Maxwell Eq

4/22/2015

1

Ecuatiile lui Maxwell

Conditii la frontiera vid-conductor electric perfect

Ecuatiile Maxwell in forma integrala

1. Legea lui Gauss pentru campul electric

Sarcinile electrice sunt sursa unui flux electric printr-o suprafata inchisa sau fluxulelectric printr-o suprafata este egal cu sarcina aflata in volumul inchis desuprafata.

0

10

int

suprafata inchisa volum

qE dA dvv


2. Legea lui Gauss pentru campul magnetic

Nu exista monopoli magnetici sau fluxul magnetic total printr-o suprafata inchisaeste zero.

0suprafata inchisa

B dA


3. Legea lui Faraday

Variatia campului magnetic in timp produce un camp electric

cand A nu variaza in timp

B

bucla inchisa suprafata deschisa suprafata deschisa

d d BE dl= B dA dAtdt dt

4/22/2015

2


4. Legea Ampere-Maxwell

Sarcini electrice in miscare creaza camp magnetic sau curentul electric si variatia fluxului electric produc un camp magnetic

0 0 0 0 0 0prin supraf. bucleibucla inchisa suprafata deschisa suprafata deschisa

d dEB dl = I J dA E dAdt dt

daca suprafata A nu variaza in timp

0 0 0 0 0prin supraf. bucleibucla inchisa suprafata deschisa

d EEB dl = I J d Atdt


Ecuatia de continuitate legea conservarii sarcinii


J dA dvt

Daca un curent electric care intra intr-o suprafata egaleaza curentul electric ceparaseste suprafata atunci este valabila ecuatia de continuitate.

Daca avem un curent electric care intra intr-o suprafata si curentul electric careparaseste suprafata este zero dar avem o acumulare de sarcini, este valabilaecuatia de continuitate.

int

suprafata inchisa

qE dA0

0suprafata inchisa

B dA

B

bucla inchisa

dE dl=dt

0 0 0prin supraf. bucleibucla inchisa

dEB dl = I

dt






Ecuatiile Maxwell in forma integrala pentru vid

In absenta surselor unde Q=0 si I=0 in vid undele electromagnetice se deplaseaza fara a fi implicat un mediu

0suprafata inchisa

E dA

0suprafata inchisa

B dA

B

bucla inchisa

dE dl=dt

0 0E

bucla inchisa

dB dl =dt





4/22/2015

3


Fluxul electric

Fluxul electric ce iese printr-o suprafata deschisa:

d E ndA E dA

Prin conventie, normala la suprafata inchisaeste totdeauna orientata din interiorul suprafeteiinchise catre exteriorul ei. Este unicdeterminata.

Fluxul total :

suprafata inchisa

E dA

poate fi : >0,

4/22/2015

4

Tensiunea electromotoare generata in bucla 2:

1 (variatia campului din bucla 1)2

(aria buclei 2)2 2

dBE

dtE A

Tensiunea electromotoare indusa este rezultatul variatiei fluxului magnetic prin suprafata 2.

Fluxul magnetic:

suprafata deschisaB dA

B

Daca vorbim de flux magnetic, trebuie ca intotdeauna:

sa atasam o suprafata conturului

suprafata sa fie deschisa intotdeauna !!!

Atentie la monopoli!


Bemf

bucla inchisa suprafata deschisa

d dE E dl = B dAdt dt



Daca avem o singura bucla in jurul unui solenoid:

B - ramane acelasi indiferent de forma buclei.

- avem aceeasi tensiune electromotoare indusa indiferent de forma buclei.

Daca marim numarul de infasurari la 3 bucle tensiunea electromotoare va fi de trei ori mai mare (transformatoare).

Insa conform regulii lui Kirchoff cand parcurgem o bucla inchisa intr-un circuit:

bucla inchisa

E dl=0

Daca avem un flux magnetic variabil d

Bdt

regula lui Kirchoff nu mai este adevaratacampul electric din interiorul firelor devine NE-CONSERVATIV (depinde de drum).

Regula lui Kirchoff tine atat timp cat campul electric este conservativ.


bucla inchisaE dl

este independenta de drum si avem doar diferenta de potential dintre doua puncte.

In camp conservativ

Kirchoff este valabila doar cand 0d

Bdt

Legea lui Faraday este cea generala.

Bemf

bucla inchisa suprafata deschisa

d dE E dl = B dAdt dt

4/22/2015

5


Din formalismul Biot-Savart

0 4 2

Id B dl rr

dl

Legea lui Ampere

in lungul firului parcurs de curent.

Inductia la distanta r de fir este: 0 2IB

r

dl

Impartim cercul in segmente dl si calculam integrala:

0

2cerc inchis

B dl B r I

aici pe cerc.

Legea lui Ampere

0

ce inteapa suprafata inchisa de buclacerc inchis

B dl I


Curentul de deplasare modificarea legii lui Ampere

Incarcam un condensator trecand un curent I.Avem o variatie a campului electric intre placile circulare de raza R ale condensatorului.

00

2liberi libereQE

R

liberedQI

dt

02

dE Idt R

camp electric variabil

In punctul P1: aplicam legea lui Ampere si obtinem 0 2IB

r

In punctul P2: ??????????

Nici un curent care trece prin suprafata deschisa???, B=0, ABSURD!!!


Intre placile condensatorului este un camp electric variabil.Variatia fluxului electric da nastere unui camp magneticIn legea lui Ampere trebuie adaugat un termen care contine derivata fluxului electric.

suprafata deschisa

Ed d E dAdt dt

Curentul de deplasare modificarea legii lui Ampere

Legea Ampere-Maxwell

0 0 0 0 0 0prin supraf. bucleibucla inchisa suprafata deschisa suprafata deschisa

d dEB dl = I J dA E dAdt dt

1. Daca ne uitam in punctul P1: nu avem flux electric


0Eddt

si calculam 0 2IB

r

2. Daca ne uitam in punctul P2: nu avem decat termenul care contine variatia fluxului electric.

20 0 0 0

22 ( )0 0 02

0

d dEEB R Adt dt

IB R R I

RA

dEdt

0 2IB

r

4/22/2015

6

int

suprafata inchisa

qE dA0

0suprafata inchisa

B dA

B

bucla inchisa

dE dl=dt


dEB dl = I

dt







J dA dvt


Ecuatiile Maxwell in forma diferentiala

0

vE 1. Legea lui Gauss pentru camp electric

2. Legea lui Gauss pentru camp magnetic0B

BEt


0 0 0EB J st


Jt


int

suprafata inchisa

qE dA0

0suprafata inchisa

B dA

B

bucla inchisa

dE dl=dt


dEB dl = I

dt

0

vE

0B

BEt

0 0 0EB J st

Gauss

Stokes

Legea lui Gauss teorema divergentei

1v

0suprafata inchisa volum

E dA dv

Fluxul total prin orice suprafata inchisa este egal cu sarcina aflata in volumul inchis de suprafata.

In general densitatea de flux a vectorului E

reprezinta fluxul care iese dintr-o suprafata mica, inchisa pe untitatea de volum atunci cand volumul tinde la zero.

0 div lim suprafata inchisa

v

E dA

Divergenta lui E Ev

Unde poate fi inlocuit cu orice alt camp vectorial (viteza, forta, etc.)E

4/22/2015

7

coordonate cartezieneyx zEE Ediv E

x x x

Legea lui Gauss teorema divergentei

int0 0

0 0 0

1 1 1 lim limy suprafata inchisax z vv v

E dAQEE Ediv E

v vx x x

i j kx x x

yx zx y z

EE EE i j k E i E j E kx x x x x x

Integrala componentei normale a oricarui camp vectorial pe o suprafata inchisa este egala cu integrala divergentei acestui camp vectorial pe volumul inchis de catre suprafata inchisa

Teorema lui Stokes

Fie o suprafata deschisa care are ca frontiera o curba C.

Teorema Stokes spune ca integrala componentei tangentiale a unui camp vectorial F de-a lungul curbei inchise C este egala cu integrala componentei normale a rotorului campului vectorial F pe suprfata inchisa.

suprafata deschisa

Fcurba inchisa

F dl dA

Legea lui Faraday


B


d d BE dl= B dA dAtdt dt

Conform teoremei lui Stokes:



BE dl= E dA dAt

BEt

int

suprafata inchisa

qE dA0

0suprafata inchisa

B dA

B

bucla inchisa

dE dl=dt


dEB dl = I

dt

0

vE

0B

BEt

0 0 0EB J st

Gauss

Stokes

Ecuatiile constitutive

Jt


J dA dvt

Interactia undelor electromagnetice cu conductori perfecti

In interiorul unui conductor ideal nu exista camp electric.Cand un camp electromagnetic sau o unda electromagnetica este incidenta pe un conductor ideal, intr-un anumit fel, undele electromagnetice sunt reflectate.

Conditii la frontiera si consecintele acestor conditii

Avem patru ecuatii Maxwell si ne asteptam la patru conditii la frontiera.

In interiorul unui conductor ideal:

Campul electric este zero;Campul magnetic nu este neaparat zero. In interiorul unui conductor este posibil un camp magnetic static.

Totusi nu putem avea o variatie in timp a campului magnetic in interiorul unui conductor intrucat

BEt

si deoarece E =0 in interiorul conductorului atunci si 0Bt

in interiorul conductorului

4/22/2015

8

Campul electric scade exponential intr-un strat subtire numit adancime de patrundere (skin depth) ce este definita astfel incat E scade de e-ori.

0

2

In cazul unui conductor ideal (de ex. supraconductor) conductivitatea electrica este infinit mare astfel incat adancimea de patrundere este zero.

De exemplu in cazul cuprului, care este un conductor foarte bun,

175,8 10 m

si daca luam o radiatie cu frecventa 145 10 Hz

atunci 3 nm

1. Prima conditie.

Legea lui Gauss pentru camp electric

0

vE

3

- densitatea volumica de sarcinav

vC

SI m

Luam un volum definit cu inaltimea dl si in calcule o sa luam conditia

0dl

Aplicam legea lui Gauss pentru camp electric in forma integrala.

1v

0suprafata inchisa volum

E dA dv

Prin conventie,

dA

este intotdeauna din interiorul suprafaetei inchise catre exteriorul acesteia.

Suprafata superioara contribuie doar cu En deoarece

tdA E

( . )0

1vE ext cilindruE dA dl dAn

( . )E ext cilindru - fluxul electric ce paraseste suprafata prin restul partilor lui

Cand 0dl ( . ) 0E ext cilindru

Cand 0dl am fi tentati sa spunem ca si 0

1 0v dl dA

insa nu este adevarat pentru ca vor fi sarcini la suprafata conductorului.

Cand 0dl vom avea o densitate de sarcina de suprafata 0

1s dA

2

- densitatea superficiala de sarcinas

SICm

Am obtinut prima conditie pe frontiera:

0

snE

Seamana cu relatia pentru sarcini stationare.Este adevarata si pentru statice

Aici este ceva special:

vectorul E

variaza tot timpul cu frecventa undei incidente si de aceea

s se schimba tot timpul adica avem tot timpul o rearanjare a densitatii de suprafata.

4/22/2015

9

2. A doua conditie.

Legea lui Gauss pentru camp magnetic

0B

Aplicam legea lui Gauss pentru camp magnetic in forma integrala.

0suprafata inchisa

B dA

( . )0n B ext cilindruB dA

( . )B ext cilindru fluxul magnetic ce paraseste suprafata prin restul partilor lui

Cand 0dl ( . ) 0B ext cilindru

Rezulta 0B dAn

Am obtinut a doua conditie pe frontiera:

0Bn

3. A treia conditie

Legea lui Faraday

BEt

Luam o bucla inchisa si un sens. Nu conteaza ce directie luam.Pentru simplitate consideram suprafata deschisa chiar suprafata buclei.

Aplicam legea lui Faraday in forma integrala

B

bucla inchisa

dE dl=dt

Consideram aceeasi conditie

0dl

pentru a obtine conditiile la frontiera.

0E dlt

0E dbn

produsul scalar =0

1 12 2

BE dl E db E dln nt t

Cand 0dl

suprafata buclei devine 0 si

0Bt

0E dbt

Am obtinut a treia conditie pe frontiera

0Et

4. A patra conditie

Legea Maxwell-Ampere

0 0 0EB J st

Luam o bucla inchisa si un sens. Nu conteaza ce directie luam.Pentru simplitate consideram suprafata deschisa chiar suprafata buclei.

Aplicam legea lui Maxwell-Ampere in forma integrala

0 0 0bucla inchisa suprafata deschisa

dEB dl = J dAs dt

4/22/2015

10

Consideram aceeasi conditie

0dl

pentru a obtine conditiile la frontiera.

0t

B dl

0n

B db

produsul scalar =0

1 10 0 02 2

EB dl B db B dl J dl dbn n st t

Cand 0dl suprafata buclei devine 0 si 0Et

0B db J dl dbst

Cand 0dl avem 0J dl dbs devine 0

J dbs

0B db J dbst unde de data aceasta

AJs SI m

Am obtinut a patra conditie

0B Jst

Exista curenti oscilanti la suprafata conductorului care apar atunci cand soseste unda si acesti curenti au frecventa undei incidente.

Cele patru conditii la frontiera sunt:

0

snE

0Bn

0Et

0B Jst

Exista in permanenta o rearanjare densitatii superficiale de sarcina

2s SI

Cm

s

Exista un curent oscilant de de suprafata Js

AJs SI m

MULTUMESC PENTRU ATENTIE !

Documents

Maxwell Eq