Mécanique des Structures

Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 1

Mécanique des Structures

René Motro

1. Introduction

2. Concepts utilisés en mécanique

3. Objectifs des calculs

4. Les outils pour le calcul

5. Définitions utiles

6. Conclusion


1. Introduction1.1 Mécanique et construction1.2 Constructions planes chargées dans leur plan1.3 Poutres, poteaux, murs

2. Concepts utilisés en mécanique2.1 Forces2.2 Moment d’une force par rapport à un point2.3 Déformation d’une fibre matérielle2.4 Contraintes 2.5 Loi de comportement d’un matériaupour une sollicitation donnée2.6 Déformée

3. Objectifs des calculs3.1 Equilibre de solides3.2 Résistance des matériaux3.3 Rigidité, stabilité de forme

4. Les outils pour le calcul4.1 Les vecteurs4.2 Intégrales définies et indéfinies4.3 Représentations des droites4.4 Distance d’un point à une droite4.5 Unités5. Définitions utiles5.1 Densité et masse volumique5.2 Pression au sein d’un liquide6. Conclusion

Sommaire


Figure 1 Colonne de Diane (Grèce)1. I

ntr

od

uc

tio

n1.1 Mécanique et construction

Les paramètres de la construction :

« Forme » (géométrie) :• des composants• de l’ensemble

« Matériau »• caractéristiques (loi de comportement)

« Forces »• action de la pesanteur• pression à différents niveaux

« Assemblage » (structure)• mode de liaison des composants (empilement dans le cas de la colonne)

« Technologie »• mode de mise en oeuvre• résolution des difficultés opératoires


Figure 2 Décomposition par plans de la construction

1. I

ntr

od

uc

tio

n1.2 Constructions planes chargées dans leur plan

Plan de référence pour les actions et la construction (ici plan vertical).

Appuis de la ferme

Actions


Figure 3 Composition structurale d’un édifice gothique

1. I

ntr

od

uc

tio

n1.2 Constructions planes chargées dans leur plan


1. I

ntr

od

uc

tio

n1.3 Poutres, poteaux, murs

Figure 4 Exemple de façade.

Mur

Linteau

Raidisseurs

Poutre

Poteaux

Longrine

Fondation


2. C

on

cep

ts u

tilis

és

en

mé

can

iqu

e2.1 Les « principes » de Newton. 2.11 Isaac Newton

Figure 5 La “pomme”

http://www.shutterstock.fr/subscribe.mhtml

http://www.shutterstock.fr/pic-3522064-fresh-green-apple-with-green-leaf.html









1642 - 1727

2. C

on

cep

ts u

tilis

és

en

mé

can

iqu

e2.1 Les « principes » de Newton. 2.11 Isaac Newton

Figure 6 Les écrits d’Isaac Newton.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5d/Newtons_laws_in_latin.jpg


Point matériel : sa masse « m » est supposée concentrée au centre d’une sphère de rayon quasi nul qui se réduit à un point (problème d’échelle)

2. C

on

cep

ts u

tilis

és

en

mé

can

iqu

e2.1 Les « principes » de Newton. 2.12 Notion de point matériel

Figure 7 Simplification, modélisation


Tout corps persévère dans l'état de repos, ou de mouvement uniforme en ligne droite, dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n'agisse sur lui, et ne le contraigne à changer d'état.

2. C

on

cep

ts u

tilis

és

en

mé

can

iqu

e2.1 Les « principes » de Newton. 2.13 Premier principe

Figure 8 Illustration du principe d’inertie

1 Principe d’Inertie


En A le point matériel est au repos. Il subit une action qui le met en mouvement.Le mouvement est rectiligne uniforme :•La trajectoire est une droite (AB)•La vitesse est constante•Le sens de déplacement dépend de celui de l’action initiale

A

B

2. C

on

cep

ts u

tilis

és

en

mé

can

iqu

e2.1 Les « principes » de Newton. 2.13 Principe d’inertie

Figure 9 Cas d’un solide au repos

http://images.google.fr/imgres?imgurl=http://www.demooniak.com/games/images/1313.jpg&imgrefurl=http://www.demooniak.com/search-results/397/1040-20/jeu.html&h=300&w=400&sz=71&hl=fr&start=29&um=1&tbnid=sXjm6jcNcZ0SAM:&tbnh=107&tbnw=143&prev=/images%3Fq%3DImages%2Bde%2Bbillards%26start%3D20%26ndsp%3D20%26svnum%3D10%26um%3D1%26hl%3Dfr%26lr%3Dlang_fr%26sa%3DN


2.1 Les « principes » de Newton. 2.13 Principe d’Inertie

En présence d’autres corps (point B), le mouvement du point est perturbé. Il s’exerce des forces sur le point matériel, ces forces modifient le mouvement du point.

m

m

B

B

F

D

2. C

on

cep

ts u

tilis

és

en

mé

can

iqu

eFigure 10 Cas d’un solide en mouvement


2. C

on

cep

ts u

tilis

és

en

mé

can

iqu

e2.1 Les « principes » de Newton. 2.14 Principe fondamental de la dynamique

L’accélération subie par un corps dans un référentiel galiléen est proportionnelle à la résultante des forces qu'il subit, et inversement proportionnelle à sa masse m.

2 Principe fondamental de la dynamique

m

Fa)1(


L’unité de force est le Newton N

amF)1( « m » est la masse du corps en kg,

a est l’accélération en m/s2

Le poids est la force qui correspond à une accélération égale à l’accélération de la pesanteur soit

(2) g=9,81 m/s2.

(3) P = 9,81 N pour une masse de 1 kg soit :

daN1N10P)4( pour une masse de 1 kg

2. C

on

cep

ts u

tilis

és

en

mé

can

iqu

e2.1 Les « principes » de Newton. 2.14 Principe fondamental de la dynamique


• Tout corps A exerçant une force sur un corps B subit une force d'intensité égale, de même direction mais de sens opposé, exercée par le corps B.

2. C

on

cep

ts u

tilis

és

en

mé

can

iqu

e2.1 Les « principes » de Newton. 2.15 Principe des actions réciproques

3 Principe des actions réciproques


2. C

on

cep

ts u

tilis

és

en

mé

can

iqu




2. C

on

cep

ts u

tilis

és

en

mé

can

iqu



Figure 11 Actions mutuelles de deux solides


Support : droite définie par deux points, ou un point et une direction.(Ou une grandeur de type moment par rapport à un point ; voir ci après)

Sens

Intensité (module)

Les forces sont représentées par des « glisseurs » (vecteurs glissants)

2. C

on

cep

ts u

tilis

és

en

mé

can

iqu

e2.2 Modélisation des forces : vecteurs « glissants »

Mouvement rectiligne uniforme de translation:

• Trajectoire (droite = support) D• Sens (sens d’action) S• Intensité (F = ma)

Figure 12 Eléments de définition d’un glisseur


2. C

on

cep

ts u

tilis

és

en

mé

can

iqu

e2.3 Moment d’une force par rapport à un point P 2.3.1 Illustrations physiques

Mise en mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe, sous l’effet d’une force.

Figure 13 Mise en mouvement de rotation

Axe de rotation perpendiculaire au plan de la roue

Force F


2. C

on

cep

ts u

tilis

és

en

mé

can

iqu

e2.3 Moment d’une force par rapport à un point P 2.3.1 Illustrations physiques

« Donnez-moi un point d'appui, je soulèverai le monde » (Archimède)

Le levier

Figure 13 Le principe du levier

P


y

xO

2. C

on

cep

ts u

tilis

és

en

mé

can

iqu

e2.3 Moment d’une force par rapport à un point P 2.3.2 Vecteur moment par rapport à un point P

F

H

Support droite perpendiculaire en P au plan Oxy

Intensité

Avec d = PH (distance de P au support de F)Signe dépend de la convention choisie (ici positif avec la convention trigonométrique)

dFM

Figure 14 Vecteur moment par rapport à un point

M (F)/P

P


2. C

on

cep

ts u

tilis

és

en

mé

can

iqu

e2.3 Moment d’une force par rapport à un point P 2.3.2 Vecteur moment par rapport à un point P

Remarques : on peut aussi calculer la valeur algébrique en utilisant la notion de produit vectoriel (voir compléments sur les vecteurs) dans le cas des systèmes plans chargés dans leur plan, on représente le vecteur moment avec une flèche circulaire tracée autour du point P, intersection de l’axe de rotation avec le plan du système

Figure 15 Représentation plane du vecteur moment par rapport à un point


2. C

on

cep

ts u

tilis

és

en

mé

can

iqu

e2.4 Déformation d’une fibre matérielle 2.4.1 Fibre matérielle

Fibres matérielles et modélisation des solides

Fibre matérielle : cylindre de très grande longueur par rapport à son diamètre

Poutre modélisée selon une agglomération de fibres matérielles. En raison des symétries une vue en élévation suffit.

Figure 15 Fibre matérielle


2. C

on

cep

ts u

tilis

és

en

mé

can

iqu

e2.4 Déformation d’une fibre matérielle 2.4.2 Fibre moyenne d’un poteau ou d’une poutre

La fibre moyenne est celle qui passe par le centre de gravité des sections droites

Cas d’une poutre droite à section droite rectangulaire de dimensions constantes b x h

Figure 16 Fibre moyenne d’une poutre ou d’un poteau


2. C

on

cep

ts u

tilis

és

en

mé

can

iqu

e2.4 Déformation d’une fibre matérielle 2.4.2 Fibre moyenne dans le cas général

Figure 17 Fibre moyenne d’une poutre non rectiligne


Allongement par traction

Raccourcissement par compression

2. C

on

cep

ts u

tilis

és

en

mé

can

iqu

e2.4 Déformation d’une fibre matérielle 2.4.3 Traction, compression

Figure 18 Déformation d’une fibre matérielle


2. C

on

cep

ts u

tilis

és

en

mé

can

iqu

e2.4 Déformation d’une fibre matérielle 2.4.4 Déformation absolue, déformation relative

• Cas d’un essai de traction (allongement):– déplacement– déformation absolue

l– déformation relative

= l/lo

(Sans unité)– (lo distance initiale

entre A et B)

Figure 19 Déformations absolue et relative d’une fibre matérielle


2. C

on

cep

ts u

tilis

és

en

mé

can

iqu

e2.5 Notion de contrainte 2.5.1 Contrainte normale

• A aire de la section droite, n fibre matérielles d’aire a (n.a = A).

• Si F est l’effort total, chaque fibre supporte un effort f =F/n, pour une aire a = A/n.

• Quand n tend vers l’infini, f et a tendent vers zéro

a

fdeitelimlaest

normaleeintcontraLa

Figure 20 Notion de “contrainte”

A

F

F

a

f

f


2. C

on

cep

ts u

tilis

és

en

mé

can

iqu

e2.5 Notion de contrainte 2.5.2 Deux remarques

NotationLorsque des quantités deviennent petites (infiniment petites), on parle d’éléments

différentiels et on fait précéder la notation de la grandeur par la lettre « d ». Ici on notera df la force infiniment petite, et da l’aire de la section droite de la fibre matérielle.

Contraintes normale et tangenteDans le cas général les efforts df ne sont pas forcément alignés sur la fibre

matérielle. On distingue la composante horizontale et la composante verticale; à la première correspond la contrainte tangente (notée « t » ou « »), à la seconde la contrainte normale (notée « n » ou « »)

da

dfda

df

y

x

xdf

ydf df

Figure 21 Contraintes normale et tangente


2. C

on

cep

ts u

tilis

és

en

mé

can

iqu

e2.6 Loi de comportement d’un matériau pour une sollicitation donnée.

On effectue des essais sur les matériaux en laboratoire. Pour un type d’action donnée (sollicitation en traction, compression…), on relève les déformations associées aux valeurs des efforts.La loi de comportement expérimentale associe les contraintes aux déformations relatives pour la sollicitation considérée.

Figure 22 Essais de flexion et de compression sur le béton


2. C

on

cep

ts u

tilis

és

en

mé

can

iqu


Figure 23 Machine d’essai de traction

Figure 24 Essai sur sol (triaxial)


• Exemple de loi de comportement en traction simple d’une tige d’acier.

2. C

on

cep

ts u

tilis

és

en

mé

can

iqu


Contrainte de traction

Déformation relative

Figure 25 Loi de comportement


2. C

on

cep

ts u

tilis

és

en

mé

can

iqu

e2.7 Déformées

La déformée d’une poutre est définie par la géométrie de sa fibre moyenne après application des actions.

Figure 26 Déformée d’une poutre sous deux charges concentrées


3. L

es

ob

jec

tifs

du

ca

lcu

l3.1 Equilibre des solides

Figure 27 Pertes d’équilibre


3. L

es

ob

jec

tifs

du

ca

lcu

l3.1 Equilibre des solides

Figure 28 Equilibres stable et instable

En A l’équilibre est instable

En B l’équilibre est stable

A

B


3. L

es

ob

jec

tifs

du

ca

lcu

l3.2 Résistance des matériaux constitutifs

Figure 29 Rupture par épuisement de la résistance d’un ou plusieurs matériaux


• Instabilités de forme

Flèche maximale verticale

Flèche maximale horizontale

3. L

es

ob

jec

tifs

du

ca

lcu

l3.3 Rigidité

Figure 30 Déformées et instabilités de forme

• Déformée


4. L

es

ou

tils

po

ur

le c

alc

ul


4. L

es

ou

tils

po

ur

le c

alc

ul

4.1 Vecteurs 4.1.1 Les différents vecteurs

Vecteur libre Direction Sens Intensité

Vecteur glissant Support rectiligne connu Sens Intensité

Vecteur lié Support rectiligne connu Origine Sens Intensité

P

(Résultante d’un ensemble de forces)

Force Moment d’un ensemble de forces /P


4. L

es

ou

tils

po

ur

le c

alc

ul

4.1 Vecteurs 4.1.2 Opérations sur les vecteurs

vuw

w

u

v

Addition : le résultat est un vecteur libre si les deux vecteurs sont libres, lié s’ils sont liés.

Produit scalaire : le résultat est un réel

Produit vectoriel : le résultat

est un vecteur de direction perpendiculaire au plan des deux vecteurs, le module est un réel (soumis à des conventions de signe)

P

u

v

), sin( . . P

vuvu

)v,ucos(vu vus


4. L

es

ou

tils

po

ur

le c

alc

ul

4.2 Intégrales définies et fonctions primitives

Les fonctions utilisées dans ce cours sont presque exclusivement des polynômes de la forme :

01i

i1n

1nn

n ax.a...x.a...x.ax.a)x(f

Il suffit de connaître la primitive et la dérivée du terme général :

iii x.af

1ii

i x.i.adx

df i

1i

ii C1i

x.aF

fonction

primitive dérivée


4. L

es

ou

tils

po

ur

le c

alc

ul

4.2 Intégrales définies et fonctions primitives

Les deux types d’intégration qui apparaissent dans les calculs sont :

les intégrales définies entre deux bornes, ici 0 et a, (on calcule en fait une aire)

les intégrales indéfinies qui correspondent au calcul de la primitive F(x) d’une fonction f(x). La primitive est toujours définie à une constante près (ce qui justifie le qualificatif « indéfinies »).


4. L

es

ou

tils

po

ur

le c

alc

ul

4.3 Equation d’une droite dans un plan x,y

Les droites sont omniprésentes dans les calculs relatifs aux forces. Elles peuvent être définies par

un point A et une direction (une « pente ») par deux points A et B

La forme la plus classique de son équation est :

0cy.bxa

cxb

ay

Que l’on retrouve aussi sous la forme :

corigine'làordonnéeb

a"m"pente


4. L

es

ou

tils

po

ur

le c

alc

ul

4.4 Distance d’un point à une droite

D

Mettre l’équation de la droite D sous la forme ax+by+c=0La distance d au point P est donnée par

22

PP

ba

cybxad

P

x

d ?

y


4. L

es

ou

tils

po

ur

le c

alc

ul

4.5 Unités

Système SI est basé sur les trois unités de référence : Masse « m » [M] Longueur « l » [L]Temps « t » [T]

Les grandeurs utilisées en mécanique ont une « dimension » en référence à ces trois unités de base,soit :

Accélération a, unité m/s/sForce F , unité newton NMoment M, unité m.NAllongement absolu l, unité m

Allongement relatif , sans dimension (rapport de deux quantités de même dimension), sans unité, s’exprime en pour cent ou pour mille.Aire, A, unité m2

Contrainte (ou pression) , unité Pa

a

F

M

l

A

2T.L

2T.L.M

22 T.L.M

L

2L

21 T.L.M


5. D

éfi

nit

ion

s u

tile

s5.1 Densité d’un matériau

La masse volumique d’un matériau mesure la quantité de matériau contenue dans un volume donné. Le volume de référence est l’unité de volume, soit le m3. La notation utilisée pour cette grandeur est , l’unité est le kg/m3.

La densité d’un matériau est mesurée par le rapport de sa masse volumique à celle de l’eau notée e, classiquement égale à 1000 kg/m3. La densité, rapport de deux quantités de même « dimension », n’a pas d’unité (pas de dimension).

eau

matériaumatériaud


5. D

éfi

nit

ion

s u

tile

s5.2 Pression au sein d’un fluide

La pression « p » au sein d’un fluide de masse volumique , à la profondeur h, est mesurée par le même nombre que le poids d’une colonne de ce liquide ayant pour hauteur h, et pour aire de section droite, l’unité d’aire.

Poids d’une colonne de liquide = volume x poids volumique = h x 1 x x g

D’où :

Avec g accélération de la pesanteur (prise égale à 10 m/s/s en première approximation).La pression s’exprime en Pascal (Pa) = 1N/m2.Cette pression s’exerce perpendiculairement à toute surface située à la profondeur considérée.

hgp


6. C

on

clu

sio

n

Problème

InformationRéflexion

Résolution

Résultat

Bibliographie, documentation

Choix de la méthode et des outils

Examen critique, ordres de grandeur


6. C

on

clu

sio

n

Mesure des grandeurs géométriques, puis calcul des grandeurs de référence :

Pour l’équilibre : forces et moments

Pour la résistance : sollicitation (efforts internes, déformations relatives comparées aux déformations relatives acceptées, contraintes comparées aux résistances)

Pour la rigidité : déplacements des fibres moyennes donnant accès aux déformées (la flèche maximale étant comparée aux valeurs acceptées)


6. C

on

clu

sio

n

Documents

Mécanique des Structures