MECÂNICA DO CONTÍNUO

Tópico 2

Cont. Elasticidade Linear Cálculo Variacional

PROF. ISAAC NL SILVA

Lei de Hooke Até o limite elástico, a tensão é diretamente

proporcional à deformação:

Em que s = F/A, e=Dl/l, E é o Módulo de Elasticidade ou de Young e n é o coeficiente de Poisson.

xz

xy

xx

E

E

E

sn

e

sn

e

es

.

Matriz Jacobiana

É a matriz formada pelas derivadas parciais de primeira ordem de uma função vetorial. O jacobiano é o determinante da matriz.

ou =

Tensor de Tensão de Cauchy

Tensores de tensão. Fonte: Wikipedia.

s ij é o tensor de de Cauchy (F/A).

O primeiro índice (i) indica o plano e o segundo (j) a direção.

Pelo princípio da reciprocidade das tensões s ij = s ji.

333231

232221

131211

sss

sss

sss

s ij

Parâmetros de Lamé

Tensores de tensão. Fonte: Wikipedia.

Coeficiente de Poisson >>>

Tensores simétricos reais

• São aqueles encontrados em problemas práticos da engenharia, física, geofísica, etc. Exemplos:

• Tensor tensão

• Tensor deformação

• Tensor grad. de deformação

Se são simétricos, então:

T = Tt e Ts = T + Tt TA = T - Tt

2 2

Dinâmica do Contínuo Se x = x(X, t) é um movimento, a velocidade e a aceleração do ponto no instante t são definidos por:

Considerando 3D:

Definições O Cálculo Variacional é o ramo da matemática que

consiste em maximizar ou minimizar funcionais. Um exemplo prático disso é o uso de aplicativos que garantem o menor tempo possível entre dois pontos numa determinada cidade, considerando as condições do tráfego nas vias:

Fonte: Internet.

braquistócrona

Um exemplo clássico de problema do século XVII – 1696 – foi a solução da curva braquistócrona (do grego: brakhisto: o mais curto e chronos: tempo). O que se queria saber era: dados dois pontos, num espaço sobre a influência de um campo gravitacional constante, qual é a curva para qual a trajetória é efetuada no menor intervalo de tempo possível. Foi Bernoulli quem demonstrou a resposta, descrevendo geometricamente a solução. O método que usou à época, não usava ferramentas de cálculo infinitesimal ou de equações diferenciais.

Fonte: paralysisbyanalysis52.wordpress.com

Equação Diferencial de Euler-Lagrange:

∂f /∂y − d/dx ∂f/∂y′ = 0 A Equação de Euler-Lagrange e as condições de contorno y(x0) = y0 e y(x1) = y1 fazem o funcional estacionário.

Onde o cálculo variacional é empregado

Problemas de maximização

“Qual a geometria de uma peça (perfil da seção) de modo a se ter a máxima resistência mecânica para um peso do componente constante?

Problemas de minimização

Qual a superfície de um perfil aerodinâmico utilizado em um avião, de modo a se ter a menor resistência aerodinâmica?

Funcional • Funcional I é uma grandeza escalar, resposta

a uma função, que assume um valor específico, dependendo da função utilizada.

• Em outras palavras, funcional é uma função de funções.

1 1 2 3

1 2 4 6

Função y=2x

1 x x’ x’’

y1,y2,y3... y1’,y2’, y3’... y1’’, y2’’, y3’’...

Funcional y=F(y(x))

Funcional • Nos problemas aqui abordados, essa função

pode assumir a forma de uma equação integral definida:

• Onde x é a variável independente, y=y(x) e y’=dy/dx.

2

1

)',,(

xx

xx

dxyyxFI Funcional básico

• As funções devem ser contínuas, pelo menos até a ordem (m-1), ou seja, de classe Cm-1, para que existam derivadas até a ordem m, sendo integrável, portanto.

• As funções devem atender às condições geométricas de contorno.

• O funcional mapeia as funções admissíveis no espaço dos números reais R.

• O cálculo variacional estabelece, entre as funções admissíveis, aquelas que estacionaliza o funcional (encontra o valor máximo ou mínimo).

Cálculo das variações

• Seja a função f(x). Se num ponto x=a temos um mínimo local, então, na vizinhança de a f(x)>f(a), para todo x≠a.

• Sabe-se que a condição necessária para um mínimo ou máximo em x=a é que f ’(a)=0.

• Exceção: pontos de inflexão.

• Assim, em f ’(a)=0, os valores de f(a) são ditos valores estacionários ou extremos de f. Sua determinação é chamada de problema de extremização de f.

Máximo e mínimo de uma função

Fonte: internet.

Variação de um funcional

• Considerando o funcional básico:

• O valor de I depende dos pontos inicial e final escolhidos, bem como da trajetória.

• Admitindo a existência de um caminho Y que extremize I, ou seja, minimize I com relação a outros caminhos vizinhos y.

fxx

xx

dxyyxFI

0

)',,(

Variação de um funcional

• Pode-se expressar a variação da função y como:

y(x) – Y(x) = dy

• Em que d representa uma variação infinitesimal em y, para um valor fixo de x. Diferentemente de dy que é um incremento em y para um incremento em x.

y

x

x1 x2

y(x1)

y(x2)

Y

y1

y2

Y = caminho extremizante

y = caminhos vizinhos variados

Condição necessária (Diferencial de Euler-Lagrange)

• Para que o funcional seja extremo, há necessidade que dI tenha o mesmo sinal que dy, naquela região. Onde dI:

• Para que isso seja possível, a expressão dentro dos colchetes deve ser nula, o que acarreta dI=0.

Equação de Euler-Lagrange

Princípio de Hamilton O Princípio de Hamilton diz que a dinâmica entre dois instantes em sistemas conservativos é dado pelos extremos do funcional:

onde L (Ec − Ep) é o Lagrangeano, Ec é a energia cinética e Ep é a energia potencial.

O Cálculo Variacional é empregado na resolução do problema de extremização desse funcional.

ftt

tt

Ldt

0

Exemplo

O comprimento entre os pontos A e B da curva pode ser dado pelo somatório de (ds). Encontre a curva de menor comprimento que liga os pontos A e B:

A

B

y

x

A

B

y

x

B

A

dsdsL

Exercício

Voltando ao exemplo da braquistócrona, mostre como o cálculo variacional pode contribuir para se chegar ao resultado da melhor trajetória, tomando-se como dados:

-Utilizar o princípio da conservação da energia

-Utilizar a expressão para a velocidade v=ds/dt