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MS5:COMPLEMENTS DE DYNAMIQUE DES STRUCTURESMS5:COMPLEMENTS DE DYNAMIQUE DES STRUCTURESLES MODES PROPRES CONCENTRENT L’INFO LES MODES PROPRES CONCENTRENT L’INFO
MÉCANIQUE DES STRUCTURESMÉCANIQUE DES STRUCTURES
Programme Mécanique II - Mécanique des Structures 2004-2005
MS1 (02/12): Les méthodes énergétiques: Des méthodes « éclair » pour calculer des poutres à liaisons multiples• TD 1(02/12):Pont-Stade de France
MS2(10/12) :Structures complexes: les éléments finis simplifient les calculs• TD2(10/12) :Arbre d’alternateur
MS3(16/12) :Plaques :du 3D au 2D• TD3(16/12) :Etage cryogénique d'Ariane V: Plaque de révolution en flexion
MS4(06/01) : le flambement :un exemple d'instabilité• TD4(06/01) :Flambement par dilatation des rails de chemin de fer
MS5 (13/01):Vibrations des structures (compléments): les modes propres concentrent l’info• TD5(13/01) :Réponse dynamique d’un poteau de basket
Etude dynamique d'un arbre d'alternateur
MS5:COMPLEMENTS DE DYNAMIQUE DES STRUCTURESMS5:COMPLEMENTS DE DYNAMIQUE DES STRUCTURESLES MODES PROPRES CONCENTRENT L’INFO LES MODES PROPRES CONCENTRENT L’INFO
1.THEOREME DES PUISSANCES 1.THEOREME DES PUISSANCES VIRTUELLES POUR UN SOLIDE ELASTIQUEVIRTUELLES POUR UN SOLIDE ELASTIQUE2.PRINCIPE DE HAMILTON (pm)2.PRINCIPE DE HAMILTON (pm)3.MATRICES DE MASSE ET RIGIDITE3.MATRICES DE MASSE ET RIGIDITE4.VIBRATION DES SYSTEMES CONTINUS:4.VIBRATION DES SYSTEMES CONTINUS:PERFORMANCES DES ELEMENTS FINISPERFORMANCES DES ELEMENTS FINIS••Poutre en TCPoutre en TC••Poutre en flexionPoutre en flexion••Différentes CL, chargements,FRF Différentes CL, chargements,FRF ••GénéralisationGénéralisationETUDE de CASETUDE de CAS
-Solide élastique linéaire -Petits mouvements autour d ’une position d’équilibre-Les forces sont réparties à la frontière :
théorème des travaux(puissances) virtuellessi w est un champ cinématiquement admissible:
-δU+ δWext=0
dS),(dV),(dV),(dV))().((Tr Sv ∫∫∫∫Ω∂ΩΩ
Ω++ρ−= wfwfwuweus &&
On discrétise les déplacements(réels et virtuels) suivant un nombre fini de :
-fonctions de base wj,-associées à un vecteur qj de coordonnées généralisées
(éléments finis ,déformées hypothétiques,ou expérimentales…..)
1.THEOREME DES PUISSANCES VIRTUELLES POUR UN 1.THEOREME DES PUISSANCES VIRTUELLES POUR UN SOLIDE ELASTIQUE SOLIDE ELASTIQUE
[ ] [ ]
=== ∑
= M
MLL jjj
n
1jj qq)x()x( wwqWu
dS)qw,(dV)qw,(dV)qw,qw(dV))qw().qw((TriiSiiviijjiijj ∫∫∫∫
Ω∂ΩΩΩ
++−= ffes &&
espace temps
dS),(dV),(dV),(dV))().((Tr Sv ∫∫∫∫Ω∂ΩΩ
Ω++ρ−= wfwfwuweus &&
1.THEOREME DES PUISSANCES VIRTUELLES POUR UN 1.THEOREME DES PUISSANCES VIRTUELLES POUR UN SOLIDE ELASTIQUE SOLIDE ELASTIQUE
...dS)w,f(qqdVwwqqdV))w().w((Trq iSt
jijt
jijt +
=
ρ+
εσ ∫∫∫
Ω∂ΩΩ
M
M
M
&&M
O
O
M
M
O
O
FqMKq
FqqMqKqq
=+
=+
&&
&& ttt
[ ] [ ] [ ] [ ]LLM
M
M
MLL
i
ti
ttttjj qq ,wqq)x( ,qq)x( =
==
== WwwWu
dS)qw,(dV)qw,(dV)qw,qw(dV))qw().qw((TriiSiiviijjiijj ∫∫∫∫
Ω∂ΩΩΩ
++−= ffes &&
1.THEOREME DES PUISSANCES VIRTUELLES POUR UN 1.THEOREME DES PUISSANCES VIRTUELLES POUR UN SOLIDE ELASTIQUE SOLIDE ELASTIQUE
∫∫Ω∂Ω
+=
= dSt),(dV),(F,F nSnVnn wfwfF
M
M
Second membre:
. La modélisation en éléments finis reporte donc les forces extérieures éventuellement réparties dans le volume ou à la surface du solide en un ensemble de forces équivalentes associées aux coordonnées généralisées qiOn applique quelquefois directement les forces aux nœuds du maillage
1.THEOREME DES PUISSANCES VIRTUELLES POUR UN 1.THEOREME DES PUISSANCES VIRTUELLES POUR UN SOLIDE ELASTIQUE SOLIDE ELASTIQUE
2.PRINCIPE DE HAMILTON 2.PRINCIPE DE HAMILTON
À voir dans le poly
∫Ωρ= dV))(),((M jiij xwxw[ ] j
n
1jjq∑
=
== wqWu
( ) ( )[ ]∫Ω= dv.TrK jiij wewsIntégrale volumique(3D),linéique(poutre),surfacique(plaque,coque)
3.MATRICES DE MASSE ET RIGIDITE3.MATRICES DE MASSE ET RIGIDITE
Application 1 :barre en traction -compression
lx)x(w et),
lx1()x(woù
),x(wq)x(wqlx
q)lx
1(q)x(u
21
221121
=−=
+=+−=
qMq &&t21
T =
dx
Lx
Lx
1Lx
Lx
1Lx
Lx
1S
L
0 2
2
∫
−
−
−
ρ=M
=
ρ=
2112
6m
2112
6SL
M∫Ωρ= dV)x(w)x(wM jiij
Matrice de masse:
3.MATRICES DE MASSE ET RIGIDITE3.MATRICES DE MASSE ET RIGIDITE
x
u(x,t)q1q2
A1A2
Application 1:barre en traction -compression
[ ] [ ] ε
εε
εε
= ∫ dxqq
)w()w()w()w(
q,q2
ESU
2
1211111
211
111L
021
dx
L1
L1
L1
L1
L1
L1
L1
L1
ESKL
0∫
−
−
−
−
=
−
−=
1111
LES
K
Matrice de rigidité
3.MATRICES DE MASSE ET RIGIDITE3.MATRICES DE MASSE ET RIGIDITE
lx)x(w et),
lx1()x(woù
),x(wq)x(wqlxq)
lx1(q)x(u
21
221121
=−=
+=+−=
x
u(x,t)q1
q2
A1A2
Application1 :barre en traction -compresssion
Ex:Combien de modes peut-on calculer avec un élément:Pour une poutre encastée-libre?
−
−=
1111
LES
K
=
ρ=
2112
6m
2112
6SL
M
Pour une poutre libre-libre?
3.MATRICES DE MASSE ET RIGIDITE3.MATRICES DE MASSE ET RIGIDITE
Application 2 :poutre en flexion(Euler-Bernoulli)
qMq &&t21
T =
,
2
2
1
1
=
ω
ωu
u
q
[ ][ ] ,dx SM L0
t
ρ= ∫ WW
−−−
=
2
22
4221563134135422156
420Lsym
LLLLLL
mM
Matrice de masse:
∫Ωρ= dV)x(w)x(wM jiij
[ ] [ ]q )x(q )x(w),x(w),x(w),x(w)x(u 4321 W==
3.MATRICES DE MASSE ET RIGIDITE3.MATRICES DE MASSE ET RIGIDITE
u(x)x
ω1
ω2
2
1
[ ][ ]dx )x( )x(EIK L0
t∫ ′′′′= WW23
22
13
12
2
22
3 u
u
L4symL612
L2L6L4L612L612
LEI
K
ω←←
ω←←
−−−
=
Matrice de rigidité
dsds
udEI
21
UL
02
2
∫
=
,
2
2
1
1
=
ω
ωu
u
q [ ] [ ]qxWqxwxwxwxwxu )( )(),(),(),()( 4321 ==
3.MATRICES DE MASSE ET RIGIDITE3.MATRICES DE MASSE ET RIGIDITE
Application 2 :poutre en flexion(Euler-Bernoulli) u(x) x
ω1
ω2
2
1
23
22
13
12
2
22
3 u
u
L4symL612
L2L6L4L612L612
LEIK
ω←←
ω←←
−−−
=Matrice de rigidité
−−−
=
2
22
L4symL22156
L3L13L4L1354L22156
420m
M
Matrice de masse:
,u
u
q
2
2
1
1
ω
ω=
[ ] [ ]q )x(q )x(w),x(w),x(w),x(w)x(u 4321 W==
3.MATRICES DE MASSE ET RIGIDITE3.MATRICES DE MASSE ET RIGIDITE
Application 2 :poutre en flexion(Euler-Bernoulli) u(x) x
ω1
ω2
2
1
Application:poutre en flexion(Euler-Bernoulli)
23
22
13
12
2
22
3
4612
264612612
ω
ω
←←←←
−−−
=u
u
LsymL
LLLLL
LEI
K
Matrice de rigidité
−−−
=
2
22
4221563134135422156
420Lsym
LLLLLL
mM
Matrice de masse:
Exemples: calcul du premier mode propre en flexion d'une poutre encastrée,
−
−= 2422
22156420
'LL
LmM
23
22
23 46612
'ω←
←
−
−=
uLLL
LEI
K
3.MATRICES DE MASSE ET RIGIDITE3.MATRICES DE MASSE ET RIGIDITE
Et pour une structure complexe ( assemblage de structures simples-éléments finis) ?
qKq
qMq
t
t
21
U
21
T
=
= &&
Les mêmes règles dmêmes règles d ’assemblage’assemblages ’appliquent pour les matrices de masse et de rigidité
3.MATRICES DE MASSE ET RIGIDITE3.MATRICES DE MASSE ET RIGIDITE
4.1.Barre en traction-compression.4.1.1Mise en équations(rappel)
tu
xu
Ex 2
2
∂∂
ρ=
∂∂
∂∂
tje)x(Ut),x(u ω=
0)x(Uxd
)x(UdE 22
2
=ρω+
,E
k si ρ
ω=
4.VIBRATION DES SYSTEMES CONTINUS:4.VIBRATION DES SYSTEMES CONTINUS:PERFORMANCES DES ELEMENTS FINISPERFORMANCES DES ELEMENTS FINIS
x
u(x,t)
σ11
)kxsin(B)kxcos(A)x(U +=
4.1.2 Barre en traction-compression: barre encastrée-libre et approximation par éléments finis
)kxsin(B)kxcos(A)x(U ,E
k +=ρ
ω=
0)kLcos(Bksoit ,0)Lx(0Asoit ,0)0x(u
11 ===σ===
CL
( ) ( ) 1n,xL2
1n2sinBUet ,2
1n2LE nn
≥
π−=
π−=
ρω
x
u(x,t)
4.VIBRATION DES SYSTEMES CONTINUS:4.VIBRATION DES SYSTEMES CONTINUS:PERFORMANCES DES ELEMENTS FINISPERFORMANCES DES ELEMENTS FINIS
4.1.2 Barre en traction-compression: barre encastrée-libre et approximation par éléments finis
=
−
−+
ω−
2
1
2
12
FF
1111
LES
2112
6m
,LE3
soit ,0qL
ES2
6m
22
22
ρ=ω=
+ω−
Solution exacte: 222
21 L
E46.2
LE
4 ρ=
ρπ
=ω( )ρ
π−=ω
EL2
1n2n
x
u(x,t)
q2
q1=0
4.VIBRATION DES SYSTEMES CONTINUS:4.VIBRATION DES SYSTEMES CONTINUS:PERFORMANCES DES ELEMENTS FINISPERFORMANCES DES ELEMENTS FINIS
4.2.Poutre en flexion.4.2.1.Mise en équations-CL
0t),x(tu
S)t,x(xu
EI 22
4
4
=∂∂
ρ+∂∂
)tcos()x(U)t,x(u ϕ+ω=
Lkx
0eU)x(U = SEI
Lk
:soit ,0SLk
EI4
224
ρ
=ω=ρω−
Solution générale:
+
+
+
=
Lkx
DshLkx
CchLkx
sinBLkx
cosA)x(U
u(x,t)x
4.VIBRATION DES SYSTEMES CONTINUS:4.VIBRATION DES SYSTEMES CONTINUS:PERFORMANCES DES ELEMENTS FINISPERFORMANCES DES ELEMENTS FINIS
4.2.2 Poutre en flexion simplement appuyée
SEI
Lk
4
2
ρ
=ω
Les CL conduisent à sink=0, k=nπ
2
2
n L2n
SEI
fπ
ρ=
Déformée modale: 1n,L
xnsinUU 0n ≥
π=
CL:U(0) =0, M(0)=0U(L =0, M(L)=0
U(x)x
)t,x(xU
EIM 22
∂∂
=
4.VIBRATION DES SYSTEMES CONTINUS:4.VIBRATION DES SYSTEMES CONTINUS:PERFORMANCES DES ELEMENTS FINISPERFORMANCES DES ELEMENTS FINIS
4.2.2 Poutre en flexion simplement appuyée: approximation EF
23
22
13
12
2
22
3 u
u
L4symL612
L2L6L4L612L612
LEIK
ω←←
ω←←
−−−
=
−−−
=
2
22
L4symL22156
L3L13L4L1354L22156
420m
M
1 élément poutre de longueur L
−−
=2
2
4334
420'
LLLLm
M
23
13
22
22
3 L4L2L2L4
LEI
'Kω←ω←
=
Conditions limites:u(0)=u1=0, u(L)=u2=0Inconnues: rotations ω1 ,ω2
U(x)x
ω1
ω2
4.VIBRATION DES SYSTEMES CONTINUS:4.VIBRATION DES SYSTEMES CONTINUS:PERFORMANCES DES ELEMENTS FINISPERFORMANCES DES ELEMENTS FINIS
4.2.3 Poutre en flexion:autres CL:Poutre encastrée-libre
u(x)
x
Modèle 1 élément fini: pale ou mâtConditions aux limites: u(0)=u1=0,du/ds(0)= ω1=0 Inconnues: u(L)=u2,du/ds(L)= ω2
4.VIBRATION DES SYSTEMES CONTINUS:4.VIBRATION DES SYSTEMES CONTINUS:PERFORMANCES DES ELEMENTS FINISPERFORMANCES DES ELEMENTS FINIS
4.2.3 Poutre en flexion:autres CL:Poutre encastrée-libre
u(x)
x
Matrice de rigidité
Matrice de masse:
−
−= 2L4L22
L22156420m
'M
23
22
23
uL4L6L612
LEI
'Kω←
←
−
−=
23
22
13
12
2
22
3
4612
264612612
ω
ω
←←←←
−−−
=u
u
LsymL
LLLLL
LEI
K
−−−
=
2
22
4221563134135422156
420Lsym
LLLLLL
mM
4.VIBRATION DES SYSTEMES CONTINUS:4.VIBRATION DES SYSTEMES CONTINUS:PERFORMANCES DES ELEMENTS FINISPERFORMANCES DES ELEMENTS FINIS
4.2.3 Poutre en flexion:autres CL:Poutre encastrée-libre
u(x)
x
4.VIBRATION DES SYSTEMES CONTINUS:4.VIBRATION DES SYSTEMES CONTINUS:PERFORMANCES DES ELEMENTS FINISPERFORMANCES DES ELEMENTS FINIS
0u
L4L6L612
LEIu
L4L22L22156
420m
2
2
232
2
2 =
ω
−
−+
ω
−
−&&&&
Solutions:
421 SL
EI47,12
ρ=ω 4
22 SL
EI3,1211ρ
=ω
Solutions "exactes" système continu
421 SL
EI36,12
ρ=ω
422 SL
EI5,485
ρ=ω
Seule la première FP est bien approximée, AVEC 1 ELEMENT!
4.3 Poutre en flexion/excitation spatiale variable dans le temps
•Idée:projeter sur les modes propres, comme en
dimension finie•Outil:Théorème des puissances virtuelles(TPV)•Pourquoi ça marche:Les modes propres sont orthogonaux par rapport aux opérateurs (que l'on va définir) de masse et rigidité:découplage des équations
4.VIBRATION DES SYSTEMES CONTINUS:4.VIBRATION DES SYSTEMES CONTINUS:PERFORMANCES DES ELEMENTS FINISPERFORMANCES DES ELEMENTS FINIS
4.3 Poutre en flexion/excitation variable dans le temps. Opérateurs de masse et rigidité
t),x(ft),x(tu
S)t,x(x
uEI 2
2
4
4
=∂∂
ρ+∂∂
Opérateurs de masse et rigidité:
0v(x)dx)x(SUdx)x(vdx
)x(UdEI
L
0
2L
0 4
4
=ρω− ∫∫
02 >=< MUv,KUv,
Définition des opérateurs de masse et rigidité
TTV:f(x,t)=0u(x,t)=ν(x)e jωt
Opérateurs de masse et rigidité:
M et K symétriques et autoadjoints, il existe une base qui diagonalise simultanément M et K
n2nn
2n
n
mU
,nm si 0
ω>==<
≠>=>=
4.3 Poutre en flexion/excitation variable dans le temps. Réponsesur une base modale
∑∞
=
Υ=1j
jj )t(q)()t,( xxu
)t,x(fx
)x(U)t(EIq)x(U)t(qS
1j4
j4
jjj =
∂
∂+ρ∑
∞
=
&&
dx)x(U)t,x(fdx)x(Ux
)x(UEI)t(qdx)x(U)x(SU)t(q n
L
01j
L
0 n4
4
jn
L
0 jj ∫∑ ∫∫ =
∂
∂+
ρ
∞
=
&&
Développement/projection de la solution sur les modes
Application du Théorème des travaux virtuels, chmp virt. Un(x):
4.3 Poutre en flexion/excitation variable dans le temps. Réponsesur une base modale
Projection de l ’excitation sur Un:Mode d'autant plus excité que:Forces"spatialement appropriées" à la déformée du mode
[ ] ∫ ==ω+L
0 nn2nnn ...2,1n,dx)t,x(f)x(U)t(q)t(qm &&
Découplage des modes (dénombrables)
4.3 Poutre en flexion/excitation variable dans le temps. Réponsesur une base modale
[ ] ..2,1n),t(f)x(U)t(q)t(qm0x0nn
2nnn ==ω+&&
En transformée de Fourier
[ ] )j(F)x(U)j(Qm0x0nn
2n
2n ω=ωω+ω−
Cas d'une excitation ponctuelle: . ),xx(f)t,x(f 0x0 −δ=
En redéveloppant: ∑∞
=
ω=ω1j
jj )j(Q)x(U)j,x(U
4.3 Poutre en flexion/excitation variable dans le temps. Réponsesur une base modale
∑∞
= ω−ω=
ωω
=ω1n
22nn
0nn
x0 )(m
)x(U)x(U)j(F)j,x(U
)j,x,x(H0
Réponse en fréquence : FRF: x/x0
Réponse sur le mode n:-proportionnelle à la déformée du mode n au point d’observation-proportionnelle à la déformée du mode n au point d’excitation-infinie(!!!) à la fréquence de résonance
U(x)x
Un(x0)
F
Exemple:Poutre en flexion simplement appuyée
U(x)x
Un(x0)
F
Exemple:Réponse dynamique d'un pontMais valable pour sollicitation ponctuelle, harmonique…Sinon , calculer les modes par EF et projeter….
4.3 Poutre en flexion/excitation variable dans le temps. Réponsesur une base modale
exemple: Poutre en flexion simplement appuyée
∑∑∞
=
∞
=
+
=+
=1
42
0
1220
02
nn nn
nn
Ln
SEIp
Lxn
Lxn
SLjmxUxU
pxxHπ
ρ
ππ
ρωω
sinsin
)()()(
),,(
Fonction de transfert:réponse en x à une excitation en x0:
FRF:p=jω
U(x)x
Un(x0)
F
4.3 Poutre en flexion/excitation variable dans le temps. Réponsesur une base modale
exemple: Modèles de pont
4.3 Poutre en flexion/excitation variable dans le temps. Réponsesur une base modale
4.4.Généralisation4.4.1 opérateurs de masse et rigidité
Opérateur de masse: poutre dx),(S
3D) solideun (pour dV),(L
0∫∫
ρ=
ρ>=<Ω
vu
vuMuv,
Opérateur de rigidité:
poutre dx)x(vx
)x(uEI) 3D solideun pour (,dV))().(s(Tr
L
0 4
4
∫∫ ∂∂
=>=<Ω
veuKuv,
Il existe une infinité dénombrable de modes orthogonaux par rapport à M et K
n2n
2n m
,nm si 0
ω>==<
≠>=>=
4.4.Généralisation-EXEMPLES
Modes propres d’une maquette de batiment
4.4.Généralisation-EXEMPLES
4.4.Généralisation-EXEMPLES
4.4.Généralisation-EXEMPLES
La projection de la réponse sur les modes, et l'application du TPV au mode n donne:
En temporel:
∑∞
=
=1j
jj )t(q)x()t,x( Uu
[ ] ∫ Ω∂=ω+ dS)x()t,()t(q)t(qm nn2nnn Ux?&&Excitation ponctuelle
[ ] ..2,1n),t()()t(q)t(qm nn2nnn =Υ=ω+ 0xfx&&
4.4.Généralisation-EXEMPLES
:la timbale:un exemple de couplage la timbale:un exemple de couplage vibroacoustiquevibroacoustique
Excitation ponctuelle
[ ] ..2,1n),t()x()t(q)t(qm0xnn
2nnn ==ω+ fU&&
4.4.Généralisation-EXEMPLES
FRF réponse en fréquence
∑∞
= ω+ωωζ+ω−=
ωω
=ω1n
2nnn
2n
0nn
x0 )j2(m
)x(U)x(U)j(F)j,x(U
)j,x,x(H0
Ex FRF d'une caisse de voiture, roue…
4.4.Généralisation-EXEMPLES
La roue résonne suivant ses modes propres (1600-4000Hz) et rayonne dana ce domaine de fréquences
Les traverses rayonnent autour de 400 Hz.
Des défauts microscopiques(1-10 µm) excitent la roue et le rail
Des ondes/modes sont générés dans le rail
• Le bruit de roulement : – Développement du modèle TWINS (ERRI/UIC) 1990-1995– Modèle quantitatif (2/3dB(A)):
Application:réduction du bruit de roulement des trainsApplication:réduction du bruit de roulement des trains
ETUDE de CASETUDE de CAS
4pplication:réduction du bruit de roulement des trains pplication:réduction du bruit de roulement des trains :dynamique de la voie:dynamique de la voie
F,u
102
103
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
fréquences (Hz)
accé
léra
nce
(en
dB r
ef 1
m.s
-2/N
Accelerance verticale LGV NORD Voie 2 Tsemelle=10°C
modèle railmodèle traversemesures
Aplomb traverse
milieu deux traverses
rail
ETUDE de CASETUDE de CAS
–– Bruit de roulement des trains:Bruit de roulement des trains:–– Parts relatives des contributions roue et voieParts relatives des contributions roue et voie
ETUDE de CASETUDE de CAS
∑∞
= ++−=
122
0
20 n nnnn
nn
x jmxUxU
jFjxU
)()()(
)(),(
ωωωζωωω
–– Bruit de roulement des trains:Bruit de roulement des trains:–– Parts relatives des contributions roue et voieParts relatives des contributions roue et voie
40,0
50,0
60,0
70,0
80,0
90,0
100 1000 10000
Frequency (Hz)
SP
L (d
Bre
f 2e
-5P
a)
Lp total
Lp rail
Lp roue
Lp traverse
traverse rail roue
ETUDE de CASETUDE de CAS
4. Application:réduction du bruit de roulement:modes Application:réduction du bruit de roulement:modes propres dpropres d ’une roue de chemin de fer’une roue de chemin de fer
∑∞
= ++−==
1n2nnn
2n
0nn
x0 j2m
xUxUjFjxU
jxxH0
)()()(
)(),(
),,(ωωωζωω
ωω
Application à l ’optimisation acoustique de la roue
Quelques exemples ++
++
+
++
+ +
-
-
--
--
-
n = 2 n = 3 n = 4
-
ETUDE de CASETUDE de CAS
4.Application:pplication:
Question subsidiaire:Comment calculer la réponse d'une structure dont on a travaillé les modes
ETUDE de CASETUDE de CAS
L ’approche théorique pour modéliser le crissement consiste à :
Considérer le crissement comme une instabilitédynamique de l’équilibre stationnaire
Principe :
⇒Déterminer l’équilibre glissant : Zone contact, force normale Ne⇒Etude de stabilité de l’équilibre stationnaire (on introduit une
perturbation glissante)
Modélisation des fréquences Modélisation des fréquences crissantescrissantes
ETUDE de CASETUDE de CAS
Considérer le crissement comme une instabilitédynamique de l’équilibre stationnaire
⇒Linéarisation des équations - matrices de masse et de raideur non symétriques
⇒Analyse de stabilité : trouver les modes complexes associés au problème en projetant sur une base modale sans frottement tronquée
⇒un mode est instable si la partie réelle de sa valeur propre est positive
Modélisation des fréquences Modélisation des fréquences crissantescrissantes
ETUDE de CASETUDE de CAS
On calcule alors les termes de l'équation des vibrations du système, et les modes propres associés
0)..(.)..( ***
=++++ UfUUf ff KKCMM &&&
Modélisation des fréquences Modélisation des fréquences crissantescrissantes
ETUDE de CASETUDE de CAS
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x 104
-400
-200
0
200
400
600
800
Fréq (Hz)
• Experiment
• Theory
Re( )λ
Modélisation des fréquences Modélisation des fréquences crissantescrissantesETUDE de CASETUDE de CAS
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x 104
-400
-200
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200
400
600
800 • Experiment• Theory
Re( )λ
Fréq (Hz)
Modélisation des fréquences Modélisation des fréquences crissantescrissantesETUDE de CASETUDE de CAS
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ωωδωω
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COMPLEMENTS de DYNAMIQUE des STRUCTURES:COMPLEMENTS de DYNAMIQUE des STRUCTURES:MS6:COMMENT REDUIRE LES VIBRATIONS D’UNE STRUCTURE MS6:COMMENT REDUIRE LES VIBRATIONS D’UNE STRUCTURE
),()()(
)cos()(11
tfthtx
teBBqBth iit
it
n
iii
n
ii
i
∗=
+′== −==∑∑ ϕωδ
Réponse en fréquence
h(t):Réponse impulsionnelle
F-1:transformée de Fourier inverse
Se généralise pour un nombre de modes infini
*: produit de convolution