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DISEO EXPERIMENTALEl Diseo es una etapa fundamental de la experimentacin, entindase por experimentacin a toda investigacin cientfica que se realiza por la repeticin del mismo. El diseo comprende la forma de aplicar los tratamientos a las unidades experimentales y mediante un modelo estadstico cuantificar la variacin debido a factores controlables. Entre los diseos ms conocidos y utilizados en medios controlados es el completo al azar, que es el diseo frecuentemente utilizado en la experimentacin industrial. Porqu disear el experimento? En primer lugar el investigador se formula una serie de preguntas, que espera tener respuesta al realizar el experimento, por ejemplo: Cmo medir el efecto de estudio?, Cules sern las caractersticas a analizar? Qu factores afectan a las caractersticas de estudio?. Qu factores deben estudiarse?. Cuntas veces debe realizar experimentos preliminares antes de conducir un experimento formal?. Cul seria el modelo de estudio para los datos del experimento?.

Muchas preguntas ms se formularn y el investigador estar obligado a tener muchas consideraciones en el planeamiento del experimento. Qu objetivo debe lograr el investigador al disear el experimento?. Conseguir toda la informacin relacionada al problema en estudio. Lograr un diseo simple y eficiente como sea posible. Optimizar los recursos de tiempo, dinero, personal y material experimental.

Por estas razones en necesario el asesoramiento de un especialista en estadstica para las primeras etapas del proyecto de investigacin. PRINCIPIOS BASICOS DEL DISEO EXPERIMENTAL El tema del diseo experimental ha recibido siempre mucha atencin. Ahora el investigador dispone de nuevos mtodos estadsticos para la solucin de los problemas que involucra las condiciones del ambiente y de los factores en estudio, mediante el uso de diseos adecuados y anlisis estadstico apropiado, las decisiones son confiables. Gran parte del progreso reciente en la teora y aplicacin del diseo y anlisis de datos se suman al esfuerzo para satisfacer las necesidades en la investigacin industrial y tambin otros campos de la investigacin como la biologa, medicina, agrcola, etc. Los principios bsicos del diseo experimental son tres: Aleatorizacin, repeticin y control local (Figura 1). Aleatorizacin Este principio es nico en la experimentacin moderna, es esencial para la validez del error experimental y reducir al mnimo del sesgo en los resultados. Tambin es una condicin necesaria para el cumplimiento de supuesto respecto a las probabilidades asociadas con afirmaciones fiduciarias y pruebas de hiptesis (Figura 1).

2Es importante recordar que el clculo del error experimental depende de las diferencias de unidades tratadas en forma similar. Tal clculo ser vlido solo cuando pares de unidades tratadas por igual. Repeticin Se entiende por evaluar lo mismo una vez mas. La relacin con los otros principios bsicos se muestra en la figura 1.

I Repeticin

II Distribucin aleatoria

III Control local

Validez de los clculos del error

Disminucin del error

Figura 1. Diagrama de los principios en los cuales los mtodos experimentales modernos han evolucionado. Es evidente en este diagrama que la repeticin funciona (a) a proveer un clculo de la magnitud del error al cual se someten las comparaciones y (b) a disminuir el error experimental. En lo que se refiere a la primera funcin de la repeticin, las diferentes variedades o tratamientos en el experimento deben organizarse aleatoriamente para satisfacer la base matemtica para un clculo del error. La segunda funcin de la repeticin es la disminucin del error, puede llevarse a cualquier grado de precisin, a condicin de que un nmero suficiente de replicaciones se use junto con el control local. La variacin de cualquier comparacin de tratamientos disminuye directamente con un aumento del nmero de replicaciones, mientras la informacin sobre la comparacin aumenta proporcionalmente. Es ms, el error estndar medio es inversamente proporcional a la raz cuadrada del nmero de replicaciones u observaciones, vale decir,

S

x

=

S n

Naturalmente el investigador quiere usar un nmero suficiente de replicaciones para lograr resultados confiables as como medir satisfactoriamente las diferencias. Es imposible determinar el nmero exacto de replicaciones necesarias para los experimentos. El nmero de replicaciones requeridas en los experimentos depende de tales factores como costo, trabajo, variabilidad del material, el tamao probable de las diferencias de promedios y el nivel de significacin deseada. Control local Un principio adicional del diseo experimental se llama el control local (figura 1). En el arreglo aleatorio de los tratamientos de un experimento, ciertas restricciones pueden invocarse para eliminar en parte la variacin total que son irrelevantes al hacer las comparaciones.

3Las diferencias entre las unidades experimentales de un mismo tratamiento se deben en parte al error experimental y tambin al promedio de la diferencia entre las repeticiones. La variabilidad entre las repeticiones es irrelevante a la prueba experimental cuando cada tratamiento ocurre solo una vez en una repeticin. Por consiguiente, la variacin debida a las repeticiones se quita en general del error experimental. En consecuencia, la precisin del experimento es mayor cuando una cantidad grande de la variabilidad del total se quita de esta manera.

Experimentos factoriales y factoriales fraccionados para la mejora de los procesos(Control de calidad: Montgomery)

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Qu es el diseo experimenta? Ejemplos de experimentos diseados en el mejoramiento de procesos. Pautas para el; diseo de los experimentos. Experimentos factoriales. Un ejemplo Anlisis estadstico Anlisis de residuales

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El diseo factorial 2k El diseo 22 El diseo para k>2 Una sola replica del diseo 2 k Adicin de puntos centrales en el diseo 2 k Separacin en bloques y confusin Replicas fraccionadas del diseo 2 k Media fraccin del diseo 2 k Fracciones menores (k-p)

En la mayora de los experimentos destinados a disear y mejorar procesos intervienen variables. En estas situaciones se usan los diseos factoriales y sus variantes. En los siguientes temas se hace una introduccin de los experimentos factoriales con nfasis en la mejora de los procesos y calidad. El tipo de factorial tratado es de 2 niveles y se indica como usarse en factoriales fraccionados en experimentos industriales. Temas importantes se incluyen el anlisis de los diseos experimentales y la utilizacin de mtodos grficos para interpretar los resultados. Se presentan la grfica de interaccin y la de superficie de respuesta como resultados de gran utilidad para la interpretacin de resultados.

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38 LA METODOLOGA 6 SIGMA QU ES? PARA QU SIRVE? CMO SE APLICA? REQUERIMIENTOS PARA SU IMPLEMENTACIN? ETAPAS DE IMPLEMENTACIN?El mtodo aplicado, que se denomina DMAMC (Definir, Medir, Analizar, Mejorar, Controlar), utiliza herramientas estadsticas, adems de dispositivos que observan las variables de los procesos y sus relaciones, que ayudan a gestionar sus caractersticas. Qu es Seis Sigma? Seis Sigma, es un enfoque revolucionario de gestin que mide y mejora la Calidad, ha llegado a ser un mtodo de referencia para, al mismo tiempo, satisfacer las necesidades de los clientes y lograrlo con niveles prximos a la perfeccin. Pero qu es exactamente Seis Sigma? Dicho en pocas palabras, es un mtodo, basado en datos, para llevar la Calidad hasta niveles prximos a la perfeccin, diferente de otros enfoques ya que tambin corrige los problemas antes de que se presenten. Ms especficamente se trata de un esfuerzo disciplinado para examinar los procesos repetitivos de las empresas. Literalmente cualquier compaa puede beneficiarse del proceso Seis Sigma. Diseo, comunicacin, formacin, produccin, administracin, prdidas, etc. Todo entra dentro del campo de Seis Sigma. Pero el camino no es fcil. Las posibilidades de mejora y de ahorro de costes son enormes, pero el proceso Seis Sigma requiere el compromiso de tiempo, talento, dedicacin, persistencia y, por supuesto, inversin econmica. Un tpico coste de no Calidad -errores, defectos y prdidas en los procesos- puede suponer el 20 30 por 100 de las ventas. El campo es amplio, incluso sin llegar al nivel Seis Sigma (3,4 errores o defectos por milln de oportunidades), las posibilidades de mejorar significativamente los resultados son ilimitadas. Solamente ser necesario que la organizacin ponga a disposicin sus capacidades y proceda de manera consistente con sus recursos. El comienzo Es esencial que el compromiso con el enfoque Seis Sigma comience y permanezca en la alta direccin de la compaa. La experiencia demuestra que cuando la direccin no expresa su visin de la compaa, no transmite firmeza y entusiasmo, no evala los resultados y no reconoce los esfuerzos, los programas de mejora se transforman en una prdida de recursos vlidos. El proceso Seis Sigma comienza con la sensibilizacin de los ejecutivos para llegar a un entendimiento comn del enfoque Seis Sigma y para comprender los mtodos que permitirn a la compaa alcanzar niveles de Calidad hasta entonces insospechados El paso siguiente consiste en la seleccin de los empleados, profesionales con capacidad y responsabilidad en sus reas o funciones que van a ser intensivamente formados para liderar los proyectos de mejora. Muchos de estos empleados tendrn que dedicar una parte importante de su tiempo a los proyectos, si se pretenden resultados significativos.

39La formacin de estos lderes tiene lugar en cuatro sesiones de cuatro das cada una, a lo largo de un periodo de 12 semanas durante el cual trabajarn en un proyecto concreto de mejora, que los capacitar como candidatos a una nueva profesin, "black belts" como implantadores de estas avanzadas iniciativas de Calidad. Esta formacin, impartida por expertos, incluye la seleccin de un proyecto en la primera semana y la aplicacin de lo aprendido a dicho proyecto antes de la sesin siguiente, mediante un equipo de mejora. Para alcanzar el nivel "black belt" los candidatos tienen que demostrar los resultados conseguidos en el proyecto y ste nivel los capacita para continuar liderando nuevos equipos para nuevos proyectos de mejora. El mtodo El mtodo Seis Sigma, conocido como DMAMC, consiste en la aplicacin, proyecto a proyecto, de un proceso estructurado en cinco fases. En la fase de definicin se identifican los posibles proyectos Seis Sigma, que deben ser evaluados por la direccin para evitar la infrautilizacin de recursos. Una vez seleccionado el proyecto se prepara su misin y se selecciona el equipo ms adecuado para el proyecto, asignndole la prioridad necesaria. La fase de medicin consiste en la caracterizacin del proceso identificando los requisitos clave de los clientes, las caractersticas clave del producto (o variables del resultado) y los parmetros (variables de entrada) que afectan al funcionamiento del proceso y a las caractersticas o variables clave. A partir de esta caracterizacin se define el sistema de medida y se mide la capacidad del proceso. En la tercera fase, anlisis, el equipo analiza los datos de resultados actuales e histricos. Se desarrollan y comprueban hiptesis sobre posibles relaciones causaefecto utilizando las herramientas estadsticas pertinentes. De esta forma el equipo confirma los determinantes del proceso, es decir las variables clave de entrada o "pocos vitales" que afectan a las variables de respuesta del proceso. En la fase de mejora el equipo trata de determinar la relacin causa-efecto (relacin matemtica entre las variables de entrada y la variable de respuesta que interese) para predecir, mejorar y optimizar el funcionamiento del proceso. Por ltimo se determina el rango operacional de los parmetros o variables de entrada del proceso. La ltima fase, control, consiste en disear y documentar los controles necesarios para asegurar que lo conseguido mediante el proyecto Seis Sigma se mantenga una vez que se hayan implantado los cambios. Cuando se han logrado los objetivos y la misin se d por finalizada, el equipo informa a la direccin y se disuelve. Las herramientas En los proyectos Seis Sigma se utilizan dos tipos de herramientas. Unas, de tipo general como las 7 herramientas de Calidad, se emplean para la recogida y tratamiento de datos; las otras, especficas de estos proyectos, son herramientas estadsticas, entre las que cabe citar los estudios de capacidad del proceso, anlisis ANOVA, contraste de

40hiptesis, diseo de experimentos y, tambin, algunas utilizadas en el diseo de productos o servicios, como el QFD y AMFE. Estas herramientas estadsticas que hace unos aos estaban solamente al alcance de especialistas, son hoy accesibles a personas sin grandes conocimientos de estadstica. La disponibilidad de aplicaciones informticas sencillas y rpidas, tanto para el procesamiento de datos como para los clculos necesarios para su anlisis y explotacin, permiten utilizarlas con facilidad y soltura, concentrando los esfuerzos de las personas en la interpretacin de los resultados, no en la realizacin de los complejos clculos que antes eran necesarios. Los resultados Conceptualmente los resultados de los proyectos Seis Sigma se obtienen por dos caminos. Los proyectos consiguen, por un lado, mejorar las caractersticas del producto o servicio, permitiendo conseguir mayores ingresos y, por otro, el ahorro de costes que se deriva de la disminucin de fallos o errores y de los menores tiempos de ciclo en los procesos. As, las experiencias de las compaas que han decidido implantar Seis Sigma permiten indicar desde cifras globales de reducciones del 90 por 100 del tiempo de ciclo o 15 mil millones de dlares de ahorro en 11 aos (Motorola), aumentos de productividad del 6 por 100 en dos aos (Allied Signal), hasta los ms recientes de entre 750 y 1000 millones de dlares de ahorro en un ao (General Electric). Ciclo DMAIC: Definir Medir Analizar Mejorar Verificar Mejora del Proceso 6 sigma: Paso1: Definir el Problema Paso 2: Observar el Problema Paso 3: Analizar el Problema Paso 4: Actuar sobre las causas Paso 5: Estudiar los resultados Paso 6: Estandarizar Paso 7: Establecer conclusiones

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CONTROL ESTADSTICO DE PROCESOS Un sistema de control del proceso puede definirse como un sistema de realimentacin de la informacin en el que hay 4 elementos fundamentales: Proceso Por proceso entendemos la combinacin global de personas, equipo, materiales utilizados, mtodos y medio ambiente, que colaboran en la produccin. El comportamiento real del proceso -la calidad de la produccin y su eficacia productiva- dependen de la forma en que se dise y construy, y de la forma en que es administrado. El sistema de control del proceso slo es til si contribuye a mejorar dicho comportamiento. Informacin Sobre el Comportamiento El proceso de produccin incluye no solo los productos producidos, sino tambin los estados intermedios que definen el estado operativo del proceso tales como temperaturas, duracin de los ciclos, etc. Si esta informacin se recopila e interpreta correctamente, podr indicar si son necesarias medidas para corregir el proceso o la produccin que se acaba de obtener. No obstante, si no se toman las medidas adecuadas y oportunas, todo el trabajo de recogida de informacin ser un trabajo perdido. Actuacin Sobre el Proceso Las actuaciones sobre el proceso estn orientadas al futuro, ya que se toman en caso necesario para impedir que ste se deteriore. Estas medidas pueden consistir en la modificacin de las operaciones (por ejemplo, instrucciones de operarios, cambios en los materiales de entrada, etc) o en los elementos bsicos del proceso mismo (por ejemplo, el equipo -que puede necesitar mantenimiento, o el diseo del proceso en su conjunto- que puede ser sensible a los cambios de temperatura o de humedad del taller). Debe llevarse un control sobre el efecto de estas medidas, realizndose ulteriores anlisis y tomando las medidas que se estimen necesarias. Actuacin sobre la Produccin

Las actuaciones sobre la produccin estn orientadas al pasado, porque la misma implica

la deteccin de productos ya producidos que no se ajustan a las especificaciones. Si los productos fabricados no satisfacen las especificaciones, ser necesario clasificarlos y retirar o reprocesar aquellos no conformes con las especificaciones.

42 Este procedimiento deber continuar hasta haberse tomado las medidas correctoras necesarias sobre el proceso y haberse verificado las mismas, o hasta que se modifiquen las especificaciones del producto. Es obvio que la inspeccin seguida por la actuacin nicamente sobre la produccin es un pobre sustituto de un rendimiento eficaz del proceso desde el comienzo. El Control del Proceso centra la atencin en la recogida y anlisis de informacin sobre el proceso, a fin de que puedan tomarse medidas para perfeccionar el mismo. Hay dos formas diferentes de diseo y anlisis de sistemas de control que utilizan herramientas estadsticas : - Control Estadstico de Proceso (CEP). - Control adaptativo, que utiliza lazos de retroalimentacin para predecir futuros valores de las variables de proceso. Este control dice cuando hay que corregir para mantener a las variables con oscilaciones mnimas alrededor de los valores objetivos y est basado en el anlisis de series Temporales (Box-Jenkins). Este ultimo puede implementarse mediante sistemas de control automtico digital (caso ms habitual) o mediante grficos de control. La herramienta: Control Estadstico de Procesos (C.E.P) El CEP es una herramienta estadstica que se utiliza en el puesto de trabajo para conseguir el producto adecuado y a la primera. Los grficos de control constituyen el procedimiento bsico del C.E.P. Con dicho procedimiento se pretende cubrir 3 objetivos - Seguimiento y vigilancia del proceso - Reduccin de la variacin - Menos costo por unidad En cualquier proceso productivo, por muy bien que se disee y por muy cuidadosamente que se controle, siempre existir una cierta variabilidad inherente, natural, que no se puede evitar. Esta variabilidad natural, este ruido de fondo, es el efecto acumulado de muchas pequeas causas de carcter, esencialmente, incontrolable. Cuando el ruido de fondo sea relativamente pequeo consideraremos aceptable el nivel de funcionamiento del proceso y diremos que la variabilidad natural es originada por un sistema estable de causas de azar. Un proceso sobre el que solo actan causas de azar se dice que est bajo control estadstico. Por el contrario, existen otras causas de variabilidad que pueden estar, ocasionalmente, presentes y que actuarn sobre el proceso. Estas causas se derivan, fundamentalmente, de tres fuentes: - Ajuste inadecuado de las mquinas - Errores de las personas que manejan las mquinas

43 - Materia prima defectuosa. La variabilidad producida por estas causas suele ser grande en comparacin con el ruido de fondo y habitualmente sita al proceso en un nivel inaceptable de funcionamiento. Denominaremos a estas causas causas asignables y diremos que un proceso funcionando bajo causas asignables est fuera de control. Un objetivo fundamental del C.E.P. es detectar rpidamente la presencia de causas asignables para emprender acciones correctoras que eviten la fabricacin de productos defectuosos. Alcanzar un estado de control estadstico de proceso puede requerir un gran esfuerzo pero es slo el primer paso. Una vez alcanzado, podremos utilizar la informacin de dicho control como base para estudiar el efecto de cambios planificados en el proceso de produccin con el objetivo de mejorar la calidad del mismo. La Operacin Evolutiva es un tipo de Diseo de Experimentos en lnea (aplicado al proceso productivo) que sirve como herramienta para acercarnos a las condiciones ptimas de funcionamiento del proceso.

Grficos CEP Los grficos de control o cartas de control son una importante herramienta utilizada en control de calidad de procesos. Bsicamente, una Carta de Control es un grfico en el cual se representan los valores de algn tipo de medicin realizada durante el funcionamiento de un proceso continuo, y que sirve para controlar dicho proceso. Vamos a tratar de entenderlo con un ejemplo. Supongamos que tenemos una mquina de inyeccin que produce piezas de plstico, por ejemplo de PVC. Una caracterstica de calidad importante es el peso de la pieza de plstico, porque indica la cantidad de PVC que la mquina inyect en la matriz. Si la cantidad de PVC es poca la pieza de plstico ser deficiente; si la cantidad es excesiva, la produccin se encarece porque se consume ms materia prima.

En el lugar de salida de las piezas, hay un operario que cada 30 minutos toma una, la pesa en una balanza y registra la observacin. Supongamos que estos datos se registran en un grfico de lneas en funcin del tiempo

En R:> par(mar=c(3,3,3,3))

44> plot(peso,ylim=c(48,62), type="b", col="blue", piezas", ylab="Peso de la pieza(g)", axes=F, pch=16) > axis(1,1:20) > axis(2,seq(48,62,2)) > title(main="Grfico de las observaciones") > abline(h=mean(peso),col="red", lty=4, lwd=2) xlab="numero de

G r fic o d e la s o b s e r v a c io n e s

Peso de la pieza(g)

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n u m e ro d e p i e z a s

Se observa una lnea quebrada irregular, que nos muestra las fluctuaciones del peso de las piezas a lo largo del tiempo. Esta es la fluctuacin esperable y natural del proceso. Los valores se mueven alrededor de un valor central (El promedio de los datos), la mayor parte del tiempo cerca del mismo. Pero en algn momento puede ocurrir que aparezca uno o ms valores demasiado alejados del promedio. Cmo podemos distinguir si esto se produce por la fluctuacin natural del proceso o porque el mismo ya no est funcionando bien? El control estadstico de procesos provee la respuesta a la anterior pregunta y a continuacin veremos como lo hace. Todo proceso de fabricacin funciona bajo ciertas condiciones o variables que son establecidas por las personas que lo manejan para lograr una produccin satisfactoria.

Cada uno de estos factores est sujeto a variaciones que realizan aportes ms o menos significativos a la fluctuacin de las caractersticas del producto, durante el proceso de fabricacin. Los responsables del funcionamiento del proceso de fabricacin fijan los valores de algunas de estas variables, que se denominan variables controlables. Por ejemplo, en el caso del inyector se fija la temperatura de fusin del plstico, la velocidad de trabajo, la presin del pistn, la materia prima que se utiliza (Proveedor del plstico), etc.

45Proceso bajo control estadstico Un proceso de fabricacin es una suma compleja de eventos grandes y pequeos. Hay una gran cantidad de variables que sera imposible o muy difcil controlar. Estas se denominan variables no controlables. Por ejemplo, pequeas variaciones de calidad del plstico, pequeos cambios en la velocidad del pistn, ligeras fluctuaciones de la corriente elctrica que alimenta la mquina, etc. Los efectos que producen las variables no controlables son aleatorios. Adems, la contribucin de cada una de dichas variables a la variabilidad total es cuantitativamente pequea. Son las variables no controlables las responsables de la variabilidad de las caractersticas de calidad del producto. Los cambios en las variables controlables se denominan Causas Asignables de variacin del proceso, porque es posible identificarlas. Las fluctuaciones al azar de la variables no controlables se denominan Causas No Asignables de variacin del proceso, porque no son pasibles de ser identificadas. Causas Asignables: Son causas que pueden ser identificadas y que conviene descubrir y eliminar, por ejemplo, una falla de la mquina por desgaste de una pieza, un cambio muy notorio en la calidad del plstico, etc. Estas causas provocan que el proceso no funcione como se desea y por lo tanto es necesario eliminar la causa, y retornar el proceso a un funcionamiento correcto. Causas No Asignables: Son una multitud de causas no identificadas, ya sea por falta de medios tcnicos o porque no es econmico hacerlo, cada una de las cuales ejerce un pequeo efecto en la variacin total. Son inherentes al proceso mismo y no pueden ser reducidas o eliminadas a menos que se modifique el proceso. Cuando el proceso trabaja afectado solamente por un sistema constante de variables aleatorias no controlables (Causas no asignables) se dice que est funcionando bajo Control Estadstico. Cuando, adems de las causas no asignables, aparece una o varias causas asignables, se dice que el proceso est fuera de control. El uso del control estadstico de procesos implica algunas hiptesis que describiremos a continuacin: 1) Una vez que el proceso est en funcionamiento bajo condiciones establecidas, se supone que la variabilidad de los resultados en la medicin de una caracterstica de calidad del producto se debe slo a un sistema de causas aleatorias, que es inherente a cada proceso en particular. 2) El sistema de causas aleatorias que acta sobre el proceso genera un universo hipottico de observaciones (mediciones) que tiene una Distribucin Normal. 3) Cuando aparece alguna causa asignable provocando desviaciones adicionales en los resultados del proceso, se dice que el proceso est fuera de control La funcin del control estadstico de procesos es comprobar en forma permanente si los resultados que van surgiendo de las mediciones estn de acuerdo con las dos primeras hiptesis. Si aparecen uno o varios resultados que contradicen o se oponen a las mismas, es necesario detener el proceso, encontrar las causas por las cuales el proceso se apart de su funcionamiento habitual y corregirlas. La puesta en marcha de un programa de control estadstico para un proceso implica dos etapas:

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Antes de pasar a la segunda etapa, se verifica si el proceso est ajustado. En caso contrario, se retorna a la primera etapa. En la 1 etapa se recogen unas 100-200 mediciones, con las cuales se calcula el promedio y la desviacin estndar:

Luego se calculan los Lmites de Control de la siguiente manera: Lmite inferior = - 3,09s ; Lmite superior = + 3,09s

S es una estimacion de Estos lmites surgen de la hiptesis de que la distribucin de las observaciones es normal. En general se utilizan lmites de 2 sigmas de 3 sigmas alrededor del promedio. En la distribucin normal, el intervalo de 3,09 sigmas alrededor del promedio corresponde a una probabilidad de 0,998. Se construye un grfico de prueba y se traza una lnea recta a lo largo del eje de ordenadas (Eje X), a la altura del promedio (Valor central de las observaciones) y otras dos lneas rectas a la altura de los lmites de control. En el grfico de prueba se representan los puntos correspondientes a las observaciones con las que se calcularon los lmites de control y se analiza detenidamente para verificar si est de acuerdo con la hiptesis de que la variabilidad del proceso se debe slo a un sistema de causas aleatorias o si, por el contrario, existen causas asignables de variacin. Esto se puede establecer porque cuando la fluctuacin de las mediciones se debe a un sistema constante de causas aleatorias la distribucin de las observaciones es normal: Cuando las observaciones sucesivas tienen una distribucin normal, la mayor parte de los puntos se sita muy cerca del promedio, algunos pocos se alejan algo ms y prcticamente no hay ninguno en las zonas ms alejadas. Es difcil decir como es el grfico de un conjunto de puntos que siguen un patrn aleatorio de distribucin normal, pero s es fcil darse cuenta cuando no lo es. Si no se descubren causas asignables entonces se adoptan los lmites de control calculados como definitivos, y se construyen cartas de control con esos lmites. > > > > > par(mar=c(4,4,4,4)) LS axis(1,21:32) > axis(2,seq(46,64,2)) > title(main="Grfico de las observaciones") > abline(h=mean(peso),col="red", lty=4, lwd=2) > abline(h=LI,col="green") > abline(h=LS,col="green")

Grfico de las observaciones62 46 21 50 54 58

Peso de la pieza(g)

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numero de piezasSi slo hay pocos puntos fuera de control (2 3), estos se eliminan, se recalculan la media, desviacin estndar y lmites de control con los restantes, y se construye un nuevo grfico de prueba. Cuando las observaciones no siguen un patrn aleatorio, indicando la existencia de

48causas asignables, se hace necesario investigar para descubrirlas y eliminarlas. Una vez hecho esto, se debern recoger nuevas observaciones y calcular nuevos lmites de control de prueba, comenzando otra vez con la primera etapa. En la 2 etapa, las nuevas observaciones que van surgiendo del proceso se representan en el grfico, y se controlan verificando que estn dentro de los lmites, y que no se produzcan patrones no aleatorios. Como se ve, el 99,8 % de las observaciones deben estar dentro de los lmites de 3,09 sigmas alrededor de la media. Esto significa que slo una observacin en 500 puede estar por causas aleatorias fuera de los lmites de control. Cuando se encuentra ms de un punto en 500 fuera de los lmites de control, significa que el sistema de causas aleatorias que provocaba la variabilidad habitual de las observaciones ha sido alterado por la aparicin de una causa asignable que es necesario descubrir y eliminar. En ese caso, el supervisor del proceso debe detener la marcha del mismo e investigar con los que operan el proceso hasta descubrir la(s) causas que desviaron al proceso de su comportamiento habitual. Una vez eliminadas las causas del problema, se puede continuar con la produccin normal. Estos lmites de control se escogen de forma que si el proceso est bajo control, prcticamente todos los puntos del grfico estarn contenidos entre dichos lmites. En tanto los puntos estn dentro de los limites no ser precisa ninguna accin correctora porque se supone que el proceso est balo control. Sin embargo, un punto fuera de los lmites de control se interpreta como una evidencia de que el proceso est fuera de control debiendo investigarse la naturaleza de la causa o causas asignables presentes a fin de eliminarlas, adoptando la oportuna medida correctora. Si el proceso est bajo control, adems de situarse los puntos dentro de los lmites de control, todos los puntos del grfico presentarn una posicin originada por el azar sin la presencia de patrones especiales de variabilidad. IMPORTANTE : No hay que confundir los lmites de control con los lmites de tolerancia. Los lmites de tolerancia son los valores de una determinada caracterstica que separan valores correctos e incorrectos de la misma (fijados normalmente por el proyectista para que el producto funcione adecuadamente) Los lmites de control son aquellos entre los cuales el estadstico ha considerado (sean valores individuales medias, medianas, recorridos desviaciones tpicas, sumas acumuladas, etc.) tiene una probabilidad muy alta de situarse cuando el proceso est bajo control (no hay causa asignable) Variables y atributos Los grficos de control se clasifican en dos tipos: Variables y Atributos. Si la caracterstica dc calidad puede medirse y expresarse como un nmero la llamamos variable. En tales casos es conveniente describir la caracterstica de calidad con una medida de tendencia central y una medida de dispersin mediante los llamados grficos de control por variables. Los grficos X son los ms ampliamente utilizados para controlar la tendencia central mientras que los grficos de rango (recorrido) y de desviacin tpica se utilizan para controlar la dispersin. Muchas caractersticas cualitativas no se miden en una escala cuantitativa. En estos casos, juzgaremos si una unidad de producto es o no conforme si posee ciertos atributos o contando el nmero de defectos que aparecen en cada unidad de producto Eficacia estadstica de los grficos de control

49El objetivo bsico de un grfico de control es detectar, de la forma ms rpida posible, cambios en el proceso. Cuando un punto cae fuera de los lmites de control se dice que el proceso est fuera de control, que existe una causa asignable. Realmente, como en cualquier contraste de hiptesis estadstico existe una probabilidad de dictaminar una situacin fuera de control cuando el proceso est realmente bajo control (error tipo I) as como una probabilidad de (error tipo II) de decir que el proceso est bajo control (puntos entre lmites de control) cuando realmente el proceso est fuera de control. Al disear el grfico tenemos presente estos dos errores, que determinan la eficacia estadstica del mismo. GRAFICOS DE CONTROL POR VARIABLES Introduccin. Grficos basado en un estudio inicial Muchos estudios pueden ser aplicados con las cartas de control para fines de un estudio estadstico de procesos, as por ejemplo:

Hospital - Exactitud del laboratorio de anlisis - Exactitud de la reclamacin de los pagos de seguros - Entrega a tiempo de comidas y medicamentos Banco - Exactitud al procesar los cheques - Tiempo de espera de clientes para ser atendido en ventanilla - Tiempo de demora en la aceptacin de un crdito, desde la solicitud. Compaa de seguros - Tiempo de respuesta para procesar la reclamacin de los pagos de seguros. - Exactitud en la facturacin - Tiempo de demora en la aceptacin de un seguro, desde la solicitud. Oficina de correos - Exactitud al clasificar - Tiempo de entrega - Porcentaje de correspondencia de entrega inmediata entrega a tiempo Ambulancia - Tiempo de respuesta (desde la llamada hasta el lugar de los hechos) - Tiempo de demora en el retorno al hospital Departamento de polica - Incidencia del crimen en el rea - Numero de multas de transito. - Numero de denuncias diarias por robo. Hotel - Proporcin de habitaciones con limpieza satisfactoria.

50 Hora de salida. Numero de quejas recibidas. Numero de habitaciones ocupadas por da.

Transporte - Proporcin de camiones de carga con - Cantidad en dinero de dao por queja.

correctas.

Autoservicio - Porcentaje de veces que el trabajo se termina segn lo prometido. - Numero de partes sin existencia. - Numero de quejas recibidas. - Numero de clientes por horario de atencin (Almuerzo, Cena)Muchas caractersticas de calidad pueden expresarse en trminos de medida numrica, por ejemplo, el dimetro de una pieza puede medirse con un micrmetro y expresarse en milmetros. Una caracterstica cualitativa que sea medible tal como un volumen, un peso, o cualquier dimensin, en general, es una variable. Cuando se refiere a una variable, es una prctica normal el controlar tanto el valor medio como la dispersin. El control del valor medio se realiza, habitualmente, con el grfico de control para medias, o grfico . El control de la dispersin puede efectuarse bien con el grfico de control de la desviacin tpica (grfico S) o con el grfico de control de rangos (grfico R). El uso del grfico R est ms extendido que el del grfico S. Debemos sealar que es necesario mantener el control sobre ambos: Media y dispersin del proceso. La figura 2 representa la situacin de un proceso. En a) tanto la media m como la desviacin tpica s estn bajo control a sus valores nominales (mo, so) y en consecuencia la mayor parte de la produccin del proceso cae dentro de los lmites de especificacin. En la figura b) la media se ha trasladado m 1 > mo dando como resultado una cierta fraccin de la produccin fuera de especificacin. En la figura c) la desviacin tpica ha cambiado m1 > mo lo que origina tambin que un parte de la produccin est fuera de norma.

Los grficos X-R se utilizan cuando la caracterstica de calidad que se desea controlar es una variable continua. A.- Grfico de la media Supongamos que una variable est normalmente distribuida con media y desviacin tpica y que ambas son conocidas. Si X1, X2, ... son mediciones de una muestra de tamao n, la media muestral, dada por :

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est normalmente distribuida con media m y desviacin tpica probabilidad de que cualquier media muestral caiga en el intervalo

. Adems, la

es 1 - , siendo el error tipo I o Nivel de significacin (probabilidad de decir que el proceso se ha descorregido cuando en realidad el proceso sigue la distribucin N( , )).

Por consiguiente, si y son conocidos la expresin anterior puede utilizarse para determinar los lmites de control de la media muestral. Habitualmente se usa los lmites 3 reemplazando Z/2 por 3. Si la media muestral cae fuera de estos lmites, esto indicar que la media del proceso no permanece en . Se supone distribucin original era normal. Si no lo fuera, los anteriores resultados seran tambin aproximadamente vlidos por aplicacin del teorema central del lmite. En la prctica no se conoce ni , por consiguiente, se estima a partir de muestras previas obtenidas del proceso cuando se cree que ste est bajo control. Esta estimacin debe basase como mnimo en 20 o 25 muestras. Supongamos que disponemos de (m) muestras, cada una de ellas con (n) observaciones. Tpicamente, n ser pequeo 4 5. En esa situacin, el mejor estimador de la media del proceso ser

se utilizar como valor de la lnea central del grfico. Para construir los lmites de control, necesitamos un estimador de la desviacin tpica . Podemos estimar a partir de los rangos o de las desviaciones tpicas de las (m) muestras. De momento, se hara la estimacin a partir de los rangos. Si X1, X2,..., Xn, son mediciones de una muestra de tamao n, el rango de la muestra es R =Xmax Xmin. La variable aleatoria W = R/ sigue una distribucin conocida denominada distribucin del rango relativo. Los parmetros de esta distribucin son funcin del tamao de muestra (n). La media de W es (d2) y la desviacin tpica (d3). En consecuencia, un estimador de es R/d2. Los valores de d2 estn tabulados (Tabla del apndice IV). Si

la mejor estima de ser

52Cuando el tamao de la muestra es pequeo: n = 4 5 el mtodo de estimar a partir del rango da casi tan buen resultado como estimarla a partir de la varianza muestral. Sin embargo, para valores de n, no mayores de 10, pierde rpidamente eficiencia ya que ignora toda la informacin comprendida entre Xmax y Xmin. Si se usa X como estimador de y R

d

2

como estimador de entonces los lmites

de control del grfico de medias quedaran:

Z/2 lo obtendramos de las tablas de Distribucin Normal (Tabla I), una vez elegido (error tipo I). Normalmente Z/2 = 3 ( = 0,0027), en este caso la cantidad esta tabulada y el calculo de los lmites de control es:

Que son los limites de control de la carta X Los valores de A2 estn tabulados en la tabla del apndice IV (Montgomery, 2007). Limites de control de la carta R. Para los limites de control de R, se puede utilizar los valores de la tabla UCL = 4 R ; Linea.Central = R ; LCL = 3 R

D

D

El uso de la carta R es para ver la variablidad de respuestas. Si el proceso esta bajo control estadistico, los valores deben estar en la franja de los limites en forma aleatoria. Esta Carta se analiza en primera instancia, antes de analizar la carta de promedios. Si no esta bajo control, no se puede analizar la carta de promedios. Limites de control de la carta de promedios - S. Cuando se tiene suficientes datos y se dispone de un computador, lo mejor es hallar los limites de control con el estimado de la desviacin estandar dada por S. Para los limites de control de promedios y S se puede utilizar los valores de la tabla.

UCL = X + UCL =

A3 S ;

y

LCL = X

A3 S B3 S

B4 S ;

Linea.Central = S ; UCL =

El uso de la carta R o S es para ver la variablidad de respuestas. Si el proceso esta bajo control estadistico, los valores deben estar en la franja de los limites en forma aleatoria.

53Esta Carta se analiza en primera instancia la carta R o S, antes de analizar la carta de promedios. Si no esta bajo control, no se puede analizar la carta de promedios. Estimacion de la capacidad del proceso. Como su nombre lo indica, es la capacidad del proceso para cumplir con los limites de especificacin. Como la amlitud de la banda es 3 sigma arriba y 3 abajo, la amplitud total es 6 sigma y la amplitud de especificacin esta dado por la distancia de los limites de especificacin, entones una relacion de ambas ampltudes dara una referencia de la capacidad del proceso. Las cartas X y R proporcionan informacin del desempeo o capacidad del proceso. La media se puede estimar con X que es el promedio de promedio y la desviacin estandar :

=

R

d

2

si USL y LSL son los limites de especificacin de la carta de control del promedio, entonces, la capacidad de proceso Cp es:

C

p

=

USL LSL 6

Se espera que Cp > 1 para indicar que el proceso esta cumpliendo con la especificacin. Lo ideal es haya mas seguridad. El minimo que podria considerarse es 1.33, que equivale a un 33% de seguridad. Lo ideal es que sea superior a 1.6. Si Cp < 1 entonces la capacidad del proceso no cumple las especificaciones. Otro indice el el % de la banda de especificacin que utiliza el proceso, es la inversa de Cp por 100: Ejemplo. Datos del archivo pistones ( Montgomery, 2008) Los anillos para pistones de un motor de automvil se producen mediante un proceso de fundicin. Quiere establecerse el control estadstico del dimetro interior de los anillos fabricados con este proceso utilizando las cartas de control de promedio y rango. Se toman 25 muestras, cada una de tamao 5, cuando se considera que el proceso esta bajo control. Cartas de control con Minitab. Ejemplo 1. Utilice los datos de viscosidad del archivo.xls y copie a Minitab. Construya la carta de control individual. Stat Control Charts Variables Chars for Individuals Individuals

54

Y seleccione el campo Viscosidad.

I Chart of Viscosidad35.0 UCL=34.802 34.5

Individual Value

34.0 33.5 _ X=33.523

33.0 32.5 LCL=32.245 32.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Observation 12 13 14 15

El proceso esta dentro de los limites estadsticos de control. Interprete los limites estadsticos y analice la secuencia.Ejemplo 2. Utilice los datos de pistones del archivo a Minitab. Stat Control Charts Variables Chars for Groups Xbar-R

55

Xbar -R Char t of diame tr oU C L= 74.01487 74.01 Sample M ean _ _ X= 74.00118

74.00

73.99 LC L= 73.98749 1 3 5 7 9 11 13 S a m p le 15 17 19 21 23 25

0.048 Sample Range 0.036 0.024 0.012 0.000 1 3 5 7 9 11 13 S a m p le 15 17 19 21 23 25

U C L= 0.05019

_ R = 0.02373

LC L= 0

Como se puede apreciar, las cartas indican que el proceso esta bajo control estadstico. Los limites para la carta de promedios son: UCL: 74.01 LCL: 73.98 Centrado: 74.001 Los limites para la carta R UCL: 0.05 LCL: 0 Centrado: 0.023 Si los limites de especificacin dado por los tcnicos es: USL: 74.05 y LSL: 73.95 Entonces la desviacin estndar estimada es: 0.023 / 2.326 = 0.0099 d2 = 2.326 segun la tabla para n=5 Cp = 1.68, 100/Cp = 59.8% Se concluye que el proceso satisface las especificaciones y se puede decir que el proceso utiliza el 60% de la banda de especificacin. Cartas de control con R > # viscosity data (Montgomery, pag. 242) > x > > > library(qcc) color pistones pistones diametro muestra prueba 1 74.030 1 TRUE 2 74.002 1 TRUE 3 74.019 1 TRUE 4 73.992 1 TRUE 5 74.008 1 TRUE

57.. > attach(pistones) > diametro diametro [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] 1 74.030 74.012 73.998 73.990 74.009 2 73.985 74.020 73.996 73.995 73.995 3 74.000 74.020 73.990 74.000 73.995 4 74.007 73.988 73.987 74.002 74.010 5 73.990 74.015 73.996 74.000 74.002 6 74.008 73.967 74.013 73.993 74.005 7 74.025 73.997 73.992 74.003 74.014 8 74.005 73.995 74.007 74.016 74.003 9 74.009 73.994 73.984 74.019 74.030 10 73.995 74.010 73.996 73.995 74.008 .. 40 74.013 73.989 73.986 74.007 74.020 40 muestras de tamao igual a 5

> qcc(diametro[1:25,], type="xbar") Call: qcc(data = diametro[1:25, ], type = "xbar") xbar chart for diametro[1:25, ] Summary of group statistics: Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. 73.99 74.00 74.00 74.00 74.00 Group sample size: 5 Number of groups: 25 Center of group statistics: 74.00118 Standard deviation: 0.009785039 Control limits: LCL UCL 73.98805 74.0143

Max. 74.01

58

xbar Chart for diametro[1:25, ]Group summary statistics 73.990 74.000 74.010 UCL

CL

LCL 1 3 5 7 9 11 13 Group 15 17 19 21 23 25

Number of groups = 25 Center = 74.00118 StdDev = 0.009785039

LCL = 73.98805 UCL = 74.0143

Number beyond limits = 0 Number violating runs = 0

> qcc(diametro[1:25,], type="R")

R Chart for diametro[1:25, ]Group summary statistics UCL 0.04 0.02

CL

0.00

LCL 1 3 5 7 9 11 13 Group 15 17 19 21 23 25


LCL = 0 UCL = 0.04812533


59 > qcc(diametro[1:25,], type="S")

S Chart for diameter0.020 Group summary statistics 0.000 0.005 LCL 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 Group 0.010 0.015 UCL

Number of groups = 40 Center = 0.009435682 LCL = 0 StdDev = 0.009992449 UCL = 0.01966438


Para un estudio con diferentes tamao por muestra, Los limites de control es variable. Por ejemplo elimine algunas observaciones de las 125 observaciones. salen > > > > detach(pistones) nuevo qcc(diametro[1:25,], type="S") > qcc(diametro[1:25,], type="xbar", newdata=diameter[26:40,])

xbar Chart for diametro[1:25, ] and diametro[26:40, ]Group summary statisticsCalibration data in diametro[1:25, ] New data in diametro[26:40, ]

74.01

UCL

CL 73.99

LCL 1 3 5 7 9 12 15 18 21 Group 24 27 30 33 36 39


LCL is variable UCL is variable


> qcc(diametro[1:25,], type="S", newdata=diametro[26:40,])

61

S Chart for diametro[1:25, ] and diametro[26:40, ]Group summary statisticsCalibration data in diametro[1:25, ] New data in diametro[26:40, ]

0.020

UCL

0.010

CL

0.000

LCL 1 3 5 7 9 12 15 18 21 Group 24 27 30 33 36 39


LCL = 0 UCL is variable


En MINITAB con tamaos de muestra diferente. Para el ejemplo se utilizara los mismos datos usados en R. Copiar los datos nuevos de archivo a MINITAB Hallar la carta promedio S para los datos prueba=TRUE Obtener el promedio y la desviacin estndar, debe ser: 74.00075 y 0.00953 Con estos datos construir las cartas promedio-R seleccionando prueba=FALSE En opcin xbar colocar el promedio y la desviacin estndar. El grafico es similar al encontrado con el programa R.

62

Xbar-R Chart of diametro1

74.02 Sample M ean

1 1

U C L=74.01354 74.01 _ _ X=74.00075

74.00

73.99 26 27 28 29 30 31 32 33 34 Sample 35 36 37 38 39 40

LC L=73.98796

U C L=0.04687 0.04 Sample Range 0.03 0.02 0.01 0.00 26 27 28 29 30 31 32 33 34 Sample 35 36 37 38 39 40 LC L=0 _ R=0.02217

Los datos nuevos son evaluados en la carta bajo control estadstico, los valores fuera de la lnea estn fuera de control y se debe considerar que se debe a causas asignable. Interpretacin de los grficos X , R Una vez desarrolladas las tcnicas para el clculo de los grficos de control conviene establecer unas pautas generales tendentes a ayudar a la "lectura de los grficos", con vistas a obtener el mximo provecho de ellos. a) Generales Los grficos de control pueden indicar una situacin fuera de control an sin existir puntos fuera de los lmites de control cuando los puntos representados sigan pautas distintas al comportamiento aleatorio. En algunos casos estas pautas pueden utilizarse para realizar modificaciones que reduzcan la variabilidad del proceso (objetivo bsico del C.E.P.) Para interpretar pautas en el grfico X es preciso antes asegurarse de que el grfico R est bajo control. Lo primero ser, pues, eliminar las causas asignables correspondientes al grfico R. Esto, en muchos casos, eliminar automticamente las pautas del grfico X . Normalmente slo interesan los puntos fuera de los intervalos. Estos debern marcarse o destacarse (por ejemplo, con un crculo rojo). Los puntos que estn muy cerca de las lneas de control conviene marcarlos con un semicrculo (rojo, cuando estn fuera y negro cuando caen dentro.

63No es conveniente dedicar demasiada atencin al movimiento de los puntos dentro de los lmites de control, excepto en los casos de sesgo y tendencia que veremos mas adelante. Se considera que el proceso est en estado controlado cuando:

25 puntos consecutivos caen dentro de los lmites de control En 100 puntos consecutivos no hay ms de 2 que caen fuera de lmites de control

No obstante se debe investigar y corregir la anomala. Se considera, tambin, que hay anomala en el proceso cuando varios puntos caen al mismo lado de la lnea central:

7 o ms puntos consecutivos 10 de 11 puntos consecutivos 12 de 14 puntos consecutivos

Cuando los puntos caen masivamente en el entorno de la lnea central (sobreestabilidad), deben analizarse las causas (pues suponen una mejora) para intentar hacerlas permanentes. Los cambios en el grfico de X no tienen porque reflejarse en el de R. Sin embargo, un cambio en la variabilidad (R), si que suele traducirse en cambios en el de medias ( X ). Los cambios de turnos (operarios), de materias primas, etc. pueden dar lugar a periodicidades (ciclos). Cuando hay grandes-fluctuaciones en los puntos, suele deberse al mal manejo o falta de entrenamiento o inters del operario u operarios. b) Aspectos especficos de los grficos R Un punto que sobrepasa el lmite superior puede indicar:

La variabilidad del proceso ha empeorado Cambio de persona o instrumento de medida

En todos los casos en los que un punto cae fuera de los lmites de control (superior o inferior), hay que comprobar antes de cualquier accin:

Que el punto ha sido bien marcado Que los lmites han sido bien calculados.

Frecuentemente, pueden detectarse cambios anormales del proceso antes de que este se salga de los lmites de control. Estos cambios son advertidos por un Sesgo en el grfico, como ocurre en el caso de que 7 o ms puntos sucesivos caigan en el lado

64superior de la lnea central, sin salirse de los lmites. Un "sesgo" significa mayor variabilidad en la produccin (cambio de lote de producto, avera de mquina, etc.) Cuando el sesgo est por debajo de la lnea central R, esto indica MENOR variabilidad en el proceso, lo que es indicador de una mejora, que debe ser estudiada para intentar hacerla permanente. En la practica, un 60% de los puntos deben caer en la parte central, un 40% en las 2/3 restantes aproximadamente. Si no es as, conviene recalcular de nuevo los lmites de control. Cada vez que un punto salga de los lmites de control, y se detecte y se corrije la causa, deberan recalcularse los lmites de control. En cualquier caso estos deberan recalcularse cada 5-6 meses. En los nuevos clculos deben suprimirse los datos que estn fuera de lmites de control, siempre y cuando se hayan determinado y eliminado las causas. Cuando la carta R indica bajo control, la variabilidad del proceso est controlada, por lo que el proceso es estable, y puede pasar a analizarse el Grfico X . c) Aspectos especficos de los grficos X Un punto fuera de lmites indica generalmente:

El proceso ha sido modificado en ese momento o desde la ltima toma de muestra Modificacin de la medida por cambio de persona o instrumento de medicin El punto est mal marcado o los lmites estn mal calculados

Al igual que en los Grficos R, existe sesgo cuando hay 7 o ms puntos seguidos a un mismo lado de la lnea de X . Una tendencia puede significar un desajuste gradual del proceso. Igual que en los grficos R, el reparto de puntos aproximado debe ser 60% en el tercio central, 40% lo restante. El reclculo de los lmites de control debe hacerse a la vez las dos cartas. Cartas de control de atributos. Defecto: una caracterstica del producto que no cumple con los requisitos de la especificacin tcnica. Unidad defectuosa: Es la unidad de producto que contiene uno o ms defectos

65Algunas caractersticas de calidad no pueden ser representadas convenientemente por medio de variables cuantitativas. En estos casos, las unidades de producto se clasifican en conformes o en no conformes segn la caracterstica o caractersticas cualitativas sean o no conformes con las especificaciones. Las caractersticas de calidad de este tipo se denominan atributos. Los datos de tipo atributo tienen solamente dos valores: Conforme / no conforme, pasa/no pasa, funciona / no funciona, presente / ausente. Tambin se consideran atributos aquellas caractersticas cuantitativas que se registran en trminos de sino como por ejemplo, el dimetro de un eje cuya conformidad solo la medimos en trminos de aceptable/no aceptable, las imperfecciones de pintura en una puerta de un automvil, las burbujas en la laca de un detonador, la presencia/ausencia de un percutor, etc. Tipos de grficos de control por atributos:

Grfico p para porcentajes defectuosos Grfico np para el nmero de unidades defectuosas Grfico c para el nmero de defectos Grfico u para el nmero de defectos por unidad inspeccionada En la practica solo son 3: Carta P, C y U.

66Cartas de control: numero y porcentaje de unidades defectuosas Grfico p para porcentajes defectuosos La fraccin no conforme de un colectivo se define como el cociente entre el nmero de unidades defectuosas y el nmero total de unidades en dicho colectivo. Cada unidad de producto puede ser examinada por el inspector respecto de una o varias caractersticas cualitativas. Si la unidad inspeccionada no es conforme respecto a la especificacin en una o ms caractersticas, se clasifica como no conforme. Habitualmente, la fraccin no conforme se expresa en forma decimal aunque puede tambin indicarse en tanto por ciento. La distribucin binomial es la base estadstica del grfico de control por atributos. Supondremos que el proceso est operando de forma estable y que la posibilidad de que una unidad de producto sea defectuosa es constante y de valor p. Tambin, supondremos que las unidades producidas sucesivamente son independientes. Entonces, si tomamos una muestra de n unidades, y llamamos x al nmero de unidades no conformes, la probabilidad de que x tome los valores 0, 1, 2.... n vendr determinada por la distribucin binomial con parmetros n, p:

El valor medio y la varianza de esta distribucin son :

La fraccin muestral no conforme se define como el cociente entre el nmero de unidades no conformes en la muestra x y el tamao de la misma p = x/n. El valor medio y la varianza de p sern respectivamente :

como consecuencia de la relacin p = x/n Construccin del grfico de control p La base estadstica para definir los lmites de control es comn con los restantes grficos de Shewhart: Si W es un estadstico que describe una determinada caracterstica de calidad siendo w y w2 su media y su varianza, los lmites de control se definen como:

UCL = + K ; Central = ; LCL = K

K es la distancia de los lmites de control a la lnea central expresada como un mltiplo de sw. Habitualmente escogeremos K = 3.

67Supongamos que se conoce o se especifica la fraccin p no conforme de un proceso de produccin. Entonces los limites de control resulta:

UCL = p + 3

p (1 p ) p (1 p ) ; LCL = p 3 ; Central = p n n

La operativa consiste en tomar sucesivas muestras de n unidades, contar dentro de cada muestra el nmero de unidades no conformes y calcular = D/n llevando este valor al grfico. En tanto permanezca dentro de los lmites de control y la secuencia de puntos no seale ninguna pauta distinta a la que puede surgir por mero azar, diremos que el proceso est bajo control al nivel p de fraccin no conforme. Si por el contrario, observamos algn punto fuera de control o un patrn inusual diremos que la fraccin defectuosa ha cambiado a un nivel diferente y que el proceso est fuera de control. Cuando se desconoce p, debe estimarse a partir de los datos. El procedimiento a seguir es seleccionar m muestras preliminares, cada una de tamao n. Como norma general, m estar comprendido entre 20 y 25. Si Di es el nmero de unidades defectuosas en la muestra i, calcularemos la fraccin defectuosa en la muestra como

p = Di ; i = 1, 2... .n y la media de estas fracciones, P = Di , estimar la media p n n.mdel proceso siendo los lmites de control:

UCL = p + 3

p (1 p ) p (1 p ) ; LCL = p 3 ; Central = P n n

Frecuentemente se utiliza solo el lmite superior. Estos lmites de control se consideran como limites de prueba y sirven para determinar si el proceso estaba bajo control cuando las m muestras iniciales fueron seleccionadas. Si todos los puntos caen dentro de los lmites de control y no se observa ninguna pauta anormal dictaminaremos que el proceso estaba bajo control a la toma de las m muestras y los lmites de prueba sern validos para controlar la produccin actual y la futura. Los lmites de control para la produccin actual deben basarse en datos obtenidos de una situacin estable. Por ello, cuando alguno de los puntos iniciales est fuera de control se hace necesario revisar los lmites de control. Esto se realiza examinando cada punto fuera de control y buscando las causas asignables. Si se localiza la causa asignable se descarta el punto correspondiente y se vuelven a calcular los lmites de control con los puntos restantes. Puede darse el caso que alguno de estos restantes puntos se encuentre ahora fuera de control respecto de los nuevos lmites ya que estos sern, normalmente, ms estrechos que los iniciales. Entonces, deben repetirse los pasos dados anteriormente hasta que todos los puntos se encuentren dentro de control con lo que ya podremos adoptar los lmites hasta entonces provisionales como lmites definitivos. Si el grfico de control se basa en un valor estandar conocido (un objetivo) para la

68fraccin no conforme p, entonces el clculo de lmites de prueba es, generalmente, innecesario aunque deben tomarse ciertas precauciones en el sentido de comprobar si el proceso est bajo control a un valor de p diferente dei indicado en el objetivo. Por ejemplo, supongamos que la Direccin seala como valor objetivo p = 0,01 pero que el proceso se encuentra realmente bajo control a p = 0,05. Utilizando el grfico correspondiente a p = 0,01 encontraremos muchos puntos fuera de control sin que aparezca causa asignable. No obstante, suele ser til esta opcin para mejorar el nivel de calidad llevando el proceso al nivel adecuado, sobre todo en procesos donde la fraccin no conforme puede ser controlada mediante un proceso sencillo de ajuste. Diseo del grfico p El grfico p tiene tres parmetros a especificar: Tamao y frecuencia de muestras y distancia entre lmites de control. Es frecuente calcular el grfico de control a partir de la inspeccin realizada a lo largo de un periodo de tiempo determinado. Un da, un turno, etc. En este caso, la frecuencia y el tamao de la muestra estn relacionados. Generalmente, se selecciona inicialmente una frecuencia de muestra apropiada para la produccin a inspeccionar y de ah resulta el tamao de la muestra. Los subgrupos racionales pueden jugar tambin un papel importante en determinar la frecuencia de muestra. Por ejemplo, si hay tres turnos y sospechamos que entre turnos puede variar el nivel de calidad utilizaremos cada turno como un subgrupo sin mezclarlos para obtener una fraccin diaria no conforme. Si p es pequeo n deber ser suficientemente grande para encontrar, al menos una unidad defectuosa en la muestra. Se ha sugerido que el tamao de muestra debe ser lo bastante grande para tener una probabilidad de aproximada de 50% de detectar un cambio de una determinada magnitud. Por ejemplo, para p = 0,01 y que queremos que la probabilidad de detectar un cambio a p = 0,05 sea del 50%, entonces aproximamos la distribucin binomial respecto de la normal, escogeremos de tal forma que el lmite de Control Superior coincide con la fraccin no conforme en la situacin de fuera de control. Si es la magnitud del cambio del proceso, entonces n debe satisfacer

=K

k p (1 p ) , entonces n = n

2

p (1 p )

(3/0.04)^2*0.01*0.99= 55.68 En nuestro ejemplo, p = 0,01, el cambio = 0,05-0,01 = 0,04 y K=3 n = 56

Los lmites 3 son los que se usan con ms frecuencia aunque pueden adaptarse otros ms sensibles a costa de exponerse a situaciones ms frecuentes de falsa alarma. A veces, suelen usarse limites ms estrechos (por ejemplo 2) dentro de una situacin

69de urgencia para mejorar la calidad de un proceso. Estos lmites deben utilizarse con precaucin porque las falsas alarmas destruyen la confianza de los operadores en los grficos de control, en este caso, n=25. Hay que tener en cuenta que los lmites de control estudiados se basan en la distribucin binomial que considera constante la proporcin defectuosa p y que los valores sucesivos son independientes. En procesos en los que las unidades no conformes estn agrupadas o en los que la probabilidad de producir una unidad defectuosa depende de que la anterior unidad producida haya sido no defectuosa, no son aplicables este tipo de grficos. Deben examinarse con cuidado aquellos puntos situados por debajo del lmite de control inferior. Estos puntos no suelen ser lo que aparentemente indican: Una mejora en la calidad del proceso por disminucin de a sino que suelen originarse por errores en la inspeccin o por causa de aparatos de medida mal calibrados. Tambin puede deberse a que los operadores hayan registrado datos ficticios para cubrir su responsabilidad. Grfico np para unidades defectuosas Supongamos un proceso que fabrica tornillos. Una manera de ensayar cada tornillo sera probarlo con una rosca calibrada.

Para controlar este proceso, se puede tomar una muestra de tornillos y contar el nmero de defectuosos presentes en la muestra.

La variable aleatoria nmero de defectuosos es una variable aleatoria discreta, porque puede tomar un nmero finito de valores, o infinito numerable. Los grficos np se utilizan para controlar el nmero de defectuosos en una muestra. Para controlar este proceso, un inspector se coloca al final de la lnea de produccin y cada hora retira una muestra de n=50 tornillos (por ejemplo), comprueba cada uno con la rosca y anota el nmero de defectuosos.

70

Este resultado se anota en un grfico hora por hora denominado grfico np. Si se toma del proceso un slo tornillo Cul es la probabilidad de que sea defectuoso? Imaginando la poblacin de tornillos que podra fabricar el proceso trabajando siempre en las mismas condiciones, una cierta proporcin p de estos seran defectuosos. Entonces, la probabilidad de tomar un tornillo y que sea defectuoso es p. En una muestra de n tornillos, la probabilidad de encontrar: 0 defectuosos ; 1 defectuoso ; 2 defectuosos ; ... ; n defectuosos est dada por una distribucin binomial con parmetros n y p. Como sabemos, el promedio de la poblacin es p y la varianza es n.p.(1-p). Para construir los grficos de control np, en una primera etapa se toman N muestras (ms de 20 25) a intervalos regulares, cada una con n tornillos. Se cuenta en cada muestra el Nmero de Defectuosos y se registra. Se obtendra una Tabla como la siguiente:Muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Nro Def. 3 2 4 3 4 2 5 3 4 3 3 2 1 2 3 2 3 2 3 5 3 2 1 4 6

En cada muestra, la fraccin de defectuosos es Di/n, siendo Di el nmero de elementos defectuosos en la muestra i, y n el nmero de elementos en la muestra i A partir de la tabla podemos calcular p como promedio de las fracciones de defectuosos en las muestras:

siendo N el nmero de muestras, y luego la Desviacin estndar s:

Con esto podemos calcular los Lmites de Control para el grfico np:

Central = n p ; Central = n p ; UCL = n p + 3 np(1 p ) ; UCL = n p 3 np(1 p )

71

Construimos entonces un Grfico np de prueba y representamos el nmero de defectuosos en las muestras. Con MiniTab. Asuma N=10N P Chart of Disconformes8 7 6 Sample Count 5 4 3 2 1 0 1 3 5 7 9 11 13 15 Sample 17 19 21 23 25 LCL=0 __ NP=3 UCL=7.347

con R. > x qcc(x,type="np",sizes=10)

Group summary statistics

np Chart for xUCL 4 6

2

CL LCL 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 Group 21 23 25

0 Number of groups = 25 Center = 3 LCL = 0 StdDev = 1.449138 UCL = 7.347413


Si no hay puntos fuera de los lmites de control y no se encuentran patrones no aleatorios, se adoptan los lmites calculados para controlar la produccin futura. En el caso de muestras variables se utiliza la carta P para la proporcin de disconformes. Copiar de archivo los datos de la hoja n y np lo correspondiente a tamaos diferentes.

72

La carta P con el uso de minitab es:

Con el uso de R.> muestra Disconformes qcc(Disconformes,type="p",sizes=muestra)

73


p Chart for Disconformes0.6 UCL CL 0.0 LCL 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 Group Number of groups = 25 Center = 0.1811594 LCL = 0 StdDev = 0.3851502 UCL is variable

0.3


Cartas de control para disconformidades (defectos) por articulo. En algunos procesos interesa medir la cantidad de defectos que presentan las unidades de producto que se estn fabricando. Por ejemplo, se fabrican telfonos celulares y entonces se toma uno de ellos y se cuenta el nmero total de defectos. Los defectos pueden ser de diferentes tipos y se cuenta el total de todos estos defectos en la unidad inspeccionada. Obtenemos un resultado que es el Nmero de Defectos por unidad de inspeccin. A medida que el proceso genera las unidades (Telfonos mviles), retiramos una unidad a intervalos regulares y contamos el nmero total de defectos. En cada unidad podemos encontrar defectos o cero defectos

Los resultados obtenidos al contar el Nmero de Defectos en unidades de inspeccin tomadas a intervalos regulares constituyen una variable aleatoria discreta, porque puede tomar los valores discretos 0, 1, 2, ... n. Esta variable aleatoria tiene una distribucin de Poisson:

74

Los grficos C se utilizan para controlar el nmero de defectos en una muestra del producto o unidad de inspeccin. Para controlar este proceso, un inspector se coloca al final de la lnea de produccin y cada cierto intervalo retira una unidad de inspeccin , verifica y anota el nmero total de defectos. Este resultado se anota en un grfico denominado grfico C. De acuerdo a la Distribucin de Poisson, si denominamos C al parmetro de la funcin de distribucin, el promedio de la poblacin es C y la varianza tambin es C. Una unidad defectuosa puede tener uno o ms defectos. Sin embargo, es posible que una unidad de producto tenga varios defectos y que no sea clasificada como defectuosa debido a la naturaleza poco importante del defecto. Existen en la prctica muchas situaciones en las que es preferible trabajar con el nmero de defectos que con el porcentaje o el nmero de unidades defectuosas. Por ejemplo, el nmero de soldaduras defectuosas en un tubo de conduccin de gas, el nmero de defectos funcionales es un dispositivo electrnico, etc. Se pueden efectuar grficos de control para el nmero total de defectos por unidad de producto o para el nmero de defectos en la muestra. Estos grficos de control se basan en la distribucin de Posson que exige un nmero de puntos donde potencialmente podra producirse el defecto infinitamente grande, as como que la probabilidad de que el defecto aparezca en un determinado punto sea muy pequea y constante. La unidad de inspeccin debe ser la misma en cada muestra. Es decir cada unidad de inspeccin debe representar siempre una probabilidad igual de que se produzcan los defectos. En la mayor parte de las situaciones prcticas, estas condiciones no se satisfacen exactamente. El nmero de oportunidades (puntos) para los defectos suele ser finito y la probabilidad de aparicin de defectos puede no ser constante. Si las desviaciones respecto de la situacin ideal no son importantes, puede usarse el modelo de Poisson. Existen, sin embargo, casos en los que las desviaciones respecto de las condiciones del modelo son considerables y en los que la utilizacin de la distribucin de Poisson es inadecuada. Grficos c para tamao de muestra constante En el grfico c se representan el nmero de defectos existentes en cada unidad de inspeccin. En la mayor parte de los casos, la unidad de inspeccin ser una unidad de producto aunque esto no es absolutamente necesario ya que la unidad de inspeccin constituye simplemente una porcin de produccin sobre la que es conveniente registrar el nmero de defectos encontrados. Puede ser un grupo de 1,5 6 10 unidades de producto. Supongamos que los defectos tienen lugar en esta unidad de inspeccin de acuerdo con la distribucin de Poisson

75donde x es el nmero de defectos en la unidad de inspeccin y C es el parmetro de la distribucin, Sabemos que la media y la varianza de la distribucin de Poisson son ambas iguales a C. En consecuencia, los lmites de control 3 sigma para el nmero de defectos sern:

Hay que tener en cuenta que la probabilidad de producir una falsa alarma por situarse el punto por encima del lmite de control superior es diferente que la de situarse por debajo del lmite inferior (colas superior e inferior diferentes). Si no se conoce el parmetro c, debe estimarse a partir de una muestra preliminar de unidades de inspeccin. Anlisis de defectos Los datos sobre defectos aportan siempre mayor informacin que los relativos a unidades defectuosas ya que habitualmente existen diversos tipos de defectos. Al analizar por conteo la frecuencia de cada tipo de defecto observamos que, en muchas ocasiones, los resultados estn acordes con la distribucin de PARETO y que un pequeo nmero de defectos es causa de la mayor parte de los problemas. Si somos capaces de eliminar las causas de unos pocos tipos de defectos, habremos conseguido una drstica mejora en la calidad. Veamos el siguiente caso. (Montgomery, 2008) Se tiene una muestra de 26 unidades observadas de 100 producidas sobre circuitos impresos. (ver datos en archivo, hoja C)C Chart of Disconformidades401

UCL=33.21 30 Sample Count

20

_ C=19.85

10 LCL=6.481

0 1 4 7 10 13 16 Sample 19 22 25

En R:> Disconformidades qcc(Disconformidades,type="c")

76

El numero promedio de defectos por unidad es obtenido por el cociente del tyotal de defecto entre el numero de unidades. C promedio = 516/26 = 19.846


c Chart for Disconformidades30 UCL CL LCL 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 Group Number of groups = 26 Center = 19.84615 StdDev = 4.454902

5

15

LCL = 6.481447 UCL = 33.21086


Se estudio el caso de la unidad 6 y 20. Para la unidad 6 hubo un error de inspeccion porque el inspector no pudo reconocer los defectos. En el caso de la unidad 20 fuer problema de la temperatura en la soldadura que propicio muchos defectos. Grfico u Supongamos que se est controlando el nmero de defectos en un proceso de ensamblado de licuadoras y se define una unidad de inspeccin de 5 licuadoras. En este caso es posible trabajar con un grfico C, como ya hemos visto. Pero tal vez se desea controlar el promedio de defectos por cada licuadora (unidad de produccin) en lugar del total de defectos para las 5 licuadoras (unidad de inspeccin):

siendo ni la cantidad de Defectos por Unidad de Inspeccin y m el nmero de Unidades de Produccin en la Unidad de Inspeccin. En nuestro ejemplo, si encontramos ni defectos en la unidad de inspeccin (5 licuadoras), la cantidad promedio de defectos por licuadora ser Se debe tener en cuenta que x es una nueva variable aleatoria discreta que toma

77valores 0, 1/m, 2/m, etc., y cuya distribucin de probabilidades se puede calcular a partir de la distribucin de Poisson. Como en el caso de los grficos C, en una primera etapa se toman N unidades de inspeccin (ms de 25 30) a intervalos regulares. Se cuenta en cada unidad de inspeccin el Nmero de Defectos y se registra. Luego se divide el Nmero de Defectos de cada unidad de inspeccin por m (Nmero de unidades de produccin en cada unidad de inspeccin).

Entonces, a partir de la tabla podemos calcular el parmetro U, como promedio del Nmero de Defectos por licuadora, y la Desviacin Standard:

; siendo : ni la cantidad de Defectos por Unidad de Inspeccin, m el Nmero de Unidades de Produccin en la Unidad de Inspeccin que puede ser variable y N el Nmero de inspecciones. Con esto podemos calcular los Lmites de Control para el grfico U:

Central = U ; UCL = U + 3

U U ; LUL = U 3 m m

Para el ejemplo consideremos los datos del archivo, hoja U. En el ejemplo m es variable, pero puede ser constante.

U C ha r t o f D e fe c to s1.4 1.2 Sample Count Per Unit 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 S a mp le 10 11 12 13 14 15 LC L= 0 _ U= 0.4491

UC L= 0.9 68

T e s ts pe r fo r m e d w ith une qua l s a m ple s iz e s

78En el caso R.> Licuadoras Defectos qcc(Defectos, type="u", sizes=Licuadoras)

u Chart for DefectosGroup summary statistics 1.2

UCL 0.8

0.0

0.4

CL

LCL 1 2 3 4 5 6 7 8 Group 9 10 12 14

Number of groups = 15 Center = 0.4492754 LCL = 0 StdDev = 2.078182 UCL is variableEn ambos programas los resultados son los mismos. Analice esta carta de control.


Grficos de control de sumas acumuladas (CUSUM)

Los grficos de control que hemos visto hasta ahora se conocen como grficos de Shewhart. Un punto dbil de los grficos de Shewhart es que solo se utiliza la informacin contenida en la ltima muestra representada e ignora la informacin dada por el conjunto de muestras. Es cierto que la incorporacin de lmites de atencin y el estudio de pautas trata de mejorar la sensibilidad del grfico Shewhart utilizando ms el conjunto de la informacin pero a costa de complicar algo el grfico reduciendo la sencillez de la InterpretacinEl grfico de sumas acumuladas (CUSUM) se presenta como una alternativa al grafico de Shewhart. Incorpora directamente toda la informacin representando las sumas acumuladas de las desviaciones de los valores muestrales respecto de un valor

79objetivo. Por ejemplo, supongamos que se toman muestras de tamao igual o mayor que 1, siendo la media muestral de la muestra i.

X

i

Si suponemos que o (target) es el objetivo para la media del proceso, el grfico de respecto sumas acumuladas se formar representando la cantidad m =

s

(X i

0

)

al nmero de orden (m) de la muestra. Por combinar la informacin de varias muestras, los grficos de sumas acumuladas son ms efectivos que los grficos de Shewhart para detectar pequeos cambios. Son particularmente eficaces cuando el tamao de muestra es n = 1 y, por consiguiente, adecuados para su utilizacin cuando la tecnologa permite inspeccionar y medir cada unidad producida usando a la vez un microordenador en el puesto de trabajo. Si el proceso se mantiene bajo control en el objetivo 0 , la suma acumulable variar aleatoriamente respecto del valor cero. Sin embargo, si la media asciende a 1 > o se apreciar una tendencia ascendente en la suma acumulada Sm. Por el contrario, si la media se desplaza a 2 < 0 se apreciara una tendencia decreciente en Sm. Por consiguiente, una tendencia determinada (positiva o negativa) se considerar como una evidencia de que la media del proceso se ha desplazado debido a la presencia de alguna causa asignable que hay que investigar y eliminar. CUSUM TABULAR

Es una carta en base a las desviaciones acumuladas, se utiliza tanto para datos indivuales como para promedios.Se requiere ciertos parmetros de control, tales como la media (valor central) y su desviacin estndar. La media (target) representado por 0. Los parmetros sirven para establecer los limites y la centralidad de la carta. Para construir la carta, se debe obtener dos columnas de valores acumulados C+ y C-, las que sern graficadas, baso en las siguientes relaciones: C+, i = max [ 0, xi (0+K)+C+, i-1 ] C-, i = max [ 0, (0+K)-xi + C-, i-1 ] Xi es un valor particular, si son datos agrupados, es representado por su promedio o es el valor objetivo (media centrada) K es un valor referencial (tolerancia), es un parmetro de la carta de control que normalmente vale o/2 siendo o el cambio que queremos detectar con prontitud. K tambien puede ser calculada como la desviacin estandar del promedio entre 2, siendo

80K= f

n

; f=0.5 caso particular

Los limites para esta carta es H Los valores recomendables para H es 5 (cinco veces la deviacion estandar) Ejemplo Datos del Archivo, hoja CUSUM (Montgomery, 2008) Aplicando las formulas de C+ C- y las columnas del corrimiento N. 0 = 10, K=0.5, =1, H=5 C+,1 = max(0, -1.25) = 0 C+,2 = max(0, -2.51+0) = 0 C+,3 = max(0, -1.21+0) = 0 C+,4 = max(0, 1.16+0) = 1.16 C+,5 = max(0, 1.66+1.16) = 2.82 C+,6 = max(0, -0.32+2.82) = 2.5 C-,1 = max(0, 0.05) = 0.05 C-,2 = max(0, 1.51+0.05) = 1.56 C-,3 = max(0, 0.21+1.56) = 1.77 C-,4 = max(0, -2.16+1.77) = 0 C-,5 = max(0, -2.66+0) = 0 C-,6 = max(0, -0.68+0) = 0 Para el corrimiento N, se contabiliza la secuencia hasta un cambio por el cero N+ : 0,0,0,1,2,3,4,5,0,0,0,1,2, De iguan forma para NSegn los calculos, se obtiene el siguiente resultado: X10.5 -1.05 -2.51 -1.21 1.16 1.66 -0.32 -2.46 0.96 -1.3 -0.16 -1.47 0.97 0.01

Periodo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

X 9.45 7.99 9.29 11.66 12.16 10.18 8.04 11.46 9.2 10.34 9.03 11.47 10.51

C+ 0 0 0 1.16 2.82 2.5 0.04 1 0 0 0 0.97 0.98

N+ 0 0 0 1 2 3 4 5 0 0 0 1 2

9.5-X 0.05 1.51 0.21 -2.16 -2.66 -0.68 1.46 -1.96 0.3 -0.84 0.47 -1.97 -1.01

C0.05 1.56 1.77 0 0 0 1.46 0 0.3 0 0.47 0 0

8114 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 9.4 10.08 9.37 10.62 10.31 8.52 10.84 10.9 9.33 12.29 11.5 10.6 11.08 10.38 11.62 11.31 10.52 -1.1 -0.42 -1.13 0.12 -0.19 -1.98 0.34 0.4 -1.17 1.79 1 0.1 0.58 -0.12 1.12 0.81 0.02 0 0 0 0.12 0 0 0.34 0.74 0 1.79 2.79 2.89 3.47 3.35 4.47 5.28 5.3 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0.1 -0.58 0.13 -1.12 -0.81 0.98 -1.34 -1.4 0.17 -2.79 -2 -1.1 -1.58 -0.88 -2.12 -1.81 -1.02 0.1 0 0.13 0 0 0.98 0 0 0.17 0 0 0 0 0 0 0 0

En Excel, el grafico seria:6

5 4

3 2

1 0 0 -1 -2 5 10 15 20 25 30

-3

Con MINITAB: Copiar los datos del archivo.xls de CUSUM a la ventana de MINITAB. Seleccione Stat Control Charts Time-Weighted Charts CUSUM Seleccione la opcion: Observations for a subgroup are in row of columns Target = 10 Opcion CUSUM, Stantard deviation = 1

82

CUSUM Chart of X5.0 UCL=4 2.5

Cumulative Sum

0.0

0

-2.5 LCL=-4 -5.0 1 4 7 10 13 16 Sample 19 22 25 28

Con R: library(RODBC) canal

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