguintespontuações: 1, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 1, 5 e 2.a) Elabore uma tabela com as freqüências e com os quadrados dos desvios para a média.

b) Calcule a moda e a mediana.

c) Determine o desvio padrão.Mo 5 1 e Md 5 2

s  1,57

 Resolução:

a)

x x5  ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?

51 4 2 2 3 1 4 1 5 2

10  2,5⇒

b) Ordenando os dados, temos: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5 

M0 Md2

  Md 2

c) s

(x )i2

5 5  1

5

5

?

5

5

1  2 2

1

1

f x

f 

ii

n

ii

n

∑

∑⇒   ss

s

5  ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?4 2 1 1 22,25 0,25 0,25 2,25 6,25

10

1     ,,57

xi   fi   fia   | |x xi   | |x xi  2

1 4 4 1,5 2,25

2 2 6 0,5 0,25

3 1 7 0,5 0,25

4 1 8 1,5 2,25

5 2 10 2,5 6,25

Md

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9

 18   A seguinte distribuição de freqüências nos mostra as terras cultivadas dos sítios e fazendas dedeterminada região, em hectare:

Nessas condições, determine:

a) a média aritmética

b) o desvio médio

c) a variância

d) o desvio padrão

Classe Freqüência

[2, 8[ 10

[8, 14[ 9

[14, 20[ 21[20, 26[ 7

[26, 32[ 3

a) x

x

x x 15,08

b) dm

i

5

?

5 5

5

5

5

f 

f 

f 

ii

n

ii

n

1

1

75450

∑

∑⇒  

iii

n

ii

n

x

f 

?

55

5

| |,

x

dm dm 5,50

c)

i1

1

275 0450

∑

∑⇒    

 V  V a

x

 Va Vai

5

?

55

5

f x

f 

ii

n

ii

n

( ),

2

1

1

2 263 3650

∑

∑

⇒       445,27

d) s Va s 45,275 5⇒     s     6 73,

 Resolução:

Classe   xi   fi   f xi?   | |x xi     f x xi i? | |   ( )x xi   ?  2 f x xi? ?( )

2

[2; 8[ 5 10 50 10,08 100,8 101,6 1 016

[8; 14[ 11 9 99 4,08 36,72 16,64 149,76

[14; 20[ 17 21 357 1,92 40,32 3,68 77,28

[20; 26[ 23 7 161 7,92 55,44 62,72 439,04

[26; 32[ 29 3 87 13,92 41,76 193,76 581,28

i

n

5 1∑ 50 754 275,04 2 263,36

x   5 15,08

dm  5,50 Va  45,27

s  6,73