I. CONTENIDO1I.CONTENIDO

2II.INTRODUCCIN

3III.OBJETIVOS:

4IV.MARCO TEORICO

4A.MOMENTO DE INERCIA

7B.TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS PARA UN REA

9C.CENTRO DE MASAS

10CENTROIDE DE REAS COMPUESTAS

11CENTROIDE DE FIGURAS COMPLEJAS

12D.MOMENTOS DE INERCIA PARA UN REA POR INTEGRACIN

12E.MOMENTO DE INERCIA PARA REAS COMPUESTAS

12PROCEDIMIENTO DE ANLISIS

14F.PROPIEDADES DE LA INERCIA

15G.PRODUCTO DE INERCIA

16V.CONCLUSIONES:

17VI.BIBLIOGRAFA

18VII.EJERCICIOS RESUELTOS

II. OBJETIVOS:

Medir el momento de inercia de un cuerpo.

Comprobar el teorema de los ejes paralelos. Determinar momentos de inercia de cuerpos con diferentes geometras.III. MARCO TEORICOA. MOMENTO DE INERCIAEl momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Ms concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribucin de masas de un cuerpo o un sistema de partculas en rotacin, respecto al eje de giro. El momento de inercia slo depende de la geometra del cuerpo y de la posicin del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempea un papel anlogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un slido rgido.

Considere el rea A, mostrada en la figura 1, que se encuentra en el plano x-y.

FIGURA 1.

Por definicin, los momentos de inercia del rea diferencial plana dA con respecto a los ejes x y y son dIx=y2 dA y dIy=x2 dA, respectivamente. Los momentos de inercia son determinados por integracin para toda rea; es decir:

Ec.1

Ec.2Tambin podemos formular el segundo momento de dA con respecto al polo O eje z. A este se le llama momento de inercia polar y se lo puede calcular mediante:

Ec.3Aqu r es la distancia perpendicular desde el polo (eje z) hasta el elemento dA.

Las unidades para el momento de inercia implican la longitud elevada a la cuarta potencia.

CUADRO 1

Momentos de inerciaB. TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS PARA UN REA

Si el momento de inercia para un rea se conoce con respecto a un eje que pasa a travs de su centroide, lo que a menudo es el caso, es conveniente determinar el momento de inercia del rea con respecto a un eje paralelo correspondiente usando el teorema de ejes paralelos.

FIGURA 2.

Considrese el momento de inercia I de un rea A con respecto de un eje AA figura 2. Representado con y la distancia desde un elemento de rea dA hasta AA.

Ec.2

Ahora, se dibuja a travs del centroide C del rea un eje BB que es paralelo a AA, dicho eje recibe el nombre de eje centroidal. Representado con y la distancia desde el elemento dA hasta BB, se escribe y=y+d, donde d es la distancia entre los ejes AA y BB. Sustituyendo y + d en lugar de y en la integral anterior, se escribe:

Ec.4

Ec.5

En donde la primera integral representa el momento de inercia del rea con respecto del eje centroidal BB. La segunda integral representa el primer momento con respecto de BB, puesto que el centroide C del rea est localizado sobre dicho eje, la segunda integral debe ser igual a cero. Finalmente, se observa que la ltima integral es igual al rea total A. Por tanto se obtiene:

Ec.6CUADRO 2.

Propiedades Geomtricas de Lneas y Elementos de rea

C. CENTRO DE MASASPodemos decir que el centro de masas es el punto donde se concentra la masa de un slido o sistema material de puntos. Por ejemplo, si tenemos una esfera, podemos aproximar su comportamiento al de un punto localizado en su centro y con una masa igual a su densidad por el volumen.

El centro de masas tiene infinidad de utilidades. Por ejemplo, las leyes de Newton solo pueden aplicarse a sistemas de puntos materiales. De una forma ms prctica, en el diseo de automviles, es importante que el centro de masas est en una posicin relativamente baja para tener una mayor estabilidad. Para calcular el centro de masas solo es necesario multiplicar la masa de cada punto o elemento, por su distancia al eje dividindolo despus por el rea total para obtener as unidades de longitud. Utilizar esta expresin nos permite determinar por ejemplo, que el centro de masas de un sistema de dos puntos est en la recta que los une, el de un anillo en su centro, en un rectngulo en el punto donde se cortan las diagonales etc. A continuacin os presento una tabla con algunos centros de masa importantes:

CUADRO 3

Centros de Masa

CENTROIDE DE REAS COMPUESTAS

En gran cantidad de casos una superficie cualquiera puede ser subdividida en una serie de figuras comunes (rectngulo, triangulo, circunferencia etc...).Un rea compuesta se puede subdividir en varias reas comunes cuyas expresiones de momento de inercia sean conocidas, de manera que el momento de inercia del rea compuesta es igual a la suma de los momentos de inercia de cada rea comn, siempre y cuando cada momento de inercia este referido al mismo.

CENTROIDE DE FIGURAS COMPLEJASSe puede considerar que la mayora de las formas complejas estn compuestas de varias formas simples. Un concepto que ayuda en la localizacin de centroides es que si el rea dispone de un eje de simetra, el centroide se localizara en dicho eje. Algunas figuras complejas cuentan con dos ejes de simetra y, por consiguiente, el centroide se localiza en la interseccin de estos dos ejes. En la siguiente figura se muestran ejemplos donde ocurre esto. En los casos en que no hay ejes de simetra, se usa el mtodo de las reas compuestas para localizar el centroide. Por ejemplo, considerando la siguiente figuras.

FIGURA 3.

RADIO DE GIRO DE UN REA

El radio de giro de una rea plana tiene unidades de longitud y es una cantidad usada a menudo en mecnica estructural para el diseo de columnas. Si se conocen las reas y los momentos de inercia, los radios de giro son determinados a partir de formulas

Ec.7

D. MOMENTOS DE INERCIA PARA UN REA POR INTEGRACIN

Cuando las fronteras de un rea plana son expresadas mediante funciones matemticas, las ecuaciones 2 y 3 pueden ser integradas para determinar los momentos de inercia para el rea. Si el elemento de rea elegido para la integracin tiene un tamao diferencial en dos direcciones como se muestra en la figura 2, debe efectuarse una integracin doble para evaluar el momento de inercia. Sin embargo, a menudo es ms fcil efectuar una integracin simple eligiendo un elemento que tenga un tamao diferencial o espesor en solo una direccin.

E. MOMENTO DE INERCIA PARA REAS COMPUESTAS

Un rea compuesta consiste en una serie de partes o formas ms simples conectadas, tales como semicrculos, rectngulos y tringulos. Si el momento de inercia de cada una de esas partes se conoce o puede ser determinado con respecto a un eje comn, entonces el momento de inercia del rea compuesta es igual a la suma algebraica de los momentos de inercia de todas sus partes.

PROCEDIMIENTO DE ANLISIS El momento de inercia de un rea compuesta con respecto a un eje de referencia puede ser determinado usando el siguiente procedimiento.

Usando un croquis, dividir el rea en sus partes componentes e indique la distancia perpendicular desde el centroide de cada parte hasta el eje de referencia.

El momento de inercia de cada parte debe ser determinado con respecto a su eje centroidal, que es paralelo al eje de referencia. El momento de inercia de toda el rea con respecto al eje de referencia es determinado sumando los resultados de sus partes componentes.

Propiedad de los cuerpos de no modificar su estado de reposo o movimiento si no es por la accin de una fuerza.Por ejemplo cuando empujamos algo que se mueve linealmente, solemos decir que tiene mucha inercia. Sin embargo, esto no es del todo correcto puesto que la inercia es, estrictamente hablando, la resistencia a los cambios en la rotacin de un objeto.

La inercia puedecalcularsemediante la el producto masa por distancia al cuadrado, o en caso de tratarse de una densidad constante y para una geometra continua, de la manera siguiente:

Veamos acontinuacin como calcularlo para un tringulo:

La inercia es una propiedad muy importante en dinmica y esttica. Por ejemplo en resistencia de materiales, es un parmetro fundamental pues es necesaria para calcular la tensin en una seccin debida a la aplicacin de un momento en la estructura. Debido a que es inversamente proporcional a la tensin que sufre la seccin en cuestin, es preferible disear estructuras con una alta inercia, minimizando as la solicitacin.

Debido a lo anterior, somos capaces de deducir los extraos perfiles de algunas vigas. Por ejemplo el motivo para utilizar vigas con seccin de doble T es que al ser la inercia proporcional a la distancia, normalmente es preferible localizar el material en posiciones con una mayor distancia a la periferia, esto es, lo ms alejados posibles del centro de gravedad.F. PROPIEDADES DE LA INERCIA1. Es una propiedad aditiva.2. A la hora de calcular la inercia de un cuerpo es importante escoger unos ejes adecuados. Por ejemplo en un cubo no es lo mismo calcularlo con respecto a su diagonal que con respecto a cualquier otro eje.

3. Clculo de inercia con respecto a unos ejes paralelos a los que pasan por el centro de gravedad de la figura: se realiza mediante el teorema de Steiner:

4. Clculo de los principales momentos de inercia: una vez calculada la inercia con respecto a los ejes que pasan por el centro de gravedad de la figura, es posible hallar las direcciones principales mediante el crculo de Mohr:

G. PRODUCTO DE INERCIAEl producto de inerciaes una medida de la inerciarotacional de un cuerpo. Este se calcula mediante el producto de masa por distancia a cada uno de los ejes. A continuacin un esbozo sobre el producto de inercia, en el que se explica porque en muchos casos es igual a cero:

IV. CONCLUSIONES:

Logramos determinar el momento de inercia de dos slidos con masas similares y pudimos ver como variaba el momento de inercia entre ellos gracias a la distribucin de su masa. El momento de inercia slo depende de la geometra del cuerpo y de la posicin del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento El teorema de ejes paralelos permite relacionar el momento de inercia respecto a un eje que pasa por el Centro de Masa de un cuerpo con el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior.

FIGURA 5.

FIGURA 5.

FIGURA 6.

FIGURA 7.

FIGURA 8.