Md4teoria Dos Conjuntos 131023180000 Phpapp02

7/24/2019 Md4teoria Dos Conjuntos 131023180000 Phpapp02

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Mdulo 3:

Teoria dos Conjuntos

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE

CENTRO DE ENGENHARIA ELTRICA E INFORMTICA

DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E COMPUTAO

Professor Ulrich Schiel


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Teoria dos Conjuntos

Conjunto

Uma coleo no-ordenada de objetos.

Ex.:

A !Ana" #aulo" Maria" $or%e&

' !(" )" 3&

C !buc*ada" anjin*o" ta+ioca&

, !..." -3" -" - " /" " " 3" 0" (" ... &

1otao:

letras mai2sculas +ara denotar conjuntos: A" '" ,

letras min2sculas +ara denotar elementos de conjuntos:

Ana A" x '" ( ' e ( ," 0 '.


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Como descreer conjuntos4

. 5istando 6total ou +arcialmente7 os elementos:

' !(" )" 3& , !..." -3" -" - " /" " " 3" 0" (" ... &

. Usando induo 6recurso7 +ara descreer como %erar os elementos doconjunto:

. #. se n #" ento n8 #. se n 1" ento n8 1

3. 9escreendo uma +ro+riedade # ue caracteri;e seus elementos:

C !x : x < uma seu=ncia de duas letras do al>abeto&

# !x : x < inteiro e diis?el +or &A !x : x < aluno de Matem@tica 9iscreta no +er?odo corrente&

T !x : x < um nome de m=s com exatamente 3/ dias&

E !x: x 1 e x /&

B !x : x x&


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Um conjunto sin%ular

Ds conjuntos E e B abaixo t=m uma caracter?sticacomum interessante:

E !x: x 1 e x /&

B !x : x x& 1o t=m elementos.

E B !& 6o conjunto a;io7


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Um +aradoxo e suas conseu=ncias

Existem colees ue no so conjuntos4

CantorFBre%e: C !x F #6x7&

#aradoxo de Gussel 6H/7: C !x F xx7&

Conseu=ncias:

Gussel I J*ite*ead Principia Mathematica

Teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel: Nenhum conjunto contm a simesmo

KLdel: ncom+letude da matem@tica No existe uma teoria completa econsistente da aritmtica elementar

Turin%: ndecidabilidade do +roblema da +arada C*urc*FTurin%: 9ecidabilidade 6ntscheidun!spro"lem7: NNo existe um

al!oritmo para decidir se uma expresso l#!ica $ual$uer %erdadeira ou &alsa

#aradoxo do barbeiro: 'm "ar"eiro $ue &a( a "ar"a de todos de

seu "airro $ue no se "ar"eiam a si mesmo


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Cardinalidade

Ds conjuntos abaixo di>erem radicalmente com relao ONuantidadeP de seus elementos:

T !x : x < um nome de m=s com exatamente 3/ dias&

# !x : x < +ar&

T < >inito e # < in>inito.

QA car!na"!a#de um conjunto A" denotada +or RAR" ex+ressao n2mero de elementos do conjunto 6se ele < >inito7 ou suaNordem de %rande;aP 6se ele < in>inito7.

Ex.: RTR 0 RR / R#R R,R RSR 0

RGR 0 c


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Gelaes entre conjuntos

Sue relao existe entre os se%uintes conjuntos:

A !" 3" (& e ' !" " 3" 0" (" )& 4

G.: todo elemento de A < elemento de '.

Um conjunto A < dito ser $u%conjuntode um conjunto '" denotado+or A'" se" e somente se" todo elemento de A tamb


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Gelaes entre conjuntos

9T1VD E1TGEpertin)ncia E contin)ncia

Em um ambiente de c"a$$#$ e !n$t*nc!a$.

Uma classe A < uma $u%c"a$$# de '" 6A '7 Um objeto o < uma !n$t*nc!ade uma classe A 6o A7

EWEGCXCD: uais as relaes entre

- Y'runnaZ" Alunos de M9" Alunos do CCC e

Breuentadores da sala CAA3/0.


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Exerc?cio

ejam A" ' e C os se%uintes conjuntos:

A !, " )" H" (&

' !)" H&

C !)" H" (" /" !H&" '&[eri>iue ue:

' C

' A

A C!H"!H&& C

A A


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%ualdade de Conjuntos

Q 9ois conjuntos A e ' so i%uais" A '" se" esomente se" A' e ' A.

Exerc?cios:

. Mostre ue as relaes e so transitias.

. Mostre ue as relaes e so re>lexias.

3. Mostre ue a relao e no < sim


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Conjunto das +artes

Conjunto das +artes 6+ot=ncia7

Q eja um conjunto ualuer. Ento" o conjunto a$ 'art#$ de "denotado +or P67 ou " < o conjunto >ormado +or todos ossubconjuntos de .

Ex.: eja !" &. Ento" P67 !!&" !&" !"&" &

Q eja um conjunto ualuer com cardinalidade RR n. Ento" RP67R n.

Ex.: !" & P67 !!&" !&" !"&" &

RR RP67R 0 .

#67 #67 !&

RR / RP67R /.

D'EG[AVD: #ara todo conjunto C" RP6C7R \ RCR 6dia!onali(a*o de +antor7

5o%o RP6,7R \ R,R e 0


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D+eraes sobre Conjuntos

eja o conjunto de todos os alunos da UBCK.

Ento" ualuer conjunto de alunos da UBCK < umelemento de P67.

eja A !alunos do curso de com+utao& e seja ' !alunos do curso de en%en*aria el


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Q D conjunto >ormado +or todos os alunos ue >a;emcom+utao 6A7 mais os ue >a;em el


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Q ejam A e ' conjuntos uaisuer. A !.#r#n-ade A com relaoa '" denotada +or A-'" < o conjunto >ormado +or todos oselementos ue +ertencem a A e no +ertencem a ' 6+ertencema 'Z7.

A-' !x: x A e x '&Q e A e ' so conjuntos e A' " ento" A e ' so ditos

serem !$junto$.

Q ejam A e ' conjuntos. D 'routo cart#$!ano de A com '"denotado +or A x '" < de>inido como:

A x ' !6x" ]7: x A e ] '&Dbs. 6x"]7 < um 'ar or#nao/ 1ota: 6x"]7 6]"x7

9e>inies de +ar ordenado: 6x"]7 !x" !x"]&& ou 6x"]7 !!x"&" !]"&&

Existe !x"x& 4 e 6x"x74 Como seria o +ar 6"7 na se%unda notao4


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#roduto Cartesiano

A x A A !6x"]7: x A e ] A&A x A x A A3 !6x"]";7: x A" ] A e ; A&

A x A x...x A !6x"x"..."xn7: xiA" i n&

Ex.: ejam A !"& e ' !"0&

A !6"7" 6"7" 6"7" 6"7&

A x ' !6"7" 6.07" 6"7" 6"07&


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dentidades '@sicas

A' 'A A' 'A

6A'7C A6'C7 6A' 7C A6'C

A6'C7 6A'76AC7 A6'C7 6A'76AC7 A A AU A

AAZ U AAZ


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Exerc?cio

ejam o unierso 1 6os naturais7 e A" '

e C os se%uintes conjuntos:A !x: x ^ (&

' !/" " _" /&

C !x: existe ] 1 e x .]&

Suais das se%uintes sentenas

so >alsas 6mostrar +orue74

. ' C. A C

3. !" " 3& A0. !& '(. !x: x 1 e x /& '6. A7. A

Calcule:

A-'

'-A

P6'76' C7 ` A

' 6C ` A7

6AZ'7 - C


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Exerc?cio

ejam A e ' conjuntos uaisuer. Mostre ue:

6A'Z7 6AZ'7 se" e somente se" A '.


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Classes de Dbjetos Conjuntos

as instncias de umaClasse C" RCR

Uma classe C

Uma 0#n#ra"!1a-,oCK de C e C

Uma a0r#0a-,oA de A" A"..." An

Um a0ru'a)#ntoAK de AE

Um conjunto C

Um conjunto uniersal C

CK CC" e Ci C

A A x Ax...xAn

AK P6AE7


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Conjuntos Classes de Dbjetos

Uma C"a$$# C comos atr!%uto$ A".."An

Uma a$$oc!a-,o rel entre C e C

Um )2toom de C

C A x Ax...xAn

rel C x C

Uma >unom: UC UC" tal ue

m6C7 CZ


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Conjuntos Cont@eis e ncont@eis

Todo conjunto >inito < cont@el. ou seja" +odemos sem+re desi%nar um elementocomo o +rimeiro" s" outro elemento como o se%undo"s" e assim +or diante.

ou seja" +odemos listar seus elementos na ordemescol*ida:

s" s" s3" ..." sn

Esta lista re+resenta todo o conjunto.

Um conjunto cont&+#" < um conjunto em ue+odemos associar a cada elemento um inteiro

""3"...


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Um conjunto in>inito" tamb


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QUm conjunto in>inito cont@el c*ama-se #nu)#r&+#"6ou denumer@el7.

Assim" +ara se mostrar ue um conjunto raes da se%uinte >orma: as ue t=m numerador na +rimeira lin*a" as ue t=m

numerador na se%unda lin*a" e assim +or diante:

F F F3 F0...F F F3 F0...3F 3F 3F3 3F0...0F 0F 0F3 0F0...

. . . . ... . . . . ...

#odemos traar uma lin*a ue +asse +or toda a matri;"comeando no F e em se%uida >ornecer uma enumerao detodo o conjunto. Ex.: F3 seria o 0o. elemento da enumerao.


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Existem conjuntos in>initos ue no +odem serenumerados : so incont@eisFno-cont@eis.

Exem+lo: o conjunto de todos os reais entre / e .


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#roa: Ds reais entre / e no < cont@el

Sualuer n2mero real entre / e +ode ser escritocomo um n2mero decimal: /.ddd3...

onde di!/"...H&.

[amos assumir ue o conjunto < cont@el. Ento"existe uma enumerao do conjunto e tal ue+odemos descre=-la da se%uinte >orma:

dij < a j-


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Geais entre / e no < cont@el

/.dididi3... dij.. ni A%ora" construamos um n2mero real + da se%uinte >orma:

+ /.+++3...

+i ( se dii( e +i _ se dii (

#ortanto" + < um n2mero real entre / e .

1o entanto" + no est@ na enumerao"+ois + ni" +ara todo i j@ ue +ois +idii

M


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#roblemas de Conta%em

- Suanto es+ao um +ro%rama consome4

- Suantos usu@rios um seridor +ode su+ortar4

- Suantas o+eraes um determinado al%oritmo

enole4 \ CDM#5EW9A9E 9E A5KDGTMD

e resumem em determinar uantos elementosexistem em um conjunto >inito.

#arece >@cil mas nem sem+re se +ode determinarcom >acilidade uma res+osta:


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Exem+lo

A uma criana < +ermitido escol*er um entre dois con>eitos 6ermel*o e+reto7 e um entre tr=s c*icletes 6amarelo" lil@s e branco7 di>erentes. Suantos+ares di>erentes de doces a criana +ode ter4

oluo: decom+or tare>a de escol*a em duas eta+as seenciais: a

escol*a do con>eito e a escol*a do c*iclete. A @rore abaixo ilustra ase=ncia e as +ossibilidades:

+ares di>erentes 6con>eitos di>erentes7 x 3 6c*icletes di>erentes7 _


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#rinc?+io da Multi+licao

e dois eentos so seenciados e inde+endentes" o n2merode +ossibilidades +ode ser obtido +or meio da multi+licao don2mero de +ossibilidades do +rimeiro eento +elo n2mero de+ossibilidades do se%undo eento" ou mel*or:

e existem

n+ossibilidades +ara um +rimeiro eento"

n+ossibilidades +ara um se%undo eento"..."

nf+ossibilidades +ara um f-


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Exem+lo

A 2ltima +arte dos n2meros dos tele>ones cont=m 0 d?%itos.

Suantos n2meros de 0 d?%itos existem4

oluo:

#odemos ima%inar um n2mero de 0 d?%itos como resultado de 0escol*as sucessias e inde+endentes: escol*a do o." escol*ado o." escol*a do 3o. e" +or >im" escol*a do 0o. d?%ito.

A escol*a de ualuer desses d?%itos enole / +ossibilidades:

/" " " ..." H.#ortanto" *@ /./././ /./// escol*as +oss?eis"indicando ue existem /./// n2meros de 0 d?%itos.


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Exerc?cios

. Com relao ao exem+lo anterior" uantos n2meros de 0d?%itos sem re+etio existem4

. Um jo%o de com+utador < iniciado >a;endo-se selees emcada um de tr=s menus. D +rimeiro menu 6n2mero de

jo%adores7 tem uatro o+es" o se%undo menu 6n?el dedi>iculdade7 tem oito o+es e o terceiro menu 6elocidade7tem seis o+es. Com uantas con>i%uraes di>erentes o jo%o+ode ser iniciado4

. Uma sen*a de usu@rio em um com+utador consiste em tr=sletras se%uidas de dois d?%itos. Suantas sen*as di>erentes so+oss?eis4 Considere um al>abeto de _ letras.


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#rinc?+io da Adio

u+on*a ue desejamos escol*er uma sobremesadentre tr=s tortas e uatro bolos. 9e uantas >ormasisto +ode ser >eito4

oluo: Existem dois eentos: escol*er uma torta6com tr=s +ossibilidades7 e escol*er um bolo 6comuatro +ossibilidades7. 1o entanto" esses eentos sodisjuntos" ou seja" um ou outro dee acontecer" +ois

desejamos a+enas uma sobremesa. Ento" o n2merode +ossibilidades < o n2mero total de o+es uetemos: 3 8 0 ).


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#rinc?+io da Adio

e A e ' so eentos disjuntos com n e n+ossibilidades" res+ectiamente" ento o n2merototal de +ossibilidades +ara o eento A ou ' orma de escol*er o +rimeiro d?%ito 607e de; maneiras de escol*er cada um dos outros d?%itos.#ortanto" so ./././ /// >ormas de escol*er um n2merode 0 d?%itos comeando com o 0.

#ara a conta%em do se%undo conjunto se a+lica o mesmo

racioc?nio dando o mesmo resultado: ///. Usando a%ora o #rinc?+io da Adio" +odemos dedu;ir ue

existem ///8/// /// resultados +oss?eis ao todo.


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Exerc?cios

. A" '" C e 9 so nodos 6ns7 de uma rede de com+utadores.Existem dois camin*os entre A e C" dois entre ' e 9" tr=s entre

A e ' e uatro entre C e 9. #or uantos camin*os umamensa%em de A +ara 9 +ode ser eniada4

. Um identi>icador em 'AC +recisa ser uma letra sim+les ouuma letra se%uida de outra letra ou d?%ito. Suantosidenti>icadores so +oss?eis de serem >ormados4

. Em um jantar es+ecial existem dois a+eritios a seremescol*idos" tr=s entradas" o menu +rinci+al e tr=s bebidas.Suantos menus di>erentes so +oss?eis se todos se seriremdo menu +rinci+al e uma bebida mas os a+eritios e entradasso o+cionais4


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#rinc?+io da ncluso e da Excluso

eja o conjunto unierso e sejam A e ' subconjuntos uaisuer de:

Dbs.: A-'" '-A e A' so conjuntos mutuamente disjuntos eA' 6A-'7 6'-A7 6A'7

abemos" +elo #rinc?+io da Adio" ue se C e C so conjuntosdisjuntos ento RCCR RCR 8 RCR.

Estendendo +ara tr=s conjuntos disjuntos" temos:

RA' R R6A-'7 6'-A7 6A'7R RA-'R 8 R'-AR 8 RA 'R


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RA'R RA-'R 8 R'-AR 8 RA'R

abemos tamb


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Exem+lo

Um endedor o>erece +rodutos e 3( +essoas com+raram.9estes 0 com+raram o +roduto e _ o +roduto . Suantoscom+raram ambos4

oluo: eja A o conjunto das +essoas ue escol*eram o+roduto e ' o conjunto dos ue escol*eram o +roduto :

R A' R 3(" RAR 0" R'R _

Mas" RA'R RAR 8R'R - R A ' R 0 8 _ ` 3( (

#ortanto" ( entreistados escol*eram ambos os +rodutos.


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Estendendo +ara 3 conjuntos:

RA' CR R A6' C7R

RAR 8 R' CR - RA 6' C7R RAR 8 R'R 8 RCR - R' CR - R6A '7 6AC7R

RAR 8 R'R 8 RCR - R' CR - 6RA 'R 8 RACR - RA ' CR7

RAR 8 R'R 8 RCR - RA'R - RA CR - R'CR 8 RA ' CR

RA' CR RAR 8 R'R 8 RCR - RA'R - RA CR - R'CR 8 RA ' CR


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#rinc?+io da Casa de #ombo

e mais do ue f itens so distribu?dos entre f caixas"ento +elo menos uma caixa conter@ mais de um ?tem.

Ex.: Suantas +essoas +recisam estar nesta sala +ara

ue +elo menos duas +essoas t=m seus nomesiniciados +ela mesma letra4

oluo: Existem _ letras no al>abeto 6caixas7. e

tierem ) +essoas" ento *aer@ ) letras iniciais6itens7 ue deem ser distribu?das entre as _ caixas.


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Exerc?cios

. Suantas e;es dois dados +recisam ser lanados+ara termos certe;a ue obtiemos al%um +ar duase;es4 01u!esto: di%ida as solu*2es em dois casos:

34 5uando os dados ti%erem o mesmo %alor

64 5uando os %alores &orem di&erentes7

. Uma +esuisa dentre (/ estudantes reelou ue g3 so+ro+riet@rios de carros" H) +ossuem bicicletas" g t=mmotocicletas" (3 so donos de carros e bicicletas" 0 t=m carros e

motocicletas" sete +ossuem bicicletas e motocicletas" e dois t=mtodos os tr=s.

Suantos estudantes +ossuem a+enas bicicletas4

Suantos estudantes no t=m ualuer dos tr=s4


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Exerc?cios em sala

. Suantas e;es dois dados +recisam ser lanados+ara termos certe;a ue obtiemos al%um +ar duase;es4

01u!esto: di%ida as solu*2es em dois casos:

5uando os dados ti%erem o mesmo %alor

5uando os %alores &orem di&erentes7

. Em um jantar es+ecial existem dois aperiti%os"se%uidos +or tr=s entradas" o menu principal e tr=s"e"idas. Suantos menus di>erentes so +oss?eisse todos se serirem do menu +rinci+al e umabebida mas os a+eritios e entradas so o+cionais4


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e=ncias

Q Uma $#89:nc!aou $uc#$$,o6ou conjunto or#nao7 uno :I -\ ue determina a ordem dos termosem .

Q 1otao: 6s" s".." sn" ..7" com si e 6i7 si

< injetia4

Ds n2meros reais Rso uma seu=ncia4


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e=ncias

Q EWEM#5D:

Q 9ada a seu=ncia b a n a n a" temos

Q !b"a"n&

Q I h""3"0"("_

Q :I -\ < dada +or:

Q 67 bi67 ai637 ni607 ai6(7 ni6_7 ai


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e=ncias

9uas se=ncias A e ' so !0ua!$" A '" se esomente se" seus termos res+ectios so i%uais" ouseja A67'67" A67'67" ..." A6n7 '6n7.

A $#89:nc!a nu"a< a se=ncia sem elementos oude com+rimento i%ual a / e denotada +or 6RR /7.

Um 'ar or#nao 6de n2meros7 < uma se=ncia

de com+rimento i%ual a . I h" .


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D+eraes com seu=nciasF+alaras

e u aa...ane bb...bmento a concat#na-,ode u com " u. ou uRR" < de>inida como:

u. aa...anbb...bm

Dbs.: Ru.R RuR 8 RR n8m

Dbs.: u/ u u u u.u

un u.u...u


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D+eraes com +alaras

A !n+#r$a 6ou reersa ou trans+osta7 de uma

+alara < de>inida como: . G

. 6u"a7G 6a.u7

Exem+lo: ;;?=>;?R5 ?;>=?;>=


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e=ncias ` a+licaes

T#or!a o$ conjunto$: +roduto cartesianoG#o)#tr!a ana"t!caB +ara re+resentar +ontos no

+lano ou no es+ao. "0#%ra +#tor!a" ` um etor < uma seu=ncia de

com+onentes 4anco$ # ao$` uma instncia de um banco de

dados < uma seu=ncia de alores de atributos. L!n0u$t!ca`

#alara se. de letrasBrase se. de +alaras#ar@%ra>o se. de >rasesTexto se. de +ar@%ra>os


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Al>abeto e #alaras

Um a".a%#to6%eralmente denotado +or 7 < ualuer conjunto>inito no a;io de s?mbolos 6ou letras7.

Ex.: !a"b"c"...";& !/"&

3 !" k" " " " I" " 6" 7" 8" " " p" q" " \" :" ...&

Ex.: 0 ! "",,..,v,w & !Ale+*" 'et*" Kimel " .. " c*in" Ta&

Uma 'a"a+ra 6ou cadeia de caracteres" ou strin%7 < ualuerse=ncia >inita de s?mbolos de um al>abeto.

;;?=>;? afitamitaM 6 Matimatifa-7 em 0

Ex.: b"a"n"a"n"a ou 6b"a"n"a"n"a7 ou banana

"/" ou 6"/"7 ou /


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5in%ua%ens

ejam /" " " ..." f" f8 " ..." os se%uintes conjuntos de+alaras no al>abeto :

/ ! +alaras em : RR /&

!+alaras em : RR &

!+alaras em : RR &

f !+alaras em : RR f&

f8 !+alaras em : RR f8&

Ento" +odemos de>inir /... ff8 ...

ou seja" < o conjunto de todas as +alaras em .


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5in%ua%ens

Ex.: !/" &. Ento" !" /" " //" /" /" " ///"...&

Q Uma "!n0ua0#) 5 em um al>abeto < ualuer sub-conjunto de " ou seja" 5.

Q Ex.: +ara !/" &" +odemos ter

5 !//" &

Q 5 !" /" " //" /" /" " ///"...&

Q 53 !" /" " //" /" /" " ///"...&


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Kram@ticas

Q Uma lin%ua%em < usada +ara >ormar .ra$#$ ou$#nt#n-a$.

Q Uma $#nt#n-a < uma seu=ncia %8lida de +alaras deacordo com uma 0ra)&t!ca

Q uma 0ra)&t!ca< uma estrutura G 5 L PQde >rases de uma lin%ua%em 5"Qde um al>abeto tntde s?mbolos terminais6t7 e

no-terminais6nt7.

Qde>inidas +or um conjunto # de re%ras

ue substituem s?mbolos no terminais em +or

D'.: As +alaras em 5 s cont


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Kram@ticas

Exem+lo:.QSentena frase-subst frase-verboQfrase-subst artigo substantivo

Qfrase-verbo verbo advrbioQartigo a

Qsubstantivo vaca-marinha

Qverbo falaQadvrbio espalhafatosamente |

Quem seram e L neste exemplo?


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Kram@ticasExem+lo:.

eja a %ram@tica K " 5" #\" com tnt" t !/"&" nt !&"

5 t e as +rodues

# ! /" &

a7 Suais sentenas @lidas so +rodu;idas +or esta %ram@tica4b7 E se acrescentarmos a +roduo /4

a7 As sentenas @lidas so " /" //" ///" ////" ...

b7 A%ora temos " /" //" ///" ...

e /" //" ///" ...e //" ///" ////" ...

Du seja" todas cadeias com um YZ e restante Y/Zs.


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Kram@ticas

Exem+lo:.eja a %ram@tica K " 5" #\" com

tnt" t !a"b"c&" nt !"'"C&"5 t e as +rodues

# ! . a'C" . a'C" 3.C' 'C"0.a' ab" (.b' bb" _.bC bc" ).cC cc&

9s senten*as %8lidas em so an"ncn 4

[eri>icar se abc < uma sentena @lida

[eri>icao se uma cadeia +ertence O lin%ua%em

K @ti E ? i


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Kram@ticas - Exerc?cio

Exem+lo:.

eja a %ram@tica K " 5" #\" com nttt !/"&" nt!& e

as +rodues !#: /" #: / e #3: &

Suais sentenas @lidas so +rodu;idas +or esta%ram@tica4

temos " /" //" ///" ... e /" //" ///" ... e //" ///" ////" ...

Du seja" todas cadeias com um YZ e restante Y/Zs.

K @ti E ? i


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Kram@ticas - Exerc?cio

Considere a %ram@tica: K y" 5" G \. Dnde: !8" -" ."" " 3" 0" (" _")" g" H "/& U !'" " " #" B&" sendo '

o s?mbolo inicial.R = {(1) B SIPF;

(2) S !"! #;

($) I 9 R 9(%) P . (&) F 99 (') /RR R 3R 0R (R _R)R gR H

Qual a l*n+ua+em ,ue esta +ram-t*.a /e0*ne?ostre .omo ela re.one.e o n3mero "%&45$$o/*0*,ue a +ram-t*.a para ,ue os n3meros n6o tenam 7eros a

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P.F 99 /RR R 3R 0R (R _R)R gR H Qual a l*n+ua+em ,ue esta +ram-t*.a /e0*ne?

R9SP: esta +ram-t*.a re.one.e n3meros .om /uas .asas /e.*ma*s po/en/o ter um s*nal na 0rente ou n6o5 s

n3meros po/er6o .ome5 9m outras pala@ras8 re.one.e se,uen.*as /a 0orma nn555n5nn

ou An555n5nn ou nn555n5nn5

ostre .omo ela re.one.e o n3mero "%&45$$

R9SP: para testar8 asta se+u*r8 em or/em *n@ersa8 as re+ras atC .e+ar a B5 u seDa8 temos:

"%&45$$ "%&45 -0(H.B -0(H#B -0(9#B -099#B -999#B 999#B 99#B 9#B #B ' 61.'. tamb

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