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Matemáticas simples, soluciones prácticas
M.C. Raciel Hernández Hernández
Métodos Cuantitativos aplicados a la Práctica Agronómica
1 Cálculos de áreas de formas irregulares
3. Cálculos de Volumen
4. Cálculo de Dosis de fertilización
5. Cálculo de Dosificación de plaguicidas
6. Calibración de equipos
7. Cálculos de riego.
8. Cálculos de cantidades de semilla
9. Estadística descriptiva (gráficas, parámetros estadísticos)
Matemáticas y el sistema educativo mexicano
Memoristico
FALLA
Vacunado
1. DIFICIL2. NO ME GUSTA
FraccionesM.C. Raciel Hernández Hernández
Definición
• Las fracciones son representaciones numéricas de porciones o fracciones de un objeto de interés que representa a un todo (unidad).
• Se representan por dos números divididos por una línea central
4
3 Numerador: La fracción del objeto de interés
Denominador: Número de fracciones requeridas para tener un objeto entero
RECUERDA …
Una fracción sirve para representar una cantidad que no está formada por unidades completas, es decir, representa una parte o porción de un todo
4
3
154
3.2020de
4
3
Una fracción es también una forma de expresar un cociente, una división4
34:3
Observa que en las fracciones equivalentes se cumple que al multiplicar los términos en cruz se obtiene el
mismo resultado 2 . 8 = 16 y 4 . 4 = 16 . Esto nos va a servir para reconocer si dos fracciones son
equivalentes y para calcular un término desconocido en una pareja de fracciones equivalentes.
FRACCIONES EQUIVALENTES (múltiplos)
Dos fracciones son equivalentes si expresan la misma cantidad.
4
2
8
4
Por ello escribimos:
1
4
28
4=
representan la misma cantidad
y decimos que son equivalentes.
Ejemplos:
6
10y
3
5son equivalentes porque 5 . 6 = 30 y 3 . 10 = 30
7
6y
4
3no son equivalentes porque 3 . 7 = 21 y 4 . 6 = 24
3
x
6
4 como son equivalentes el valor de x ha de ser 2 . Lo podemos obtener
26
4.3x
EJEMPLOS
¿ Son equivalentes las parejas de fracciones siguientes ? :
8
6y
4
3 Sí porque 3 . 8 = 24 y 4 . 6 = 24
7
10y
4
5No porque 5 . 7 = 35 y 4 . 10 = 40
¿ Cuánto vale x en cada caso ? :
6
8
3
x 4 , y lo podemos hallar así 4
6
8.3x
x
6
6
4 9 , y lo calcularemos así 9
4
6.6x
MEDIOS Y EXTREMOS
Si las fracciones y son equivalentes, a y d reciben el nombre de extremos y b y c el de medios. Por
ello, podremos decir que en una pareja de fracciones equivalentes “el producto de extremos es igual al
producto de medios”.
b
a
d
c
b
a
d
c
Si observamos a las fracciones de la forma siguiente, se observa claramente la relación anterior
OBTENCIÓN DE FRACCIONES EQUIVALENTES
a) AMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Si se multiplican los dos términos de una fracción por un mismo número, se obtiene una fracción equivalente.
Si en la fracción multiplicamos el 2 y el 3 por 2, por 3, por 4, etc. obtendremos fracciones equivalentes a ella (y por
ello equivalentes entre sí).3
2
.....12
8
9
6
6
4
3
2
¿ Cuantas fracciones equivalentes a una fracción podemos encontrar por amplificación ?
infinitas
(Elige cualquier par de fracciones de la serie anterior y comprueba que son equivalentes)
X 2
X 3
X 4
OBTENCIÓN DE FRACCIONES EQUIVALENTES
b) SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Si se dividen los dos términos de una fracción por el mismo número, se obtiene una fracción equivalente.
Sea la fracción ; si dividimos numerador y denominador por 3 obtenemos la fracción y podemos comprobar que 18
126
4
18
12
6
4= porque 12 . 6 = 72 y 18 . 4 = 72
La obtención de fracciones equivalentes dividiendo numerador y
denominador por el mismo número recibe el nombre de simplificación de
fracciones. La fracción que no se puede simplificar se llama irreductible.
¿ Puedo obtener infinitas fracciones equivalentes a una fracción por simplificación ?
No, el número de fracciones es limitado y si la fracción es irreductible no puedo obtener ninguna
9
2,
5
7,
4
3 son irreductibles.
SIMPLIFICAR FRACCIONES (1)
Simplificar una fracción es encontrar la fracción equivalente a ella que es irreductible. Hay tres métodos:
a) Por divisiones sucesivas : Es el más indicado para números pequeños. Consiste en ir obteniendo fracciones equivalentes con términos más pequeños mediante divisiones sucesivas de numerador y denominador hasta llegar a la irreducible.
3
2
9
6
18
12
:2
:2
:3
:3
( es irreductible )3
2
SIMPLIFICAR FRACCIONES (2)
b) Por eliminación de factores : Descompondremos numerador y denominador en factores primos y eliminaremos los factores iguales en numerador y denominador. Es el más indicado para fracciones con términos grandes.
Ejemplo: Simplificar 600
480
b) Escribimos la fracción expresando los números descompuestos en factores y eliminamos los factores que sean iguales en numerador y denominador.
480 2.5 600 2.5
48 2 60 2.5
24 2 6 2
12 2 3 3
6 2 1
3 3
1
a) Descomponemos en factores primos
5
4
5
2.2
5.5.3.2.2.2
5.3.2.2.2.2.2
600
480
REDUCCIÓN A COMÚN DENOMINADOR
Reducir fracciones a común denominador es encontrar fracciones equivalentes a ellas con el mismo denominador.
. el denominador común será el m.c.m. de 4, 3 y 2 que es 12
. el numerador de la primera fracción es 12/4 = 3 3*3 = 9
. el numerador de la segunda fracción es 12/3 = 4 4*2 = 8
. el numerador de la tercera fracción es 12/2 = 6 6*5 = 30
2
5,
3
2,
4
3
Ejemplo: Reducir a común denominador 2
5
3
2
4
3,,
(Recuerda que para hallar el m.c.m. descomponemos en factores primos y cogemos los factores comunes y los no comunes con mayor exponente. Si se trata de números pequeños, como en el ejemplo, lo hacemos mentalmente).
12 12 12
9 8 30, ,
COMPARACIÓN Y ORDENACIÓN DE FRACCIONES
Para comparar u ordenar fracciones de distinto denominador las reduciremos a común denominador y a partir de ellas compararemos u ordenaremos las que nos han propuesto.
Ejemplo: Escribe < , > o = entre 6
5,
4
3
<6
5el m.c.m. de 4 y 6 es 12 , por tanto:
4 6 |2 3*2*2=12 m.c.m. o m.c.d
2 3 |2
1 3 |3
1 1
Ejemplo: Ordena de menor a mayor
10
3,
2
3,
4
3,
5
2
.el m.c.m. de 5 , 4 , 2 y 10 es 20 , por tanto:
2
3
4
3
5
2
10
3
20
6,
20
30,
20
15,
20
8
10
3,
2
3,
4
3,
5
2 < < <
4
3
6
5
4
3
12
10,
12
9
6
5,
4
3
2 OPERACIONES CON FRACCIONES
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES
4
5
4
2
4
3
m.c.m. = 12
Sí tienen el mismo denominador se suman (si es una suma) o se restan (si es una resta) los numeradores y se deja el mismo denominador.
Sí tienen distinto denominador, se reducen a común denominador y después se suman (o se restan) comoen el punto anterior. En estas sumas es muy cómodo reducir con “una sola raya larga” (fíjate en el ejemplo) y así el denominador sólo se pone una vez.
Para operar fracciones y números enteros, éstos se escriben como fracciones con denominador 1.
4
1
3
2
2
3
12
3818
12
29
CÁLCULO RÁPIDO DE LA SUMA / RESTA DE ENTERO Y FRACCIÓN
Si seguimos todos los pasos para sumar / restar un entero y una fracción tendremos que hacer algo como lo siguiente:
5
13
5
310
5
3
1
2
5
32
Si observas la suma que hay encima de la “raya larga” verás que:
- el primer número es 10 y que es el resultado de multiplicar el entero (2) por el denominador de la fracción(5)
- el segundo número es 3, es decir, el numerador de la fracción
- el denominador es 5, el mismo que tenía la fracción
Por tanto, para calcular mentalmente operaciones de este tipo tendremos en cuenta que:
- un numerador es el producto del entero por el denominador de la fracción
- el otro numerador es el de la fracción
- el denominador es el de la fracción
- haremos con los numeradores la operación de la que se trate teniendo en cuenta los signos y cómo esté planteada la operación(recuerda que la resta no es conmutativa)
5
34
5
23 34
3
4
15
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
FRACCIÓN DE FRACCIÓN
Para multiplicar dos fracciones se multiplican los numeradores y se multiplican los denominadores.
14
60
7
4.5.
2
3
8
15
2
3.
4
5
35
6
7.5
3.2
7
3.
5
2
d.b
c.a
d
c.
b
a
La fracción de otra fracción equivale a la fracción producto de ambas.
Este cálculo tendremos que utilizarlo en la resolución de algunos problemas.12
6
3.4
2.3
3
2de
4
3
En el rectángulo,
pintamos de rojo los
3
2
De esos
pintamos de
amarillo los
3
2
4
3
Del rectángulo inicial, la zona
que finalmente aparece señalada
corresponde a los 12
6
FRACCIÓN INVERSA
Dos fracciones son inversas cuando su producto es una fracción cuyo valor es 1.
La fracción inversa de es porque 5
3
3
51
15
15
3
5.
5
3
¿ Qué fracción es la inversa de …?
7
5
5
7
7
17 3
3
1
En general, la inversa de es b
a
a
b
DIVISIÓN DE FRACCIONES
Para dividir dos fracciones se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda.
En la práctica, esto equivale a multiplicar los términos en cruz.
8
15
2
5.
4
3
5
2:
4
3 según la definición
8
15
5
2:
4
3: en la práctica
x
OPERACIONES COMBINADAS (1)
Para resolver operaciones combinadas con fracciones hemos de proceder como siempre, es decir, el orden será: paréntesis, multiplicaciones y divisiones, sumas y restas.
Hay que tener en cuenta que siempre que nos aparezca una suma o una resta con distinto denominador, habrá que reducir a comúndenominador. Cuando aparezcan sumas o restas de entero y fracción lo más rápido es aplicar el cálculo mental (aunque si tenemos alguna dificultad, le ponemos a los enteros denominador 1 y procedemos con el cálculo normal). En algunos casos, puede ayudarhacer los cálculos en sentido vertical, utilizando una línea para cada paso.
Ejemplos:
2
3
5
2
3
2
4
3c)
10
154
12
89
10
11
12
17
60
6685
60
151
•4
5
5
3
2
1
5
3a)
4
5
10
3
5
3
20
25612
20
2518
20
7
4
5:
2
3
10
3
2
3b)
10
12
10
3
2
3
10
12-315
10
1218
10
6
5
3
Vamos a resolver problemas relacionados con los números fraccionarios. En algunos ejemplos verás que se pueden resolver de dos formas: sin utilizar fracciones en los cálculos o utilizándolas. En ambas formas nos ayudaremos de un dibujo para reflejar los datos. Sin embargo, en otros ejemplos sólo utilizaremos fracciones y no nos ayudaremos de dibujo porque reflejar los datos en uno puede sermuy complicado.
Ejemplo 1: Dada la cantidad total hallar la cantidad que corresponde a una fracción de ella
A Pedro le dan semanalmente 24 sacos de fertilizante y se gasta . ¿ Cuánto bultos se gasta ?4
3
24
x 24 : 4 = 6
6 . 3 = 18
Solución:
Gasta 18
24
x18
4
3.2424de
4
3
Solución:
Gasta 18
3PROBLEMAS
PROBLEMAS (2)
Ejemplo 2: Dada la cantidad que corresponde a una fracción, hallar el total.
Pedro a gastado del dinero del presupuesto asignado en fungicidas. Si ha gastado
90 mil pesos , ¿De cuánto es el presupuesto total?
5
3
90 M x90 : 3 = 30
30 . 5 = 150
Solución:
Llevaba 150 M
90 M x
3
5de x = 90
x =90 . 5
3= 150
Solución:
Llevaba 150 M
PROBLEMAS (3)
Ejemplo 3: Distintas fracciones del total.
¿Qué fracción del total no cortará? ¿Cuánto metros le quedarán sin cortar?
Primer día --
Segundo día --
Total 120 m2
3
1
5
215
11
15
65
5
2
3
1
Superficie total a cortar del
approach
15
4
15
11
15
15 Deben quedar sin corte
32m215
4.120120de
15
4
Solución:
Le quedan del total, que son 32 m2 que no debe cortar
15
4
Pedro es el asistente del superintendente del campo, en sus instrucciones de campo aparece que debe cortar el approach del hoyo 7, el primer día deberá cortar 1/3 del approach a 0.235” y el segundo 2/5 a 0.250”, la superficie restante quedará sin corte, la superficie total del approach es de 120m2
PROBLEMAS (4)
Ejemplo 4: Fracción de fracción.
Pedro tiene almacenados 180 sacos de fertilizantes. Piensa destinar al Green de práctica y los de lo que le quede para la
primera vuelta de su campo. ¿Qué fracción de fertilizante le quedará del total que tiene? ¿Cuánto sacos son los que dejará en
almacén?
6
13
2
práctica
primera vuelta
Le quedan 18
5
5018
5.180180de
18
5
Solución:
Le quedan que son 50 sacos18
5
Práctica 61
Primera vuelta de
lo que queda3
2
6
5
6
1
6
6
18
10
6
5de
3
2
quedan
Primera vuelta
18
13
18
103
18
10
6
1
gasta en total
18
5
18
13
18
18 le quedan
5018
5.180180de
18
5
Solución:
Le quedan que son 50 sacos18
5
RAZONES Y PROPORCIONES
RAZÓN
PROPORCION
DIRECTA INVERSA COMPUESTA
PORCENTAJE
Las razones o relaciones
son el resultado de
comparar dos cantidades.
Es una manera de encontrar
relaciones entre cantidades
para saber si aumentan o
disminuyen
¿Qué son las
razones y
proporciones?
Por ejemplo
La cantidad de presupuesto que
se requiere para dar
mantenimiento a un campo de
golf ira aumentando o
disminuyendo en la medida que
aumente o disminuya la
cantidad de hoyos que tenga un
campo
Razón Aritmética o por Diferencia
• Es la Diferencia entre las dos cantidades.
• La razón aritmética de un hoyo par 5 comparado con un hoyo par3, es 2
Razón Geométrica
Una RAZÓN es una comparación entre dos cantidades por medio
del cociente entre ellas
Se puede escribir como
a:b Se lee " a es a bkb
aó
Antecedente
Consecuenteb
a
APLICACIONES
En lenguaje de cartografía larazón se conoce comoescala.
Si un mapa está a escala1:1000, ¿Qué significa?
Cualquier distancia(digamos 1cm) en el mapa,representa 1000 cm en lavida real es decir 10m.
Estudios de poblaciones de
plagas, para conocer la
evolución de las poblaciones y
la razón (índice) de desarrollo
80
13
Queriendo decir con esto de que por cada 80 gallinas
ciegas 13 eran larvas de 3er instar.
APLICACIONES
Larvas de 3er instar
La razón entre ingrediente activo y cantidad de agua se conoce, por los
agrónomos, como dosis.
Por ejemplo, aplicar 10 ppm de ingrediente
activo
APLICACIONES
PROPORCIONES
Se llama proporción a la equivalencia entre dos razones, es decir,son dos fracciones equivalentes
d
c
b
a
Se escribe
o a : b = c: d Se lee “a es a b como c es a d”
En toda proporción:
d
c
b
a
Extremos
Medios
d
c
b
a
Se cumple:
cbda
PROPORCIONALIDAD DIRECTADos o más cantidades a y b son directamente proporcionalescuando su cociente es constante.
.....12
8
9
6
6
4
3
2
X 2
X 3
X 4
3
2
9
6
18
12
:2
:2
:3
:3
Observación
• Dos cantidades se dicen que son directamente proporcionales si y solo si alaumentar una de ellas la otra también aumenta.
• Dos cantidades se dicen que son directamente proporcionales si y solo si aldisminuir una de ellas la otra también disminuye.
EJEMPLO
En una etiqueta de un producto se indica agregar 3 gr por cada 12 litrosde agua. ¿Cuántos gramos de producto se necesitarán si se deseapreparar la mezcla para 20 litros?
20
123
x
Se tiene:
Gr Producto Lts de agua
3 12
x 20
Formando la proporción
Multiplicando cruzado x 12203
x5 Por lo tanto, se necesitan gr de producto para 20 litros
Resolviendo para x, se tiene que:
Resolver
Un carrito de golf recorre 150 m en 5s, si no varía su velocidad,¿que distancia puede recorrer en un minuto y medio?
PROPORCIONALIDAD INVERSA
Dos o más cantidades son inversamente proporcionales si losproductos que se obtienen al multiplicar los términos de cadauna de las razones son constantes.
Observación
El número de personal de un campo y el
tiempo para realizar una tarea
Dos cantidades se dicen que son inversamente proporcionales si y solo sial aumentar una de ellas la otra disminuye.
Dos cantidades se dicen que son inversamente proporcionales si y solo sial disminuir una de ellas la otra aumenta.
Ejemplo:Tiempo
Cálculo de áreas
Definición• El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de
medida denominadas Unidades de Superficie.
• Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie como variable bidimensional) y la magnitud métrica (área) asociada al concepto geométrico.
• Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.
ÁREAS Y PERÍMETROS DE LOS CUERPOS ELEMENTALES
TRIÁNGULO CUADRADO RECTÁNGULO
ROMBO TRAPECIOCIRCUNFERENCIA
CÍRCULO
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
lado
ladoA= l x l
Área del cuadrado
El cuadrado tiene todos los lados iguales y los ángulos también.
Ejemplo:
Halla el área de un cuadrado
cuyo lado mide 14 cm.
A=l x l
A= 14 x 14
A= 196 cm2
Paralelogramos
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
largo
anchoA= l x a
Área del rectángulo
El rectángulo tiene los lados iguales dos a dos y los cuatro ángulos son iguales.
Ejemplo:
Halla el área de un
rectángulo que mide 5 metros
de largo y 2 de ancho
A=l x a
A= 5 x 2
A= 10 m2
Paralelogramos
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
base
alturaA= b x a
Área del romboide
El romboide tiene los lados y los ángulos iguales dos a dos.
Ejemplo:
Halla el área de un romboide
que mide 15 cm de base y 6
cm de altura.
A=b x a
A= 15 x 6
A= 90 cm2
Paralelogramos
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Diagonal
diagonal
Área del rombo
El rombo tiene los lados iguales y los ángulos iguales dos a dos.
Ejemplo:
Halla el área de un rombo
que mide 5 cm de Diagonal
mayor y 3 cm de diagonal
menor.
A= (D x d) / 2
A= (5 x 3) / 2
A= 7,5 cm2
Paralelogramos
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
base
altura
Área del triángulo
El área de un triángulo es igual a su base por la altura partido por dos.
Ejemplo:
Halla el área de un triángulo
de 14 cm de base y 4 cm de
altura.
A= (b x a) / 2
A= (14 x 4) / 2
A= 28 cm2
Triángulos
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Área de un polígono regular
El área de un polígono regular es igual al perímetro del polígono por su apotema y dividido para dos.
La apotema es la altura de un
triángulo.
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS Área del círculo
El área de un círculo se calcula multiplicando el radio, elevado al cuadrado, por el número π.
A= π · r2
radio
Ejemplo:
Halla el área de un cículo que
tiene 8 cm de radio.
A= π · r2
A= 3,14 · 82
A= 3,14 · 64 = 200,96 cm2
El proceso de la MEDIDA…
Medir el área de una figura es contar
cuántas unidades de superficie contiene.
’π
Historia de un LOGRO
La idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de la regiónencerrada en una figura geométrica proviene de la antigüedad.
En el Antiguo Egipto, tras la crecida anual de río Nilo inundando los campos,surge la necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecersus límites; para solventar eso, los egipcios inventaron la geometría,según Heródoto.
El manera de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de lostriángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por el sabio griegoAntifón hacia el año 430 a. C.
Hallar el área de una figura curva entraña más dificultad. El método deagotamiento consiste en inscribir y circunscribir polígonos en la figurageométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el áreabuscada. Con este sistema que se conoce como método exhaustivo de Eudoxo,se consiguió obtener una aproximación para calcular el área de un círculo. Dichosistema fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver otrosproblemas similares, así como el cálculo aproximado del número π.
Figuras Planas Cerradas.
En el plano se puede distinguir entre una infinidad de figuras que tienen formas, tamaños y posiciones particulares sobre un plano. Podemos diferenciar entre las figuras de una sola dimensión llamadas curvas y las de dos dimensiones. El término curva no se define y se usa para describir figuras en el plano.
En las curvas podemos distinguir entre las curvas abiertas, las curvas cerradas, las curvas cerradas simples y las curvas cerradas no simples. Una curva es abierta si se traza de forma continua y su punto inicial es distinto de su punto final. Las curvas cerradas son aquellas que se trazan de forma continua y su punto inicial es igual a su punto final.
Una curva simple abierta es aquella que su trazado es continuo, no tiene puntos de intersección y sus puntos inicial y final son diferentes. Si una curva tiene al menos un punto de intersección decimos que es una curva no simple.
Un polígono es una curva simple cerrada compuesta por segmentos consecutivos de líneas rectas. Los segmentos de línea se llaman lados y los puntos de intersección de los segmentos se llaman vértices. Los nombres de los polígonos se asignan de acuerdo al número de lados de la figura. Un polígono de n lados se
llama n-ágono.
Estrategia: SIMPLIFICAR
El proceso de CONTAR sólo es válido para figuras en las que la unidad de medida ‘encaja bien’. Es decir, en rectángulos
AB
C
Una vez que hemos definido una Unidad de Medida (m2) y un Proceso de la Medida (contar), vamos a aplicarlo a ‘figuras simples’
4 cm
6 cm
En este caso, al MEDIR la
longitud de los lados CONTAMOS cuántas unidades de medida caben
a lo largo y cuantas caben a
lo ancho.
De donde se deduce que para calcular el área de un rectángulo basta multiplicar largura x anchura.
La Aritmetización de las Áreas…
A
B
C
DE
A partir de aquí el proceso de CONTAR
ya no es tan inmediato.
Lo mejor es cambiar de TÉCNICA y
TRANSFORMAR las figuras en otras equivalentes o
CONGRUENTES, siempre a un
rectángulo.
Veamos como.
Polígono regular
lado
apotema2
ApotemaPerímetroÁrea
Polígono irregular
TriángulosÁreaÁrea
Tenemos que encontrar una fórmula que nos permita calcular el área de un triángulo sabiendo la
longitud de los lados
En geometría, la fórmula de Herón relaciona el área de un triángulo en términos de las longitudes de sus lados a, b y c:
donde s es el semiperímetro del triángulo:
La fórmula de Herón se distingue de otras fórmulas para hallar el área de un triángulo, como la de la mitad de la base por la altura o la de la mitad del módulo de un producto cruz de dos lados, al no requerir ninguna elección arbitraria de un lado como base o un
vértice como origen.
La Fórmula de Herón…
Otros métodos prácticos (Rectángulo promedio)
• El cálculo de un área de forma muy irregular se puede hacer al trazar la línea
• mas larga posible longitudinalmente y pasando por el centro del área. Luego se trazan
• varias líneas perpendiculares a esta línea central. El número total de líneas dependerá de
• cuán irregular es la forma del área. Cuanto más irregular sea, se trazarán más líneas.
• Con base en la longitud promedio de todas esas líneas, se determina el ancho del área y
• esta última se calcula como un rectángulo
Circulo promedio
• Otro método que se emplea para calcular el tamaño de un área de forma irregular, un campo de golf por ejemplo, consiste en trazar un punto lo más cercano posible al centro del área por determinar. A partir de este punto, como si se utilizara un compás, se miden distancias, para cada incremento de 10 grados, hasta el contorno del área de forma irregular. Después, se saca el promedio de las 36 mediciones que se hacen completamente alrededor del punto central. La idea es obtener una medición promedio, que se considera como el radio del círculo. El área se calcula entonces con la fórmula para un círculo.
En general se tiene la percepción intuitiva de que una región contenida dentrode una curva cerrada posee un "área" la cual mide el número de unidadescuadradas dentro de la curva. Las propiedades básicas del área que laintuición sugiere son:
Una consecuencia inmediata es el hecho de que para una región A que esparte de una región B, el área de A no puede ser mayor que el área de B.
1. El área es un número (positivo, dependiente de la elección de la unidad
de longitud)
2. Este número es el mismo para figuras congruentes o equivalentes.
3. Para todos los rectángulos el área es el producto de las longitudes de los
lados adyacentes, es decir, de sus dimensiones.
4. Para una región descompuesta en secciones el área total es igual a la
suma (o resta) de las áreas de las secciones.
Cálculo de volúmenes
Definición
• Se llama Volumen a la medida del espacio limitado por un cuerpo, se mide en unidades cubicas, tradicionalmente en el sistema métrico decimal en metros cúbicos, también se les conoce como medidas de capacidad.
• En el sistema inglés comúnmente se mide en galones
Solidos Geométricos• Al igual que las áreas, el cálculo de volúmenes de
figuras complejas tiene como fundamento el conocer los volúmenes de figuras geométricas simples
Según las características de los elementos de
los sólidos geométricos, se pueden clasificar
en dos grandes grupos los poliedros y los
cuerpos redondos
Los poliedros son sólidos cuyas caras son polígonos
regulares.
En los poliedros distinguimos:
Vértices: puntos donde concurren tres aristas
Aristas: lados de los polígonos regulares
Poliedros
POLIEDROS REGULARES
Son aquellos poliedros en los cuales todas las caras son
polígonos regulares iguales.
Por lo tanto, todas las aristas, ángulos diedros y ángulos
poliedros serán iguales.
Sólo existen cinco poliedros regulares y son:
Nº de caras Cara
Tetraedro Regular 4 Triáng. Equ.
Hexaedro Regular 6 Cuadrados
Octaedro Regular 8 Triáng. Equ.
Dodecaedro Regular 12 Pentágono R.
Icosaedro Regular 20 Triáng. Equ.
Los poliedros más sencillos son aquellos que se forman
a partir de un solo polígono regular. Este grupo de
poliedros ya era conocido por Euclides (330 a.C.) y
estos cinco sólidos estuvieron acompañados de cierto
misticismo. Se asociaban con los cuatro elementos
supuestos y con el Universo y reciben el nombre de
sólidos platónicos. Los únicos sólidos platónicos son:
Un poco de historia
Formado por tres triángulos equiláteros. Es el que tiene
menor volumen de los cinco en comparación con su
superficie. Representa el fuego. Está formado por 4 caras,
6 aristas y 4 vértices.
Tetraedro
Formado por seis cuadrados. Permanece estable
sobre su base. Por eso representa la tierra. Está
formado por 6 caras, 12 aristas y 8 vértices.
Hexaedro
Formado por ocho triángulos equiláteros. Gira
libremente cuando se sujeta por vértices opuestos. Por
ello, representa al aire en movimiento. Está formado por
8 caras, 12 aristas y 6 vértices.
Octaedro
Dodecaedro
Formado por doce pentágonos regulares. Corresponde al
Universo, pues sus doce caras pueden albergar los doce
signos del Zodiaco. Tiene 12 caras, 30 aristas y 20
vértices.
Formado por veinte triángulos equiláteros. Es el que
tiene mayor volumen en relación con su superficie y
representa al agua. Tiene 20 caras, 30 aristas y 12
vértices.
Icosaedro
El prisma es un poliedro limitado por varios paralelogramos y
dos polígonos congruentes llamados bases, cuyos planos son
paralelos.
Prismas
• Bases: dos polígonos congruentes,
cuyos planos son paralelos.
• Caras laterales: polígonos regulares.
• Arista: lados de los polígonos
regulares.
• Vértices: puntos donde concurren tres
aristas.
• Altura: distancia entre las dos bases.
• Diagonal: segmento que une dos
vértices que no pertenecen a una
misma cara.
En los prismas distinguimos:
En un prisma, el número de caras laterales es igual al
número de lados del polígono de la base.
• Prisma Cuadrangular • Prisma Hexagonal
El nombre de un prisma se da según el polígono de la
base.
Es el poliedro cuyas caras son regiones
paralelogramos inclinadas y sus bases son regiones
poligonales pertenecientes a planos paralelos.
Prisma oblicuo
Es el que tiene sus caras laterales perpendiculares a
las bases
En el prisma recto, las caras laterales son todas
rectángulos. Si sus bases son polígonos regulares, el
prisma se llama regular.
Prisma Recto
Los prismas cuyas bases son paralelogramos se
llaman paralelepípedos. En un paralelepípedo, sus
seis caras son paralelogramos.
Paralelepípedos
Cada uno de los dos cuerpos geométricos que se
obtienen al partir un prisma por un plano que corta a
todas sus aristas laterales se llama tronco de prisma.
Tronco de un prisma
Área de un Prisma
Para calcular su área lateral se emplea la siguiente fórmula:
ALATERAL = (perímetro de la base) (altura del prisma)
Y para obtener el área total del prisma solamente tendríamos
que sumar, al área lateral, el área de las dos bases del prisma.
ATOTAL = ALATERAL + 2ABASE
Volumen de un Prisma
Para calcular el volumen de un prisma se deben
multiplicar sus dimensiones.
V = largo x ancho x altura
Observa que el producto de las dos primeras
dimensiones (largo y ancho) es precisamente el área de
la base.
Para hallar el volumen de un prisma, podemos utilizar la
relación:
VPRISMA = [Área de la base] · [Altura del prisma]
Ejemplo
• Un campo de golf tiene cárcamo de bombeo para surtir de agua al sistema de riego, el cárcamo tiene forma de un prisma rectangular, la base tiene un ancho de 3 m de largo y 2m de ancho, calcule el volumen de agua que puede almacenar el cárcamo si tiene una altura de 5m
• Solución: ÁreaBase*Altura A=(3*2)*5=30m3
Ejemplo 2
• Un campo de golf tiene cárcamo de bombeo para surtir de agua al sistema de riego, por cuestiones de diseño el cárcamo tiene forma de un prisma hexagonal de 2.5 m por lado y apotema, calcule el volumen de agua que puede almacenar el cárcamo si tiene una altura de 5m
Ejemplo 3. Un poco más complejo• Se desea saber el volumen de arena necesario para
reestablecer la práctica larga del campo de golf Chapingo, suponiendo que la práctica tiene las siguiente forma y se requiere una cama de siembra de 20 cm.
Solución
• Triángulo (9.9 , 10.4, 1)
• Semiperimetro s=(9.9+10.4+1)/2=10.65
• Formula A = 𝑠 𝑠 − 𝑎 − (𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)
• A= 10.65(10.65−9.9)−(10.65−10.4)−(10.65−1)=4.389cm2
• Volumen de un prisma V=Abase * altura
• V=4.389*0.2= 0.8779486 cm3
Piramides
La pirámide es un poliedro que tiene por base un
polígono y por caras laterales varios triángulos con un
vértice en común.
La altura de la pirámide es la distancia del vértice a
la base.
Nombre de una Pirámide
Una pirámide se llama triangular, cuadrangular,
pentagonal … según que su base sea un triángulo, un
cuadrilátero, un pentágono …
Pirámide Regular
Una pirámide es regular si su base es un polígono regular y el vértice
se proyecta (cae perpendicularmente) sobre el centro de la base. En
una pirámide regular las caras laterales son triángulos isósceles cuyas
alturas se llaman apotemas de la pirámide.
Área Lateral de una Pirámide
En una pirámide regular se cumple que:
El área lateral es igual al producto del semiperímetro de la
base por la longitud de la apotema de la pirámide.
ALATERAL = semiperímetro · apotema
Área total de una Pirámide
En una pirámide cualquiera se cumple que :
El área total esta determinada por la suma de las
áreas de las caras laterales y el área de la base
ATOTAL = ALATERAL + ABASE
Volumen de una Pirámide
El volumen de una pirámide es igual a un tercio del
volumen del prisma.
VPIRÁMIDE = 1/3 VPRISMA
VPIRÁMIDE = 1/3 (ABASE) (altura)
Cuerpos Redondos
En la naturaleza observamos muchos cuerpos
geométricos. En esta sección estudiaremos sobre los
cuerpos redondos. Los cuerpos redondos tienen algo
esférico. Como la esfera por ejemplo, si se dan cuenta
no tiene lados es todo circular.
Sólido generado por la rotación completa de un rectángulo
alrededor de uno de sus lados, llamado eje.
Radio
Altura
Generatriz
Bases
AO
BO’
Cilindro Recto
• Bases: dos círculos paralelos
• Radio (r): AO = BO’
• Altura (h): OO’, perpendicular trazada entre las
bases.
• Generatriz (g): AB, lado del rectángulo que gira
alrededor del eje.
Área lateral (AL)
AL = 2πr · g
Area Total (AT)
AT = AL + 2ABASE
AT = AL + 2πr2
Volumen (V)
V = ABASE · h
V = πr2 · h
Cono Recto
Es el sólido originado por la rotación completa de un
triangulo rectángulo alrededor de uno de los lados
que forman el ángulo recto.
V
O B
Radio
Vértice
Base
Altura
Generatriz
Elementos del Cono
• Vértice: V, punto cúspide del sólido
• Altura (h): VO, perpendicular trazada del vértice a la
base.
• Base: circulo generado por la base del triangulo
rectángulo que rota.
• Generatriz (g): VB, lado del triangulo que rota
alrededor del eje.
Area y Volumen del Cono
• Área Lateral (AL):
AL =πr · g
• Área Total (AL):
AT = AL + πr2
• Volumen (V):
V = 1/3 πr2h
Esfera
Es el sólido limitado por una superficie cuyos puntos están
todos a la misma distancia de otro punto interior llamado
centro.
Diámetro
Radio
Centro
Elementos, Area y Volumen
• Diámetro: segmento que pasa por el centro y cuyos
extremos son dos puntos de la superficie de la
esfera.
• Radio (r): segmento que une el centro con cualquier
punto de la circunferencia.
Area (A):
A = 4πr2
Volumen (V):
V = 4/3πr3
Porcentajes
Definición
• Se llama tanto por ciento de un número a una de las cien partes iguales en que se pude dividir dicho número. Por tanto el % no indica un número constante, sino una proporción de una cantidad de interés
• El signo es %
ES UNA FORMA ESPECIAL DE EXPRESAR UNA FRACCIÓN
Notación Fraccionaria vs Notación DecimalPara calcular un tanto porcentaje de un número debemos considerar la siguiente fracción:
𝑋
100Donde X puede ser cualquier Número o cantidad de interés Existen equivalencias entre la notación de porcentaje y la notación fraccionariaOBTENER UN PORCENTAJE SE CONVIERTE EN CALCULAR LA FRACCIÓN EQUIVALENTE CORRESPONDIENTE AL NÚMERO DE INTERES
Vamos a resolver problemas relacionados con los números fraccionarios y porcentajes. En algunos ejemplos verás que se pueden resolver de dos formas: sin utilizar fracciones en los cálculos o utilizándolas. En ambas formas nos ayudaremos de un dibujo para reflejar los datos. Sin embargo, en otros ejemplos sólo utilizaremos fracciones y no nos ayudaremos de dibujo porque reflejar los datos en uno puede ser muy complicado.
Ejemplo 1: Dada la cantidad total hallar la cantidad que corresponde a una fracción de ella, expresar el resultado también en porcentaje
A Pedro le dan semanalmente 24 sacos de fertilizante y se gasta . ¿ Cuánto bultos se gasta ?4
3
24
x 24 : 4 = 6
6 . 3 = 18
Solución:
Gasta 18
24
x18
4
3.2424de
4
3
Solución:
Gasta 18
PROBLEMAS
Si lo representamos en términos de porcentaje sería:
24 bultos corresponde al 100% de la cantidad de fertilizante.¾ significa el 75% del total ¾=0.75 expresado en porcentaje el 75%¿Cuánto es el 75% de 24 bultos”24/100=0.24 que corresponde al 1% 0.24*75=18 bultos(24*75)/100= nos daría el numero de bultos = 18 bultos
Conversión de unidades
Ejemplo: Se desea saber la equivalencia en metros cuadrados de un Green que mide 581 pies2.
1 pie2 = 0.0929m2581 pie2 = x x= 54.97 m2
Escalas
SoluciónEjemplo: DETERMINACION DE LA ESCALA
En el ejemplo sabemos que las medidas del objeto son mayores que las medidas del dibujo por lo tanto
ESCALA= DIBUJO < 1
OBJETO
Para representar el ancho y el alto del edificio tendremos respectivamente :
Escala = dibujo = 210
objeto 60000
Escala = dibujo = 297
objeto 70000
Como al menos uno de los dígitos debe ser igual a uno dividimos ambos términos de la
proporción por el menor de ambos, en el primer caso 210 y en el segundo 297
Ejemplo: DETERMINACION DE LA ESCALA
Para representar el ancho y el alto del edificio tendremos respectivamente :
210
Escala 1 = dibujo = 210
objeto 60000
210
Escala 1= dibujo = 1
objeto 285,71
297
Escala 2 = 297
70000
297
Escala 2= 1
235,69
De ambas adoptamos una escala de mayor denominador que las obtenidas
Si tomamos una escala normalizada trabajaremos con 1:500
Podemos optar por una escala no normalizada justificándola. Ej. 1: 300
En la práctica es necesario que la escala gráfica tenga unarepresentación adecuada, de manera que su utilización no presentedificultad. Esta representación es la siguiente.
10 0 10 m
talón pie
ESCALA GRAFICA
El pie es un segmento de recta que presenta una unidad real o bien su múltiplo o submúltiplo decimal.
El talón es un pie subdividido en diez partes iguales (o en cinco si es muy pequeño), el cual se colocaa la izquierda del origen (0).
La unidad (dimensiones), que tienen los números indicadores sobre la escala, es un elemento muyimportante, ya que sin ella la escala gráfica queda indefinida. No es la misma escala si cierta longituddibujada representa 10 m reales, que si dicha longitud representa 10 Km.
Estadística Básica
Definición
• Es una disciplina de la matemática para el análisis del comportamiento de poblaciones y fenómenos para describir o predecir su comportamiento
Usar la estadística en:
Parámetros de la estadística
• Medidas de tendencia central• Moda
• Mediana
• Media o promedio
Parámetros estadísticos
• Medidas de dispersión• Varianza
• Desviación estándar
Parámetros estadísticos
Construcción de modelos
Contacto
• Raciel Hernández Hernández
• Profesor del área de estadística. Departamento de Parasitología Agrícola
Gracias…
