Mecânica Newtoniana: Trabalho e Energia - .Como podemos ver, o trabalho (W) é uma grandeza escalar,

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  • Mecnica Newtoniana: Trabalho e Energia

    Prof. Dr. Walter F. de Azevedo Jr. E-mail: walter@azevedolab.net 1

    2

    01

    8 D

    r. W

    alter

    F.

    de

    Aze

    ve

    do

    Jr.

  • 2

    Trabalho Realizado por Uma Fora Constante

    xm

    Consideremos o sistema abaixo, onde temos uma fora constante (F) aplicada a um

    bloco de massa m que est numa superfcie sem atrito.

    Fy

  • 3

    Trabalho Realizado por Uma Fora Constante

    xm

    O bloco apresenta um deslocamento (x).

    F

    x

    y

  • 4

    Trabalho Realizado por Uma Fora Constante

    xm

    A fora (F) faz um ngulo com a horizontal.

    F

    x

    y

  • 5

    Trabalho Realizado por Uma Fora Constante

    xm

    Para uma fora F constante, temos a componente Fx ao longo do deslocamento (x),como indicado abaixo.

    F

    x

    y

    Fx

  • 6

    Trabalho Realizado por Uma Fora Constante

    xm

    A componente horizontal da fora tem a seguinte expresso: Fx = F.cos.

    F

    x

    y

    Fx = F.cos

  • 7

    Trabalho Realizado por Uma Fora Constante

    xm

    Para uma fora F constante, o trabalho (W) realizado por esta fora igual

    componente da fora no sentido do deslocamento (F.cos) vezes a magnitude do

    deslocamento (x).

    W = F.cos.x

    F

    x

    y

    Fx = F.cos

  • 8

    Trabalho Realizado por Uma Fora Constante

    xm

    Como podemos ver, o trabalho (W) uma grandeza escalar, que tem unidades de

    N.m, chamada de Joule (J).

    W = F.cos.x

    F

    x

    y

    Fx = F.cos

  • 9

    Trabalho Realizado por Uma Fora Constante

    xm

    Considerando-se um sistema com diversas foras que atuam sobre o bloco, temos

    que o trabalho total (Wtotal) dado pela componente da fora resultante (Fres) ao longo

    do deslocamento (x), como indicado abaixo.

    WTotal = Fres.cos.x

    Fres

    x

    y

    Fres x =Fres.cos

  • 10

    Teorema do Trabalho-Energia Cintica

    xm

    O sistema abaixo tem uma energia devido ao movimento, chamada de energia

    cintica (K). Alm da energia cintica, o bloco tem uma energia potencial, devido sua

    posio. De uma forma geral, podemos dizer que a energia de um sistema uma

    medida da sua habilidade de realizar trabalho.

    WTotal = Fres x.x = Fres.cos.x

    Fres

    x

    y

    Fres x =Fres.cos

  • 11

    xm

    Considerando-se que o sistema abaixo tem acelerao constante (ax), podemos

    expressar sua velocidade final (vf) em funo da velocidade inicial (vi), acelerao (ax)

    e deslocamento (x) pela expresso abaixo.

    vf2 = vi

    2 + 2axx =>

    WTotal = Fres x.x = Fres.cos.x

    Fres

    x

    y

    Fres x =Fres.cos

    Teorema do Trabalho-Energia Cintica

  • 12

    xm

    Da segunda lei de Newton, sabemos que a projeo da fora resultante (Fres x) o

    produto da massa pela acelerao (ax), assim temos:

    vf2 = vi

    2 + 2axx =>

    WTotal = Fres x.x = max x

    Fres

    x

    y

    Fres x =Fres.cos

    (1)

    (2)

    Teorema do Trabalho-Energia Cintica

  • 13

    xm

    Podemos substituir a equao (1) na equao (2), como segue:

    WTotal = Fres x.x = max x =

    Fres

    x

    y

    Fres x =Fres.cos

    (1)

    Teorema do Trabalho-Energia Cintica

  • 14

    xm

    Assim temos que o trabalho a variao da energia cintica. A energia tem a mesma

    unidade do trabalho, Joule.

    WTotal = Fres x.x = max x = =

    WTotal = = Kf Ki = K

    Fres

    x

    y

    Fres x =Fres.cos

    (1)

    Teorema do Trabalho-Energia Cintica

  • 15

    Abaixo temos o grfico da fora (Fx) em funo da posio (x).

    Trabalho Realizado por Uma Fora Constante

    x1 x2 x

    Fx

    x

  • 16

    O trabalho (W) realizado pela fora (Fx) a rea sombreada sob a reta no intervalo

    entre x1 e x2, como indicado abaixo.

    Trabalho Realizado por Uma Fora Constante

    x1 x2 x

    Fx

    x

    W = Fx.x

  • 17

    Quando temos uma fora varivel, como a indicada abaixo, ainda temos que o

    trabalho dado pela rea sob a curva. O desafio determinarmos a rea.

    xi

    x1 x2 x

    Trabalho Realizado por Uma Fora Varivel

    Fx

  • 18

    Se pegarmos um deslocamento infinitesimal (xi), podemos considerar, com boa

    aproximao, que a fora (Fx i) aproximadamente constante neste intervalo, como

    indicado.

    Fx i

    xi

    x1 x2 x

    Trabalho Realizado por Uma Fora Varivel

    Fx

  • 19

    Assim, no pequeno retngulo em destaque, o trabalho infinitesimal (Wi) dado por:

    Wi = Fx i. xi

    Fx i

    xi

    x1 x2 x

    Trabalho Realizado por Uma Fora Varivel

    Fx

  • 20

    Podemos pensar que rea sob a curva a soma de todos os trabalhos (Wi) quando o

    deslocamento (xi) bem pequeno.

    Wi = Fx i. xi

    Fx i

    xi

    x1 x2 x

    Trabalho Realizado por Uma Fora Varivel

    Fx

  • 21

    Usando a linguagem do clculo, temos que o deslocamento (xi) tende a zero, assim

    a somatria dos trabalhos infinitesimais nos d a rea sob a curva.

    Fx i

    xi

    x1 x2 x

    Trabalho Realizado por Uma Fora Varivel

    Fx

  • 22

    O limite da somatria nos d a rea sob a curva, que o trabalho (W) realizado pela

    fora varivel (Fx).

    Fx i

    xi

    x1 x2 x

    Trabalho Realizado por Uma Fora Varivel

    Fx

  • 23

    No clculo, chamamos este limite de integral, indicado abaixo.

    Fx i

    xi

    x1 x2 x

    Trabalho Realizado por Uma Fora Varivel

    Fx

  • 24

    Um sistema massa-mola apresenta uma fora varivel com o deslocamento, como

    indicado pela equao abaixo. Vamos determinar o trabalho (W) realizado por uma

    mola.

    Trabalho Realizado por Uma Mola

    xm

    xi Fx = -kx

  • 25

    Vamos considerar um movimento geral, onde o bloco ligado mola, realiza um

    movimento da posio xi at a posio xf.

    Trabalho Realizado por Uma Mola

    x

    xixf

    m

    Fx = -kx

  • 26

    O trabalho calculado a partir da integral da fora da posio xi at a posio xf, como

    indicado abaixo.

    Trabalho Realizado por Uma Mola

    x

    xixf

    m

    Fx = -kx

  • 27

    Substituindo-se a expresso da fora na integral, temos:

    Trabalho Realizado por Uma Mola

    x

    xixf

    m

    Fx = -kx

  • 28

    O valor da constante elstica da mola (k) no varia, assim pode ser tirada da integral.

    Trabalho Realizado por Uma Mola

    x

    xixf

    m

    Fx = -kx

  • 29

    O resultado da integral de xdx x2/2, assim temos:

    Trabalho Realizado por Uma Mola

    x

    xixf

    m

    Fx = -kx

  • 30

    Determinamos para os extremos.

    Trabalho Realizado por Uma Mola

    x

    xixf

    m

    Fx = -kx

  • 31

    Continuando, temos o trabalho realizado pela mola.

    Trabalho Realizado por Uma Mola

    x

    xi Fx = -kx xf

    m

  • 32

    Aplicaes

    Exemplo 1. Um bloco de 4 kg est sobre uma mesa sem atrito e preso a uma mola

    horizontal com k = 400 N/m. A mola inicialmente comprimida de 5 cm. Encontre (a) o

    trabalho realizado sobre o bloco pela mola enquanto o bloco se move de x1 = -5 cm

    at sua posio de equilbrio x2 = 0 cm, e (b) a velocidade do bloco em x2 = 0 cm.

    TIPLER, P. A. & MOSCA, G. Fsica para Cientistas e Engenheiros. Vol. 1. 6 Ed. Rio de Janeiro: Livros Tcnicos e

    Cientficos Editora Ltda. 2012., 759 pp.

  • 33

    Aplicaes

    Soluo. Inicialmente a mola est comprimida de 5 cm.

    xm

    x1 = -5 cm

  • 34

    Aplicaes

    xm

    x1 = -5 cm x2 = 0 cm

    Soluo. Depois desloca-se para a posio de equilbrio em 0 cm.

    v2

  • 35

    Aplicaes

    xm

    x1 = -5 cm x2 = 0 cm

    Soluo. (a) O trabalho realizado sobre o bloco pela mola a integral de Fxdx de x1at x2, como indicado abaixo.

    v2

  • 36

    Aplicaes

    xm

    x1 = -5 cm x2 = 0 cm

    Soluo. (a) Substituindo-se os valores numricos, temos:

    v2

  • 37

    Aplicaes

    xm

    x1 = -5 cm x2 = 0 cm

    Soluo. (b) Aplicando-se o teorema do trabalho-energia cintica, temos:

    v2

  • 38

    Foras Conservativas e No-Conservativas

    Considere um telefrico que sobe uma montanha de altura h. Um esquiador sai da

    altura zero e levado at o topo da montanha pelo telefrico. No percurso de subida,

    o trabalho realizado sobre o esquiador pela fora gravitacional mgh, onde m a

    massa do esquiador. Vamos supor que o esquiador retornou base da montanha

    (altura h = 0) esquiando, o trabalho realizado pela fora gravitacional +mgh. O

    trabalho total realizado sobre o esquiador pela fora gravitacional zero,

    independente da trajetria. Nesta situao, onde o trabalho total realizado depende

    apenas das posies inicial e final do corpo, e no do caminho percorrido, a fora que

    realiza trabalho chamada de fora conservativa.

    TIPLER, P. A. & MOSCA, G. Fsica para Cientistas e Engenheiros. Vol. 1. 6 Ed. Rio de Janeiro: Livros Tcnicos e

    Cientficos Editora Ltda. 2012., 759 pp.

    h

  • 39

    Foras Conservativas e No-Conservativas

    Uma fora conservativa se o trabalho que ela realiza sobre uma partcula zero

    quando a partcula percorre qualquer caminho fechado, retornando sua posio

    inicial.

    TIPLER, P. A. & MOSCA, G. Fsica para Cientistas e Engenheiros. Vol. 1. 6 Ed. Rio de Ja